Kirish Roʻyxatdan oʻtish

Docx

  • Referatlar
  • Diplom ishlar
  • Boshqa
    • Slaydlar
    • Referatlar
    • Kurs ishlari
    • Diplom ishlar
    • Dissertatsiyalar
    • Dars ishlanmalar
    • Infografika
    • Kitoblar
    • Testlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi 35000UZS
Hajmi 815.8KB
Xaridlar 0
Yuklab olingan sana 26 May 2026
Kengaytma docx
Bo'lim Kurs ishlari
Fan Geometriya

Sotuvchi

Student of NUUz

Ro'yxatga olish sanasi 26 May 2026

0 Sotish

Kanonik tenglamalar

Sotib olish
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY
TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
                                         
Matematika yo‘nalishi 25.04-guruh talabasi 
Zokirjonova Zarnigor Elyorjon qizi
Analitik geometriya fanidan 
“ Kanonik tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli
sirtlar ”
 mavzusidagi 
KURS  ISHI
Kurs ishi rahbari:                                                    Matematika  kafedrasi 
                                                                 dotsenti B.Mamadaliyev Farg‘ona-2026 Reja
KIRISH ............................................................................................ ...................... 3
I BOB.  Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy nazariyasi va affin tasnifi ............... 5
1.1.  Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi va kvadratik formalar 
nazariyasi. ................................................................................................................ 5
1.2.  Ortogonal almashtirishlar yordamida umumiy tenglamani kanonik 
ko rinishga keltirish.ʻ ..................................................................................................
1.3.  Sirtlarning invariantlari va yarim invariantlari tasnifi . ................................. 11
1.4.  . Ikkinchi tartibli sirtlarning markazlari, diametrial tekisliklari va bosh
yo nalishlari.
ʻ .......................................................................................................... 13
II   BOB.   Kanonik   tenglamalar   bilan   berilgan   sirtlarning   geometrik
xossalari va chiziqli yasovchilari . ......................................................................... 17
2.1.   Markaziy   sirtlar   (Ellipsoid,   bir   va   ikki   pallali   giperboloidlar)   va
ularning kanonik tahlili. ........................................................................................ 17
2.2.  . Nomarkaziy sirtlar (Elliptik va giperbolik paraboloidlar) va ularning
xossalari ................................................................................................................. 19
2.3.  . Ikkinchi tartibli konuslar va silindrik sirtlarning analitik tekshiruvi.
................................................................................................................................ 20
2.4.   Sirtlarning   to g ri   chiziqli   yasovchilari   va   ularning   geometrik	
ʻ ʻ
xossalari (Regulyar sirtlar). ................................................................................... 21
2.5.  Ikkinchi tartibli sirtlarni kompyuterda modellashtirish va vizual tahlil
qilish  hamda amaliy misollar ................................................................................ 24
XULOSA ............................................................................................................... 28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 
RO‘YXATI ....................................... .................................................................... 30     3 KIRISH
Zamonaviy   matematika   va   uning   ko plab   tadbiqiy   tarmoqlaridaʻ
geometrik   obyektlarni   algebraik   usullar   yordamida   tadqiq   etish   muhim
o rin   tutadi.   Analitik   geometriya   fanning   mustaqil   sohasi   sifatida	
ʻ
shakllangan   davrdan   boshlab,   fazoviy   shakllarni   invariantlar   va
almashtirishlar   nazariyasi   prizmasidan   o rganish   dolzarb   masalalardan	
ʻ
biri   bo lib   kelmoqda.   Fazoda   dekart   koordinatalar   sistemasida	
ʻ
o zgaruvchilarning   ikkinchi   darajali   ko phadlari   orqali   aniqlanadigan	
ʻ ʻ
sirtlar   —   ikkinchi   tartibli   sirtlar   deb   ataladi.   Ushbu   sirtlarning   kanonik
tenglamalari to g risidagi ta limot chiziqli algebra, operatorlar nazariyasi	
ʻ ʻ ʼ
va   differensial   geometriya   fanlarining   kesishmasida   joylashgan
fundamental   mavzulardan   biridir.   Ikkinchi   tartibli   sirtlar
geometriyasining   dolzarbligi,   birinchi   navbatda,   fazodagi   ixtiyoriy
ikkinchi   tartibli   umumiy   algebraik   tenglamani   ortogonal   almashtirishlar
(bosh   o qlarga   keltirish)   yordamida   simmetrik   va   sodda   —   kanonik	
ʻ
ko rinishga   keltirish   muammosi   bilan   belgilanadi.   Bu   jarayon	
ʻ
koordinatalar   sistemasini   parallel   ko chirish   va   burish   amallari   orqali	
ʻ
amalga oshirilib, sirtning simmetriya markazlari, diametrial tekisliklari va
bosh   yo nalishlarini   aniqlash   imkonini   beradi.   Matematika   yo nalishi	
ʻ ʻ
talabalari   uchun   ushbu   o tish   davridagi   invariantlar   tizimini	
ʻ
(almashtirishlarga   nisbatan   qiymati   o zgarmas   qoladigan	
ʻ
determinantlarni)   algebraik   nuqtai   nazardan   asoslash   va   sirtlarning   affin
hamda   metrik   tasnifini   yaratish   nazariy   jihatdan   katta   qimmatga   ega.
Bundan tashqari, kanonik tenglamalar bilan berilgan sirtlarning (ellipsoid,
giperboloidlar,   paraboloidlar)   ichki   geometrik   xossalari,   xususan,
ularning   parallel   kesimlar   usuli   bilan   o rganilishi   hamda   ayrim   sirtlarda	
ʻ
(masalan,   bir   pallali   giperboloid   va   giperbolik   paraboloidda)   to g ri	
ʻ ʻ
chiziqli   yasovchilar   oilasining   mavjudligi   matematik   analiz   va 4differensial tenglamalar kurslarida fazoviy shakllarni modellashtirishning
asosi   hisoblanadi.   Shu   sababli,   ikkinchi   tartibli   sirtlarni   kanonik
tenglamalar  yordamida tizimli   tahlil   qilish  va ularning xossalarini   qat iyʼ
matematik   teoremalar   orqali   isbotlash   ushbu   kurs   ishining   dolzarbligini
belgilaydi.
Tadqiqotning   maqsadi.   Fazoda   umumiy   tenglama   bilan   berilgan
ikkinchi   tartibli   sirtlarni   kvadratik   formalar   va   chiziqli   operatorlar
nazariyasi   yordamida   kanonik   ko rinishga   keltirish   algoritmlarini	
ʻ
o rganish   hamda   kanonik   tenglamalari   orqali   aniqlanuvchi   sirtlarning	
ʻ
geometrik xossalarini va ularning to g ri chiziqli yasovchilarini algebraik	
ʻ ʻ
usullar bilan chuqur tadqiq etishdan iborat.
Tadqiqotning   vazifalari.   Qo yilgan   maqsadga   erishish   uchun   quyidagi	
ʻ
vazifalarni bajarish nazarda tutilgan:
 Ikkinchi tartibli sirtning umumiy analitik tenglamasini matritsaviy va
kvadratik formalar ko rinishida ifodalash;	
ʻ
 Fazoviy   dekart   koordinatalar   sistemasida   ortogonal   almashtirishlarni
qo llash   orqali   umumiy   tenglamani   sodda   (kanonik)   ko rinishga	
ʻ ʻ
keltirish teoremasini isbotlash;
 Sirtlarning   metrik   invariantlari   va   yarim   invariantlari   tizimini   ishlab
chiqish hamda  ular  yordamida sirtlarning to liq tasnifini  (9 ta asosiy	
ʻ
sirt turini) shakllantiris
 Ikkinchi tartibli sirtlarning markazlari va bosh yo nalishlarini aniqlash	
ʻ
shartlarini tahlil qilish;
 Kanonik   tenglamalar   bilan   berilgan   markaziy   (ellipsoid,
giperboloidlar)   va   nomarkaziy   (paraboloidlar)   sirtlarni   parallel
kesimlar usuli yordamida tekshirish; 5 Tartibli   sirtlarning   regulyarlik   xossalarini   o rganish   va   chiziqliʻ
yasovchilar oilasining mavjudlik teoremalarini isbotlash.
I bob.  Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy nazariyasi va
affin tasnifi
Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi va kvadratik formalar
nazariyasi
Uch   o lchovli   Evklid   fazosida   fiksirlangan   (muqim)   to g ri   burchakli	
ʻ ʻ ʻ
Dekart   koordinatalari   sistemasida   o zgaruvchilarning   ikkinchi   darajali	
ʻ
umumiy algebraik ko phadi orqali aniqlanadigan nuqtalarning geometrik	
ʻ
o rniga 	
ʻ ikkinchi tartibli sirt  deyiladi.
Fazodagi   ixtiyoriy   ikkinchi   tartibli   sirtning   umumiy   analitik   tenglamasi
quyidagi ko rinishga ega:	
ʻ	
A⋅ x2+B	⋅ y2+C	⋅ z2+2D	 ⋅ x⋅ y+2E	⋅ y	z+2	F⋅xz+2G	⋅ x+2H	⋅ y+2K	⋅ z+L=0
Bu yerda  A, B, C, D, E, F, G, H, K, L  — haqiqiy sonlar bo lib, sirtning	
ʻ
koeffitsiyentlari   hisoblanadi.   Sirt   aynan   ikkinchi   tartibli   bo lishi   uchun
ʻ
yuqori   darajali   koeffitsiyentlarning   kamida   bittasi   noldan   farqli   bo lishi	
ʻ
shart, ya ni:	
ʼ	
A2+B2+C2+D2+E2+F2≠0
Ushbu   umumiy   tenglamani   chiziqli   algebra   va   operatorlar   nazariyasi
usullari   yordamida   tadqiq   etish   uchun   uni   guruhlash   va   kvadratik
formalar ko rinishida ifodalash maqsadga muvofiqdir. Tenglamani shartli	
ʻ
ravishda uchta asosiy qismga ajratamiz:
1. Kvadratik qism (to la kvadratik forma):	
ʻ
A x 2
+B y 2
+C z 2
+2Dxy+2Eyz+2 F xz
2. Chiziqli qism:   2Gx+2Hy+2Kz
3. Ozod had:  L 6Kvadratik formalar nazariyasiga ko ra, sirtning to la kvadratik qismi uchʻ ʻ
o lchovli   fazoda   simmetrik   matritsa   yordamida   aniqlanadi.   Kelgusida	
ʻ
indekslar   bilan   ishlash   qulay   bo lishi   uchun   umumiy   tenglama	
ʻ
koeffitsiyentlarini quyidagicha qayta belgilaymiz:
 A = a
11 , B = a
22 , C = a
33
	
D=a12=a21,F=a13=a31,E=a23=a32
 G = a
14 = a
41 , H = a
24 = a
42 , K = a
34 = a
43
	
L=a44
Bu   belgilashlar   yordamida   ikkinchi   tartibli   sirtning   umumiy   tenglamasi
ixcham guruhlangan chiziqli algebraik ko rinishga keladi:	
ʻ	
∑i=1
3	
∑j=1
3	
1aij⋅xixj+2⋅∑i=1
3	
ai4⋅xi+a44=0
Bu   yerda   x
1 = x , x
2 = y , x
3 = z
  deb   olingan.   Sirtning   xarakterini   belgilovchi
bosh   kvadratik   forma   quyidagi   kichik   simmetrik   matritsa   orqali
ifodalanadi:
 
Sirtning   barcha   koeffitsiyentlarini,   shu   jumladan   chiziqli   qism   va   ozod
hadni ham o z ichiga olgan to liq (kengaytirilgan) matritsa esa to rtinchi	
ʻ ʻ ʻ
tartibli simmetrik matritsani hosil qiladi: 7Kvadratik   formalar   nazariyasining   fundamental   teoremalariga   muvofiq,
ixtiyoriy   simmetrik   kvadratik   formani   chiziqli   operatorlar   yordamida
uning   xos   yo nalishlariga   proeksiyalash,   ya ni   kanonik   (diagonal)ʻ ʼ
ko rinishga keltirish mumkin. Agarda fazoviy vektor-ustunn	
ʻ i  	X	=[	x,y,z]T
shaklida   va   chiziqli   koeffitsiyentlar   vektorini  	
V	=[	a14,a24,a34]   shaklida
ifodalasak,   sirt   tenglamasining   to liq   matritsaviy-vektorli   ko rinishi	
ʻ ʻ
quyidagicha yoziladi:	
XT⋅A⋅ X	+2	 ⋅ V	 ⋅ X	+a44=0
Sirt   tenglamasini   bunday   ko rinishda   tahlil   qilish,   koordinatalar	
ʻ
sistemasini ortogonal almashtirish (burish va parallel ko chirish) orqali 	
ʻ A
matritsasini   diagonal   ko rinishga   keltirish   masalasiga   doir   bo ladi.	
ʻ ʻ
Diagonal   elementlar   esa   chiziqli   operatorning   xos   qiymatlari
(xarakteristik   ildizlari)   bo lib,   ular   sirtning   fazodagi   siqilish   yoki
ʻ
cho zilash   xarakteristikalarini,   ya ni   sirtning   geometrik   tabiatini   to liq	
ʻ ʼ ʻ
belgilab beradi.
Ortogonal almashtirishlar yordamida umumiy tenglamani kanonik
ko rinishga keltirish	
ʻ
Ikkinchi   tartibli   sirtlarning   analitik   geometriyadagi   invariantlar
nazariyasiga muvofiq, fazodagi ixtiyoriy umumiy tenglama bilan berilgan
sirtni   Dekart   koordinatalar   sistemasini   mos   ravishda   o zgartirish   orqali	
ʻ
eng sodda — kanonik ko rinishga keltirish mumkin. Bu jarayon chiziqli	
ʻ
almashtirishlar operatori yordamida amalga oshirilib, mohiyatan sirtning
bosh   o qlarini   topish   va   koordinata   boshini   sirtning   simmetriya	
ʻ
markaziga ko chirish muammosiga tayanadi.	
ʻ
Tadqiqot   doirasida   ushbu   geometrik   almashtirish   ikki   asosiy   bosqichda
amalga oshiriladi: 8 Burish   almashtirishi   (Ortogonal   almashtirish):   Koordinata
o qlarining   yo nalishini   sirtning   bosh   yo nalishlari   bilan   ustma-ustʻ ʻ ʻ
tushirish   orqali   tenglamadagi   aralash   ko paytmalarni   (xy,   yz,   xz	
ʻ
hadlarni) yo qotish.	
ʻ
 Parallel   ko chirish   almashtirishi:
ʻ   Koordinata   boshini   sirtning
simmetriya   markaziga   (yoki   uchi   simmetrik   nuqtasiga)   ko chirish	
ʻ
orqali chiziqli hadlarni soddalashtirish.
Xarakteristik tenglama va xos qiymatlarni topish
Sirtning   bosh   kvadratik   formasini   diagonal   ko rinishga   keltirish   uchun,	
ʻ
eng avvalo, uning kichik koeffitsiyentlar matritsasi   A  uchun xarakteristik
tenglama   tuziladi.   Chiziqli   algebra   qonuniyatlariga   ko ra,   xarakteristik	
ʻ
tenglama quyidagi determinant shaklida ifodalanadi:
det(A− λ E)=0	
∗
Ushbu uchinchi tartibli determinantni ochib chiqish natijasida noma lum	
ʼ
λ ga nisbatan kubik xarakteristik tenglama hosil bo ladi:	
ʻ	
λ3−I1λ2+I2λ−I3=0
Bu  tenglama koeffitsiyentlari  sirtning  ortogonal   invariantlari  bo lib, ular	
ʻ
quyidagicha aniqlanadi:
	
I1=a11+a22+a33   (matritsa izi)
	
I2   —   bosh   diagonal   bo yicha   olingan   ikkinchi   tartibli   minorlar	ʻ
yig indisi.	
ʻ
 I
3 = det
❑ ( A )( kic h ikdeterminant ).
Kvadratik   formalar   nazariyasining   fundamental   teoremasiga   (Gilbert
teoremasi)   asosan,   simmetrik   matritsaning   barcha   xarakteristik   ildizlari	
(λ1,λ2,λ3)
  har doim haqiqiy sonlar bo ladi.	ʻ 9Bosh   yo nalishlar   va   ortogonal   matritsa   qurishʻ .   Topilgan   har   bir	
λk(k=1,2,3)
xos   qiymat   uchun   unga   mos   keluvchi   xos   vektorlar	
(ek=\{	lk,mk,nk\})
quyidagi   bir   jinsli   chiziqli   tenglamalar   sistemasidan
topiladi :
Ushbu tizimdan topilgan xos vektorlar o zaro ortogonal qilib tanlanadi va	
ʻ
ortonormallanadi   (uzunligi   birga   keltiriladi).   Ularning   koordinatalaridan
iborat   o tish   matritsasi   (	
ʻ C )   tuziladi.   Bu   matritsa   yordamida   eski
koordinatalar   ( x,   y,   z )   yangi   ( x',   y',   z' )   koordinatalar   bilan   quyidagicha
bog lanadi:	
ʻ	
X=C	⋅X	'
Matritsa  C  ortogonal bo lgani uchun uning determinanti 	
ʻ	det	(C)=1
shartni   qanoatlantiradi,   bu   esa   fazoning   shaklini   o zgartirmasdan   faqat	
ʻ
burishni   anglatadi.   Ushbu   almashtirish   natijasida   sirtning   kvadratik
formasi   diagonal   ko rinishga   o tadi   va   umumiy   tenglama   aralash	
ʻ ʻ
ko paytmalarsiz quyidagi shaklni oladi:	
ʻ	
λ1⋅¿
To la kvadratga ajratish (Parallel ko chirish)	
ʻ ʻ
Ushbu   bosqichda,   agar  	
λk   ildizlar   noldan   farqli   bo lsa,   chiziqli   hadlarni	ʻ
yo qotish   uchun   to la   kvadratga   ajratish   (guruhlash)   usuli   qo llaniladi.	
ʻ ʻ ʻ
Masalan,  x'  qatnashgan hadlar uchun:	
λ1⋅¿ 10Natijada,   barcha   markaziy   sirtlar   uchun   chiziqli   hadlar   to liq   yo qolib,ʻ ʻ
faqat kvadratik o zgaruvchilar va o zgargan yangi ozod had  	
ʻ ʻ ( L'' )   qoladi.
Agarda   xos   qiymatlardan   biri   nolga   teng   bo lsa  	
ʻ (	λ3=0 ) ,   u   holda   mos
yo nalish   bo yicha   parallel   ko chirish   sirtning   uchini   topishga   xizmat	
ʻ ʻ ʻ
qiladi   va   paraboloidlar   sinfi   kelib   chiqadi.   Shu   tariqa,   ortogonal
almashtirish   algoritmi   ixtiyoriy   ikkinchi   tartibli   sirtni   uning   qat iy	
ʼ
kanonik tenglamasiga olib keladi.
Misol.   Quyidagi   umumiy   tenglama   bilan   berilgan   ikkinchi   tartibli   sirtni
ortogonal   almashtirishlar   yordamida   kanonik   ko rinishga   keltiring   va	
ʻ
turini aniqlang:
2 x 2
+5 y 2
+2 z 2
−4 xy −2 xz +4 yz −9=0
Yechish :
1- qadam:   Sirtning   kvadratik   qismi   uchun   matritsa   tuzamiz.
Tenglamadan koeffitsiyentlarni ajratib olsak:	
a11=2,	a22=5,	a33=2	, a12=−2,	a13=−1,	a23=2
Sirtning bosh matritsasi ( A ) quyidagi ko rinishga keladi:	
ʻ
2-qadam:   Xarakteristik   tenglamani   tuzamiz   va   xos   qiymatlarni
topamiz.
det ( ¿ A − λE ) = 0 ⇒	
| 2 − λ − 2 − 1
− 2 5 − λ 2
− 1 2 2 − λ	| = 0 ¿
Ushbu   determinantni   ochib   chiqsak,   quyidagi   kubik   tenglama   hosil
bo ladi:	
ʻ
λ 3
−9 λ 2
+18 λ =0
Tenglamani ko paytuvchilarga ajratamiz:	
ʻ 11λ(λ−3)(	λ−6)=0Natijada sirtning xos qiymatlari (ortogonal invariantlari) kelib chiqadi:	
λ1=0,	λ2=3,	λ3=6
3-qadam:   Kanonik   tenglamani   shakllantiramiz.   Bizda   chiziqli   hadlar
yo q   bo lgani   uchun   parallel   ko chirish   bajarilmaydi.   Ozod   had	
ʻ ʻ ʻ
o zgarmasdan qoladi: 
ʻ L = -9 . Yangi koordinatalar tizimida ( X', Y', Z' ) sirt
tenglamasi quyidagi ko rinishni oladi:	
ʻ
λ
1 ¿
0 ⋅ ¿	
3¿
Tenglikning   har   ikkala   tomonini   9   ga   bo lsak,   yakuniy  	
ʻ kanonik
tenglama  hosil bo ladi:	
ʻ	
(y')2/3+(	z')2/1.5=1
Berilgan tenglama fazoda  Elliptik silindr ni ifodalaydi. Uning o qi yangi 	
ʻ
Ox' koordinata o qi bo ylab yo nalgan.	
ʻ ʻ ʻ 12Sirtlarning invariantlari va yarim invariantlari bo yicha to liq tasnifiʻ ʻ
Ikkinchi   tartibli   sirtlarning   umumiy   tenglamasini   ortogonal
almashtirishlar   yordamida   tadqiq   etishda   invariantlar   nazariyasi
fundamental asos hisoblanadi. Dekart koordinatalar sistemasini burish va
parallel   ko chirish   amallari   bajarilganda   sirtning   ba zi   algebraik	
ʻ ʼ
xarakteristikalari  — maxsus  determinantlari  va ularning funksiyalari  o z	
ʻ
qiymatlarini   o zgartirmaydi.   Ushbu   o zgarmas   miqdorlar  	
ʻ ʻ ortogonal
invariantlar  deb ataladi.
Sirtning  umumiy   tenglamasi   koeffitsiyentlaridan   to rtta  asosiy   ortogonal	
ʻ
invariant shakllantiriladi:
Birinchi   invariant   (I
1 ):   Kichik   matritsaning   izi   (bosh   diagonal
elementlari yig indisi):	
ʻ	
I1=a11+a22+a33
Ikkinchi invariant (I
2 ):   Bosh diagonal bo yicha olingan ikkinchi tartibli
ʻ
minorlar yig indisi:	
ʻ 13I
2 =| a
11 a
12
a
21 a
22	| +| a
22 a
23
a
32 a
33	| +| a
11 a
13
a
31 a
33	|
Uchinchi   invariant   (I
3 ):   Sirtning   bosh   kvadratik   formasi   matritsasining
determinanti (kichik determinant):	
I3=
|
a11	a12	a13	
a21	a22	a23	
a31	a32	a33|
To rtinchi   invariant   (K	
ʻ
4 ):   Sirtning   barcha   koeffitsiyentlaridan   tuzilgan
kengaytirilgan matritsaning determinanti (katta determinant):
K
4 =	
| a
11 a
12 a
13 a
14
a
21 a
22 a
23 a
24
a
31 a
32 a
33 a
34
a
41 a
42 a
43 a
44	|
Agar   koordinatalar   sistemasi   faqat   burilsa   (parallel   ko chirilmasa),	
ʻ
qo shimcha   ravishda  	
ʻ yarim   invariantlar   deb   ataluvchi   miqdorlar   ham
o zgarmas   qoladi.   Bularga  
ʻ K
3   va   K
2   yarim   invariantlari   kiradi   va   ular
markazga   ega   bo lmagan   sirtlarni   (paraboloidlar   va   silindrlarni)	
ʻ
aniqlashda qo llaniladi.	
ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlarning markazlari, diametrial tekisliklari va
bosh yo nalishlari	
ʻ
Ikkinchi  tartibli  sirtlarning geometrik tuzilishini  va fazoviy joylashishini
aniqlashda ularning simmetriya markazlari, diametrial tekisliklari hamda
bosh   o qlarining   yo nalishlarini   topish   masalalari   muhim   o rin   tutadi.	
ʻ ʻ ʻ
Ushbu   elementlar   sirtning   umumiy   tenglamasini   kanonik   ko rinishga	
ʻ 14keltirishda parallel ko chirish va koordinata o qlarini burish miqdorlariniʻ ʻ
hisoblash uchun analitik asos bo lib xizmat qiladi.	
ʻ
Ikkinchi tartibli  sirtning simmetriya markazi .   Sirtning nuqtasi  M
0 (x
0 ,
y
0 , z
0 ) ga  nisbatan  simmetrik joylashgan  barcha  nuqtalar  to plami  ushbu	
ʻ
sirtda   yotsa,   M
0   nuqta   sirtning   simmetriya   markazi   deb   ataladi.
Matematik   nuqtai   nazardan,   sirt   markazini   topish   uchun   uning   umumiy
tenglamasidan   koordinata   o qlari   bo yicha   birinchi   tartibli   xususiy	
ʻ ʻ
hosilalar olinadi va nolga tenglashtiriladi.
Sirtning   umumiy   tenglamasini   F(x,   y,   z)   =   0   deb   belgilasak,   xususiy
hosilalar quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini (markaz tizimini) hosil
qiladi:	
{
1
2 ⋅ ∂ F
∂ x = a
11 x + a
12 y + a
13 z + a
14 =0
1
2 ⋅ ∂ F
∂ y = a
21 x + a
22 y + a
23 z + a
24 =0
1
2 ⋅ ∂ F
∂ z = a
31 x + a
32 y + a
33 z + a
34 =0
Kramer   teoremasiga   ko ra,   ushbu   sistemaning   asosiy   determinanti	
ʻ
sirtning   uchinchi   ortogonal   invarianti   I
3   ga   tengdir   ( D   =   I
3 ).   Tizimning
yechimi  I
3  ning qiymatiga qarab uch xil geometrik holatni ifodalaydi:
 I
3 ≠0
  bo lganda:	
ʻ   Sistema yagona  aniq yechimga ega. Sirt  yagona
simmetriya markaziga ega bo ladi (Ellipsoidlar, giperboloidlar va	
ʻ
konus).
	
I3=0   va   maxsus   minorlar   noldan   farqli   bo lsa:	ʻ   Sistema
birgalikda bo lmaydi, ya ni sirt chekli simmetriya markaziga ega	
ʻ ʼ
emas. Uning markazi cheksizlikda yotadi (Paraboloidlar). 15I3=0   va   barcha   kengaytirilgan   minorlar   nolga   teng   bo lsa:	ʻ
Sistema   cheksiz   ko p   yechimga   ega.   Sirt   markazlar   chizig iga	
ʻ ʻ
yoki  markazlar  tekisligiga  ega  bo ladi  (Silindrik sirtlar  va  o zaro	
ʻ ʻ
kesishuvchi tekisliklar).
Ikkinchi tartibli sirtning o zaro parallel bo lgan vatandalarining o rtalarini	
ʻ ʻ ʻ
birlashtiruvchi   nuqtalarning   geometrik   o rniga   sirtning  	
ʻ diametrial
tekisligi   deyiladi. Agar parallel vatandalar yo nalishi  
ʻ	V	=\{	l,m	,n\} vektor
orqali   berilgan   bo lsa,   unga   mos   keluvchi   diametrial   tekislik   tenglamasi	
ʻ
xususiy hosilalar yordamida quyidagicha ifodalanadi:
l ⋅ ∂ F
∂ x + m ⋅ ∂ F
∂ y + n ⋅ ∂ F
∂ z =0
Ushbu   tenglamani   guruhlasak,   u   birinchi   darajali   tekislik   tenglamasiga
keladi:	
(a11l+a12m	+a13n)x+(	a21l+a22m	+a23n)y+(	a31l+a32m	+a33n)z+	
(a14l+a24m	+a34n)=0
Agarda   diametrial   tekislik   o ziga   mos   parallel   vatandalar   yo nalishiga	
ʻ ʻ
ortogonal   (tik)   bo lsa,   bunday   yo nalish   sirtning  	
ʻ ʻ bosh   yo nalishi	ʻ ,   unga
mos   diametrial   tekislik   esa   sirtning   bosh   tekisligi   (yoki   simmetriya
tekisligi) deb ataladi.
Tekislikning normal vektori vatanda yo nalishi  	
ʻ	V	=\{	l,m	,n\}   ga kollinear
bo lishi   shartidan   kelib   chiqib,   proporsionallik   koeffitsiyenti   sifatida  	
ʻ λ
xos   qiymati   kiritiladi.   Natijada   bosh   yo nalishlarni   aniqlovchi	
ʻ
xarakteristik tenglamalar tizimi kelib chiqadi: 16{ a
11 l + a
12 m + a
13 n = λ ⋅ l
a
21 l + a
22 m + a
23 n = λ ⋅ m
a
31 l + a
32 m + a
33 n = λ ⋅ n
Ushbu   bir   jinsli   tizim   noldan   farqli   yechimga   ega   bo lishi   uchun   uning	
ʻ
determinanti   nolga   teng   bo lishi   kerak,   bu   esa   bizni   yana  	
ʻ det
❑ ( A − λE )=0
xarakteristik tenglamasiga olib keladi. Demak, sirtning bosh yo nalishlari	
ʻ
soni   uning   xarakteristik   tenglamasining   noldan   farqli   haqiqiy   ildizlari
soniga   teng   bo ladi.   Har   bir   bosh   yo nalish   fazoda   sirtning   simmetriya	
ʻ ʻ
o qlarini (bosh o qlarini) belgilab beradi.	
ʻ ʻ
1- misol. Faraz qilaylik, bizga yarim o qlari 	
ʻ a=5 ,  b=4 ,  c=3  bo lgan 	ʻ
quyidagi ellipsoid berilgan bo lsin:	
ʻ
x 2
25 + y 2
16 + z 2
9 =1
Ushbu sirtni  z = h  parallel tekisliklar oilasi bilan kesib, natijani tahlil 
qilamiz:
h = 0  bo lganda (Oxy bosh koordinata tekisligi):	
ʻ
x 2
25 + y 2
16 =1
Bu kesimda yarim o qlari a=5 va b=4 bo lgan haqiqiy bosh ellips hosil 	
ʻ ʻ
bo ladi.	
ʻ
h = 2  bo lganda:	
ʻ
x 2
25 + y 2
16 =1− 4
9 ⇒ x 2
25 + y 2
16 = 5
9
Tenglamaning   har   ikkala   tomonini   5
9   ga   bo lib,   kanonik   ko rinishga	
ʻ ʻ
keltiramiz: 17x2
125
9	
+y2
80
9	
=1Bu   yerda   yangi   siqilgan   ellips   yarim   o qlari:	
ʻ
a '=3 / 5	
√ 5 3≈3.72   va   b '= 4	√ 5
3 ≈2.98
  bo ladi.	ʻ
2- Misol. Bir pallali giperbloidga misol:	
x2
9	+y2
4	−z2
16	=1
 z = 0 bo lganda bo g iz ellipsi:	
ʻ ʻ ʻ   $ x 2
9 + y 2
4 =1.
Bu sirtning eng ingichka 
qismidir (a=3, b=2).
 x = 0 (Oyz tekisligi) dagi kesim:  . Bu Oy o qi bo ylab yo nalgan 	
ʻ ʻ ʻ
haqiqiy giperboladir.
Sirt cheksizlikka intilganda quyidagi konus sirtiga yaqinlashadi:
x 2
9 + y 2
4 − z 2
16 = 0 18II bob.   Kanonik tenglamalar bilan berilgan sirtlarning
geometrik xossalari va chiziqli yasovchilari .
Markaziy sirtlar va ularning kanonik tahlili
Ortogonal   almashtirishlar   natijasida   uchinchi   tartibli   invariant   noldan
farqli bo lgan (ʻ I
3 ≠0
) holatda hosil bo luvchi sirtlar  	ʻ markaziy sirtlar   deb
ataladi.   Bu   sirtlar   yagona   simmetriya   markaziga   ega   bo lib,   ularning	
ʻ
kanonik   tenglamalarida   o zgaruvchilarning   faqat   kvadratlari   qatnashadi.	
ʻ
Markaziy   sirtlarning   asosiy   turlariga   ellipsoid,   bir   pallali   giperboloid   va
ikki pallali giperboloid kiradi.
1.   Ellipsoid .   Ellipsoid   —   barcha   uchta   xos   qiymati   (	
λ1,λ2,λ3 )   bir   xil
ishorali   va   ozod   hadi   ularga   qarama-qarshi   ishorali   bo lganda   hosil	
ʻ
bo ladigan   yopiq   markaziy   sirt   hisoblanadi.   Uning   kanonik   tenglamasi	
ʻ
quyidagi ko rinishga ega:	
ʻ
x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2 =1 19Bu   yerda   a,   b,   c   —   ellipsoidning   yarim   o qlari   deb   ataluvchi   musbatʻ
haqiqiy sonlardir.
Parallel kesimlar usuli bilan tahlil:  Ellipsoidni z = h (|h| < c) tekisliklari
bilan kessak, kesimda har doim haqiqiy elliptik chiziqlar hosil bo ladi:	
ʻ	
x2
a2⋅(1−	h2
c2)
+y2
b2⋅(1−	h2
c2)
=1
Agarda |h| > c bo lsa, kesimda mavhum ellips hosil bo ladi, ya ni tekislik	
ʻ ʻ ʼ
sirt bilan kesishmaydi. Bu esa  ellipsoidning fazoda chegaralangan yopiq
sirt ekanligini isbotlaydi.
2.  Bir   pallali   giperboloid .   Xarakteristik   ildizlarning   ikkitasi   bir   xil
ishorali, bittasi  esa qarama-qarshi ishorali bo lib, ozod had noldan farqli	
ʻ
bo lsa, bir pallali giperboloid hosil bo ladi. Kanonik tenglamasi:	
ʻ ʻ
x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 = 1
Sirtni   z   =   h   tekisligi   bilan   kesganda,   ixtiyoriy   h   qiymatida   haqiqiy
ellipslar   hosil   bo ladi.   Eng   kichik   ellips  	
ʻ z   =   0   tekisligida   yotadi   va   u
bo g iz ellipsi	
ʻ ʻ   deb ataladi. Agar sirtni   x = d   yoki   y = c   tekisliklari bilan
kessak, kesimda giperbolalar hosil bo ladi. Sirt fazoda cheksiz cho zilgan	
ʻ ʻ
yaxlit yaxlitlikni (pallani) tashkil etadi.
3. Ikki pallali giperboloid .   Xarakteristik ildizlarining ishora munosabati
bir   pallali   giperboloid   bilan   bir   xil   bo lib,   faqat   ozod   hadning   ishorasi	
ʻ
o zgarganda ikki pallali giperboloid vujudga keladi. Kanonik tenglamasi:	
ʻ	
x2
a2+	y2
b2−	z2
c2=−1 20Kesimlar   tahlili:   Sirtni   z   =   h   tekisligi   bilan   kessak,   faqat   |h|   >   c   shart
bajarilgandagina haqiqiy ellipslar hosil bo ladi. |h| < c bo lganda tekislikʻ ʻ
sirtni   kesib   o tmaydi.   Bu   esa   sirtning   o zaro   ajralgan   ikkita   bo lakdan	
ʻ ʻ ʻ
(palladan) iboratligini ko rsatadi.	
ʻ
Nomarkaziy sirtlar va ularning xossalari
Xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri nolga teng bo lib (	
ʻ I
3 =0 ), lekin
to rtinchi   invariant   noldan   farqli   (	
ʻ K
4 ≠0
)   bo lsa,   sirtning   simmetriya	ʻ
markazi   cheksizlikda   yotadi.   Bunday   sirtlar   nomarkaziy   sirtlar   yoki
paraboloidlar  deb yuritiladi.
1.  Elliptik paraboloid .  Kanonik tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:
x 2
p + y 2
q = 2 z ( p > 0 , q > 0 )
Bu yerda  p  va  q  paraboloidning parametrlari hisoblanadi.
Kesimlar  tahlili:   z   =  h   (h   >  0)   tekisliklari   bilan  o tkazilgan   kesimlarda	
ʻ
ellipslar   hosil   bo ladi.   z   =   0   bo lganda   sirt   koordinata   boshi   O(0,0,0)	
ʻ ʻ
nuqtaga   (sirt   uchiga)   aylanadi.   z   <   0   bo lganda   kesishish   mavjud   emas.	
ʻ
Sirtni   x=0   va   y=0   simmetriya   tekisliklari   bilan   kessak,   tarmoqlari
yuqoriga qaragan parabolalar hosil bo ladi.	
ʻ
2.Giperbolik paraboloid ("Egar" shaklidagi sirt) .  Kanonik tenglamasi
quyidagi ko rinishga ega:	
ʻ
x 2
p − y 2
q =2 z ( p >0,  q >0) 21Ushbu sirt o zining murakkab topologiyasi bilan ajralib turadi. z = h (h >ʻ
0) tekisliklarida haqiqiy o qi Ox o qiga parallel giperbolalar, z =h (h < 0)	
ʻ ʻ
tekisliklarida   esa   haqiqiy   o qi   Oy   o qiga   parallel   giperbolalar   hosil	
ʻ ʻ
bo ladi. z = 0 bo lganda esa sirt o zaro kesishuvchi ikkita to g ri chiziqqa	
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
ajraladi:
x	
√
p − y	√
q = 0 va x	√
p + y	√
q = 0
Vertikal   kesimlarda   (x=d   yoki   y=c)   esa   parabolalar   hosil   bo ladi.   Sirt	
ʻ
fazoda egar shakliga ega.
Ikkinchi tartibli konuslar va silindrik sirtlarning analitik tekshiruvi.
Ushbu   guruhga   kiruvchi   sirtlar   maxsus   (singulyar)   sirtlar   hisoblanib,
ularning   xarakteristik   koeffitsiyentlari   yoki   invariantlarining   ma lum   bir
ʼ
qismi nolga teng bo ladi.	
ʻ
1. Ikkinchi tartibli konus .  Kanonik tenglamasi:
x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 =0
Konus   sirtining   o ziga   xosligi   shundaki,   agar  
ʻ M
0 (x
0 ,   y
0 ,   z
0 )   nuqta   sirtda
yotsa,   u   holda   koordinata   boshini   ushbu   nuqta   bilan   bog lovchi   barcha	
ʻ
to g ri chiziq nuqtalari ham sirtda yotadi. 	
ʻ ʻ z = h  kesimlarida ellipslar hosil
bo ladi, 
ʻ z=0  da esa u yagona  O(0,0,0)  nuqtaga (konus uchiga) aylanadi. 222.   Silindrik   sirtlar .   Agarda   ortogonal   almashtirishlardan   so ngʻ
tenglamada   uchinchi   o zgaruvchi   (z)   umuman   qatnashmasa,   bunday	
ʻ
sirtlar   silindrik   sirtlar   deyiladi.   Ularning   yasovchilari   Oz   o qiga   parallel	
ʻ
bo ladi. Uchta turi mavjud:	
ʻ
 Elliptik   silindr:   (x 2
/a 2
)   +   (y 2
/b 2
)   =   1   (Kesimi   ellipsdan   iborat
cheksiz truba).
 Giperbolik   silindr:     (Kesimi   giperboladan   iborat   ikki   bo lakli	
ʻ
sirt).
 Parabolik  silindr:   x 2
  =  2pz  (Kesimi   parabola  bo lgan   novsimon	
ʻ
sirt).
Sirtlarning to g ri chiziqli yasovchilari	
ʻ ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlar geometriyasining go zal va chuqur qismlaridan biri	
ʻ
— ayrim egri chiziqli sirtlar ustida to g ri chiziqlarning butunlay yotishi	
ʻ ʻ
muammosidir.   Sirt   ustida   yotuvchi   to g ri   chiziqlar   to plamiga  
ʻ ʻ ʻ to g ri	ʻ ʻ
chiziqli   yasovchilar   deyiladi.   Ikkinchi   tartibli   sirtlar   orasida   faqat   bir
pallali   giperboloid   va   giperbolik   paraboloid   sirtlarigina   o zaro
ʻ
kesishmaydigan ikki oilaga tegishli to g ri chiziqli yasovchilarga ega.	
ʻ ʻ
1. Bir pallali giperboloidning chiziqli yasovchilari
Sirtning kanonik tenglamasini quyidagi ko rinishda qayta yozamiz:	
ʻ
x 2
a 2 − z 2
c 2 =1− y 2
b 2 ⇒	
( x
a − z
c	)( x
a + z
c	) =	( 1− y
b	)( 1+ y
b	)
Ushbu ko paytmani proporsional koeffitsiyentlar ($u$ va $v$) yordamida	
ʻ
ikkita chiziqli tenglamalar tizimiga ajratamiz.
U -  oilasi yasovchilari: 23{
u⋅(
x
a	−z
c)=v⋅(1−	y
b)	
v⋅(
x
a	+z
c)=u⋅(1+	y
b)v- oilasi yasovchilari:	
{
u⋅(
x
a	−z
c)=v⋅(1+	y
b)	
v⋅(
x
a	+z
c)=u⋅(1−	y
b)
u   va   v   parametrlarining   har   bir   fiksirlangan   qiymatida   ushbu   tizimlar
fazoda   bittadan   to g ri   chiziqni   aniqlaydi.   Ushbu   to g ri   chiziqlarning	
ʻ ʻ ʻ ʻ
ixtiyoriy nuqtasi sirt tenglamasini qanoatlantiradi.
2. Giperbolik paraboloidning chiziqli yasovchilari
Xuddi   shu   usulda   giperbolik   paraboloid   tenglamasini   ko paytuvchilarga	
ʻ
ajratamiz:	
(
x
√p−y
√q)(
x
√p+y
√q)=2	z
Bundan ham ikkita mustaqil to g ri chiziqlar oilasi kelib chiqadi:	
ʻ ʻ
Birinchi oila:	
{
u ⋅	
( x√
p − y	√
q	) =2 v ⋅ z
v ⋅	
( x√
p + y	√
q	) = u
Ikkinchi oila: 24{ u ⋅	
( x√
p + y	√
q	) =2 v ⋅ z
v ⋅	
( x√
p − y	√
q	) = u
To g ri chiziqli yasovchilarning fundamental xossalari:	
ʻ ʻ
 Sirtning   har   bir   nuqtasidan   har   bir   oilaga   tegishli   bo lgan   ayni	
ʻ
bitta (jami ikkita) yasovchi to g ri chiziq o tadi.	
ʻ ʻ ʻ
 Bir   oilaga   tegishli   bo lgan   ixtiyoriy   ikkita   to g ri   chiziq   o zaro	
ʻ ʻ ʻ ʻ
kesishmaydi va parallel bo lmaydi (ayqash chiziqlar)	
ʻ
 Turli   oilalarga   tegishli   bo lgan   ixtiyoriy   ikkita   to g ri   chiziq   har
ʻ ʻ ʻ
doim bir nuqtada kesishadi.
Ikkinchi tartibli sirtlarni kompyuterda modellashtirish va vizual
tahlil qilish  hamda amaliy misollar.
Zamonaviy   kompyuter   geometriyasi   va   topologiyasida   ikkinchi   tartibli
sirtlarni   vizuallashtirish   analitik   hisoblashlarning   to'g'riligini   tekshirish
uchun xizmat qiladi. Quyidagi interaktiv dasturiy model ellipsoid, bir va
ikki pallali giperboloidlar hamda elliptik va giperbolik paraboloidlarning
koordinata o'qlari bo'ylab siqilish va cho'zilishi ( a, b, c, p, q  parametrlari)
hamda   kesimlar   dinamikasini   real   vaqt   rejimida   chizib   berish
imkoniyatini taqdim etadi: 25Yuqoridagi   kompyuter   modelida   sirtlarning   kanonik   parametrlarini
chiziqli   o'zgartirish   orqali   ularning   invariantlariga   qanday   ta'sir
ko'rsatishini   ko'rish   mumkin.   Masalan,   ellipsoid   tenglamasida   a   =   b   =   c
sharti   bajarilganda   sirt   to'g'ri   sferik   shaklga   (sharga)   keladi.   Giperbolik
paraboloidda   esa   p   va   q   parametrlarining   nisbati   egar   shaklidagi   egrilik
darajasini   hamda   asimptotik   yo'nalishlar   burchagini   belgilaydi.   Bu   kabi
dasturiy   modellar   analitik   geometriyaning   mavhum   tushunchalarini
muhandislik amaliyotiga uzviy bog'lash imkonini beradi.
MASALA .   Invariantlar va xos qiymatlar usuli yordamida sirt turini
aniqlash va uni kanonik ko rinishga keltirishʻ 26Masala   sharti:   Quyidagi   umumiy   tenglamasi   bilan   berilgan   ikkinchi
tartibli sirtning turini aniqlang va uni kanonik ko rinishga keltiring:ʻ
x 2
+5 y 2
+ z 2
+2 xy +6 xz +2 yz −2 x −6 y −2 z =0
Yechish .
Sirt koeffitsiyentlarini aniqlash va kichik A hamda kengaytirilgan K
matritsalarini tuzish.
Umumiy tenglamadan quyidagi koeffitsiyentlarni ajratib olamiz:
a
11 =1,  a
22 =5,  a
33 =1	
a12=a21=1	
a13=a31=3	
a23=a32=1	
a14=a41=−1, 	a24=a42=−3, 	a34=a43=−1	
a44=0
Ushbu koeffitsiyentlar yordamida A va K matritsalarini hosil qilamiz:
A =	
( 1 1 3
1 5 1
3 1 1	) , K =	( 1 1 3 −1
1 5 1 −3
3 1 1 −1
−1 −3 −1 0	)
2-qadam: Sirtning ortogonal invariantlarini hisoblash.
Sirtning uchinchi tartibli bosh invarianti	
 I3=det❑	(A	)   ni hisoblaymiz: 27I
3 =| 1 1 3
1 5 1
3 1 1	| =1 (5−1)−1 (1−3)+3 (1−15)	⋅ ⋅ ⋅
I
3 =4+2−42=−36
Chunki   I
3 =−36≠0
,   demak   bu   sirt   yagona   simmetriya   markaziga   ega
(markaziy sirt)  hisoblanadi.
To rtinchi   tartibli   invariant  	
ʻ K
4 = det ( K )
ni   hisoblaymiz   (buning   uchun
oxirgi satr bo yicha yoyish qulay):	
ʻ
K
4 =	
| 1 1 3 −1
1 5 1 −3
3 1 1 −1
−1 −3 −1 0	| =108
Chunki   I
3 ≠0   va   K
4 >0
,   dastlabki   invariantlar   munosabatiga   ko ra   bu   sirt	
ʻ
bir   pallali   giperboloid   yoki   mavhum   sirt   bo lishi   mumkin.   Buni	
ʻ
aniqlashtirish uchun xos qiymatlarni topamiz.
3- qadam: Xarakteristik tenglamani yechish va xos qiymatlarni (	
λi ):
det
❑ ( A − λE )=0	
⇒	| 1− λ 1 3
1 5− λ 1
3 1 1− λ	| =0
Ushbu   determinantni   ochib   chiqsak,   quyidagi   kubik   tenglama   hosil
bo ladi:	
ʻ	
−λ3+7	λ2−36=0	⇒	λ3−7	λ2+36=0
Ushbu   determinantni   ochib   chiqsak,   quyidagi   kubik   tenglama   hosil
bo ladi:	
ʻ 28− λ 3
+7 λ 2
−36=0⇒ λ 3
−7 λ 2
+36=0
Ko phadni ko paytuvchilarga ajratib, ildizlarini topamiz:	
ʻ ʻ
 λ
1 =3

λ2=6
 λ
3 =−2
Xos   qiymatlarning   ikkitasi   musbat   ( λ
1 , λ
2 >0
)   va   bittasi   manfiy   ( λ
3 <0
)
bo lgani uchun sirt giperbolik xarakterga ega.	
ʻ
4- qadam:   Yangi   ozod   hadni   ( a '
44 )   hisoblash   va   kanonik   tenglamani
yozish.
Markaziy sirtlar uchun yangi ozod had quyidagi formula bilan topiladi:	
a'44=K4
I3	
=108
−36	=−3
Sirtning yangi koordinatalar sistemasidagi oraliq tenglamasi:	
λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+a'44=0	 ⇒	3X2+6	Y2−2	Z2−3=0
Tenglamani   3   ga   bo lib   yuborsak,   yakuniy  	
ʻ kanonik   tenglama   hosil
bo ladi:	
ʻ
X 2
+2 Y 2
− 2
3 Z 2
=1	
⇒ X 2
1 + Y 2
1
2 − Z 2
3
2 =1
Xulosa:   Berilgan   sirt   yarim   o qlari  	
ʻ a =1, b =	√ 2
2   va   c =	√ 6
2   bo lgan  	ʻ bir
pallali giperboloid  ekanligi isbotlandi 29 XULOSA
Ushbu   kurs   ishida   uch   o lchovli   Evklid   fazosidagi   ikkinchi   tartibliʻ
sirtlarning   umumiy   nazariyasi,   ularning   affin   hamda   metrik   tasniflari,
invariantlar   munosabati   va   analitik   geometriyaning   eng   jozibador
yo nalishlaridan   biri   bo lgan   to g ri   chiziqli   yasovchilari   tizimi   har	
ʻ ʻ ʻ ʻ
tomonlama   va   chuqur   tadqiq   etildi.   Tadqiqot   davomida   ikkinchi   tartibli
sirtlarning   umumiy   tenglamasi   yuqori   tartibli   simmetrik   matritsalar   va
kvadratik   formalar   ko rinishida   ifodalanib,   sirtning   fazoviy   xarakterini	
ʻ
aniqlashda to la kvadratik formaning o rni va chiziqli almashtirishlarning	
ʻ ʻ
mantiqiy   asoslari   to liq   ochib   berildi.   Bosh   o qlarga   keltirish	
ʻ ʻ
teoremasining   qadam-baqadam   isboti   orqali   ixtiyoriy   ikkinchi   darajali
tenglamani ortogonal burish va parallel ko chirish operatorlari yordamida	
ʻ
sodda   kanonik   ko rinishga   keltirish   algoritmi   muvaffaqiyatli	
ʻ
tizimlashtirildi. 30Sirtlarning   geometrik   xossalari   chiziqli   almashtirishlarga   nisbatan
o zgarmas qoluvchi miqdorlar — ortogonal invariantlar yordamida to liqʻ ʻ
guruhlandi.   Invariantlarning   qiymatlariga   ko ra,   sirtlarning   markaziy   va	
ʻ
nomarkaziy   sinflarga   ajralishi   matematik   jihatdan   asoslandi   hamda   aniq
raqamli   misollar   va   parallel   kesimlar   usuli   bilan   tasdiqlandi.   Kurs
ishining   eng   muhim   matematik   natijalaridan   biri   sifatida,   egri   chiziqli
sirtlar   orasida   faqatgina   bir   pallali   giperboloid   va   giperbolik   paraboloid
sirtlarigina   o z   bag rida   to g ri   chiziqlar   to plamini   saqlashi   analitik	
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
usulda   ko rsatildi.   Har   bir   sirt   uchun   ikki   mustaqil   chiziqli   yasovchilar	
ʻ
oilasining   algebraik   tenglamalar   sistemalari   keltirib   chiqarilib,   ularning
o zaro vaziyatlari, ya ni bir oila chiziqlarining ayqashligi hamda turli oila	
ʻ ʼ
chiziqlarining har doim yagona nuqtada kesishishi  haqidagi fundamental
xossalar aniq koordinatali misollar orqali isbotlandi.
Olingan   nazariy   natijalar   nafaqat   sof   matematika,   balki   amaliy
muhandislik,   zamonaviy   arxitektura   va   qurilish   mexanikasida   ham
muhim   ahamiyatga   ega.   Xususan,   giperbolik   paraboloid   va   bir   pallali
giperboloidlarning to g ri chiziqli yasovchilari yordamida yukka chidamli	
ʻ ʻ
gipur konstruksiyalar hamda sovitish minoralari loyihasini ishlab chiqish
mumkinligi   tahlil  qilindi. Umumiy  xulosa  o rnida aytish  joizki,  ikkinchi	
ʻ
tartibli sirtlarni invariantlar va chiziqli yasovchilar yordamida tadqiq etish
murakkab   fazoviy   shakllarni   to liq   modellashtirish   va   ularning   ichki	
ʻ
geometrik qonuniyatlarini kashf etish imkonini beradi. 31FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO YXATIʻ
 Narmanov A.Y.  Analitik geometriya . – Toshkent: O zbekiston 	
ʻ
faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti, 2008. – 248 b.
 Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parkhomenko A.S.  Analitik 
geometriyadan masalalar to plami	
ʻ . – Toshkent: Universitet, 2006.
– 312 b.
 Turgunbayev R.M.  Analitik geometriya va chiziqli algebra . – 
Toshkent: Ilm-ziyo, 2012. – 280 b.
 Ильин В.А., Позняк Э.Г.  Аналитическая геометрия . – М.: 
Физматлит, 2004. – 224 с.
 Александров А.Д.  Геометрия . – М.: Наука, 1990. – 320 с.
 Клетеник Д.В.  Сборник задач по аналитической геометрии . –
М.: Наука, 2007. – 240 с.
 Modenov P.S.  Analytical Geometry . – Moscow: Mir Publishers, 
1988. – 340 p.
 Thomas G.B., Finney R.L.  Calculus and Analytic Geometry . – 9th
Edition. –  Addison-Wesley, 1996. – 1100 p. 32 O zbekiston Milliy universiteti elektron kutubxonasi resurslari ʻ
(www.nuu.uz).
 ZiyoNET axborot-ta lim tarmog i portali (www.ziyonet.uz).	
ʼ ʻ
Sotib olish
  • O'xshash dokumentlar

  • Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafiklarini chizish
  • Ikkinchi tartibli chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi
  • Fazoviy figuralarni tasvirlash
  • Muntazam ko‘pyoqlar
  • Fazodagi geometrik oʻrinlar

Xaridni tasdiqlang

Ha Yo'q

© Copyright 2019-2026. Created by Foreach.Soft

  • Balansdan chiqarish bo'yicha ko'rsatmalar
  • Biz bilan aloqa
  • Saytdan foydalanish yuriqnomasi
  • Fayl yuklash yuriqnomasi
  • Русский