Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 386.5KB
Покупки 0
Дата загрузки 06 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Информатика и ИТ

Продавец

Bohodir Jalolov

Ba’zi bir geometrik tasdiqlarning to‘g‘riligini isbotlashning algoritmik metodi

Купить
“ BA’ZI BIR GEOMETRIK TASDIQLARNING TO G RILIGINIʻ ʻ ISBOTLASHNING ALGORITMIK METODI ” MUNDARIJA KIRISH............................................................................................................. 4 I Bob. Elementar geometriyaning ba’zi tushunchalari.. ……………… 5 1.1-§. Dekart koordinatalar sistemasi........................................................ 5 1.2-§. Vektorlar va ularning xossalari ……………………………………. 9 II Bob. Koordinatalar usuli ......................................................................... 22 2.1-§. Koordinatalar usuli haqida tushunchalar ......................................... 22 2.2-§. Koordinatalar usulining elementar geometriya teoremalarini isbotlashga tadbiqlari .................................................................... 23 2.3-§. Koordinatalar usulining elementar geometriya masalalarini yechishga tadbiqlari ......................................................................... 34 XULOSA........................................................................................................... 42 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO YXATI.................................... ʻ 43 1 O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ OLIY TALIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI SHAROF RASHIDOV NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Fakultet: Matematika Kafedra: Algebra va geometriya O quv yili: 2020-2024 ʻ Bakalavr: D. Rashidova Ilmiy rahbar: dots. H. Nosirova Mutaxasisligi: Matematika “Ba’zi bir geometrik tasdiqlarning to g riligini isbotlashning algoritmik metodi” ʻ ʻ mavzusidagi bitiruv malakaviy ishiga ANNOTATSIYA Ushbu bitiruv malakaviy ishida koordinatalar usulining geometriya teoremalari va masalalariga tadbiqi keltirilgan. Dastlab geometriyaning fundamental tushunchalari hisoblangan koordinatalar tekisligi va vektorlar haqida tushunchalar bayon etilgan. So ngra koordinatalar usuli haqida ma lumot berilib, ʻ ʻ geometrik teoremalar ushbu usul orqali isbotlangan va geometrik masalalar yechib ko rsatilgan. ʻ 2 KIRISH Masalani qo yilishi. ʻ Mazkur bitiruv malakaviy ishida koordinatalar usulining geometrik teoremalarni isbotlash va masalalarni yechishga tadbiqlari qaralgan. Mavzuning dolzarbligi. Geometrik teoremalarni isbotlash amaliyotda ko p ʻ uchrashi bilan birga, ularni qat iy isbotlash bir muncha qiyinchiliklar yaratadi. ʻ Xususan, geometrik teoremalarni isbotlashning bir qancha usullari mavjud: algebraik, geometrik va h.k. Koordinatalar usuli ushbu algebraik va geometrik usullarning birlashishidan hosil bo lgan bo lib, unda geometrik shakllar koordinatalar tekisligiga ʻ ʻ eng qulay holda joylashtiriladi va vektorlar nazariyasi asosida talab qilingan teorema isbotlanadi. Xuddi shunday geometrik masalalarni yechish ham ko plab qiyinchiliklar ʻ tug dirishi mumkin. Lekin, geometrik shakllarni koordinata tekisligiga qulay holda ʻ joylashtirilgandan so ng bu vazifa, ya ni keltirilgan geometrik masalani yechish ʻ ʻ soddalashadi. Taklif etilayotgan usulning dolzarbligi va ahamiyati ham aynan shundadir. Tadqiqotning obyekti va predmeti. Koordinatalar tekisligi, vektorlar sistemasi, vektor uzunligi, vektorlar ustida amallar, geometrik shakllar, geometrik teoremalar, geometrik masalalar. Tadqiqotning maqsadi va vazifalari. Isbotlash qiyin bo lgan teoremalarni, ʻ shuningdek, geometrik masalalarni koordinatalar usuli yordamida isbotlash hamda yechish. Tadqiqotda qo llanilgan metodikaning tavsifi. ʻ Mazkur bitiruv malakaviy ishida chiziqli algebra, analitik geometriya fanlaridagi usullardan foydalanildi. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Mazkur bitiruv malakaviy ishida o rganilgan koordinatalar usuli geometrik teoremalarni isbotlashda ʻ va geometrik masalalarni yechishda qo llanilishi mumkin. ʻ 3 Dissertatsiya tuzilishining tasnifi. Bitiruv malakaviy ishi 2 bob, 5 paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro yxatidan iborat. Teorema va natijalar hamdaʻ formulalar bob, paragraf va tartib raqami bo yicha nomerlangan. ʻ I Bob. Elementar geometriyaning ba’zi tushunchalari 1.1-§. Dekart koordinatalar sistemasi Dekart koordinatalar sistemasi matematikaning n o lchovli koordinata tekisligidagi ʻ nuqta qay tarzda yagona ravishda aniqlanishini o rganish uchun zarurdir. Ushbu ʻ nazariya XVII asrda fransuz filosofi va matematigi Rene Dekart tomonidan tanishtirilgan. Dekart koordinatalar sistemasi shuningdek, Yevklid geometriyasi va Algebra o rtasidagi bog liqlikni ham ifodalaydi. Ushbu sistema analitik geometriyaning ʻ ʻ bazis tushunchasi hisoblanib, u yordamida n o lchovli koordinata tekisligida har xil ʻ geometrik shakllar, chiziqlar, egri chiziqlar ifodalanadi. Dekart koordinatalar sistemasi quyidagi parametrlar yordamida aniqlanadi:  X o qi va ʻ Y o qi nomli i ʻ kkita perpendikulyar chiziqlar;  Tekislik Dekart koordinatalar sistemasi va yuqoridagi ikkita X va Y chiziqlar birgalikda koordinata tekisligi o qlari deyiladi; ʻ  Ushbu ikkita perpendikulyar to g ri chiziqlar Dekart koordinatalar tekisligini ʻ ʻ choraklar(kvadrantlar) deb nomlanuvchi 4 ta qismga ajratadi;  X va Y to g ri chiziqlar kesishish nuqtasi odatda ʻ ʻ O nuqta orqali belgilanadi. Koordinatalar boshi ( 0 ; 0 ) nuqta sifatida qaraladi;  Dekart koordinatalar sistemasida ixtiyoriy P nuqtaning koordinatalarini aniqlash uchun shu nuqtadan mos ravishda X va Y o qlariga perpendikulyar chiziqlar o tkazamiz. ʻ ʻ Ushbu chiziqlarning X o qi bilan kesishgan nuqtasi ʻ P nuqtaning absissasi, Y o qi bilan ʻ kesishish nuqtasi nuqtaning ordinatasi deyiladi; 4  Ushbu ikki nuqtani mos holda x va y orqali belgilasak, P nuqta koordinata tekisligida yagona ravishda P(x,y) kabi aniqlanadi;  Misol uchun x=5,y=6 hol 1.1.1-rasmda keltirilgan. 1.1.1-rasm Quyida Dekart koordinatalar sistemasining fundamental tushunchalarini keltiramiz. Bir o lchovli Dekart koordinatalar sistemasi ʻ Bir o lchovli Dekart koordinatalar sistemasi odatda sonlar o qi deb ataladi. Bu holda ʻ ʻ gorizontal to g ri chiziq, koordinata boshi ʻ ʻ O nuqta, undan chap tarafda manfiy sonlar o qi, o ng tarafda musbat sonlar o qi joylashgan bo ladi. Agarda to g ri chiziq vertikal ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ olinadigan bo lsa, u holda ʻ O nuqtadan yuqori tomon musbat, pastki tomon manfiy deb qaraladi. Sonlar o qidagi ixtiyoriy nuqta ʻ O nuqtaning qaysi tarafida joylashganiga bog liq holda + yoki – ishorasi va shu nuqtadan ʻ O nuqtagacha bo lgan masofa bilan ʻ aniqlanadi. 5 Ikki o lchovli Dekart koordinatalar sistemasiʻ Ikki o lchovli Dekart koordinatalar sistemasida ixtiyoriy nuqtani ikkita o lchov orqali ʻ ʻ aniqlash mumkin. Ushbu sistemani odatda koordinatalar tekisligi deb ham yuritiladi. Bunda perpendicular ikkita X va Y to g ri chiziqlar olinadi. Ular kesishgan nuqta ʻ ʻ O ( 0 ; 0 ) nuqta orqali belgilanadi va koordinatalar boshi deyiladi. Perpendikulyar to g ri chiziqlar ʻ ʻ koordinata tekisligini 4 ta chorakka bo ladi. Bunda I chorakda ʻ ( + x ; + y ) , ikkinchi chorakda (− x;+y) ; uchinchi chorakda (− x;− y) va to rtinchi chorakda ʻ ( + x ; − y ) ko rinishda nuqtalar aniqlanadi. ʻ Uch o lchovli Dekart koordinatalar sistemasi ʻ Uch o lchovli Dekart koordinatalar sistemasida uchta o zaro bir-birida bilan ʻ ʻ perpendikulyar bo lgan ʻ X ,Y va Z to g ri chiziqlar qaraladi. Ular kesishgan nuqta ʻ ʻ O nuqta koordinata boshi deb olinadi. Ushbu o qlar mos holda absissalar o qi, ordinatalar ʻ ʻ o qi va aplikatalar o qi deb yuritiladi. Ushbu Dekart koordinatalar sistemasida ixtiyoriy ʻ ʻ nuqta 3 ta o lchov orqali aniqlanadi. ʻ X , Y va Z o qlar uch o lchovli koordinata ʻ ʻ tekisligini 8 ta chorakka ajratadi. U lar mos holda ( + x , + y , + z ) ,( − x , + y , + z ) ,( + x , + y , − z ) , (− x,+y,− z),(+x,− y,+z),(− x,− y,+z),(+x,− y,− z),(− x,− y,− z) ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ Bundan yuqori o lchamli koordinata tekisligini tasvirlash mumkin emas bo lib, ʻ ʻ ular faqat nazariy tomondan o rganiladi. ʻ Dekart koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa. Bizga Dekart koordinatalar sistemasida A ( x 1 , y 1 ) va B ( x 2 , y 2 ) nuqtalar berilgan bo lsin. U ʻ holda ushbu nuqtalar orasidagi masofa quyidagi formula yordamida topiladi: d(A,B)=√(x2− x1)2+(y2− y1)2. 6 O rta–nuqta formulasiʻ Bizga Dekart koordinatalar sistemasida A(x1,y1) va B(x2,y2) nuqtalar berilgan bo lsin. ʻ Ushbu ikki nuqtadan o tuvchi kesmaning o rtasining ʻ ʻ ( x , y ) koordinatalari quyidagi formula yordamida topiladi: x = x 1 + x 2 2 , y = y 1 + y 2 2 . Kesmani berilgan nisbatda bo lish ʻ Bizga Dekart koordinatalar sistemasida A(x1,y1) va B(x2,y2) nuqtalar berilgan bo lsin. ʻ Ushbu nuqtalardan o tuvchi kesmani ʻ m : n nisbatda bo luvchi nuqtaning ʻ ( x , y ) koordinatalari quyidagi formula yordamida topiladi: x = m x 2 + n x 1 m + n , y = m y 2 + n y 1 m + n . Dekart koordinatalar sistemasida to g ri chiziq tenglamasi. ʻ ʻ Dekart koordinatalar sistemasida to g ri chiziq tenglamasini turli ko rinishlarda tuzish ʻ ʻ ʻ mumkin. To g ri chiziqning umumiy tenglamasi ʻ ʻ ax + by + c = 0 ko rinishda ifodalanadi. ʻ Shuningdek, to g ri chiziqning burchak koeffitsiyentli ʻ ʻ y= kx +b ko rinishdagi tenglamasi ʻ ham mavjud. Agar Dekart koordinatalar sistemasida A ( x 1 , y 1 ) va B(x2,y2) nuqtalar berilgan bo lsa, ʻ ushbu nuqtalardan o tuvchi to g ri chiziq tenglamasi quyidagi ko rinishda aniqlanadi: ʻ ʻ ʻ ʻ x− x1 x2− x1 = y− y1 y2− y1 . 7 1.2-§. Vektorlar va ularning xossalari A. Vektor kattaliklar. Vektor. 1.2.1-ta’rif. Faqat son qiymati bilan aniqlanadigan kattaliklar skalyar kattaliklar deyiladi. Yana shunday kattaliklar borki, ularni to la bilish uchun bu kattaliklarniʻ ifodalovchi son qiymatlaridan tashqari, ularning yo nalishlarini ham bilish zarur ʻ bo ladi. Masalan, tezlik, kuch va bosim shular jumlasidandir. ʻ Vektor – geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri bo lib, u son (uzunlik) va ʻ yo nalishi bilan to la aniqlanadi. Ko rgazmali bo lishi uchun uni yo naltirilgan kesma ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ ko rinishida tasavvur qilish mumkin. Aslida vektorlar haqida gapirilganda, hammasi ʻ o zaro parallel bir xil uzunlik va bir xil yo nalishga ega bo lgan yo naltirilgan ʻ ʻ ʻ ʻ kesmalarning butun bir sinfini nazarda tutish to g riroq bo ladi. ʻ ʻ ʻ 1.2.2-ta’rif. Son qiymati va yo nalishi bilan aniqlanadigan (tavsiflanadigan) ʻ kattaliklar vektor kattaliklar yoki vektorlar deb ataladi. Fizika, mexanika va matematikaning son bilangina emas, balki yo nalishi bilan ʻ tavsiflanadigan miqdorlarni tekshiruvchi turli masalalari vektor tushunchasiga olib keladi. Masalan, kuch, tezlik - bular vektorlardir. Vektor kattaliklarni biz juda ko p hollarda uchratamiz. Masalan, transportda ʻ ketayotganingizda harakat tezligi, burilish yoki to xtash bilan bog liq vektor ʻ ʻ kattaliklarni ko rishingiz mumkin. Tabiatni o rganuvchi fanlarda bular - tezlanish, ʻ ʻ inersiya kuchi, markazdan qochma kuch va shunga o xshash nomlar bilan ataladi. ʻ Biz vektor kattaliklarni tabiiy ma nosini hisobga olmagan holda uning matematik ʻ tabiatini o rganamiz. Albatta, vektor kattalikning matematik xossalari o zining tabiiy ʻ ʻ ma nosiga ega bo ladi. ʻ ʻ 8 Vektor kattalikning son miqdorini kesma orqali ifodalaymiz. Ma lumki, harʻ qanday kesmaning ikki uchi bor. Ulardan birini vektorning boshi deb, ikkinchi uchini vektor kattalik yo nalishiga mos yo naltiramiz va strelka bilan belgilaymiz. Buni ʻ ʻ vektorning uchi deymiz. 3-ta’rif. Vektor (vektor kattalik) deb yo nalishga ega bo lgan kesmaga aytiladi. ʻ ʻ Vektor kattalik yo nalishi ko rsatilgan kesma sifatida tasvirlanadi. Vektorni ʻ ʻ ifodalovchi kesma uchlari A va B nuqtada bo lsa, ʻ A nuqtadan B nuqtaga yo nalgan ʻ vektor ⃗ AB kabi belgilanadi. Shuningdek, vektorlar ⃗ a , ⃗ b (lotin alifbosining kichik harflari) shaklida ham belgilanishi mumkin. Vektorning yo nalishi uning boshi va ʻ oxirini ko rsatish bilan aniqlanadi. Bunda vektor boshi birinchi o ringa qo yiladi. ʻ ʻ ʻ AB nurning aniqlab bergan yo nalishi ʻ ⃗AB vektorning yo nalishi deyiladi. Boshi va ʻ oxiri ustma-ust tushgan vektor nol vektor deb ataladi. ⃗ AB = ⃗ 0 tenglik A va B nuqtalarning ustma-ust tushganini bildiradi. Vektorni ifodalovchi kesmaning uzunligi vektorning moduli yoki absolut qiymati deb ataladi. Vektorning moduli ¿⃗AB ∨¿ yoki ¿⃗a∨¿ kabi belgilanadi. ⃗a=⃗AB vektorning moduli AB kesmaning uzunligi hisoblanadi: ¿⃗a∨¿∨⃗AB ∨¿ . Shuning uchun geometriyada vektorning moduli yoki absolut qiymati uning uzunligi ham deb ataladi. Nol vektorning uzunligi (moduli) nolga teng deb hisoblanadi): ¿⃗0∨¿0 . Vektorlarning tengligi. 1.2.4-ta'rif. Bir to g ri chiziqda yoki parallel to g ri chiziqlarda yotuvchi ʻ ʻ ʻ ʻ vektorlar kollinear vektorlar deyiladi. ⃗a va ⃗b vektorlarning kollinearligi ⃗a∥⃗b kabi belgilanadi. 9 Agar ikki vektor ularning boshi orqali o tgan: 1) to g ri chiziqdan bir tomondaʻ ʻ ʻ yotsa, yo nalishdosh vektorlar deyiladi; 2) to g ri chiziqqa nisbatan turli tomonda ʻ ʻ ʻ yotsa, qarama-qarshi yo nalgan vektorlar deyiladi. ʻ ⃗ AB va ⃗CD vektorlar: 1) yo nalishdosh bo lsa, ular ʻ ʻ ⃗AB ↑↑⃗CD kabi; 2) qarama- qurshi yo nalgan bo lsa, ʻ ʻ ⃗AB ↑↓⃗CD kabi belgilanadi. Nol vektor istalgan vektorga kollinear deb hisoblanadi. 1.2.5- ta’rif. Agar ⃗a va ⃗ b vektorlarning uzunliklari teng va yo nalishlari bir xil ʻ bo ʻ lsa, bu vektorlar teng vektorlar deb ataladi. Shunday qilib, agar ¿⃗a∨¿∨⃗b∨¿ va ⃗ a ↑ ↑ ⃗ b bo lsa, ʻ ⃗a va ⃗ b vektorlar teng bo ladi. ʻ Vektorlarning tengligi ⃗a= ⃗b shaklida yoziladi. Vektorlarning tengligi uning boshi tekislikning ixtiyoriy nuqtasida bo la olishini ʻ ko rsatadi, ya ni vektorning modulini o zgartirmay, yo nalishini saqlagan holda ʻ ʻ ʻ ʻ uning boshini tekislikning istalgan nuqtasiga ko chirish mumkin. Buni vektorni ʻ parallel ko chirish xossasi deb ataladi. ʻ B. Vektorlarni qo shish va ayirish. ʻ Vektorlarni qo shish. ʻ Bizga ⃗a va ⃗b vektorlar berilgan bo lsin. Ixtiyoriy ʻ A nuqtani belgilaymiz va bu nuqtadan ⃗a vektorga teng ⃗ AB vektorni qo yamiz. So ngra ʻ ʻ B nuqtadan ⃗b vektorga teng ⃗BC vektorni qo yamiz. ʻ Endi ⃗a vektorning boshi A nuqtadan ⃗ b vektor uchi C ga yo nalgan vektor ʻ o tkazamiz. ʻ ⃗AC vektor ⃗a va ⃗b vektorlarning yig indisi deyiladi. Vektorlarni qo shishning bu qoidasi «ucburchak (uch nuqta) qoidasi» deyiladi. ʻ ⃗ a va ⃗ b vektorlarning yig indisi ʻ ⃗a+⃗b kabi belgilanadi. Uchburchak qoidasini quyidagicha ifodalasak ham bo ladi: ʻ 10 agar A,B va C ixtiyoriy nuqtalar bo lsa, u holda quyidagi tenglik o rinli: ⃗AB +⃗BC =⃗AC Uchburchak qoidasi istalgan A,B va C nuqtalar uchun, shu bilan bir qatorda ulardan ikkitasi yoki uchtasi ustma-ust tushganda ham o rinli bo ladi. ʻ ʻ Vektorlarni qo shish qonunlari. ʻ Ma lumki, parallelogrammning qaramaqarshi ʻ tomonlari o zaro teng va parallel. Agar yo nalishlari bir xil bo lsa, ʻ ʻ ʻ parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng vektorlarni ifodalaydi. ⃗ a va ⃗ b - nokollinear vektorlar bo lsin. Ixtiyoriy ʻ A nuqtadan ⃗ AB = ⃗ a va ⃗ AD = ⃗ b vektorlarni qo yamiz hamda tomonlari shu vektordan tuzilgan ʻ ABCD parallelogrammni yasaymiz. Uchburchak qoidasiga ko ra: ʻ ⃗AC =⃗AB +⃗BC = ⃗a+⃗b va ⃗AC =⃗AD +⃗DC = ⃗b+⃗a Bulardan ⃗ a + ⃗ b = ⃗ b + ⃗ a kelib chiqadi. Demak, vektorlar yig indisi ularning qanday tartibda ketma-ket joylashishiga ʻ bog liq emas, ya ni istalgan ʻ ʻ ⃗a va ⃗ b vektorlar uchun quyidagi tenglik o rinli: ʻ ⃗a+⃗b=⃗b+⃗a Bunga vektorlarni qo shishning o rin almashtirish qonuni deyiladi. ʻ ʻ ⃗a va ⃗b vektorlardan tuzilgan ABCD parallelogrammda yig indi ʻ ⃗AC vektor qo shiluvchi vektorlarning umumiy boshidan chiquvchi diagonaldan iborat. Odatda, ʻ vektorlarni bunday qo shish vektorlarni qo shishning «parallelogramm qoidasi ʻ ʻ (usuli)» deyiladi. Endi uchta ⃗a,⃗b va ⃗c vektorlar yig indisini ko raylik. Ixtiyoriy ʻ ʻ A nuqtadan ⃗AB = ⃗a vektorni, B nuqtadan ⃗ BC = ⃗ b vektorni, C nuqtadan esa ⃗ CD = ⃗ c vektorni qo yamiz. ʻ Uchburchak qoidasini qo llab, ega bo lamiz: ʻ ʻ 11 (⃗a+⃗b)+⃗c=(⃗AB +⃗BC )+⃗CD =⃗AC +⃗CD =⃗AD ⃗a+(⃗b+⃗c)=⃗AB +(⃗BC +⃗CD )=⃗AB +⃗BD =⃗ADBundan, istalgan ⃗a,⃗b va ⃗c vektorlar uchun ( ⃗ a + ⃗ b ) + ⃗ c = ⃗ a + ( ⃗ b + ⃗ c ) tenglik o rinli ekani kelib chiqadi. Bu vektorlarni qo shishning guruhlash qonuni ʻ ʻ (xossasi)dir. 1.2.6-ta’rif. Ikki vektorning yig indisi nol vektor bo ʻ l ʻ sa, ular qarama-qarshi vektorlar deb ataladi. Demak, agar ⃗a+⃗b=⃗0 bo lsa, u holda ʻ ⃗b=⃗BA vektor ⃗ a = ⃗ AB vektorga (va aksincha) qarama-qarshi vektor deyiladi va ⃗b=− ⃗a,⃗a=− ⃗b kabi yoziladi. Agar qarama-qarshi vektorlarni (uchburchak qoidasi bóyicha) qo shsak, u holda nol vektor kelib chiqadi. ʻ Bunda ¿⃗a∨¿∨⃗b∨ ,⃗a va ⃗b vektorlar parallel bo lib, turli tomonga yo nalgan bo ladi. ʻ ʻ Demak, har bir ⃗ a vektor uchun unga qarama-qarshu − ⃗a vektor mavjud (ya ni ʻ ⃗a+(− ⃗a)= ⃗0 ) bo ladi. Yuqoridagi mulohazalardan quyidagi xulosa kelamiz: agar nol bo lmagan ikki vektorning uzunliklari teng va ular qarama-qarshi ʻ yo nalgan bo lsa, ular qarama-qurshi vektorlar deyiladi. ʻ ʻ Nol vektor o ziga-o zi qarama-qurshi vektor hisoblanadi. ʻ ʻ Vektorlarni ayirish. Vektorlarni ayirish xuddi sonlarni ayirish kabi qo shishga ʻ teskari amaldir. 1.2.7-ta’rif. ⃗a va ⃗b vektorlarning ayirmasi deb, shunday ⃗c vektorga aytiladiki, uning ⃗ b vektor bilan yig ʻ indisi ⃗ a vektorni beradi: ⃗c+⃗b= ⃗a . ⃗a va ⃗b vektorlarning ayirmasi xuddi sonlarning ayirmasi kabi belgilanadi: ⃗a− ⃗b . Ikki vektorning ayirmasi birinchi vektorga ikkinchi vektorga qarama-qarshi vektorni qo shish sifatida aniqlanadi va u ʻ ⃗ a + ( − ⃗ b ) vektorga teng. 12 Bizga ⃗a va ⃗b vektorlar berilgan bo lsin. ʻ ⃗a vektor bilan ⃗b vektorga qarama-qarshi bo lgan ʻ ( − ⃗ b ) vektorning yig indisini ko raylik. ʻ ʻ Istalgan ⃗a va ⃗b vektorlar uchun ⃗a− ⃗b= ⃗a+(−⃗b) tenglik o rinli. ʻ Haqiqatan ham, ( ⃗ a + ( − ⃗ b ) ) + ⃗ b = ⃗ a + ( ( − ⃗ b ) + ⃗ b ) = ⃗ a + ⃗ 0 = ⃗ a . Yuqoridan ko rinadiki, ayriluvchi vektorning oxiri ayirma vektorning boshi, ʻ kamayuvchi vektorning oxiri esa ayirma vektorning oxiri vazifasini o tar ekan. ʻ Qoidani esda saqlash qulay bo lishini ta minlash maqsadida u sxematik tarzda ʻ ʻ ko rsatildi. ʻ Vektorni qo shishda parallelogramm usulidan foydalansak, ayirma vektor ʻ parallelogrammning ikkinchi diagonalidan iborat bo ladi. ʻ C. Vektorni songa ko paytirish. ʻ Biror ⃗a vektorni olamiz va ⃗ a + ⃗ a + ⃗ a yig indini topamiz. Bunday yig indini ʻ ʻ 3 ⋅ ⃗ a deb belgilaymiz va bu ifodani ⃗a vektorning 3 soniga ko paytmasi deb atashimiz tabiiydir. ʻ 1.2.8-ta’rif. Nol bo lmagan ʻ ⃗ a vektorning k songa ko paytmasi deb, shunday ʻ ⃗b= k⋅⃗a vektorga aytiladiki, bunda uning uzunligi ¿k∨⋅∨⃗a∨¿ songa teng bo lib, yo nalishi ʻ k ≥ 0 bo ʻ lganda ⃗a va ⃗ b vektorlar yo nalishi bilan bir xil, ʻ k < 0 bo ʻ lganda esa yo nalishlari qarama-qarshi bo ladi. ʻ Nol vektorning ixtiyoriy songa ko paytmasi nol vektor deb hisoblanadi. ʻ ⃗a vektorning k songa ko paytmasi ʻ k⃗a kabi belgilanadi (son ko paytuvchi chap ʻ tomonga yoziladi). Ta rifga ko ra: ʻ ʻ ¿ k ⃗ a ∨ ¿ ∨ k ∨ ⋅ ∨ ⃗ a ∨ ¿ . Vektorning songa ko paytmasi ta rifidan bevosita quyidagilar kelib chiqadi: 1) ʻ ʻ istalgan vektorning nolga ko paytmasi nol vektor bo ladi; 2) istalgan son va ixtiyoriy ʻ ⃗a vektor uchun ⃗a va k⃗a vektorlar kollinear. 13 Endi vektorni songa ko paytirishning asosiy xossalarini sanab o tamiz.ʻ ʻ Istalgan ⃗ a , ⃗ b vektorlar va istalgan k , l sonlar uchun quyidagi tengliklar o rinlli: 1 ∘ ⋅ ( k ⋅ l ) ⃗ a = k ⋅ ( l ⃗ a ) − ¿ guruhlash qonuni. 2 ∘ . ( k + l ) ⃗ a = k ⃗ a + l ⃗ a − ¿ birinchi taqsimot qonuni. 3 ∘ . k ( ⃗ a + ⃗ b ) = k ⃗ a + k ⃗ b − ikkinc h i taqsimot qonuni. 4∘.k⋅⃗0=0⋅⃗a= ⃗0 . Parallel to g ri chiziqlarga yoki bir to g ri chiziqda yotuvchi ikki vektorni ʻ ʻ ʻ ʻ kollinear vektorlar deb atalishini yana bir bor eslatib o tamiz. Ma’lumki, vektorni songa ko paytirganda ko paytma vektorning yo nalishi ʻ ʻ ʻ berilgan vektorga parallel bo ladi. Bundan quyidagi muhim xulosani hosil qilamiz: ʻ vektorning songa ko paytmasi shu vektorga kollinear vektordir. ʻ 1.2.1-teorema. Vektor o zining moduliga teng songa bo linsa, shu vektorga ʻ ʻ kollinear birlik vektor hosil bo ladi. ʻ Isbot. ⃗a vektorning moduli ¿⃗a∨¿ bo lsin. ʻ ⃗a vektorning k = 1 ¿ ⃗ a ∨ ¿ ¿ songa ko paytmasini qaraylik: ʻ ¿k⃗a∨¿∨k∨⋅∨ ⃗a∨¿ 1 ¿⃗a∨¿⋅∨ ⃗a∨¿1¿ Demak, ko paytma vektor moduli bir birlikka teng. ʻ Moduli birga teng vektorni birlik vektor deb ataymiz. Agar ⃗a vektor bo yicha ʻ yo nalgan birlik vektorni ʻ ⃗e deb belgilasak, teoremaga ko ra: ʻ ⃗e= ⃗a ¿⃗a∨¿¿ yoki bu tenglikni ¿ ⃗ a ∨ ¿ songa ko paytirsak: ʻ ⃗a=¿⃗a∨⋅⃗e . 14 Natijada biz vektorlarni o rganishda katta ahamiyatga ega bo lgan tenglikni hosilʻ ʻ qildik, ya ni har qanday vektor shu vektor moduli bilan o ziga kollinear birlik ʻ ʻ vektorning ko paytmasiga teng ekan. ʻ D. Vektorning koordinatalari. Tekislikda xOy Dekart koordinatalar sistemasi, ya ni koordinatalar boshi ʻ O nuqta, koordinata o qlarining yo nalishi va masshtab birligi - birlik kesma berilgan bo lsin. ʻ ʻ ʻ Bunda tekislikdagi ixtiyoriy A nuqta o zining abssissasi ʻ x va ordinatasi y ga ega bo ladi: ʻ A ( x ; y ) . Moduli bir birlikka ega bo lgan hamda yo nalishi ʻ ʻ Ox o qi bo yicha ʻ ʻ yo nalgan birlik vektorni ʻ ⃗i bilan, xuddi shuningdek, Oy o qi bo yicha yo nalgan birlik ʻ ʻ ʻ vektorni ⃗j bilan belgilaymiz. Tekislikda koordinatalari ( x ; y ) bo lgan ʻ A nuqta berilgan bo lsin. ʻ O AxA uchburchakni qaraylik. Bu uchburchakda ⃗ OA = ⃗ O A x + ⃗ A x A . Ammo O A x = x , AxA=O Ay= y bo lgani uchun ʻ ⃗ O A x = x ⋅ ⃗ i ,⃗ A x A = y ⋅ ⃗ j bo ladi. ʻ Bundan ⃗ a = ⃗ OA = x ⋅ ⃗ i + y ⋅ ⃗ j tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik vektorning koordinata ifodasi deb ataladi. Demak, boshi koordinatalar boshida, uchi A ( x ; y ) nuqtada bo lgan vektorni ʻ koordinata o qlari bo yicha yo nalgan ʻ ʻ ʻ ⃗ i va ⃗ j vektorlar orqali yuqoridagi ko rinishda ʻ yozish mumkin ekan. Bunda ( ⃗ i ; ⃗ j ) vektorlar juftligi bazis vektorlar, x va y sonlar esa ⃗a vektorning koordinatalari deb ataladi. Agar vektorning koordinata ifodasi ma lum bo lsa, vektor koordinatalari bilan ʻ ʻ berilgan deyiladi va qisqacha ⃗ a ( x ; y ) shaklida yoziladi: ⃗ a ( x ; y ) = x ⋅ ⃗ i + y ⋅ ⃗ j 1.2.8-ta’rif. Agar A1(x1;y1) va A2(x2;y2) bo lsa, x2− x1 va y2− y1 sonlar ⃗ A 1 A 2 vektorning koordinatalari deyiladi. 15 Belgilanishi: ⃗ A 1 A 2 ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ) . Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxirining koordinatalaridan boshining mos koordinatalarini ayirish kifoya. E. Koordinatalari berilgan vektorlar ustida amallar. Bizga ⃗a(x1,y1) va ⃗ b( x 2 , y 2 ) , ya ni vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo lsin. ʻ ʻ Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo shish, ayirish va songa ko paytirish ʻ ʻ amallari bilan tanishamiz. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo shish. ʻ Ixtiyoriy ⃗a(x1,y1) va ⃗ b( x 2 , y 2 ) vektorlar yig indisini ko raylik: ʻ ʻ ⃗a+⃗b=(x1⋅⃗i+y1⋅⃗j)+(x2⋅⃗i+y2⋅⃗j)= x1⋅⃗i+y1⋅⃗j+x2⋅⃗i+y2⋅⃗j=¿=(x1+x2)⃗i+(y1+y2)⃗j Demak, ⃗ a + ⃗ b vektorning koordinatalari ( x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ) ga teng. Shunday qilib, vektorlarni qo shish uchun ularning mos koordinatalarini qo shish ʻ ʻ kifoya ekan. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni ayirish. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni ayirish uchun ularning mos koordinatalarini ayirish kifoya, ya ni: ʻ ⃗ a( x 1 ; y 1 ) − ⃗ b( x 2 ; y 2 ) = ⃗ c( x 1 − x 2 ; y 1 − y 2 ) Koordinatalari bilan berilgan vektorni songa ko paytirish. ʻ Koordinatalari bilan berilgan vektorni songa ko paytirish amali bilan tanishamiz. ʻ ⃗a(x1,y1) vektorning k songa ko paytmasi ʻ ⃗b= k⃗a ni topamiz: ⃗b= k⋅⃗a= k⋅(x1⃗i+y1⃗j)=kx1⃗i+ky1⃗j=⃗b(kx1;ky1) 16 Demak, vektorni songa ko paytirish uchun uning koordinatalarini shu songaʻ ko paytirish yetarli ekan. ʻ E. Vektorlarning skalar ko paytmasi. ʻ Vektor moduli va yo nalishi bilan to la aniqlanadigan kattalik ekanini yana bir ʻ ʻ bor eslatamiz. Vektorlarning ko paytmasi tushunchasi ko paytirish natijasida hosil ʻ ʻ bo ladigan natijaning qanday bo lishiga bog liq bo ladi. Ko paytirish natijasi vektor ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ yoki son bo lishi mumkin. Biz vektorni ʻ ko ' paytirish natijasi son bo ladigan hol bilan ʻ ʻ tanishamiz. Natija skalar (son) bo lgani uchun bu ko paytma vektorlarning skalar ʻ ʻ ko paytmasi deb nomlangan. ʻ 1.2.9-ta’rif. ⃗ a( x 1 ; y 1 ) va ⃗ b( x 2 ; y 2 ) vektorlarning skalar ko paytmasi deb, ʻ x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 songa aytiladi. Shunday qilib, quyidagi tenglikka ega bo lamiz: ʻ ⃗a⋅⃗b= x1⋅x2+y1⋅y2. Bu koordinatalari bilan berilgan ikki vektorning skalar ko paytmasini hisoblash ʻ formulasidir. Vektor uzunligini topish. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalar ko paytmasini hisoblash formulasi yordamida vektorlarga oid turli kattaliklarni ʻ aniqlash mumkin. Bizga ⃗ a( x 1 ; y 1 ) vektor berilgan bo"lsin. Vektorlarning skalar ko paytmasini ʻ yozishda ham sonlarning ko paytmasi kabi yozuvdan foydalaniladi. ʻ ⃗a⋅⃗a skalar ko paytma ʻ ⃗a2 kabi belgilanadi va skalar kvadrat deb ataladi. Ravshanki, ⃗a2=¿⃗a¿2 . Bundan ¿⃗a∨¿√⃗a2 17 ya ni vektorning moduli o zini-o ziga skalar ko paytmasidan (vektor kvadratidan)ʻ ʻ ʻ ʻ olingan arifmetik kvadrat ildizga teng ekanligi kelib chiqadi. Vektor koordinatalari bilan berilgani uchun: ⃗a2= x12+y12, ¿⃗a∨¿√x12+y12 Bu vektorning uzunligini hisoblash formulasidir. Vektorlar koordinatalari bilan berilganda ularning skalar ko paytmasi va ʻ modulini hisoblash mumkin. Vektorlarning skalar ko paytmasi ta rifidan ʻ ʻ ⃗ a( x 1 ; y 1 ) ,⃗ b( x 2 ; y 2 ) va ⃗c(x3;y3) vektorlar uchun ( ⃗ a + ⃗ b ) ⋅ ⃗ c = ⃗ a ⋅ ⃗ c + ⃗ b ⋅ ⃗ c tenglik o rinli ekani kelib chiqadi. ʻ F. Vektorlarning fizik va geometrik talqinlari. 1. Jismga ta sir etadigan kuch (qo yilgan kuch)ni yo nalishi ta sir etish ʻ ʻ ʻ ʻ yo nalishi bilan bir xil, absolut qiymati esa kuch miqdoriga proporsional vektor bilan ʻ tasvirlash qulay. Amaliyot shuni ko rsatadiki, kuchlarni bunday tasvirlash usulida ʻ jismga bir nuqtada ta sir qiluvchi ikki yoki bir nechta kuchning teng ta sir etuvchisi ʻ ʻ shu kuchlarga mos vektorlarning yig indisi bilan tasvirlanadi. 247rasmda jismga ʻ A nuqtada ⃗ a va ⃗ b vektorlar bilan tasvirlangan ikkita kuch ta sir etadi. ʻ Bu kuchlarning teng ta sir eturchisi ʻ ⃗c= ⃗a+⃗b 18 vektor bilan tasvirlanadi. Kuchni berilgan ikki yo nalishda ta sir etuvchi kuchlarning yig indisi shaklidaʻ ʻ ʻ tasvirlash kuchni yo nalishlar bo yicha yoyish (ajratish) deyiladi. ʻ ʻ 2. Fizikada jismning ilgarilama harakati deb shunday harakatga aytiladiki, bunda jismning barcha nuqtalari bir xil vaqt oralig ida, bir xil yo nalishda bir xil ʻ ʻ masofaga siljiydi. Shunday qilib, fizikadagi siljish vektori darsligimizda qabul qilingan ma nodagi vektor ekan. Farq shundaki, geometriya darsligida faqat ʻ tekislikdagi vektorlar to g risidagina gap yuritiladi, fiziklar esa boshidanoq fazodagi ʻ ʻ vektorlar (kollej va akademik litseylarda tanishasiz) to g risida ham mulohaza ʻ ʻ yuritadilar. 3. Fizikada «vektor» so zi ancha keng ma noda ishlatiladi. Masalan, tezlik ʻ ʻ vektor deb yuritiladi. Ammo geometrik vektorning uzunligi metrlarda, tezlikning absolut qiymati esa sekundiga metrlar ( m/s )da o lchanishining ơzidanoq tezlikning ʻ geometriyada qabul qilingan ma nodagi vektor emasligi ko rinib turibdi. ʻ ʻ Biz geometriyada tezlikni vektor emas, balki vektor kattalik deymiz. Umuman, vektor kattaliklar, o zlarining modulidan tashqari, yo nalishi bilan ʻ ʻ aniqlanadi. Ma lum masshtab tanlab olinganda vektor kattaliklar geometrik vektorlar ʻ bilan tasvirlanadi. Bunda vektor kattaliklarni qo shishga ularni tasvirlovchi geometrik vektorlarni ʻ qo shish, vektor kattaliklarni sonlarga ko paytirishga esa ularni tasvirlovchi geometrik ʻ ʻ vektorlarni o sha sonlarga ko paytirish mos keladi. ʻ ʻ 19 II Bob. Koordinatalar usuli 2.1-§. Koordinatlar usuli haqida tushunchalar Ma lumki, Yevklid geometriyasining teoremalarini isbotlash va masalalariniʻ yechishning turli usullari mavjud bo`lib, ulardan biri “Koordinatalar usuli” deb nomlanadi[1]. Ushbu usul yordamida teorema va masalalarni bir qancha soddalik bilan bajarish mumkin. 20 Usul mohiyati shundan iborat: geometrik shaklning asosiy “elemenetlari”(tomon uzunliklari, burchak kattaliklari)ni o`zgartirmagan holda Dekart koordinatalar sistemasiga qanday holda joylashtirsak ham, shakl o`zining “kattaliklari”(perimetri, yuzasi)ni saqlaydi. Demak, geometrik shaklni koordinatalar sistemasiga shunday joylashtiramizki, ushbu joylashuv biz uchun eng qulay bo`lsin. Asosan, bu joylashuv geometrik shaklning bir uchini koordinatalar boshiga, bir tomonini biror o`qqa(Ox yoki Oy ¿ yoki perpendikulyarlik shartlari asosida berilgan masalalarda, o`sha perpendikulyarni biror o`qqa joylashtirish orqali amalga oshiriladi[2]. Quyida ushbu usul yordamida geometriya teorema va masalalarini yechish uchun zarur bo lgan ba zi tushunchalarni keltiramiz: ʻ ʻ 1. Ikki A ( x 1 , y 1 ) va B ( x 2 , y 2 ) nuqtalar orasidagi d masofani topish: d= √(x2− x1)2+(y2− y1)2. 2. Uchlari A(x1,y1),B(x2,y2),C (x3,y3) nuqtalarda bo lgan uchburchakning ʻ S yuzini topish: S = 1 2 [ x 1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y 1 ) + x 3 ( y 1 − y 2 )] . 3. Uchta A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) nuqtalarning bir to g ri chiziqda yotishlik ʻ ʻ sharti: x1(y2− y3)+x2(y3− y1)+x3(y1− y2)=0. 2.2-§. Koordinatalar usulining elementar geometriya teoremalarini isbotlashga tadbiqlari Quyida ushbu usul asosida isbotlangan teoremalarni keltiramiz. 2.2.1-teorema. Uchburchak o rta chizig ining uzunligi uchinchi tomoni ʻ ʻ uzunliginin yarmiga teng ekanligini isbotlang. Isbot. 21 ABC uchburchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.1- rasm): 2.2.1-rasm U holda MN −¿ uchburchak o rta chizig i bo lganligi uchun ʻ ʻ ʻ M va N nuqtaning koordinatalari M ( u 1 2 , u 2 2 ) va N ( u3+u1 2 ,u2 2) ko rinishda bo ladi. ʻ ʻ Shuningdek, |AC |= u3 ekanligi ma’lum. Demak, |MN |= √( u3+u1 2 − u1 2) 2 +( u2 2− u2 2) 2 = u3 2 . Bu esa | MN | = | AC | 2 tenglik o rinli ekanligini ko rsatadi. ʻ ʻ Teorema isbotlandi. 2.2.2-teorema. ABC uchburchakning tomonlari a,b,c ga teng bo lsa, u holda ʻ uchburchakning a tomoniga o’tkazilgan mediana uzunligi 22 ma= √2(b2+c2)−a2 2formula yordamida topilishini isbotlang. Isbot. Uchburchakni koordinata tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.2- rasm): 2.2.2-rasm AM kesma ABC uchburchakning BC tomoniga o tkazilgan mediana bo lganligi ʻ ʻ sababli, M nuqtaning koordinatalari M ( u 3 2 , 0 ) ko rinishda bo ladi. Shuningdek, ʻ ʻ a=u3,b=√(u3−u1)2+u22,c=√u12+u22,ma=√(u1− u3 2) 2 +u22. Demak, √2(b2+c2)− a2 2 = √2((u3−u1)2+u22+u12+u22)− u32 2 =¿ ¿√4(u12+u22−u1u3)+u32 2 =√u12−2u1 u3 2+u32 4 +u22=¿ ¿ √( u 1 − u 3 2 ) 2 + u 22 = m a . 23 2.2.3-teorema. Rombning diagonallari o zaro perpendikulyardir.ʻ Isbot. Rombni koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.3-rasm): 2.2.3-rasm Chizmadan ko rinadiki, ʻ | AB | = √ u 12 + u 22 , | BC | = u 3 − u 1 , |CD |= √(u3− u4)2+u22,|DA |=u4, AC (u3;u2),DB (u1−u4;u2). Teorema shartiga ko ra, ʻ AC va BD vektorlarni perpendikulyar ekanligini, ya’ni (AC ,DB )=u1u3−u3u4+u22= 0 tenglikni isbotlashimiz kerak. ABCD − ¿ romb bo lganligi sababli, ʻ |AB |=|BC |=|CD |=|DA |. Bulardan foydalanib, quyidagi tengliklarni topamiz: 24 { |AB |=|BC | |CD |=|DA |⇨ { u12+u22=(u3−u1)2 (u3−u4)2+u22=u42⇨ ⇨ { u32− u22− 2u1u3=0 u32+u22−2u3u4=0 ⇨ u22−u3u4+u1u3=0.Bu esa so ralgan tenglik to g ri ekanligini ko rsatadi. ʻ ʻ ʻ ʻ Teorema isbotlandi. 2.2.4-teorema. Trapetsiyaning o rta chizig ining uzunligi asoslari uzunliklari ʻ ʻ yig indisining yarmiga teng ekanligini isbotlang. ʻ Isbot. Trapetsiyani koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.4- rasm): 2.2.4-rasm MN − ABCD trapetsiyaning o rta chizig i bo lganligi sababli ʻ ʻ ʻ M va N nuqtaning koordinatalari M ( u 1 2 , u 2 2 ) va N ( u 3 + u 4 2 , u 2 2 ) ko rinishda bo ladi. U holda ʻ ʻ | MN | = √( u 3 + u 4 2 − u 1 2 ) 2 + ( u 2 2 − u 2 2 ) 2 = u 4 + u 3 − u 1 2 . 2.2.4-rasmdan ko rinadiki, ʻ |AD |= u4 2 ,|BC |= u3− u1. Demak, 25 |MN | = u 4 2 + u 3 − u 1 2 = | AD | + | BC | 2 . 2.2.5-teorema. Teng yonli trapetsiyaning diagonallari uzunliklari o zaro teng ʻ ekanligini isbotlang. Isbot. Teng yonli trapetsiyani koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.5-rasm): 2.2.5-rasm Teorema shartiga ko ra ʻ ABCD trapetsiya teng yonli. Demak, | AB | = | DC | ⇨ u 12 + u 22 = ( u 3 − u 4 ) 2 + u 22 ⇨ u 1 = u 4 − u 3 . Yuqorida hosil qilingan tenglikdan quyidagi tengliklarni topamiz: u3=u4− u1⇨ u32=(u4− u1)2⇨ u32+u22=(u1−u4)2+u22⇨ |AC |=|DB |. Bu esa teng yonli trapetsiya diagonallari uzunliklarining teng ekanligini anglatadi. Teorema isbotlandi. 26 2.2.6-teorema. Trapetsiya diagonallarining o rtalarini tutashtiruvchi kesmaʻ uzunligi asoslar ayirmasi yarmiga teng ekanligini isbotlang. Isbot. Trapetsiyani koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.6- rasm): 2.2.6-rasm Teorema shartiga ko ra, ʻ M va N nuqtalar mos ravishda AC va DB kesma o rtalari. ʻ Demak, M ( u 3 2 , u 2 2 ) , N ( u 1 + u 4 2 , u 2 2 ) . Chizmaga ko ra, ʻ |AD |= u4,|BC |=u3−u1. Shuningdek, | MN | = √( u 1 + u 4 2 − u 3 2 ) 2 + ( u 2 2 − u 2 2 ) 2 = u 4 − ( u 3 − u 1 ) 2 = | AD | − | BC | 2 . Teorema isbotlandi. 27 2.2.7-teorema (Fales teoremasi). Agar burchak tomonlarini kesuvchi parallel to g ri chiziqlar uning bir tomonidan teng kesmalar ajratsa, ular ikkinchi tomonidanʻ ʻ ham teng kesmalar ajratadi. Isbot. Burchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.2.7- rasm): 2.2.7-rasm Teorema shartiga ko ra, ʻ A 1 nuqta O A2 kesmaning o rtasi, ya’ni ʻ u3=2u1,u4= 2u2. Shuningdek, O ,A1 va A2 nuqtalar bir to g ri chiziqda yotibdi: ʻ ʻ | 001 u1u21 u3u41| = 0⇨ u1u4= u2u3. Shu bilan birga A1B1∨¿A2B2 . Demak, u 5 − u 1 u 6 − u 3 = u 2 u 4 . Shunday qilib, quyidagi sistemani hosil qildik: { u 3 = 2 u 1 , u 4 = 2 u 2 , u 1 u 4 = u 2 u 3 , u 4 u 5 − u 1 u 4 = u 2 u 6 − u 2 u 3 ⇨ { u 3 = 2 u 1 , u 4 = 2 u 2 , u 1 u 4 = u 2 u 3 , u 4 u 5 = u 2 u 6 ⇨ u 6 = 2 u 5 . 28 So nggi munosabat ʻ B1 nuqta O B2 kesmaning o’rtasi ekanligini anglatadi. Demak, | O B 1 | = | B 1 B 2 | . 2.2.8-teorema. (Styuart teoremasi) Agar nuqta uchburchakning tomonida yotsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi: (2.2.1) bunda 2.2.8-rasm Isbot. ABC uchburchakni koordinatalar tekisligiga shunday joylashtiramizki, uchburchakning B koordinata boshida, tomoni esa o`qiga joylashsin (2.2.1- rasm). U holda uchburchak uchlarining va nuqtaning koordinatalarini quyidagicha belgilaymiz: Quyidagilarni topamiz: 29 (1) tenglikning ikkala tomonini alohida-alohida hisoblaymiz: Ushbu tengliklar (2.2.1) munosabatning to`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Styuart teoremasining standart isbotini [3] adabiyotning 9-betidan hamda ushbu teoremaning tadbiqlarini [3] adabiyotning 27-betidan ko rish mumkin.ʻ Teorema isbotlandi. 2.2.9-teorema. (Leybnis teoremasi) nuqta uchburchak medianalari kesishish nuqtasi, nuqta tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsa, u holda quyidagi tenglik o`rinli ekanligini isbotlang: Isbot. ABC uchburchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz (2- rasm) : 30 2.2.9-rasm Belgilangan nuqtalar koordinatalarini quyidagicha belgilaymiz: Teoremani isbotlash uchun ushbu ifodaning nolga teng ekanligini ko rsatish yetarli. Ifodani hisoblaymiz:ʻ Ushbu tenglik esa berilgan teoremaning to g ri ekanligini isbotlaydi. ʻ ʻ 31 2.2.10-teorema. Agar uchburchakning medianasining tomondagi proyeksiyasi bo`lsa, u holda tenglikni isbotlang. Isbot. uchburchakni koordinata tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz (2.2.10-rasm) : 2.2.10-rasm Nuqtalarning koordinatalarini belgilaymiz: Quyidagi ifodani hisoblaymiz: Ushbu tenglik esa masala shartida berilgan munosabatning to`g`ri ekanligini ko`rsatadi. 32 2.3-§. Koordinatalar usulining elementar geometriya masalalarini yechishga tadbiqlari Quyida koordinatalar usuli yordami yechish mumkin bo lgan ba zi geometriyaʻ ʻ masalalarining yechimi bilan tanishamiz. 2.3.1-masala. ABC uchburchakda a=14 ,ha=12 ,b+c=28 bo lsa, ʻ b va c ni toping. Yechimi. Berilgan uchburchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz (2.3.1-rasm) : 2.3.1-rasm Masala shartiga ko ra, quyidagilar ma’lum: ʻ { a = 14 h a = 12 b + c = 28 ⇨ { u 3 − u 2 = 14 u 1 = 12√ u 12 + u 32 + √ u 1 2 + u 22 = 28 ⇨ { u 3 = 14 + u 2 u 1 = 12√ u 12 + u 32 = 28 − √ u 1 2 + u 22 . Sistemadagi so nggi tenglikni soddalashtiramiz: ʻ √u12+u32=28 −√u12+u22, u12+u32=28 2−56 √u12+u22+u12+u22, 33 (14 +u2)2=28 2−56 √u12+u22+u22,u 22 + 14 u 2 + 45 = 0. So nggi tenglamanda ko rinadiki, ʻ ʻ u 2 ( 1) = − 5 yoki u 2 ( 2) = − 9 bo lishi mumkin. U holda, ʻ ushbu qiymatlarga mos holda u 3 ( 1) = 9 yoki u2(2)=5 bo ladi. Demak, ʻ { b ( 1) = 15 c ( 1) = 13 yoki { b(2)=13 c(2)=15 . Ya’ni b va c lar 13 yoki 15 ga teng. 2.3.2-masala. Balandligi h ga teng bo lgan teng tomonli uchburchakning tomonini ʻ toping. Yechimi. Teng tomonli uchburchakni koordinata tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz: 2.3.2-rasm Chizmadan ko rinadiki, ʻ u1=h . Shuningdek, uchburchak teng tomonli bo lganligi sababli ʻ u 12 + u 22 = ( u 3 − u 2 ) 2 = u 1 2 + u 32 va u1>0,u2<0,u3>0. Yuqoridagi tenglikdan quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz: 34 { (u3−u2)2= h2+u22 u12+u22= u12+u32 ⇨ { u3=− u2 3u22= h2⇨ { u2=− h √3 u3= h √3 .Demak, uchburchak tomonlari uzunliklari quyidagicha bo ladi: ʻ u 3 − u 2 = h √ 3 + h √ 3 = 2 h √ 3 . 2.3.3-masala. To g ri burchakli ʻ ʻ ABCD ( ∠ A = 90 0 ) trapetsiyaning asoslari 17 va 9 ga, kichik yon tomoni esa 15 ga teng bo lsa, ʻ CD katta yon tomonni toping. Yechimi. ABCD − ¿ to g ri burchakli trapetsiyani koordinatalar tekisligiga ʻ ʻ quyidagicha joylashtiramiz(2.3.3-rasm): 2.3.3-rasm Masala shartiga ko ra, ʻ u1=15 ,u2=9 va u 3 = 17 . Shuningdek, CD tomon uzunligi quyidagiga teng: | CD | = √( u 3 − u 2 ) 2 + u 12 = √( 17 − 9 ) 2 + 15 2 = 17. 35 2.3.4-masala. Agar ABCD −¿ to g ri to rtburchak bo lsa, ixtiyoriy olingan ʻ ʻ ʻ ʻ M nuqta uchun quyidagi tenglikni to g ri ekanligini ko rsating: ʻ ʻ ʻ A M 2 + C M 2 = B M 2 + D M 2 . Yechimi. ABCD − ¿ to g ri to rtburchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha ʻ ʻ ʻ joylashtiramiz(2.3.4-rasm): 2.3.4-rasm Chizmadan ko rinadiki, ʻ | AM | = √ u 32 + u 42 , | BM | = √ u 32 + ( u 4 − u 1 ) 2 , |CM |=√(u2−u3)2+(u1−u4)2,|DM |=√(u2−u3)2+u42. U holda, |AM |2+|CM |2=u32+u42+(u2−u3)2+(u1−u4)2, |BM |2+|DM |2= u32+(u4−u1)2+(u2−u3)2+u42. Osongina ko rish mumkinki, ʻ 36 |AM | 2 + | CM | 2 = | BM | 2 + | DM | 2 . Bevosita tekshirish mumkinki, M nuqtani to g ri to rtburchak tashqarisidan yoki birorta ʻ ʻ ʻ uchidan olsak ham yuqoridagi natijalar o zgarmaydi. ʻ 2.3.5-masala. To g ri to rtburchakning tomonlarining o rtalarini tutashtirishdan ʻ ʻ ʻ ʻ hosil bo lgan shaklning turini aniqlang. ʻ Yechimi. To g ri to rtburchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha ʻ ʻ ʻ joylashtiramiz(2.3.5-rasm): 2.3.5-rasm Chizmada keltirilgan M ,N ,K va L nuqtalar mos holda AB ,BC ,CD va AD tomonlarning o rtalari bo lganligi sababli ushbu nuqta koordinatalari quyidagicha bo ladi: ʻ ʻ ʻ M ( 0 , u 1 2 ) , N ( u 2 2 , u 1 ) , K ( u 2 , u 1 2 ) , L ( u 2 2 , 0 ) . Hosil bo lgan ʻ MNKL to rtburchakning tomonlari uzunliklarini hisoblaymiz: ʻ 37 |MN | = √( u 2 2 − 0 ) 2 + ( u 1 − u 1 2 ) 2 = √ u 12 + u 22 2 , |NK |=√(u2− u2 2) 2 +( u1 2− u1) 2 = √u12+u22 2 , | KL | = √( u 2 2 − u 2 ) 2 + ( 0 − u 1 2 ) 2 = √ u 1 2 + u 22 2 , | LM | = √( 0 − u 2 2 ) 2 + ( u 1 2 − 0 ) 2 = √ u 12 + u 22 2 . Yuqoridagi hisoblashlardan ko rish mumkinki, ʻ |MN |=|NK |=|KL |=|LM |. Ya’ni MNKL − ¿ geometrik shakl rombdan iborat. Endi MNKL − ¿ rombning burchaklarini hisoblaymiz. Buning uchun quyidagi vektorlarni aniqlaymiz: MN = ( u 2 2 , u 1 2 ) , NK = ( u 2 2 , − u 1 2 ) . Demak, cos ( MN NK ) = ( MN , NK ) | MN | ⋅ | NK | = u 22 4 − u 12 4 u 12 + u 22 4 = u 22 − u 1 2 u 1 2 + u 22 . Yuqoridagi tenglik ABCD rombning kvadrat emasligini ko rsatadi. ʻ 2.3.6-masala. uchburchakning asosida nuqta olingan. Agar 38 tenglik bajarilsa, nuqtaning holatini aniqlang. Yechimi. Berilgan uchburchakni koordinatalar tekisligiga quyidagicha joylashtiramiz(2.3.6-rasm): 2.3.6-rasm Belgilangan nuqtalarni aniqlaymiz: Shart bo`yicha ushbu tenglik o`rinli: Demak, quyidagi munosabat o`rinli: Yuqoridagi tenglikni soddalashtirib, munosabatga kelamiz. Bundan esa, tengliklar kelib chiqadi. 39 Demak, nuqta tomonning o`rtasida hamda nuqtadan o`tuvchi perpendikulyar to`g`ri chiziqda yotadi. Bunda kelib chiqadiki, esa tomonga tushirilgan mediana hamda balandlik bo`ladi. XULOSA Bitiruv malakaviy ishida koordinatalar usulining analitik geometriyaning teoremalarni isbotlashga va masalalarini yechishga tadbiqi qaralgan. Dastlab Dekart koordinatalar tekisligi va vektorlar haqida fundamental tushunchalar keltirilgan. So ngra geometriyaʻ teoremalarini isbotlash va masalalarini yechishda qulay usul hisoblangan koordinatalar usuli haqida ma’lumotlar keltirilib, o nta geometrik teorema va oltita ʻ geometrik masalalar isbotlangan va yechib ko rsatilgan. Shuningdek, geometriyaning ʻ 40 mashhur teoremalaridan hisoblangan Fales, Styuart va Leybnis teoremalari koordinatalar usuli yordamida isbotlangan. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO YXATIʻ 1. Гельфанд И . М ., Глаголева Е . Г ., Кириллов А . А . Метод координат. Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. Москва: Наука, 1973. 2. Александр С.С. Метод координат. Москва: Гостехиздат, 1952. 41 3. Обид Каримий. Планиметриядан ҳисоблашга ва исботлашга доир масалалар. Тошкент: Ўқитувчи нашриёти, 1965. 4. Rahimqoriyev A.A., To xtaxo jayev M.A. Umumiy o rta ta’lim maktablarining 8-ʻ ʻ ʻ sinfi uchun Geometriya darsligi. Toshkent: Yangiyo l poligraf servis, 2014. ʻ 5. Xaydarov B., Tashtemirova N., Asrorov I. Umumiy o rta ta’lim maktablarining 8- ʻ sinfi uchun Geometriya darsligi. Toshkent: Respublika ta’lim markazi. 2022. 6. Еге-Студия. Векторы в пространстве и метод координат. ege-study.ru Москва, 2020. 7. Henry Burchard Fi ne, Henry Dallas Thompson. Coordinate geometry. New York: The Macmillan Company, 2018. 8. Smogorzhevsky A.S. Method of coordinates. Moscow: Nauka, 1980. 42

Ba’zi bir geometrik tasdiqlarning to‘g‘riligini isbotlashning algoritmik metodi

Купить