Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	4.3MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’ LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.02 -guruh talabasi
qizi ning
Analitik geometriya fanidan
“ Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati ”
mavzusida tayyorlagan
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari:
Farg‘ ona- 2025

REJA:

I . KIRISH………………………………………………………………………….3
II. ASOSIY QISM………..…………………………………………………...........5
2.1. Tekisliklarning umumiy tenglamasini tekshirish…...…………………………..5
2.2. Fazoda to’g’ri chiziq…………………………………………………………...15
2.3. Tekisliklarning o’zaro vaziyati………………………………………………...21
2.4. Fazoda to’g’ri chiziq bilan tekislikni o’zaro vaziyati……………………….....29
III. XULOSA………………………………………………………………………33
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………..……………..34

2

KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan,
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak,
vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va
millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz
prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat
nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish
salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati
bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan
ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday
islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi.
Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda
oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda
jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga
oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi
avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis
kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab
yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina
chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan
aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil
3

davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi
mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini
yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk
barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va
tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z,
katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat
va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir.Ta’lim-tarbiya jarayonini
to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish
o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi. Matematika fani o‘sib
kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng
imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi,
uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash,
topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning
to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab
boradi.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriya fanining ba’zi bir
tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o‘rganish va
Geometriya kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash.
Kurs ishi tarkibi: Ushbu kurs ishi kirish, beshta paragraf, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib, 30 sahifani tashkil qiladi.

4

ASOSIY QISM
2.1. Tekislikning umumiy tenglamasini tekshirish
Nokollinear ikki vector va bitta nuqta tekislikning vaziyatini
to‘la aniqlaydi.
nuqtani olaylik. U holda vektor
vektorlar bilan
komplanar bo‘ladi, demak, bu vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lib, bundan ularning
kordinatalaridan tuzilgan uchinchi tartibli determinant nolga teng bo‘lishi kelib
chiqadi (1-chizma), shuni koordinatalarda yozaylik.

1-chizma.
(2.1.1)
bo‘lsin ning koordinatalarini deb belgilasak,
bo‘lib, quyidagi tenglama hosil bo‘ladi:
Aksincha, (2.1.2) shart bajarilsa, nuqta albatta tekislikka tegishli
bo‘ladi.Demak, (2.1.2) ning tenglamasi. Bu tenglama berilgan nuqtadan o‘tib,
berilgan (nokollinear) ikki vektorga parallel bo‘lgan tekislikning tenglamasi deb
yuritiladi.
5

Bundan tashqari vektorlar bir tekislikda yotgani uchun ular
chiziqli bog‘liqdir, ya`ni
(2.1.3)
Bu yerda sonlar parametrlardir. (2.1.3) dan
(2.1.4)
(2.1.4) tekislikning parametrik tenglamalari deb ataladi ( va ga
istalgan qiymat berib, tekislikning shu parametrlarga mos nuqtalarini topish
mumkin).
Endi (2.1.2) tenglamani quyidagicha yozaylik:
(2.1.5)
bundan
(2.1.6)
(2.1.5) bunda – desak,
(2.17)
tenglama hosil bo‘ladi. (2.1.2) (2.1.7) bo‘lgani uchun (2.1.7) ham tekislikning
tenglamasidir. (2.1.6) da larning kamida bittasi noldan farqli
aks holda b`lsa (2.1.6) dan
bu esa larning berilishiga zid.Shunday
qilib, tekislik affin reperda (2.1.7) chiziqli tenglama bilan ifodalanadi.Bu
xulosaning teskarisi ham o‘rinlidir, ya`ni (2.1.7) ko‘rinishdagi har qanday chiziqli
tenglama fazodagi biror affin reperga nisbatan tekislikni aniqlaydi
Haqiqatan, tenglama biror affin
reperda biror nuqtalar to‘plamini aniqlasin.Uch o‘zgaruvchini bog‘lagan bu
6

tenglamaning yechimi cheksiz ko‘pdir, ularning biri bo‘lsa , u holda
, bundan va (2.1.7) dan – tekislik
tenglanasidir.(2.1.7) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deb ataladi.
Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqta tekislikning vaziyatini to‘la
aniqlaydi. Shu ma`lumotlarga ko‘ra uning tenglamasini tuzaylik. Berilgan nuqtalar
, , bo‘lsin. Biz , ,
desak, hamda , ni e`tiborga
olsak, (2.1.2) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:
(2.1.8)
Uch nuqtadan o‘tuvchi tekislikning tenglamasi shudir.
Agar tekislik koordinatalar boshidan o‘tmasa, u o‘qlarni uchta
, , nuqtada kesadi, bu yerda tekislikning
shu o‘qlardan ajratgan kesmalaridir. Bunga (2.1.8) ko‘rinishli tenglamani tatbiq
qilamiz:
Bundan (2.1.9)
bu tenglama tekislikning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari bo‘yicha
tenglamasi deb ataladi.
1-misol. Tekislik
nuqtadan o‘tib, vektorlarga
parallel bo‘lsin. Shu tekislikning parametrik va umumiy tenglamlarini tuzing.
Yechish: Berilganlarni (4) ko‘rinishdagi parametrik tenglama bilan
solishtirsak,
7

, , , , , , , , ; bularni (2.1.4)
tenglamaga qo‘yamiz:
, , .
Endi tekislikning (2.1.2) ko‘rinishdagi tenglamasini yozayli:
Bundan
yoki
2-misol. tetraedr berilgan. uchni koordinatalar boshi hamda ,
, deb olib, va tekisliklar tenglamalarini tuzing (bunda
nuqta qirraning o‘rtasi) (2-chizma).
Yechish: Berilishiga ko‘ra bo‘lib
tetraedrning uchlari va nuqta bu reperga nisbatan quyidagi koordinatalarga ega:
, , , , ,
u holda tekislikning tenglamasi (2.1.8) ga asosan
8

2-chizma.
Shuning singari ning tenglamasini tuzamiz:
3-misol. Tekislik (2.1.2) yoki (2.1.7) tenglama bilan vector
koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa, vektorning tekislikka parallelik shartini
toping.
Yechish:
.
Bu determinantni birinchi yo‘l elmentlari bo‘yicha yoysak va (2.1.6) ni e`tiborga
olsak,
(2.1.10)
Bu izlangan shartdir.
Biz yuqorida tenglamani tekislikning umumiy
tenglamasi deb atadik hamda parametrlarning tayin qiymatlarida bu
tenglama tayin tekislikni ifodalashini ko‘rdik.
Endi ba`zi xususiy hollarini ko‘rib chiqaylik.
1) – tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi (3-chizma).
2) – bu tekislik (2.1.10) ga asosan
vektorga parallel bo‘ladi, demak, o‘qqa ham parallel (4-chizma).
9

3-chizma.
4-chizma.
Shunga o‘xshash (2.1.7) da da (yoki ) bo‘lsa, tekislik o‘qqa
(yoki o‘qqa) paraleldir. Bundan quyidagi umumiy xulosa kelib chiqadi:
tekislikning umumiy tenglamasida qaysi o‘zgaruvchi qatnashmasa, bu tenglama
10

bilan aniqlanadigan tekislik shu o‘zgaruvchi bilan bir ismli koordinatalar o‘qiga
paralleldir.
3) ,
va tekislik o‘qdan
o‘tadi (5-chizma).
1-misol. Biror affin reperga nisbatan quyidagi tekisliklarning vaziyatini
aniqlang:
a) b)
c) , 3)
Yechish: a) bu yerda , ya`ni 2-hol: tekislik o‘qqa
parallel (6-chizma).
b) , bu yerda tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi (7-
chizma).
5-chizma.
11

6-chizma.
7-chizma.
12

8-chizma.
9-chizma.
13

c) , bu yerda tekislik tekislikka parallel bo‘lib,
absissalar o‘qini musbat yo‘nalishidan 2 birlik kesma kesib o‘tadi (8-chizma).
d) , bu holda bo‘lib, tekislik o‘qdan o‘tadi (9-
chizma).
Eslatma. Agar tekislik tenglamasi berilib, uning biror reperdagi tasvirini
chizish talab qilinsa, umumiy holda quyidagicha ish ko‘riladi: tenglamada uch
nomalum bo‘lgani uchun ularda ikki tasiga ixtiyoriy qiymatlar berish bilan uning
cheksix ko‘p yechimlarini toppish mumkin. Shu yechimlardan ixtiyority uchtasini
olib, koordinatalari shu sonlardan iborat (bu uch nuqta bir to‘g‘ri chiziqda
yotmaydigan qilib olinadi) uchta nuqta yasaymiz.
Tekislik tasvirini chizishda ko‘pincha uning koordinata o‘qlari bilan
kesishgan nuqtalarini topish qulaydir, buning uchun o‘zgaruvchilarning ikkitasiga
nol qiymatlar berib, uchinchi o‘zgaruvchini berilgan tenglamadan topiladi(
shartda).
bo‘lsin. bo‘lgan holda tenglama biror
tekislikni aniqlaydi. Tabiiyki, ga tegishli bo‘lmagan har qanday nuqta uchun
. Ma`lumki, tekislik fazoni, ikki qismga ajratadi, bularning birini ,
ikkinchisini deb belgilaylik.
Teorema. , bo‘lsa, ,
sonlarning ishoralari har xil bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatan, bu vaqtda kesma tekislik bilan biror
nuqtada kesishib, bu nuqata kesmani biror nisbatda ( , chunki
)bo‘ladi, ya`ni
, , .
Lekin Bu tenglikka ni qo‘yamiz:
14

bundan
Yoki
.
Yuqoridagi belgilashimizga asosan:
,
shartga ko‘ra va sonlar har xil ishoralidir.
Bundan quyidagi xulosaga kelamiz: ning biror nuqtasi uchun (yoki )
bo‘lsa, uning qolgan barcha nuqtalari uchun ham (yoki ); uchun ham
shularni aytish mumkin.
Demak, tekislik fazoni ikki yarim fazoga ajratib, shu tekislik tenglamasidagi
o‘zgaruvchilar o‘rniga yarim fazolardan biriga tegishli barcha nuqtalarning
koordinatalarini qo‘yganimizga hosil bo‘ladigan sonlarning ishoralari bir xildir.
Misol: tenglama bilan aniqlanadigan tekislik uchlari
, , nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning
tomonlaridan qaysi birini kesadi?
Yechish:
,
,
.
Bundan ko‘rinadiki, , , bo‘lib, berilgan tekislik
uchburchakning , tomonlari bilan kesishadi.
15

2.2.Fazoda to‘g‘ri chiziq
1.Fazodagi to‘g‘ri chiziq o‘zining nuqtasi va shu chiziqqa parallel biror
bilan to‘la aniqlanadi(10-chizma).
reperda , bo‘sin.To‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy
nuqtasini olaylik:
(2.2.11)
desak hamda ni hisobga olsak, (2.2.11) ni
quyidagicha yozish mumkin:
. (2.2.12)
10-chizma.
(12) tenglama to‘g‘ri chiziqning vektorli tenglamasi deb ataladi, ga har xil
qiymatlar berish bilan to‘g‘ri chiziqqa tegishli nuqtaning radius-vektori topiladi.
va (2.2.11) dan
yoki
(2.2.13)
Bu (2.2.13) tenglamalar sistemasi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalari
deb yuritiladi. – berilgan nuqta, esa ning yo‘naltiruvchi vektori deb ataladi.
Agar bo‘lsa, u holda (2.2.13) , , bulardan
16

.
(2.2.14)
Bu tenglamalar to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalari deb ataladi.
2.To‘g‘ri chiziqning ikki nuqtasi uning fazodagi vaziyatini to‘la aniqlaydi:
faraz etaylik , , nuqtalardan to‘g‘ri chiziq o‘tsin
Oldingi banddagi nuqta o‘rniga va olinsa, (2.2.14) ga asosan:
.
(2.2.15)
Berilgan ikki nuqtadan o‘tgan to‘g‘ri chiziqning tenglamalari (30) dir.
3.Fazodagi har bir to‘g‘ri chiziqni ikki tekislikning kesishish chizig‘i deb
qarash mumkin.Shunga muvofiq,
(2.2.16)
Tenglamalar sistemasi shart bajarilganda to‘g‘ri
chizini aniqlaydi (11-chizma).
To‘g‘ri chiziqning yuqorida ko‘rilgan (2.2.12) – (2.2.15) tenglamalarining
biridan qolganlariga o‘tish mumkin.Lekin u (2.2.16) ko‘rinishdagi tenglamalari
bilan berilsa, kanonik ko‘rinishga bevosita o‘tish mumkin ekanligi ochiqdan-ochiq
ravshan emas.Biz hozr shu masalaga to‘xtalamiz.Kanonik tenglamalarni yozish
uchun to‘g‘ri chiziqning bitta nuqtasi va yo‘naltiruvchi vektorini bilish kerak.
(2.2.16) uch noma`lumli ikki tenglama, demak, o‘zgaruvchilardan biriga, masalan,
ga qiymat berib va hosil qilingan ikki noma`lumli ikkita tenglamani yechib,
, qiymatlarni topamiz (bunda biz deb faraz qildik).Natijada
nuqta (2.2.16) to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘ladi, u holda (2.2.16) ni
quyidagicha yozib olsak bo‘ladi.
17

Bu sistemadan quyidagilarni topamiz:
, , .
Bulardan
.
(2.2.17)
11-chizma.
Agar (2.2.16) tenglamalarni dekart reperida qarasak, vektor
tekislikning vektor tekislikning normal vektori bo‘ladi.(2.2.17)
tenglamalardagi maxrajlarda turgan ifodalar
tekisliklar normal vektorlarining
vector ko‘paytmasining mos koordinatalaridan iborat, ya`ni
1-misol. nuqtadan o‘tadigan va vektorga parallel to‘g‘ri
chiziqning parametrik va kanonik tenglamalarini yozib, uning uchta nuqtasini
toping.
18

Yechish.Bu yerda , , va , , ; tegishli
tenglamalar quyidagi ko‘rinishni oladi:
.
Endi shu to‘g‘ri chiziqning dan tashqari yana ikki nuqtasini topish uchun ga
ikkita qiymat beramiz:
, , , ,
, , , .
Fazoda to‘g‘ri chiziqlar biror affin reperda ushbu parametrik
tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin:

bu yerda , .
Fazoda ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro parallel, kesishuvchi va ayqash bo‘lishi
mumkin.
1. . (2.2.18)
2. ya`ni to‘g‘ri chiziqlar kesishsin. Bu holda bu ikki to‘g‘ri
chiziq bir tekislikka tegishli bo‘lib, vektorlar komplanar, ya`ni
yoki
(2.2.19)
19

(2.2.19) tenglik to‘g‘ri chiziqlarning bir tekislikka tegishlilik shartidir. Agar
(2.2.19) shart bajarilib, (18) bajarilmasa, lar bitta nuqtada kesishadi.
3. va kesishmasa hamda parallel bo‘lmasa, ular ayqash, demak ayqash
ikki to‘g‘ri chiziq uchun
(2.2.20)
to‘g‘ri chiziqlarning dekart reperida qarasak, metrik xarakterli ba`zi
mumuasalalarni hal qilish mumkin.
4.Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak deb, bu to‘g‘ri chiziqlarning
yo‘naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka aytiladi.
Parametrik tenglamalari bilan berilgan to‘g‘ri chiziqlar uchun ,
bu to‘g‘ri chiziqlarning yo‘naltiruvchi vektorlaridir, demak,
(2.2.21)
Burchakning kosinusi ma`lum bo‘lsa, bu burchakni topish osondir.
bo‘lsa, bo‘lib,
(2.2.21) .
(2.2.22)
Bu shart ikki to‘g‘ri chiziqning perpendi kulyarlik shartidir.
5.Fazodagi ayqash ikki to‘g‘ri chiziqning Perpendikulyarini toppish
masalasini qaraylik.Ikki ayqash to‘g‘ri chiziq bitta umumiy perpendikulyarga
egadir. to‘g‘ri chiziqlarning tenglamalari parametrik ko‘rinishda berilgan
bo‘lsin, u holda ularning umumiy perpendikulyarlarining yo‘naltiruvchi vektori
vektordan iborat, vector va to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanadigan
20

tekislikni bilan, vector va to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanadigan tekislikni
bilan belgilasak, bu tekisliklarning kesishmasidan hosil qilingan to‘g‘ri chiziq
izlangan to‘g‘ri chiziqdir.
1-misol. Quyidagi to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro vaziyatini aniqlang:

Yechish. to‘g‘ri chiziqda: , ; to‘g‘ri chiziqda;
, . Endi (2.2.19) shartni tekshiramiz:
demak, bu to‘g‘ri chiziqlar bir tekislikka tegishli.
Fazodagi tayin nuqtadan o‘tgan barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami
markazli to‘g‘ri chiziqlar bog‘lami deb ataladi. markazli bog‘lam ushbu
, ,
Parametrik tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda , , bog‘lamdagi har bir
to‘g‘ri chiziq uchun tayin qiymatlarga ega.
Fazoda nuqtadanfarqli biror nuqta berilsa, shu nuqtadan bog‘lamga
tegishli faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi.
Agar fazoda tayin to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsa, unga parallel barcha to‘g‘ri
chiziqlar to‘plami parallel to‘g‘ri chiziqlar bog‘lami deb ataladi.
2.3.Tekisliklarning o‘zaro vaziyati
Biror affin reperga nisbatan , tekisliklar umumiy
tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin.
21

(2.3.23)
Ikki tekislik yoki to‘g‘ri chiziq orqali keshadi, yoki ular o‘zaro parallel bo‘lib,
umumiy nuqtaga ega emas, yoki ustma-ust tushadi. Bu holning qay biri yuz
berishini bilish uchun , ga tegishli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Avvalo
quyidagi matritsalarni tuzib olamiz:
matritsaning rangini , kengaytirilgan matritsaningrangini esa deb
belgilaylik. Bu yerda quyidagi holler bo‘lishi mumkin.
1. , tekisliklar ustms-ust tushsa, ularning tenglamalarida
, ,
ya`ni
= =1. (2.3.24)
12-chizma.
22

13-chizma.
14-chizma.
Aksincha, (2.3.24) shartlar o‘rinli bo‘lsa, (2.3.23) tenglamalar ekvivalent
bo‘lib, = , demak, = = =1. (12-chizma).
2. , lar har xil, lekin parallel bo‘lsa, u holda (2.3.24)
shartlardanbirinchi uchtasi bajariladi, lekin (13-chizma), bu vaqtda
=2, =1.
23

3. = =2 bo‘lgan holda tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘ladi
boshqacha aytganda, , tekisliklar umumiy nuqtaga ega, demak, ular biror
to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesishadi (14-chizma).
Metrik xarakterli masalalardan biri ikki tekislik orasidagi burchakni topish
masalasidir.
Ikki tekislik kesishganda to‘rtta ikki yoqli burchak hosil bo‘lib, ulardan o‘zaro
vertikal bo‘lganlari teng (15-chizma). Demak, ikkita har xil burchak hosil bo‘lib,
bularning biri ikkinchisini ga to‘ldiradi. Shuning uchun shu ikki burchakdan
birining chiziqli burchagi berilgan tekisliklarning , normal
vektorlari orasidagi burchakka teng bo‘ladi (mos tomonlari o‘zaro perpendikulyar
bo‘lgan burchaklar tengdir).
15-chizma.
, orasidagi burchakni desak,
ˆ (2.3.25)
24

Burchak kosinusi ma`lum bo‘lsa, burchakning o‘zini hisoblash osondir.
Biror affin reperda tekisliklar umumiy tenglama bilan berilgan bo‘lsin.
(2.3.26)

Bu uch tekislikning o‘zaro vaziyatini aniqlash bu tenglamalar sistemasini
tekshirishnni taqozo qiladi. Berilgan tenglamalarning koeffitsientlaridan quyidagi
matritsalarni tuzamiz:

Bu matritsalarning ranglarini mos ravishda , deb belgilaylik. Ravshanki,
, hamda .
Quyidagi hollarni ayrim-ayrim ko‘rib o‘tamiz:
1. , . Bu vaqtda yuqoridagi uchta tenglama birgalikda bo‘lib,
yagona yechimga egadir, demak, berilgan uchta tekislik bitta umumiy nuqtaga ega
(16-chizma).
2. , , matritsalarning ranglari o‘zaro teng bo‘lmagani uchun
berilgan Sistema yechimga ega emas, demak, tekisliklarning uchalasiga tegishli
nuqta mavjud emas. Lekin bu vaqtda quyidagi ikki hol bo‘lishi mumkin.
a) matritsaning ixtiyoriy ikkita satrining elementlari proporsional
emas, u holda uchta tekislikning har ikkitasi kesishib, hosil bo‘lgan uchta to‘g‘ri
chiziq paralleldir (17-chizma).
b) matritsaning tayin ikki satri elementlari proporsional bo‘lsa, shu
satrlarga mos tekisliklar parallel bo‘lib, uchinchi tekislik ularni albatta kesib o‘tadi
(18-chizma).
3. , . Bu vaqtda , matritsalarning faqat ikki satri elementlari
proporsional bo‘lmasda, qolgan bitta satri shu ikki satr elemenlarining chiziqli
25

kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi, demak, uchala tekislik bitta to‘g‘ri chiziq orqali
kesishadi (19-chizma).
4. , . Bu holda sistema birgalikda bo‘lmaydi, demak, , ,
lar umumiy nuqtaga ega emas. Lekin bo;lgani uchun quyidagi xulosani
chiqaramiz: , , dan ikkitasi parallel bo‘lib (umumiy nuqtasiz), uchinchisi
bulardan biri bilan ustma-ust tushadi (19-chizma), yoki ularning uchalasi parallel
(umumiy nuqtasiz) (20-chizma)
16-chizma.
17-chizma.
26

18-chizma.
19-chizma.
27

20-chizma.
21-chizma.
5. , . Bu vaqtda berilgan tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p
yechimga ega bo‘lib, u Sistema faqat bitta chiziqli erkli tenglamadan iborat bo‘lib
qoladi, demak, , , tekisliklarning uchalasi ustma-ust tushib qoladi.
28

Misol. Dekart reperida va tekisliklar
berilgan. Bu tekisliklarning o‘zaro vaziyatini aniqlang hamda ular orasidagi
burchakni hisoblang.
Yechish. Berilgan tenglamalarning koeffitsientlaridan quyidagi matritsalari
tuzamiz:

va .
Demak, berilgan tekisliklar kesishadi.
Endi (2.3.25) formula bo‘yicha shu tekisliklar orasidagi burchakni topaylik:
, ;
Misol. Affin reperda berilgan
Tekisliklarning o‘zaro vaziyatini aniqlang hamda ularning kesishmasini toping.
Yechish.

Matritsalarni tuzib, ularning ranglarini hisoblaylik:
29

demak, .Yuqorida ko‘rilgan 1-holga asosan bu tekisliklar bitta nuqtada
kesishadi. Shu nuqtani topaylik, uning uchun (*) sistemani yechamiz.Sistemadagi
birinchi va ikkinchi tenglamalarni qo‘shsak,
,
U holda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga ni qo‘ysak,
,
.
Bundan Tekisliklar nuqtada kesishadi.
Misol. Affin reperda berilgan
Tekisliklarning o‘zaro vaziyatini aniqlang.
Yechish.

Bu matritsalarning ranglarini hisoblasak,
, .
Bundan ko‘rinadiki, bu tekisliklardan ikkitasi, aniqrog‘i , ustma-ust
tushadi, lekin .
2.4.Fazoda to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning o‘zaro vaziyati.
Dekart reperida to‘g‘ri chiziq parametrik tenglamalari bilan, tekislik
umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin:
30

(2.4.27)
(2.4.28) .
Avvalo, to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini topishmasalasiga
to‘xtalaylik: buning uchun berilgan tenglamalarni Sistema deb qarash kerak.
(2.4.27) va (2.4.28) dan
. (2.4.29)
shartda
(2.4.30)
bo‘ladi. ning bu qitmatini (2.4.27) ga qo‘ysak, izlangan nuqta topiladi.Lekin
(2.4.31)
shart bajarilsa, ya`ni bo‘lsa, u to‘g‘ri chiziq ga parallel bo‘ladi.Aksincha,
.
Demak, shart to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning parallelligini
bildiradi.
, (2.4.32)
bu (32) shart to‘g‘ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligini bildiradi.
bo‘lgan hol uchun to‘g‘ri chiziq bilan tekislik o‘zaro vaziyatining xususiy
holidir. Bu vaqtda (31) shart bajarilib, undan tashqari bo‘lishi lozim, ya`ni
. (2.4.33)
Demak, (2.4.31), (2.4.33).
To‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deb, to‘g‘ri chiziq bilan uning
shu tekislikdagi ortogonal proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi (21-chizma).
Biz deb faraz qilamiz.
31

21-chizmadan ko‘rinadiki, ning o‘rniga ˄ burchakni qabul qilish
mumkin. Bu burchak ga yoki ga teng. Demak, ,
, shuning uchun
(2.4.34)
Misol. Ushbu
To‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini toping.
Yechish. To‘g‘ri chiziq tenglamalaridagi ning qiymatlarini tekislik
tenglamasiga qo‘yamiz:
yoki .
U holda , , ; izlangan nuqta
Misol. to‘g‘ri chiziq bilan tekislik
orasidagi burchakni toping.
Yechish. , ,
Misol. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan
masofani toping.
32

Yechish. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani topish uchun
quyidagicha oson hal qilish mumkin:
a)berilgan nuqtadan o‘tib, berigan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar tekislik
tenglamasi tuziladi;
b)shu tekislik bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kesishgan nuqtasi topiladi;
c)bu topilgan nuqta bilan berilgan nuqta orasidagi masofa topiladi.
Shu yo‘sinda masalani yechamiz.
a) nuqtadan o‘tib, vektorga perpendikulyar tekislikning
tenglamasini tuzamiz:
yoki
b)berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini parametric ko‘rinishda yozamiz:
, va bularni (*) tenglamaga qo‘yamiz:
nuqta to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning
kesishgan nuqtasidir.
.
33

XULOSA
Kurs ishimning birinchi rejasi tekislikka bag‘ishlangan bo‘lib, bu rejada
tekislik haqida to‘liq ma`lumotlar berilgan.
Kurs ishimning birinchi rejasini tayyorlash jarayonida turli xil analitik
geometriyaga oid kitoblarni qidirib, ulardan keng foydalangan holda yozib
chiqdim. Bundan tashqari “Analitik geometriya” fani ma’ruza va amaliy
mashg‘ulotlarga darsdan tashqari vaqtlarimda shu bobdagi mavzularga oid yangi
qo‘shimcha misol va masalalar ishlashga harakat qildim.
Kurs ishining ikkinchi rejasi to‘g‘ri chiziqlarga bag‘ishlangan bo‘lib, fazoda
to‘g‘ri chiziqlarga oid ma`lumotlar kiritilgan.
Kurs ishining uchinchi rejasi Tekisliklarning o‘zaro vaziyatiga bag‘ishlangan.
Kurs ishining uchinchi rejasini tayyorlash jarayonida turli xil analitik geometriyaga
oid kitoblarni qidirib, ulardan keng foydalangan holda yozib chiqdim.
Kurs ishining to‘rtinchi rejasi Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro
vaziyatlariga bag‘ishlangan. Kurs ishining to‘rtinchi rejasini tayyorlash jarayonida
turli xil analitik geometriyaga oid kitoblarni qidirib, ulardan keng foydalangan holda
yozib chiqdim.
Xulosa qiladigan bo‘lsam, matematikaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda
unda yangidan yangi, qiziqarli ma`lumotlarga duch kelamiz, ularni o‘quvchilarga
yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga
bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish, undagi o‘ziga xos
xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha
ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim. Malakasini, tajribasini
muntazam oshirib borishi kerak. Zamon bilan ham nafas bo‘lishi ham bugungi kun
talabi. Shunday ekan biz bo‘lajak pedagoglar o‘qituvchilik sharafliligi bilan bir
qatorda ma`suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda, vaqtimiz, imkonimizborida
o‘qib o‘rganib olishimiz kerak. Zero, kelajak bizning qo‘limizda,olg‘a studentlar!
34

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent . “O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati” 2020 yil , 176 bet.
2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent.
“Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet.
3. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to‘plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet.
4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Физматлит», 2004
yil , 232 стр. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”,
T.1995 ,
5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995
6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli
algebra. Toshkent . “ O ‘ qituvchi ” 1993 y
7. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М .
« Физматлит », 2016 г , 241 стр .
8 . Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami.
Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet.
9. Izu Vaisman . Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year,
297 p.
13. http://www.arki.ru/magaz
14. http://www.lib.ru
15. http://www.bilimdon.uz
16. http://www.istedod.uz

35

Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati

Sotib olish