Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 748.4KB
Покупки 0
Дата загрузки 06 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Bir o‘lchamli panjaradagi ikki parameterga bog‘liq diskret schrödinger operatorining xos qiymati mavjudligi

Купить
Sunnatullayev Komil Sunnatullo o‘g‘li BIR O LCHAMLI PANJARADAGI IKKI PARAMETERGA BOG LIQʻ ʻ DISKRET SCHRÖDINGER OPERATORINING XOS QIYMATI MAVJUDLIGI M U N D A R I J A KIRISH ........................................................................................................................... 3 I BOB. HILBERT FAZOLARIDA ANIQLANGAN OPERATORLARNING BAZI BIR XOSSALARI .......................................................................................................... 5 1.1-§. Ichki ko paytmali fazolar ʻ ................................................................................. 5 Qo‘shish va ko‘paytirish odatdagiday: ........................................................................... 6 Yopiq bo‘lishi Minkovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. .............................................. 6 Norma ............................................................................................................................. 6 1.2-§. Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar ...................................... 8 Boshqacha aytganda: .................................................................................................... 10 Bunday holda operator normasi deb olinadi. .............................................................. 10 1.9-misol. Quyidagi operatorni chegaralanganini qaraylik: ...................................... 12 ...................................................................................................................................... 13 Ko‘rinib turibdiki C=const sifatida belgilab olsak, qarayotgan operatorimizning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. ......................................................................... 13 1.3-§. Hilbert fazolarida teskari va qo shma operatorlar ʻ .......................................... 17 1.4-§. Hilbert fazosida aniqlangan operatorlarning spektri va rezolventasi ............. 23 II BOB. BIR O LCHAMLI PANJARADA IKKI PARAMETRGA BOG LIQ ʻ ʻ DISKRET SCHRÖDINGER OPERATORINING XOS QIYMATLAR SONI .......... 27 2.1-§. Potensial panjarada ikki parametrga bog liq diskret Schrödinger ʻ operatorining koordinat va impuls tasvirlari ............................................................ 27 2.2-§. Bir o lchamli panjarada ikki parametrga bog liq diskret Schrödinger ʻ ʻ operatorining spektri haqida ..................................................................................... 31 2 KIRISH Masalaning qo yilishi.ʻ Bir o lchamli panjara ʻ Z da ikkita potensial parametrga bog liq bir zarrachali Schrödinger operatorini spektral xossalarini tahlil qilish. ʻ ^hλμ operatorning muhim spektrdan chapda yotuvchi xos qiymatlarining sonini λ,μ<0 parametrlarga bog liq holda tadqiq qilish. ʻ Mavzuning dolzarbligi. Chekli sondagi zarrachali diskret Schrödinger operatorlarining spektral xossalari keyingi yillarda faol o rganilmoqda (masalan [1], ʻ [2], [3], [4] larni qarang). Bir o lchamli panjaradagi Schrödinger operatori uchun xos qiymatlarning ʻ mavjudligi va xos qiymatlar o rnining bir nuqtada va qo shni tugunlarda juft-jufti ʻ ʻ bilan o zaro ta’sirlashuvchi potentsialga bog liqligi [4] da keltirilgan. ʻ ʻ Bir zarrachali sistemaga mos Schrödinger operatori ^hλμ ning xos qiymatlari soni uchun baholar [1] va [3] maqolalarda keltirilgan. Xususan, ^hλμ operatorning muhim spektridan chapda xos qiymatlarning mavjudligi ko rsatilgan. ʻ Bitiruv malakaviy ishining maqsadi va vazifalari. Bir o lchamli panjara ʻ Z❑ da bir kvant zarrachali λ,μ<0 potensial orqali o zaro ta’sirini ifodalovchi ʻ ^hλμ:= ^H 0+^Vλμ bir zarrachali Schrödinger operatori tadqiq qilish. ^hλμ opratorning σ ess ( ^ h λμ ( 0 ) ) muhim spektrdan quyida xos qiymatining soni haqida teorema λ , μ < 0 ta’sir parametrlariga bog liq ravishda isbotlash. ʻ Ilmiy yangiligi. Bir o lchamli ʻ Z ❑ panjarada bir kvant zarrachaning λ , μ < 0 potensiallar parametrlar orqali ifodalanuvchi ^hλμ= ^h0+^Vλμ Schrödinger operatori tadqiq qilingan. ^ h λμ operatorning σ ess ( ^ h λμ ) muhim spektrdan quyida xos qiymatining soni haqida teorema λ,μ<0 ta’sir parametriga bog liq ravishda isbotlangan. ʻ Tadqiqot usullari. Matematik fizika va funksional analiz usullaridan foydalanildi. 3 Dissertatsiyaning tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, ikkita bob, xulosa va adabiyotlar ro yxatidan tashkil topgan.ʻ Kirish qismida masalaning qo yilishi, qo yilgan masalaning dolzarbligi va ʻ ʻ olingan natijalarning ilmiy yangiligi asoslangan. Birinchi bobda asosiy natijalarni olishda zarur bo lgan tushuncha, ta’rif va ʻ teoremalar, jumladan chiziqli fazo, ichki ko paytmali fazo, Hilbert fazolari, hamda, ʻ Hilbert fazolarida aniqlangan chiziqli chegaralangan, o z-o ziga qo shma ʻ ʻ ʻ operatorlarning ba’zi xossalari keltirilgan. Ikkinchi bobda bir o lchamli ʻ Z❑ panjarada λ,μ<0 potensial parametrga bog liq ʻ ^ h λμ = ^ h 0 + ^ V λ μ bir zarrachali Schrödinger operatorining koordinata va impuls ko rinishlari ʻ keltirilgan hamda asosiy natijalar bayoni keltirilgan va isbotlangan. 4 I BOB. HILBERT FAZOLARIDA ANIQLANGAN OPERATORLARNING BAZI BIR XOSSALARI 1.1-§. Ichki ko paytmali fazolarʻ Tasavvur qilaylik, L to plamda elementlarni qo shish va ularni kompleks yoki ʻ ʻ haqiqiy songa ko paytirish amallari berilgan. Agar bu amallar quyidagi xossalarga ega ʻ bo‘lsa, L vektor fazo (yoki chiziqli fazo ) deb ataladi: 1. qo shish amaliga nisbatan; ʻ a) yopiqlik: ∀ x,y∈X uchun x + y ∈ X , b) kommutativlik: ∀ x,y∈X uchun x+y= y+x, c) assotsiativlik: ∀ x , y , z ∈ X uchun (x+y)+z= x+(y+z), d) Nol element mavjudligi: Shunday Θ ∈X topiladiki, ∀ x∈V , x+Θ=Θ+x= x, e) qarama-qarshi element mavjudligi: ∀ x ∈ X uchun ∃ − x ∈ X : x + ( − x ) = ( − x ) + x = Θ , 2. songa ko paytirish amali nisbatan; ʻ f) yopiqlik: ∀ α ∈ C ( R ) va ∀ x ∈ X uchun α x ∈ X , g) assotsiativlik: ∀ α , β ∈ C ( R ) va ∀ x∈X uchun α ( β x ) = ( αβ ) x , h) Birlik element: 1 ⋅ x = x ixtiyoriy x∈X , i) Distrubutivlik : ( α + β ) x = α x + β x ∀ α,β∈C (R) va ∀ x∈L, j) α ( x + y ) = α x + α y ∀ α ∈ C ( R ) va ∀ x , y ∈ L . 1.1-misol. [a,b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi C [ a , b ] :  . ixtiyoriy f,g∈C [a,b] uchun ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ;  ixtiyoriy λ∈C va f∈C[a,b] uchun ( λ f ) ( x ) = λ f ( x ) . Nol element Θ ( x ) ≡ 0 f(⋅) elementga qarama-qarshi element sifatida − f ( ⋅ ) funksiyani aniqlaymiz. C[a,b] - chiziqli fazo. 1.2-misol. – Butun sonlat to‘plami Z ustida quyidagi shartni qanoatlantiruvchi 5 funksiyalar fazosini: ∑s∈Z ∨ f(s)¿p<∞ , bunda p >0. • ∀ f,g uchun Bu fazo l p ( Z ) deb belgilanadi. Qo‘shish va ko‘paytirish odatdagiday: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ; ∀ λ∈C va f uchun ( λ f ) ( x ) = λ f ( x ) . Yopiq bo‘lishi Minkovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. 1.3-misol. T=¿ oraliqda aniqlangan va 2π modul bo yicha qo shish va ʻ ʻ ko paytirish amallari kiritilgan to‘plam ʻ bir o‘lchamli tor deb ataladi. U yerda quyidagilarni qanoatlantiruvchi funksiyalar fazosi olinadi: ∫T ∨ f(q)¿pdq <∞ Bu fazo L p ( T ) bilan belgilanadi. Nol element Θ ( x ) ≡ 0 , f(⋅) ga qarama-qarshi element − f ( ⋅ ) bilan belgilanadi. Yopiq bo‘lishi integral tengsizliklardan kelib chiqadi. Norma Agar p:L→ R funksional quyidagilarni qanoatlantirsa unga norma deyiladi: • p ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ X va p ( x ) = 0 ⟺ x=θ, • p(αx)=¿α∨ p(x), ∀ x∈X va ∀ α∈C , • p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) , ∀ x,y∈X . Normali fazo - normalangan fazolar deyiladi. Odatda norma ∥⋅∥ ko‘rinishda yoziladi. 1.4-misol. l p ( Z ) fazoda: ∥ f∥p= p √∑x∈Zd ∨ f(x)¿p 1.5-misol. L p ( T ) , p > 0 fazoda 6 ∥ f ∥ p = p√ ∫ T ∨ f ( q ) ¿ p dq . 1.1-ta’rif. (ichki ko‘paytma) Agar ( ⋅ , ⋅ ) : X × X → C akslantirish ∀ x , y , z ∈ X va ∀ α∈C quyidagi munosabatlarni qanoatlantirsa : 1. ( x , x ) ≥ 0 , ( x , x ) = 0 ⇔ x = 0 ; 2. ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) ; ∀ x , y , z ∈ X 3. ( α x , y ) = α ( x , y ) ; ∀ α ∈ C , ∀ x , y ∈ C 4. (x,y)=(y,x),∀ x,y∈X u holda L - ichki (skalyar) ko paytmali fazo ʻ deyiladi va (⋅,⋅) kabi ichki ko‘paytma yoki skalyar ko‘paytma belgilanadi. 1.6-misol. R n da ( x , y ) = ∑ k = 1n x k y k 1.7-misol. l 2 ( Z ) fazoda ( f , g ) = ∑ s ∈ Z d f ( s ) g ( s ) . 1.8-misol. L 2 ( T ) fazoda ( f , g ) = ∫ T f ( p ) g ( p ) dp . 1.1-izoh. Agar Haar o lchovi o‘rniga boshqa o‘lchov bo‘lsa, fazo ʻ L2(T ,dμ) deb belgilanadi. Skalyar ko paytma aniqlanuvchi fazolarda ʻ ( x , y ) = 0 bo‘lsa, x va y ortogonal elementlar deyiladi. Agar { y n } ⊂ X uchun ( y n , y n ) = 1 va ( y n , y m ) = 0 , n ≠ m shartlarni qanoatlantiradigan bo‘lsa, sistema ortonormal sistema ( ONS) deb ataladi. Norma va Skalyar ko‘paytma orasidagi bog‘liqlik: ∥ x ∥ = √ ( x , x ) . 1.1-teorema.(Parselval tengligi) Agar {xn}n=1N ⊂ L skalyar ko paytmali ONS ʻ bo lsa, u holda har qanday ʻ x∈L uchun quyidagi tenglik o‘rinli: ∥ x ∥ 2 = ∑ n = 1N ∨ ( x , x n ) ¿ 2 + ∥ x − ∑ n = 1N ( x , x n ) x n ∥ 2 1.2-teorema. Har qanday skalyar ko paytmali ʻ L - fazoda ∥ x ∥ = √ ( x , x ) norma 7 yordamida chiziqli normalangan fazo deyiladi. Berilgan teoremada skalyar ko paytmali fazoda berilgan skalyar ko paytmaniʻ ʻ ishlatgan holda, normani aniqlash imkonli ekanligini bilib olamiz. Normalangan fazolarda esa berilgan normani ishlatib, skalyar ko paytmani topish masalasi esa ʻ ushbu ayniyatga asoslanadi: ∥x+y∥2+∥x− y∥2=2∥x∥2+2∥ y∥2. Bu tenglikga esa parallelogramm ayniyati deyiladi. 1.3-teorema Norma aniqlangan fazoda skalyar ko paytmani aniqlangan norma ʻ yordamida aniqlash uchun parallelogram ayniyatining bajarilishi zarur va yetarli; bu holda skalyar ko paytma norma yordamida quyidagicha ifodalanadi: ʻ kompleks normalangan fazolar uchun ( x , y ) = 1 4 { ( ∥ x + y ∥ 2 − ∥ x − y ∥ 2 ) − i ( ∥ x + iy ∥ 2 − ∥ x − iy ∥ 2 ) } haqiqiy normalangan fazolar uchun ( x , y ) = 1 4 ( ∥ x + y ∥ 2 − ∥ x − y ∥ 2 ) 1.2-§. Hilbert fazolarida chiziqli chegaralangan operatorlar Agar har bir H 1 fazosidagi elementga H 2 fazosidan yagona elementini mos qo yuvchi akslantirish mavjud bo‘lsa, u holda bu akslantirishga ʻ operator deyiladi va odatda A : H 1 → H 2 yoki y = Ax tarzida belgilanadi. Agar istalgan x ∈ H 1 va λ ∈ C uchun A ( λ x ) = λ Ax tenglik bajarilsa, bu operator bir jinsli deyiladi va agar istalgan x,y∈H 1 uchun A ( x + y ) = Ax + Ay tenglik bajarilsa, operator additiv deyiladi. 1.2-ta’rif. Bir jinsli va additiv operator chiziqli operator deyiladi. Demak biror operator chiziqlimi- yo‘qligini aniqlash uchun, u additivligi va bir jinsliligi tekshiriladi. Quyidagi ta’rif ham chiziqlilik uchun ekvivalentdir: 1.3-ta’rif. Agar istalgan x,y∈H 1 va α,β∈C uchun quyidagilar bajarilsa: 8 A ( α x + β y ) = α Ax + β Ay U holda A chiziqli operator deyiladi. Chiziqli operator butun fazoda aniqlangan bo‘lishi shart emas. U faqat fazoning biror qismida aniqlangan bo‘lishi mumkin. Masalan:A:l2→ l2,Ax =(x1,2x2,… ,nxn,… ) Operator x 0 = ( 1 , 1 2 , 1 3 , … , 1 n , … ) ∈ l 2 vektorni Ax0=(1,1,1 ,… ,1,… ) vektorga o tkazadi. Biroq bu vektor ʻ l 2 ga tegishli emas, shuning uchun x 0 ∈ D ( A ) emas. Operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko‘pxillik bo‘lishi kerak.U D(A) bilan belgilanadi. Qiymatlar to‘plami esa: R(A)={y∈H 2:∃x∈D (A),Ax = y}. bilan belgilanadi. Osongina ko rsatish mumkinki, ʻ R ( A ) ham chiziqli ko pxillikdir. ʻ Chiziqli operatorlar uchun asosiy xossa – ular nol elementni nol elementga o‘tkazadi: A ( 0 ) = A ( 0 + 0 ) = A ( 0 ) + A ( 0 ) = 2 A ( 0 ) . Bundan A ( 0 ) = 0. Endi chegaralanganlik tushunchasiga o‘tamiz. Bu tushuncha oddiy funksiyalar uchun mavjud bo‘lgan chegaralanganlikdan farq qiladi. Aytaylik, X , Y - Hilbert fazolari bo lsin. ʻ 9 1.4-ta’rif. Agar A:X → Y operator X dagi har qanday chegaralangan to plamni ʻ Y dagi chegaralangan to plamga o tkazsa, u chegaralangan operator ʻ ʻ deyiladi. Boshqacha aytganda: 1.5-ta’rif. Agar, istalgan x∈X uchun ∥ Ax ∥ Y ≤ M ∥ x ∥ X tengsizlik bajarilsa ( M >0 ), u holda A operator chegaralangan deyiladi. Aksincha, agar har qanday M soni uchun shunday xM∈X mavjud bo lib, ʻ ∥ A x M ∥ Y > M ∥ x M ∥ X bo lsa, u ʻ chegaralanmagan operator bo‘ladi. Bunday holda operator normasi ∥ A∥=∞ deb olinadi. 1.6-ta’rif. Chegaralangan chiziqli operator A:X → Y uchun barcha x∈X larda ∥ Ax ∥Y≤M ∥x∥X bo‘ladigan eng kichik M > 0 qiymatiga operatorning normasi deyiladi: ∥ A ∥ = inf { M > 0 : ∥ Ax ∥ y ≤ M ∥ x ∥ x } Amaliyotda quyidagi normaning ekvivalent ifodalaridan foydalanish qulay: 1.4-teorema. Chiziqli operator A:X → Y uchun quyidagi tengliklar o rinli: ʻ 1. ∥ A∥=¿x≠0∥ Ax ∥Y ∥ x∥X 2. ∥ A∥=¿∥ x∥X≤1∥ Ax ∥Y 3. ∥ A∥=¿∥ x∥X=1∥ Ax ∥Y Chiziqli operatorlar uchun uzliksizlik tushunchasi funksiyalarnikiga o‘xshash tarzda aniqlanadi.. 1.7-ta’rif. (Geyne) Agar har qanday x n → x 0 ketma-ketlik uchun Ax n → Ax 0 bo‘lsa, A operator x0 da uzluksiz deyiladi. Agar bu barcha x0∈X uchun bajarilsa, operator butun fazoda uzluksiz deyiladi. 10 1.8-ta’rif.(Koshi) Agarda xn→ x0 bo‘lgandagi barcha x0∈X lardagi hol uchun ∥ Ax − A x 0 ∥ → 0 bo‘lsa, A operator x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Bu ikki ta’rif ekvivalent bo‘lib, chiziqli operatorlar uchun yana bir muhim natija mavjud: 1.5-teorema. Quyidagi uchta holat teng kuchli 1. A operator 0 nuqtada uzluksiz. 2. A operator butun fazoda uzluksiz. 3. A operator chegaralangan. Isbot (1) → (2) → (3) → (1) ekanligini qarab chiqamiz. Aytaylik, (1) munosabat ishlaydi. Demak xohlagan yn→ 0 ketma-ketligimizda Ayn→ A(0)= 0. Har qanday x∈X ni qarab ko‘ramiz. x elementga intiladigan barcha xn ketma-ketlikni olsak y n = x n − x ketma-ketlik ham 0 intiladigan ketma-ketlik ekanligi ma’lum bo‘ladi. A operator chiziqliligidan: ∥ A x n − Ax ∥ = ∥ A ( x n − x ) ∥ = ∥ A y n ∥ → A ( 0 ) = 0 , n → ∞ . Kelib chiqadiki A operator to‘la fazoda uzulishsiz. Demak (1) → (2). Yuqoridagilarga tayangan holatda, tasavvur qilaylik, (2) amalda bo‘lsin. Biroq A chegaralanmagan. Unda har qanaqa n∈N larda shunday xn∈X topiladiki, ∥ Axn∥≥n∥xn∥. Bu yn= xn n∥ xn∥ ketma-ketlikni qurib olamiz. Aniqlanishiga ko ra ʻ yn→ 0. Shartga ko ra ʻ A operator 0 nuqtada uzluksiz va demak A y n → 0 bo lishi kerak. ʻ Biroq ∥ Ayn∥=‖A( x n∥x∥)‖= 1 n∥x∥ ∥Axn∥≥n∥ xn∥ 1 n∥ x∥=1. 11 Bu esa lim n → ∞ ∥ A y n ∥ = 0 emasligini bildiradi. Zidlik. Demak A chegaralangan, ya’ni (2) → (3). Faraz qilamiz, (3) o rinli. U holda ta’rifga asosan ʻ ∃ M >0 son mavjudki, barcha x∈X lar uchun ∥ Ax ∥ ≤ M ∥ x ∥ tengsizlik o rinli. Demak ʻ 0 ga intiluvchi ixtiyoriy x n ∈ X ketma-ketlik uchun ∥ Axn∥→ 0. Bu yerdan A operator 0 nuqtada uzluksiz, ya’ni (iii) → (i). Teorema isbotlandi. 1.6-teorema. (Banach-Steinhaus) Faraz qilamiz, F - X Hilbert fazosini Y Hilbert fazosiga akslantiruvchi chegaralangan chiziqli operatorlar oilasi bo lsin. ʻ Ayatylik, istalgan x∈X uchun {∥Tx ∥Y∨T∈F} to plam chegaralangan bo lsin. U ʻ ʻ holda {∥T∥∨T∈F } to plam chegaralangan. ʻ Ushbu teorema ba’zan tekis chegaralanganlik prinsipi ham deyliadi. 1.9-misol. Quyidagi operatorni chegaralanganini qaraylik: ^ h λμ = − ^ Δ + ^ V λμ , λ , μ < 0 bu yerda ^ Δ − ¿ Laplas operatori hisoblanib, har qanday ^ f ∈ l 2 ( Z ) uchun: (^Δ^f)(x)= 1 2 ∑ |s|=1,s∈Z (^f(x+s)− ^f(x)),^f∈l2(Z),x∈Z, potensial operator ^Vλμ esa (^V λμ^f)(x)= ^vλμ(x)^f(x), bu yerda ^ v λμ ( x ) = { λ , agar x = 0 , μ , agar | x| = 1 , 0 , agar | x| > 1. Chegaralanganlik shartiga ko‘ra: ‖^ h λμ ‖ ≤ C ∙ ‖^ f‖ bo‘lishi kerakligi ma’lum.: 12 (^hλμ^f)(x)= −1 2 ∑ |S|=1,S∈Z [(^f(x+s)− ^f(x))+^ϑλμ∙^f(x)] ‖^hλμ^f‖ 2= ∑x∈Z| −1 2 (^f(x+1)+^f(x−1)−2^f(x))+^ϑλμ∙^f(x)|≤2(∑x∈Z 4 2|f(x)|2+∑x∈Z|^ϑλμ∙^f(x)| 2 )≤2(2∑x∈Z |f(x)|2+(|λ|2+μ2)∙∑x∈Z |f(x)|2 )=2(2+|λ|2+μ2)∑x∈Z |f(x)|2Ko‘rinib turibdiki C=const sifatida C= 2(2+|λ|2+μ2) belgilab olsak, qarayotgan operatorimizning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. H 1 Hilbert fazosini H 2 Hilbert fazosiga akslantiradigan hamma chiziqli chegaralangan operatorlarning to plamini ʻ L(H 1,H 2) deya olamiz. Endigi holatda esa yakka tartibda berilmagan bo‘lsada, A operator H Hilbert fazosida berilgan deb olinganda operatorning berilgan aniqlanish to‘plami ham, qiymatlar sohasi ham H da berilganini, ya’ni A ∈ L ( H , H ) ni tushunamiz. 1.10-misol. l 2 ( Z d ) fazoda quyidagi operatorni aniqlaymiz: A : l 2 ( Z d ) → l 2 ( Z d ) , ( Af ) ( x ) = ^ ε ( x ) ^ f ( x ) , x ∈ Z d , ^ f ∈ l 2 ( Z d ) , Bu yerda ^ε(x) - Zd da berilgan birorta funksiya. Aytish mumkinki, A – chiziqli operator. Bu operatorning aniqlanish sohasi D ( A ) = { ^ f ∈ l 2 ( Z d ) : ∑ x ∈ Z d ∨ ^ ε ( x ) ^ f ( x ) ¿ 2 < ∞ } to plamdir. Quyidagi teorema o rinli. ʻ ʻ 1.7-teorema. Operator A ning aniqlanish sohasi to‘la l2(Zd) fazoga teng bo lishi uchun ʻ ¿ x ∈ Z d ∨ ^ ε ( x ) ∨ ¿ ∞ bo lishi zarur va yetarli. ʻ Isbot Zarurligi Agar D(A)=l2(Zd) bo lsa, ʻ ¿ x ∈ Z d ∨ ^ ε ( x ) ∨ ¿ ∞ bo la olmasligini ʻ ko rsatamiz. Isbotlash uchun teskarisini faraz qilamiz, ʻ ¿x∈Zd∨ ^ε(x)∨¿∞ bo lsin. ʻ B : l 2 ( Z d ) → l 2 ( Z d ) , ( Bf ) ( x ) = ^ ε ( x ) ^ f ( x ) , ^ f ∈ l 2 ( Z d ) operatorni kiritamiz. ¿ ^ ε ( x ) ^ f ( x ) ¿ 2 = ¿ ^ ε ( x ) ¿ 2 ∨ ^ f ( x ) ¿ 2 = ¿ ^ ε ( x ) ¿ 2 ∨ ^ f ( x ) ¿ 2 = ¿ ^ ε ( x ) ^ f ( x ) ¿ 2 13 munosabatga asosan D(B)= D(A)=l2(Zd). Shuningdek, barcha ^ f , ^ g ∈ l 2 ( Z d ) lar uchun (A^f,^g)=(^f,B^g) tenglik o‘rinli bo‘lardi. 1.8-teorema. A operator H Hilbert fazosida aniqlangan va D ( A ) = H bo lsin. ʻ Agar H da aniqlangan shunday B operator mavjud bo lib, ʻ D ( B ) = H va ∀ x,y∈H uchun (Ax ,y)=(x,By ) Tenglik o‘rinli bo‘ladi, A operator chegaralangan bo ladi. ʻ Bu teoremaga ko ra ʻ A operator chegaralangan. ^ε(x) chegaralanmagan funksiya ekanligidan ixtiyoriy n∈N uchun shunday xn∈Zd mavjudki, ¿ ^ ε ( x n ) ∨ ¿ n bo ladi. Ushbu ketma-ketlikni quramiz: ʻ ^fxn(n)={ 1,agar n= xn 0,agar n≠xn (1) Aniqlanishiga ko ra, ixtiyoriy ʻ n∈N uchun ∥ ^ f x n ∥ = 1 va ∥ A ^ f x n ∥ = ¿ ^ ε ( x n ) ∨ ¿ n . Demak, ta’rifga ko ra ʻ A chegaralanmagan operator. Bu ziddiyat ¿ x ∈ Z ❑ ∨ ^ ε ( x ) ∨ ¿ ∞ ekanini ko rsatadi. ʻ Yetarliligi Faraz qilamiz, ¿ x ∈ Z ❑ ∨ ^ ε ( x ) ∨ ¿ S < ∞ bo lsin. U holda istalgan ʻ ^ f ∈ l 2 ( Z ❑ ) uchun ∥ A ^ f ∥ 2 = ∑ x ∈ Z ❑ ∨ ^ ε ( x ) ^ f ( x ) ¿ 2 ≤ ∑ x ∈ Z ❑ S 2 ∨ ^ f ( x ) ¿ 2 = S 2 ∥ ^ f ∥ 2 (2) bajariladi, demak ta’rifga ko ra ʻ A chegaralangan operator va barcha ^ f ∈ l 2 ( Z ❑ ) funksiyalar uchun aniqlangan, ya’ni D(A)=l2(Z❑) . Teorema isbotlandi. 1.1-natija. 1.10 misolda aniqlangan A operator normasi uchun ∥ A∥=¿x∈Z❑ ¿ ^ ε ( x ) ∨ ¿ tenglik o rinli. ʻ 14 Isbot. ¿ x ∈ Z ❑ ∨^ ε ( x ) ∨ ¿ S bo lsin ( ʻ S chekli yoki cheksiz). Yuqoridagi teoremaga asosan agar S = ∞ bo lsa, ʻ A ham chegaralanmagan operator, ya’ni ∥ A∥=∞ . Endi S<∞ bo lsin. U holda (3) tengsizlika ko ra ʻ ʻ ∥ A∥≤S. Endi ixtiyoriy δ>0 uchun aniq yuqori chegaraning ta’rifiga asosan shunday xδ∈Z❑ mavjud bo ladiki, ʻ ¿ ^ ε ( x δ ) ∨ ¿ S − δ munosabat bajariladi. U holda (2) tenglik yordamida aniqlanadigan ^ f δ funksiya uchun ∥ A^fδ∥=¿^ε(xδ)∨¿S− δ va bu yerdan ∥ A∥≥∥A^fδ∥>S−δ munosabatlar o rinli. ʻ δ ning ixtiyoriyligidan ∥ A ∥ ≥ S ekanini hosil qilamiz. Demak, ∥ A∥= S. 1.11-misol. L 2 ( T ) fazoda aniqlangan ko paytirish operatorini qaraymiz: ʻ (Af )(x)=ε(x)f(x),f∈L2(T❑),x∈T❑, bunda ε(x) T❑ da aniqlangan biror o lchovli funksiya. Ko rinib turibdiki, ʻ ʻ A operator chiziqli. Uning aniqlanish sohasi D ( A ) = { f ∈ L 2 ( T ❑ ) : ∫ T ❑ ∨ ε ( x ) f ( x ) ¿ 2 dx < ∞ } . Quyidagi to plamni kiritamiz: ʻ Xn(f)={x∈T❑:∨ f(x)∨¿n},f∈L2(T❑),n∈N . 1.9-ta’rif. Agar biror n natural son uchun μ(Xn(f))= 0 bo lsa, ʻ f∈L2(T❑) funksiya muhim chegaralangan deyiladi, bu yerda μ ( M ) – M to plamning Lebeg ʻ o lchovi. ʻ Demak muhim chegaralanmagan f ∈ L 2 ( T ❑ ) funksiya uchun barcha natural n larda μ(Xn(f))>0 shart bajariladi. 15 1.9-teorema. A operatorning aniqlanish sohasi butun L2(T❑) fazoga teng bo lishi uchun ʻ ε(x) funksiyaning muhim chegaralangan bo lishi yetarli va zarur. ʻ Isbot. Yetarliligi. D(A)= L2(T❑) bo lsin. Biz ʻ ε ( x ) muhim chegaralangan funksiya ekanini ko rsatamiz. Teskaridan faraz qilamiz, ʻ ε ( x ) muhim chegaralanmagan, ya’ni ixtiyoriy n∈N uchun shunday Xn⊂T❑ mavjud bo lib, ʻ μ(Xn)>0 va barcha x ∈ X n lar uchun ¿ ε ( x ) ∨ ¿ n munosabatlar o rinli bo lsin. Quyidagi ʻ ʻ funksiyalar ketma-ketligini aniqlaymiz: f n ( x ) = { 1√ μ ( X n ) , agar x ∈ X n 0 , aks holda Aniqlanishiga ko ra ʻ fn∈L2(T❑) va ∥ fn∨¿=1. Shuningdek ∥ A f n ∥ 2 = ∫ T ❑ ∨ ε ( x ) f n ( x ) ¿ 2 dx = ∫ X n ∨ ε ( x ) f n ( x ) ¿ 2 dx > n 2 . Bu yerdan A operator chegaralanmagan degan xulosaga kelamiz. (A¿f)(x)= ε(x)f(x) operatorni qaraymiz. D(A)= L2(T❑) ekanligidan va D ( A ) ning aniqlanishidan D ( A ¿ ) = L 2 ( T ❑ ) ekanligi kelib chiqadi. Shunigdek barcha f , g ∈ L 2 ( T ❑ ) uchun ( Af , g ) = ( f , A ¿ g ) munosabat bajariladi. U holda Xellinger-Teplits teoremasiga asosan A – chegaralangan operator bo lishi kerak. Zidlik. Demak ʻ ε(x) funksiya muhim chegaralangan. Zarurligi. ε(x) muhim chegaralangan bo lsin. U holda shunday ʻ C > 0 son mavjudki, deyarli barcha x∈T❑ lar uchun ¿ ε ( x ) ∨ ¿ C tengsizlik o rinli. Demak, barcha ʻ f∈L2(T❑) lar uchun ∥ Af ∥ 2 = ∫ T ❑ ∨ ε ( x ) f ( x ) ¿ 2 dx ≤ C 2 ∫ T ❑ ∨ f ( x ) ¿ 2 dx = C 2 ∥ f ∥ 2 16 ekanidan A operatorning aniqlanish sohasi butun L2(T❑) ekanligini hosil qilamiz, chunki istalgan kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyaning operator ta’siridagi obrazi yana kvadrati bilan integrallanuvchi bo ladi. ʻ Teorema isbotlandi. 1.10-teorema. (Ochiq akslantirish haqidagi teorema) Tasavvur qilamiz, A - E1 Banax fazosini E2 Banax fazosiga akslantiradigan chiziqli chegaralangan operator bo lsin. Unda agar ʻ M ⊂ E1 ochiq to plam bo lsin, u holda ʻ ʻ A(M )⊂E2 ham ochiq to plam bo ladi (Odatda bunaqa operatorlarga ochiq akslantirish deb aytiladi). ʻ ʻ 1.3-§. Hilbert fazolarida teskari va qo shma operatorlar ʻ Teskari operatorlar Faraz qilaylik, H 1 va H 2 Hilbert fazolari bo lsin. Operator ʻ A fazo H 1 da aniqlangan va H 2 ga qiymatlar qabul qiladi, ya’ni A : H 1 → H 2 . 1.10-ta’rif. Agarda har qanday y ∈ R ( A ) (ya’ni, A ning qiymatlar sohasi)uchun Ax = y tenglama yagona x ∈ D ( A ) yechimga ega bo lsa, unda ʻ A operator teskarilanadigan deyiladi. Bunday holda, har bir y ∈ R ( A ) ga mos keluvchi yagona x ni topuvchi akslantirish A−1 bilan belgilanadi va bu operator A ning teskari operatori deyiladi. 1.11-teorema. Agar operator A teskarilanadigan bo lsa, uning teskari operator ʻ A − 1 ham chiziqlidir. Isbot Chiziqli operatorning qiymatlari sohasi chiziqli bo ladi. Faraz qilaylik, ʻ y1,y2∈R(A) . Unda mavjud bo‘lgan x1,x2∈D(A) uchun, Ax1= y1 , Ax2= y2 bo ladi. ʻ Teskari operator mavjud bo‘lganidan: A − 1 ( α 1 y 1 + α 2 y 2 ) = α 1 A − 1 y 1 + α 2 A − 1 y 2 Ekanini ko‘rsatish oson. Bu tenglik A ning chiziqliligidan kelib chiqadi. 1.12-teorema. Operator A teskarilanadigan bo lishi uchun ʻ Ax = 0 tenglamaning yagona yechimi x=0 bo lishi zarur va yetarli. ʻ 17 Isbot. Zarurligi. Aytaylik, A teskarilanadigan operator. Demak, Ax = 0 tenglamaning yechimi yagona x = 0 bo‘lishi ravshan. Yetarligi. Aksini faraz qilib, Ax = 0 tenglama x=0 dan boshqa yechimga ega deyilsa, bu A ning teskarilanmasligiga olib keladi, bu esa ziddiyatga olib keladi. Demak A teskarilanadigan bo‘ladi. 1.13-teorema. (Teskari operatorlar haqida Banach teoremasi) Agar A:H 1→ H 2 chiziqli chegaralangan operator bo ls,. unda u teskarilanadi va ʻ A−1 ham chegaralangan bo‘lado. Bu shartlar juda muhim: masalan, quyidagi operatorni ko‘raylik: A:l2→ l2,Ax =(x1,x2 2 ,… ,xn n ,… ) Bu operator chiziqli, chegaralangan va teskarilanadi, lekin teskarisi: A−1x=(x1,2x2,… ,nxn,… ) chegaralanmagan. Chunki A ning obrazi butun l 2 fazoni to‘ldirmaydi, ya’ni R(A)≠l2. 1.11-ta’rif. Agar A:X → Y teskarilanuvchan operator, R ( A ) = Y va A−1 chegaralangan bo lsa, unda ʻ A uzluksiz teskarilanadigan operator deb ataladi. 1.14-teorema. Operator A:H 1→ H 2 teskarilanadigan bo‘lishi uchun zaur va yetarli shartlar: R(A)= H 2 Shunday m>0 soni mavjudki, barcha x ∈ H 1 uchun ∥ Ax ∥ H 2 ≥ m ∥ x ∥ H 1 bo‘lishi kerak.. Isbot. Yetarliligi. Aytaylik, R ( A ) = H 2 va ∃ m > 0 soni mavjud bo‘lib, barcha x ∈ H 1 uchun ∥ Ax ∥ H 2 ≥ m ∥ x ∥ H 1 bo lsa, unda ʻ Ax = 0 tenglama yagona x=0 yechimga ega bo lishi kelib chiqadi. Demak ʻ A operatorning teskarisi mavjud. Biz A−1 chegaralangan bo lishini ko rsatamiz. Shartga asosan ʻ ʻ D(A)= H 2. U holda ixtiyoriy y ∈ H 2 uchun shunday x ∈ H 1 mavjudki, Ax = y , ya’ni x= A−1y bo ladi. ʻ ∥ Ax ∥ H 2 ≥ m ∥ x ∥ H 1 ekanligidan ∥ A − 1 y ∥ ≤ 1 m ∥ y ∥ 18 tengsizlikni hosil qilamiz. y ixtiyoriyligidan ta’rifga asosan A − 1 chegaralangan. Zarurligi. Faraz qilamiz A teskarilanuvchan. U holda A−1 mavjud va chegaralangan, shuningdek D ( A − 1 ) = H 2 . Faraz qilamiz, biror M >0 uchun barcha y∈H 2 larda ∥ A − 1 y ∥ ≤ M ∥ y ∥ munosabat bajarilsin. U holda ixtiyoriy x ∈ D ( A ) ni qarasak, shunday y ∈ H 2 mavjudki y = Ax bo ladi. Bu yerdan ʻ m = 1 M deb belgilash kiritsak, ∥ A − 1 y ∥ ≤ M ∥ y ∥ tengsizlikdan ∥ Ax ∥≤m∥ x∥ ekanini hosil qilamiz. Teorema isbotlandi. Qo shma operatorlar ʻ 1.12-ta’rif. Hilbert fazosida aniqlangan T operator uchun quyidagi: ( Tx , y ) = ( x , T ¿ y ) (3) shartni qanoatlantiruvchi T ¿ operator, T ning Hilbert qo shmasi ʻ deb ataladi. Boshqa hollarda “qo‘shma operator” deyilganda, aynan shu Hilbert qo‘shmasi tushuniladi. Qo shma operatorlar haqidagi teoremalar va tasdiqlarni keltirishdan oldin ʻ ushbu Lemmani isbotlaymiz. 1.1-lemma. Agar A,B:H → H , operatorlar uchun har qanday x , y ∈ H da ( Ax , y ) = ( Bx , y ) tenglik bajarilsa, unda A= B bo ladi. ʻ Isbot Agarda, barcha x ∈ H larda y= Ax − Bx deb olsak, unda 0 = ( Ax , y ) − ( Bx , y ) = ( Ax − Bx , y ) = ( Ax − Bx , Ax − Bx ) = ∥ Ax − Bx ∥ 2 tenglikdan Ax = Bx ekanligi ma’lum bo‘ladi. Demak A = B . 1.1-tasdiq. Har qanday operatorning qo‘shmasi ham chiziqlidir . Isbot Tasdiqni isbotlash uchun ∀ x , y , z ∈ H larda F(z,x,y)=(z,A¿(αx +βy ))−(z,αA¿x+βA¿y)≡0 ekanligini ko rsatish yetarli. Darhaqiqat qo shma operatorning ta’rifidan ʻ ʻ F ( z , x , y ) = ( Az , αx + βy ) − ( z , α A ¿ x ) − ( z , β A ¿ y ) = ¿ ¿α(Az ,x)+β(Az ,y)−α(z,A¿x)− β(z,A¿y)=¿ α(Az ,x)−α(Az ,x)+β(Az ,y)− β(Az ,y)=0. ¿ 1.15-teorema. Quyidagi xossalar bajariladi: 19 • Operator T:→ T¿ chiziqli fazoni (ya’ni L ( H ) ni) o‘ziga izometrik akslantiradi. • ¿ • ¿ . • Agar T−1 mavjud bo lsa, ʻ ¿ ham mavjud bo‘lib ¿ bo‘ladi. • ∥TT¿∥=∥T∥2 . Isbot ( a ) ϕ ( T ) = T ¿ akslantirish qo shma chiziqli va bir qiymatli ekanini ʻ ko rsatish kifoya. Qo shma operatorning aniqlanishidan, ichki ko paytmaning ʻ ʻ ʻ xossalaridan va 1.1 lemmaga asosan ¿ va ¿ munosabatlar kelib chiqadi. Bu yerdan ϕ qo shma chiziqli degan xulosaga kelamiz. Qo shma operatorning ta’rifiga asosan ʻ ʻ ( Tx , y ) = ( x , T ¿ y ) = ( T ¿ y , x ) = ¿ ¿ Bu yerdan Lemmaga asosan T=¿ munosabat kelib chiqadi. Bunga asosan ϕ ( T ¿ ) = ϕ ( ϕ ( T ) ) = ¿ ni hosil qilamiz. Demak ϕ−1=ϕ va akslantirish o zaro bir qiymatli. ʻ ( a ) va ( c ) bandlar isbotlandi. ( b ) ¿ tenglikka va 1.1 Lemmaga asosan ¿ ( d ) T − 1 mavjud bo lsin. ʻ ∀ x,y∈H uchun ( Ix , y ) = ( x , Iy ) munosabat bajariladi, bunda I – ayniy (birlik operator.) Shuning uchun I= I¿. Shuningdek, (c) bandga asosan, T¿¿ va ¿ munosabatlarning bajarilishidan T−1¿¿ operator T ¿ ning teskarisi degan xulosaga kelamiz. Demak ¿ ( e ) ( Tx , y ) = ( x , T ¿ y ) tenglikda y = Tx bo lsin. U holda Schwartz tengsizligiga ʻ asosan ∥ Tx ∥ 2 = ( x , T ¿ Tx ) = ( T T ¿ x , x ) ≤ ∥ T ¿ Tx ∥ ∥ x ∥ ≤ ∥ T ∥ ∥ T ¿ ∥ ∥ x ∥ 2 . Bu yerdan 20 ∥ T ∥ ≤√ ∥ T ∥ ∥ T ¿ ∥ , yoki ∥ T ∥ ≤ ∥ T ¿ ∥ . Xuddi shunday ( Tx , y ) = ( x , T ¿ y ) tenglikda x = T ¿ y olib, ∥T¿∥≤∥T∥ ni hosil qilamiz. Demak ∥T∥=∥T¿∥. Shuningdek, ∥TT¿x∥≤∥T∥∥T¿∥∥ x∥ munosabatdan ∥ T T ¿ ∥ ≤ ∥ T ∥ ∥ T ¿ ∥ = ∥ T ∥ 2 va ∥Tx ∥2=(x,T¿Tx )=(TT¿x,x)≤∥TT¿∥∥ x∥2 munosabatdan ∥T∥≤√∥TT¿∥ kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikdan ∥ T ∥ 2 ≤ ∥ T T ¿ ∥ ekanini hosil qilamiz. Bundan esa ∥T∥2=∥TT¿∥ . Teorema to liq isbot bo ldi. ʻ ʻ 1.16-teorema. T:H → H operatorning qo shmasi mavjud bo lishi uchun uning ʻ ʻ aniqlanish sohasi D ( T ) H da zich bo lishi zarur va yetarli. Agar bu shart bajarilsa, ʻ T ¿ operator quyidagicha aniqlanadi: y∈H element T¿ ning aniqlanish sohasiga tegishli bo lishi uchun shunday ʻ y¿∈H mavjud bo lib istalgan ʻ x ∈ D ( T ) uchun ( Tx , y ) = ( x , y ¿ ) tenglik bajarilishi yetarli va zarur. Bu holda T ¿ y = y ¿ . T¿ operator T ning qo shmasi deb atalishi uchun ularning aniqlanish sohalari ʻ ustma-ust tushushi lozim. Biroq umumiy holda masalan chegaralanmagan operatorlar uchun bunday bo lishi shart emas. ʻ 1.13-ta’rif. Agar D ( A ) = D ( A ¿ ) va A = A ¿ bo lsa, ya’ni ʻ ∀ x , y ∈ H uchun (Ax ,y)=(x,Ay ) tenglik bajarilsa, A o z-o ziga qo shma operator deyiladi. Agar ʻ ʻ ʻ D ( A ) ⊂ D ( A ¿ ) va barcha x ∈ D ( A ) lar uchun Ax = A¿x munosabat bajarilsa, A simmetrik operator deyiladi. Qo shma operatorning mavjudligi haqidagi teoremaga asosan ʻ D ( A ¿ ) ⊂ D ( A ) bo lishi mumkin emas. ʻ 1.14-ta’rif. Faraz qilamiz, T - X Hilbert fazosini Y Hilbert fazosiga akslantirsin. T akslantirishning grafigi deb Γ ( T ) = { < x , y > ¿ < x , y > ∈ X × Y , y = Tx } to plamga aytiladi. ʻ 1.17-teorema. (Yopiq grafik haqida) Faraz qilamiz, T - X Hilbert fazosini Y 21 Hilbert fazosiga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo lsin. U holdaʻ agar T chegaralangan bo lishi uchun ʻ Γ(T) to plamning yopiq bo lishi yetarli va ʻ ʻ zarur. Biz yuqorida va’da berganimizdek, operatorlarning chegaralanganligi haqidagi umumlashgan Hellinger - Teplitz teoremasini isbotlaymiz. Bu teorema aslida 1.17 teoremaning natijasidir. 1.18-teorema. (Hellinger-Teplitz) Operator A - H Hilbert fazosida aniqlangan chiziqli operator va D ( A ) = H bo lsin. Rostdan ham shunaqa ʻ B chiziqli operator topilib, D ( B ) = H , hamda ∀ x,y∈H uchun ( Ax , y ) = ( x , By ) munosabat o‘rinli bo‘lsa, unda A operator chegaralangan. Yuqoridagi ta’rifga ko ra ʻ B= A¿ . Bundan A va A¿ operatorlar to‘la fazoda aniqlanadigan bo lsa, ushbuda, ʻ A chegaralangan bo ladi. ʻ Isbot. Operator A grafigi Γ ( A ) yopiqligini ko rib chiqamiz. Deylik, ʻ ¿ x n , A x n > → < x , y > . ¿ x , y > ∈ Γ ( T ) , ya’ni y= Ax ni ko rib chiqsak, yetarlidir. Tushunarliki, barcha ʻ z∈H uchun ( z , y ) = lim n → ∞ ( z , A x n ) = lim n → ∞ ( Bz , x n ) = ( Bz , x ) = ( z , Ax ) . Demak, y = Ax . O z–o ziga qo shma operatorlarning xossalari ʻ ʻ ʻ H – Hilbert fazosi bo lsin. ʻ 1.19-teorema. A , B ∈ L ( H ) – o z-o ziga qo shma operatorlar, ʻ ʻ ʻ α,β – haqiqiy sonlar bo lsin. U holda ʻ αA + βB ham H dagi o z-o ziga qo shma operator bo ladi. ʻ ʻ ʻ ʻ 1.20-teorema. Aytaylik A= A¿ bo lsin, u holda barcha ʻ x∈H lar uchun (Ax ,x) haqiqiy qiymatlarni qabul qiladi. Rostdan ham, skalyar ko paytma xossalaridan, ʻ (Ax ,x)=(x,A¿x)=(x,Ax )=(Ax ,x) va demak, ( Ax , x ) ∈ R . 22 1.12-misol. L 2( T ) − ¿ Hilbert fazosida ta’sir etuvchi hλμ operator o z-o ziga ʻ ʻ qo shma operatordir, bunda ʻ ( h λμ f )( p ) = ( 1 − cos p ) f ( p ) − λ 2 π ∫ T❑ f ( q ) dq − μ π ∫ T❑ cos ( p − q ) f ( q ) dq , f ∈ L 2 ( T ) . Yechish : L 2 ( T ) Hilbert fazosi bo lganligi uchun qo’shma operatorni aniqlashni skalyar ʻ ko’paytma orqali aniqlaymiz. Haqiqatdan ham: (hλμ f,g)=∫T ❑ ((1− co sp)f(p)− λ 2π∫T f(q)dq − μ π∫T co s(p− q)f(q)dq )g(p)dp =¿ ¿ ∫ T❑ f ( p )( 1 − co s p ) g ( p ) dp − λ 2 π ∫ T❑ f ( p ) dp ∫ T g ( q ) dq − μ π ∫ T❑ f ( p ) ∫ T❑ co s ( q − p ) g ( q ) dq = ¿ ¿ ∫ T❑ f ( p )(( 1 − cos p ) g ( p ) − λ 2 π ∫ T❑ g ( q ) dq − μ π ∫ T❑ cos ( p − q ) g ( q ) dq ) = ( f , h λμ¿ g ) Bundan hλμ=hλμ¿ tenglik o rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa ʻ hλμ operatorning o z- ʻ o ziga qo shma ekanligi kelib chiqadi. ʻ ʻ 1.4-§. Hilbert fazosida aniqlangan operatorlarning spektri va rezolventasi Faraz qilaylik, H - Hilbert fazosi va A:H → H chiziqli chegaralangan operator bo lsin. ʻ 1.15-ta’rif. Agar kompleks son z uchun Ax = zx tenglama noldan farqli x∈H yechimga ega bo lsa, unda ʻ z soni A operatorning xos qiymati, mos x vektor esa xos vektor deyiladi. 1.16-ta’rif. Agar z ∈ C son uchun A− zI ga teskarilangan operator topilib, H ning barcha joyida aniqlangan bo lsa, unda ʻ z soniga A operator uchun regulyar nuqta deyiladi, R z ( A ) = ¿ ko‘rinishdagi operatorga esa A operator uchun z nuqtada rezolventa deb ataladi. To‘liq regulyar nuqtalar to plami esa ʻ ρ ( A ) yordamida belgilanadi. 1.17-ta’rif. Operator A ning regulyar bo lmagan hamma nuqtalari to plamiga ʻ ʻ esa A operatorning spektri deb ataladi, hamda σ(A) yordamida yoziladi. 1. Operator A− zI teskarilanadigan emas. Ya’ni ( A − zI ) x = 0 ifoda noldan farqli yechimga ega. Ushbuda z soni A operator xos qiymati, x esa xos vektori deb ataladi. 23 2. Operator A− zI ning teskarisi bor, biroq chegaralanmagan. Ushbuda z soni operator A ning muhim spektriga qarashli deb ataladi. 3. Operator A− zI ning teskarisi mavjud, chegaralangan, biroq A− zI ning qiymatlari to‘plami to‘la fazoga teng emas. Ushbuda z soni esa qoldiq spektrga qarashli deyiladi. Operator A ning z xos qiymatiga mos keladigan xos vektorlaridan qurilgan fazo o lchami esa ʻ z xos qiymatning karraliligi deb aytiladi. Agar z ning karraliligi 1 ga teng bo lsa, u oddiy xos qiymat, aks holda karrali xos qiymat deyiladi. ʻ A operatorning chekli karrali xos qiymatlari to plamini diskret spektr deya yuritamiz, hamda ʻ σdisc (A) deya belgilanadi. A operatorning muhim spektrini σ ess ( A ) deb, qoldiq spektrini esa σres(A) deyiladi. 1.21-teorema. Agar A ∈ L ( H ) va ¿ z ∨ ¿ ∨ ¿ A ∨ ¿ bo lsa, u holda ʻ z regulyar nuqta bo ladi. ʻ 1.22-teorema. Agar A ∈ L ( H ) bo lsa, u holda ʻ σ ( A ) − ¿ yopiq to plamdir. ʻ To‘liq holatda esa operatorlarning muhim spektri haqida Weylning quyidagi teoremasi o rinli. ʻ 1.23-teorema. z∈C soni A operatorning muhim spektriga qarashli bo lishi ʻ uchun H da shunday {ϕn}n=1∞ ONS topilib, limn→∞(A− zI )ϕn=0 bo lishi zarur va yetarli. ʻ 1.24-teorema. H - Hilbert fazosi va A ∈ L ( H ) . U holda R z ( A ) ρ ( A ) to plamda ʻ analitik, operator qiymatli ( L ( H ) ) qiymatli funksiya bo ladi va ixtiyoriy ʻ λ,μ∈ρ(A) uchun R λ ( A ) va Rμ(A) operatorlar o rin almashtirish xossasiga ega. Shuningdek ʻ Rλ(A)− Rμ(A)=(μ− λ)Rλ(A)Rμ(A). (4) 1.25-teorema. H - Hilbert fazosi va A ∈ L ( H ) . U holda σ ( A ¿ ) = { z ∨ z ∈ σ ( A ) } va R z ( A ¿ ) = R z ( A ) . O z-o ziga qo shma operatorning spektri ʻ ʻ ʻ H Hilbert fazosi, A ∈ L ( H ) o z-o ziga qo shma operator bo lsin. Quyidagi ʻ ʻ ʻ ʻ 24 belgilashlarni kiritamiz: M = ¿ ∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) , m = inf ∥ x ∥ = 1 ( Ax , x ) .M va m sonlari mos ravishda A operatorning yuqori va quyi chegarasi deyiladi. 1.26-teorema. ∥ A ∥ = max { ∨ m ∨ , ∨ M ∨ } . Ma’lumki operatorning σ ( A ) spektri ∥ A∥ radiusli doira ichida saqlanadi. O z- ʻ o ziga qo shma operatorlar uchun esa bu baholash yanada aniqroq. ʻ ʻ 1.27-teorema. σ(A)⊂[m ,M ] . Shuningdek, m , M ∈ σ ( A ) . 1.28-teorema. A - H Hilbert fazosidagi o z-o ziga qo shma operator bo lsin. U ʻ ʻ ʻ ʻ holda • A qoldiq spektrga ega emas; • σ(A)⊂ R ; • A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari ortogonal. A ∈ L ( H ) o z-o ziga qo shma operator bo lsin. ʻ ʻ ʻ ʻ 1.29-teorema. Kompakt operatorning z xos qiymatiga mos keluvchi Lz xos fazosi chekli o lchamli. ʻ 1.30-teorema. A kompakt operator va ixtiyoriy δ>0 son berilgan bo lsin. ʻ A operatorning absolyut qiymati δ dan katta bo lgan xos qiymatlariga mos keluvchi ʻ chiziqli erkli xos vektorlarining soni cheklidir. 1.2-natija. Kompakt operatorning xos qiymatlari to plami noldan farqli limitik ʻ nuqtaga ega emas. 1.31-teorema. Agar z ∈ C soni A kompakt operatorning xos qiymati bo lsa, ʻ z ∈ C soni A¿ ning xos qiymati bo ladi. ʻ 1.32-teorema. A va A ¿ kompakt operatorlarning z va z xos qiymatlariga mos keluvchi xos qism fazolarining o lchamlari teng. ʻ 1.33-teorema. Deylik, A kompakt operator bo lsin. U holda ʻ 1. A operatorning spektridagi noldan farqli ixtiyoriy nuqta xos qiymatdir; 2. 0 soni operatorning spektriga tegishli. 25 1.34-teorema. Agar A o z -o ziga qo shma va ʻ ʻ ʻ A≠0 bo lib, u uchun kamida ʻ bitta noldan farqli xos qiymati bor. 1.35-teorema. (Hilbert-Shmidt) H −¿ Hilbert fazosida o z-o ziga ʻ ʻ qo shma ,kompakt operator berilgan bo lib, ʻ ʻ { λ n } uning har qanday noldan farqli bo‘lgan xos qiymatlari bo lsin. ʻ H fazoda shu xos qiymatlarga to‘g‘ri keladigan xos vektorlardan iborat shunday { ϕ n } ONS mavjudki, har bir x ∈ H elementga yagona holda x = ∑ k c k ϕ k + x ' orqali yoziladi, bunda x' vektor Ax '=0 tenglikni qanoatlantiradi. Bu holda Ax = ∑ k λ k c k ϕ k . Aytaylik xos qiymatlar soni cheksiz bo lsa, ʻ limk→∞λk=0 26 II BOB. BIR O LCHAMLI PANJARADA IKKI PARAMETRGAʻ BOG LIQ DISKRET SCHRÖDINGER OPERATORINING XOS ʻ QIYMATLAR SONI 2.1- § . Potensial panjarada ikki parametrga bog liq diskret Schrödinger ʻ operatorining koordinat va impuls tasvirlari Butun sonlar to plami ʻ Z ni biz odatda bir o lchamli panjara deb qaraymiz. Yana ʻ shuningdek, Z da aniqlangan va modulining kvadratlari yig indisi bilan jamlanuvchi ʻ ketma-ketliklar Hilbert fazosi l 2 ( Z ) bilan belgilanadi. Qo‘shimchasiga, T=¿ — bir o lchamli tor bo lsin. ʻ ʻ T torda aniqlangan va modulining kavadrati bilan Lebeg ma’nosida integrallanuvchi funksiyalar fazosi L 2 ( T ) juft L2,e(T) va toq L 2 , o ( T ) funksiyalarning qism fazolari to g ri yig indisidan iborat: ʻ ʻ ʻ L 2 ( T ) = L 2 , e ( T ) ⊕ L 2 , o ( T ) . Haqiqatdan ham L2(T) Hilbert fazosidan olingan har L 2 , e ( T ) = { f ∈ L 2 ( T ) : f ( p ) = f ( − p ) , ∀ p ∈ T } , L 2 , o ( T ) = { f ∈ L 2 ( T ) : f ( p ) = − f ( − p ) , ∀ p ∈ T } qism fazolarning f e ∈ L 2 , e ( T ) va f o ∈ L 2 , o ( T ) elementlarni f e ( p ) = f ( p ) + f ( − p ) 2 , f o ( p ) = f ( p ) − f ( − p ) 2 , f ∈ L 2 ( T ) kabi aniqlasak f= fe+ fo bir qiymatli aniqlanadi. Diskret Shrodenger operatori l2(Z) da quyidagicha aniqlanadi: ^hλμ=− ^Δ+^Vλμ,λ,μ<0,(1) bu yerda ^ Δ − ¿ Laplas operatori bo lib, har qanday ʻ ^ f ∈ l 2 ( Z ) uchun: 27 (^Δ^ f)( x ) = 1 2 ∑ | s| = 1 , s ∈ Z (^ f( x + s ) − ^ f( x )) ,^ f ∈ l 2 ( Z ) , x ∈ Z , potensial operator ^ V λμ esa (^V λμ^f)(x)= ^vλμ(x)^f(x), bu yerda ^ v λμ ( x ) = { λ , agar x = 0 , μ , agar | x| = 1 , 0 , agar | x| > 1. 1.1- va 1.5-misollarda ko rildiki, ʻ ^Δ va ^ V λμ operatorlar chiziqli, chegaralangan hamda o z o ziga qo shma operatorlardir. ʻ ʻ ʻ Endi biz Fur’e almashtirishlari yordamida Shredinger operatori ^ h λμ ni koordinata tasviridan impuls tasviriga, yani hλμ operatoriga o tamiz. ʻ Fur’e almashtirishini F : l 2 ( Z ) → L 2 ( T ) deb belgilaymiz va uni ^f∈l2(Z) elementga quyidagicha ta’sir qiladi: (F ^f)(p)= 1 √2π ∑x∈Z eixp ^f(x),^f∈l2(Z),p∈T.(2) Shuningdek, unga teskari bo lgan Fur’e almashtirish ʻ F − 1 : L 2 ( T ) → l 2 ( Z ) bo lib, ʻ f ∈ L 2 ( T ) elementga quyidagicha ta’sir qiladi: (F−1f)(x)= 1 √2π∫T ❑ e−ixq f(q)dq ,f∈L2(T),x∈Z.(3) Endi biz Laplas operatori ^ Δ ning impuls fazodagi tasvirini aniqlaymiz. Buning uchun (3) ga muvofiq f ∈ L 2 ( T ) teskari Fur’e operatorini qo llab, ʻ (F−1f)(x)= ^f(x) deb yozamiz. Shuningdek, (^ Δ^ f)( x ) = (^ Δ F − 1 f )( x ) bo ladi. Endi (2) ga muvofiq Fur’e operatorini quyidagicha hisoblaymiz: ʻ (Δ f)(p)=(F ^Δ^f)(p)=(F ^ΔF−1f)(p)=¿ 28 ¿ 1√ 2 π ∑ x ∈ Z e ixp ( 1 2 ∑ | s| = 1 , s ∈ Z (^ f( x + s ) − ^ f( x ))) . Ushbu ifodani soddalashtirsak: (Δ f)(p)= 1 2( 1 √2π ∑x∈Z eixp ^f(x+1)−2 1 √2π∑x∈Z eixp ^f(x)+ 1 √2π∑x∈Z eixp ^f(x−1)). Indeksni siljitish orqali bu ifodani quyidagicha yozish mumkin: ( Δ f )( p ) = 1 2 ( e − ip − 2 + e ip ) 1 √ 2 π ∑ x ∈ Z e ixp ^ f( x ) = − ε ( p ) f ( p ) , bu yerda dispersiya funksiyasi ε ( p ) = 1 − cos p ko rinishida aniqlanadi. ʻ Shuningdek endi biz, potensial operatori ^ V λμ ning impuls fazodagi tasvirini topamiz. Buning uchun f ∈ L 2 ( T ) bo lsin. ʻ Teskari Fur’e almashtirishni qo‘llab, (F−1f)(x)= ^f(x) deb olamiz. Shunda (^ V λμ ^ f)( x ) = (^ V λμ F − 1 f )( x ) = ^ v λμ ( x ) ⋅ 1 √ 2 π ∫ T❑ e − ixq f ( q ) dq . Ushbu ifodaga Fur’e almashtirishni qo llasak: ʻ ( F ^ V λμ ^ f)( x ) = ( F ^ V λμ F − 1 f )( x ) = 1 √ 2 π ∑ x ∈ Z e ixp ^ v λμ ( x ) ⋅ 1 √ 2 π ∫ T❑ e − ixq f ( q) dq . Integrallash va yig indini o rnini almashtirsak: ʻ ʻ (Vλμ f)(p)= 1 √2π∫T ❑ ( 1 √2π∑x∈Z eix(p−q)^vλμ(x))f(q)dq . Standart Fur’e almashtirishga ko ra, quyidagiga ega bo‘lamiz: ʻ v λμ ( p ) = ( F ^ v)( p ) = 1 √ 2 π ( λ + 2 μ cos p ) . Shunday qilib, impuls fazodagi potensial operator quyidagi integral operator ko rinishida aniqlanadi: ʻ ( V λμ f )( p ) = 1 2 π ∫ T❑ ( λ + 2 μ cos ( p − q )) f ( q ) dq . 29 U holda, Fur’e almashtirishlari yordamida energiya operatori ^ h λμ ni koordinata tasviridan unga unitar ekvivalent bo lgan impuls tasvirini ʻ hλμ=h0+Vλμ ko‘rinishida olamiz. ushbu operatorning f ∈ L 2 ( T ) funksiyaga ta’siri : ( h ¿ ¿ λμ f ) ( p ) = ε ( p ) f ( p ) + 1 2 π ∫ T❑ ( λ + 2 μ cos ( p − q )) f ( q ) dq ( 4 ) ¿ kabi aniqlanadi. Shuningdek, (4) ifodani quyidagicha chiziqli kombinatsiya ko‘rinishida qayta yozish mumkin: ( h ¿ ¿ λμ f ) ( p ) = ε ( p ) f ( p ) + λ 2 π ∫ T❑ f ( q ) dq + μ π sin p ∫ T❑ sin q f ( q ) dq + ¿ ¿ + μ π cos p ∫ T❑ cos q f ( q ) dq . Agar V λμ operatorining juft funksiyalar uchun L 2 , e ( T ) fazodagi ta’sirini Vλμe va toq funksiyalar uchun L 2 , o ( T ) fazodagi ta’sirini Vμe orqali belgilasak, u holda toq va juft funksiyalar fazosida mos ravishda ( V λμe f )( p ) = λ 2 π ∫ T❑ f ( q ) dq + μ π cos p ∫ T❑ cos q f ( q ) dq , f ∈ L 2 , e ( T ) , ( V μo f )( p ) = μ π sin p ∫ T❑ sin q f ( q ) dq , f ∈ L 2 , o ( T ) kabi ta’sir etadi. Agar Vλμ=Vλμe+Vλo deb belgilasak, u holda hλμ operatorning L e2 ( T 2 ) ( L o2 ( T 2 ) ) qism fazodagi tasvirini h λμe ( h λo ) bo lishini ko rishimiz mumkin, bu yerda ʻ ʻ hλμe=h0+Vλμe(hμo= h0+Vμo). Shunday qilib, to liq fazo juft va toq funksiyalar fazolarining to g ri yig indisiga ʻ ʻ ʻ ʻ ajralganligi sababli ( L 2 ( T ) = L 2 , e ( T ) ⊕ L 2 , o ( T ) ) , hλμ operatori ham juft va toq Gamiltonionlarning to g ri yig indisi sifatida yoziladi: ʻ ʻ ʻ hλμ=hλμe⊕hμo. 30 2.2- § . Bir o lchamli panjarada ikki parametrga bog liq diskretʻ ʻ Schrödinger operatorining spektri haqida Qo zg almas ʻ ʻ h0 operatorning spektri uchun quyidagi munosabat o rinli: ʻ σ ( h 0 ) = σ ess (^ Δ) = [ 0,2 ] . ^ V λμ kompakt operator bo‘lganligi uchun Weyl teoremasiga ko‘ra, istalgan λ,μ<0 uchun h λμ , hλμe va hμo operatorlarning muhim spektrlari uchun σess(hλμ)=σess (hλμe)=σess (hμo)=[0,2 ] munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari, h λμ operatorning spektri uning juft va toq qismlaridagi spektrlarining birlashmasiga teng: σ(hλμ)=σ(hλμe)⋃σ(hμo). Shunday qilib, biz endi hλμ operatorning L 2 , e ( T ) va L 2 , o ( T ) qism fazolardagi ta’sir qiluvchi operatorlari h λμe va h μo ning diskret spektrlari xossalarini o‘rganamiz. h λμe operatorning xos qiymatlari soni Aniqlanishiga ko ra ʻ V λμe har qanday λ,μ<0 uchun manfiy operatordir. U holda ushbu operatorning muhim spektrdan o ngda xos qiymatlarga ega emas. Shuning uchun biz ʻ xos qiymatlarini muhim spektrdan chapda qidiramiz. Buning uchun biz ushbu operator uchun z<0 uchun Birman-Shvinger prinsipidan foydalanamiz. Birman- Shvinger prinsipi masalani chekli o lchamli, chiziqli operatorlariga keltirib ʻ (matritsalarning) xos qiymatlarini o rganishga qaratilgan. ʻ Biz Laplasian h 0 ning rezolventasini R 0 ( z) = ( h 0 − zI ) − 1 orqali ifodalaymiz, bu yerda z<0 . Endi biz Birman-Shvinger operatorini quyidagicha aniqlaymiz: Bλμ=−VλμR0(z). Shuningdek, biz quyidagi lemmani [1-5] sxemalardan foydalanib keltirib o tamiz. ʻ 2.1-lemma. z<0 soni hλμe operatorning xos qiymati bo lishi uchun 1 soni ʻ B λμ operatorning xos qiymati bo lishi zarur va yetarli. ʻ U holda ushbu lemmadan foydalanib Birman-Shvinger operatori uchun xos qiymat tenglamasini olamiz: 31 (B λμ f )( p ) = f ( p ) . Shuningdek, ushbu tenglamani quyida qayta yozamiz: − λ 2 π ∫ T❑ f ( q ) ε ( q ) − z dq − μ π cos p ∫ T❑ cos q f ( q ) ε ( q ) − z dq = f ( p ) ( 5 ) Chap tomondagi integrallarni quyidagicha belgilasak: 1 2 π ∫ T❑ f ( q) ε ( q) − z dq = C 1 ( f ) , 1 π ∫ T❑ cos q f ( q) ε ( q) − z dq = C 2 ( f ) (2.1*) tenglik quyidagi ko rinishga keladi: ʻ − λC1− μ⋅cos pC2= f(p) f(p) ning qiymatini C 1 va C 2 integrallarga qo ysak, ʻ C1= 1 2π∫T ( − λC 1 ε(q)− z− C2μcos q ε(q)− z )dq C 2 = 1 π ∫ T cos q ( − λC 1 ε ( q ) − z − C 2 μ cos q ε ( q ) − z ) ds tengliklar hosil bo ladi. Bu tengliklardan ʻ C1 va C2 o zgaruvchili bir jinsli ʻ { ( 1 + λa ( z)) C 1 + μb ( z) C 2 = 0 2 λb ( z) C 1 + ( 1 + μd ( z)) C 2 = 0 ( 6 ) tenglamalar sistemasiga ega bo lamiz, bu yerda ʻ a(z)= 1 2π∫T dq ε(q)− z, b(z)= 1 2π∫T cos qdq ε(q)− z d(z)= 1 π∫T cos 2q ε(q)− zdq Bizga ma’lumki, bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo lishi uchun uning asosiy matritsasing determinanti nolga ega bo lishi zarur va ʻ ʻ yetarli. Agar biz ushbu determinantni Δ ( λμ ; z ) orqali belgilasak, u holda Δ(μ,λ;z)=| 1+λa (z) λb (z) 2μb (z) 1+λd (z)| 32 yoki Δ ( μ , λ ; z ) = ( 1 + λa ( z ) ) ( 1 + μd ( z ) ) − 2 μλ ¿ ni olamiz. Ushbu determinantga hλμ operatorga mos Fredgolm determinanti deyiladi. Endi biz Δ1(λ;z)=1+λa (z); Δ2(μ;z)= 1+μd (z); Δ 3 ( z ) = ( b ( z)) 2 . belgilashlar yordamida (2.7) ni Δ(μ,λ;z)= Δ1(μ;z)⋅Δ2(λ;z)−2λμ Δ3(z) ko rinishda qayta yozamiz. ʻ O z-o ziga qo shma ʻ ʻ ʻ hλμ❑ operatorning xos qiymatlari va Δ ( μ , λ ; ⋅ ) funksiyaning nollari orasidagi bog liqlikni quyidagi lemma yordamida o rnatadi. ʻ ʻ 2.2-lemma. z∈C ∖[0,2 ] soni hλμe operatorning xos qiymati bo lishi uchun ʻ Δ ( μ , λ ; ⋅ ) funksiyaning noli bo lishi zarur va yetarli. ʻ Endi biz quyidagi lemma yordamida a ( z ) , b ( z ) va d ( z ) funksiyalarning z → 0 − ¿ dagi asimtotikalarini tadqiq qilamiz. 2.3-lemma. z → 0 − ¿ da quyidagi asimptotik yoyilmalar o rinli: ʻ a(z)= 1 √2√− z− √− z 2√2+O ((√− z)3), b ( z ) = 1 √ 2 √ − z − 1 + O (√ − z ) , d ( z) = √ 2 √ − z + √ − z √ 2 + O ( − z ) . Isbot. Avval quyidagi a ( z ) funksiyaning z → 0 − ¿ dagi asimptotik yoyilmasini topamiz. Buning uchun dastlab biz a ( z ) = 1 2 π ∫ − ππ dq 1 − cos q − z , z < 0 integralni hisoblaymiz. Buning uchun dastlab biz t=eiq kabi almashtirish bajaramiz. U holda 33 cos q = e iq + e − iq 2 tenglikni inobatga olsak, natijada ushbu dt = ieisds , ds = − i t dt , ¿t∨¿1 va a ( z ) = 1 2 π ∫ ¿ t ∨ ¿ 1 − i t dt 1 − t + 1 t 2 − z = − i π ∫ ¿ t ∨ ¿ 1 1 2 t − t 2 − 1 − 2 zt dt = ¿ ¿ i π ∮ | t| = 1❑ dt t 2 + 2 ( z − 1 ) t + 1 Koshi tipidagi integralni hisoblash masalasiga ega bo lamiz. Endi biz ushbu tipdagi ʻ integralni hisoblash uchun qoldiqlar nazaryasidan fodalanamiz. Buning uchun biz integral ostidagi funksiyaning |t|<1 doira ichidagi qutblarini topamiz: t 1,2 = − z + 1 ± √ z 2 − 2 z , ya’ni t1=− z+1+√z2−2z>1 0<t2=− z+1− √z2− 2z<1. Ravshanki, t=t2 nuqta ¿t∨¿1 sohada yotadi va integral belgisi ostidagi funksiya uchun birinchi tartibli qutb maxsus nuqta bo ladi. Endi biz ushbu maxsus nuqtaga nisbatan ʻ qoldig ini hisoblaymiz: ʻ a(z)= i π⋅2πi ⋅res ¿t=t2 1 (t−t1)(t− t2) = − 2 t2−t1 = 2 t1−t2 , t1,t2 larning qiymatlarini o rniga qo yib, ushbu ʻ ʻ a ( z ) = 1 √ − z √ 2 − z , ni olamiz. Bundan a ( z ) ga √ − z = α deb almashtirish bajarib ushbu ifodani a(α)= 1 α√2+α2(8) ko rinishda qayta yozamiz. Shuningdek, ʻ z→ 0−¿ da α→ 0+¿ . Endi biz α→ 0 da 34 1 √2+α2= 1 √2⋅ 1 √1+α2 2 = 1 √2(1− α2 2 +O (α4))asimptotikani olamiz. U holda (2.8) inobatga olib a ( α ) = 1 √ 2 α − α 2 √ 2 + O ( α 3 ) asimptotik yoyilmani olamiz. Shuningdek, α= √− z almashtirishni bajarsak (5) ning birinchi asimptotik yoyilmasini olamiz. Endi biz b ( z ) uchun asimptotik yoyilmani olamiz. Buning uchun quyidagi shakl almashtirishlarni bajaramiz: b ( z ) = 1 2 π ∫ T cos q dq ε ( q ) − z = − 1 2 π ∫ T 1 − z − cos q − 1 + z 1 − cos q − z dq = ¿ ¿ − 1 2 π ∫ T dq + ( 1 − z ) a ( z ) = − 1 + ( 1 − z ) a ( z) . Bundan a ( z ) ning yoyilmasidan foydalanib b ( z ) uchun (5) ning ikkinchi asimptotik yoyilmasini olamiz. Endi biz, d ( z) uchun asimptotik yoyilmani olamiz. Buning uchun quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz: d(z)= 1 π∫T cos 2q ε(q)− zdq = −1 π ∫T (1− z)2−cos 2q− (1− z)2 1−cos q− z dq =¿ ¿ − 1 π ∫ T❑ ( 1 − z + cos q ) dq + 2 ( 1 − z ) 2 a ( z) = ¿ ¿−2(1− z)+2(1− z)2a(z). U holda a ( z ) ning yoyilmasidan foydalanib d ( z) uchun (5) ning uchinchi asimptotik yoyilmasini olamiz. Lemma isbot bo ldi. ʻ Shuningdek, bizda quyidagi munosabat o rinli: ʻ b2(z)− a(z)d(z) 2 = 1 (2π)2∫ T2 ❑ cos qcos t (ε(q)− z)(ε(t)− z) dqdt −¿ − 1 ( 2 π ) 2 ∫ T 2❑ cos 2 q ( ε ( q ) − z )( ε ( t) − z ) dqdt = 1 ( 2 π ) 2 ∫ T 2❑ cos q ( cos t − cos q ) ( ε ( q) − z )( ε( t) − z ) dqdt = ¿ ¿− 1 (2π)2∫ T2 ❑ cos q(ε(t)− z− (ε(q)− z)) (ε(q)− z)(ε(t)− z) dqdt = ¿ 35 ¿ − 1( 2 π ) 2 ∫ T 2❑ ( cos q ε ( q ) − z − cos q ε ( t) − z ) dqdt = − 1 2 π ∫ T❑ cos q ε ( q ) − z dq = − b ( z ) Endi biz, Fredgolm determinant uchun quyidagi munosabatni olamiz: Δ ( μ , λ ; z ) = ( 1 + λa ( z ) ) ( 1 + μd ( z ) ) − 2 μλ ¿ ¿1+λa (z)+μd (z)−2λμ (b2(z)− a(z)d(z) 2 )=¿ 1 + λa ( z ) + μd ( z ) + 2 λμb ( z) = ¿ ¿1+λa (z)+μ(− 2(1− z)+2(1− z)2a(z))+λμ (− 2+2(1− z)a(z))= ¿ ¿(λ+2μ(1− z)2+2λμ (1− z))a(z)+1− 2μ(1− z)− 2λμ . Shuningdek, a ( z ) funksiyalarning asimtotik yoyilmalaridan foydalanib z → 0 − ¿ da hλμe operatorga mos Fredgolm determinanti Δ ( μ , λ ; z ) uchun muhim spektrdan chapda quyidagi asimptotik yoyilmaga ega bo lamiz: ʻ Δ ( μ , λ ; z ) = ( λ + 2 μ ( 1 − z ) 2 + 2 λμ ( 1 − z ))( 1√ 2 √ − z − √ − z 2 √ 2 + O (√ − z 3 )) + ¿ +1− 2μ(1− z)− 2λμ = 2 √2√− z(λμ + λ 2+μ)− 2(λμ +μ− 1 2)+O(√− z). Shuningdek, endi biz quyidagi lemma yordamida Δ 1 ( λ ; z ) . Δ 2 ( μ ; z ) va Δ(λ,μ;z) funksiyalarni z→ −∞ da asimtotik tahlil qilamiz. 2.4-lemma. Har qanday μ,λ>0 uchun quyidagi tengliklar o rinli: ʻ lim z → − ∞ Δ 1 ( μ ; z ) = 1 , lim z → − ∞ Δ 2 ( λ ; z ) = 1 , lim z → − ∞ Δ ( μ , λ ; z ) = 1. Isbot. (2.1*) orqali aniqlangan Δ1(μ,z) va Δ2(λ;z) funksiyalar quyida qayta yozamiz: Δ1(λ;z)=1+ λ 2π∫T dq 1− cos q− z, Δ2(μ;z)= 1+ μ π∫T cos 2qdq 1− cos q− z. Bunda 36 lim z → − ∞ ∫ T dq 1 − cos q − z = 0 va limz→−∞∫T cos 2q 1− cos q− zdq =0 ekanligidan lim z → ± ∞ Δ 1 ( μ , z ) = 1 , lim z → ± ∞ Δ 2 ( λ ; z ) = 1 larni olamiz. Shuningdek, lim z → − ∞ ∫ T cos q dq 1 − cos q − z = 0 ekanligini inobatga olsak, Fredgolm determinant uchun lim z → − ∞ Δ ( μ , λ ; z ) = 1 ekanligi kelib chiqadi. Lemma isbotlandi. 2.5-lemma Quyidagi asimptotik yoyilmalar o rinli: ʻ Δ 1 ( μ ; z ) = 1 + λ √ 2 √ − z + O (√ − z ) , z → 0 − ¿ Δ2(μ;z)= 1+√2μ √− z+O (√− z),z→ 0−¿ Ushbu lemmaning isboti bevosita 2.4-lemmadan kelib chiqadi. Endi biz quyida [1-4] dagi sxemalardan foydalanib teoremani keltirib o tamiz. ʻ 2.1-teorema. Agar G ⊂ R2 sohaning biror ( μ , λ ) nuqtasida Δ ( μ , λ ; z ) funksiyaning k ( k = 0,1,2 ) ta noli bo lsa, u holda ʻ Δ ( μ , λ ; z ) funksiya butun G sohada k(k=0,1,2 ) ta nolga ega. Endi biz quyidagi sohalarni kiritamiz: G 1 = {( μ , λ ) ∈ R 2 : μλ + λ 2 + μ < 0 , μ < 0 , λ < 0 } , G 2 = {( μ , λ ) ∈ R 2 : μλ + λ 2 + μ > 0 , μ ← 1 2 , λ ← 1 } . Quyidagi chizma orqali yuqorida keltirilgan sohalarni aniqroq tasavvur etish mumkin. 37 2.1-chizma. Gk−¿ sohalar. k=1,2 Endi biz quyidagi teoremada λ,μ<0 parametrlarga bog liq holda ʻ hλμe operatorning muhim spektrdan chapda yotuvchi xos qiymatlar sonini tahlil qilamiz. 2.2-teorema. Quyidagi munosabatlar o rinli: ʻ a) (μ,λ)∈G2 bo lsin. U holda ʻ hλμe operator muhim spektrdan quyida ikkita xos qiymatga ega; b) ( μ , λ ) ∈ G 1 bo lsin. U holda ʻ hλμe operator muhim spektrdan quyida bitta xos qiymatga ega; Isbot. Avval yuqorida kiritilgan sohalarda h μλe operatorning xos qiymatlarini qaraymiz. a) ( μ , λ ) ∈ G 2 = {( μ , λ ) ∈ R 2 : μλ + λ 2 + μ > 0 , μ ← 1 2 , λ ← 1 } bo lsin. ʻ U holda Δ 1 ( μ ; ⋅ ) va Δ 2 ( λ ; ⋅ ) funksiyalar (− ∞ ;0) intervalda monoton kamayuvchi, bundan tashqari 2.3-va 2.4-lemmalarga ko ra quyidagi tengliklarga egamiz: ʻ lim z → − ∞ Δ 1 ( λ ; z ) = 1 , lim z → − ∞ Δ 2 ( μ ; z ) = 1 , lim z → 0 − ¿ Δ 1 ( λ ; z ) = − ∞ , lim z → 0 − ¿ Δ 2 ( μ ; z) = − ∞ . ¿ ¿ ¿ ¿ Bundan Δ1(λ;z) va Δ2(μ;z) funksiyalarning mos ravishda ζ 1 ( λ ) va ζ 2 ( μ ) nollari mavjudligi kelib chiqadi. Δ(λ,μ;z) funksiyaga ζ1(λ) va ζ 2 ( μ ) nuqtalarni qo ysak, ʻ 38 Δ( μ , λ ; ζ 1 ( μ )) = − μλ Δ 3 ( ζ 1 ( λ )) , Δ ( μ , λ ; ζ 2 ( λ ) ) = − μλ Δ 3 ( ζ 2 ( μ )) tengliklarga ega bo lamiz. Bundan ʻ λ ← 1 , μ ← 1 / 2 bo lganda ʻ − μλ Δ 3 ( ζ 1 ( λ ) ) < 0 va − μλ Δ3(ζ2(μ))<0 ekanligini olamiz. Demak, Δ ( μ , λ ; z ) funksiya (− ∞ ;0) intervalda manfiy qiymatlarni ham qabul qiladi. Lemma 3.1 va Lemma 3.4 ga asosan λ ← 1 , μ ← 1 / 2 va μλ + λ 2 + μ > 0 shartlar bajarilganda limz→−∞Δ(μ,λ;z)=1, lim z→0−¿Δ(μ,λ;z)>0,¿¿ limitlarga egamiz. Bulardan Δ(μ,λ;z) funksiyaning yuqorida berilgan shartlarda ikkita z1(λ,μ) va z2(λ,μ) nollari mavjudligi kelib chiqadi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: ζmin (λ,μ)= min {ζ1(λ),ζ2(μ)}, ζmax (λ,μ)= max {ζ1(λ),ζ2(μ)}. U holda z1(λ,μ)<ζmin (λ,μ)<ζmax (λ,μ)<z2(λ,μ) munosabatga ega bo lamiz. ʻ Demak, agar (μ,λ)∈G2 bo lganda, ʻ h μλe operatorning muhim spektrdan chapda ikkita xos qiymati mavjud ekan. Shuningdek, quyidagi chizmada yanada aniqroq tasavvurga ega bo lamiz: ʻ 39 2.2-chizma. (λ,μ)∈G2 bo lganda ʻ Δ1(λ;⋅),Δ2(μ;⋅) va Δ ( λ , μ ; ⋅ ) funksiyalarning nollari tahlili b) ( μ , λ ) ∈ G 1 = {( μ , λ ) ∈ R 2 : μλ + λ 2 + μ < 0 , μ < 0 , λ < 0 } bo lsin. Endi biz dastlab ʻ Δ ( λ , μ ; ⋅ ) funksiyani ( − ∞ , 0 ) intervalda monotonlikga tekshiramiz. Buning uchun Δ ' ( λ , μ ; ⋅ ) funksiyani ( − ∞ , 0 ) intervalda qatiy musbat yoki qatiy manfiy bo lishini ko rib ʻ ʻ chiqamiz. Shuningdek, biz barcha λ,μ<0 da μλ ← λ 2− μ tengsizlikdan foydalanib ushbu hosilani quyidagicha baholaymiz: Δ'(λ,μ;z)= λa'(z)+μd'(z)+λμ (a(z)d(z)− 2b2(z))'<¿ ¿λ(a(z)− b(z))'+μ(d(z)− 2b(z))'= ¿ ¿λ(1+za (z))'+2μ(z+(z2− z)a(z))'=¿ ¿ λ ( za ( z)) ' + 2 μ ( z + ( z 2 − z ) a ( z )) ' Shuningdek, ixtiyoriy z < 0 uchun (za (z))'>0 va ( z + ( z 2 − z ) a ( z )) ' > 0 tengsizliklar o rinli. ʻ Bundan har bir (λ,μ)∈G1 uchun Δ ( z ) funksiya ( − ∞ , 0 ) da monoton kamayuvchi funksiya ekanligi kelib chiqadi. Shuningdek, quyidagi limitlar o rinli: ʻ lim z → − ∞ Δ ( λ , μ ; z ) = 1 lim z → 0 − ¿ Δ ( λ , μ ; z ) = − ∞ . ¿ ¿ Bundan Δ ( μ , λ ; ⋅ ) funksiyaning G 1 sohada bitta noli mavjud ekanligi kelib chiqadi. Demak, (μ,λ)∈G1 bo lganda, ʻ h μλe operatorning muhim spektrdan chapda bitta xos 40 qiymati mavjud. Shuningdek, quyidagi chizmada tasavvurga ega bo lish mumkin.ʻ 2.3-chizma. ( λ , μ ) ∈ G 1 uchun Δ ( λ , μ ; ⋅ ) funksiyaning noli Teorema isbotlandi. □ Endi esa biz h μo operatorning xos qiymatlarini qarab chiqamiz. ( h μo f )( p ) = ε ( p ) ∙ f ( p ) + μ π ∙ sin p ∫ T❑ sin q f ( q ) dq = zf ( p ) Buni esa, ( ε ( p ) − z ) f ( p ) = − μ sin p ∙ C 3 deb belgilab olish mumkin. Bu yerda C 3 = 1 π ∫ − ππ sin q f ( q ) dq Yuqoridagi ifodadan f ( p ) ni topib, u yordamida C 3 ni hisoblaymiz. f ( p ) = − μ ∙ sin p C 3 ε ( p ) − z C 3 = 1 π ∫ − ππ sin q f ( q ) dq f(p) ni C 3 ga olib kelib qo yib: ʻ C 3 ( 1 + μ π ∫ − ππ ( sin q ) 2 dq ε ( q ) − z ) = 0 Endi esa ∆0(μ,z) Fredgolm determinantini tuzib olaylik, ∆ 0 ( μ , z ) = 1 + μ ∙ s ( z ) Bu yerda 41 s(z)= 1 π∫−π π (sin q)2dq ε(q)− zAgar bu yerda z→ −∞ ga intilsa s ( z ) → 0 . z=0 bo‘lgandagi s(z) ning qiymatini esa hisoblash mumkin. s(0)= 1 π∫−π π (sin q)2dq 1−cos q = 1 π∫−π π (1+cos q)dq =2 (2.2) lemmaga ko‘ra z ϵ[0,2 ] soni h μo operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun Fredgolm determinant 0 ga teng bo‘lishi zarur va yetarli. 1 + 2 μ = 0 μ = − 1 2 Quyidagi sohalarni aniqlaymiz: L 0 = {( λ , μ ) : λ < 0 , − 1 2 < μ < 0 } L1={(λ,μ):λ<0,μ← 1 2} Quyidagi chizmani qaraylik: 42 2.3 – teorema . Quyidagi munosabatlar o‘rinli: a)(λ,μ)∈L0 bo‘lsin, u holda h μo operator muhim spektrdan chapda xos qiymatga ega emas . b) (λ,μ)∈L1 bo lsin, u holda ʻ hμo operator muhim spektrdan chapda yagona oddiy xos qiymatga ega. (2.3) teorema ham (2.2) teorema kabi isbotlanadi. Endi esa hλμe hamda hμo operatorlarning xos qiymatlari haqidagi fikrlarni umumlashtirib, h λμ operator uchun xos qiymatlarni keltiramiz. 2.1- natija : Quyidagi munosabatlar o‘rinli: a) ( λ , μ ) ∈ L 0 ∩ G 1 bo‘lsin, u holda hλμ operator muhim spektordan chapda yotuvchi bitta xos qiymatga ega. b) ( λ , μ ) ∈ ( L ¿ ¿ 0 ∩ G 2 ) ∪ ( L 1 ∩ G 1 ) ¿ bo‘lsin, u holda hλμ operator muhim spektordan chapda yotuvchi ikkita xos qiymatga ega. c) (λ,μ)ϵL1∩G2 bo‘lsin, u holda hλμ operator muhim spektrdan chapda yotuvchi uchta xos qiymatga ega . 43 Xulosa Bir o lchamli ʻ Z ❑ panjarada bir kvant zarrachali, λ , μ < 0 potensiallar parametrlarga bog liq ʻ ^ h λμ = ^ H 0 + ^ V λ bir zarrachali Schrödinger operatori tadqiq qilindi. ^ h λμ operatorning σ ess ( ^ h λμ ) muhim spektrdan quyida xos qiymatining soni haqida teorema λ,μ<0 ta’sir parametriga bog liq ravishda isbotlandi. Shuning ʻ bilan birgalikda ^hλμ operatorning σess(^hλμ) muhim spektridan quyida xos qiymatlari soni uchun aniq baho olindi. d) 44 Foydalanilgan adabiyotlar ro yxatiʻ [1] F.Hiroshima, Z.Muminov, U.Kuljanov: Threshold of discrete Schroedinger operators with delta potentials on n−¿ dimensional lattice (2020), 5-25 [2] S.Lakaev, E.O‘zdemir: The existence and location of eigenvalues of the one particle Hamiltonians on lattices (2016), 3-11 [3] S. Lakaev, A. Khalkhuzhaev, Sh. Lakaev: Asymptotic behavior of an eigenvalue of the two-particle discrete Schrödinger operator, Theor. Math. Phys. 171 (2012), 800-811. [4] V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S. Lakaev:Bounds on the discrete spectrum of lattice Schrödinger operators, Preprint mp-arc, 10-143. [5] V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S. Lakaev: Bounds on the pure point spectrum of lattice Schrödinger operators, Preprint mp-arc, 11-161. [6] P. A. Faria da Veiga , L. Ioriatti ,M. O’Carroll: Energy-momentum spectrum of some two-particle Hamiltonians, Phys. Rev. E (3) 66 , 016130, 9 pp. (2002). Poincaré Phys. Theor. 67 , 91–107 (1997). [7] M. Klaus, B. Simon: Coupling constants thresholds in non-relativistic quantum mechanics. I. Short range two body case. Ann. Phys. 130 , 251–281 (1980). [8] M. Klaus: On the bound state of Schrödinger operators in one dimension, Annals of Physics, Volume 108, Issue 2, 1977, pp. 288–300 [9] M. Klaus, B. Simon: Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics, I. Short-range Two-body case. Annals of Physics, 108 ,251- 281(1977). 45

Bir o‘lchamli panjaradagi ikki parameterga bog‘liq diskret schrödinger operatorining xos qiymati mavjudligi

Купить