Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 539.5KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 26 May 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Geometriya

Sotuvchi

Student of NUUz

Ro'yxatga olish sanasi 26 May 2026

0 Sotish

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafiklarini chizish

Sotib olish
1 O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti Aniq va tabiiy fanlar fakulteti Matematika yo‘nalishi 2M-25 guruh talabasi Choriyeva Sevinch Analitik geometriya fanidan “ Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafiklarini chizish ” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: Tog ayev Turdimurodʻ Denov -2026 Mundarija Kirish I BOB. Tekislikda geometrik almashtirishlarning analitik apparati 1.1. Tekislikni akslantirish tushu n chasi. Chiziqli va affin almashtirishlar. 1.2. Izometriya (harakat) almashtirishlari va ularning matritsaviy ifodalari. 1.3. Gomotetiya, o‘qlarga nisbatan siqish va cho‘zish almashtirishlarining xossalari. II BOB. M atematik analizdagi funksiyalar grafiklarini almashtirishlar tordamida yasash algoritmi 2.1. Argument va funksiya qiymatlarining chiziqli almashtirishlari 2.2. O‘q bo‘yicha deformatsiya va invariant nuqtalar muammosi. 2.3. Noelementar va modulli funksiyalar grafiklarini yasashning qat'iy ketma- ketlik algoritmlari. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Kirish Zamonaviy matematika va uning oliy ta'lim tizimidagi o‘rni funksional bog‘lanishlar hamda ularning geometrik interpretatsiyalarini chuqur va tizimli anglashni talab etadi. Matematik tahlil, algebra va geometriya kurslarida funksiya tushunchasi fundamental obyekt hisoblanib, uning lokal va global xossalarini (monotonlik, ekstremumlar, davriylik, uzluksizlik sohalari, asimptotalar) o‘rganishda grafik usuli eng ko‘rgazmali hamda analitik xulosalarni tasdiqlovchi universal vositadir. Biroq, har bir murakkab funksiyaning grafigini an'anaviy nuqtalar bo‘yicha jadval asosida yoki differensial hisob (hosila) yordamida to‘liq tekshirish orqali yasash ko‘p vaqt, murakkab analitik hisoblashlar va differensiallash amallarini talab etadi. Ushbu muammoni optimallashtirishda tekislikdagi geometrik almashtirishlar (parallel ko‘chirish, simmetriya, burish, gomotetiya va affin deformatsiyalar) apparatidan foydalanish yuqori nazariy va amaliy samaradorlik ko‘rsatadi. Bazaviy, ya'ni elementar funksiyalarning tayyor grafiklariga chiziqli operatorlarni ketma-ket tatbiq etish orqali murakkab transsendent, modulli va kombinatsiyalashgan funksiyalar grafiklarini hosilasiz, sof analitik va geometrik qonuniyatlar asosida qat'iy va aniq yasash imkoniyati tug‘iladi. Bu metod talabalarda mavhum funksional-mantiqiy fikrlashni, fazoviy va tekislikdagi geometrik tasavvurni hamda funksiyalarning xarakterli xususiyatlarini vizual tahlil qilish ko‘nikmasini yuzaga keltiradi. Shu bois, tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafiklarini yasashning qat'iy matematik poydevorini chiziqli algebra va affin geometriya nuqtayi nazaridan tadqiq etish hamda ularni algoritmlash bugungi kunda o‘ta dolzarb ilmiy va uslubiy masalalardan biri hisoblanadi.Geometrik almashtirishlar va ularning funksional bog‘lanishlarga tatbiqi masalalari klassik geometriya, analitik geometriya hamda oliy matematika metodikasi darsliklarida fundamental ravishda yoritilgan. Xususan, L.S. Atanasyan, A.V. Pogorelov kabi olimlarning asarlarida tekislik almashtirishlarining umumiy xossalari bayon etilgan bo‘lsa, o‘zbekistonlik matematik olimlar va uslubchilar — T. Azlarov, H. Mansurov, M. Aripov, A. Narmanovlarning fundamental darsliklarida matematik analiz va analitik geometriyaning fundamental kesishmalari o‘rganilgan. Biroq, aksariyat mavjud adabiyotlarda bu mavzu umumta'lim yoki o‘rta maxsus maktab o‘quv dasturi darajasida, sodda empirik qoidalar shaklida berilgan. Ushbu kurs ishida esa masala matematika yo‘nalishi talabalarining tayyorgarlik darajasiga mos ravishda — affin almashtirishlar nazariyasi, chiziqli operatorlar kompozitsiyasi va matritsaviy ifodalar zanjiri orqali chuqurlashtirilgan, qat'iy matematik tillarda tahlil qilinadi. Tadqiqot obyekti sifatida R 2 Evklid tekisligidagi geometrik almashtirishlar (affin va chiziqli akslantirishlar) hamda matematik tahlildagi asosiy elementar funksiyalar sinfi olingan. Tadqiqot predmeti esa geometrik almashtirishlar operatorlari yordamida bazaviy funksiyalardan murakkab tuzilishdagi funksiyalarga o‘tish jarayonidagi grafik deformatsiyalar, invariant nuqtalar, o‘q simmetriyalari va ularni bosqichma-bosqich yasash algoritmlari hisoblanadi. I bob. Tekislikda geometrik almashtirishlarning analitik apparati Tekislikni akslantirish tushunchasi. Chiziqli va affin almashtirishlar Geometrik va algebrayik tushunchalarning o zaro sintezi sifatida tekislikniʻ almashtirishlar nazariyasi zamonaviy matematikaning fundamental bo limlaridan biri hisoblanadi. Ba’zi darsliklarda bayon etilgan klassik ʻ yondashuvga ko ra, tekislikni almashtirish tushunchasi to plamlar ʻ ʻ nazariyasining biyektiv akslantirish (o zaro bir qiymatli muvofiqlik) tamoyiliga ʻ tayanadi. Evklid tekisligini R 2 to plami, uning ixtiyoriy nuqtasini esa tartiblangan sonlar ʻ juftligi M(x, y) orqali belgilaylik. Ta ’ rif . Agar tekislikning har bir M nuqtasiga shu tekislikning aniq bir M' nuqtasi mos qo yilgan bo lsa, tekislikda ʻ ʻ f akslantirishi berilgan deyiladi va u f(M) = M' shaklida yoziladi. Agar f: R 2 ⇒ R 2 akslantirishi bir vaqtning o zida quyidagi ikki shartni ʻ qanoatlantirsa, u tekislikning geometrik almashtirishi deb ataladi:  Inyektivlik: Tekislikning ixtiyoriy ikki xil nuqtasiga har xil tasvirlar mos keladi, ya'ni M 1 ≠� M 2 ⇒ f(M 1 ) ≠� f(M 2 ) .  Syuryektivlik: Tekislikning har bir M' nuqtasi kamida bitta original M nuqtaning obrazi hisoblanadi, ya'ni ∀ M' ⋲ R 2 , ∃ M ⋲ R 2 : f(M) = M' . Ushbu shartlar bajarilganda f akslantirish qaytariluvchan (biyektiv) bo ladi va ʻ tekislikda teskari almashtirish f -1 mavjudligi kafolatlanadi. Funksiyalarning grafiklarini o zgartirishda ʻ affin almashtirishlar eng muhimidir. Affin almashtirishlarini Dekart koordinatalar sistemasidagi chiziqli tenglamalar orqali quyidagicha xarakterlanadi: T a’ rif. Tekislikning affin almashtirishi deb, Dekart koordinatalar sistemasidagi ixtiyoriy M(x, y) nuqtani M'(x', y') nuqtaga quyidagi analitik qonuniyat bo yicha o tkazuvchi akslantirishga aytiladi:ʻ ʻ { x'= a11x+a12y+a13 y'= a21x+a22y+a23 Bunda a ij haqiqiy sonlar bo lib, almashtirishning koeffitsiyentlari hisoblanadi. ʻ Chiziqli algebraning matritsaviy hisoblash apparatidan foydalanib, yuqoridagi sistemani invariant shaklda yozish mumkin: ( x ' y ' ) = ( a 11 a 12 a 21 a 22 )( x y ) + ( a 13 a 23 ) Yoki ixcham ko rinishda: ʻ X '=AX +B Bu yerd A=( a11 a12 a21 a22) almashtirishning chiziqli qismini ifodalovchi matritsa, B=( a13 a23) parallel ko chirish vektori. ʻ f akslantirish geometrik almashtirish (biyeksiya) bo lishi uchun ʻ A matritsaning determinanti noldan farqli bo lishi ʻ shart: Δ= det❑ (A )= | a11 a12 a21 a22|=a11a22−a12a21≠0 Agar Δ = 0 bo lsa, tekislik chiziqli bog liqlik tufayli bitta to g ri chiziqqa yoki ʻ ʻ ʻ ʻ nuqtaga proyeksiyalanib (gomeomorfizm buzilib) qoladi. Agar ifodada B = 0 (ya'ni a 13 =0 , a 23 =0 ) bo lsa, bunday almashtirish ʻ chiziqli almashtirish deyiladi. Chiziqli almashtirishda koordinata boshi qo zg almas nuqta bo lib qoladi: ʻ ʻ ʻ A ⋅ 0 = 0 Affin almashtirishlarining invariantlik teoremalari. A.V. Pogorelov darsligida affin almashtirishlarining geometrik figuralar strukturasini saqlash xususiyatlari teoremalar orqali isbotlangan. Funksiya grafiklarini yasashda ushbu xossalar grafik chiziqlarining tabiatini saqlab qolish uchun xizmat qiladi. Teorema. Affin almashtirishida ixtiyoriy to g ri chiziq to g ri chiziqqa o tadi,ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ hamda parallel to g ri chiziqlarning obrazlari ham parallel bo ladi. ʻ ʻ ʻ Isbot. Tekislikda ixtiyoriy to g ri chiziq berilgan bo lsin: ʻ ʻ ʻ Ax + By + C = 0, A 2 +B 2 ≠ 0, Δ ≠ 0 bo lgani uchun sistemani Kramer qoidasiga ko ra ʻ ʻ x va y ga nisbatan yechib, teskari almashtirish ifodalarini topamiz: { x = b 11 x '+ b 12 y '+ b 13 y = b 21 x '+ b 22 y '+ b 23 Ushbu chiziqli ifodalarni boshlang ich to g ri chiziq tenglamasiga qo yamiz: ʻ ʻ ʻ ʻ A(b 11 x' + b 12 y' + b 13 ) + B(b 21 x' + b 22 y' + b 23 ) + C = 0 x' va y' o zgaruvchilari oldidagi koeffitsiyentlarni guruhlash natijasida yangi ʻ chiziqli tenglama hosil bo ladi: ʻ (Ab 11 + Bb 21 )x' + (Ab 12 + Bb 22 )y' + (Ab 13 + Bb 23 + C) = 0 ⇒ A'x' + B'y' + C' = 0 Ushbu tenglama ham to g ri chiziqni ifodalaydi. Ikki to g ri chiziq parallel ʻ ʻ ʻ ʻ bo lsa, ularning umumiy nuqtasi bo lmaydi. Affin almashtirishi biyeksiya ʻ ʻ bo lgani sababli, kesishmaydigan nuqtalar to plami yana kesishmaydigan ʻ ʻ to plamlarga (parallel chiziqlarga) o tadi. Teorema isbotlandi. ʻ ʻ Teorema. Bir to g ri chiziqda yotgan ixtiyoriy uchta ʻ ʻ M 1 , M 2 , M 3 nuqtalarning sodda nisbati λ= ⃗M 1M 3 ⃗M 3M 2 affin almashtirishida invariant qoladi. Bu teorema shuni anglatadiki, affin almashtirishida kesmaning o rtasi yana ʻ kesmaning o rtasiga o tadi. Matematik analizda ushbu xossa funksiya grafigini ʻ ʻ biror o q bo ylab siqqanda yoki cho zganda grafik shaklining lokal ʻ ʻ ʻ proporsiyalari buzilmasligini (chiziqli qonuniyat saqlanishini) ta'minlovchi asosiy omildir. Bo‘limni mustahkamlash uchun quyidagi konkret misolni ko’rib chiqamiz. Misol. Tekislikda affin almashtirish quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi yordamida berilgan:{ x '=2 x +3 y +5 y '= x −2 y −1  Ushbu almashtirishning matritsaviy ifodasini yozing va uning affin almashtirish ekanligini (yakobiyani nolga teng emasligini) isbotlang.  Ushbu almashtirishda proobraz - M(1, 2) nuqtaning obrazi (yangi holati) M'(x', y') ni toping.  Obrazi N'(-2, 3) bo‘lgan nuqtaning o‘zini (proobrazi N(x, y) ni) aniqlang. 1) Matritsaviy model va affinlik sharti . Affin almashtirishining umumiy matritsaviy ko‘rinishi X' =AX+ B kanligidan foydalanib, berilgan sistemani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz: ( x' y')=( 2 3 1 −2 )( x y)+( 5 −1 ) Bu yerda A – chiziqli operator matritsasi, B – siljish vektori. Almashtirish affin bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi shart: det❑ (¿A)=| 2 3 1 −2|= 2⋅(−2)−3⋅1=−4−3=−7≠0¿ det(A) ≠� 0 bo‘lgani uchun, bu akslantirish o‘zaro bir qiymatli (biaktiv) affin almashtirishidir . 2) Berilgan nuqtaning obrazini topish. M(1,2) nuqtaning koordinatalarini ( x=1,y=2 ) to‘g‘ridan-to‘g‘ri sistema yoki matritsaga qo‘yamiz: { x'=2(1)+3(2)+5=2+6+5=13 y'=1−2(2)−1=1−4−1=−4Demak, affin almashtirish natijasida M(1, 2) nuqta M'(13, -4) nuqtaga o‘tadi. 3) Berilgan obrazga ko‘ra proobrazni topish (Teskari almashtirish): Bizga N'(-2, 3) berilgan, ya'ni x' = -2 va y' = 3 . Nuqtaning dastlabki x va y koordinatalarini topish uchun chiziqli tenglamalar sistemasini yechamiz: { 2 x +3 y +5=−2 x −2 y −1=3 ⇒ { 2 x +3 y =−7 x −2 y =4 Kramer usuli yoki chiziqli almashtirish (ikkinchi tenglamani -2 ga ko‘paytirib, birinchisiga qo‘shish) orqali yechamiz: Ikkinchi tenglamadan x = 4 + 2y ni ajratib, birinchisiga qo‘yamiz: x=4+2y 2(4 + 2y) + 3y = -7 ⇒ 8 + 4y + 3y = -7 7y = -15 ⇒ y = -15/7 Topilgan y ni x ning ifodasiga qo‘yamiz: x = 4 + 2 ( − 15 7 ) = 28 − 30 7 = − 2 7 Demak, izlanayotgan proobraz nuqta: N(-2/7, -15/7) bo’ladi. Izometriya (harakat) almashtirishlari va ularning matritsaviy ifodalari. Affin almashtirishlarining xususiy va geometrik jihatdan eng muhim sinflaridan biri — bu Evklid tekisligidagi metrik munosabatlarni, ya'ni ixtiyoriy ikki nuqta orasidagi masofani o zgarmas saqlaydigan akslantirishlardir. Geometriya ʻ kursida bunday almashtirishlar izometriya yoki harakat almashtirishlari deb nomlanadi. Ta'rif. Agar tekislikning ixtiyoriy M va N nuqtalarini ularning tasvirlari bo lmish M' va N' nuqtalarga o tkazganda ular orasidagi Evklid masofasiʻ ʻ saqlansa, ya'ni |MN| = |M'N'| sharti bajarilsa, bunday akslantirishga izometriya (harakat) deyiladi. Koordinata ifodalarida M(x 1 , y 1 ) va N(x 2 , y 2 ) nuqtalar uchun masofa formulasi yordamida ushbu shart quyidagicha analitik ko rinishga ega bo ladi: ʻ ʻ √ ¿ ¿ Chiziqli algebra nuqtayi nazaridan, har qanday izometriya affin almashtirishining xususiy holi bo lib, uning ʻ X' = AX + B matritsaviy modelida A matritsasi ortogonal matritsa bo lishi shart. Ya'ni, A ʻ T A = E (bunda A T — transponirlangan matritsa, E — birlik matritsa) sharti bajariladi. Ortogonal matritsaning determinanti har doim det(A) = ± 1 qiymatlarni qabul qiladi. Determinantning ishorasiga ko ra izometriyalar ikki turga bo linadi: ʻ ʻ 1. Birinchi tur harakatlar. det(A) = 1 bo lib, tekislikdagi bazis ʻ orientatsiyasini (soat mili yo nalishi yoki unga qarama-qarshi ekanligini) ʻ saqlab qoladi. Bunga parallel ko chirish va burish almashtirishlari kiradi. ʻ 2. Ikkinchi tur harakatlar. det(A) = -1 bo lib, tekislik orientatsiyasini ʻ teskarisiga o zgartiradi. Bunga o q simmetriyasi va sirpanuvchi ʻ ʻ simmetriya almashtirishlari kiradi. Matematik analizda funksiya grafiklarini parallel ko chirish, akslantirish va ʻ burish zanjirlarini hosil qilishda izometriyaning fundamental turlari va ularning matritsaviy operatorlari chuqur o rganiladi. Ular asosan 4 ga bo‘linadi ʻ 1. Parallel ko chirish (Translatsiya) operatori ʻ Agar tekislikning har bir nuqtasi berilgan o zgarmas ʻ p = (a, b) T vektor yo nalishida bir xil masofaga siljitilsa, bu almashtirish parallel ko chirish ʻ ʻ deyiladi. Agar M(x,y) → – M'(x',y') bo lsa, parallel ko chirishning analitik vaʻ ʻ matritsaviy ifodasi quyidagicha shakllanadi: { x ' = x + a y ' = y + b ⇒ ( x ' y ' ) = ( 1 0 0 1 )( x y ) + ( a b ) Bu yerda chiziqli operator matritsasi A = E (birlik matritsa) bo lib, det(E) = 1 ga ʻ teng. Parallel ko chirish kompozitsiyalar (ketma-ket bajariladigan ʻ almashtirishlar) uchun kommutativlik xossasiga ega, ya'ni: T ⃗ p 1 ∘ T ⃗ p 2 = T ⃗ p 2 ∘ T ⃗ p 1 = T ⃗ p 1 + ⃗ p 2 2. O q simmetriyasi (Refleksiya) operatorlari. ʻ Koordinata o qlariga nisbatan ʻ simmetrik akslantirish ikkinchi tur harakat sinfiga kiradi, chunki bu holda operator matritsasining determinanti A = -1 bo ladi. Funksiya grafiklarini ʻ argument va funksiya ishoralarini o zgartirish orqali yasashda quyidagi ʻ ortogonal akslantirish operatorlari qo llaniladi: ʻ Absissalar o qi (Ox)ga nisbatan simmetriya operatori ( ʻ S Ox ): Nuqtaning absissasini o zgartirmasdan, ordinatasini qarama-qarshi ishoraliga o tkazadi. ʻ ʻ Funksiya grafigini gorizontal ravishda tepadan pastga yoki aksincha ag darishda ʻ ( y = -f(x) ) xizmat qiladi. { x ' = x y ' = − y ⇒ S Ox = ( 1 0 0 − 1 ) Ordinatalar o qi Oy ga nisbatan simmetriya operatori (S ʻ Oy ): Nuqtaning ordinatasini o zgartirmasdan, absissasini qarama-qarshi ishoraliga o tkazadi. ʻ ʻ Funksiya grafigini vertikal o qqa nisbatan chapdan o ngga akslantirishda ( ʻ ʻ y = f(-x) ) qo llaniladi. ʻ { x ' = − x y ' = y ⇒ S Oy = ( − 1 0 0 1 ) Bissektrisaga nisbatan simmetriya operatori (S y=x ): Birinchi va uchinchi koordinata choraklari bissektrisasi bo lgan ʻ y=x to g ri chiziqqa nisbatan ʻ ʻ simmetriya operatori absissa va ordinata o rinlarini almashtiradi: ʻ { x'= y y'= x⇒ Sy=x=( 0 1 1 0)Ushbu operatorning determinanti S y=x = -1 bo lib, u matematik analizda o zaro ʻ ʻ teskari funksiyalar ( y = f(x) va y = f -1 (x) ) grafiklarining geometrik muvofiqligini isbotlashda fundamental ahamiyatga ega. 3. Koordinata boshi atrofida burish (Rotatsiya) operatori. Tekislik nuqtalarini koordinata boshi O(0,0) atrofida berilgan alfa burchakka burish almashtirishining analitik tenglamalari trigonometrik funksiyalar yordamida aniqlanadi. M(x,y) nuqta alfa burchakka burilganda hosil bo lgan ʻ M'(x',y') nuqtaning koordinatalari quyidagi chiziqli sistema orqali ifodalanadi: { x'= xcos α− ysin α y'= xsin α+ycos α Ushbu sistemaning matritsaviy operatori R α ko rinishida yoziladi: ʻ R α = ( cos α − sin α sin α cos α ) R α matritsasi uchun ortogonallik sharti to liq bajariladi, chunki uning ʻ transponirlangan formasi teskari formasiga teng ( R α T = R α - 1 ) va uning determinanti trigger aylananing asosiy ayniyatiga bo ysunadi: ʻ det❑ (¿Rα)=cos 2α−(−sin 2α)=cos 2α+sin 2α=1¿ Burish operatorlari guruh tashkil etadi. Ikki ketma-ket burish almashtirishining kompozitsiyasi burchaklarning yig indisiga teng bo lgan bitta burishni beradi: ʻ ʻ Rα∘Rβ= Rα+β Funksiyalar grafiklarini an'anaviy Dekart koordinatalarida yasashda burish operatori funksiyaning bir qiymatlilik xossasini ( x ning bitta qiymatiga y ning bitta qiymati mos kelishi shartini) buzishi mumkin bo lsa-da, u parametrik ʻ ko rinishdagi chiziqlarni, qutb ʻ koordinatalar sistemasidagi funksiyalarni hamda ikkinchi tartibli egri chiziqlarni (ellips, giperbola) koordinata o qlariga nisbatan ʻ og gan holatlarini kanonik ko rinishga keltirishda va ularning global geometrikʻ ʻ xossalarini tekshirishda ajralmas analitik vosita hisoblanadi. 4. Nuqtaviy simmetriya (Markaziy simmetriya) operatori. Markaziy simmetriya — tekislikdagi ixtiyoriy nuqtani berilgan invariant markazga nisbatan 180 o burchakka burish almashtirishidir. Agar simmetriya markazi sifatida koordinata boshi O(0,0) olinsa, bu almashtirish yuqoridagi burish operatorining α= π bo lgan xususiy holiga aylanadi: ʻ Rπ=( cos π −sin π sin π cos π )=( −1 0 0 −1)=− E Analitik ko rinishi: ʻ { x'=− x y'=− y Ushbu operatorning determinanti det(E) = (-1)*(-1) - 0*0 = 1 bo lgani sababli, ʻ u birinchi tur harakatga kiradi. Matematik analizda markaziy simmetriya operatori toq funksiyalar ( f(-x) = -f(x) ) grafiklarining koordinata boshiga nisbatan invariantligini asoslaydi (masalan, y = x 3 yoki y = x grafiklari). Ushbu paragraflarda batafsil bayon etilgan harakat operatorlarining analitik xossalari va kompozitsiya qonuniyatlari keyingi boblarda murakkab funksiyalarning geometrik ko rinishlarini nuqtasiz, sof operatorlar dinamikasi ʻ yordamida yasash algoritmlariga poydevor bo ladi. ʻ Gomotetiya, o‘qlarga nisbatan siqish va cho‘zish almashtirishlarining xossalari. Harakat almashtirishlaridan (izometriyalardan) farqli o‘laroq, Evklid tekisligidagi metrik munosabatlarni — ya’ni figuralarning chiziqli o‘lchamlarini, nuqtalar orasidagi masofalarni va yuzalarni muayyan qonuniyat asosida o‘zgartiradigan, biroq chiziqlarning to‘g‘ri chiziqlilik hamda parallellik kabi fundamental affin xossalarini invariant (o‘zgarmas) saqlaydigan almashtirishlar sinfi mavjud. Zamonaviy geometrik tadqiqotlarda va oliy geometriya kurslarida bunday akslantirishlarning asosi sifatida gomotetiya hamda bir tekis bo‘lmagan affin deformatsiyalar (o‘qlarga nisbatan siqish va cho‘zish) operatorlari o‘rganiladi. Gomotetiya almashtirishining analitik va operator modeli. Gomotetiya tekislikdagi o‘xshashlik almashtirishlarining eng sodda va fundamental turi hisoblanib, u figuraning geometrik formasini to‘liq saqlagan holda, uning masshtabini chiziqli ravishda o‘zgartiradi. Ta'rif. Tekislikda tayinlangan O nuqta (gomotetiya markazi) va noldan farqli o‘zgarmas k ⋲ R \{0} soni (gomotetiya koeffitsiyenti) berilgan bo‘lsin. Agar tekislikning ixtiyoriy M nuqtasi OM' = k * OM shartni qanoatlantiruvchi M nuqtaga o‘tsa, bunday almashtirishga gomotetiya deyiladi. Geometrik xossalarni koordinatalar sistemasida tekshirish uchun gomotetiya markazi qilib koordinata boshi O(0,0) olinsa, ixtiyoriy M(x,y) nuqtaning M'(x',y') obrazga o‘tish tenglamalari (analitik modeli) quyidagicha shakllanadi:{ x'= kx y'= ky Ushbu chiziqli sistemaning operator va matritsaviy ifodasi diagonal simmetrik (skalyar) matritsa ko‘rinishiga ega bo‘ladi: ( x ' y ' ) = ( k 0 0 k )( x y ) ⇒ X ' = H k Bu yerda H k — gomotetiya operatori matritsasidir. Ushbu matritsaning determinanti almashtirishning fazoviy va metrik xossalarini guruhlovchi muhim invariant hisoblanadi: det (¿H k)=| k 0 0 k|= k2¿ Determinantning det(H k ) = k 2 ekanligi tekislikdagi ixtiyoriy yopiq figuraning yuzasi ushbu almashtirishda k 2 marta o‘zgarishini ko‘rsatadi. k > 0 bo‘lganda to‘g‘ri gomotetiya (obraz va proobraz markazdan bir tomonda joylashadi), k < 0 bo‘lganda esa teskari gomotetiya (obraz va proobraz markazga nisbatan qarama-qarshi tomonlarda yuzaga keladi va shakl 180 o ga buriladi) sodir bo‘ladi. 2. O‘qlarga nisbatan bir tekis bo‘lmagan affin deformatsiyalar (Siqish va cho‘zish). Matematik tahlilda funksiya grafiklarini uning argumenti yoki funksiyaning o‘zini skalyar koeffitsiyentlarga ko‘paytirish orqali o‘zgartirish dinamikasini asoslashda (masalan, y = Af(x) yoki y = f( Ω x) garmonik tebranishlar grafiklarida) o‘qlarga nisbatan bir tekis bo‘lmagan cho‘zish va siqish operatorlari hal qiluvchi rol o‘ynaydi. Bu almashtirishlar affin almashtirishida chiziqli operator matritsasining diagonal elementlari o‘zaro teng bo‘lmaganda ( a 11 ≠� a 22 ) yuzaga keladi. A) Absissalar o‘qi (Ox)ga nisbatan (ordinata o‘qi bo‘ylab) deformatsiya. Bu almashtirishda tekislikdagi har bir nuqtaning absissasi invariant (o‘zgarmas) qoladi, ordinatasi esa o‘zgarmas q > 0 koeffitsiyentga ko‘paytiriladi. Bu holda Ox o‘qi invariant to‘g‘ri chiziq (qo‘zg‘almas o‘q) vazifasini bajaradi:{ x ' = x y ' = q ⋅ y ⇒ ( x ' y ' ) = ( 1 0 0 q )( x y ) ⇒ X ' = A Ox ( q ) X q > 1 bo‘lganda, grafik Ox o‘qidan ordinata o‘qi bo‘ylab q marta cho‘ziladi (uzayadi). 0 < q < 1 bo‘lganda, grafik Ox o‘qiga qarab ordinata o‘qi bo‘ylab 1/q marta siqiladi. B) Ordinatalar o‘qiga nisbatan deformatsiya. Ushbu geometrik almashtirishda nuqtaning ordinata qiymati o‘zgarmasdan saqlanadi, absissasi esa p > 0 koeffitsiyent marta o‘zgaradi. Bunda invariant to‘g‘ri chiziq Oy o‘qidir:{ x ' = p ⋅ x y ' = y ⇒ ( x ' y ' ) = ( p 0 0 1 )( x y ) ⇒ X ' = A Oy ( p ) X Matematik analiz prinsiplariga ko‘ra, y = f(ωx) funksiyasining grafigini yasash uchun argument oldidagi ω koeffitsiyenti ushbu geometrik operatorga teskari proporsional ravishda tatbiq etiladi, ya’ni p = 1\ ω deb olinadi. ω > 1$ (ya’ni p < 1) bo‘lganda, grafik Oy o‘qiga absissa o‘qi bo‘ylab ω marta siqiladi. 0 < ω < 1 (ya'ni p > 1) bo‘lganda, grafik Oy o‘qidan absissa o‘qi bo‘ylab 1/ ω marta cho‘ziladi. 3. Affin deformatsiyalarining fundamental geometrik xossalari. Ilmiy- metodik tadqiqotlar va chiziqli geometriya qonuniyatlariga ko‘ra, bir tekis bo‘lmagan siqish va cho‘zish almashtirishlari quyidagi o‘ziga xos invariant hamda funksional xossalarga ega: － Har qanday affin deformatsiyasi to‘g‘ri chiziqni yana to‘g‘ri chiziqqa, o‘zaro parallel to‘g‘ri chiziqlarni esa yana parallel to‘g‘ri chiziqlarga o‘tkazadi. Biroq, chiziqlar orasidagi burchaklar (ortogonallik) ushbu deformatsiyada saqlanmaydi. － Affin deformatsiyalari ikkinchi tartibli egri chiziqlarni (ellips, giperbola, parabola) faqat va faqat ikkinchi tartibli egri chiziqlarga akslantiradi. Xususan, markaziy gomotetiya yoki o‘q bo‘yicha siqish operatori aylanani ellipsga transformatsiya qiladi. － Agar tekislikdagi biror yopiq shakl yuzasi S ga teng bo‘lsa, u holda A Ox (q) va A Oy (p) operatorlarining ketma-ket ta’siridan so‘ng, hosil bo‘lgan yangi shakl yuzasi S' = p*q*S formula bo‘yicha aniqlanadi. Ya'ni, yuza chiziqli operator matritsasining determinantiga mutanosib ravishda o‘zgaradi ( det(A) = p * q ). Agar y = f(x) funksiya grafigi biror vertikal yoki gorizontal asimptotaga ega bo‘lsa, u holda deformatsiya operatorlari ta'siridan so‘ng ham asimptotalik xossasi to‘liq saqlanadi, faqat asimptota tenglamalari mos koordinata o‘zgarishiga muvofiq chiziqli ko‘rinishda siljiydi yoki o‘zgaradi. 4. Paragraf mavzusiga oid amaliy masala va uning geometrik asoslanishi. Affin almashtirishlarining chiziqli o‘lchamlar va yuzalarni o‘zgartiruvchi xossalarini aniq matematik modelda ko‘rib chiqamiz. Proobraz (dastlabki shakl) sifatida markazi koordinata boshida bo‘lgan birlik aylanani olamiz: x 2 + y 2 = 1 A) Gomotetiya operatorining tatbiqi: Ushbu aylanaga koordinata boshi O(0,0) ga nisbatan k=3 koeffitsiyentli gomotetiya almashtirishini qo‘llaymiz. Nuqtalarning o‘tish qonuniyatiga ko‘ra:{ x ' = 3 x y ' = 3 y ⇒ { x = x ' 3 y = y ' 3 Ushbu ifodalarni dastlabki aylananing x 2 + y 2 = 1 tenglamasiga qo‘ysak: ( x' 3 ) 2 +( y' 3 ) 2 =1⇒ x'2 9 + y'2 9 =1⇒ x'2+y'2=9 Gomotetiyada shaklning geometrik formasi invariant qoldi — radiusi R=1 bo‘lgan aylana radiusi R'=3 bo‘lgan kattaroq aylanaga o‘tdi (o‘xshashlik xossasi). Dastlabki aylananing yuzasi S = π edi. Gomotetiya operatorining determinanti det(H k ) = 3 2 = 9 bo‘lgani uchun yangi shakl yuzasi S' = 9 π ga teng bo‘ldi (yuza k 2 marta ortdi). B) Ketma-ket siqish va cho‘zish. Dastlabki birlik aylanaga absissalar o‘qi (Ox)ga nisbatan q = 1 2 marta siqish (vertikal siqish) va ordinatalar o‘qi ( Oy )ga nisbatan p = 4 marta cho‘zish (gorizontal uzaytirish) operatorlarini kompozitsiya shaklida tatbiq etamiz:{ x ' = 4 x y ' = 1 2 y ⇒ { x = x ' 4 y = 2 y ' Ushbu ifodalarni aylananing tenglamasiga keltirib qo‘yamiz: ( x' 4 ) 2 +¿ Xossaning namoyon bo‘lishi: Affin deformatsiyasi aylanani (ikkinchi tartibli chiziqni) o‘zining metrik tabiatini o‘zgartirgan holda boshqa bir ikkinchi tartibli chiziqqa — yarim o‘qlari a = 4 va b = 1 2 bo‘lgan kanonik ellipsga o‘tkazdi (egri chiziqlar tartibining saqlanishi). Berilgan chiziqli operator matritsasi A = ( 4 0 0 1 2 ) ga teng. Kanonik ellips yuzasi formulasi bo‘yicha: S ellips =π a b=π 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 =2π bo‘lib, u dastlabki aylana yuzasidan π roppa-rosa det ( ¿ A ) ¿ marta jozibador ravishda kattadir. II BOB. M atematik analizdagi funksiyalar grafiklarini almashtirishlar tordamida yasash algoritmi Matematik analiz kursida yordamchi y = f(x) bazaviy funksiya grafigi ma'lum bo'lgan holda, undan chiziqli kombinatsiyalar orqali hosil qilingany=A ⋅f(ωx +φ)+ B ko'rinishidagi murakkabroq funksiyalar grafiklarini differensial hisobsiz yasash usullari o'rganiladi. Bu jarayon tadqiqotning I bobida o'rganilgan affin va izometrik almashtirish operatorlarini tayanch grafikning funksional nuqtalar to'plamiga ketma-ket tatbiq etish natijasidir. Asosiy e'tibor har bir geometrik operatorning funksiya argumenti, uning aniqlanish sohasi va funksiya qiymatlariga ta'sirini tahliliy isbotlashga qaratiladi . Evklid tekisligida dastlabki y = f(x) funksiya grafigini Γ0=\{( x,y)∈ℝ2∣y=f(x)\} nuqtalar to'plami sifatida qaraymiz. Agar argument chiziqli siljishga uchrasa, ya'ni y = f(x - a) ko'rinishiga kelsa, yangi grafik Γ1 to'plamdan iborat bo'ladi. Faraz qilaylik, M 0(x0,y0)b nuqta Γ0 to'plamga tegishli, ya'ni y 0 = f ( x 0 ) ayniyat o'rinli. U holda yangi funksiyada ordinata qiymati o'zgarishsiz qolishi uchun argument x1−a=x0 shartni qanoatlantirishi, ya'ni x 1 = x 0 + a bo'lishi talab etiladi. Bu tahlil shuni ko'rsatadiki, yangi grafikdagi har bir nuqta tayanch grafik nuqtalaridan faqat absissasi bo'yicha a birlik o'ng tomonga siljishi bilan farq qiladi. Demak, ifodadagi minus ishorasi grafikning musbat yo'nalishda, plyus ishorasi esa manfiy yo'nalishda parallel ko'chishiga olib keladi. Xuddi shunday matematik mantiq y = f(x) + b funksiyasi uchun ham keltiriladi. Bu holatda M 0(x0,y0) nuqtaning absissasi o'zgarishsiz qoladi, ordinatasi esa yig'indi hisobiga y 1 = f ( x 0 )+ b = y 0 + b ko'rinishda ortadi yoki kamayadi. Geometrik nuqtai nazardan, bu jarayon ordinatalar o'qi bo'ylab harakatni ifodalaydi. Funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) o'zgarmaydi, biroq qiymatlar sohasi E(f) barcha nuqtalarda b birlikka vertikal siljiydi. Agar a va b parametrlari bir vaqtda qatnashsa ( y = f ( x − a )+ b ), almashtirishlar kommutativ xossaga ega bo'ladi hamda tayanch grafik umumiy ⃗p(a,b) vektor bo'ylab bitta harakatda o'z shaklini qat'iy saqlagan holda ko'chiriladi. Funksiyaning xususiy qiymatini yoki uning argumentini o'zgarmas skalyar koeffitsiyentga ko'paytirish tekislikdagi affin cho'zish yoki siqish almashtirishlariga olib keladi. Ordinatalar o'qiga nisbatan deformatsiyani ifodalovchi y=f(ωx ) funksiyasini tahlil qilamiz. Tayanch grafikdagi M 0 ( x 0 , y 0 ) nuqtaga mos keluvchi yangi nuqtaning ordinatasi ham aynan y0 bo'lishi uchun, argumentning yangi qiymati x 1 shunday tanlanishi kerakki, ωx1=x0 tenglik kafolatlansin. Bundan x1=x0 ω ekanligi kelib chiqadi. Ushbu qonuniyat funksiyaning aniqlanish sohasiga ham bevosita ta'sir ko'rsatadi. Agar tayanch funksiya [c, d] kesmada aniqlangan bo'lsa, deformatsiyalangan funksiya [ c ω , d ω ] kesmada aniqlanadi. Agar ω >1 bo'lsa, grafik ordinatalar o'qiga ω marta siqiladi; aksincha, agar 0< ω<1 bo'lsa, grafik gorizontal o'q bo'ylab 1 ω marta cho'ziladi. Absissalar o'qiga nisbatan deformatsiyani namoyon etuvchi y=A ⋅f(x) funksiyasi esa bevosita qiymatlar to'plamining chiziqli o'zgarishidir. Bunda har bir argumentning joylashuvi va funksiyaning aniqlanish sohasi to'liq saqlanadi, unga mos ordinata esa A marta ortadi yoki kamayadi. Natijada funksiya grafigining asimptotalari, burilish nuqtalari va ekstremumlarining absissalari joylashuvi o'zgarmaydi, faqatgina ularning ordinatalar amplitudasida vertikal o'zgarish yuz beradi. Agar tayanch funksiyaning nollari mavjud bo'lsa ( f(x)=0 ), vertikal deformatsiya qat'i nazar, grafikning abssissalar o'qi bilan kesishish nuqtalari invariant (qo'zg'almas) bo'lib qoladi. Yuqorida keltirilgan sodda bazaviy operatorlarni mantiqiy birlashtirish orqali umumiy y=A ⋅f(ωx +φ)+ B ko'rinishdagi funksiya grafigini yasash mumkin. Analitik geometriya va differensial hisob darsliklarida ushbu algoritm aniq ketma-ketlik bilan amalga oshirilishi talab etiladi. Buning isboti sifatida argument tarkibidagi chiziqli qism guruhlanadi: y = A ⋅ f ( ω ( x + φ ω )) + B Ushbu ifodadan kelib chiqqan holda, grafikni yasash bosqichlari to'rt qadamdan iborat zanjirni tashkil etadi. Dastlab tayanch y = f(x) funksiyasi olinib, absissa o'qi bo'ylab −φ ω qadar siljitiladi. Keyingi qadamda hosil bo'lgan oraliq grafik ordinatalar o'qiga nisbatan ω koeffitsiyent bilan gorizontal siqiladi yoki cho'ziladi. Uchinchi bosqichda A koeffitsiyent yordamida vertikal masshtablash (cho'zish/siqish deformatsiyasi) qo'llaniladi. Eng so'nggi jarayonda grafik B miqdorga ordinata o'qi bo'ylab vertikal parallel ko'chiriladi. Bu zanjir affin operatorlarining matritsaviy ko'paytmasiga to'liq mos keladi va geometrik xatoliklarning oldini oladi. Ushbu nazariy qoidalarni maktab va oliy ta'lim kursida keng uchraydigan klassik kvadratik funksiya misolida tasdiqlaymiz. Umumiy ko'rinishdagi y =2 x 2 −4 x +5 funksiyasi berilgan bo'lsin. Uning grafigini hosila yordamisiz, faqat tekislikdagi almashtirishlar orqali yasash uchun uni to'la kvadrat ajratish algebraik usuli bilan quyidagi shaklga keltiramiz: y = 2 ( x 2 − 2 x + 1 − 1 ) + 5 ⇒ y = 2 ¿ Bu ifoda chiziqli almashtirishlarning aniq kompozitsiyasidir. Dastlab y = x 2 bazaviy parabolasi olinadi. Argument x→( x−1) ga o'zgargani sababli, parabola absissalar o'qi bo'ylab musbat yo'nalishda 1 birlik o'ngga siljitiladi. So'ngra funksiya qiymati 2 ga ko'paytirilganligi hisobiga grafik Ox o'qidan yuqoriga vertikal ravishda 2 marta cho'ziladi, buning natijasida uning shoxlari Oy o'qiga qarab nisbatan qisqargandek ko'rinadi. Oxirgi qadamda butun parabola +3 birlikka ordinatalar o'qi bo'ylab tepaga parallel ko'tariladi. Natijada uchining koordinatalari M(1; 3) bo'lgan, asimptotik yoyilishi o'zgargan va qat'iy analitik isbotlangan yangi grafik hosil bo'ladi. Ushbu bosqichlar differensial apparatsiz grafik tasvirlarni vizuallashtirishda tekislikdagi almashtirishlar nazariyasining naqadar kuchli metod ekanligini ko'rsatadi. O‘q bo‘yicha deformatsiya va invariant nuqtalar muammosi. Matematik tahlil amaliyotida faqat uzluksiz chiziqlardan iborat elementar funksiyalar bilan cheklanib qolmay, balki uzilishga ega bo'lgan yoki qiymatlari mutlaq qiymat (modul) belgisi ostida bo'lgan noelementar funksiyalar tabiatini o'rganish ham muhim ahamiyat kasb etadi. Modul ishtirok etgan funksiyalar grafigini yasash maxsus invariant sohalarni aniqlashni, shuningdek, I bobda keltirilgan o'q simmetriyasi operatorlaridan maqsadli foydalanishni talab qiladi. Ushbu paragrafda modulli almashtirishlarning to'la matematik tahlili keltiriladi. Modulning algebraik ta'rifiga ko'ra, har qanday manfiy miqdor o'zining musbat qarama-qarshisiga aylanadi, musbat miqdorlar esa o'zgarishsiz qoladi. Matematik mantiqda bu jarayon ixtiyoriy f(x) funksiya uchun quyidagi qismli operator ko'rinishida yoziladi:^ A [ f ( x ) ] = { f ( x ) , agarf ( x ) ≥ 0 − f ( x ) , agarf ( x ) < 0 Ushbu operatorning geometrik talqini yarim tekisliklar nazariyasiga tayanadi. Agar Evklid tekisligida yordamchi $y = f(x)$ tayanch grafigi chizilgan bo'lsa, u holda grafikning asimptotalari va ekstremumlari hisobga olingan holda quyidagi algoritm qo'llaniladi: － Tayanch y = f(x) grafikning Ox o'qidan yuqorida va uning o'zida ( y ≥0 sohada) joylashgan qismi hech qanday deformatsiyasiz, o'z o'rnida qoldiriladi. Bu qism modulli almashtirish uchun invariant soha hisoblanadi. － Grafikning Ox o'qidan pastda (ya'ni manfiy ordinatali y <0 sohada) joylashgan qismi olinadi. Ushbu qismdagi har bir nuqta M (x,− y) ko'rinishiga kelishi uchun unga qat'iy ravishda absissalar o'qiga nisbatan simmetriya operatori (SOx ) qo'llaniladi va u yuqori yarim tekislikka ortogonal ravishda ko'zgusimon akslantiriladi. Yangi hosil bo'lgan grafik (invariant qism va akslantirilgan qismlarning birlashmasi) y = |f(x)| funksiyasining to'liq grafigi bo'lib, uning qiymatlar sohasi E ( y ) [0,+∞) ⊂ shartni doimo qanoatlantiradi. Bu funksiyada grafikning Ox o'qini kesib o'tish nuqtalari odatda silliqlikni yo'qotib, sinish nuqtalariga aylanadi, ya'ni bu nuqtalarda hosila mavjud bo'lmasligi mumkin. Argumenti modul ostida bo'lgan funksiya grafigi (y = f(|x|)) Agar modul belgisi funksiya qiymatiga emas, balki faqat mustaqil o'zgaruvchi argumentga tegishli bo'lsa, funksiyaning xarakteri va uning simmetriyasi tubdan o'zgaradi. Algebraik ta'rifga asosan: y = f (| x |)= { f ( x ), agarx ≥0 f (− x ), agarx <0 Bu xususiyat y = f(|x|) funksiyasining barcha haqiqiy sonlar o'qida (agar D(f) o'qqa nisbatan simmetrik bo'lsa) doimiy juft funksiya ekanligini anglatadi, chunki ixtiyoriy x uchun f(|-x|) = f(|x|) qat'iy o'rinli bo'ladi. Matematik analiz darsliklarida juft funksiyalar grafigi ordinatalar o'qi (Oy) ga nisbatan to'liq simmetrik bo'lishi teoremalar orqali tasdiqlangan. Shu sababli grafikni almashtirish algoritmi tamoman boshqa mantiqqa asoslanadi: Dastlabki yordamchi y = f(x) grafikning x < 0 bo'lgan manfiy yarim tekislikdagi (chap tomondagi) qismi butunlay hisobga olinmaydi va o'chirib tashlanadi , chunki yangi funksiya manfiy argumentlar uchun tayanch funksiyaning manfiy qismidagi qiymatlarini umuman qabul qilmaydi Grafikning faqat musbat yarim tekislikdagi x≥0 (o'ng tomondagi) qismi to'liq qoldiriladi. Invariant bo'lib qolgan o'ng qism olinib, unga faqat o'q simmetriyasi — Oy o'qiga nisbatan simmetriya operatori ( SOy ) qo'llaniladi hamda grafikning aynan shunday ko'rinishdagi chap yarmi generatsiya qilinadi. Agar modul belgisi ham funksiya qiymatida, ham uning argumentida bir vaqtda qatnashsa (y = |f(|x|)| ko'rinishida) modulli operatorlarning superpozitsiyasi (zanjiri) bajariladi. Bunda birinchi navbatda $y = f(|x|)$ ichki operatori qo'llaniladi (Oy o'qiga nisbatan simmetriya) va uning ustiga tashqi $y = |f(x)|$ operatori (Ox o'qidan pastki qismini akslantirish) qo'llaniladi. Murakkab holatlarda, masalan argumentning ma'lum bir ko'phadi modul ostida bo'lganda ($y = f(|ax+b|)$), qismlarga ajratish chiziqlari usuli kiritiladi. Bu holda funksiyaning nollari, ya'ni $|ax+b|=0$ nuqtalar aniqlanib, koordinata tekisligi bir necha vertikal oraliqlarga ajratiladi. Har bir oraliqda modul ishorasi alohida (musbat yoki manfiy) ochilib, olingan chiziqli oddiy funksiyalar to'plami grafiklar ko'rinishida generatsiya qilinadi va chegaraviy nuqtalarda uzluksiz tikib chiqiladi. Noelementar va modulli funksiyalar grafiklarini yasashning qat'iy ketma- ketlik algoritmlari. Ish davomida o'rganilgan barcha chiziqli, affin deformatsiyalari va modulli operatorlarning amaliy kuchini hamda mantiqiy tartibini ko'rsatib berish uchun, sof matematik bosqichma-bosqich yondashuvni talab qiluvchi murakkab garmonik tebranish masalasining grafik qadamlarini to'laqonli tahlil qilamiz. Trigonometrik funksiyalar grafiklarida asosan funksiyaning davri, amplitudasi va fazaviy siljishi asosiy invariant parametrlar hisoblanadi. Masala modelini tahlil qilish: Bizga ixtiyoriy y =| 2 sin ( 3 x − π 2 )| −1 murakkab transsendent funksiyasi berilgan bo'lsin. Uning grafigini tayanch sin(x) elementini almashtirishlar orqali yasashning aniq kompozitsiya zanjiri va uning differensial tekshiruvini quramiz. Murakkab transsendent funksiyalar grafiklarini yasashda xatoga yo'l qo'ymaslik hamda qat'iy kommutativlik saqlanishi uchun birinchi navbatda funksiya argumentidagi o'zgaruvchi xossasi ajratilib, u y = A ⋅ sin ( ω ( x + α ))+ B standart ko'rinishiga keltiriladi. Bunga asosan berilgan funksiya o'zgartiriladi: y = | 2 sin ( 3 ( x − π 6 ))| −1 Endi har bir geometrik o'zgarish va ularning analitik xususiyatlarini bosqichma- bosqich sanab o'tamiz: 1- qadam (Tayanch funksiya va Gorizontal deformatsiya): Dastlab barcha trigonometrik xossalarni (asoslash davri T= 2π , asimptotik nollari x=πk ,k∈ℤ ) o'zida jamlagan bazaviy Γ 0 : y 0 = sin x grafigi koordinata tekisligida tasvirlanadi. Unga birinchi bo'lib argument deformatsiyasi — ordinata o'qiga nisbatan (absissalar o'qi bo'ylab) p = 3 koeffitsiyentli qat'iy siqish operatori qo'llaniladi. Natijada Γ1:y1=sin (3x) funksiyasi hosil bo'ladi. Uning tebranish chastotasi ortadi, davri esa 3 marta qisqarib, yangi asosiy davr T = 2 π 3 ga aylanadi . 2- qadam (Izometriya — Fazali siljish): Hosil bo'lgan yangi Γ1 grafigi absissalar Ox o'qi bo'ylab musbat (o'ng) tomonga roppa-rosa π 6 masofaga parallel ko'chiriladi. Bu jarayon izometriya bo'lib, shaklning amplitudasi, burchak koeffitsiyentlari va davrini umuman o'zgartirmaydi, u faqat fazani o'zgartiradi. Natija sifatida Γ 2 : y 2 = sin ( 3 ( x − π 6 )) hosil bo'ladi va endi funksiyaning birinchi asosiy noli koordinata boshidan aynan x = π 6 nuqtaga ko'chadi. 3- qadam (Vertikal gomologik cho'zilish): Endi funksiyaning umumiy yig'indisi o'zgarmas 2 koeffitsiyentiga ko'paytiriladi. Bu jarayon absissa o'qiga nisbatan vertikal cho'zish affin deformatsiyasi bo'lib, tayanch trigonometrik tebranish amplitudasi [-1; 1] chegarasidan [-2; 2] oraliqqa qadar vertikal kengayadi. Asimptotalar saqlanadi, faqat balandlik o'zgaradi. O'tish qadami: Γ3:y3=2 sin (3x−π 2) 4- qadam (Qismli simmetriya — To'liq modullash): Butun trigonometrik ifoda mutlaq qiymat moduli ostida bo'lgani sababli, yuqoridagi 2.2-paragrafda keltirilgan tayanch teoremaga ko'ra, Γ 3 grafigining Ox o'qidan pastda yotuvchi barcha (manfiy ordinatali) yoylari olinib, absissalar o'qiga ortogonal tarzda yuqoriga akslantiriladi. Yuqori musbat qismlar esa o'z o'rnida qoladi. Grafik o'zining tebranuvchan to'lqin xarakterini sakrovchi, faqatgina musbat sohada joylashgan yarim to'lqinlar shakliga o'zgartiradi: Γ 4 : y 4 =| 2 sin ( 3 x − π 2 )| . Endi uning qiymatlar sohasi faqat [0; 2] oraliqdan iborat. 5-qadam (Yakuniy ordinatal translatsiya): Eng so'nggi jarayon sifatida to'liq grafik Oy ordinatalar o'qi bo'ylab -1 miqdorga, ya'ni vertikal yo'nalishda pastga parallel ko'chiriladi. Bu yakuniy qadam butun funksiya grafining ekstremumlarini pastga suradi va uning mutlaq xarakterini belgilaydi. Yakuniy natija Γfinal :y5=|2sin (3x−π 2)|−1 grafigidir. Matematik analiz teoremalariga ko'ra, ushbu hosil bo'lgan yakuniy grafning qiymatlar sohasi E(y) = [-1; 1] oraliqda davriy o'zgaradi. Bu ko'p bosqichli kompozitsiya zanjiri — differensial tenglamalarga murojaat qilmasdan transsendent funksiyalar tabiatini vizuallashtirishda tekislikdagi almashtirishlar teoriyasining universal tahliliy vosita ekanligini isbotlaydi. Xulosa Ushbu kurs ishi doirasida tekislikdagi geometrik almashtirishlarning qat ’ iy analitik apparati va uni matematik analiz funksiyalari grafiklarini differensial hisobsiz yasashga tatbiq etish metodikasi to'liq tadqiq etildi. Tadqiqot jarayonida algebraik, geometrik va funksional tahlil tamoyillari yagona mantiqiy tizimga birlashtirildi hamda qo'yilgan maqsad va vazifalarga to'la erishildi. Birinchi navbatda tekislikdagi chiziqli va affin almashtirishlarning fundamental xossalari to'plamlar nazariyasi va matritsalar algebrasi yordamida isbotlandi. Izometriya, ya'ni parallel ko'chirish, o'q va markaziy simmetriya, burish hamda affin deformatsiyalari, xususan, gomotetiya, o'qlar bo'ylab siqish va cho'zish operatorlarining analitik modellari shakllantirildi. Ushbu operatorlarning geometrik figuralar metrikasiga, jumladan uzunlik, burchak va yuzaga ta'siri qat'iy teoremalar vositasida asoslandi. Ikkinchi bosqichda ishlab chiqilgan chiziqli algebraik operatorlar majmuasi bevosita matematik analiz funksiyalariga tatbiq etildi. Argument va funksiya qiymatlaridagi chiziqli o'zgarishlar aslida geometrik operatorlarning qat'iy kompozitsiya zanjiri ekanligi isbotlandi. Ayniqsa, transsendent va modulli noelementar funksiyalar grafiklarini yasashda qismli simmetriya hamda oraliqlar invariantligi usullari algoritmlashtirildi. Murakkab garmonik tebranishlar misolida chiziqli almashtirishlar kommutativligi saqlanishining bosqichma-bosqich isboti keltirildi. Umumiy xulosa o'rnida ta'kidlash joizki, funksiya grafiklarini geometrik almashtirishlar yordamida yasash usuli shunchaki yordamchi chizmachilik vositasi emas, balki talabalarda mavhum funksional fikrlashni, fazoviy tasavvurni va uzluksiz jarayonlarni global tahlil qilish ko'nikmasini shakllantiruvchi qudratli analitik apparatdir. Bu usul oliy ta'lim muassasalarida algebra va matematik analiz kurslari o'rtasidagi fanlararo integratsiyani ta'minlashda muhim ilmiy-metodik ahamiyat kasb etadi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO'YXATI  Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz. I qism. Oliy o'quv yurtlari talabalari uchun darslik. Toshkent, "O'zbekiston", 1994.  Atanasyan L. S., Bazylyov V. T. Geometriya. I qism. Pedagogika institutlari talabalari uchun o'quv qo'llanma. Moskva, "Prosvesheniye", 1983.  Narmanov A. Ya. Analitik geometriya. Oliy o'quv yurtlari talabalari uchun darslik. Toshkent, "Universitet", 2008.  Pogorelov A. V. Analitik geometriya. Universitetlar uchun darslik. Moskva, "Nauka", 1978.  Fikxtengolts G. M. Differensial va integral hisob kursi. I tomlik. Moskva, "Fizmatlit", 2001.  Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitik geometriya. Universitetlar uchun darslik. Moskva, "Fizmatlit", 2004.  Baxvalov S. V., Modenov P. S., Parxomenko A. S. Analitik geometriyadan masalalar to'plami. Toshkent, "O'qituvchi", 1980.  Kudryavtsev L. D. Matematik analiz kursi. I jild. Moskva, "Visshaya shkola", 1981.  GeoGebra — Dinamik matematika dasturiy ta'minoti. Interaktiv grafik modellashtirish va geometrik almashtirishlar tahlili uchun raqamli platforma.

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafiklarini chizish

Sotib olish