Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 3.8MB
Покупки 4
Дата загрузки 12 Март 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Геометрия

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Tekislikda geometrik almashtirishlar va ularning qo'llanilishi

Купить
REJA: KIRISH I BOB. GEOMETRIK AKSLANTIRISHLAR 1.1 Geometrik almashtirish tushunchasi haqida 1.2 Geometrik akslantirishning mazmuni va akslantirishlarning tatbiqi 1.3 Geometrik akslantirishning ba’zi xillari II-BOB.GEOMETRIK AKSLANTIRISHLAR VA ULARNING QO’LLANILISHI 2.1 Simmetriya va parallel ko’chirishlar 2.2 Nuqta atrofida aylantirish 2.3 Inversiya haqida tushuncha Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar KIRISH Ilm o’rganish har bir inson uchun hayot yo’llarida asqotadigan, odamlar orasida uni ajratib turadigan, yolg’iz qolgan paytlarda yo’ldosh bo’lib, tushkunlikka tushganda doimo madadkor bo’luvchi yengilmas quroldir. Shu nuqtai nazardan, bugun har birimiz ilm olishimiz, mukammal bilim egallashimiz, kasb-hunar o’rganishimiz va bu orqali o’z kelajagimizni o’zimiz yaratib, mamlakatimiz gullab-yashnashi, ravnaq topishi hamda rivojlangan davlatlar qatoridan munosib o’rin olishi uchun o’z hissamizni qo’shishimiz zarur va shartdir. Bugungi kunda ta’lim tizimi oldida turgan ta’lim-tarbiya samaradorligini oshirish jahon ta’lim standartlari darajasida bilim berish orqali har tomonlama etuk ijodkor ma’naviy boy, kasb-hunarli, milliy va umuminsoniy qadriyatlar, milliy istiqlol g’oyasi ruhida tarbiyalangan, o’z mustaqil fikriga ega barkamol shaxsni kamolga yetkazish kabi vazifalarni hal etishda oliy ta’lim muassasalarining pedagogik jamoasi, xususan har bir fan o’qituvchisi o’z pedagogik faoliyatini tubdan o’zgartirishi lozim. Maktablarimizning eng muhim vazifalaridan biri o’quvchilarda dialiktiv materialistic dunyo qarashini o’zgartirishdir. Geometriyada deyarli hamma mavzularini o’tishda ayniqsa geometric aalmashtirishlarni o’rgatishda bu g’oyani amalga oshirish uchun juda keng imkoniyatlar bor. Malumki nuqtalarning har qanday to’plamiga figura deyiladi va figuraning har bir nuqtasi shu to’plaamning elementi deb ataladi. Shuning uchun har bir geometric figurani nuqtaviy to’plam deb qarash mumkin. Masalan, kesma nuqtalarining to’plami, to’g’ri chiziq nuqtalarining to’plami, uchburchak nuqtalarining to’plami, kub nuqtalarining to’plami va xokazo. O’zining ahamiyati va mohiyatiga ko’ra hech narsa bilan qiyoslab bo’lmaydigan hayotimizdagi o’zgarishlar haqida gapirganda, avvalo, odamlarimizning dunyoqarashi va kayfiyati, fikr-u zikri, ularning hayotga, o’z mehnati natijasiga munosabati tubdan o’zgarib, yuksalib borayotgani haqida 2 to’xtalmasdan o’tolmaymiz. Bugun insonning o’zi o’zgarmoqda, uning grajdanlik va siyosiy ongi, huquqiy madaniyati o’smoqda. Mustaqil fikrlaydigan, zamonaviy bilim va kasb-hunarlarga ega, hayotga yangicha qaraydigan, sobiq mustabid tuzumga xos tushunchalardan ozod bo’lib voyaga yetayotgan, o’z fikri va qarashlariga ega bo’lgan navqiron yoshlarimiz hayotga ishonch bilan kirib kelmoqda, jamiyatimizda mustahkam o’rin olmoqda va mamlakatimizning taraqqiyoti yo’lida hal qiluvchi kuchga aylanmoqda. O’quvchi yoshlarni ijtimoiy himoyalashga, ularga ishlab chiqarishdan ajralgan holda o’qib,bilim olishi uchun zarur moddiy sharoit yaratishga doimo e’tibor berilmoqda. Mamlakatimizda yosh avlod ta’lim-tarbiyasiga alohida e’tibor qaratilmoqda. O’g’il qizlarning zamonaviy bilim olish, yuksak manaviyatli bo’lib ulg’ayishi uchun zarur sharoit yaratish borasidagi ishlar izchil davom ettirilmoqda. Davlatimiz rahbar SH. Mirziyoyevning “Ijtimoiy barqarorlokni ta’minlash, muqaddas dinimizning sofligini asrash—davr talabi” mavzudagi anjumanda so’zlagan nutqida yosh avlod tarbiyasi haqida alohida to’xtalib o’tdi “Bizni hamisha o’ylantirib keladigan yana bir muhim masala—bu yoshlarimizning odob-axloqi, yurish-turishi, bir so’z bilan aytganda, dunyoqarashi bilan bog’liq. Bugun zamon shiddat bilan o’zgaryapti. Bu o’zgarishlarni hammadan ham ko’proq his etadigan kim—yoshlar. Mayli yoshlar o’z davrining talablari bilan uyg’un bo’lsin. Lekin ayni paytda o’zligini ham unutmasin. Biz kimmiz, qanday ulug’ zotlarning avlodimiz, degan da’vat ularning qalbida doimo aks sado berib,o’zligiga sodiq qolishga undab tursin. Bunga nimaning hisobidan erishamiz? Tarbiya, tarbiya va faqat tarbiya hisobidan” deya ta’kidladi Prezidentimiz. Zamon talabiga muvofiq holda har bir fan o’qituvchisi o’zining mutaxas sisligini chuqur o’zlashtirgan, pedagogik-psixologik hamda ik bilim, ko’nikma va malakalarni puxta egallagan, ta’lim-tarbiya jarayonini samaradorligini oshiradigan zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalaridan xabardor va ularni ta’lim jarayonida qo’llay olish malakasiga ega bo’lishi lozim.Ma’lumki, hozirgi davrda o’rta maktab o’quv jarayoniga yangi pedagogik texnologiyalar kirib kelmoqda. 3 Ularni amalda tadbiq etish va qo’llash o’qituv chilarning asosiy vazifalaridan biridir. Shularni hisobga olib mazkur uslubiy qo’llanmada maktab va oli ta’lim yurtlarida geometriyani o’qitishda bu ishni amalga oshirish muammolari atroflicha muhokama etilib, ularni qo’llashga doir zaruriy xulosa va misollar keltirilgan. O’quvchilarning fazoviy tasavvurlarini kengaytirishda, ijodiy va konstruktorlik qobiliyatlarini rivojlantirishda va mantiqiy fikrlashlashga o’rgatishda yasashga doir geometrik masalalar yechishning ahamiyati g’oyat kattadir. O’quvchilarda bunday qobiliyatlarni tarbiyalash, ayniqsa, bizning Vatanimizda katta ahamiyatga ega, chunki texnikamizning keng miqyosda rivojlanib borishi kelajakda injener, texnik va konstruktor bo’lib yetishuvchi o’quvchilarimizdan shunday qobiliyatga ega bo’lishi talab etiladi. Geometriya o’qitish jarayonida talabalarga asosiy tushunchalarni to’g’ri tushuntirish, uning tadbiqlarini ular ongiga yetkaza olish, ularning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish matematika o’qitish muvaffaqiyatini ta’minlabgina qolmay, balki talabalarning bilish va tafakkur qobiliyatlarini rivojlantirish uchun ham xizmat qiladi. Bu hol esa yangi zamonaviy texnologiyalarga tayangan holda geometriya darslarini o’tishni talab etadi. Shu sababli uslubiy qo’llanmada geometriya o’rganishning nazariy asoslari bilan birga ko’rgazmali va noan’anaviy usullarni qo’llash xususiyatlari hamda zarur dars ishlanmalari hamda masalalar yechish bo’yicha imkoniyatlari batafsil bayon etilgan. Bu kurs ishini yozishda rus tilidagi adabiyotlar hamda professor Aleksandr Stepanovich Smogorjevskiyning, olimlar professor N.F.Chetveruxin, professor T.N.Qori Niyoziy, dotsent M.A.Sobirov, A.P.Domoryad, A.L.Pereldik va boshqa olimlarning og’zaki va yozma maslahatlari orqali to’plangan bilimlar asosida R.K.Otajonovning konstruktiv geometriyaga asoslangan kitobidan foydalanildi. Kurs ishining maqsadi: Yozilgan bu kurs ishning asosiy maqsadi, geometriya darslarida geometrik lar nazariyasi haqidagi bilimlarni chuqurroq egallash va uni geometrik masalalar yechishda tadbiqlarini ko’rib o’tishdan iborat. Kurs ishining vazifalari: Hоzirgi bоsqichda ta’limning asosiy vazifasi, o’quv-tarbiya jarayonini takоmillashtirish asosida har tоmоnlama yetuk, kelajak 4 kishisini tarbiyalash, vоyaga yetkazishdan ibоrat. O’quvchilarni barcha kerakli bilim va ko’nikmalar bilan qurоllantiruvchi, ularni katta hayotga tayyorlaydigan har bir o’qituvchi hоzirgi zamоn ijtimоiy- iqtisоdiy taraqqiyot masalalarini o’z vaqtida ilg’ab оlishi hamda o’zining bоr kuch va bilimini, kasb mahоratini takоmillashtirishga qaratmоg’i, tinmay izlanib mehnat qilmоg’i lоzim. Kurs ishining predmeti: Umumta’lim maktablari va oily o’quv yurtlari geometriya darsliklaridagi mavzuga oid misollar yechish ikasi ishning tadqiq predmeti sifatida tanlangan. Ushbu kurs ishining mavzusiga oid barcha adabiyotlarni to’plash va shu vaqtgacha to’plangan bilimlar geometrik yasashlarda, ayniqsa, geometriya darslarida yechiladigan misollarning tadbiqlarini yanada mukammalroq o’rganish katta ahamiyatga ega bo’lib, bu esa kelajakda geometk almashtirishlar i va ularning tadbiqlarini ilmiy nuqtai nazardan yanada atroflicha o’rganishda va tasavvur hosil qilishda katta ahamiyatga ega bo’ladi deb o’ylayman. Kurs ishining obyekti: Umumta’lim maktablari va oily ta’lim yurtlarida geometriya fanini o’rgatish jarayoni hamda ushbu fan orqali o’quvchi va talabalarda ezgu axloq, e’tiqod, estetik tarbiya va bilimlarni shakllantirishda yordam beradigan, o’quvchini faollashtiradigan usullarini aniqlashga harakat qilish. 5 I BOB 1.1 Geometrik almashtirish tushunchasi. Geometrik almashtirish— to g ri chiziq, tekislik yoki fazoni o zaro bir qiymatliʻ ʻ ʻ akslantirish; ma lum qonuniyat va qoidalarga asosan berilgan figuradan yangi ʼ figura hosil qilish. Masalan, o q simmetriyasi yoki markaziy simmetriya — eng ʻ oddiy G. a. Uni quyidagicha ta riflash ham mumkin. Ma lum qoida asosida ʼ ʼ tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq Af nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo li aniqdangan yoki qisqacha, almashtirish ʻ berilgan deyiladi va bu ramziy tarzda quyidagicha ko rsatiladi: f(M)=M\ Bundagi ʻ M’ nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nukta esa M’ nuqtaning pro-obrazi (asli) deyiladi, / ramzi almashtirishning nimadan iboratligini ko rsatadi. M’ nuqtaning ʻ vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog liq bo lgani uchun Af nuqta M nuqtaning ʻ ʻ argumenta, M nukta esa Af nuqtaning funksiyasi deyiladi. Figuralar analitik usulda ham almashtirilishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtaning pro-obrazi bittagina nukta bo lgan obrazlarni hosil qiluvchi G. a.lar muhim. Bunday G. a., odatda, ʻ o zaro bir qiymatli almashtirish deyiladi. Geometriyada uchraydigan hamma ʻ o zaro bir qiymatli almashtirishlar ichida harakat deb ataluvchi G. a. muhim o rin ʻ ʻ tutadi (har qanday ikki M va N nuktani tutashtiradigan almashinuvchi figuraning MN kesmasi shu nuqtalarning obrazlari M’ va N’ ni tutashtiruvchi kesmaga teng bo lsa, bunday almashtirish harakat deb ataladi). Geometriyada ayrim ʻ almashtirishlar bilan bir qatorda G. a.lar to plami ham ahamiyatli. Bulardan gruppa ʻ deb atalgan to plamlar yana ham muhimroq. G. a.lar geometriyaning yetakchi va ʻ samarali yo nalishlaridan biri hisoblanadi ʻ Bir qancha figuralarni nuqtalar to’plamidan tuzilgan to’plam deb qarash mumkin. Masalan, ko’pburchakning tomonlaari va dioganallari to’plami, bitta 6 aylanaga urinuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami, prizma yoqlari va dioganal kesimlari to’plami, bitta sferaga urinuvchi tekisliklar to’plami va xokazo.Ta’rif: Tekislik nuqtalari to’plamidan iborat biror geometrik figurani ma’lum qonun qoida yordamida almashtirib, shu tekislikning ikkinchi bir figurasiga o’tkazish geometrik almashtirish deyiladi. Tekislikna nuqta atrofida burish, markaziy simmetriya, o’q simmetriyasi, parallel ko’chirish va gomotetiyalar geometrik almashtirishning eng sodda ko’rinishlaridandir. Geometrik almashtirish- to’g’ri chiziq, tekislik yoki fazoni o zaro bir qiymatliʻ akslantirish; ma lum qonuniyat va qoidalarga asosan berilgan figuradan yangi ʼ figura hosil qilish. Mac, o q simmetriyasi yoki markaziy simmetriya — eng oddiy ʻ geometrik almashtirish. Uni quyidagicha ta riflash ham mumkin. Ma lum qoida ʼ ʼ asosida tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq Af nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo li aniqdangan yoki qisqacha, ʻ almashtirish berilgan deyiladi va bu ramziy tarzda quyidagicha ko rsatiladi: ʻ f(M)=M\ Bundagi M’ nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nukta esa M’ nuqtaning pro-obrazi (asli) deyiladi, / ramzi almashtirishning nimadan iboratligini ko rsatadi. ʻ M’ nuqtaning vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog liq bo lgani uchun Af nuqta M ʻ ʻ nuqtaning argumenta, M nukta esa Af nuqtaning funksiyasi deyiladi. Figuralar analitik usulda ham almashtirilishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtaning pro- obrazi bittagina nukta bo lgan obrazlarni hosil qiluvchi geometrik almashtirishlar ʻ muhim. Bunday geometrik almashtirish, odatda, o zaro bir qiymatli almashtirish ʻ deyiladi. Geometriyada uchraydigan hamma o zaro bir qiymatli almashtirishlar ʻ ichida harakat deb ataluvchi geometrik almashtirish muhim o rin tutadi (har ʻ qanday ikki M va N nuktani tutashtiradigan almashinuvchi figuraning MN kesmasi shu nuqtalarning obrazlari M’ va N’ ni tutashtiruvchi kesmaga teng bo lsa, bunday ʻ almashtirish harakat deb ataladi). Geometriyada ayrim almashtirishlar bilan bir qatorda geometrik almashtirishlar to plami ham ahamiyatli. Bulardan gruppa deb ʻ atalgan to plamlar yana ham muhimroq. Geometrik almashtirishlar geometriyaning ʻ yetakchi va samarali yo nalishlaridan biri hisoblanadi. Agar f(M)= M1 ʻ 7 almashtirish o’zaro bir qiymatli almashtirish bo’lsa, har bir M obrazga bittagina M proobrazi topiladi, bu holda M nuqtaga M ni mos keltiruvchi (ya’ni obrazdan proobrazga o’tishdan iborat) almashtirish f almashtirishga nisbatan teskari almashtirish deb ataladi va f-1 bilan belgilanadi: F -1 (M) = M! Geometriyada uchraydigan hamma o’zaro bir qiymatli almashtirishlar ichida harakat deb ataluvchi almashtirishlar muhim o’rin tutadi. Geometriyada harakat quyidagicha tariflanadi: Agar almashinuvchi figuraning har qanday ikki M va N nuqtalarini tutashtiruvchi MN kesma shu nuqtalarning obrazlari M va N nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaga teng bo ‘lsa, bunday almashtirish harakat deb ataladi.Demak, harakatda almashtiriluvchi figuraning har ikki nuqtasi orasidagi masofa o’zgarmaydi ya’ni harakat qaytma almashinishdir.Agar f almashtirish harakat bo’lsa, bu almashtirish o’zaro bir qiymatli bo’ladi. Haqiqatdan AI obraz bitta proobrazga emas balkim ikkita Ai va A2 proobrazga ega deb faraz qilaylik. Bu holda harakatning ta’rifiga ko’ra A1A2- AI AI =0 bo’lishi kerak: ya’ni A1 va A2 nuqtalar ustma ust tushishi lozim, ammo A1 va A2 nuqtalar har xil bo’lgani uchun bu tenglik bajarilmaydi. Demak, harakat natijasida har bir obraz birgina proobrazga ega bo’lib, almashtirish o’zaro bir qiymatli bo’ladi.Agar F figura harakat bo’lgan almashtirish natijasida F1 figuraga o’tsa, F va F1 figuralar o’zaro teng deb ataladi. Harakat bilan tenglikning ta’riflaridan ma’lum bo’ladiki, harakat teng figuralarning nuqtalari oarsidagi bir qiymatli moslikdir ya’ni harakat teng figuraga o’tkazuvchi almashtirishdir. Almashtirishlar gruppasining umumiy xossalari; 1.Almashtirishlar to’plami о dagi har qandayikki almashtirishning ko’paytmasi (yoki yig’indisi) yana shu о to’plamga tegishli almashtirish bo’ladi. Almashtirishlar gruppasining bu xossasiga qisqacha almashtirishlar to’plamining yopiqlik xossasi deyiladi. 2. Almashtirishlar to’plami о dagi ixtiyoriy uchta almashtirishni ko’paytirish assotsiativlik qonuniga boysunadi : о to’plamga qarashli ixtiyoriy uchta f 1, f 2, f3 almashtirishlar uchun ushbu 8 (f 1* f 2* ) *f3=f 1 *( f 2 *f3) Munosabat bajariladi. 9 10 3. Almashtirish to’plamida о-birlik f 0 almashtirishga ega, ya’ni u almashtirish figurani aslicha qoldirish xossasiga egadir. 4. о to’plamdagi har qanday almashtirish teskari almashtirishga egadir, ya’ni to’plamdagi har bir f almashtirishga teskari f-1 almashtirish mavjud, bu almashtirish shu to’plamga kiradi va f * f -1 =f *f = f 0 bo’ladi. 11 1.2 Geometrik akslantirishlar mazmuni va akslantirishlar tatbiqi Geometriyaning deyarli hamma mavzularini o’tishda va ayniqsa, geometrik akslantirishlarni o’rgatishda o’quvchilar diqqatini jalb etrish uchun juda keng imkoniyatlar bor. Haqiqatan, geometrik akslantirishga doir har bir teoremani isbotlashda va masalalar yechishda, berilgan figura uchun topiladigan obrazning shakli va vaziyati o’sha figuraning shakli va vaziyatigagina emas, balki, akslantirishning xiliga va uning shartlariga qarab ham o’zgarib turishini o’quvchilar kuzatib boradilar va geometrik figuralarni doimiy o’zgarishda, harakatda ekanligiga chuqur ishonch hosil qiladilar. O’quvchilar geometrik figuralarning bir vaziyatdan ikkinchi vaziyatga va bir shakldan ikkinchi shaklga o’tib o’zgarib turishini yozuvdagina emas, balki bevosita o’z ongida tasavvur etishga va bundan tegishli xulosalar chiqarishga o’rganadilar va yetarli darajada malaka hosil qiladilar. Buning natijasida:o’quvchilar ongida ilmiy dunyoqarash kengayadi, ular geometriyani yuksak nazariy-g’oyaviy saviyada chuqur o’zlashtiradilar va fanning yuqori cho’qqilarini egallashga harakat qiladilar. Demak, geometrik akslantirishlar hozirgi zamon geometriyasininng yetakchi va samarali g’oyalaridan biri bo’lib, u yosh avlodni zamonamizning munosib saviyada tarbiyalashdek muqaddas bir sohada o’qituvchi qo’lidagi muhim bir quroldir. Geometrik akslantirishlarning g’oyaviy mazmuni haqida yuqorida aytilgan maqsadga to’laroq erishish uchun o’quvchilar geometrik akslantirishning ahamiyati nimalardan iboratligini aniqroq tasavvur etishlari zarur Geometrik akslantirishlar bilan shug’ullanish yosh avlodning ilmiy dunyoqarashini shakllantirish bilan birga, ularga ilmiy tadqiqot ishlarni bajarishda, ko’pgina teoremalarni isbotlashda, masalalar yechish va funksiya grafiklarini yasashda yordam beradi.Shuning uchun o’rta maktab va oily o’quv yurtlarining matematika programmalarida geometrik akslantirishlarni o’rganishga keng o’rin 12 berilgan.Akslantirish (aks ettirish) matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri bo’lib, u quyidagicha ta’riflanadi: 1-ta’rif. Biror to’plamning har bir x elementi uchun f qonun yoki qoida yordami bilan to’plamning aniq bir elementini mos keltirishga A to’plamni B to’plamga akslantirish deyiladi va u quyidagicha belgilanadi: yoki (1) Bu akslantirishda x ga mos keluvchi y element x ning aksi yoki obrazi, x esa y ning aksi yoki proobrazi deyiladi. x ga mos keladigan y ni topishda ishlatiladigan f qonun moslik qonuni deyilib, unalitik, grafik, jadval usullari yoki biror qoida va shunga o’xshash vositasida berilishi mumkin. 2-ta’rif. Agar A to’plamning har bir elementiga B to’plamning bittagina elementi mos kelishi bilan birga B to’plamning har bir elementiga A to’plamning bittagina elementi mos kelsa, A to’plamning B to’plamga bunday akslanishi o’zaro bir qiymatli akslanish deyiladi. A to’plamni B to’plamga o’tkazuvchi bunday o’zaro bir qiymatli akslantirishda B to’plamni A to’plamga akslantiruvchi qaytma (qarama-qarshi) akslantirish ham albtta mavjud bo’ladi. Bunda B to’plamning har bir elementi A to’plamning bittagina elementiga mos keladi. 3-ta’rif. Biror to’plamning shu sohadagi to’plamga akslantiruvchi, ya’ni A to’plamni yana A to’plamga o’tkazuvchi bir qiymatli akslantirish A to’plamni akslantirish deb ataladi. Quyida tekislik figuralarini shu yekislik figuralariga akslantiruvchi almashtirishlar bilan tanishamiz. Faraz etaylik bizda Α va В bo’sh bo’lmagan to’plam bеrilgan bo’lsin. 13 1-ta’rif: Agar bir f qoidaga muvofiq Α to’plamning har bir x∈Α elеmеntiga В to’plamning biror y elеmеnti mos qo’yilgan bo’lsa, bu f qoidaga aks ettirish dеyiladi va f:A→ B yoki y= f(x) ko’rinishida bеlgilanadi. Bunda f(x)∈B ga x∈ A el е m е ntining obrazi (aksi), x ga esa y= f(x)B el е m е ntining probrazi (asli) d е b ataladi. Α to’plam f aks ettirishning aniqlanish sohasi, B to’plam esa qiymatlar to’plami dеyiladi. f:A→ B akslantirishda ∀ x∈Α yagona f(x)∈B образга эга , lеkin B ning istalgan elеmеnti har doim ham asliga ega bo’lavеrishi asliga ega bo’lganda ham u yagona bo’lishi shart emas. Misollar: Α− odamlar to’plami, Β− musbat ratsional sonlar to’plami bo’lsin. f:A→ B akslantirish har bir odamga uning santimеtrlarda hisoblangan bo’yini mos qo’ysin. U holda f:A→ B odamlar to’plamini ratsional sonlar to’plamiga akslantiradi. Har bir odamga yagona uzunlik mos k е ladi, l е kin 1500 sm mos k е luvchi odam mavjud emas, shuningd е k 175 sm ga mos k е luvchi odamlar yagona emas. 2. f:x→ x2 akslantirish barcha haqiqiy sonlar to’plami R ni haqiqiy sonlar to’plami R+ ga akslantiradi. f:A→ B akslantirishga Α ning obrazini f(A) bilan b е lgilaymiz. U holda f(A)⊆B bo’ladi. Agarda f:A→ B aks ettirish uchun ∃ b0∈B elеmеnt mavjud bo’lib ∀ x∈A,f (x)=b0 t е nglik o’rinli bo’lsa, f ga (o’zgarmas akslantirish) funktsiya dеyiladi. 2-ta’rif: Agar f:A→ B va g:Α→ B aks ettirishlar bеrilgan bo’lib ∀ x∈A uchun f(x)=g(x) o’rinli bo’lsa bu aks ettirishlarni tеng dеyiladi va f= g ko’rinishda bеlgilanadi. B е rilgan Α to’plamni Β to’plamga akslantiruvchi barcha akslantirishlar to’plamini Α orqali b е lgilaymiz. Α1⊂ A bo’lsin. U holda x∈Α1 f1(x)= f(x) 14 tеnglik bilan aniqlangan f1:A1→ B aks ettirishga f ning torayishi f esa f1 ning k е ngayishi (davomi) d е yiladi. Masalan: R dagi f(x)=√|x| akslantirish dagi f (x)=√x (f:x→ √x) ning davomidir. 3-ta’rif. Agar f:A→ B aks ettirishga har bir y∈B elеmеnt Α to’plamda kamida bitta aslga ega bo’lsa bunday aks ettirish (s’yurеktsiya) s’yurеktiv aks ettirish dеyiladi. 4-ta’rif. Agar f:A→ B aks ettirishda har bir y∈B bittadan ortiq aslga ega bo’lsa (ya’ni f(x1)= f(x2) dan x1=x2 k е lib chiqsa) bunday aks ettirish (in’еktsiya ) in’еktiv aks ettirish dеyiladi. 5-ta’rif. Biz vaqtida ham s’yur е ktiv va ham in’ е ktiv bo’lgan f:A→ B akslantirish biektsiya (o’zaro bir qiymatli akslantirish) dеyiladi. Misollar: 1) f:R→ R f(x)=x2 aks ettirish s’yurеktiv ham, inyuеktiv ham emas. Chunki manfiy sonlar birorta ham aslga ega emas. 2) f1:R→ R+ ni qarasak s’yurеktiv bo’ladi (f1(x)=x2) 3) f2:R+→ R (f2(x)= x2) in’ е ktiv bo’ladi. 4) f3:R+→ R+ (f3(x)=x2) ni qarasak bi е ktiv akslantirish bo’ladi. Ixtiyoriy 2 ta f:A→ B va g:B→ C aks ettirishlar bеrilgan bo’lsin. 6-ta’rif. Har bir x∈Α uchun p(x)=g(f(x)) tеnglik bilan aniqlanuvchi p:A→ C aks ettirishga f va g aks ettirishlarning kompozitsiyasi (supеrpozitsiyasi) (ko’paytmasi) dеyiladi va p= g⋅f bilan b е lgilanadi. Agarda A= B= C bo’lsa, gf :A→ Α bilan birga fg :A→ A kompozitsiyani ham qarash mumkin. Bunda umuman aytganda gf ≠ fg bo’ladi. Masalan : f:R→ R, f:x→ x2 (f (x)= x2); g:R→ R , g:x→ x+ 1 (g (x)= x+1) 15 bo’lsa, u holda g(f(x))= g (x2)= x2+1 va f g (x)= f(x+1)= (x+1)2 былади . Dеmak gf ≠ fg . 1-t е or е ma. Har qanday f:A→ B , g:B → C , h:C → D aks ettirishlar uchun h(gf )=(hg )f t е nglik o’rinli. Isboti. Haqiqatdan ham h(gf )(x)=h(gf (x))= h(g(f(x))) va (hg )f(x)=h(g(f(x))). Bu tеngliklarning chap tomonlari tеngligi ularning o’ng tomonlarining tеngligidan kеlib chiqadi. Bu tеorеma aks ettirishning assosativlik xossasini isbotlaydi. ∀ х∈Α uchun e(x)= x tеnglik bilan aniqlangan aks ettirishga Α to’plamning ayni akslantirishi dеyiladi. (yoki birlik aks ettirish ham dеb yuritiladi). Tushunarliki, har qanday Α to’plam uchun eΑ:A→ A− aks ettirish biеktsiyadir. Shuningdеk agar f:A→ B bo’lsa, f eΑ= eΑf= f bo’ladi. 7-ta’rif. Agar f:A→ Β aks ettirish uchun ∃ g:B→ Α aks ettirish mavjud bo’lsaki gf =eΑ va fg =eΒ tеngliklar o’rinli bo’lsa. Bunday f aksettirish t е skarilanuvchi g ga esa f ning t е skarisi d е yiladi. Ta’rifdan ko’rinadiki bu holda g ham tеskarilanuvchi va f ga g ning tеskarisi dеyiladi. 2-tеorеma. Agar f aks ettirishning tеskarisi mavjud bo’lsa u yagonadir. Isboti. Faraz etaylik g:B→ Α, h:B→ Α lar f:A→ Β ga tеskari bo’lsin, ya’ni gf =eΑ, hf = eΑ,fg =eΒ,fh= eΒ . U holda h(fg )= h⋅eΒ= h va h (fg )= (hf )⋅g= eΑ⋅g= g lardan h= g k е lib chiqadi. Bundan k е yin f ga tеskari aks ettirishni f−1 bilan bеlgilaymiz. 3-tеorеma. Aks ettirishning tеskarilanuvchi bo’lishi uchun uning biyеktsiya bo’lishi zarur va yеtarlidir. 16 Isboti. f:A→ Β t е skarilanuvchi g:B→ Α, uning tеskarisi bo’lsin, u holda fg = eΒ, gf = eΑ va uchun f (g (y))= (fg ) y= eΒ y= y. Bundan g(y)∈Α elеmеnt y elеmеntning asli ekanligi kеlib chiqadi. Dеmak f syurеktsiya endi agar biror x1,x2∈Α elеmеntlar uchun f(x1)= f(x2) bo’lsa, u holda x1= eΑ(x1)= gf (x1)= gf (x2)= (gf ) x2= eΑ x2= x2 bo’ladi, ya’ni f in’еktsiya, shunday qilib f biеktsiya ekan. Е tarli ekanligi. Faraz etaylik f:A→ Β biеktsiya bo’lsin. U holda har bir у∈B uchun yagona asl mavjud. Bundan g (y)∈Α elеmеnt y ning asli ekanligi kеlib chiqadi, ya’ni g:B→ Α aks ettirish f:A→ Β ga tеskari. Misollar: 1) Agar a∈R va a≠0 bo’lsa, u holda y:R→ R f(x)=ax funktsiya biеktsiya. Uning tеskarisi g:R→ R , g (y)= y a (¿ f(x) a = ax a = x) dan iborat. 2). Ixtiyoriy b∈R uchun f:R→ R, f(x)= x+b funktsiya ham bi е ksiya. Uning t е skarisi g:R→ R, g(y)= y−b. 3) Agar a,b∈R va a≠0 bo’lsa, u holda f:R→ R, f(x)=ax +b funktsiya biеksiya va uning tеskarisi g:R→ R, g (y)= y−b a . 4-t е or е ma. Agar f:A→ Β va g:B→ C bi е ksiyalar bo’lsa, ularning kompozitsiyasi gf :A→ C ham biеksiya bo’ladi va (gf )−1= f−1g−1. Isboti. f va g lar bi е ksiya bo’lgani uchun f−1:B→ A va g−1:C → B lar mavjud va dеmak f−1g−1:C→ Α kompozitsiyasi ham mavjud. Kompozitsiyaning assosativligiga asosan (gf )(f1g−1)= g (f⋅ f−1) g−1= (ge )g−1= g⋅g−1= e va (f−1g−1) (gf )= f−1(g−1⋅g) f= f−1⋅(ef )= f−1⋅ f= e Bundan gf tеskarilanuvchi va (gf )−1= f−1⋅g−1 yuqorida isbotlangan 3-tеorеmaga asosan gf biеktsiya. 17 8- ta ’ rif . f:A→ Α bi е ksiyaga Α to ’ plamning o ’ zgarishi ( almashtirishi ) d е yiladi . Α to ’ plamning barcha o ’ zgartirishini GΑ bilan b е lgilaymiz . 9-таъриф. GΑ to ’ plamning H qism to ’ plami quyidagi shartlarni qanoatlantirsa unga o ’ zgartirishlar guruhi d е yiladi . g1)∀ f,g∈H uchun fg ∈H va gf ∈H ; g2)Α to’plamning birlik o’zgartiruvchisi eΑ ham H ga tеgishli. g3)∀ f∈H uchun f−1∈H . 1.3 Geometrik akslantirishning ba’zi xillari. Ma’lumki, nuqtalarning har qanday to’plamiga figura deyiladi va figuraning har bir nuqtasi shu to’plamning elementi deb ataladi. Shuning uchun har bir geometrik figurani nuqtaviy to’plam deb qarash mumkin. Masalan, kesma nuqtalarining to’plami, to’g’ri chiziq nuqtalarining to’plami, uchburchak nuqtalarining to’plami, kub nuqtalarining to’plami va h.k. Bir qancha fuguralarni nuqtalar to’plamlaridan tuzilgan to’plam deb qarash mumkin. Masalan, ko’pburchakning tomonlari va diagonallari to’plami, bitta aylanaga urinuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami, prizma yoqlari va diagonal kesimlari to’plami, bitta sferaga urinuvchi tekisliklar to’plami va h.k. 4-ta’rif. Tekislik nuqtalari to’plamidan iborat biror geometrik figurani ma’lum qonun yordamida akslantirib, shu tekislikning ikkinchi bir figurasiga o’tkazish ‒ geometrik almashtirish deyiladi. Tekislikni nuqta atrofida burish, markaziy simmetriya, o’q simmetriyasi, parallel ko’chirish va gomotetiyalar geometrik almashtirishning eng sodda ko’rinishlaridandir. Geometrik akslantirishni yana quyidagicha ham ta’riflash mumkin. 5-ta’rif. Ma’lum qoida asosida tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarning yo’li aniqlangan yoki qisqacha, akslantirish berilgan deyiladi va bu simvolik ravishda quyidagicha ko’rsatiladi: . (2) 18 Bundagi nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nuqta esa nuqtaning proobrazi (asli) deyiladi. Bunda f simvoli akslantirishning nimadan iboratligini ko’rsatadi. Tekis F figuraning har bir M nuqtasiga mos obrazlar to’plamidan iborat figura F fuguraning obrazi deyilib, F fugura esa figuraning proobrazi deyiladi va bu ham simvolik ravishda quyidagicha ko’rsatiladi: . (2 ) (2 ) ning ma’nosini quyidagicha bayon qilish ham mumkin: harakatdagi M nuqta F figuraning hamma nuqtalari vaziyatini olib o’tganda f akslantirish bo’yicha M mos nuqta ham o’z o’rinlarini o’zgartirib, figurani chizib beradi. nuqtaning vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog’liq bo’lgani uchun M nuqta nuqtaning argument, nuqta esa M nuqtaning funksiyasi deyiladi. (2 ) dagi F va figuralarning har biri bittagina nuqtadan, ayrim nuqtalar top’lamidan, ixtiyoriy chiziqdan yoki tekislikning biror bo’lagidan yoki tekislikdan iborat bo’lishi mumkin. Figuralarni akslantirish analitik usulda ham berilishi mumkin. 1-misol. 1-chizmadagi OX o’qda yotgan nuqtalarni tenglama yordamida koordinatalar boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqdagi nuqtalarga akslantirish mumkin. Buning uchun OX o’qdagi M(x,O) nuqtaga koordinatalari x va y=kx bo’lgan nuqtani mos keltirish kerak. Agar M nuqta OX o’qi bo’yicha siljisa, unga mos nuqta OA to’g’ri chiziq bo’yicha harakatlanadi. 2-misol. Ixtiyoriy AOB o’tkir burchakning bir tomonidagi nuqtalarni uning ikkinchi tomonidagi nuqtalarga turlicha akslantirish mumkin; bulardan biri OB tomon nuqtalariga shu nuqtalarning OA tomonidagi ortogonal proyeksiyalarini mos keltirishdir. 19 2-chizma. 3-misol. 3- chizmadagi AOB burchakning OB tomonidagi M, N,…, nuqtalarga OA tomondagi M , N , …, nuqtalarni shu burchakning bissektrisasiga o’tkazilgan perpendikulyarlar vositasida mos keltirish mumkin. Olgan misollarimizda M nuqtaga M ni, N nuqtaga N ni va h.k mos keltirdik. OB nurga har qanday nuqtaga shu akslantirishga asosan OA nurdan unga mos bo’lgan nuqtani topish mumkin. Shuning uchun quyidagilarni yoza olamiz: , ,… Xuddi shunday OA nurning M nuqtasi uchun OB nurda aniq bir M nuqtani toppish mumkin, ya’ni quyidagilar o’rinlidir: ,… Shuning uchun bunday aks ettirishlar qaytma akslanish bo’ladi. 3-chizma. 4-misol. 4-chizmadagi tenglama bilan berilgan parabola nuqtalariga uning simmetriya o’qi OY ning nuqtalarini mos keltirish mumkin. 20 4-chizma. Buning uchun parabolada yotgan nuqtaning absissasi x bo’lsa, nuqtani unga mos keltiramiz. nuqta nuqtaning OY dagi ortogonal proyeksiyasi deb ham qarash mumkin. Yuqoridagi 1,2,3-misollarning har birida obrazning ( OX o’q va OA to’g’ri chiziqning) har qanday nuqtasi bittagina obrazga ( M nuqtaga) ega bo’lib, 4- misoldagi OY obrazning O dan boshqa har qanday nuqtasiga ikkita proobrazga ( va nuqtalarga) egadir. Agar aylana nuqtalariga uning diametridagi ortogonal proyeksiyalari mos keltirilsa, diametrning uchlaridan boshqa har bir nuqtasi aylanada ikkita proobrazga ega bo’ladi. Agar doira nuqtalariga doiraning biror diametridagi ortogonal proyeksiyalari mos keltirilsa, diametrning uchlaridan boshqa har qanday nuqtasining proobrazlari shu nuqtadan diametrga perpendikulyar qilib o’tkazilgan vatarning cheksiz ko’p nuqtalaridan iborat bo’ladi. Shunday qilib, geometrik akslantirishlarda har bir nuqtaning proobrazi bittagina nuqtadan, ikkita nuqtadan va cheksiz ko’p nuqtalardan iborat bo’lishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtasining proobrazi bittagina nuqta bo’lgan obrzalarni hosil qiluvchi akslantirishlar katta ahamiyatga egadir. 21 Bunday akslantirishlarga, odatda, o’zaro bir qiymatli akslantirish deyiladi va bundagi F proobraz bilan nuqtalari orasidagi moslikka o’zaro bir qiymatli moslik deyiladi. Yuqorida ko’rilgan misollardan 1,2,3-lari o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lib, 4-misoldagi akslantirish o’zaro bir qiymatli emas. Agar akslantirish o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lsa, har bir M obrazga bittagina M ni mos keltiruvchi (ya’ni obrazdan proobrazga o’tishdan iborat) akslantirish f akslantirishga nisbatan teskari akslantirish deb ataladi va bilan belgilanadi: . Geometriyada uchraydigan hamma o’zaro bir qiymatli akslantirishlar ichida harakat deb ataluvchi akslantirishlar muhim o’rin tutadi. Geometriyada harakat quyidagicha ta’riflanadi: agar akslantiruvchi figuraning har qanday ikki M va N nuqtalarini tutashtiruvchi MN kesma shu nuqtalarning obrazlari va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaga teng bo’lsa, bunday akslantirish harakat deb ataladi. Demak, harakatda aks ettiriluvchi figuraning har ikki nuqtasi orasidagi masofa o’zgarmaydi(salanadi), ya’ni harakat qayta akslanishdir. Yuqorida ko’rilgan misollardan uchinchisi harakatdir(3-chizma), chunki yasalishiga ko’ra M bilan N kesmalar OC bissektrisaga perpendikulyar bo’lgani uchun va ; bundan . Qolgan uchta misolda ko’rilgan akslantirishlarning birortasi ham harakat bo’la olmaydi. Agar f akslantirish harakat bo’lsa, bu akslantirish o’zaro bir qiymatli bo’ladi. Haqiqatan, obraz bitta proobrazga emas, balki ikkita proobrazga ega deb faraz qilaylik. Bu holda harakatning ta’rifiga ko’ra, bo’lishi kerak, ya’ni nuqtalar ustma-ust tushishi lozim, ammo nuqtalar har xil bo’lgani uchun bu tenglik bajarilmaydi. Demak, harakat natijasida har bir obraz birgina proobrazga ega bo’lib, akslantirish o’zaro bir qiymatli bo’ladi. 22 Agar F figura harakat bo’lgan akslantirish natijasida figuraga o’tsa, F va figuralar o’zaro teng deb ataladi. Harakat bilan tenglikning ta’riflaridan ma’lum bo’ladiki, harakat teng figuralarning nuqtalari orasidagi bir qiymatli moslikdir, ya’ni harakat har bir figurani o’ziga teng figuraga o’tkazuvchi akslantirishdir. Uzluksiz akslantirishning xossalari. Teorema . Aytaylik akslantirish fazoning a nuqtasida, akslantirish fazoning nuqtasida uzluksiz bo’lsin. U holda ni ga akslantiruvchi murakkab akslantirish a nuqtada uzluksiz bo’ladi. Isboti . fazo nuqtasining ixtiyoriy atrofini olamiz. akslantirish nuqtada uzluksiz va bo’lganligi sababli, nuqtaning shartni qanoatlantiruvchi atrofi mavjud. Shunga o’xshash, T akslantirish a nuqtada uzluksiz bo’lganligi sababli, bu nuqtaning shartni qanoatlantiruvchi atrofi mavjud. holda ga ega bo’lamiz. Bu esa akslantirishning a nuqtada uzluksiz ekanligini isbotlaydi. Teorema . Agar T akslantirish metrik fazoni metrik fazoga aks ettiruvchi uzluksiz akslantirish bo’lsa, u holda fazodan olingan ixtiyoriy ochiq to’plamning fazodagi proobrazi ochiq, yopiq to’plamniki esa yopiq bo’ladi. Isboti . Aytaylik to’plam da ochiq bo’lsin. fazodagi to’plamning barcha nuqtalari ichki nuqta ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik bo’lsin. U holda va ochiq bo’lganligidan b nuqta to’plamning ichki nuqtasi bo’ladi. Shuning uchun bu nuqtaning ga to’laligicha tegishli bo’lgan atrofi mavjud. akslantirishning a nuqtada uzluksizligidan nuqtaning shunday U atrofi mavjud bo’lib, 23 bo’ladi. U holda , bundan esa kelib chiqadi. Bu esa ixtiyoriy nuqtaning ga tegishli atrofi mavjudligi, ya’ni a ichki nuqta ekanligini isbotlaydi. Shuning uchun ochiq to’plam.Yopiq to’plamning to’ldiruvchisi ochiq ekanligidan, fazoda biri ikkinchisiga to’ldiruvchi to’plamlarning proobrazlari, fazoda ham biri ikkinchisiga to’ldiruvchi bo’lishidan va teoremaning isbot qilingan qismidan ikkinchi qismning isboti kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Uzluksiz akslantirishda, ochiq to’plamning obrazi har doim ham ochiq bulavermaydi. Masalan, uzluksiz akslantirishda intervalning obrazi kesmadan iborat. Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar Teorema . Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompakt to’plam bo’ladi. Isboti . Aytaylik kompakt to’plam va uzluksiz akslantirish bo’lsin. to’plamning kompakt ekanligini isbotlash kerak. to’plamdan ixtiyoriy ketma-ketlikni olib, orqali nuqtaning akslantirishdagi obrazini belgilaymiz. U holda to’plamdagi ketma- ketlikka ega bo’lamiz. kompakt to’plam bo’lganligi sababli bu ketma-ketlikdan to’plamning biror nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. T akslantirishda bu qism ketma-ketlik ning {xnk '} qism ketma- ketligiga o’tadi. T akslantirishning s nuqtada uzluksizligidan lim k→∞ x’nk= limk→∞T (xnk)= T(limk→∞xnk)=  . Shunday qilib, to’plamdan olingan har bir ketma-ketlik da yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega. Bu esa to’plamning kompakt ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi. Aytaylik metrik fazoda uzluksiz funkstional berilgan bo’lsin. Teorema . funkstional kompakt to’plamda chegaralangan hamda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. 24 Isboti . Yuqoridagi teoremaga asosan funkstionalning qiymatlar to’plami , kompakt to’plam bo’ladi. Demak, chegaralangan, ya’ni shunday va sonlar topilib, bo’ladi. Bundan funkstionalning da chegaralanganligi kelib chiqadi. to’plamning chegaralanganligidan, uning aniq yuqori va aniq quyi chegaralari mavjud. Endi belgilash kiritamiz va 0 ga yaqinlashuvchi ketma- ketlikni olamiz. Aniq yuqori chegaraning ta’rifiga ko’ra, ketma-ketlikning har bir hadi uchun, M to’plamga tegishli shunday x nuqtalar topilib,  - tengsizliklar o’rinli bo’ladi. So’nggi tengsizlikni qanoatlantiruvchi x nuqtalardan birini bilan belgilaymiz. U holda bu nuqtalar uchun tengsizliklar o’rinli bo’ladi. O’osil bo’lgan ketma-ketlikdan to’plamning nuqtasiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratamiz. Bu nuqtada funkstional uzluksiz, shu sababli f(x 0 )=lim k→∞ f(xnk)= α bo’ladi. Demak, funkstional o’zining eng katta qiymatini qabul qiladi. Shunga o’xshash, funkstionalning eng kichik qiymatiga erishishi isbotlanadi. Teorema isbot bo’ldi. metrik fazoda uning biror qism to’plami va funkstional berilgan bo’lsin. Ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday topilsaki, shartni qanoatlantiruvchi har qanday x 1 ,x 2  M uchun ushbu |f(x2)− f(x1)|<ε tengsizlik bajarilsa, u holda f funkstional M to’plamda tekis uzluksiz deyiladi. 25 to’plamda tekis uzluksiz funkstionalning shu to’plamda uzluksiz bo’lishini ko’rish qiyin emas. Haqiqatan, aytaylik nuqta to’plamga tegishli bo’lsin. Hadlari to’plamga tegishli bo’lib, nuqtaga yaqinlashuvchi biror ketma-ketlikni tuzib olamiz. U holda, ixtiyoriy uchun shunday topiladiki, etarlicha katta n larda tengsizlikning bajarilishidan tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun sonli ketma-ketlik ga yaqinlashadi. Bu esa funkstionalning nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi. Tanlashimizga ko’ra nuqta to’plamning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligi sababli, f funkstional to’plamda uzluksiz bo’ladi. Quyidagi teorema funkstional tekis uzluksizligining etarli shartini ifodalaydi. Teorema (Kantor). Agar metrik fazodagi funkstional kompakt to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda funkstional shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. Isboti . funkstional to’plamda uzluksiz, lekin tekis uzluksiz bo’lmasin deb faraz qilamiz. II-BOB.GEOMETRIK AKSLANTIRISHLAR VA ULARNING QO’LLANILISHI 2.1 Simmetriya va parallel ko’chirish lari Simmetriya so’zi grekcha so’zdan olingan bo’lib, uning lug’aviy ma’nosi o’lchovdosh demakdir. Geometriyada esa simmetriya yoki simmetrik deganda ikki teng figuraning biror to’g’ri chiziqqa(nuqtaga yoki biror tekislikka) nisbatan ma’lum qonun asosida bir xil vaziyatda joylashuvlari tushuniladi. Ta’riflar 26 Tekislikdagi har qanday ikki nuqta ularni tutashtiruvchi kesmaning o’rta perpendikulyaralriga nisbatan simmetrik nuqtalar deb ataladi. Bu ta’rifga ko’ra, tekislikda berilgan har qanday A nuqtaga shu tekislikdagi biror S to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik nuqta quyidagi talablarga javob berishi shart: 1) A to’g’ri chiziq S to’g’ri chiziqqa perpendikulyar; 2) A va nuqtalar 2) S to’g’ri chiziqdan har xil tarafda; 3) A va nuqtalar S to’g’ri chiziqda bir xil uzoqlikda yotadi. S to’g’ri chiziq A va nuqtalarning simmetriya o’qi deb ataladi. O’qda yotuvchi har bir nuqta o’z-o’ziga simmetrik deb hisoblanadi. Har xil A va nuqtalar bittagina simmetriya o’qiga ega bo’ladi. Tekislikning har bir A nuqtasiga S o’qqa nisbatan simmetrik nuqtani mos keltirish simmetrik akslantirish deyiladi. S o’qqa nisbatan A nuqtaga simmetrik nuqta bo’ladideyish o’rniga biz qisqacha (3) deb yozamiz. Agar bo’lsa, bo’lishini ko’rish qiyin emas, demak, nuqta nuqtaga va aksincha, nuqta nuqtaga S to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik nuqtalardir, shuning uchun ularni S to’g’ri chiziqqa nisbatan o’zaro simmetrik deb ataymiz. Bunday xossaga ega bo’lgan akslantirishlar involyutsion akslantirish deyiladi. Biror F figurani tashkil etuvchi nuqtalarga S to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik nuqtalardan tuzilgan figura S o’qqa nisbatan F figuraga nisbatan simmetrik deyiladi va (4) ko’rinishida yoziladi(5-6-chizmalar). 27 5-chizma 6-chizma (4) dagi figuraning ixtiyoriy nuqtasi figuradagi birgina nuqtaning obrazidir. Shuning uchun simmetriya o’zaro bir qiymatli akslantirishdir. Simmetrik akslantirishdan foydalanib yasashga doir masalalarni yechish simmetriya i deyiladi. Bu bilan masala yechishda so’ralgan figurani topildi deb faraz qilib, taxminan chizib qo’yilgandan keyin, bu figuraning lozim topilgan biror f bo’lagi yoki berilganlardan ba’zilari shunday bir o’qqa nisbatan shunday akslantiriladiki, hosil bo’lgan figura bilan figura elementlari orasidagi bog’lanishdan foydalanib, asosiy talabga javob beradigan yordamchi figura topiladi. Bu 28 yordamchi figurani masalada berilganlarga tayanib yasash va bu figuradan izlangan figuraga o’tish mumkin bo’lishi shart. Shu ikki talabga javob beruvchi figuraning analiz chizmasida topilishi bilan masalani yechish plani tuzilib qoladi. 1-masala . Ikki tomoni va shu tomonlar qarshisidagi burchaklarining ayirmasi berilgan uchburchak yasang. Analiz. Izlangan uchburchak 7-chizmadagi ABC uchburchak bo’lib, uning BC=a, AB=c tomonlari va ular qarshisidagi burchaklar ayirmasi berilgan bo’lsin. 7-chizma Berilgan burchakni chizish uchun ABC uchburchak AC tomonining o’rta perpendikulyariga ( S o’qqa) nisbatan simmetrik akslantiraylik. va uchburchaklarda: bo’ladi. ga teng burchakli uchburchakda tomonlari va ular orasidagi burchak ma’lum. Demak, bu uchburchakni (yordamchi figurani) yasash mumkin. Ikkinchidan, uchburchaklardan izlangan ABC uchburchakka o’tish mumkin. Haqiqatan, uchburchakni, uning tomonining S o’rta perpendikulyarlariga nisbatan simmetrik akslantirsak, bundan hosil bo’ladi. Shuning bilan ABC uchburchakning C uchi ham aniqlanadi. 29 Demak, masalada berilganlar bo’yicha izlangan uchburchakni yasash uchun avval berilgan a va c tomonlar va ular orasidagi burchak bo’yicha uchburchakni yasab, so’ngra tomonining o’rta perpendikulyarlariga nisbatan A nuqtani C nuqtaga simmetrik akslantirish kerak. ABC uchburchak izlangan uchburchak bo’ladi. Parallel ko’chirish Agar tekislikda ixtiyoriy V vektor berilgan bo’lsa, tekislikdagi har bir A nuqtaga shartni qanoatlantiruvchi bittagina A nuqtani mos keltirish mumkin. Shunga ko’ra, tekislikning biror A nuqtasini (5) shartni qanoatlantiruvchi nuqtaga keltiishni ma’lum V vektor qadar parallel ko’chirish deb ataladi. Tekislikning A va nuqtalari orasiga o’rnatilgan (5) moslikni quyidagi shaklda belgilashni shart qilamiz: (5 ) va buni quyidagicha o’qiymiz. A nuqtani V vektorga qadar parallel ko’chirsak, nuqta hosil bo’ladi. (5 ) dagi nuqta A nuqtaning obrazi, A nuqta esa nuqtaning proobrazi bo’ladi. Parallel ko’chirishning asosiy xossalari Birinchi xossa. Tekislikda parallel ko’chirish tekislik nuqtalarini o’zaro bir qiymatli akslantirishdir, ya’ni parallel ko’chirishda, tekislikning bitta nuqtasiga o’sha tekislikning bittagina nuqtasi mos keladi va, umuman, F figurani parallel ko’chirishdan hosil bo’ladigan obrazning har bir nuqtasiga nuqtasi F figuraning bittagina M nuqtasini ko’chirishdan hosil bo’ladi. Ikkinchi xossa. Parallel ko’chirish harakatdir, ya’ni har bir figurani parallel ko’chirishdan unga teng figura hosil bo’ladi. 30 Haqiqatan, 8-chizmadagi F va mos figuralarning A va , B va mos nuqtalaridan A bilan B ni va bilan ni tutashtirishdan tenglik hosil bo’ladi. Buning to’g’riligiga to’rtburchakning parallelogrammligi asos bo’ladi. 8-chizma Bu bajarilgan akslantirishning harakat ekanligini tasdiqlaydi. Bundan, parallel ko’chirishda har bir figuraning o’ziga teng figuraga o’tishi ma’lum bo’ladi. Bu bilan masala yechish asosan quyidagi tartibda bajariladi: I. Masalada so’ralgan F figura, odatdagicha topiladi deb faraz qilib, taxminan chizib qo’yiladi. II. Chizilgan taxminiy figuraning lozim topilgan biror bo’lagi yoki uning chiziqli elementi shunday parallel ko’chiriladiki, uning va ba’zi bir qo’shimcha chiziqlarning chizilishi natijasida yordamchi f figura hosil bo’ladi. 2-masala. Asoslari va diogonallari berilgan trapetsiya yasang . Analiz. Izlanuvchi trapetsiya 9-chizmadagi ABCD trapetsiya deb faraz qilaylik.uning berilgan elementlarini bir uchburchakka keltirish uchun berilgan chiziqli elementlardan birirni parallel ko’chirib ko’raylik, chunonchi, AC diagonalni CB asosi bo’yicha siljitib(parallel ko’chirib) uni B holatga keltiramiz, buning uchun B nuqtadan to’g’ri chiziq o’tkazib, DA asosni bu chiziq bilan kesishguncha davom ettiramiz. 31 9-chizma Bundan hosil bo’lgan uchburchak yordamchi figura bo’ladi, chunki: A) uchburchakning uchala tomoni ma’lum va BD ham ma’lum. Shuning uchun ham bu uchburchakni yasay olamiz. B) uchburchakdan izlanuvchi ABCD trapetsiyaga o’tish uchun uning A va C uchlarini topish kifoya. Bu masadda uchburchakning tomonini kesma qadar parallel ko’chiramiz. 32 2.2 Nuqta atrofida aylantirish Tekislikning biror O nuqtasi atrofida yo’nalishi va kattaligi berilgan burchak miqdorida aylantirish(burish) deb, bu tekislikning har bir nuqtasi uchun (6) talabga javob beruvchi nuqtani mos keltirishga aytiladi(10-chizma). Ta’rifda aytilgan O nuqta ― aylantirish markazi, esa aylantirish burchagi (ba’zan burish burchagi) deyiladi, nuqta M nuqtaning obrazi, M nuqta esa nuqtaning proobrazi deyiladi. (6) da aytilgan aylantirishni qisqacha bunday yozishga shartlashib olamiz: (6 ) Aylantirishning asosiy xossalari 1) Aylantirish harakatdir. Haqiqatan, 11-chizmada ko’rsatilganidek va bo’lsa, undagi AOB va uchburchaklarning tengligidan ma’lum bo’ladi. Bu esa aylantirishning harakat ekanligini tasdiqlaydi. Shuning uchun aylantirish o’zaro bir qiymatli almashtirishdir. 10-chizma 33 11-chizma 2) Bir nuqta atrofida bajarilgan hamma aylantirishlar to’plami ( ), ularni ko’paytirish(qo’shish)ga nisbatan gruppa tashkil etadi. 3) O’qlari parallel bo’lmagan, ketma-ket bajarilgan ikkita simmetrik almashtirish nuqta atrofida aylantirishga teng kuchlidir. 3-masala. Bir uchi berilgan A nuqtada, B va C uchlari esa mos ravishda berilgan b va c parallel to’g’ri chiziqlarda yotuvchi teng tomonli ABC uchburchak yasang. Analiz. ABC uchburchak ― izlangan teng tomonli uchburchak deb faraz qilaylik(12-chizma). 12-chizma 34 ABC uchburchakning AB tomonini, b to’g’ri chiziqni A nuqta atrofida burchak miqdorida shunday aylantiraylikki, AB tomon AC tomon ustiga tushsin. Bu holda uchburchakning b to’g’ri chiziqdagi B uchi uning C uchiga tushib, b to’g’ri chiziq esa C nuqtadan o’tuvchi vaziyatga keladi. Demak, uchburchakning C uchi c va to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtasida bo’lar ekan. Yasash. Berilgan to’g’ri chiziqlardan birini, masalan, b to’g’ri chiziqni berilgan A nuqta atrofida (yoki )burchakka aylantiramiz. Bundan hosil bo’lgan to’g’ri chiziq bilan berilgan c to’g’ri chiziqning kesishgan nuqtasi ― izlangan uchburchakning C uchi bo’ladi. Topilgan C nuqtani A nuqta atrofida li burchakka aylantirib, b to’g’ri chiziqda B nuqtani topamiz. 4-masala . Ikki tomoni va uchinchi tomoniga o’tkazilgan medianasi berilgan uchburchak yasang. Analiz. ABC uchburchak―izlangan uchburchak(13-chizma), AB, BC berilgan tomonlari va BD berilgan medianasi bo’lsin. 13-chizma CD tomonli BCD uchburchakni D nuqta atrofida ga aylantirsak, AD va DC kesmalarning tengligidan uning CD tomoni AD kesma ustiga tushadi. Bu holda BCD uchburchakning B uchi E nuqtaga va C uchi A nuqtaga tushib, o’zi AED uchburchak vaziyatiga keladi. DE kesma ning davomi bo’ladi. Hosil bo’lgan ABE uchburchak yordamchi figura bo’ladi. Haqiqatan ham: 35 A) Masalada berilgan va hamda elementlar bo’yicha ABE uchburchakni yasash mumkin. B) ABE uchburchakdan ABC uchburchakka o’tish mumkin: BE tomonning o’rtasi D ni topib, ubi A nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo’lgan ADE uchburchakni D nuqta atrofida ga aylantirib, uni BDC uchburchak holiga keltiramiz. ABC uchburchak ― izlangan uchburchak bo’ladi. Bu yerda inversion almashtirish ning quyidag i teorema bilan ifodalanuvchi yana bir muhim xossasi bilan tanishamiz. Teorema. Ikki c hiziq orasidagi burchak 1 1 ularga inversion mos chiziklar orasidagi burchakka kongrue nt bo’ladi. Chiziqlar orasidagi burchakni o’zgartirmaydigan almashtirishlar konform almashtirish deb ataladi. Bu n i isbot qilish uchun (20- chizmadagi) va egri chiziqlarga inversion mos bo’lgan va egri chiziqlarni chizaylik. bilan chiziqlar nuqtada va bilan esa nuqtada kesish sin. Bu holda A’ nuqta A nuqtaga inversion mos bo’ladi. Inversiya markazi nuqtadan egri chiziqlarni mos ravishda nuqtalarda kesib o’tuvchi ixtiyoriy bir nur o’tkazamiz. So’ngra, nurni ham chizib, nuqtani va nuqtalar bilan hamda nuqtani va nuqtalar bilan tutashtiramiz. Bundagi bilan va bilan to’gri chiziqlarning burchakka nisbatan antiparallel ekanligidan foydalanib (13- chizmadagi ni isbot qilishda qo’llanilgan yo’l bilan), tenglikning to’g’riligini isbot qilish mumkin. Agar nurni atrsfida aylantirib, burchakni kichraytirib borsak, undagi va nuqtalar nuqtaga, va 1 36 nuqtalar esa nuqtaga yaqinlashib boradi , bu vaqtda yuqoridagi tenglik hamma vaqt o’z kuchini saqlab qoladi. Bu holda (ya’ni burchak ga intilganda) undagi kesuvchilar va yoylarning nuqtasiga o’tkazilgan urinmalar vaziyatiga intilib, va kesuvchilar esa va yoylarning umumiy nuqtasiga o’tkazilgan urinmalar vaziyatiga intiladilar. Shu bilan birga, ushbular ham mavjud : nolga intilganida va ning qiymatlari o ’ zaro teng bo ’ lib qolganligi uchun ularning limitlari ham o ’ zaro teng bo ’ ladi , ya ’ ni yoki Chizmadan ko’rinadiki, va burchaklar faqat absolyut qiymatlari jihatidan teng bo’lib, ularning ishoralari har xildir. T eorema. O’zaro inversion mos bo’lgan ikki nu q tadan o’tuvchi aylana o’z-o’ziga inversion va inversiya aylanasiga ortogonal bo’ladi. Buni isbot qilish uchun aylanaga nisbatan inversion va nuqtalardan o’tuvchi, biror aylanani chizaylik. Bu aylana bilan inversiya aylanasinyng kesishgan nuqtalarini va bilan belgilaylik. Bu holda aylanaga nisbatan aylanaga inversion bo’lgan ikki aylana, albatta, shu va nuqtalardan o’tadi; shuning uchun aylana aylananing o’zi bo’ladi. Bundan va aylanalarning o’zaro ortogonalligi ma’lum bo’ladi. 37 Teorema. Har biri inversiya aylanasiga ortogonal bo’lgan ikki aylananing kesish iSh nuqta lari o’zaro inversion mos bo’ladi. aylanaga ortogonal bo’lgan va aylanalarning kesishgan va nuqtalarining o’zaro inversion mos bo’lishlari ravshan, chunki birinchi teoremaga teskari teoremaga muvofiq, vnversiya aylanasiga ortogonal bo’lgan aylanaga inversion figura o’sha aylananing uzi bo’ladi. Shuning uchun bilan aylanalarning kesishgan nuqtalari ham o’zaro inversion mos bo’ladi. Teorema. Agar aylana va unga nisbatan o’zaro inversion mos va nuqta lar boshqa bir aylanaga nisbatan inversion almashtirish natijasida mos ravishda aylanaga hamda va nuqtalarga akslansa, so’nggi va nuqta lar aylanaga nisbatan ‘o’zaro inversion bo’ladi. . Bu teoremani, qisqacha, quyidagicha ifoda qilish mumkin; Agar b o’lsa, bo’ladi 1 . Buni isbot qilish uchun va nuqtalardan va aylanalarni o ’ tkazaylik . Birinchi teoremaga muvofiq, keyingi aylanalarning har biri inversiya aylanasi ga ortogonal bo’ladi. va aylanalar aylanaga nisbatan va aylanalarga inversion mos aylanalar bo’lsin. Inversion almashtirishda burchakning absolyut qiymati o’zgarmagani uchun va lar ga ortogonal bo’lib, va nuqtalardano’tadilar. Demak (bundan oldingi teoremaga binoan) va nuqtalar aylanaga nisbatan inversion mos bo’ladi. 2.3 Inversiya haqida tushuncha Inversiya so’zi lotincha inversion so’zidan olinib, buning ma’nosi tekarisini ag’darish yoki o’rinlarini akslantirish demakdir. 38 Inversiya―muhim geometrik akslantirishlardan biri bo’lib, u boshqa lar yordamida yechilishi qiyin bo’lgan konstruktiv masalalrni osonroq masalaga keltirib yechishga imkon beradi. Inversiya geometriyaning boshqa ko’pgina sohalarida va ba’zi bir mexanizmlarning, masalan, turli inversorlarning tuzilishi va ishlatilishini nazariy asoslashda ishlatiladi. 6-ta’rif. Agar biror aylana markazidan chiqqan nurning ikki nuqtasidan shu aylana markazigacha bo’lgan masofalarning ko’paytmasi aylana radiusining kvadratiga teng bo’lsa, bunday ikki nuqta bu aylanaga (yoki uning markaziga) nisbatan inversion mos nuqtalar deyiladi. Bu ta’rifga ko’ra, biror u(O,r) aylana tekisligidagi ( O nuqtadan boshqa) A va nuqtalar shu aylanaga nisbatan inversion mos bo’lishi uchun bular quyidagi ikki talabni qanoatlantirishi shart: 1) nuqta OA nurda yotadi; 2) munosabat mavjud; (7) 3) O nuqta A va nuqtalar oralig’ida yotmaydi. Yuqorida aytilgan u aylana ― inversiyaning asosiy aylanasi yoki inversiya aylanasi deyilib, bu aylananing markazi ― inversiya markazi (yoki qutbi) deyiladi; inversiya aylanasining radiusi ― inversiya darajasi (yoki koeffitsiyenti) deyiladi. 7-ta’rif. u(O,r) aylana tekisligidagi (O nuqtadan boshqa) har bir A nuqtani OA nurda yotgan va shartni qanoatlantiruvchi nuqtaga o’tkazuvchi akslantirish ― inversion akslantirish yoki inversiya deyiladi(14- chizma). 39 14-chizma Bu da izlanuvchi figura bilan masalada berilganlar orasidagi bog’lanishni bevostita aniqlamay, oldin ularga iversion mos figuralar orasidagi munosabat topiladi, so’ngra izlanuvchi figuraga o’tiladi. Bu ish quyidagi tartibda bajariladi: 1. Masalada izlanuvchi figura topildi deb, taxminan chizib qo’yiladi. 2. Mo’ljallab shunday bir nuqtani inversiya markazi deb qabul qilinadiki, bu nuqtani markaz qilib chizilgan aylanaga nisbatan berilgan va so’ralganlarni inversion akslantirganda masala yechishning osonroq yo’li topilsin, ya’ni masalada berilgan va so’ralganlar orasidagi munosabatga qaraganda ularga inversion mos figuralar orasidagi munosabat soddaroq bo’lsin. 3. Chizilgan inversion figuralar orasidagi munosabatni o’rganib, so’ralgan figuraga mos figurani yasash mumkinligi aniqlanadi, ya’ni berilgan masalaga nisbatan ososnroq bo’lgan yordamchi masalani yechish yo’li belgilanadi. Shu bilan masalani yechishning analiz bosqichi tugaydi. 5-masala. Berilgan ikki nuqtadan o’tib, berilgan aylanaga urinuvchi aylana chizing. Analiz. Izlanuvchi aylana 15-chizmadagi M va N nuqtalardan o’tuvchi va berilgan A(O,R) aylanaga urinuvchi aylana deb faraz qilaylik. Berilgan nuqtalaradan birortasini, masalan, M nuqtani inversiya markazi deb qabul qilib, shu markazdan ixtiyoriy radius bilan inversiya aylanasi u ni chizib qo’yamiz. 40 15-chizma u aylanagan nisbatan N nuqta, A va aylanalarni inversion akslantiririb, ularga mos bo’lgan nuqta, aylana va to’g’ri chizizqni hosil qilamiz. Farazimizga binoan izlanuvchi aylana berilgan nuqtalardan o’tib, A aylanaga uringanligi uchun to’g’ri chiziq ham nuqtadan o’tib, aylanaga urinadi. Demak, to’g’ri chiziqni: “ma’lum nuqtadan ma’lum aylanaga urinma o’tkazing” degan yordamchi masalani yechib topamiz; so’ngra, topilgan ni u ga nisbatan inversion akslantirib, aylanani topamiz. Demak, to’g’ri chiziq yordamchi figura bo’ladi, chunki uni berilganlarg tayanib chizish va undan izlanuvchi figuraga o’tish mumkin. Yasash. 1. Berilgan nuqtalardan bittasini, masalan, M nuqtani inversiya markazi deb qabul qilib, shu markazdan ixtiyoriy radius bilan inversiya aylanasi u ni chizamiz. 2. Berilgan N nuqta va A aylanani u unversiya aylanasiga nisbatan inversion akslantirib, nuqta va aylanani hosil qilamiz. 3. nuqtadan aylanaga va urinmalarni o’tkazamiz(umumiy holda ikkita urinma mavjud, 15-chizmada faqat bitta urinma ko’rsatilgan). 4. Topilgan urinmalarni u inversiya aylanasiga nisbatan akslantirib, so’ralgan va aylanalarga ega bo’lamiz. 6-masala. Berilgan nuqtadan o’tib, berilgan ikki to’g’ri chiziqqa urinuvchi aylana chizing. 41 16-chizma Analiz. Izlanuvchi aylana 16-chizmada berilgan M nuqtadan o’tib, a va b to’g’ri chiziqlarga urinuvchi ayalana deb o’ylayalik. M markazdan ixtiyoriy radius bilan chizilgan u aylanaga nisbatan a va b to’g’ri chiziqlarni va aylanani inversion akslantiraylik. a va b to’g’ri chiziqlar mos ravishda aylanalarga, aylana esa bularga urinuvchi to’g’ri chiziqqa aylansin. Demak, masalani yechish uchun avval a va b to’g’ri chiziqlarni M markazli ixtiyoriy u aylanaga nisbatan inversion akslantirib, bundan hosil bo’lgan aylanalarga umumiy urinmalar o’tkaziladi. So’ngra, topilgan umumiy urinmalarni u aylanaga nisbatan inversion akslantirib, izlanuvchi aylanalar hosil qilinadi. To’g’ri chiziqni inversion almashtirish Teorema. Inversiya markazidan o’tuvchi to’g’ri chiziqq a inversion mos figura shu to’g’ri chiziq ning o’zidir. Haqiq at an, teoremada aytilgan to’g’ri chiziqning inversiya aylanasi 42 bilan kesishish nuqtalarining har biri (inversiya aylanasiga q a rashli bo’lgani uchun) inversion almashtirish da o’sha nuqtaning o’ziga o’tadi. Ikkinchi tomondan, inversiya markazidan chiqqan nurning har bir nuqtasi inversion almashtirish da yana o’sha nurda yotuvchi ikkinchi bir nuqtaga o’tadi . Demak, teorema o’rinli. Bunda yana quyidagilarni ham nazarda tutiladi: a) inversiya markazidan chiqqan nurning inversiya aylanasi ichida joylashgan bo’lagi, o’sha nurning tashqi bo’lagiga o’tadi va, aksincha (6- chizma); b) inversiya markazidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning nuqtasiga (ya’ni inversiya markaziga) hech qanday nuqta inversion mos kelmaydi va uning o’zi ham hech qanday nuqtaga inversion mos bo’lmaydi. Teorema. Inversiya markazidan o’tmovchi to’g’ri chiziqqa inversion mos figura inversiya markazidan o’tuvni aylanadir. Bu teoremani turli yo’llar bilan isbot qilish mumkin; bu paragrafda quyidagi ikki yo’lni ko’ramiz: B i r i n c h i y o ’ l . Inversiya aylanasining markazidan berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushirib, bu perpendikulyarning asosi bo’lgan nuqtaga inversion mos nuqtani topamiz (7- chizma). So’ngra to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini inversion akslantirib, nuqtani topaylik. Endi 43 va nuqtalarning qanday figuraga qarashli ekanligini - aniqlaymiz. Buning uchun va nuqtalarni o’zaro tutashtirib, va kesmalarning burchakka nisbatan antiparallelligidan foydalanamiz. Bundan oldingi § dagi I natijaga binoan: bo ’ lib , bularning keyingisi yasalishiga ko ’ ra to ’ g ’ ri burchak bo ’ lgani uchun oldingisi ham to ’ g ’ ri burchak bo ’ ladi . Shu sababli nuqta kesmani diametr qil i b chizilgan aylanada yotadi . Agar nuqta to ’ g ’ ri chiziq bo ’ yicha harakatlansa , unga mos bo ’ lgan nuqta aylana bo ’ yicha harakatlanadi . Aksincha, aylananing ( dan boshqa) har bir nuqtasi uchun to’g’ri chiziqda unga inversio n mos bo’lgan nuqtani topish mumkin. Haqiqatan, agar nur to’g’ri chiziq bilan nuqtadan kesish sa, bo’lgani uchun o’tgan § dagi II natijaga asosan bo’ladi. Bu esa va nuqta l arning o’zaro inversion mos ekanligini ko’rsatadi. I k k i n c h i y o ’ l . Bunda ham birinchi yo’lda aytilgan va nuqtalarga. mos va nuqtalarni topib, quyidagicha muhokama yuritamiz. Bundan oldingi § dagi teoremaga asosan nuqtalardan o’tuvchi a aylanani chizaylik (8- chizma). burchak yasalishiga ko’ra, to’g’ri burchak bo’lgani uchun yoy yarim aylana bo’ladi. Shuning uchun aylananyng ikkinchi yarmiga tiralgan burchak ham to’g’ri burchak bo’lib, unga qo’sh ni bo’lgan burchak ham to’g’ri bo’ladi. Demak, nuqta diametr bilan chizilgan aylanada yotadi. Endi aylananing (O dan boshqa) har bir nuqtasi to’g’ri chiziqdagi biror nuqtaga inversion mos bo’lishini ko’rsatamiz. Bu fikrning to’g’riligiga 44 quyidagi yo’l bilan ishonch hosil qilish mumkin. nur to’g’ri chiziq bilan nuqtada kesish sin. 8 - chizmadagi figuralarning yasalishiga binoan quyidagi tengliklar mavjuddir: Bundan to’rtburchakka tashqi aylana chizish mumkinligi bilinadi. aylanani c hizib, unga o’tkazilgan va kesuv c hilar uchun quyidagilarni yozamiz: Bu tenglik va nuqtalarning o ’ zaro inversion mosligini bildiradi . Demak, aylananing ( dan boshqa) har bir nuqtasi uchun to’g’ri chiziqda unga mos nuqta topish mumkin. Demak, inversiya aylanasi tekisligidagi biror nuqta inversiya markazidan o’tmovchi to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilganida, uning obraz bo’lgan nuqta inversiya markazi- dan o’tuvchi aniq bir aylana chizadi; nuqta o’zining bunday harakatida inversiya markazidan „irg’ib* o’tadi. Yuqoridagilardan, to’g’ri chiziqni inversion almashtirish - ning quyidagi umumiy usuli ma’lum bo’ladi; inversiya mar- kazidan o’tmovchi to’g’ri chiziqning inversiyasini chizish uchun inversiya markazi. dan bu to ’ g ’ ri chiziqqa perpendikulyar o ’ tkazib , uning to ’ g ’ ri chiziqdagi asosi belgilanadi nuqtani inversion akslantirib nuqta topiladi . Nihohat kesmani diametr qilib aylana chizilgan shu aylana berilgan to’g’ri chiziqning inversion aksi hisoblanadi. Shuning bilan birga, to’g’ri chiziqni inversion akslantirishda uchraydigan 45 xususiy hollarni ko’zdan kechirib o’taylik: I. Inversi ya aylanasi bilan umumiy nuqtaga ega bo’lmagan to’g’ri chiziqqa inversion mos figura inversiya aylanasi ichida yotib, uning markazidan o’tuvchi aylanadir (8- chizma). II. Inversi ya aylanasiga urinuvchi to’g’ri chiziqqa mos fi- gura inversiya markazidan o’tib, o’sha to’g’ri chiziqqa urinuvchi aylanadir (9- chizma). III. Inversi ya aylanasini kesib, uning markazidan o’tmovchi to’g’ri chiziqqa inversion mos figura inversiya markazi vaberilgan to’g’ri chiziqning inversiya aylanasi bilan kesishish nuqtalaridan o’tuvchi aylanadir (9- 10- chizmalar). IV.Inversiya markazidan o’tmovchi parallel to’g’ri chiziqlarga inversion mos figuralar inversiya markazida bir-biriga urinuvchi aylanalardir va, aksincha (9- va 10- chizma). IV. V. Inversiya markazidan o’tmaydigan, biroq, o’zaro 46 Kesishuvchi to’g’ri chiziqlarga inversion mos figuralar inversi ya markazidan o’tib, yana bir nuqtada kesishuvchi ikki aylanadir (11-chizma). Bu aylanalarning dan boshqa kesishgan nuq tasi berilgan to’g’ri chiziqlar kesishish nuqtasiga mos bo’ladi. 47 XULOSA Ushbu kurs ishida ta’lim jarayonini tashkil etishda matematika ta’limini berishda geometric yasashlar asosida geometrik dunyoqarashni shakllantirish haqida fikr yuritildi. Hozirgi paytda maktablarda matematika o’qitishning asosiy vazifasi o’quvchilarni har tomonlama yetuk insonlar qilib tarbiyalash hisoblanadi. Bunda ularda matematika bo’yicha bilimlar berish bilan birga ularga o’rganilayotgan bilimlarni asosli va puxta bo’lishini ta’minlash, ularni qo’llay olish ko’nikma va malakalarini shakllantirish muhim ahamiyatga ega. Ayniqsa, o’quvchilarda geometrik dunyoqarashni shakllantirish matematik ta’limning asosiy vazifalaridan biri. Shu nuqtai nazardan, bo’lajak pedagoglarga oliy ta’limda geometriyadan chuqur bilimlar berish ahamiyatlidir. Ayniqsa, geometriyaning geometrik yasashlar bo’limini chuqur o’rgatish masalasi ko’ndalang qo’yilishi kerak. Matematikadan bilimlarning uzilish nuqtalari aynan shu mavzularda bo’lib qolayapti. O’quv jarayonida geometrik yasashlarga keng to’xtalish va bu borada fundamental bilimlar bera olish hozirgi biz pedagoglarning asosiy vazifamiz hisoblanadi. G eometrik yasashlarda geometrik almashtirishlar i va uning tatbiqlari o’ziga xos xususiyatlarga ega, ularni ta’lim mazmuni va o’rganilayotgan tushunchalar mohiyatini ochib berishda foydalanish, o’zaro aloqadorlikda va o’quvchilar amaliy faoliyati tajribasi bilan qo’shgan holda o’qitish, fundamental bilimlar asosida ta’lim berish dolzarb masalalardan hisoblanadi. Bu usullarni ishlab chiqish va amalda qo’llash o’qitish sifat va samaradorligini oshirishga xizmat qiladi. Matematika o’qitishning asosiy maqsadlaridan biri ham o’quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o’quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish hisoblanadi.Demak, geometrik yasashlar lari, xususan, geometrik yasashlarda geometrik almashtirishlar nazariyasi haqida umumiy tushunchalar, y echish lari va yechish bosqichlari haqida dastlabki tushunchalar, masalalarni bosqichlab yechishga oid ba’zi bir misollar ga keng to’xtalib o’tish orqali hamda tekislikda geometrik yasashlarda simmetriya, parallel ko’chirish, nuqta atrofida burish va ularning tatbiqlariga oid masalalarni yechish va chuqurroq o’rganish orqali geometrik bilimlarni yanada chuqurlashtiriladi. 48 O’quvchilarning fazoviy tasavvurlarini kengaytirishda, ijodiy va konstruktorlik qobiliyatlarini rivojlantirishda va mantiqiy fikrlashlashga o’rgatishda yasashga doir geometrik masalalar yechishning ahamiyati g’oyat kattadir. O’quvchilarda bunday qobiliyatlarni tarbiyalash, ayniqsa, bizning Vatanimizda katta ahamiyatga ega, chunki texnikamizning keng miqyosda rivojlanib borishi kelajakda injener, texnik va konstruktor bo’lib yetishuvchi o’quvchilarimizdan shunday qobiliyatga ega bo’lishi talab etiladi. Geometriya o’qitish jarayonida talabalarga asosiy tushunchalarni to’g’ri tushuntirish, uning tadbiqlarini ular ongiga yetkaza olish, ularning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish matematika o’qitish muvaffaqiyatini ta’minlabgina qolmay, balki talabalarning bilish va tafakkur qobiliyatlarini rivojlantirish uchun ham xizmat qiladi. Bu hol esa yangi zamonaviy texnologiyalarga tayangan holda geometriya darslarini o’tishni talab etadi. Shu sababli uslubiy qo’llanmada geometriya o’rganishning nazariy asoslari bilan birga ko’rgazmali va noan’anaviy usullarni qo’llash xususiyatlari hamda zarur dars ishlanmalari hamda masalalar yechish bo’yicha imkoniyatlari batafsil bayon etilgan. 49 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Sh.Mirziyoyev “Ijtimoiy barqarorlikni ta’minlash, muqaddas dinimizning sofligini asrash―davr talabi” anjumandagi nutqi, Toshkent-2018. 2. Сотволдиев Н.С. Геометрик алмаштиришлар. Т. , 1963 3. Р.К.Отажонов. Конструктив геометрия элементлари. Т. , 1974 4. Р.К.Отажоновю Векториал алгебра элементлари. Т. , 1976 5. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 “O’zbеkiston” Internet saytlari: 1. htt p ://www.school .ru 2. htt p :// www.aim.uz 3. htt p ://www.bilimdon.uz 4. http://www.edunet.uz 5. htt p ://www.gov.uz 6. http://www.z iyonet.uz 50

Tekislikda geometrik almashtirishlar va ularning qo'llanilishi

Купить