Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar funksiyalari
![KIRISH
Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor
tushunchasidir.
1-Ta`rif: Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan
ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,…(yoki grek
alifbosining kichik harflari ξ(ksi), η(eta), ζ (dzeta),…) bilan qabul qiladigan
qiymatlari esa kichik harflar x1,x2,… ,y1,y2,… ,z1z2,… bilan belgilanadi.
Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan
mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari
soni; 3) Z -asbobning beto‘xtov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga
tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar
soni
va h.k..
2-Ta`rif: Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa,
bunday tasodifiy miqdor diskret tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi.
3-Ta`rif: Agar tasodifiy miqdorqabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan
iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi.
Demak, diskret tasodifiy miqdorbir-biridan farqli alohida qiymatlarni,
uzluksiz tasodifiy miqdor esa biror oraliqdagi ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilar
ekan. Yuqoridagi X va Y tasodifiy miqdorlar diskret, Z esa uzluksiz tasodifiy
miqdor bo‘ladi.
Endi tasodifiy miqdorni qat’iy ta’rifini keltiramiz.
4-Ta`rif : Ω elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya
tasodifiy miqdor deyiladi, agar har bir ω elementar hodisaga X (ω) sonni mos
qo‘ysa, yani X = X (ω), Ω ∈
ω.
Agar Ω chekli yoki sanoqli bo‘lsa, u holda ω da aniqlangan ixtiyoriy
funksiya
3](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_3.png?v=1)
![I.BOB. BIR VA IKKI ARGUMENTNING FUNKSIYALARI
1.1-§. Tasodifiy miqdorlar va ularning bog liqsizligi.ʻ
Ω elementar hodisalar fazosi bo’lib, A
esa Ω to‘plamning qism
to‘plamlaridan tashkil topgan bo sh bo lmagan sistema (oila) bo‘lsin.
ʻ ʻ
1.1-Ta’rif. Agar A
sistema to ldiruvchi va sanoqli birlashmaga nisbatan
ʻ
yopiq bo lsa, ya’ni
ʻ
1. A ∈ A
munosabatdan
A∈A ekani kelib chiqsa;
2.
An∈A;n=1,2 ,… dan ¿n=1¿∞ An∈A ekani kelib chiqsa;
u holda A
sistemaga σ − ¿
algebra (sanoqli algebra) deb ataladi.
1.2-Ta’rif. Agar P : A → [ 0.1 ]
akslantirish uchun
1. P
( Ω ) = 1
2. juft -jufti bilan birgalikda bo ʻ lmagan
An∈A;n=1,2 ,… hodisalar uchun
P(¿n=1¿∞ An)=∑n=1
∞
P(An)
shartlar bajarilsa, u holda A
σ − ¿
algebrada ehtimol aniqlangan deyiladi va
( Ω , A , P )
- ehtimollar fazosi deb ataladi.
1.3-Ta’rif.
(Ω ,A,P) - ehtimollar fazosi, ξ = ξ ( ω )
- Ω da aniqlangan sonli
funksiya bo‘lsin. Agar har qanday haqiqiy x uchun
{
ω ∈ Ω : ξ ( ω ) ≤ x } ∈ A
munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda ξ = ξ ( ω )
funksiyaga tasodifiy miqdor deyiladi.
1.4-Ta’rif.
( Ω , A , P )
ehtimolliklar fazosi va ξ : Ω → R
tasodifiy miqdor
bo‘lsin.
Har bir haqiqiy x
ga
P
({ ω ∈ Ω : ξ ( ω ) ≤ x }) = F
ξ ( x )
sonni mos qo‘yuvchi akslantirishga
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
deyiladi.
Demak
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi Fξ(x) yoki qisqacha
F(x) ko‘rinishida belgilanadi.
7](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_7.png?v=1)
![Agar F ( x ) taqsimot funksiya uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi
bo‘lsa, taqsimot funksiyaning xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish
mimkin:
1. ξ
tasodifiy miqdorning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish
ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng:
P{ ω ∈ Ω : a ≤ ξ < b } = F ( b ) − F ( a )
2.
ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning tayin bitta qiymatni qabul qilishi
ehtimolligi nolga teng:
P
{ ξ = x
i } = 0
Zichlik funksiyasi va uning xossalari
Uzluksiz tasodifiy miqdorni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya
hisoblanadi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi deb, shu tasodifiy miqdor
taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi f ( x ) orqali belgilanadi.
Demak,
f(x)= F'(x).
Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. f ( x ) funksiya manfiy emas, ya’ni
f(x)≥0
2.
ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning [ a,b ] oraliqqa tegishli qiymatni qabul
qilishi ehtimolligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga
teng, ya’ni
P
{ a ≤ ξ ≤ b } =
∫
ab
f ( x ) dx .
3. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali
quyidagicha ifodalanadi:
11](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_11.png?v=1)
![h(z)= ∫−∞
+∞
f(x)∙g(z− x)dx =∫−∞
+∞ 1
√2πe
−(x−a1)2
2 ∙ 1
√2πe
−(z−x−a2)2
2 dx =¿¿
¿ 1
2π∫−∞
+∞
e
−(x−a1)2
2 ∙e
−(z−x−a2)2
2 dx = 1
2π∫−∞
+∞
e
−(x−a1)2
2 ∙e
−(z−x−a2)2
2 dx = 1
2π∫−∞
+∞
e
−x2−2xa1+a12+z2+x2+a22+2xa2−2xz−2za2 2 dx = ¿ 1
2π∫−∞
+∞
e
−2x2−2x(z+a1−a2) 2 ∙e
−a12+z2+a22−2za2 2 dx =¿ 1
2πe
−a12+z2+a22−2za2 2 +¿¿¿¿¿¿t = x − z + a
1 − a
2
2 almashtirish olsak, dx= dt bo lib chegarasi ham
ʻ
o zgarishsiz qoladi. shunda tenglamamiz quyidagi ko rinishni oladi:
ʻ ʻ
h
( z ) = 1
2 π e − ¿ ¿
Bundan
I= ∫−∞
+∞
e−t2dt ni hisoblaymiz:
I2= ∫−∞
+∞
e−x2dx ∙∫−∞
+∞
e−y2dy = ∫−∞
+∞
∫−∞
+∞
e−(x2+y2)dxdy =¿¿
[
x = ρsinφ
y = ρcosφ ]
∫
02 π
∫
0+ ∞
( e ¿
¿ − ρ 2
ρ ¿
dρ ) dφ =
∫
02 π
( − 1
2 e − ρ 2
)
| + ∞
0 dφ = 1
2 ∫
02 π
1 dφ = π ¿ ¿
I2= π
ekanligidan I=√π topamiz.
Demak, h
( z ) = 1
2
√ π e − ¿ ¿
va ζ N (a1+a2;2) ekan.
1.19-misol Bizga ξ E ( 1 )
va
η E(
1
2) bog liqsiz tasodifiy miqdorlar ʻ
berilgan bo lsa,
ʻ ζ = min { ξ , 2 η }
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini
toping.
F
ξ
( x ) = { 1 − e − x
, x > 0
0 , x ≤ 0 , F
η ( x ) = { 1 − e − 1
2 x
, x > 0
0 , x ≤ 0
Yechish: Avvalo η tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz.
Fς(x)= P(ς<x)= P(min {ξ,2η}<x)=1− P(min {ξ,2η}>x)=1− P(ξ>x,2η>x)=1− P(ξ>x)∙P(η>x
2)=1−(1− Fξ(x))(1− Fη(
x
2))= {1− e
−54x,x>0
0,x≤0
bundan ko rinadiki
ʻ
27](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_27.png?v=1)
![Agar t= x− a1σ2+σ1z−σ1a2
σ1+σ2 almashtirish olsak dt = dx
va chegarasi ham
o zgarishsiz qoladi.
ʻ Tenglamamiz quyidagi ko rinishga keladi: ʻ
h1(z)= 1
2π√σ1σ2
e−¿¿¿
Bundan
I= ∫−∞
+∞
e
−t2
2σ1σ2 σ1+σ2dt = ∫−∞
+∞
e
−t2
kdt ni hisoblaymiz, bu yerda k= 2σ1σ2
σ1+σ2
I 2
=
∫
− ∞+ ∞
e − x 2
k
dx ∙
∫
− ∞+ ∞
e − y 2
k
dy =
∫
− ∞+ ∞
∫
− ∞+ ∞
e − x 2
+ y 2
k
dxdy = ¿ ¿
[
x = ρsinφ
y = ρcosφ ]
∫
02 π
∫
0+ ∞
( e ¿ ¿ − ρ 2
k ρ ¿ dρ ) dφ =
∫
02 π
( − k
2 e − ρ 2
)
| + ∞
0 dφ = k
2 ∫
02 π
1 dφ = kπ ¿ ¿
I2= kπ
ekanligidan I=√
2σ1σ2
σ1+σ2
π topamiz.
h
1
( z ) = 1
2 π
√ σ
1 σ
2 √ 2 σ
1 σ
2
σ
1 + σ
2 π e − ¿ ¿ ¿
bundan ko ʻ rinadiki
τ1=ξ1+ξ2 tasodifiy miqdor τ1 N ¿ taqsimotga bo ʻ ysunar
ekan .
Agar xuddi shunday
τ2= ξ1+ξ2+ξ3=τ1+ξ3 ni hisoblasak
τ2 N (a1+a2+a3;σ1+σ2+σ3)
taqsimotga bo ʻ ysunishni ko ʻ rishimiz mumkin
Bundan shunday xulosaga kelish mumkinki , η =
∑
i = 1n
ξ
i tasodifiy
miqdorning taqsimoti
η N ¿ ko rinishda bo lar ekan. ʻ ʻ
1.21-misol
ξ1,ξ2 – t.m lar bog liqsiz va ʻ ξi E(λi) bo lsa, ʻ η = max { ξ
1 , ξ
2 }
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini toping.
F
ξ
i
( x ) = { 1 − e − λ
i x
, x > 0
0 , x ≤ 0 ,
f
ξ
i
( x ) = { λ
i e − λ
i x
, x > 0
0 , x ≤ 0 ,
29](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_29.png?v=1)
![Asosli baho
Agarda n cheksizlikka intilgandaTn=T(X1,… ,Xn) statistika ehtimol bo yicha ʻ
noma’lum parametr θ ga yaqinlashsa, ya’ni ixtiyoriy kichik ε>0 son uchun
limn→∞P{|T(X1,… ,Xn)− θ|<ε}=1
munosabat o‘rinli bo`lsa, u holda
T(X1,… ,Xn) statistik baho asosli baho
deyiladi.
Rao- Kramer tengsizligi. Effiktiv baholash
( X ( n)
, B ( n)
,{ P
θ ( n)
, θ ∈ Θ }) , Θ ⊆ R
- parametrik statistik modelni qaraylik. Har bir
Xi
kuzatilmaning f ( x , θ )
umumlashgan zichlik funksiyasi uchun Rao-Kramer
regulyarlik shartlarini kiritamiz:
1.
N f={x:f(x,θ)>0} to'plam θ
ga bog liq emas; ʻ
2. Θ = R
yoki
Θ - to'plam R dagi biror interval;
3. d
dθ f
( x , θ )
xususiy hosila mavjud va P
θ ( n)
, θ ∈ Θ
ga nisbatan
deyarli hamma yerda
∀ θ∈Θ uchun chekli;
4.
∀ θ∈Θ va i = 1,2 uchun ∫|
∂i
∂θif(x,θ)|μ(dx )<∞ ;
5.
∀ θ∈Θ : 0 < M
θ [ ∂
∂ θ ln f ( ξ , θ )] 2
< ∞
Biz
x(n) tanlanmaning f
n ( X ( n)
, θ ) =
∏
i = 1n
f ( x
i , θ )
– zichlik funksiyasini
qarayotganimizda 1 - 5 shartlarni f o rnida
ʻ fn ni ishlatamiz va integrallar
X ( n)
to plam bo yicha tushuniladi.
ʻ ʻ I ( θ )
funksiya ξ
tasodifiy miqdordagi θ
parametr
haqidagi Fisher informatsiyasi deyiladi.
X
( n)
tanlanmaga mos Fisher
informatsiyasini I
n ( θ )
orqali belgilaymiz.
Ushbu
I
n
( x ( n)
, θ ) = ∂
∂ x ln f
n ( x( n)
, θ ) =
∑
i = 1n
I ( x
i , θ ) ,
I(xi,θ)= ∂
∂xln fn(xi,θ),i=1,… ,n
41](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_41.png?v=1)
![- funksiyalar informantlar deb ataladi.{fn(x(n),θ),θ∈Θ }
uchun 1- 5 shartlar bajarilsin. U holda
In(θ)=¿(θ),θ∈Θ
Agar
{fn(x(n),θ),θ∈Θ } oila uchlun 1 – 5 shartlar bajarilsa va
differensiallanuvchi g ( θ )
funksiyaga siljimagan
^gn(X(n)) baho uchun barcha .
∀ θ∈Θ
larda
∫
|^ g
n ( X ( n)) ∂
∂ θ f
n ( x( n)
, θ )| μ ( dx ) < ∞ va D
θ ^ g
n < ∞
bo lsa. U holda
ʻ ∀ θ ∈ Θ
uchun
D
θ
^ g
n ( X ( n))
≥ [ g ' ( θ ) ] 2
¿
( θ )
tengsizlik o rinli bo ladigan
ʻ ʻ ^gn baho g ( θ )
uchun effektiv baho deyiladi
Misollar
2.1-misol. Agar
ξ1,ξ2,… ,ξn tanlanma E(λ) eksponensial taqsimotdan
olingan bo lsa,
ʻ λ noma’lum parameter uchun θ= 1
x bahoni effektivlikka
tekshiring.
Yechish: Bahoni effektivlikka tekshirishdan oldin bu bahoni siljimaganlikka
tekshirishimiz zarur, chunki siljigan baho effektiv bo la olmaydi.
ʻ
Agar M
λ θ = λ
tenglik bajarilsa, θ bahoni siljimagan baho deb ataymiz.
Buning uchun avvalo, θ = 1
x ni zichlik funksiyasini topib olishimiz zarur.
x= 1
n∑i=1
n
xiva fxi(x)={
λe−λx,x>0
0,x≤0
ekanligini hisobga olib,
η2=ξ1+ξ2
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h2(z) ni quyidagi formula
yordamida hisoblaymiz:
h2(z)= ∫−∞
+∞
fx1(x)∙fx2(z− x)dx =∫0
z
λe−λxλe−λ(z−x)dx =∫0
z
λ2e−λzdx =¿λ2e−λzx|
z
0= λ2ze−λz¿
η2:h2(x)={
λ2xe−λx,x>0
0,x≤0
η2=ξ1+ξ2+ξ3
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi h3(z) ni hisoblaymiz:
42](https://docx.uz/documents/1b21a09d-7fe0-4bc6-b401-e7a8141b9ec9/page_42.png?v=1)
Bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar funksiyalari