Vektor va aralash ko’paytmaning akademik litsey geometriya kursidagi masalalar yechishga tadbiqi - Informatika va AT - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	12000UZS
Hajmi	1.4MB
Xaridlar	4
Yuklab olingan sana	06 Aprel 2024
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Informatika va AT

Vektor va aralash ko’paytmaning akademik litsey geometriya kursidagi masalalar yechishga tadbiqi

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO’NALISHI
208- GURUH TALABASI
QOBILOVA DILDORA
GEOMETRIYA fanidan
KURS ISHI

Termiz 20 22

Vektor va aralash ko’paytmaning akademik
litsey geometriya kursidagi masalalar yechishga
tadbiqi
Kirish.
I bob
1.1 Vektorlar haqida elementar tushuncha.
1.2 Vektorlarning yig’indisi.
1.3 Vektorlarning ayirmasi.
II bob
2.1Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi……….
2.2.Ikki vektorning vector ko’paytmasi……….
2.3 Uch vektorni aralash ko’paytmasi va xossalari.
III bob
3.1 Mavzuga doir masalalar.

KIRISH
Maqsadga yo’naltirilgan ishlar olib borilishi o’tish davrida 2 mingdan
ortiq talaba va mutaxassisning chet ellarda o’qib kelishi 200 dan ortiq chet el
mutaxassisining respublikamiz o’quv muassasalariga jalb qilinishi qayd etib
o’tilgan. Davlat va jamiyat qurilishi akademiyasi, bank-moliya
akademiyalarini tashkil qilganimiz hozirdanoq o’z samarasini berayotganini
katta mamnuniyat bilan ta’kidlashimiz lozim. O’qituvchi bolalarimizga
zamonaviy bilim bersin deb talab qilamiz. Ammo zamonaviy bilim berish
uchun avvalo murabiyning o’zi ana shunday bilimga ega bo’lishi lozim.
Bolaning dunyoqarashi, didi, salohiyati shakllanadigan boshlang’ich sinflarga
eng yetuk, eng tajribali murabbiylar biriktirib qo’yilishini oddiy mantiqning
o’zi talab etadi. Hammamizga ma’lumki, ta’lim darslikdan boshlanadi. Biz
darslik yaratishga eng ilg’or va eng sharafli vazifa sifatida qarashimiz, yaxshi
darslik yaratgan odamlarni boshimizga ko’tarishimiz kerak bo’lsa katta
tanlov asosida yaratishimiz lozim. Hozirgi payitda xorijiy tillarni o’rganish
va o’rgatishga yurtimizda katta ahamiyat berilmoqda. Bu ham, albatta bejiz
emas. Bugun jahon hamjamiyatidan o’ziga munosib o’rin egallashga
intilayotgan mamlakatimiz uchun, chet ellik sheriklarimiz bilan hamkorlikda
o’z buyuk kelajagini ko’rayotgan xalqimiz uchun xorijiy

tillarni mukammal bilishning ahamiyatini bilishni xojati yo’q. Bundan
tashqari o’qituvchi va o’quvchi munosabatlarida majburiy itoatkorlik o’rnini
ongli
intizom egallashi lozim. O’qituvchining bosh vazifasi o’quvchilarda mustaqil
fikr yuritish ko’nikmalarini hosil qilishdan iborat.Demokratik jamiyatda
bolalar umuman har bir inson erkin fikirlaydigan etib tarbiyalanadi. Agar
bolalar erkin fikirlashni o’rganmasa, berilgan ta’lim samarasi past bo’lishi
muqarrar. Albatta, bilim kerak. Mustaqil fikrlash ham katta boylik. Bugungi
kunda ta’lim –tarbiya sohasidgi islohotlarni yanada chuqurlashtirish, ta’lim
standartlari va dasturlarini takomillashtirish, maktablar, litsey va kolejlar, oliy
o’quv yurtlarining moddiy texnik bazasini yanada mustahkamlash
masalalariga katta e’tibor berib kelinmoqda. Misol uchun 2013 –yilda 28 ta
yangi kasb-hunar kolleji qurildi, 381 ta umumta’lim maktabi, oliy o’quv
yurtlari tizimidagi 45 obyekt, 31 ta kasb- hunar kolleji va litseylar
rekontruksiya qilindi va capital taminlandi. Shuningdek, 55 ta bolalar musiqa
va san’at maktabi, 112 ta bolalar sporti obyekti va 4 ta suzish havzasi
foydalanishga topshirilib, ularning barchasi zarur uskunalar bilan jihozlandi.
Maktablarning 1-sinf o’quvchilari uchun chet tillarini o’rganish bo’yicha
multimediya variant ilova qilingan 538 mingdan ortiq rangli darslik joriy
qilindi. 2 ming nafarga yaqin chet tili o’qituvchisi tayyorlandi va ularning
soni 26 ming kishiga yetdi. Mamlakatimizning barcha mintaqalarida chet

tillarini bir xil sharoitda o’qitish, qishloq joylarga yuqori malakali ingliz tili
o’qituvchilarini jalb etish maqsadida, 30 foiz qo’shimcha haq belgilandi.
Konfrensiya ishtirokchilari ushbu forumning bosh mavzusi ya’ni ta’lim
tizimini isloh etish masalalari- zamonaviy davlatni izchil va barqaror
taraqqiyoti avvalambor uning iqtisodiy rivojlanish yo’lidagi
muammolarni yechish bilan bevosita bog’liq holda ko’rilayotgan
masalaga e’tibor qaratgan bo’lsalar kerak.

Vektor haqida elementar tushunchalar
Ta’rif : Yo’naltirilgan kesmaga vektor deyiladi.
Yo’nalishga ega bo’lgan AB kesmani olamiz.
A nuqtaga vektorning boshi, B nuqtaga esa vektorning oxiri deyiladi.
Vektor odatda bitta yoki ikkita harf bilan quyidagicha yoziladi:⃗
a
, ⃗ b ,
a, b, AB .
Fizika, mexanika, texnika kabilarda moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch,
harakatdagi nuqtaning tezligi, tezlanish singari tushunchalar ko`p uchraydi.
Bu tushunchalar faqatgina kattalikka emas, balki ular yo’nalishga ham
egadirlar. Demak, bunday kattaliklarni ta’rifga asosan vektor kattalik yoki
vektor deb qarash mumkin. Ba’zida vektor miqdor ham deyiladi.
Kattalikka ega bo`lib, uning yo’nalishi talab qilinmaydigan kattaliklarga
skalyar kattalik , skalyar miqdor yoki qisqacha skalyar deb ataladi. Masalan,
uzunlik,yuza, hajm,massa, temperatura kabilar skalyarga misol bo`la oladi.
Agar vektorning boshi va oxiri ustma-ust tushsa, bunday vektorga nol vektor
deyiladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng bo`lib, u yo’nalishga ega emas.

Bunday vektor ⃗AA yoki ⃗ 0
kabi belgilanadi. Chizmada nol vektor bitta nuqta
bilan tasvirlanadi.
Vektorning uzunligi uning moduli deb ataladi va
⃗|AB |=|⃗a|=a ko’rinishda
yoziladi. Moduli birga teng bo’lgan vektorga birlik vektor yoki ort deyiladi
va
|⃗ e| = ¿
1 ko’rinishda yoziladi.
Agar ikkita
⃗a va ⃗ b
vektorlarning uzunliklari teng va yo’nalishlari bir xil bo`lsa,
bunday vektorlarga teng vektorlar deyiladi va quydagicha belgilanadi:
|⃗
a| = |⃗ b| YOKI ⃗|
AB | = |⃗ CD |
Vektorlar tengligi quyidagi xossalarga ega:
-Har qanday vektor o’ziga teng (refleksivlik sharti):
|⃗ a| = |⃗ a|
-Agar
⃗ a
vektor ⃗ b
vektorga teng bo’lsa, u holda ⃗ b
vector ⃗ b
vektorga teng
bo’ladi (simmetriklik),
ya’ni .
|⃗ a| = |⃗ b|
-Agar
⃗a vektor ⃗ b
vektorga teng va ⃗ b
vektor ⃗ c
vektorga teng bo’lsa, vektor ⃗ a
vektorga c
teng bo’ladi (tranzitivlik),ya’ni: .
|⃗ a| = |⃗ b|
bo’lsa |⃗ b| = |⃗ a|
bo’ladi.
Vektorlar yig’indisi

Ta’rif: Ikkita ⃗a va ⃗ b
vektorlarning yig’indisi deb ⃗ a
vektorning boshi bilan ( b
)
vektorning oxirini tutashtiruvchi
⃗ c
vektorga aytiladi.
⃗
a
+ ⃗ b
= ⃗ c
(1)
Vektorlarni bunday qo’shish usuliga uchburchak usuli deyiladi. Bunday
atalishiga sabab, qo’shiluvchi va yig’indi vektorlar birgalikda uchburchakni
hosil qiladi.
Vektorlarni qo’shishning yana bir usuli –
parallelogramm usulidir. Bu usul boshi bir nuqtada yotgan hamda ular
orasidagi burchak nolga teng bo’lmagan ikkita vektorni qo’shishda
qo’llaniladi. Masalan, boshi ixtiyoriy 0 nuqtada bo’lgan.
⃗OA
= ⃗a va ⃗OB = ⃗b vektorlarni yasaymiz. OA va O В kesmalar orqali OA СВ
parallelogramm yasaladi. Parallelogrammning О nuqtasidan o’tkazilgan
diagonal
⃗a va ⃗b vektorlarning yig’indisi ⃗c vektor bo’ladi, chunki ⃗AC = ⃗OA = ⃗b
hamda
⃗OC
= ⃗ OC
+ ⃗AC .

Vektorlarni qo’shish qoidasi quyidagi xossalarga ega:
1 0
.⃗a + ⃗b =. ⃗b + ⃗a (o’rin almashtirish).
20
. ¿
+ ⃗
b ) + ⃗ c
= ⃗a + ¿ + ⃗ c
) (gruppalash).
3 0
. Har qanday
⃗a va ⃗ 0
lar uchun quyidagi o’rinli:
⃗a
+ ⃗ 0
= ⃗a
Qarama –qarshi
⃗a va ⃗ a 1
(yoki ⃗AB va ⃗BA ) vektorlar yig’indisi nolga teng
ya’ni
⃗a + ⃗a1 =0 yoki ⃗AB + ⃗BA =0
Vektorning ayirish:
Tarif.
⃗a,⃗b vektorlarni ayirmasi deb, ⃗a vektor bilan ⃗b vektorga qarama- qarshi -
⃗b
vektorning yigindisiga aytiladi.
Bu terifdan ko’radiki,
⃗ c
= ⃗ a
- ⃗ b
ayirma vektorni yasash uchun ⃗ c
= ⃗a +(- ⃗ b
) vektorni
yasash kerak ekan. Agar
⃗a,⃗b vektorlar bitta O nuqtaga qo’yilgan bo’lsa
hamda
⃗ c
= ⃗OA va ⃗ c
= ⃗ OB
deb belgilangan bo’lsa, u holda ⃗ c
= ⃗ a
- ⃗ b
= ⃗ OA
- ⃗ OB
= ⃗OA + ⃗BO =
⃗BO
+ ⃗OA = ⃗BA .
Bu holda
⃗a va ⃗bvektorlarning ayirmasini toppish uchun boshi B nuqtada, oxiri
esa A nuqtada bo’lgan
⃗BA vektorni yasash yetarli bo’ladi. Bu qoidadan

ko’rinadiki, ayirma vektor doim mavjuddir.
Vektorning songa (skalyarga) ko`paytmasi
Ta’rif: ⃗a vektor va α≠0 haqiqiy sonning ko`paytmasi deb shunday ⃗c vektorga
aytiladiki, bu vektorning uzunligi
|⃗c|=|λ|∙|⃗a| dan iborat bo`lib, α>0 bo’lganda ⃗a
vektor bilan yo’nalishdosh,
α<0 bo’lganda esa ⃗a vektorga qarama-qarshi
yo’nalgan bo’ladi.
Vektorning songa ko`paytmasi
⃗c = α⃗a ko’rinishda ifodalanadi.
Agar
α= 0 yoki ⃗a≠0 bo’lsa, α⃗a ko`paytma noaniq yo’nalishli nol vektorga
aylanadi.
⃗a
vektorni α soniga ko`paytirishning geometrik ma’nosi quyidagicha: ⃗a
vektor
α songa ko`paytirilganda ⃗a vektor α marta cho’ziladi. Cho’zilish α>1
bo’lganda sodir bo’ladi.
Bir xil yo’nalishiga ega bo’lib,
0<α<1 bo’lganda esa qisqarish yuzaga keladi,
ammo
⃗a vektor bilan ⃗e - birlik vektorning ko`paytrmasi vektorni songa
ko`paytirish ta'rifiga asosan
⃗c = |a|⃗a dan iborat bo’ladi.

Bundan ,⃗e = 1
|a|⃗a
Demak,
⃗a vektorga yo’nalishdosh bo’lgan ⃗e birlik vektorni topish uchun
berilgan vektorni 1
|
a| songa ko`paytirish kerak.
Vektorni songa ko`paytirish quyidagi xossalarga ega:
1 0
. Vektorni songa ko`paytirishning gruppalash qonuni: n(m
⃗a
)=(nm)
⃗a
20.
Sonlar yig’indisining vektorga ko`paytirishning taqsimot qonuni:
(n+m)
⃗a =n ⃗a +m ⃗a
3 0
. Son bilan vektorlar yig’indisini ko’paytirishning taqsimot qonuni:
n¿
+ ⃗b )= n ⃗a +n ⃗b
Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi:
Ta’rif.
⃗a,⃗bve ktorlarni uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini
ko’paytirishdan hosil qilingan son bu vektorlarnung skalyar ko’paytmasin
deb ataladi.
⃗a,⃗b vektorlarning skalyar ko’paytmasi ⃗ a⃗ b yoki (⃗ a⃗ b)
ko’rinishida
belgilanadi.
Demak, ta’rifga ko’ra
⃗a⃗b
= |⃗ a||⃗ b| cos φ .

Ikki vektorni skalyar ko’paytirish amali quyidagi xossalarga ega.10
. Skalyar ko’paytirish o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadi.
⃗a⃗b= ⃗b⃗a
2 0
. Har qanday vektorningo’z-o’ziga skalyar ko’paytmasi bu vector
uzunligining kvadratiga teng:
⃗a⃗a
= |⃗ a| 2
30
. Skalyarko’paytirish skalyar ko’paytuvchiga nisbatan guruhlanish
qonuniga bo’ysunadi, ya’ni
( m
⃗ a ) ⃗ b
=m( ⃗a⃗b ).
4 0
. Ko’paytuvchi vektorlar perpendikulyar bo’lsa, skalyar ko’payma nolga
teng.
⃗a⊥⃗b
⟹ ⃗a⃗b =0
5 0
. Skalyar ko’paytirish taqsimot qonuniga bo’ysunadi.

(⃗ a + ⃗ b
) ⃗ c
= ⃗ a⃗ c + ⃗ b⃗ c
Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va xossalari
Ta’rif.
⃗a vektorni ⃗ b
vektorga vektor ko’paytmasi deb, shunday ⃗ c
vektorga
aytiladiki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.
1)
⃗c ⊥ ⃗a va ⃗c ⊥ ⃗b ;
2)
⃗ a , ⃗ b , ⃗ c
vektorlar o’ng uchlikni tashkil etadi.
3)
⃗ c
vektorni uzunligi ⃗a va ⃗ b
vektorlarda yasalgan
parallelogram yuziga teng bo’ladi.
Ya’ni
|⃗c| = |⃗ a| ∙|⃗ b|
∙sin ??????
⃗a
va ⃗b vektorlarning vektor ko’paytmasi
⃗a
* ⃗b ko’rinishda belgilanadi.
|⃗c|
= |⃗a|∙|⃗b| = Sparall
Vektor ko’paytmaning xossalari
1 0
.
⃗a∙⃗a= ⃗a∙⃗a

2 0
(⃗ a ∙ λ ) ∙ ⃗ b = λ ∙ ( ⃗ a ∙ ⃗ b )
30
. ⃗ a ∙
( ⃗ b ∙ ⃗ c ) = ⃗ a ∙ ⃗ b + ⃗ a ∙ ⃗ c
40
. ⃗
a ∙ ⃗ a = ⃗ b ∙ ⃗ b = 0
50
. ⃗
i ∙⃗ i = ⃗ j ∙ ⃗ j = ⃗ k ∙ ⃗ k = 0
Vektor ko’paytmani determinant orqali hisoblash.
Aytaylik
⃗
a va ⃗ b vektorlar ⃗i,⃗j,⃗k ortlar orqali yoyilgan bo’lsin.
Ya’ni
⃗a = x
1 i + ¿
y
1 j + ¿
z
1 k ,
⃗
b = x2i+¿ y
2 j + ¿
z2k
Bu holda vector ko’paytma quyidagi formulalardan aniqlanadi:
⃗
a ∙ ⃗ b =
|
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2|
⃗ava ⃗b
vektorlarda yasalgan
uchburchak yuzi
S△ = 1
2 S
parall = 1
2|⃗a∙⃗b|
Uch vektorni aralash ko’paytmasi va xossalari.
Uchta
⃗ a , ⃗ b , ⃗ c
komplanar bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin.
Ta’rif.
⃗a × ⃗b vektor ko’paytmani ?????? vektorga skalyar ko’paytmasiga aralash
ko’paytma deyiladi va uni (
⃗ a
× ⃗ b
) × ⃗ c
=. ⃗a × ¿
× ⃗c¿ ko’rinishda belgilanadi.

Uch vektorning aralash ko’paytmasi skalyar miqdor bo’lib, uni geometrik
ma’nosi . ⃗a , ⃗ b va ⃗ c
vektorlarda yasalgan parallelopipedning hajmiga teng.
?????? = (
⃗a × ⃗b ) × ⃗c = |⃗ a × ⃗ b|
∙⃗c ∙ ???????????????????????? = Sparall
Bu yerda h =
|⃗ c|
∙ ????????????????????????
1.Qirralari quyidagi vektorlardan iborat bo lgan parallelepiped hajmini toping
ʻ
1)
⃗a1 (5, 3,- 2) ⃗ b
1 (1, -1, 2) ⃗ c
1 (3, 1, 4):
2)
⃗ a
2 = 4t + 3j - k ⃗ b
2 (2, 1, 2) ⃗c2 (-3, -2, 5)
2.
⃗ AB
(4, 3, 0). ⃗AD (2, 1, 2). ⃗ A A
1 (-3, -2, 5) Vektorlarga yasalgan

ABCD A
1 B
1 C
1 D
1 parallelepiped hajmini hisoblab A
1 uchidan (ABCD) asosga
tushurilgan balandligining uzunligini toping.
3.Ikkita ⃗ a
( 3, 4, 0 ) ⃗ b
( 3, 4, 2 ) vektorda yasalgan tetraedrni asosini yuzini
hisoblang.
4. Uchlari O (0, 0, 0) A ( 1, 0, 0) B (0, 1, 0) C (0, 0, 1) nuqtalarda bo lgan
ʻ
tetraedr hajmini hisoblab . OH balandligining uzunligini toping.
5.
⃗AB ( 2, 0, 0) ⃗AC (3, 4, 0) ⃗AD (3, 4, 2) Vektorlarga yasalgan tetraedir
hajmini hisoblab, D uchidan (ABC) asosga tushurilgan balandligining
uzunligini hisoblang.
1.0

⃗a
( 3, 1 ,4 )
⃗b
( 1, -4, 2 )
⃗
c
( 5, 3, -2 )
parallelepiped qirralari shu vektorlarda bo’lsa

parallelepiped hajmini toping.
Parallelepipedni hajimini topish formulasi quyidagicha:V parall
= |
⃗ a
⃗
b
⃗
c| mos koordinatasida tuzilgan determinantni qiymatiga teng.
V
parall =
| 3 1 4
1 − 4 2
5 3 − 2 |
Detirminant yechishda uchburchak usuldan foydalanamiz
|
3 1 4
1 − 4 2
5 3 − 2 | =24+10+12+80-18+2=110

V parall =110 Parallelepipedni Hajmi 110 ga teng.
1.2
⃗a (-3, -2, 5 )

⃗
b ( 2, 1, 2 )

⃗ c
( 4, 3, -1 )
parallelepiped qirralari shu vektorlarda bo’lsa
parallelepiped hajmini toping.
Parallelepipedni hajimini topish formulasi quyidagicha:

V parall= |
⃗ a
⃗
b
⃗
c| mos koordinatasida tuzilgan determinantni qiymatiga teng.
V parall
= | − 3 − 2 5
2 1 2
4 3 − 1 |
Detirminant yechishda uchburchak usuldan foydalanamiz.
|
− 3 − 2 5
2 1 2
4 3 − 1 | =3-16+30-20+18-4=11
V parall
=11 Parallelepipedni Hajmi 11 ga teng.
2-masala
⃗
AB
( 4, 3, 0 )
⃗AD
( 2, 1, 2 )
⃗
A A
1 ( -3, -2, 5 )

Vektorlarga yasalgan ABCD A
1 B
1 C
1 D
1 parallelepiped hajmini hisoblang, A
1
uchidan (ABCD) asosoga tushirilgan balandligining uzunligini toping.
1-qismda Parallelepipedni hajmini hisoblaymiz.⃗AB
( 4, 3, 0) ⃗AD ( 2, 1, 2 ) ⃗ A A
1 ( -3, -2, 5 )
Parallelepipedni hajimini topish formulasi quyidagicha:
V
parall =
|
⃗ A A
1
⃗
AD
⃗
AB | mos koordinatasida tuzilgan determinantni qiymatiga teng.
V parall
= | − 3 − 2 5
2 1 2
4 3 0 |
Detirminant yechishda uchburchak usuldan foydalanamiz
|
− 3 − 2 5
2 1 2
4 3 0 | ==0+30-16-20+0+18=12
V parall
=12 Parallelepipedni Hajmi 12 ga teng.
2-qismda Biz endi asosini yuzini hisoblaymiz
Ss = 1
2 [⃗ AB ∗ ⃗ AD ]

S
s = 1
2
| i j k
2 1 2
4 3 0 |
Detirminant yechishda uchburchak usuldan foydalanamiz

1
2|
i j k
2 1 2
4 3 0|= 1
2 (8j+6k-4k-6i)= 1
2 (-6i+8j+2k)= -3i+4j+k
S
s = -3i+4j+k
Asosining yuzi
⃗ S
s (-3, 4, 1)
3-qismda Balandligini hisoblaymiz
V parall
= 1
3 S
s ∗ h
bu formuladabn biz balandligini topib olamiz.
h= 1
3 ∙ V
parall
S
s Balandlikni topib oldik bizga hajm bor, yuza bor ,
h= 1
3 ∙ 12
( − 3 , 4 , 1 ) = 4
( − 3 , 4 , 1 ) = ( - 4
3 , 1 , 4
)
Balandligi quyidagicha
⃗ h
= ( - 4
3 , 1 , 4
)
3-masala
⃗a
( 3, 4, 0 )

⃗b ( 3, 4, 2 )
Ikkita vektorda yasalgan tetraedrni asosini yuzini hisoblang.
Tetraedrni asosini yuzini hisoblash uchun biz parallelepipedni asosini yuzidan
foydalanamiz.
S
parall =
1
2[⃗AB ∗⃗AD ]
Tetraedrni asosini yuzi parallelepipedni asosini yuyzini yarmiga teng ya’ni:
S
tetraedr = S
parall
2
Hisoblaymiz: S
parall = 1
2
| i j k
3 4 0
3 4 2 | = 1
2 (8i+12k-12k-6j)=4i-3j+0k
S
parall = ¿
4i-3j+0k
S
parall ( 4 , − 3 , 0 )
Parallelepipedni yuzini hisibladik endi tetreadrni yuzini topamiz.
S
tetraedr = S
parall
2
Stetraedr
= ( 4 , − 3 , 0 )
2
Tetraedrni asosini yuzi S
tetraedr (2,- 3
2 , 0
)

4. Uchlari O (0, 0, 0) A ( 1, 0, 0) B (0, 1, 0) C (0, 0, 1) nuqtalarda bo lganʻ
tetraedr hajmini hisoblab . OH balandligining uzunligini toping.
Biz bu nuqtalardan vektorlar tuzib olamiz
⃗OA
(1,0,0) ⃗BO (0,1,0) ⃗CO (0,0,1)
Tuzib olgandan keyin tetraedr hajmini hisoblash formulasiga qo’yamiz.
Vtetraedr = 1
6V parall
tetradrni hajmi parallelepipedning hajmini 6 dan 1 qismini
tashkil qiladi, Parallelepipedni hajmini topib olamiz
V parall = |
⃗ AO
⃗
BO
⃗
CO |
Parallelepipedni hajmi shu vektorlarning mos koordinatasini determinantiga
aytiladi.
V parall
= |
1 0 0
0 1 0
0 0 1| bunda determinantni qiymati 1ga teng chunki
koordinatalardan tuzilgan determinant birlik determinantdir, birlik
determinantni qiymati birdir.Parallelepipedni hajmi V
parall = 1
endi bundan biz
tetraedrhajmini topamiz V
tetraedr = 1
6 V
parall
V
tetraedr = 1
6 tetraedrni hajmi 1
6 ga teng.
OH balandligini topish uchun biz avvalo S
s yuzasini topib olashimiz kerak.

Ss= 1
2¿ )
Ss
= 1
2 (
1
2|
i j k
1 0 0
0 1 0|¿ = 1
4 k Ss= k ⃗ S
s (0,0, 1
4 ) yuzani toib oldik endi:
V parall
= 1
3 S
s ∗ h
b u formuladan h ni topib olamiz uning uchun

Vtetraedr = 1
6V parall shu formuladan V parall shuni toib olamiz.
V parall
= 6Vtetraedr
h=
3∗(6¿Vtetraedr )
Ss formulaga asosan qiymatini topamiz
h=
3∗(6∗1
6 )
(0,0 ,1
4) balandligin hisoblaymiz h=(0,0, 3
4 ) balandlik shu vektorning
qiymatiga teng.
5.
⃗ AB
( 2, 0, 0) ⃗AC (3, 4, 0) ⃗ AD
(3, 4, 2) Vektorlarga yasalgan tetraedir
hajmini hisoblab, D uchidan (ABC) asosga tushurilgan balandligining
uzunligini hisoblang.

Tetraedr hajmini hisoblaymiz Vtetraedr = 1
6V parall tetradrni hajmi
parallelepipedning hajmini 6 dan 1 qismini tashkil qiladi, Parallelepipedni
hajmini topib olamiz V
parall =
|
⃗ AB
⃗
AC
⃗
AD |
Parallelepipedni hajmi shu vektorlarning mos koordinatasini determinantiga
aytiladi.
V
parall =
|
2 0 0
3 4 0
3 4 2| =16 parallelepipedni hajmi 16ga teng.
Vtetraedr = 1
6V parall
Vtetraedr = 1
6∗16 V
tetraedr = 8
3
H balandligini topish uchun biz avvalo S
s yuzasini topib olashimiz kerak.
Ss
= 1
2¿ )
Ss
= 1
2 (
1
2|
i j k
2 0 0
3 4 2|¿ = 1
2¿ 8k-4j))=2k-j
Ss
=2k-j yoki ⃗ S
s (o,-1,2)
V parall
= 1
3 S
s ∗ h
b u formuladan h ni topib olamiz uning uchun
V
tetraedr = 1
6 V
parall shu formuladan V
parall shuni topib olamiz.

V parall= 6Vtetraedr
h=
3∗(6¿Vtetraedr )
Ss formulaga asosan qiymatini topamiz
h=
3∗(6∗8
3 )
(o,−1,2 )
⃗ h
(0,-48,24) balandlik quyidagichava bizdan so’ralgan tetraedr
hajmi bilan h balandligini topdik.

XULOSA
Ushbu kurs ishi geometriya kursidagi o’zining ko’plab
tadbiqlariga ega bo’lgan Vektor va aralash ko’paytmaning
ba’zi bir tadbiqlariga bag’ishlangan bo’lib, u kirish qismi, asosiy
qism, xulosa va foydalanilgan adabiytolar ro’yxatidan iborat.
Asosiy qismning birinchi punktida Vektorlar haqida elementar
tushuncha
Vektorlarning yig’indisi va ayirmasi va uning xossalari haqida
tushuncha berilgan, ularni hisoblash yo’llari va misollar
keltirilgan. Ikkinchi punktida esa Ikki vektorning skalyar
ko’paytmasi, Ikki vektorning vector ko’paytmasi va Uch
vektorni aralash ko’paytmasi va xossalari berilgan.
Mazkur mavzu bo’yicha misollar va formulalarni mustahkam
o’rganish mumkin. Vektor va aralash ko’paytmaning ba’zi bir
tadbiqlari kurs ishidan matematika ta’lim yo’nalishi bakalavrlari
geometriya fanidan o’tkaziladigan ma’ruza va amaliy
mashg’ulotlarida foydalanishlari mumkin.

ASOSIY ADABIYOTLAR.
1. O’zbekiston Respublikasi- Ta’lim to’g’risidagi qonun.
2. Karimov.I.A.-Asosiy vazifamiz vatanimizning taraqiyotiva xalqimiz
faravonligi yanada yuksaltirish.Toshkent.O’zbekiston.2010.
3. Karimov.I.A.-Barcha reja va dasturlarimiz vatanimiz tarqquyotini
yuksaltirish, xalqimiz faravonligi oshirishga xizmat qiladi.
Toshkent.O’zbekiston.2011.
4. O’zbekiston Respublikasi- Ta’lim to’g’risidagi qonun.
5. N.D.Dodajonov, M.SH.JO’RA . Geometriya. 1-qism
Toshkent.O’qituvchi,1982.
6 .N.D.Dodajonov, M.SH.JO’RA . Geometriya. 2-qism
Toshkent.O’qituvchi,1982.
7.Narmanov A. Analitik geometriya. Toshkent O’FMJ nashriyoti.2008.
8.X.P Latipov, SH.I. Tojiyev, R.Rustamov. Analatik geometriya va chiziqli
Algebra.Toshkent”O’ZBEKISTON” 1995.
9.T.N.Qori-Niyoziy. Analitik geometriya asosiy kursi.Toshkent-1971
10.S.V.Baxvalov,P.S.Modenov,,A.S.Parxomenko. Analitik geometruyadan
masalalar to’plami. Toshkent-2005.
11. SH.R. Xurramov. Oliy matematika. Toshkent-2015.

Vektor va aralash ko’paytmaning akademik litsey geometriya kursidagi masalalar yechishga tadbiqi

Sotib olish