Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 1.2MB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 03 Iyun 2025
Kengaytma doc
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

122 Sotish

Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni kanonik ko‘rinishga keltirish kurs ishi

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02-guruh talabasi Jamoliddinova Gulxumor Ilhomjon qizining Analitik geometriya fanidan “Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni kanonik ko‘rinishga keltirish” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev Farg‘ona-2025 1 MUNDARIJA 8. Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami. Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet. ............................................................................................................................................... 35 9. Izu Vaisman. Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year, 297 p. ....................................... 35 Foydalanilgan elektron manbalar ............................................................................................................. 35 ................................................................................................................................................................. 35 KIRISH “Taraqqiyotning tamal toshi ham, mamlakatni qudratli, millatni buyuk qiladigan kuch ham — bu ilm-fan, ta’lim va tarbiyadir.” Sh. Mirziyoyev Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalari matematikada va analitik geometriyada juda muhim o rin tutadi. Ular ko p turli geometriya shakllarini tasvirlaydi: ellipslar,ʻ ʻ parabolalar, gipermetlar va boshqalar. Ushbu chiziqlar tabiiy va ijtimoiy fanlarda keng qo llaniladi. Masalan, fizika va muhandislikda ikki nuqta orasidagi masofa ʻ yoki orbitalarning tasviri uchun ikkinchi tartibli chiziqlardan foydalaniladi. Shuningdek, ko p geometrik shakllar, shu jumladan ko p qirrali sathlar va fazoviy ʻ ʻ ob’ektlar, ikkinchi tartibli chiziqlarni o z ichiga oladi. Bugungi kunda matematika ʻ 2 va fizika, ayniqsa, sanoat muhandisligi va informatika sohalarida zamonaviy texnologiyalar va modellashtirish metodlari doimiy ravishda rivojlanmoqda. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalarini kanonik ko rinishga keltirish orqali mavjudʻ modellarning aniqligini oshirish va ularga yanada yuqori tahlil qobiliyatini berish mumkin. Bu esa zamonaviy tadqiqotlar va texnologiyalarni rivojlantirish uchun zarur. Ikkinchi tartibli chiziqlarni o rganish, zamonaviy ilmiy-texnikaviy sohalarda ʻ yangi metodlarni va yondashuvlarni ishlab chiqishda katta rol o ynashi mumkin. ʻ Ularni tahlil qilish orqali yangi matematikaning nazariy masalalari va amaliy usullari ishlab chiqilishi mumkin, bu esa yangi ilmiy yutuqlarga olib keladi. Kurs ishining dolzarbligi: Ikkinchi tartibli chiziq tenglamalari analitik geometriyada muhim o rin tutadi. Bu tenglamalar yordamida turli geometrik ʻ shakllar (ellips, parabola, giperbola) tasvirlanadi, va bu shakllar matematik modellashtirishda keng qo llaniladi. Chiziqlarni kanonik ko rinishga keltirish esa bu ʻ ʻ shakllarning geometrik va algebraik tahlilini ancha osonlashtiradi. Shuning uchun, bu mavzuni o rganish matematik tahlil va geometriya sohasida keng qo llaniladigan ʻ ʻ vositalardan biri bo ladi. ʻ Ikkinchi tartibli chiziqlarning ko plab sohalarda amaliy qo llanilishi mavjud, ʻ ʻ jumladan fizika, astronomiya, muhandislik va iqtisodiyotda. Masalan, orbitalarning tasviri, fizika qonunlarining matematik modellashtirilishi, sanoat muhandisliklarida konstruksiyalarning shakllari va ko plab boshqa amaliy masalalar uchun ikkinchi ʻ tartibli chiziqlar kerak bo ladi. Shuning uchun, ularni kanonik ko rinishga keltirish ʻ ʻ ilmiy izlanishlar va texnologik yechimlarni takomillashtirishga yordam beradi. Kurs ishining maqsadi va vazifalari : Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi – ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasini chuqur tahlil qilish, uni kanonik ko rinishga keltirishning nazariy asoslarini o rganish va bu jarayonda ʻ ʻ qo llaniladigan matematik usullarni o zlashtirishdir. Shuningdek, tenglama ʻ ʻ tuzilmasidan kelib chiqib, unga mos chiziqning turini aniqlash ham ushbu ishning muhim maqsadlaridan biridir. Mazkur kurs ishi orqali talabada analitik geometriya bo yicha amaliy va nazariy bilimlar shakllanadi. ʻ 3 Kurs ishining maqsadidan kelib chiqqan holda quyidagi vazifalar belgilandi: -ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasini o rganish va uningʻ tuzilishini tahlil qilish; -diskriminant orqali chiziqlarning turlari (ellips, parabola, giperbola)ni farqlash; -koordinatalarni burish va markazga surish orqali tenglamani kanonik ko rinishga keltirish usullarini o rganish; ʻ ʻ -har bir chiziq turining matematik va geometrik xususiyatlarini aniqlash; -analitik geometriya nazariyasini mustahkamlashga xizmat qiluvchi misollar asosida nazariyani qo llash imkoniyatlarini ko rib chiqish. ʻ ʻ I.BOB.Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida umumiy tushuncha 1.1- § Ikkinchi tartibli egri chiziqlar haqida umumiy tushuncha. Ikkinchi tartibli chiziqlar – bu matematikada ikkinchi darajali tenglama bilan ifodalanuvchi chiziqlardir. Ma’lumki, birinchi darajali tenglama to g ri ʻ ʻ chiziqni ifodalaydi. Tabiiyki, to g ri burchakli koordinatalar sistemasidagi ʻ ʻ ikkinchi darajali tenglama bilan berilgan nuqtalar to plamiga murojat qilamiz. ʻ Bunday tenglamalarning umumiy ko rinishi quyidagicha bo ladi: ʻ ʻ (1.1.1) (1.1.1*) 4 Bu yerda koeffitsiyentlarning kamida bittasi noldan farqli bo lishiʻ lozim. Bu shartni ko rinishda yozish mumkin. ʻ Tekislikda koordinatalari (1.1.1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar toplami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi. Quyida ikkinchi tartibli chiziqlarning ya’ni (1.1.1) tenglamaning xususiy hollari bilan tanishamiz. 1. Aylana . 1-ta’rif. Markaz deb ataluvchi nuqtadadan bir xil masofada joylashgan nuqtalar toplami markazi nuqtada bo lgan ʻ . radiusli aylana deyiladi. Biz qisqacha uni deb belgilaymiz. Aylana tekislikda o z markazining koordinatalari va radiusi bilan bir qiymatli ʻ aniqlanadi. Agar aylananing markazi nuqtada bo lsa , u holda uning ʻ tenglamasi (1.1.2) Ko rinishga ega bo ladi. Qavslarni ochib , quyidagini hosil qilamiz: ʻ ʻ Agar ushbu , Belgilashlarni kiritsak , u holda aylananing tenglamasi Ko rinishga keladi.Bundan aylana ikinchi tartibli chiziq ekanligi kelib chiqadi, ʻ chunki oxirgi tenglama (1.1.1*) tenglama bilan bo lganda ustma – ʻ ust tushadi. Tekislikda nuqtalar berilgan bo lib ular orasidagi masofa ʻ bo lsin. ʻ 5 2. Ellips . 1- ta’rif . Ellips deb tekislikning shunday nuqtalari to plamiga ʻ aytiladiki, bu nuqtalardan fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtgacha bo lgan masofalar yig indisio zgarmas bo lib u fokuslar orasidagi masofadan kata ʻ ʻ ʻ ʻ bo ladi. ʻ 1-rasm. (1.1.4) (1.1.5) Yuqoridagi tenglama ellipsning ta’rifiga ko ra tenglamasi.Agar ushbu ʻ tenglamani tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib soddalashtirsak, (1.1.5) ellips tenglamasining kanonik ko rinishi kelib chiqadi. ʻ Bu (1.1.5) tenglamani o rganish natijasida ellipsni chizamiz va uning ʻ xossalarini keltirib chiqaramiz. Tenglam adan ko rinib turibdiki ʻ o zgaruvchilar ʻ 6 tengsizliklami qanoatlantiradi. Abssissa o qida yotuvchi ʻ nuqtalar ellipsning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi to g ri chiziqlar ʻ ʻ ellipsning direktrisalari deb ataladi. Bu yerda bo lib, ʻ soni ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Tenglamadan ko rinib turibdiki, ellips koordinata o qlariga ʻ ʻ nisbatan simmetrik joylashgan bo lib, koordinata boshi uning simmetriya ʻ markazidir. Yuqorida ellipsga berilgan ta’rifdan kelib chiqib uning ko rinishi bilan ʻ tanishishimiz mumkin. Ellips xossalari: 1. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo lgan masofalar yig indisi ʻ ʻ o zgarmas va ʻ ga tengdir. Bu xossa bevosita hisoblash yordamida tengliknitekshirish bilan isbotlanadi. 2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo lgan masofalarning mos ʻ direktrisalargacha bo lgan masofalarga nisbati o zgarmas va ʻ ʻ soniga tengdir. Ellipsning geometrik aniqlanishi. Tekislikda ikkita nuqta berilgan bo lsa, bu ʻ nuqtalargacha b’olgan masofalarining yigindisi o zgarmas songa teng bo ladigan ʻ ʻ nuqtalaming geometrik o rni ellips bo ladi. ʻ ʻ Isbot . Tekislikda nuqtalar berilgan. Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha b oigan masofalarni m os ravishda ko rinishda ʻ belgilab, (1.1.6) tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarinng geom etrik o m ini aniqlashimiz kerak. ʻ Berilgan nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilasak, tengsizlikdan munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan nuqtalardan o tuvchi to g ri chiziqni abssissa ʻ ʻ ʻ o qi sifatida olamiz, unda musbat yo nalish ʻ ʻ nuqtadan nuqtaga qarab yo nalgan ʻ 7 bo ladi. Koordinata boshini nuqtalaming o rtasiga joylashtirib, ordinatao qi sifatida ʻ ʻ ʻ abssissa o qiga perpendikulyar ixtiyoriy o qni olamiz. Masofalar uchun, ʻ ʻ , ifodalarni yuqoridagi tenglikka qo yib, ʻ bo lgan ellipsning umumiy tenglamasini hosil qilamiz . ʻ 3. Giperbola . 3-ta’rif. Berilgan nuqtalargacha bo lgan masofalar ʻ ayirmasining absolyut qiymati o zgarmas ʻ soniga teng bo lgan nuqtalarning ʻ geometric o rniga giperbola deyiladi. ʻ nuqtalar esa giperbolaning fokuslari deyiladi. 2-rasm Yuqoridagi ta’rifdan xulosa qiladigan bo lsak giperbola quyidasgi shartni ʻ qanoatlantiruvchi nuqtalardan tashkil topadi: (1.1.7) Bu yerda tengsizlik uchburchakning ikki tomoni orasidagi farq uchinchi tomondan kichik ekanligini ifodalaydi. (1.1.8) 8 Yuqoridagi tenglama esa ikkinchi tartibli chiziqlarning turi bo lmish ʻ giperbolaning umumiy tenglamasi deyiladi. Agar ushbu tenglamani tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib soddalashtirsak, (1.1.9) giperbola tenglamasining kanonik ko rinishi kelib chiqadi. ʻ Giperbola tenglamasini tekshirish natijasida quyidagilarni olamiz: 1) o zgaruvchilar ʻ , tengsizliklarni qanoatlantiradi. Abssissa o qidagi ʻ nuqtalar giperbolaning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi to g ri chiziqlar giperbolaning direktrissasi deyiladi. Bu yerda ʻ ʻ bo lib,e soni giperbolaning ekssentrisitentiti deyiladi. ʻ 2)Tenglamada o zgaruvchilarning faqat ikkinchi darajalari ʻ qatnashganligi uchun giperbola koordinata o ‘qlariga nisbatan simmetrik joylashgandir. Bundan tashqari koordinata boshi giperbolaning simmetriya markazidir. 4.Parabola . 4-ta’rif . Har bir nuqtasidan bir nuqtasigaccha va bir to gri ʻ chiziqqacha bo;lgan masofalari o zaro teng bo lgan tekislik nuqtalarining geometrik ʻ ʻ o rniga parabola deb ataladi. ʻ 9 3-rasm Berilgan nuqta parabolaning fokusi, berilgan to gri chiziq parabolaning ʻ direktrissasidir. Parabola ta’rifidan foydalanib uning tenglamasini keltirib chiqaramiz . Buning uchun dekart kooordinatalar sistemasini quyidagicha tanlaymiz.Abssisalar o qini ʻ fokusdan o tadigan, direktrissasiga perpendikulyar qilib ordinatalar o qini esa, fokus ʻ ʻ va direktrissalari o rtalaridan direktrissaga parallel qilib o tkazamiz . ʻ ʻ (1.1.10) Yuqoridagi tenglikni koordinatalarda ifodalab , parabola tenglamasini ifodalaylik. Bundan, (1.1.11) Yuqoridagi tenglama parabolaning ta’rifiga ko ra tenglamasi deb ataladi. Agar ʻ ushbu tenglamani tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib soddalashtirsak, (1.1.12) parabola tenglamasining kanonik ko rinishi kelib chiqadi. ʻ 10 Parabola xossalari: 1.Parabolaning ixtiyoriy nuqtasidan direktrisagacha bo lgan masofa fokusgacha ʻ bo lgan masofaga tengdir. ʻ 2. Parabolaning geometrik aniqlanishi. Berilgan to ‘g ri chiziq va unda yotmaydigan ʻ nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar to ‘plami paraboladir . 5. Kesishuvchi ikki to g ri chiziqlar. ʻ ʻ Koordinatalarga mos kesishuvchi ikki kesishuvchi to g ri chiziqlar tenglamasi ʻ ʻ (1.1.13) ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ 6. Ikki parallel to g ri chiziqlar. ʻ ʻ Koordinatalarga mos ikki parallel o gri ʻ chiziqlar tenglamasi (1.1.14) ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ 1.2- § Ikkinchi tartibli chiziqlarning markazi . Biz bu bo limda dekart koordinatalar sistemasida ʻ (1.2.1) Tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqning markazini toppish bilan shug ullanamiz . Bu ishni koordinatalar sistemasini o zgartirish va (1.2.1) ʻ ʻ tenglamani soddalashtirish yordamida amalga oshiramiz. Birinchi navbatda parallel ko chirishda (1.2.1) tenglama koeffitsientlari qanday o zgarishini tekshiramiz. ʻ ʻ Buning uchun (1.2.2) formulalar yordamida almashtirishlami bajaramiz. Bu holda koordinata o qlarining yo nalishlari o zgarmaydi,faqat koordinata boshi ʻ ʻ ʻ nuqtaga ko chadi. Bu formulalardan x, у lami topib va (1.2.1) ga qo yib, ʻ ʻ (1.2.3) tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamada koeffitsientlar uchun 11 (1.2.4) tengliklar o rinli bo lib, ʻ ʻ bilan (1.2.1) tenglamaning chap tomonidagi ifoda belgilangan. Yuqoridagi (1.2.3) formulalardan ko rinib turibdiki, paralllel ʻ ko chirishda ikkinchi darajali hadlar oldidagi koeffitsientlar o zgarmaydi. Agar ʻ ʻ nuqtaning koordinatalari (1.2.5) sistemani qanoatlantirsa, (1.2.3) tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. Bundan tashqari, agar nuqtaning koordinatalari (1.2.5) sistemani qanoatlantirsa, nuqta ikkinchi tartibli chiziq uchun simmetriya markazi bo ladi. Haqiqatan ham bu holda koordinatalar markazini ʻ nuqtaga ko chirsak, tenglamada birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. Shuning uchun yangi ʻ koordinatalar sistemasida tenglik o rinli bo ladi. Demak, ʻ ʻ nuqta chiziq uchun simmetriya markazidir. Va aksincha, agar birorta nuqta chiziq uchun simmetriya markazi bo lsa uning ʻ koordinatalari (1.2.5) sistemani qanoatlantirishini ko rsatamiz. Koordinata boshini ʻ nuqtaga joylashtirib, yangi koordinatalar sistemasini kiritamiz. Agar nuqta chiziqqa tegishli bo lsa, ʻ tenglik o rinli bo ladi. Koordinata boshi ʻ ʻ simmetriya markazi bo lgani uchun ʻ tenglik ham o rinli bo ladi. Bu ʻ ʻ tengliklarni ikkinchisini birinchisidan ayirib , tenglikni hosil qilamiz. Agar koeffitsientlaming kamida bittasi noldan farqli bo lsa, bu tenglama to g ri chiziqni aniqlaydi, ya’ni ikkinchi tartibli ʻ ʻ ʻ chiziqning hamma nuqtalari bir to g ri chiziqda yotadi. Agar ikkinchi tartibli chiziq ʻ ʻ bir to ‘g ‘ri chiziqda yotmasa, bu koeffitsientlam ing har ikkalasi ham nolga teng 12 bo ladi. Bu esa ʻ nuqtaning koordinatalari (1.2.5) sistemani qanoatlantirishini ko rsatadi. Bu faktlami hisobga olsak quyidagi ta’rifning geom etrik ma’nosi yaxshi ʻ tushunarli bo ladi. ʻ 4-ta’rif . Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari (1.2.5) sistemani qanoatlantirsa, u (1.2.1) tenglama bilan berilgan ikkkinchi tartibli chiziqning markazi deyiladi. Tabiiyki, (1.2.5) sistema yagona yechimga ega bo lishi, cheksiz ko p yechimga ʻ ʻ ega bo lishi yoki umuman yechim ga ega bo lmasligi mumkin. Agar, ʻ ʻ munosabat o rinli bo lsa, (1.2.5) sistema yagona yechim ga ega bo ladi. Agar, ʻ ʻ ʻ munosabat o rinli bo lsa sistema cheksiz ko p yechim ga, ʻ ʻ ʻ munosabat bajarilsa sistema yechim ga ega emas. Bulami e’tiborga olib, biz ikkinchi tartibli chiziqlami uchta sinfga ajratamiz: a) yagona markazga ega bo lgan chiziqlar; ʻ b) cheksiz ko p markazga ega bo lgan chiziqlar; ʻ ʻ d) markazga ega bo lmagan chiziqlar; ʻ Biz quyidagi determinantlami kiritamiz 13 bu yerda belgilashlar kiritilgan. Yagona markazga ega chiziqlar uchun , yagona markazga ega bo lmagan chiziqlar uchun ʻ Chiziqlar cheksiz ko p markazga ega bo lishi uchun ʻ ʻ tenglik bajarilshi kerak. Uchinchi tartibli determinantni ko rinishda yozib olsak, oxirgi determinant ʻ ga tengdir. Agar bo lsa, birorta ʻ soni uchun munosabat bajariladi. Bu tenglikni hisobga olib tenglikni hosil qilamiz. Agar tenglik ham bajarilsa tengliklardan kamida bittasi o rinli bo ladi. Bu tengliklaming birinchisi o rinli ʻ ʻ ʻ bo lsa ʻ munosabatdan munosobat kelibchiqadi. Agar, 14 bo lsaʻ va tengliklardan munosobat kelib chiqadi. Demak, va tengliklaming bir vaqtda bajarilishi shartga teng kuchlidir. Natijada biz quyidagi tasdiqni hosil qilamiz: 1-tasdiq . Ikkinchi tartibli chiziq a) bo lsa yagona markazga ega ʻ b) bo lsa cheksiz ko p markazga ega va markazlar to plami ʻ ʻ ʻ bitta to g ri chiziqni tashkil etadi; ʻ ʻ c) bo lsa markazga ega emas. ʻ Bu tasdiqning isboti bevosita yuqoridagi fikrlardan kelib chiqadi, 2-tasdiq . Yagona markazga ega bo‘Igan ikkinchi tartibli chiziq markazi unga tegishli bo ‘lishi uchun tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Isbot . Ikkinchi tartibli chiziq markazi nuqtada bo lib, u chiziqqa ʻ tegishli bo lsa ʻ (1.2.6) va (1.2.7) tengliklar bajariladi. Yuqoridagi (1.2.6) tenglikning birinchisini ga, ikkinchisini ga ko paytirib, (1.2.7) tenglikdan ayirsak, ʻ 15 tenglikni hosil qilamiz. Demak, uchlik (1.2.8) bir jinsli sistemaning notrivial yechimidir. Bu esa shartga teng kuchlidir. Aksincha bo lsa, (1.2.8) sistema notrivial yechimga egadir. Bu ʻ uchlikda chunki Biz deb hisoblay olamiz, chunki bo lganligi ʻ uchun har bir uchun juftlik mavjud. Yuqoridagi (1.2.8) sistemada bo lganda ʻ juftlik markaz koordinatalari ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari (1.2.8)sistemadan foydalanib, tenglikni olish mumkin. 16 II BOB. Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni kanonik ko‘rinishga keltirish 2.1 - § Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni kanonik ko rinishga keltirishʻ T е kislikda bir о r affin (yoki D е kart) r е pp е rda k оо rdinatalari (2.1.1) t е nglamani qan о atlantiruvchi nuqtalar to plami ikkinchi tartibli chiziq d ʻ е b atalishi va haqiqiy sonlar , ma’lum. Bizga ma’lumki uchta chiziq: ellips, gip е rb о la va parab о la ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki (2.1.1) t е nglamada bo lib, q ʻ о lgan barcha k о effitsi е ntlar n о l bo lsa, u ellipsning kan ʻ о nik t е nglamasi, shu shartlarda yana bo lsa, (2.1.1) t ʻ е nglama gip е rb о laning kan о nik t е nglamasi, bo lib, q ʻ о lgan k о effitsi е ntlar n о l bo lsa, (2.1.1) t ʻ е nglama parab о laning kan о nik t е nglamasidir. 17 Quyidagi tabiiy sav о l tug iladi: tʻ е kislikda ko rilgan bu chiziqlardan b ʻ о shqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar b о rmi? Bu sav о lga quyida jav о b b е rishga harakat qilamiz. Avval о shuni ta’kidlaymiz bizga ma’lumki, chiziqning tartibi k оо rdi- natalar sist е masining о linishiga b о g liq emas. Bundan f ʻ о ydalanib, k оо rdinitalar sist е masini t е gishlicha tanlash his о biga barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni to la ʻ g ео m е trik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli  chiziq , , d е kart r е pp е rida (2.1.1) umumiy t е nglamasi bilan if о dalangan bo lsin. Shunday r ʻ е p е rni tanlaymizki, unga nisbatan  chiziqning (2.1.1) t е nglamasi mumkin qadar s о dda – «kan о nik» ko rinishga ega bo lsin, ya’ni ʻ ʻ 1) o zgaruvchi k ʻ оо rdinatalar ko paytmasi qatnashgan had bo lmasin; ʻ ʻ 2) birinchi darajali hadlar s о ni eng о z bo lsin (il ʻ о ji bo lsa, ular butunlay ʻ qatnashmasin); 3) mumkin bo lsa, ʻ о z о d had qatnashmasin. Agar (2.2.1) t е nglamada bo lsa, s ʻ о ddalashtirishni quyidagicha bajaramiz.  r е p е rning o qlarini ʻ О nuqta atr о fida i х tiyoriy  burchakka burib, yangi, , d е kart r е p е rini h о sil qilamiz.  r е pp е rdan  r е p е rga o tish ʻ f о rmulalari (2.1.2) dan ni (2.1.1) ga qo ysak va o ʻ ʻ х shash hadlarini i х chamlasak, γ chiziqning (2.1.1) t е nglamasiga  r е py е rda ushbu ko rinishni ʻ о ladi: (2.1.3) Bunda 18 (2.1.4) (2.1.4) b е lgilashlardan ko rinadiki, (2.1.3) tʻ е nglamadagi k о effitsi е ntlar (2.1.1) t е nglamadagi k о effitsi е ntlarga va  burchakka b о g liq, shu bilan birga, ʻ ning kamida biri n о ldan farqli, chunki = burchakning i х tiyoriyligidan f о ydalanib , uni shunday tanlab о lamizki , almashtirilgan (2.1.3) t е nglamadagi ’ k о effitsi е nt n о lga t е ng bo ʻ lsin , ya ’ ni yoki (2.1.5) 19 (2.1.5) mun о sabatni bir о r  ga t е nglab , uni quyidagi ko ʻ rinishda yozish mumkin : (2.1.6) Bu sist е ma bir jinsli, shuning uchun uning d е t е rminanti n о lga t е ng, ya’ni yoki (2.1.7) bo lgandagina sistʻ е ma n о ldan farqli y е chimga ega bo ladi. (2.2.7) t ʻ е nglama γ chiziqning х arakt е ristik t е nglamasi d е yiladi. (2.1.7) t е nglamaning ildizlari: bo lgani uchun uning diskriminanti: ʻ D е mak, (2.1.6) t е nglamaning ildizlari turli va haqiqiydir. (2.1.5) dan (2.1.8) t е ngliklarni yoza о lamiz. Ularning har birini cos   0 ga bo lib, ʻ va  , (ya’ni azaldan 0 ga t е ng ekan) ushbuni h о sil qilamiz: (2.1.9) (2.1.9) mun о sabatga navbat bilan (2.1.7) х arakt е ristik t е nglamaning ildizlarini qo yamiz: ʻ 20 , (2.1.10) viy е t t ео r е masiga ko ra (2.2.7) dan , ʻ , (2.1.11) (2.1.10) va (2.2.11) f о rmulalardan ushbuga ega bo lamiz: ʻ Shunga ko ra ʻ o qning ʻ  dagi burchak k о effitsi е nti bo lganda ʻ o qning shu r ʻ е pp е rdagi burchak k о effitsi е nti bo ladi. U h ʻ о lda o qning ʻ birlik v е kt о rining k оо rdinatalari bo lmish ʻ , , , f о rmulalardan, o qning ʻ birlik v е kt о rining k оо rdinatalari , , t е ngliklardan aniqlanadi. bo lganda (2.1.8) dan ʻ , , u h о lda (2.1.4) mun о sabatda 1- va 3– t е ngliklarni hadlab qo shsak, ʻ yoki 21 (11) dan va ekanini his о bga о lsak, k е lib chiqadi. Shunday qilib, k оо rdinatalar sist е masini (2.1.10) f о rmuladan aniqlanuvchi burchakka ( bu y е rda yangi o qning eski ʻ o qqa ʻ о g ish burchagi ) burish ʻ bilan r е pp е rdan shunday, r е p е rga o tish mumkinki, unga ʻ nisbatan (2.1.1) t е nglama s о ddalashib, ushbu ko rinishga ega bo ladi: ʻ ʻ (2.1.12) Agar o qning burchak k ʻ о effitsi е nti uchun ni qabul qilinsa, u h о lda ekanini aynan yuq о ridagi kabi ko rsatish mumkin. Shuni ʻ aytish l о zimki, agar (1) t е nglamada bo lsa, k ʻ оо rdinatalar sist е masini burish bilan almashtirishga h о jat q о lmaydi. Endi, r е pp е rdan shunday r е p е rga o tamizki, unga nisbatan ʻ  chiziqning (2.1.12) t е nglamasida birinchi darajali hadlar qatnashmasin. Bu ishni k оо rdinatalar b о shini ko chirish bilan bajarish mumkin. (2.1.12) t ʻ е nglamada k о effitsi е ntlarning kamida biri n о ldan farqli, chunki agar bo lsa, (2.1.12) ʻ t е nglama birinchi darajali t е nglamaga aylanar edi. D е mak, bu y е rda quyidagi uch h о l bo lishi mumkin: ʻ I. Bu h о lda (2.1.12) t е nglamaning chap t о m о nidagi hadlarni x  , y  ga nisbatan to liq kvadratga k ʻ е ltiramiz: Bundan (2.1.13) 22 bu y е rda . Endi ni u quyidagi f о rmula bilan aniqlanadigan parall е l ko chirishni ʻ bajaraylik: (*) U h о lda yangi (O i  j  ) r е p е r h о sil bo lib, chiziqning t ʻ е nglamasi s о ddalashadi: (2.1.14) Bu yerda quyidagi holler bo‘lishi mumkin: 1. va ning ishoralari bir xil , ning ishorasi esa ularga qarama- qarshi bo ‘lsa-ellips hosil bo‘ladi; 2. ning ishorasi va ning ishorasiga qarama - qarshi bo ‘ lsa yoki aksincha ning ishorasi va ning ishorasiga qarama - qarshi bo ’ lsa – giperbola hosil bo ‘ ladi ; 3. va ning ishoralari qarama - qarshi bo ’ lsa , bo ‘ lsa – ikki kesishuvchi to ‘ g ‘ ri chiziqlarni ifodalaydi . II. ( ), yoki , Bu h о llardan birini ko rsatish yetarli, chunki ʻ almashtirish yordamida ularning birini ikkinchisiga k е ltirish mumkin. Birinchi h о lni qaraymiz: ni his о bga о lib, (2.2.12) t е nglamaning chap t о m о nidagi hadlarni y  ga nisbatan to liq kvadratga k ʻ е ltiramiz: 23 yoki Bunda b е lgilashni kiritdik. Ushbu f о rmulalar bo yicha kʻ оо rdinatalar sist е masini almashtiramiz, ya’ni k оо rdinatalar b о shi ni nuqtaga ko chiramiz. U h ʻ о lda h о sil bo lgan ʻ r е p е rga nisbatan chiziqning t е nglamasi ushbu s о dda ko rinishni qabul qiladi: ʻ (2.1.15) Bu yerda faqat parabola bo ‘lishi bo ‘lishi mumkin. III. yoki Bu h о llar ham bir-biriga o ʻ х shash bo lib, ʻ shuning uchun ularning birini qarash yetarli. Birinchi h о lni qaraymiz. da (2.1.12) t е nglama ushbu ko rinishni ʻ о ladi: (2.1.16) bu y е rda bo lgani uchun (2.1.16) ni quyidagicha yozish mumkin: ʻ yoki 24 bunda Ushbu f о rmulalar bo ʻ yicha r е pp е rdan nuqtaga ko ʻ chiramiz . Yangi r е pp е rda  chiziqning s о dda t е nglamasi h о sil bo ladi:ʻ (2.1.17) Bu yerda quyidagi hollar bo ‘lishi mumkin: 1. ning ishorasi ning ishorasi bilan qarama-qarshi bo ‘lsa ikkita parallel to‘g‘ri chiziqlarni ifodalashi mumkin; 2. bo‘lsa (2.1.17) tenglama ikkita ustma-ust tushuvcxhi chiziqlarni ifodalashi mumkin. Demak, agar ikkinchi tartibli  chiziq bir о r d е kart r е pp е rda (2.2.1) t е nglama bilan b е rilgan bo’lsa, yangi d е kart r е p е rini t е gishlicha tanlash bilan  ning t е nglamasini (2.1.14), (2.1.15), (2.1.17) t е nglamalarning biriga k е ltirish mumkin . 2.2- §.Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni invariantlar yordamida soddalashtirish Bizga ikkinchi tartibli chiziq umumiy tenglamasi bilan berilgan bo lsin. ʻ (2.2.1) 25 Quyidagi almashtirishni bajaraylik. (2.2.2) Bu almashtirish natijasida (2.1.1) chizig imizni tenglamasi quyidagi ko rinishniʻ ʻ oladi. (2.2.3) Umumiy holda almashtirish natijasida (2.2.1) chiziqning koeffitsentlari o zgaradi. Ammo (2.2.1) chiziqning koeffitsentlari bog liq bo lgan shunday ʻ ʻ ʻ funksiyani tuzish mumkinki, bu funksiyaning qiymati almashtirish bajarilganidan so ng hosil bo lgan chiziq tenglamasidagi koeffitsentlardagi qiymati o zgarmaydi, ʻ ʻ ʻ ya’ni Shunday funktsiyalarga (2.2.1) chiziqning almashtirishga nisbatan invarianti deyiladi. Endi (2.2.1) chiziq tenglamasi uchun quyidagi almashtirishni bajaraylik, ya’ni koordinatalar sistemasini koordinata boshi atrofida burchakka buramiz (2.2.4) Natijada (2.1.1) chiziq tenglamasi yangi koordinatalar sistemasiga nisbatan quyidagi tenglamaga ega bo lamiz. ʻ (2.2.5) bu yerda 26 (2.2.6) Endi ikkinchi tartibli egri chiziqning invariantlarini topishda asosiy rol o ynaydigan quyidagi teoremani keltiramiz. Buning uchun quyidagi tushunchalar ʻ kerak bo ladi, ya’ni bizga ikki o zgaruvchiga bog liq bo lgan kvadratik forma ʻ ʻ ʻ ʻ berilgan bo lib, ʻ (2.2.7) uning matritsasi bo lsin. ʻ Quyidagi chiziqli almashtirishni bajaraylik (2.2.8) bu almashtirishni matritsasi bo ʻ lsin . 27 1- teorema : Agar (2.2.7) kvadratik forma uchun (2.2.8) chiziqli almashtirish bajarilgan bo ʻ lsa , u holda hosil bo ʻ lgan yangi kvadratik forma matritsasini determinanti , berilgan kvadratik forma matritsasi determinantini almashtirish matritsasi determinantini kvadratiga yo ʻ naltirilganiga teng bo ʻ ladi , ya ’ ni (2.2.9) Yuqoridagi teoremaga ko ʻ ra (2.2.1) ni burishga nisbatan invariantlarni topamiz . Quyidagi almashtirishni bajaraylik u holda quyidagilarga ega bo lamizʻ (2.2.10) ikkinchi tomondan (2.2.11) Bu (2.2.10) va (2.2.11) lardan har qanday haqiqiy son uchun quyidagi tenglik o rinli bo ladi. ʻ ʻ yoki Yuqorida keltirilgan teoremaga ko ʻ ra , quyidagini yozishimiz mumkin . 28 Hosil bo lgan determinantlarni hisoblaymiz.ʻ Bu tenglikdan quyidagilarga ega bo lamiz. ʻ Invariantning ta’rifiga ko ra ʻ va lar (2.2.1) chiziqni burishga nisbatan invariantlari bo ladi. ʻ Yuqorida va ni hosil qilganimiz singari, ni hosil qilamiz va u quyidagi ko rinishga ega bo ladi: ʻ ʻ Bizga ma’lumki (2.2.1) ikkinchi tartibli egri chizig imiz quyidagi uchta tipga ajralar edi. ʻ I . , agarda ; II . , agarda ; III . , agarda . Bu hosil bo lgan ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasidagi koeffitsentlarni ʻ invariantlar orqali ifodalaymiz. Buning uchun xarakteristik tenglamani olib uning 29 ildizlarini invariantlar orqali ifodalaymiz Xarakteristik tenglama ildizlari invariantlar orqali ifodalanganligi uchun ular chiziqli almashtirishga nisbatan invariant bo ladi.ʻ a) ikkinchi tartibli egri chiziq I tipga tegishli bo lsin ʻ Viyet teoremasiga ko ra ʻ Qaralayotgan chizig imiz I tipga tegishli bo lganligi uchun ʻ ʻ bo ladi, ʻ bundan esa ekanligi kelib chiqadi. Demak (2.2.1) chiziq I tipga tegishli bo lishining zaruriy va yetarli sharti ʻ ekan. Endi invariantni hisoblaymiz. Bundan esa (2.1.1) chiziq I tipga tegishli bo lsa uning tenglamasi quyidagi ʻ ko rinishda bo lishligi kelib chiqadi. ʻ ʻ b) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig imiz II tipga tegishli bo lsin. ʻ ʻ Ikkinchi tip uchun va bo lganligi uchun ʻ bo ladi, va ʻ quyidagiga teng bo ladi. ʻ 30 Demak (2.1.1) chizig imiz II tipga tegishli bo lishining zaruriy va yetarli ʻ ʻ sharti bo lishi ekan. ʻ Ikkinchi tomondan: bo lganligi uchun, II tip ʻ tenglamani invariantlar orqali ifodasi quyidagicha bo ladi. ʻ c) Faraz qilaylik (2.1.1) chizig imiz III tipga tegishli bo lsin, ya’ni ʻ ʻ (2.2.1) chiziqning III tipga tegishli bo lishining zaruriy va yetarli sharti quyidagicha ʻ bo ladi. ʻ va -invariantni III tip uchun hisoblaymiz. , Bundan esa III tip chiziq tenglamasi invariantlar orqali quyidagicha ifodalanishi kelib chiqadi. 31 1– misol: Quyidagi ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi soddalashtirilsin. Yechish: a) Berilgan chiziq tenglamasi uchun invariantlarni hisoblaymiz. b) bo lganligi uchun berilgan ikkinchi tartibli egri chizig imizʻ ʻ II tipga tegishli bo ladi. Uning tenglamasini yozamiz. ʻ yoki bo lib, bu chiziq paraboladan iborat bo ladi. ʻ ʻ Yuqoridagi o rganilgan barcha ma’lumotlarni birlashtirib quyidagi jadvalni ʻ keltirishimiz mumkin. 32 1-jadval 33 Xulosa Ushbu kurs ishida umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni o ‘rganish hamda ularni kanonik ko ‘rinishga keltirish usullari tahlil qilindi.Avvalo’ ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalarning umumiy ko ‘rinishi va ular tasvirlaydigan geometric shakllar –ellips, giperbola, parabolaning nazariy asoslari yoritildi. Keyingi bosqichda koordinata o‘qlarini siljitish va aylantirish orqali tenglama tarkibidan chiziqli hadlarni yo‘qotish , ya’ni tenglamani kanonik(sodalashtirilgan) ko ‘rinishga keltirish amaliyotlari ko ‘rib chiqildi. Bu orqali tenglama ifodalaydigan egri chiziqning turi, markazi va asosiy parametrlarini aniqlash imkoniyati paydo bo ‘ladi. Shuningdek, discriminant va invariantlar yordamida ikkinchi tartibli chiziqning turini aniqlash usullari ham amaliy misollar asosida tushuntirildi. Amaliy misollar orqali mavzuga oid nazariy bilimlar mustahkamlandi va kanoniklashtirish bosqichlari aniq ko‘rsatildi. Natijada, ushbu kurs ishi orqali talabalar analitik geometriyaning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan ikkinchi tartibli chiziqlar bilan ishlash bo‘yicha chuqurroq tushuncha hosil qiladilar, ularni tahlil qilish va soddalashtirish ko‘nikmalarini egallaydilar. Bu esa nafaqat nazariy bilimlarini, balki amaliy masalalarni hal qilishga ham qo‘l keladi. 34 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent . “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2020 yil , 176 bet. 2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent. “Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet. 3 . Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet. 4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Физматлит», 2004 yil , 232 стр. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 , 5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995 6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra. Toshkent . “ O ‘ qituvchi ” 1993 y 7. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М . « Физматлит », 2016 г , 241 стр . 8 . Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami. Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet. 9. Izu Vaisman . Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year, 297 p. Foydalanilgan elektron manbalar 1. htt://www.arki.ru/magaz 2. htt://www.lib.ru 3. htt://www.bilimdon.uz 4. htt://www.istedod.uz 35 36

Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni kanonik ko‘rinishga keltirish  kurs ishi

Sotib olish