Kanonik tenglamalar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	815.8KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	26 May 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

Student of NUUz

Ro'yxatga olish sanasi 26 May 2026

0 Sotish

Kanonik tenglamalar

Sotib olish

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY
TA’LIM ,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti

Matematika yo‘nalishi 25.04-guruh talabasi
Zokirjonova Zarnigor Elyorjon qizi
Analitik geometriya fanidan
“ Kanonik tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli
sirtlar ”
mavzusidagi
KURS ISHI
Kurs ishi rahbari: Matematika kafedrasi
dotsenti B.Mamadaliyev

Reja
KIRISH ............................................................................................ ...................... 3
I BOB. Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy nazariyasi va affin tasnifi ............... 5
1.1. Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi va kvadratik formalar
nazariyasi. ................................................................................................................ 5
1.2. Ortogonal almashtirishlar yordamida umumiy tenglamani kanonik
ko rinishga keltirish.ʻ ..................................................................................................
1.3. Sirtlarning invariantlari va yarim invariantlari tasnifi . ................................. 11
1.4. . Ikkinchi tartibli sirtlarning markazlari, diametrial tekisliklari va bosh
yo nalishlari.
ʻ .......................................................................................................... 13
II BOB. Kanonik tenglamalar bilan berilgan sirtlarning geometrik
xossalari va chiziqli yasovchilari . ......................................................................... 17
2.1. Markaziy sirtlar (Ellipsoid, bir va ikki pallali giperboloidlar) va
ularning kanonik tahlili. ........................................................................................ 17
2.2. . Nomarkaziy sirtlar (Elliptik va giperbolik paraboloidlar) va ularning
xossalari ................................................................................................................. 19
2.3. . Ikkinchi tartibli konuslar va silindrik sirtlarning analitik tekshiruvi.
................................................................................................................................ 20
2.4. Sirtlarning to g ri chiziqli yasovchilari va ularning geometrik
ʻ ʻ
xossalari (Regulyar sirtlar). ................................................................................... 21
2.5. Ikkinchi tartibli sirtlarni kompyuterda modellashtirish va vizual tahlil
qilish hamda amaliy misollar ................................................................................ 24
XULOSA ............................................................................................................... 28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
RO‘YXATI ....................................... .................................................................... 30

3 KIRISH
Zamonaviy matematika va uning ko plab tadbiqiy tarmoqlaridaʻ
geometrik obyektlarni algebraik usullar yordamida tadqiq etish muhim
o rin tutadi. Analitik geometriya fanning mustaqil sohasi sifatida
ʻ
shakllangan davrdan boshlab, fazoviy shakllarni invariantlar va
almashtirishlar nazariyasi prizmasidan o rganish dolzarb masalalardan
ʻ
biri bo lib kelmoqda. Fazoda dekart koordinatalar sistemasida
ʻ
o zgaruvchilarning ikkinchi darajali ko phadlari orqali aniqlanadigan
ʻ ʻ
sirtlar — ikkinchi tartibli sirtlar deb ataladi. Ushbu sirtlarning kanonik
tenglamalari to g risidagi ta limot chiziqli algebra, operatorlar nazariyasi
ʻ ʻ ʼ
va differensial geometriya fanlarining kesishmasida joylashgan
fundamental mavzulardan biridir. Ikkinchi tartibli sirtlar
geometriyasining dolzarbligi, birinchi navbatda, fazodagi ixtiyoriy
ikkinchi tartibli umumiy algebraik tenglamani ortogonal almashtirishlar
(bosh o qlarga keltirish) yordamida simmetrik va sodda — kanonik
ʻ
ko rinishga keltirish muammosi bilan belgilanadi. Bu jarayon
ʻ
koordinatalar sistemasini parallel ko chirish va burish amallari orqali
ʻ
amalga oshirilib, sirtning simmetriya markazlari, diametrial tekisliklari va
bosh yo nalishlarini aniqlash imkonini beradi. Matematika yo nalishi
ʻ ʻ
talabalari uchun ushbu o tish davridagi invariantlar tizimini
ʻ
(almashtirishlarga nisbatan qiymati o zgarmas qoladigan
ʻ
determinantlarni) algebraik nuqtai nazardan asoslash va sirtlarning affin
hamda metrik tasnifini yaratish nazariy jihatdan katta qimmatga ega.
Bundan tashqari, kanonik tenglamalar bilan berilgan sirtlarning (ellipsoid,
giperboloidlar, paraboloidlar) ichki geometrik xossalari, xususan,
ularning parallel kesimlar usuli bilan o rganilishi hamda ayrim sirtlarda
ʻ
(masalan, bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloidda) to g ri
ʻ ʻ
chiziqli yasovchilar oilasining mavjudligi matematik analiz va

4differensial tenglamalar kurslarida fazoviy shakllarni modellashtirishning
asosi hisoblanadi. Shu sababli, ikkinchi tartibli sirtlarni kanonik
tenglamalar yordamida tizimli tahlil qilish va ularning xossalarini qat iyʼ
matematik teoremalar orqali isbotlash ushbu kurs ishining dolzarbligini
belgilaydi.
Tadqiqotning maqsadi. Fazoda umumiy tenglama bilan berilgan
ikkinchi tartibli sirtlarni kvadratik formalar va chiziqli operatorlar
nazariyasi yordamida kanonik ko rinishga keltirish algoritmlarini
ʻ
o rganish hamda kanonik tenglamalari orqali aniqlanuvchi sirtlarning
ʻ
geometrik xossalarini va ularning to g ri chiziqli yasovchilarini algebraik
ʻ ʻ
usullar bilan chuqur tadqiq etishdan iborat.
Tadqiqotning vazifalari. Qo yilgan maqsadga erishish uchun quyidagi
ʻ
vazifalarni bajarish nazarda tutilgan:
 Ikkinchi tartibli sirtning umumiy analitik tenglamasini matritsaviy va
kvadratik formalar ko rinishida ifodalash;
ʻ
 Fazoviy dekart koordinatalar sistemasida ortogonal almashtirishlarni
qo llash orqali umumiy tenglamani sodda (kanonik) ko rinishga
ʻ ʻ
keltirish teoremasini isbotlash;
 Sirtlarning metrik invariantlari va yarim invariantlari tizimini ishlab
chiqish hamda ular yordamida sirtlarning to liq tasnifini (9 ta asosiy
ʻ
sirt turini) shakllantiris
 Ikkinchi tartibli sirtlarning markazlari va bosh yo nalishlarini aniqlash
ʻ
shartlarini tahlil qilish;
 Kanonik tenglamalar bilan berilgan markaziy (ellipsoid,
giperboloidlar) va nomarkaziy (paraboloidlar) sirtlarni parallel
kesimlar usuli yordamida tekshirish;

5 Tartibli sirtlarning regulyarlik xossalarini o rganish va chiziqliʻ
yasovchilar oilasining mavjudlik teoremalarini isbotlash.
I bob. Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy nazariyasi va
affin tasnifi
Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi va kvadratik formalar
nazariyasi
Uch o lchovli Evklid fazosida fiksirlangan (muqim) to g ri burchakli
ʻ ʻ ʻ
Dekart koordinatalari sistemasida o zgaruvchilarning ikkinchi darajali
ʻ
umumiy algebraik ko phadi orqali aniqlanadigan nuqtalarning geometrik
ʻ
o rniga
ʻ ikkinchi tartibli sirt deyiladi.
Fazodagi ixtiyoriy ikkinchi tartibli sirtning umumiy analitik tenglamasi
quyidagi ko rinishga ega:
ʻ
A⋅ x2+B ⋅ y2+C ⋅ z2+2D ⋅ x⋅ y+2E ⋅ y z+2 F⋅xz+2G ⋅ x+2H ⋅ y+2K ⋅ z+L=0
Bu yerda A, B, C, D, E, F, G, H, K, L — haqiqiy sonlar bo lib, sirtning
ʻ
koeffitsiyentlari hisoblanadi. Sirt aynan ikkinchi tartibli bo lishi uchun
ʻ
yuqori darajali koeffitsiyentlarning kamida bittasi noldan farqli bo lishi
ʻ
shart, ya ni:
ʼ
A2+B2+C2+D2+E2+F2≠0
Ushbu umumiy tenglamani chiziqli algebra va operatorlar nazariyasi
usullari yordamida tadqiq etish uchun uni guruhlash va kvadratik
formalar ko rinishida ifodalash maqsadga muvofiqdir. Tenglamani shartli
ʻ
ravishda uchta asosiy qismga ajratamiz:
1. Kvadratik qism (to la kvadratik forma):
ʻ
A x 2
+B y 2
+C z 2
+2Dxy+2Eyz+2 F xz
2. Chiziqli qism: 2Gx+2Hy+2Kz
3. Ozod had: L

6Kvadratik formalar nazariyasiga ko ra, sirtning to la kvadratik qismi uchʻ ʻ
o lchovli fazoda simmetrik matritsa yordamida aniqlanadi. Kelgusida
ʻ
indekslar bilan ishlash qulay bo lishi uchun umumiy tenglama
ʻ
koeffitsiyentlarini quyidagicha qayta belgilaymiz:
 A = a
11 , B = a
22 , C = a
33

D=a12=a21,F=a13=a31,E=a23=a32
 G = a
14 = a
41 , H = a
24 = a
42 , K = a
34 = a
43

L=a44
Bu belgilashlar yordamida ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasi
ixcham guruhlangan chiziqli algebraik ko rinishga keladi:
ʻ
∑i=1
3
∑j=1
3
1aij⋅xixj+2⋅∑i=1
3
ai4⋅xi+a44=0
Bu yerda x
1 = x , x
2 = y , x
3 = z
deb olingan. Sirtning xarakterini belgilovchi
bosh kvadratik forma quyidagi kichik simmetrik matritsa orqali
ifodalanadi:

Sirtning barcha koeffitsiyentlarini, shu jumladan chiziqli qism va ozod
hadni ham o z ichiga olgan to liq (kengaytirilgan) matritsa esa to rtinchi
ʻ ʻ ʻ
tartibli simmetrik matritsani hosil qiladi:

7Kvadratik formalar nazariyasining fundamental teoremalariga muvofiq,
ixtiyoriy simmetrik kvadratik formani chiziqli operatorlar yordamida
uning xos yo nalishlariga proeksiyalash, ya ni kanonik (diagonal)ʻ ʼ
ko rinishga keltirish mumkin. Agarda fazoviy vektor-ustunn
ʻ i X =[ x,y,z]T
shaklida va chiziqli koeffitsiyentlar vektorini
V =[ a14,a24,a34] shaklida
ifodalasak, sirt tenglamasining to liq matritsaviy-vektorli ko rinishi
ʻ ʻ
quyidagicha yoziladi:
XT⋅A⋅ X +2 ⋅ V ⋅ X +a44=0
Sirt tenglamasini bunday ko rinishda tahlil qilish, koordinatalar
ʻ
sistemasini ortogonal almashtirish (burish va parallel ko chirish) orqali
ʻ A
matritsasini diagonal ko rinishga keltirish masalasiga doir bo ladi.
ʻ ʻ
Diagonal elementlar esa chiziqli operatorning xos qiymatlari
(xarakteristik ildizlari) bo lib, ular sirtning fazodagi siqilish yoki
ʻ
cho zilash xarakteristikalarini, ya ni sirtning geometrik tabiatini to liq
ʻ ʼ ʻ
belgilab beradi.
Ortogonal almashtirishlar yordamida umumiy tenglamani kanonik
ko rinishga keltirish
ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlarning analitik geometriyadagi invariantlar
nazariyasiga muvofiq, fazodagi ixtiyoriy umumiy tenglama bilan berilgan
sirtni Dekart koordinatalar sistemasini mos ravishda o zgartirish orqali
ʻ
eng sodda — kanonik ko rinishga keltirish mumkin. Bu jarayon chiziqli
ʻ
almashtirishlar operatori yordamida amalga oshirilib, mohiyatan sirtning
bosh o qlarini topish va koordinata boshini sirtning simmetriya
ʻ
markaziga ko chirish muammosiga tayanadi.
ʻ
Tadqiqot doirasida ushbu geometrik almashtirish ikki asosiy bosqichda
amalga oshiriladi:

8 Burish almashtirishi (Ortogonal almashtirish): Koordinata
o qlarining yo nalishini sirtning bosh yo nalishlari bilan ustma-ustʻ ʻ ʻ
tushirish orqali tenglamadagi aralash ko paytmalarni (xy, yz, xz
ʻ
hadlarni) yo qotish.
ʻ
 Parallel ko chirish almashtirishi:
ʻ Koordinata boshini sirtning
simmetriya markaziga (yoki uchi simmetrik nuqtasiga) ko chirish
ʻ
orqali chiziqli hadlarni soddalashtirish.
Xarakteristik tenglama va xos qiymatlarni topish
Sirtning bosh kvadratik formasini diagonal ko rinishga keltirish uchun,
ʻ
eng avvalo, uning kichik koeffitsiyentlar matritsasi A uchun xarakteristik
tenglama tuziladi. Chiziqli algebra qonuniyatlariga ko ra, xarakteristik
ʻ
tenglama quyidagi determinant shaklida ifodalanadi:
det(A− λ E)=0
∗
Ushbu uchinchi tartibli determinantni ochib chiqish natijasida noma lum
ʼ
λ ga nisbatan kubik xarakteristik tenglama hosil bo ladi:
ʻ
λ3−I1λ2+I2λ−I3=0
Bu tenglama koeffitsiyentlari sirtning ortogonal invariantlari bo lib, ular
ʻ
quyidagicha aniqlanadi:

I1=a11+a22+a33 (matritsa izi)

I2 — bosh diagonal bo yicha olingan ikkinchi tartibli minorlar ʻ
yig indisi.
ʻ
 I
3 = det
❑ ( A )( kic h ikdeterminant ).
Kvadratik formalar nazariyasining fundamental teoremasiga (Gilbert
teoremasi) asosan, simmetrik matritsaning barcha xarakteristik ildizlari
(λ1,λ2,λ3)
har doim haqiqiy sonlar bo ladi. ʻ

$9Bosh yo nalishlar va ortogonal matritsa qurishʻ . Topilgan har bir λk(k=1,2,3) xos qiymat uchun unga mos keluvchi xos vektorlar (ek=\{ lk,mk,nk\}) quyidagi bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasidan topiladi : Ushbu tizimdan topilgan xos vektorlar o zaro ortogonal qilib tanlanadi va ʻ ortonormallanadi (uzunligi birga keltiriladi). Ularning koordinatalaridan iborat o tish matritsasi ( ʻ C ) tuziladi. Bu matritsa yordamida eski koordinatalar ( x, y, z ) yangi ( x', y', z' ) koordinatalar bilan quyidagicha bog lanadi: ʻ X=C ⋅X ' Matritsa C ortogonal bo lgani uchun uning determinanti ʻ det (C)=1 shartni qanoatlantiradi, bu esa fazoning shaklini o zgartirmasdan faqat ʻ burishni anglatadi. Ushbu almashtirish natijasida sirtning kvadratik formasi diagonal ko rinishga o tadi va umumiy tenglama aralash ʻ ʻ ko paytmalarsiz quyidagi shaklni oladi: ʻ λ1⋅¿ To la kvadratga ajratish (Parallel ko chirish) ʻ ʻ Ushbu bosqichda, agar λk ildizlar noldan farqli bo lsa, chiziqli hadlarni ʻ yo qotish uchun to la kvadratga ajratish (guruhlash) usuli qo llaniladi. ʻ ʻ ʻ Masalan, x' qatnashgan hadlar uchun: λ1⋅¿$

10Natijada, barcha markaziy sirtlar uchun chiziqli hadlar to liq yo qolib,ʻ ʻ
faqat kvadratik o zgaruvchilar va o zgargan yangi ozod had
ʻ ʻ ( L'' ) qoladi.
Agarda xos qiymatlardan biri nolga teng bo lsa
ʻ ( λ3=0 ) , u holda mos
yo nalish bo yicha parallel ko chirish sirtning uchini topishga xizmat
ʻ ʻ ʻ
qiladi va paraboloidlar sinfi kelib chiqadi. Shu tariqa, ortogonal
almashtirish algoritmi ixtiyoriy ikkinchi tartibli sirtni uning qat iy
ʼ
kanonik tenglamasiga olib keladi.
Misol. Quyidagi umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtni
ortogonal almashtirishlar yordamida kanonik ko rinishga keltiring va
ʻ
turini aniqlang:
2 x 2
+5 y 2
+2 z 2
−4 xy −2 xz +4 yz −9=0
Yechish :
1- qadam: Sirtning kvadratik qismi uchun matritsa tuzamiz.
Tenglamadan koeffitsiyentlarni ajratib olsak:
a11=2, a22=5, a33=2 , a12=−2, a13=−1, a23=2
Sirtning bosh matritsasi ( A ) quyidagi ko rinishga keladi:
ʻ
2-qadam: Xarakteristik tenglamani tuzamiz va xos qiymatlarni
topamiz.
det ( ¿ A − λE ) = 0 ⇒
| 2 − λ − 2 − 1
− 2 5 − λ 2
− 1 2 2 − λ | = 0 ¿
Ushbu determinantni ochib chiqsak, quyidagi kubik tenglama hosil
bo ladi:
ʻ
λ 3
−9 λ 2
+18 λ =0
Tenglamani ko paytuvchilarga ajratamiz:
ʻ

11λ(λ−3)( λ−6)=0Natijada sirtning xos qiymatlari (ortogonal invariantlari) kelib chiqadi:
λ1=0, λ2=3, λ3=6
3-qadam: Kanonik tenglamani shakllantiramiz. Bizda chiziqli hadlar
yo q bo lgani uchun parallel ko chirish bajarilmaydi. Ozod had
ʻ ʻ ʻ
o zgarmasdan qoladi:
ʻ L = -9 . Yangi koordinatalar tizimida ( X', Y', Z' ) sirt
tenglamasi quyidagi ko rinishni oladi:
ʻ
λ
1 ¿
0 ⋅ ¿
3¿
Tenglikning har ikkala tomonini 9 ga bo lsak, yakuniy
ʻ kanonik
tenglama hosil bo ladi:
ʻ
(y')2/3+( z')2/1.5=1
Berilgan tenglama fazoda Elliptik silindr ni ifodalaydi. Uning o qi yangi
ʻ
Ox' koordinata o qi bo ylab yo nalgan.
ʻ ʻ ʻ

12Sirtlarning invariantlari va yarim invariantlari bo yicha to liq tasnifiʻ ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy tenglamasini ortogonal
almashtirishlar yordamida tadqiq etishda invariantlar nazariyasi
fundamental asos hisoblanadi. Dekart koordinatalar sistemasini burish va
parallel ko chirish amallari bajarilganda sirtning ba zi algebraik
ʻ ʼ
xarakteristikalari — maxsus determinantlari va ularning funksiyalari o z
ʻ
qiymatlarini o zgartirmaydi. Ushbu o zgarmas miqdorlar
ʻ ʻ ortogonal
invariantlar deb ataladi.
Sirtning umumiy tenglamasi koeffitsiyentlaridan to rtta asosiy ortogonal
ʻ
invariant shakllantiriladi:
Birinchi invariant (I
1 ): Kichik matritsaning izi (bosh diagonal
elementlari yig indisi):
ʻ
I1=a11+a22+a33
Ikkinchi invariant (I
2 ): Bosh diagonal bo yicha olingan ikkinchi tartibli
ʻ
minorlar yig indisi:
ʻ

13I
2 =| a
11 a
12
a
21 a
22 | +| a
22 a
23
a
32 a
33 | +| a
11 a
13
a
31 a
33 |
Uchinchi invariant (I
3 ): Sirtning bosh kvadratik formasi matritsasining
determinanti (kichik determinant):
I3=
|
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
To rtinchi invariant (K
ʻ
4 ): Sirtning barcha koeffitsiyentlaridan tuzilgan
kengaytirilgan matritsaning determinanti (katta determinant):
K
4 =
| a
11 a
12 a
13 a
14
a
21 a
22 a
23 a
24
a
31 a
32 a
33 a
34
a
41 a
42 a
43 a
44 |
Agar koordinatalar sistemasi faqat burilsa (parallel ko chirilmasa),
ʻ
qo shimcha ravishda
ʻ yarim invariantlar deb ataluvchi miqdorlar ham
o zgarmas qoladi. Bularga
ʻ K
3 va K
2 yarim invariantlari kiradi va ular
markazga ega bo lmagan sirtlarni (paraboloidlar va silindrlarni)
ʻ
aniqlashda qo llaniladi.
ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlarning markazlari, diametrial tekisliklari va
bosh yo nalishlari
ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlarning geometrik tuzilishini va fazoviy joylashishini
aniqlashda ularning simmetriya markazlari, diametrial tekisliklari hamda
bosh o qlarining yo nalishlarini topish masalalari muhim o rin tutadi.
ʻ ʻ ʻ
Ushbu elementlar sirtning umumiy tenglamasini kanonik ko rinishga
ʻ

14keltirishda parallel ko chirish va koordinata o qlarini burish miqdorlariniʻ ʻ
hisoblash uchun analitik asos bo lib xizmat qiladi.
ʻ
Ikkinchi tartibli sirtning simmetriya markazi . Sirtning nuqtasi M
0 (x
0 ,
y
0 , z
0 ) ga nisbatan simmetrik joylashgan barcha nuqtalar to plami ushbu
ʻ
sirtda yotsa, M
0 nuqta sirtning simmetriya markazi deb ataladi.
Matematik nuqtai nazardan, sirt markazini topish uchun uning umumiy
tenglamasidan koordinata o qlari bo yicha birinchi tartibli xususiy
ʻ ʻ
hosilalar olinadi va nolga tenglashtiriladi.
Sirtning umumiy tenglamasini F(x, y, z) = 0 deb belgilasak, xususiy
hosilalar quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini (markaz tizimini) hosil
qiladi:
{
1
2 ⋅ ∂ F
∂ x = a
11 x + a
12 y + a
13 z + a
14 =0
1
2 ⋅ ∂ F
∂ y = a
21 x + a
22 y + a
23 z + a
24 =0
1
2 ⋅ ∂ F
∂ z = a
31 x + a
32 y + a
33 z + a
34 =0
Kramer teoremasiga ko ra, ushbu sistemaning asosiy determinanti
ʻ
sirtning uchinchi ortogonal invarianti I
3 ga tengdir ( D = I
3 ). Tizimning
yechimi I
3 ning qiymatiga qarab uch xil geometrik holatni ifodalaydi:
 I
3 ≠0
bo lganda:
ʻ Sistema yagona aniq yechimga ega. Sirt yagona
simmetriya markaziga ega bo ladi (Ellipsoidlar, giperboloidlar va
ʻ
konus).

I3=0 va maxsus minorlar noldan farqli bo lsa: ʻ Sistema
birgalikda bo lmaydi, ya ni sirt chekli simmetriya markaziga ega
ʻ ʼ
emas. Uning markazi cheksizlikda yotadi (Paraboloidlar).

$15I3=0 va barcha kengaytirilgan minorlar nolga teng bo lsa: ʻ Sistema cheksiz ko p yechimga ega. Sirt markazlar chizig iga ʻ ʻ yoki markazlar tekisligiga ega bo ladi (Silindrik sirtlar va o zaro ʻ ʻ kesishuvchi tekisliklar). Ikkinchi tartibli sirtning o zaro parallel bo lgan vatandalarining o rtalarini ʻ ʻ ʻ birlashtiruvchi nuqtalarning geometrik o rniga sirtning ʻ diametrial tekisligi deyiladi. Agar parallel vatandalar yo nalishi ʻ V =\{ l,m ,n\} vektor orqali berilgan bo lsa, unga mos keluvchi diametrial tekislik tenglamasi ʻ xususiy hosilalar yordamida quyidagicha ifodalanadi: l ⋅ ∂ F ∂ x + m ⋅ ∂ F ∂ y + n ⋅ ∂ F ∂ z =0 Ushbu tenglamani guruhlasak, u birinchi darajali tekislik tenglamasiga keladi: (a11l+a12m +a13n)x+( a21l+a22m +a23n)y+( a31l+a32m +a33n)z+ (a14l+a24m +a34n)=0 Agarda diametrial tekislik o ziga mos parallel vatandalar yo nalishiga ʻ ʻ ortogonal (tik) bo lsa, bunday yo nalish sirtning ʻ ʻ bosh yo nalishi ʻ , unga mos diametrial tekislik esa sirtning bosh tekisligi (yoki simmetriya tekisligi) deb ataladi. Tekislikning normal vektori vatanda yo nalishi ʻ V =\{ l,m ,n\} ga kollinear bo lishi shartidan kelib chiqib, proporsionallik koeffitsiyenti sifatida ʻ λ xos qiymati kiritiladi. Natijada bosh yo nalishlarni aniqlovchi ʻ xarakteristik tenglamalar tizimi kelib chiqadi:$

16{ a
11 l + a
12 m + a
13 n = λ ⋅ l
a
21 l + a
22 m + a
23 n = λ ⋅ m
a
31 l + a
32 m + a
33 n = λ ⋅ n
Ushbu bir jinsli tizim noldan farqli yechimga ega bo lishi uchun uning
ʻ
determinanti nolga teng bo lishi kerak, bu esa bizni yana
ʻ det
❑ ( A − λE )=0
xarakteristik tenglamasiga olib keladi. Demak, sirtning bosh yo nalishlari
ʻ
soni uning xarakteristik tenglamasining noldan farqli haqiqiy ildizlari
soniga teng bo ladi. Har bir bosh yo nalish fazoda sirtning simmetriya
ʻ ʻ
o qlarini (bosh o qlarini) belgilab beradi.
ʻ ʻ
1- misol. Faraz qilaylik, bizga yarim o qlari
ʻ a=5 , b=4 , c=3 bo lgan ʻ
quyidagi ellipsoid berilgan bo lsin:
ʻ
x 2
25 + y 2
16 + z 2
9 =1
Ushbu sirtni z = h parallel tekisliklar oilasi bilan kesib, natijani tahlil
qilamiz:
h = 0 bo lganda (Oxy bosh koordinata tekisligi):
ʻ
x 2
25 + y 2
16 =1
Bu kesimda yarim o qlari a=5 va b=4 bo lgan haqiqiy bosh ellips hosil
ʻ ʻ
bo ladi.
ʻ
h = 2 bo lganda:
ʻ
x 2
25 + y 2
16 =1− 4
9 ⇒ x 2
25 + y 2
16 = 5
9
Tenglamaning har ikkala tomonini 5
9 ga bo lib, kanonik ko rinishga
ʻ ʻ
keltiramiz:

17x2
125
9
+y2
80
9
=1Bu yerda yangi siqilgan ellips yarim o qlari:
ʻ
a '=3 / 5
√ 5 3≈3.72 va b '= 4 √ 5
3 ≈2.98
bo ladi. ʻ
2- Misol. Bir pallali giperbloidga misol:
x2
9 +y2
4 −z2
16 =1
 z = 0 bo lganda bo g iz ellipsi:
ʻ ʻ ʻ $ x 2
9 + y 2
4 =1.
Bu sirtning eng ingichka
qismidir (a=3, b=2).
 x = 0 (Oyz tekisligi) dagi kesim: . Bu Oy o qi bo ylab yo nalgan
ʻ ʻ ʻ
haqiqiy giperboladir.
Sirt cheksizlikka intilganda quyidagi konus sirtiga yaqinlashadi:
x 2
9 + y 2
4 − z 2
16 = 0

18II bob. Kanonik tenglamalar bilan berilgan sirtlarning
geometrik xossalari va chiziqli yasovchilari .
Markaziy sirtlar va ularning kanonik tahlili
Ortogonal almashtirishlar natijasida uchinchi tartibli invariant noldan
farqli bo lgan (ʻ I
3 ≠0
) holatda hosil bo luvchi sirtlar ʻ markaziy sirtlar deb
ataladi. Bu sirtlar yagona simmetriya markaziga ega bo lib, ularning
ʻ
kanonik tenglamalarida o zgaruvchilarning faqat kvadratlari qatnashadi.
ʻ
Markaziy sirtlarning asosiy turlariga ellipsoid, bir pallali giperboloid va
ikki pallali giperboloid kiradi.
1. Ellipsoid . Ellipsoid — barcha uchta xos qiymati (
λ1,λ2,λ3 ) bir xil
ishorali va ozod hadi ularga qarama-qarshi ishorali bo lganda hosil
ʻ
bo ladigan yopiq markaziy sirt hisoblanadi. Uning kanonik tenglamasi
ʻ
quyidagi ko rinishga ega:
ʻ
x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2 =1

19Bu yerda a, b, c — ellipsoidning yarim o qlari deb ataluvchi musbatʻ
haqiqiy sonlardir.
Parallel kesimlar usuli bilan tahlil: Ellipsoidni z = h (|h| < c) tekisliklari
bilan kessak, kesimda har doim haqiqiy elliptik chiziqlar hosil bo ladi:
ʻ
x2
a2⋅(1− h2
c2)
+y2
b2⋅(1− h2
c2)
=1
Agarda |h| > c bo lsa, kesimda mavhum ellips hosil bo ladi, ya ni tekislik
ʻ ʻ ʼ
sirt bilan kesishmaydi. Bu esa ellipsoidning fazoda chegaralangan yopiq
sirt ekanligini isbotlaydi.
2. Bir pallali giperboloid . Xarakteristik ildizlarning ikkitasi bir xil
ishorali, bittasi esa qarama-qarshi ishorali bo lib, ozod had noldan farqli
ʻ
bo lsa, bir pallali giperboloid hosil bo ladi. Kanonik tenglamasi:
ʻ ʻ
x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 = 1
Sirtni z = h tekisligi bilan kesganda, ixtiyoriy h qiymatida haqiqiy
ellipslar hosil bo ladi. Eng kichik ellips
ʻ z = 0 tekisligida yotadi va u
bo g iz ellipsi
ʻ ʻ deb ataladi. Agar sirtni x = d yoki y = c tekisliklari bilan
kessak, kesimda giperbolalar hosil bo ladi. Sirt fazoda cheksiz cho zilgan
ʻ ʻ
yaxlit yaxlitlikni (pallani) tashkil etadi.
3. Ikki pallali giperboloid . Xarakteristik ildizlarining ishora munosabati
bir pallali giperboloid bilan bir xil bo lib, faqat ozod hadning ishorasi
ʻ
o zgarganda ikki pallali giperboloid vujudga keladi. Kanonik tenglamasi:
ʻ
x2
a2+ y2
b2− z2
c2=−1

20Kesimlar tahlili: Sirtni z = h tekisligi bilan kessak, faqat |h| > c shart
bajarilgandagina haqiqiy ellipslar hosil bo ladi. |h| < c bo lganda tekislikʻ ʻ
sirtni kesib o tmaydi. Bu esa sirtning o zaro ajralgan ikkita bo lakdan
ʻ ʻ ʻ
(palladan) iboratligini ko rsatadi.
ʻ
Nomarkaziy sirtlar va ularning xossalari
Xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri nolga teng bo lib (
ʻ I
3 =0 ), lekin
to rtinchi invariant noldan farqli (
ʻ K
4 ≠0
) bo lsa, sirtning simmetriya ʻ
markazi cheksizlikda yotadi. Bunday sirtlar nomarkaziy sirtlar yoki
paraboloidlar deb yuritiladi.
1. Elliptik paraboloid . Kanonik tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:
x 2
p + y 2
q = 2 z ( p > 0 , q > 0 )
Bu yerda p va q paraboloidning parametrlari hisoblanadi.
Kesimlar tahlili: z = h (h > 0) tekisliklari bilan o tkazilgan kesimlarda
ʻ
ellipslar hosil bo ladi. z = 0 bo lganda sirt koordinata boshi O(0,0,0)
ʻ ʻ
nuqtaga (sirt uchiga) aylanadi. z < 0 bo lganda kesishish mavjud emas.
ʻ
Sirtni x=0 va y=0 simmetriya tekisliklari bilan kessak, tarmoqlari
yuqoriga qaragan parabolalar hosil bo ladi.
ʻ
2.Giperbolik paraboloid ("Egar" shaklidagi sirt) . Kanonik tenglamasi
quyidagi ko rinishga ega:
ʻ
x 2
p − y 2
q =2 z ( p >0, q >0)

21Ushbu sirt o zining murakkab topologiyasi bilan ajralib turadi. z = h (h >ʻ
0) tekisliklarida haqiqiy o qi Ox o qiga parallel giperbolalar, z =h (h < 0)
ʻ ʻ
tekisliklarida esa haqiqiy o qi Oy o qiga parallel giperbolalar hosil
ʻ ʻ
bo ladi. z = 0 bo lganda esa sirt o zaro kesishuvchi ikkita to g ri chiziqqa
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
ajraladi:
x
√
p − y √
q = 0 va x √
p + y √
q = 0
Vertikal kesimlarda (x=d yoki y=c) esa parabolalar hosil bo ladi. Sirt
ʻ
fazoda egar shakliga ega.
Ikkinchi tartibli konuslar va silindrik sirtlarning analitik tekshiruvi.
Ushbu guruhga kiruvchi sirtlar maxsus (singulyar) sirtlar hisoblanib,
ularning xarakteristik koeffitsiyentlari yoki invariantlarining ma lum bir
ʼ
qismi nolga teng bo ladi.
ʻ
1. Ikkinchi tartibli konus . Kanonik tenglamasi:
x 2
a 2 + y 2
b 2 − z 2
c 2 =0
Konus sirtining o ziga xosligi shundaki, agar
ʻ M
0 (x
0 , y
0 , z
0 ) nuqta sirtda
yotsa, u holda koordinata boshini ushbu nuqta bilan bog lovchi barcha
ʻ
to g ri chiziq nuqtalari ham sirtda yotadi.
ʻ ʻ z = h kesimlarida ellipslar hosil
bo ladi,
ʻ z=0 da esa u yagona O(0,0,0) nuqtaga (konus uchiga) aylanadi.

222. Silindrik sirtlar . Agarda ortogonal almashtirishlardan so ngʻ
tenglamada uchinchi o zgaruvchi (z) umuman qatnashmasa, bunday
ʻ
sirtlar silindrik sirtlar deyiladi. Ularning yasovchilari Oz o qiga parallel
ʻ
bo ladi. Uchta turi mavjud:
ʻ
 Elliptik silindr: (x 2
/a 2
) + (y 2
/b 2
) = 1 (Kesimi ellipsdan iborat
cheksiz truba).
 Giperbolik silindr: (Kesimi giperboladan iborat ikki bo lakli
ʻ
sirt).
 Parabolik silindr: x 2
= 2pz (Kesimi parabola bo lgan novsimon
ʻ
sirt).
Sirtlarning to g ri chiziqli yasovchilari
ʻ ʻ
Ikkinchi tartibli sirtlar geometriyasining go zal va chuqur qismlaridan biri
ʻ
— ayrim egri chiziqli sirtlar ustida to g ri chiziqlarning butunlay yotishi
ʻ ʻ
muammosidir. Sirt ustida yotuvchi to g ri chiziqlar to plamiga
ʻ ʻ ʻ to g ri ʻ ʻ
chiziqli yasovchilar deyiladi. Ikkinchi tartibli sirtlar orasida faqat bir
pallali giperboloid va giperbolik paraboloid sirtlarigina o zaro
ʻ
kesishmaydigan ikki oilaga tegishli to g ri chiziqli yasovchilarga ega.
ʻ ʻ
1. Bir pallali giperboloidning chiziqli yasovchilari
Sirtning kanonik tenglamasini quyidagi ko rinishda qayta yozamiz:
ʻ
x 2
a 2 − z 2
c 2 =1− y 2
b 2 ⇒
( x
a − z
c )( x
a + z
c ) = ( 1− y
b )( 1+ y
b )
Ushbu ko paytmani proporsional koeffitsiyentlar ($u$ va $v$) yordamida
ʻ
ikkita chiziqli tenglamalar tizimiga ajratamiz.
U - oilasi yasovchilari:

23{
u⋅(
x
a −z
c)=v⋅(1− y
b)
v⋅(
x
a +z
c)=u⋅(1+ y
b)v- oilasi yasovchilari:
{
u⋅(
x
a −z
c)=v⋅(1+ y
b)
v⋅(
x
a +z
c)=u⋅(1− y
b)
u va v parametrlarining har bir fiksirlangan qiymatida ushbu tizimlar
fazoda bittadan to g ri chiziqni aniqlaydi. Ushbu to g ri chiziqlarning
ʻ ʻ ʻ ʻ
ixtiyoriy nuqtasi sirt tenglamasini qanoatlantiradi.
2. Giperbolik paraboloidning chiziqli yasovchilari
Xuddi shu usulda giperbolik paraboloid tenglamasini ko paytuvchilarga
ʻ
ajratamiz:
(
x
√p−y
√q)(
x
√p+y
√q)=2 z
Bundan ham ikkita mustaqil to g ri chiziqlar oilasi kelib chiqadi:
ʻ ʻ
Birinchi oila:
{
u ⋅
( x√
p − y √
q ) =2 v ⋅ z
v ⋅
( x√
p + y √
q ) = u
Ikkinchi oila:

24{ u ⋅
( x√
p + y √
q ) =2 v ⋅ z
v ⋅
( x√
p − y √
q ) = u
To g ri chiziqli yasovchilarning fundamental xossalari:
ʻ ʻ
 Sirtning har bir nuqtasidan har bir oilaga tegishli bo lgan ayni
ʻ
bitta (jami ikkita) yasovchi to g ri chiziq o tadi.
ʻ ʻ ʻ
 Bir oilaga tegishli bo lgan ixtiyoriy ikkita to g ri chiziq o zaro
ʻ ʻ ʻ ʻ
kesishmaydi va parallel bo lmaydi (ayqash chiziqlar)
ʻ
 Turli oilalarga tegishli bo lgan ixtiyoriy ikkita to g ri chiziq har
ʻ ʻ ʻ
doim bir nuqtada kesishadi.
Ikkinchi tartibli sirtlarni kompyuterda modellashtirish va vizual
tahlil qilish hamda amaliy misollar.
Zamonaviy kompyuter geometriyasi va topologiyasida ikkinchi tartibli
sirtlarni vizuallashtirish analitik hisoblashlarning to'g'riligini tekshirish
uchun xizmat qiladi. Quyidagi interaktiv dasturiy model ellipsoid, bir va
ikki pallali giperboloidlar hamda elliptik va giperbolik paraboloidlarning
koordinata o'qlari bo'ylab siqilish va cho'zilishi ( a, b, c, p, q parametrlari)
hamda kesimlar dinamikasini real vaqt rejimida chizib berish
imkoniyatini taqdim etadi:

25Yuqoridagi kompyuter modelida sirtlarning kanonik parametrlarini
chiziqli o'zgartirish orqali ularning invariantlariga qanday ta'sir
ko'rsatishini ko'rish mumkin. Masalan, ellipsoid tenglamasida a = b = c
sharti bajarilganda sirt to'g'ri sferik shaklga (sharga) keladi. Giperbolik
paraboloidda esa p va q parametrlarining nisbati egar shaklidagi egrilik
darajasini hamda asimptotik yo'nalishlar burchagini belgilaydi. Bu kabi
dasturiy modellar analitik geometriyaning mavhum tushunchalarini
muhandislik amaliyotiga uzviy bog'lash imkonini beradi.
MASALA . Invariantlar va xos qiymatlar usuli yordamida sirt turini
aniqlash va uni kanonik ko rinishga keltirishʻ

26Masala sharti: Quyidagi umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi
tartibli sirtning turini aniqlang va uni kanonik ko rinishga keltiring:ʻ
x 2
+5 y 2
+ z 2
+2 xy +6 xz +2 yz −2 x −6 y −2 z =0
Yechish .
Sirt koeffitsiyentlarini aniqlash va kichik A hamda kengaytirilgan K
matritsalarini tuzish.
Umumiy tenglamadan quyidagi koeffitsiyentlarni ajratib olamiz:
a
11 =1, a
22 =5, a
33 =1
a12=a21=1
a13=a31=3
a23=a32=1
a14=a41=−1, a24=a42=−3, a34=a43=−1
a44=0
Ushbu koeffitsiyentlar yordamida A va K matritsalarini hosil qilamiz:
A =
( 1 1 3
1 5 1
3 1 1 ) , K = ( 1 1 3 −1
1 5 1 −3
3 1 1 −1
−1 −3 −1 0 )
2-qadam: Sirtning ortogonal invariantlarini hisoblash.
Sirtning uchinchi tartibli bosh invarianti
I3=det❑ (A ) ni hisoblaymiz:

27I
3 =| 1 1 3
1 5 1
3 1 1 | =1 (5−1)−1 (1−3)+3 (1−15) ⋅ ⋅ ⋅
I
3 =4+2−42=−36
Chunki I
3 =−36≠0
, demak bu sirt yagona simmetriya markaziga ega
(markaziy sirt) hisoblanadi.
To rtinchi tartibli invariant
ʻ K
4 = det ( K )
ni hisoblaymiz (buning uchun
oxirgi satr bo yicha yoyish qulay):
ʻ
K
4 =
| 1 1 3 −1
1 5 1 −3
3 1 1 −1
−1 −3 −1 0 | =108
Chunki I
3 ≠0 va K
4 >0
, dastlabki invariantlar munosabatiga ko ra bu sirt
ʻ
bir pallali giperboloid yoki mavhum sirt bo lishi mumkin. Buni
ʻ
aniqlashtirish uchun xos qiymatlarni topamiz.
3- qadam: Xarakteristik tenglamani yechish va xos qiymatlarni (
λi ):
det
❑ ( A − λE )=0
⇒ | 1− λ 1 3
1 5− λ 1
3 1 1− λ | =0
Ushbu determinantni ochib chiqsak, quyidagi kubik tenglama hosil
bo ladi:
ʻ
−λ3+7 λ2−36=0 ⇒ λ3−7 λ2+36=0
Ushbu determinantni ochib chiqsak, quyidagi kubik tenglama hosil
bo ladi:
ʻ

28− λ 3
+7 λ 2
−36=0⇒ λ 3
−7 λ 2
+36=0
Ko phadni ko paytuvchilarga ajratib, ildizlarini topamiz:
ʻ ʻ
 λ
1 =3

λ2=6
 λ
3 =−2
Xos qiymatlarning ikkitasi musbat ( λ
1 , λ
2 >0
) va bittasi manfiy ( λ
3 <0
)
bo lgani uchun sirt giperbolik xarakterga ega.
ʻ
4- qadam: Yangi ozod hadni ( a '
44 ) hisoblash va kanonik tenglamani
yozish.
Markaziy sirtlar uchun yangi ozod had quyidagi formula bilan topiladi:
a'44=K4
I3
=108
−36 =−3
Sirtning yangi koordinatalar sistemasidagi oraliq tenglamasi:
λ1X2+λ2Y2+λ3Z2+a'44=0 ⇒ 3X2+6 Y2−2 Z2−3=0
Tenglamani 3 ga bo lib yuborsak, yakuniy
ʻ kanonik tenglama hosil
bo ladi:
ʻ
X 2
+2 Y 2
− 2
3 Z 2
=1
⇒ X 2
1 + Y 2
1
2 − Z 2
3
2 =1
Xulosa: Berilgan sirt yarim o qlari
ʻ a =1, b = √ 2
2 va c = √ 6
2 bo lgan ʻ bir
pallali giperboloid ekanligi isbotlandi

29 XULOSA
Ushbu kurs ishida uch o lchovli Evklid fazosidagi ikkinchi tartibliʻ
sirtlarning umumiy nazariyasi, ularning affin hamda metrik tasniflari,
invariantlar munosabati va analitik geometriyaning eng jozibador
yo nalishlaridan biri bo lgan to g ri chiziqli yasovchilari tizimi har
ʻ ʻ ʻ ʻ
tomonlama va chuqur tadqiq etildi. Tadqiqot davomida ikkinchi tartibli
sirtlarning umumiy tenglamasi yuqori tartibli simmetrik matritsalar va
kvadratik formalar ko rinishida ifodalanib, sirtning fazoviy xarakterini
ʻ
aniqlashda to la kvadratik formaning o rni va chiziqli almashtirishlarning
ʻ ʻ
mantiqiy asoslari to liq ochib berildi. Bosh o qlarga keltirish
ʻ ʻ
teoremasining qadam-baqadam isboti orqali ixtiyoriy ikkinchi darajali
tenglamani ortogonal burish va parallel ko chirish operatorlari yordamida
ʻ
sodda kanonik ko rinishga keltirish algoritmi muvaffaqiyatli
ʻ
tizimlashtirildi.

30Sirtlarning geometrik xossalari chiziqli almashtirishlarga nisbatan
o zgarmas qoluvchi miqdorlar — ortogonal invariantlar yordamida to liqʻ ʻ
guruhlandi. Invariantlarning qiymatlariga ko ra, sirtlarning markaziy va
ʻ
nomarkaziy sinflarga ajralishi matematik jihatdan asoslandi hamda aniq
raqamli misollar va parallel kesimlar usuli bilan tasdiqlandi. Kurs
ishining eng muhim matematik natijalaridan biri sifatida, egri chiziqli
sirtlar orasida faqatgina bir pallali giperboloid va giperbolik paraboloid
sirtlarigina o z bag rida to g ri chiziqlar to plamini saqlashi analitik
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
usulda ko rsatildi. Har bir sirt uchun ikki mustaqil chiziqli yasovchilar
ʻ
oilasining algebraik tenglamalar sistemalari keltirib chiqarilib, ularning
o zaro vaziyatlari, ya ni bir oila chiziqlarining ayqashligi hamda turli oila
ʻ ʼ
chiziqlarining har doim yagona nuqtada kesishishi haqidagi fundamental
xossalar aniq koordinatali misollar orqali isbotlandi.
Olingan nazariy natijalar nafaqat sof matematika, balki amaliy
muhandislik, zamonaviy arxitektura va qurilish mexanikasida ham
muhim ahamiyatga ega. Xususan, giperbolik paraboloid va bir pallali
giperboloidlarning to g ri chiziqli yasovchilari yordamida yukka chidamli
ʻ ʻ
gipur konstruksiyalar hamda sovitish minoralari loyihasini ishlab chiqish
mumkinligi tahlil qilindi. Umumiy xulosa o rnida aytish joizki, ikkinchi
ʻ
tartibli sirtlarni invariantlar va chiziqli yasovchilar yordamida tadqiq etish
murakkab fazoviy shakllarni to liq modellashtirish va ularning ichki
ʻ
geometrik qonuniyatlarini kashf etish imkonini beradi.

31FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO YXATIʻ
 Narmanov A.Y. Analitik geometriya . – Toshkent: O zbekiston
ʻ
faylasuflari milliy jamiyati nashriyoti, 2008. – 248 b.
 Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parkhomenko A.S. Analitik
geometriyadan masalalar to plami
ʻ . – Toshkent: Universitet, 2006.
– 312 b.
 Turgunbayev R.M. Analitik geometriya va chiziqli algebra . –
Toshkent: Ilm-ziyo, 2012. – 280 b.
 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия . – М.:
Физматлит, 2004. – 224 с.
 Александров А.Д. Геометрия . – М.: Наука, 1990. – 320 с.
 Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии . –
М.: Наука, 2007. – 240 с.
 Modenov P.S. Analytical Geometry . – Moscow: Mir Publishers,
1988. – 340 p.
 Thomas G.B., Finney R.L. Calculus and Analytic Geometry . – 9th
Edition. – Addison-Wesley, 1996. – 1100 p.

32 O zbekiston Milliy universiteti elektron kutubxonasi resurslari ʻ
(www.nuu.uz).
 ZiyoNET axborot-ta lim tarmog i portali (www.ziyonet.uz).
ʼ ʻ

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Kanonik tenglamalar

O'xshash dokumentlar