Umumiy oʻrta taʼlim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini oʻqitish metodikasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	100000UZS
Hajmi	222.1KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	05 Dekabr 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Diplom ishlar
Fan	Algebra

Sotuvchi

Shavkat

Ro'yxatga olish sanasi 04 Aprel 2024

110 Sotish

Umumiy oʻrta taʼlim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini oʻqitish metodikasi

Sotib olish

O ZBEKISTON RESPUBLIKASI ʻ MAKTABGACHA VA MAKTAB
TA’LIMI VAZIRLIGI
A.AVLONIY NOMIDAGI PEDAGOGLARNI KASBIY RIVOJLANTIRISH
VA YANGI METODIKALARGA O RGATISH MILLIY-TADQIQOT
ʻ
INSTITUTI
Matematika fanini o qitish huquqini berish bo yicha pedagogik
ʻ ʻ
va kasbiy qayta tayyorlash kursi
32 8- guruh tinglovchisi
Sultonova Xurshida Nazirjon qizining
“ Umumiy o rta ta lim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida
ʻ ʼ
elementar funksiya bobini o qitish metodikasi
ʻ ” mavzusidagi
BITIRUV ISHI
Ilmiy rahbar: Rasulov M.
Toshkent – 2024

ANNOTATSIYA
Mazkur diplom ishi "Umumiy o‘rta ta’lim maktablari 10-sinf Algebra va
analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini o‘qitish metodikasi" mavzusiga
bag‘ishlangan. Ishda algebra va analiz asoslari kursining o‘quv dasturida elementar
funksiya bobining tutgan o‘rni, uning ahamiyati va o‘quvchilarning matematik
fikrlashini rivojlantirishdagi roli o‘rganiladi.
Diplom ishining birinchi bo‘limida elementar funksiyalar tushunchasining
nazariy asoslari va ularning o‘quv dasturidagi o‘rni tahlil qilinadi. Ikkinchi
bo‘limda esa elementar funksiyalarni o‘qitishda qo‘llaniladigan tasviriy va grafik
usullar, interaktiv yondashuvlar, amaliy topshiriqlarni ishlab chiqish metodikasi,
shuningdek, bilimlarni baholash usullari ko‘rib chiqiladi.
Ushbu ishning natijalari o‘qituvchilar uchun elementar funksiyalarni
o‘qitishda samarali metodik yondashuvlarni qo‘llash bo‘yicha tavsiyalarni o‘z
ichiga oladi. Ishda taqdim etilgan metodlar va tavsiyalar o‘quvchilarni matematik
bilimlarini mustahkamlash va ularning mustaqil fikrlash qobiliyatini
rivojlantirishga xizmat qiladi.
2

MUNDARIJA:
KIRISH ................................................................................................................. 4
I-BOB. ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARI KURSIDA ELEMENTAR
FUNKSIYALARNI O‘RGANISHNING NAZARIY ASOSLARI
1.1. Algebra va analiz asoslari kursining umumiy o‘quv dasturi va tarkibi........... 7
1.2. Elementar funksiyalar tushunchasining nazariy asoslari .................................
22
1.3. Matematik fikrlashni rivojlantirishda elementar funksiyalarni o‘rganishning
o‘rni………………………………………………………………………………
26
II-BOB. ELEMENTAR FUNKSIYALARNI O‘QITISHNING METODIK YONDASHUVLARI
2.1. Tasviriy va grafik usullardan foydalanish metodikasi....................................
30
2.2. Amaliy masalalar va topshiriqlarni ishlab chiqish metodikasi………...…….
34
2.3. O‘qitish jarayonida interaktiv yondashuvlarni qo‘llash………...…………...
38
2.4. O‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini baholash usullari...........................
43
XULOSA…………...……………………………………………………….…... 50
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR............................................................. 52
3

KIRISH.
Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi. Umumiy o‘rta ta’lim maktablarida
algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalar bobini o‘qitish zamonaviy
ta’lim jarayonining ajralmas qismi bo‘lib, nafaqat o‘quvchilarning nazariy
bilimlarini mustahkamlash, balki ularning amaliy fikrlash qobiliyatlarini
rivojlantirishda ham muhim o‘rin tutadi. Elementar funksiyalar bobida chiziqli,
kvadrat, logarifmik va eksponensial funksiyalar kabi asosiy matematik
tushunchalarni o‘rgatish orqali o‘quvchilarda aniq tahlil qilish, grafik va algebraik
usullar bilan ishlash ko‘nikmalari shakllanadi. Bu esa o‘quvchilarning umumiy
matematik savodxonligi va hayotiy muammolarni hal qilish qobiliyatini
rivojlantirish uchun zarurdir.
Bugungi kunda zamonaviy pedagogik texnologiyalarning jadal rivojlanishi
ta’lim jarayonida interaktiv usullardan keng foydalanishni talab etmoqda.
Interaktiv metodlar yordamida o‘quvchilar darsda faol ishtirok etib, bilimlarni
mustaqil o‘zlashtiradi, bu esa ularning o‘quv motivatsiyasini oshiradi. Ayniqsa,
elementar funksiyalarni o‘rgatishda tasviriy va grafik usullardan foydalanish orqali
mavzularni oson tushunishga yordam beruvchi yondashuvlar ishlab chiqish
zarurati dolzarbdir.
Shuningdek, funksional savodxonlikni oshirish bugungi kundagi ta’lim
tizimining asosiy vazifalaridan biri bo‘lib, o‘quvchilarning nazariy bilimlarini
amaliy hayotga tadbiq eta olishlarini ta’minlashni talab qiladi. Elementar
funksiyalarni o‘rganish orqali o‘quvchilar iqtisodiyot, texnologiya va boshqa real
sohalardagi jarayonlarni tahlil qilish, modellashtirish va yechim topish
ko‘nikmalarini rivojlantiradilar.
Prezidentning 2020-yil 6-noyabrdagi “Matematika fanini rivojlantirish va
ta’lim sifatini oshirish chora-tadbirlari to‘g‘risida 1
”gi PQ-4884-sonli qarori mazkur
mavzuning dolzarbligini yanada oshiradi. Ushbu qaror ta’lim sifatini oshirish,
1
Prezidentning 2020-yil 6-noyabrdagi “Matematika fanini rivojlantirish va ta’lim sifatini oshirish chora-tadbirlari
to‘g‘risida ”gi PQ-4884-sonli qarori
4

zamonaviy dars metodlarini joriy etish, o‘qituvchilarning malakasini oshirish va
o‘quvchilar bilimini chuqurlashtirishni ta’minlashga xizmat qiladi.
Mazkur ish dolzarbligi bilan ta’lim jarayonini samarali tashkil etishga,
matematik tafakkurni rivojlantirishda metodik yondashuvlarni takomillashtirishga
qaratilgan. Shu bilan birga, algebra va analiz asoslari kursining o‘qitish sifati
o‘quvchilarning keyingi fanlarni o‘zlashtirishidagi poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
Bu esa matematik savodxonlikni keng miqyosda oshirishga ko‘maklashadi va
ta’limni modernizatsiya qilish jarayonining bir qismi sifatida muhim ahamiyat
kasb etadi.
Bitiruv ishi mavzusining maqsadi : Algebra va analiz asoslari kursida
elementar funksiyalar bobini o‘qitishda samarali metodik yondashuvlarni ishlab
chiqish va o‘qituvchilarga ushbu bobni o‘qitishda foydalanish uchun amaliy
tavsiyalar taqdim etish.
Bitiruv ishi mavzusi ning vazifalari :
1. Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalar bobining o‘rni va
ahamiyatini aniqlash.
2. Elementar funksiyalarni o‘qitishda qo‘llaniladigan tasviriy va grafik
usullarni tahlil qilish.
3. Interaktiv yondashuvlar va amaliy topshiriqlarni ishlab chiqish.
4. Elementar funksiyalarni o‘qitish jarayonini samaradorligini baholash va
natijalarni tahlil qilish.
Bitiruv ishi mavzusi ning obyekti . Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining
algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalarni o‘qitish jarayoni.
Bitiruv ishi mavzusining predmeti . Elementar funksiyalar bobini
o‘qitishning metodik yondashuvlari va samaradorligi.
Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlar va
normativhuquqiy hujjatlarning qisqacha o‘zaro tahlili. Bitiruv ishini
tayyorlashda Prezident qarorlari, O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim
to‘g‘risida”gi qonuni, davlat ta’lim standartlari va o‘quv dasturlari asos sifatida
qabul qilingan.
5

Shuningdek, matematikani o‘qitish bo‘yicha ilmiy-uslubiy maqolalar va
monografiyalar, algebra va analiz asoslari darsliklari o‘rganildi. Normativ-huquqiy
hujjatlar ta’lim jarayonini tartibga solish, sifatni oshirish va o‘quvchilarning bilim
ko‘nikmalarini rivojlantirish uchun muhim metodik manba bo‘lib xizmat qildi.
Tahlil natijalari shuni ko‘rsatadiki, matematik ta’limni takomillashtirish
bo‘yicha qabul qilingan qarorlar va hujjatlar bu sohada izchil rivojlanish uchun
mustahkam asos yaratmoqda. Mazkur ishda ushbu hujjatlar mazmuni mavzuga
mos ravishda qo‘llanilib, zamonaviy metodik yondashuvlar asosida tahlil qilingan.
Bitiruv ishi mavzusining tuzilishi va tasnifi . Mazkur bitiruv malakaviy
ishi kirish, ikki asosiy bob, xulosa va tavsiyalar, shuningdek, foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
 Kirishda mavzuning dolzarbligi, maqsadi, vazifalari, obyekti va predmeti
yoritiladi.
 Birinchi bob algebra va analiz asoslari kursining nazariy asoslariga
bag‘ishlanadi.
 Ikkinchi bob elementar funksiyalarni o‘qitish metodikasi va
samaradorligi tahliliga qaratilgan.
 Xulosa va tavsiyalarda ish natijalari va amaliy foydalanish bo‘yicha
takliflar beriladi.
6

I-BOB. ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARI KURSIDA ELEMENTAR
FUNKSIYALARNI O‘RGANISHNING NAZARIY ASOSLARI
1.1. Algebra va analiz asoslari kursining umumiy o‘quv dasturi va tarkibi
Algebra va analiz asoslari kursi o‘quvchilarga matematika va uning turli
sohalaridagi asosiy tushunchalarni o‘rgatishga qaratilgan. Bu kurs akademik litsey
va kasb-hunar kollejlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, matematik bilimlarni
chuqurlashtirish va o‘quvchilarga amaliy vazifalarni yechishda matematikaning
asosiy vositalarini o‘rgatadi.
Algebra va analiz asoslari k ursning umumiy maqsadi 2
:
Algebra va analiz asoslari kursi o‘quvchilarga matematikaning asosiy
tushunchalarini (funksiya, tenglama, hosila, integral) va ular bilan bog‘liq nazariy
metodlarni o‘rgatishni, o‘quvchilarda matematik fikrlash va mustaqil tahlil qilish
ko‘nikmalarini rivojlantirishni maqsad qiladi.
Kursning tarkibi:
1. To‘plamlar nazariyasi va haqiqiy sonlar :
o To‘plamlar va ularning xususiyatlari.
o Haqiqiy sonlar, sonlar to‘plamining xossalari.
o Raqamlar orasidagi munosabatlar va arifmetik amallar.
To‘plamlar va ularning xususiyatlari .
To‘plam — matematikada to‘plamlar, o‘zaro aloqasi bo‘lgan yoki bir-biriga
bog‘langan obyektlar (elementlar) to‘plamidir. To‘plamlar elementlaridan iborat
bo‘ladi, va har bir element faqat bir marta mavjud bo‘lishi kerak. To‘plamlar
nazariyasi matematikada juda muhim o‘rin tutadi, chunki boshqa barcha matematik
tushunchalar va operatsiyalar to‘plamlar asosida shakllanadi.
 To‘plamni belgilash: To‘plam odatda katta harf bilan belgilanadi, va
elementlari qavs ichida yoziladi. Masalan, A = { 1,2,3,4 }
bu to‘plamning elementlari1,2,3,4.
2
X. A. Shodiev, "Algebra va analiz asoslari".
7

To‘plamlarning turlari:
 Bo‘sh to‘plam: Bo‘sh to‘plamda hech qanday element mavjud emas.
Bo‘sh to‘plam ∅ yoki { }
bilan belgilanadi.
 To‘liq to‘plam: Ma'lum bir muhitdagi barcha elementlarni o‘z ichiga
olgan to‘plam to‘liq to‘plam deb ataladi va
U bilan belgilanadi.
 Kengaytma: Agar A
to‘plami B
to‘plamining barcha elementlarini o‘z
ichiga olsa, u holda
A⊆ B deyiladi.
 Qism to‘plam : Agar A
to‘plami B
to‘plamining barcha elementlarini o‘z
ichiga olsa va
A≠B , unda A to‘plami B to‘plamining qism to‘plami bo‘ladi.
To‘plamlar o‘rtasidagi munosabatlar:
 Birlashma:
A∪B to‘plamlarining birlashmasi — bu ikkala to‘plamdagi
barcha elementlar.
 Kesish:
A∩ B to‘plamlarining kesishmasi — bu ikkala to‘plamda ham
mavjud bo‘lgan elementlar.
 Farq:
A− B to‘plamlarining farqi — bu faqat A to‘plamida mavjud bo‘lgan,
lekin
B to‘plamida yo‘q elementlar.
 Simmetrik Farq:
AΔB to‘plamlarining simmetrik farqi — bu A va B
to‘plamlarining farqi, lekin o‘zaro kesishmasi yo‘q.
Misol:

A={1,2,3 } va B={2,3,4 } u holda:
o Birlashma:
A∪B={1,2,3,4 }
o Kesish: A ∩ B = { 2,3 }
o Farq:
A− B= {1}
o Simmetrik Farq: AΔB = { 1,4 }
Haqiqiy sonlar, sonlar to‘plamining xossalari :
Haqiqiy sonlar to‘plami (
R ) — bu barcha haqiqiy sonlar to‘plamidir.
Haqiqiy sonlar to‘plami barcha butun sonlar, ratsional sonlar (ikki butun sonning
nisbati), va irratsional sonlarni o‘z ichiga oladi. Haqiqiy sonlar to‘plami sonlarning
8

eng keng to‘plamidir va barcha sonlar orasida yerda mavjud bo‘lgan, o‘lchovli va
o‘zgarmaydigan o‘lchovlarga asoslanadi.
 Butun sonlar (Z ) : Bu sonlar to‘plami {… ,− 3,− 2,−1,0,1,2,3 ,… } shaklida
ifodalanadi.
 Ratsional sonlar (
Q ) : Ratsional sonlar — bu ikki butun sonning nisbati,
ya'ni
a
b shaklida ifodalanadi, bu yerda a , b
butun sonlar va b ≠ 0 .
Misol: 1
2 , − 3 , 0.5 , 7
9 — ratsional sonlar.
 Irratsional sonlar : Bu sonlar ratsional bo‘lmagan sonlardir. Misollar
sifatida
√2,π,e kabi sonlar keltirilishi mumkin.
Misol:
π≈3.14159 ,e≈2.71828 ,√2≈1.414 — irratsional sonlar.
 Qiyoslash: Haqiqiy sonlar o‘rtasida qiyoslash mumkin, ya'ni har qanday
ikki haqiqiy son aaa va bbb bo‘lsa, quyidagi qiyoslashlar to‘g‘ri bo‘ladi:
o a > b , a < b , yoki a = b .
Misol:
3>2,−1<0,π>3.
Raqamlar orasidagi munosabatlar va arifmetik amallar .
Haqiqiy sonlar to‘plami raqamlar orasida arifmetik amallarni bajarishga
imkon beradi. Bu amallar quyidagi turlarni o‘z ichiga oladi:
 Qo‘shish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikki sonni qo‘shish natijasida yana
haqiqiy son hosil bo‘ladi. Masalan, a + b
bu haqiqiy sonlar bo‘lsa, natija yana
haqiqiy son bo‘ladi.
Misol: 3 + 5 = 8 , π + 2 = 5.14159 .
 Ayirish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikki sonni ayirish natijasida yana
haqiqiy son hosil bo‘ladi. Masalan, a − b
bu haqiqiy sonlar bo‘lsa, natija yana
haqiqiy son bo‘ladi.
Misol: 7 − 4 = 3 , π − 1 = 2.14159 .
 Ko‘paytirish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikki sonni ko‘paytirish natijasida
yana haqiqiy son hosil bo‘ladi.
Misol:
3×4=12 ,π×2=6.28318 .
9

 Bo‘lish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikkita sonni bo‘lish operatsiyasi ham
amalga oshiriladi, lekin bo‘lishda divisor (bo‘luvchi) nol bo‘lmasligi kerak.
Misol: 10 ÷2=5,π÷2≈1.5708 .
 Daraja: Haqiqiy sonning darajasini olish operatsiyasi ham amalga
oshiriladi. Masalan, aba^bab ko‘rsatilgan holda.
Misol:
23=8π2≈9.8696 .
 Kengaytma: Sonning ildizini olish ham arifmetik amaldir. Masalan,
√a —
sonning ildizini olish operatsiyasi.
Misol:
√ 9 = 3 , √ 2 ≈ 1.414 .
To‘plamlar nazariyasi matematikada asosiy tushuncha bo‘lib, turli
to‘plamlar o‘rtasida aloqalar, operatsiyalar va ularning xususiyatlarini o‘rganish
imkonini beradi. Haqiqiy sonlar esa, matematikada eng keng tarqalgan va muhim
to‘plamdir, ularning arifmetik amallari orqali barcha matematika tarmoqlari
rivojlanadi. To‘plamlar nazariyasi va haqiqiy sonlar haqidagi tushunchalar
matematikaning asosiy poydevori hisoblanadi.
2. Algebraik funksiyalar :
o Funksiya tushunchasi va uning xossalari.
o Chiziqli funksiyalar, ular bilan bog‘liq masalalar.
o Kvadrat tenglama va uning yechish usullari.
Funksiya tushunchasi va uning xossalari :
Funksiya — bu ikki to‘plam o‘rtasidagi aloqani ifodalovchi matematik
tushuncha bo‘lib, har bir kirish qiymatiga (argument) faqat bitta chiqish qiymati
(funksiya qiymati) mos keladi. Agar
f:A→ B bo‘lsa, demak f funksiyasi A
to‘plamidan
B to‘plamiga ketadigan funksiya bo‘lib, har bir a∈A uchun
f ( a ) ∈ B
bo‘ladi.
Funksiya quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:
 Grafik shaklida:
y= f(x), bu yerda x — kirish qiymati, y esa chiqish
qiymatidir.
 Matematik ifoda shaklida
:f:A→ B , bu yerda A — funksiyaning aniqlanish
soxasi,
B esa funksiyaning qiymatlari to‘plami.
10

Funksiyaning asosiy xossalari:
 Funksiya uchun barcha mumkin bo‘lgan kirish qiymatlari to‘plami. Misol
uchun, f(x)= 1
x funksiyasi uchun aniqlanish sohasi x≠0.
 Rasmiy sohasi: Funksiya qiymatlari to‘plami, ya'ni funksiya qiymatlarini
olish mumkin bo‘lgan barcha sonlar.
 Har bir x
qiymatiga faqat bitta y
qiymati mos keladi.
Misol:
 Agar
f(x)= 2x+3, unda bu funksiya to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi va uning
aniqlanish sohasi
R (haqiqiy sonlar to‘plami), qiymatlar to‘plami ham R .
Chiziqli funksiyalar, ular bilan bog‘liq masalalar :
Chiziqli funksiya — bu funksiyalar bir yoki bir nechta o‘zgaruvchilardan
iborat bo‘lgan va o‘zgaruvchining darajalari musbat butun sonlar bo‘lgan ifodalar
bilan ifodalanadi. Chiziqlilar quyidagi shaklda ifodalanadi:
f(x)= anxn+an−1− xn−1+⋯+a1x+a0
Bu yerda a
0 , a
1 , … , a
n — chiziqlining koeffitsiyentlari, x
— o‘zgaruvchi va n
— chiziqlining darajasi.
Chiziqlilarning xossalari:
 Chiziqli funksiyaning darajasi eng yuqori darajadagi o‘zgaruvchining
koeffitsiyentidir.
 Chiziqlilar haqiqiy va kompleks sonlar to‘plamlarida aniqlanishi mumkin.
 Chiziqlining grafigi to‘g‘ri yoki burilgan chiziq bo‘lishi mumkin.
Misol: f ( x ) = x 3
− 4 x 2
+ 2 x − 5
chiziqliida daraja
n=3 , ya'ni bu kubik chiziqli.
Chiziqli bilan bog‘liq masala:
 Masala: f ( x ) = x 3
− 4 x 2
+ 2 x − 5
chiziqliining ildizlarini toping.
Yechim: Chiziqlining ildizlarini topish uchun
f(x)=0 bo‘lishi kerak:
x 3
− 4 x 2
+ 2 x − 5 = 0
Ildizlarni analitik yoki raqamli usullar bilan topish mumkin. Masalan, qoldiq
va bo‘lish usulidan foydalanib, chiziqlini oddiyroq chiziqlilarga ajratish mumkin.
Kvadrat tenglama va uning yechish usullari :
11

Kvadrat tenglama — bu ikkilamchi darajali tenglama bo‘lib, umumiy
ko‘rinishdagi tenglama:
ax 2
+ bx + c = 0
bu yerda a,b,c — real sonlar, a ≠ 0 ,
va x
— noma'lum. Kvadrat tenglama
odatda ikki ildizga ega bo‘ladi, lekin ba'zi holatlarda ildizlar bitta yoki haqiqiy
bo‘lmasligi mumkin.
Kvadrat tenglamaning yechish usullari:
1. Kvadrat tenglamaning ildizlari quyidagi formuladan topiladi:
x=− b±√b2− 4ac
2a
Bu yerda ±
belgi ikkita ildizni bildiradi. Agar diskriminant ( b 2
− 4 ac )
musbat
bo‘lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. Agar diskriminant nolga teng
bo‘lsa, tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. Agar diskriminant manfiy
bo‘lsa, ildizlar kompleks sonlar bo‘ladi.
Misol:
 Tenglama:
2x2−4x−6= 0.
Kvadrat formulasi yordamida yechamiz:
a= 2,b=− 4,c=− 6.
o Diskriminant: D = ( − 4 ) 2
− 4 ( 2 ) ( − 6 ) = 16 + 48 = 64.
o Ildizlar:
x = − ( − 4 ) ±
√ 64
2 ( 2 ) = 4 ± 8
4
o
x
1 = 4 + 8
4 = 3 va x
2 = 4 − 8
4 = − 1
Shu bilan tenglamaning ildizlari
x1= 3va x2=−1
2. Agar kvadrat tenglama oddiy ifodalarga ajraladigan bo‘lsa, uni faktorlar
shaklida yozish mumkin.
Misol: Tenglama
x 2
− 5 x + 6 = 0. Bu tenglamani faktorlashtirish:
( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0
Ildizlar
x1= 2va x2=3.
12

3. Agar diskriminant manfiy bo‘lsa, ildizlar kompleks sonlar shaklida
bo‘ladi. Masalan:
 Tenglama: x2+4= 0.
 Diskriminant:
D=02−4(1)(4)=−16.
 Ildizlar:
x = − 0 ±
√ − 16
2 ( 1 ) = ± 4 i
2 = ± 2 i .
 Bu yerda
i — kompleks birlikdir (i2=−1).
Algebraik funksiyalar matematikaning asosiy bo‘limlaridan biri hisoblanadi.
Funksiya tushunchasi va uning xossalari, chiziqli funksiyalar va kvadrat
tenglamalarni yechish usullari matematik masalalarni hal qilishda keng
qo‘llaniladi. Chiziqlilar va kvadrat tenglamalar algebraik tahlilning muhim
qismlari bo‘lib, ular amaliyotda ko‘p uchraydi va turli matematik modellarda
qo‘llaniladi.
3. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar :
o Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning xossalari.
o Exponential tenglamalar va ularni yechish usullari.
o Logarifmlar va ularning algebraik xossalari.
Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning xossalari ;
 Ko‘rsatkichli funksiya f ( x ) = ax
(bu yerda a > 0 , a ≠ 1 ¿
— bu funksiya,
o‘zgaruvchi
x ning ko‘rsatkichi sifatida ishlaydi. U ko‘pincha o‘sish yoki kamayish
jarayonlarini modellashda qo‘llaniladi.
o Xossalari:
 Agar a > 1 ,
funksiya o‘sadi.
 Agar
0<a<1, funksiya kamayadi.

f(0)=1va f(x)→ ∞ (agar a > 1
) yoki f ( x ) → 0
(agar 0 < a < 1
).
 Logarifmik funksiya
f(x)= log ax (bu yerda a>0,a≠1 ) — ko‘rsatkichli
funksiya bilan bog‘liq bo‘lib,
ay= x bo‘lgan y
qiymatini topadi. Logarifm funksiyasi
o‘zgaruvchi
x ning logarifmiga tengdir.
o Xossalari:
13

log a1= 0 va log
a a = 1.
 Agar
a>1, funksiya o‘sadi; agar 0<a<1, funksiya kamayadi.
Exponential tenglamalar va ularni yechish usullari :
Exponential tenglama — bu tenglama ax=b shaklida bo‘ladi, bu yerda
a > 0 , a ≠ 1 va b > 0.
 Misol:
2 x
= 8
o Tenglamani yechish uchun:
2x= 23⇒ x=3.
 Yechish usullari:
o Ko‘rsatkichli tenglama bo‘yicha, ikkala tomonni bir xil ko‘rsatkichga
keltirib yechish mumkin.
o Agar logarifm qo‘llanilsa, tenglamaning har ikki tomoniga logarifm olish
mumkin.
Logarifmlar va ularning algebraik xossalari :
Logarifmlar quyidagi xossalarga ega:
1. Mahsulotning logarifmi:
log
a ( xy ) = log
a x + log
a y .
2. Bo‘linmaning logarifmi:
log
a
( x
y ) = log
a x − log
a y .
3. Darajaning logarifmi:
log a(xn)=nlog ax.
4. Tabiiy logarifm (e asosidagi):
log ex=lnx .
Agar log
2 8 = 3 ,
demak
23=8 , bu yerda 8
ning logarifmi 2 asosida 3
ga tengdir.
Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar algebra va analizda muhim o‘rin
tutadi. Ularning xossalari va yechish usullari turli matematik muammolarni hal
qilishda keng qo‘llaniladi.
4. Trigonometrik funksiyalar
o Trigonometriya asoslari.
14

o Trigonometrik funksiyalar: sinus, kosinus, tangens va boshqalar.
o Trigonometriya formulalari va ularni masalalarda qo‘llash.
Trigonometriya asoslari :
Trigonometrik funksiyalar — bu burchaklar bilan bog‘liq bo‘lgan matematik
funksiyalar bo‘lib, ular geometriyada, ayniqsa, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar va
aylana bilan bog‘liq hisob-kitoblarda qo‘llaniladi. Trigonometriya asosida quyidagi
asosiy tushunchalar mavjud:
 Burchaklar: Trigonometriyada burchaklar radian yoki daraja birligida
o‘lchanadi. 1 radian — bu burchak, u to‘g‘ri burchakli uchburchakning bir tomoni
uzunligi teng bo‘lgan doira bo‘ylab harakat qilganida hosil bo‘lgan burchakdir.
 To‘g‘ri burchakli uchburchak: To‘g‘ri burchakli uchburchakda bir burchak
90 °
ga teng. Ushbu uchburchakda trigonometrik funksiyalarni aniqlash juda oson.
Trigonometrik funksiyalar: sinus, kosinus, tangens va boshqalar :
Trigonometrik funksiyalarni to‘g‘ri burchakli uchburchaklarda aniqlash
mumkin. Har bir trigonometrik funksiya uchburchakdagi tomonlar bilan bog‘liq.
 Sinus (sin): To‘g‘ri burchakli uchburchakda sinus, burchakka qarshi
tomonning gipotenusaga bo‘linmasi sifatida aniqlanadi.
sinθ = qarshi tomon
gipotenusa
 Kosinus (cos): Kosinus, burchakka qo‘shni tomonning gipotenusaga
bo‘linmasi sifatida aniqlanadi.
cosθ = qo ‘shni tomon
gipotenusa
Tangens (t g ): Tangens, sinus va kosinusning nisbatiga teng bo‘ladi.
tgθ = sinθ
cosθ = qarshi tomon
qo ‘ shni tomon
Kotongens (ct g ): Kotongens, tangensning teskari funksiyasidir.
ctgθ = 1
tgθ .
Trigonometriya formulalari va ularni masalalarda qo‘llash :
Trigonometriyada bir qancha foydali formulalar mavjud. Ular trigonometrik
funksiyalarni o‘zaro bog‘lash va masalalarni yechishda qo‘llaniladi.
15

 Pifagor teoremasi: To‘g‘ri burchakli uchburchakda quyidagi tenglama
ishlatiladi:
a 2
+ b 2
= c 2
bu yerda a va b
— to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlari, c
—
gipotenusasi.
 Trigonometriya identitlari:
o Sinus va kosinus identitasi:
sin 2θ+cos 2θ=1.
o Tangens va kotangens identitasi:
tgθ = sinθ
cosθ , ctgθ = 1
tgθ .
 Burchaklar orasidagi munosabatlar:
o Ko‘p burchaklar:

sin ⁡ ( 180 ∘
− θ ) = sinθ

cos ⁡ ( 180 ∘
− θ ) = − cosθ

tg ⁡ ( 180 ∘
− θ ) = − tanθ
Misol:
Agar
sinθ = 3
5,cosθ =?
sin 2θ+cos ⁡2θ=1⇒ (35 )2+cos ⁡2θ=1
9
25 + cos 2
θ = 1 ⇒ cos 2
θ = 16
25 ⇒ cosθ = ± 4
4 .
Trigonometrik funksiyalar va ularning formulalari, geometriya va boshqa
sohalarda keng qo‘llaniladi. Trigonometriya asoslari va formulalarini o‘rganish
matematik masalalarni hal qilishda juda muhimdir.
5. Differensial va integral hisob
o Funksiyaning hosilasi, uning geometrik va fizik ma'nosi.
o Funksiyaning o‘zgarish tezligini hisoblash.
o Integral tushunchasi va uning geometrik ma'nosi.
Funksiyaning hosilasi, uning geometrik va fizik ma'nosi :
16

Hosila — bu funksiyaning o‘zgarish tezligini o‘lchaydigan matematik
tushuncha bo‘lib, u nuqtada funksiyaning o‘zgarishini aks ettiradi.
Agar f(x) funksiyasi berilgan bo‘lsa, uning hosilasi f'(x) quyidagicha
aniqlanadi:
f ' ( x ) = lim
Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x )
Δx ⁡ .
 Funksiyaning hosilasi, uning grafigidagi nuqtadagi tangens ning o‘ng suruvi
bilan bog‘liq. Agar y = f ( x )
bo‘lsa, unda hosila f ' ( x )
funksiyaning grafikda xxx-
nuqtasidagi tangensining yengini (ya'ni, qiyalik) ifodalaydi.
 Hosila, ko‘pincha o‘zgarishning tezligini ko‘rsatadi. Masalan, harakatning
tezligi yoki tezlikning o‘zgarishining tezligini hisoblashda hosila ishlatiladi. Agar
s(t)
obyektning vaqtdagi harakati bo‘lsa, u holda uning tezligi v ( t ) = s ' ( t )
bo‘ladi.
Misol:
Agar f ( x ) = x 2
bo‘lsa, uning hosilasi:
f ' ( x ) = lim
Δx → 0 ( x + Δx ) 2
− x 2
Δx = lim
⁡ Δx → 0 2 xΔx + ( Δx ) 2
Δx = 2 x .
Funksiyaning o‘zgarish tezligini hisoblash :
Funksiyaning o‘zgarish tezligi, ya'ni
Δy /Δx , uning hosilasi yordamida
hisoblanadi. Funksiyaning o‘zgarish tezligini topish uchun, avval hosilani topish,
so‘ngra muayyan nuqtada o‘zi uchun qiymatni hisoblash kerak.
Misol: Agar f ( x ) = 3 x 3
− 2 x 2
+ x
bo‘lsa, uning hosilasi:
f'(x)=9x2− 4x+1.
Agar
x=2 nuqtada o‘zgarish tezligini hisoblasak:
f'(2)=9(2)2− 4(2)+1=36 −8+1=29.
Demak, x = 2
nuqtada o‘zgarish tezligi 29
ga teng.
Integral tushunchasi va uning geometrik ma'nosi :
Integral — bu funksiya ostidagi maydonni o‘lchash uchun ishlatiladigan
tushuncha. Agar f(x)f(x)f(x) funksiya berilgan bo‘lsa, uning noaniq integrali
quyidagicha aniqlanadi:
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,
17

bu yerda F'(x)= f(x)va C — konsant.
 Integral, funksiya grafigi ostidagi maydonni ifodalaydi. Masalan, agar
f(x)
harakatni ifodalovchi funksiya bo‘lsa, uning integrali vaqt oralig‘idagi yo‘lni
(masofani) ifodalashga yordam beradi.
Misol: Agar f ( x ) = 2 x ,
uning integralini hisoblaymiz:
∫2xdx = x2+C .
6. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika 3
o Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.
o Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimollik taqsimoti.
o Statistik tahlil va natijalar olish.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari :
Ehtimollar nazariyasi — bu tasodifiy hodisalarni o‘rganish bilan
shug‘ullanuvchi matematika sohasidir. Uning asosiy tushunchalari quyidagilardan
iborat:
 Tasodifiy hodisa — bu ma'lum bir tajriba (tajribalar) natijasida yuzaga
kelishi mumkin bo‘lgan holat. Masalan, tanga tashlashda " gerb " tushish ehtimoli
hisoblanadi.
 Ehtimollik — tasodifiy hodisaning yuzaga kelishining imkoniyatidir.
Ehtimollik
P(A) hodisa A ning yuzaga kelish ehtimolligini ifodalaydi va

0≤P(A)≤1 oralig‘ida joylashadi. Ehtimollikning qiymati 1
ga teng bo‘lsa, hodisa
albatta yuzaga keladi, 0 bo‘lsa, hodisa mumkin emas.
 Hodisalar o‘rtasidagi munosabatlar:
o Agar ikkita hodisa o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, u holda ular mustaqil deb
ataladi. Masalan, ikki tanga tashlashdagi natijalar mustaqil hodisalar bo‘lishi
mumkin.
o Bir hodisa yuzaga kelganida, ikkinchi hodisaning ehtimolligini hisoblash.
Masalan, bir kishi kasallangan bo‘lsa, uning o‘limi ehtimolligini hisoblash.
3
X. A. Kuzishov, "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika".
18

$Misol: Tanga tashlashda " gerb " tushish ehtimolligini hisoblash: Tanganing ikki tomonidan biri " gerb ", shuning uchun ehtimollik quyidagicha bo‘ladi:P(gerb )= 1 2=0.5 . Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimollik taqsimoti :  Tasodifiy o‘zgaruvchi — bu tajriba natijasining sonli qiymatlari. Masalan, tanga tashlashda natijalar X tasodifiy o‘zgaruvchisi sifatida ifodalanishi mumkin, bunda X = 1 " gerb " va X = 0 " raqam " bo‘ladi.  Ehtimollik taqsimoti — tasodifiy o‘zgaruvchining qiymatlariga tegishli ehtimolliklarni tasvirlaydi. Bunga quyidagi taqsimotlar kiradi: o Tasodifiy o‘zgaruvchi faqat cheklangan sonli qiymatlarni oladi. Masalan, zar tashlashda chiqishi mumkin bo‘lgan sonlar 1,2,3,4,5,6. o Uzun taqsimotlar: Tasodifiy o‘zgaruvchi haqiqiy sonlarni oladi, masalan, o‘rtacha balandlikni o‘lchash. Misol: Zar tashlashda X zarning chiqadigan natijasini bildiruvchi tasodifiy o‘zgaruvchi. Ehtimollik taqsimoti: P ( X = 1 ) = 1 6 , P ( X = 2 ) = 1 6 , ... , P ( X = 6 ) = 1 6 .  Normal taqsimot, yoki Gauss taqsimoti, ko‘plab tasodifiy hodisalar uchun model bo‘lib, uning ehtimollik zichligi taqsimoti bell shaklida bo‘ladi. Normal taqsimotda o‘rtacha qiymat va dispersiya muhim rol o‘ynaydi. Agar tasodifiy o‘zgaruvchi X normal taqsimotga ega bo‘lsa, uning ehtimollik zichligi quyidagicha bo‘ladi: f(x)= 1 2πσ 2exp ⁡(−(x− μ)2 2σ2 ), bu yerda μ\muμ — o‘rtacha qiymat, σ 2 esa dispersiya. Statistik tahlil va natijalar olish : Statistik tahlil — bu ma'lumotlarni yig‘ish, tasniflash, tahlil qilish va natijalarga asoslanib xulosalar chiqarish jarayonidir. U statistik metodlardan 19$

foydalanib, tasodifiy hodisalarni modellashtirish, ularning xususiyatlarini aniqlash
va tahmin qilish imkonini beradi.
 O‘rtacha qiymat: Ma'lum bir ma'lumotlar to‘plami bo‘yicha o‘rtacha
qiymat hisoblanadi. Agar x
1 , x
2 , ... , x
n — o‘lchangan qiymatlar bo‘lsa, unda o‘rtacha
qiymat quyidagicha hisoblanadi:x= x1+x2+⋯+xn
n
Dispersiya, o‘zgaruvchanlikni o‘lchash uchun ishlatiladi va u ma'lumotlar
to‘plamining o‘rtacha qiymatdan qancha farq qilishini ko‘rsatadi. Dispersiya
quyidagicha hisoblanadi:
σ 2
= 1
n ∑
i − 1n
( xi − x ) 2
.
Standart og‘ish dispersiyaning kvadrat ildizi bo‘lib, ma'lumotlarning
o‘rtacha qiymatdan qanchalik tarqalganligini ko‘rsatadi:
σ =
√ σ 2
.
 Tasodifiy hodisalar uchun natijalarni tahmin qilishda teskari ehtimollik
qo‘llanadi. Bu usul, mavjud ma'lumotlarga asoslanib, kelajakdagi natijalarni
bashorat qilishda ishlatiladi.
Agar bizda
x=[2,3,5,7,11 ] ma'lumotlar to‘plami bo‘lsa, u holda o‘rtacha
qiymat, dispersiya va standart og‘ishni hisoblaymiz:
 O‘rtacha qiymat:
x= 2+3+5+7+11
5 =5.6 .
 Dispersiya:
σ2= (2−5.6 )2+(3−5.6 )2+(5−5.6 )2+(7−5.6 )2+(11 −5.6 )2
5 =10.64 .
 Standart og‘ish:
σ=√10.64 ≈3.26 .
Algebra va analiz asoslari k ursning maqsad va vazifalari:
20

 O‘quvchilarga matematikaning asosiy prinsiplarini tushuntirish va ularni
amaliyotda qo‘llash ko‘nikmalarini rivojlantirish.
 Matematik analizning asosiy vositalari bilan tanishtirish, ular orqali
murakkab masalalarni yechishni o‘rgatish.
 O‘quvchilarni tenglamalar, tengsizliklar, va funksiyalarni tahlil qilishga
o‘rgatish, ularning asosiy xossalarini tushunishga yordam berish.
Algebra va analiz asoslari k ursning metodologik asoslari: Kursda
matematika asoslarini tushunishda va o‘rganishda amaliy yondashuvlar, misollarni
yechish va masalalarni ko‘rsatib o‘tish asosiy metod sifatida qo‘llaniladi. Har bir
yangi mavzu boshlanishida o‘quvchilarga tushuntirishlar, misollar va masalalar
taqdim etiladi. Shuningdek, o‘quvchilarning mustaqil ishlarini rivojlantirish uchun
maxsus mashqlar va testlar ham taqdim etiladi.
1.2. Elementar funksiyalar tushunchasining nazariy asoslari
Elementar funksiyalar — bu matematikaning asosiy va keng
qo‘llaniladigan funksiyalar sinfidir. Ular arifmetik, algebraik, ko‘rsatkichli,
logarifmik va trigonometrik funksiyalarni o‘z ichiga oladi. Elementar funksiyalarni
o‘rganish matematikani chuqurroq tushunishga yordam beradi, chunki ular ko‘plab
muammolarni soddalashtirishda va hisoblashlarda asosiy vosita sifatida ishlatiladi.
Elementar funksiyalarni tushunish uchun ularning umumiy ko‘rinishlarini,
xususiyatlarini va bu funksiyalarni qanday ishlatishni bilish zarur. Quyida, har bir
21

turdagi elementar funksiyaning nazariy asoslari va ular bilan bog‘liq misollarni
ko‘rib chiqamiz.
Chiziqli funksiyalar — bu oddiy va eng ko‘p ishlatiladigan funksiyalardan
biridir. Chiziqlilar butun sonli koeffitsiyentlarga ega bo‘lgan xushchaqchaqlik
funksiyalaridir. Chiziqlilarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha:f(x)= anxn+an−1− xn−1+⋯+a1x+a0
Bu yerda a
n , a
n − 1 , … , a
1 , a
0 — chiziqli funksiy a ning koeffitsiyentlari bo‘lib,
ular haqiqiy sonlar, va
n — chiziqlining darajasi.
Misol : f ( x ) = 3 x 4
− 5 x 3
+ 2 x 2
− x + 7
 Chiziqli funksiyalar doimo uzluksiz va differensiyalanadi.
 Chiziqli funksiyalarning hosilasi ham chiziqli bo‘ladi.
 Agar chiziqli funksiyalarning darajasi nnn bo‘lsa, uning hosilasi darajasi
n−1
bo‘ladi.
Misol : f ( x ) = 2 x 3
− 4 x 2
+ 6 x − 8
22

Hosilasi: f ' ( x ) = 6 x 2
2 − 8 x + 6
Ratsional funksiyalar — bu chiziqlilar orasidagi nisbati bo‘lgan
funksiyalardir. Ya'ni, ratsional funksiya quyidagi shaklda ifodalanadi:f(x)= P(x)
Q(x)
Bu yerda P ( x )
va Q ( x )
— chiziqlilar va Q ( x ) ≠ 0
Misol :
f(x)= 2x2+3x− 1
x2− 4
Ratsional funksiyalar
x=±2 kabi nuqtalarda ta'riflanmagan bo‘lishi mumkin,
chunki denominator nolga teng bo‘lishi mumkin.
Ratsional funksiyalarni differensiyalashda, ko‘pincha nisbiy qoida
qo‘llaniladi.
Funktsiyani diferensiallash:
23

f ( x ) = x 2
+ 2 x + 1
x − 3
Nisbiy qoida bo‘yicha hosila:
f ' ( x ) = ( 2 x + 2 ) ( x − 3 ) − ( x 2
+ 2 x + 1 )
( x − 3 ) 2
Ko‘rsatkichli funksiyalar — bu funksiyalar ko‘rsatkichli (eksponent)
shaklda ifodalangan funksiyalardir. Ko‘rsatkichli funksiyalar odatda quyidagicha
ko‘rinishda bo‘ladi:
f ( x ) = a x
Bu yerda a>0 va a ≠ 1.
Misol : f ( x ) = 2 x
 Ko‘rsatkichli funksiyalar doimo uzluksiz va differensiyalanadi.
 Agar
a>1 bo‘lsa, funksiya o‘suvchi, agar 0<a<1 bo‘lsa, funksiya
kamayuvchi bo‘ladi.
 Ularning hosilasi quyidagicha hisoblanadi:
f ' ( x ) = a x
ln ⁡ ( a )
Misol : f ( x ) = 3 x
funksiyasining hosilasi:
f ' ( x ) = 3 x
ln ( 3 )
Logarifmik funksiyalar ko‘rsatkichli funksiyalarning teskari
funksiyalaridir.
 Logarifmni o‘zgaruvchi
x ning ko‘rsatkich sifatida ifodalanishi deb qarash
mumkin.
 Logarifmik funksiyalar quyidagicha ko‘rinishda bo‘ladi:
f ( x ) = log
a ( x )
Bu yerda
a>0va a≠1,x>0.
Misol : f ( x ) = log
2 ( x )
 Logarifmik funksiyalar ham uzluksiz va differensiyalanadi.
 Ularning hosilasi quyidagicha ifodalanadi:
f ' ( x ) = 1
xln ( a ) ⁡
Misol : f ( x ) = log
3 ( x )
funksiyasining hosilasi:
24

f ' ( x ) = 1
xln ( 3 ) ⁡
Trigonometrik funksiyalar — bu burchaklarning trigonometriyasi bilan
bog‘liq funksiyalardir. Eng keng tarqalgan trigonometrik funksiyalarni
quyidagilardir:
 Sinus ( sin )
 Kosinus ( cos )
Tangens (tg)
Misol : f ( x ) = sin ( x )
 Trigonometrik funksiyalar uzluksiz va differensiyalanadi.
 Ularning hosilalari quyidagicha bo‘ladi:
f'(x)=cos (x),g'(x)=−sin (x)
Misol : f ( x ) = sin ⁡ ( x )
funksiyasining hosilasi:
f ' ( x ) = cos ( x )
Elementar funksiyalarni farqlashda ularning hosilalari, integrallari va boshqa
matematik amallarni hisoblashda foydalaniladi. Ular ko‘plab ilmiy va muhandislik
masalalarini hal qilishda zarur vositalardir.
 Chiziqli funksiyasi orqali, chiziqli yoki egri chiziqli harakatlarni
modellashtirish mumkin.
 Ko‘rsatkichli funksiyalar orqali, o‘sish yoki kamayish jarayonlarini
(masalan, aholi sonining o‘sishi yoki atomlarning parchalanishi) ifodalash
mumkin.
 Logarifmik funksiyalar orqali, iqtisodiyotda yoki biologiyada o‘sish
tezligini o‘lchashda qo‘llaniladi.Elementar funksiyalar matematikada keng
qo‘llaniladigan, sodda va turli holatlarni tasvirlashda samarali vositalardir.
Ularning xossalarini va amaliyotda qanday qo‘llanilishini bilish, o‘quvchilarga
matematik masalalarni hal qilishda yordam beradi. Matematik model yasash,
integratsiya, differensiallash va boshqa ko‘plab amallarni bajarishda elementar
funksiyalar asosiy vositalardir.
25

1.3. Matematik fikrlashni rivojlantirishda elementar funksiyalarni
o‘rganishning o‘rni
Matematik fikrlash — bu muammolarni tahlil qilish, sabab va natija
munosabatlarini aniqlash, mantiqiy xulosalar chiqarish va optimal yechimlarni
topish jarayoni. Matematik fikrlashni rivojlantirishda elementar funksiyalar
alohida o‘rin tutadi, chunki ular ko‘pgina murakkab masalalarning asosiy
modellarini tashkil qiladi.
Elementar funksiyalarni o‘rganish nafaqat nazariy bilimlarni o‘zlashtirishga,
balki amaliy muammolarni hal qilishga, tahliliy qobiliyatni rivojlantirishga va
abstrakt fikrlashga yordam beradi. Bu jarayon matematik modellashtirish orqali
reallikni tushunishga va uni soddalashtirib, tahlil qilishga imkon yaratadi.
Elementar funksiyalarning matematik fikrlashdagi o‘rni
1. Mantiqiy tahlil qilish ko‘nikmasi . Elementar funksiyalarni o‘rganish
o‘quvchilarda muammolarni mantiqiy tahlil qilish, ularning tuzilishini tushunish va
ularni yechish yo‘llarini topish ko‘nikmasini rivojlantiradi. Masalan:
o Chiziqli funksiyalar o‘sish va kamayish jarayonlarini tahlil qilish uchun
ishlatiladi.
o Ko‘rsatkichli funksiyalarni o‘rganish yordamida tabiiy jarayonlar, masalan,
radioaktiv parchalanish yoki aholi o‘sishini modellashtirish mumkin.
2. Funksiyalarni grafik tahlil qilish . Grafikalar orqali funksiyalarni vizual
tahlil qilish, ularning o‘sish, pasayish, ekstremumlar va asimptotalarini aniqlash
matematik fikrlashni kengaytiradi. Grafik tahlil quyidagilarni o‘rgatadi:
o Ma’lumotni soddalashtirib, uni ko‘rgazmali tarzda ifodalash.
o Funksiyalar xatti-harakatini turli intervalda aniqlash.
Chiziqli funksiyaning grafikasi:
f ( x ) = x 3
− 3 x 2
+ 2 x
Ushbu grafikadan funksiyaning ekstremumlari va nollarini aniqlash mumkin.
Bu tahliliy ko‘nikmalarni rivojlantiradi.
26

3. Abstrakt tushunchalarni shakllantirish . Elementar funksiyalarni
o‘rganish orqali o‘quvchilar abstrakt matematik tushunchalarni o‘zlashtiradi,
masalan:
o Hosila va uning geometrik talqini.
o Integral va uning maydonni hisoblashdagi qo‘llanilishi.
o Funksiyalar orasidagi chegaralanganlik, cheksizlik va yaqinlashuv
tushunchalari.
Amaliy ahamiyat :
1. Murakkab jarayonlarni modellashtirish . Matematik funksiyalar
murakkab hodisalarni matematik modellar orqali tasvirlash imkonini beradi.
Masalan:
o Ko‘rsatkichli funksiyalar tabiiy jarayonlar, iqtisodiy o‘sish va kamayishni
modellashtirishda ishlatiladi.
o Trigonometrik funksiyalar muhandislik va fizikada tebranish jarayonlarini
tasvirlash uchun qo‘llaniladi.
2. Matematik tilni o‘zlashtirish . Funksiyalar matematik tilning asosiy
qismlaridan biri bo‘lib, ularni o‘rganish o‘quvchilarning matematik bilimini
chuqurlashtiradi va abstrakt fikrlash qobiliyatini rivojlantiradi.
Elementar funksiyalarni o‘rganish jarayonida foydalaniladigan
strategiyalar :
1. Funksiyalar xossalarini amaliyotda ishlatish . Har bir elementar
funksiya o‘rganilganda, uning xossalari va qo‘llanilish sohalariga oid masalalar
yechiladi. Masalan:
o Kvadrat funksiyalar bilan ekstremumlarni aniqlash masalalari.
o Ko‘rsatkichli funksiyalarni turli tenglamalarni yechishda ishlatish.
2. Grafik usuldan foydalanish . Funksiyalar grafiklarini qurish orqali
o‘quvchilar funksiyaning tabiatini tushunadi. Bu ular uchun qiyoslash va tahlil
qilish ko‘nikmasini shakllantiradi.
Misol : Quyidagi funksiya grafikini tahlil qiling:
27

f ( x ) = 1
x
Bu funksiya x = 0
da ta'riflanmagan va asimptotalar mavjudligi aniqlanadi.
3. Interaktiv metodlar qo‘llash . O‘quvchilarga turli masalalarni amaliy hal
qilish imkonini beradigan dasturiy vositalar (masalan, GeoGebra, MATLAB)
orqali elementar funksiyalarni tushunish jarayonini osonlashtirish mumkin.
Misollar :
1. Funksiyani differensiallash orqali masalani yechish
Funksiya berilgan:
f ( x ) = x 2
− 4 x + 3
Ekstremumlarni topish uchun hosilasini hisoblaymiz:
f ' ( x ) = 2 x − 4
Hosilani nolga tenglab:2x−4=0⟹ x= 2
x=2
nuqtasida ekstremum mavjud.
28

2. Ko‘rsatkichli tenglamani yechish .
Tenglama:2x=8
Tenglikni logarifmik ko‘rinishda yozamiz:
xln ( 2 ) = ln ( 8 )
Yechim:
x= ln (8)
ln (2)=3
Elementar funksiyalarni o‘rganish matematik fikrlashni rivojlantirishda
asosiy o‘rinni egallaydi. Bu funksiyalar orqali o‘quvchilar:
 Abstrakt tushunchalarni o‘zlashtiradi.
 Amaliy va nazariy bilimlarni uyg‘unlashtiradi.
 Grafik va tahliliy ko‘nikmalarni shakllantiradi. Elementar funksiyalarni
puxta o‘zlashtirish o‘quvchilarning matematik salohiyatini oshiradi va ularni
murakkab masalalarni yechishga tayyorlaydi.
29

II-BOB. ELEMENTAR FUNKSIYALARNI O‘QITISHNING
METODIK YONDASHUVLARI
2.1. Tasviriy va grafik usullardan foydalanish metodikasi
Tasviriy va grafik usullar — matematik masalalarni yechishda va
o‘quvchilarning tushunchalarni yaxshiroq tushunib olishida asosiy ahamiyatga ega
bo‘lgan vositalardan biridir. Ushbu metodika matematik tushunchalarni
ko‘rgazmali, intuitiv va samarali tarzda o‘rgatish imkonini beradi.
Tasviriy va grafik usullarning ahamiyati :
 Matematik tushunchalarni vizual shaklda ko‘rsatish.
 Funksiyalarning o‘zgarishi, o‘sish-kamayish, ekstremumlar va boshqa
xususiyatlarni osonroq tahlil qilish.
 Grafik yondashuv orqali murakkab masalalarni oddiyroq shaklda ifodalash.
 Matematik tushunchalarni real hayotdagi jarayonlar bilan bog‘lash.
Tasviriy usullarning asoslari :
Tasviriy usullar matematik tushunchalarni chizmalar, diagrammalar va
sxemalar orqali ifodalashga asoslanadi. Bu usul quyidagi hollarda qo‘llaniladi:
 Geometrik muammolarni yechishda.
 Funksiyalarning grafik xossalarini tahlil qilishda.
 Algebraik tenglama va tengsizliklarning yechimini ko‘rgazmali shaklda
ko‘rsatishda.
Masalan: Kvadrat funksiyaning grafikasi (y= ax 2+bx +c) quyidagi tasviriy
elementlarni o‘z ichiga oladi:
 Cho‘qqi (ekstremum nuqtasi),
 Simmetriya o‘qi,
 Parabolaning ochilish yo‘nalishi.
Grafik usullarning asoslari :
Grafik usul — matematik funksiyalarni grafik chizish orqali o‘rganishdir.
Ushbu usul funksiyaning xatti-harakatini aniqlashga yordam beradi:
 O‘sish va kamayish intervalini topish.
 Ekstremum va infleksiya nuqtalarini aniqlash.
30

 Funksiyaning nollarini (kesish nuqtalarini) topish.
Misol: Funksiya f(x)= x3−3x2+2x grafikasi quyidagicha tahlil qilinadi:
1. Hosilani hisoblash orqali ekstremum nuqtalari aniqlanadi:
f'(x)=3x2−6x+2
Hosilani nolga tenglash orqali ekstremumlar topiladi:
3x2− 6x+2= 0
Diskriminant:
D=(− 6)2−4⋅3⋅2=36 − 24 =12
Yechim:
x= 6±12
6 =1±√3
3
2. Grafikani chizish orqali funksiyaning xatti-harakatini ko‘rsating.
Tasviriy va grafik usullarni qo‘llash bosqichlari :
1. Tushunchalarni aniqlash :
o Funksiyaning aniqlanish sohasi va asosiy xossalarini belgilash.
o O‘sish/kamayish, ekstremum va infleksiya nuqtalarini aniqlash.
2. Grafikni chizish :
o Funksiyaning asosiy nuqtalarini (nollar, ekstremumlar) topib, koordinatalar
sistemasiga joylashtirish.
o Grafikning shaklini aniqlash (masalan, parabola, sinusoidal grafik).
3. Grafik orqali masalani yechish :
o Tenglama yoki tengsizlik yechimlarini grafik yordamida ko‘rsatish.
o Grafikni taqqoslash orqali turli xulosalarni chiqarish.
Metodik tavsiyalar .
1. O‘quvchilarning qiziqishini oshirish uchun :
o Real hayotiy masalalar bilan bog‘liq misollarni tanlash (masalan, iqtisodiy
jarayonlarni yoki tabiiy o‘zgarishlarni grafik orqali ifodalash).
o Interaktiv vositalardan foydalanish (masalan, GeoGebra yoki Desmos
dasturlarida grafik chizish).
31

2. Bosqichma-bosqich o‘qitish :
o Grafik usullarni oddiy funksiyalardan boshlab, murakkabroq funksiyalar
tomon rivojlantirish.
o Grafik analiz jarayonida har bir qadamni batafsil tushuntirish.
Amaliy misollar :
Misol 1. Funksiyaning grafikasi orqali ekstremumlarni aniqlash .
Funksiya:
f ( x ) = − x 2
+ 4 x − 3
Tahlil:
1. Hosila: f'(x)=−2x+4
2. Ekstremum:
−2x+4= 0⟹ x= 2
3. Grafikasi parabola bo‘lib, cho‘qqisi
x=2 da joylashgan.
Misol 2. Tengsizlikning grafik yechimi .
Tengsizlik:
x2−4≤0
Tahlil:
32

1. Grafik: f ( x ) = x 2
− 4
Bu parabola x=−2va x=2 nuqtalarida x−¿ o‘qni kesib
o‘tadi.
2. Yechim: Grafik orqali ko‘rilganda, parabola
x−¿ o‘qning pastida
joylashgan interval: − 2 ≤ x ≤ 2
Tasviriy va grafik usullardan foydalanish o‘quvchilarga matematik
tushunchalarni yaxshiroq tushunishga va masalalarni samarali hal qilishga yordam
beradi. Bu usul:
 O‘quvchilarning vizual va tahliliy fikrlash qobiliyatini oshiradi.
 Abstrakt tushunchalarni ko‘rgazmali shaklda o‘rgatadi.
 Murakkab masalalarni oddiyroq usulda yechish imkonini beradi.
Grafik yondashuvni to‘g‘ri qo‘llash matematik masalalarni chuqurroq anglashda
muhim ahamiyatga ega.
33

2.2. Amaliy masalalar va topshiriqlarni ishlab chiqish metodikasi
Amaliy masalalar va topshiriqlarni ishlab chiqish metodikasi
o‘quvchilarning nazariy bilimlarini mustahkamlash va ularni real hayotga tatbiq
etish qobiliyatini rivojlantirishga qaratilgan. Bu metodika o‘quvchilarning
mantiqiy, analitik va ijodiy fikrlash ko‘nikmalarini shakllantiradi va matematik
bilimlarning qo‘llanilishini chuqurroq anglashga yordam beradi.
Amaliy masalalar va topshiriqlarning ahamiyati . Amaliy masalalar va
topshiriqlar o‘quvchilarning nazariy bilimlarini real hayotga tatbiq etish va
mustahkamlashda muhim vosita hisoblanadi. Ular matematik tushunchalarni
chuqurroq anglashga yordam beradi, analitik va ijodiy fikrlashni rivojlantiradi
hamda o‘quvchilarning kundalik hayotdagi muammolarni yechish qobiliyatini
shakllantiradi. Amaliy masalalar matematik nazariyani real hayotiy vaziyatlar bilan
bog‘lashga xizmat qiladi. Misol uchun, kredit foizlarini hisoblash, avtomobil
yoqilg‘i sarfini aniqlash yoki qurilish materiallari hajmini hisoblash masalalari
nazariy bilimlarni hayotiy jarayonlarga moslashishga imkon beradi.
Bunday masalalar o‘quvchilarda fikrlarning mustaqilligini rivojlantiradi.
O‘quvchi masalalarni mustaqil tahlil qilish va yechimlarini izlash orqali muammoli
vaziyatlarga nisbatan mustaqil yondashuvni rivojlantiradi. Noan’anaviy va
qiziqarli topshiriqlar ijodiy fikrlashni shakllantiradi, masalan, transport
yo‘nalishlarini optimallashtirish yoki vaqtni tejash bo‘yicha masalalar.
Amaliy masalalar hayotga tayyorgarlik sifatida katta ahamiyatga ega.
O‘quvchilar hayotdagi muammolarni hal qilishda matematik bilimlarni qo‘llashni
o‘rganadilar. Masalan, xarid qilishda narxni taqqoslash yoki turli variantlarni
baholashda matematika asosiy vosita bo‘ladi. Hayotiy va qiziqarli masalalar
o‘quvchilarning matematikaga bo‘lgan qiziqishini kuchaytiradi. Masalan, sport
musobaqalari natijalarini statistik tahlil qilish yoki texnologik jarayonlarni
modellashtirish o‘quvchilarda qiziqish uyg‘otadi.
Amaliy masalalar nazariyani amaliyotga bog‘lash, muammolarni yechishda
ijodiy va analitik fikrlashni rivojlantirish imkonini beradi. Misol uchun, quyidagi
masalani ko‘rib chiqamiz:
34

Oila bir oyda 5 000 000 so‘m daromad oladi. Xarajatlar quyidagicha
taqsimlanadi: oziq-ovqat uchun 40%, kommunal to‘lovlar uchun 20%, jamg‘arma
uchun 15%. Har bir toifa uchun qancha mablag‘ ajratiladi? Ushbu masalaning
yechimi quyidagicha:
Oziq − ovqat = 5000000 ⋅ 0.4 = 2000000 so ‘ m .
Kommunalto ‘lovlar =5000000 ⋅0.2 =1000000 so ‘m .

Jamg ‘arma =5000000 ⋅0.15 =750000 so ‘m.
Boshqa bir misol: Bir velosipedchi soatiga 15 km tezlik bilan harakat
qiladi. U 2 soatda qancha masofa bosib o‘tadi?
Bu masalaning yechimi quyidagicha:
S=v⋅t=15 km /soat ⋅2soat =30 km .
Amaliy masalalar o‘quvchilarning matematik qoidalar va formulalarni
kundalik hayotda qo‘llash ko‘nikmalarini rivojlantiradi, ularda ijodkorlikni
oshiradi va matematikani boshqa fanlarga tatbiq qilish imkoniyatini kengaytiradi.
Shuningdek, ular o‘quvchilarni kelajakdagi faoliyatga tayyorlashda muhim rol
o‘ynaydi.
Amaliy topshiriqlarni ishlab chiqish bosqichlari: Amaliy topshiriqlarni
ishlab chiqish jarayoni o‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini rivojlantirish
uchun muhim hisoblanadi. Ushbu jarayon bir necha bosqichlardan iborat. Avvalo,
topshiriqning maqsadi va vazifalari aniqlanadi. Maqsad aniq belgilangan bo‘lishi,
o‘quvchilarning nazariy bilimlarini amaliyotda qo‘llashga yo‘naltirilishi kerak.
Keyingi bosqichda topshiriq mazmuni tanlanadi. Bu jarayonda o‘quvchilarning
bilim darajasi, qiziqishlari va amaliy ehtiyojlari hisobga olinadi. Hayotiy masalalar
yoki qiziqarli muammolarni tanlash topshiriqni yanada samarali qiladi.
Topshiriq shakli va turi belgilanishi ham muhimdir. Topshiriqlar individual
yoki guruhiy, shuningdek, nazariy yoki amaliy bo‘lishi mumkin. Masalan,
individual topshiriq sifatida "Kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblang va grafik
chizing", guruhiy topshiriq sifatida esa "Transport xarajatlarini minimallashtirish
uchun yo‘nalishni rejalashtiring" kabi vazifalar berilishi mumkin.
35

Keyinchalik, topshiriqning mazmuni aniq shakllantiriladi va uni bajarish
uchun zarur vositalar tayyorlanadi. Topshiriqning shartlari sodda va tushunarli
bo‘lishi kerak. Masalan, "Kvadrat funksiyaning grafigini chizing va uning
ekstremum nuqtalarini aniqlang" kabi topshiriqlar aniq natijaga yo‘naltirilgan
bo‘ladi.O‘quvchilarga topshiriqni bajarish bo‘yicha ko‘rsatmalar beriladi.
Ko‘rsatmalar to‘liq va aniqlik bilan berilishi, o‘quvchilarga topshiriqni
muvaffaqiyatli bajarish uchun kerakli formulalar, usullar va vositalarni o‘z ichiga
olishi kerak. Topshiriqni bajarish jarayonida o‘quvchilarga yordam berish, ularning
faoliyatini kuzatish va zarur tavsiyalar berish o‘qituvchi zimmasidadir.
Natijalar baholanishi va tahlil qilinishi jarayonning muhim qismidir.
Baholashda yechimning to‘g‘riligiga, o‘quvchilarning mustaqil fikrlash
qobiliyatiga va masalani yechish usullariga e’tibor qaratiladi. Shu bilan birga,
natijalarni baholashda o‘quvchilarning ijodkorligi va qiyinchiliklarni yengish
qobiliyati ham hisobga olinadi.Oxirgi bosqichda topshiriqning samaradorligi tahlil
qilinadi va zarur hollarda takomillashtirish choralari ko‘riladi. Ushbu jarayon
o‘quvchilarning bilimlarini mustahkamlash va ularda amaliyotga yo‘naltirilgan
ko‘nikmalarni rivojlantirishda katta ahamiyatga ega.
Metodik tavsiyalar :
 Masalalar sodda va murakkab bosqichlar bo‘yicha tanlanishi kerak.
 Grafik va diagrammalardan foydalanish o‘quvchilarga muammolarni
yaxshiroq tushunishga yordam beradi.
 Interaktiv usullar (masalan, dasturiy ta’minot yoki onlayn kalkulyatorlar)
amaliy masalalar yechimida foydalanilishi mumkin.
 Topshiriqlar o‘quvchilarning qiziqishini oshirish uchun turli mavzularda
(iqtisod, fizika, hayotiy vaziyatlar) ishlab chiqilishi lozim.
Amaliy masalalar misollari :
Misol 1. Foiz hisoblash masalasi .
Bank depozitining qiymatini hisoblash:
 Shart: Bankga 3 yillik muddatga 10 000 000 so‘m qo‘yildi. Yillik foiz
stavkasi – 15%.
36

 Savol: 3 yilda depozit miqdori qancha bo‘ladi?
 Yecha olish usuli:
Formuladan foydalanamiz:
A = P ( 1 + r ) n
Bu yerda:
o P=10000000 — boshlang‘ich summa,
o r=0.15 — yillik foiz stavkasi,
o n=3n — yillar soni.
Yechim:
A = 10000000( 1 + 0.15 ) 3
= 10000000 ⋅ 1.520875 = 15208750 so ‘ m .
Misol 2. Geometrik masala .
Kvadrat shaklidagi maydonni aylanaga aylantirish:
 Shart: Kvadratning tomoni 4 m. Shu kvadrat ichiga eng katta aylanani
joylashtiring.
 Savol: Aylananing yuzasi qancha bo‘ladi?
 Yecha olish usuli:
Kvadrat ichidagi eng katta aylananing diametri kvadratning tomoniga teng.
Demak, radius: r = 4
2 = 2 m .
Aylananing yuzasi:
S = πr 2
= π ⋅ 2 2
= 4 π m 2
( taxminan 12.57 m 2
) .
Misol 3. Harakat masalasi .
 Shart: Poyezdning tezligi
60 km /soat , mashinaning tezligi 90 km / soat .
Har
ikki transport bir vaqtning o‘zida
100 km masofadan qarama-qarshi harakatlanishni
boshlaydi.
 Savol: Qachon va qayerda ular uchrashadi?
 Yecha olish usuli: Birinchi poyezd va mashinaning umumiy tezligi:
vumumiy =60 +90 =150 km /soat .
Masofa:
t= Sv = 100
150 =23 soat .t
Mashinaning yo‘li:
Smashina = 90 ⋅23 =60 km .
Demak, ular mashina yo‘nalishida 60 km masofada uchrashadi.
37

2.3. O‘qitish jarayonida interaktiv yondashuvlarni qo‘llash
O‘qitish jarayonida interaktiv yondashuvlarni qo‘llash zamonaviy ta’lim
tizimining asosiy talablaridan biridir. Interaktiv yondashuvlar o‘quvchilarning
o‘quv jarayonidagi faolligini oshirish, bilimlarni mustahkamlash, ijodiy fikrlashni
rivojlantirish va amaliy ko‘nikmalarni shakllantirishga xizmat qiladi. Ushbu
usullar an’anaviy yondashuvlarga qaraganda ko‘proq muloqotga, hamkorlikka va
o‘quvchilarning mustaqil faoliyatiga tayanadi.
Interaktiv yondashuvlar quyidagi afzalliklarga ega:
1. Faollikni oshirish : O‘quvchilarning jarayonda bevosita ishtirok etishi
bilimlarni yaxshiroq o‘zlashtirishga yordam beradi. Guruhli muhokamalar, savol-
javob, bahslar va rolli o‘yinlar o‘quvchilarni faol harakatga undaydi.
2. Ijodiy va tanqidiy fikrlashni rivojlantirish : Interaktiv usullar
o‘quvchilardan masalalarga yangicha yondashuvlar topishni, o‘z fikrlarini
asoslashni va boshqalar bilan muloqotda bo‘lishni talab qiladi.
3. Hamkorlikda ishlash ko‘nikmalari : Jamoaviy loyihalar, guruhli
topshiriqlar va muammolarni birgalikda hal qilish o‘quvchilarni bir-biridan
o‘rganishga va hamkorlikda ishlashga o‘rgatadi.
4. Amaliy ko‘nikmalarni rivojlantirish : Interaktiv metodlar orqali
o‘quvchilar nazariy bilimlarini real hayotiy vaziyatlarda qo‘llashni o‘rganadilar.
O‘qitish jarayonida qo‘llaniladigan interaktiv metodlar:
1. "Aqliy hujum" usuli .
Qo‘llanilishi : O‘quvchilarning matematik masalalar yechishga doir dastlabki
bilimlarini faollashtirish uchun.
Misol :
Mavzu: Ikkinchi⁡darajali ⁡tenglamalar .
Savol: "Kvadrat
⁡tenglama ⁡formulalari ⁡hayotda ⁡qanday ⁡qo‘llaniladi?"
O‘quvchilar transport masofalarini hisoblash, fizika va iqtisodiyot masalalariga oid
misollar keltiradilar.
38

2. Kichik guruhlarda ishlash .
Qo‘llanilishi : O‘quvchilarni murakkab masalalarni birgalikda hal qilishga
o‘rgatish.
Misol :
Mavzu: To‘g‘ri⁡chiziq ⁡tenglamasi .
O‘quvchilar kichik guruhlarga bo‘linadi va har bir guruhga turli sharoitlarda
to‘g‘ri chiziq tenglamasini aniqlash bo‘yicha topshiriq beriladi (masalan, ikki
nuqta orqali o‘tadigan chiziqni topish). Har bir guruh natijani doskada taqdim
etadi.
3. Grafik chizish va tahlil qilish .
Qo‘llanilishi : Funksiyalarni vizual tarzda o‘rganish uchun.
Misol :
Mavzu: Parabola
⁡grafigi .
O‘quvchilar kvadrat funksiyalar grafigini chizadilar va uning teskari nuqtasi,
simmetriya o‘qi va eng kichik qiymatini aniqlaydilar. Grafiklarni taqqoslab, o‘zaro
bog‘liqliklarni tahlil qiladilar.
4. Rolli o‘yinlar .
Qo‘llanilishi : O‘quvchilarni matematik tushunchalarni hayotiy vaziyatlarda
qo‘llashga o‘rgatish.
Misol :
Mavzu: Tenglama
⁡tizimlari .
O‘qituvchi "do‘kon va xaridor" roliklarini berib, o‘quvchilardan mahsulotlar
narxini tenglama tizimi yordamida aniqlashni so‘raydi.
5. "Fishbone" usuli
Qo‘llanilishi : Muammoli masalalarni sabab-natija aloqalari asosida tahlil
qilish.
Misol :
Mavzu: Matematik
⁡xatolarning ⁡sabablari .
39

O‘quvchilar "Nima uchun kvadrat tenglamalar yechishda xatolarga yo‘l
qo‘yiladi?" savolini muhokama qilib, sabablarini aniqlaydilar va natijada
masalalarni yechish bo‘yicha xulosalar chiqaradilar.
6. Texnologik platformalar .
Qo‘llanilishi : O‘quvchilarning funksiyalarni o‘zlashtirishini yanada qiziqarli
va interaktiv qilish.
Misol :
Mavzu: Funksiyalar⁡grafigini ⁡qurish .
GeoGebra yoki Desmos dasturida o‘quvchilar turli funksiyalarning grafigini
chizadilar va ularning xususiyatlarini taqqoslaydilar.
7. Proyekt usuli .
Qo‘llanilishi : O‘quvchilarni real hayotda matematikadan foydalanishga
o‘rgatish.
Misol :
Mavzu: Matematik
⁡modellar .
O‘quvchilardan "Issiqlik izolatsiyasi uchun ideal qurilish materiallari"ni
tanlashga oid loyiha ishlab chiqish so‘raladi. Talabalar matematik formulalar
yordamida turli materiallarning samaradorligini hisoblaydilar.
8. Savol-javob usuli .
Qo‘llanilishi : Matematik formulalar va tushunchalarni mustahkamlash
uchun.
Misol :
Mavzu: Koordinatalar
⁡tekisligida ⁡nuqta ⁡masofasi .
O‘qituvchi o‘quvchilarga masofani topish formulasi haqida savollar beradi,
so‘ng masofani hisoblash bo‘yicha tezkor topshiriqlarni bajarishni taklif qiladi.
9. Klaster usuli .
Qo‘llanilishi : Matematik tushunchalar orasidagi bog‘lanishni ko‘rsatish.
Misol :
Mavzu: Funksiyalar
⁡turlari .
40

O‘quvchilar kvadrat, eksponensial va logarifmik funksiyalarni umumiy
klaster orqali bog‘laydilar va ularning o‘xshashlik va farqlarini ajratib
ko‘rsatadilar.
10. Debat usuli .
Qo‘llanilishi : Matematik masalalarni har tomonlama ko‘rib chiqish.
Misol :
Mavzu: Logarifmlar .
Guruhlarning biri logarifmlar murakkab tushuncha ekanligini, ikkinchisi esa
ularning matematikaga qulaylik olib kelishini himoya qiladi. Bahs davomida
o‘quvchilar tushunchani chuqur o‘rganadilar va o‘z dalillarini matematik misollar
bilan mustahkamlaydilar.
Amaliy baholash o‘quvchilarning matematik ko‘nikmalarini amalda
qo‘llash darajasini aniqlash uchun ishlatiladi. Bu usul o‘quvchilarga matematik
masalalarni yechish, matematik funksiyalarni grafik tarzda tasvirlash, yoki amaliy
masalalar yechish topshiriqlari berish orqali amalga oshiriladi. Amaliy baholash,
o‘quvchilarning matematik tushunchalarni real vaziyatlarda qo‘llash
ko‘nikmalarini rivojlantirishga yordam beradi.
Amaliy baholash misollar:
1. Sinus va kosinus funksiyalarining grafikalarini qurish:
o O‘quvchilarga sinus va kosinus funksiyalarining grafikalarini qurish
topshirig‘i beriladi. Ular dastlab funksiyaning asosiy xususiyatlarini tushunib
olishadi, so‘ngra grafikalarni chizishadi.
o Misol: "Sinus va kosinus funksiyalarining grafikalarini qurib, ularning eng
yuqori va eng past nuqtalarini aniqlang. Grafikda davrni va amplitudani
ko‘rsating."
o Ushbu topshiriqda o‘quvchilar o‘rganilgan materialni amalda qo‘llash
ko‘nikmalarini baholashadi.
2. Trigonometriya asosida masalalar:
41

o O‘quvchilarga trigonometrik masalalarni yechish topshiriqlari beriladi,
masalan, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar asosida sinus, kosinus va tangens
funksiyalarining qiymatlarini hisoblash.
o Misol: "Berilgan to‘g‘ri burchakli uchburchakda sinx , cosx ,
va tgx
funksiyalarining qiymatlarini hisoblang va ularni grafika tarzida tasvirlang."
o Bu topshiriq trigonometrik funktsiyalarni amalda qo‘llashni va grafikalarga
joylashtirishni talab qiladi, shuningdek o‘quvchilarning vizual tasavvurini
rivojlantiradi.
3. Algebraik tenglamalar yechimi:
o O‘quvchilarga algebraik masalalarni yechish topshirig‘i beriladi, bu
masalalar o‘quvchilarning matematik formulalar va tenglamalar bo‘yicha
ko‘nikmalarini tekshiradi.
o Misol: "
x 2
− 5 x + 6 = 0 tenglamasining yechimini toping va natijani grafikda
ko‘rsating."
o Bu topshiriq algebraik tenglamalarni grafik tarzda tasvirlash va ularni
amaliyotga tatbiq etishni o‘rgatadi.
4. Funksiya va grafikalarni tahlil qilish:
o O‘quvchilarga funksiyaning grafikasi asosida uning xususiyatlarini tahlil
qilish topshiriladi. Masalan, funksiya qanday o‘zgaradi, uning qaysi nuqtalarda
maximum yoki minimum bo‘ladi, yoki o‘xshash xususiyatlarni tahlil qilish.
o Misol: "
y= 2x2− 4x+1 funksiyasining grafikasi orqali uning minimum
nuqtasini aniqlang va u nuqtadagi funksiyaning qiymatini hisoblang."
Amaliy baholashning afzalliklari:
 O‘quvchilar o‘z bilimlarini amalda qo‘llashga o‘rgatadi, bu esa ularning
matematik ko‘nikmalarini mustahkamlashga yordam beradi.
 O‘quvchilarning real hayotdagi masalalar va vaziyatlarga matematika
bilimlarini tatbiq etish qobiliyati rivojlanadi.
 O‘quvchilarga mustaqil ishlash, muammolarni hal qilish va ularni grafik
tarzda ko‘rsatish ko‘nikmalarini beradi.
42

Amaliy baholash o‘quvchilarning matematik tasavvurini mustahkamlashga
va o‘zlashtirilgan bilimlarni chuqurlashtirishga yordam beradi. Bunday baholash
usuli o‘quvchilarning nazariy bilimlaridan ko‘ra, ularning amaliy ko‘nikmalarini
yanada yaxshi o‘rganishga imkon yaratadi.
2.4. O‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini baholash usullari
O‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini baholash usullari matematikada
nafaqat o‘quvchilarning natijalarini aniqlash, balki ularning o‘zlashtirish darajasini
va o‘qish jarayonidagi faoliyatini tahlil qilishga imkon beradi. Bu usullar
o‘quvchilarning intellektual va amaliy ko‘nikmalarini rivojlantirishga yordam
beradi va o‘qituvchiga darslarni yanada samarali tashkil qilishda yo‘l-yo‘riq
ko‘rsatadi.
Nazariy baholash o‘quvchilarning matematik tushunchalar va nazariy
bilimlarni qanchalik yaxshi o‘zlashtirganligini aniqlash uchun ishlatiladi. Bu
usulda o‘quvchilarga testlar, test savollaridan tashkil topgan imtihonlar yoki
nazariy savollar beriladi. Nazariy baholash yordamida o‘quvchilarning matematika
fanidan asosiy tushunchalar, formulalar, va nazariy qonuniyatlarni tushunishi va
ulardan foydalanish qobiliyatini baholash mumkin.
1. Trigonometrik funksiyalar haqida test savollari . O‘quvchilarga
trigonometrik funksiyalar, ularning formulalari, xususiyatlari va amaliy
qo‘llanilishi haqida savollar beriladi. Masalan:
o "sin x+cos x formulasi qanday ifodalanadi?"
o "sinus va kosinus funktsiyalarining davrini aniqlang."
Bu savollar o‘quvchilarga trigonometrik formulalarni yodlash, ulardan
qanday foydalanishni tushunish va matematik kontekstda qanday natijalarga
erishish mumkinligini tekshirish imkonini beradi.
43

2. Matematik formulalar va ularning amaliy qo‘llanilishi . Nazariy
baholashda, masalan, " f ( x ) = ax 2
+ bx + c
tenglamasi uchun diskriminantni qanday
hisoblash mumkin?" yoki "eksponential va logarifmik funksiyalarni qanday tahlil
qilish mumkin?" kabi savollar beriladi. Bu savollar o‘quvchilarning formulalarni
to‘g‘ri qo‘llay olishini va ular bilan ishlashni tushunish darajasini aniqlashga
yordam beradi.
3. Matematik tushunchalarni izohli bayon qilish . O‘quvchilarga masalan,
"Haqiqiy sonlar to‘plamining xususiyatlari" haqida yozma savollar berilishi
mumkin. Bu savollar o‘quvchilarni nafaqat formulalarni yodlashga, balki
tushunishga va nazariy bilimlarni mustahkamlashga undaydi. Misol uchun:
o "Haqiqiy sonlar to‘plamining yopiq va ochiq to‘plamlar bilan aloqasini
tushuntiring."
Nazariy baholash o‘quvchilarning matematik konseptlarni aniq va to‘g‘ri
tushunishlarini, ularni turli vaziyatlarda qo‘llay olishlarini tekshiradi va amaliyotga
tayyorlashda muhim ahamiyatga ega.
Amaliy baholash o‘quvchilarning matematik ko‘nikmalarini amalda
qo‘llash darajasini aniqlash uchun ishlatiladi. Bu usulda o‘quvchilarga matematik
masalalarni yechish, funksiyalarni grafik tarzda tasvirlash, yoki amaliy masalalar
yechish topshiriqlari beriladi. Amaliy baholash o‘quvchilarning nafaqat matematik
bilimlari, balki bu bilimlarni amalda qo‘llash qobiliyatlarini ham tekshirish
imkonini beradi.
1. Sinus va kosinus funksiyalarining grafikalarini qurish . O‘quvchilarga
sinus va kosinus funksiyalarining grafikalarini qurish topshirig‘i beriladi. Bu
topshiriqda o‘quvchilar o‘z bilimlarini grafik shaklda ifodalash, o‘zgarishlarni
ko‘rish va ularni tahlil qilish ko‘nikmalarini rivojlantiradi.
Masalan: "Sinus funksiyasining grafigini chizing va uning davri, amplitudasi va
fazasini aniqlang." Bu topshiriq o‘quvchilarning matematik fikrlashini
rivojlantirib, amaliyotda qo‘llash ko‘nikmasini oshiradi.
2. Trigonometriya masalalari . O‘quvchilarga amaliy masalalarni yechish
topshiriqlari beriladi. Misol uchun: "Berilgan to‘g‘ri burchakli uchburchakda
44

sinx ,cosx va tgx funksiyalarining qiymatlarini hisoblang va ularni grafika tarzida
tasvirlang." Bu topshiriq o‘quvchilarga trigonometrik funksiyalarni amalda
qo‘llashni o‘rgatadi va ular uchun amaliy tahlil qilish imkonini yaratadi.
3. Funktsiyalarni tahlil qilish . O‘quvchilarga funksiyalarni grafik tarzda
tasvirlash va ularning xususiyatlarini tahlil qilish topshiriladi. Masalan, "Berilgan
funktsiyani ( y = f ( x ) )
grafigini chizing va uning ekstremal nuqtalarini, burilish
nuqtalarini aniqlang." Bu topshiriq o‘quvchilarga matematik modellarni
tushunishda yordam beradi va ular tomonidan yaratilgan grafiklar orqali
funksiyaning xususiyatlarini aniqlashni o‘rgatadi.
Amaliy baholash orqali o‘quvchilarning nafaqat nazariy bilimlari, balki
amaliy ko‘nikmalari va muammoni yechishdagi ijodkorliklari ham baholanadi. Bu
metod o‘quvchilarga matematik tushunchalarni turli vaziyatlarda qo‘llashni
o‘rgatadi va amaliy mashqlar yordamida bilimlarni mustahkamlashga yordam
beradi.
Formativ baholash o‘quvchilarning o‘zlashtirish jarayonini doimiy ravishda
kuzatish va ularga yordam berish maqsadida amalga oshiriladi. Bu baholash turida
o‘quvchilarning muvaffaqiyatlari va qiyinchiliklari doimiy ravishda tahlil qilinadi,
hamda o‘quvchilarning o‘zlashtirishi va rivojlanishiga yordam beruvchi tavsiyalar
beriladi. Formativ baholash dars davomida amalga oshiriladi va bu jarayonni
rivojlantirishga, o‘quvchilarni muvaffaqiyatli o‘qitishga yordam beradi.
1. Interaktiv misollar va amaliy mashqlar . Dars jarayonida o‘quvchilarga
interaktiv misollar va amaliy mashqlar beriladi. Masalan, sinus va kosinus
funksiyalarini o‘rganishda o‘quvchilarga turli xil masalalar va vaziyatlar beriladi,
ular ularni yechishadi va natijalarini tahlil qiladilar. O‘quvchilar o‘z ishlari asosida
qaysi tushunchalarni yaxshilashlari kerakligini bilib olishadi. Bu usulda
o‘quvchilarga faqat nazariy bilimlar berib qolish emas, balki ularni amalda
qo‘llash ko‘nikmalari ham oshiriladi.
2. O‘quvchilarning bajarilgan ishlarini tahlil qilish . Dars davomida
o‘quvchilarning bajarilgan ishlari doimiy ravishda tahlil qilinadi. Agar o‘quvchi
funksiyaning grafikasi yoki formulalar bo‘yicha xato qilsa, o‘qituvchi unga to‘g‘ri
45

yo‘l ko‘rsatadi va tushunmovchilikni bartaraf etish uchun yordam beradi. Shunday
qilib, baholash jarayoni davomida o‘quvchilarning xatolarini tahlil qilish va
to‘g‘rilash imkoniyatlari yaratiladi.
3. O‘quvchilarga o‘zlashtirishni baholash va tavsiyalar berish .
O‘quvchilarning har bir darsdagi o‘zlashtirish darajasi kuzatiladi. Agar o‘quvchi
muayyan mavzuni tushunishda qiyinchilikka duch kelsa, unga individual
yondashuvlar yordamida qo‘shimcha tavsiyalar beriladi. Masalan, agar o‘quvchi
sinus va kosinus funksiyalarining davrini hisoblashda xato qilsa, unga bu xatoni
tushunishga yordam berish uchun amaliy mashqlar beriladi yoki qo‘shimcha
misollar bilan mustahkamlash tavsiya qilinadi.Formativ baholash usuli
o‘quvchilarning o‘zlashtirish jarayonini yaxshilashga, qiyinchiliklarga qarshi
samarali kurashishga va o‘quvchilarning muvaffaqiyatlarini doimiy ravishda
kuzatib borishga yordam beradi. Bu turdagi baholashning afzalligi shundaki,
o‘quvchilarning xatolarini tezda aniqlash va ularni tuzatish imkoniyatini beradi.
Summativ baholash, odatda, darsning oxirida yoki o‘quv yilining oxirida
amalga oshiriladi. Bu baholash usuli o‘quvchilarning umumiy bilim darajasini
baholashga qaratilgan. Summativ baholashda o‘quvchilarning umumiy natijalari
imtihonlar, yakuniy testlar yoki boshqa baholash vositalari orqali o‘lchanadi.
Ushbu turdagi baholash o‘quvchilarning o‘rganilgan materialni qanchalik puxta
o‘zlashtirganligini aniqlashga yordam beradi.
1. Ko‘p tanlovli testlar . O‘quv yilining oxirida o‘quvchilarga ko‘p tanlovli
testlar berilishi mumkin. Ushbu testlar matematik funksiyalar, teoremalar,
formulalar va ularning qo‘llanilishi haqida savollarni o‘z ichiga oladi. Masalan,
testda trigonometrik funksiyalar, ularning xususiyatlari, formulalari va amaliy
qo‘llanilishi bo‘yicha savollar bo‘lishi mumkin. Bu test o‘quvchilarning
o‘zlashtirilgan bilimlarini umumiy tarzda baholash imkonini beradi.
2. Yakuniy imtihon . O‘quvchilarga yakuniy imtihon berish, o‘quv yilida
o‘rganilgan barcha mavzularni baholashga imkon yaratadi. Misol uchun,
"Trigonometriya", "Differensial hisob", "Integral hisob" kabi bo‘limlar bo‘yicha
yakuniy imtihonlar o‘tkazilishi mumkin. Bu imtihonlarda o‘quvchilarga turli xil
46

matematik masalalar, nazariy savollar, grafikalar va amaliy yechimlar taqdim
etiladi. Imtihonning natijalari o‘quvchilarning umumiy bilim darajasini ko‘rsatadi.
3. Yakuniy baholash loyihalari . Ba'zi hollarda, o‘quvchilarga yakuniy
loyiha topshirilishi mumkin. Masalan, "Sinus va kosinus funksiyalarining
grafikalarini taqdim etish va ularning o‘zgarishini tahlil qilish". Bu loyiha
o‘quvchilarning matematik tushunchalarni amalda qo‘llash ko‘nikmalarini
baholaydi va ular tomonidan erishilgan natijalar darsning yakuniy bahosini
aniqlaydi.
Summativ baholash o‘quvchilarning barcha o‘rganilgan materiallarini
umumiy baholashga yordam beradi va ular o‘rgangan bilimlarning puxtaligini
ko‘rsatadi. Bu metod o‘quvchilarning yil davomida o‘zlashtirgan bilimlari,
ko‘nikmalari va yutuqlarini baholash imkonini beradi.
O‘z-o‘zini baholash — bu o‘quvchilarning o‘z bilimlari va ko‘nikmalarini
mustaqil ravishda baholash jarayonidir. Bu usulda o‘quvchi o‘zini o‘rganilgan
materialni qanchalik yaxshi o‘zlashtirganini, qaysi sohalarda muvaffaqiyatli
bo‘lganini va qaysi jihatlarda yana ishlash kerakligini aniqlashga harakat qiladi.
O‘z-o‘zini baholash o‘quvchilarga o‘z bilimlarini tekshirish va rivojlantirish
imkoniyatini beradi, shuningdek, ular o‘z o‘qish jarayonini boshqarish va
yaxshilash uchun mas'uliyatni o‘z zimmasiga olishadi.
1. O‘z-o‘zini baholash formalarini ishlatish . Dars oxirida o‘quvchilarga
o‘z-o‘zini baholash uchun maxsus shakllar yoki anketalar beriladi. Ushbu
shakllarda o‘quvchi o‘zining bilim darajasini, masalan, trigonometrik funksiyalarni
tushunish darajasini yoki grafiklar bilan ishlashdagi muvaffaqiyatlarini baholaydi.
O‘quvchilar o‘zining kuchli va zaif tomonlarini belgilab, qaysi sohalarda
yaxshilanishi kerakligini aniqlashadi.
2. Portfel yaratish . O‘quvchilarga portfel yaratish topshirig‘i beriladi, bu
portfelda ular o‘z ishlari, masalalarni yechish jarayonlari, qiyinchiliklar va
o‘zgartirishlar bilan bog‘liq fikrlarini yozib boradilar. Portfel yordamida
o‘quvchilar o‘z o‘zini baholashda ishlatishlari mumkin. Ular o‘z yutuqlarini ko‘rib
chiqib, o‘zlarining rivojlanish jarayonlarini tahlil qilishadi.
47

3. O‘z-o‘zini tekshirish mashqlari . O‘quvchilarga testlar, masalalar yoki
kichik amaliy topshiriqlar beriladi, ular bajarilgandan so‘ng o‘quvchi o‘z
natijalarini mustaqil tekshiradi. Masalan, trigonometrik masalalar yechishda
o‘quvchi o‘zining yechimlarini muhokama qilib, xatolarini aniqlaydi. Bu jarayon
o‘quvchini mustaqil fikrlashga va xatolarni tuzatishga undaydi.
4. O‘z-o‘zini tahlil qilish va fikrlar bildirish . O‘quvchilarga o‘quv
jarayonida o‘z-o‘zini tahlil qilish uchun qisqa vaqt beriladi. Ular o‘rganilgan
mavzu bo‘yicha o‘z fikrlarini yozib, tushunmovchiliklarni va qiyinchiliklarni qayd
etadilar. Shu bilan birga, ular qanday usullar va metodlar yordamida o‘z bilimlarini
yaxshilashlarini rejalashtiradilar.
 Mustaqillikni rivojlantiradi : O‘quvchilar o‘z-o‘zini baholash orqali
mustaqil ishlash va o‘z bilimlarini boshqarish ko‘nikmasini rivojlantiradilar.
 Refleksiya : O‘quvchi o‘z o‘rganish jarayonini baholab, zaif tomonlarini
aniqlab, ularga qarshi chora-tadbirlar ishlab chiqadi.
 O‘z-o‘zini takomillashtirish : O‘z-o‘zini baholash orqali o‘quvchilar
o‘zining rivojlanishiga doir mas'uliyatni o‘z zimmasiga olishadi va o‘z bilimlarini
yanada chuqurroq mustahkamlashadi.
O‘z-o‘zini baholash usuli o‘quvchilarga o‘z bilimlarini doimiy ravishda tahlil
qilish, yaxshilash va yanada samarali o‘rganish imkonini beradi. Bu metodni
to‘g‘ri va muntazam qo‘llash o‘quvchilarning bilim darajasini yanada oshiradi.
Individual baholash — bu o‘quvchilarning shaxsiy o‘rganish jarayonini va
yutuqlarini baholashga qaratilgan usuldir. Har bir o‘quvchining o‘ziga xos bilim
darajasi, o‘rganish tezligi va o‘rganishga yondashuvi bor. Individual baholash
o‘quvchining o‘ziga xos ehtiyojlarini aniqlash va unga mos ravishda qo‘shimcha
yordam ko‘rsatishga imkon beradi. Bu usul o‘quvchining kuchli va zaif
tomonlarini aniq bilishga, o‘quv jarayonida shaxsiylashtirilgan yondashuvni
qo‘llashga yordam beradi.
1. Shaxsiy testlar va mashqlar . Har bir o‘quvchiga individual ravishda
tayyorlangan testlar yoki mashqlar beriladi. Masalan, o‘quvchining matematika
darajasi murakkab masalalar yechish orqali baholanadi. O‘quvchi o‘zining hozirgi
48

bilim darajasini test yoki mashqlar orqali ko‘rsatadi. O‘qituvchi ushbu test
natijalarini tahlil qilib, o‘quvchiga kerakli yordamni ko‘rsatadi.
2. Individual yordam . O‘quvchi darsda qiyinchiliklarga duch kelsa, unga
individual yordam ko‘rsatiladi. Masalan, o‘quvchi trigonometrik funktsiyalarni
tushunishda qiyinchiliklarga duch kelsa, unga maxsus tushuntirishlar beriladi. Bu
yordam nafaqat o‘quvchining bilim darajasini yaxshilaydi, balki o‘rganish
jarayonini shaxsiy ehtiyojlariga moslashtiradi.
3. Shaxsiy portfel yaratish . O‘quvchiga o‘z bilim va ko‘nikmalarini portfel
shaklida yaratish topshiriladi. Portfel o‘quvchining individual o‘sishini va
rivojlanishini kuzatish imkonini beradi. O‘quvchi o‘zining ishlari, yechgan
masalalari, o‘rgangan yangi tushunchalari va o‘rganishdagi muvaffaqiyatlarini
portfelga kiritadi.
4. Tavsiyalar va rivojlanish rejasi . O‘quvchiga o‘z yutuqlarini va
kamchiliklarini baholash uchun individual tavsiyalar beriladi. Masalan, o‘quvchi
ba'zi masalalarni yechishda qiyinchiliklarga duch kelgan bo‘lsa, unga qanday
qo‘shimcha resurslardan foydalanish kerakligi va qaysi mavzularda qo‘shimcha
mashqlar bajarish lozimligi haqida maslahatlar beriladi.
 Shaxsiy yondashuv: O‘quvchining ehtiyojlari, qiyinchiliklari va o‘ziga xos
imkoniyatlari hisobga olinadi, bu esa o‘quvchiga to‘g‘ri va samarali yordam
ko‘rsatish imkonini beradi.
 Rivojlanishni rag'batlantirish: Individual baholash orqali o‘quvchi o‘ziga
xos yutuqlarini ko‘rishi va o‘z bilimlarini rivojlantirish uchun qaysi sohalarda
ishlash kerakligini anglaydi.
 Mustaqil ishlashga undaydi: O‘quvchi o‘z bilimlarini o‘rganish jarayonida
faqat o‘qituvchining yordamiga tayanmaydi, balki o‘z bilimini mustahkamlash va
o‘rganish jarayonini yaxshilash uchun faol ishtirok etadi.
O‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini baholashda turli usullarni qo‘llash,
ularning matematik tasavvurlarini chuqurlashtirishga, o‘quv jarayonini samarali
boshqarishga va o‘quvchilarning individual xususiyatlarini inobatga olishga imkon
49

beradi. Bu usullar yordamida o‘qituvchi o‘quvchilarning muvaffaqiyatlarini
aniqlab, ularga zarur bo‘lgan yordamni taqdim etishi mumkin.
XULOSA
Bitiruv ishi "Umumiy o‘rta ta'lim maktablari 10-sinf Algebra va analiz
asoslari kursida elementar funksiya bobini o‘qitish metodikasi" mavzusida amalga
oshirilgan bo‘lib, bu ishda algebra va analiz asoslari kursining 10-sinf o‘quvchilari
uchun elementar funksiyalarni o‘qitishda samarali metodlarni tahlil qilish va ishlab
chiqish maqsad qilindi. O‘quvchilarga elementar funksiyalarni o‘rgatish jarayonida
metodik yondashuvlar, baholash usullari va o‘qitishning samaradorligini oshirishga
qaratilgan strategiyalar ko‘rib chiqildi. Ushbu bitiruv ishi quyidagi asosiy
natijalarga asoslangan:
1. Elementar funksiyalarni o‘qitishning ahamiyati : Elementar
funksiyalar, algebra va analizning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, ular
o‘quvchilarga matematik mulohaza va amaliy ko‘nikmalarni rivojlantirishda
muhim ahamiyatga ega. Elementar funksiyalarni o‘rganish orqali o‘quvchilar
funksiyalarni tushunish, ular bilan ishlash va turli matematik muammolarni
yechishda amaliy ko‘nikmalarni egallashadi.
2. O‘qitish metodikasi : O‘quvchilarga elementar funksiyalarni o‘rgatishda
interaktiv va amaliy yondashuvlar muhim rol o‘ynaydi. Bunda matematik
funksiyalarni grafik tarzda tasvirlash, funksiyalarning xususiyatlarini o‘rganish va
ularni real hayotdagi masalalarda qo‘llashning ahamiyati katta. O‘qituvchilar
uchun didaktik metodlardan foydalanish, o‘quvchilarga turli masalalar va testlar
orqali tushunishni mustahkamlash imkonini beradi. Buning natijasida, o‘quvchilar
50

matematik funktsiyalarni chuqur tushunishlari va amalda qo‘llash qobiliyatini
rivojlantiradilar.
3. Baholash metodlari :O‘quvchilarning bilim darajasini baholashda turli
baholash usullari qo‘llanildi: nazariy, amaliy, formativ, summativ, o‘z-o‘zini
baholash va individual baholash. Har bir usul o‘quvchilarning turli jihatlari,
masalan, nazariy bilimlar, amaliy ko‘nikmalar va o‘z-o‘zini tahlil qilish
qobiliyatini baholashda yordam beradi. Formativ baholash, o‘quvchilarning
o‘zlashtirish jarayonini doimiy ravishda kuzatib borish va ularga qo‘llab-
quvvatlashni ta'minlashda samarali ekanligini ko‘rsatdi.
4. O‘quvchilarni motivatsiya qilish : Elementar funksiyalarni o‘rganishda
o‘quvchilarning motivatsiyasini oshirish maqsadida interaktiv yondashuvlar va
zamonaviy texnologiyalar, masalan, grafik qurish dasturlari, matematik
modellashtirish va vizualizatsiya vositalari qo‘llanilishi muhimdir. Bu usullar
o‘quvchilarga mavzuni yanada qiziqarli va tushunarli qilish imkonini beradi.
5. Tavsiya etilgan metodlar : Elementar funksiyalarni o‘qitishda quyidagi
metodlardan foydalanish tavsiya etiladi:
o Interaktiv metodlar : O‘quvchilarga guruh bo‘lib ishlash, masalalarni
birgalikda yechish va natijalarni muhokama qilish imkoniyatini yaratish.
o Amaliy mashqlar : Funksiyalarni grafik tarzda tasvirlash, masalalar yechish
orqali o‘quvchilarni amaliy ko‘nikmalar bilan ta'minlash.
o Zamonaviy texnologiyalar : Matematik dasturlar, kompyuter
simulyatsiyalari va grafik qurish vositalaridan foydalanish.
6. O‘qitish jarayonining samaradorligini oshirish : O‘quvchilarning
o‘rganish jarayonida samaradorligini oshirish uchun darslarda baholash
jarayonlarini takomillashtirish, o‘quvchilarga doimiy yordam ko‘rsatish va ularni
o‘z bilimlarini baholashga rag‘batlantirish muhimdir. O‘quvchilarni o‘z-o‘zini
baholash va muvaffaqiyatlarini kuzatib borish, ularning o‘rganish jarayoniga
bo‘lgan munosabatini yaxshilashga yordam beradi.
Bitiruv ishida umumiy o‘rta ta'lim maktablari 10-sinf Algebra va analiz
asoslari kursida elementar funksiya bobini o‘qitish metodikasi muhim ilmiy va
51

amaliy ahamiyatga ega. O‘quvchilarga elementar funksiyalarni o‘rgatish
jarayonida turli metod va baholash usullarining birlashtirilishi, o‘qitishning
samaradorligini oshirishga, o‘quvchilarni matematik bilimlar bilan yanada
chuqurroq tanishtirishga yordam beradi. Ushbu yondashuvlar o‘quvchilarning
o‘rganish jarayonini yanada samarali va qiziqarli qiladi, shu bilan birga, matematik
fikrlash ko‘nikmalarini rivojlantiradi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Prezidentning 2020-yil 6-noyabrdagi “Matematika fanini rivojlantirish
va ta’lim sifatini oshirish chora-tadbirlari to‘g‘risida ”gi PQ-4884-sonli qarori
2. Abdullaev, N. , & Ismoilov, F. (2019). Algebra⁡va ⁡analiz ⁡asoslari (3-
bosqich). Toshkent: O‘qituvchi. (O‘quv dasturi va metodik qo‘llanmalarga
asoslangan. Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalarni o‘qitish
bo‘yicha metodlar va taktikalar haqida ma'lumotlar keltirilgan.)
3. Karimov, M. (2021). Matematik
⁡ta'limda ⁡innovatsion ⁡metodlar .
Toshkent: Fan. (Matematik o‘qitishda innovatsion metodlar va pedagogik
texnologiyalarni qo‘llash usullari tasvirlangan.)
4. Abdurahmonov, T. (2018). O‘quvchilarning
⁡matematik ⁡ko‘nikmalarini
baholash
⁡metodlari . Toshkent: O‘qituvchi. (Baholash usullari va metodik
yondashuvlar, jumladan formativ va summativ baholashning amaliy qo‘llanilishi
haqida batafsil tushunchalar berilgan.)
5. Mustafaev, A. (2017). Algebra
⁡va ⁡analiz ⁡kursi: ⁡Nazariy ⁡va ⁡amaliy
ko‘nikmalar . Toshkent: O‘qituvchi. (Elementar funksiyalarni o‘qitishning nazariy
asoslari va amaliy yondashuvlar haqida qo‘llanma.)
6. Akbarov, X. , & Raxmonov, I. (2020). 10-sinf
⁡Algebra ⁡va ⁡analiz ⁡asoslari
darslik . Toshkent: O‘qituvchi. (10-sinf Algebra va analiz asoslari darsliklari,
elementar funksiyalarni o‘qitish bo‘yicha metodik materiallar.)
52

7. G‘ofurov, Z. (2022). Matematik⁡darslarida ⁡interaktiv ⁡metodlar .
Toshkent: O‘qituvchi. (O‘quvchilarga interaktiv yondashuvlar yordamida
matematik funksiyalarni o‘rgatish bo‘yicha metodik qo‘llanma.)
8. Sultonov, A. (2019). O‘quvchilarning
⁡o‘z-o‘zini ⁡baholash ⁡metodikasi .
Toshkent: Fan.(O‘quvchilarning o‘z-o‘zini baholash usullari va uning ta'lim
jarayonidagi o‘rni.)
9. Kadyrov, D. , & Yusupov, S. (2018). O‘quv
⁡jarayonida ⁡zamonaviy
pedagogik
⁡texnologiyalar . Toshkent: Xalq ta'limi. (Zamonaviy pedagogik
texnologiyalar va o‘quvchilarga elementar funksiyalarni o‘rgatishda ulardan
foydalanish bo‘yicha tavsiyalar.)
10. Murodov, B. (2020). Algebra
⁡va ⁡analiz ⁡asoslarini ⁡o‘qitishda ⁡yangi
metodlar
⁡va ⁡yondashuvlar . Toshkent: Science. (Algebra va analiz asoslari
darslarini yangi pedagogik metodlar va yondashuvlar yordamida samarali o‘qitish
bo‘yicha tadqiqot.)
11. Ziyodov, A. (2021). Algebra
⁡va ⁡analiz ⁡kursida ⁡baholash ⁡metodlari:
Formativ
⁡va ⁡summativ ⁡baholash . Toshkent: Fan va ta'lim. (Baholash jarayonining
amaliy qo‘llanilishi va uning o‘quvchilarning o‘zlashtirish jarayonidagi o‘rni.)
Internet saytlar:
12. www.edu.uz – O‘zbekiston Respublikasining Xalq ta'limi vazirligining
rasmiy sayti, ta'lim sohasidagi yangiliklar, metodik qo‘llanmalar va ilmiy
tadqiqotlar bo‘yicha ma'lumotlarni taqdim etadi.
13. www.mathematica.com – Matematik tahlil va algebra bo‘yicha
resurslar, darsliklar va interaktiv o‘quv materiallari. Bu sayt matematikadan amaliy
mashqlar va tajribalar bilan tanishish uchun foydalidir.
14. www.khanacademy.org – Matematika va boshqa fanlar bo‘yicha bepul
ta'lim resurslari va video darsliklar taqdim etadigan xalqaro ta'lim platformasi.
Algebra va analiz asoslari bo‘yicha darslar mavjud.
15. www.edutopia.org – Ta'limda innovatsion metodlar va pedagogik
texnologiyalarni qo‘llashga bag‘ishlangan resurs. Matematikada zamonaviy
pedagogik yondashuvlar haqida maqolalar va tadqiqotlar mavjud.
53

16. www.mathway.com – Matematik masalalarni yechish va grafiklar
yaratish uchun onlayn platforma. Algebra va analiz asoslaridagi masalalarni
yechishda yordam beradi.
17. www.nctm.org – Milliy matematik ta'limi kengashi (NCTM) ning
rasmiy sayti, matematik ta'limda amaliy va nazariy metodlar, darsliklar va
tadqiqotlar bo‘yicha ma'lumotlar taqdim etiladi.
18. www.coursera.org – Onlayn ta'lim platformasi, algebra va analiz
asoslari bo‘yicha bepul va pulli kurslar taqdim etadi. O‘quvchilarga matematikani
yanada chuqurroq o‘rganishga yordam beradi.
54

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Umumiy oʻrta taʼlim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini oʻqitish metodikasi

O'xshash dokumentlar