Информация о документе

Цена 10000UZS
Размер 1.3MB
Покупки 8
Дата загрузки 19 Май 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Геометрия

Продавец

Shohrux Ismoilov

Дата регистрации 18 Май 2024

28 Продаж

Tekislikda koordinatalar metodi. Tekislikda koordinatalar usuli

Купить
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI BERDAQ NOMIDAGI QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI MATEMATIKA fakulteti FUNKSIONAL ANALIZ, ALGEBRA VA GEOMETRIYA kafedrasi “ 60540100-Matematika ” ta’lim yo’nalishining “1”- kurs talabasi Ismoilov Shohruxning ANALITIK GEOMETRIYADAN KURS ISHI Mavzu : Tekislikda koordinatalar metodi Qabul qildi : Aymurzaeva G. Bajardi : Ismoilov Shohrux No’kis 2024 1 MUNDARIJA KIRISH…………………………………………………………………...4 1. TEKISLIKDA VA FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASI…………………………………………………………...5 1.1.Tekislikda affin koordinatalar sistemasi…………………………..5 1.2.Fazoda affin koordinatalar sistemasi……………………………...7 1.3.Kesmani berilgan nisbatda bo’lish………………………………..11 2. DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI………………………13 2.1. Dekart koordinatalar sistemasi.....................................................13 2.2. Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish……………….....20 2.3. To’g’ri chiziq tenglamalari……………………………………...24 3. QUTB KOORDINATALAR SISTEMASI........................................26 3.1. Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi........................................26 3.2. Fazoda qutb koordinatalar sistemasi..........................................28 4. XULOSA………………………………………………………………31 5. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………32 2 3 KIRISH Analitik geometriya kursida o'rganish metodlarining asosini koordinatalar metodi tashkil qiladi. Biz husasan tekislikda va fazoda koordinatalar sistemasini o'rganamiz, ya’ni ularning turlarini ,joylashuv tartibini o'rganish bilan shugullanamiz. Bu yerda algebraik metodlar asosiy rolni o'ynaydi. Hozirgi vaqtda analitik geometriyaning uslublari fan, texnika va iqtisodiyotning turli-tuman masalalarini hal qilishda keng qo’llanilmoqda. Xalq xo’jalligining barcha sohalarida kompyuterlarning va matematik usullarning yalpi qo’llanilishi munosabati bilan bu usullarning ahamiyati yanada ortdi. Kurs ishim bo’limlardan iborat bo’lib ularda “Tekislikda affin koordinatalar sistemasi”, “Fazoda affin koordinatalar sistemasi” , “Kesmani berilgan nisbatta bo’lish” ,“Tekislik va fazoda to’rtburchak koordinatalar sistemasi” , “Ikki vector orasidagi burchak” , “Vektor ko’patma” , “Skalyar ko’paytma” , “Tekislikda va fazoda qutb koordinatalar sistemasi” mavzulari batafsil bayon etilgan. 4 5TEKISLIKDA VA FAZODA KOORDINATALAR SISTEMASI V tóplamda kamida bitta vektor e1≠ 0 bólsin. U holda V tóplam x1e1 kórinishidagi barcha vektorlarni óz ichiga oladi, bu erda x1 har qanday haqiqiy sondir. Agar butun V tóplami ushbu vektorlar tomonidan tugatilgan bólsa u holda bu tóplam e1 vektorga tógri keladigan barcha vektorlardan iborat bir ólchovli kóp qirrali hisoblanadi. Faraz qilaylik V tóplamda kollinear bólmagan e1,e2 vektori mavjud. U holda V tóplam x 1 e 1 + x 2 e 2 kórinishidagi barcha vektorlar uchun ham , kollinear bólmagan e 1 , e 2 tekislikka komplanar barcha vektorlarni ham óz ichiga oladi. Agar V tóplamda e1,e2 vektorlar juftligiga komplanar bólmagan kamida bitta e 3 vektori bólsa, u holda V óz ichiga uchkarrali komplanar bólmagan e1,e2,e3 vektorlar va shunga kóra shaklning istalgan vektorini óz ichiga oladi. u = x1e1+x2e2+x3e3 TEKISLIKDA AFFIN KOORDINATALAR SISTEMASI. Affin koordinatalar sistemasida O nuqta (koordinata boshi ) va óz aro kolinear bólmagan e 1 = ⃗OE 1 va e 2 = ⃗OE 2 vektorlar berilgan. Bu erda e 1 birinchi e1 , ikkinchi e2 birlik vektorlar); e1 va e2 vektorlari O nuqtada kesishgan ikkita óqni aniqlaydi -birinchi va ikinchi koordinata óqlari. Birinchi óq absissa óqi yoki OX óqi deb ham ataladi. Ikkinchisi esa berilgan koordinatalar tizimining ordinata óqi yoki OY óqidir. Koordinatalar sistemasining ózi O e1e2 yoki Oxy bilan belgilanadi. 6M tekislikning qaysidir nuqtasi bólsin , M nuqtaning birinchi va ikkinchi koordinata óqlaridagi proyekciyalarini M x va M y bilan belgilaymiz. (har bir óqdagi proyekciyalar boshqa óq bóylab olinadi) ⃗O M x va ⃗O M y vektorlari M nuqtaning ( algebrik qismi.) mos ravishda birinchi va ikinchi koordinatalari (absissa va ordinatalari) bilan beriladi. Har qanday x , y sonlar juftligi yagona M nuqtasini aniqlaydi. Bu erda x -birinchi , y -ikkinchi koordinata. M nuqta x,y koordinatalari bilan quydagicha belgilanadi: M ( x , y ). O e1e2 koordinata tizimi tekislikdagi barcha vektorlar tóplamining e1e2 asosini óz ichiga oladi. Ixtiyoriy u vektorning koordinatalari u vektorning O e 1 e 2 kordinatalar sistemasiga nisbatan koordinatalari deyiladi . ular vektor va koordinalarining kelib chiqishini tanlashga bogliq emas . Koordinatalari x , y bólgan u vektor quydagicha yoziladi : u = { x , y } ; keyin u =x e1 +x e2 x =0 sharti y óqi bilan kollinear vektorlarni , y =0 sharti esa absissa óqlari bilan kollinear vektorlarni harakterlaydi. Shubhasiz berilgan koordinatalar sistemasidagi istalgan M nuqtaning koordinatalari ushbu koordinatalar sistemasidagi ⃗OM vektorining koordinatalari hisoblanadi. Ikki ⃗AB va ⃗CD vektorlari teng bóladi, agar ularning mos keladigan koordinatalari teng bo'lsa. 7 8.Agar A= ( x 1 , y 1 ) , B= ( x 2 , y 2 ) , ⃗ AB vektorning x , y koordinatalari uchun x = x2− x1 ,y= y2− y2 . Fazoda affin koordinatalar sistemasi. Quydagi aytilganlarning barchasi fazoga ham tegishli. Fazodagi affin koordinatalar sistemasi O ( koordinata boshi ) nuqta va bu nuqtada qóllaniladigan uchta komplanar bólmagan birlik vektorlari e 1 , e 2 , e3 , (c- rasm ) malum tartibda berilgan ( e1 - birinchi, e2 - ikkinchi, e3 - uchinchi).Bu vektorlarning har biri O koordinatasidan o'tuvchi o'qni belgilaydi, uning birlik vektori; bu o'qlar birinchi, ikkinchi va uchinchi koordinata o'qlari yoki mos ravishda Ox o'qi (abtsissa o'qi) O y o'qi (ordinata o'qi) va Oz o'qi (aplikata o'qi) deb ataladi. , (ammo kamdan-kam qo'llaniladi) .Shunday qilib Ox va Oy óqlari Oxy koordinatalar tekisligini aniqlaydi yoki O e1e2 , va hokazo. Berilgan vektorning birinchi, ikkinchi, uchinchi koordinatalari e1 ,e2 ,e3 bazisga nisbatan uning mos keladigan koordinatalari, ya’ni tasvirdagi mos koeffitsientlardir u =x e1 +y e2 +z e3 . 9 Ular mos ravishda e 1 ,e2 , e 3 vektorlari bilan aniqlangan vektor va o'qlar proyeksiyalarining algebraik qiymatlariga teng (har bir o'qdagi proyeksiyalar boshqa ikkita o'qdan tekislik bo'ylab olinadi). Vektor koordinatalari O nuqtaning koordinatalariga bog liq emas. ʻ M nuqtaning koordinatalari tarifga kóra ⃗OM vektorning koordinatalari (d- rasm) Agar M x , M y , M z nuqtaning proyekciyalari , ux = ⃗ O M x , uy = ⃗O M y , uz = ⃗ O M z . ⃗OM vektorning koordinata óqlaridagi proyekciyalari , keyin M nuqtaning x,y,z koordinatalari ⃗O M x= ux , ⃗ O M y = u y , ⃗ O M z = uz vektorlarning algebrik qiymatlari . Keyin ux= xe1 , uy =y e2 , u z =z e3 , ⃗OM =u= xe1 ,+y e2+¿ , z e3 (1) Berilgan koordinata o'qiga kollinear vektorlar boshqa ikkita o'qga mos keladigan koordinatalarining nolga tengligi bilan ifodalanadi. Biz allaqachon bilamizki, vektorlarni qo'shganda, ularning mos koordinatalari qo'shiladi va vektorni va 2 raqamiga ga ko'paytirganda, vektorning har bir koordinatasi 2 ga ko'paytiriladi. Bu yerdan kelib chiqadiki , agar ularning birining koordinatalari ikkinchisining koordinatalariga proporsional bólsagina , kolinear bóladi. x,y,z sonlarning har bir tartiblangan uchligi fazoning M nuqtasini óziga hos tarizda aniqlaydi. Bu M nuqtani topish uchun O nuqtaga x e1 +y e2 +z e3 = ⃗OM , vektorini biriktirish kerek , yáni xe1 = ⃗ O M x , ye2 = ⃗O M y , z e3 = ⃗ O M z , vektorlarni ustiga qurilgan parallelepiped dioganalini olish kerak. x,y,z koordinatalari bilan quyidagicha belgilanadi: M = ( x,y,z ). M nuqta koordinatalarining ta'rifiga ko'ra, ⃗OM vektori uning oxiri M nuqta bilan bir xil koordinatalarga ega. Umuman olganda, agar A=( x1 ,y1 ,z1 ) va B=( x2 , y 2 , z 2 ) bólsa u holda ⃗ AB vektori koordinatalari x = x2 -x1 , y = y2 - y1 , z = z2− z1 holda topiladi. Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar bazis va О nuqta berilgan bo'lsa, vektorning bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi. 1 -ta’rif. Berilgan , bazis uchun tengliklar bajarilsa, ortonormal bazis deyiladi. 2-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to‘giri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi. Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi. Isbot . Bizga ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar 10 bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal proeksiyalarini А , В , С harflari bilan belgilasak tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , , kesmalarning kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun , munosabatlarni hosil qilamiz. 1-Natija Isbot. Bizga L o‘q berilgan bo'lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata o‘qi L bilan ustma-ust tushsin. Agar bo‘lsa, teoremaga ko‘ra va , tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo‘shilgani uchun munosabatni olamiz. Tekislikda qutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta О nuqtani va bu nuqtadan o‘tuvchi o‘qni tanlab olamiz. Tanlangan nuqtani qutb boshi, o‘qni esa qutb o‘qi deb ataymiz va uni L bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O nuqtadan farqli M nuqta uchun p bilan masofani, ( p bilan esa L bilan OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va ko'rinishda belgilanadi. Tekislikning О nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o‘rtasidagi moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun 11 quyidagi chegara qo'yiladi: 0< ρ <+∞ , Agar D ekart koordinatalar sistemasini quyidagi rasmdagidek kiritsak, , bog'lanishlarni olamiz.Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo'lsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va , tengliklardan foydalanishimiz kerak. Kesmani berilgan nisbatta bo’lish. Fazoda yoki tekislikda d chiziq va unga yónaltirilgan AB kesma berilgan bólsin . Hech bólmaganda bittasi nolga teng bólmagan ikkita ixtiyoriy α va β haqiyqiy sonlar berilgan. Tarifga kóra M nuqta AB kesmani α : β nisbatda bóladi, agar ⃗AM : ⃗ MB = α:β Lemma. Tekislikda (mos ravishda fazoda) ikkita d' va d chiziq (mos ravishda tekislik) berilgan bo'lsin. d, d' chiziqlarining birortasiga parallel emas. M, d' to'g'rida ixtiyoriy uchta A,B,M nuqta bilan belgilangan bo'lsin.U holda 12 ⃗A´M ´ ⃗M ´B´= ⃗AM ⃗MBUshbu lemmaning isbotini mashq sifatida o'quvchiga qoldiramiz. Agar A,B,M nuqtalarning abtsissalar o‘qidagi proyeksiyalarini Ax,M x,Bx bilan belgilasak, shu lemmadan darhol shunday xulosa chiqadi: ⃗ AM : ⃗MB = α : β = ⃗ A x M x : ⃗M xBx =( A x M x ):( M xBx ). Lekin (x óqi bóyicha ) bizda ( AxM x )=x- x1 , ( M xBx )= x2 -x1 , Shuning uchun ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = α β v a bu erdan x ni topsak x = α x 2 + β x 1 α + β bo’ladi va analitik k o’rinishda y= α y 1 + β y 2 α + β , z= α z 1 + β z 2 α + β α + β = 0 , ya'ni α : β = − 1 holidan tashqari barcha hollarda to'g'ri chiziqning ma'lum bir M = ( x,y,z ) nuqtasini beradi (biz yagona noto'g'ri, yoki "cheksiz" nuyu olib tashlandi", ). α= β uchun M nuqta ⃗ AB kesmaning o'rta nuqtasi bo'ladi va kesmaning o'rta nuqtasi koordinatalari uchun biz quyidagi formulalarni olamiz: x = x1+x2 2 , y = y 1 + y 2 2 , z = z 1 + z 2 2 . (3) Agar α+β≠0 va β ≠ 0 bo'lsa, unda α β = γ formulalaridan kelib chiqib yozishimiz mumkin . x = x 1 + λ x 2 1 + λ , y = y 1 + λ y 2 1 + λ , z = z1+λz2 1+λ . (4) Misol . va B(4; -14) nuqtalar bilan chegaralangan kesma va nuqtalar orqali uchta teng bodakka bo‘lingan. C va D nuqtalaming koordinatalarini toping. 13 C nuqta AB kesmani nisbatda bo'ladi. Binobarin formulaga ko‘ra: Shunday qilib, . D nuqta AB kesmani nisbatda bo‘ladi. Bu yerdan Demak, D (3; —8) DEKART KOORDINATALAR SISTEMASI Tekislikdagi va fazodagi dekart koordinatalar tizimi. To'g'ri burchakli koordinatalar tizimini tekislikda yoki fazoda o'rnatish,birinchi navbatda, barcha kesmalarning uzunliklari (tekislik yoki fazoda) o'lchanadigan ma'lum bir uzunlik birligi tanlanganligin nazarda tutadi. Bunday uzunlik birligini masshtab deb ataymiz; uni bir marta tanlanishini hisobga olib, uzunligi 1 ga teng bo'lgan har qanday vektorni birlik vektor deb ataymiz. Masshtab tanlangandan so'ng to'rtburchaklar koordinatalar sistemasi. (umumiy affin sistemaning maxsus holati sifatida) birlik vektorlarni (tekislikda e1 , va e2 ; fazoda e1 , e2 , e3 ,) o‘zaro perpendikulyar bo‘lishi talabi bilan aniqlanadi. Izoh. Ushbu kichik bo'limning qolgan qismida biz koordinatalar tizimini to'rtburchaklar deb hisoblaymiz. Barcha proyeksiyalar ham to'rtburchaklar shaklida qabul qilinadi. 14 u ={ x ; y } vektor berilgan bólsin. Vektorni koordinatalarning boshiga biriktiramiz: u = ⃗OM ⃗ OM vektorning uzunligini | u| = |⃗ OM | bilan ifodalanadi. M nuqtaning koordinatalar ildizlariga proyeksiyalarini M x , M y bilan belgilab, bizda x = ( O M x ), y = (O M y ) va (Pifagor teoremasi bo’yicha) |⃗OM |2 = ⃗| O M x | 2 + ⃗| O M y | 2 |u|2=⃗|OM |2 = x 2 + y 2 . Huddi shunday vektor uchun fazoda u = { x , y , z } uchun | u| 2 = x 2 + y 2 + z 2 vektor uzunligi kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yi gWindisiga teng. Bu to'g'ridan-to'g'ri ikki nuqta orasidagi masofa ( M 1,M 2 ) formulasini nazarda tutadi ; M 1 ( x1,y1 , ), M 2 ( x2,y2 ). Aynan ⃗ M 1 M 2 = { x 2 − x 1 , y 2 − y 1 } , ρ¿ )= |⃗ M 1 M 2 | = + √( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . Huddi shunday nuqtala uchun fazoda M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M 2 (x2 , y 2 , z 2 ). orasidagi masofa : ρ¿ )= |⃗M 1,M 2| = + √( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . Tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsin. Bu tekislikda markazi C = ¿ va radiusi r bo'lgan aylanani 15 ko'rib chiqaylik . Bu aylana tekislikning barcha M ( x , y ) nuqtalari to'plami bo'lib, ularning C nuqtadan M ( x , y ) gacha masofasi r ga teng bo'ladi. Boshqacha aytganda, M ( x , y ) aylanamizda yotishi zarur va etarli. ρ ( C ,M ) = r yani √ ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r (5) r > ¿ 0 bólgani uchun (5) tenglamaga ekvivalent bóladi. (x−a)2 + ( y − b ) 2 = r 2 (6). (6) tenglama markazi C=(a,b) va radiusi r bo'lgan aylana tenglamasi deb ataladi. Fazoda esa markazi C = ( a , b , c ) va radiusi r bo'lgan sharda (sferik sirt) M = ( x . y , z ) nuqtalari to'plami bo'lib , C ularning C nuqtadan M ( x . y , z ) gacha masofasi r ga teng bo'ladi. Shuning uchun tenglama (x−a)2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 (7) uchun zarur va yetarli shartni ifodalaydi. (7) tenglama markazi C=(a,b,c) va radiusi r bo'lgan shar tenglamasidir. M ( x . y , z ) nuqta bizning sharimizda yotadi. Misol . Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan: A(-1; 2), B(4;7), C(0;3). Uning tomonlari uzunliklarini toping. Yechish: Tekislikda ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalanib yechamiz. . Javob : , , Dekart koordinata tizimi o'zining asosiy nuqtasi deb ataladigan nuqtada kesishgan ikkita perpendikulyar chiziqdan iborat. Ushbu chiziqlar odatda x o'qi (gorizontal) va y o'qi (vertikal) sifatida belgilanadi. Ularning kesishgan nuqtasi (0,0) sifatida belgilanadi va boshqa barcha nuqtalar o'lchanadigan mos yozuvlar nuqtasi bo'lib xizmat qiladi. 16 Tekislikdagi istalgan nuqtaning koordinatalari tartiblangan juftliklar (x, y) sifatida ifodalanadi, bu erda 'x' y o'qidan gorizontal masofani (musbat o'ngga, salbiy chapga) va 'y' vertikalni ifodalaydi. x o'qidan masofa (musbat yuqoriga, manfiy pastga). Masalan, (4, 3) nuqta koordinata boshidan 4 birlik o'ngda va 3 birlik yuqorida joylashgan nuqtani bildiradi. Agar to’g’ri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O nuqta, musbat yo’nalish va uzunlik birligi tanlab olingan bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi. Gorizontal to’g’ri chiziq Ox bilan belgilanadi va abssissalar o’qi deyiladi; vertikal to’g’ri chiziq Oy bilan belgilanadi va ordinatalar o’qi deyiladi. Abssissalar o’qini va ordinatalar o’qini koordinatalar o’qlari, ularning kesishish nuqtasini koordinatalar boshi deyiladi. Koordinatalar boshi har bir o’qdagi nol sonini tasvirlaydi. Abssissalar o’qida musbat sonlar O nuqtadan o’ngda joylashgan nuqtalar bilan, manfiy sonlar esa O nuqtadan chapda joylashgan nuqtalar bilan ifodalanadi. Ordinatalar o’qida musbat sonlar O nuqtadan yuqorida joylashgan nuqtalar orqali, manfiy sonlar esa O nuqtadan pastda joylashgan nuqtalar bilan ifodalaniladi. Yo’nalishlar va uzunlik birligi tanlangan ikkita o’zaro perpendikular to’g’ri chiziq tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini hosil qiladi. Yoki bu koordinatalar sistemasi XVII asrning taniqli matematigi Rene Dekart nomi bilan ham ataladi. Koordinatalar sistemasi tanlangan tekislik koordinata tekisligi deyiladi. Koordinata o’qlari tashkil qilgan to’g’ri burchaklar koordinata burchaklari yoki kvadrantlar deyiladi va 1-rasmdagi kabi raqamlanadi. Aytaylik, M koordinata tekisligining ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. M nuqtadan abssissalar o’qiga perpendikular tushiramiz. 17 Shu perpendikularning asosi M nuqtaning absissasi deb ataladigan biror x sonni tasvirlaydi. M nuqtadan ordinatalar o’qiga perpendikular tushirsak, bu perpendikularning asosi M nuqtasining ordinatasi deb ataluvchi biror y sonni tasvirlaydi. M nuqtadan abssissasi va ordinatasi M nuqtaning koordinatalari deyiladi. yozuv M nuqta x abssissaga va y ordinataga ega ekanini bildiradi. Bu holda M nuqta koordinatalarga ega deb ham aytiladi. Masalan, M(3; 5) yozuvda 3 soni — abssissa, 5 soni — ordinata. Nuqtalarning koordinatalarini yozishda sonlarning tartibi muhim ahamiyatga ega. Masalan, M 1 (1; 2) va M 2 (2; 1) nuqtalar tekislikdagi har xil nuqtalardir . Agar o’qda biror bazis tanlangan bo’lsa, u holda o’qdagi har bir vektorga to’la aniqlangan bitta son mos keltiriladi va bu son vektorning bazis bo’yicha yoyilmasining koeffitsientidan iborat bo’ladi. l o’qda yotgan vektor shu o’qda tanlangan bazis bilan kollinear bo’ladi. Vektorlarning kollinear bo’lish shartidan 18 = (1) Munosabatni yoza olamiz. (1) dagi x sonni odatda vektorning koordinatasi deyiladi. Agar x son vektorning koordinatasi bo’lsa, uning M(x) ko’rinishidagi yozuvi ham shu ma’noni anglatadi, shu bilan birga x son M nuqtaning koordinatasi degan ma’noni anglatadi. Agar tekislikda koordinatalar boshi deb ataluvchi nuqta, o’zaro perpendikular to’g’ri chiziqlar, ularda musbat yo’nalish hamda uzunlik birligi (umuman olganda hamma yo’nalishda har xil) tanlangan bo’lsa, tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi. O’qlar mos ravishda abssissalar o’qi, ordinatalar o’qi (aplikatalar o’qi) deb yuritiladi. Tegishli o’qlar koordinata o’qlari deyiladi. Faraz qilaylik, tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin (uni qisqacha xOy Sistema deb ham yuritiladi) va vektor koordinatalar boshi O nuqtadan chiqqan bo’lsin . Ta’rif. vektorning sistemadagi koordinatalari deb uning koordinata o’qlaridagi proeksiyalariga aytiladi, ya’ni Ta’rifga ko’ra x, y sonlar vektorning xOy sistemadagi koordinatalaridir; x sonni vektorning abssissasi, y ni esa uning ordinatasi deyiladi. Koordinatalari x , y dan iborat vektor simvoli bilan belgilanadi. Koordinatalar sistemasini endi koordinata o’qlaridagi , , birlik vektorlar bilan ko’rsatib o’tamiz. 19 Agar vektor koordinatalar boshidan chiqib, uning koordinatalari x, y bo’lsa, A nuqtaning koordinatalari ham shu sonlardan iborat bo’ladi. Bu ravshan vector A nuqtaning radius-vektori deyiladi. Shunday qilib, A nuqtaning to’g’ri burchakli sistemadagi koordinatalari shu nuqta radius- vektorining koordinatalariga tengdir. vektorni o’qlardagi birlik vektorlarning yo’nalishlari bo’yicha yoyish mumkin: Ammo , bunda A 1 , A 2 lar A nuqtaning sistema o’qlaridagi proyeksiyasidir. Demak, Teorema. Agar xOy sistemada bo’lsa, bo’ladi. Isbot. Teoremani isbotlash uchun ikki vektor yig’indisining proyeksiyasi haqidagi xossadan foydalanamiz: Teorema. Agar xOy sistemada AB vektor boshining koordinatalari { x 1, y 1 } va oxirining koordinatalari { x 2, y 2 } bo’lsa, AB vektorning koordinatalari { x 1 -x 2, y 1 – y 2 } bo’ladi Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz 20 orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga va ortonormal bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan belgilaylik. Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin. Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz: , , Har bir vektorni bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun (1) munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni = ' + , = 21 tengliklarga qo‘yib = tenglikni hosil qilamiz. Bazis vektorlari chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun yuqoridagi munosabatdan x = a 11 x'+a 12 y'+a y=a 21 x'+a 22 y'+b (2) formulalami olamiz. Endi a ij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz. Birinchi hol: va bazislar bir xil orientatsiyaga ega: Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va ' vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib, formulalarni olamiz. Agar va bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo'ladi. Bu holda (1) tengliklarning har birini va vektorlarga skalyar ko'paytirib , , , formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz: Bu holda o’tish determinanti uchun 22 tenglik o'rinli. Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni almashtirish formulalari : ko‘rinishda bo'ladi. Bu holda o‘tish determinanti uchun ' tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama- qarshi oriyentatsiyaga o‘zgaradi. To’g’ri chiziq tenglamalar Ta’rif. Berilgan koordinatalar sistemasida chiziqning tenglamasi deb, shunday ikki nomalumli tenglamaga aytiladiki, shu chiziqda yotuvchi har qanday nuqtaning x va y koordinatalari uni qanoatlantiradi. Bu chiziqqa tegishli bo’lmagan hech bir nuqtaning koordinatalari uni qanoatlantirimaydi. Biror koordinata sitemasida berilgan tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq, koordinatalari shu tenglamani qanoatlantiradigan tekislik nuqtalarining geometrik o’rni bo’ladi. Dekart koordinatalar sistemasida biror l to’g’ri chiziq berilgan bo’lib va lar shu to’g’ri chiziqga nisbatan 23 simmetrik bo’lgan nuqtalar bo’lsin. Bunday holda to’g’ri chiziq ustidagi istalgan A(x, y) nuqta bu nuqtalardan baravar uzoqlikda yotadi va aksincha A 1 va A 2 nuqtalardan baravar uzoqlikda yotgan A nuqta to’g’ri chiziqga tegishli bo’ladi. bo ’ lganidan to ’ g ’ ri chiziq tenglamasi uchun quyidagiga ega bo ’ lamiz . tenglamaning hamma hadlarini chap tomonga o’tkazib, Bundan ; ; ; tenglamaga ega bo’lamiz. Teorema. Har qanday to’g’ri chiziq ko’rinishdagi tenglama bilan ifodalanadi, bunda a, b, c – o’zgarmas sonlar. tenglama to’gri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi . To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi . Tenglamasi ko’rinishda berilgan to’g’ri chiziq b≠0 deb y ga nisbatan yechamiz. yoki , . 24 Bu tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffisentli tenglamasi deyiladi. А 1 (х 1 , у 1 ), А 2 (х 2 , у 2 ) to’g’ri chiziqdagi ikkita nuqta bo’lsin Bundan tenglamadagi k koeffisent ( k = tg a ) to ’ g ’ ri chiziqning burchak koeffisenti , r esa to ’ g ’ ri chiziqning Oy o ’ qdan ajratgan kesmasi . Bu holda to’g’ri chiziq Oy o’qni (0, r) nuqtada kesadi. Misol. Koordinatalar boshidan o'tuvchi va Oy o‘qi bilan 60 0 burchak tashkil etuvchi to‘g‘ri chiziqning tenglamasini tuzing. Qaralayotgan to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshidan o‘tganligi uchun tenglamasini ko'rinishda qidiramiz. Burchak koetfitsiyent bo'lgani uchun tenglamani hosil qilamiz. 25 Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi. Tekislikda O nuqtani tayinlaymiz va uni boshi yoki qutbi deb ataymiz. l - O nuqta orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'lsin. Bu to'g'ri chiziqqa parallel biror nolmas ⃗ e vektorni tanlab, l to'g'ri chiziqda orientatsiya kiritamiz. ⃗ e vektor bilan bir xil yo'nalgan va boshi O nuqtada bo'lgan nurni qutb o'qi deb ataymiz. l to’g’ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi, ulardan birini (pastkisini) manfiy, ikkinchisini (yuqorisini) esa musbat deb ataymiz. Endi tekislikning ixtiyoriy M nuqtasi uchun uning qutb koordinatalarini mumkin, ya'ni: 1) M nuqtadan O nuqtagacha bo'lgan r masofa; 2) M nuqtaning ⃗OM radius vektorining qutb o'qidan og'ish burchagi φ . r soni M nuqtaning qutb radiusi deb ataladi. O nuqtadan farqli ixtiyoriy nuqtaning qutb radiusi musbat. O nuqta uchun u nolga teng. φ burchak M nuqtaning qutb burchagi deb ataladi. Qutb burchak tekislikning nuqtasidan boshqa barcha nuqtalari uchun aniqlangan. Musbat yarim tekislik nuqtalari uchun, jumladan, l to'g'ri chiziq nuqtalari uchun ham qutb burchak [0, π ] kesmadagi qiymatlarni qabul qiladi. Manfiy yarim tekislik nuqtalari uchun qutb burchak ( − π ; 0 ) intervaldan qiymatlar qabul qiladi . 26 Demak, nuqtaning qutb koordinatalari bu qutb radiusi va qutb burchagidir.Yuqorida tavsiflangan M , M ≠ 0 nuqtaga uning qutb koordinatalari ( r , φ ) juftlikni mos qo'yuvchi akslantirishni qutb o'qi va musbat yarim tekislik bilan aniqlanuvchi O koordinatalar sistemasi deb ataladi. Tekisliklarda musbat yarim tekislikni tanlash o rniga aylanishning musbat yo'nalishini tanlash ʻ mumkin.Tabiiyki, φ qutb burchagi [0, 2)yarim intervaldagi qiymatlarni qabul qiladi Agar tekislikda qutb koordinatalar sistemasi ¿φ berilgan bo lsa, u holda u ʻ bo yicha to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi ham aniqlanishi tabiiydir. Bu ʻ koordinatalar sistemasining boshi qutb koordinatalar sistemasining boshi bilan ustma-ust tushadi, abstsissalarning musbat yarim o'qi esa musbat yarim tekislikda yotadi. Shunday qilib, hosil qilingan Oxy to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasini ¿φ qutb koordinatalar sistemasi bilan aniqlangan sistema deb ataymiz. 27 Aksincha, agar Oxy to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo'lsa, u holda berilgan to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasining koordinata boshini saqlab hamda qutb o'qi abstsissalar musbat yarim o'qi bilan ustma-ust tushishini talab qilib, musbat yarim tekislik esa ordinatalari musbat nuqtalardan tashkil topidi. Ixtiyoriy M nuqtaning ( x,y ) to'g'ri burchakli koordinatalarini, uning ( r ,φ ) qutb koordinatalari bilan bog'lovchi formulalar o rinlidir: ʻ C= ¿ , r=√x2+y2 sin φ= y r= y √x2+y2 cos φ= x y= x √x2+y2} Fazoda qutb koordinatalar sistemasi . Uni aniqlash uchun quydagi elementlar talab qilinadi : 1 ° . Unda tanlangan qutb koordinatalar sistemasiga (keyingi o’rinlarda asosiy dep yuritiladi) O nuqtaning kelib chiqishi Ox qutb yarim o’qi (musbat yo’nalishi bilan ⃗ OE ) fazodagi barcha kesmalarning o’lchamlari uchun yagona masshtab sifatida olinadi. 2 ° .Asosiy tekislikkga perpendikulyar to‘g’ri chiziq Oz bo‘yicha tanlanganda uning ikki vektoridan biri musbat bo’ladi. (bu bizga ushbu chiziqda kelib chiqishi O bo‘lgan koordinatalar tizimini ochib beradi) Asosiy tekislik bo‘shliqni ikki yarim qismga ajratadi. Endi (fazoning har bir M nuqtasi uchun Oz to‘g’ri chiziqda 28 yotmagan ) uning koordinatalari berilgan qutb koordinatalar sistemasida aniqlangan ,xususan : a) ρ M nuqtaning qutb radiusi , yani |⃗ OM | vektorning uzunligi ;bizda har doim ρ > 0 ; M =0 nuqta uchun ρ = 0 ; b) φ burchagi bu tekislikda berilgan qutb koordinata sistemasiga nisbatan M nuqtaning koordinata boshiga ortoganal proekciyasi , M 0 uchun qutb burchagi uzunligi 0 ≤ φ < 2 π ; c) M nuqtaning φ kengligi - ⃗ OM vektori va uning ⃗ O M 0 proekciyasi orsidagi burchak bo’ladi , musbat hisoblangan bosh tekislikka , 0 ≤ φ < π 2 , musbat yarim fazoning M nuqtalari uchun va o’rinli va − π 2 ≤ φ ≤ 0 manfiy yarim nuqtalar uchun o’rinli bo’ladi. Fazodagi bir xil qutbli koordinatalar tizimi har bir M nuqtaning koordinatalarini yoki asosiy tekislikdan M nuqtagacha bo’lgan balandlikni , yani M 1 nuqtaning koordinatasini (ortoganal) aniqlash imkonini beradi. Qutbli koordinatalar tizimi unda ko'rsatilgan qutb sistemasi tomonidan asosiy tekislikda hosil qilingan Oxy tekisligini va Oz o'qidan iborat to'rtburchaklar sistemani belgilaydi. Fazodagi ρ , φ , ψ , qutb koordinatalarini va x , y , z to’rtburchak koordinatalarini 29 bog’lovchi quydagi munosabatlar qiyinchiliksiz o’rnatiladi.x = ρcos ψcos φ, y = ρcos ψsin φ z = ρsin ψ Bu formulalar x,y,z ni ρ,φ,ψ , teskari ifodalash imkonini beradi. M nuqtaning silindrsimon va to’rtburchak koordinatalari o’rtasidagi munasabatlarga kelsak , bu ikkala sistemada z bir xil bo’lib , silindrsimon sistemaning φ , r o’rtasidagi va to’rtburchaklar sistemasining x,y raqamlari bizga quydagi formulalar orqali allaqachon ma’lum bo’lgan. x = rcos φ , y = rsin φ . XULOSA Xulosa qilib aytadigan bo’lsak .Tekislikda va fazoda koordinatalar sistemasi mavzusi bo’yicha juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldik. Bu kurs ishining maqsadi bo’limlardan iborat bo’lib ularda “Tekislikda affin koordinatalar sistemasi”, “Fazoda affin koordinatalar sistemasi” , “Kesmani berilgan nisbatta bo’lish” ,“Tekislik va fazoda to’rtburchak koordinatalar sistemasi” , “Ikki vector orasidagi burchak” , “Vektor ko’patma” , “Skalyar ko’paytma” , “Tekislikda va fazoda qutb koordinatalar sistemasi” mavzulari batafsil bayon etilgan edi. Bu maqsadga erishish uchun oldindan bir qator vazifalar belgilandi.Tekislikda va fazoda koordinatalar sistemasi mavzusini yortib berishda asosan teoremalar, formulalar , chizilmalar metodidan foydalandim.Ayrim teoremalarga asoslanib ularning isbotini ham keltirib o’tganman. 30 FOYDALANGAN ADABIYOTLAR 1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, Главная редакция физико-ма тематической литературы, 1979, 512 с. 2. M . Dosanov , D . X . Turdiboyev , H . R . Umarovlar tarjimasi " Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari ", o ' quv qo ' llanma 308 sahifa , Guliston 2021 y . 3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Учебное пособие/ Н. В. Ефимов М.: Физматлит., 2005. 326 с 4 .Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов - М.: Наука,1968. - 567 с 5. A. Narmanov “ Analitik geometriya kursi “ -2006 31 32

Tekislikda koordinatalar metodi. Tekislikda koordinatalar usuli

Купить