Ayirmli sxemalarning monotonlik xossasi - Педагогика - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	1.3MB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	pdf
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Педагогика

Ayirmli sxemalarning monotonlik xossasi

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM
VAZIRLIGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIK MODELLASHTIRISH KAFEDRASI 101 -GURUH TALABASI
HASANOV ASRORNING CHIZIQLIMAS CHEGARAVIY MASALALARINI
SONLI MODELLASHTIRISH FANIDAN
AYIRMLI SXEMALARNING MONOTONLIK XOSSASI
mavzusida tayyorlagan

SAMARQAND - 2022

Bajardi: Hasanov A
Qabul qildi : f -m.f .d…. prof. Xo’jayorov B.

Mundareja
Kirish
I. BOB - Ayirmali sxemalar monotonligi
1.1. Monotonlik haqida tushuncha
1.2. Ayirmali sxemalar sonli yechimning monotonligi
II. BOB - O 'zgaruvchan koeffitsientli sxema

2.1. O'zgaruvchan koeffitsientli sxema uchun Koshi masalasini yechish
2.2. O'zgaruvchanlikni kamaytirish sxemasi (TVD) (Total Variation
Diminishing Scheme).
III. BOB - Laks -Vendroff sxemasini monotonlashtirish.
3.1. Laks -Vendroff sxemasini TVD xossasiga keltirish
3.2. O'zgartirilgan Laks - Vendroff sxemasini yaqinlashishi
(monotonligi) ni
Xulosa.
Adabyotlar:

Kirish.
Kurs ishining bir inchi bobida ayirmali sxemalarning monotonligini nazariy
jihatdan ma’lumotlar keltiriladi , bunda monotonlik haqida tushuncha 1-2-rasmdagi
grafik orqali , ayirmali sxemalar sonli yechimning monotonligi haqida nazariy
ma’ lumotlar keltiriladi
Ikkinchi bobida o’zgaruvchan koeffitsientli sxemalar va ularga doir misollar
keltiril adi, ayirmali sxemalar monotonlik xossasini TVD sxemasi yordamida
o’rganiladi. Zamonaviy yuqori tartibli TVD (Total Variation Dimini shing Scheme -
O’zgaruvchanlikni kamaytirish sxemasi ) sxemalari to’r chegaralaridagi funktsiyalar
qiymatlarini qo'shni to’rlar markazlaridagi qiymatlaridan tiklashning (qayta qurish)
ma'lum usullariga asoslangan. Bunday holda, sxema shablonlari o'zgaruvchan bo'lib,
sonli yechimning o’zgarishiga bog'liq.
Uchinchi bobda Laks -Vendroff sxemasini TVD sxemasiga keltiriladi, La ks -
Vendroff sxemasini monotonlashtirish haqida ya’ni Laks -Vend roff sxemasiga
o’zgartirish kiritish orqali sxemani monoton bo’ ishi grafik orqali qaraladi.
Kurs ishi maqsadi : Ayirmali sxemalar monotonlik xossasini o’rganish
Kurs ishi mavzusining vazifalari. Ayirmali sxemalar monotonligi xossasini
o’rganishdan iborat.
Kurs ishi obyekti sifatida: A yirmali sxemalar monotonlik xossasini
o’rganishda fazoviy to’r profillari n – qatlamdan n+1 qatlamga o’ tishdagi
monotonligi (yechimning silliqligi) qaraladi .
Kurs ishini predmeti sifatida : Harakatlanuvchi muhit va uning boshqa
(qattiq jism, suyuqlik yoki gaz) bilan chegara langan sirti ni to’r de b olib undagi n -
qatlamdan n+1 qatlamga o’tganimizda yechimning silliqligi (monotonligi) qaraladi .
Kurs ishini tarkibi: Kurs ishi 3 ta bobdan ya’ni
1. Ayirmali sxemalar monotonligi
2. O’zgaruvchan koeffitsientli sxema
3. Laks -Vendroff sxemasini monotonlashtirish

I. BOB - Ayirmali sxemalar monotonligi
1.1 . Monotonlik haqida tushuncha
dan ga o’tishda fazoviy to’r profilining monotonlikni saqlash xossasiga,
pozitivlik xossasi kabi, faqat birinchi tartibli aniqlikdagi sxemalar ega bo’lad i.
Monotonlik xossasi xususan "oshkor burchak" sxemasi uchun oddiy isbotlanadi.
dan ga o’tishda bu sxema fazoviy profilning chiziqli interpolyasiyasini amalga
oshiradi, bundan tashqari uning fazoviy o’zgaruvchi bo’yicha siljishini ko’rsatadi.
Bu ikkala amal monotonlikni saqlaydi.
Bu bo`limda biz deb faraz qilamiz. Bundan tashqari, soddalik uchun Koshi
masalasi bilan chegaralanamiz. Fazoviy profillarning bo`yicha o`zgarishini oddiy
geometrik yasashlar orqali hosil qilish mumkin. Faraz qilaylik muhitning qandaydir
zarrachasi da va koordinatalarga ega bo`lsin. Bu zarrachaning
harakatini ku zatamiz. Agar zarrachaning koordinatasi bo`lsa,
bo`lganligi sababli bo`ladi. Shunday qilib profilning dagi
nuqtasi da profilning nuqtasiga aylanadi, ya`ni o`qqa parallel ravishda
quyidagi vektor ko`chishi yordamida amalga oshirilmoqda (1 -rasm).
Ravshanki, aytilgan almashtirishda monoton profil motonligini saqlaydi
(monotonlik xossasi).

1-rasm 2-rasm n 1n n 1n 0f t 1t t 1x x 1 ) ,( u xt u  2t t 2x x 0f 1 2 2 ) , ( u x t u  1t t ) , ( 1 1u x 2t t ) , ( 1 2u x x )0; ( 1 2 x x 

Agar ning o`sishi bilan xarakteristikalar yaqinlashsa (2 -rasmda АА 'В'В soha),
u holda fazoviy profillar yanada tikroq bo`ladi, chunki ning turli qiymatlariga mos
keladigan o`qidagi nuqtalar yaqinlashadi. Xarakteristikalar uzoqlashganda esa
fazoviy profillar qiyalashadi (2 -rasmda CC'D'D soha) .
Differensial tenglamalar uchun asosiy talablardan biri ayirma li sxemalar
yechimi yaqinlashtirilayotgan differensial tenglama yechimining o’zgarish
xususiyatlarini yetkazishi kerak . Masalan, chiziqli transport tenglamasi uchun Koshi
masalasini ko'rib chiqaylik
(1.1)
(1.2)
Agar -x o'zgaruvchining kamaymaydigan (oshmaydigan ) funksiyasi bo 'lsa ,
har qanday belgilangan uchun (1,1), (1 .2) muammoning yechimi ham
o'zgaruvchi x ning kamaymaydigan (oshmaydigan ) funksiyasi bo 'ladi . Bu har
qanday vaqtda yechim formula bilan berilganligidan kelib chiqadi
(1.3)
(1.1), 1.2) masalani yaqinlashtiruvchi ayirma sxemasining yechimi ham xuddi
shunday xususiyatga ega bo 'lishini talab qilish tabb iy . Ammo ma 'lum bo 'lishicha ,
ko 'plab ayirma li sxemalar sonli yechimlarning monotonligini buzadi : kutilgan
monoton profillar o'rniga fizik bo 'lmagan tebranishlarni o'z ichiga olgan yechimlar
olinadi . Ularning paydo bo'lishining sababi oldingi paragrafda ko'rib chiqilgan
ayirma sxemalarining sonli tarqalishidir. Ushbu bo'limda biz ayirma sxemasi sonli
yechimning monotonligini saqlab qolish shartlarini taqdim etamiz.
O'zimiz mustaqil aniq ayirma lar sxemasini ko'rib chiqamiz
(1.4)
bu yerda - butun son, , tugunlar sxema shablonini
aniqlang. t u x ,0  x t au u ,0 const a ,   x ,0t ), ( )0, ( 0 x u x u  ) (0 x u ,0t ), ( tx u ). ( ), ( 0 at x u tx u      
   nj nj u b u 1  2 1 1 ,...,1 ,       ajx

1.2 . Ayirmali sxemalar sonli yechimning monotonligi
Ta'rif. Ayirmali sxema (1 .4) sonli yechimning monotonligini saqlaydigan
sxema (monoton sxema) deb ataladi, agar u har qanda y monoton funksiya ni (n
+ 1) –m vaqt qatlamida monoton funksiya ga aylantirsa, bundan tashqari,
o'sishning bir xil yo'nalishi.
1.1 -misol. Biz ( 1.1) tenglamani sxema bo'yicha qarama -qarshi to’rn ing bir xil
qatlamid a deb tasavvur qilamiz
(1.5)
Bu sxema va da birinchi yaqinlashish tart ibiga ega. n -vaqt qatlamidagi grid
funksiyasi monoton bo'lsin, masalan, monoton ortib boru vchi funksiya, ya'ni
ixtiyoriy uchun un . Bunday holda, ko'rinishga ega bo'lgan
sxemaning barqarorlig i sharti ostida, bu erda biz olamiz.

Shun day qilib, yechim (n+1) q atlamd a ham monoton ortib bormoqda. Shunday
qilib, qarama -qarshi sxema ( uchun dissipatsiyaga ega) monotonlikni
saqlaydigan sxemadir.
2.2 -misol . Laks – Vendroff sxemasi ( uchun dissipatsiyaga ega emas)
sonli yechimning monotonligin i saqlamasligini ko'rsatamiz. (1 .1) tenglama uch un
boshlang‘ich funksiya ko‘rinishga ega bo‘lsin.

Shu ning uchun, boshlang'ich to’rda funktsiyasi nu 1nu 0 1 1
     
h
u ua u u nj nj nj nj
  h nu j nj nj u u 1  ,1 ak h k  .0 ) ( ) )( 1(
)) ( ( )) ( (
2 1 1
2 1 1 1 1
     
       
  
    
nj nj nj nj
nj nj nj nj nj nj nj nj
u u ak u u ak
u u ak u u u ak u u u 1nu ,1 ak ,1 ak 



  0 ,0
0 ,1 ) (0 x da
x da x u

monoton kamayib bormoqda . Keling , ko 'rib chiqilayotgan sxemani bir bosqichli
sxema ko 'rinishida , keyin esa koeffitsientlar bilan sxema (1 .4) ko 'rinishida qayta
yozamiz .
(1.6)
Keyin tenglik birinchi marta qatlamida mavjudligini tekshirish oson

uchun sxema barqaror, lekin , ya’ni u1 j to‘r funksiyasi monoton
ravishda kamaymaydi.
Doimiy koeffitsientli tenglamalar sxemalarining monotonligini quyidagi teorema
yordamida tekshirish mumkin.
1.1 teorema. O'zgarmas koeffitsientli (1 .4) ayirma sxemasi monot on bo'lib
qolishi uchun barcha uchun shartlar bo'lishi zarur va yetarlidir.
(1.7)
Isbot . Keling, shunday faraz qilaylik sxema (1.4) monoton bo'lib qoladi, lekin
manfiy koeffitsient mavjud . Monoton ravishda ortib borayotgan funktsiyani
oling.

Keyin 



   0 ,0
0 ,1 ) (0 0
j da
j da x u u j j . 2 , 1 , 2
2 2
1 2 2 0
2 2
1
ak k a b k a b ak k a b        1 ak ,1 0 1    b b b 0 b 0 b

ya 'ni funksiyasi monoton ortib bormaydi va shuning uchun (1.4) sxema
monotonlikni saqlamaydi , bu esa dastlabki taxminga ziddir . O lingan qarama -
qarshilik barcha koeffitsientlari manfiy emasligini isbotlaydi .
Zaruriylik(yetarliylik) . ≥ 0 va -monoton funksiya, masalan, monoton ortib
boruvchi funksiya bo‘lsin. Keyin

ya'ni ham monoton ortib boruvchi funksiyadir. Shunday qilib, sxema (1.4)
monoton bo'lib qoladi.
Keling, yana 1.1 va 1.2 misollarga qaytaylik va endi biz a > 0 deb faraz q ilmaymiz.
a koeffitsientining ixtiyoriy qiymati bo'lgan (1.1) tenglamaning qarama -qarshi
sxemasi quyidagicha ko'rinadi:

Keling, uni (1.4) shaklida qayta yozamiz.
1nu b b nju 1nu

Turg’unlik sharti qa noatlantiril ganda
|a|k ≤ 1 (1.11)
bu koeffitsientlarning barchasi manfiy emas. Bundan tashqari, ular doimiydir,
shuning uchu n 1.1 teoremaga ko'ra, qarama -qarshi sxema (1.9) (1.11) shartida
yechim ning monotonligini saqlaydi.
Laks - V endroff sxemasi qarama -qarshi sxema bilan bir xil shartda (1. 11)
turg’un bo'lib, uni koeffitsientlar (1.6) bilan (1.10) ko'rinishda yozish mumkin, bu
yerdan | a|k<1 shartida ko'rish mumkin, koeffitsientlardan biri - yoki manfiy.
1.1 teoremaga ko'ra, bu va h larda ikkinchi yaqinlashish tartibiga ega bo'lgan
Laks -Vendroff sxemasi sonli yechimning monotonligini saqlamasligini anglatadi.
Ammo, ehtimol, monotonlik xususiyatiga ega bo'lgan ikkinchi darajali
yaqinlashuvning boshqa sxemalari mavjud. Ma'lum bo'lishicha, bunday sxemalar
yo'q. Chiziqli transport tenglamasi ( 1.1) uchun ikkinchi darajali yaqinlashuvning
doimiy koeffitsientlari bilan monoton sxemasini qurish mumkin emasligi [3] da
ko'rsatilgan.
1b 1b 

II. O 'zgaruvchan koeffitsientli sxema
2.1. O'zgaruvchan koeffitsientli sxema uchun Koshi masalasini yechish
Endi o'zgaruvchan koeffitsientli (1.4) sxemani ko'rib chiqamiz.
Koeffitsientlarning manfiy bo'lmasligi sharti (1.7) sonli yechimning monotonligini
saqlab qolish uchun bunday sxemalar uchun etarli bo'ladimi? Keling, tegishli misol
keltiraylik.
2.1 -misol. Quydagi t englama uchun Koshi masalasi yechilsin

bu yerda a(x) qat’iy ortib boruvchi musbat chegaralangan funksiya: 0 < a(x) < 1 va
a > 0. Bu masalani yechish uchun o‘zgaruvchan koeffitsientli sxemani olamiz.

bu erda - bir xil to'rning tugunidir. Ta'riflangan sxema Laks
sxemasiga o'xshash bo'lib, sonli yechimning monotonligini saqlaydi.
Biz har qanday j shart uchun shunday deb faraz qilamiz
(2.3)
bu (2.2) sxemaning dastlabki ma'lumotlarga nisbatan yagona normada
monotonligini kafolatlaydi:

(2.2) sxemani (1.4) shaklda yozamiz:
b j j j x x a a ), (  1j ak

bu holda ba koeffitsientlari qo'shimcha j indeksi bilan ta'minlanadi, chunki
ular o'zgaruvchan koeffitsientlardir va bir tugundan ikkinchisiga o'tishda o'zgaradi.
Shart (2.3) tufayli ikkala koeffitsient ham ijobiy, lekin sxema (2.2) son li
yechimning monotonligini saqlamaydi. Darhaqiqat, monoton ravishda ortib
borayotgan funktsiyani olish

vaqt bo 'yicha (n + 1) qatlamda tenglikni ta 'minlaymiz

Lekin shuning uchun to’r funksiyasi monoton ortib bormaydi.
Yuqoridagi misol shuni ko'rsatadiki, o'zgaruvchan koeffitsientli sxemalar
uchun 1 .1 teoremada ko'rsatilgan (1.7) mezondan boshqa monotonlik mezonlaridan
foydalanish kerak.
2.1 teorema. Ayirmali sxema koeffitsientlari bo'lsin

har bir tugunda shartni qanoatlantiring

Keyin barcha j shartlari uchun bajarilishi

son li yechimning monotonligini saqlash uchun o'zgaruvchan koeffitsientli sxema
(2.6) uchun zarur va yetarli. b 



  0 ,0
0 ,1
j
j unj 0,1 1,1 b b   1nju ix

Isbot. (2.7) shartni qanoatlantiradigan o'zgaruvchan koeffitsientli (2.6)
sxemani quyidagi shaklda yozamiz:

Eslatma . (2.6) sxema monoton bo'lsin. Uning koeffitsientlari tengsizliklarni (2.8)
qanoatlantirishini isbotlaylik. Faraz qilaylik, bunday emas va ba'zi bir shartlar (2.8)
tugunida qan oatlanmaydi, masalan, . Qo’yamiz

ya'ni funksiyasi monoton ortib bormaydi, bu (2.6) sxemaning monotonligi
haqidagi dastlabki taxminga ziddir. (2.8) dagi qolgan tengsizliklar xuddi shunday
tekshiriladi .
Zaruriylik (Yetarliylik ). Har bir tugunida sxemaning koeffitsientlari
bo'lsin (2.6) tengs izliklarni (2.8) qanoatlantiradi va funksiyasi monoton, masalan,
monoton ortib bormoqda. U holda (2.10) tenglikdan funksiya ham monoton
ortib boruvchi funktsiya bo'ladi, degan xulosa kelib chiqadi. Teorema isbotl andi .
2.2. O 'zgaruvchanlikni kamaytirish sxemasi (TVD) (Total Variation
Diminishing Scheme) .
(2.5) sxema koeffitsientlari 2.2 teoremaning ikkinchi shartini (2.8)
qanoatlantirmasligini tekshirish oson, shuning uchun bu sxema sonli yechimning 0jx 0 0,1   j b 1nu jx nu 1nu

monotonligini saqlaydigan sxema emas. 2.1 teoremaning yana bir formulasini
keltiramiz .
2.2 teorema . Chekli ayirmali sxema uchun

sonli yechimning monotonligini saqlaydi, barcha j shartlar uchun zarur va yetarli

Isbot . Sxema (2.11) quyidagicha qayta yozilishi mumkin
(2.6), esa

U holda (2.7) tenglik koeffitsientlari uchun bajariladi va (2.8) shartlar (2.12)
shartlarga ekvivalentdir.
Izoh. Tengsizliklarning bajarilishi ishda isbotlangan (2.12) sxema (2.11)
barcha o'zgaruvchanlikni kamaytirish sxemasi (TVD) (Total Variation Diminishing
Scheme) bo'lishi uchun yetarli, ya'ni har qanday n ≥ 0 uchun yechim o'zgarmas
umumiy o'zgarish shartini qanoatlantiradigan sxema.

bu yerda grid funktsiyasining umumiy o'zgarishi miqdor sifatida tushuniladi

Hozirgi vaqtda TVD sxemalari va ularning turli xil modifikatsiyalari uzluksiz
echimlar bilan ko'plab muammolarni hal qilish uchun qo'llaniladi. Ushbu usullarning b nu nu

mashhurligining sababi shundaki ular tebranishsiz yechim profil larini beradi,
uzilishlar maydo nida yuqori aniqlikni beradi va yechimning silliqligi maydon da
yuqori aniqlikni saqlaydi.
Zamonaviy yuqori tartibli TVD sxemalari to’r chegaralaridagi funktsiyalar
qiymatlarini qo'shni to’rlar markazlaridagi qiymatlaridan tiklashning (qayta qurish)
ma'lum usullariga asoslangan. Bunday holda, sxema shabl onlari o'zgaruvchan bo'lib,
son li yechimning o’zgarishiga bog'liq. Qayta qurish algoritmlari maxsus oqim
cheklovchilaridan foydalanishga asoslan gan, cheklovchili sxema TVD xususiyatiga
ega bo'ladigan tarzda tuzilgan (2.13).

III. Laks -Vendroff sxemasini monotonlashtirish.
3.1. Laks -Vendroff sxemasini TVD xossasiga keltirish
Agar t = 0 da boshlang'ich funktsiya qadam ko'rinishida berilgan bo'lsa,
keyi ngi safar qatlamlarda biz La ks - V endroff sxemasiga ko'ra, tebranishlar bilan
buzilgan qadamni olamiz . Lekin ma'lum bo'lishicha, Laks -Vendroff sxemasini
TVD xossasiga (2.13 ) ega bo'ladigan tarzda o'zgartirish mumkin va demak, 2.2
teoremaga ko'ra, u sonli yechimning monotonligini saqlaydigan sxemaga aylanadi.
Shu bilan birga, o'zgartirilgan sxemaning koeffitsientlari en di doimiy bo'lmaydi, ular
n-qatlam dagi yechim ga bog'liq bo'lishi mumkin, ya'ni o'zgartirilgan sxema chiziqli
bo'lm agan bo'ladi.
a = const > 0 holatda transport tengla masini (1.1) ko'rib chiqing. Laks -
Vendroff sxemasini quyidagicha qayta yozish mumkin.

Qarama -qarshi sxemaning o'ng tomonida 0, 5 ah (1 - ak ) di ssipativ
atamasi mavjud va (3.3 ) tasvirda ayirmali ko'rinishidagi bir xil dissipativ atama
qarama -qarshi belgiga ega. Shunday qilib, Laks -Vendroff sxemasi yuqori oqim
farqiga ega bo'lgan monotonik sxema sifatida taqdim etilgan bo'lib, u diffuziyaga
qarshi atama bilan to'ldirilgan bo'lib, u qarama -qarshi sxemaning p .d.p qismidagi
dissipativ atamani yo'qotib, uni Laks -Ve ndroff sxemasiga aylantiradi. Tebranishlar
paydo bo'lishi mumkin bo'lgan joylarda antidiffuziya muddatini kamaytirish orqali
ularni oldini olishga harakat qilish mumkin. ,xxu

Biz antidiffuziya atamasini Laks - V endroff sxemasida (3.2) ba'zi bir
argumentining cheklovchi funktsiyasidan foydalanib boshqaramiz:
Agar ≡ 0 bo'lsa, biz birinchi darajali qarama -qarshi monoton sxemaga egamiz.
Agar ≡ 1 bo'lsa, u holda uzluksiz yechim larda tebranuvchi silliq yechim lar
bo'yicha ikkinchi dar ajali Laks -Vendroff sxemasini olamiz.
Ayirmali sxemada (3.4) = . D iskret argument sifatida miqdorni
tanlaymiz .

3.2. O'zgartirilgan Laks - Vendroff sxemasi ni yaqinlashishi (monotonligi)
Tebranuvchi yechim da nisbati manf iy bo‘ladi, shuning uchun
< 0 uchun = 0 deb faraz qilamiz. shundan kelib chiqadiki, uzlu ksiz
argumentning Φ = funksiyasi ham < 0 uchun nol qiymatlarni oladi, deb faraz
qilamiz. Bundan tashqari cheklovchi funksiya uzluksiz deb faraz qilsak, biz hamma
≤ 0 da ≡ 0 deb faraz qilamiz. .
Keyinch alik, > 0 bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz. Cheklovchi funksiyani
shunday tanlaymizki, sxema TVD shartini (2.12) qanoatlantirsin va silliq
yechimlarda ikkinchi yaqinlashish tartibini saqlasin. Buning uchun o'zgartirilgan
Laks - V endroff sxemasi (3.4) ni (2.11) ko'rinishga keltira miz:
 ) (    2/1  j ) ( 2/1  j 2/1j njx njx u u 2/1, 2/1, /   2/1j 2/1  j ) (    ) (  2/1j

Shunday qilib, (2.11) shaklida yozilgan sxema (3.4) koeffitsi entlari formulalar bilan
aniqlanadi.
unga kiritilgan cheklovchi funksiyasi bilan Laks -Vendroff sxemasi sonli
yechimning monotonligini saqlab qolishini kafola tlaydi. Bundan tashqari, biz Laks -
Vendroff sxemasi uchun turg’unlik sharti bajarilgan deb faraz qilamiz, ya'ni ak ≤ 1.
Keyin (3.6) tengsizliklar barcha ak ≤ 1 haqiqiy bo'lishi uchun tengsizliklar o'rinli
bo'lishi zarur va yetarlidir.

va buning uchun barcha j uchun quyidagi tengsizliklar bajarilishini talab qilish
kifoy a:

va o'zgaruvchilar maydoni dagi ushbu tengsizliklar mavjud bo'lga n mintaqa. 1,
a-rasmda ko'rsatilgan. Agar = funksiyaning grafigi shu mintaqada yotsa,
o'zgartirilgan sxema (3.4) sonli yechimning monotonligi saqlanib qoladi.
   ) ( 

3-Rasm . a - so hali ma ydonda o'zgartirilgan Laks - V endroff sxemasi (3.4) TVD
sxemasi; b – ikki tomonlama (qavatli) maydonda o'zgartirilgan Laks -Vendroff
sxemasi ikkinchi darajali yaqinlashuvning TVD sxemasi.
Shunday qilib, bundan keyin biz quydagini taxmin qilamiz

Endi biz uzluksiz = funksiya quyidagi qo‘shimcha cheklovlarni
qanoatlantiradi, deb faraz qilib, o‘zgartirilgan sxemaning yaqinlashish tartibini
o‘rganamiz:

ya'ni, biz = funksiya Lipschitz shartini qandaydir doimiy L > 0 bilan
qanoatlantirishini va bu funksiya grafigi (1, 1) nuqtadan o'tishini talab qilamiz.
O'zgartirilgan Laks - Vendroff sxemasini (3.4) asl Laks - V endroff sxemasi
(3.2) ko'rinishida qo'shimcha atama bilan qayta yozamiz.

u = u(x, t) Koshi masalasining ( 1.1), (1.2) yetarlicha silliq yechimi boʻlsin. Biz bu
yechimni (3.11) ifodaga almashtiramiz, undagi barcha oldingi ifodalarni lekin
hozir hisobga olib saqlab qolamiz.
 ) (   ) ( 

Shubhasiz, agar n -vaqt qatlamida funksiya chiziqli bo'lsa, = B x + C,
u holda ≡ 0. (3.8), (3.9 ) shartlaridan foydalanib tekshirish oson. = A x2 +
Bx + C (A 0) kvadratik funktsiya uchun = O( h2) tengli k ixtiyoriy son
oraliqning ( ) barcha tugunlari uchun amal qiladi. x* = −B/2A ekstremum
nuqtasini o'z ichiga oladi. Umumiy h olda, quyidagi tasdiq to’g’ri .
Lemma 1. (3.8), (3.9) shartlar qanoatlansin va Koshi masalasining (1.1), (1.2)
yetarli darajada silliq yechimi ( ) shartni qanoatlantirsin.
Isbot. bo'lsin. Formuladan foydalanish biz Teylor va shart (3.9)ni olamiz

Bu yerda yechim ning , hosilalari tugunida hisoblanadi.
Lipschitz (3.8) shartini hisobga olish quyidagi tengsizlikka olib keladi:

Keyinchalik, biz miqdorlarni taxmin qilamiz. Lagranj t eoremasidan kelib
chiqib quydagicha

bu yerda . Faraz qilamizki, h qadam shunchalik
kichikki, tugunlari (a, b) intervalga tegishlidir. U holda va ) , ( ntx u ) , ( ntx u njR ) , ( ntx u  njR  ,  , ) , (   jx ) , ( ntx u xu xxu , ju 2/1j j j j j j j x x x x x x         2/1 1 1 2/1
~
, 1 1   j j x va x ) , ( 2/1
~
   jx

(3.13) shartdan un ekanligi kelib chiqadi. Formula (3.5) bo'yicha, bu
holda miqdorlar ifodalar bilan aniqlanadi.

Teylor formulasi bo'yicha tugunidagi yechimni kengaytirib (3.12)
yozuvni hisobga olgan holda hosil bo'ladi.

Yechim yetarli darajada silliq deb qabul qilinga nligi sababli, hosila yopiq
oraliqda uzluksiz funktsiyadir.
Shuning uchun (3.13) shart quydagini bildiradi

va tenglik (3.17) quyidagicha o'zgartirilishi mumkin:
0 2/1,  njxx 2/1j jx ) , ( ntx u xu ) , (  

Oxirgi ifodalarni (3.15) formulaga almashtirib, kerakli tenglikni olamiz (3.14).

Xulosa
Bu kurs ishi ni yozish davomida ayirmali sxemalar monotonlik xossasi
(monotonlik) haqida tushunchalar keltirildi . Kurs ishi davomida Harakatlanuvchi
muhit va uning boshqa (qattiq jism, suyuqlik yoki gaz) bilan chegara langan sirti ni
to’r deb olib undagi n - qatlamdan n+1 qatlamga o’tganimizda yechimning
monotonligi ( silliqligi) nazariy jihatdan qaraldi.
Ayirmali sx emalar monotonlik xossasini o’rganishda fazoviy to’r profillari n –
qatlamdan n+1 qatlamga o’tishdagi monotonligi (yechimning silliqligi) qaraladi.
Bu kurs ishi davomida quydagi nazariy va amaliy ishlar yoritilgan:
1. Ayirmali sxemalar monotonligi xossasi mavzusining asosiy tushunchalar va
ta'riflar , Ayirmali sxemalar sonli yechimning monotonligi qaraldi .
2. O'zgaruvchan koeffitsientli sxema uchun Koshi masalasini yechish
3. O'zgaruvchanlikni kamaytirish sxemasi (TVD) (Tota l Variation Diminishing
Scheme) o’rg anildi.
4. Laks -Vendroff sxemasi sonli yechimning monotonligini saqlab qolishini
kafola tlaymasligi aniqlandi
5. O'zgartirilgan Laks - Vendroff sxemasini yaqinlashishi (monotonligi) tadqiq
qilinib sonli yechimn ing monotonligini saqlab qoli ni shi aniqlandi. Bu
uchinchi bobning ikkinchi paragrfida 3 - rasmdagi grafik orqali keltirildi .

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Г. С. Хакимзянов, С. Г. Черный “Методы в ычислений” Учебное
пособие Новосибирск -2014 .
2. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы
в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.
3. В.М. Пасконов , В. И. Полежаев, Л. А. Чудов, Численное
“М оделирование процессов теплои массообмена” Москва «Наука »
Главная Редакция Физико -Математической Литературы -1984
Internet resurs:
1. https://translate.google.com
2. http://www.ict.nsc.ru/ru/education/digitaltextbooks
3. https://dokumen.pub

Ayirmli sxemalarning monotonlik xossasi

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish