Algebra va algebraik sistemalar

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	674.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	16 Март 2025
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

96 Продаж

Algebra va algebraik sistemalar

Купить

REJA :
KIRISH .
I BOB. ALGEBRA VA ALGEBRAIK AMALLAR
1. 1-§. To‘plam va to‘plamlar ustida amallar
1. 2 -§. Algebraik amallar va ularning turlari
II BOB. ASOSIY ALGEBRAIK STRUKTURALAR
2.1 -§. Gruppa, yarimgruppa va monoid lar
2.2 -§. Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonnin g umumiy ta ’ riflari
2.3 -§. Maydon va uning asosiy xususiyatlari
XULOSA .
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .

KIRISH .
Kishilarning umumta’lim va professional malaka darajasini oshirish, yangi
talablar asosida kishilarning savodhonligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimini joriy
qilish borasidagi tashabbuslari negizida yetuk mutaxassislar va raqobatbardosh
kadrlar tayyorlash orqali tarmoqlardagi o‘sish parametrlarining yaxshilanishiga
erishilmoqda. Ma’lumki, uzluksiz va uzviylik ta’lim tizimida ortiqcha takroriylikka
chek qo‘yib, eng avvalo, jamiyatning ma’naviy va intellektual salohiyatini
kengaytiradi, qolaversa, davlatning ijtimoiy va ilmiy–texnik taraqqiyotini
takomillashtirish omili sifatida ishlab chiqarishning barqaror rivojlanishini
ta’minlaydi. Pedagogik texnologiyalarning rivojlanishi va ularning o‘quv – tarbiya
jarayoniga kirib kelishi natijasida, shuningdek axborotni tez almashinuvi va
takomillashuvi jarayonida har bir inson uchun o‘z kasbiy tayyorgarligini,
mahoratini kuchaytirish imkoniyati yaratildi.
Faqat bilimli, marifatli jamiyatgina demokratik taraqqiyotning barcha
afzalliklarini qadrlay olishini va aksincha, bilimi kam odamlar avtoritarizmni va
totalitar tuzumni maqul ko‘rishini hayotning o‘zi ishonarli tarzda isbotlamoqda.
Birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek-“Bilimga chanqoq,
iste’dodli yoshlarni topib, ularni Vatanga fidoiy insonlar qilib tarbiyalash
muqaddas vazifadir”.
Kurs ishining dolzarbligi: Algebra va algebraik sistemalar matematikaning
eng asosiy tushunchalaridan biri hisoblanadi. Algebra lar orqali matematikaning
turli bo‘limlari aksiomatik asosga ega bo‘ladilar. Aksiomatik qurish esa
matematika fanini rivojida asosiy negiz bo‘lib xizmat qiladi. Algebraning asosiy
vazifasi algebraik amallarning xossalarini o‘rganishdan iborat.
Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishida algebra va algebraik sistemalar
ko‘rib chiqiladi. Bundan tashqari algebraning asosiy strukturalari hisoblangan
gruppa, halqa hamda maydonlar haqida ma’lumotlar berib o’tish va uni misollar
yordamida mustahkamlash.
2

Algebraik nuqtai nazardan o‘rnashtirilgan amalga nisbatan o‘zlarini bir xilda
olib boradigan to‘plamlar orasida hech qanday farq yo‘q, ularni aynan bir xil deb
hisoblash mumkin.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta‘lim muassasalarining o‘quvchilari
ishtirokida o‘tkaziladigan ta‘lim-tarbiya jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Oliy ta’lim muassasalarida o’tiladigan algebra
va sonlar nazariyasi darslari va uni o’qitish vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2.Ta’lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta’lim natijasini
ta’minlash yo’llarini aniqlash;
3. Zamonaviy axborot texnologiyalarini o’rganish;
4. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Kurs ishining tuzilishi: Ushbu kurs ishi kirish qism, 2 bob hamda beshta
paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
3

I BOB
ALGEBRA VA ALGEBRAIK AMALLAR
1. 1-§. To‘plam va to‘plamlar ustida amallar
To‘plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan biri
bo‘lib, u ta ’ rifsiz qabul qilinadi. Buning sababi shundaki, u tushunchaga berilgan
ta’rifning o‘zi ham yanada soddaroq tushunchaga asoslangan bo‘lishi kerak; ammo
bunday tushunchaga ega emasmiz. «To‘plam» so‘zi matematikada «yig‘in»,
«to‘da», «uyum» ma ’ noda ishlatiladi. (To‘plamlar nazariyasining asoschilari C h ex
matematigi B.Bolsano, nemis matematiklari Georg Kantor va R.Dedikentlar
hisoblanadi). To‘plamni ta’rifini qidirmasdan, uni misollar bilan tushuntiramiz.
Masalan, Farg‘ona shahridagi barcha 10-sinf o‘quvchilari to‘plam hosil
qiladi deyish mumkin , shuningdek o‘zbek alfavitining barcha harflari, barcha
natural sonlar, hamma uzluksiz funksiyalar, tekislikdagi barcha nuqtalar,
Farg‘ona shahridagi barcha chinorlar ham to‘plam tashkil etadi .
Bunday misollarni cheksiz ko‘p keltirish mumkin. Umuman, to‘plam
tushunchasini anglashda uning turli narsalarning birlashmasi (majmuasi) ekanligini
unutmaslik kerak.
Berilgan to‘plamni tashkil etuvchi ob ’y ektlar (narsalar) uning elementlari
deyiladi. Odatda to‘plam berilganda uning elementlari bir yoki bir necha belgilarga
muvofiq aniqlangan bo‘ladi. Bu belgilarga asoslanib h am narsa berilgan
to‘plamning elementi ekanligi yoki elementi emasligini ayta olish mumkin.
To‘plamda bir xil (bir-biridan farq qilib bo‘lmaydigan) elementlar bo‘lmaydi.
Masalan ; ( x-1 ) 2
( x+1 ) 3
=0 tenglamaning barcha ildizlari to‘plami 1, 1, -1, -1, -1
elementlardan iborat bo‘lmasdan, balki 1 va -1 elementlardan iborat.
Agar to‘plam birorta h am elementga ega bo‘lmasa, bo‘sh to‘plam deyiladi
va uni Æ (ba ’ zan esa Ù yoki 0) bilan belgilanadi.
To‘plamlarni lotin alfavitining A,B ,C,..., X,Y,Z singari bosh harflari bilan,
uning elementlari esa a,b ,c,...,x,y,z kabi kichik harflar bilan belgilaymiz.
4

Biror a narsa A to‘plamning elementi ekanligi aÎ A (A ' a) shaklida, a
narsa A to‘plamga tegishli emasligini esa ko‘rinishda yoziladi va
ularni mos ravishda « a element A to‘plamga tegishli» « a element A to‘plamga
tegishli emas» deb o‘qiladi.
Matematikada asosiy sonlar to‘plamini quyidagicha belgilanadi:
N - natural sonlar to‘plami, Z - butun sonlar to‘plami, Q - ratsional sonlar
to‘plami, J -irratsional sonlar to‘plami, R - haqiqiy sonlar to‘plami, C - kompleks
sonlar to‘plami. Agar berilgan A to‘plamning elementlari biror r(x) xossaga ega
bo‘lsa, u to‘plamni A={x:r(x)} yoki A={x | r(x)} ko‘rinishda yozamiz. Bu holda
r(x) xossa to‘plamning xarakteristik xossasi deyiladi.
1-misol .
To‘plamning xarakteristik
xossasi bilan berilishi To‘plamning belgilanishi To‘plamni sonlar o‘qida
tasvirlanishi
{x:x
Î a £ x £ b} [ a,b ]
a b
{x:x
Î a < x £ b} ( a,b ]
a b
{x:x
Î a £ x < b}
[ a,b )
a b
{x:x
Î a < x < b} ( a,b )
a b
{x:x
Î x >a} (a, ¥ )
{x:x
Î x ³ a} [a, ¥ )
5 a
a

{x:xÎ x<a} (- ¥ ,a )
{x:x
Î x £ a } (- ¥ ,a]
1-jadval.
2-misol . Agar A barcha juft natural to‘plami bo‘lsa, u holda uni quyidagi
belgilaymiz A={x: x=2k, k
Î N} .
Agar to‘plam chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, uni barcha
elementlarini ko‘rsatish bilan belgilanadi.
Masalan A to‘plam 1,2,3,4,5 elementlardan iborat bo‘lsa, uni A={1,2,3.4.5}
kabi yoziladi.
3-misol. A to‘plam 24 sonining barcha natural bo‘luvchilari to‘plami bo‘lsa,
uni yoki A={1,2,3,4,6,8,12,24} ko‘rinishda yoziladi.
4-misol. |x+1| £ 3 tengsizlikni yechimlari to‘plamini sonlar o‘qida
tasvirlang.
Berilgan |x+1| £ 3 tengsizlikni yechamiz -3 £ x+1 £ 3, -4 £ x £ 2.
Demak, tengsizlikning yechimlari to‘plami A={x: x
Î R, -4 £ x £ 2} . Bu to‘plamni
koordinatalar to‘g‘ri chizig‘idagi ifodasi quyidagicha:

1-ta’rif . Agar A to‘plamning har bir elementi B to‘plamning ham elementi
bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamning qismi yoki qism to‘plami deyiladi va bu
munosabatni A Ì B yoki B É A shaklda yoziladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, har qanday A to‘plam o‘zi o‘zining qism to‘plami,
ya’ni A Ì A ekani bevosita kelib chiqadi.
Bo‘sh to‘plam esa har qanday to‘plamning qismidir. A va Æ to‘plamlar A
to‘plamning xosmas qismlari deyiladi, A to‘plamning hamma boshqa qismlari esa
uning xos qismlari deyiladi.
6aa
-4
2

5 -misol . A = {1,3,5}, B = {1,2,3,4,5,6} bo‘lsa, u holda A to‘plam B
to‘plamning xos qismi bo‘ladi, ya’ni A Ì B .
6 -misol. A = {1,3,5,6} va B= {1,3,4,7,8} to‘plamlarning hech biri
ikkinchisining qismi emas.
2-ta’rif. Agar A to‘plam B to‘plamning qismi va B to‘plam A to‘plamning
qismi bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamga teng deyiladi va bu munosabat A=B shaklda
yoziladi: demak, A=B tenglik A
Ì B va B Ì A munosabatlarning birgalikda
bajarilishi bilan teng kuchlidir.
Masalan. A={-1,1} va B to‘plam esa (x-1) 2
(x+1) 3
=0 tenglamaning barcha
ildizlari to‘plami bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamga teng bo‘ladi.
3-ta’rif. A va B to‘plamlardan aqalli bittasiga tegishli bo‘lgan
elementlarning C to‘plamini A va B to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi)
deyiladi va C=A È B ( C=A+B ) ko‘rinishda belgilanadi, A va B to‘plamlarni
qo‘shiluvchi to‘plamlar. C esa yig‘indi to‘plam deyiladi.
7 -misol. A={1,3,5} va B={2,3,4} bo‘lsa A È B={1,2,3,4,5} bo‘ladi.
Qo‘shiluvchi to‘plamlar soni ixtiyoriy bo‘lganda ham birlashma (yig‘indi)
yuqoridagi kabi aniqlanadi va quyidagicha belgilanadi:
4-ta’rif . Bir vaqtda ham A to‘plamga, ham B to‘plamga tegishli bo‘lgan
elementlarning C to‘plami A va B to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi)
deyiladi va C=A
Ç B (C = A × B) ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlar
ko‘paytuvchi to‘plamlar, C ko‘paytma (kesishma) to‘plam deyiladi.
To‘plamlar soni har qanday bo‘lganda ham ularning kesishmasi
orqali belgilanadi.
8 -misol. A=(-
¥ ;7] va B=[1;+ ¥ ) to‘plamlarning kesishmasini toping. A Ç B
= [1;7].
9 -misol. A - 3 ga karrali bo‘lgan natural sonlar to‘plami B 4 soni ga karrali
bo‘lgan natural sonlar to‘plami bo‘lsa, A Ç B ni toping. A Ç B - 12 karrali bo‘lgan
sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
7

$To‘plamlar ustidagi asosiy amallar quyidagi xossalarga ega bo‘ladi: 1. A È B = B È A, A Ç B = B Ç A - kommutativlik xossasi 2. A È ( B È C )=( A È B ) È C , A Ç ( B Ç C )=( A Ç B ) Ç C - assotsiativlik xossasi 3. ( A È B ) Ç C =( A Ç C ) È ( B Ç C ),( A Ç V ) È C=( A È C ) Ç ( B È C ) - distributivlik xossasi 4. A È A=A A Ç A=A ; B Ì A bo‘lsa, A È B=A, A Ç B. Aytaylik B to‘plam A to‘plamning qism to‘plami bo‘lsin. B to‘plamga tegishli bo‘lmagan A to‘plamning barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plam B ni A ga qadar to‘ldiruvchi to‘plam deyiladi va uni C A B (B A ) ko‘rinishda belgilanadi, ya’ni C A B=A\B . A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plamni A to‘plamdan B to‘plamning ayirmasi deyiladi va C=A\B (yoki C=A-B ) ko‘rinishda belgilanadi. A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb ushbu (A \ B) È (B \ A) to‘plamga aytiladi va AD B=(A \ B) È (B \ A) ko‘rinishda belgilanadi. Bundan keyingi mulohazalarda qaralayotgan to‘plamlar tayin bir to‘plamning qism to‘plamlari deb faraz qilinadi. Bunday to‘plamni biz universal to‘plam deb ataymiz va uni X harfi bilan belgilaymiz. Umuman aytganda, har bir qaralayotgan masala uchun o‘zining universal to‘plami bo‘ladi. X ixtiyoriy universal to‘plam bo‘lib, A uning biror qism to‘plami bo‘lsin (A Ì X). X to‘plamning A to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan iborat to‘plam A ning X ga qadar to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va uni C x A (yoki CA, ) ko‘rinishda belgilanadi. Agar A Ì X va B Ì X bo‘lsa , C x (A È B) = C x A Ç C x B va C x (A Ç B) = C x A È C x B ayniyatlar o‘rinli. Bu ayniyatlarni ikkilik qonunlari deb ataladi. 10- misol. Agar A={1,2,3,4,5}, B={0,2,4,6,8} bo‘lsa, u holda A \ B ={1,3,5} , B \ A = {0,6,8} bo‘ladi. 8$ $11 -misol. Agar A= {1,2,3,5,7,10}, B={2,4,6,8,10} bo‘lsa, u holda AD B={1,3,4,5,6,7,8} bo‘ladi. To‘plamlar ustida amallarning Eyler-Venn diagrammalaridagi tasvirlari chizmada berilgan. B X A B A É B A È B A Ç B 12 -Misol . Ko‘paytirish amalining ayirish amaliga nisbatan distributivlik qonuni o‘rinli, ya’ni (A \ B) Ç C=(A Ç C) \ (B Ç C) (1) Yechish: x Î (A \ B) Ç C ixtiyoriy element bo‘lsin, bundan x Î (A \ B) va x Î C . x Î A \ B bo‘lgani uchun ayirish amalining ta’rifiga ko‘ra x Î A va x Ï B . Shunday qilib x Î A, x Î C demak, x Î A Ç C , ammo x Ï B Ç C . Oxirgi munosabatlardan x Î (A Ç C) \ (B Ç C), demak (A \ B) Ç C Ì (A Ç C) \ (B Ç C). (2) Endi (A \ B) Ç C É (A Ç C) \ (B Ç C) (3) ekanligini ko‘rsatamiz. y Î (A Ç C) \ (B Ç C) ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda y Î A Ç C va y Ï B Ç C bundan y Î A, y Î C va y Ï B , demak, y Î (A \ B) Ç C shu bilanА В ХА В Х Х А A \ B A D B C x A 9Х А В Х$ $(3) munosabatni o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. (2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikning to‘g‘ri ekanligi kelib chiqadi. 13 -misol. A Ç (B \ C)=(A Ç B) \ C munosabatni Eyler-Venn diagrammalari yordamida isbotlang. Berilgan munosabatning chap va o‘ng tomonida turgan to‘plamlarni Eyler-Venn diagrammalardagi tasviri chizmada berilgan. 1. 2 -§. Algebraik amallar va ularning turlari Algebraik strukturalarini sinflarga ajratish algebraik amallar va ularning qaysilari strukturada aniqlanganligiga qarab bajariladi. S h uning uchun algebraik amallarni ko‘rib chiqamiz. 5-ta’rif . A ¹ Æ ixtiyoriy tabiatli elementning to‘plami, n manfiy bo‘lmagan butun son bo‘lsin. U holda ixtiyoriy : A n ® A akslantirish A to‘plamda aniqlangan n o‘rinli yoki n-ar algebraik amal , n sonni esa algebraik amalning rangi deyiladi. A to‘plamda aniqlangan nol o‘rinli amal deb, A to‘plamning qandaydir elementini tayinlashni (ajratishni) aytiladi. 6-ta’rif . Agar : A n ® A akslantirishning aniqlanish sohasi A n ning to‘g‘ri qismidan iborat bo‘lsa, u holda ni A to‘plamda aniqlangan qisman algebraik amal deyiladi. Rangi 0,1 va 2 bo‘lgan algebraik amallarni mos ravishda nolar, unar va binar algebraik amallar deyiladi. Unar amalni operator ham deb ataladi. Bundan buyon n-ar algebraik amal deyish o‘rniga n-ar amal yoki amal degan terminlarni ishlatishga kelishamiz. - A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amal bo‘lsin. Agar : A n ® A akslantirishda ( a,b ) Î A 2 elementga c Î A mos keltirilgan bo‘lsa, u holda (( a,b ))=c yoki ( a,b )=c ko‘rinishda yozishning o‘rniga a b=c yoki ( a,b ) ® c yoki a ê b=c yoki a ^ b=c yoki a b=c yoki a* b=c,... 10$ $ko‘rinishda belgilash qabul qilingan. Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallarini mos ravishda a +b=c, a -b=c, a b=c va a :b=c ko‘rinishda belgilanadi. 1 4-misol. M - ixtiyoriy tabiatli elementlarning qandaydir bo‘sh bo‘lmagan to‘plami, A={B:B Ì M} bo‘lsin. U holda : A ® A akslantirishni " (B Î A) (b)=M \ b ko‘rinishda aniqlasak, A to‘plamda aniqlangan unar amal (operator) dan iborat bo‘ladi. 1 5-misol. A 14- misoldagi to‘plam bo‘lsin. Agar : A 2 ® A akslantirish " ( B 1 ,B 2 Î A) (B 1 ,B 2 )= B 1 È B 2 , (B 1 ,B 2 )= B 1 Ç B 2 ko‘rinishda berilsa, har ikkala holda ham - A to‘plamda aniqlangan binar amaldan iborat bo‘ladi. 1 6-misol. N natural sonlar to‘plami, " (n Î N ) tayinlangan natural son bo‘lsin. U holda : A 2 ® A akslantirish " (m 1 ,m 2 ,...,m n Î N ) (m 1 ,m 2 ,...,m n ) = (m 1 ,m 2 ,...,m n ) ko‘rinishda berilsa, - N to‘plamda aniqlangan n-ar amal bo‘ladi. Bu joyda (m 1 ,m 2 ,...,m n ),- m 1 ,m 2 ,...,m n natural sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi. 1 7-misol. Bo‘lish amali butun sonlar sistemasida aniqlangan qisman amaldan iborat. Agar A to‘plamda binar amal aniqlangan bo‘lsa, uni algebra deyiladi. Va ( A , ) ko‘rinishda belgilanadi. 7- ta’rif . va * lar A to‘plamda aniqlangan ixtiyoriy amallar bo‘lsin: a) " ( a,b Î B) a b=b a bo‘lsa, u holda amal kommutativ (o‘rin almashtirish) xossasiga; b) " ( a,b ,c Î A) ( a b) c= a (b c) bo‘lsa, u holda - assotsiativ (gruppalash) xossasiga; v) " ( a,b ,c Î A) ( a b) * c=( a * c) (b * c) va c * ( a b)=(c * a ) (c * b) bo‘lsa, mos ravishda * amal amalga nisbatan o‘ng va chap distributiv (o‘ng va chap taqsimot) xossasiga ega deyiladi. Agarda * amal kommutativ bo‘lsa, oxirgida "o‘ng" va "chap" so‘zlari tushirilib qoldiriladi. 11$