Dokument ma'lumotlari

Narxi 34998UZS
Hajmi 228.4KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 09 Yanvar 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

Navruz

Ro'yxatga olish sanasi 03 Dekabr 2023

20 Sotish

Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo’llash

Sotib olish
Mundarija Kirish ……………………………………………………………….….….6 1-BOB. Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo’llash 1.1 I tegral va hosilani qo'llashning muhimligi ...9 1.2 Tengsizliklarni yechishda hosilani qo’llash …….........……..……13 2-BOB. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda integral lash 2.1 Differinsialhisob asosiy teoremalarning tengsizliklarni isbotlashga qo’llanilishi 2.2 Qavariq funksiayalar integrallaridan foydalanish Xulosa ……………………………….…….……………………………....…33 Foydalanilgan adabiyotlar …………………….………………………........….36 1 I.Bob. Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo’llash Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo'llash matematikada keng qo'llaniladigan usullardan biridir. Integral, bir funksiyaning belgilangan chegaralardagi miqdorni topish uchun ishlatiladi. Bu esa vital matematika funksiyalarining miqdorini topish uchun yordam beradi. Integral, tenglamani yechishda foydali bo'lib, misol uchun, bir obyektning tezkorlikka bo'lgan o'zgarishini hisoblash uchun qo'llaniladi. Bu usul orqali obyektni tezkorligi bo'yicha chegaralarida hosil bo'ladigan yo'lovchi soha yuzasini hisoblash mumkin bo'ladi. Integral tarkibida birinchi va ikkinchi darajali tenglamalar, nisbiy tenglamalar va asosiy tenglamalar o'rtasida farq qiladi. Bu usulni hisoblash uchun, integralning haqiqiy va noaniq integral formalaridan foydalaniladi. Bundan tashqari, tengsizliklarni yechishda integral va hosilani qo'llash muhimdir. Tengsizliklar, o'zida miqdorlar va bog'liqliklarni ta'sir etadigan matematik usullaridir. Integral va hosilani qo'llash orqali, biz biror bir murakkab funksiyaning chegaralardagi minimal yoki maksimal qiymatlarini, ularning kritikal nuqtalarni yoki tengsizliklarini topish uchun samarali usullarni qo'llaymiz. Integral va hosilani qo'llash, yani tenglama va tengsizliklar yechimlarini topishda uzatilgan usullar. Integralning asosiy konsepsiya ergashuvchi oldindan berilgan ma'lumotlarga asosan va matematik modellashtirish bilan bog'liq. Integralning asosiy maqsadi funksiyalarning hosilalarini topish va ulardan foydalanish imkoniyatlarini ta'minlashdir. Bu esa yechim qidirish va tenglamalar ustida amal qilishda juda ko'p kelishgan. Matematikada integral cheksiz kichik ma’lumotlarni birlashtirish natijasida yuzaga keladigan siljish, maydon, hajm va boshqa tushunchalarni tavsiflaydigan tarzda funksiyalarning qiymatlarini aniqlab beradi. Integral topish jarayoni integrallash deb ataladi. Differensiallash bilan bir qatorda, integrallash ham matematikaning asosiy, muhim tushunchalaridan bo‘lib, matematika va fizikada ixtiyoriy shaklning maydoni, egri chiziq uzunligi va qattiq jismning hajmini o‘z ichiga olgan muommolarni hal qilish uchun vosita bo‘lib xizmat qiladi. Integrallar asosiy ikkita tipga ajratilib, ular aniq integrallar va 2 aniqmas integrallar deb yuritiladi. Aniq integrallar biror funksiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqning tekislikda ikki nuqtasi maydon sifatida talqin qilinadi. Bunda, tekislikning gorizontal o‘qining yuqori qismi yuzasi musbat, pastki qismidagi yuzalar manfiy hisoblanadi. Aniqmas integrallar esa berilgan funksiyaga qarshi hosila tushunchasini ham anglatadi. Integrallarni hisoblashning asosiy usullar, albatta aniq integrallarni differensiallash bilan bog‘liq bo‘lib, funksiyaning hosilasi ma‘lum bo‘lganda, uning aniq integralini hisoblash bir qadar osonlashadi va shu asnoda qoidalar yuzaga keladi. Integral, matematikada funksiyani hisoblash usuli sifatida va ya bir geometriyaviy terimga ko'ra tartibga soliningizning raqami deb tasvirlanadi. Bu tartibning yig'indisi navbat bilan teng formulalar yordamida topiladi va haqiqiy sondagi qanday bo'lishini ifodalovchi hisoblash formulalariga yaxshi yo'l bilan biriktiriladi. Hosila esa, matematikada bitta harakatli ob'ektning harakatining o'zgarishini, ko'rsatkichlarni ifodalashda ishlatiladi. Hosila harakatning yo'nalishi, tezligi, uzluksizligi va boshqa xususiyatlari haqida ma'lumot beradi. Bu haqida to'liq tushunchaga ega bo'lish uchun matematika, fizika va injiniring sohalarida, hosila muhimligini hech qachon kamaytirmaydi. Integralning asosiy ma'nosi: Integral, bir funksiyaning chegaralarida yechimni hisoblashni anglatadi. Bu yechim, funksiyaning grafikini chegaralarda bo'lgan maydon ostidagi yuzasi sifatida tasavvur qilinadi. Definit integral, bir chegaradagi funksiyaning yechimini aniqlash uchun ishlatiladi. Indefinit integral esa funksiyaning umumiy yechimini topish uchun ishlatiladi. Definit integralni hisoblash uchun chegaralar beriladi, lekin indefinit integral hisoblashda chegaralar belgilanmaydi.Riemann integrali, integralning asosiy usulidir. U funksiyani chegaralarda bo'lgan to'plamlar yordamida hisoblaydi. Bu integralni hisoblashda chegaralarni kichik bo'lgan bo'lmalariga bo'lib, har bir bo'lmada funksiyaning qiymatini olish va uni bo'lmalar eni bilan ko'paytirib yig'indisini olmoq kerak. 3 Maktab matematika kursida matematik tahlil elementlari muhim o'rin tutadi. Talabalar matematika, fizika, texnika fanlarining ko‘plab masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin bo‘lgan matematik apparatni o‘zlashtiradilar. Hosila va integralning tili tabiatning ko'plab qonunlarini qat'iy shakllantirish imkonini beradi. Matematika kursida differentsial va integral hisoblar yordamida funksiyalarning xossalari tekshiriladi, ularning grafiklari tuziladi, eng katta va eng kichik qiymatlar uchun masalalar yechiladi, maydonlar va hajmlar hisoblanadi. geometrik shakllar... Boshqacha qilib aytganda, yangi matematik apparatning joriy etilishi elementar usullar bilan yechilmaydigan bir qator masalalarni ko'rib chiqish imkonini beradi. Biroq, matematik tahlil usullarining imkoniyatlari bunday masalalar bilan cheklanmaydi. Ko'pgina an'anaviy elementar masalalar tengsizliklar, o'ziga xosliklarni isbotlash, tenglamalarni tadqiq qilish va yechish va boshqalar hosila va integral tushunchalaridan foydalangan holda samarali yechiladi. Maktab darsliklari va o‘quv qo‘llanmalarida bu masalalarga kam e’tibor beriladi. Shu bilan birga, matematik tahlil elementlaridan nostandart foydalanish o‘rganilayotgan nazariyaning asosiy tushunchalarini chuqurroq anglash imkonini beradi. Bu erda muammoni hal qilish usulini tanlash, uni qo'llash shartlarini tekshirish va olingan natijalarni tahlil qilish kerak. Shunday qilib, ko'pincha rivojlanadigan kichik matematik tadqiqotlar mavjud mantiqiy fikrlash, matematik qobiliyatlari, matematik madaniyati ortib bormoqda. Elementar matematikaning ko'pgina masalalari uchun ham "elementar" va "elementar bo'lmagan" echimlarga ruxsat beriladi. Hosil va integraldan foydalanish odatda yanada samaraliroq yechim beradi. Differensial hisoblash funksiyalarni o‘rganishda keng qo‘llaniladi. Hosildan foydalanib, funksiyaning monotonlik intervallarini, uning ekstremal nuqtalarini, eng katta va eng kichik qiymatlarini topish mumkin. 4 Agar f funktsiya ma'lum oraliqning har bir nuqtasida musbat (salbiy) hosilaga ega bo'lsa, u holda bu oraliqda ortadi (kamayadi). Monotonlik oraliqlarini topishda shuni yodda tutish kerakki, agar funktsiya intervalda ortib (kamaysa) bo'lsa. (a, b) va nuqtalarda uzluksizdir a va b, keyin segmentda ortadi (kamayadi). Agar nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f va bu nuqtada hosila bor, keyin f / (x 0 )=0. Ekstremum nuqtada funksiyaning hosilasi bo'lmasligi mumkin. Domenning lotin nolga teng yoki mavjud bo'lmagan ichki nuqtalari kritik deyiladi. Berilgan kritik nuqtada funksiyaning ekstremumga ega ekanligini aniqlash uchun ekstremum mavjudligi uchun quyidagi yetarli mezonlardan foydalaning. Agar funktsiya f nuqtada uzluksiz x0 va bunday nuqtalar mavjud a, b, nima f / (x0)> 0 (f / (x0) oraliqda (a, x0) va f / (x0) / (x0)> 0) intervalda (x0, b), nuqta x0 funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasidir f eng katta va eng kichik qiymatlarni topish f segmentida faqat qiymatlarni solishtiring f nuqtalarda a, b va segmentdan kritik nuqtalarda ushbu natijalar tengsizliklar bilan bog'liq ko'plab elementar muammolarni hal qilish uchun qo'llaniladi. Faraz qilaylik, ma'lum bir intervalda tengsizlik mavjudligini isbotlash kerak f (x) g (x). belgilaymiz f (x)-g (x) bo'ylab F (x) sikldan foydalanish F / (x) eng kichik qiymatni toping F bu oraliqda. Agar u salbiy bo'lmasa, u holda ko'rib chiqilgan intervalning barcha nuqtalarida F (x) 0, ya'ni f (x) g (x). ntegral hisoblash matematikasining eng muhim qismlaridan biri sifatida ko‘rib chiqiladi. Integral, to‘g‘ri integrallashtirish, uchun nuqtasi a ni normativasida yecha zimnida ifoda qilingan funksiya uchun keskin hajmini ifodalaydi. Integral, to'g'ri hajmdagi keskin bir maydonning integrali funksiya yoki funksiyalarning integral darajadagi sifatlarini aniq tashkil etishda uncha ishlatiladigan yo‘nalishdir. Integralning kelyapmasi, massalar va to‘plamlarning keskin hajmlarini hisoblashda, funksiya ning asosiy qiymatini aniqlashda va matematik modellar va samaradorlik modellar yaratishda qo‘llaniladi.Integral bilan ta’riflangan funksiya orqali uning legirintni hisoblash, qolgan qiymat, biror qatlam qiymati yoki 5 foydalangan har xil ma’lumotni aniqlash mumkin. Masalan, integral energiya bo’ylab bosqichdagi ish birikmalarini hisoblashda; zunub qatorda pastkismlarini juda yuqori sifatli integralni ishlab chiqish; konvertosiyasiz massalar va to’plamlar uchun integrallar tuzish mumkin.Integral, yuqoridagi aytgan muammolarga yechim topish uchun muhimdir, chunki bir nechta amaliy vazifalarda qo‘llaniladi. Bunday xil muammolardan biri jadval konvertasiyasi bo'yicha miqdorlarning hisoblanishi, harakatli yoki elektr energiyasining undovini hisoblash va ski standartlarini aniqlashdir.Teorik darajada, integralning turlari va bosqichlari sugar bilan boshlanadi va funksiya va algebraik xususiyatlariga taalluqli. Bu turlarning ko’rsatilishi uning jihozlari va taalluq qilgan xususiyatlariga taalluqli bo’ladi. Integralning amaliy qo’llab quvvatlashga oid kulgi darajada yechim topish masalalari bilan bog'liq bo'lib, matematikda juda muhim joy egallagan. Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni, yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga keltiriladi. [a,b] kesmada uzluksiz y  f (x) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz. [a,b] kesmani a  x0, x1, x2,..., xn  1, xn  b, bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda x0  x1  x2  ...  xn , va x1  x0   x1, x2  x1   x2,....,xn  xn  1   xn So’ngra, y  f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini quyidagicha belgilaymiz [x , x ] m va M , 0 6 [x1, x ] m va M , 2 ............................ [xn  1, xn] mn va M n Quyidagi yig’indilarni tuzamiz: n sn  m1  x1  m2  x2  ...  mn  xn  mi  xi (1) i  1 n sn  M1  x1  M 2  x2  ...  M n  xn  M i  xi (2) i  1 sn - yig’indi quyi integral yig’indi, sn -yig’indi esa yuqori integral yig’indi deb ataymiz. Agar f (x)  0 bo’lsa, u holda quyi integral yig’indi sonma-son AC0N1C1N2...Cn  1NnBA “ichki chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng, yuqori integral yig’indi sonma-son AK0C1K1...Cn  1Kn  1CnBA “tashqi chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng. Quyi va yuqori integral yig’indilarning ba’zi xossalarini sanab o’tamiz: a) mi  M i bo’lganligi uchun i(i  1,2,...,n) , (1) va (2) formulalar asosida topamiz sn  sn . (agar f (x)  const bo’lsagina tenglik belgisi bo’ladi). b) m1  m,m2  m,...,mn  m, bo’lganligi uchun, bu yerda m - f (x) funksiyaning [a,b]dagi eng kichik qiymati, sn  m1  x1  m2  x2  ...  mn  xn  m  x1  m  x2  ...  m  xn  7  m(  x1   x2  ...   xn )  m(b  a) Shunday qilib, sn  m(b  a) v) M1  M ,M2  M ,...,Mn  M , bu yerda M - f (x) funksiyaning [a,b]dagi eng katta qiymati, sn  M1  x1  M2  x2  ...  M n  xn  M  x1  M  x2  ...  M  xn   M (  x1   x2  ...   xn)  M (b  a) Shunday qilib, sn  M (b  a) Olingan tengsizliklarni birlashtirib, topamiz m(b  a)  sn  sn  M (b  a) Agar f (x)  0 bo’lsa, u holda oxirgi tengsizlik sodda geometrik ma’noga ega, chunki m(b  a) va M (b  a) ko’paytmalar mos ravishda “ichki chizilgan” AL L B va “tashqi chizilgan” AL1L2B to’gri to’rtburchaklarning yuzalariga teng. Masalan,  x dx   2 x dx Endi a  b bo’lganda ta’rifga ko’ra, ixtiyoriy f (x) funksiya uchun a  f (x)dx  0 (5) a tenglik o’rinli. Bu geometrik nuqtai nazardan ham tabiiy. Haqiqatan ham egri chiziqli trapetsiya asosi nolga teng uzunlikka ega, demak, uning yuzasi nolga teng. Aniq integralning asosiy xossalari 8 1-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar A  const bo’lsa, u holda b  Af (x)dx  A  f (x)dx (1) a  Af (x)dx  lim  Af (  i )  xi  max  x  0 lim  f (  i )  xi A  f (x)dxmax  x  0 2-xossa. Bir necha funksiyalarning algebraic yig’indisidan olingan aniq integral qo’shiluvchilardan olingan integrallarning algebraic yig’indisiga teng. Ikki qo’shiluvchi bo’lgan holda  f1(x)  f2(x)  dx   f1(x)dx   f2(x)dx (2)  f1(x)  f2(x)  dx  lim  [ f1(  i )  f2(  i )]  x = lim  f1(  i )  xi  f2(  i )  x  lim  f1(  i )  xi  lim  f2(  i )  xi =  f1(x)dx   f2(x)dx F (x) funktsiyasini tasavvur qiling, ularning hosilasi f (x) funktsiya. Ushbu iborani quyidagicha yozish mumkin: F '(x) = f (x). Agar f (x) funktsiya F (x) funktsiya uchun hosila bo'lsa, u holda F (x) funktsiya f (x) uchun antidivativ hisoblanadi. 9 Xuddi shu funktsiya bir nechta antiderivativlarga ega bo'lishi mumkin. Bunga x ^ 2 funktsiyasi misol bo'la oladi. Unda cheksiz ko'p antiderivativlar mavjud, ular orasida x ^ 3/3 yoki x ^ 3/3 + 1 kabi asosiylari mavjud. Bir yoki biron bir boshqa raqamning o'rniga doimiy ravishda C ko'rsatiladi, u quyidagicha yoziladi: F (x) = x ^ n + C, bu erda C = const. Integratsiya - bu differentsialga teskari funktsiya antiderivativining ta'rifi. Integral ∫ belgisi bilan belgilanadi. Ixtiyoriy C bilan biron bir funktsiya berilganda uni aniqlanmagan, C ba'zi bir qiymatga ega bo'lganda aniq bo'lishi mumkin. Bu holda integral yuqori va pastki chegaralar deb ataladigan ikkita qiymat bilan beriladi. Integral hosilaning o'zaro bog'liqligi sababli, umuman olganda quyidagicha ko'rinadi: F (x) = F (x) + C Masalan, differentsiallar jadvalidan foydalanib, y = cosx funktsiyasining antiderivativini topishingiz mumkin: ∫cosx = sinx, chunki f (x) funktsiyasining hosilasi f '(x) = (sinx)' = cosx. Integrallar boshqa xususiyatlarga ham ega. Quyida faqat eng asosiylari keltirilgan: - yig‘indining integrali integrallarning yig‘indisiga teng; - doimiy koeffitsient integral belgidan chiqarilishi mumkin; Differentsial hisobning asosiy maqsadlaridan biri berilgan ixtiyoriy funktsiyalarning hosilasini topish ekanligi ma’lum. Oliy matematikaning matematik tahlil bo’limdagi mexanika, fizika, texnika hamda ishlab chiqarishga bog’liq bo’lgan turli masalalar differentsiallashga teskari bo’lgan masalalarni yechishni talab qiladi, masalan, hosilasi ()fx dan iborat bo’lgan ()Fx funktsiyani topish kerak bo’ladi. Hosilasi orqali funktsiyani topish-integral hisobning asosiy masalalaridan biri hisoblanadi. Ta’rif: 10 Berilgan [ a b] oraliqda hosilasini f(x) ga yoki differentsiali f(x) ga teng bo’lgan F(x) funktsiyaga f(x)funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi deyiladi va u quyidagicha ifodalanad: F’(x)=f(x) (1) u(x) va v(x) funktsiyalar biror x sohada uzluksiz va differentsiallanuvchi bo’lsin. Shu funktsiyalar ko’paytmasining differentsialini topamiz d ( uv ) uvdx + uvdx (1) Aniqmas integralning xossalari: 1 ) Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni  f (x)dx' =f (x) 2) Aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng, ya’ni d  f (x)dx   f (x)dx 3) Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni  F'(x)d x  F(x)  C 4) Biror funksiyaning differentsialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni 11  d F(x)  F(x)  C 5) Chekli sondagi funksiyalarning algerbaik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni  f (x)  f (x)  f (x) d x  f (x)d x  f (x)d x  f (x)d x Ta’rif. Agar F  (x)  f (x)  x  a,b  bo‘lib, F  (a  0)  f (a). F  (b  0)  f (b). bo‘lsa, F(x) funksiya  a,b  da f (x) ning boshlang’ich funksiyasi deyiladi Teorema. Agar f (x) funksiya X oraliqda uzluksiz bo‘lsa, f (x) shu oraliqda har doim boshlang’ich funksiyaga ega bo‘ladi. F(x) va Ф (x) funksiyalarning har biri f (x) funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo‘lsin : F  (x)  f (x), Ф  (x)  f (x). Demak, F  (x)  Ф  (x) . Bundan F(x)  Ф (x)  C (C  const ) tenglik kelib chiqadi. Demak, f (x ) funksiyaning barcha boshlang’ich funksiyalari bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi va istalgan boshlang’ich funksiyasi ushbu ko’rinishda ifodalanadi: F(x)  C (C  const) . Ta’rif . f (x ) funksiya boshlang’ich funksiyalarining umumiy ifodasi F(x)  C (C  const) shu f (x) funksiyaning aniqmas integrali deb ataladi va  f (x)dx kabi belgilanadi. Bunda  - integral belgisi , f (x ) integral ostidagi funksiya, f (x)dx esa integral ostidagi ifoda deyiladi. f (x) funksiya aniqmas integrali  f (x)dx ning differensiali f (x)dx ga teng: d  f (x)dx   f (x)dx 12 Bu xossa avval differensial belgisi d , so‘ngra integral belgisi  kelib, ular yonma- yon turganda o‘zaro bir-birini yo‘qotishini ko‘rsatadi. Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan o‘zgarmas son yig’indisiga teng: dF x  F x  C  Yuqorida keltirilganlardan, differensiallash (funksiyaning hosilasini hisoblash) hamda integrallash (funksiyaning aniqmas integralini hisoblash) amallari o‘zaro teskari amallar ekanligi kelib chiqadi. Ayni paytda funksiya hosilasi hisoblanganda natija bitta funksiya bo‘lsa, uning aniqmas integrali hisoblanganda esa natija cheksiz ko‘p funksiya (ular bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi) bo‘ladi. Aniqmas integral deb yuritilishining boisi ham shu. Agar f (x) funksiya boshlang’ich funksiyaga ega bo‘lsa, u holda kf (x) ( k - o‘zgarmas son) funksiya ham boshlang’ich funksiyaga ega va k  0 da   kf (x)dx  k f (x)dx formula o‘rinli bo‘ladi. Agar f (x) va g(x) funksiyalar boshlang’ich funksiyalarga ega bo‘lsa , f (x)  g(x) funksiya ham boshlang’ich funksiyaga ega va  f (x)  g(x) dx  f (x)dx  g(x)dx formula o‘rinli bo‘ladi. Odatda bu xossa integralning additivlik xossasi deyilad Agar firmaning marjinal daromad funksiyasi MR Q   berilgan bo‘lsa, ya’ni MR (Q ) = F ( Q ) funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda firmaning yalpi daromad funksiyasi quyidagi aniqmas integral yordamida topiladi: 13 R (Q) =MR (Q) dQ= f(Q )QdQ =F (Q) + C Bu yerda F Q   - boshlang‘ich funksiya. 2-BOB. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda integral lash 2.1 Differinsialhisob asosiy teoremalarning tengsizliklarni isbotlashga qo’llanilishi Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik. Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi. Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar [ a;b ] kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu xossaga ega bo‘lgan [ a;b ] kesmaga tegishli s nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi. 1. Ferma teoremasi Teorema. Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va biror ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishsa va shu nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud bo‘lsa, u holda f’(c)= 0 bo‘ladi. Isbot . f(c) f unksiyaning eng katta qiymati bo‘lsin, ya’ni  x (a;b) da f(x) ≤ f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Shartga ko‘ra bu s nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud. Ravshanki, 14 f'(c)= lim x→c f(x)− f(c) x− c = lim x→c−0 f(x)− f(c) x− c = lim x→c+0 f(x)− f(c) x− cAmmo x<s bo‘lganda f(x)− f(c) x− c ≥ 0⇒ f'(c)≥ 0 va x>s bo‘lganda f(x)− f(c) x− c ≤ 0⇒ f'(c)≤ 0 bo‘lishidan f’(c)=0 ekani kelib chiqadi. Eng kichik qiymat holi shunga o‘xshash isbotlanadi. Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. U f(x) funksiya grafigiga (c;f(c)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning Ox o‘qiga paralell bo‘lishini ifodalaydi ( 1 9 -rasm). 1- eslatma. Ichki s nuqtada f’(s)= 0 bo‘lsa ham bu nuqtada f(x) funksiya eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilmasligi mumkin. Masalan, f(x)=2x 3 -1 , x  (-1;1) da berilgan bo‘lsin. Bu funksiya uchun f’ (0)=0 bo‘ladi, lekin 1 9 -rasm f (0)=-1 funksiyaning (-1;1) dagi eng katta yoki eng kichik qiymati bo‘lmaydi. 2. Roll teoremasi Teorema (Roll teoremasi). Agar f(x) funksiya [ a;b ] kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1) [ a;b ] da uzluksiz; 2) ( a;b ) da differensiallanuvchi; 3) f(a)= f(b) 15 shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladigan kamida bitta c ( a<c<b ) nuqta mavjud bo‘ladi. Isbot . Ma’lumki, agar f(x) funksiya [ a;b ] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya shu kesmada o‘zining eng katta M va eng kichik m qiymatlariga erishadi. Qaralayotgan f(x) funksiya uchun ikki hol bo‘lishi mumkin. 1. M=m , bu holda [ a,b ] kesmada f(x)=sonst va f’(x) =0 bo‘ladi. Ravshanki, f’(s) =0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida  c  ( a;b ) ni olish mumkin. 2. M>m , bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan kamida birini [ a,b ] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun f(c)=m bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra  x  [ a,b ] uchun f(x) f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Endi f’(c)= 0 ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra f(x) funksiya ( a;b ) intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi. f(c)=M bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. Roll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin (20-rasm). Agar [ a,b ] kesmada uzluksiz, ( a,b ) intervalda differensiallanuvchi f(x) funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda f(x) funksiya grafigida abssissasi x=c bo‘lgan shunday C nuqta topiladiki, shu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga parallel bo‘ladi. Eslatma. Roll teoremasining shartlari yyetarli bo‘lib, zaruriy 16 shart emas. Masalan, 20-rasm 1 ) f(x)=x 3 , x  [-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi. ( f(-1)=-1 1=f(1) ), lekin f’(0)=0 bo‘ladi. 2 ) f(x)=¿{x,agar 0≤х≤1,¿{0,agar −1<x<0,¿¿¿¿ funksiya uchun Roll teoremasining barcha shartlari bajarilmaydi, lekin ( -1;0) ning ixtiyoriy nuqtasida f’(x)= 0 bo‘ladi. 3. Lagranj teoremasi Teorema (Lagranj teoremasi) . Agar f(x) funksiya [ a,b ] kesmada uzluksiz va ( a,b ) da chekli f’(x) hosila mavjud bo‘lsa, u holda ( a,b ) da kamida bitta shunday c nuqta mavjud bo‘lib, f(b)− f(a) b− a = f'(c) (1.1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot . Quyidagi yordamchi funksiyani tuzib olamiz: Ф (x)= f(x)− f(a)− f(b)− f(a) b− a (x− a) Bu F(x) funksiyani [ a,b ] kesmada uzluksiz va ( a,b ) da hosilaga ega bo‘lgan f(x) va x funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida qarash mumkin. Bundan F(x) funksiyaning [ a,b ] kesmada uzluksiz va ( a,b ) da hosilaga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuningdek 17 F(a)= F (b)= 0, demak F (x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, Roll teoremasiga ko‘ra ( a,b ) intervalda kamida bitta shunday s nuqta mavjud bo‘ladiki, F ’(c) 0 bo‘ladi. Shunday qilib , Ф '(x)= f'(x)− f(b)− f(a) b− a = 0 va bundan esa isbot qilinishi kerak bo‘lgan (1) formula kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi. ( 1. 1) formulani ba’zida Lagranj formulasi deb ham yuritiladi. Bu formula f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) ( 1. 2) ko‘rinishda ham yoziladi. Endi Lagranj teoremasining geometrik ma’nosiga to‘xtalamiz. f(x) funksiya Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantirsin deylik ( 21 -rasm). Funksiya grafigining A(a;f(a)), B(b;f(b)) nuqtalar orqali kesuvchi o‘tkazamiz, uning burchak koeffitsienti tg β= ВС АС = f(b)− f(a) b− а bo‘ladi. 21-rasm Hosilaning geometrik ma’nosiga binoan f’(c) - bu f(x) funksiya grafigiga uning (s;f(s)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti: tg  =f’(c) Demak, (1.1) formula (a,b) intervalda kamida bitta shunday c nuqta mavjudligini 18 ko‘rsatadiki, f(x) funksiya grafigiga (c;f(c)) nuqtada o‘tkazilgan urinma AB kesuvchiga paralell bo‘ladi. Isbot qilingan ( 1. 1) formulani boshqacha ko‘rinishda ham yozish mumkin. Buning uchun a<c<b tengsizliklarni e’tiborga olib, c−a b−a=θ belgilash kiritamiz, u holda c=a+(b-a)  , 0<  < 1 bo‘lishi ravshan. Natijada (1) formula ushbu f(b) - f(a) = f’( a+  (b-a) )(b-a) ko‘rinishga keladi. Agar (1) formulada a=x 0 ; b=x 0 +  x almashtirishlar bajarsak, u f(x 0 +  x)-f(x 0 )=f’(c)  x ( 1. 3) bu erda x 0 <c<x 0 +  x , ko‘rinishga keladi. Bu formula argument orttirmasi bilan funksiya orttirmasini bog‘laydi, shu sababli ( 1. 3) formula chekli orttirmalar formulasi deb ataladi. Agar ( 1. 1) Lagranj formulasida f(a)=f(b) deb olsak, Roll teoremasi kelib chiqadi, ya’ni Roll teoremasi Lagranj teoremasining xususiy holi ekan. Misol . Ushbu [0,2] kesmada f(x)=4x 3 -5x 2 +x -2 funksiya uchun Lagranj formulasidagi c ning qiymatini toping. Yechish. funksiyaning kesma uchlaridagi qiymatlarini va hosilasini hisoblaymiz: f (0)=-2; f (2)=12; f’(x)= 12 x 2 -10 x +1. Olingan natijalarni Lagranj formulasiga qo‘yamiz, natijada 12-(-2)=( 12 c 2 -10 c +1)(2-0) yoki 6 c 2 -5 c -3=0 kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz: c 1,2 = 5± √97 12 . Topilgan ildizlardan faqat 5+√97 12 qaralayotgan kesmaga tegishli. Demak, c = 5+√97 12 ekan. Lagranj teoremasi o‘z navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi bo‘ladi. 19 4. Koshi teoremasi Teorema (Koshi teoremasi). Agar [ a,b ] kesmada f(x) va g(x) berilgan bo‘lib, 1) [ a,b ] da uzluksiz; 2) ( a,b ) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud, hamda g‘(x) 0 bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday c ( a<c<b ) nuqta topilib, f(b)− f(a) g(b)− g(a) = f'(c) g'(c) ( 1.4 ) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. Ravshanki, ( 1.4 ) tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun g(b)  g(a) bo‘lishi kerak. Bu esa teoremadagi g‘(x)  0, x  ( a;b ) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo‘lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c  (a;b) nuqtada g‘(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa  x  (a;b) da g‘(x)  0 shartga ziddir. Demak, g(b)  g(a). Endi yordamchi Ф (x)= f(x)− f(a)− f(b)− f(a) g(b)− g(a)(g(x)− g(a)) funksiyani tuzaylik. Shartga ko‘ra f(x) va g(x) funksiyalar [ a,b ] da uzluksiz va ( a,b ) intervalda differensiyalanuvchi bo‘lgani uchun F(x) birinchidan [ a,b ] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan ( a,b ) intervalda Ф '(x)= f'(x)− f(b)− (a) g(b)− g(a) g'(x) hosilaga ega. 20 So‘ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a) F(b)  0. Demak, F(x) funksiya [ a,b ] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday c ( a<c<b ) nuqta topiladiki, F’(c)  0 bo‘ladi. Shunday qilib, 0= Ф '(c)= f'(c)− f(b)− f(a) g(b)− g(a) g'(c) va bundan ( 1.4 ) tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi . Isbotlangan ( 1.4 ) tenglik Koshi formulasi deb h am ataladi. Endi Koshi teoremasining geometrik ma’nosini aniqlaymiz. Aytaylik x=  (t), y=f(t), a  t  b tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo‘lsin. Shuningdek chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A(  (a),f(a)), t=b ga mos keluvchi nuqtani B(  (b),f(b)) kabi belgilaylik. (22-rasm). U holda (1.4) formulaning chap qismi AB vatarning burchak koeffitsientini, o‘ng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida 22- rasm o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini anglatadi. Demak, Koshi formulasi AB yoyning AB vatarga parallel bo‘lgan urinmasining mavjudligini ta’kidlaydi ekan. Misol. Ushbu f(x)=x 2 va  (x) = √x funksiyalar uchun [0,4] kesmada Koshi formulasini yozing va s ni toping. 21 Yechish. berilgan funksiyalarning kesma uchlaridagi qiymatlari va hosilalarini topamiz: f (0)=0, f (4)=16,  (0)=0,  (4)=2; f’(x)= 2 x ,  ’(x)= 1 2√x . Bulardan foydalanib Koshi formulasini yozamiz: 16 − 0 2− 0 = 2с 1 2√с , bundan 4 s √с =8 yoki s √с =2. Demak s = 3√4 . Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda 0 0 , ∞ ∞ , 0  ,  -  , 1  , 0 0 ,  0 ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shu g‘ ullanamiz. 1. 0 0 ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x  0 da f(x)  0 va g(x)  0 bo‘lsa, f(x) g(x) nisbat 0 0 ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha x  a da f(x) g(x) nisbatning limitini topishga qaraganda f'(x) g'(x) nisbatning limitini topish oson bo‘ladi. Bu nisbatlar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan. 22 1-teorema . Agar 1) f(x) va g(x) funksiyalar (a- ;a)  (a;a+  ), bu erda  >0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)  0, g‘(x)  0 ; 2) lim x→a f(x)= lim x→a g(x)= 0 ; 3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) lim x→a f'(x) g'(x) =A mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim x→a f(x) g(x) mavjud va lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f'(x) g'(x) ( 2. 1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. Har ikkala funksiyani x=a nuqtada f(a)=0 , g(a)=0 deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra lim x→a f(x)=0=f(a), lim x→a g(x)=0=g(a) tengliklar o‘rinli bo‘lib, f(x) va g(x) funksiyalar x=a nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Avval x>a holni qaraymiz. Berilgan f(x) va g(x) funksiyalar [ a;x ], bu erda x<a+  , kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun a bilan x orasida shunday c nuqta topiladiki, ushbu f(x)− f(a) g(x)− g(a) = f'(c) g'(c) tenglik o‘rinli bo‘ladi. f(a)=g(a)=0 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan f(x) g(x) = f'(c) g'(c) ( 2. 2) 23 bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki, a<c<x bo‘lganligi sababli, x a bo‘lganda c  a bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va ( 2. 2) tenglikdan lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f'(x) g'(x) = A kelib chiqadi. Shunga o‘xshash, x<a holni ham qaraladi. Teorema isbot bo‘ldi. Misol . Ushbu lim x→2 ln (x2− 3) x2+3x− 10 limitni xisoblang. Yechish. Bu holda f(x)= ln (x2− 3), g(x)= x2+3x− 10 bo‘lib, ular uchun 1- teoremaning barcha shartlari bajariladi. Haqiqatan ham, 1) lim x→2 f(x)= lim x→2 ln (x2− 3)= ln 1= 0 , lim x→2 g(x)= lim x→2 (x2+3x− 10 )= 0 ; 2) f'(x)= 2x x2− 3 , g'(x)= 2x+3, x≠ ± √3 ; 3) lim x→2 f'(x) g'(x) = lim x→2 2x (x2− 3)(2x+3) = 0 bo‘ladi. Demak, 1-teoremaga binoan lim x→2 ln (x2− 3) x2+3x− 10 = 0 . 1-eslatma. Shuni ta’kidlash kerakki, berilgan funksiyalar nisbatining limiti 3) shart bajarilmasa ham mavjud bo‘lishi mumkin, ya’ni 3) shart yyetarli bo‘lib, zaruriy emas. Masalan, f(x)= х2cos 1 x , g(x)= x funksiyalar (0;1] da 1), 2) shartlarni qanoatlantiradi va lim x→0 f(x) g(x) = lim x→0 (xsin 1 x )= 0 , lekin 24 lim x→0 f'(x) g'(x) = lim x→0 (2xcos 1 x +sin 1 x ) mavjud emas, chunki xn= 1 πn → 0 n  da lim xn→0 (2xcos 1 x+sin 1 x)= lim n→∞ (2(− 1)n+1 πn +sin πn )= 0, xn= 1 π(2n+1 2) → 0 n   da esa lim xn→0 (2xcos 1 x +sin 1 x )= lim n→∞ ( 2 π(2n+ 1 2 ) ⋅сos (2πn + π 2 )+sin (2πn + π 2 ))= 1 . 2-teorema . Agar [ c ;+  ) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib, 1) ( c ;+  ) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalar mavjud va g‘(x)  0, 2) lim x→+∞ f(x)= 0, lim x→+∞ g(x)= 0 ; 3) hosilalar nisbatining limiti lim x→+∞ f'(x) g'(x) ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti lim x→+∞ f(x) g(x) mavjud va lim x→+∞ f(x) g(x) = lim x→+∞ f'(x) g'(x) ( 2. 3) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot . Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi c sonni musbat deb olish mumkin. Quyidagi х= 1 t formula yordamida x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchiga 25 almashtiramiz. U holda x  +  da t  0 bo‘ladi. Natijada f(x) va g(x) funksiyalar t o‘zgaruvchising f( 1 t) va g( 1 t) funksiyalari bo‘lib, ular (0, 1 c ] da aniqlangan. Teoremadagi (2) shartga asosan lim t→+0 f(1 t )= 0, lim t→+0 g(1 t )= 0 bo‘ladi. Ushbu, (f( 1 t))t ' = (f( 1 t))x ' ⋅xt '= − fx ' ( 1 t)⋅1 t2, (g( 1 t))t ' = (g( 1 t))x ' ⋅xt '= − gx ' ( 1 t)⋅1 t2 munosabatlardan (0;1 c ) intervalda ft '(1 t ), gt '(1 t ) hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi. So‘ngra teoremaning 3) shartiga ko‘ra lim t→+0 ft '(1 t) gt '(1 t) = lim t→+0 − fx'⋅(1 t2) − gt'⋅(1 t2) = lim x→+∞ f'(x) g'(x) Demak f(1 t ) va g( 1 t) funksiyalarga 1-teoremani qo‘llash mumkin. Bunda lim x→+∞ f(x) g(x) = lim t→+0 f(1 t ) g(1 t ) e’tiborga olsak, ( 2. 3) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi. 26 2. ∞ ∞ ko‘rinishdagi aniqmaslik . Agar x  a da f(x)  , g(x)  bo‘lsa, f(x) g(x) nisbat ∞ ∞ ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz. 3-teorema . Agar 1) f(x) va g(x) funksiyalar ( a ;  ) nurda differensiallanuvchi, hamda g‘(x)  0, 2) lim x→∞ f(x)= lim x→∞ g(x)= ∞ , 3) lim x→∞ f'(x) g'(x) mavjud bo‘lsa, u holda lim x→∞ f(x) g(x) mavjud va lim x→∞ f(x) g(x) = lim x→∞ f'(x) g'(x) bo‘ladi. Isbot . Teorema shartiga ko‘ra lim x→∞ f'(x) g'(x) mavjud. Aytaylik lim x→∞ f'(x) g'(x) =  bo‘lsin. U holda   >0 sonni olsak ham shunday N >0 son topilib, x  N bo‘lganda μ− ε 2 < f'(x) g'(x) < μ+ ε 2 (2.3) tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda x  N tengsizlikdan x  (a;  ) kelib chiqadi . Aytaylik x>N bo‘lsin. U holda [ N;x ] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz: f(x)− f(N ) g(x)− g(N ) = f'(c) g'(c) , bu erda N<c<x . 27 Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o‘rinli:μ− ε 2 < f'(с) g'(с) < μ+ ε 2 , bundan esa μ− ε 2 < f(x)− f(N ) g(x)− g(N ) < μ+ ε 2 tengsizliklarga ega bo‘lamiz. Teorema shartiga ko‘ra lim x→∞ f(x)= ∞ , lim x→∞ g(x)= ∞ , f(N) va g(N) lar esa chekli sonlar. Shu sababli x ning yyetarlicha katta qiymatlarida f(x)− f(N ) g(x)− g(N ) kasr f(x) g(x) ka srdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, x  M larda  -  < f(x) g(x) <  +  (2.4) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, ixtiyoriy  >0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha x  M larda (2.4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa lim x→∞ f(x) g(x) =  ekanligini anglatadi. Teorema isbot bo‘ldi. Yuqorida isbotlangan teorema x  a ( a -son) holda ham o‘rinli. Buni isbotlash uchun t = 1 х− а almashtirish bajarish yyetarli. Misol . Ushbu lim x→+∞ ln x x limitni hisoblang. 28 Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+  ) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g‘(x) =1; 3) lim x→+∞ f'(x) g'(x) = lim x→+∞ 1/х 1 =0, ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham mavjud va lim x→+∞ ln x x =0 tenglik o‘rinli. 3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki, lim x→a f(x)= 0, lim x→a f(x)= ∞ , bo‘lganda f(x)  g(x) ifoda 0  ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uning quyidagi f(x)⋅g(x)= f(x) 1 g(x) = g(x) 1 f(x) kabi yozish orqali 0 0 yoki ∞ ∞ ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shuningdek, lim x→a f(x)=+ ∞ , lim x→a g(x)=+ ∞ , bo‘lganda f ( x )- g ( x ) ifoda  -  ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib f(x)− g(x)= 1 g(x) − 1 f(x) 1 f(x) ⋅ 1 g(x) 0 0 ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Ma’lumki, x  a da f(x) funksiya 1, 0 va  ga, g(x) funksiya esa mos ravshda  , 0 va 0 intilganda (f(x)) g(x) darajali-ko‘rsatkichli ifoda 1  , 0 0 ,  0 ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun 29 avval y=(f(x)) g(x) ni logarifmlaymiz: lny= g(x) ln(f(x)) . Bunda x  a da g(x)ln(f(x)) ifoda 0  ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida 0  ,  -  , 1  , 0 0 ,  0 , ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochi щ da, ularni 0 0 yoki ∞ ∞ ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi. 2-eslatma. Agar f(x) va g(x) funksiyalarning f’(x) va g‘(x) hosilalari ham f(x) va g(x) lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f'(x) g'(x) = lim x→a f''(x) g''(x) tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi. Misol . Ushbu lim x→0( tgx x ) 1 x2 limitni hisoblang. Yechish. Ravshanki, x  0 da ( tgx x ) 1 x2 ifoda 1  ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘ladi. Uni logarifmlab, 0 0 aniqmaslikni ochishga keltiramiz: lim x→0 ln y= lim x→0 ln tgx x x2 = lim x→0 (ln tgx x )' (x2)' = lim x→0 x tgx ⋅ x cos 2x − tgx x2 2x = 1 2 lim x→0 x− sin xcos x x3 = ¿1 2 lim x→0 (x− sin xcos x)' (x3)' = 1 2 lim x→0 1− cos 2x+sin 2x 3x2 = 1 6 lim x→0 2sin 2х x2 = 1 6 ⋅2= 1 3 . 30 Demak, lim x→0( tgx x ) 1 x2 = e 1 3= 3 √e . 2.2.Qavariq funksiayalar integrallaridan foydalanish Qavariq funksiyalarni integrallash uchun quyidagi usullardan foydalanish mumkin: 1. Darhol integrallash: Qavariq funksiyaning darhol integrallashini hisoblash uchun integraldan foydalanish mumkin. Darhol integralni hisoblash uchun, funksiyaning integralini topib, uning qiymatini hisoblash va natijani olish kerak. 2. Aniq chegaralarda integrallash: Qavariq funksiyaning chegaralarida integralni hisoblash uchun aniq chegaralarni belgilash kerak. Chegaralarni belgilab, integralni hisoblash va natijani olish mumkin. Bu usul, funksiya ostidagi maydonni hisoblashda yordam beradi. 3. Qavariq funksiyaning hosilasidan foydalanish: Qavariq funksiyaning integrallaridan foydalanish uchun hosilani hisoblash mumkin. Qavariq funksiyaning hosilasini topish uchun funksiyani integrallashtirib, hosilani hisoblash va natijani olish kerak. Qavariq funksiyalarning integralidan foydalanishning amaliyotdagi misollaridan biri, qavariq funksiyaning uchida yotgan maydonni hisoblash uchun integrallar yordamida hisoblashdir. Misol uchun, bir doiraning yotgan maydoni ni hisoblash uchun doiraning radiusiga qavariq funksiyaning integralini hisoblash mumkin. Qavariq funksiyaning integrallaridan foydalanish, matematika, fizika, statistika va boshqa sohalarda amaliyotiy misollar yechishda o'zgaruvchilar, massalar, kuchlar, energiyalar va boshqa fizikaviy xususiyatlarni hisoblashda keng qo'llaniladi. Bu 31 usul, funksiyaning ostidagi maydonni aniqlashda va umumiy yechimlarni hisoblashda foydalaniladi. Qavariq funksiyaning integrallaridan foydalanishning bir necha misollaridan biri, qavariq geometrik ob'ektlarning yuzasini hisoblash uchun integrallardan foydalanishdir. Misol uchun, bir doiraning yotgan maydonini hisoblash uchun doiraning radiusiga qavariq funksiyaning integralini hisoblash mumkin. Boshqa bir misol, bir telning uzunligini hisoblash uchun qavariq funksiyaning integralidan foydalanishdir. Telning uzunligini hisoblash uchun, telning kesmalarining uzunliklarini ifodalaydigan bir funksiya yaratiladi va ushbu funksiyaning integrali hisoblanadi. Qavariq funksiyaning integrallaridan foydalanishning boshqa bir misoli, qavariq funksiyaning yuzasini hisoblash uchun integrallardan foydalanishdir. Misol uchun, bir tikaning yuzasini hisoblash uchun tikaning enining qavariq funksiya ekanligi bilinishi kerak va ushbu funksiyaning integrali hisoblanadi. Qavariq funksiyaning integrallaridan foydalanish matematika, fizika, injiniring va boshqa sohalarda amaliyotiy masalalar yechishda keng qo'llaniladi. Bu usul yordamida, qavariq ob'ektlarning yuzasi, hajmi, markaziy markaz, momentlar, energetik xususiyatlari va boshqa xususiyatlarni hisoblash mumkin. Qavariq (umumiy) funksiyalarning integrallaridan foydalanish uchun quyidagi amallarni bajarishingiz mumkin: 1. Noaniq integralni hisoblash uchun: - Integratsiya qilinadigan funksiyani aniqlang. Masalan, f(x) = x^2 kabi funksiyani ko'rib chiqaylik. 32 - noaniq integral belgisi yordamida integral ifodani tuzing: ∫f(x) dx. - noaniq integralni hisoblashda integrasiya usullaridan foydalanish. Bu metodlar asosiy integral qoidalari, hosilalarga teskari, bo'linish, almashtirish va integratsiya usullarini o'z ichiga oladi. - Natijada funksiyaning umumiy antiderivativini olasiz. Masalan, ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C, bu erda C - integrallash doimiysi. 2. Aniq integralni hisoblash uchun: - Integratsiya qilinadigan funksiyani aniqlang. Masalan, f(x) = x^2 kabi funksiyani ko'rib chiqaylik. - Aniq integral belgisi yordamida integral ifodani tuzing: ∫f(x) dx. - integralning quyi va yuqori chegaralarini aniqlang. Masalan, siz [a, b] diapazonida integralni hisoblamoqchisiz deylik. - Aniq integralni hisoblashda integrallash usullaridan foydalanish. Bu jarayon noaniq integralni hisoblashga o'xshaydi, lekin oxirgi bosqichda yuqori chegaradan pastki chegarani olib tashlash kerak. - Natijada berilgan oraliqda funksiya sohasini olasiz. Masalan, ∫[a, b] x^2 dx = (1/3)(b^3 - a^3). Qavariq funksiyalar integrallarini hisoblash uchun matematik usullardan foydalanish mumkin. Bu usullar funksiya xossalariga va integral turiga qarab farq qilishi mumkin. Integral hisob-kitoblar bilan ehtiyot bo'ling va aniq natijalarga erishish uchun zarur qadamlarni bajaring. 33 Xulosa Tenglama va tengsizliklar yechishni aniqlash uchun integral va hosilani qo'llashning usullari foydalaniladi. Integral, funksiyaning bir qancha qiymatlari orasidagi tartibda qiymatini topish uchun ishlatiladi. Tartibda qiymatlari qo'llashning uchta asosiy usuli mavjud: qism, integral va limit integral. Bu usullar integralning narxlarni hisoblash, hajmi va massani aniqlash, yechimlar, qism va tartibdagi mond o'lchovlar sonini hisoblash va boshqa amaliyotlarda foydalaniladi. Hosilan, funksiyaga berilgan bir xil bo'luvchi tartibidagi qiymatini topish uchun ishlatiladi. Hosilan usuli, tengsizliklarni yechishda kelishi mumkin bo'lgan metodlardan biridir. Bunda, funksiyaga tegishli tengsizlikdan ko'p toqsonli hosilan hosil qilinadi va uning hisoblash uchun tartibli amallarni bajaramiz. Tenglama va tengsizliklarni yechib olishni integrlar va hosilan usullaridan foydalanish orqali keng qo'llash mumkin. GPTGO, bu mavzudagi so'rov va muammolarga javob berishda chatGPT yordamida ma'lumotlarni to'plab, foydalanuvchilarga yordam berishi uchun yaratilgan Google qidiruv tizimi botidir. Integral va hosilani qo'llashning tenglama va tengsizlar yechishdagi roli matematikada muhim ahamiyatga ega. Bu tushunchalar funksiyalarni tahlil qilish, maydon hisoblari, ehtimollar nazariyasi, fizika, muhandislik va boshqa ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi. 34 Integratsiya - bu funktsiya sohasini hisoblash yoki funktsiyani integrallash uchun ishlatiladigan matematik operatsiya. Masalan, integrallar funksiya grafigi ostidagi maydonni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Integral ma'lum diapazondagi funktsiya qiymatlarini yig'adi va bu yig'indini maydon sifatida izohlaydi. Hosila funksiyaning o'zgarish tezligini ifodalaydi. Odatda bu funktsiyaning hosilasidir. Hosila funktsiyaning istalgan nuqtasida bir lahzali o'zgarishni ifodalaydi. Ushbu o'zgarish tezligi funktsiyaning qiyaligini yoki yo'nalishini belgilaydi. Tenglama va nonteng masalalarida integral va hosila birgalikda ishlatilishi mumkin. Masalan, biz funktsiyaning maksimal yoki minimal qiymatlarini topish uchun farqlaymiz va bu kritik nuqtalarda hosila nolga teng ekanligini tushunamiz. Ushbu nuqtalarni topganimizdan so'ng, biz integratsiya yordamida funktsiyaning maydonini hisoblashimiz va shu bilan funktsiyaning eng yuqori yoki eng past qiymatini aniqlashimiz mumkin.Bundan tashqari, differensial tenglamalarni yechishda integral va hosil ham muhim rol o'ynaydi. Differensial tenglamalar funksiyaning hosilasini o‘z ichiga olgan tenglamalar bo‘lib, bu tenglamalarning yechimlarini integrasiya va hosil yordamida olish mumkin.Xulosa qilib aytish mumkinki, integral va hosila matematik tahlil va amaliy matematikaning muhim vositalaridir. Tenglama va nontenglama masalalarini yechish bu tushunchalarni to‘g‘ri tushunish va ulardan foydalanishni talab qiladi. 35 Foydalanilgan adabiyotlar 1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 1994, 2 t . 1995 2. Toshmetov O‘. Matematik analiz. Matematik analizga kirish. T., TDPU. 2005y. 3. Hikmatov A.G‘., Turdiyev T. «Matematik analiz», T.1-qism.1990y. 4. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to`plami. T., «O ‘ zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995. 5. Vavilov V.V. i dr. Zadachi po matematike. Nachala analiza. M.Nauka.,1990.- 608s. 6. www.ziyonet.uz 36

Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo’llash

Sotib olish