Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	519.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	28 Aprel 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Dilshodbek

Ro'yxatga olish sanasi 29 Mart 2025

2 Sotish

Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish

Sotib olish

KIRISH
Mavzuning dolzarbligi: Tenglama — ikki yoki undan oshiq
ifodalarning o zaro bog langanini ko rsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardanʻ ʻ ʻ
matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va
boshqa ijtimoiy fanlarda foydalaniladi. Tenglik belgisining birinchi marta
ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The
Whetstone of Witte“) kitobidan (1557). Tenglamada bir yoki undan ko p noma lum
ʻ ʼ
qiymat bo ladi va ular o zgaruvchilar yoki noma lumlar deb ataladi. Noma lumlar
ʻ ʻ ʼ ʼ
odatda harflar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi. Tenglamalar ulardagi
o zgaruvchilar soniga qarab nomlanadi.
ʻ
Masalan, bir o zgaruvchili tenglama, ikki o zgaruvchili tenglama va
ʻ ʻ
hokazo. Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi.
Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini ta kidlaydi. Tenglik
ʼ
belgisini (=) uelslik matematik Robert Recorde o ylab topgan. U ikki bir xil
ʻ
uzunlikdagi parallel to g ri chiziqlardan tengroq narsa bo lmaydi deb hisoblagan.
ʻ ʻ ʻ
Tenglamalarning ilk yechimlari eramizdan 2000-yilcha oldin yozilgan Rhind
papirusida yozilgan. Berilgan masalalar arifmetik masalalar bo lgan.
ʻ
Masalan, massa va uning 1/7 ning yig indisi 19 ga teng“ kabi masalalar
ʻ
uchun tenglamalar yozilgan. Bunday masala uchun noma lumni x deb belgilab,
ʼ
x+1/7x kabi sodda tenglama yozilgan. Arifmetik masalalardan keyin ikki
noma lum qiymatli tenglamalar yuzaga kelgan.
ʼ Yunonlar qo shaloq chiziqli ʻ
tenglamalarni bilishgan. Arximedning „chorva masalasi“ kabi sistemalarda
berilgan noaniq tenglamalar Diofant bir necha shunaqa tenglamani ishlab ko rsatib
ʻ
bermagunicha jiddiy o rganilmagan. Kvadrat tenglamalar yunonlar proporsiyalarni
ʻ
o rganayotganida yuzaga kelgan. Ular kvadrat tenglamalarni geometrik usulda
ʻ
yechishgan. Ammo bu geometrik usulning hozirgi umumlashtirilgan algebraik
geometriyaga aloqasi yo q. Algebraik geometriyada grafiklar bilan tenglamalarni
ʻ
yoki aksincha, tenglamalarni grafiklar bilan ifodalash mumkin. Sodda kvadrat
tenglama ikki a va b chiziqlari orasidagi o rtacha proporsional x ni aniqlashda yoki
ʻ
2

berilgan to rtburchakka teng kvadratni topishda kelib chiqqan. Ishlatilganʻ
proporsiya a:x = x:b ko rinishida bo lgan. Bu ifoda bo lsa x² = ab ga tengdir.
ʻ ʻ ʻ
x²+ax-a² ko rinishidagi umumiyroq tenglama berilgan biron-bir chiziq medianasini
ʻ
topish kerak bo lgan masalaning algebraik ekvivalentidir. Diofantga kvadrat
ʻ
tenglamaning algebraik yechimi ma lum bo lgan deb aytiladi. Ammo u faqat bitta
ʼ ʻ
ildizni payqagan. Sodda kub tenglama biri ikkinchisidan ikki marta uzun bo lgan
ʻ
ikki chiziq o rtasida x va y o rtacha proporsionallarni topish kerak bo lgan
ʻ ʻ ʻ
masalada berilgan. Buni a:x=x:y=y:2a ko rinishida ifodalash mumkin. Bu ifodadan
ʻ
x² = ay va xy = 2a² kelib chiqadi. y ni yo q qilsak x³ = 2a³ sodda kub tenglama
ʻ
hosil bo ladi. Yunonlar bu tenglamani yecha olishmagan. Bu tenglama yana
ʻ
kubning dublikatini yasashda va burchakni chizg ich yoki sirkul bilan teng uchga
ʻ
bo lishda ham yuzga kelgan. Burchak bo lish uchun sissoida, konxoida va
ʻ ʻ
kvadratrisa kabi mexanik egri chiziqlardan foydalanishgan. Bunday yechimlarni
arablar takomillashtirgan. Ular kub va bikvadrat tenglamalarni konus kesimlari
bilan yechishgan. Diofant boshlagan va hindlar takomillashtirgan tenglamalarning
taxminiy ildizlarini algebraik yo llarda yechish usullarini arablar yanada oldinga
ʻ
surishgan. Kub va bikvadrat tenglamalarning algebraik yechimlari 16-asrda S.
Ferro, N. Tartaglia, H. Cardan va L. Ferrari tomonidan ishlab chiqilgan. Beshinchi
darajali tenglamalarni yechishga ko p urinilgan. P. Ruffini va N. H. Abel buning
ʻ
iloji yo qligini isbotlashgan. C. Hermite va L. Kronecker elliptik funksiyalardan
ʻ
iborat yechimini ko rsatgan. F. Klein ham bu tenglamalarni yechishning yana bir
ʻ
boshqa yo lini taklif qilganligi mavzuning dolzarbligini asoslaydi.
ʻ
Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishining asosiy maqsadlarini tenglama
va tengsizlik geometrik usulda yechining nazariy asoslarini organish va amaliy
misollar yordamida tuzatishlarni vizual tarzda tahlil qilishdir.
Geometrik yondoshuv orqali matematik tenglamalar va tengsizliklar
bo'yicha ishlash hal qilishning samarali usullarini o'rganish, ularni real hayotdagi
masalalarga qo'llashni ko'rsatishdir. Geometrik usul, ayniqsa, chiziqli va chiziqli
bo'lmagan tenglamalar uchun, echimlarni vizual tarzda tasvirlashni va matematik
materialni yaxshilashga yordam beradi.
3

Kurs ishining v azifalar:
1. Tenglamalar va tengsizliklar asoslarini o'rganish:
o Chiziqli tenglamalar va tengsizliklarni geometrik usulda yechishning
nazariy asoslarini yaratadi.
o Chiziqli bo'lmagan tenglamalar va tengsizliklarni geometrik tarzda
qanday ifodalashni o'rganish.
2. Geometrik yondoshuvni tahlil qilish:
o Chiziqli tenglamalar, tengsizliklar va tizimlarning geometrik echimini
tasvirlash va hisob matematik echimlari bilan bog'liq vizual tahlilni
amalga oshirish.
o Geometrik shakllar (masalan, chiziqlar, doiralar, parabola va
boshqalar) yordamida tenglamalar va tengsizliklar echimini izohlash.
3. Amaliy misollarni yechish:
o Bir nechta chiziqli tenglama tizimlarini geometrik usulda yechish va
tekshirishgan nuqtalarini aniqlash.
o Tengsizlik geometrik tarzda tahlil qilish va sudlov qarama-qarshi yoki
yo'l qo'ymaslikni toping.
4. Kompyuter dasturlari tahlil qilish:
o GeoGebra yoki MATLAB kabi ta'minot yordamida tenglama va
tengsizliklarni geometrik usulda qanday yechish ko'rsatish.
o Kompyuterdan olingan resurslarni tahlil qilish va ularni real
masalalariga qo'llash.
5. Geometrik yondoshuvning amaliy ahamiyatini ko'rsatish:
o Geometrik yondoshuvni iqtisodiyot, fizika, muhandislik va boshqa
sohalarda qanday qo'llash tahlil qilish.
o Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechishning
amaliyotdagi ishlatishni ko'rish.
4

I.BOB.TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARDA YONDASHUVLAR VA
MISOLLAR
1.1. Tenglamalar va tengsizliklar geometrik yondoshuvi
Tenglamalarga geometrik yondashishda yunonlar va arablar ba zi bir egriʼ
chiziqlar va figuralarning xossalaridan kelib chiqib xulosalar qilishgan.
Proporsiyalardan foydalanib xususiy hollar uchun yechim topilgan, ammo umumiy
hol uchun qoniqarli javob bo lmagan.
ʻ
Bu muammoni 17-asrda René Descartes bartaraf qilgan. U tenglamalarning
grafik yechimlarini tushuntiruvchi umumiy teoremani ishlab chiqqan. Xususan,
Descartes konik kesimlar ishlatilgan hollarni ko rsatib bergan. Bundan tashqari,
ʻ
Descartes har bir tenglama geometrik nuqtalar joylashishiga egaligini va har bir
geometrik nuqtalar joylashishi tenglamaga egaligini ko rsatgan. Ikki x va y
ʻ
noma lumli tenglamalarni ifodalash uchun Descartes bir-birga perpendikulyar ikki
ʼ
o qni olgan. x ni gorizontal o q bo ylab va y ni vertikal o q bo ylab o lchagan.
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
Keyin u chiziqli tenglama to g ri chiziqni ifodalashini va kvadrat tenglama konik
ʻ ʻ
chiziqni ifodalashini ko rsatib bergan.
ʻ
Tenglama ko pincha taroziga taqqoslanadi. Yana muvozanat, innana yoki
ʻ
boshqa shunga o xshash jismlar ham tenglamaga o xshatiladi. Muvozanatning har
ʻ ʻ
ikki tomoni tenglamaning ikki tomoniga to g ri keladi. Ikki tomonda turli
ʻ ʻ
qiymatlar qo yilishi mumkin. Agar shu jismlar teng bo lsa muvozanat tenglamaga
ʻ ʻ
mos keladi. Agar jismlar teng bo lmasa unda bu hol tengsizlikka o'xshatiladi.
ʻ
O ngdagi tasvirda x, y va z har xil qiymatlar bo'lib (bu yerda ular haqiqiy
ʻ
sonlardir), bu qiymatlar aylana shaklidagi og irliklar qilib tasvirlangan.
ʻ
Qo shish amali vazn qo shishga, ayirish bo lsa tarozi pallalaridan yuk
ʻ ʻ ʻ
olishga mos tushadi. Ikki tomondagi umumiy vazn bir xildir. Tenglamani yechish
— bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yo qligini (mavjud emasligini)
ʻ
isbot qilishdir. Ba zan ildizlarga qo shimcha cheklashlar qo yiladi. Masalan,
ʼ ʻ ʻ
tenglama ildizlar faqat butun sonlar bo lishi talab qilinishi mumkin.
ʻ
5

Funksiya argumenti (ba zan „o zgaruvchi“ deb ataladi) tenglamalardaʼ ʻ
noma lum miqdor deb ataladi. O zgaruvchili
ʼ ʻ ?????? ( ?????? )= ?????? ( ?????? ) tenglik bir x o zgaruvchili ʻ
tenglama deb ataladi. O zgaruvchining f(x) va g(x) ifodalar bir xil son qiymatlar
ʻ
qabul qiladigan har qanday qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi. Bir
xil ildizlarga ega tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Ildizga ega
bo lmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi.
ʻ
Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga
teng kuchli bo lgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun
ʻ
har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga
o tishini bilish muhimdir. Tengsizlik — sonlar yoki miqdorlar orasidagi munosabat
ʻ
sonlardan qaysi biri boshqasidan kattaligi yoki kichikligini ko rsatadi. Tengsizlikda
ʻ
">" va "<" ishoralari qo llanilib, ularning uchi kichik son yozilgan tomonga
ʻ
qaratiladi. Matematika va uning tatbiklarida o zgaruvchi miqdorlarning barcha
ʻ
qiymatlarida to g ri bo lgan tengsizliklar ham muhim ahamiyatga ega. Sonli
ʻ ʻ ʻ
tengsizliklar va ularning xossalari.
Ta’rif: Agar a b  ayirma musbat son bo‘lsa, a soni b sonidan katta deyiladi
va bu munosabat a b  shaklida yoziladi. Agar a b  ayirma manfiy bo‘lsa, a soni b
sonidan kichik deyiladi va a b  shaklida yoziladi. Istalgan a va b sonlar uchun
quyidagi uchta munosabatdan faqat bittasi o‘rinli:
1. a b a b     0 ;
2. a b a b     0 ;
3. a b a b     0 . Sonli tengsizliklar quyidagi xossalarga ega:
1. Agar a b  va b c  bo‘lsa, a c  bo‘ladi (tengsizlik munosabatini tranzitivlik
xossasi).
2. Agar a b  va c R  bo‘lsa, a c b c    bo‘ladi.
3. Agar a b  va c  0 bo‘lsa, a c b c    bo‘ladi.
4. Agar a b  va c  0 bo‘lsa, a c b c    bo‘ladi.
5. Agar a b  va c d  bo‘lsa, a c b d    bo‘ladi.
6. Agar a b   0 va c d   0 bo‘lsa, a c b d    bo‘ladi.
6

$7. Agar a b   0 va n N  bo‘lsa, n n a b  bo‘ladi ( n  toq son bo‘lganda b  0 shart ortiqcha). Istalgan sonning kvadrati nomanfiy son bo‘lgani uchun   2 a b   0 va  2 a c   0 . Demak,   2 2 2 2 2 ( ) a b c a b c     istalgan a b, va c sonlari uchun manfiy emas. Shuning uchun berilgan tengsizlik istalgan a b, va c sonlari uchun o‘rinli. Jumladan, tenglik belgisi abc   bo‘lgandagina bajariladi. Tengsizlikning to‘g‘riligini ko‘rsatish uchun uning har ikkala qismining ayirmasini musbat yoki manfiyligini aniqlash, ya’ni yuqoradagi misoldagidek bevosita ta’rifdan foydalanib isbotlashga harakat qilish ayrim hollarda qiyinchiliklarni tug‘diradi. Shuning uchun tengsizliklarni isbotlashda tengsizliklarning xossalaridan foydalanish tavsiya etiladi. Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish, algebraik ifodalarini tekislikda (yoki boshqa fazolarda) ko' shakllarda ifodalashni anglatadi. Bu usul, ayniqsa, tasvirlarni ko'rish va ko'rish uchun juda foydalidir. 1. Chiziqli Tenglamalar va Tengsizliklar: Chiziqli Tenglama: Chiziqli tenglama umumiy ko'rinishda bo'ladi: ax+by=cax + by = c a x + b y = c Bu tenglama tekislikda to'g'ri chiziqni ifodalaydi. Har bir yechim (x,y)(x, y) ( x , y ) joy to'g'ri chiziq ustida bo'ladi. Geometrik talqin: Bu tenglamaning yechimi – tekislikdagi to'g'ri Bu tenglamaning yechimi – tekislikdagi to'g'ri chiziq. Agar bizda masalan, 2x+3y=62x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6 tenglamasi bo'lsa, bu tenglama tekislikda to'g'ri chiziqni hosil qiladi. To'g'ri chiziqning har bir joyi tenglama shartini qondiradi. Chiziqli Tengsizlik: Chiziqli tengsizlik umumiy ko'rinishda bo'ladi: ax+by≤cax + by \leq c a x + b y ≤ c Bu tengsizlik geometrik ravish, to'g'ri chiziqdan pastdagi yoki ustidagi hududni ifodalaydi. Boshqacha qilib, chiziqli to'g'ri chiziqni va uning bir tomonidagi sohani tashkil qiladi. 7$ $Geometrik talqin: ax+by≤cax + by \leq c a x + b y ≤ c tengsizlik qismlarini tekislikda to'g'ri chiziq va uning bir tomonidagi maydon tashkil qiladi. Misol uchun, 2x+3y≤62x + 3y \leq 6 2 x + 3 y ≤ 6 tengsizligi uchun, chiziqdan pastda barcha nuqtalar uning yechimidir. Misol: Agar 2x+3y=62x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6 tenglamasini olsak, bu tenglama to'g'ri chiziq hosil qiladi. Agar tengsizlik 2x+3y≤62x + 3y \leq 6 2 x + 3 y ≤ 6 bo'lsa, yechimlar shu chiziqdan pastdagi barcha nuqtalar bo'ladi. 2. Chiziqli Bo'lmagan Tenglamalar va Tengsizliklar: Chiziqli Bo'lmagan Tenglama: Chiziqli bo'lmagan tenglamalar, chiziqli bo'lmagan shakllarni ifodalaydi, masalan parabola, doira, ellips va boshqalar. Parabola: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c y = a x2 + b x + c tenglamasi tekislikda parabola shaklini hosil qiladi. Bu shakldagi tenglama yechimi parabola ustidagi nuqtalardir. Doira: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 x2 + y2 = r2 tenglamasi tekislikda doira hosil qiladi. Bu yerlarda bo'lgan doira ustidagi nuqtalar. Chiziqli Bo'lmagan Tengsizliklar: Chiziqli bo'lmagan tengsizliklar chiziqli bo'lmagan shakllarni tashkil qiladi. Masalan, doira tengsizliklari yoki parabola tengsizliklari. Doira Tengsizlik: x2+y2≤r2x^2 + y^2 \leq r^2 x2 + y2 ≤ r2 tengsizlik doira ichida nuqtalarni ifodalaydi. Parabola Tengsizlik: Agar tengsizlik y≥ax2+bx+cy \geq ax^2 + bx + c y ≥ a x2 + b x + c bo'lsa, ustida ustidalar parabola va uninggi nuqtalarni tashkil qiladi. 3. Tenglama va Tengsizliklar Tizimlari: Chiziqli Tenglamalar Tizimi: Agar bir nechta chiziqli tenglama mavjud bo'lsa, ular tekislikda to'g'ri chiziqlarni hosil qiladi. Bu to'g'ri chiziqlarni yo'llagan yo'lning yechimi bo'ladi. Misol: Agar tenglama tizimi 2x+3y=62x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6 va x−y=1x - y = 1 x − y = 1 bo'lsa bu ikki tenglama tekislikda ikkita to'g'ri chiziqni hosil qiladi va tekshiruvgan natijaning echimi bo'ladi. 8$ $Chiziqli Tengsizliklar Tizimi: Chiziqli tengsizliklar tekislikda bir nechta sohalar hosil qiladi. Tizimning yechimi bu sohalarning zararlangan nuqtalari bo'ladi. Misol: Agar tengsizliklar tizimi x+y≥4x + y \geq 4 x + y ≥ 4 va x−y≤2x - y \leq 2 x − y ≤ 2 bo'lsa, yechimlar bu ikki sohaning davolashgan joylashadi. 4. Geometrik Yondoshuvning Afzalliklari: Vizual Tushunish: Geometrik usul yordamida tenglama va tengsizliklarning usullarini vizual tarzda ko'rish mumkin. Bu, masalani yordam beradi, ayniqsa murakkab tengsizliklar tizimlarini yechishda. Geometrik Yechimlarning Amaliy Qimmatligi: Geometrik yondoshuvlar iqtisodiyot, fizika, muhandislik va boshqa sohalarda qo'shimcha qonunlar. Masalan, tizimlar va optimallashtirish muammolarni yechishda, bu usul samarali bo'lishi mumkin. Oddiylik va Tezlik: Geometrik usul yordamida ba'zi masalalarni yechish osonlashadi, chunki ba'zi tenglama va tengsizliklarni ko'rish orqali yechimni topish juda tez bo'ladi. Tenglamalar va tengsizliklarning geometrik yondoshuvi ularning algebraik formatdan tashqari, fayl geometrik talqinini ham ko'rsatadi. Bu yondoshuv orqali, masalalar vizual tarzda tahlil qilinib, yechimlar aniq tushuniladi va ko'plab matematik va amaliy masalalarda qo'llab-quvvatlash mumkin. Geometrik yondoshuv jismoniy tenglama va tengsizliklarni yechishda, balki ularni real dunyo masalalariga qo'llashda ham samarali usul. 9$ $1.2. Geometrik vositalarni misollar yordamida ko'rsatish Matematikada tenglama va tengsizliklarni yechishda geometrik fayllardan yuk tashish muhim yuk ega . Ular yordamida tasvirgebraik ifodalarni tekislikdalash, yechim muhim egasi. Ular yordamida tasvirgebraik ifodalarni tekislikda, yechimlar to'plamini ko'rgazmali ko'rsatish, ularni tahlil qilish osonlashadi. Grafiklar, g'ri chiziqlar, parabolalar, doiralar va ichki/tashkilot sohalari bu kabi materiallarga misoldir, ishlab chiqarish ishlarini konkret misollar orqali ko'rib chiqamiz: Misol 1. Chiziqli tenglama Tenglama: 2x+3y=62x + 3y = 62 x+3 y=6 Geometrik tahlil: Bu ikki o'zgaruvchili tenglama tekislikda to'g'ri chiziq hosil qiladi. Grafikni qurish uchun ikkita nuqta topamiz:  x=0 ⇒ y=2x = 0 \O'ngga y = 2x=0 ⇒ y=2→ nuqta:(0,2)(0, 2)( 0 ,2 )  y=0 ⇒ x=3y = 0 \O'ng tomon x = 3y=0 ⇒ x=3→ nuqta:(3,0)(3, 0)( 3 ,0 ) Bu nuqtalar orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq berilgan tenglamaning barchalarini ifodalaydi. Misol 2. Chiziqli tengsizlik Tengsizlik: 2x+3y≤62x + 3y \leq 6 2 x + 3 y ≤ 6 Geometrik tahlil: Bu tengsizlikni tajribada avval yuqoridagi chiziq chiziladi. So'ngra, test orqali yordam (masalan, (0,0)(0,0) ( 0 , 0 ) ) tengsizlik rostligini tekshiramiz: 2(0)+3(0)=0≤6 ⇒ ha2(0) + 3(0) = 0 \leq 6 \O'ngga 2 ( 0 ) + 3 ( 0 ) = 0 ≤ 6 ⇒ ha Demak, chiziqning quyi tomoni (shu chiziqning o'zi ham) — yechimlar sohasidir. Bu hudud grafikda soyalanadi. 10$ $Misol 3. Kvadrat tenglama (parabola) Tenglama: y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3y=x2−4 x+3 Geometrik tahlil: Bu tenglama parabola hosil qiladi. Uni to'g'rilab yozamiz: y=(x−2)2−1y =y=( x−2 )2−1 Bu parabola cho'qqisi(2,−1)(2, -1)( 2 ,− 1 )yuqorida va yuqoriga qarab ochiladi. Nolga teng nuqtalari:  x=1x = 1x=1vax=3x = 3x=3(ya'ni ildizlar) Bu nuqtalar asosida grafik chizilib, parabola qanday yechimlar ko'rinishi. Misol 4. Doira tenglamasi Tenglama: x2+y2=9x^2 + y^2 = 9x2+y2=9 Geometrik tahlil: Bu — markazi(0,0)(0,0)( 0 ,0 )va radiusi333bo'lgan doira tenglamasi. Grafikda doiraning o'zi (ya'ni chekka nuqtalari) tenglamaning echimlari bo'ladi. Misol 5. Doira tengsizligi Tengsizlik: x2+y2≤9x^2 + y^2 \leq 9x2+y2≤9 Geometrik tahlil: Bu tengsizlik doiraning ichki qismi va chegarasi ni anglatadi.  Markaz:(0,0)(0, 0)( 0 ,0 )  Radius:333 Grafikda doira chizilib, ichki hudud soyalanadi. Bu soha tengsizlikning barchalarini tashkil qiladi. Misol 6. Tenglama tizimi Tizim: 11$ ${y=2x+1y=−x+4\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} {y=2x+1y=−x+4 Geometrik tahlil: Bu ikkita to'g'ri chiziq bo'lib, tekshirishgan natija — tizimning echimi:  birinchi chiziq:y=2x+1y = 2x + 1y=2 x+1  Ikkinchi chiziq:y=−x+4y = -x + 4y=− x+4 Grafikda bu chiziqlar chiziladi va ular qayerda kesishsa, o'sha nuqta (masalan,(1,3) (1, 3)( 1 ,3 )) — yechim bo'ladi. Geometrik vositalar orqali tenglama va tengsizlik yechish jismoniy nazariy, balki amaliy yordam ega. Grafik orqali yordamlar:  Ko'rgazmali bo'ladi,  Yechimlar sohasini aniq ko'rsatmoqda,  Yechimlar yoki yo'qligini yordamga yordam beradi. Buning uchun geometrik hosil, ayniqsa murakkab tengsizliklar yoki tizimlarda samarali usullar. 12$ $II.BOB.TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNING AMALIY AHAMIYATI 2.1. Amaliy misollar va yondoshuvlar Tenglama va tengsizliklar hayotda va fanlarda juda ko‘p uchraydi. Quyida ularning amaliy misollari va yondoshuv turlari bilan tanishasiz. ?????? Tenglamalar: Amaliy misollar 1. Moliyaviy hisob-kitoblar Misol: Siz oyiga 200 000 so‘m tejaysiz va 1 000 000 so‘m yig‘moqchisiz. Necha oyda yetasiz? Tenglama: 200 000 ⋅ x=1 000 000200\,000 \cdot x = 1\,000\,000 Yechim: x=1 000 000200 000=5x = \frac{1\,000\,000}{200\,000} = 5 oyda. 2. Harakatga oid masalalar Misol: Avtobus 60 km/soat tezlikda harakat qilib, 3 soatda nechta km yuradi? Tenglama: S=v ⋅ t ⇒ S=60 ⋅ 3=180 kmS = v \cdot t \Rightarrow S = 60 \cdot 3 = 180 \, \text{km} ?????? Tengsizliklar: Amaliy misollar 1. Byudjetga mos xarajatlar Misol: Telefon 1 200 000 so‘m turadi. Sizda esa 1 000 000 so‘mdan kam bo‘lmagan pul bor. Telefonni olishingiz mumkinmi? Tengsizlik: x≥1 000 000vax≥1 200 000 ⇒ yo‘q, yetarli emasx \geq 1\,000\,000 \quad \text{va} \ quad x \geq 1\,200\,000 \Rightarrow \text{yo‘q, yetarli emas} 2. Yosh cheklovlari 13$ $Misol: Kinoga 18 yoshdan kattalar kirishi mumkin. Sizning yoshingiz xx . Tengsizlik: x≥18 ⇒ agar rost bo‘lsa, kirish mumkinx \geq 18 \Rightarrow \text{agar rost bo‘lsa, kirish mumkin} ?????? Yondoshuvlar: ✔️ Algebraik yondoshuv  Ifoda beriladi, algebra qoidalari bilan yechiladi.  Misol: 3x−5=10 ⇒ x=53x - 5 = 10 \Rightarrow x = 5 ✔️ Grafik yondoshuv  Grafiklar chizilib, kesishgan joylar aniqlanadi.  Asosan funksiyalar yoki tengsizliklar uchun ishlatiladi. ✔️ Jadval usuli  X qiymatlari uchun jadval tuzilib, natijalar tekshiriladi. ✔️ Mantiqiy yondoshuv  Masalaning shartlari orqali mantiqiy fikrlash bilan yechimga erishiladi. ?????? 1. Kredit to‘lovi masalasi (Tenglama) Vaziyat: Siz 12 oyga kredit olib, har oyda 1 250 000 so‘mdan to‘lamoqdasiz. Bank 20% yillik foiz stavkasi bilan kredit bergan. Kredit summasini toping. Yondashuv: Foiz yillik bo‘lgani uchun uni oyiga bo‘lamiz: oylik foiz=20%12=1.67%\text{oylik foiz} = \frac{20\%}{12} = 1.67\% Bu annuitet to‘lov bo‘lib, formulasi: A=P ⋅ r(1+r)n(1+r)n−1A = P \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1} Bu yerda:  A=1 250 000A = 1\,250\,000 – oylik to‘lov  r=0.0167r = 0.0167 – oylik foiz  n=12n = 12 – oylar soni  PP – topiladigan kredit summasi 14$ $Bu tenglama orqali kredit summasi topiladi. Bu real bankdagi hisob-kitobga juda yaqin. ?????? 2. Biznes reja va foyda (Tengsizlik) Vaziyat: Siz kichik nonvoyxona ochmoqchisiz. Har oy 5 000 000 so‘m xarajat, har non uchun foyda 2 000 so‘m. Oylik foyda xarajatdan ko‘proq bo‘lishi uchun necha dona non sotishingiz kerak? Tengsizlik: 2 000 ⋅ x>5 000 0002\,000 \cdot x > 5\,000\,000 x>5 000 0002 000=2 500x > \ frac{5\,000\,000}{2\,000} = 2\,500 ✅ Ya’ni oyiga kamida 2501 dona non sotishingiz kerak. ?????? 3. Yo‘l va vaqt masalasi (Tenglama + Yechim strategiyasi) Vaziyat: Ikkita shahar orasidagi masofa 360 km. Bir kishi mashinada 90 km/soat tezlikda yo‘lga chiqdi. Orqasidan boshqa kishi 120 km/soat tezlikda 1 soat kechikib chiqdi. Qachon ular tenglashadi? Tenglama tuzish:  1-kishi yo‘lga 1 soat oldin chiqqan: 90 km yo‘l yurdi.  Keyin ular bir xil masofani yuradi. Tenglama: 90t=120(t−1)90t = 120(t - 1) Yechamiz: 90t=120t−120 ⇒ 30t=120 ⇒ t=490t = 120t - 120 \Rightarrow 30t = 120 \Rightarrow t = 4 ✅ Demak, birinchi kishi yo‘lga chiqqanidan 4 soat o‘tib ular tenglashadi. ?????? 4. Ishchilar va ish hajmi (Tengsizlik) Vaziyat: Qurilish brigadasi 5 kunda uy quradi. Har kuni 8 ishchi ishlaydi. Shartnoma bo‘yicha 3 kunda tugatish kerak. Kamida necha ishchi kerak? 15$ $Ish miqdori o‘zgarmaydi: Ishchilar×kunlar=doimiy ish hajmi\text{Ishchilar} \times \text{kunlar} = \ text{doimiy ish hajmi} 8 ⋅ 5=x ⋅ 3 ⇒ x=403=13.338 \cdot 5 = x \cdot 3 \Rightarrow x = \frac{40}{3} = 13.33 Demak, kamida 14 ishchi kerak bo‘ladi. 1. Aniqlanish sohasidan foydalanish . Ba ’ zi hollarda , tenglama yoki tengsizliklarda qatnashayotgan funksiyalarning aniqlanish sohasini bilish tenglama yoki tengsizlikning yechimi mavjud emasligini bilishga yoki yechimini topishga yordam beradi . Kelgusida tenglama yoki tengsizlikning aniqlanish sohasi deganda unda qatnashayotgan funksiyalar aniqlanish sohalarining umumiy qismi tushuniladi. 1-misol . tenglamani yeching. Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Tenglamaning aniqlanish sohasi bo‘sh to‘plam, demak tenglama yechimga ega emas. Javob: ildizi yo‘q. Shunday qilib, tenglamani yechmasdan uning ildizlari yo‘qligini aniqladik. 2-misol . tenglamani yeching . Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Bundan tenglamaning aniqlanish sohasi faqat -2 va 2 sonlardangina iborat ekanligini ko‘rish qiyin emas. Bu sonlarni tenglamaga qo‘yib tekshiramiz. da tenglamaning chap tomoni 2 ga, o‘ng tomoni –2 ga teng, demak tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi. da tenglamaning chap va o‘ng tomonlari 2 ga teng, demak tenglamaning ildizi bo‘ladi. Javob: . 16$

2-misol . tenglamani yeching .
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasini topaylik.
Tenglamaning aniqlanish sohasi faqat bitta nuqtadan iborat. ni
Berilgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. bo`lsa,
tenglik to`g`ri. Demak, tenglama
faqat ildizga ega. Javob:
2. Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish. Tenglama va
tengsizliklarni yechishda biror to‘plamda funksiyaning quyidan yoki yuqoridan
chegaralanganligi asosiy rol o‘ynaydi. Masalan, M to‘plamda ,
bo`lsa, u holda tenglama yoki
tengsizlik yechimga ega bulmaydi. Ko‘p hollarda bo‘ladi,
bunda M to‘plamda f(x) va g(x) funksiyalarning ishoralari haqida gapirish
mumkin.
1-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida
tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda tenglama
M to`plamda tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi.
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi
(2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning
yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki
17

bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning
yechimi emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
2-teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida
tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda M to`plamida tenglama
tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo`ladi.
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi
(2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning
yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki
bo’ladi. Buni hisobga olsak, bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi
emas. Bu ziddiyat tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
3 -teorema. Agar haqiqiy sonlarning biror M to`plamida
(yoki ) o`rinli bo`lsa, u holda M to`plamida
tenglama tenglamalarning quyidagi sistemasining
birlashmasiga teng kuchli:
Isbot. (2) ning yechimi (1) ning yechimi bo’lishi ravshan. (1) ning yechimi
(2) ning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz. (1) ning
18

yechimi, lekin (2) ning yechimi bo’lmasin. U holda yoki
( yoki ) bo’ladi. Buni hisobga olsak,
bo’ladi, ya’ni (1) ning yechimi emas. Bu ziddiyat
tasdiqning o’rinli ekanligini isbotlaydi.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy son uchun va
o‘rinli, ya’ni tenglamaning chap tomoni 1 dan
katta, o‘ng tomoni 2 dan kichik bo‘la olmaydi. Bundan berilgan tenglamaning
ildizi yo‘q ekanligi kelib chiqadi.
Javob: ildizi yo‘q.
2-misol . tenglamani yeching.
Yechish: Ravshanki, 0, -1, 1 sonlari tenglamaning ildizlari bo‘ladi. Uning
boshqa ildizlari yo‘qligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
funksiyaning toqligidan foydalanamiz, ya’ni sohani tahlil qilish
kifoyadir. Bu sohani va oraliqlarga ajratamiz.
Berilgan tenglamani ko‘rinishda yozib, uning chap va o‘ng
tomonidagi funksiyalarni yuqoridagi oraliqlarda tekshiramiz. oraliqda
bo‘lganligi sababli funksiya faqat manfiy qiymatlar,
funksiya esa faqat musbat qiymatlar qabul qiladi. Demak,
oraliqda berilgan tenglama yechimga ega emas.
19

bo‘lganda funksiya faqat musbat qiymatlar,
funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. Xususan, oraliqda
, demak oraliqda ham berilgan tenglama ildizi mavjud emas.
Agar бўлсa, u holda
bo‘ladi. Bundan berilgan tenglamaning oraliqda ildizi yo‘q ekanligi kelib
chiqadi.
Demak, faqat sonlar tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Javob : .
3 -misol . tenglamaning ildizlarini hisoblang.
Yechish: va hollarni alohida qaraymiz.
1-hol. bo`lsin. U holda bo`ladi.
va bo`lganligi
sababli berilgan tenglama qo`yidagi sistemaga teng kuchli:
Sistemaning 1- tenglamasini yechamiz,
, , . Bu ildiz shartni
qanoatlantiradi, ammo sistemaning 2-tenglamasini qanoatlantirmaganligi
sababli bu holda tenglama yechimga ega emas.
20

2 -hol. bo`lsa, ,
bo`lganligi sababli berilgan tenglama qo`yidagi sistemaga teng
kuchli:
Sistemaning 1- tenglamasidan ildizni topamiz. Bu ildiz sistemaning 2-
tenglamasini qanoatlantiradi. Chunki
Javob:
4 -misol . Tenglamani nechta ildizi bor.
Yechish. Tenglamaning chap qismini shakl almashtirib, funksiyani
o`suvchiligidan foydalanamiz.
Tenglamaning o`ng qismini shakl almashtirib,
U holda berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli
2-tenglamadan ildizni topamiz. Bu ildiz sistemaning 1- tenglamasini
qanoatlantiradi.
Javob:
5 -misol . Tenglamaning ildizlari yig`indisini toping.
21

Yechish. Tenglamaning chap va o`ng qismini shakl almashtiraylik.
. U holda 2-
teoremaga asosan berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli:
ildizni topamiz.
Javob:
3. Funksiyalarning monotonlik xossasidan foydalanish. Bunday yechish
usuli quyidagi tasdiqlarga asoslanadi.
1- tasdiq . Agar funksiya oraliqda uzluksiz va qat’iy monoton
bo‘lsa, u holda tenglama oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega
bo‘ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik. tenglama oraliqda ikkita turli
ildizga ega bo’lsin: . Aniqlik uchun va
qat’iy o’suvchi bo’lsin. U holda , ya’ni ziddiyatga
kelamiz. Bu ziddiyat tasdiqni isbotlaydi.
2- tasdiq . va funksiyalar oraliqda uzluksiz, qat’iy
o‘suvchi, qat’iy kamayuvchi bo‘lsin. U h olda tenglama
oraliqda ko‘pi bilan bitta ildizga ega bo‘ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik. tenglama oraliqda ikkita
turli ildizga ega bo’lsin: Aniqlik
22

uchun bo’lsin. U holda bo’ladi. Agar
ikkinchi tengsizlikni (-1) ga ko’paytirib, birinchisiga qo’shsak quyidagiga ega
bo’lamiz:
, bundan 0<0 ziddiyatga kelamiz. Bu
ziddiyat tasdiqni isbotlaydi.
3- tasdiq . va funksiyalar qat’iy o‘suvchi va o`zaro teskari
funksiyalar bo`lsa, u holda tenglama yoki
tenglamar teng kuchli bo`ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilamiz. Aytaylik (1) ning ildizi, lekin (2) ning
(yoki (3) ning) ildizi bo’lmasin. U holda yoki
yoki ) bo’ladi. Aniqlik uchun bo’lsin. U
holda bo’ladi. Bu va oldingi tengsizlikdan
hosil bo’ladi. Bu esa (1) ning ildizi ekanligiga zid.
Endi (2) ning (yoki (3) ning) ildizi, lekin (1) ning ildizi bo’lmasin. U
holda yoki bo’ladi. Aniqlik uchun
bo’lsin. U holda va
ya’ni va
tengsizliklarni hosil qilamiz. Bu esa (2) ning (yoki (3) ning) ildizi ekanligiga
zid. (haqiqatan ham, agar (2) ning (yoki (3) ning) ildizi bo’lsa, u holda
bo’lishi lozim).
Eslatma . Oraliq , , cheksiz
oraliqlar, kesma, interval, yarim intervallardan iborat bo‘lishi mumkin.
23

1-misol .
tenglamani yeching.
Yechish: Ravshanki, agar
bo‘lsa, tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi
(chunki ). bo‘lganda funksiya uzluksiz va qat’iy
o‘suvchi, demak oraliqda berilgan tenglamaning ko‘pi bilan bitta yechimi
mavjud. tenglamaning ildizi bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Demak bu
yagona ildizdir.
Javob: .
2-misol . tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi kesmadan iborat. Bu
to‘plamda va funksiyalar uzluksiz va qat’iy
kamayuvchi, demak funksiya ham uzluksiz va qat’iy
kamayuvchidir. Shu sababli funksiya har bir qiymatini faqat bitta nuqtada
qabul qiladi. ekanligini tekshirish qiyin emas. Demak,
tenglamaning yagona ildizi bo‘ladi.
Javob: .
3 -misol . tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamani ko`rinishda yozaylik. U holda,
va funksiyalarning har biri o`suvchi
funksiyalardan iborat. funksiyaga teskari funksiyani topaylik.
Buning uchun berilgan funksiyani x ga nisbatan yechaylik va x va y ni o`rinlarini
almashtiraylik.
24

. Demak, va funksiyalar
o`zaro teskari funksiyalar ekan. U holda, 3 – tasdiqqa asosan berilgan tenglama
tenglamaga teng kuchli. Bu tenglamani yechaylik.
Javob :
4. Grafiklardan foydalanish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda uning
chap va o‘ng tomonidagi funksiyalar grafiklarining yeskizini chizish foydalidir. U
holda grafiklar yeskizi sonlar o‘qini tenglama (tengsizlik) yechimlari mavjudligi
ravshan bo‘lgan oraliqlarga qanday ajratish mumkinligini aniqlashga imkon
beradi. Shuni ham aytish kerakki, funksiya grafiging yeskizi yechimni topishga
yordam beradi, javob grafikdan kelib chiqadi deb hulosa qilish mumkin emas,
javobni asoslash kerak.
1-misol . t englamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasi kesmadan iborat.
va funksiya grafiklari yeskizini chizamiz (2-
rasm).
25

2-rasm
Rasmdan ko‘rinadiki, funksiya grafigi to‘g‘ri chiziqdan pastda,
funksiya grafigi esa yuqorida yotmaydi, hamda grafiklar bu to‘g‘ri chiziqqa
har xil nuqtalarda urinadi. Demak, tenglama yechimga ega emas. Shuni isbot
qilamiz. kesmadan olingan istalgan uchun va
Shuningdek, faqat da, e
sa faqat da o‘rinli. Bu esa tenglamaning yechimi yo‘q ekanligini ko‘rsatadi.
Javob: tenglamaning yechimi yo‘q.
26

2.2. HOSILANING PARAMETR QATNASHGAN TENGLAMALARNI
YECHISHGA TATBIQI
1-misol. Ushbu =0 tenglama ikkita turli ildizga
ega bo‘ladigan a ning barcha qiymatlarini toping.
Yechish. uzluksiz funksiyaning o‘sish va
kamayish oraliqlarini topamiz. Buning uchun funksiya hosilasini topamiz:
f ’(x)=12x 3
+12x 2
-12x-12=12x 2
(x+1)-12(x+1)=12(x 2
-1)(x+1)=12(x-1)(x+1) 2
.
14-rasm
Demak, da ; va da
; da . Shunday qilib, funksiya
nuqtada lokal minimumga ega va ga teng. Bundan tashqari
funksiya da kamayuchi, da o‘suvchi, (14-rasm).
Bundan ko‘rinadiki, berilgan tenglama ikkita turli ildizga bo‘lishi uchun
to‘g‘ri chiziq funksiya grafigini ikki nuqtada kesib o‘tishi lozim.
Bu esa , ya’ni da o‘rinli bo‘ladi.
27

2-misol. a ning har bir qiymati uchun tenglama haqiqiy
ildizlari sonini toping.
Yechish . funksiyaning monotonlik oraliqlarini
topamiz. bo‘lganligi sababli,
f(x) funksiya x <3 a da kamayuvchi, x >3 a da o‘suvchi bo‘lib, x =3 a nuqtada lokal
maksimumga ega bo‘ladi. Funksiyaning shu nuqtadagi qiymati f(a )=81 a 4
-4 a  27 a 3
-
2=-3 a 4
-2<0 va . Shu sababli f(x)=0 tenglama (-  ;3 a ) va (3 a ;+()
oraliqlarda bittadan ildizga ega. Demak, berilgan tenglama a ning ixtiyoriy
qiymatida ikkita ildizga ega bo‘ladi.
3-misol. a ning har bir qiymati uchun 2 x 3
-3 ax 2
+1=0 tenglama haqiqiy
ildizlari sonini toping.
Yechish. f(x)= 2 x 3
-3 ax 2
+1 funksiyaning monotonlik oraliqlarini topamiz. Bu
funksiyaning hosilasini topamiz f ’(x)=6x 2
-6ax=6x(x-a) . Funksiyaning statsionar
nuqtalari x =0, x=a lardan iborat. Bunda uch hol bo‘lishi mumkin. 1-hol: a =0, bu
holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. 2-hol: a <0, bu holda x  (-  ;a) da
f ’(x)> 0, demak f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x  ( a ;0) da f ’(x)< 0, f(x) funksiya
kamayuvchi bo‘ladi; x  (0;+  ) da f ’(x) >0, f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi.
Qaralayotgan funksiya x=a <0 nuqtada f(a)=-a 3
+1>1 lokal maksimumga, x =0
nuqtada f( 0)=1 lokal minimumga yerishadi. Bundan, agar a <0 bo‘lsa, tenglama
yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. 3-hol: a >0, x  (-  ;0) da f ’(x) >0,
demak f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi; x  (0; a ) da f ’(x)< 0, f(x) funksiya kamayuvchi
bo‘ladi; x  ( a ;+  ) da f ’(x) >0, f(x) funksiya o‘suvchi bo‘ladi. Qaralayotgan funksiya
x=a nuqtada f(a)=-a 3
+1 lokal minimumga, x =0 nuqtada f( 0)=1 lokal maksimumga
yerishadi. Agar 0< a <1 bo‘lsa, u holda f(a) >0 bo‘lib, tenglama yagona yechimga
ega bo‘ladi. Agar a >1 bo‘lsa, u holda f(a) <0 bo‘lib, tenglama uchta turli yechimga
ega bo‘ladi. Agar a =1 bo‘lsa, u holda f(a) =0 bo‘lib, berilgan tenglama uchta, lekin
ikkitasi ustma-ust tushadigan ildizga ega bo‘ladi. Shunday qilib, berilgan tenglama
28

a <1 da bitta haqiqiy yechimga, a =1 da ikkitasi ustma-ust tushuvchi uchta ildizga,
a >1 da turli uchta ildizga ega bo‘ladi.
29

2.3.Koshi- Bunyakovskiy – Svarts Tengsizligi Yordamida Ba`Zi
Nostandart Tenglamalarni Yechish.
Koshi- Bunyakovskiy – Svarts tengsizligi. Faraz qilaylik
va - haqiqiy sonlarning istalgan ketma-ketliklari bo`lsin. U holda
qo`yidagi tengsizlik o`rinli:
tenglik faqat
bo`lganda bajariladi.
Isboti. Tengsizlikni vektorlarning xossalaridan foydalanib isbotlaymiz.
Bu yerda va vektrlarni tanlab olamiz.
Bundan ko`rinib turibdiki,
Bizga ma`lumki , vektorlarning skaliyar ko`paytmasi ularning uzunliklari
ko`paytmalari hamda ular orasidagi burghak kosinusiga ko`paytmasiga teng, ya`ni
Bu yerda - burchak ikki vector orasidagi burchak. Endi
ekanligini hisobga olsak, tengsizlikka ega bo`lamiz. Bu
30

tengsizlikning har ikkala tomonini kvadratga ko`tarib yuborsak,
yoki
tengsi
zlikka ega bo`lamiz.
Tengsizlik faqat ikki vektorning mos elementlari proporsional bo`lgandagina
bajariladi.
Biz quyida tengsizlikda tenglik sharti bajarilishidan bir nechta nostandart
tenglamalarni yechish usullarini keltirib o`tamiz.
1. Tenglamani yeching .
Yechish. ko`rinishda
belgilab olamiz. U holda yuqoridagi tengsizlikning holiga ko`ra
tenglik faqat da bajarilishini hisobga olsak,
ekanini toppish mumkin.
Javob :
31

2. Tenglamani yeching.
Yechish. Bunda ham belgilash
kiritsak va tenglik belgisi bajarilishini e`tiborga olsak,
yechimga ega bo`lamiz.
Javob:
3. Tenglamani yeching.
Yechish. Ushbu almashtirishdan
so`n
tengsizlikka ega bo`lamiz. Tenglik belgisi bo`lganda
bajariladi. Bundan yechimlarga ega bo`lamiz.
Javob:
4. Tenglamani yeching.
32

Yechish. Xuddi yuqorilarga o`xshagan
belgilash orqali ushbu
yechimlarga ega bo`lamiz.
Javob :
5. Tenglamani yeching.
Yechish.
deb
belgilash kiritamiz. U holda
tengsizlik o`rinli. Bundan qo`yidagilarga ega bo`lamiz:
33

Bu esa masala shartiga zid. Shu sababli tenglama yechimga ega emas.
6. Tenglamani yeching.
Yechish. belgilashdan
so`ng yechimgaega
bo`lamiz.
Javob :
7. Tenglamalar sistemasini yeching.
34

Yechish. Belgilashni qo`yidagicha kiritamiz:
U holda tenglik belgisining bajarilishini inobatga olsak,
larga ega bo`lamiz. Topilgan larni sistemaning ikkinchi tengligiga qoysak,
ekanligini topish
mumkin. U holda biz izlayotgan yechimlar
ko`rinishda bo`ladi.
Javob :
8. Tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. larni
ko`rinishida tanlab olish hisobiga
35

ifodaga ega bo`lamiz. Lekin shartga ko`ra tenglik bo`lishi kerak, uholda
tenglik faqat bo`lganda bajarilishidan
ekanligini topamiz.
Javob:
XULOSA
Tenglama va tengsizliklar geometrik usulda yechish bu algebraiksizliklarni grafik
orqali tasvirlash va vizual tahlil qilish vositasidir. Ushqo'shimcha orqali
tenglamalarning ildizlari va tengsizliklarning yechimlari oraliqlari koordinata
tekisligida aniq ko'rinadi. Grafik usul o'quvchiga yordamni ko'rsatish, balki ko'rish
va yordam beradi.
Geometrik belgilar ayniqsa:
 chiziqli va kvadratik tenglama/tengsizliklar,
36

 tenglamalar tizimi,
 noaniq yechimlar va cheksiz to'plamli katta amaliy operatsiya ega.
, bu usul turli grafik dasturlar (GoGebra, Desmos, Phon) orqali yanada qulay va tez
u orqali zamonaviy ta'limga ham mos keladi. Grafik matematik matematikani
osonlashtirish, balki uni ko'rgazmali va qiziqarli qiladi.
Xulosa qilib aytganda , tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish —
bu zamonaviy, intuitiv va samarali metod bo'lib, nazariy bilimlarni amaliyot bilan
bog'laydi.
Nostandart tenglamalar xilma xil bo‘lgani singari, uni yechish usullari ham
turlichadir. Nostandart tenglamalarni qaysidir ma’noda “standartlashdirish”, ya’ni
ularni yechish usullari bo‘yicha klassifikatsiyalash, yechish usulini ilmiy asoslash
matematikaning vazifalaridan biridir.
37

ADABIYOTLAR RО‘YXATI
1. Algebra va analiz asoslari:Akad.litseylar uchun darslik/ A.U.Abduhamidov,
H.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.H.Husanov [H.A.Nasimovning umumiy
tahriri ostida]; O`zbekiston Respublikasi Oliy va o`rta maxsus ta`lim
vazirligi, O`rta maxsus kasb-hunar ta`limi markazi. 8-nashr.-T.:
“O`qituvchi” NMIU, 2009. Q.I. -400b.
2. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1,2 qism:
1994 .-416b.
3. Oлеxник С.Н., Пoтaпoв M.K. Нестaндaртные метoды решения
урaвнений и нерaвенств. M .: MГУ , 1991,-144 с .
4. Вaвилoв В.В. и др. Зaдaчи пo мaтемaтике. Нaчaлa aнaлизa.- M.:Нaукa.
1990.,-608с.
5. Гальперин И.М, Габович И.Г «Использование векторного неравенства
Коши-Буняковского для решения задач по алгебре»// Математика в
школе №2 1991г
6. Генкин Г.З. Геометрические решения негеометрических задач. М.
Просвещение. 2007.-79с.
7. Супрун В.П. Математика для старшеклассников. Нестандартные
методы решения задач. – М. Книжный дом «Либриком». 2009.-272с.
8. Тургунбаев Р.М. Кошназаров Р. Математик анализнинг баъзи
элементар математика масалаларини ечишга татбиқи. Т.ТДПУ. 2008
38

Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish

O'xshash dokumentlar