Almashtirishlar gruppasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	8.3MB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	16 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

80 Sotish

Almashtirishlar gruppasi

Sotib olish

KIRISH
“ Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan,
yuksak intellektual va ma’naviy salohiyatiga ega
bo’lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech
qaysi sohada bo’sh kelmaydigan insonlar bo’lib
kamol topishi, baxtli bo’lishi uchun davlatimiz
va jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatini
safarbar etamiz”
SH.M.Mirziyoyev.
Masalaning predmeti va obekti : Ushbu kurs ishi “ Almashtirishlar
gruppasi. Qism gruppasi ” nazariyasiga bag’ishlangan bo’lib, unda asosan affin va
dekard koordinatalar masalalariga qaratilgan.
Kurs ishining dolzarbligi: O’quvchilarni analitik geometriya fanidan
tayyorgarligini rivojlantirishda Almashtirishlar gruppasi. Qism gruppasi masalalari
muhim ahamiyatga ega. Yechilish uslubiga ko’ra bunday masalalar o’quvchilarda
Tekislikda affin va dekard kordinatalarini almashtirish, bog’lanishlar o’rnata olish
ko’nikmalari shakllanadi. Shuningdek, geometrik masalalar o’quvchilarda
geometrik intuitsiyani, mantiqiy tasavvurni rivojlantiradi.
Kurs ishining maqsad va vazifalari: Almashtirishlar gruppasi. Qism
gruppasi kelib chiqqanligi va qaysi sohalarda ishlatiladi, qanday turlari bor, qanday
obektlar bilan birga qo’llaniladi, uning xarakteristikasi haiqda batafsil ma’lumot
beradi.
Kurs ishining tarkibi: Ushbu kurs ishi kirish qism, ikkita bobdan iborat
hamda xulosa va adabiyotlar royhatini o’z ichiga oladi.
Kurs ishining ahamiyati : Ushbu kurs ishi referat harakterga ega.
O'quvchining hayotiy ta'savvurlari bilan amaliy faoliyatlarini umumlashtirib
borib, matematik tushuncha va munosabatlarni ular tomonidan ongli o'zlashtirishda
hamda hayotga tadbiq eta olishga intilishni;
2

O'quvchilarda izchil mantiqiy fikrlashni shakillantirib borish natijasida
ularning aql-zakovati rivojiga, ta'biat va jamiyatdagi muammolarini hal etishning
maqbul yo'llarini topa olishlariga ko'maklashishni;
Insoniyat kamoloti, hayotining rivoji, texnika va texnalogiyaning
takomillashib borishi asosida fanlarning o'qitishga bo'lgan talablarni hisobga olgan
holda maktab matematika kurslarining zamonaviy rivoji bilan uyg'unlashtirishni;
Vatanparvarlik, milliy g'ururni tarkib topdirish, rivojlantirish,
matematikarivojiga qomusiy olimlarimiz qo'shgan ulkan xissalardan o'quvchlarni
xabardorqilish;
Jamiyat taraqqiyotida matematikaning ahamiyatini his qilgan holda
umuminsoniy madaniyatning tarkibiy qismi sifatida matematika to'g'risidagi
tasavvurlarni shakllantirishni;
Hisoblashning amaliy ko'nikmalari va xisoblash madaniyatini
shakllantirishni;
Algebraik amallarni bajarish va ko'nikmalarni shakillantirish va ularning
matematika va boshqa sohadagi masalalarni yechishda qo'llashni;
O'rganilayotgan tushuncha va uslublar hayotda va tabiatda ro'y berayotgan
hodisalarni matematik modellashtirish vositasi ekanligi to'grisidagi tasavvurlarni
shakillantirishniamalga oshirishga hizmat qiladi. Akademik litsey va kasb-hunar
kollejlarida matematikani o'qitishda ko'zda tutilgan asosiy maqsad
quyidagidaniborat;
Uzluksiz ta'lim tizimining umumtalim va o'rta maxsus kasb-hunar ta'limi
majburiy etib belgilanishi va bu ta'lim boshqichlarida o'rgatiladigan fanlarni Davlat
ta'lim standartlarining yaratilishi, ularning mazmunini qayta taxlildan o'tkazib,
yangi avlod o'quv adabiyotlari yaratiladi. Darsliklar va o'quv qo'llanmalarni
yaratishda ularning ta'lim bosqichlari bo'yicha uzluksizligi va ta'lim mazmuni
bo'yicha uzviyligini taminlashga katta e'tibor beriladi.
Uzluksiz ta'lim tizimining umumiy ta'lim maktablari uchun matematikadan
bugungi kunda qo'llanilayotgan darslik va o'quv uslubiy qo'llanmalar o'quvchilarga
chuqurnazariy bilimlar berish, vatanga sadoqat, yuksak axloq, ma'naviyat va
3

ma'rifat, mehnatga vijdonan munosabatda bo'lish ruhida tarbiyalash, xozirgi zamon
bozor iqtisodiyotini hisobga olgan holda har bir jamiyat a'zosining mehnat va
kundalik hayoti uchun zarur bo'lgan matematik bilim, ko'nikma va malakani tarkib
toptirish bilan bir qatorda davlat ta'lim standartlarida belgilab qo'yilgan bo'lgani
uchun ham bu yerda, matematika o'qitishda o'quvchilarning ilgari olgan bilimlarini
chuqurlashtirish, amaliyotda tadbiq qilishda abstrakt va mantiqiy fikrlashni
o'stirish;
O'quvchilarda izchil mantiqiy fikrlashni shakillantirib borish natijasida
ularningaql-zakovati rivojiga, tabiat vajamiatdagi muammolarni hal etishning
maqbulyo'llarini topa olishga ko'maklashishi;
O'quvchilarni vatanparvarlik, milliy g'ururni tarkib toptirishni rivojlantirish;
O'quvchilarni qomusiy olimlarimizning matematika rivojiga qo'shgan ulkan
hissalaridan xabardor qilish;
Jamiyat tarqqiyotida matematikaning ahamiyatini his qilgan holda
umuminsoniy madaniyatning tarkibiy qismi sifatida matematika to'g'risidagi
tasavvurlarni shakllantirish.
Oliy o'quv yurtlari geometriya kursida aylanma sirtlarni yechishda ketma-ket
soddaroq bo'lgan misollardan boshlash kerak.
ANALITIK GEOMETRIYA — geometriya bo limi; Unda soddaʻ
geometrik obrazlar (nuqtalar, to g ri chiziqlar, tekisliklar, ikkinchi tartibli egri
ʻ ʻ
chiziqlar va sirtlar) koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan o rganiladi.
ʻ
Koordinatalar usulining mohiyati quyidagicha: a tekislikda
o zaro
ʻ perpendikulyar Ox va Ou to g ri chiziqlarni chizamiz, ularda musbat ʻ ʻ
yo nalishlarni, koordinata boshi O nuqtani va
ʻ masshtab birligi ye ni tanlab olamiz.
Bu holda a tekislikda to g ri burchakli
ʻ ʻ dekart koordinatalar tizimi Ou berilgan
deyiladi; Oxabssissalar o qi, Ou esa ordinatalar o qi deyiladi. Tekislikdagi
ʻ ʻ
ixtiyoriy M nuqtaning holati OMx va OMu kesmalarning (tegishli ishora bilan
olingan) uzunliklari x va u bilan bir qiymatli aniqlanadi. Abssissasi x va ordinatasi
u bo lgan M
ʻ nuqta (Mx,u) kabi belgilanadi. Shua tekislikda biror chiziq olingan
bo lsa, unga tegishli nuqtalarning va faqat shu nuqtalarning koordinatalari
ʻ
4

(fx,u)=0
tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglama L chiziq tenglamasi deyiladi. Tekislikdagi
Analitik geometriyada to g ri chiziqlar, ikkinchi tartibli egri chiziqlar (ellips,ʻ ʻ
parabola, giperbola ) batafsil o rganiladi. Fazoda hamda
ʻ ekart koordinatalar tizimi
kiritiladi va turli chiziqlar, tekisliklar, ikkinchi tartibli sirtlar ularning tenglamalari
vositasida o rganiladi.
ʻ
Affin geometriya – mat.ning bir sohasi. Unda bir o‘lchovli fazoda chekli
sondagi vektorlar, shuning-dek algebraik chiziq va sirtlarning affin almashtirishlar
(mas, to‘g‘ri chiziqlar to‘g‘ri chiziqlarga, nuqtalar nuqtalarga o‘tadigan
almashtirishlar)da saqlanadigan (invariant) xossalari o‘rganiladi.
Affin almashtirishlarning muhim xossalaridan biri – tekisliqsa berilgan
uchburchakni berilgan ikkinchi uch-burchakka o‘tkazuvchi yago-na affin
almashtirish mavjud; shunga o‘xshash tasdiq bir o‘lchovli fazo uchun ham
o‘rinli. Vektorlar , chiziq va sirtlarning affin almashtirishda saqlanadigan xos-salari
affin invariantlar deyiladi. Mac, uchburchakning to‘g‘ri burchakliligi affin
almashtirishda saqlanmaydi, binobarin, bu xossa affin invariant emas, shuningdek
kesma uchburchakning bissektrisasi bo‘lishi ham affin invariant emas, ammo
uchburchak medianalarining kesishish nuqtasida 1:2 nisbatda bo‘linishi
invariantdir. Affin almash-tirish natijasida ellips yana ellipega, giperbola yana
giperbolaga, parabola yana parabolaga almashinadi. Shuning uchun
hamma ellipslar (shuningdek, giperbola va parabola ham) bitta affin sinfni tashkil
qiladi.
5

$1.1. Geometrik almashtirishlar gruppasi. Geometrik almashtirish - to g ri chiziq, tekislik yoki fazoni o zaro birʻ ʻ ʻ qiymatli akslantirish; ma lum qonuniyat va qoidalarga asosan berilgan figuradan ʼ yangi figura hosil qilish. Masalan, o q simmetriyasi yoki markaziy simmetriya — ʻ eng oddiy geometrik almashtirish Uni quyidagicha ta riflash ham mumkin. ʼ Ma lum qoida asosida tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikdagi aniq ʼ Af nuqta mos keltirilsa, tekislikdagi nuqtalarni almashtirish yo li aniqdangan yoki ʻ qisqacha, almashtirish berilgan deyiladi va bu ramziy tarzda quyidagicha ko rsatiladi: f(M)=M\ Bundagi M’ nuqta M nuqtaning obrazi (aksi), M nukta esa ʻ M’ nuqtaning pro-obrazi (asli) deyiladi, / ramzi almashtirishning nimadan iboratligini ko rsatadi. M’ nuqtaning vaziyati M nuqtaning vaziyatiga bog liq ʻ ʻ bo lgani uchun Af nuqta M nuqtaning argumenta, M nukta esa Af nuqtaning ʻ funksiyasi deyiladi. Figuralar analitik usulda ham almashtirilishi mumkin. Geometriyada har bir nuqtaning pro-obrazi bittagina nukta bo lgan obrazlarni hosil qiluvchi Geometrik ʻ almashtirishlar muhim. Bunday Geometrik almashtirish, odatda, o zaro bir ʻ qiymatli almashtirish deyiladi. Geometriyada uchraydigan hamma o zaro bir qiymatli almashtirishlar ichida ʻ harakat deb ataluvchi Geometrik almashtirish muhim o rin tutadi (har qanday ikki ʻ M va N nuktani tutashtiradigan almashinuvchi figuraning MN kesmasi shu nuqtalarning obrazlari M’ va N’ ni tutashtiruvchi kesmaga teng bo lsa, bunday ʻ almashtirish harakat deb ataladi). Geometriyada ayrim almashtirishlar bilan bir qatorda geometrik almashtirishlar to plami ham ahamiyatli. Bulardan gruppa deb atalgan to plamlar ʻ ʻ yana ham muhimroq. Geometrik almashtirishlar geometriyaning yetakchi va samarali yo nalishlaridan biri hisoblanadi. ʻ A n dagi reperda uchlari M 1 (x 1, x 2, ….,x n ), N(Y 1, Y 2, …, Y n ) nuqtalaridagi kesmani nisbatda bo’luvchi Р nuqtaning koordinatalarini z 1, z 2, …, z n desak, Z 1 = 6$

da З nuqta kesmaning o’rta nuqtasi bo’ladi:
Z
1 =
Endi nuqtaning affin koordinatalarini almashtirish formulalarini topaylik.
A
n da B= va affin reperlar berilgan bo’lsin.
ning shu bazislardagi koordinatalari mos ravishda va
bo’lsin hamda reper elementlari B reperga nisbatan quyidagicha
aniqlangan bo’lsin:
…, (14)....... .......... .......... .......... ..........
(15)
Bu izlangan formulalar bo’lib, ixtiyoriy nuqtaning reperlarga nisbatan
koordinatalari orasidagi bog’lanishni aniqlaydi. Bu formulada
(16)
Aks holda bo’lsa, bazis vektorlar chiziqli bog’liq bo’lar edi. ,
shuning uchun (15) ni ga nisbatan ham echish mumkin.
(17)
Buni ba’zan koordinatalarni parallel ko’chirish formulalari deb ataladi.
Endi nuqtaning affin koordinatalarini almashtirish formulalarini topaylik.
A
n da B= va affin reperlar berilgan bo’lsin.
ning shu bazislardagi koordinatalari mos ravishda va
bo’lsin hamda reper elementlari B reperga nisbatan quyidagicha
aniqlangan bo’lsin:
7

…, (14)
Endi berilgan formulalarni (15) bilan taqqoslab quyidagilarni topamiz:

O'rin almashtirishlar
Elementlari bo'lgan to'plamni qaraymiz. Bu to'plam elementlarini har xil
tartibda joylashtirib (yozib), tuzilmalar (kombinatsiyalar) hosil qilish mumkin,
masalan,
a
v a
2 ,a
3 ,...,a
n ; a
2 ,a
v a
v ...,a
n ; a
2 ,a
v a
v ...,a
n .
Bu tuzilmalarning har birida berilgan to'plamning barcha ele mentlari ishtirok
etgan holda ular bir-biridan faqat elementlaming joylashish o'rinlari bilan farq
qiladilar. Shu usul yordamida hosil qilingan kombmatsiyalarning har biri berilgan
{a
v a
2 ,a
3 ,...,a
j to'p lam elementlarining o'rin almashtirishi, deb ataladi.
Aslida «o'rin almashtirish» iborasi to'plam elementlarining o'rinlarini
o'zgartirish harakatini anglatsa-da, bu yerda uni shu harakat natijasidagi hosil
bo'lgan tuzilma sifatida qo'llaymiz. Bu iboradan uning asl ma'nosida ham
foydalanamiz.
O'rin almashtirishni ifodalashda uning elementlarini ajratuvchi belgi sifatida
yuqorida «,» (vergul) belgisidan foydalanildi. Ammo bu muhim emas, bu yerda
boshqa belgidan ham foydalanish, hattoki, yozuvning ixchamligi maqsadida,
elementlar orasidagi ajratuvchi belgilarni tushirib qoldirish ham mumkin. Bu
eslatma bundan keyin bayon etiladigan boshqa kombinatorik tuzilmalar uchun ham
o'rinlidir.To'plam tushunchasiga asoslanib, bu yerda qaralayotgan o'rin
almashtirishlar tarkibida elementlaming takrorlanmasligini eslatib o'tamiz. Shu
sababli bunday o'rin almashtirishlarni betakror (takrorli emas) o'rin almashtirishlar,
deb ham atash mumkin.Ushbu bobning 4-paragrafida takrorli o'rin almashtirishlar
ko'riladi.Berilgan n ta elementli to'plam uchun barcha o'rin almash tirishlar sonini
Pnbilan belgilash qabul qilingan1.
Bitta elementli {a} to'plam uchun faqat bitta a ko'rinishdagi o'rin almashtirish
borligi ravshandir: P=l.
8

$Ikkita elementli {a,b} to'plam elementlaridan o'rin almashti rishlarni bitta elementli {a} to'plam uchun a o'rin almashtirishidan foydalanib, quyidagini tashkil qilamiz: b element a elementdan keyin yozilsa, ab o'rin almashtirishga, oldin yozilsa esa ba o'rin almashtirishga ega bo'lamiz. Demak, ko'paytirish qoidasiga (ushbu bobning 1-paragrafiga qarang) binoan, ikkita o'rin almashtirish bor: P2=2=l-2. Uchta elementli {a,b,c} to'plam uchun o'rin almashtirishlar tashkil qilishda ikkita elementli {a,b} to'plam uchun tuzilgan ab va ba o'rin almashtirishlardan foydalanish mumkin. Berilgan to'p lamning сelementini ab vaba o'rin almashtirishning har biriga uch xil usul bilan joylashtirish mumkin: ularning elementlaridan keyin, elementlarining orasiga va elementlaridan oldin. Ko'paytirish qoidasini qo'llasak, uchta elementli {a,b,c} to'plam uchun oltita (P3=6=l-2-3) har xil o'rin almashtirishlar hosil bo'lishini aniq-laymiz. Ular quyidagilardir: To'rtta elementli {a,b,c,d\ to'plamni qarab, uchta elementli {a,b,c} to'plam uchun tuzilgan oltita o'rin almashtirishlarning har biriga d elementni to'rt xil usul bilan joylashtirish imkoniyati borligini e'tiborga olsak, ko'paytirish qoidasiga ko'ra, P4=24=l-2-34 bo'lishini topamiz. Bu yerda barcha o'rin almashtirishlar quyida - gilardir: Shu tarzda davom etib «n ta elementli to'plam uchun barcha o'rin almashtirishlar soni birdan n gacha bo'lgan barcha natural sqnlarning ko'paytmasiga teng» deb faraz qilish mumkin: P=\-2-...-(n—\)n. Bu farazning to'g'riligi quyidagi 1-teoremada isbot qilinadi. 9$

1.2.Affin almashtirishlar gruppasi va uning qism gruppalari
Ma’lumki, almash t irishlar to’plamining gruppani hosil qilishi uchun quyidagi ikki
shart bajarilishi kerak.
1. SHu to’plamdagi ixtiyoriy ikki almasht i rish ko’paytmas i
(kompozitsiyasi) yana shu to’plamga tegishl i almashtirish;
2. SHu to’plamdagi har bir almashtirishga teskari almashtirish
ham shu to’plamga qarashli.
A
p ning barcha almash t irishlari to’plamini A bilan belgilaylik. Bu to’plam
bo’sh bo’lmasdan, balki uning elementlari avvalgi paragrafdagi muhokamamizga
asosan cheksiz ko’pdir. A to’plamning elementlari yuqoridagi ikki shartni
qanoatlantirishini ko’rsatamiz.
Ravshanki, f affin almashtirish bo’lsa, u bir juft B B  , affin reperlarning
berilishi bilan to’la aniqlanadi (affin almashtirish ta’rifiga asosan) va, aksincha.
1. Agar f affin almashtirish
B B  , reperlar bilan aniqlangan
bo’lib, g affin almashtirish
B B  , reperlar bilan aniqlansa, u
holda
B B  , reperlar bilan aniqlangan affin almashtirish berilgan affin
almashtirishlar ko’paytmasidan iborat:
A f g A g f     ,
.
2. f affin almashtirish
B B  , bilan aniqlansa, B B , bilan
aniqlangan affin almashtirish f ning teskarisi f -1
, ya’ni
A f A f    1
.
Demak, A to’plam gruppa tashkil qiladi, uni qisqacha affin gruppa deb
ataladi.
Endi almash t irishlar gruppasining i n varianta tushu n chasini kiritamiz. G biror
almashtirish gruppasi bo’lib, G’ ixtiyoriy figura bo’lsin. G ning istalgan
almashtirishida G’ figura biror G’' figuraga almashganda G’ ning G’' uchun ham
o’rinli bo’lib qoladigan xossalari G’ ning G gruppaga nisbatan invariantlari deb
ataladi. U holda affin gruppaning invariantlari oldingi paragrafdagi xossalarini
e’tiborga olsak quyidagilar bo’ladi:
10

1. Har qanday affin almashtirishda k o’lchovli tekislik yana k
o’lchovli tekislikka o’tgani uchun tekislikning o’lchovi A ga nisbatan
invariantdir.
2. Har qanday affin almashtirishda uch nuqtaning oddiy nisbati
A ga nisbatan invariantdir.
3. Affin almashtirishda parallel tekisliklar yana parallel
tekisliklarga o’tgani uchun parallellik munosabati A ga nisbatan
invariantdir.
Bu tushunchalarga asoslanib affin geometriya nimani o’rganadi degan savolga
javob berish mumkin.
Affin geometriya p o’lchovli affin fazo figuralarining shunday xossalarini
o’rganadiki, bu xossalar affin gruppaga nisbatan invariant bo’ladi (yoki
geometriyaning affin almashtirishda figuralarning shu almashtirish gruppasiga
nisbatan o’zgarmay qoladigan xossalarini o’rganadigan bo’limi affin geometriya
deb ataladi).
AFFIN ALMASHTIRISHLAR
A
p da ikki  
n e e e e O B ,..., , , ,321  va  ne e e e O B ,..., , , , 3 2 1  penep berilgan
bo’lsin. Bu reperlar yordamida A
p ning nuqtalari orasida shunday f moslik
o’rnatamizki, ixtiyoriy
nA M  nuqta B reperda qanday koordinatalarga ega bo’lsa,
uning obrazi M' = f (M) nuqta B ' reperda xuddi shunday koordinatalarga ega
bo’lsii, ravshanki, bu moslik o’zaro bir qiymatli bo’lib, A
p ni o’z-o’ziga o’tkazadi,
demak, f biror almashtirishdir .
1-ta’rif. Yuqoridagicha aniqlangan f almashgirish A
n ni affin almshtiriish deb
ataladi.
Bu ta’rifdan ko’rinadiki, affin almashtirish bir jufg affin reperlarning
berilishi bilan to’la aniqlanadi.
Endi affin almashtirishning qator xossalari bilan tanishaylik.
1°. f affin almashtirishda
nA a vektor shu fazoning biror à f(a) 
11

vektoriga almashadi, chunki IV
2 ga asosana MN a  desak, M, N nuqtalarning
obrazlari f(M) = M', f(N) = N' bo’lib, bu nuqtalar ham A
p ga tegishli bo’lgani
uchun ularga mos kelgan avektor
) (a f bo’ladi.
Xususiy holda, nolь vektor yana nolь vektorga almashadi.
2°. f affin almashtirishda
a vektorning k o ordinatalari V qanday bo’lsa, unga
mos kelgan
a vektorning ham koordinatalari V ' da xuddi shu s onlardan iborat
bo’ladi.
Bu xossa f ning ta’rifi va 1° dan bevosita kelib chiqadi.
3°. f affin almashtirishda ikki vektorning yig’indisiga mos kelgan vektor
qo’shiluvchi vektorlarga mos kelgan vektorlar yig’indisidan iborat, ya’ni
     b f a f c f c b a     
.
Bu xossaning o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilish uchun koo rdinatalar
bilan berilgaa vektorlarni qo’shish qoidasini eslasak f ning ta’r i fini e’tiborga olsak,
kifoyadir.
4°.
ak vektorga mos kelgan vektor   ak a kf     vektordir.
Bu ikki 3°, 4° xossadan f almashtirishda
k ka a a          ... 2 2 1 vektorga
kk
a a a           ...221 vektorning mos kelishi kelib chiqadi, ya’ni f da
vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi saqlanadi, demak, chiziqli erkli vektorga
yana chiziqli erkli vektorlar mos keladi. Bu xossalarni va 4- § dagi ikki affin
fazoning izomorfligi ta’rifini e’tiborga olsak, affin almashtirishning quyidagi
ikkinchi ta’rifi kelib chiqadi.
2 - t a ‘ r i f. A
p fazoning o’z-o’ziga izomorf akslanishi A
n dagi
affin almashtirish deb ataladi.
3 - t a ‘ r i f. [ M N ] kesmani R nuqta
 nisbatda bo’lsa ( ya’ni
PN MP 
bo’lsa ), u holda  son M, N, R nuqtalarning oddiy nisbati deb
atalib, uni odatdagidek
 P MN ,   ko’rinishda belgilanadi.
Demak,
 P MN PN MN ,      u holda 4-xossani e’tiborga olsak, affin
almashtirishda nuqta berilgan kesmani qanday nisbatda bo’lsa, uning obrazi xam
12

berilgan kesma obrazini shu nisbatda bo’ladi, degan xulosaga kelamiz, demak,
affin almashtirishda uch nuqtaning oddiy nisbati saqlanadi.
5°. f affin almashtirishda k o’lchovli P
k tekkislik yana k o’lchovli k  
tekislikka almashadi, ya’ni tekislikning o’lchovi f uchun invariantdir.
6°. f affin almashtirishda parallel tekisliklar ya n a parallel tekisliklarga o’tadi.
Bu xossa affin almashtirishning o’zaro bir qiymatli ekanligidan kelib chiqadi (buni
to’liq isbotlashni o’quvchiga topshiramiz).
Affin koordinatalari
A
n dagi reperda uchlari M
1 (x
1, x
2, ….,x
n ), N(Y
1, Y
2, …, Y
n ) nuqtalaridagi
kesmani nisbatda bo’luvchi Р nuqtaning koordinatalarini z
1, z
2, …, z
n
desak,
Z
1 =
da З nuqta kesmaning o’rta nuqtasi bo’ladi:
Z
1 =
Endi nuqtaning affin koordinatalarini almashtirish formulalarini topaylik. A
n
da B= va affin reperlar berilgan bo’lsin.
ning shu bazislardagi koordinatalari mos ravishda va
bo’lsin hamda reper elementlari B reperga nisbatan quyidagicha
aniqlangan bo’lsin:
…, (14)
(15)
Bu izlangan formulalar bo’lib, ixtiyoriy nuqtaning reperlarga nisbatan
koordinatalari orasidagi bog’lanishni aniqlaydi. Bu formulada
13

(16)
Aks holda bo’lsa, bazis vektorlar chiziqli bog’liq bo’lar edi. ,
shuning uchun (15) ni ga nisbatan ham echish mumkin.
(17)
Buni ba’zan koordinatalarni parallel ko’chirish formulalari deb ataladi.
Endi nuqtaning affin koordinatalarini almashtirish formulalarini topaylik. A
n
da B= va affin reperlar berilgan bo’lsin.
ning shu bazislardagi koordinatalari mos ravishda va
bo’lsin hamda reper elementlari B reperga nisbatan quyidagicha
aniqlangan bo’lsin:
…, (14)
Endi berilgan formulalarni (15) bilan taqqoslab quyidagilarni topamiz:

14

1.3. TEKISLIKDA AFFIN VA QUTB KOORDINATALAR SISTEMASI
AKMASHTIRISHLAR GRUPPASI.
Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta
bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar { } bazis va О nuqta berilgan
bo'lsa, vektorning { } bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin
koordinatalari deyiladi.
1 -ta’rif. Berilgan , { } bazis uchun
(
tengliklar bajarilsa, { } ortonormal bazis deyiladi.
2-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to
‘g‘ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.
Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi
koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-
ust tushadi.
Isbot. Bizga { } ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning
boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar
= + у + z
15

bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M
bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal
proeksiyalarini А, В, С harflari bilan belgilasak = x , = y , = z
tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , , kesmalarning
kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun x = pr
Ox ,
y = pr
Oy , z = pr
Oz munosabatlarni hosil qilamiz.
1-natija . Pr
i ( )=pr
I + pr
i
Isbot. Bizga , o‘q berilgan bo'lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi
kiritamizki, OX koordinata o‘qi bilan ustma-ust tushsin. Agar
bo‘lsa, teoremaga ko‘ra pr
I =x
a va pr
I =x
b , pr
I ( )=x
a+b tengliklami hosil
qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari mos ravishda
qo‘shilgani uchun pr
I ( )=x
a +x
b munosabatni olamiz.
Tekislikda kutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta О nuqtani va
bu nuqtadan o‘tuvchi o‘qni tanlab olamiz. Tanlangan nuqtani qutb boshi, o‘qni esa
qutb o‘qi deb ataymiz va uni bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O
nuqtadan farqli M nuqta uchun bilan masofani, ( bilan esa o‘q bilan
OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb
koordinatalari deyiladi va M( , ) ko'rinishda belgilanadi.
16

Tekislikning О nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari o‘rtasidagi
moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘lishi uchun va kattaliklar uchun quyidagi
chegara qo'yiladi: 0< < + , 0 <2
Agar (.x ,y ) D ekart koordinatalar sistemasini 4-rasmdagidek kiritsak,
quyidagi.
x = , y =
bog'lanishlarni olamiz.Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum bo'lsa,
uning qutb koordinatalarini topish uchun
formula bo‘yicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani
topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va
tengliklardan foydalanishimiz kerak.
17

2.1.TEKISLIKDA DEKART KOORDINATALAR SISTEMASINI
ALMASHTIRISH GRUPPASI
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo‘nalishi soat
strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o‘ng ikkilik, aks holda
chap ikkilik tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz
orientatsiya tanlab olingan deb hisoblaymiz. Bizga { va { ortonormal
bazislar berilgan bo'lsin. Bu bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar
sistemasilarini mos ravishda O xy va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va
“yangi” koordinatalari orasidagi bog'lanishni topamiz. “Yangi” koordinatalar
sistemasi markazining “eski” koordinata sistemasidagi koordinatalarini (a, b) bilan
belgilaylik.
18

Tekislikda M nuqta berilgan bo‘lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi
koordinatalari mos ravishda (x ,y ) va {x',y') juftliklardan iborat bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bo`lamiz:
= x + y , O 'M = x' ' + y ’ ' , = a + b
Har bir vektorni { } bazis orqali ifodalash mumkinligi uchun
(1)
munosabatlarni hosil qilamiz. Bu ifodalarni
= ' + , =
tengliklarga qo‘yib
=
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari { } chiziqli erkli oilani tashkil etganligi uchun
yuqoridagi munosabatdan
x = a
11 x ' +a
12 y ' +a
y=a
21 x ' +a
22 y ' +b
(2)
19

formulalami olamiz. Endi a
ij koeffitsientlarni topish uchun ikkita holni qaraymiz.
Birinchi hol: { } va { } bazislar bir xil orientatsiyaga ega:
Bu holda agar bilan va vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, va '
vektorlar orasidagi burchak ham ga teng bo‘ladi. Yuqoridagi (1) tengliklarning
har ikkalasini va vektorlarga skalyar ko‘paytirib,
, , ,
formulalarni olamiz. Agar { } va { } bazislar har xil orientatsiyaga ega
bo‘lsa, va vektorlar orasidagi burchak ga teng bo'ladi. Bu holda (1)
tengliklarning har birini vektorlarga skalyar ko'paytirib ,
, , formulalarni hosil qilamiz. Bu
formulalarni (2) formulalarga qo‘yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni
olamiz:
(3)
Bu holda o’tish determinanti uchun
tenglik o'rinli.
Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil va koordinatalarni
almashtirish formulalari
20

ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda o‘tish determinanti uchun '
tenglik o‘rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini almashtirganimizda o‘tish
matritsasining determinanti musbat bo‘lsa, oriyentatsiya o'zgarm aydi. Agar o‘tish
matritsasining determinanti manfiy bo‘lsa, oriyentatsiya qarama - qarshi
oriyentatsiyaga o‘zgaradi.
21

2.2. ALMASHTIRISHLAR QISM GRUPPASI.
Ta`rif. gruppaning qism to`plami dagi algebraik amalga nisbatan
gruppa tashkil etsa , ni ning qism gruppasi ( dagi qism gruppa ) deyiladi.
Teorema. gruppaning qism to`plami da qism gruppa tashkil etishi
uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli:
1. ( dagi algebraik amal da ham algebraik amaldir);
2. ( ning istalgan elementiga teskari element ham
ga qarashli).
G gruppa o`zining qism gruppasidir.
birlik element ningqism gruppasi bo`ladi, chunki bu bita elementdan
tuzilgan qism to`plam qism gruppa bo`lish shartlarini qanoatlantiradi. birlik
qism gruppa deyiladi.
gruppa o`zining xosmas qism gruppasi , ning qolgan hamma qism
gruppalari esa uning xos (haqiqiy) qism gruppalari deyiladi.
chekli gruppaning har bir qism gruppasi ham cheklidir. cheksiz gruppa
chekli va cheksiz qism gruppalarga ega. Masalan chekli qism gruppa , ning
o`zi cheksiz qism gruppa.
komutativ gruppaning istalgan qism gruppasi kommutativdir.
nokomutativ gruppa esa kommutativ va nokommutativ qism grupalarga ega.
Masalan, birlik element kommutativ qism gruppa bo`lib, ning o`zi
nokommutativ qism gruppadir.
22

Misollar. 1. Qo`shish amaliga nisbatan kompleks sonlar gruppasi uchun
butun sonlar gruppasi, ratsional sonlar gruppasi va xaqiqiy sonlar gruppasi
cheksiz xos qism gruppalar bo`ladi.
2. Ko`paytirish amaliga nisbatan noldan tashqari barcha kompleks sonlar
gruppasi uchun noldan tashqari barcha ratsional sonlar gruppasi cheksiz
xaqiqiy qism gruppa. esa chekli xaqiqiy qism gruppa bo`ladi (
ning gruppa ekanini tekshirib ko`ring).
Gruppa yoyilmasi
gruppaning istalgan qism to`plamini sistema deb ataymiz. Bu sistema
xusuisy xolda qism gruppa tashkil etishi yoki bitta elementdan iborat
bo`lishimumkin. va sistemalarmnni olib, elementlardan
tuzilgan sistemani ko`rinishda belgilaymiz. sistema va sistemalarning
ko`paytmasi deyiladi. Bu yerda ekenloigi ravsha, chunki har bir
Shunga o`xshash elementlardan tuzilgan sistema ko`rinishga ega bo`li, u
va sistemalarning ko`paytmasini tasvirlaydi. Umuman, sistemalarni
ko`pytirish nokommutativdir.
Masalan
uchunchi darajali simmetrik gruppaning
va
sistemalari uchun
23

bo`lib, demak, dir. Lekin istalgan uchta uchta sistemani
ko`paytirish assotsiativ, chunki sistema elementlardan,
sistema elementlardan tuzilgan bo`lib, ekenligi
bizga malum. Shu sababli Umuman ,
sistemalar uchun
Xususiy xolda ko`rinishdagi sistemalar ham qaraladi.
1-teorema. gruppa va uining istalgan sistemasi uchun ushbu tengliklar
o`rinli:
.
Isboti. Masalan ,
.
ni isbotlamiz. Chap tomonning istalgan elementi dagi va elementlarning
ko`paytmasi sifatida yana ga qarashli. Aksicha o`ng tomonning istalgan
elementini ko`rinishda tasvirlasak, va ga asosan
bo`ladi.
Xususiy xolda , sistema ning bitta elementini ifodalasa,
ni xosil qilamiz. Yana bo`lishi ham mumkin. Bu vaqtda
24

dir. Buni shaklda yozamiz. Demak , umuman , , bu yerda
ixtiyoriy natural son.
2-teorema. Agar va lar gruppa elementlari va bu gruppaning
qism gruppasi bo`lsa, u xolda va sistemalar yo o`zaro teng bo`ladi, yoki
bitta ham umummiy elementga ega bo`lmaydi .
Isboti. va biror umummiy elementga ega, yani
(1)
(bunda ) deb faraz qilsak, (1) ing ikkala tomonini chapdan ga
ko`paytirib, 1-teoremaga asosan ushbu tenglikka kelamiz:
yoki .
Demak, va sistemalar teng bo`lmasa, ular bitta ham umumiy
elementga ega bo`lmaydi, chunki aks xolda kelib chiqadi.
Bundan keyin gruppaga qarashli sistemalarning
birlashmasini ko`pincha ko`rinishda belgilaymiz.
Gruppa nazariyasida kommutativ gruppaning amali “+” ishora bilan
belgilanadi. Bunday holda sistemalar
ko`rinishda yozilgani uchun , ularning
birlashmasini, birinchi bobda qabul qilinganidek,
ko`rinihsda yozamiz.
3-teorema. gruppaning xar bir qism gruppasi uchun
25

(2)
tenglik o`rinli, bunda xech qaysi ikkita sistema umumiy elementlarga ega emas.
Isboti. qism gruppani ning hamma elementlariga o`ng tomondan
ko`paytirib chiqamiz va xosil bo`lgan sistemalarning har xillarinigina (umumiy
elementlarga ega bo`lmaganlarini) olib qolamiz:
(3)
Istalgan element (3) sistemalarning birida albatta mavjud, chunki (3)
larni hosil qilishda biz I ga ham ko`paytirdik. Demak , (2) tenglik bajariladi,
bu yerda sistema, ni, masalan, ga ko`paytirishdan kelib chiqadi.
(2) ifoda gruppaning qism gruppa bo`yicha qo`shni sistemalarga
yoyilmasi deyiladi. Yoyilmadagi elmentlar har xil bo`ilib , ular chegirmalarning
to`liq sistemasini tashkil etadi deyiladi. Shuningdek chap yoyiylma ham mavjud
bo`lib , u
ko`rinishga ega.
(2) yoyilma chekli yoki cheksiz bo`ladi. chekli gruppaning istalgan
qism gruppasi bo`yicha yoyilmasi cheklidir. cheksiz gruppaning bazi qism
gruppalar bo`yicha yoyilmasi chekli , bazilari bo`yicha esa cheksiz bo`lishi
mumkin.
4-teorema. (2) yoyilmadagi barcha qo`shni sistemalar teng quvvatli
to`plamlardir.
Isboti. (2) da sistemani va qolganlaridan istalgan birini , masalan,
sistemani olib, va sistemalarning teng quvvatli ekenini ko`rsatamiz. Buning
26

uchunistalgan elementni elementga akslantiramiz: hg. Bu
akslanish bir qiymatli ekanligi ravshan . Shu bilan birga u o`zaro bir
qiymatlihamdir, chunki hg va g da bo`lsa , u xolda albatta
bo`ladi. Xaqiqatdan , dan ga ko`paytirilganda , darxol
kelib chiqadi.
qism gruppa chekli bo`lsa , (2) yoyilmadagi barcha qo`shni sistemalar
chekli bo`lib, ular bir xil sondagi elementlardan tuzilgan bo`ladi.
Misollar. 1.
gruppani qism gruppa bo`yicha qo`shni
sistemalarga yoyamiz. Bu ish quyidagicha bajariladi. Birinchi sistema sifatida ni
olamiz ; ikkinchi sistemani hosil qilish uchun ni ning ga qarashli bo`lmagan
istalgan elementiga , masalan, ga ko`paytiramiz:
=
.
27

ni yana ning va ga tegishli bo`lmagan elementiga
masalan, ga ko`paytiramiz:
.
Bu uchala sistema ning hamma
elementlarini o`z ichiga olganligi uchun yoyish protsessi tamom bo`lib , ushbu
yoyilmani xosil qilamiz:
.
Bu yoyilmaning sistemalari ikkitadan elementga ega.
2. Noldan tashqari hamma ratsional sonlarning ko`paytirishga nisbatan
gruppasi da musbat ratsional sonlar qism to`plami qism gruppasidir. ni
bo`yicha yoyamiz: birinchi sistema dan iborat. ga qarashli bo`lmagan -1 ni
olib , ni -1 ga ko`paytirsak , ikkinchi . va
sistemalar ning barcha elementlarini ( sistema musbat ratsional
sonlarni , sistema manfiy ratsional sonlarni) o`z ichiga olganligi sababli
yoyilma
28

Ko`rinishga ega bo`ladi. Bunda va teng quvvq=atli ekanligi
ravshan, chunki musbat ratsional son o`zaro bir qiymatli ravishda manfiy
ratsional songa mos keladi.
3. Noldan tashqari kompleks sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi
ning qism gruppa bo`yicha yoyilmasi quyidagicha bo`ladi:
Yoyilma cheksiz, lekin , xar bir sistema chekli va to`rtta elementdan
tuzilgan.
chekli gruppaning xar bir qism gruppasi chekli va ning bo`yicha
yoyilmasi ham cheklidir. Bunday yoyilmani
(4)
Ko`rinishda yozamiz . , ning tartibi esa bo`lsa , u
xolda (4) yoyilmadagi har bir sistema elementlarining soni ham ga teng
bo`ladi. (4) yoyilma ta sistemadan tuzilgan. Bu son qism gruppaning indeksi
deyiladi.
Lagranj teoremasi. Chekli gruppaning tartibi bu gruppadagi istalgan qism
gruppaning tartibini uning indeksiga ko`paytirilganiga teng.
Isboti. (4) yoyilmaning chap tomonida ta element , o`ng tomonida ta
element bo`lgani uchun dir.
Shunday qilib , chekli gruppadagi xar bir qism gruppaning tartibi va indeksi
gruppa tartibining bo`luvchisidir.
29

Masalan , yuqoridagi birinchi misolda gruppaning tartibi 6 ga , qism
gruppaning tartibi va indeksi mos ravishda 2 va 3 ga teng bo`lib, 6=2 3 dir.
Siklik gruppalar
Ixtiyoriy gruppaning elementini olib , uning barcha butun darajalaridan
tuzilgan
(1)
To`plamni qaraymiz. ekanligi ravshan , chunki xar bir butun daraja
ning elementidir.
1-teorema. to`plam ning qism gruppasidir
Isbot. Qism gruppaning zaruriy va yetarli sharti bajariladi :
va
ni element tomonidan vujudga keltirilgan siklik gruppa deyiladi va
kabi belgilanadi.
Bu yerda ham ikki xol ro`y berishi mumkin:
1-xol. da har xil elementlar soni chekli, ya`ni chekli gruppa. Masalan ,
gruppa chekli bo`lganda bu xol albatta ro`y beradi . Demak bu xolda ning (1)
darajalari orasida bir biriga tenglari albatta bor, ya`ni
Bunda ,chunki shartda (2) tenglik bitta darajani ifodalaydi. Bu
yerda deb faraz qilsak , (2) dan
=
30

kelib chiqadi. Demak ning ga teng musbat darajalari mavjud. Bunday
daraja ko`rsatkichlar orasida eng kattasi yo`q, chunki istalgan natural son uchun
(3) bilan birga
ham o`rinli . lekin ular orasida eng kichigi bor; uni bilan belgilaymiz;
shartda bo`lib , shartda esa dir. Shunday qilib,
(4)svirlaydi
Tenglik bajarilib, lekin musbat son uchun bo`ladi.
2-teorema. (4) tenglik bajarilgan holda
(5)
Darajalar bir xil bo`lib , istalgan butun daraja (5) darajalarning biriga
tengdir.
Isbot. (5) darajalardan qandaydir ikkitasi teng deylik:
, ( )
bundan = kelib chiqadi; bo`lganligi
sababli tenglik bajarila olmaydi.
Demak (5) darajalar har xildir.
Endi (6)
tenglikka asosan ushbuga ega bo`lamiz:
bu yerda daraja xuddi (5) larning biriga tengdir.
31

3-teorema. (4) tenglik bajarilishi bilan birga yana butun daraja
ni qanoatlantirishi uchun son ga bo`linishi zarur va yetarli.
Isbot. 1. son ga bo`linsa , bo`lib, demak,
kelib chiqadi.
2. Aksincha , desak , 2-teoremaga ko`ra ga
ega bo`lamiz. Bu yerda ekanligini nazarda tutsak, shartda
ning bajarilishi mumkin emasligini ko`ramiz. Shu sababli bo`lib , (6)
dan kelib chiqadi, ya`ni son ga bo`linadi.
Shunday qilib , qaralayotgan birinchi xolda (1) ning har xil elementlari faqat
ta, ya`ni (5) elementlardangina iborat bo`lib, siklik gruppa
=
ko`rinishni oladi. Demak siklik gruppa chekli tartibli gruppani tasvirlaydi.
2-xol. (1) elementlar har xil . Bu xolda son noldan farqli bo`lsa, daraja
uchun tenglik bajarilmaydi, chunki aks xolda (1) darajalarning ikkitasi bir-
biriga teng bo`lib qoladi. Bundan kelib chiqadiki , gruppa cheksiz siklik gruppa
bo`ladi.
Tarif. shartni qanoatlantiruvchi musbat ko`rsatkichlar orasida ebg
kichigi bo`lgan son elementning tartibi deyiladi.
Bu xolda chekli tartibli ( tartibli) element deyiladi.
32

Xech qanday natural son va element uchun shart
bajarilmasa, ni cheksiz tartibli element deb atash qabul qilingan.
Yuqoridagi muloxazalardan bunday xulosa kelib chiqadi: chekli tartibli
element tomonidan chekli tartibli siklik gruppa vujudga keltiriladi. Cheksiz
tartibli element esa cheksiz tartibli siklik gruppani vujudga keltiradi.
Chekli gruppaning hamma elementlari chekli tartiblidir, cheksiz gruppaning
elementlari esa chekli va cheksiz tartibli bo`lishi mumkin.
Misollar. 1. 6- tartibli simmetrik gruppada elementning
tartibi 2 ga , elementning tartibi 3 ga teng. Xaqiqatdan , ni
kvadratga ko`tarib, ushbuni xosil qilamiz:
Endi ni qanoatlantiruvchi ning eng kichik qiymati 3 dir, chunki
= .
2-tartibli, b element 3-tartibli sikloik gruppalarni vujudga
keltiradi:
;
.
33

2. Noldan tashqari kompleks sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi
Da elementlar mos ravishda 4,8 va cheksiz tartibli .
xaqiqatdan,
ning esa hech qanday darajasi ni qanoatlantirmaydi.
Bu elementlar tomonidan quyidagi siklik gruppalar vujudga keltiriladi:
A=

4-teorema. Chekli gruppaga qarashli xar bir elementning tartibi bu gruppa
tartibining bo`luvchisidir.
Isboti. tartibli element tartibli siklik gruppani vujudga
keltiradi. Shu sababli Lagranj teoremasiga asosan son gruppa tartibining
bo`luvchisidir.
Masalan, elementining tartib, ya`ni 3 son gruppa
tartibining, yani 6 ning bo`luvchisidir.
XULOSA
34

Matematikaning ichki qonuniyatlari asosida masala va misollar yechib,
o’quvchilarning mustaqil fikrlashlari, mavjud bilimlarni tatbiq etish faoliyati
matematika o’qitish jarayonida izchillik, ilmiylik kabi didaktik tamoyillardan
o’rinli foydalanib, ularning tadqiqiy faoliyati metodik jihatdan to’g’ri tashkil
qilindi va matematika o’qitishdagi barcha ko’rinishlar, metodlar, vositalar
umumta’lim maktablari o’quvchilari va o’rta maxsus kasb – hunar ta limi‟
talabalari ko’nikmalarini shakllantirishga qaratildi.
Pirovardda, ularning tadqiqiy ko’nikmalarini shakllantirishga erishdik.
Umuman olganda, ushbu mavzu menda katta tassurot qoldirdi. Affin
almashtirishlarning muhim xossalaridan biri – tekisliqsa berilgan uchburchakni
berilgan ikkinchi uch-burchakka o‘tkazuvchi yago-na affin almashtirish mavjud;
shunga o‘xshash tasdiq bir o‘lchovli fazo uchun ham o‘rinli. Vektorlar , chiziq va
sirtlarning affin almashtirishda saqlanadigan xos-salari affin invariantlar deyiladi.
Mac, uchburchakning to‘g‘ri burchakliligi affin almashtirishda saqlanmaydi,
binobarin, bu xossa affin invariant emas, shuningdek
kesma uchburchakning bissektrisasi bo‘lishi ham affin invariant emas, ammo
uchburchak medianalarining kesishish nuqtasida 1:2 nisbatda bo‘linishi
invariantdir. Koordinatalar usulining mohiyati quyidagicha: a tekislikda
o zaro
ʻ perpendikulyar Ox va Ou to g ri chiziqlarni chizamiz, ularda musbat ʻ ʻ
yo nalishlarni, koordinata boshi O nuqtani va
ʻ masshtab birligi ye ni tanlab olamiz.
Bu holda a tekislikda to g ri burchakli
ʻ ʻ dekart koordinatalar tizimi Ou berilgan
deyiladi; Oxabssissalar o qi, Ou esa ordinatalar o qi deyiladi. Tekislikdagi
ʻ ʻ
ixtiyoriy M nuqtaning holati OMx va OMu kesmalarning (tegishli ishora bilan
olingan) uzunliklari x va u bilan bir qiymatli aniqlanadi Shuning uchun qolgan
talabalarga ham bu mavzuni o’rganib chiqishni va shu sohada ilmiy izlanishlar olib
borishlarini maqsadga muvofiq deb o’ylayman.
35

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1. I.A. Karimov. “O’zbekiston XXI asrga intilmoqda ”. Toshkent 2000-yil .
2. I.A. Karimov. “O’zbekistonning oz istiqlol va taraqqiyot yo’li ”.
Toshkent.O’zbekiston 1992 yil.
3. I.A. Karimov. “ Barkamol avlod – O’zbekiston poydevori ”. Toshkent 1998
4. I.A. Karimov. “O’zbekiston XXI asr bo’sag’asida ”. O’zbekiston 1997 yil.
5. Погорелов А.В. “Геометрия”( ўрта мактабнинг 7 – 11 синфлари учун
дарслик). Тошкент. “ Ўқитувчи” 1993 йил.
6. Кокстер Н.С, Грейтсер С.Л. “ Новие встречи с геометрей”. Москва. “
Наука” 1978 год.
7. Бахвалов С.В. “ Аналитическая геометрия”. Москва 1970 год.
8. Погарелов А.В. “ Аналитик геометрия ” Тошкент “ Укитувчи” 1983
йил.
9. Baxvalov S.V, Modenov Р .S. Р arxomenko A.S. “ Analitik geometriyadan
masalalar tuplami ”. Toshkent- 2006 yil.
10. Собиров М.А, Юсупов А.Е. “Дифференсиал геометрия курси”
Тошкент-1959 йил.
11. Дадажонов Н.Д, ЖўраеваМ.Ш. “Геометрия”, 1-қисм,Тошкент
“Ўқитувчи”-1996 йил.
12. Александров А.Д. Нецветаев Ю.Н. “Геометрия”.Москва“ Наука” 1990
год.
13. Энсиклопедия “елементарной математики” книги пятая (геометря)
москва “Наука” 1966 год.
14. Рокафеллер. Р. Вынуклый анализ. Издательство “МИР” Москва. 1973
год.
15. Цубербиллер О.Н “Аналитикгеометрияданмасалаларвамашқлар”
“Ўқитувчи” нашриёти. Тошкент– 1996 йил.
16. Httр//www.Ilm.uz
36

Almashtirishlar gruppasi

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Almashtirishlar gruppasi

O'xshash dokumentlar