Tekislikda kordinatalar metodi - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	1.3MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

199 Sotish

Tekislikda kordinatalar metodi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“ Matematika ”
yo nalishi -guruh talabasi ʻ
ing
“Analitik geometriya” fanidan
“ Tekislikda kordinatalar metodi ”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari :
Farg ona 202
ʻ 5

MUNDARIJA
Оглавление
KIRISH .......................................................................................................................................................... 2
I-BOB. TEKISLIKDA KOORDINATALAR SISTEMASI VA NUQTALAR ORASIDAGI MASOFA ........................... 4
1.1. Koordinatalar sistemasining tushunchasi va asosiy elementlari ....................................................... 5
1.2. Nuqtalar orasidagi masofa va uning hisoblanishi ............................................................................ 10
II-BOB. TO‘G’RI CHIZIQLARNING TENGLAMALARI VA ULARNING TAXLILI .................................................. 14
2.1. To‘g‘ri chiziq tenglamalarining turlari va ularning o‘zaro bog‘liqligi ................................................ 15
2.2. To‘g‘ri chiziqlarga oid masalalar va ularning yechim usullari .......................................................... 21
III-BOB EGRI CHIZIQLAR VA ULARNING TEKISLIKDA TAXLILI ...................................................................... 25
3.1. Aylana va boshqa ikkinchi darajali chiziqlarning umumiy tenglamalari .......................................... 26
3.2. Egri chiziqlarning grafik ko‘rinishlari va geometrik xossalari ........................................................... 30
XULOSA .................................................................................................................................................. 33
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................................................................ 34
KIRISH
“Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb
2

so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim-
tarbiyasi deb javob beraman!!!
Shavkat Mirziyoyev
Zamonaviy ilm-fan va texnologiyalar tez sur'atlar bilan rivojlanib borayotgan
bugungi davrda aniq fanlar, xususan matematika va uning tarmoqlari hayotning
barcha jabhalarida muhim ahamiyat kasb etmoqda. Analitik geometriya fani,
xususan tekislikda koordinatalar metodi , murakkab geometrik masalalarni
algebraik usullar bilan tahlil qilish imkonini berib, ilmiy va amaliy sohalarda keng
qo‘llanilmoqda.
Kurs ishining dolzarbligi tekislikda koordinatalar metodining dolzarbligi
uning geometriya masalalarini aniq va samarali tarzda yechishda qo‘llanilishidan
kelib chiqadi. Ushbu metod yordamida geometriyaning turli shakllari — nuqtalar,
to‘g‘ri chiziqlar, egri chiziqlar va boshqalar algebraik tenglamalar ko‘rinishida
ifodalanadi. Bu esa nafaqat matematikada, balki muhandislik, fizika, kompyuter
grafikasi, robototexnika va boshqa ko‘plab sohalarda muhim ahamiyat kasb etadi.
Shu bois, tekislikda koordinatalar metodini chuqur o‘rganish va amaliy qo‘llash
hozirgi kunda talabalar uchun zarur ilmiy tayyorgarlik hisoblanadi.
Ushbu kurs ishining maqsadi — tekislikda koordinatalar metodining
nazariy asoslarini o‘rganish, asosiy tushunchalar va tenglamalarni tahlil qilish,
shuningdek, geometrik obyektlarni algebraik ifodalar yordamida tasvirlash hamda
amaliy misollar orqali ularni mustahkamlashdir. Kurs ishida, shuningdek,
tekislikda chiziqlar va egri chiziqlarning grafik ko‘rinishlari va ularning xossalari
ham o‘rganiladi.
Kurs ishining tuzilishi kurs ishi uchta asosiy bobdan iborat:
1. Birinchi bobda tekislikda koordinatalar sistemasi, nuqtalar va ular orasidagi
masofa tushunchalari ko‘rib chiqiladi.
2. Ikkinchi bobda to‘g‘ri chiziqlarning tenglamalari va ular bilan bog‘liq
masalalar tahlil qilinadi.
3

3. Uchinchi bobda egri chiziqlar, xususan aylana va boshqa ikkinchi darajali
chiziqlarning tenglamalari, ularning grafik ko‘rinishlari va xossalari batafsil
o‘rganiladi.
Har bir bobda nazariy ma’lumotlar amaliy misollar va grafikalar yordamida
mustahkamlanadi.
I-BOB. TEKISLIKDA KOORDINATALAR SISTEMASI VA NUQTALAR
ORASIDAGI MASOFA
Ushbu bobda tekislikda koordinatalar sistemasining asosiy tushunchalari
ko‘rib chiqiladi. Koordinatalar yordamida geometrik nuqtalarni aniqlash va
4

ularning o‘zaro joylashuvini ifodalash usullari tahlil qilinadi. Shuningdek, nuqtalar
orasidagi masofa hisoblash formulalari va ularning amaliy qo‘llanilishi haqida so‘z
yuritiladi. Bu bob kurs ishining nazariy poydevorini tashkil etib, keyingi boblarda
ko‘rib chiqiladigan to‘g‘ri chiziqlar va egri chiziqlar mavzulariga tayanch bo‘ladi.
1.1. Koordinatalar sistemasining tushunchasi va asosiy elementlari
Geometriya sohasida shakllarning joylashuvi va ularning o‘zaro
munosabatlarini aniqlash muhim vazifa hisoblanadi. Koordinatalar sistemasining
paydo bo‘lishi aynan shu maqsadni amalga oshirish uchun asos bo‘lib xizmat
qilgan. U geometrik nuqtalarning joylashuvini aniq raqamlar yordamida
ifodalashga imkon beradi. Shu tariqa, murakkab shakllar algebraik tenglamalar
orqali ifodalanib, ularni matematik tahlil qilish ancha osonlashadi.
Koordinatalar sistemasining asosiy maqsadi — tekislikda har bir nuqtani
boshqalaridan farqlaydigan aniq o‘rin bilan ko‘rsatishdir. Buning uchun ikkita
perpendikulyar o‘q tanlanadi: gorizontal x o‘q va vertikal o‘q y. Bu o‘qlar
kesishgan nuqtasi (0,0) — boshlang‘ich nuqta (origin) deb ataladi. Har bir nuqta
o‘zining koordinatalari — x va y qiymatlari yordamida ifodalanadi, bu qiymatlar
nuqtaning o‘qlarga nisbatan masofalaridir.
Koordinatalar sistemasi yordamida geometrik obyektlar, masalan nuqtalar,
chiziqlar, egri chiziqlar va boshqa shakllar algebraik tenglamalar bilan tasvirlanadi.
Bu esa ularning fazoviy joylashuvini oson tahlil qilish imkonini beradi. Shu
sababli, koordinatalar sistemi nafaqat matematik nazariya, balki amaliy fan va
texnologiyada ham keng qo‘llaniladi.
Koordinatalar sistemasining asosiy elementlari
5

1. Boshlang‘ich nuqta (Origin)
Boshlang‘ich nuqta — bu koordinatalar sistemasi o‘qlarining kesishgan
nuqtasi bo‘lib, uning koordinatalari (0,0) ga teng. Bu nuqta barcha
o‘lchovlarning boshlang‘ich nuqtasi sifatida qabul qilinadi.
2. Koordinata o‘qlari
Koordinatalar sistemasida ikki perpendikulyar o‘q — x va y o‘qlari mavjud.
x o‘qi gorizontal yo‘nalishda, y o‘qi esa vertikal yo‘nalishda joylashgan.
Ularning kesishgan joyi origin bo‘ladi. Har bir o‘qda ijobiy va manfiy
yo‘nalishlar mavjud bo‘lib, ular o‘qning har ikki tomonida joylashgan.
3. Koordinatalar
Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari — bu nuqtaning x va y o‘qlariga
nisbatan joylashuvini ko‘rsatuvchi sonlardir. Masalan, nuqta A ning
koordinatalari (xA,yA) shaklida yoziladi, bunda xA — gorizontal yo‘nalishdagi
masofa,
yA esa vertikal yo‘nalishdagi masofadir.
4. Kvadrantlar
Koordinatalar sistemi to‘rt kvadrantga bo‘lingan. Har bir kvadrantda
koordinatalarning o‘ziga xos belgisi mavjud:
6

1. I kvadrantda: x>0,y>0
2. II kvadrantda: x < 0 , y > 0
3. III kvadrantda:
x<0,y<0
4. IV kvadrantda: x > 0 , y < 0
Bu bo‘linish geometrik obyektlarning joylashuvi va xususiyatlarini
aniqlashda muhim ahamiyatga ega.

5. O‘lchov birligi
Koordinatalar sistemasi o‘lchovlari uchun bir birlik belgilangan bo‘lib, u
masofa yoki uzunlik o‘lchovi sifatida xizmat qiladi. Bu birlik yordamida har
bir koordinata o‘qida nuqtaning joylashuvi aniq o‘lchanadi.
Koordinatalar sistemasi yordamida nuqtalarni aniqlash
7

Tekislikda har bir nuqta koordinatalar yordamida aniq ifodalanadi. Masalan,
nuqta M(3,−2)M(3, -2)M(3,−2) koordinatalari gorizontal yo‘nalishda 3 birlik
o‘ngga, vertikal yo‘nalishda esa 2 birlik pastga joylashganligini bildiradi.
Koordinatalar orqali nuqtaning joylashuvi aniq belgilanadi, bu esa geometriyani
yanada tizimli o‘rganishga imkon beradi.
Nuqtalarning koordinatalari orqali ular orasidagi masofa ham hisoblanadi. Bu
masofa ikki nuqtaning koordinatalari farqlarining kvadratlarining yig‘indisining
ildizi sifatida topiladi, ya’ni:
8

d =√ ¿ ¿
Bu formula Pifagor teoremasi asosida yaratilgan va tekislikdagi nuqtalar
orasidagi to‘g‘ri chiziq uzunligini ifodalaydi.
Koordinatalar sistemasining tushunchasi va asosiy elementlarini chuqur
tushunish analitik geometriyaning asosini tashkil etadi. Ushbu tizim yordamida
geometrik nuqtalarni aniq raqamlar yordamida ifodalash, ularni o‘zaro bog‘lash va
masofalarni hisoblash mumkin bo‘ladi. Keyingi boblarda ushbu asosiy
tushunchalar asosida to‘g‘ri chiziqlar va egri chiziqlarning tenglamalari va ularning
tahlillari o‘rganiladi.
9

1.2. Nuqtalar orasidagi masofa va uning hisoblanishi
Analitik geometriyada nuqtalar orasidagi masofa tushunchasi muhim
ahamiyatga ega bo‘lib, u ko‘plab geometriya va amaliyot masalalarining
poydevorini tashkil etadi. Nuqtalar orasidagi masofa, ikki nuqta o‘rtasidagi eng
qisqa chiziq, to‘g‘ri chiziq uzunligi sifatida aniqlanadi. Bu masofa orqali
shakllarning o‘lchami, ularning o‘zaro joylashuvi, fazoviy holati o‘rganiladi.
Nuqtalar orasidagi masofa formulasi
Ikki nuqta A(x1,y1) va B(x2,y2) koordinatalari berilgan bo‘lsa, ularning
orasidagi masofa dd quyidagi formula orqali topiladi:
d= √¿¿
Bu formula Pifagor teoremasi asosida hosil qilingan bo‘lib, ikki nuqta
orasidagi to‘g‘ri chiziq uzunligini ifodalaydi.
Pifagor teoremasi
Pifagor teoremasi — o‘ng burchakli uchburchakda katetlar kvadratlari
yig‘indisi gipotenuzaning kvadratiga teng degan matematik qoidadir. Agar
uchburchakning katetlari aa va bb, gipotenuzasi cc bo‘lsa, quyidagi tenglama
bajariladi:
10

a 2
+ b 2
= c 2
Koordinatalar sistemasi yordamida nuqtalar orasidagi masofa aniqlashda bu
teorema bevosita qo‘llaniladi, chunki nuqtalar orasidagi to‘g‘ri chiziq koordinatalar
orasidagi vertikal va gorizontal farqlarning kvadratlari yig‘indisining ildizi sifatida
olinadi.
Masofa hisoblash qoidalari
1. Masofa doim ijobiy yoki nolga teng bo‘ladi: d≥0.
2. Ikki nuqta bir xil bo‘lsa, ularning masofasi nolga teng: agar A=B, unda d=0.
3. Masofa simmetrik: d(A,B)=d(B,A).
4. Uchburchak tengsizlik qoidasi bajariladi: har qanday uchta nuqta uchun
ularning orasidagi masofalar quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
d ( A , C ) ≤ d ( A , B ) + d ( B , C )
Masofa formulasining isboti
Nuqtalar A(x1,y1)va B(x2,y2) ni olamiz. Ularning orasidagi masofa to‘g‘ri
chiziq bo‘lib, uning uzunligini topish uchun to‘g‘ri burchakli uchburchak quramiz.
Horizontal yo‘nalishda farq:
Δx = x2− x1. Vertikal yo‘nalishda farq: Δy = y2− y1
Shu katetlar asosida gipotenuza — nuqtalar orasidagi masofa quyidagicha
topiladi:
d= √¿¿
Bu yerda gipotenuza — nuqtalar orasidagi to‘g‘ri chiziq, katetlar esa
koordinatalar farqidir.
Qiziqarli grafiklar
Mana mavzuning yanada jozibadorligini oshirish uchun 5 ta grafik. Har biri
masofa tushunchasining turli jihatlarini ko‘rsatadi.
1-grafik: Nuqtalar AA va BB, ularning koordinatalari va ular orasidagi
masofa chizmasi.
11

2-grafik: Pifagor teoremasining geometrik ko‘rinishi — katetlar va
gipotenuza.
3-grafik: Masofa simmetrikligi — d(A,B)=d(B,A).
12

4-grafik: Uchburchak tengsizlik qoidasi — masofalar orasidagi bog‘lanish.
5-grafik: Masofa nolga teng bo‘lgan holat — A va B nuqtalari bir joyda.
13

II-BOB. TO‘G’RI CHIZIQLARNING TENGLAMALARI VA ULARNING
TAXLILI
To‘g‘ri chiziqlar analitik geometriyaning eng muhim va asosiy ob'ektlaridan
biridir. Ular yordamida nafaqat murakkab shakllar, balki geometriyaning ko‘plab
masalalari yechiladi. To‘g‘ri chiziqning algebraik tenglamalari ko‘plab
vaziyatlarda geometrik munosabatlarni aniqlashga imkon beradi hamda matematik
modellashtirishda keng qo‘llaniladi.
Ushbu bobda to‘g‘ri chiziqning turli ko‘rinishdagi tenglamalari, ularning
xususiyatlari va o‘zaro bog‘liqligi o‘rganiladi. Shuningdek, to‘g‘ri chiziqlarga oid
masalalarni yechish usullari va ularning tahlili ko‘rib chiqiladi. Bobda nazariy
bilimlar amaliy misollar yordamida mustahkamlanib, geometrik tushunchalar
yanada aniqroq ifodalanadi.
14

2.1. To‘g‘ri chiziq tenglamalarining turlari va ularning o‘zaro bog‘liqligi
To‘g‘ri chiziq analitik geometriyada asosiy geometrik obyektlardan biridir va
ko‘plab masalalarning yechimida muhim ahamiyatga ega. To‘g‘ri chiziq
tenglamalari turli shakllarda ifodalanadi, ular o‘zaro bog‘langan bo‘lib, har biri
turli sharoitlarda qulaylik yaratadi. To‘g‘ri chiziqning algebraik ifodasi va ularning
xususiyatlari yaxshi o‘rganilsa, geometriya masalalarini yechish yanada
soddalashadi.
15

To‘g‘ri chiziqning ta’rifi
Matematikada to‘g‘ri chiziq — bu nuqtalar to‘plami bo‘lib, ular ikki nuqta
orasidagi eng qisqa yo‘lni tashkil qiladi. Geometriyaning aksariyat darsliklarida,
jumladan, Narmanov “Analitik geometriya” darsligida (Narmanov A.M., “Analitik
geometriya”, Toshkent, 1985), to‘g‘ri chiziq ko‘pincha quyidagicha ta’riflanadi:
To‘g‘ri chiziq — tekislikda ikki nuqta orqali o‘tuvchi eng qisqa chiziq.
To‘g‘ri chiziq tenglamalarining asosiy turlari
To‘g‘ri chiziq tenglamalari bir nechta turga bo‘linadi. Har bir turining
o‘zining matematik va amaliy qulayligi mavjud.
1. Umumiy (standart) tenglama
Eng ko‘p ishlatiladigan to‘g‘ri chiziq tenglamasi:
Ax + By + C = 0
bu yerda A, B, va C — haqiqiy sonlar bo‘lib, kamida bittasi nolga teng emas.
16

Xususiyatlari:
1. Agar B≠0, chiziqni y ga nisbatan ochish mumkin.
2. Agar A=0, chiziq y = − C
B ko‘rinishida gorizontal chiziq bo‘ladi.
3. Agar B=0, chiziq x=−C
A ko‘rinishida vertikal chiziq bo‘ladi.
2. Kesishma nuqtalar yordamida tenglama
Agar to‘g‘ri chiziq x o‘qini x
0 , y
o‘qini esa y
0 nuqtalarda kesib o‘tgan bo‘lsa,
uning tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:
x
x
0 + y
y
0 = 1
Bu tenglama to‘g‘ri chiziqning koordinata o‘qlarini kesish nuqtalarini aniq
ko‘rsatadi.
17

3. Qiyalik-ko‘rsatkich (slope-intercept) tenglama
Agar to‘g‘ri chiziqning qiyaligi (egilishi) k va y-kesishmasi b ma’lum bo‘lsa,
tenglama quyidagicha yoziladi:
y = kx + b
bu yerda
 k = tan ⁡ α , α — chiziqning x
o‘qi bilan hosil qilgan burchagi.
 b — chiziqning y o‘qini kesish nuqtasi.
4. Nuqta va qiyalik yordamida tenglama
Agar to‘g‘ri chiziq P ( x
1 , y
1 )
nuqtadan o‘tsa va uning qiyaligi kkk ma’lum
bo‘lsa, uning tenglamasi:y− y1= k(x− x1)
Bu tenglama chiziqni berilgan nuqtadan va qiyalikdan hosil qiladi.
18

5. Ikkita nuqta yordamida tenglama
Agar chiziq ikki nuqta P1(x1,y1) va P2(x2,y2) orqali o‘tgan bo‘lsa, uning
tenglamasi:
Bu tenglama chiziqning ikki nuqtasi orqali aniq ifodalash imkonini beradi.
y− y1
y2− y1
= x− x1
x2− x1
19

To‘g‘ri chiziq tenglamalarining o‘zaro bog‘liqligi
Yuqorida keltirilgan barcha tenglamalar bir-biridan algebraik
manipulyatsiyalar yordamida olinadi. Masalan, umumiy tenglama Ax +By +C=0
ifodani qiyalik-ko‘rsatkich shakliga quyidagicha o‘tkazish mumkin:
y = − A
B x − C
B y = − BAx − BC
bu yerda − AB = k − A
B va − CB = b − C
B = b − BC = b .
Shuningdek, nuqta va qiyalik yordamida yozilgan tenglama ham qiyalik-
ko‘rsatkich shakliga osonlik bilan keladi.
To‘g‘ri chiziqning asosiy xossalari
1. Qiyalik kkk: chiziqning yo‘nalishini belgilaydi. Agar k=0, chiziq gorizontal
bo‘ladi. Agar kkk mavjud bo‘lmasa (ya’ni B=0), chiziq vertikal bo‘ladi.
2. Kesish nuqtalari: chiziqning x va y o‘qlarini kesish nuqtalari tenglama
yordamida aniqlanadi.
3. Parallel va perpendikulyar chiziqlar:
1. Parallel chiziqlarning qiyaliklari teng: k
1 = k
2
2. Perpendikulyar chiziqlar uchun
k1·k2=−1
Masalalar yechishdagi qo‘llanilishi
20

To‘g‘ri chiziq tenglamalari ko‘plab masalalarning yechimida qo‘llaniladi: ikki
nuqta orasidagi chiziq tenglamasini topish, nuqta va chiziq orasidagi masofani
hisoblash, chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash va boshqalar.
To‘g‘ri chiziq tenglamalarining turli shakllari o‘zaro osonlik bilan bog‘langan
bo‘lib, ularni turli vaziyatlarda qulaylik bilan qo‘llash mumkin. Ularning chuqur
o‘rganilishi analitik geometriyaning asosiy qismidir va ko‘plab amaliy masalalarni
yechishda asosiy vositadir.
2.2. To‘g‘ri chiziqlarga oid masalalar va ularning yechim usullari
To‘g‘ri chiziqlarga oid masalalar analitik geometriyada juda keng tarqalgan
bo‘lib, ular turli xil shakllarda paydo bo‘ladi. Eng ko‘p uchraydigan masalalar
orasida to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish, nuqtaning chiziqqa nisbatan masofasini
hisoblash, ikki chiziq orasidagi burchakni aniqlash va to‘g‘ri chiziqlarning
kesishish nuqtasini topish kabi masalalar bor. Ushbu masalalar matematik tahlil va
amaliy sohalarda, masalan, fizika, muhandislik, grafik dizayn va boshqalarda keng
qo‘llaniladi.
Masalalarni yechishda asosan quyidagi usullar qo‘llaniladi:
1. Algebraik usul : tenglamalar yechish, o‘zaro tenglashtirish, tizimlar yechish.
2. Geometrik usul : grafiklar yordamida yechimlarni vizualizatsiya qilish.
3. Analitik usul : koordinatalar, vektorlar va burchaklar asosida hisoblashlar.
Endi quyida uchta aniq misolni ko‘rib chiqamiz, har birining yechimi
bosqichma-bosqich keltirilgan va grafiklari bilan ta’minlangan.
Misol 1. Ikkita nuqta orqali to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish
Masala sharti: Nuqtalar A(1,2) va B(4,5)B(4,5) orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq
tenglamasini toping.
Yechim:
1. Nuqtalar orasidagi qiyalikni topamiz:k= y2− y1
x2− x1
= 5− 2
4−1=1
2. Nuqta-qiyalik formulasi bo‘yicha tenglama:
(x−1)y− 2=1·(x−1)y−2=1⋅
Grafik:
Chiziq y=x+1 va nuqtalar A hamda B ko‘rsatiladi.
21

Misol 2. Nuqtaning chiziqqa masofasini hisoblash
Masala sharti: Nuqta P(3,1) va chiziq 2x+3y−6=0 berilgan. Nuqtaning
chiziqqa masofasini toping.
Yechim:
1. Masofa formulasi:
d=¿Ax0+By0+C∨ ¿
√A2+B2¿
2. Qiymatlarni qo‘yamiz:
d = ¿ 2 · 3 + 3 · 1 − 6 ∨ ¿
√
2 2
+ 3 2 = ¿ 6 + 3 − 6 ∨ ¿ √
4 + 9 = 3 √
13 ≈ 0.83 ¿ ¿
22

Misol 3. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni aniqlash
Masala sharti: Chiziqlar y = − 1
2 x + 3 y = − 21 x + 3
orasidagi burchakni toping.
Yechim:
1. Chiziqlarning qiyaliklari:
k
1 = 2 , k
2 = − 1
2
2. Burchak formulasi:
tan ⁡ θ = ∣ k 1 − k 21 + k 1 k 2 ∣ = ∣ 2 − ( − 12 ) 1 + 2 ⋅ ( − 12 ) ∣ = ∣ 2 + 121 − 1 ∣ tan θ =| k
1 − k
2
1 + k
1 k
2 | = | 2 − ( − 1
2 )
1 + 2 · ( − 1
2 ) | =
| 2 + 1
2
1 − 1 | tanθ = 1 + k 1 k 2 k 1 − k 2 = 1 + 2 ⋅ ( − 21 ) 2 − ( − 21 ) = 1 − 12 + 21
Bu holda, denominator 1−1=0, ya’ni burchak 90° (perpendikulyar).
23

III-BOB EGRI CHIZIQLAR VA ULARNING TEKISLIKDA TAXLILI
Eğri chiziqlar — geometriyaning eng muhim va ko‘p qirrali obyektlaridan biri
bo‘lib, ular nafaqat nazariy matematikada, balki fizika, muhandislik, kompyuter
grafikasi va boshqa ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi. Tekislikda egri chiziqlarni
o‘rganish analitik geometriyaning ajralmas qismi hisoblanadi, chunki ular
geometrik shakllarning aniq tavsifi va tahlilini amalga oshirishda asosiy vosita
sifatida xizmat qiladi.
Egri chiziqlar — nuqtalar to‘plami bo‘lib, ularning har biri berilgan
matematik qoidalar, tenglamalar yoki parametrik ifodalar bilan bog‘langan. Bu
chiziqlar soddalashtirilgan shaklda polinom, trigonometriya funksiyalari,
parametrik tenglamalar yoki umumiy algebraik tenglamalar orqali ifodalanadi. Egri
chiziqlar orasida aylana, parabola, ellips, giperbola kabi ikkinchi darajali chiziqlar,
shuningdek, murakkabroq funksional egri chiziqlar mavjud.
Tekislikda egri chiziqlarni tahlil qilishda ularning algebraik tenglamalari,
parametrik ifodalari, hosilalari, uzunliklari va boshqa geometrik xossalari
o‘rganiladi. Ushbu tahlil natijalari chiziqlarning hosilalari yordamida ularning
egiluvchanligi, egri chiziq uzunligi va boshqa geometrik o‘lchovlarni aniqlash
imkonini beradi. Shuningdek, egri chiziqlar ko‘p hollarda fizik jarayonlar, mexanik
harakatlar, qurilish va dizayn sohalarida ham muhim ahamiyat kasb etadi.
Ushbu bobda egri chiziqlar asosiy turlari — aylana, parabola, ellips va
giperbola kabi ikkinchi darajali chiziqlarning tenglamalari, ularning grafik
ko‘rinishlari va asosiy geometrik xossalari batafsil yoritiladi. Har bir chiziq turi
o‘ziga xos parametrlar va xususiyatlarga ega bo‘lib, ular ko‘plab ilmiy va amaliy
masalalarda qo‘llaniladi.
Bobda egri chiziqlarning tekislikdagi tahlili uchun kerakli matematik
vositalar, jumladan koordinatalar sistemasida tenglamalarni soddalashtirish,
kanonik shaklga keltirish usullari, chiziqlarning kesishish nuqtalari va ularning
o‘zaro munosabatlari ko‘rib chiqiladi. Shuningdek, egri chiziqlarning uzunligini
hisoblash, ularning hosilasini topish va boshqa amaliy jihatlar o‘rganiladi.
25

Egri chiziqlar bilan ishlash analitik geometriya fanining dolzarb va amaliy
qismidir. Ular yordamida murakkab shakllar, trayektoriyalar va fazoviy
o‘zgarishlarni modellashtirish, optimallashtirish va tahlil qilish imkoniyatlari
kengayadi. Shuning uchun egri chiziqlarni o‘rganish zamonaviy matematikaning
va unga asoslangan texnologiyalarning rivojlanishida muhim ahamiyatga ega.
Bob yakunida egri chiziqlarni tahlil qilish bo‘yicha asosiy konseptlar va
metodlar umumlashtiriladi, ularning ilmiy va amaliy ahamiyati ta’kidlanadi. Ushbu
bobdagi bilimlar keyingi fan bo‘limlari va kurs ishining boshqa boblari uchun
mustahkam poydevor yaratadi.
3.1. Aylana va boshqa ikkinchi darajali chiziqlarning umumiy tenglamalari
Analitik geometriyada ikkinchi darajali chiziqlar — aylana, ellips, parabola
va giperbola — muhim o‘rin tutadi. Ular ko‘plab fizikaviy, muhandislik va
matematik masalalarning asosiy ob'ektlari hisoblanadi. Ushbu chiziqlarni umumiy
algebraik tenglamalar orqali ifodalash va ularni tahlil qilish, ularning xossalarini
aniqlash, shuningdek, ularni soddalashtirish va kanonik shaklga keltirish analitik
geometriyaning muhim bo‘limidir.
Ikkinchi darajali chiziqlar matematikada konik kesiklar deb ataladi, chunki
ular tekislikda konus yuzasi bilan kesishish natijasida hosil bo‘ladi. Ularning
umumiy tenglamalari va xossalari ko‘plab matematik darsliklarda, jumladan
Narmanovning “Analitik geometriya” (1985), Kolmogorov va Fominning “Klassik
matematik analiz” (1970) kabi ishonchli manbalarda batafsil yoritilgan.
Ikkinchi darajali chiziqlarning umumiy tenglamasi
Tekislikda ikkinchi darajali chiziqlar umumiy algebraik tenglamasi
quyidagicha ifodalanadi:Ax2+Bxy +C y2+Dx +Ey +F=0
bu yerda A, B, C, D, E, F — haqiqiy sonlar bo‘lib, kamida bittasi nolga teng
emas va quyidagi shartlar bajariladi:
1. Agar
B2− 4AC <0 , chiziq ellips yoki aylana (maxsus holat) bo‘ladi.
2. Agar
B 2
− 4 AC = 0 chiziq parabola bo‘ladi.
3. Agar
B2− 4AC >0 chiziq giperbola bo‘ladi.
26

Bu qiymatlar diskriminant deb ataladi va u konik kesiklarning turini
aniqlashda asosiy rol o‘ynaydi.
Aylana tenglamasi va uning xossalari
Aylana — bu nuqtalar to‘plami bo‘lib, ular markazdan teng masofada
joylashgan. Aylananing umumiy tenglamasi (markazi (h,k) radiusi r):
¿
Agar aylana koordinatalar sistemasining boshlang‘ich nuqtasida joylashgan
bo‘lsa, uning tenglamasi soddalashtirilgan ko‘rinishda bo‘ladi:x2+y2=r2
Xossalari:
1. Aylana doimiy radiusga ega.
2. Aylana markazining koordinatalari hhh va kkk tenglamada nuqtalar
o‘zgarishiga ta’sir qiladi.
3. Aylananing har bir nuqtasi markazdan bir xil masofada joylashgan.
Ellips, parabola va giperbola tenglamalari
Ellips
Ellips — tekislikdagi nuqtalar to‘plami bo‘lib, ularning yig‘‘indisi ikkita e’gri
nuqtadan (fokuslardan) teng. Kanonik tenglamasi:
27

¿¿bu yerda a>b>0, (h,k) — ellips markazi, a va b — ellipsning yarim
o‘qlarining uzunliklari
Parabola
Parabola — tekislikdagi nuqtalar to‘plami bo‘lib, ularning har biri berilgan
nuqtaga (focus) va berilgan to‘g‘ri chiziqqa (direktrisa) teng masofada joylashgan.
Kanonik tenglamasi:
y = 4 px y 2
bu yerda p fokusdan to‘g‘ri chiziqqa bo‘lgan masofa.
28

Giperbola
Giperbola — tekislikdagi nuqtalar to‘plami bo‘lib, ularning farqi ikkita e’gri
nuqtadan (fokuslardan) doimiy bo‘ladi. Kanonik tenglamasi:¿¿
bu yerda aaa, b, (h,k) giperbola parametrlaridir.
To‘g‘ri shaklga keltirish (kanonik shakl)
29

Ko‘p hollarda, ikkinchi darajali tenglama o‘zgarishlar yordamida oddiy
shaklga — kanonik shaklga keltiriladi. Bu uchun koordinatalarni aylantirish,
translatsiya va soddalashtirish usullari qo‘llaniladi.
Har qanday ikkinchi darajali chiziq tenglamasi to‘g‘ri aylantirish va
translatsiya orqali o‘zining kanonik shakliga keltiriladi.
Ikkinchi darajali chiziqlarning umumiy tenglamalari orqali ularni tahlil qilish,
shaklini aniqlash, o‘zgarishlar yordamida soddalashtirish analitik geometriyada
muhim o‘rin tutadi. Aylana, ellips, parabola va giperbola o‘ziga xos xossalari bilan
ko‘plab ilmiy va amaliy masalalarda qo‘llaniladi.
3.2. Egri chiziqlarning grafik ko‘rinishlari va geometrik xossalari
Egri chiziqlar — geometriya va analitik geometriyaning muhim ob’ektlaridan
biri bo‘lib, ular turli shakl va xususiyatlarga ega. Egri chiziqlarning grafik
ko‘rinishlarini o‘rganish orqali ularning umumiy holati va o‘ziga xos xossalari aniq
tasvirlanadi. Bu xossalar egri chiziqlarning amaliy qo‘llanishi va yanada chuqur
tahlili uchun zarur bo‘lgan asosiy bilimlarni shakllantiradi.
Egri chiziqlarni tekislikda grafik ko‘rinishda tasvirlash ularning tuzilishini
vizual tushunishga yordam beradi. Grafiklar orqali egri chiziqning qaysi turga
mansubligi, uning simmetriyalari, kesishish nuqtalari, asimptotalari kabi geometrik
xususiyatlari yaqqol ko‘rinadi.
Egri chiziqlarning grafik ko‘rinishlari
Egri chiziqlarning eng oddiy grafik ko‘rinishi aylana, ellips, parabola va
giperbola kabi konik kesiklar hisoblanadi. Har bir egri chiziqning grafik ko‘rinishi
uning matematik tenglamasiga bog‘liq bo‘lib, u o‘ziga xos xususiyatlarni aks
ettiradi.
1. Aylana: doimiy radiusga ega va markazga nisbatan simmetrik shaklga ega
egri chiziq. Uning grafi doira hosil qiladi.
2. Ellips: ikki o‘q bo‘yicha kengaygan egri chiziq, u markazga nisbatan
simmetrik va yumaloq shaklga ega.
30

3. Parabola: markaziy simmetriya yo‘q, ammo o‘q bo‘yicha simmetrik egri
chiziq. Parabola ochiq shaklda bo‘lib, har doim bitta fokus va direktrisaga
ega.
4. Giperbola: ikkita qismga bo‘lingan va har ikki qismi ham markazga
nisbatan simmetrik egri chiziq. Ularning asimptotalari mavjud bo‘lib, ular
chiziqlar bilan tasvirlanadi.
Geometrik xossalar
Egri chiziqlarning geometrik xossalari ularning shakli, o‘lchami,
simmetriyalari, kesishish nuqtalari va boshqa muhim xususiyatlarini ifodalaydi. Bu
xossalar egri chiziqning tabiati va uning matematik tavsifini chuqurroq
tushunishga yordam beradi.
Simmetriya
Ko‘pgina egri chiziqlar simmetriyaga ega. Simmetriya chiziqlar bo‘ylab yoki
nuqtalar atrofida bo‘lishi mumkin. Masalan, aylana va ellips markazga nisbatan
simmetrik, parabola esa faqat bitta o‘q bo‘ylab simmetrikdir.
Kesishish nuqtalari
Egri chiziqlarning o‘zaro yoki boshqa chiziqlar bilan kesishish nuqtalari
muhim hisoblanadi. Bu nuqtalar ko‘plab masalalarning yechimida asosiy rol
o‘ynaydi, masalan, chiziq va egri chiziq o‘rtasidagi bog‘lanishlarni aniqlashda.
Asimptotalar
Giperbola kabi egri chiziqlarda asimptotalar mavjud bo‘lib, ular egri
chiziqning chegaralarini belgilaydi. Asimptotalar egri chiziq yaqinlashadigan,
ammo hech qachon kesishmaydigan chiziqlardir.
Egri chiziq uzunligi
Egri chiziq uzunligi — bu egri chiziqning boshlang‘ich va tugash nuqtalari
orasidagi haqiqiy uzunlikdir. Bu o‘lchov ko‘pincha amaliy masalalarda, masalan,
qurilish va geometriyada muhim ahamiyatga ega.
Egri chiziqlar bilan bog‘liq asosiy qoidalar va teoremlar
Egri chiziqlarga oid ko‘plab qoidalar va teoremlar mavjud bo‘lib, ular egri
chiziqlarning tahlilini aniq va to‘liq qiladi.
31

1. Tangensiyalar teoremasi: har bir egri chiziq nuqtasida tangensiya chizig‘i
mavjud bo‘lib, u egri chiziqni shu nuqtada eng yaxshi tekis chiziq bilan
yaqinlashtiradi.
2. Asimptota teoremasi: giperbola egri chiziqning asimptotalari bilan o‘zaro
xususiyatlarini belgilaydi.
3. Simmetriya qoidasi: aylana, ellips va giperbola markazga nisbatan
simmetrik bo‘lib, parabola esa faqat bitta o‘q bo‘ylab simmetrik.
4. Egri chiziqning silliqligi: matematikada egri chiziqlar ko‘pincha silliq
(differensial) bo‘lib, ularning hosilalari yordamida xususiyatlari o‘rganiladi.
Amaliy qo‘llanilishi
Egri chiziqlar fizikada, muhandislikda, kompyuter grafikasi va boshqa
sohalarda keng qo‘llaniladi. Masalan, parabolik antennalar, aylana shaklidagi
rulonlar, ellips shaklidagi ko‘priklar va giperbolik strukturalar ko‘plab
qurilishlarda ishlatiladi. Shuningdek, egri chiziqlar harakat trayektoriyalarini
ifodalashda ham muhimdir.
Egri chiziqlarning grafik ko‘rinishlari va geometrik xossalari ularning
matematik tavsifi va amaliy qo‘llanilishini yaxshilashda muhim rol o‘ynaydi. Bu
bobda keltirilgan bilimlar egri chiziqlarni chuqurroq tushunish, ularni tahlil qilish
va real hayotdagi masalalarda qo‘llash uchun poydevor yaratadi.
32

XULOSA
Ushbu kurs ishida tekislikda koordinatalar metodining nazariy va amaliy
jihatlari batafsil o‘rganildi. Koordinatalar sistemasining asosiy tushunchalari,
nuqtalar orasidagi masofa va ularning hisoblash usullari tahlil qilindi. Shuningdek,
to‘g‘ri chiziqlarning turli tenglamalari va ularning geometriyadagi o‘rni yoritildi,
to‘g‘ri chiziqlarga oid muammolar yechimlari ko‘rib chiqildi.
Kurs ishining so‘nggi bobida egri chiziqlar, xususan aylana va boshqa
ikkinchi darajali chiziqlarning umumiy tenglamalari, ularning grafik ko‘rinishlari
hamda geometrik xossalari tahlil qilindi. Tekislikda koordinatalar metodining
geometriya masalalarini algebraik usullar yordamida samarali hal qilish
imkoniyatlari namoyish etildi.
Natijada, tekislikda koordinatalar metodi nafaqat nazariy jihatdan balki
amaliy nuqtai nazardan ham muhim vosita ekanligi aniqlandi. Ushbu metod
matematika va unga bog‘liq sohalarda ko‘plab murakkab masalalarni yechishda
samarali yordam beradi. Shuningdek, kurs ishida olingan bilim va ko‘nikmalar
kelajakdagi ilmiy-tadqiqot ishlarida hamda amaliy loyihalarda qo‘llanishi mumkin.
33

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
Asosiy adabiyotlar
1. Narmanov A.Y. Analitik⁡geometriya. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va
o‘rta maxsus ta’lim vazirligi, Toshkent: O‘zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati nashriyoti, 2008. Jizzax Davlat Pedagogika
Universiteti+1Uniwork+1
2. Xudayarov X. Chiziqli
⁡algebra ⁡va ⁡analitik ⁡geometriya. Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti, 2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti
3. Kucharov O.R. Ikkinchi
⁡tartibli ⁡egri ⁡chiziqlar: ⁡Aylana ⁡va ⁡Ellips. Toshkent
Irrigatsiya va Qishloq xo‘jaligini mexanizatsiyalash muhandislari instituti,
2023. TIIAME Staff
4. Narmanov A.Y. Analitik
⁡geometriya ⁡kursi. Mathnet.uz, 2010.
Uniwork+5mathnet.uz+5mathnet.uz+5
Qo’shimcha adabiyotlar
5. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik
⁡geometriyadan ⁡
masalalar
⁡to‘plami. Toshkent, 2005. Ebook TSUE+1Uniwork+1
6. Sharipov A.S. Ikkinchi
⁡tartibli ⁡chiziqlarning ⁡tadbiqlari. Mathnet.uz, 2023.
Arxiv.uz+3mathnet.uz+3mathnet.uz+3
7. Muratov Sh. Chizma
⁡geometriya. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti,
2020. Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+1Uniwork
Elektron ta’lim resurslari
8. GeoGebra – Interaktiv geometriya dasturi:
9. Desmos – Onlayn grafik kalkulyator:
Ilmiy+2TIIAME Staff+2Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+2
10. Python Matplotlib – Grafik chizmalar uchun kutubxona:
Jizzax Davlat Pedagogika Universiteti+6Arxiv.uz+6Jizzax Davlat
Pedagogika Universiteti+6
11. Arxiv.uz – Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida ma'lumot:
34

12. YouTube – "Ikkinchi tartibli chiziqlar: Aylana, Elips, Giperbola,
Parabola" mavzusidagi dars:
YouTube+1TIIAME Staff+1
35

Tekislikda kordinatalar metodi

Sotib olish