Tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari - Algebra - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	10000UZS
Hajmi	137.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	02 Aprel 2024
Kengaytma	doc
Bo'lim	Referatlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Shodlikbek Zaripboyev

Ro'yxatga olish sanasi 02 Aprel 2024

0 Sotish

Tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari

Sotib olish

Mavzu : Дискрет тасодифий миқдорнинг сонли
характерстикалири
РЕЖА:
1. Дискрет тасодифий миқдорнинг математик кутилиши.
Математик кутилишнинг эҳтимолий маъноси.
2. Математик кутилишнинг хоссалари.
3. Эркли синашларда ҳодиса рўй бериш сонининг математик
кутилиши
4. Тасодифий миқдор тарқоқлигининг сони
ҳарактеристикасини киритишнинг мақсадга мувофиқлиги.
5. Тасодифий миқдорни ўзининг математик кутилишидан
четланиш и .
6. Дискрет тасодифий миқдорнинг дисперсияси ва уни
хоссалари
7. Дисперсияни ҳисоблаш формуласи. Эркли синашларда ҳодиса
рўй бериш сониниг дисперсияси

Дискрет тасодифий миқдорнинг математик кутилиш.
Х дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни маълум бўлса, бу
тасодифий миқдорни тўлиқ характерлайди. Лекин амалда тасодифий
миқдорнинг тақсимот қонуни маълум бўлавермайди ёки топиш жуда қийин
бўлади. Бундай вақтда тақсимот қонуни ўрнига тасодифий миқдорни йиғма
тасвирлайдиган сонлардан фойдаланиш қулай бўлади. Бундай сонлар
тасодифий миқдорнинг сонли характеристикалари дейилади. Булар
жумласига математик кутилиш, дисперсияси ва ўрта квадратик четланишлар
киради. Кўп амаллий масалаларни ечишда дискрет тасодифий миқдорнинг
математик кутилишини билиш кифоя қилади. Масалан икки футболчининг
ҳар бирининг ўйин давомида тўп уришлар сонининг математик кутилиш
маълум бўлса ва қайси бириники катта бўлса, шу ўйинчи яхши ҳисобланади.
Дискрет тасодифий миқдорнинг математик кутилиши деб, унинг барча
мумкин бўлган қийматларини мос эҳтимоллари кўпайтмалари йиғиндисига
айтилади ва М(Х) кўринишда белгиланади.
М(Х) = x
1 р
1 +х
2 р
2 +….+х
n p
n
1- мисол Х дискрет тасодифий миқдор қуйидаги тақсимот қонуни билан
берилган.
Х тасодифий миқдорнинг математик кутилишини топинг.
Ечиш: Дискрет тасодифий миқдорнинг математик кутилишини
таърифига асосан.
М(Х) = Х
1 Р
1 + Х
2 Р
2 + Х
3 Р
3 =1 ,2+3 ,5+5 ,3=0,2+1,5+1,5=3,2
Такидлаймизки дискрет тасодифий миқдорнинг математик кутилиши
тасодифий миқдор эмас, балки ўзгармас миқдордир.
Келгусида баъзи теоремаларни исботлашда ишлатиладиган битта
назарий масалани кўрамиз.
2-мисол: А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли Рга тенг бўлса, битта
синашда А ҳодисанинг рўй бериш сонининг математик кутилишини топинг.

Ечиш: Равшанки А ҳодиса устида битта синов ўтказилганда у рўй
беради. (Х
1 =1 ) ёки рўй бермайди. (Х
2 = 0), яъни
ёки М(Х) =1 +0 1-Р)=Р
Демак битта синашда ҳодисанинг рўй бериш сонининг математик
кутилиши шу ҳодисанинг эҳтимолига тенг.
Энди математик кутилишнинг эҳтимоллар назариясидаги маъносини
ўрганайлик: А ҳодиса устида n та синаш ўтказилаётган бўлиб, А ҳодисанинг
рўй бериш сонидан иборат бўлган Х тасодифий миқдор m
1 марта Х
1 қиймат,
m
2 марта Х
2 қиймат ва ҳаказо m
к марта Х
к қиймат қабул қилсин. У ҳолда Х
тасодифий миқдорнинг қабул қилган қийматларининг йиғиндиси
Х
1 m
1 +Х
2 m
2 +….+Х
n m
k га тенг бўлади.
Энди Х-тасодифий миқдорнинг қабул қилган қийматларининг
ўртачасини топсак.
=
Равшанки: ,… Х
1 , Х
2 ,…Х
к қийматларининг қабул
қилишининг W
1 ,W
2 ….W
k нисбий частоталаридир, яъни
=х
1 W
1 + х
2 W
2 … х
k W
k
Маълумки синашлар сони етарлича катта бўлганда нисбий частота
тақрибан ҳодисанинг рўй бериш эҳтимолига тенг, яъни W
к Р
к
Демак: ≈ х
1 Р
1 + х
2 Р
2 +…+ х
к Р
к =М(Х)
Демак математик кутилишнинг эҳтимолий маъноси тасодифий
миқдорининг кузатилаётган қийматларнинг ўртача арифметигидан иборат
экан.
Математик кутилиш тасодифий миқдорнинг энг кичик қийматидан катта
ва энг катта қиматидан кичиклиги равшан. “Математик кутилиш”
атамасининг келиб чиқиши XVI-XVII асрда қимор ўйинларининг
ривожланиши билан боғлиқ бўлиб, у қиморбознинг ўртача ютуғи қийматини
билдиради.

Математик кутилишнинг хоссалари.
Математик кутилишнинг хоссаларини келтиришдан олдин дискрет
тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни устида бажариладиган амаллар
билан танишамиз Х,Y дискрет тасодифий миқдорлар ўз тақсимот қонунлари
билан берилган бўлсин.

бу вақтда дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимот қонунлари устида
қуйидаги амалларни бажариш мумкин.
1. 2.
Х ва Y дискрет тасодифий миқдорлар эркли бўлсин, яъни бирнинг
тақсимот қонуни иккинчисининг қандай қиймат қабул қилганлигига боғлиқ
бўлмасин.
Эркли Х ва Y тасодифий миқдорларнинг кўпайтмаси деб, шундай
Х Y тасодифий миқдорга айтамизки, унинг мумкин бўлган қийматлари Х
нинг мумкин бўлган ҳар бир қийматини Y нинг мумки бўлган ҳар бир
қийматига кўпайтирилганига тенг, яъни
хусусий ҳолда Х= Y бўлса

Энди математик кутилишнинг хоссаларини келтирамиз:
1. Ўзгармас миқдорнинг математик кутилиши шу ўзгармаснинг ўзига
тенг:
М(С)=С
2. Ўзгармас кўпайтувчининг математик кутилиш белгиси ташқарисига
чиқариш мумкин.
М(СХ)=СМ(Х)

3. Иккита эркли Х ва Yтасодифий миқдорлар кўпайтмасининг
математик кутилиши уларнинг математик кутилишлари кўпайтмасига тенг.
М( Х )= М(Х)
Натижа. Бир неча ўзаро эркли тасодифий миқдорлар кўпайтмасининг
математик кутилиши математик кутилишларни кўпайтмасига тенг:
М(Х z)=М(Х) (Z)
4. Иккита тасодифий миқдор йиғиндисининг математик кутилиши
қўшилувчиларнинг математик қутилар йиғиндисига тенг:
М(Х+Y)=М(Х)+M(Y)
Мисол: X ва Y дискрет тасодифий миқдорлар қуйидаги тақсимот
қонунлари билан берилган:

Қуйи даги 3Х, Х+ Y , X , X 2
дискрет тасодифий ми қ дорларнинг
та қ симот қ онунини тузинг:
Ечиш:
Х ва Y тасодиқий миқдорнинг 7 қийматини қабул қилиш 3+4 ва 1+6
биргаликда бўлмаган ҳодисалар бўлганидан, биргаликда бўлмаган
ҳодисаларнинг эҳтимолларининг қўшиш теоремасига асосан
Р(Х+Y=7)=0,35+0,09=0,44
Шундай қилиб Х+Y тасодифий миқдорларнинг тақсимот қонуни
қуйидаги кўринишда бўлади.
Энди Х 2
дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимоти қонунини тузамиз.
Эркли синашларда ҳодиса рўй бериш сонининг математик кутилиши

А ҳодиса устида n та эркили синов ўтказилиётган бўлиб уларнинг ҳар
бирида А ҳодисанинг рўй бериш эҳтимоли ўзгармас ва Р га тенг бўлсин. N та
синовда а ҳодисанинг рўй беришлар сони Х дискрет тасодифий миқдор
бўлиб, унинг математик кутилишини дискрет тасодифий миқдорнинг
тақсимот қонунини тузиб сунгра топиш мураккаб ва ноқулайдир. Бундай
вақтда унинг математик кутилишини қуйидаги теорема ёрдамида жуда осон
топиш мумкин.
Теорема: n та эркли синашда А ҳодиса рўй бериш сонининг математик
кутилиши синашлар сонини ҳар бир синашда ҳодисанинг рўй бериш
эҳтимолига кўпайтирилганига тенг:
М(Х)= nр
Мисол: Тўпдан узилган ўқнинг нишонга тегиш эҳтимоли Р=0,7 га тенг.
Агар нишонга 100 та ўқ отилган бўлса, нишонга тегишлар сонининг
математик кутилиши топилсин.
Ечиш: n =100, р=0,7 бўлганидан М( Х ) = n р=100 =70
Тасодифий миқдор тарқоқлигининг сонли ҳарактеристикасини
киритишнинг мақсадга мувофиқлиги.
Математик кутилишлари бир хил, лекин мумкин бўлган қийматлар ҳар
хил бўлган тасодифий миқдорларни кўрсатиш мумкин.
Қуйидаги тақсимот қонунлари билан берилган Х ва Y дискрет
тасодифий миқдорни кўрайлик.

Бу иккита тасодифий миқдорнинг ҳам математик кутилишлари бир хил,
М(Х)=М(Y)=0 бўлиб, мумкин бўлган қийматлари эса ҳар ҳилдир, бундан
ташкари Х нинг қийматлари унинг математик кутилишига яқин, Y ники эса
анча узоқ. Бундан кўринадики тасодифий миқдорнинг фақатгина математик
кутилишини билган ҳолда унинг қандай қийматлар қабул қилиши
мумкинлигини билиш мукин эмас, шунингдек бу қийматларни математик
кутилиш атрофида қанчалик зич жойлашганини билиш ҳам қийин. Бошқача
айтганда тасодифий миқдорнинг математик кутилиши уни тўлиқ

ҳарактерламайди. Шу сабабли математик кутилиш билан бир қаторда бошқа
сонли ҳарактеристикалар ҳам киритилади ва амалиётда қўлланилади, улар
тасодифий миқдорнинг ўзининг математик кутилишидан четланиши
тушунчасидир.
Тасодифий миқдорнинг ўзининг математик кутилишидан четланиши.
Х тасодифий миқдор берилган бўлиб, М(Х) унинг математик кутилиши
бўлсин. Х-М(Х) янги тасодифий миқдорни қараймиз.
Четланиш деб, тасодифий миқдор билан унинг математик кутилиши
орасидаги айирмага айтилади.
Х дискрет тасодифий миқдорнинг тақсимот қонуни
бўлса, четланишнинг та қсимот қонуни
кўринишда бўлади.
Теорама : Четланишнинг математик кутилиши нолга тенг, яъни
М(Х-М(Х))=0
Исбот: Ҳақиқатан
М(Х-М(Х))=М(Х)-М[( X )]= M ( X )- M ( X )=0
Дискрет тасодифий миқдорнинг дисперсияси ва унинг хоссалари.
Амалиётда масалар ечишда тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган
қийматларини унинг ўртача қиймат атрофида тарқоқлигани баҳолаш талаб
қилинади, масалан ерга тушаётган космик кеманинг мўлжалга тушишида
мўлжалдан қанча четланишини билиш муҳимдир. Тарқоқликни баҳолаш
учун тасодифий миқдор четланиши ярамайди, чунки М(Х-М(Х))=0 албатта
бу мақсадда четланишнинг абсалю қийматидан фойдаланиш мумкин ёки
унинг квадратини ўртачасидан фойдаланиш мумкин. Амалиётда четланиш
квадратнинг ўртачаси топилади ва уни тасодифий миқдорнинг дисперсияси
дейилади.
Дискрет тасодифий миқдорнинг дисперсияси деб, тасодифий
миқдорнинг ўзининг математик кутилишидан четланиши квадратнинг
математик кутилишига айтилади.

Д(Х)=М[X-M(X)] 2
Агар дискрет тасодифий миқдор ўзининг тақсимот қонуни билан
берилган бўлса, яъни
бу вақтда четланиш квадрати қуйидаги тақсимот
қонунига эга бўлади.
Бу вақтда Д(Х)= М( X-M(X)) 2
=( х
1 -M(X)) 2
Р
1+ ( х
2 -M(X)) 2
Р
2 +…+( х
n -M(X)) 2
P
n
Тасодифий миқдорнинг дисперсия си қуйидаги ҳоссаларга эга:
1. Ўзгармас миқдорнинг дисперсияси нолга тенг:
Д(С)=0
Ҳақиқатан Д( С ) =М(С-М(С)) 2
=М(С-С) 2
=М(О)=0
2 . Ўзгармасни дисперсиядан квадратга кўтариб чиқариш мумкин, яъни
Д(СХ)=С 2
Д(Х)
3 . Иккита эркли тасодифий миыдорнинг дисперсияси шу тасодифий
ми қ дорлар дисперсиясининг йи ғ индисига тенг:
Д(Х + Y )=Д(Х) + Д( Y )
Натижа.
Д(Х- Y )=Д(Х)+Д( Y ), Д(С+Х)=Д(Х).

Дисперсияни хисоблаш формуласи.
Эркли синашларда ходиса рўй бериш сонининг дисперсияси.
Теорема. Дисперсия Х тасодифий миқдор квадратининг математик
кутилишидан Хнинг математик кутилиши квадратини айирилганига тенг:

Д(Х) =М(Х 2
)-[ М(Х) ] 2
Ҳақиқатан Д(Х) =М(Х-М(Х)) 2
=М )-[Х 2
-2*М(Х)+М 2
(Х)]=М(Х 2
)-
-2М(Х)М(Х)+М 2
(Х)=М(Х 2
)-М 2
(Х)
Мисол. Қуйидаги тақсимот қонун билан берилган дискрет тасодифий
миқдорнинг дисперсиясини топинг:
Х 1 3 5
Р 0,2 0,3 0,5
Ечиш. Берилган Х тасодифни миқдорнинг дисперсиясини, дисперсия
таърифига асосан ва келтириб чиқарилган формула ёрдамида топамиз:
1. Д(Х)ни таърифга асосан ҳисоблаймиз, бунинг учун Х тасодифий
миқдорни математик кутилишини топамиз ва (Х-М(Х)) 2
тасодифни
миқдорнинг тақсимот қонуни тузамиз:
М(Х) = 1*0,2 +3*0,3+5*0,5=0,2+0,9+2,5=3,6
Д(Х) =(1-3,6) 2
*0,2+(3-3,6) 2
0,3+(5-3,6) 2
=6,76*0,2+0,36*0,3+1,96*0,5=
=1,352+0,108+0,98=2,44
2. Энди Д(Х)ни чиқарилган формула бўйича ҳисоблаймиз; бунинг учун
М(Х 2
) ни ҳисоблаймиз.

Д(Х)=М(Х 2
)-(М(Х)) 2
=15,4-12,96=2,44
Агар А ходиса устида n та эркли синов ўтказилаётган бўлиб, ҳар бир
синовда ходисанинг рўй беришлар сонини Х тасодифи миқдор бўлса, унинг
дисперсиясини қуйидаги теорема ёрдамида топиш мумкин:
Теорема : n та эркли синовда А ҳодиса рўй беришлар сонининг
дисперсияси синашлар сонининг ҳар бир синашда ходисанинг рўй бериш ва
рўй бермаслик эҳтимолларининг кўпайтмасига тенг:

Tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari

Sotib olish