Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari kurs ishi - Tarix - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	663.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	03 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Tarix

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

136 Sotish

Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari kurs ishi

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat unversiteti
Fizika-matematika fakulteti
Matematika yo‘nalishi 24.05-guruh talabasi
Mirzahalilov Shohruhbek Mirzatohirjon o‘g‘lining
Analitik geometriya fanidan
“ Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan
koordinatalari ” mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: F.Topvoldiyev
FARG‘ONA– 2025
1

MUNDARIJA
KIRISH
I BOB. VEKTOR VA ULAR USTIDA CHIZIQLI AMALLAR
1. 1-§. Chiziqli erkli va chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasi
1.2-§. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar
II BOB. VEKTORLAR USTIDA CHIZIQLI AMALLAR
2. 1 -§ . Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi
2.2-§.Vektor va aralash ko‘paytmalar
2.3-§. Vektor va aralash ko‘paytmani koordinatalar orqali ifodalash
III BOB. O ‘ LCHOV VA BAZIS
3. 1-§ . Baz i s va vektorning k o ordinatalar i
3. 2.-§. Vektorlarning o‘qqa proyeksiyasi
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYO TLAR

2

KIRISH
Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda ham
jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati
darajasiga ko‘tarilgan.
Prezidentimiz SH. Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh
assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “ Jamiyatimizda siyosiy faollik
ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda. Ulardan
ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan oddiy va
aniq-ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan demokratik
davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat.
“2017-2021-yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta
ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot darajasini
yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida fikrlarini
bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo jamoatchiligi
e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida ta’kidlab,
o‘tamiz.
“Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat
siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar
strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston
Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar
strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga
mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir.
Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida
malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini
ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy
etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy
etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz.
3

Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy
komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim-
tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim
maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.Fan taraqqiyoti
ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin
o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar
jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning
insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va
strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib
borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv
materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi.Ma’lumki, har bir davlat va
jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan-
texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi
emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek, “Bugungi
kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi,
jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi
shubhasizdir”. XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika,
ijtimoiy-siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda
barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik,
balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan
bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va
takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar,
ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini
oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol
metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir.
Yoshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi
yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi. Ta’lim texnologiyasi insoniylik
tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning
o‘ziga xosligi talabaning individualligiga alohida e’tibor berish orqali namoyon
bo‘ladi.
4

Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika fanining
mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi
yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida
darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining maqsadi: Matematikani o‘qitish samaradorligini oshirishda
zamonaviy pedagogik texnologiyalar va ularni qo‘llash usullarini ishlab chiqish,
dastur materiallariga mos Vektorlar ustida amallar o‘rganishning samarali usullarini
aniqlash yangi pedagogok texnologiyalardan foydalanib vektorlar ustida
masalalarni yechishni amalga oshirish yo‘llarini izlashdan iborat.
Kurs ishining vazifalari:
1. Zamonaviy texnologiyalar asosida matematika darslarini tashkil etishning
mavjud holatini o‘rganish .
2. O‘quvchilarda kombinatorikaga oid masalalarni yechishda bilim, malaka va
ko‘nikmalarini shakllantirish.
3. Vektorlarga oid matematika darslarini zamonaviy texnologiyalar asosida tashkil
etishga xizmat qiluvchi maqbul shakl, metod va vositalarni belgilash.
4. Matematika darslarini ta’limning zamonaziy interfaol metodlari asosida tashkil
etishda maxsus metodlarni tajriba-sinovdan o‘tkazish va uning samaradorligini
aniqlash.
Kurs ishida qo‘yilgan asosiy masalalar:
1. O‘quvchilarning vektorlarga oid masalalarni yechish usullarini tahlil qilish.
2. Vektorlar oid masalalar mazmunini tahlil qilish.
3. Ilg‘or matematika fani o‘qituvchilarining tajribalarini o‘rganish.
4. O‘quvchilarda vektorga oid masalalar ustida ishlash bo‘yicha pedagogik
tajriba o‘tkazish, natijalarini metodik tavsiya sifatida bayon qilish.
5

Kurs ishining metodlari :
Tadqiqot muammosiga oid pedagogik-psixologik va metodik adabiyotlar
mazmunini o‘rganish, nazariy jihatdan tahlil qilish, o‘quvchilarga vektorga oid
masalalarni yechishni o‘rgatishda zamonaviy texnologiyalarni qo‘llash holatini
o‘rganish, pedagogik kuzatuv, suhbat, pedagogik tajriba va h.k.
Kurs ishining tuzilishi: Kurs ishi kirish, 3 ta bob, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
6

I BOB. VEKTOR HAQIDA ELEMENTAR TUSHUNCHALAR
1.1-§. Chiziqli erkli va chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasi
Bizga {a1,a2,a3,… ,an} vektorlar oilasi va n ta λ
1 , λ
2 , … , λ
n sonlar berilgan
bo‘lsa, λ
1 a
1 + λ
2 a
2 + … + λ
n a
n
vektor
a1,a2,… ,an vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi. Chiziqli
kombinatsiyada qatnashayotgan sonlaming birortasi noldan farqli boisa, u notrivial
chiziqli kombinatsiya deb ataladi.
Ta’rif. Berilgan
{ a
1 , a
2 , a
3 , … , a
n } vektorlar oilasi uchun kamida bittasi
noldan farqli bo‘lgan ,
λ1,λ2,… ,λn sonlar mavjud bo‘lib,
λ
1 a
1 + λ
2 a
2 + … + λ
n a
n =0 ( 1.1.1)
tenglik o‘rinli bo‘lsa,
{a1,a2,a3,… ,an} vektorlar oilasi chiziqli bog‘Ianishli
deyiladi.
Izoh. Vektorlar oilasi chiziqli bog‘Ianishli bo‘lsa, uning birorta notrivial
chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo‘ladi.
1-teorema. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog‘Ianishli bo‘lishi
uchun bu oila vektorlarining kollinear bo ‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli ikkita
a va b vektorlar chiziqli bog‘Ianishli bo‘lsa,
kamida bittasi noldan farqli λ
1 , λ
2 sonlari mavjud bo‘lib, λ
1 a
1 + λ
2 a
2 = 0
tenglik
bajariladi. Agar
λ1≠0 bo‘lsa, a=−(λ1{λ¿¿2)b tenglikni hosil qilamiz. Bu
esa birinchi tasdiqqa ko‘ra
a va b vektorlarning kollinear ekanligini
ko‘rsatadi.
Va aksincha, a
va b
vektorlar kollinear boisin. Ularning boshlarini bitta
nuqtaga joylashtirsak, ular bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi. Bu to‘g‘ri chiziqda
vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar
sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va B harflar bilan belgilaymiz
a
7

a=OA ,b=OB Vektorlardan bittasi, misol uchun a noldan farqli vektor
bo‘lsin. Demak, a
≠ 0
va O nuqta A B kesmani biror λ nisbatda bo‘ladi: BO ¿
OA=λ Endi
b=− λa tenglikni ko‘rsatamiz. Agar a,b vektorlar yo‘nalishi bir xil
bo‘lsa, О nuqta A B kesmaga tegishli emas va λ <0. Agar a , b
vektorlar
yo‘nalishi qarama-qarshi bo‘lsa, λ >0 bo‘ladi. Shuning uchun
b va -λ a
vektorlarning yo‘nalishlari bir xil. Ularning uzunliklari ham teng:
│
b │= │ BO │= │λ││ OA │= │λ││ a │= │-λ a │ (1.1.2)
Demak, bu vektorlar tengdir. Endi b
= − λ a
tenglikdan
− λa+b=0 tenglik
kelib chiqadi. Demak,
a va b vektorlar chiziqli bog‘Ianishli oilani tashkil
qiladi.
2 -teorema. 1) Vektorlar ollasiga nol vektor tegishli bo‘Isa, bu oila
chiziqli bog‘lanishlidar.
2) Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog‘Ianishli vektorlar oilasini o ‘z ichiga
olsa, bu oila ham chiziqli bog‘lanishlidir.
Isbot .
1) Berilgan
{a1,a2,a3,… ,an} oilada ai=0 bo‘lsa, λi = 0 , λj=1,i≠ j sonlar
uchun

λi1ai1+λi2ai2+λi3ai3+… +λimaim=0 tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2) Berilgan
{ a
1 , a
2 , a
3 , … , a
n } oilada bir nechta a
i
k k= 1,2,…m, m < n vektorlar
chiziqli bog‘Ianishli oilani tashkil qilsa, ulaming birorta notrivial chiziqli
kombinatsiyasi nol vektor boiadi:

λi1ai1+λi2ai2+λi3ai3+… +λimaim=0 (1.1.3)
8

1.1.1-chizma
Biz agar λ
i = λ
i
k , j = j
k va λj= 0,j≠ jk tengliklar bilan n ta λ1,λ2,λ3,… ,λn
sonlarni aniqlasak

λ1a1+λ2a2+λ3a+… +λnan=0 (1.1.4)

tenglikni hosil qilamiz.
3-teorema. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog‘Ianishli bo‘lishi
uchun ularning komplanar bo ‘lishi zarur va etarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli uchta a , b
va c
vektorlar chiziqli bog‘Ianishlibo‘lsa,
ularning komplanarligini isbotlaymiz. Chiziqli bog‘lanishlikning ta’rifiga asosan,
kamida bittasi noldan farqli α , β , γ
sonlar uchun

αa+βb+γc=0 (1.1.5) tenglik
o‘rinli bo‘ladi. Aniqlik uchun α
noldan farqli boisin, unda avvalgi tenglikdan
c = − α
γ a − β
γ b
(1.1.6)
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda λ = α / γ
, μ = β / γ
belgilashlarni kiritib
c= λa+μb
tenglikni hosil qilamiz. Agar a,b va c vektorlarning boshi bitta
umumiy О nuqtaga joylashtirilgan bo‘lsa, oxirgi tenglikdan
c vektor λ a va μ b
vektorlarga qurilgan parallelogramm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa
ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular komplanar vektorlardir.
9

Va aksincha, a,b va c vektorlar komplanar bo‘lsin. Ular chiziqli
bog‘liqligini isbotlaymiz.
Berilgan uchta vektorlar orasida kollinear vektorlar bo‘lgan holni chiqarib
tashlaymiz. 1-teoremaga asosan, ushbu vektorlar jufti chiziqli bog‘lik bo‘lar edi
va berilagan uchta vektor ham chiziqli bog‘liqligi kelib chiqar edi. Shuning uchun
a , b
va c
vektorlar orasida hech bir jufti kollinear bo‘lmagan holni ko‘rib
chiqamiz (xususan, ular orasida nol vektor ham yo‘q). Vektorlarni bitta
tekislikka ko‘chirib, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtiramiz. Keyin
c
vektorning С uchi orqali
a va b vektorlarga parallel to‘g‘ri chiziqlar
o‘tkazamiz,
a vektor yotgan to‘g‘ri chiziqning b vektorga parallel to‘g‘ri chiziq
bilan kesishish nuqtasini A deb belgilaymiz va
b vektor yotgan to‘g‘ri
chiziqning a
vektorga parallel to‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasini В deb
belgilaymiz. (Ushbu nuqtalarning mavjudligi,
a va b vektorlar kollinear
emasligidan kelib chiqadi). Vektorlarni qo‘shishning parallelogramm qoidasiga
ko‘ra
c vektor OA va OB vektorlar yig‘indisiga teng, ya’ni
c = OA + OB
tenglik o‘rinlidir.

OA vektor noldan farqli a vektorga kollinear (u bilan bir to‘g‘ri chiziqda
yotuvchi), demak, shunday λ haqiqiy son topiladiki,

OA = λa
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, OB = λ b
tenglik ham o‘rinli. Bu
tengliklardan
c = λ a + μ b
(1.1.7)
tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni
λa+μb +(-1) c = 0 ko‘rinishda yozib olish
mumkin. Bu tenglikdagi λ , μ sonlaming kamida bittasi noldan farqli bo‘lganligi
sababli, oxirgi tenglik
a,b va c vektorlarning chiziqli bog‘lanishligini
ifodalaydi. Teorema isbotlandi.
10

1-natija. Agar a,b va c vektorlar komplanar bo‘lmasa, ular chiziqli erkli
bo‘ladilar.
2-natija. Ixtiyoriy uchta komplanar bo ‘Imagan vektorlar orasida ikkita kollinear
vektorlar bo ‘la olmaydi. Shuningdek ular orasida nol vektor ham bo‘lmaydi.
1.2-§. Vektorlar va ular ustida chiziqli amallar
Ta’rif : Yo‘naltirilgan kesmaga vektor deyiladi. Yo‘nalishga ega bo‘lgan AB
kesmani olamiz. A nuqtaga vektorning boshi, B nuqtaga esa vektorning oxiri
deyiladi. Vektor odatda bitta yoki ikkita harf bilan quyidagicha yoziladi:

⃗a B
A
⃗ AB
1.2.1-chizma
Fizika, mexanika, texnika kabilarda moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch,
harakatdagi nuqtaning tezligi, tezlanish singari tushunchalar ko‘p uchraydi. Bu
tushunchalar faqatgina kattalikka emas, balki ular yo‘nalishga ham egadirlar.
Demak, bunday kattaliklarni ta’rifga asosan vektor kattalik yoki vektor deb qarash
mumkin. Ba’zida vektor miqdor ham deyiladi.
Kattalikka ega bo‘lib, uning yo‘nalishi talab qilinmaydigan kattaliklarga
skalyar kattalik , skalyar miqdor yoki qisqacha skalyar deb ataladi. Masalan,
uzunlik,yuza, hajm,massa, temperatura kabilar skalyarga misol bo‘la oladi.
Agar vektorning boshi va oxiri ustma-ust tushsa, bunday vektorga nol vektor
deyiladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng bo‘lib, u yo‘nalishga ega emas.
Bunday vektor
⃗ AA
yoki ⃗ 0
kabi belgilanadi. Chizmada nol vektor bitta nuqta
bilan tasvirlanadi.
Vektorning uzunligi uning moduli deb ataladi va │
⃗ AB
│=│ ⃗ a
│=a
ko‘rinishda yoziladi. Moduli birga teng bo‘lgan vektorga birlik vektor yoki ort
deyiladi va │e│=1 ko‘rinishda yoziladi.
11

Agar ikkita ⃗a va ⃗b vektorlarning uzunliklari teng va yo‘nalishlari bir xil
bo‘lsa, bunday vektorlarga teng vektorlar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
│
⃗a │=│ ⃗b │ yoki │ ⃗AB │=│ ⃗CD │
Vektorlar tengligi quyidagi xossalarga ega
Har qanday vektor o‘ziga teng (refleksivlik sharti): │
⃗a │=│ ⃗a │
Agar
⃗a vector ⃗
b vektorga teng bo‘lsa, u holda ⃗
b vektor ⃗a vektorga teng bo‘ladi
(simmetriklik), ya’ni, │
⃗a │=│ ⃗b │ bo‘lsa, │ ⃗b │=│ ⃗a │ bo‘ladi.
Agar
⃗a vektor ⃗
b vektorga teng va ⃗
b vektor ⃗ c
vektorga teng bo‘lsa, ⃗ a
vektor ⃗ c
vektorga teng bo‘ladi (tranzitivlik),ya’ni: │
⃗a │=│ ⃗b │ va │ ⃗b │=│ ⃗c │ bo‘lsa │ ⃗a │=│
⃗
c
│ bo‘ladi.
Ta’rif : Ikkita
⃗a va ⃗b vektorlarning yig‘indisi deb ⃗a vektorning boshi bilan ( ⃗b )
vektorning oxirini tutashtiruvchi
⃗c vektorga aytiladi:

⃗a + ⃗b = ⃗c ⃗b

⃗ a
⃗ c
= ⃗ a
+ ⃗
b

1.2.2-chizma
Vektorlarni bunday qo‘shish usuliga uchburchak usuli deyiladi. Bunday
atalishiga sabab, qo‘shiluvchi va yig‘indi vektorlar birgalikda uchburchakni hosil
qiladi.

1.2.3-chizma
12

Vektorlarni qo‘shishning yana bir usuli –parallelogramm usulidir. Bu usul boshi
bir nuqtada yotgan hamda ular orasidagi burchak nolga teng bo‘lmagan ikkita
vektorni qo‘shishda qo‘llaniladi. Masalan, boshi ixtiyoriy 0 nuqtada bo‘lgan ⃗0⃗A = ⃗a
va OB=
⃗b vektorlarni yasaymiz. OA va O В kesmalar orqali OA СВ
parallelogramm yasaladi. Parallelogrammning О nuqtasidan o‘tkazilgan diagonal
⃗a
va
⃗b vektorlarning yig‘indisi ⃗c vektor bo‘ladi, chunki ⃗OC = ⃗OA = ⃗b hamda

⃗ OC
= ⃗OA + ⃗AC .
Vektorlarni qo‘shish qoidasi quyidagi xossalarga ega:
1 0
.
⃗a + ⃗
b = ⃗
b + ⃗ a
(o‘rin almashtirish).
2 0
. (
⃗a + ⃗b )+ ⃗c = ⃗a +( ⃗b + ⃗c ) (gruppalash).
3 0
. Har qanday
⃗a va ⃗ 0
lar uchun quyidagi o‘rinli:

⃗a + ⃗0 = ⃗a
4. Qarama–qarshi
⃗ a
va ⃗ a -1
(yoki ⃗ AB
va ⃗ BA
) vektorlar yig‘indisi nolga teng
ya’ni

⃗ a
+ ⃗a -1
=0 yok ⃗ AB
+ ⃗ BA
=0
Misol :
⃗a ={2,3,1} va ⃗
b ={4,2,1} bo ‘ lsa ⃗ a
+ ⃗
b ni toping.
Yechish:
⃗a + ⃗b ={2+4,2+3,1+1}={6,5,2}
Demak
⃗a + ⃗
b = {6,5,2} bo‘ladi.
Har qanday
⃗AB vektorga qarama-qarshi vektorni ⃗BA shaklda yozish mumkin.
Shuningdek,
⃗ a
vektorga qarama-qarshi vektor - ⃗a ko‘rinishda belgilanadi.
Qarama-qarshi vektorlar bir xil uzunlikka ega bo‘lib, bir-biriga teskari
yo‘nalgan bo‘ladi.
13

Agar ⃗AB = ⃗a deb olinsa, unga qarama-qarshi vektor ⃗BA = - ⃗a bo‘ladi. U
holda ularning yig‘indisi
⃗ AB
+ ⃗ BA
=0 yoki a+(-a)=0 bo‘ladi.
Agar
⃗a va ⃗b vektorlar uchun │ ⃗a │=│ ⃗b │ shart bajarilsa hamda ⃗b ga qarama-
qarshi bo‘lgan
⃗
− b vektor mavjud bo‘lsa, u holda, ⃗a bilan - ⃗
b vektorlarning
yig‘indisi biror
⃗c vektordan iborat bo‘ladi, ya’ni: ⃗c = ⃗a +( − ⃗b ) yoki ⃗c = ⃗a - ⃗b
a)

⃗ a⃗ a
1.2 . 2 − chizma
Demak,
⃗a - ⃗
b = ⃗a +(- ⃗
b ) Bundan quyidagi xulosaga kelish mumkin: ⃗ a
vektordan
⃗b vektorni ayirish uchun ⃗a vektorga ⃗b ga qarama-qarshi bo‘lgan - ⃗b
vektorni qo‘shish lozim.
Ta’rif:
⃗a vektor va a≠0 haqiqiy sonning ko‘paytmasi deb shunday ⃗c
vektorga aytiladiki, bu vektorning uzunligi │
⃗ c
│=│λ│∙│ ⃗a │ dan iborat bo‘ l ib,
α>0 bo‘lganda
⃗a vektor bilan yo‘nalishdosh, α<0 bo‘lganda esa ⃗a vektorga
qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘ladi. Vektorning songa ko‘paytmasi
⃗ c
=α ⃗a ko‘rinishda
ifodalanadi.
Agar α=0 yoki
⃗ a
=0 bo‘lsa, α ⃗ a
ko‘paytma noaniq yo‘nalishli nol
vektorga aylanadi.
⃗
a
vektorni α soniga ko‘paytirishning geometrik ma’nosi quyidagicha: ⃗a
Vektor α songa ko‘paytirilganda
⃗a vector α marta cho‘ziladi. Cho‘zilish α>1
bo‘lganda sodir bo‘ladi. Bir xil yo‘nalishiga ega bo‘lib, 0<α<1 bo‘lganda esa
qisqarish yuzaga keladi, ammo
⃗a vektor bilan ⃗e - birlik vektorning ko‘paytrmasi
vektorni songa ko‘paytirish ta’rifiga asosan
⃗ a
=│a│ ⃗ e
dan iborat bo‘ladi.
14

Bundan , ⃗e = 1
│ a │ ⃗a
Demak,
⃗ a
vektorga yo‘nalishdosh bo‘lgan ⃗ e
birlik vektorni topish uchun berilgan
vektorni 1
│ a │ songa ko‘paytirish kerak.
Vektorni songa ko‘paytirish quyidagi xossalarga ega:
1 0
. Vektorni songa ko‘paytirishning gruppalash qonuni: n(m
⃗a )=nm ⃗a
2 0
. Sonlar yig‘indisining vektorga ko‘paytirishning taqsimot qonuni:
(n + m)
⃗a =n ⃗a+¿ m ⃗a
3 0
. Son bilan vektorlar yig‘indisini ko‘paytirishning taqsimot qonuni:
n(
⃗a + ⃗b )=n ⃗a +n ⃗b
Ta’rif: Agar ikkita
⃗ a
va ⃗
b vektorlar o‘zaro parallel yoki bir to‘g‘ri chiziqda
yoki bo‘lmasa parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotsalar, bunday vektorga kollinear
vektorlar deyiladi.
Noldan farqli, ya’ni uzunligi nolga teng bo‘lmagan ikki
⃗a ( x1 ; y1 ) va ⃗b ( x2 ;y2 )
vektorlar kollinear bo‘lishi uchun ularning bir ismli (ya’ni x
1 va
x2 hamda y1 va y
2
) koordinatalari o‘zaro proporsional bo‘lishi zarur va etarlidir:
x
1
x
2 =
y1
y2 (1.2.3)
x
1
x
2 = m
va y
1
y
2 = m
deb olinsa,

x1 = m x2 va y1 = m y2 (1.2.4)
Bundan m>0 bo‘lsa,
⃗a va ⃗
b vektorlar bir xil yo‘nalishda; m<0 bo‘lsa bu
vektorlar qarama–qarshi yo‘nalgan bo‘ladi.
Ta’rif: Bitta tekislikda yoki o‘zaro parallel tekisliklarda yotuvchi
vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi.
15

Agar yuqoridagi shartlar bajarilmasa, vektorlarga komplanar bo‘lmagan
vektorlar deyiladi:
Bir tekislikda yoki o‘zaro parallel tekisliklarda yotuvchi to‘g‘ri chiziqlarga
komplanar to‘g‘ri chiziqlar deb aytiladi.
Misol: m, n ning qanday qiymatlarida a =  − 2;3;n   va b =  m;−6;2  
vektorlar kollinear bo‘ladi?
Yechish : Ikki vektorning kollinearlik shartiga ko‘ra − 2
m = 3
− 6 = n
2
Bundan m = 4 , n = −1.
II BOB. VEKTORLAR ALGEBRASI
2. 1 -§ . Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi
Ta’rif : Ikki ⃗ a
va ⃗
b vektorning skalyar ko‘paytmasi deb, shu vektorlar
uzunliklari hamda ular orasidagi burchakning kosinusi ko‘paytmasiga teng
bo‘lgan skalyar ko‘paytmaga aytiladi. α - ikki vektor orasidagi burchak
⃗a⃗b
=│ ⃗a │∙│ ⃗b │∙ cos α (2.1.1)
Agar ko‘paytirilayotgan vektorlardan biri nolga teng bo‘lsa, bu
vektorlarning skalyar ko‘paytmasi noldan iborat bo‘ladi.
Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi ta’rifini bir vektorning ikkinchi
vektorga tushirilgan proeksiyasiga nisbatan ham berish mumkin.
16

Ta’rif: Ikkita ⃗a va ⃗b vektorning skalyar ko‘paytmasi ulardan birining
modulini ikkinchi vektorning birinchi vektordagi (va aksincha) proeksiyasiga
ko‘paytirilganiga teng, ya’ni:

⃗a⃗b =│ ⃗a │ p r
a ⃗
b yoki ⃗a ⃗
b = │ ⃗
b │ prb⃗a (2.2.2)
Agar
⃗a va ⃗b vektorlar o‘zaro teng bo‘lsa, ularning skalyar ko‘paytmasi
quyidagicha bo‘ladi:

⃗ a
∙ ⃗a = a2 bo‘lsa, │ ⃗
a 2
│= a2 dan iborat.
Bunga
⃗a vektorning skalyar kvadrati deyiladi.
Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi quyidagi xossalarga ega:
1 0
.
⃗
a⃗ b = ⃗b⃗a - kommutativlik xossasi.
2 0
. (
α⃗a ) ⃗b =α( ⃗a ⃗b )- skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan assotsiativlik xossasi.
3 0
.
⃗a ( ⃗
b + ⃗ c
) = ⃗ a
⃗
b + ⃗ a ⃗ c
- distributivlik xossasi.
4 0
.
⃗a =0 yoki ⃗b =0 bo‘lganda, yoki bo‘lmasa, ⃗a ┴ ⃗b bo‘lganda va faqat shu
holdagina
⃗a⃗b =0
Misol: ?????? (3; 6) v а ?????? ⃗ (5; −2) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini toping.
Yechish: .
⃗a va ?????? ⃗ v е ktorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning
moskoordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga t е ngligidan
?????? ∙ ?????? ⃗ = ???????????? ′ + ???????????? ′ = 3 ∙ 5 + 6 ∙ (−2) = 3
kelib chiqadi.
Demak, berilgan ?????? va ?????? ⃗ v е ktorlarning skalyar ko‘paytmasi 3 ga teng bo‘ladi
Mis о l. Koordinatalari bilan berilgan quyidagi ?????? (4; 3) va ?????? ⃗ (1; 7) vektorlar
orasidagi ?????? burchakni toping.
Yechish :a va b vektorlarning orasidagi burchakni topish formulasidan,
17

kelib chiqadi,hamda a va b vektorlarning orasidagi burchak = ni
tashkil qiladi.
2.2-§.Vektor va aralash ko‘paytmalar
Ta’rif. Tartiblangan uchlikda { a , b , c }
vektor oxiridan a,b vektorlar
tekisligiga qaraganimizda
a dan b
ga qisqa burilish yo ‘nalishi soat mili
yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, bu uchlik o‘ng uchlik deb ataladi.
Agar bu yo ‘nalish soat mili yo ‘nalishi bilan ustma-ust tushsa,
{a,b,c} uchlik
chap uchlik deyiladi.
Quyida
{ a , b , c }
o‘ng va {b,a,c} chap uchliklar ko‘rsatilgan.
Shunda
{a,b,c} {b,c,a} {c,a,b} uchliklar o‘ng, { b , a , c }
{ a , c , b }
{ c , b , a }
uchliklar chap uchlik hosil qiladi.
2.2.1- chizma 2.2. 2- chizma
Ta’rif. Ikkita
a va b vektorlarning vektor ko‘paytmasi deb shunday vektorga
aytiladiki, bu vector
[a,b] kabi belgilanadi va:
1)
[ a , b ]
ning uzunligi a va b vektorlarga qurilgan parallelogram yuziga
tengdir: │
[a,b] │= │ a │ │ b │ sin φ ,
φ=aˆb
18 a c
b c
b
a

2) [ a , b ]
vektor a va a vektorlarga pe ф endikulyar bo‘lishi kerak:

[a,b] ┴ a
, [a,b]┴ b ;
3)
a,b vektorlar a va a vektor ko‘paytma o‘ng uchlik hosil qiladi:
Vektor ko‘paytmaning xossalari:
1)
[ a , b ] = − [ b , a ] ;

2)
[λa,b]= λ[a,b]=−[λb,a],λ∈R
3)
[ a + b , c ] = [ a , c ] +[ b , c ]
;
4)
[a,b]=0↔ a∨¿b .
Tasdiq. (Yordamchi fakt). Berilgan
α tekislikda c vektor va unga
perpendikulyar birlik
e vektor berilgan bo‘lsin. Agar g
vektor α tekislikka
perpendikulyar va
e,c,g o‘ng uchlik bo‘lsa, α tekislikda yotuvchi har qanday
a
vektor uchun
[ a , c ] = p r
e a │ c │ g
tenglik o‘rinlidir.

2.2.3- c hizma
Isbot. l)Vektorlar tengligini ko‘rsatish uchun ulaming yo‘nalishlari bir xil va
uzunliklari tengligini ko‘rsatamiz.Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra uninig
uzunligi
a va c vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuziga tengdir:
│[a,c]│=S
Chap tomondagi vektorning uzunligi esa p│rea││c│ ga tengdir.
Agar parallelogrammning asosi sifatida c
vektorni olsak, uning yuzasi │ c │ h
19e

g
a e
π
h

ga tengdir. Bu yerda h balandlik bo‘lib, p│rea│=h tenglik o‘rinlidir.
Demak, vektorlarning uzunligi tengdir. Endi ulaming yo‘nalishi bir xil
ekanligini ko‘rsatamiz. Agar
a,c,g - o‘ng uchlik bo‘lsa, g va [ a , c , ]
vektorlar
bir xil yo‘nalishga ega. Bu holda
a va e vektorlar c
vektorning bir tomonida
joylashgan va
prea > 0 bo‘ladi. Agar a,c,g -chap uchlik bo‘lsa, prea <0 va
prea│c│g
vektor g vektorga qarama-qarshi yo‘nalgandir. Demak, prea│c│g
vektor yo‘nalishi
[a,c,] vektor yo‘nalishi bilan bir xil bo‘ladi. Natijada
[
a , c , ] = p r
e a │ c │ g
tenglikni hosil qildik.
Ta’rif. Uchta a , b , c
vektorlarning aralash ko‘paytmasi deb, │ a , b │ , c
miqdorga aytiladi va quyidagi ko‘rinishda belgilanadi:
abc=│a,b│,c
Tasdiq . Berilgan nokomplanar (chiziqli erkli) a , b , c
vektorlar o‘ng uchlikni
tashkil qilsa, ularning aralash ko‘paytmasi ularga qurilgan parallelipipedning
hajmiga, aks holda esa hajmning manfiy ishora bilan olinganiga tengdir.
Isbot : Biz
a,b,c vektorlarga qurilgan parallelipipedning hajmini V bilan
belgilaymiz. Agar S bilan
a va b vektorlarga qurilgan parallelogrammning
yuzasini belgilasak,
│a,b│=Se tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bu yerda e
vektor │ a , b │
ko‘paytma bilan bir xil yo‘nalgan birlik vektordir.
Skalyar ko‘paytmani proeksiya yordamida yozsak,
abc= Seprec tenglikni hosil
qilamiz.

Bu yerda
prec absolyut qiymati bo‘yicha a,b,c vektorlarga qurilgan va asosi
20 2.2.4-chizma
h c
b
a e

a,b vektorlarga yasalgan parallelogrammdan iborat parallelipipedning
balandligiga tengdir. Agar a , b , c
o‘ng uchlikni tashkil qilsa, p r
e e = h
agar a , b , c
chap uchlikni tashkil qilsa,
pree=− h tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda h
qaralayotgan parallelipipedning balandligidir. Shuning uchun
V (a,b,c)= Sh
formulani hisobga olsak biz bevosita tasdiq isbotini olamiz.
Endi biz vektor ko‘paytma xossalarini isbotlashga kirishamiz.
1-xossa isboti
a,b,[a,b] va a , b , [ b , a ]
uchliklarningorientatsiyalari har xil
ekanligidan kelib chiqadi: birinchi uchlik o‘ng orientatsiyaga, ikkinchi uchlik
chap orientatsiyaga egadir.
2 -xossani isbotlash uchun ikkita holni ko‘ramiz λ > 0 va λ < 0.
Birinchi holda
a va λ a vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va shuning uchun
a , b ,
[ λ a , b ]
va a , b , [ a , b ]
vektorlar bir hil orientatsiyaga ega. Demak, [λa,b] va
λ
[ a , b ]
vektorlar uzunliklari teng va bir xil yo‘nalishga ega.
Ikkinchi holda a
va λ
a vektorlar yo‘nalishlari qarama-qarshi va a,b,[λa,b]
va
a,b,[a,b] vektorlar uchliklari har xil orientatsiyaga ega boladi. Bundan esa
[
λ a , b ]
va [ a , b ]
vektorlar qarama qarshi yo‘nalishga ega ekanligi kelib chiqadi.
Demak,
[λa,b] va λ[a,b] vektorlar bir xil yo‘nalishga ega va uzunliklari tengdir.
3-xossa isbotini keltiramiz.

2.2.5- chizma
21c
h
b a+b a

a) a,b va c komplanar vektorlar, e,c,g o‘ng uchlik bo‘lib, e,g
vektorlar 1-tasdiq shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar bo‘lsa, ikkita vektor
ko‘paytmani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin.

[ a , c ] = p r
e a │ c │ g
(2. 2.3)

[b,c]= preb│c│g ( 2.2.4)
Endi proyeksiya xossasidan foydalanib ,

[ a + b , c ] = p r
e ( a + b ) │ c │ g = p r
e a │ c │ g + p r
e b │ c │ g
( 2.2.5)
tenglikni hosil qilamiz.
b)
a,b va c komplanar vektorlar emas;
Bu holda
[a+b,c],[a,c],[b,c] vektorlarning barchasi c
vektorga
perpendikulyar bo‘lganligi uchun ular komplanar oilani tashkil etadi. Demak, ular
chiziqli bog‘lanishli bo‘ladi, ya’ni kamida bittasi noldan farqli λ
1 , λ
2 , λ
3 sonlari
mavjud bo‘lib
λ
1
[ a + b , c ] + λ
2 [ a , c ] + λ
3 [ b , c ] = 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi.Bu tenglikdan
λ
1
[ a + b , c ] = − λ
2 [ a , c ] − λ
3 [ b , c ]
tenglikni hosil qilib, uning ikkala tomonini
b ga skalyar ko‘paytiramiz va
λ1(a+b)c,b=− λ2abc
tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi aralash ko‘paytma haqidagi tasdiqqa ko‘ra
(
a + b ) c , b
va a b c
aralash ko‘paytmalarning absolyut qiymatlari mos ravish
V(a+b)cb , Vabc
parallelipiped hajmlariga tengdir.
22

Bu parallelipipedlaming asoslari sifatida mos ravishda a+b,b va a,b ,
vektorlarga qurilgan parallelogrammlarni olsak, ularning balandligi tengligini
ko‘ramiz. Shuning uchun
Vabc = S1h va V(a+b)cb=S2h tengliklardan va ularning
asoslari yuzalari ham tengligidan bu hajmlaming tengligi kelib chiqadi.
Endi
( a + b ) c , b
va abc aralash ko‘paytmalar bir xil ishoralarga
ega bo‘lishi, a + b , c , b
uchlik orientatsiyasi a , b , c
uchlik orientatsiyasi bilan
ustma-ust tushishidan kelib chiqadi. Demak,
( a + b ) c , b = [ a , c ] + [ b , c ]
Bundan esa
λ1=− λ2
munosobatni hosil qilamiz. Xuddi shunday usul bilan λ1=− λ3 tenglikni
isbotlaymiz.
Demak

[a+b,c],[a,c],[b,c] ( 2.2.6)
tenglik o‘rinlidir .
4-xossaning isboti a
va
b vektorlar parallel bo‘lganda ular orasidagi
burchakning sinusi nolga tengligidan kelib chiqadi
2.3-§. Vektor va aralash ko‘paytmani koordinatalar orqali ifodalash
O‘ng uchlikni tashkil qiluvchi ortonormal
e1,e2,e3 bazis berilgan bo‘lsa,
a , b
va c
vektorlarni

a= a1e1+a2e2+a3e3
b = b
1 e
1 + b
2 e
2 + b
3 e
n ( 2.3.1)

c= c1e1+c2e2+c3e3
ko‘rinishda yozib, skalyar, vektor va aralash ko‘paytmalami hisoblaymiz.
Skalyar ko‘paytma uchun
( a , b ¿ = a
1 b
1 + a
2 b
2 + a
3 b
3 tenglik hosil bo‘ladi.
Vektor ko‘paytmani hisoblashda
23

[ e
1 , e
2 ] = e
3 , [e3,e1]= e2 , [ e
2 , e
3 ] = e
1 ( 2.3.2)
munosabatlarni hisobga olib

[ a , b ] = ( a
2 b
3 − a
3 b
2 ) e
1 + ( a
3 b
1 − a
1 b
3 ) e
2 + ( a
1 b
2 − a
2 b
1 ) e
3 (2.3.3)
tenglikni hosil qilamiz. Qulaylik uchun vektor ko‘paytmani koordinatalari orqali

[a,b]={|
a2 a3
b2 b3|,|
a3 a1
b3 b1|,|
a1 a2
b1 b2|} (2.3.4)
ko‘rinishda yozish qabul qilingan.
Masala. uchburchak va uning og'irlik markazi berilgan bo'lsa, u
holda istalgan nuqta uchun ekanligini isbotlang.
Yechim: Bu tengliklarni
qo'shib yuboramiz:
, , medianalarning qismiga teng vektorlardir. Medianalarning
yig'indsi nolga teng ekanligi ma'lum, shu sababli
Misol . Uchlari nuqtalarda bo‘lgan
uchburchaklarning medianalar kesishgan nuqtasini toping.
Yechish : AD mediana nuqta BC tomon o‘rta nuqtasi
.
Uchburchak medianalar kesishgan nuqtasi bo‘lsin, u holda
24

3
10
3
4 2 2
1
3
1
3
)1 (2 1
1
2 ,1:2
2 1
2 1
    
 
    
 
  




 
y y y
x x x
OD
AO
)3
10,3
1 ( O .
25

III.BOB O‘LCHOV VA BAZIS
3 .1 -§. Baz i s va vektorning kordinatalar i
Ta’rif. Berilgan { e
1 , e
2 , … , e
n } vektorlar oilasi chiziqli erkli bo‘lib, ixtiyoriy
vektorni ulaming chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa,
bu oila bazis deyiladi.
Quyidagi muhim faktlar o‘rinlidir:
1-xossa. Bir tekislikda yotuvchi vectorlar uchun har qanday ikkita
nokollinear vektorlar bazisni tashkil qiladi.
2-xossa . Fazoda yotuvchi vectorlar uchun har qanday uchta nokomplnar
vektorlar bazisni tashkil qiladi.
Bu xossalarning birinchisi 1- teoremaning bevosita natijasidir.
Ikkinchi xossani isbotlaymiz:

3.1.1-chizma
Bizga uchta nokomplanar a , b , c
vektorlar berilgan bo‘lsin. Ikkinchi punktda
isbotlagan teoremaga ko‘ra ular chiziqli erkli oilani tashkil qiladi. Endi
ixtiyoriy
d vektorni olib, uni a , b , c
vektorlar orqali chiziqli ifodalash
mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
a,b,c vektorlarning boshlarini О
nuqtaga joylashtiramiz va d
vektorning oxiridan a , b ,
vektorlar tekisligiga, a , c
vektorlar tekisligiga va
b,c vektorlar tekisligiga parallel tekisliklar o‘tkazamiz.
O‘tkazilgan tekisliklarning a , b , c
vektorlar yotgan to‘g‘ri chiziqlar bilan
26

kesishish nuqtalarini mos ravishda A,B,C harflar bilan belgilaymiz.Vektorlarni
qo‘shish qoidasiga ko‘ra
d=OA +OB +OC (3.1.1)
tenglikni olamiz. Bu yerda
OA ,OB ,OC vektorlar mos ravishda a , b , c
vektorlarga kollinear bo‘lganligi uchun shunday λ, μ, sonlar mavjudki
ʋ
OA = λ a
, OB = μ b
, OC = ʋ c
( 3.1.2)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklami hisobga olib
d = λ a
+
μb + ʋ c
( 3.1.3)
tenglikni olamiz.
Ta’rif. Bizga
{ e
1 , e
2 , … , e
n } bazis berilib, a vektor uchun

a= a1e1+a2e2+… +anen ( 3.1.4)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, {
a1,a2,… ,an } sonlar a vektorning koordinatalari deyiladi.
3-xossa. Har bir vektor berilgan bazisda o‘zining koordinatalari bilan yagona
ravishda aniqlanadi.
Berilgan
a vektor uchun ikkita
a = a
1 e
1 + a
2 e
2 + … + a
n e
n ( 3.1.5)
a = b
1 e
1 + b
2 e
2 + … + b
n e
n
tengliklar o‘rinli bo‘lsa ulaming birini ikkinchisidan hadma-had ayirib
(
a
1 − b
1 ) e
1 + ( a
2 − b
2 ) e
2 + … + ( a
n − b
n ) e
n = 0
tenglikni hosil qilamiz.
3 .2-§. Vektorlarning o‘qqa proyeksiyasi
27

Vektorning o‘qqa proeksiyasi vektorning yo‘nalishiga qarab musbat, manfiy
yoki nolga teng bo‘lgan son bo‘lib, a
vektorning l o‘qqa proyeksiya
quyidagicha aniqlanadi:

3.2.1-chizma
Agar a= AB bo‘lsa, A va В nuqtalarning l o‘qdagi ortogonal
proeksiyalarini mos ravishda A’, В ‘bilan belgilaymiz. A ‘B ‘ kesmaning l
o‘qdagi kattaligi
a vektorning l o‘qdagi proeksiyasi deb ataladi. Proeksiya
uchun
p r
l a = │ a │ cos φ
tenglik o‘rinli bo‘lib, bu yerda (p -berilgan a vektor vag o‘q orasidagi
burchakdir.
Proeksiyaning xossalari:
1.
prlλa= λp rla λ ∈ R
2.
prl(a+b)= prla+prlb
Isbot. 1. Birinchi
prlλa= λp rla tenglikni isbotlash uchun quyidagi hollarni
qaraymiz:
a) λ = 0 bo‘lsa λ
a = 0 tenglik o‘rinli bo‘ladi va natijada А ’ = В ‘ munosabatdan
28

A1
AA2O y
x
3.2. 2-chizma prlλa=0 va prlλa= λp rla = 0 (3.2.6)
tengliklar kelib chiqadi.
b ) λ > 0 bo‘lsa,
a↑↑b munosabatdan φ= x tenglik kelib chiqadi;
bu φ
yerda va Ψ
mos ravishda a
va b
vektorlarning l o‘q bilan hosil
qilgan burchaklaridir. Bu holda │λ
a │ = λ│ a │ va demak

prl(λa)=│λa│cos Ψ ( 3.2.7)
c) λ <0 bo‘lsa,
λa va a vektorlar uchun a↑↓b munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Shuning uchun
Ψ =φ+π tenglikdan quyidagi munosabat kelib chiqadi:
p r
l
( λ a ) = │ λ a │ co s ( φ + π ) = − λ │ a │ cos ( φ + π ) = λp r
l a
(3.2.8)
2. .
prl(a+b)= prla+prlb tenglikni isbotlashni keyinroqqa qoldirib, skalyar
ko‘paytmani o‘rganishga o‘tamiz.
Misol. Affin koordinatalar sistemasi berilgan
nuqtalarni yasang.
Yechish. A nuqtani yasash uchun
2 1 3 3 e e ОА ⃗ ⃗   vektorni yasaymiz.
Buning uchun O nuqtadan boshlab
1e⃗ vektorga kollinear
1 1 3e ОА ⃗  vektorni, 2e⃗
kollinear
2 2 3e ОА ⃗  vektorlarni yasaymiz.
Bu vektorlarning yig‘indisini yasasak OA vektoriga ega bo‘lamiz va A nuqtani
topamiz.
29

Masala. AB vektorlarining boshi va oxiri koordinatalari
bilan berilgan bo‘lsa, AB vektor koordinatasini toping.
Yechish:
2121122212 2111
) ( ) ( e y y e x x OA OB AB ey ex OB
ey ex OA
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗
       
 
bundan
) ; ( 1 2 1 2 y y x x AB  
3.2.3-chizma

XULOSA
Vektorlar va ular ustida amallar va matematik statistika masalalarini yechishda
muhim ahamiyatga ega. Kurs ishining 3 bobi asosiy qism bo‘lib, unda geometriya
fanida vektorlar mavzusini o‘qitish tushuntirilib beriladi. Mazkur kurs ishida quyidagi
vazifalar amalga oshirilgan:
Mavzusini yorituvchi manba topish, rejani shakllantirish;
Davlat ta’lim standarti va o‘quv dasturlarida «Vektorlar» mavzulari o‘qitilishi.
30

Vektor tushunchasini berishdagi turli xil yondoshuvlar.
Vektor tushunchasini kiritish.
Vektorlar ustida amallar bajarishni o‘rgatish;
O‘ r ganilgan mavzu bo‘yicha xulosalar chiqarish;
Men “Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari” mavzusidagi
kurs ishimda dars jarayonida tushuntirilayotgan yangi mavzu materialining
o‘quvchilar tomonidan o‘zlashtirish darjasi o‘qtuvchining pedagogik mahoratiga
bog‘liq ekanini tushundim. Pedagog o‘z fanini ilmiy asosda keng va chuqur bilishi,
o‘qitish uslubi, ko‘rgazmali quroli, texnik vositalardan unumli foydalanishga alohida
e’tibor qaratishi lozim ekan. O‘rta maxsus va kasb-hunar ta’limi tizimida
o‘qitiladigan matematika fanining ayrim mavzularini talabalar maktabdagi
matematika darslarida o‘rganib kelishadi, bu mavzularni takror o‘tish esa talabalarni
zeriktirishi mumkin. Buning uchun o‘qitish usullarini o‘qituvchilar to‘g‘ri tanlashlari
zarur ekan. Ayniqsa maktab o‘quvchilarning yuqori qismidagi o‘quvchilar
matematika fanini judayam qiyin fanlar sirasiga kiritishadi. Shuning uchun
matematika fanini o‘qitishda ko‘plab qiziqarli o‘yinlar bilan o‘tkazish ancha samarali
hisoblanar ekan. Matematika o‘qituvchilari o‘quvchilarning aqliy fikrlashlariga qarab
turli o‘yinlardan darslarda foydalanish darsning unumdorligini oshirar ekan.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent. "O'zbekiston faylasuflari milliy
jamiyati", 2020 yil, 176 bet.
2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent.
"Innovatsiya-Ziyo", 2020 yil, 184 bet.
3. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan
masalalar to'plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet.
4. X Latipov, Sh. Tojiyev “Analitik geometriya va chiziqli algebra”, T. 1995.
31

5. Dadajonov N.D., Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent: 1995.
6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra.
Toshkent. "O'qituvchi" 1993 y.
7. Kletenik D.V., Sbornik zach po analitik geometriya. M. «Fizmatlit», 2016 yil.
241 str.
8. Boxonov Z.S. Analitik geometriyadan misol va masalalar to'plami. Uslubiy
qo'llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet.
9. Izu Vaysman. Analitik geometriya. World Scientific, AQSH, 2007 yil, 297 p.
13. http://www.arki.ru/magaz
14. http://www.lib.ru
15. htt://www.bilimdon.uz
16. htt://www.istedod uz
32

Bazis. Vektorning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari kurs ishi

Sotib olish