Dokument ma'lumotlari

Narxi 30000UZS
Hajmi 663.5KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 03 Iyun 2025
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Tarix

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

104 Sotish

Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari kurs ishi

Sotib olish
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat unversiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.05-guruh talabasi Mirzahalilov Shohruhbek Mirzatohirjon o‘g‘lining Analitik geometriya fanidan “ Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari ” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: F.Topvoldiyev FARG‘ONA– 2025 1 MUNDARIJA KIRISH I BOB. VEKTOR VA ULAR USTIDA CHIZIQLI AMALLAR 1. 1-§. Chiziqli erkli va chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasi 1.2-§. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar II BOB. VEKTORLAR USTIDA CHIZIQLI AMALLAR 2. 1 -§ . Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi 2.2-§.Vektor va aralash ko‘paytmalar 2.3-§. Vektor va aralash ko‘paytmani koordinatalar orqali ifodalash III BOB. O ‘ LCHOV VA BAZIS 3. 1-§ . Baz i s va vektorning k o ordinatalar i 3. 2.-§. Vektorlarning o‘qqa proyeksiyasi XULOSA FOYDALANILGAN ADABIYO TLAR 2 KIRISH Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati darajasiga ko‘tarilgan. Prezidentimiz SH. Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda. Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan oddiy va aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat. “2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida ta’kidlab, o‘tamiz. “Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir. Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz. 3 Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim- tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.Fan taraqqiyoti ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi.Ma’lumki, har bir davlat va jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan- texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek, “Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi, jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi shubhasizdir”. XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika, ijtimoiy-siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik, balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar, ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir. Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi. Ta’lim texnologiyasi insoniylik tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning o‘ziga xosligi talabaning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon bo‘ladi. 4 Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi. Kurs ishining maqsadi: Matematikani o‘qitish samaradorligini oshirishda zamonaviy pedagogik texnologiyalar va ularni qo‘llash usullarini ishlab chiqish, dastur materiallariga mos Vektorlar ustida amallar o‘rganishning samarali usullarini aniqlash yangi pedagogok texnologiyalardan foydalanib vektorlar ustida masalalarni yechishni amalga oshirish yo‘llarini izlashdan iborat. Kurs ishining vazifalari: 1. Zamonaviy texnologiyalar asosida matematika darslarini tashkil etishning mavjud holatini o‘rganish . 2. O‘quvchilarda kombinatorikaga oid masalalarni yechishda bilim, malaka va ko‘nikmalarini shakllantirish. 3. Vektorlarga oid matematika darslarini zamonaviy texnologiyalar asosida tashkil etishga xizmat qiluvchi maqbul shakl, metod va vositalarni belgilash. 4. Matematika darslarini ta’limning zamonaziy interfaol metodlari asosida tashkil etishda maxsus metodlarni tajriba-sinovdan o‘tkazish va uning samaradorligini aniqlash. Kurs ishida qo‘yilgan asosiy masalalar: 1. O‘quvchilarning vektorlarga oid masalalarni yechish usullarini tahlil qilish. 2. Vektorlar oid masalalar mazmunini tahlil qilish. 3. Ilg‘or matematika fani o‘qituvchilarining tajribalarini o‘rganish. 4. O‘quvchilarda vektorga oid masalalar ustida ishlash bo‘yicha pedagogik tajriba o‘tkazish, natijalarini metodik tavsiya sifatida bayon qilish. 5 Kurs ishining metodlari : Tadqiqot muammosiga oid pedagogik-psixologik va metodik adabiyotlar mazmunini o‘rganish, nazariy jihatdan tahlil qilish, o‘quvchilarga vektorga oid masalalarni yechishni o‘rgatishda zamonaviy texnologiyalarni qo‘llash holatini o‘rganish, pedagogik kuzatuv, suhbat, pedagogik tajriba va h.k. Kurs ishining tuzilishi: Kurs ishi kirish, 3 ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. 6 I BOB. VEKTOR HAQIDA ELEMENTAR TUSHUNCHALAR 1.1-§. Chiziqli erkli va chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasi Bizga {a1,a2,a3,… ,an} vektorlar oilasi va n ta λ 1 , λ 2 , … , λ n sonlar berilgan bo‘lsa, λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + … + λ n a n vektor a1,a2,… ,an vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi. Chiziqli kombinatsiyada qatnashayotgan sonlaming birortasi noldan farqli boisa, u notrivial chiziqli kombinatsiya deb ataladi. Ta’rif. Berilgan { a 1 , a 2 , a 3 , … , a n } vektorlar oilasi uchun kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan , λ1,λ2,… ,λn sonlar mavjud bo‘lib, λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + … + λ n a n =0 ( 1.1.1) tenglik o‘rinli bo‘lsa, {a1,a2,a3,… ,an} vektorlar oilasi chiziqli bog‘Ianishli deyiladi. Izoh. Vektorlar oilasi chiziqli bog‘Ianishli bo‘lsa, uning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo‘ladi. 1-teorema. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog‘Ianishli bo‘lishi uchun bu oila vektorlarining kollinear bo ‘lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Oilaga tegishli ikkita a va b vektorlar chiziqli bog‘Ianishli bo‘lsa, kamida bittasi noldan farqli λ 1 , λ 2 sonlari mavjud bo‘lib, λ 1 a 1 + λ 2 a 2 = 0 tenglik bajariladi. Agar λ1≠0 bo‘lsa, a=−(λ1{λ¿¿2)b tenglikni hosil qilamiz. Bu esa birinchi tasdiqqa ko‘ra a va b vektorlarning kollinear ekanligini ko‘rsatadi. Va aksincha, a va b vektorlar kollinear boisin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirsak, ular bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi. Bu to‘g‘ri chiziqda vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va B harflar bilan belgilaymiz a 7 a=OA ,b=OB Vektorlardan bittasi, misol uchun a noldan farqli vektor bo‘lsin. Demak, a ≠ 0 va O nuqta A B kesmani biror λ nisbatda bo‘ladi: BO ¿ OA=λ Endi b=− λa tenglikni ko‘rsatamiz. Agar a,b vektorlar yo‘nalishi bir xil bo‘lsa, О nuqta A B kesmaga tegishli emas va λ <0. Agar a , b vektorlar yo‘nalishi qarama-qarshi bo‘lsa, λ >0 bo‘ladi. Shuning uchun b va -λ a vektorlarning yo‘nalishlari bir xil. Ularning uzunliklari ham teng: │ b │= │ BO │= │λ││ OA │= │λ││ a │= │-λ a │ (1.1.2) Demak, bu vektorlar tengdir. Endi b = − λ a tenglikdan − λa+b=0 tenglik kelib chiqadi. Demak, a va b vektorlar chiziqli bog‘Ianishli oilani tashkil qiladi. 2 -teorema. 1) Vektorlar ollasiga nol vektor tegishli bo‘Isa, bu oila chiziqli bog‘lanishlidar. 2) Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog‘Ianishli vektorlar oilasini o ‘z ichiga olsa, bu oila ham chiziqli bog‘lanishlidir. Isbot . 1) Berilgan {a1,a2,a3,… ,an} oilada ai=0 bo‘lsa, λi = 0 , λj=1,i≠ j sonlar uchun λi1ai1+λi2ai2+λi3ai3+… +λimaim=0 tenglik o‘rinli bo‘ladi. 2) Berilgan { a 1 , a 2 , a 3 , … , a n } oilada bir nechta a i k k= 1,2,…m, m < n vektorlar chiziqli bog‘Ianishli oilani tashkil qilsa, ulaming birorta notrivial chiziqli kombinatsiyasi nol vektor boiadi: λi1ai1+λi2ai2+λi3ai3+… +λimaim=0 (1.1.3) 8 1.1.1-chizma Biz agar λ i = λ i k , j = j k va λj= 0,j≠ jk tengliklar bilan n ta λ1,λ2,λ3,… ,λn sonlarni aniqlasak λ1a1+λ2a2+λ3a+… +λnan=0 (1.1.4) tenglikni hosil qilamiz. 3-teorema. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog‘Ianishli bo‘lishi uchun ularning komplanar bo ‘lishi zarur va etarlidir. Isbot. Oilaga tegishli uchta a , b va c vektorlar chiziqli bog‘Ianishlibo‘lsa, ularning komplanarligini isbotlaymiz. Chiziqli bog‘lanishlikning ta’rifiga asosan, kamida bittasi noldan farqli α , β , γ sonlar uchun αa+βb+γc=0 (1.1.5) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Aniqlik uchun α noldan farqli boisin, unda avvalgi tenglikdan c = − α γ a − β γ b (1.1.6) tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda λ = α / γ , μ = β / γ belgilashlarni kiritib c= λa+μb tenglikni hosil qilamiz. Agar a,b va c vektorlarning boshi bitta umumiy О nuqtaga joylashtirilgan bo‘lsa, oxirgi tenglikdan c vektor λ a va μ b vektorlarga qurilgan parallelogramm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular komplanar vektorlardir. 9 Va aksincha, a,b va c vektorlar komplanar bo‘lsin. Ular chiziqli bog‘liqligini isbotlaymiz. Berilgan uchta vektorlar orasida kollinear vektorlar bo‘lgan holni chiqarib tashlaymiz. 1-teoremaga asosan, ushbu vektorlar jufti chiziqli bog‘lik bo‘lar edi va berilagan uchta vektor ham chiziqli bog‘liqligi kelib chiqar edi. Shuning uchun a , b va c vektorlar orasida hech bir jufti kollinear bo‘lmagan holni ko‘rib chiqamiz (xususan, ular orasida nol vektor ham yo‘q). Vektorlarni bitta tekislikka ko‘chirib, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtiramiz. Keyin c vektorning С uchi orqali a va b vektorlarga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz, a vektor yotgan to‘g‘ri chiziqning b vektorga parallel to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasini A deb belgilaymiz va b vektor yotgan to‘g‘ri chiziqning a vektorga parallel to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasini В deb belgilaymiz. (Ushbu nuqtalarning mavjudligi, a va b vektorlar kollinear emasligidan kelib chiqadi). Vektorlarni qo‘shishning parallelogramm qoidasiga ko‘ra c vektor OA va OB vektorlar yig‘indisiga teng, ya’ni c = OA + OB tenglik o‘rinlidir. OA vektor noldan farqli a vektorga kollinear (u bilan bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi), demak, shunday λ haqiqiy son topiladiki, OA = λa tenglik o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, OB = λ b tenglik ham o‘rinli. Bu tengliklardan c = λ a + μ b (1.1.7) tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni λa+μb +(-1) c = 0 ko‘rinishda yozib olish mumkin. Bu tenglikdagi λ , μ sonlaming kamida bittasi noldan farqli bo‘lganligi sababli, oxirgi tenglik a,b va c vektorlarning chiziqli bog‘lanishligini ifodalaydi. Teorema isbotlandi. 10 1-natija. Agar a,b va c vektorlar komplanar bo‘lmasa, ular chiziqli erkli bo‘ladilar. 2-natija. Ixtiyoriy uchta komplanar bo ‘Imagan vektorlar orasida ikkita kollinear vektorlar bo ‘la olmaydi. Shuningdek ular orasida nol vektor ham bo‘lmaydi. 1.2-§. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar Ta’rif : Yo‘naltirilgan kesmaga vektor deyiladi. Yo‘nalishga ega bo‘lgan AB kesmani olamiz. A nuqtaga vektorning boshi, B nuqtaga esa vektorning oxiri deyiladi. Vektor odatda bitta yoki ikkita harf bilan quyidagicha yoziladi: ⃗a B A ⃗ AB 1.2.1-chizma Fizika, mexanika, texnika kabilarda moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch, harakatdagi nuqtaning tezligi, tezlanish singari tushunchalar ko‘p uchraydi. Bu tushunchalar faqatgina kattalikka emas, balki ular yo‘nalishga ham egadirlar. Demak, bunday kattaliklarni ta’rifga asosan vektor kattalik yoki vektor deb qarash mumkin. Ba’zida vektor miqdor ham deyiladi. Kattalikka ega bo‘lib, uning yo‘nalishi talab qilinmaydigan kattaliklarga skalyar kattalik , skalyar miqdor yoki qisqacha skalyar deb ataladi. Masalan, uzunlik,yuza, hajm,massa, temperatura kabilar skalyarga misol bo‘la oladi. Agar vektorning boshi va oxiri ustma-ust tushsa, bunday vektorga nol vektor deyiladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng bo‘lib, u yo‘nalishga ega emas. Bunday vektor ⃗ AA yoki ⃗ 0 kabi belgilanadi. Chizmada nol vektor bitta nuqta bilan tasvirlanadi. Vektorning uzunligi uning moduli deb ataladi va │ ⃗ AB │=│ ⃗ a │=a ko‘rinishda yoziladi. Moduli birga teng bo‘lgan vektorga birlik vektor yoki ort deyiladi va │e│=1 ko‘rinishda yoziladi. 11 Agar ikkita ⃗a va ⃗b vektorlarning uzunliklari teng va yo‘nalishlari bir xil bo‘lsa, bunday vektorlarga teng vektorlar deyiladi va quyidagicha belgilanadi: │ ⃗a │=│ ⃗b │ yoki │ ⃗AB │=│ ⃗CD │ Vektorlar tengligi quyidagi xossalarga ega Har qanday vektor o‘ziga teng (refleksivlik sharti): │ ⃗a │=│ ⃗a │ Agar ⃗a vector ⃗ b vektorga teng bo‘lsa, u holda ⃗ b vektor ⃗a vektorga teng bo‘ladi (simmetriklik), ya’ni, │ ⃗a │=│ ⃗b │ bo‘lsa, │ ⃗b │=│ ⃗a │ bo‘ladi. Agar ⃗a vektor ⃗ b vektorga teng va ⃗ b vektor ⃗ c vektorga teng bo‘lsa, ⃗ a vektor ⃗ c vektorga teng bo‘ladi (tranzitivlik),ya’ni: │ ⃗a │=│ ⃗b │ va │ ⃗b │=│ ⃗c │ bo‘lsa │ ⃗a │=│ ⃗ c │ bo‘ladi. Ta’rif : Ikkita ⃗a va ⃗b vektorlarning yig‘indisi deb ⃗a vektorning boshi bilan ( ⃗b ) vektorning oxirini tutashtiruvchi ⃗c vektorga aytiladi: ⃗a + ⃗b = ⃗c ⃗b ⃗ a ⃗ c = ⃗ a + ⃗ b 1.2.2-chizma Vektorlarni bunday qo‘shish usuliga uchburchak usuli deyiladi. Bunday atalishiga sabab, qo‘shiluvchi va yig‘indi vektorlar birgalikda uchburchakni hosil qiladi. 1.2.3-chizma 12 Vektorlarni qo‘shishning yana bir usuli –parallelogramm usulidir. Bu usul boshi bir nuqtada yotgan hamda ular orasidagi burchak nolga teng bo‘lmagan ikkita vektorni qo‘shishda qo‘llaniladi. Masalan, boshi ixtiyoriy 0 nuqtada bo‘lgan ⃗0⃗A = ⃗a va OB= ⃗b vektorlarni yasaymiz. OA va O В kesmalar orqali OA СВ parallelogramm yasaladi. Parallelogrammning О nuqtasidan o‘tkazilgan diagonal ⃗a va ⃗b vektorlarning yig‘indisi ⃗c vektor bo‘ladi, chunki ⃗OC = ⃗OA = ⃗b hamda ⃗ OC = ⃗OA + ⃗AC . Vektorlarni qo‘shish qoidasi quyidagi xossalarga ega: 1 0 . ⃗a + ⃗ b = ⃗ b + ⃗ a (o‘rin almashtirish). 2 0 . ( ⃗a + ⃗b )+ ⃗c = ⃗a +( ⃗b + ⃗c ) (gruppalash). 3 0 . Har qanday ⃗a va ⃗ 0 lar uchun quyidagi o‘rinli: ⃗a + ⃗0 = ⃗a 4. Qarama–qarshi ⃗ a va ⃗ a -1 (yoki ⃗ AB va ⃗ BA ) vektorlar yig‘indisi nolga teng ya’ni ⃗ a + ⃗a -1 =0 yok ⃗ AB + ⃗ BA =0 Misol : ⃗a ={2,3,1} va ⃗ b ={4,2,1} bo ‘ lsa ⃗ a + ⃗ b ni toping. Yechish: ⃗a + ⃗b ={2+4,2+3,1+1}={6,5,2} Demak ⃗a + ⃗ b = {6,5,2} bo‘ladi. Har qanday ⃗AB vektorga qarama-qarshi vektorni ⃗BA shaklda yozish mumkin. Shuningdek, ⃗ a vektorga qarama-qarshi vektor - ⃗a ko‘rinishda belgilanadi. Qarama-qarshi vektorlar bir xil uzunlikka ega bo‘lib, bir-biriga teskari yo‘nalgan bo‘ladi. 13 Agar ⃗AB = ⃗a deb olinsa, unga qarama-qarshi vektor ⃗BA = - ⃗a bo‘ladi. U holda ularning yig‘indisi ⃗ AB + ⃗ BA =0 yoki a+(-a)=0 bo‘ladi. Agar ⃗a va ⃗b vektorlar uchun │ ⃗a │=│ ⃗b │ shart bajarilsa hamda ⃗b ga qarama- qarshi bo‘lgan ⃗ − b vektor mavjud bo‘lsa, u holda, ⃗a bilan - ⃗ b vektorlarning yig‘indisi biror ⃗c vektordan iborat bo‘ladi, ya’ni: ⃗c = ⃗a +( − ⃗b ) yoki ⃗c = ⃗a - ⃗b a) ⃗ a⃗ a 1.2 . 2 − chizma Demak, ⃗a - ⃗ b = ⃗a +(- ⃗ b ) Bundan quyidagi xulosaga kelish mumkin: ⃗ a vektordan ⃗b vektorni ayirish uchun ⃗a vektorga ⃗b ga qarama-qarshi bo‘lgan - ⃗b vektorni qo‘shish lozim. Ta’rif: ⃗a vektor va a≠0 haqiqiy sonning ko‘paytmasi deb shunday ⃗c vektorga aytiladiki, bu vektorning uzunligi │ ⃗ c │=│λ│∙│ ⃗a │ dan iborat bo‘ l ib, α>0 bo‘lganda ⃗a vektor bilan yo‘nalishdosh, α<0 bo‘lganda esa ⃗a vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘ladi. Vektorning songa ko‘paytmasi ⃗ c =α ⃗a ko‘rinishda ifodalanadi. Agar α=0 yoki ⃗ a =0 bo‘lsa, α ⃗ a ko‘paytma noaniq yo‘nalishli nol vektorga aylanadi. ⃗ a vektorni α soniga ko‘paytirishning geometrik ma’nosi quyidagicha: ⃗a Vektor α songa ko‘paytirilganda ⃗a vector α marta cho‘ziladi. Cho‘zilish α>1 bo‘lganda sodir bo‘ladi. Bir xil yo‘nalishiga ega bo‘lib, 0<α<1 bo‘lganda esa qisqarish yuzaga keladi, ammo ⃗a vektor bilan ⃗e - birlik vektorning ko‘paytrmasi vektorni songa ko‘paytirish ta’rifiga asosan ⃗ a =│a│ ⃗ e dan iborat bo‘ladi. 14 Bundan , ⃗e = 1 │ a │ ⃗a Demak, ⃗ a vektorga yo‘nalishdosh bo‘lgan ⃗ e birlik vektorni topish uchun berilgan vektorni 1 │ a │ songa ko‘paytirish kerak. Vektorni songa ko‘paytirish quyidagi xossalarga ega: 1 0 . Vektorni songa ko‘paytirishning gruppalash qonuni: n(m ⃗a )=nm ⃗a 2 0 . Sonlar yig‘indisining vektorga ko‘paytirishning taqsimot qonuni: (n + m) ⃗a =n ⃗a+¿ m ⃗a 3 0 . Son bilan vektorlar yig‘indisini ko‘paytirishning taqsimot qonuni: n( ⃗a + ⃗b )=n ⃗a +n ⃗b Ta’rif: Agar ikkita ⃗ a va ⃗ b vektorlar o‘zaro parallel yoki bir to‘g‘ri chiziqda yoki bo‘lmasa parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotsalar, bunday vektorga kollinear vektorlar deyiladi. Noldan farqli, ya’ni uzunligi nolga teng bo‘lmagan ikki ⃗a ( x1 ; y1 ) va ⃗b ( x2 ;y2 ) vektorlar kollinear bo‘lishi uchun ularning bir ismli (ya’ni x 1 va x2 hamda y1 va y 2 ) koordinatalari o‘zaro proporsional bo‘lishi zarur va etarlidir: x 1 x 2 = y1 y2 (1.2.3) x 1 x 2 = m va y 1 y 2 = m deb olinsa, x1 = m x2 va y1 = m y2 (1.2.4) Bundan m>0 bo‘lsa, ⃗a va ⃗ b vektorlar bir xil yo‘nalishda; m<0 bo‘lsa bu vektorlar qarama–qarshi yo‘nalgan bo‘ladi. Ta’rif: Bitta tekislikda yoki o‘zaro parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi. 15 Agar yuqoridagi shartlar bajarilmasa, vektorlarga komplanar bo‘lmagan vektorlar deyiladi: Bir tekislikda yoki o‘zaro parallel tekisliklarda yotuvchi to‘g‘ri chiziqlarga komplanar to‘g‘ri chiziqlar deb aytiladi. Misol: m, n ning qanday qiymatlarida a =  − 2;3;n   va b =  m;−6;2   vektorlar kollinear bo‘ladi? Yechish : Ikki vektorning kollinearlik shartiga ko‘ra − 2 m = 3 − 6 = n 2 Bundan m = 4 , n = −1. II BOB. VEKTORLAR ALGEBRASI 2. 1 -§ . Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi Ta’rif : Ikki ⃗ a va ⃗ b vektorning skalyar ko‘paytmasi deb, shu vektorlar uzunliklari hamda ular orasidagi burchakning kosinusi ko‘paytmasiga teng bo‘lgan skalyar ko‘paytmaga aytiladi. α - ikki vektor orasidagi burchak ⃗a⃗b =│ ⃗a │∙│ ⃗b │∙ cos α (2.1.1) Agar ko‘paytirilayotgan vektorlardan biri nolga teng bo‘lsa, bu vektorlarning skalyar ko‘paytmasi noldan iborat bo‘ladi. Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi ta’rifini bir vektorning ikkinchi vektorga tushirilgan proeksiyasiga nisbatan ham berish mumkin. 16 Ta’rif: Ikkita ⃗a va ⃗b vektorning skalyar ko‘paytmasi ulardan birining modulini ikkinchi vektorning birinchi vektordagi (va aksincha) proeksiyasiga ko‘paytirilganiga teng, ya’ni: ⃗a⃗b =│ ⃗a │ p r a ⃗ b yoki ⃗a ⃗ b = │ ⃗ b │ prb⃗a (2.2.2) Agar ⃗a va ⃗b vektorlar o‘zaro teng bo‘lsa, ularning skalyar ko‘paytmasi quyidagicha bo‘ladi: ⃗ a ∙ ⃗a = a2 bo‘lsa, │ ⃗ a 2 │= a2 dan iborat. Bunga ⃗a vektorning skalyar kvadrati deyiladi. Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi quyidagi xossalarga ega: 1 0 . ⃗ a⃗ b = ⃗b⃗a - kommutativlik xossasi. 2 0 . ( α⃗a ) ⃗b =α( ⃗a ⃗b )- skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan assotsiativlik xossasi. 3 0 . ⃗a ( ⃗ b + ⃗ c ) = ⃗ a ⃗ b + ⃗ a ⃗ c - distributivlik xossasi. 4 0 . ⃗a =0 yoki ⃗b =0 bo‘lganda, yoki bo‘lmasa, ⃗a ┴ ⃗b bo‘lganda va faqat shu holdagina ⃗a⃗b =0 Misol: ?????? (3; 6) v а ?????? ⃗ (5; −2) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini toping. Yechish: . ⃗a va ?????? ⃗ v е ktorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning moskoordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga t е ngligidan ?????? ∙ ?????? ⃗ = ???????????? ′ + ???????????? ′ = 3 ∙ 5 + 6 ∙ (−2) = 3 kelib chiqadi. Demak, berilgan ?????? va ?????? ⃗ v е ktorlarning skalyar ko‘paytmasi 3 ga teng bo‘ladi Mis о l. Koordinatalari bilan berilgan quyidagi ?????? (4; 3) va ?????? ⃗ (1; 7) vektorlar orasidagi ?????? burchakni toping. Yechish :a va b vektorlarning orasidagi burchakni topish formulasidan, 17 kelib chiqadi,hamda a va b vektorlarning orasidagi burchak = ni tashkil qiladi. 2.2-§.Vektor va aralash ko‘paytmalar Ta’rif. Tartiblangan uchlikda { a , b , c } vektor oxiridan a,b vektorlar tekisligiga qaraganimizda a dan b ga qisqa burilish yo ‘nalishi soat mili yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, bu uchlik o‘ng uchlik deb ataladi. Agar bu yo ‘nalish soat mili yo ‘nalishi bilan ustma-ust tushsa, {a,b,c} uchlik chap uchlik deyiladi. Quyida { a , b , c } o‘ng va {b,a,c} chap uchliklar ko‘rsatilgan. Shunda {a,b,c} {b,c,a} {c,a,b} uchliklar o‘ng, { b , a , c } { a , c , b } { c , b , a } uchliklar chap uchlik hosil qiladi. 2.2.1- chizma 2.2. 2- chizma Ta’rif. Ikkita a va b vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb shunday vektorga aytiladiki, bu vector [a,b] kabi belgilanadi va: 1) [ a , b ] ning uzunligi a va b vektorlarga qurilgan parallelogram yuziga tengdir: │ [a,b] │= │ a │ │ b │ sin φ , φ=aˆb 18 a c b c b a 2) [ a , b ] vektor a va a vektorlarga pe ф endikulyar bo‘lishi kerak: [a,b] ┴ a , [a,b]┴ b ; 3) a,b vektorlar a va a vektor ko‘paytma o‘ng uchlik hosil qiladi: Vektor ko‘paytmaning xossalari: 1) [ a , b ] = − [ b , a ] ; 2) [λa,b]= λ[a,b]=−[λb,a],λ∈R 3) [ a + b , c ] = [ a , c ] +[ b , c ] ; 4) [a,b]=0↔ a∨¿b . Tasdiq. (Yordamchi fakt). Berilgan α tekislikda c vektor va unga perpendikulyar birlik e vektor berilgan bo‘lsin. Agar g vektor α tekislikka perpendikulyar va e,c,g o‘ng uchlik bo‘lsa, α tekislikda yotuvchi har qanday a vektor uchun [ a , c ] = p r e a │ c │ g tenglik o‘rinlidir. 2.2.3- c hizma Isbot. l)Vektorlar tengligini ko‘rsatish uchun ulaming yo‘nalishlari bir xil va uzunliklari tengligini ko‘rsatamiz.Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra uninig uzunligi a va c vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuziga tengdir: │[a,c]│=S Chap tomondagi vektorning uzunligi esa p│rea││c│ ga tengdir. Agar parallelogrammning asosi sifatida c vektorni olsak, uning yuzasi │ c │ h 19e g a e π h ga tengdir. Bu yerda h balandlik bo‘lib, p│rea│=h tenglik o‘rinlidir. Demak, vektorlarning uzunligi tengdir. Endi ulaming yo‘nalishi bir xil ekanligini ko‘rsatamiz. Agar a,c,g - o‘ng uchlik bo‘lsa, g va [ a , c , ] vektorlar bir xil yo‘nalishga ega. Bu holda a va e vektorlar c vektorning bir tomonida joylashgan va prea > 0 bo‘ladi. Agar a,c,g -chap uchlik bo‘lsa, prea <0 va prea│c│g vektor g vektorga qarama-qarshi yo‘nalgandir. Demak, prea│c│g vektor yo‘nalishi [a,c,] vektor yo‘nalishi bilan bir xil bo‘ladi. Natijada [ a , c , ] = p r e a │ c │ g tenglikni hosil qildik. Ta’rif. Uchta a , b , c vektorlarning aralash ko‘paytmasi deb, │ a , b │ , c miqdorga aytiladi va quyidagi ko‘rinishda belgilanadi: abc=│a,b│,c Tasdiq . Berilgan nokomplanar (chiziqli erkli) a , b , c vektorlar o‘ng uchlikni tashkil qilsa, ularning aralash ko‘paytmasi ularga qurilgan parallelipipedning hajmiga, aks holda esa hajmning manfiy ishora bilan olinganiga tengdir. Isbot : Biz a,b,c vektorlarga qurilgan parallelipipedning hajmini V bilan belgilaymiz. Agar S bilan a va b vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuzasini belgilasak, │a,b│=Se tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda e vektor │ a , b │ ko‘paytma bilan bir xil yo‘nalgan birlik vektordir. Skalyar ko‘paytmani proeksiya yordamida yozsak, abc= Seprec tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda prec absolyut qiymati bo‘yicha a,b,c vektorlarga qurilgan va asosi 20 2.2.4-chizma h c b a e a,b vektorlarga yasalgan parallelogrammdan iborat parallelipipedning balandligiga tengdir. Agar a , b , c o‘ng uchlikni tashkil qilsa, p r e e = h agar a , b , c chap uchlikni tashkil qilsa, pree=− h tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda h qaralayotgan parallelipipedning balandligidir. Shuning uchun V (a,b,c)= Sh formulani hisobga olsak biz bevosita tasdiq isbotini olamiz. Endi biz vektor ko‘paytma xossalarini isbotlashga kirishamiz. 1-xossa isboti a,b,[a,b] va a , b , [ b , a ] uchliklarningorientatsiyalari har xil ekanligidan kelib chiqadi: birinchi uchlik o‘ng orientatsiyaga, ikkinchi uchlik chap orientatsiyaga egadir. 2 -xossani isbotlash uchun ikkita holni ko‘ramiz λ > 0 va λ < 0. Birinchi holda a va λ a vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va shuning uchun a , b , [ λ a , b ] va a , b , [ a , b ] vektorlar bir hil orientatsiyaga ega. Demak, [λa,b] va λ [ a , b ] vektorlar uzunliklari teng va bir xil yo‘nalishga ega. Ikkinchi holda a va λ a vektorlar yo‘nalishlari qarama-qarshi va a,b,[λa,b] va a,b,[a,b] vektorlar uchliklari har xil orientatsiyaga ega boladi. Bundan esa [ λ a , b ] va [ a , b ] vektorlar qarama qarshi yo‘nalishga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, [λa,b] va λ[a,b] vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va uzunliklari tengdir. 3-xossa isbotini keltiramiz. 2.2.5- chizma 21c h b a+b a a) a,b va c komplanar vektorlar, e,c,g o‘ng uchlik bo‘lib, e,g vektorlar 1-tasdiq shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar bo‘lsa, ikkita vektor ko‘paytmani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin. [ a , c ] = p r e a │ c │ g (2. 2.3) [b,c]= preb│c│g ( 2.2.4) Endi proyeksiya xossasidan foydalanib , [ a + b , c ] = p r e ( a + b ) │ c │ g = p r e a │ c │ g + p r e b │ c │ g ( 2.2.5) tenglikni hosil qilamiz. b) a,b va c komplanar vektorlar emas; Bu holda [a+b,c],[a,c],[b,c] vektorlarning barchasi c vektorga perpendikulyar bo‘lganligi uchun ular komplanar oilani tashkil etadi. Demak, ular chiziqli bog‘lanishli bo‘ladi, ya’ni kamida bittasi noldan farqli λ 1 , λ 2 , λ 3 sonlari mavjud bo‘lib λ 1 [ a + b , c ] + λ 2 [ a , c ] + λ 3 [ b , c ] = 0 tenglik o‘rinli bo‘ladi.Bu tenglikdan λ 1 [ a + b , c ] = − λ 2 [ a , c ] − λ 3 [ b , c ] tenglikni hosil qilib, uning ikkala tomonini b ga skalyar ko‘paytiramiz va λ1(a+b)c,b=− λ2abc tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi aralash ko‘paytma haqidagi tasdiqqa ko‘ra ( a + b ) c , b va a b c aralash ko‘paytmalarning absolyut qiymatlari mos ravish V(a+b)cb , Vabc parallelipiped hajmlariga tengdir. 22 Bu parallelipipedlaming asoslari sifatida mos ravishda a+b,b va a,b , vektorlarga qurilgan parallelogrammlarni olsak, ularning balandligi tengligini ko‘ramiz. Shuning uchun Vabc = S1h va V(a+b)cb=S2h tengliklardan va ularning asoslari yuzalari ham tengligidan bu hajmlaming tengligi kelib chiqadi. Endi ( a + b ) c , b va abc aralash ko‘paytmalar bir xil ishoralarga ega bo‘lishi, a + b , c , b uchlik orientatsiyasi a , b , c uchlik orientatsiyasi bilan ustma-ust tushishidan kelib chiqadi. Demak, ( a + b ) c , b = [ a , c ] + [ b , c ] Bundan esa λ1=− λ2 munosobatni hosil qilamiz. Xuddi shunday usul bilan λ1=− λ3 tenglikni isbotlaymiz. Demak [a+b,c],[a,c],[b,c] ( 2.2.6) tenglik o‘rinlidir . 4-xossaning isboti a va b vektorlar parallel bo‘lganda ular orasidagi burchakning sinusi nolga tengligidan kelib chiqadi 2.3-§. Vektor va aralash ko‘paytmani koordinatalar orqali ifodalash O‘ng uchlikni tashkil qiluvchi ortonormal e1,e2,e3 bazis berilgan bo‘lsa, a , b va c vektorlarni a= a1e1+a2e2+a3e3 b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e n ( 2.3.1) c= c1e1+c2e2+c3e3 ko‘rinishda yozib, skalyar, vektor va aralash ko‘paytmalami hisoblaymiz. Skalyar ko‘paytma uchun ( a , b ¿ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 tenglik hosil bo‘ladi. Vektor ko‘paytmani hisoblashda 23 [ e 1 , e 2 ] = e 3 , [e3,e1]= e2 , [ e 2 , e 3 ] = e 1 ( 2.3.2) munosabatlarni hisobga olib [ a , b ] = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) e 1 + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) e 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) e 3 (2.3.3) tenglikni hosil qilamiz. Qulaylik uchun vektor ko‘paytmani koordinatalari orqali [a,b]={| a2 a3 b2 b3|,| a3 a1 b3 b1|,| a1 a2 b1 b2|} (2.3.4) ko‘rinishda yozish qabul qilingan. Masala. uchburchak va uning og'irlik markazi berilgan bo'lsa, u holda istalgan nuqta uchun ekanligini isbotlang. Yechim: Bu tengliklarni qo'shib yuboramiz: , , medianalarning qismiga teng vektorlardir. Medianalarning yig'indsi nolga teng ekanligi ma'lum, shu sababli Misol . Uchlari nuqtalarda bo‘lgan uchburchaklarning medianalar kesishgan nuqtasini toping. Yechish : AD mediana nuqta BC tomon o‘rta nuqtasi . Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi bo‘lsin, u holda 24 3 10 3 4 2 2 1 3 1 3 )1 (2 1 1 2 ,1:2 2 1 2 1                        y y y x x x OD AO )3 10,3 1 ( O . 25 III.BOB O‘LCHOV VA BAZIS 3 .1 -§. Baz i s va vektorning kordinatalar i Ta’rif. Berilgan { e 1 , e 2 , … , e n } vektorlar oilasi chiziqli erkli bo‘lib, ixtiyoriy vektorni ulaming chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa, bu oila bazis deyiladi. Quyidagi muhim faktlar o‘rinlidir: 1-xossa. Bir tekislikda yotuvchi vectorlar uchun har qanday ikkita nokollinear vektorlar bazisni tashkil qiladi. 2-xossa . Fazoda yotuvchi vectorlar uchun har qanday uchta nokomplnar vektorlar bazisni tashkil qiladi. Bu xossalarning birinchisi 1- teoremaning bevosita natijasidir. Ikkinchi xossani isbotlaymiz: 3.1.1-chizma Bizga uchta nokomplanar a , b , c vektorlar berilgan bo‘lsin. Ikkinchi punktda isbotlagan teoremaga ko‘ra ular chiziqli erkli oilani tashkil qiladi. Endi ixtiyoriy d vektorni olib, uni a , b , c vektorlar orqali chiziqli ifodalash mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun a,b,c vektorlarning boshlarini О nuqtaga joylashtiramiz va d vektorning oxiridan a , b , vektorlar tekisligiga, a , c vektorlar tekisligiga va b,c vektorlar tekisligiga parallel tekisliklar o‘tkazamiz. O‘tkazilgan tekisliklarning a , b , c vektorlar yotgan to‘g‘ri chiziqlar bilan 26 kesishish nuqtalarini mos ravishda A,B,C harflar bilan belgilaymiz.Vektorlarni qo‘shish qoidasiga ko‘ra d=OA +OB +OC (3.1.1) tenglikni olamiz. Bu yerda OA ,OB ,OC vektorlar mos ravishda a , b , c vektorlarga kollinear bo‘lganligi uchun shunday λ, μ, sonlar mavjudki ʋ OA = λ a , OB = μ b , OC = ʋ c ( 3.1.2) tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklami hisobga olib d = λ a + μb + ʋ c ( 3.1.3) tenglikni olamiz. Ta’rif. Bizga { e 1 , e 2 , … , e n } bazis berilib, a vektor uchun a= a1e1+a2e2+… +anen ( 3.1.4) tenglik o‘rinli bo‘lsa, { a1,a2,… ,an } sonlar a vektorning koordinatalari deyiladi. 3-xossa. Har bir vektor berilgan bazisda o‘zining koordinatalari bilan yagona ravishda aniqlanadi. Berilgan a vektor uchun ikkita a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n ( 3.1.5) a = b 1 e 1 + b 2 e 2 + … + b n e n tengliklar o‘rinli bo‘lsa ulaming birini ikkinchisidan hadma-had ayirib ( a 1 − b 1 ) e 1 + ( a 2 − b 2 ) e 2 + … + ( a n − b n ) e n = 0 tenglikni hosil qilamiz. 3 .2-§. Vektorlarning o‘qqa proyeksiyasi 27 Vektorning o‘qqa proeksiyasi vektorning yo‘nalishiga qarab musbat, manfiy yoki nolga teng bo‘lgan son bo‘lib, a vektorning l o‘qqa proyeksiya quyidagicha aniqlanadi: 3.2.1-chizma Agar a= AB bo‘lsa, A va В nuqtalarning l o‘qdagi ortogonal proeksiyalarini mos ravishda A’, В ‘bilan belgilaymiz. A ‘B ‘ kesmaning l o‘qdagi kattaligi a vektorning l o‘qdagi proeksiyasi deb ataladi. Proeksiya uchun p r l a = │ a │ cos φ tenglik o‘rinli bo‘lib, bu yerda (p -berilgan a vektor vag o‘q orasidagi burchakdir. Proeksiyaning xossalari: 1. prlλa= λp rla λ ∈ R 2. prl(a+b)= prla+prlb Isbot. 1. Birinchi prlλa= λp rla tenglikni isbotlash uchun quyidagi hollarni qaraymiz: a) λ = 0 bo‘lsa λ a = 0 tenglik o‘rinli bo‘ladi va natijada А ’ = В ‘ munosabatdan 28 A1 AA2O y x 3.2. 2-chizma prlλa=0 va prlλa= λp rla = 0 (3.2.6) tengliklar kelib chiqadi. b ) λ > 0 bo‘lsa, a↑↑b munosabatdan φ= x tenglik kelib chiqadi; bu φ yerda va Ψ mos ravishda a va b vektorlarning l o‘q bilan hosil qilgan burchaklaridir. Bu holda │λ a │ = λ│ a │ va demak prl(λa)=│λa│cos Ψ ( 3.2.7) c) λ <0 bo‘lsa, λa va a vektorlar uchun a↑↓b munosabat o‘rinli bo‘ladi. Shuning uchun Ψ =φ+π tenglikdan quyidagi munosabat kelib chiqadi: p r l ( λ a ) = │ λ a │ co s ( φ + π ) = − λ │ a │ cos ( φ + π ) = λp r l a (3.2.8) 2. . prl(a+b)= prla+prlb tenglikni isbotlashni keyinroqqa qoldirib, skalyar ko‘paytmani o‘rganishga o‘tamiz. Misol. Affin koordinatalar sistemasi berilgan nuqtalarni yasang. Yechish. A nuqtani yasash uchun 2 1 3 3 e e ОА ⃗ ⃗   vektorni yasaymiz. Buning uchun O nuqtadan boshlab 1e⃗ vektorga kollinear 1 1 3e ОА ⃗  vektorni, 2e⃗ kollinear 2 2 3e ОА ⃗  vektorlarni yasaymiz. Bu vektorlarning yig‘indisini yasasak OA vektoriga ega bo‘lamiz va A nuqtani topamiz. 29 Masala. AB vektorlarining boshi va oxiri koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa, AB vektor koordinatasini toping. Yechish: 2121122212 2111 ) ( ) ( e y y e x x OA OB AB ey ex OB ey ex OA ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗           bundan ) ; ( 1 2 1 2 y y x x AB   3.2.3-chizma XULOSA Vektorlar va ular ustida amallar va matematik statistika masalalarini yechishda muhim ahamiyatga ega. Kurs ishining 3 bobi asosiy qism bo‘lib, unda geometriya fanida vektorlar mavzusini o‘qitish tushuntirilib beriladi. Mazkur kurs ishida quyidagi vazifalar amalga oshirilgan: Mavzusini yorituvchi manba topish, rejani shakllantirish; Davlat ta’lim standarti va o‘quv dasturlarida «Vektorlar» mavzulari o‘qitilishi. 30 Vektor tushunchasini berishdagi turli xil yondoshuvlar. Vektor tushunchasini kiritish. Vektorlar ustida amallar bajarishni o‘rgatish; O‘ r ganilgan mavzu bo‘yicha xulosalar chiqarish; Men “Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari” mavzusidagi kurs ishimda dars jarayonida tushuntirilayotgan yangi mavzu materialining o‘quvchilar tomonidan o‘zlashtirish darjasi o‘qtuvchining pedagogik mahoratiga bog‘liq ekanini tushundim. Pedagog o‘z fanini ilmiy asosda keng va chuqur bilishi, o‘qitish uslubi, ko‘rgazmali quroli, texnik vositalardan unumli foydalanishga alohida e’tibor qaratishi lozim ekan. O‘rta maxsus va kasb-hunar ta’limi tizimida o‘qitiladigan matematika fanining ayrim mavzularini talabalar maktabdagi matematika darslarida o‘rganib kelishadi, bu mavzularni takror o‘tish esa talabalarni zeriktirishi mumkin. Buning uchun o‘qitish usullarini o‘qituvchilar to‘g‘ri tanlashlari zarur ekan. Ayniqsa maktab o‘quvchilarning yuqori qismidagi o‘quvchilar matematika fanini judayam qiyin fanlar sirasiga kiritishadi. Shuning uchun matematika fanini o‘qitishda ko‘plab qiziqarli o‘yinlar bilan o‘tkazish ancha samarali hisoblanar ekan. Matematika o‘qituvchilari o‘quvchilarning aqliy fikrlashlariga qarab turli o‘yinlardan darslarda foydalanish darsning unumdorligini oshirar ekan. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent. "O'zbekiston faylasuflari milliy jamiyati", 2020 yil, 176 bet. 2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent. "Innovatsiya-Ziyo", 2020 yil, 184 bet. 3. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to'plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet. 4. X Latipov, Sh. Tojiyev “Analitik geometriya va chiziqli algebra”, T. 1995. 31 5. Dadajonov N.D., Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent: 1995. 6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra. Toshkent. "O'qituvchi" 1993 y. 7. Kletenik D.V., Sbornik zach po analitik geometriya. M. «Fizmatlit», 2016 yil. 241 str. 8. Boxonov Z.S. Analitik geometriyadan misol va masalalar to'plami. Uslubiy qo'llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet. 9. Izu Vaysman. Analitik geometriya. World Scientific, AQSH, 2007 yil, 297 p. 13. http://www.arki.ru/magaz 14. http://www.lib.ru 15. htt://www.bilimdon.uz 16. htt://www.istedod uz 32

Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari  kurs ishi

Sotib olish