Tekislikda koordinatalar metodiga doir metrik masalalar kurs ishi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	950.3KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

173 Sotish

Tekislikda koordinatalar metodiga doir metrik masalalar kurs ishi

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
Fizika-Matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.03-guruh talabasi
Saxipov Bunyodjon Baxodirovichning
Analitik geometriya fanidan
“Tekislikda koordinatalar metodiga doir metrik masalalar”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev
Farg‘ona-2025

MUNDARIJA

KIRISH……………………………………………………………………………………....3
I-BOB. TEKISLIKDA KOORDINATALAR UMUMIY
TUSHUNCHALAR………………………………………………........
1.1- § . Dekart koordinatalar sistemasi .......................................................6
1.2 -§. Tekislik haqida ma’lumotlar.......................................................... .9
2.1 - § . Dekart repperida tekislikka doir metrik masalalar .................18
XULOSA.......................................................................24
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.....................26

KIRISH.
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va
jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan
har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir.
Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon
amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning
eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbaidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan
ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va
yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki
birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”.
Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan
ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday
islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy
rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizga
qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlarimizga erishishimizda jamiyatimizning
yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan
islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon
talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxasis kadrlar tayyorlash
muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz.
Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina
chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda,
o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon
hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin
fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va
aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil
fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan
3

xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi.
Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan
davlatning istiqboli porloq bo‘ladi.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o ‘ qituvchining g ‘ oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog ‘ liqdir.
Ta’lim-tarbiya jarayonini to ‘ g ‘ ri tashkil etish uchun barcha mavjud
imkoniyatlarini safarbar etish o ‘ qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan
biridir .
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani
sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini
peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy
fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda
mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go ‘ zallikka
ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Maktabda matematika fanini o ‘ qitish jarayonida ilg‘or pedagogik
texnologiyalardan foydalanish o‘qitish samaradorligini oshirishning omillaridan biri
sifatida yaqqol ko‘zga ko‘rinmoqda. Chunki o‘qitishning ilg‘or, nostandart (interfaol)
shakllari, ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga, o‘quvchilarning bilish
faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o‘quv mashg‘ulotlarini takomillashtirish
yo‘llaridan biri.
Bu mavzudan o‘quvchilar dekart koordinatalar sistemasi, tekislik haqida
ma’lumotlar, tekislik va uning turli tenglamalari , dekart reperida tekislikka doir metrik
masalalar yechish haqida ma’lumotga ega bo‘lishadi.
Ushbu kurs ishining dolzarbligi shundaki, mavzuga doir masalalar va formulalar
isboti chuqur o‘rganilgan va tushunarli qilib ishlangan. Kurs ishida masalalar keng
ma’noda yoritilgan. Formulalar isboti keltirilgan.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriya kursi davomida tekislik va
uning turli tenglamalari haqida olgan bilim va ko nikmalarni mustahkamlash.ʻ
Tekislikka doir metrik masalalarni yechishda chuqurroq bilimlarga ega bo‘lish. Fazoda
tekislik tenglamalari, nuqtadan tekislikkacha masofa, tekisliklar, dekart reperida
4

tekislikka doir metrik masalalar haqida ma’lumot berish.
Mavzuga doir malumotlarni yig ish va rejani shakllantirish, geometriya fanini ʻ
chuqurroq o rganish, elementar matematikani yaxshiroq o rganish, tekislikka doir
ʻ ʻ
masalalar yechishni yaxshiroq o‘rganish, kurs ishini jihozlab uni himoyaga tayyor
qilish.
5

I-BOB. TEKISLIKDA KOORDINATALAR UMUMIY
TUSHUNCHALAR
1.1- § . Dekart koordinatalar sistemasi
Fazoda koordinatalar sistemasi ham tekislikdagiga o‘xshash kiritiladi.
nuqtada kesishuvchi va koordinata boshi shu nuqtada bo‘lgan o‘zaro
perpendikular uchta , va koordinata o‘qlarini qaraymiz. Bu to‘g‘ri
chiziqlarning har bir jufti orqali , va tekisliklar o‘tkazamiz.
Fazoda to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi shu tariqa kiritiladi
va unda nuqta – koordinatalar boshi, , va to‘g‘ri chiziqlar
koordinata o‘qlari, – abssissalar, – ordinatalar va o‘qi –
applikatalar o‘qi, , va tekisliklar – koordinatalar tekisliklari
deb ataladi. Koordinatalar tekisliklari fazoni 8 ta oktantaga (nimchorakka)
bo‘ladi . Fazoda ixtiyoriy nuqta berilgan bo‘lsin. Bu nuqtadan , va
koordinata tekisliklariga perpendikulyar tekisliklar o‘tkazamiz. Bu
tekisliklardan biri o‘qini nuqtada kesib o‘tadi. nuqtaning
o‘qidagi koordinatasi nuqtaning – koordinatasi yoki abssissasi deb
ataladi. nuqtaning – koordinatasi (ordinatasi) hamda – koordinatasi
(applikatasi) ham shu tariqa aniqlanadi. nuqtaning koordinatalari
yoki q isqaroq tarzda belgilanadi. 1-rasmda tasvirlangan
nuqtalar quyidagi koordinatalarga ega: , , ,
,
6

1.1.1-chizma
1-masala. Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan. Undagi
nuqtaning o‘rnini aniqlang. Yechish. Koordinata boshidan va
o‘qlarining musbat yo‘nalishida, mos ravishda, va kesmalarni
qo‘yamiz. nuqtadan tekislikda yotgan va o‘qiga parallel to‘g‘ri
chiziq o‘tkazamiz. nuqtadan tekislikda yotgan va o‘qiga parallel
to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasini bilan
belgilaymiz. nuqtadan tekislikka perpendikular o‘tkazamiz va unda
o‘qining musbat yo‘nalishida kesma qo‘yamiz. Hosil bo‘lgan
nuqta izlanayotgan nuqta bo‘ladi. Zamonaviy raqamli- dasturli
boshqariladigan
stanoklar va avtomatlashtirilgan robotlar uchun koordinatalar sistemasidan
foydalanib dasturlar tuziladi va ular asosida metallarga ishlov beriladi.
1.1.2-chizma
Abu Rayhon Beruniy mashhur tabib va matematik Abu Ali ibn Sino
7

bilan yozishmalarida unga quyidagi savolni beradi: ,,Nima uchun Aristotel va
boshqa (faylasuf)lar tomonlarni oltita deb atashadi?” Beruniy olti yoqli
kubni olib,
,,boshqacha sondagi tomonlarga ega bo‘lgan” jismlar haqida gapiradi va
,,sharsimon jismning tomonlari yo‘qligi”ni qo‘shib qo‘yadi. Ibn Sino esa
,,hamma hollarda ham tomonlar oltita deb hisoblamoq zarur, chunki har bir
jismda, uning shaklidan qat’iy nazar uch o‘lchov — uzunlik, chuqurlik va
kenglik mavjud” deb javob beradi. Bu yerda Ibn Sino ,,olti tomon” deb
ishoralari bilan olingan uchta koordinatani nazarda tutadi. Beruniy ,,Qonuniy
Mas’udiy” asarida olti tomonning aniq matematik ma’nosini keltiradi:
,,Tomonlar oltita, chunki ular jismlarning o‘lchovlari bo‘yicha harakatlari
chegarasidir. O‘lchovlar uchta, bu uzunlik, kenglik va chuqurlik, ularning
uchlari esa o‘lchovlardan ikki marta ko‘p”. Asarning oldingi kitoblarida
muallif yoritgichlarning osmondagi holatini osmon sferasiga nisbatan ikki
koordinata
– ekliptik kenglama va uzoqlama orqali yoki xuddi shunday koordinatalar
orqali, ammo osmon ekvatori yoki gorizontga nisbatan aniqlaydi. Ammo
yulduzlar va yoritgichlarning o‘zaro joylashuvini aniqlash masalasida
ularning bir-birlarini to‘sib qolish hollarini ham e’tiborga olishga to‘g‘ri
keladi. Mana shunday holda uchinchi sferik koordinataga ehtiyoj
tug‘iladi.Ana shu ehtiyoj Abu Rayhon Beruniyni fazoviy koordinatalar
g‘oyasini ilgari surishga olib kelgan.
8

1.2 -§. Tekislik haqida ma’lumotlar
Tekislik —geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. Geometriyada
tekislik odatda, ta riflanmaydiganʼ (ya ni ʼ nuqta, to g ri ʻ ʻ chiziq kabi)
boshlang ich tushuncha hisoblanib, uning xususiyatlari bilvosita geometriya
ʻ
aksiomalari bilan ifodalanadi. Masalan, ikki nuqtasi biror tekislikda yotgan
to g ri
ʻ ʻ chiziqning o zi ʻ ham shu tekislikda yotadi; bir to g ri ʻ ʻ chiziqda
yotmagan uchta nuqta orqali bitta tekislik o tadi; fazoda berilgan ikki
ʻ
nuqtadan teng uzoqlikda turgan nuqtalar to plami tekislik bo ladi.
ʻ ʻ Umumiy
holda tekislikning fazoviy vaziyatini bir to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘l magan
uchta nuqta aniqlaydi. Haqiqatdan, , va nuqtalar fazoda biror
tekislikning vaziyatini aniqlaydi. Bu nuqtalardan har birining faz oviy o‘rni
o‘zgarishi bilan tekislikning vaziyat ham fazoda o‘zgaradi.
Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xossalari.
tenglamadan
yoki
bilan belgilashdan keyin
( .2.1)
tenglama hosil bo‘ladi.
(1.2.1) tenglamani fazoda tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Umumiy
tenglamasi quyidagi hollarga ega:
1) bo‘lsa bo‘lib , tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi;
2) bo‘lsa bo‘lib tekislik o‘qiga parallel; xuddi
shunday , tekisliklar mos ravishda va
o‘qlariga paralleldir.
3) 2-holda bo‘lsa, tekislik tenglamalari , ,
bo‘lib, ular mos ravishda , , koordinata o‘qlaridan
9

o‘tadi.
4) bo‘lsa tekislik koordinata tekisligiga parallel,
xuddi shunday tekisliklar mos ravishda ,
koordinata tekisliklariga parallel bo‘ladi.
5) bo‘lsa, bo‘lib, koordinata tekisligi bilan ustma-
ust tushadi, ya’ni koordinata tekisligining tenglamasi bo‘ladi.
Xuddi shunday va , mos ravishda va koordinata
tekisliklarining tenglamasini ifodalaydi.
Chizma geometriyada tekisliklar quyidagi hollar bilan beriladi:
• bir to‘g‘ri chiziq va unga tegishli bo‘lmagan nuqta proyeksiyalari bilan;
• ikki parallel to‘g‘ri chiziq proyeksiyalari bilan;
• ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq proyeksiyalari bilan;
• tekis geometrik figuralarning ortogonal proyeksiyalari orqali berilishi ham
mumkin.
Tekislik —fazodagi eng sodda sirtlardan biri. Nuqta va to‘g‘ri chiziq bilan bir
qatorda tekislik geometriyaning ta’riflanmaydigan asosiy tushunchalari hisoblanadi.
Biz tekislikning fazodagi vaziyatini to‘liq aniqlovchi miqdorlar yordamida, uning turli
ko‘rinishli tenglamalari bilan ish ko‘rib, tekislikka oid qator masalalarni ko‘rib
chiqamiz. Fazodagi to‘g‘ri chiziq esa ikki tekislikning kesishgan chizig‘i deb qaraldi
1.Nokolleniar ikki vektor va bitta nuqta  tekislikning
vaziyatini to‘la aniqlaydi. ∀ M ∈
 nuqtani olaylik. U holda vektor
vektorlar bilan komplanar bo‘ladi, demak, nu vektorlar chiziqli bog‘liq
bo‘lib, bundan ularning koordinatalaridan tuzilgan uchinchi tartibli
determinant nolga teng bolishi kelib chiqadi (1-chizma), shuni
koordinatalarda yozaylik.
10

1.2.1-chizma
, ,
bo‘lsin. ning koordinatalarini deb belgilasak,
bo‘lib, quyidagi tenglama hosil bo‘ladi:
(1.2.1)
Aksincha, (1.2.1) shart bajarilsa, nuqta albatta  tekislikka
tegishli bo‘ladi. Demak, (2)  ning tenglamasi. Bu tenglama berilgan
nuqtadan o‘tib,
Berilgan (nokolleniar) ikki vektorga parallel bo‘lgan tekislikning tenglamasi
deb yuritiladi.
Bundan tashqari vektorlar bir tekislikda yotgani uchun
ular chiziqli bog‘liqdir, ya‘ni
(1.2.2)
bu yerda sonlar parametrlardir. (1.2.2) dan
 ,
 , (1.2.3)
 
11

(1.2.3) tekislikning parametrik tenglamalari deb ataladi ( va ga istalgan
qiymatlar berib, tekislikning shu parametrlarga mos nuqtalarini topish mumkin).
Endi (1.2.1) tenglamani quyidagicha yozaylik: (1.2.4)
bundan
, , (1.2.5)
(5)  , bunda () ifodani D desak,
(1.2.6)
tenglama hosil bo‘ladi. (1.2.1)  (1.2.6) bo‘lgani uchun (1.2.6) ham
tekislikning tenglamasidir.
(1.2.5) da larning kamida bittasi noldan farqli
bo‘lsa dir.
c
1   c
2  bu esa larning berilishiga zid.
Shunday qilib, tekislik affin reperida (7) chiziqli tenglama bilan ifodalanadi.
Bu xulosaning teskarisi ham o‘rinlidir, ya’ni (7) ko‘rinishdagi har qanday
chiziqli tenglama fazodagi biror affin reperga nisbatan tekislikni aniqlay
12

Haqiqatdan, tenglama biror
Affin reperda biror nuqtalar to‘plamini aniqlasin. Uch o‘zgaruvchini bog‘lagan
bu tenglamaning yechimi cheksiz ko‘pdir, ularning biri bo‘lsa, u
holda bundan va
(7) dan  -tekislik tenglamasidir. (1.2.6)
tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deb ataladi.
Tekislikning umumiy tenglamasi quyidagi hollarga ega:
1) bo‘lsa, bo‘lib, tekislik koordinatalar boshidan
o‘tadi;
2) bo‘lsa bo‘lib, tekislik o‘qiga parallel
xuddi tekisliklar mos shunday ravishda
va o‘qlariga paralleldir. Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi:
Tekislikning umumiy tenglamasida qaysi o‘zgaruvchi qatnashmasa, bu
tenglama bilan aniqlanadigan tekislik shu o‘zgaruvchi bilan bir ismli
koordinatalar o ‘ qiga paralleldir.
3) 2-holda bo‘lsa, tekislik tenglamalari , ,
bo‘lib, ular mos ravishda , , koordinata
o‘qlaridan o‘tadi.
4) bo‘lsa, tekislik koordinata tekisligiga
p arallel.
5) bo‘lsa, bo‘lib, koordinata tekisligi bilan
ustma-ust tushadi ya’ni , koordinata tekisligining
tenglamasi bo‘ladi. Xuddi shunday va , mos ravishda
va koordinata tekisliklarining tenglamasini ifodalaydi.
1-misol . Biror affin reperiga nisbatan quyidagi tekisliklarning vaziyatini
13

aniqlang:
a)
b)
c)
Yechish . a) , bu yerda , ya’ni tekislik o‘qqa
parallel.
b) , bu yerda  tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi.
c) , bu yerda tekislik tekislikka parallel bo‘lib,
absissalar o‘qini musbat yo‘nalishidan 2 kesma kesib o‘tadi.
1.2.2-chizma
13
1-Eslatma . Agar tekislik tenglamasi berilib, uning biror reperdagi
tasvirini chizish talab qilinsa, umumiy holda quyidagicha ish ko‘riladi:
tenglamada uch noma’lum bo‘lgani uchun ulardan ikkitasiga ixtiyoriy
qiymatlar berish bilan uning cheksiz ko‘p yechimlarini topish mumkin.
Shu yechimlardan ixtiyoriy uchtasini olib, koordinatalari shu sonlardan
iborat (bu uch nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan qilib olinadi) uchta
nuqta yasaymiz.Tekislik tasvirini chizishda ko‘pincha uning koordinata
o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini topish qulaydir, buning uchun
o‘zgaruvchilarning ikkitasiga nol qiymatlar berib, uchinchi o‘zgaruvchini
14

berilgan tenglamadan
Topiladi ( )
1. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqta tekislikning vaziyatini
to‘la aniqlaydi. Shu ma’lumotlarga ko‘ra uning tenglamasini tuzaylik
Berilgan nuqtalar , , bo‘lsin .
Biz desak, hamda
, (*)
ni e’tiborga olsak, (*) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi.
(**)
(**) Uch nuqtadan o‘tgan tekislikning tenglamasi shudir.
Agar tekislik koordinatalar boshidan o‘tmasa, u , , o‘qlarini uchta
, , nuqtada kesadi, bu yerda tekislikning shu
o‘qlaridan ajratgan kesmalaridir. Bunga (**) ko‘rinishli tenglamani tatbiq qilamiz:
(***)
bu tenglama tekislikning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari bo‘yicha tenglamasi
deb ataladi.
1-misol . Tekislik nuqtadan o‘tib , vektorlarga
parallel bo‘lsin. Shu tekislikning parametrik va umumiy tenglamalarini tuzing.
Yechish. Berilganlarni (4) ko‘rinishdagi parametrik tenglama bilan solishtirsak,
, , , , , , , , ; bularni (4) ga
15

qo‘yamiz:
, ,
Endi tekislikning (2) ko‘rinishdagi tenglamasini yozaylik:

bo‘ladi.
2-misol. tetraedr berilgan. uchini koordinatalar boshi hamda
, , deb olib, va tekisliklar tenglamasini tuzing
(bunda nuqta qirraning o‘rtasi) (2-chizma).
1.2.3-chizma
Yechish. Berilishiga ko‘ra bo‘lib,
tetraedrning uchlari va nuqta bu reperga nisbatan quyidagi koordinatalarga ega:
u holda tekislikning tenglamasi (8) ga asosan
16

Shuning singari ning tenglamasini tuzamiz:
Berilgan nuqtadan o‘tuvchi va ikki vektorga parallel tekislik tenglamasi.
Bizga fazoda nuqta va kolleniar vektorlar berilgan bo‘lsin.
Berilgan nuqtadan o‘tuvchi va vektorlarga parallel tekislik tenglamasini
tuzaylik. Bu holda nuqta tekislikka tegishli bo‘lishi uchun
vektorlarning komplanar bo‘lishi zarur va yetarlidir. Agar ,
bo‘lsa, aralash ko‘paytmani koordinatalar orqali yozsak quyidagi
tenglamani hosil qilamiz.
1.2.4-chizma
17

2.1 - § . Dekart repperida tekislikka doir metrik masalalar Tarif :
To‘g‘ri chiziqning yo‘naltiuvchi vektoriga perpendikular xar
dekart reperini olamiz.To‘g‘ri chiziq umumiy tenglamasi bilan
berilgan bo‘lsin. uning yo‘naltiruvchi vektori, u holda vector u
to‘g‘ri chiziqning normal vektori bo‘ladi. Xaqiqatan, vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi:
Demak to‘gri chiziqning umumiy tenglamasidagi sonlar shu
tartibda olinsa, ular shu tenglama bilan aniqlanadigan to‘g‘ri chiziq normal
vektorining koordinatalarini bildiradi.
Misol: Uchlarining koordintalari va
bo‘lgan uchburchakning uchidan tomoniga perpendikulyar qilib
o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing.
Yechish: Izlanayotgan to‘g‘ri chiziqning normal vektori uchun vektorni olish
mumkin, uning koordinatalari . Normal vektori bo‘lgan
to‘g‘ri chiziqning tenglamasi
to‘g‘ri chiziq uchidan o‘tgani
uchun
bundan . Izlanayotgan tenglama
yoki ko‘rinishida bo‘ladi.
2.1.1-chizma
18

Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa.
dekart reperida
to‘g‘ri chiziq va nuqta berilgan bo‘lsin. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar o‘tkazamiz. Ularning kesishgan nuqtasini H bilan belgilaymiz.
2.1.2-chizma
H nuqta bu perpendikularning asosi deyiladi. Vektorning uzunligini
nuqtadan
to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa deyiladi va ko‘rinishida belgilanadi.
Agar bo‘lsa bo‘lib bo‘ladi. bo‘lsin, u
holda , vektor u to‘g‘ri chiziqning normal vektori
bo‘lgani uchun va vektorlar kollinear bo‘ladi, u holda bu
vektorlarning skalyar ko‘paytmasi:

bo‘lsa bo‘lib, bo‘ladi, bu yerdan,
nuqtaning koordinatalari bo‘lsin. U holda bo‘lib,
ekanini hisobga olsak, skalyar ko‘paytma
bo‘ladi.
Shu bilan birga ekanini nazarda tutsak,
19

Berilgan nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani hisoblash formulasidir.
Tekislik - geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. Geometriyada
Tekislik odatda, ta riflanmaydiganʼ (ya ni ʼ nuqta, to g ri ʻ ʻ chiziq kabi)
boshlang ich tushuncha hisoblanib, uning xususiyatlari bilvosita geometriya
ʻ
aksiomalari bilan ifodalanadi. Masalan, ikki nuqtasi biror tekislikda yotgan
to g ri
ʻ ʻ chiziqning o zi ʻ ham shu tekislikda yotadi; bir to g ri ʻ ʻ chiziqda yotmagan
uchta nuqta orqali bitta tekislik o tadi; fazoda berilgan ikki nuqtadan teng
ʻ
uzoqlikda turgan nuqtalar to plami
ʻ tekislik bo ladi. ʻ
1. Fazoda dekart koordinatalar sistemasi va asosiy masalalar.
Tekislikdagi Dekart koordinatalariga o‘xshash fazodagi koordinatalar
ham aniqlanadi
, o‘zaro perpendikuylar son o‘qlari, umumiy O
nuqtadan o‘tsin.Fazoda
nuqtaga 3 ta haqiqiy va aksincha 3 ta haqiqiy songa
bitta nuqta mos keladi. Bu moslik ham bir qiymatlidir. Bu sonlarga nuqtaning
fazodagi koordinatalari deyiladi. - absissasi, - ordinatasi, - aplikatasi
deb ataladi. Koordinata o‘qlaridan o‘tuvchi tekisliklarga koordinata
tekisliklari deyiladi va ular fazoni 8 ta bo‘laklarga - oktantalarga ajratadi.
Nuqtaning koordinatalari, radius vektorining ham koordinatalari
bo‘ladi.
Fazodagi analitik geometriyada ham quyidagi sodda masalalar qaraladi.
1) fazodagi berilgan va nuqtalar orasidagi masofa;
formula bilan aniqlanadi.
2) kesmani nisbatda koordinatalari
20

, ,
formulalar yordamida aniqlanadi.
2. Berilgan nuqtadan o‘tuvchi va berilgan vektorga perpendikular vektor tenglamasi.
koordinatalar sistemasida nuqta va vektor
bilan berilgan bo‘lsin. nuqtadan o‘tuvchi vektorga perpendikular tekislikning
fazodagi vaziyati aniq bo‘ladi. Uning tenglamasini keltirib chiqaramiz.
tekislikdan ixtiyoriy nuqta olamiz. va vektorlar o‘zaro
perpendikulyar bo‘lganda va faqat shundagina nuqta tekislikda yotadi.
Malumki vektordan bo‘ladi. Ikki vektorning
perpendikulyarlik shartiga asosan
(2.1.1)
Tarif: tekislikka perpendikuylar normal vektori deyiladi.
3. Tekislikning umumiy tenglamasi va uning xossalari
tenglamadan
yoki
Bilan belgilashdan keyin
(2.1.2)
Tenglama hosil bo‘ladi. (2.1.2) tenglamani fazoda tekislikning umumiy tenglamasi
deyiladi.
Umumiy tenglamasi qiyudagi hollarga ega:
1) bo‘lsa, bo‘lib, tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi;
2) bo‘lsa, bo‘lib, tekislik o‘qiga parallel, xuddi shunday
, tekisliklar mos ravishda va o‘qlariga
paralleldir
21

3) 2-holda bo‘lsa, tekislik tenglamalari
bo‘lib, ular mos ravishda koordinata o‘qlaridan o‘tadi.
4) bo‘lsa tekislik koordinata tekisligiga parallel, xuddi
shunday , tekisliklar mos ravishda koordinata
tekisliklariga parallel bo‘ladi.
5) bo‘lsa, bo‘lib koordinata tekisligi bilan ustma-ust
tushadi, ya’ni , koordinata tekisligining tenglamasi bo‘ladi. Xuddi
shunday va , mos ravishda va koordinata tekisliklarining
tenglamasini ifodalaydi.
4. Tekislikning kesmalar bo‘yicha tenglamasi
(2.1.2)
Tenglamada koeffisiyentlar hammasi 0 dan farqli bo‘lsa, tekislik
koordinata o‘qlaridan va kesmalar ajratadi. ajratadi.(1) tenglamani
quyidagicha o‘zgartiramiz:
2.1.3-chizma
22

oxirgi tenglamada , , belgilash kiritsak
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama fazoda tekislikning kesmalarga nisbatan
tenglamasi deyiladi.
5. Berilgan uchta va nuqtadan o‘tuvchi tekislik
tenglamasi.
Tekislikda yotuvchi ixtiyoriy nuqt tanlab olamiz va
vektorlarni tuzamiz .Bu vektorlar bitta tekislikda yotgani uchun ular o‘zaro komplanar
bo‘lib va skalyar ko‘paytmasi nol bo‘ladi. Shundan (*) hosil bo‘ladi
(*)
2.1.4-chizma
Dekart reperida tekislikka doir metrik masalalarda yuqorida sanab o‘tilgan
23

5 hol bo‘yicha va tekisliklar orasidagi burchakni o‘lchash bilan bog‘liq
holdagi masalalar ko‘riladi va yechiladi.
24

25XULOSA:
Bu kurs ishida shu ma’lumotlarni bilib oldim. Dekartning koordinatalar
tizimidagi tekislikdagi metrik masalalar analitik matematikaning asosiy
tushunchalaridir. Bu koordinata geometriyasidagi muammolarni hal qilish
uchun masofa formulasi, o‘rta nuqta formulasi va qiyalik formulasi kabi turli
formulalardan foydalanishni o‘z ichiga oladi. Ushbu tushunchalarni egallash
fizika, muhandislik va informatika kabi sohalarda ilg‘or ilovalar uchun
zarurdir. Samolyotda metrik masalalarni etishda malakali bo‘lish uchun
muammoni hal qilish ko‘nikmalarini mashq qilish va rivojlantirish kerak.
Mavjud tushunchalarni to‘g‘ri tushunish va qo‘llash orqali har kim bu
qiyinchiliklarni yengib o‘tishi va analitik matematikada muvaffaqiyatga
erishishi mumkin.
Dekart koordinatalarida tekislikka doir metrik masalalari analitik
matematikada keng qo‘llaniladi. Bu masalalar, nuqtalar orasidagi masofalar,
burchaklar, geometrik obyektlar va ulardagi xossalarga asoslangan formulalar
va konseptlarni o‘z ichiga oladi. Ushbu masalalar quyidagi xulosalarni o‘z
ichiga oladi:
1. Masofalar: Dekart koordinatalarida nuqtalar orasidagi masofa, Pythagoras
teoremasi yordamida hisoblanadi. Agar va ikkala nuqta
berilgan bo‘lsa, ularning orasidagi masofa:
Masalan, ikkala nuqta orasidagi masofani topish, qarshilikka o‘xshashlik va
bo‘shlik formula orqali aniqlanishi mumkin.
2. Burchaklar: Dekart koordinatalarida burchaklar trigonometriya yordamida
hisoblanadi. Agar nuqta berilgan bo‘lsa, ushbu nuqtaning burchagi:
Bu formulada funksiyasi, berilgan nuqta koordinatalari
yordamida burchakni topishga yordam beradi.

26 29
3. Geometrik obyektlar: Dekart koordinatalarida geometrik obyektlar,
masalan, doiralar, to‘rtburchaklar, chiziq segmentlari kabi shakllar formulalar
yordamida ifodalangan. Bu formulalar geometrik obyektlarning xususiyatlari
va ulardagi almashtirishlarni hisoblash uchun foydalaniladi.
4. Optimal joylashuv: Metrik masalalarda, bir nechta nuqtalar orasidagi
minimal yoki maksimal masofalarni topish ham o‘zimizga tegishli bo‘ladi. Bu
turlarni topish uchun, masofa formulalari va optimallashtirish algoritmlari,
masalan, minimal jadvallar metodlari va boshqalar ishlatiladi.
Dekart reperida tekislikka doir metrik masalalari analitik matematikada
keng qo‘llaniladi va turli sohalarda amaliyotda foydalaniladi. Ular,
geometriyada, fizikada, injineringda, kalkulyatsiyali modellashda,
navigatsiyada va boshqa ko‘plab sohalarda foydalanish mumkin.

27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. SH. M. Mirziyoyev “Erkin va farovon demokratik O‘zbekiston davlatini
birgalikda barpo etamiz”
2. I. A. Karimov. “Barkamol avlod–O‘zbekiston poydevori”. Toshkent 1998.
3. N.Dadajonov, M.Jo‘rayeva Geometriya 1-qism. Toshkent. “O‘qituvchi”.
1996.147-b.
4. A.Narmanov Analitik Geometriya Kursi . Toshkent. 2006. 35-b.
5. B.Haydarov, E.Sariqov, A.Qo chqorov, “Geometriya” umumiy o‘rtaʻ
ta’lim ning maktablarining 9-sinfi uchun darslik. Toshkent.“YANGIYO”L
POLIGRAPH SERVICE”.2010.
6. M.Mirzaaxmedov, Sh.Ismoilov, B.Xaydarov Matematika-10.
Toshkent - 2017
7. M.Mirzaaxmedov, Sh.Ismoilov, B.Xaydarov Matematika-11.
Toshkent - 2018
8. I. Isroilov, Z.Pashayev GEOMETRIYA I qism. Akademik litseylar
uchun darslik. „O‘qituvchi“ nashriyot-matbaa ijodiy uyi. TOSHKENT—
2010
9. K.R.Kodirov, T.YU.Bakirov, E.YU.Azizov ”Analitik geometriya
“ fanidan o‘quv qo‘llanma
10. X.Latipov, SH.Tojiyev, R.Rustamov ”Analitik geometriya va
chiziqli algebra “
ELEKTRON MANBALAR
1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
2. http://www.allmath.ru/
3. http://www.pedagog.uz/
4. http://www.ziyonet

Tekislikda koordinatalar metodiga doir metrik masalalar kurs ishi

Sotib olish