Bosh egriliklar, to'liq va o'rta egrilik - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	75000UZS
Hajmi	1.6MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	02 Yanvar 2024
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

Madrimov Madraxim

Ro'yxatga olish sanasi 02 Yanvar 2024

0 Sotish

Bosh egriliklar, to'liq va o'rta egrilik

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-
MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO’NALISHI
182-GURUH TALABASI XALBAEVA MALIKANING
DIFFERENSIAL GEOMETRIYA VA TOPOLOGIYA
FANIDAN
MAVZU: BOSH EGRILIKLAR, TO’LIQ VA O’RTA
EGRILIKLAR
Topshirdi: Xalbaeva Malika
Qabul qildi: Obidjonov Islom
Urganch 2020 KURS ISHI

REJA:
1. KIRISH
2. ASOSIY QISM
2.1 Sirt tenglamasi va uning berilish usullari
2.2 Sirt egriligi
2.3 Bosh egrilik, to’liq va o’rta egriliklar
3. XULOSA
4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR

1.KIRISH
Differensial geometriya-matematikaning geometrik obrazlarini, birinchi
navbatda chiziqlar va sirtlarni, chiziqlar va sirtlar oilasini cheksiz kichik
miqdorlar analizi metodi bilan o’rganuvchi qismidir.
Differensial geometriya analizning bo'limi sifatida paydo bo'lishi bilan
birgalikda uning rivojlanishiga ham hissa qo'shdi. Ko'pgina geometrik
tushunchalar analizning mos tushunchalarini rivojlantirishga olib kelgan.
Masalan, chiziqqa urinma tushunchasi funksiya hosilasi, soha yuzi, jismning
hajmi tushuncha lari integral tushunchasini kiritishda muhim rol o'ynagan.
Hozirgi nuqtai nazardan differensial geometriya va topologiya fani quyidagi
asosiy g'oyaga asoslangandir. Umuminy topologiya - geometriyaning bu
bo'limida yaqinlashishish va akslantirishlarning barcha umumiy xossalari
o'rganiladi.
Egri chiziqlar koordinatalari sistemasi g'oyasi rirovard natijada tenzorlar
analizi va invariantlar nazariyasiga olib keladi. Agar matematik tahlil va
ddifferensial tenglamalar fanlarida funksiyalar asosan lokal atrofada o'rganilsa,
geometriyada "katta" global atroflarda o'rganiladi.
Bu g’oya Evklid fazosidagi sohaning umumlashgani bo'lgan ko'pxillilik
tushunchasiga olib keladi.
Mazkur kurs ishi bosh egrilik, to’liq va o’rta egriliklar mavzusida bo’lib
kirish, asosiy qism,xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.Asosiy qism
uchta bo’limdan iborat birinchi bo’limda sirt tushunchasi , sirt tenglamasi sirtning
berilish usullari haqida ma’lumotlar berilgan.Ikkinchi bo’limda sirt egriliklari
haqida bayon qilingan.Uchinchi bo’limda bosh egrilik, to’liq va o’rta egriliklar
haqida bayon qilingan.

2.1. Sirt tenglamasi va uning berilish usullari
Tekislikdagi ochiq doiraga gomeomorf to’plamni elementar soha deb
ataymiz.
Ta’rif-1. Fazodagi to’plam elementar sohaning topologik
akslantirishdagi obrazi bo’lsa, uni elementar sirt deb ataymiz.
Demak, to’plam elementar sirt bo’lsa, - topologik akslantirish
mavjud bo’lishi kerak. Bu erda
elementar soha, esa dan keltirilgan
topologiya yordamida topologik fazoga aylantirilgan.Agar elementar sirt
bo’lsa, juftlik sirtni parametrlash usuli deyiladi.
Albatta boshqa elementar soha bo’lsa, va sohalar o’zaro
gomeomorf bo’ladi va agar gomeomorfizm berilgan bo’lsa,
gomeomorfizm sirtni parametrlashning boshsa usulidir.
Demak, elementar sirt uchun cheksiz ko’p parametrlash usullari mavjuddir.
Birorta to’plamning elementar sirt ekanligini ko’rsatish uchun, uning uchun birorta
parametrlash usulini ko’rsatish kerak.
Agar sirt parametrlash usuli bilan berilib, uchun f(u,v)
nuqtaning koordinatalari ko’rinishda belgilsak
(1)
sistema sirtning parametrik tenglamalari sistemasi deyiladi.
Ta’rif-2. Fazodagi bog’lanishli to’plamga tegishli har bir nuqtaning
birorta atrofida elementar sirtga aylansa, sodda sirt deyiladi.
Ikkinchi ta’rifga izoh beramiz. Demak, sodda sirt bo’lshi uchun unga
tegishli har bir nuqta uchun shunday atrof ( fazoda) mavjud
bo’lib, kesishma elementar sirt bo’lishi kerak.
Keyinchalik kurs davomida sirt deganda elementar yoki sodda sirtni
tushunamiz.
Misollar.

1) Har qanday tekislik elementar sirtdir, chunki tekislik doi raga
gomeomorfdir.
Agar tekislik nuqtasi, va vektorlar tekislikka parallel
bo’lsa, uni
ko’rinishida parametrlash mumkin. Bu yerda vektor nuqta ning
radius vektoridir.
2) Elementar sohada aniqlangan uzluksiz funksiyaning
grafigi elementar sirtdir. Sababi, akslantirish (proektsiya)
gomeomorfizmdir.
Chizma-1
3) Ikki o’lchamli sfera elementar bo’lmagan sodda sirtdir. Radiusi ga
teng sferaning markaziga koordinatalar boshini joylash tirsak, uni
to’plam sifatida qarashimiz mumkin. Bu
sferaning
sirt ekanligini isbotlash uchun unga tegishli birorta nuqtani olaylik. Bu
nuqtadan farqli nuqtani janubiy qutb sifatida, unga diametrik qarama-qarshi
bo’lgan nuqtani shimoliy qutb hisoblab, o’qini koordinata boshidan
nuqta orqali o’tkazamiz, tekisligi esa nuqtadan o’tuvchi va ga
perpendikulyar tekislikdir Bu tekislik va sfera kesishishidan hosil bo’lgan aylanani
ekvator deb ataymiz. Endi bilan nur va o’qi orasidagi burchakni,
bilan va nurlar orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu yerda nuqta
meridianning ekvator bilan kesishish nuqtasidir, . Shunda
sferaning meridian chiqarib tashlangan qismi akslan tirish

yordamida elementar sohaga gomeomorf akslantiri ladi va
tenglamalar yordamida parametrlanadi.
Chizma-2
4) Doiraviy silindrni tenglamalar sistemasi
yordamida parametrlash mumkin. Bu erda , . A lbatta
silindr ham elementar sirt emas (3 -chizma).
Chizma-3
Agar biz vektor funksiyani kiritsak (1)
tenglamalar sistemasini bitta
, (2)N

vektorni tenglama yordamida yoza olamiz. Bu tenglama sirtning vektor
ko’rinishdagi tenglamasi deyiladi. Tabiiyki, sirt elementar sirt bo’lmasa, (1) va
(2) tenglamalar uni birorta nuqta atrofida aniqlaydi. Agar elementar sirt bo’lsa,
uni to’liq (1) yoki (2) tenglamalar yordamida aniqlash mumkin.
2. Sirtning oshkormas ko’rinishda berilishi.
Bizga ochiq to’plam va da aniqlangan silliq funksiya
berilgan bo’lsin.
Shunda to’plam funksiyaning sath
to’plami yoki sirti deyiladi. Agar bo’lsa, haqiqatdan ham sodda sirt
bo’ladi. Haqiqatdan, agar nuqtada Fz 0 bo’lsa, oshkormas
funksiya haqidagi teoremaga ko’ra, shunday
0 sonlari va
sohada aniqlangan funksiya mavjud
bo’lib, bo’lganda tenglik uchun, va
z f x y 0  ( ; ) 
munosabatlar bajarilib,
parallelipipedning bilan kesishmasi funksiyaning grafigidan
iboratdir. Demak, o’ziga tegishli har qanday nuqtaning yetarli kichik atrofida
elementar sirt bo’ladi.
Bizning kursimizda asosiy metod matematik analiz bo’lganligi uchun, biz
sirtlardan qo’shimcha shartlarni talab qilamiz.
Ta’rif-3. Berilgan sirt uchun unga tegishli ixtiyoriy nuqta atrofida
parametrlash usuli mavjud bo’lib, bunda funksiyalar
uzluksiz xususiy hosilalarga ega va matritsaning rangi ikkiga teng
bo’lsa, sirt regulyar sirt deyiladi, parametrlash usuli esa regulyar
parametrlash deyiladi.
Sirtning regulyarlik shartini ko’rinishda ham yozishimiz mumkin.
Biz kursimizda asosan regulyar sirtlarni o’rganamiz.
Endi sirtlarning berilish usullari haqida quyidagi teoremalarni isbotlaylik.

Teorema-1. Bizga sohada aniqlangan silliq x u v y u v z u v ( ; ), ( ; ), ( ; )
funktsiyalar berilib, har bir nuqtada tenglik o’rinli bo’lsa,

sistema regulyar sirtni aniqlaydi.
Isbot: Teoremani isbotlash uchun
F
to’plamning sodda sirt ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun esa to’plamga
tegishli ixtiyoriy nuqtaning yetarli kichik atrofida
elementar sirt ekanligini ko’rsatamiz. Birorta
0 va
ochiq doira uchun
qoida bilan aniqlangan
akslantirishni qaraymiz. Berilgan funksiyalar uzluksiz
bo’lganligi uchun
f ham uzluksiz akslantirishdir. Agar f o’zaro bir qiymatli
bo’lsa, uning teskarisi
f1 mavjud va uzluksiz bo’ladi ( f1 uzluksizligi ham
va funktsiyalar uzluksizligi va teorema shartidandan kelib
chiqadi), demak ning
p0 nuqtani o’z ichiga oluvchi f G( ) qismi elementar
sirt bo’ladi.
Shuning uchun birorta
0 uchun f akslantirishning o’zaro bir qiymatli
akslantirish ekanligini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, va doiraga tegishli va
har xil nuqtalar uchun
f ( ; ) u v i i 1 1  f
tenglik o’rinli bo’lsin.
Umumiylikni chegaralamasdan aniqlik uchun
u u i i 1 2  va deb faraz qilaylik.
Shunda,
x ( ; ) u v i i 1 1
- x ( ; ) u v i i 2 2  0 , y ( ; ) u v i i 1 1 - y ( ; ) u v i i 2 2  0 , z ( ; ) u v i i 1 1 -
z ( ; ) u v i i 2 2  0
tengliklardan va Lagranj teoremasidan

tengliklarni olamiz. Bu yerda pi1,pi2,   p u u i i i 3 1 2  , , qi1,qi2,   q v v i i i 3 1 2  , va u u i i 2 1  va
v v i i 2 1 
sonlari bir vaqtda nolga aylana olmaydi.
Shuning uchun yuqoridagi tengliklardan

munosabatni olamiz. Bu munosabatda va funksiyalar
uzluksizligidan foydalanib,
i  limitga o’tsak,
munosabatni olamiz.
Bu munosabat esa teorema shartiga zid bo’lgan,
tengsizlikka teng kuchlidir. Demak, farazimiz noto’g’ri, va
0 etarli kichik
bo’lganda akslantirish topologik akslantirishdir. Bundan esa,
to’plamning
p0 nuqtani o’z ichiga oluvchi f G( ) qismi elementar sirt ekanligi
kelib chiqadi.
Teorema-2. Regulyar sirt unga tegishli nuqta atrofida,
x x u v
y y u v
z z u v






( , )
( , )
( , )
,
parametrik tenglamalar yordamida berilib, nuqtada determi nant
noldan farqli bo’lsa, shunday silliq
f x y ( , ) funksiya mavjudki nuq taning
atrofida sirt
z  f x y ( , ) funksiyaning grafigidan iboratdir.
Izoh. Biz regulyar sirtlarning parametrlash usulini
tanlaganimizda har doim
xu,xv, yu, yv , hosilalar mavjud va uzluksiz

bo’lishini talab qilamiz.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun, , sistemaga
ga matematik analiz kursidagi teskari funksiyalar haqidagi teoremani qo’llaymiz.
Bu teoremaga asosan shunday   0 soni va
sohada aniqlangan shunday differensiallanuvchi
u u x y  ( ; ), v v x y  ( ; )
funksiyalar mavjudki, ular
x(u x y ( ; ), v x y ( ; ) ) x, y(u x y ( ; ), v x y y ( ; )) 
tengliklarni qanoatlantiradi va
u x y u ( ; ) , 0 0 0  v x y v ( ; ) , 0 0 0  munosabatlar o’rinli
bo’ladi. Demak, nuqta atrofida sirt
z z  (u x y ( ; ),
funksiyaning grafigidan iboratdir.
Regulyar sirtning nuqta atrofida regulyar
( , ) f G para metrlash
usuli
(1)
tenglama yordamida berilgan, sirt ustida nuqtadan o’tuvchi
 egri chiziq
berilgan bo’lib, u
(2)
tenglama yordamida parametrlangan va bo’lsin.
Aniqlik uchun, sirt nuqtasi sifatida koordinatalarga, egri chiziq
nuqtasi sifatida parametrning qiymatiga mos kelsin. Tabiiyki, har bir
uchun shunday nuqta mavjud bo’lib,
(3)
tenglik o’rinli bo’ladi. Agar
 silliq egri chiziq bo’lsa, funksiyalar ham
differensiallanuvchi funksiyalar bo’ladi. Buni isbotlash uchun sirtning regulyar
sirt ekanligidan foydalanamiz. regulyar sirt bo’lganligi uchun
tenglik o’rinli. Aniqlik uchun bo’lsin deb faraz qilib,
sistemani qaraymiz.

Agar silliq egri chiziq bo’lsa, vektor funksiyaning koordinatalari
differensiallanuvchi funksiyalar bo’ladi. Birorta uchun
va belgilashlar kiritib,
sistemani
boshlang’ich shartlar bilan qaraymiz. Teskari funksiya haqidagi teoremaga asosan
shunday sonlari va
sohada aniqlangan va differensiallanuvchi funk siya lar
mavjud bo’lib, ular
munosabatlarni qanoatlantiradi. Biz umumiylikni chegaralamasdan
soha uchun munosabat o’rinli deb
hisoblaymiz.
Endi sonini shunday tanlaymizki, bo’lganda
munosabatlar bajarilsin. qoida bilan
aniqlangan proeksiya yordamida uchun
tenglikni hisobga olib,
differensiallanuvchi funksiya larni aniqlaymiz. Bu funksiyalar va
tengliklarni qanoatlantiradi va nuqta atrofida aniqlangan
funk siyalar bo’ladi. Bu nuqta ixtiyoriy tanlangani uchun funk siyalar
oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchidir.
Agar  regulyar egri chiziq bo’lsa, u holda

tenglikdan larning bir vaqtda nolga teng bo’lmasligi kelib chiqadi. Shunday
qilib, egri chiziqni
tenglamalar bilan berish mumkin. Bu tenglamalar chiziqning ichki
koordinatalardagi tenglamalari deb ataladi.
Berilgan sirtda va tenglamalar
bilan aniqlanuvchi egri chiziqlar koordinata chiziqlari deb ataladi. Koordinata
chiziqlarining urinma vektorlari mos ravishda va vektorlardir
(4-chizma).
Chizma-4
Ta’rif-1. Berilgan vektor sirt ustida yotuvchi egri chiziqning
nuqtadagi urinma vektori bo’lsa, u sirtga nuqtadagi urinma vektor deb
ataladi.
Teorema-3. Regulyar sirtning berilgan nuqtadagi urinma vektor lari
to’plami ikki o’lchamli chiziqli fazodir.
Isbot. - regulyar sirt, - unga tegishli nuqta va -birorta urin ma
vektor bo’lsin.

Agar sirt (1) tenglama yordamida regulyar parametrlangan, vektoru u t  (), v v t  ()
tenglamalar yordamida aniqlangan egri chiziqning nuqtadagi
urinma vektori bo’lsa,
,
tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, ixtiyoriy urinma vektorni , -vektorlar
yordamida chiziqli ifodalash mumkin.
Bundan kelib chiqadiki, urinma vektorlar to’plamida, vektorlar
bazisni tashkil qiladi.
Ta’rif-2. Berilgan sirtning nuqtasidan o’tuvchi va
vektorlarga parallel tekislik nuqtadagi urinma tekislik deb ataladi.
Urinma tekislik ta’rifida sirtning parametrlanish usuliga bog’ liq va
vektorlar qatnashishiga qaramasdan urinma tekislik tushun chasi sirtning parametrlanish
usuliga bog’liq emasligini quyidagi teorema ko’rsatadi:
Teorema-4: Bizga sirtning nuqtadan o’tuvchi tekislik derilgan
bo’lib, - sirtning ga yaqin nuqtalaridan biri, - va nuqtalar orasidagi
masofa, - nuqtadan tekislikgacha bo’lgan masofa bo’lsin. Shunda
tekislik nuqtadagi urinma tekislik bo’lishi uchun,
( )
tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isbot: Biz tekislikning birlik normal vektorini bilan belgilaylik. Agar
sirt nuqtada tenglama bilan parametrlangan bo’lsa, va
nuqtalar orasidagi masofa uchun
,
h
uchun esa

formula o’rinli bo’ladi. Shunda,

bo’ladi. Bu erda, nuqtaga
mos keluvchi argumentlardir.
Zarurlik: urinma tekislik bo’lsin.Ta’rifga ko’ra, -tekislik
vektorlarga parallel bo’lgani uchun, tenglik o’rinlidir.
Teylor formulasidan foydalanib, tenglikni
yozib va tenglikni hisobga olsak, munosabat kelib chiqadi.
Etarlilik: Berilgan tekislik uchun ( ) tenglik o’rinli bo’lsin. U holda
( )
tenglikda u  0 va v 0 hollar uchun va tengliklarni
hosil qilamiz. Demak, tekislik urinma tekislikdir.

Chizma-5 Chizma-6

2.2. Sirt egriligi
Tabbiy uchyoqlikning qirralaridagi birlik vektorlarni bilan
belgilaymiz.
Nuqta chiziq bo’ylab harakat qilganda, uchyoqlik va shu bilan birga bu
vektorlar ham o’zgara boradi.
Endi chizig’imizda parametr sifatida yoy uzunligi olinsa, lar shu
ning funksiyalari bo’ladi:
Bu birlik vektorlarning o’zgarishini bilish uchun, ularning bo’yicha
xosilalarini olamiz:
Vektorlar algebrasining ma’lum teoremasiga asosan ning har birini
orqali ifodalash mumkin:
Bizning vazifamiz: koeffisientlarini topishdir. birlik
vektor, shu sababli uning xosilasi ning o’ziga tikdir; demak normal tekislikda
yotadi. Biroq, vektor radius- vektorlarining ikkinchi xosilasi bo’lgani
uchun u albatta yopishma tekislikda yotadi.
Demak, vektor normal tekislik bilan yopishma tekislikning kesishgan
bosh normal bo’yicha yo’nalgandir.

Agar ni harfi bilan belgilasak, u holda bo’lib, vektor egrilik
vektori deb ataladi.
Demak,
(1)
Bu- Frenening birinchi formulasidir.
(1) dagi koeffisient chiziqning egrilikini ifodalashini topamiz.
Endi ni topamiz, Ravshanki, . Bundan xosila olamiz:
.
Bu tenglikining o’ng tamonidagi birinchi had nol vektorga aylanadi, chunki (1) ga
ko’ra :
demak,
Shunday qilib, vektor ga va ga tik.
Shularga asosan, vektor ham bosh normali bo’yicha yo’nalgan bo’lib,
ga kollinearlik koeffisientini - bilan belgilaylik.
vektor- chiziqning buralish vektori , esa chiziqning buralishi yoki ikkinchi
egriligi deyiladi.
Bu formula Frenening uchinchi formulasidir.
Endi ga o’taylik; vektorlar xuddi o’ng Dekart sistemasining
birlik vektorlari singari joylashgan, shu sababli: .Bundan hosila olamiz:

yoki
.
Ammo
.
Demak,
.
Bu – Frenening ikkinchi formulasidir.
Xullas, yuqorida eslatilgan yoyilmalar quyidagicha bo’ladi:
, , (2)
Frenening bu uchta formulasi fazoviy chiziqlar nazariyasida katta axamiyatga ega
bo’lib, ularga kiruvchi egrilik va buralish chiziqning sof geometrik
xossalarini ifodalaydi.
Yoyilma koeffisientlaridan
matritsa tuzib, uning antisimmetrik matritsa ekanini ko’rsatamiz.

2.3. Bosh egrilik, to’liq va o’rta egrilik
sirtni uning nuqtasidan o’tuvchi tеkislik bilan kеssak, kеsimda R
nuqtadan o’tuvchi silliq egri chiziq hosil bo’ladi. Bunday egri chiziqni tеkis kеsim
dеb ataymiz. Agar tеkis kеsim bo’lsa, albatta uning buralishi nolga tеng bo’ladi.
(nima uchun?)
Endi sirtning nuqta atrofidagi paramеtrlash usulini
qaraylik. Aniqlik uchun ning ichki koordinatalari bo’lsin.
Tеkis kеsim tеnglamasini tabiiy paramеtr (ya’ni yoy uzunligi) yordamida
ko’rinishda yozib, uning uchun Frеne formulalarini yozaylik
(buralish nolga tеngligini hisobga olib)
.
Bu еrda - birlik normal vеktor,
esa
chiziqning nuqtadagi egriligi.
Shunda
ni hosil qilamiz. Bu еrda va vеktorlar orasidagi burchak. Endi
ni
tеnglama bilan aniqlasak (bu еrda -iõtiyoriy paramеtr), unda - ni
ning funksiyasi ekanligidan va
tеngliklarni hisobga olib
ni hosil qilamiz.
Bundan
(1)
tеnglikni hosil qilamiz. Bu tеnglikning o’ng tomoni faqat
vеktorga bog’liqligi
ko’rinib turibdi. Agar
dan boshqa tеkis kеsim
ni olsak, va ular umumiy

urinmaga ega (ya’ni bir õil yo’nalishga ega bo’lsa), ular uchun (
1 ) tеnglikning o’ng
tomoni bir õildir. Bu formulani tеorеma shaklida yozamiz.
Tеorеma-1 (Mеn’е). sirtning nuqtasidagi iõtiyoriy urin ma vеktor
va nuqtadagi urinma vеktori
ga tеng bo’lgan tekis kеsim uchun (
1 ) formula
o’rinlidir.
Endi kеsuvchi tеkislik normal
vеktorga parallеl bo’lsin. Bu holda
tеkis kеsim urinmasiga vеktor pеrpеndikulyar bo’ladi. Demak va (
1 )
tеnglik
ko’rinishga kеladi.
Bu holda tеkis kеsimni normal kеsim dеb ataymiz.
Ta’rif-1. soni sirtning nuqtadagi yo’nalish bo’yicha
normal egriligi dеyiladi va bilan belgilanadi.
Shunday qilib, sirtning yo’nalish bo’yicha normal egriligi vеktor
aniqlovchi normal kеsimning egriligiga absolyut qiymati bo’yicha tеng, ishorasi
farq qilishi mumkin.
Tеorеma-2 . matritsaning õos va vеktorlar yo’nalishlari
bo’yicha normal egriliklar mos ravishda shu matritsaning õos sonlariga tеng
bo’ladi.
Isbot.
ni hisoblash uchun da va xos vektorlardan iborat ortonormal bazisni
tanlasak,
va tengliklar o’rinli bo’ladi.
ning skalyar ko’paytma ekanligini hisobga olsak,
kеlib chiqadi. Dеmak bu bazisda

va .
Demak,

tengliklar kеlib chiqadi.
Ta’rif-2. Bosh yo’nalishlarga mos kеluvchi normal egriliklar bosh egriliklar
dеb ataladi.
Endi -urinma fazoda bazis sifatida birlik xos va
vеktorlarni
olib, iõtiyoriy vеktor uchun bilan va orasidagi burchakni bеlgilaylik.
Tеorеma-3 (Eylеr). Ixtiyoriy urinma vеktor uchun
tеnglik o’rinlidir. Bu еrda -bosh egriliklar bo’lib, aniqlik uchun dеb
hisoblaymiz.
Isbot. Urinma vеktorni ko’rinishda yozib ni
hisoblaymiz:
Natija. Bosh egriliklar normal egrilikning ekstrеmal qiymatlaridir.
Haqiqatan ham, urinma fazoda va ortonormal bazislarni tanlasak,
yo’nalish aniqlovchi normal egrilikni ning funksiyasi sifatida qaraymiz:
.
da va
da va . Iõtiyoriy uchun yuqoridagi formulani

ko’rinishda yozib,

ni hosil qilamiz. tеnglamani yеchib va ni topamiz. Dеmak,
va , funksiyasining ekstrеmal qiymatlaridir.
Rеgulyar sirtning nuqtasini fiksirlab, iõtiyoriy urinma vеktor
bo’yicha normal egrilikni hisoblab, urinma tеkislikda yo’nalish bo’yicha
boshi nuqtada joylashgan uzunligi ga tеng bo’lgan kеsma olib, bu
kеsmalar uchlarining gеomеtrik o’rnini D’yupеn indikatrisasi dеb ataymiz.
D’yupеn indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziq ekanini isbotlash uchun
sirtning tеnglama bilan aniqlangan paramеtrlash usulini tanlab
nuqtadan o’tuvchi urinma tеkislikda vеktorlarni
bazis sifatida olib, affin koordinatalar sistеmasini kiritamiz. Iõtiyoriy yo’nalish
bo’yicha boshi nuqtada va uzunligi ga tеng bo’lgan kеsma oxirini
bilan bеlgilasak
tеnglikni hosil qilamiz. Bu tеnglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib,
tеnglamani hosil qilamiz. Bu еrda
tenglikni hisobga olsak,
t е nglamani hosil qilamiz. D е mak, D’yup е n indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziqdir.
Biz analitik g е om е triya kursida ikkinchi tartibli chiziqlarni o’rgangan edik.
Shuning uchun ayta olamizki, agar
a) bo’lsa, D’yupеn indikatrisasi ellips bo’ladi.

b) bo’lsa D’yupеn indikatrisasi gipеrbola bo’ladi.
v) bo’lsa D’yupеn indikatrisasi 2 ta parallеl to’g’ri chiziq bo’ladi.
sirtning nuqtasidagi bosh egriliklar bo’lsa, va
ifodalar mos ravishda sirtning nuqtadagi o’rta va to’liq (yoki
Gauss) egriliklari dеb ataladi. Bosh egriliklar tеnglamaning еchimi
ekanligini hisobga olsak
va
formulalarni hosil qilamiz. Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangani uchun
Gauss egriligining ishorasi
fodaning ishorasiga bog’liqdir. Agar
nuqtada K>0 bo’lsa, uni elliptik nuqta, bo’lsa, gipеrbolik nuqta, agar
bo’lsa, ni parabolik nuqta dеb ataymiz.
Birorta yo’nalish bo’yicha bo’lsa, bunday yo’nalishni
asimptotik yo’nalish dеb ataymiz. vеktor aniqlovchi yo’nalish asimptotik
yo’nalish bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yеtarlidir.
Elliptik nuqtada asimptotik yo’nalishlar yo’q, gipеrbolik nuqtada ikkita
asimptotik yo’nalish mavjud, parabolik nuqtada bitta asimptotik yo’nalish mavjud
va nihoyat yassilanish nuqtasida (ya’ni bo’lganda) hamma yo’nalishlar
asimptotik yo’nalishdir.
F sirtda silliq chiziq , tеnglama bilan bеrilib, uning har
bir nuqtasida urinma vеktori asimptotik yo’nalishni aniqlasa, bunday chiziq
asimptotik chiziq dеyiladi. Tabiiyki, sirtda to’g’ri chiziq yotsa, u asimptotik chiziq
bo’ladi. Analitik gеomеtriya kursidan bilamizki, bir pallali gipеrboloidning har bir
nuqtasida ikkita asimptotik yo’nalish mavjud. asimptotik chiziq bo’lishi uchun
funksiyalar diffеrеnsial tеnglamaning
yеchimlari bo’lishi zarur va yеtarlidir. F sirtda va tеnglama
bilan aniqlanadigan chiziqlar (ya’ni koordinata chiziqlari) asimptotik chiziqlar
bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yеtarlidir.

Elliptik nuqta
Chizma-7
Giperbolik nuqta Chizma-8
Parabolik nuqta
Chizma-9

3. XULOSA
Ko’pgina geometrik tushunchalar analizning mos tushunchalarini
rivojlantirishga olib kelgan. Masalan, chiziqqa urinma tushunchasi
funksiya hosilasi, soha yuzi, jismning hajmi tushunchalari integral
tushunchasini kiritishda muhim rol o'ynagan.
Bu kurs ishni bajarish differenesial geometriya va topologiyaga
bag’ishlangan bo’lib, sirt haqida tushuncha,sirtning tenglamasi va
ularning berilish usullari, sirt egriliklari, sirntning normal egriligi,
sirtning bosh egriligi, to’liq va o’rta egriliklar atroflicha ma’lumotlar
bayon qilingan. Mazkur kurs ishini yozish mobaynida differensial
geometriya va topologiya fanidan bilimlarimni mustahkamladim.

4. FOYDALANGAN ADABIYOTLAR
1. Sobirov M.A., Yusupov A.Ye. Differensial geometriya kursi, 1976.
2. Norden A.P. Kratkiy kurs differensialnoy geometrii, 1959.
3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М., 1974.
4. Сборник задача по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С.
М., 1979.
5. Jurayev Yu.Y., Sharipov F. Differensial geometriya va topologiya, I qism,
ma’ruzalar matni, 2002.
6. Jurayev Yu.Y. Differensial geometriya va topologiya, II qism, ma’ruzalar
matni, 2002.
7. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. университет, 2003.
8. Нарманов А.Я. ва бошкалар. Умумий топологиядан машк ва масалалар
туплами. Т. Университет, 1996.

Geometriyadan sirt , egriliklar haqida malumot berilgan

Sotib olish