Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari - Algebra - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	755.5KB
Xaridlar	1
Yuklab olingan sana	02 Aprel 2024
Kengaytma	doc
Bo'lim	Referatlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Shodlikbek Zaripboyev

Ro'yxatga olish sanasi 02 Aprel 2024

2 Sotish

Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari

Sotib olish

Mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari
Reja:
1. Tasodifiy miqdor tushunchasi
2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
3. Taqsimot funksiyasi va uning xossalari
4. Zichlik funksiyasi va uning xossalari
5. Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari
Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor
tushunchasidir.
 Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum
bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,…(yoki grek
alifbosining kichik harflari  (ksi),  (eta), ζ(dzeta),…) bilan qabul qiladigan
qiymatlari esa kichik harflar , bilan belgilanadi.
Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan
mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari
soni; 3) Z -asbobning beto‘htov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga
tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni
va h.k..
 Agar tasodifiy miqdor(t.m.) chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa,
bunday t.m. diskret tipdagi t.m. deyiladi.
 Agar t.m. qabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz
tipdagi t.m. deyiladi.

Demak, diskret t.m. bir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz t.m. esa
biror oraliqdagi ihtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y t.m.lar
diskret, Z esa uzluksiz t.m. bo‘ladi.
Endi t.m.ni qat’iy ta’rifini keltiramiz.
  elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya t.m. deyiladi,
agar har bir  elementar hodisaga X (  ) conni mos qo‘ysa, yani X = X (  ),   .
Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Elementar hodisalar
fazosi bo‘ladi. X-gerb
chiqishlari soni bo‘lsin, u holda X t.m. qabul qiladigan qiymatlari: X (

1 )=2,
X (

2 )=1, X ( 
3 )=1, X ( 
4 )=0.
Agar  chekli yoki sanoqli bo‘lsa, u holda  da aniqlangan ixtiyoriy funksiya
t.m. bo‘ladi. Umuman, X (
 ) funksiya shunday bo‘lishi kerakki:  x  R da
hodisa S
 - algebrasiga tegishli bo‘lishi kerak.
2 Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
X -diskret t.m. bo‘lsin. X t.m. qiymatlarni mos
ehtimolliklar bilan qabul qilsin:
X … …
P … …
jadval diskret t.m. taqsimot qonuni jadvali deyiladi. Diskret t.m. taqsimot qonunini
ko‘rinishda yozish ham qulay.
hodisalar birgalikda bo‘lmaganligi uchun ular to‘la
gruppani tashkil etadi va ularning ehtimolliklari yig‘indisi birga teng bo‘ladi, ya’ni
.
 X t.m. diskret t.m. deyiladi, agar chekli yoki sanoqli to‘plam bo‘lib,
va tenglik o‘rinli bo‘lsa.

 X va Y diskret t.m.lar bog‘liqsiz deyiladi, agar va
hodisalar da bog‘liqsiz bo‘lsa, ya’ni
,
2.1-misol. 10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli bo‘lsa, tavakkaliga olingan 3 ta
lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping.
X t.m.ni qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari . Bu
qiymatlarning mos ehtimolliklari esa
.
X t.m. taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida yozamiz:

3 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari
Diskret va uzluksiz t.m.lar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning
taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F ( x ) orqali belgilanadi.
 F ( x ) funksiya X t.m.ning taqsimot funksiyasi  x  R son uchun quyidagicha
aniqlanadi:
. (2.3.1)
Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. F ( x ) chegaralangan:X 0 1 2
P

.
2. F ( x ) kamaymaydigan funksiya: agar x
1 < x
2 bo‘lsa, u holda .
3. .
4. F ( x ) funksiya chapdan uzluksiz:
.
Isboti: 1. Bu xossa (2.3.1) va ehtimollikning xossalaridan kelib chiqadi.
2. hodisalarni kiritamiz. Agar x
1 < x
2 bo‘lsa, u holda
va , ya’ni yoki .
3. va ekanligi va ehtimollikning xossasiga ko‘ra
.
4. hodisalarni kiritamiz. Bu yerda { x
n } ketma-ketlik
monoton o‘suvchi, . A
n hodisalar ketma-ketligi ham o‘suvchi bo‘lib,
. U holda , ya’ni . ■
Diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:
. (2.3.2)
2.2-misol. 2.1-misoldagi X t.m. taqsimot funksiyasini topamiz.

1. A g a r x
2. A g a r 0 <
3. A g a r 1 <
4. Agar x> 2 bo‘lsa, .
Demak,
F ( x ) taqsimot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan.
13-rasm.
 X t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi ixtiyoriy nuqtada
uzluksiz bo‘lsa.
Agar F ( x ) taqsimot funksiya uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi bo‘lsa, taqsimot
funksiyaning 1-4 xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish mimkin: X 0 1 2
P

1. X t.m.ning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi
taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:
. (2.3.3)
2. X uzluksiz t . m . ning tayin bitta qiymatni qabul qilishi ehtimolligi nolga
teng :
1-natijada [ a,b ], ( a,b ], ( a,b ) oraliqlar uchun ham (2.3.3) tenglik o‘rinli, ya’ni
.
Masalan, .
Isboti. 1. a<b bo‘lgani uchun . va
hodisalar birgalikda bo‘lmagani uchun
. .
2. (2.3.3.) tenglikni [ a,x ) oraliqqa tatbiq etamiz: . F ( x )
funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun
. ■
4 Zichlik funksiyasi va uning xossalari
Uzluksiz t.m.ni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.
 Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi deb, shu t.m. taqsimot funksiyasidan olingan
birinchi tartibli hosilaga aytiladi.
Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi f ( x ) orqali belgilanadi. Demak,
. (2.4.1)
Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. f ( x ) funksiya manfiy emas, ya’ni
.
2. X uzluksiz t . m . ning [ a , b ] oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi ehtimolligi
zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga teng , ya ’ ni
.
3. Uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha
ifodalanadi:
. (2.4.2)
4. Zichlik funksiyasidan dan gacha olingan xosmas integral birga
tengdir
.
Isbotlar: 1. F ( x ) kamaymaydigan funksiya bo‘lgani uchun , ya’ni .
2. tenglikdan Nyuton-Leybnis formulasiga asosan:
.
Bu yerdan .
3. 2-xossadan foydalanamiz:
.
4. Agar 2-xossada va deb olsak, u holda muqarrar ga
hodisaga ega bo‘lamiz, u holda
.
■

2.3.-misol. X t.m. zichlik funksiyasi tenglik bilan berilgan.
O‘zgarmas a parametrni toping.
Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra , ya’ni
. Demak, .
5 Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari
X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin: {
}.
Matematik kutilma
 X t.m. matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va
(2.5.1)
orqali belgilanadi.
Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u t.m. o‘rta qiymatini ifodalaydi.
Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda
.
 Uzluksiz t.m. matematik kutilmasi deb

(2.5.2)
integralga aytiladi. (2.5.2) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni
bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas
deyiladi.
Matematik kutilmaning xossalari:
1. O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni
MC = C.
2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga
chiqarish mumkin,
M ( CX )= CMX.
3. Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng,
M ( X+Y )= MX+MY.
4. Agar X  Y bo‘lsa,
M ( X  Y )= MX  MY.
Isbotlar: 1. O‘zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul
qiluvchi t.m. sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC = C  P { X = C }= C  1= C.
2. C  X diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin,
u holda .
3. X+Y diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan
qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun

Bu yerda va bo‘ladi. Chunki,
,
.
4. Agar X  Y bo‘lsa, u holda
va
■
Matematik kutilmaning xossalari t.m. uzluksiz bo‘lganda ham hiddi shunga
o‘xshash isbotlanadi. Masalan, .
2.4.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, X t.m.ning
matematik kutilmasini toping.
X 500 50 10 1 0
P 0.01 0.05 0.1 0.15 0.69
MX =500  0.01+50  0.05+10  0.1+1  0.15+0  0.69=8.65.
2.5.-misol. X uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi berilgan .
C va MX ni toping.

Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra . Demak,
va .
Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:
.
Dispersiya
 X t.m. dispersiyasi deb, ifodaga aytiladi.
Dispersiya DX orqali belgilanadi. Demak,
. (2.5.3)
Agar X dickret t.m. bo‘lsa,
, (2.5.4)
Agar X uzluksiz t.m. bo‘lsa,
(2.5.5)
T.m. dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formula qulaydir:
DX = MX 2
-( MX ) 2
(2.5.6)
Bu formula matematik kutilma xossalari asosida quyidagicha keltirib chiqariladi:
Dispersiyaning xossalari:
1. O‘zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng DC =0.

2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini kvadratga ko‘tarib, dispersiya belgisidan
tashqariga chiqarish mumkin,
D ( CX )= C 2
DX .
3. Agar X  Y bo‘lsa,
D ( X+Y )= DX+DY.
Isbotlar: 1. .
2.
.
3. (2.5.6.) formulaga ko‘ra
■
2.6.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan:
MX va DX ni hisoblaymiz:
MX =-1  0.2+0  0.1+1  0.3+2  0.4=0.9,
.
 X t.m. o‘rtacha kvadratik tarqoqligi ( chetlashishi ) deb, dispersiyadan olingan
kvadrat ildizga aytiladi:
(2.5.7)
Dispersiyaning xossalaridan o‘rtacha kvadratik tarqoqlikning xossalari kelib
chiqadi: 1. ; 2. ;
Ba’zi muhim taqsimotlar
Binomial taqsimot X -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.3 0.4

 X diskret t.m. binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar u 0,1,2,
…n qiymatlarni
, (2. 6 .1)
ehtimollik bilan qabul qilsa.
Bu yerda .
Binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m. yaqsimot qonuni
quyidagi ko‘rinishga ega:
X=m 0 1 2 … m … n
… …
Nyuton binomiga asosan . Bunday taqsimotni orqali
belgilaymiz.
Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz.
.

| almashtirish
bajaramiz| =
.
Demak, .
Puasson taqsimoti
 Agar X t.m. 0,1,2,…m,… qiymatlarni
(2.6.2)
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan t.m.
deyiladi. Bu yerda a biror musbat son.
Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m.ning taqsimot qonuni
quyidagi ko‘rinishga ega:
X=m 0 1 2 … m …
… …
Teylor yoyilmasiga asosan, . Bu taqsimotni
orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:
,
Demak, .
Geometrik taqsimot
 Agar X t.m. 1,2,…m,… qiymatlarni
(2.6.3)
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u geometrik qonuni bo‘yicha taqsimlangan t.m.
deyiladi. Bu yerda .
Geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m.larga misol sifatida
quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz mahsulot chiqqunga qadar tekshirilgan
mahsulotlar soni; gerb tomoni tushgunga qadar tashlangan tangalar soni; nishonga
tekkunga qadar otilgan o‘qlar soni va hokazo.
Geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m. taqsimot qonuni
quyidagi ko‘rinishga ega:
X=m 1 2 … m …
… …

,
chunki ehtimolliklar geometrik progressiyani tashkil etadi: .
Shuning uchun ham (2. 6 .3) taqsimot geometrik taqsimot deyiladi va orqali
belgilanadi.
Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:
Demak, .
Tekis taqsimot
 Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi

(2. 6 .4)
ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan t.m. deyiladi.
Bu t.m.ning grafigi 14-rasmda berilgan. [ a , b ] oraliqda tekis taqsimlangan X t.m. ni
ko‘rinishda belgilanadi. uchun taqsimot funksiyasini
topamiz. (2.4.2) formulaga ko‘ra agar bo‘lsa
,
agar bo‘lsa, va bo‘lsa,
bo‘ladi. Demak,
F ( x ) taqsimot funksiyaning grafigi 15-rasmda keltirilgan.
14-rasm .

15-rasm .
t.m. uchun va larni hisoblaymiz:
;
Demak, , .
Ko‘rsatkichli taqsimot
 Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi
(2.6.5)

ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, X t.m. ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m.
deyiladi. Bu yerda biror musbat son. parametrli ko‘rsatkichli taqsimot
orqali belgilanadi. Uning grafigi 16-rasmda keltirilgan.
16-rasm.
17-rasm.
Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Uning grafigi 17-rasmda keltirilgan.
Endi ko‘rsatkichli taqsimotning matematik kutilmasi va dispersiyasini
hisoblaymiz:
Demak, agar bo‘lsa, u holda va .
Normal taqsimot
Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o‘ziga xos o‘rin tutadi. Normal
taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya’ni
boshqa taqsimotlar ma’lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot
amaliyotda eng ko‘p qo‘llaniladigan taqsimotdir.
 X uzluksiz t.m. normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning
zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lsa

(2.6.6)
a va parametrlar bo‘yicha normal taqsimot orqali belgilanadi.
normal t.m.ning taqsimot funksiyasi
(2. 6 .7)
Agar normal taqsimot parametrlari a =0 va bo‘lsa, u standart normal
taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha
ko‘rinishga ega:

Bu funksiya bilan 1.14 paragrafda tanishgan edik(uning grafigi 9-rasmda
keltirilgan). Taqsimot funksiyasi
ko‘rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi(uning grafigi 10-rasmda
keltirilgan).
a va parametrlarni ma’nosini aniqlaymiz. Buning uchun
t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:

Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash
chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali
deyiladi,
.
Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan. Dispersiya
hisoblashda almashtirish va bo‘laklab integrallashdan foydalanamiz:
.
Demak, va o‘rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.
18-rasmda a va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining
o‘zgarishi tasvirlangan:

18-rasm.
t.m.ning intervalga tushishi ehtimolligini hisoblaymiz.
Avvalgi mavzulardan ma’lumki,
Laplas funksiyasidan foydalanib((1.14.6) formula), quyidagiga ega bo‘lamiz:
(2.6.8)
Normal taqsimot taqsimot funksiyasini Laplas funksiyasi orqali quyidagicha
ifodalasa bo‘ladi:

(2. 6 .9)
Agar Laplas funksiyasi bo‘lsa, u holda
va (2. 6 .8) formulani quyidagicha yozsa bo‘ladi:
(2. 6 .10)
Amaliyotda ko‘p hollarda normal t.m.ning a ga nisbatan simmetrik bo‘lgan
intervalga tushishi ehtimolligini hisoblashga to‘gri keladi. Uzunligi 2 l bo‘lgan
intervalni olaylik, u holda
Demak,
(2. 6 .11)
(2.6.11) da deb olsak, bo‘ladi.
funksiyaning qiymatlari jadvalidan ni topamiz. U holda
bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega bo‘lamiz:
Agar bo‘lsa, u holda uning matematik kutilishidan chetlashishining

absolut qiymati o‘rtacha kvadratik tarqoqligining uchlanganidan katta bo‘lmaydi.
Bu qoida “ uch sigma qoidasi ” deyiladi(19-rasm).
19-rasm.
2.7.-misol. Detallarni o‘lchash jarayonida mm parametrli normal
taqsimotga bo‘ysuvuvchi tasodifiy xatoliklarga yo‘l qo‘yildi. Bog‘liqsiz 3 marta
detalni o‘lchaganda hech bo‘lmasa bitta o‘lchash xatoligining absolut quymati 2
mm dan katta bo‘lmasligi ehtimolligini baholang.
(2. 6 .11) formulaga ko‘ra
Bitta tajribada(o‘lchashda) xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi
. Tajribalarimiz bog‘liqsiz bo‘lganligi
uchun uchchala tajribada xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi
bo‘ladi. Qidirilayotgan ehtimollik 1-0.5958=0.4042.

Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari ( Ehtimollik va Statistika )

Sotib olish