Dokument ma'lumotlari

Narxi 40000UZS
Hajmi 612.4KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 08 May 2025
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash

Sotib olish
MUNDARIJA: I.KIRISH … …… … ……… … …… …… ……… … …… …… ……… … … … 3 II . ASO S IY QISM 2.1. Tekislikda tog’ r i chiziqlar… … …… … ……… … …… …… …………...4 2.2. T e kislikda tog ’ ri chiziq t e ngl a malari……… … …… …… ……… … ….8 2.3. Tekislikda d e ka r t koordinat a lar siste m asini almashti r ish … …………. . 11 2.4. Tekislikda a lm a shtirishlar yordamid a funksiya grafigini y a sash … …...14 3. Mav z uga doir m isollar …… … …… … ……… … …… …… ……… … …17 III.XU L OSA …… … ……… … …… …… ……… … …… …… ……… … …..24 IV . F O YDALANI L GAN ADA B IYOT L AR …… … …… …… ……… … …25 2 KIRI S H Tekislik — g e om e t r iy a ning a sosiy tushunch a la r id a n biri. G e o m et r iy a da T e kislik, odatda, taʼri f lanm a ydig a n (ya ʼ ni nuqta, to ʻ gʻ r i chi z iq k a bi) boshl a ngʻich tushunch a hisobl a nib, uning xususiy a tla r i bilvosit a geo m et r iya aksio m ala r i bil a n ifod a l a n a di . Mas a l a n, ikki nuqt a si biro r t e kislikda yotgan to ʻ gʻ r i c hiziqning oʻ z i ham shu t e kislikda yot a di; bir toʻgʻri c hiziqda yotmagan uchta nuqta o r q a li bitt a tekislik o ʻ t a di; fazoda be r ilg a n ikki nuqtad a n teng uzoklikda turgan nuqt a lar toʻpla m i T e kislik boʻladi. Oxi r gi a ksioma m a sofa tushunchasiga asosl a ngan bo ʻ lib, N.I.Loba c h e vskiy uni T e kislikning t a ʼri f i si f atida qabul qilgan. G.V.L e ybnits T e kislikni ikkita kongruent ajr a tish mu m kin boʻlgan si r t deb taʼrifl a gan. Am m o bu xossa T e kislikni toʻla aniqlam a ydi, c hunki yasov c hisi sinusoida yoki arrasi m on munt a zam ch e ksiz siniq chiziq bo ʻ lg a n silind r ik sirt ham shund a y kongruent qis m la r ga bo ʻ lin a di. T e kislikda yotuvchi nuqta ol a ylik , be r ilgan ikkita nuqtad a n t e kislikdan oling a n nuqtaga c ha bo ’ lgan masof a la r ni topa m iz va tenglaymiz . Natijada tegishli b e lgilashlarni ishlatib quyidagi tenglam a ga kelamiz : Ax+ By+ Cz+ D = 0 Hayotimi z ning ha r bir l a hz a si tekislikla r bil a n bog ’ lik . B iz ustida yur a dig a n ye r ham t e kislikka misol bo ’ ladi .Geom e triyaning dey a rli barch a tushun c halari t e kislik yo r d a mida beril a di . Men i z l a nish olib bo r ayotg a n ku r s ishi “ T ekislikl a rning o’ z aro va z iyati” ham katta a ha m iyatga e ga . Bu m av z u r e jalar yo r da m ida to ’ liq bayon etilg a n 3 2.1. Tekislik d a t o’g ’ ri chiziqlar To’g’ri c hiziqning umumiy tenglamasi Tekislikda Ox y Dek a rt koo r din a t a lar sistem a si ki r itilg a n bo’lsin. Aga r tekislikda bi r or l to ’ gri c hi z iq be r ilg a n bo’lsa, unda yotgan nuqtalar koo r din a t a l a ri bi r in c hi daraj a li A x + B y + C = 0 tenglam a ni qano a tlanti r ishini ko ’ rs a t a miz . T e kislikd a y a ngi O 'x'y' koordin a talar sist e masini shunday ki r it a mizki to ’ gri chi z iq abtsissa o’qi bil a n ust m a -ust tushsin. Y a ngi O 'x'y' koo r din a talar sist e masida to ’ g r i chiziqdagi nuqtal a rning koo r din a t a la r i y  = 0 tengla m ani qano a tl a nti r adi. (2.1.1- c hi z ma) Biz O 'x'y' koordinatalar sistem a sid a n e ski Ox y koordinatal a r sistem a siga o ’ ts a k yuqorid a gi tenglama A x + B y + C = 0 ko ’ rinishga e ga bo’l a di. B u ye r da koeffisi e ntl ar quyid a gi munosab a tni qanoatl a ntir a di: A 2+ B 2  0 Teskari m a sala qo’ya m iz, ya ’ ni be r ilg a n tenglam a ga A x + B y + C = 0 ko’ra to ’ g r i chi z iqni aniql a ymiz. Koo r din a t a la r i A x + B y + C = 0 t e ngla m ani q a noatl a ntiruvchi M (x0,y0) nuqtani olamiz. Aga r l bil a n M (x0,y0) nuqt a d a n o ’ tuvchi va n = {A ,B } v e kto r g a pe r p e ndikulyar to’g ’ ri chi z iqni b e lgilas a k, M (x,y) nuqta to ’ g’ri c hiziqqa tegishli bo ’ lishi uchun M 0M v e ktor n = {A ,B } v e kto r ga ortogon a l bo ’ lishi za r ur va et a rlidir. Ortogon a llik sha r tini sk a lyar ko ’ p a ytma o r qali yo z s a k A x + B y + C = 0 (2.1.1) 4 tenglam a ni hosil qilamiz. Bu t e nglama to’g’ri c hi z iqning u m umiy t e ngl a masi d e yil a di. Ag a r (2 . 1.1) tenglam a da A = 0 bo’lsa , (2.1 . 1) tenglama Ox o ’ qiga pa r all e l to ’ g’ r i c hi z iqni, B = 0 va C = 0 bo ’ lg a n holla r da m os ravishda O y o ’ qiga pa r allel va koo r din a ta boshidan o’tuv c hi to ’ g’ r i c hi z iqlarni ola m iz. Bi z ga be r ilg a n (2 . 1.1) tenglam a ning hamm a ko e ffisientlari nold a n fa r qli bo ’ lsa, t e ngl a mani + = − − (2.1.2) + b = (2.1.3) ko ’ rinishga k e ltir a miz. Bu t e ngla m a to’g ’ ri chi z iqning k e s m alard a gi t e ngla m asi d e yil a di. B u holda to ’ g’ r i c hiziq koo r din a ta boshidan o ’ tm a ydi va koo r din a t a o ’ qla r id a n katt a likla r i mos r a vishda a va b larga t e ng bo’lg a n kes m al a rni aj r at a di. B u tenglam a to ’ g’ r i c hi z iqni c hi z ish uchun qul a ydir. (2.1.2- c hi zm a) To ’ g’ri c hiziqning kanonik tenglamasi To’g’ r i chiziqqa parall e l ha r qanday vektor to’g’ri c hi z iqning yo ’ n a lti r uvchi v e kto r i deyiladi.Aga r to ’ g ’ ri c hiziqning bitta nuqt a si va yo ’ naltiruvchi v e kto r i berilg a n bo ’ lsa,uning t e ngla m asini tu z ish m a salasini qaraylik . Agar a = {l,m } yo ’ n a lti r uvchi v e kto r bo ’ lib, M (x0,y0) nuqta to ’ g’ r i chi z iqqa tegishli bo’lsa, to ’ g’ r i 5 B B B B ko ’ rinishda yo z ib va C a = − A , b C − = belgil a shl a r kiritib, uni a x y 1 C a = − A , b C − = belgil a shl a r kiritib, uni a x y 1 x y 1 C C A B chiziqning har bir M (x,y) nuqt a si u c hun M 0M v e ktor a = {l,m } v e kto r ga kollin e ar bo ’ lishi ke r ak . Kollinearlik shartini yozs a k quyidagi tengl a mani ol a miz: x x 0 y y 0 (2.1.3- c hi z ma) Yuqo r id a gi (2 . 1.4 ) t e ngl a maning o ’ ng va c h a p tomonl a rini t bil a n belgilas a k quyid a gi parametrik tenglam a l a rni ola m iz: x = x0+ lt,y = y0+ m t Agar a bssissa o ’ qig a p a rall e l bo’lm a gan L to ’ g’ r i c hiziq O X o ’ qini A nuqt a da kesib o ’ tsa , abssissa o ’ qi bil a n to’g’ri c hiziq or a sid a gi bu r ch a kni  bil a n belgilay m iz. B ur c h a k  y a gona r avishda tanlanishi uchun to ’ g’ri c hiziqning bi r orta yo ’ n a lti r uvchi a = {l,m } v e ktorini t a nl a b burchakni O X o ’ qid a n yo’n a ltiruv c hi v e kto r ga soat m ili yo ’ n a lishiga q a rshi yo’nalishda hisoblaymiz.Bu bur c h a kning tang e nsini k bil a n belgil a s a k m k = l tenglikni hosil qilamiz. To’g ’ ri c hi z iqning bi r o r ta M (x0,y0) nuqtasini bilsak , uning t e ngla m asini y −y0= k(x −x0) (2.1.5) 6 l m l m − − = (2.1.4) Bu tengl a ma to’g ’ ri c hiziqning kanonik tenglam a si deyil a di. ko’ r inishda yoza ola m iz. To ’ g’ri c hi z iqlar or a sid a gi bu r ch a kni hisoblash for m ulal a rini k e lti r ib chiqa r a m iz. Agar L1 va L2 to ’ g’ r i chi z iqlar A 1x + B 1y + C 1= 0 va A 2x + B 2y + C 2= 0 tenglam a lar bilan be r ilg a n bo’lsa, ular or a sid a gi bur c hak ula r ning n1= {A 1,B 1} , n2 = {A 2,B 2} no r mal v e kto r la r i or a sid a gi bur c hakg a tengdir. V e kto r lar or a sid a gi bu r chak bizga m a’lum bo’lg a n − − = (2.1 . 7) tenglam a lar bil a n be r ilg a n bo ’ lsa, bu to ’ g ’ ri c hi z iql a r o r asidagi bu r chak, ularning yo ’ n a lti r uvchi a1= {l1,m 1} va a2 = {l2,m 2} v e kto r la r i or a sidagi bur c h a kka tengdir. B u holda ham to ’ g’ri chiziqlar or a sid a gi bur c hak sk a lyar ko ’ p a yt ma yo r da m ida  = + +  + (2.1.8) for m ula bil a n hisoblan a di. To ’ g’ri chi z iql a rning pa r all e l yoki pe r p e ndikulya r bo ’ lishi mos r a vishda ula r ning norm a l vekto r la r i ( a gar ular ( 2.1 . 5) tenglam a lar bilan be r ilg a n bo ’ ls a ) yoki yo ’ n a lti r uvchi vektorla r ning ( a gar ular ( 2.1 . 7) t e nglam a lar bil a n be r i lg a n bo ’ ls a ) parallel yoki perpendikulyar bo’lishiga ekviv a l e ntdir. Shuning u c hun 1 1 2 2 7 A B A = B va A 1A 2+ B 1B 2= 0 (2.1.9) tengliklar to ’ g’ r i chi z iqla r ning parall e llik va pe r p e ndikulyarlik sha r tl a ridir. 12 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos ll m m l l m m x x y y l m x x y y l m − − = va 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 cos A A B B A A B B  = + +  + (2.1.6) for m ula bilan hisobl a n a di. Ag a r L1 va L2 to ’ g’ r i chiziqlar mos r a vishda 1 1 1 1 2.2. Te k islik d a t o ’ g ’ ri c h iziq t englamalari. Fazoda D e kart koordinatalar sistem a si ki r itilgan v a unda  tekislik be r ilg a n bo ’ lsin. B u tekislikk a t e gishli nuqt a la r koordinatalari bi r in c hi da r aj a li c hi z iqli tenglam a ni qanoatl a nti r ishini ko’ r s a ta m iz. (2.2.1-chi z ma ) Tekislikka tegishli M 0(x0,y0,z0) nuqtani olib ,  tekislikka pe r p e ndikulyar bi r o r ta v e kto r ni n bil a n belgilas a k, M (x,y,z) nuqta  tekislikka tegishli bo ’ lishi u c hun M 0M vektorning n vekto r ga pe r p e ndikulyar bo ’ lishiga teng kuchlidir. D e mak M (x,y,z) nuqt a ning koo r din a tala r i A (x −x0)+ B (y −y0)+ C (z−z0)+ D = 0 (2.2.1) tenglam a ni q a no a tlanti r ishi kerak.Ag a r D = A x0+ By 0+ Cz 0 belgil a shni ki r its a k A x + B y + C z + D = 0 tenglam a ni hosil qil a miz. Teskari m as a la qo’yamiz: A x + B y + C z + D = 0 tenglama b e rilgan bo ’ lsa, koo r din a talari be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlantiruv c hi nuqt a la r to ’ pl a mi t e kislikni hosil qilishini ko’ r s a tamiz. Koo r dinat a la r i be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlantiruv c hi bi r orta M 0(x0,y0,z0) nuqtani olib, M 0(x0,y0,z0) nuqt a dan o ’ tuv c hi va n = {A ,B ,C } v e kto r ga pe r p e ndikulyar t e kislikni  bil a n belgil a sak, bu t e kislikdagi nuqt a la r ning koo r din a t a la r i berilg a n t e nglam a ni q a no a tlantirishini ko’ra m iz . Va a ksin c ha , koo r din a t a la r i be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlanti r uvchi nuqt a la r ning har bi r i  tekislikg a tegishlidir. 8 Berilgan uchta nuqtadan o’tuvchi tekislik t e nglamasi. Fazoda bir to ’ g’ r i c hiziqda yot m aydig a n M 1(x1,y1,z1) , M 2(x2,y2,z2) , M 3(x3,y3,z3) nuqtal a r berilg a n bo’lsa,ula r d a n o’tuvchi  t e kislik tenglam a sini tuz a ylik. (2.2.2-chizma ) Fazoning M (x,y,z) nuqt a si  t e kislikka tegishli bo ’ lishi M 1M ,M 1M 2,M 1M 3 v e kto r larlarning komplanar bo ’ lishig a teng kuchlidir. Bu v e kto r la r ning a ralash ko ’ p a ytm a si nolga t e ng bo ’ lishini koo r dinat a lar orq a li yo z sak x x x x x x y y y y y y z z z z z z 0 T e ngla m ani hosil qil a miz. Berilgan nuqtadan o’tu v chi va ik k i vektorga parall e l te k islik tenglamasi Bizga f az oda M 0(x0,y0,z0) nuqta va nokollin e ar ab, v e kto r lar be r ilg a n bo ’ lsin. B erilg a n nuqtadan o ’ tuv c hi va a ,b , vekto r la r ga parall e l  t e kislik tenglam a sini tuz a ylik.Bu holda M (x,y,z) nuqta  tekislikka tegishli bo ’ lishi u c hun M 0M , a ,b vektorl a rning komplanar bo’lishi za r ur va yetarlidir. (2.2.3-r a sm) 9 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 − − − = − − − 1 1 1 − − − Agar a = {a1,a2,a3},b = {b1,b2,b 3} bo ’ lsa, aral a sh ko ’ p a ytmani koo r din a t a lar orqali yozsak − 1 2 = 0 tenglam a ni hosil qil a miz . Bizga d e kart koo r din a t a la r i ki r itilgan fazoda  va  ikkita t e kislik- lar m os r avishda quyid a gi tenglam a lar bil a n berilgan bo’lsin :  :A 1x + B 1y + C 1z+ D 1= 0 ,  :A 2x + B 2y + C 2z + D 2= 0 Bu tekislikl a r o r asidagi bu r ch a k ula r ning no r mal v e kto r la r i o r asidagi bu r chakka t e ngdir . Ularning n1= {A 1,B 1,C 1} va n2= {A 2,B 2,C 2} nor m al v e kto r la r i or a sid a gi burchakning kosinusini  = + + + +  + + for m ula buyich a xisobl a shni bila m iz. T e kislikl a rning pa r allellik sha r ti ula r ning v e kto r lari pa r alleligiga teng kuchlidir. Shuning u c hun bu shart 1 1 1 2 2 2 10 A B C A = B = C ko ’ rinishda yo z iladi . T e kislikla r ning pe r p e ndikulyarlik sha r ti ula r ning nor m al v e kto r lari pe r p e ndikuly a rligiga teng ku c hli va A 1A 2+ B 1B 2+ C 1C 2= 0 ko ’ rinishda yo z il a di. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos A A B B C C A B C A B C 2 3 1 1 0 y y a b − 0 3 z z a b x x a b − 2.3 Te k islik d a de k a r t koordina t alar sist e masini al m ashtirish . Tekislikd a dek a rt koo r din a t a lar sist e masi berilg a n bo ‘ lib , uni koordinat a la r boshi O nuqta atro f ida bu r chakka bu r ishni qaraylik. Tasdiq . Nuqtaning “ eski” va “ y a ngi” koo r din a t a la r i orasid a gi bog ‘ l a nish = − = + tenglam a lar sistem a si bilan aniql a n a di. Isbot. B ir vekto r d a n ikkin c hisiga qisqa bu r ilish yo ‘ n a lishi soat st r elk a si yo‘ n a lishiga qarama - qa r shi bo ‘ lsa, bu v e kto r lar o‘ng ikkilik , aks holda c h a p ikkilik tashkil qil a di d e yil a di. Bazis sif a tida biro r ikkilik tanl a nsa, biz o r ient a tsiya tanl a b oling a n d e b hisoblaymiz. B izga {i,j} va {i',j'} o r tonorm a l ba z islar be r ilg a n bo ‘ lsin. Bu ba z islar yorda m id a kiritilg a n D e ka r t koo r dinatal a r sist e masilarini mos r a vishd a Ox y va O 'x'y' bil a n b e lgilaylik. Nuqt a ning “ e ski” va “yangi” koo r din a talari o r asidagi bog ‘ l a nishni topa m i z . “Y a ngi» koordinat a lar sistem a si m arkazining « e ski» koo r din a t a sistem a sid a gi koo r dinat a la r ini (a,b) bil a n belgil a ylik. Tekislikda M nuqta be r ilg a n bo ‘ lib,uning Ox y va O 'x'y' sist e malardagi (2.3 . 1- c hizma) koo r din a t a la r i mos r a vishda (x,y) va (x',y') ju f tlikla r dan ibor a t bo‘lsin. Biz quyidagi tenglikla r ga e ga bo ‘ l a mi z : O A = xi+ y j,O 'A = x'i+ y j,O O '= ai+ b j Har bir v e kto r ni (i',j') ba z is orq a li ifod a l a sh mumkinligi uchun i'= a11i+ a12j,j'= a21i+ a22j (2.3 . 1) 11 ' ' cos sin sin cos x x y y x y     ' ' munos a batla r ni hosil qilamiz. B u ifodal a rni O A = O O '+ O 'A ,O A = xi + yj tenglikla r ga qo ‘ yib xi + yj = ai+ b j+ a11x'i+ a12x'j+ a21y'i+ a22y'j tenglikni hosil qila m iz. Bazis v e kto r l a ri {i',j'} chi z iqli erkli oil a ni tashkil etg a nligi uchun yuqorid a gi munos a b a td a n = + + = + + (2.3 . 2) for m ulal a rni olamiz. Endi aij koeffitsientlarni topish u c hun ikkita holni qaraymiz. Birin c hi hol: {i,j} va {i',j'} ba z islar bir xil orient a tsiyaga ega. B u holda agar  bil a n i va i' v e kto r lar o r asidagi burch a kni belgil a s a k, j va j' vektorl ar or a sid a gi burchak h a m  ga t e ng bo‘ladi. Yuqo r id a gi ( 2.3 . 1) t e nglikl a rning har ikkalasini i va j v e kto r la r ga sk a lyar ko‘paytirib a11= cos,a12= si n,a21−si n,a22= cos for m ulal a rni olamiz. Agar {i,j} va {i',j'} bazislar h a r xil o r i e ntatsiy a ga e ga bo ‘ lsa, j va j' v e kto r la r or a sid a gi bur c h a k  − ga t e ng bo ‘ l a di. Bu holda (2 . 3.1 ) tenglikla r ning har bi r ini i va j vektorlarga skalyar ko‘paytirib a11= cos,a12= si n,a21−si n,a22= cos for m ulal a rni hosil qil a miz. Bu fo r mul a larni ( 2.3 . 2) f or m ul a la r ga qo‘yib m os ravishda quyid a gi ikkita f or m ulalarni ol am iz: = − + = + + (2.3 . 3) Bu holda o ‘ tish dete r minanti uchun 12 ' ' cos sin sin cos x x y a y x y b ' '     x a x a y a y a x a y b ' ' 11 21 ' ' 21 22  = a a = tenglik o‘rinli. Ikkinchi holda ba z isla r ning o r i e nt a tsiy a la r i har xil va koo r din a t a la r ni alm a shtirish formul a lari  = − +  = + + ko ‘ rinishda bo‘ladi. (2.3.2 - vhi z ma) Bu holda o ‘ tish dete r minanti uchun  = a a = − tenglik o‘ r inli bo ‘ l a di. De m ak koordinatal a r sistem a sini a lm a shtirg a nimi z d a o‘tish mat r its a sinig d e ter m in a nti musbat bo ‘ lsa, o r ient a tsiya o‘ z garmaydi. Aga r o ‘ tish mat r its a sining det er minanti manfiy bo ‘ lsa, o r i e nt a tsiya qarama -q a rshi o r i e nt a tsiyaga o‘ z garad i. Ikkit a D va Q t e kislikni qaraylik. D t e kislikda to ‘ g‘ri bu r chakli koo r din a t a lar sistem a si hamda Q tekislikd a O o1'o2' koo r din a t a lar sist e masi be r ilg a n bo ‘ lsin. D va Q tekisliklar ustma-ust k e lti r ilishi m u m kin. S huningd e k, koo r din a t a la r sistem a la r i ham ust m a-ust keltirilishi m u m kin. 13 21 22 11 12 a a 1 ' '  cos sin sin cos x x y a y x y b ' '     21 22 11 12 a a 1 2.4 . Tekislik d a fun k si y alar n ing g r afikla r ini yasash . Quyid a gi jadvalda funksiyal a rning kanonik t e nglam a lariga m os k e luvchi grafikla r ining qanday chiziqqa mos kelishini keltirib o’t a miz. Parabola va uning tenglamasi va uning grafi k lari Ta’rif. T e kislikd a har bir nuqtasid a n be r ilg a n nuqt a ga c ha va berilgan to ‘ g ‘ r i chiziqqa c ha bo ‘ lg a n masof a la r i o ‘ zaro t e ng bo ‘ lg a n barcha nuqtalar to ‘ pla m i parabola d e yil a di. B e rilgan nuqta be r ilgan to ‘ g ‘ ri c hi z iqda yotm a ydi d e b olin a di. Be r ilg a n nuqt a parabola n i n g fok u si , berilgan to ‘ g ‘ ri c hi z iq e sa parabola n i n g direktrisasi deyiladi . Parabol a ning fokusi va dir e kt r isasini mos ravishda F va d bil a n, fokusd a n di r ekt r is a ga c ha bo ‘lgan m a sofani p bil a n belgil a y m iz. Ta’rifdan foyd a lanib p a rabol a tenglam a sini kelti r ib chiqa r aylik: buning u c hun d e ka r t koordin a talar siste m asini 14 x y a + b = 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 K a nonik tenglam a lar Chiziqlarning nomla r i x y a + b = Ellips x y a + b = − Mavhum ellips x y a − b =  Gipe r bola x y a − b = K e sishuv c hi to ’ g’ r i c hi z iq Nuqta ( koo r din a ta boshida kesishuv c hi m a vhum ikki to ‘ g ‘ ri chiziq) y2= px Parabola y2−a2= 0 Turli parall e l ikki to ’ g’ r i chi z iq y2+ a2= 0 Mavhum parall e l ikki to ‘ g ‘ r i chiziq y2= 0 Ustma-ust tushgan ikki to ‘ g ‘ r i chiziq quyid a gi c ha t a nlay m iz: a bssiss a lar o ‘ qi deb F nuqt a d a n o ‘ tuvchiva d to’g ’ ri c hi z iqqa pe r p e ndikular bo ‘ lg a n to ‘ g ‘ r i chi z iqni q a bul qila m iz, uning m usb a t yo ‘ nalishi chiz m ad a ko ‘ rs a tilg a ndek bo ‘ lib, abssiss a lar o ‘ qining d to ‘ g ‘ ri c hiziq bilan kesishg a n nuqt a si N bo ‘ lsin. O r din a t a la r o ‘ qini FN kes m aning o ‘ rtasidan o ‘ tkazamiz. T a nl a ng a n koo r din a t a lar siste m asida dir e ktrisa t e ngl a m a si , 2 koo r din a t a ga e ga bo ‘ ladi . 1-rasm Bund a n M 1 nuqta pa r abol a ga tegishli. D e mak, y2= px parabola tenglamasi bo ‘ lib, parabola n i n g ka n o n ik te n gla m asi d e yil a di. Para b ola n i n g s h akli. Parabol a ning sh a klini uning y2= px tenglam a siga ko ‘ r a tekshi r amiz . y2 0 va p  0 bo ‘ lg a ni u c hun y2= px tengl a mada x 0 bo ‘ lishi kerak . Bund a n y2= px parabol a ning ba r cha nuqt a la r i o ‘ ng ya r im tekislikda joylashganligi kelib c hiq a di; x= 0 da y2= px tengl a m a da y= 0 , bundan e sa par a bola koordin a talar boshidan o ‘ tishi kelib c hiqadi. Koo r din a t a lar boshi parabolani n g uc h i d e yil a di. x ning har bir x 0 qiym a tiga y ning ishor a la r i qara m a - qarshi , a mm o a bsolyut miqdor- lari t e ng bo ‘ lgan ikki qiy m ati mos k e l a di. B und a n parabol a ning Ox o ‘ qq a nisbatan simm e t r ik joyl a shg a nligi aniql a n a di. Ox o ‘ q parabola n ing simm e tri y a o ‘ qi d e yil a di. U shu bil a n bir v a qtda parabola n ing f okal o ‘ qi h a mdi r . y2= px tenglikdan y=  2px . Bu tengl a madan ko ‘ r inadiki, x ortib bo r s a y ham o r tib bor a di, ya ’ ni x→ + da y → + . Ko ‘ rsatilg a n bu xossal a rga asosl a nib, parabol a ning sh a klini 2- chiz m ad a gidek t a xmin qilish mumkin. 15  p      p x= − F fokus esa ;0 2 2- c hi z ma . Parabolaning tengl a masini hosil qilish u c hun d e ka r t koo r dinatal a r sistem a sini maxsus t a nl a dik, ya ’ ni Ox o ‘ qni f okus o r qali dir e kt r isaga perpendikula r qilib o ‘ tka z dik . Agar dekart koo r din a talar sist e masini boshqacha usulda tanl a sak, a lb a tta, p a r a bol a ning tenglam a si ham y2= px ko ‘ rinishd a n fa r qli bo ‘ l a di. Mas a l a n , a gar parabola koo r din a t a lar siste m asiga nisbatan 3 - chizm a da ko ‘ rs a tilg a ndek joyl a shg a n bo ‘ lsa , uning tengl a masi x2= 2py ko ‘ r inishda bo ‘ l a di . 3- c hi z ma . 4- va 5- c hizm a la r da t a svi r l a ng a n pa r abol a ning t e ngla m al a ri mos r a vishda y2= −2px va x2= −2py ko ‘ rinishda bo ‘ ladi . 4- c hi z ma . 5- c hi z ma . 16 3. Mavz u ga d oir misollar. 1-misol .  =O,e 1,e 2 a f fiin sistem a ga nisbat a n A ( 2,1) va V(-3/2,3) be r ilg a n. Koedin a tala r boshi O’(0 , 1) nuqt a da bo ’ lgan shund a y '=O,e1,e2 a f fin sistem a ni topingki,und a A(1,0) va V(0 , 1) bo ’ lsin. Y echish: Y a ngi bazaning vekto r la r i: e1=O 'A=(2,1)−(0,1)=(2,0) e =O V = − 2 − = − 2 Dem a k, yangi affin sist e m: Boshi: O'(0,1) Baza vektorl a ri: e1' =(2,0) , e2' ( 3 ,2) 2-misol .  =  0 , i , j  dek a rt sistem a ga nisbatan A ( 8 ,-1/2) va M ( x,y) nuqtalar berilgan. Kordinata o’qla r i kordin a t a lar bur c h a gi biss e kt r isalari bilan a lmashti r ilg a nda , shu nuqtala r ning ko r din a t a larini toping. Yechish: A( 8,−1/2)vaM (x,y) Koo r dinat a lar o’qla r i bu r chak biss e kt r isalari bil a n alm a shtiril a di. B u bu r ilish 45 o bu r ch a k ostida bo’ladi. (dem a k bu r ilish bur c h a gi: 45 4 y = x + y A nuqataning y a ngi koo r dinat a la r i: x= 8, 1 ' 1 1 1 ' 1 1 1 M (x,y) nuqtani ham xuddi shu f or m ula orq a li y a ngi sistem a ga o’tka z ish mumkin. 17 ( 8 ) (2 2 0,5) y = 2 − 2 = 2 − ( 8 ) ( 2 2 0 , 5 ) x = 2 + 2 = 2 + y = − 2 x = x−y' 1 ( ) 2 o   = ) Bu r ilish f or m ul a si: ' 1 ( ), = − 2 2 2 ' 3 3 ' ( ,3) (0,1) ( ,2) ' 3-misol . U c hl a ri A ( 6,  ),B(10 ,  ) nuqtalarda joyl a shg a n uchbu r ch a kning    Qutb koordinatala r d a n to ’ g’ri koo r dinat a l a rga o’tish: Formulalar: x=r*cos() , y=r*sin () Hisoblaymiz: : 6cos ( )  = , 10sin ( )  = K e yin uchbur c hak yuzini topa m i z : 1 * 1( 2 3) 2( 3 1) 3( 1 2) 4-misol . Qutubga nisbatan M(3,  ),N(7,  ),A(4,-  ) nuqt a la r ga sim e trik     − Simm e t r ik nuqtal a rni topamiz: Qutb koo r din a t a sida nuqtaning simm e t r igini olish for m ulasi: (r,)→ (r,+) Har bir nuqt a ning simmet r ikini yoza m i z : ':(3, ) (3,5 ) M 4 4 B 6 ) 18 ' ( 6 , 11     + = ':(4,2 ) A 3   + = ':(7, ) (7 ,3 ) N 2 2 , 7, , 4, , 6, ) M ( 4 )N( 2 )A( 3 )B( 6 bo ’ lg a n nuqt a la r ning qutub qordinat a la r ini toping. Yechish: Qutb koordinatal a rida nuqtal a r: 3, 5 6 3 2 4 6 3 2 4  ),B(6, 5 S= 2 x y −y +x y −y +x y −y y 12 C x 12 = , 8sin (7 ) : 8cos ( 7 )  y 4 B x 4 : 10cos ( )  = y 12 A x 12  =  = , 6 sin ( ) A 12 B 4 C( 12 yuzini hisobl a ng. Yechish: B e rilgan: Uchbur c h a kning u c hl a ri qutb koordin a talarid a : 7 (6, ), (10, ), 8, )  ),C(8, 7 12 12 4 4 5-misol . A( - 3,5) nuqt a d a n o’tib, p=1,−2 vekto r ga pa r all e l to’ri c hiziq tenglam a sini tu z ing Yechish: Nuqta: A(−3,5) , Yo’nalish vektori: p=(1,−2) To’g’ r i c hiziq tengl a masi(vektorli sh a kld a ): (x,y)=(−3,5)+t(1,−2) Param e trik tenglam a : x=−3+t, y=5−2t Yoki kanonik sh a klda: 3 5 1 2 6-misol . Kordinat a la r boshid a n 3x - 2y+17 = 0, 2x + 3y - 6 = 0 to’ri chi z iqlarning k e shishg a n nuqtasiga c ha bo ’ lg a n m a so f ani toping. Yechish: To’g ’ ri c hi z iqla r : 1. 3x−2y+17=0 2. 2x+3y−6=0 K e sishg a n nuqtani topa m i z : Sist e m a ni ye c ha m i z : 3x−2y=−17 (1 ) 2x+3y=6 (2) (1 ) v a ( 2) ni ye c hib, k e sishg a n nuqtani top a miz. S o’ngra bu nuqt a d a n koo r din a t a boshiga c ha m a sof a ni hisobl a ymiz: d= x2+y2 x y a + b = Elipsning ki c hik yarim o ’ qi u c hid a n o ’ tgan v a ta r la r ning o’ r t a nuqtalarid a n tashkil topg a n figura tengla m asini tu z ing. Yechish: Ellipsning ki c hik o ’ qi ( y - o’qi) o r qali o ’ tgan ba r cha vatarlarning o’ r talarini olib, ula r orq a li chi z iq tenglamasi topil a di. Bu g e om e tric o’ r ta nuqtala r to ’ pla m i bo’lib, ul ar doim chi z iqqa joylashadi. O’ r t a lar c hi z ig ’ I ellips tenglam a sini para m et r ik ko’rinishda yo z ib, vata r la r ga m os nuqt a la r ni olib, ul a rning o’rtalarini toppish orqali c hi z iq chiqariladi. 19 7-misol . 2 2 2 2 1 x+ = y− − x + y = elipsning 2x - y- 9=0 to ’ ri c hiziq bilan k e shishi nuqt a la r i topilsin. Yechish: Elips: K e ltira m i z : x + x − x + = x − x+ =  x −x+= Diskrimin a nt: D =1166 4−1076 4=90 0 D =30 10 8 30 1 6 9 , 2 3 Javob: ( 6 9 21 , (3,−3) va urinm a la r id a n bi r ining tenglam a si 5x - 6y - 8 = 0 bo ’ lsa , gipe r bola tengl a m a si tu z ilsin. Yechish: Asi m ptotal a r: 1 Berilgan to ’ g’ r i c hiziq: 5x−6y−8=0 Gipe r bol a ning t e ngl a masi ma r ka z i bu c hi z iqd a n olin a di. To ’ g’ r i chi z iqni u m u m iy ko ’ rinishga keltira m iz: 5 4 shu c hi z iqda yot a di. 20 Markaz nuqtasini (x0,y0) deb olsak, giperbola mark az i y= 6 x− 3 s 2 1 y =  2 x  x y a − b = Dem a k, gip e rbola: 2 2  2 x 9-misol . Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y = 1 9-misol . Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =1 9-misol . Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =1 , ) 1 3 13 , ) 1 3 13 , ) 1 3 13 9 , y = 13 − = 13 y 2 = 2 * 3 − 9 = − 3 9 , y = 13 − = 13 y 2 = 2 * 3 − 9 = − 3 x 26 x 13 x x 26 x 13 x  =  = = 1 2* 69 21 2 13 10 8 24 3 1 13 2 10 8 20 7 0 36 36 36 36 36 1 2 3(4 2 36 81) 36 12 36 12 1 2 4 2 3 6 81 x + x − x + = 36 12 36 12 1 2 ( 2 9) 2 x + x − = (2 x − 9) 2 = 4 x 2 − 36 x + 81 36 12 36 12 1 x + y = To’g’ri c hi z iq: 2x−y−9=0 y=2x−9 Elipsga qo ’ ya m i z : 2 2 36 12 36 12 1 8-misol . 2 2 Oddiy hol a tda, ag a r mark a z (0,0) bo’lsa, a si m ptotalar 1 1 1 ( )4 2 4 x −y = Shu t e ngl a ma a simptot a la r iga m os k r l a di. Endi uni (x,y) ni shunday a yl a nti r ib olish kerakki, ma r ka z i 5x−6y=8 chi z ig’ida bo ’ lsin. Agar ma r ka z ni ( 0 , 4 x− y+ tenglam a : − = 4 ( ) Javob (gipe r bola tenglam a si): 3 1 36 9  ) bo ’ lsa ushbu nuqta : a) X o ’ qiga nisb a t a n akisl a nti r ilsa , yangi ko r din a t a larini toping. b ) 900 ga soat yo’nalishi bo’yi c ha a ylantirilsa ,yangi ko r dinat a la r ini toping. Yechish: a) x - o’qiga nisbatan a ksl a nti r ils a : 5 7 yangi 6 6 1 1-misol . R = e , 0 2 berilgan Ushbu e g r i chi z iqningi u z unligini toping. Yechish: R =e0, d R e d    =  +   =   =  2 0 22 0 0 21 Elips tenglam a si berilg a n : 2 2 1 9 4 L 2 ed 2 e 2( e 1)  =   =    = − 0 0 0 L e e d 2e d 2    = 2 2 2 2 2 2     =−   = (radi a nda manfiy bu r ch a k 2 ga qo’shil a di) Javob: (7,7 ) 6 6 10- m isol . Agar nuqta qutub ko r din a t a larida (r,  )=(7 , 5 2 2 x y+ − = 36 9 36 9 3 1 2 2 4 ( 0) ( ) d e b ols a k , d e b ols a k , M − 3 36 9 1 Endi a2=36 d e sa, gipe r bola tenglam a si: 36 9 1 Endi a2=36 d e sa, gipe r bola tenglam a si: 2 2 4 1 6 x y x y x a a a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − =  − =  y =  2 x bo’lishi uchun: x + y = Ushbu e lips ma r ka z i (2,- 1) nuqt a ga ko ’ chiring va yangi t e ngla m ani toping . Yechish: Elips m a rk a zi (0,0) . Uni (2,−1) nuqtaga ko’ c hi r ish u c hun: x→ x−2, y→ y+1 Y a ngi tenglam a : 13- m isol . To’ri c hiziq : 3x-4y + 5 = 0 Ushbu c hiziqni Dekart ko r din a t a lar ti z imida 900 ga bu r ing y a ngi t e ngl a m a ni yozing. Yechish: B u chi z iqni 90o ga ayl a ntira m i z : x ' = − y , y ' = x Endi tengl a m a dagi x va y ni a lm a shtira m i z : 3(−y')−4( x')+5=0 3y'−4x'+5=0 Yoki: 4x'+ 3y'=5 14- m isol . 3sin(2 )  − = − +  =−− +  − =−   =− − − = Yangi tenglama: 3sin(2 ) 15- m isol . M nuqta biror ko r din a t a lar sistem a siga nisbatan x= - 6, y=3 ko r dinat a ga ega . Kordinata boshi o1 (-3,0) , o2 (-4,3) nuqtalard a n bi r iga ko’ c hirilsa, shu nuqt a ni n g ko r dinat a la r i qand a y bo ’ l a di . Yechish: M nuqta koordin a tasi: x=−6, y=3 Ko’ c hi r ish nuqtalari: O1=(−3,0) , O2=(−4,3) 22 y x 4  = − y x 4 Lekin: sin( ) sin( ) 3( sin(2 )) 3 y x 4 y x 4 Yechish: 3sin ( 2 ) 3sin ( 2 ) y x 4  = + funksiy a ni 180 0 ga ayl a nti r ib y a ngi yangi t e ngl a m a ni toping. 9 4 9 4 9 4 1 ( 2) 2 ( 1 ) 2 x − + y + = Elips tenglam a si berilg a n : 2 2 1 9 4 1. O1 ga nisb a t a n: x'=x−(−3)=−6+3=−3 y'= y−0=3  (x',y')=(−3,3) 2. O2 ga nisb a t a n: x'=x−(−4)=−6+4=−2 y'= y−3=0  (x',y')=(−2,0) 16- m isol . Berilgan A ( 1,2 , 3) nuqta va unga parallel bo’lg a n ikkita vektor: a=(2, - 1,3), b=( - 1,4 , 2) Ushbu nuqta va vektorga paralel bo’lg a n t e kislik tengl a masini toping. Yechish: Tekislikd a gi har q a nday nuqta (x,y,z) : (x,y,z)= A+s*a+t*b (x,y,z)=(1,2,3)+s(2,−1,3)+t(−1,4,2) Param e trik ko ’ rinish: x=1+2s−t y=2−s+4t z=3+3s+2t Yoki umu m iy tengl a ma uchun: Norm a l vektor n=a*b i j k a b = − = i − − − j − T e kislik tengl a masi: −14 (x−1)−7(y−2)+7( z−3)=0 −14x−7 23 * 2 1 3 ( 1 * 2 3 * 4) ( 2 * 2) 1 4 2 XULO S A Ilmiy t a dqiqotla r va olib bo r ilg a n kuzatuvl a r xulosasiga ko‘ra An a litik g e om e triya ku r sida tekislik va unda koo r din a t a lar sistem a la r ining al m ashishsi h am da alm a shtirishl a r yordamida funksiyaning garfigini y a s a sh o’rg a nildi. Tekislikd a alm a shtirishl a r tushun c h a si muhim f undam e nt a l tushun c hala r d a n bo ' lib, f aq a tgin a an a litik g e om e t r iy a kursida e m as, b a lki m a tem a tik a ning boshq a bo ' limlarida ham muhi m rol o ' yn a ydi. Mav z uga doir il m iy maqol a lar, il m iy ishl a r, ad a biyotlar, intern e t ma’lu m otla r i yig ’ ildi va o’ r ganildi . Tartibga solinib, ma ’ lum k e tma - k e tlikda to’la yoritildi. Kurs ishining mav z u yuz asidan rej a lar tu z ildi va r e ja a sosida o’ r g a nildi va k e ngroq yo r itishga xarak a t qilindi. Kurs ishini taj r iba qismi quyidagi r e jalar asosida yo r itishg a xarak a t qilindi: t e kislik haqida tushun c h a , tekislikd a gi a lm a shti r ishlar, a lm a shtirishla r yo r d a mida funksiyaning g r afigini qurish. Shu r e jalar asosida yo r itishga xarakat qildim v a mav z u yu z asidan o’ z imga ko ’ nikmalar oldim. 24 FOYDALAN I LGAN ADAB I YOTLAR 1. Baxv a lov S. V., Modenov P. S., Parxom e nko A. S. An a litik g e om e triy a d a n mas a l a lar to ‘ pla m i. Toshkent, 2006, 546 bet. 2. Ил ь ин В. А. Позняк Э. Г. Анали т иче с кая г е оме т рия. М ., Наука , 1981, с . 232. 3. Pogorelov А . V. Analitik geo m et r iya. Toshkent , 0 ‘ qituvchi, 1983, 206 - b e t . 4. Постников М. М . Ана л итическая г е ометрия. М., Н а ука, 1979. с. 336. 5. Цуб е рбиллер О. Н. Зад а чи и упр а жнения по а нали т ической г ео м етрии . Санкт - Пе т ербург — Москва, Изд. Л а н’, 2003 г. стр. 336. 6. Клет е ник Д. В. Сборник задач по а нали т ической г е о ме трии. М . Н а ука . 1998, FOYDALANGAN I NTE R NET S AYTLAR 1.https://dl.urdu.uz 2.http://library.ziyon e t.uz 3.https:// f aytllar . o r g 25

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash

Sotib olish