Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	40000UZS
Hajmi	612.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	08 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

22 Sotish

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash

Sotib olish

MUNDARIJA:
I.KIRISH … …… … ……… … …… …… ……… … …… …… ……… … … … 3
II . ASO S IY QISM
2.1. Tekislikda tog’ r i chiziqlar… … …… … ……… … …… …… …………...4
2.2. T e kislikda tog ’ ri chiziq t e ngl a malari……… … …… …… ……… … ….8
2.3. Tekislikda d e ka r t koordinat a lar siste m asini almashti r ish … …………. . 11
2.4. Tekislikda a lm a shtirishlar yordamid a funksiya grafigini y a sash … …...14
3. Mav z uga doir m isollar …… … …… … ……… … …… …… ……… … …17
III.XU L OSA …… … ……… … …… …… ……… … …… …… ……… … …..24
IV . F O YDALANI L GAN ADA B IYOT L AR …… … …… …… ……… … …25
2

KIRI S H
Tekislik — g e om e t r iy a ning a sosiy tushunch a la r id a n biri. G e o m et r iy a da T e kislik,
odatda, taʼri f lanm a ydig a n (ya ʼ ni nuqta, to ʻ gʻ r i chi z iq k a bi) boshl a ngʻich tushunch a
hisobl a nib, uning xususiy a tla r i bilvosit a geo m et r iya aksio m ala r i bil a n ifod a l a n a di .
Mas a l a n, ikki nuqt a si biro r t e kislikda yotgan to ʻ gʻ r i c hiziqning oʻ z i ham shu t e kislikda
yot a di; bir toʻgʻri c hiziqda yotmagan uchta nuqta o r q a li bitt a tekislik o ʻ t a di; fazoda
be r ilg a n ikki nuqtad a n teng uzoklikda turgan nuqt a lar toʻpla m i T e kislik boʻladi.
Oxi r gi a ksioma m a sofa tushunchasiga asosl a ngan bo ʻ lib, N.I.Loba c h e vskiy uni
T e kislikning t a ʼri f i si f atida qabul qilgan. G.V.L e ybnits T e kislikni ikkita kongruent
ajr a tish mu m kin boʻlgan si r t deb taʼrifl a gan. Am m o bu xossa T e kislikni toʻla
aniqlam a ydi, c hunki yasov c hisi sinusoida yoki arrasi m on munt a zam ch e ksiz siniq chiziq
bo ʻ lg a n silind r ik sirt ham shund a y kongruent qis m la r ga bo ʻ lin a di.
T e kislikda yotuvchi nuqta ol a ylik , be r ilgan ikkita nuqtad a n t e kislikdan oling a n
nuqtaga c ha bo ’ lgan masof a la r ni topa m iz va tenglaymiz . Natijada tegishli b e lgilashlarni
ishlatib quyidagi tenglam a ga kelamiz :
Ax+ By+ Cz+ D = 0
Hayotimi z ning ha r bir l a hz a si tekislikla r bil a n bog ’ lik . B iz ustida yur a dig a n ye r
ham t e kislikka misol bo ’ ladi .Geom e triyaning dey a rli barch a tushun c halari t e kislik
yo r d a mida beril a di . Men i z l a nish olib bo r ayotg a n ku r s ishi “ T ekislikl a rning o’ z aro
va z iyati” ham katta a ha m iyatga e ga . Bu m av z u r e jalar yo r da m ida to ’ liq bayon etilg a n
3

2.1. Tekislik d a t o’g ’ ri chiziqlar
To’g’ri c hiziqning umumiy tenglamasi
Tekislikda Ox y Dek a rt koo r din a t a lar sistem a si ki r itilg a n bo’lsin. Aga r
tekislikda bi r or
l to ’ gri c hi z iq be r ilg a n bo’lsa, unda yotgan nuqtalar koo r din a t a l a ri
bi r in c hi daraj a li
A x + B y + C = 0 tenglam a ni qano a tlanti r ishini ko ’ rs a t a miz .
T e kislikd a y a ngi
O 'x'y' koordin a talar sist e masini shunday ki r it a mizki to ’ gri chi z iq
abtsissa o’qi bil a n ust m a -ust tushsin. Y a ngi
O 'x'y' koo r din a talar sist e masida to ’ g r i
chiziqdagi nuqtal a rning koo r din a t a la r i y  = 0 tengla m ani qano a tl a nti r adi.

(2.1.1- c hi z ma)
Biz
O 'x'y' koordinatalar sistem a sid a n e ski Ox y koordinatal a r sistem a siga o ’ ts a k
yuqorid a gi tenglama
A x + B y + C = 0 ko ’ rinishga e ga bo’l a di. B u ye r da koeffisi e ntl ar
quyid a gi munosab a tni qanoatl a ntir a di:
A 2+ B 2  0
Teskari m a sala qo’ya m iz, ya ’ ni be r ilg a n tenglam a ga
A x + B y + C = 0 ko’ra
to ’ g r i chi z iqni aniql a ymiz.
Koo r din a t a la r i
A x + B y + C = 0 t e ngla m ani q a noatl a ntiruvchi M (x0,y0)
nuqtani olamiz. Aga r
l bil a n M (x0,y0) nuqt a d a n o ’ tuvchi va n = {A ,B } v e kto r g a
pe r p e ndikulyar to’g ’ ri chi z iqni b e lgilas a k,
M (x,y) nuqta to ’ g’ri c hiziqqa tegishli
bo ’ lishi uchun
M 0M v e ktor n = {A ,B } v e kto r ga ortogon a l bo ’ lishi za r ur va et a rlidir.
Ortogon a llik sha r tini sk a lyar ko ’ p a ytma o r qali yo z s a k

A x + B y + C = 0 (2.1.1)
4

tenglam a ni hosil qilamiz. Bu t e nglama to’g’ri c hi z iqning u m umiy t e ngl a masi
d e yil a di. Ag a r (2 . 1.1) tenglam a da A = 0 bo’lsa , (2.1 . 1) tenglama Ox o ’ qiga pa r all e l
to ’ g’ r i c hi z iqni,
B = 0 va C = 0 bo ’ lg a n holla r da m os ravishda O y o ’ qiga pa r allel va
koo r din a ta boshidan o’tuv c hi to ’ g’ r i c hi z iqlarni ola m iz. Bi z ga be r ilg a n (2 . 1.1)
tenglam a ning hamm a ko e ffisientlari nold a n fa r qli bo ’ lsa, t e ngl a mani
+ =

− −
(2.1.2)
+
b
=
(2.1.3)
ko ’ rinishga k e ltir a miz. Bu t e ngla m a to’g ’ ri chi z iqning k e s m alard a gi t e ngla m asi
d e yil a di. B u holda to ’ g’ r i c hiziq koo r din a ta boshidan o ’ tm a ydi va koo r din a t a o ’ qla r id a n
katt a likla r i mos r a vishda
a va b larga t e ng bo’lg a n kes m al a rni aj r at a di. B u tenglam a
to ’ g’ r i c hi z iqni c hi z ish uchun qul a ydir.

(2.1.2- c hi zm a)
To ’ g’ri c hiziqning kanonik tenglamasi
To’g’ r i chiziqqa parall e l ha r qanday vektor to’g’ri c hi z iqning
yo ’ n a lti r uvchi v e kto r i deyiladi.Aga r to ’ g ’ ri c hiziqning bitta nuqt a si va yo ’ naltiruvchi
v e kto r i berilg a n bo ’ lsa,uning t e ngla m asini tu z ish m a salasini qaraylik . Agar
a = {l,m }
yo ’ n a lti r uvchi v e kto r bo ’ lib,
M (x0,y0) nuqta to ’ g’ r i chi z iqqa tegishli bo’lsa, to ’ g’ r i
5
B B B
B ko ’ rinishda yo z ib va
C
a =
−
A
,
b
C
−
=
belgil a shl a r kiritib, uni

a
x y
1
C
a =
−
A
,
b
C
−
=
belgil a shl a r kiritib, uni

a
x y
1
x y
1 C C

A B

chiziqning har bir M (x,y) nuqt a si u c hun M 0M v e ktor a = {l,m } v e kto r ga kollin e ar
bo ’ lishi ke r ak . Kollinearlik shartini yozs a k quyidagi tengl a mani ol a miz:

x x
0
y y
0
(2.1.3- c hi z ma)
Yuqo r id a gi (2 . 1.4 ) t e ngl a maning o ’ ng va c h a p tomonl a rini
t bil a n
belgilas a k quyid a gi parametrik tenglam a l a rni ola m iz:

x = x0+ lt,y = y0+ m t
Agar a bssissa o ’ qig a p a rall e l bo’lm a gan
L to ’ g’ r i c hiziq O X o ’ qini
A
nuqt a da kesib o ’ tsa , abssissa o ’ qi bil a n to’g’ri c hiziq or a sid a gi bu r ch a kni  bil a n
belgilay m iz. B ur c h a k
 y a gona r avishda tanlanishi uchun to ’ g’ri c hiziqning bi r orta
yo ’ n a lti r uvchi
a = {l,m } v e ktorini t a nl a b burchakni O X o ’ qid a n yo’n a ltiruv c hi
v e kto r ga soat m ili yo ’ n a lishiga q a rshi yo’nalishda hisoblaymiz.Bu bur c h a kning
tang e nsini
k bil a n belgil a s a k
m

k =
l

tenglikni hosil qilamiz. To’g ’ ri c hi z iqning bi r o r ta
M (x0,y0) nuqtasini
bilsak , uning t e ngla m asini

y −y0= k(x −x0) (2.1.5)
6
l m l m
− −
=
(2.1.4)
Bu tengl a ma to’g ’ ri c hiziqning kanonik tenglam a si deyil a di.

ko’ r inishda yoza ola m iz. To ’ g’ri c hi z iqlar or a sid a gi bu r ch a kni hisoblash
for m ulal a rini k e lti r ib chiqa r a m iz. Agar L1 va L2 to ’ g’ r i chi z iqlar

A 1x + B 1y + C 1= 0 va A 2x + B 2y + C 2= 0
tenglam a lar bilan be r ilg a n bo’lsa, ular or a sid a gi bur c hak ula r ning
n1= {A 1,B 1} ,
n2 = {A 2,B 2}
no r mal v e kto r la r i or a sid a gi bur c hakg a tengdir. V e kto r lar or a sid a gi
bu r chak bizga m a’lum bo’lg a n
− −

=
(2.1 . 7)
tenglam a lar bil a n be r ilg a n bo ’ lsa, bu to ’ g ’ ri c hi z iql a r o r asidagi bu r chak, ularning
yo ’ n a lti r uvchi
a1= {l1,m 1} va a2 = {l2,m 2} v e kto r la r i or a sidagi bur c h a kka tengdir. B u
holda ham to ’ g’ri chiziqlar or a sid a gi bur c hak sk a lyar ko ’ p a yt ma yo r da m ida
 =
+

+  +
(2.1.8)
for m ula bil a n hisoblan a di. To ’ g’ri chi z iql a rning pa r all e l yoki pe r p e ndikulya r
bo ’ lishi mos r a vishda ula r ning norm a l vekto r la r i ( a gar ular ( 2.1 . 5) tenglam a lar bilan
be r ilg a n bo ’ ls a ) yoki yo ’ n a lti r uvchi vektorla r ning ( a gar ular ( 2.1 . 7) t e nglam a lar bil a n
be r i lg a n bo ’ ls a ) parallel yoki perpendikulyar bo’lishiga ekviv a l e ntdir. Shuning u c hun

1 1
2 2
7
A B
A
=
B
va
A 1A 2+ B 1B 2= 0 (2.1.9)
tengliklar to ’ g’ r i chi z iqla r ning parall e llik va pe r p e ndikulyarlik sha r tl a ridir.

12 1 2
2 2 2 2

1 2 1 2

cos
ll m m
l l m m

x x y y
l m

x x y y
l m

− −
=
va 2 2
2 2

1 2 1 2
2 2 2 2

1 2 1 2

cos
A A B B
A A B B
 =
+
+  +
(2.1.6)
for m ula bilan hisobl a n a di. Ag a r
L1 va L2 to ’ g’ r i chiziqlar mos r a vishda

1 1
1 1

2.2. Te k islik d a t o ’ g ’ ri c h iziq t englamalari.
Fazoda D e kart koordinatalar sistem a si ki r itilgan v a unda  tekislik
be r ilg a n bo ’ lsin. B u tekislikk a t e gishli nuqt a la r koordinatalari bi r in c hi da r aj a li c hi z iqli
tenglam a ni qanoatl a nti r ishini ko’ r s a ta m iz.

(2.2.1-chi z ma )
Tekislikka tegishli
M 0(x0,y0,z0) nuqtani olib ,  tekislikka
pe r p e ndikulyar bi r o r ta v e kto r ni n bil a n belgilas a k,
M (x,y,z) nuqta  tekislikka
tegishli bo ’ lishi u c hun
M 0M vektorning n vekto r ga pe r p e ndikulyar bo ’ lishiga teng
kuchlidir. D e mak
M (x,y,z) nuqt a ning koo r din a tala r i

A (x −x0)+ B (y −y0)+ C (z−z0)+ D = 0 (2.2.1)
tenglam a ni q a no a tlanti r ishi kerak.Ag a r
D = A x0+ By 0+ Cz 0 belgil a shni
ki r its a k

A x + B y + C z + D = 0
tenglam a ni hosil qil a miz.
Teskari m as a la qo’yamiz:
A x + B y + C z + D = 0 tenglama b e rilgan
bo ’ lsa, koo r din a talari be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlantiruv c hi nuqt a la r to ’ pl a mi t e kislikni
hosil qilishini ko’ r s a tamiz. Koo r dinat a la r i be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlantiruv c hi bi r orta
M 0(x0,y0,z0)
nuqtani olib, M 0(x0,y0,z0) nuqt a dan o ’ tuv c hi va n = {A ,B ,C }
v e kto r ga pe r p e ndikulyar t e kislikni
 bil a n belgil a sak, bu t e kislikdagi nuqt a la r ning
koo r din a t a la r i berilg a n t e nglam a ni q a no a tlantirishini ko’ra m iz . Va a ksin c ha ,
koo r din a t a la r i be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlanti r uvchi nuqt a la r ning har bi r i
 tekislikg a
tegishlidir.

8

Berilgan uchta nuqtadan o’tuvchi tekislik t e nglamasi.
Fazoda bir to ’ g’ r i c hiziqda yot m aydig a n M 1(x1,y1,z1) ,
M 2(x2,y2,z2)
, M 3(x3,y3,z3) nuqtal a r berilg a n bo’lsa,ula r d a n o’tuvchi  t e kislik
tenglam a sini tuz a ylik.

(2.2.2-chizma )
Fazoning
M (x,y,z) nuqt a si  t e kislikka tegishli bo ’ lishi
M 1M ,M 1M 2,M 1M 3
v e kto r larlarning komplanar bo ’ lishig a teng kuchlidir. Bu
v e kto r la r ning a ralash ko ’ p a ytm a si nolga t e ng bo ’ lishini koo r dinat a lar orq a li yo z sak
x x
x x x x y y
y y

y y

z z z
z
z
z

0
T e ngla m ani hosil qil a miz.
Berilgan nuqtadan o’tu v chi va ik k i vektorga parall e l te k islik tenglamasi
Bizga f az oda
M 0(x0,y0,z0) nuqta va nokollin e ar ab, v e kto r lar
be r ilg a n bo ’ lsin. B erilg a n nuqtadan o ’ tuv c hi va
a ,b , vekto r la r ga parall e l  t e kislik
tenglam a sini tuz a ylik.Bu holda
M (x,y,z) nuqta  tekislikka tegishli bo ’ lishi u c hun
M 0M
, a ,b vektorl a rning komplanar bo’lishi za r ur va yetarlidir.

(2.2.3-r a sm)
9
3 1 3 1 3 1
2 1 2 1 2 1
−
−

− =
−

−
−

1 1 1
− − −

Agar a = {a1,a2,a3},b = {b1,b2,b 3} bo ’ lsa, aral a sh ko ’ p a ytmani
koo r din a t a lar orqali yozsak
− 1

2
=
0
tenglam a ni hosil qil a miz .
Bizga d e kart koo r din a t a la r i ki r itilgan fazoda
 va  ikkita t e kislik-
lar m os r avishda quyid a gi tenglam a lar bil a n berilgan bo’lsin :

 :A 1x + B 1y + C 1z+ D 1= 0 ,  :A 2x + B 2y + C 2z + D 2= 0
Bu tekislikl a r o r asidagi bu r ch a k ula r ning no r mal v e kto r la r i o r asidagi
bu r chakka t e ngdir . Ularning
n1= {A 1,B 1,C 1} va n2= {A 2,B 2,C 2} nor m al v e kto r la r i
or a sid a gi burchakning kosinusini

 =
+ +

+ +  + +

for m ula buyich a xisobl a shni bila m iz. T e kislikl a rning pa r allellik sha r ti ula r ning
v e kto r lari pa r alleligiga teng kuchlidir. Shuning u c hun bu shart

1 1 1
2 2 2
10
A B C
A
=
B
=
C

ko ’ rinishda yo z iladi . T e kislikla r ning pe r p e ndikulyarlik sha r ti ula r ning nor m al
v e kto r lari pe r p e ndikuly a rligiga teng ku c hli va

A 1A 2+ B 1B 2+ C 1C 2= 0
ko ’ rinishda yo z il a di.
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos
A A B B C C
A B C A B C

2 3 1
1 0 y y
a

b

− 0
3

z z
a

b

x x
a

b

−

2.3 Te k islik d a de k a r t koordina t alar sist e masini al m ashtirish .
Tekislikd a dek a rt koo r din a t a lar sist e masi berilg a n bo ‘ lib , uni koordinat a la r
boshi O nuqta atro f ida bu r chakka bu r ishni qaraylik.
Tasdiq . Nuqtaning “ eski” va “ y a ngi” koo r din a t a la r i orasid a gi bog ‘ l a nish
= −

= +

tenglam a lar sistem a si bilan aniql a n a di.
Isbot. B ir vekto r d a n ikkin c hisiga qisqa bu r ilish yo ‘ n a lishi soat st r elk a si
yo‘ n a lishiga qarama - qa r shi bo ‘ lsa, bu v e kto r lar o‘ng ikkilik , aks holda c h a p ikkilik
tashkil qil a di d e yil a di. Bazis sif a tida biro r ikkilik tanl a nsa, biz o r ient a tsiya tanl a b oling a n
d e b hisoblaymiz. B izga
{i,j} va {i',j'} o r tonorm a l ba z islar be r ilg a n bo ‘ lsin. Bu
ba z islar yorda m id a kiritilg a n D e ka r t koo r dinatal a r sist e masilarini mos r a vishd a
Ox y va
O 'x'y'
bil a n b e lgilaylik. Nuqt a ning “ e ski” va “yangi” koo r din a talari o r asidagi
bog ‘ l a nishni topa m i z . “Y a ngi» koordinat a lar sistem a si m arkazining « e ski» koo r din a t a
sistem a sid a gi koo r dinat a la r ini
(a,b) bil a n belgil a ylik.
Tekislikda
M nuqta be r ilg a n bo ‘ lib,uning Ox y va O 'x'y' sist e malardagi

(2.3 . 1- c hizma)
koo r din a t a la r i mos r a vishda
(x,y) va (x',y') ju f tlikla r dan ibor a t bo‘lsin.
Biz quyidagi tenglikla r ga e ga bo ‘ l a mi z :

O A = xi+ y j,O 'A = x'i+ y j,O O '= ai+ b j
Har bir v e kto r ni
(i',j') ba z is orq a li ifod a l a sh mumkinligi uchun

i'= a11i+ a12j,j'= a21i+ a22j (2.3 . 1)
11
' ' cos sin
sin cos

x x y
y x y
 
 
' '

munos a batla r ni hosil qilamiz. B u ifodal a rni
O A = O O '+ O 'A ,O A = xi + yj
tenglikla r ga qo ‘ yib

xi + yj = ai+ b j+ a11x'i+ a12x'j+ a21y'i+ a22y'j
tenglikni hosil qila m iz.
Bazis v e kto r l a ri
{i',j'} chi z iqli erkli oil a ni tashkil etg a nligi uchun
yuqorid a gi munos a b a td a n
= + +

= + +
(2.3 . 2)
for m ulal a rni olamiz. Endi
aij koeffitsientlarni topish u c hun ikkita holni qaraymiz.
Birin c hi hol:
{i,j} va {i',j'} ba z islar bir xil orient a tsiyaga ega. B u
holda agar
 bil a n i va i' v e kto r lar o r asidagi burch a kni belgil a s a k, j va j' vektorl ar
or a sid a gi burchak h a m
 ga t e ng bo‘ladi. Yuqo r id a gi ( 2.3 . 1) t e nglikl a rning har ikkalasini
i
va j v e kto r la r ga sk a lyar ko‘paytirib

a11= cos,a12= si n,a21−si n,a22= cos
for m ulal a rni olamiz. Agar
{i,j} va {i',j'} bazislar h a r xil o r i e ntatsiy a ga e ga
bo ‘ lsa,
j va j' v e kto r la r or a sid a gi bur c h a k  − ga t e ng bo ‘ l a di. Bu holda (2 . 3.1 )
tenglikla r ning har bi r ini
i va j vektorlarga skalyar ko‘paytirib

a11= cos,a12= si n,a21−si n,a22= cos
for m ulal a rni hosil qil a miz. Bu fo r mul a larni ( 2.3 . 2) f or m ul a la r ga qo‘yib m os
ravishda quyid a gi ikkita f or m ulalarni ol am iz:
= − +

= + +
(2.3 . 3)
Bu holda o ‘ tish dete r minanti uchun
12 ' '
cos sin
sin cos

x x y a
y x y b
' '
 
 

x a x a y a
y a x a y b
' '
11 21

' '

21 22

 =
a a
=
tenglik o‘rinli.
Ikkinchi holda ba z isla r ning o r i e nt a tsiy a la r i har xil va koo r din a t a la r ni
alm a shtirish formul a lari
 = − +

= + +

ko ‘ rinishda bo‘ladi.

(2.3.2 - vhi z ma)
Bu holda o ‘ tish dete r minanti uchun
 =
a a
= −

tenglik o‘ r inli bo ‘ l a di. De m ak koordinatal a r sistem a sini a lm a shtirg a nimi z d a o‘tish
mat r its a sinig d e ter m in a nti musbat bo ‘ lsa, o r ient a tsiya o‘ z garmaydi. Aga r o ‘ tish
mat r its a sining det er minanti manfiy bo ‘ lsa, o r i e nt a tsiya qarama -q a rshi o r i e nt a tsiyaga
o‘ z garad i.
Ikkit a
D va Q t e kislikni qaraylik. D t e kislikda to ‘ g‘ri bu r chakli
koo r din a t a lar sistem a si hamda
Q tekislikd a O o1'o2' koo r din a t a lar sist e masi be r ilg a n
bo ‘ lsin.
D va Q tekisliklar ustma-ust k e lti r ilishi m u m kin. S huningd e k, koo r din a t a la r
sistem a la r i ham ust m a-ust keltirilishi m u m kin.
13
21 22
11 12 a a
1

' ' 
cos sin
sin cos

x x y a
y x y b
' '
 
 

21 22
11 12 a a
1

2.4 . Tekislik d a fun k si y alar n ing g r afikla r ini yasash .
Quyid a gi jadvalda funksiyal a rning kanonik t e nglam a lariga m os k e luvchi
grafikla r ining qanday chiziqqa mos kelishini keltirib o’t a miz.

Parabola va uning tenglamasi va uning grafi k lari
Ta’rif. T e kislikd a har bir nuqtasid a n be r ilg a n nuqt a ga c ha va berilgan to ‘ g ‘ r i
chiziqqa c ha bo ‘ lg a n masof a la r i o ‘ zaro t e ng bo ‘ lg a n barcha nuqtalar to ‘ pla m i parabola
d e yil a di. B e rilgan nuqta be r ilgan to ‘ g ‘ ri c hi z iqda yotm a ydi d e b olin a di. Be r ilg a n nuqt a
parabola n i n g fok u si , berilgan to ‘ g ‘ ri c hi z iq e sa parabola n i n g direktrisasi deyiladi .
Parabol a ning fokusi va dir e kt r isasini mos ravishda F va d bil a n, fokusd a n
di r ekt r is a ga c ha bo ‘lgan m a sofani p bil a n belgil a y m iz. Ta’rifdan foyd a lanib p a rabol a
tenglam a sini kelti r ib chiqa r aylik: buning u c hun d e ka r t koordin a talar siste m asini
14 x y
a +
b =
2 2
2 2 0
2 2
2 2 0
2 2
2 2 1

2 2
2 2 1

2 2
2 2 1
K a nonik tenglam a lar Chiziqlarning nomla r i
x y

a
+
b
=
Ellips
x y

a
+
b
= −
Mavhum ellips
x y

a
−
b
= 
Gipe r bola
x y
a −
b =
K e sishuv c hi to ’ g’ r i c hi z iq
Nuqta ( koo r din a ta boshida
kesishuv c hi m a vhum ikki to ‘ g ‘ ri
chiziq)
y2= px
Parabola
y2−a2= 0
Turli parall e l ikki to ’ g’ r i chi z iq
y2+ a2= 0
Mavhum parall e l ikki to ‘ g ‘ r i
chiziq
y2= 0
Ustma-ust tushgan ikki to ‘ g ‘ r i
chiziq

quyid a gi c ha t a nlay m iz: a bssiss a lar o ‘ qi deb F nuqt a d a n o ‘ tuvchiva d to’g ’ ri c hi z iqqa
pe r p e ndikular bo ‘ lg a n to ‘ g ‘ r i chi z iqni q a bul qila m iz, uning m usb a t yo ‘ nalishi chiz m ad a
ko ‘ rs a tilg a ndek bo ‘ lib, abssiss a lar o ‘ qining d to ‘ g ‘ ri c hiziq bilan kesishg a n nuqt a si N
bo ‘ lsin. O r din a t a la r o ‘ qini FN kes m aning o ‘ rtasidan o ‘ tkazamiz. T a nl a ng a n
koo r din a t a lar siste m asida dir e ktrisa t e ngl a m a si
,
2

koo r din a t a ga e ga bo ‘ ladi .

1-rasm
Bund a n
M 1 nuqta pa r abol a ga tegishli. D e mak, y2= px parabola tenglamasi
bo ‘ lib, parabola n i n g ka n o n ik te n gla m asi d e yil a di.
Para b ola n i n g s h akli. Parabol a ning sh a klini uning
y2= px tenglam a siga ko ‘ r a
tekshi r amiz .
y2 0
va p
 0
bo ‘ lg a ni u c hun y2= px tengl a mada x 0 bo ‘ lishi kerak .
Bund a n
y2= px parabol a ning ba r cha nuqt a la r i o ‘ ng ya r im tekislikda
joylashganligi kelib c hiq a di;
x= 0
da y2= px tengl a m a da y= 0 , bundan e sa par a bola koordin a talar boshidan
o ‘ tishi kelib c hiqadi. Koo r din a t a lar boshi parabolani n g uc h i d e yil a di.
x ning har bir
x 0 qiym a tiga y ning ishor a la r i qara m a - qarshi , a mm o a bsolyut
miqdor- lari t e ng bo ‘ lgan ikki qiy m ati mos k e l a di. B und a n parabol a ning Ox o ‘ qq a
nisbatan simm e t r ik joyl a shg a nligi aniql a n a di. Ox o ‘ q parabola n ing simm e tri y a o ‘ qi
d e yil a di. U shu bil a n bir v a qtda parabola n ing f okal o ‘ qi h a mdi r .

y2= px tenglikdan y=  2px . Bu tengl a madan ko ‘ r inadiki, x ortib bo r s a
y
ham o r tib bor a di, ya ’ ni x→ + da y → + . Ko ‘ rsatilg a n bu xossal a rga asosl a nib,
parabol a ning sh a klini 2- chiz m ad a gidek t a xmin qilish mumkin.
15
 p  




p
x= − F
fokus esa ;0
2

2- c hi z ma .
Parabolaning tengl a masini hosil qilish u c hun d e ka r t koo r dinatal a r sistem a sini
maxsus t a nl a dik, ya ’ ni Ox o ‘ qni f okus o r qali dir e kt r isaga perpendikula r qilib o ‘ tka z dik .
Agar dekart koo r din a talar sist e masini boshqacha usulda tanl a sak, a lb a tta, p a r a bol a ning
tenglam a si ham y2= px ko ‘ rinishd a n fa r qli bo ‘ l a di.
Mas a l a n , a gar parabola koo r din a t a lar siste m asiga nisbatan 3 - chizm a da
ko ‘ rs a tilg a ndek joyl a shg a n bo ‘ lsa , uning tengl a masi
x2= 2py ko ‘ r inishda bo ‘ l a di .
3- c hi z ma .
4- va 5- c hizm a la r da t a svi r l a ng a n pa r abol a ning t e ngla m al a ri mos r a vishda
y2= −2px
va x2= −2py ko ‘ rinishda bo ‘ ladi .
4- c hi z ma .
5- c hi z ma .
16

3. Mavz u ga d oir misollar.
1-misol .
 =O,e
1,e 2 a f fiin sistem a ga nisbat a n A ( 2,1) va V(-3/2,3) be r ilg a n. Koedin a tala r
boshi O’(0 , 1) nuqt a da bo ’ lgan shund a y
'=O,e1,e2 a f fin sistem a ni topingki,und a
A(1,0) va V(0 , 1) bo ’ lsin.
Y echish: Y a ngi bazaning vekto r la r i:
e1=O 'A=(2,1)−(0,1)=(2,0)

e =O V = −
2
− = −
2

Dem a k, yangi affin sist e m:
Boshi:
O'(0,1)
Baza vektorl a ri:
e1' =(2,0) , e2' ( 3 ,2)

2-misol .
 =

0 , i , j  dek a rt sistem a ga nisbatan A ( 8
,-1/2) va M ( x,y) nuqtalar berilgan.

Kordinata o’qla r i kordin a t a lar bur c h a gi biss e kt r isalari bilan a lmashti r ilg a nda ,
shu nuqtala r ning ko r din a t a larini toping.
Yechish:
A( 8,−1/2)vaM (x,y) Koo r dinat a lar o’qla r i bu r chak biss e kt r isalari bil a n
alm a shtiril a di. B u bu r ilish
45 o bu r ch a k ostida bo’ladi.
(dem a k bu r ilish bur c h a gi:
45
4

y = x + y
A nuqataning y a ngi koo r dinat a la r i:
x= 8, 1

'
1 1 1

' 1 1 1

M (x,y)
nuqtani ham xuddi shu f or m ula orq a li y a ngi sistem a ga o’tka z ish mumkin.
17
( 8 ) (2 2 0,5) y =
2
−
2
=
2
−
( 8 ) ( 2 2 0 , 5 )
x =
2 +
2 =
2 +
y = −
2
x = x−y' 1
( )
2
o 
 =
)
Bu r ilish f or m ul a si:
' 1 ( ),

= −
2
2 2
' 3 3 ' ( ,3) (0,1) ( ,2)

'

3-misol .
U c hl a ri A ( 6, 
),B(10 ,  ) nuqtalarda joyl a shg a n uchbu r ch a kning
  

Qutb koordinatala r d a n to ’ g’ri koo r dinat a l a rga o’tish:
Formulalar:
x=r*cos() , y=r*sin ()
Hisoblaymiz:
: 6cos ( )


=
, 10sin ( )


=

K e yin uchbur c hak yuzini topa m i z : 1
* 1( 2 3) 2( 3 1) 3( 1 2)

4-misol .
Qutubga nisbatan M(3,

),N(7,  ),A(4,- 
) nuqt a la r ga sim e trik
   

−

Simm e t r ik nuqtal a rni topamiz: Qutb koo r din a t a sida nuqtaning simm e t r igini olish
for m ulasi:
(r,)→ (r,+)
Har bir nuqt a ning simmet r ikini yoza m i z :
':(3, ) (3,5

)

M
4 4

B
6 )
18 '
( 6 , 11


  + =

':(4,2

)

A
3

  + =

':(7, ) (7 ,3

)

N
2 2

, 7, , 4, , 6, ) M (
4
)N(
2
)A(
3
)B(
6
bo ’ lg a n nuqt a la r ning qutub qordinat a la r ini toping.
Yechish: Qutb koordinatal a rida nuqtal a r:
3, 5

6 3 2 4
6 3 2 4
 ),B(6, 5
S=
2
x y −y +x y −y +x y −y
y
12
C x
12 = , 8sin (7 ) : 8cos ( 7 )

y
4
B x
4
: 10cos ( ) 
=
y
12
A x
12 
=

=
, 6 sin ( )
A
12
B
4
C(
12 yuzini hisobl a ng.
Yechish:
B e rilgan: Uchbur c h a kning u c hl a ri qutb koordin a talarid a :
7

(6, ), (10, ), 8, )

 ),C(8, 7
12
12 4 4

5-misol .
A( - 3,5) nuqt a d a n o’tib, p=1,−2 vekto r ga pa r all e l to’ri c hiziq tenglam a sini tu z ing
Yechish: Nuqta:
A(−3,5) , Yo’nalish vektori: p=(1,−2)
To’g’ r i c hiziq tengl a masi(vektorli sh a kld a ):
(x,y)=(−3,5)+t(1,−2)
Param e trik tenglam a :
x=−3+t, y=5−2t
Yoki kanonik sh a klda: 3 5

1 2

6-misol .
Kordinat a la r boshid a n 3x - 2y+17 = 0, 2x + 3y - 6 = 0 to’ri chi z iqlarning k e shishg a n
nuqtasiga c ha bo ’ lg a n m a so f ani toping.
Yechish: To’g ’ ri c hi z iqla r : 1.
3x−2y+17=0 2. 2x+3y−6=0
K e sishg a n nuqtani topa m i z : Sist e m a ni ye c ha m i z :
3x−2y=−17 (1 )

2x+3y=6 (2)
(1 ) v a ( 2) ni ye c hib, k e sishg a n nuqtani top a miz. S o’ngra bu nuqt a d a n koo r din a t a
boshiga c ha m a sof a ni hisobl a ymiz:
d= x2+y2
x y

a
+
b
=
Elipsning ki c hik yarim o ’ qi u c hid a n o ’ tgan v a ta r la r ning o’ r t a
nuqtalarid a n tashkil topg a n figura tengla m asini tu z ing.
Yechish: Ellipsning ki c hik o ’ qi ( y - o’qi) o r qali o ’ tgan ba r cha vatarlarning
o’ r talarini olib, ula r orq a li chi z iq tenglamasi topil a di. Bu g e om e tric o’ r ta nuqtala r
to ’ pla m i bo’lib, ul ar doim chi z iqqa joylashadi. O’ r t a lar c hi z ig ’ I ellips tenglam a sini
para m et r ik ko’rinishda yo z ib, vata r la r ga m os nuqt a la r ni olib, ul a rning o’rtalarini toppish
orqali c hi z iq chiqariladi.
19 7-misol .
2 2

2 2 1

x+ = y−
−

x + y = elipsning 2x - y- 9=0 to ’ ri c hiziq bilan k e shishi nuqt a la r i topilsin.
Yechish: Elips:
K e ltira m i z :
x + x − x + =

x − x+ =  x −x+=

Diskrimin a nt:
D =1166 4−1076 4=90 0 D =30
10 8 30
1 6 9 , 2 3

Javob: ( 6 9 21

,
(3,−3)
va urinm a la r id a n bi r ining
tenglam a si 5x - 6y - 8 = 0 bo ’ lsa , gipe r bola tengl a m a si tu z ilsin.
Yechish: Asi m ptotal a r: 1

Berilgan to ’ g’ r i c hiziq:
5x−6y−8=0
Gipe r bol a ning t e ngl a masi ma r ka z i bu c hi z iqd a n olin a di. To ’ g’ r i chi z iqni u m u m iy
ko ’ rinishga keltira m iz: 5 4

shu c hi z iqda yot a di.
20 Markaz nuqtasini
(x0,y0) deb olsak, giperbola mark az i y=
6
x−
3

s 2 1 y = 
2 x 
x y
a
−
b
=
Dem a k, gip e rbola:
2 2

2
x 9-misol .
Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =
1 9-misol .
Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =1 9-misol .
Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =1 , )
1 3 13 , )
1 3 13 , )
1 3 13
9 , y =
13
− =
13
y
2 =
2 * 3 −
9 = −
3

9 , y =
13
− =
13
y
2 =
2 * 3 −
9 = −
3

x
26
x
13
x x
26
x
13
x 
=  = =

1 2* 69 21

2
13 10 8 24 3 1 13 2 10 8 20 7 0

36

36 36 36 36 1 2 3(4 2 36 81) 36 12 36 12 1 2
4 2
3 6 81
x
+ x − x +
= 36 12 36 12 1 2
( 2 9) 2
x
+ x −
=
(2 x − 9) 2
= 4 x 2
− 36 x + 81

36 12 36 12 1 x + y =
To’g’ri c hi z iq: 2x−y−9=0 y=2x−9
Elipsga qo ’ ya m i z :
2 2
36 12 36 12
1 8-misol .
2 2

Oddiy hol a tda, ag a r mark a z (0,0) bo’lsa, a si m ptotalar 1

1 1

( )4

2 4

x −y =

Shu t e ngl a ma a simptot a la r iga m os k r l a di. Endi uni
(x,y) ni shunday a yl a nti r ib olish
kerakki, ma r ka z i
5x−6y=8 chi z ig’ida bo ’ lsin. Agar ma r ka z ni ( 0 , 4

x− y+

tenglam a :
− =
4

( )

Javob (gipe r bola tenglam a si):
3 1
36 9


) bo ’ lsa ushbu nuqta :
a) X o ’ qiga nisb a t a n akisl a nti r ilsa , yangi ko r din a t a larini toping.
b )
900 ga soat yo’nalishi bo’yi c ha a ylantirilsa ,yangi ko r dinat a la r ini toping.
Yechish: a) x - o’qiga nisbatan a ksl a nti r ils a : 5 7

yangi 6 6

1 1-misol .
R =
e , 0 2 berilgan
Ushbu e g r i chi z iqningi u z unligini toping.
Yechish:
R =e0, d R
e
d
  

= 
+   =
  = 

2

0 22
0
0

21
Elips tenglam a si berilg a n :
2 2

1

9 4

L 2 ed 2 e 2( e 1)

=   = 
 
= −

0 0 0
L e e d 2e d 2  
 =

2 2 2
2 2 2


   =−   =

(radi a nda manfiy bu r ch a k
2 ga qo’shil a di) Javob: (7,7 )
6

6 10- m isol .
Agar nuqta qutub ko r din a t a larida (r,
 )=(7 , 5

2 2
x y+

− =

36 9 36 9
3 1
2 2 4
( 0) ( )
d e b ols a k , d e b ols a k , M −
3
36 9 1
Endi a2=36 d e sa, gipe r bola tenglam a si: 36 9
1
Endi a2=36 d e sa, gipe r bola tenglam a si:
2 2
4 1 6 x y x y x

a a a a a

2 2 2 2 2
2 2 2 2
2

−
− =  − = 
y = 
2 x bo’lishi uchun:

x + y =
Ushbu e lips ma r ka z i (2,- 1) nuqt a ga ko ’ chiring va yangi t e ngla m ani toping .
Yechish: Elips m a rk a zi
(0,0) . Uni (2,−1) nuqtaga ko’ c hi r ish u c hun:
x→ x−2,
y→ y+1
Y a ngi tenglam a :
13- m isol .
To’ri c hiziq : 3x-4y + 5 = 0
Ushbu c hiziqni Dekart ko r din a t a lar ti z imida
900 ga bu r ing y a ngi t e ngl a m a ni
yozing.
Yechish: B u chi z iqni
90o ga ayl a ntira m i z : x '
= − y , y '
= x
Endi tengl a m a dagi
x va y ni a lm a shtira m i z : 3(−y')−4( x')+5=0 3y'−4x'+5=0
Yoki:
4x'+ 3y'=5
14- m isol .
3sin(2 )


− = − +  =−− +



− =−   =− − − =

Yangi tenglama:
3sin(2 )
15- m isol .
M nuqta biror ko r din a t a lar sistem a siga nisbatan x= - 6, y=3 ko r dinat a ga ega .
Kordinata boshi
o1 (-3,0) , o2 (-4,3) nuqtalard a n bi r iga ko’ c hirilsa, shu nuqt a ni n g
ko r dinat a la r i qand a y bo ’ l a di .
Yechish: M nuqta koordin a tasi:
x=−6, y=3
Ko’ c hi r ish nuqtalari:
O1=(−3,0) , O2=(−4,3)
22
y x
4

= −

y x
4 Lekin:
sin( ) sin( ) 3( sin(2 )) 3
y x
4
y x
4 Yechish:
3sin ( 2 ) 3sin ( 2 )
y x
4

= +
funksiy a ni 180 0
ga ayl a nti r ib y a ngi yangi t e ngl a m a ni toping. 9 4
9 4 9 4 1 ( 2) 2
( 1 ) 2
x −
+ y +
= Elips tenglam a si berilg a n :
2 2

1

9 4

1. O1 ga nisb a t a n: x'=x−(−3)=−6+3=−3

y'= y−0=3

 (x',y')=(−3,3)
2.
O2 ga nisb a t a n: x'=x−(−4)=−6+4=−2

y'= y−3=0

 (x',y')=(−2,0)
16- m isol .
Berilgan A ( 1,2 , 3) nuqta va unga parallel bo’lg a n ikkita vektor:
a=(2, - 1,3), b=( - 1,4 , 2)
Ushbu nuqta va vektorga paralel bo’lg a n t e kislik tengl a masini toping.
Yechish: Tekislikd a gi har q a nday nuqta
(x,y,z) :
(x,y,z)= A+s*a+t*b

(x,y,z)=(1,2,3)+s(2,−1,3)+t(−1,4,2)

Param e trik ko ’ rinish:
x=1+2s−t

y=2−s+4t

z=3+3s+2t
Yoki umu m iy tengl a ma uchun:
Norm a l vektor
n=a*b
i j k
a b = − = i − − − j
−
T e kislik tengl a masi:
−14 (x−1)−7(y−2)+7( z−3)=0 −14x−7
23 * 2 1 3 ( 1 * 2 3 * 4) ( 2 * 2)
1 4 2

XULO S A
Ilmiy t a dqiqotla r va olib bo r ilg a n kuzatuvl a r xulosasiga ko‘ra An a litik
g e om e triya ku r sida tekislik va unda koo r din a t a lar sistem a la r ining al m ashishsi h am da
alm a shtirishl a r yordamida funksiyaning garfigini y a s a sh o’rg a nildi. Tekislikd a
alm a shtirishl a r tushun c h a si muhim f undam e nt a l tushun c hala r d a n bo ' lib, f aq a tgin a
an a litik g e om e t r iy a kursida e m as, b a lki m a tem a tik a ning boshq a bo ' limlarida ham muhi m
rol o ' yn a ydi.
Mav z uga doir il m iy maqol a lar, il m iy ishl a r, ad a biyotlar, intern e t ma’lu m otla r i
yig ’ ildi va o’ r ganildi . Tartibga solinib, ma ’ lum k e tma - k e tlikda to’la yoritildi.
Kurs ishining mav z u yuz asidan rej a lar tu z ildi va r e ja a sosida o’ r g a nildi va k e ngroq
yo r itishga xarak a t qilindi. Kurs ishini taj r iba qismi quyidagi r e jalar asosida yo r itishg a
xarak a t qilindi: t e kislik haqida tushun c h a , tekislikd a gi a lm a shti r ishlar, a lm a shtirishla r
yo r d a mida funksiyaning g r afigini qurish. Shu r e jalar asosida yo r itishga xarakat qildim v a
mav z u yu z asidan o’ z imga ko ’ nikmalar oldim.
24

FOYDALAN I LGAN ADAB I YOTLAR
1. Baxv a lov S. V., Modenov P. S., Parxom e nko A. S. An a litik g e om e triy a d a n
mas a l a lar to ‘ pla m i. Toshkent, 2006, 546 bet.
2. Ил ь ин В. А. Позняк Э. Г. Анали т иче с кая г е оме т рия. М ., Наука , 1981, с . 232.
3. Pogorelov А . V. Analitik geo m et r iya. Toshkent , 0 ‘ qituvchi, 1983, 206 - b e t .
4. Постников М. М . Ана л итическая г е ометрия. М., Н а ука, 1979. с. 336.
5. Цуб е рбиллер О. Н. Зад а чи и упр а жнения по а нали т ической г ео м етрии .
Санкт - Пе т ербург — Москва, Изд. Л а н’, 2003 г. стр. 336.
6. Клет е ник Д. В. Сборник задач по а нали т ической г е о ме трии. М . Н а ука .
1998,
FOYDALANGAN I NTE R NET S AYTLAR
1.https://dl.urdu.uz
2.http://library.ziyon e t.uz
3.https:// f aytllar . o r g
25

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash

Sotib olish