Fazodagi geometrik oʻrinlar - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	586.8KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	28 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

Jo‘rayev Imomali

Ro'yxatga olish sanasi 25 Fevral 2025

12 Sotish

Fazodagi geometrik oʻrinlar

Sotib olish

OZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TALIM FAN VA INOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
FAKULTETI SIRTQI BO`LIM FAKULTETI
GEOMETRIYA FANIDAN
Himoyaga tavsiya etilgan
Sirtqi (maxsus) bo‘lim
fakulteti dekani
______________X.Raufjon
"___"__________ 2025 yil
KURS ISHI
MAVZU: Fazodagi Geometrik o rinlarʻ
Matematika va informatika kafedrasi mudiri:
PhD : S.Sattorov
"___"__________ 2025 yil O‘qituvchi: Bozorov. Z
Ilmiy rahbar:
"___"__________ 2025 yil 23-03 guruh talabasi Hamrayeva .Sh
Talaba:
Termiz-2025

1

Mavzu: Fazodagi Geometrik o rinlar ʻ
MUNDARIJA:
KIRISH.…………………………………………………………………….3
I.bob Fazodagi Geometrik o rinlar va ularning tushunchalari
ʻ
1.1 Fazodagi tekislik va chiziqlar……………………………………………5
1.2 To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi ………………………………….9
1.3 To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi. ....................................................11
II.bob Dekart koordinatalar sistemasidagi tekislik.
2.1 To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak; ikki tekislik orasidagi burchak...14
2.2 To’g’ri chiziqning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtasini
topish..................................................................................................................20
2.3 To’g’ri chiziq va uning berilishi…………………………………………..34
Xulosa......……………………………………………………………………42
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro'yxati... ………………………..43
2

K I R I SH
"Yoshlarimizni mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma'naviy
salohiyatga ega bo'lib, dunyo miqyosida oz tengdoshlariga hech qaysi sohada bo'sh
kelmaydigan insonlar bo'lib kamol topishi, baxtli bo'lishi uchun davlatimiz va
jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz"
(Sh.M.Mirziyoyev)
Kurs ishining dolzarbligi Hozirgi zamon ilmiy texnika taraqqiyoti muhandis
– texnоlog mutaxassislarining matematik tayyorligini takomillashtirishni talab
etadi. Shu nuqtai nazardan oily texnika o’quv yurtlari talabalari oldida turgan
asosiy vazifalardan biri, ular o’z bilimlarini mustaqil to’ldira olishlari, zarurratga
qarab esa mutlaqo yangi sohalar va fanlarni mustaqil egallay olishlaridan iborat.
Ushbu uslubiy qo’llanma “Analitik geometriya”ning asosiy bo’limlaridan
“Kompleks fazoda algebraik chiziqlar va algebraik sirtlar” bo’limidan “Kurs ishi”
topshiriqlarini bajarish bo’yicha tegishli uslubiyat bayon etilgan. Har bir mavzuga
doir bir nechta na’munaviy misollar to’la va mukammal yechib ko’rsatilgan,
hamda har bir talabaga alohida variantda mustaqil ishlar berilgan. Bu qo’llanma
davlat ta’lim standartlari. oliy matematika bo’yicha “kompyuter injiniringi,
dasturiy injiniringi, kasb ta’limi, telekommunikasi” yo’nalishlari o’quv ishchi
dasturiga to’liq mos keladi. Undan boshqa o’quv yurti talabalari qo’shimcha
adabiyot sifatida foydalanishlari mumkin.
Kurs ishining maqsadi : Talabalarga geometriyani o‘qitishning an’anaviy
va zamonaviy metodlari haqida umumiy ma’lumotlar berish hamda ularning
amaliy qo‘llanilishini o‘rgatish tushuntirish, Ular yordamida dastur tuzish va uni
o‘qiy olishni o‘rgatish orqali talabalarning geometriya fanlariga qiziqishini yanada
oshirish.
3

Kurs ishining vazifasi: Bo‘lajak geometriya o‘qituvchilarini an’anaviy ta’lim
metodi bo‘yicha tayyorlash tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini
o‘rganish va tahlil qilish, talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o‘ziga xos
xususiyatlar va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish,
talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko‘nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat ta’lim
yo‘nalishidagi talabalarga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Bo‘lajak muhandislarni tayyorlash bo‘yicha tahsil
olayotgan talabalarning geometriya va muhandislik ilmini egallash jarayonidagi
ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi : Kurs ishi kirish qismi, ikki bob, to‘rt
paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
4

I.bob Fazodagi Geometrik o rinlar va ularning tushunchalariʻ
Fazodagi tekislik va chiziqlar
1. Tekislikning parametrik va umumiy tenglamalari. Fazodagi har qanday
tekislikni uning ba'zi nuqtalari va ikkita ixtiyoriy ilovani ko'rsatish
orqali ko'rsatish mumkin.
kollinear bo'lmagan vektorlar (40-
rasm). va to'plamini ko'rib
chiqing iborat imo-ishora barcha vektorlarning men chiziqli kombinatsiya
millatlar vektorlari va qamrab oluvchi vektorlar nuqta , biz shaklning
barcha mumkin bo'lgan vektorlarini olamiz.
bu yerda va ixtiyoriy haqiqiy sonlar; bu formulaning oxirlari va va
ikkita nuqtadan o'tuvchi tekislikni to'ldiring vektorlar va unga nisbatan
qo'llaniladi.
Koordinata shaklida tenglama quyidagicha qayta yoziladi:
5

(1)
Ushbu tenglamalardagi va o'zgaruvchilarga barcha mumkin bo'lgan raqamli
qiymatlarni berib, biz tekisligimizning barcha nuqtalarini va bu tekislikning faqat
nuqtalarini olamiz. Shuning uchun vektor tenglamasi (yoki sonli
tenglamalarning ekvivalent uchligi) tekislikning parametrik tenglamasi
deyiladi.
(1) tenglamalar ustunlarning chiziqli bog'liqligini ifodalaydi matritsalar
bu o'z navbatida tenglikka tengdir
(2)
yoki tenglama
(3)
buyerdan
6

Shunday qilib, nuqta tenglama bilan aniqlangan tekislikka tegishli
bo'lishi uchun (3) tenglama zarur va etarli shart, ya'ni (3) tenglama tenglama
tekisligidir. nuqtadan va kollinear
bo lmagan vektorlar jufti orqali o tish.ʻ ʻ
Vazifa. Berilgan uchta chiziqli bo‘lmagan nuqtadan o‘tuvchi tekislik
tenglamasini toping

Kerakli tekislikda nuqtasi va kollinear bo'lmagan vektorlar
va uning
tenglamasi, shuning uchun, (2) ya'ni.
sifatida qayta yozilishi mumkin
Biz aniqladikki, har qanday tekislik uchta noma'lumli birinchi darajali ba'zi
tenglamalar, ya'ni (3) tenglamaning yechimlari bo'lgan barcha nuqtalar
to'plamidir. Qarama-qarshi ham to'g'ri: koordinatalari birinchi darajali qandaydir
7

tenglamani qanoatlantiradigan barcha nuqtalar to'plami tekislikdir.
Yuqorida aytilganlarning barchasi natijasi quyidagi teoremadir:
Teorema 8. Affin koordinatalar sistema bilan jihozlangan fazodagi har qanday
tekislik qandaydir chiziqli tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar
to'plamidir.
(5)
Aksincha, echimlar bo'lgan barcha nuqtalar to'plami. (5) ko'rinishdagi
ixtiyoriy tenglamaning tekisligi.
Ta'rif. Har qanday tenglama (5) bajariladi berilgan tekislikning barcha
nuqtalari bu tekislikning tenglamasi deyiladi.
8

1.2To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi .
Ushbu birinchi darajali tenglamalar sistemasini qaraymiz:A1x+B1у+С1z+D1= 0¿}¿¿¿
(1)
Bu sistemaning har bir tenglamasi fazoda tekislikni ifodalaydi. Fazodagi
to’g’ri chizikni shu tekisliklarning kesishish chizigi deb qarash mumkin. Bu
tekisliklar kesishish chizig’iga ega bo’lishi uchun
A1
A2
= B1
B2
= C1
C2
nisbatlar bajarilmasligi kerak (aks holda tekisliklar paralel bo’lib qoladi). (1)
tenglamlar fazodagi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
Misol. Umumiy tenglamasi
õ+ó+z-3 =0¿}¿¿¿
ko’rinishda bo’lgan to’g’ri chiziqni yasang.
9

Yechish . To’g’ri chiziqni yasash uchun uning ikki nuqtasini bilish yetarli.
Bunda uning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtasini topish oson bo’ladi.
To’g’ri chizikning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalari to’g’ri
chiziqning izi deyiladi. To’g’ri chiziqning Oxy tekislikdagi M
1 izini topish uchun
to’g’ri chiziq tenglamasida z =0 deymiz. U holdaõ+ó-3=0¿}¿¿¿
sistemaga kelamiz. Bundan: x=1, y=2. Demak, M
1 nuktaning koordinatalari:
x=1, y=2, z =0 . Xuddi shuningdek to’g’ri chiziqning Oy z tekislikdagi izini topish
uchun x=0 deymiz. Bu holda to’g’ri chizig’ning Oy z tekislikdagi izi M
2 ning
koordinatalarini topamiz. Ular x=0, y=1, z=2 bo’ladi.
10

1.3To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi.
Fazoda to’g’ri chiziqning vaziyati biror M
1 nuqta shu to’g’ri chiziqqa paralel
bo’lgan ⃗S vektor bilan to’liq aniqlanadi. To’g’ri chiziqqa paralel bo’lgan ⃗S vektor,
shu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori uning koordinata o’qlariga
proyeksiyalari esa to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffisentlari deb ataladi.
Faraz qilaylik M
1 (x
1 ; y
1 ; z
1 ) L to’g’ri chiziq ustidagi nuqta,
S= m ⃗i+n⃗j+ p⃗k
esa uning yo’naltiruvchi vektori bo’lsin. L to’g’ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy M (x,
y, z ) nuqtani tutashtiruvchi
M 1M vector ⃗S vektorga paralel bo’lgani uchun (2-
chizma)
M 1M va ⃗S vektorning mos koordinatalari proposional bo’ladi. Bunda
M 1M =(x− x1)⃗i+(у− у1)⃗j+(z− z1)⃗k
bo’lgani uchun
(2)
x− x1
m
=
у− у1
n
=
z− z1
p
ga ega bo’lamiz.
11

Demak, L to’g’ri chiziq ustida yotuvchi har qanday M nuqtaning
koordinatalari (2) tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglama to’g’ri chiziqning
kanonik tenglamasi deb ataladi.
Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi. Faraz qilaylik, L to’g’ri chiziq
M
1 (x
1 ;y
1 ;z
1 ) va M
2 ( x
2 ;y
2 ;z
2 ) nuqtalar orqali o’tsin. Bu to’g’ri chiziqning kanonik
tenglamasini tuzamiz. Shu maqsada to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektorini
topamiz. Bu vektor uchun M
1 va M
2 nuqtalarni tutashtiruvchi M 1M 2 vektorini
olamiz:
S= M 1M 2= (x2− x1)⃗⃗i+(у2+ у1)⃗j+(z2+z1)⃗k Demak, m = x
2 - x
1 , n =y
2 -y
1 ,
p = z
2 - z
1 , bo’lib, izlangan tenglama (2) ga asosan
x− x1
x2− x1
=
у− у1
у2− у1
=
z− z1
z2− z1
(3)
ko’rinishda bo’ladi.
Misol. Ikki M
1 (1;3;-5) va M
2 (1;4;2) nuqtalaridan utuvchi to’g’ri chiziq
tenglamasini tuzing.
Yechish ( 3) tenglamadan foydalanib topamiz:

x− 1
1− 1
=
у− 3
4− 3
=
z+ 5
2+ 5
,
x− 1
0
=
у− 3
1
=
z+ 5
7
.
Bunda m=0 bo’lgani uchun to’g’ri chiziq 0x o’qiga perpendikulyar bo’ladi.
Ikki to ’ g ’ ri chiziq orasidagi burchak . To’g’ri chiziqlarning parallellik va
12

perpendikulyarlik shartlarix− x1
m1
=
у− у1
n1
=
z− z1
p1
va
x− x2
m 2
=
у− у2
n2
=
z− z2
p2

to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lsin. Bu to’g’ri chiziqlarning birining yo’naltiruvchi
vektori
S1= m 1i+ n1⃗j+ p1⃗k ikkinchisiniki esa S2= m2i+n2⃗j+ p2⃗k bo’lgani
uchun, bu vektorlar orasidagi burchak berilgan to’g’ri chiziqlar orasidagi 
burchakka teng bo’ladi. Bu holda
cos ϑ=
(s1,s2)
|s1||s2|
=
m 1m2+n1n2+ p1p2
√m 1
2+n1
2+ p1
2√m 2
2+n2
2+ p2
2
bo’ladi. Bu berilgan to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakning kosinusidir. Ikki to’g’ri
chiziqning paralellik va perpendikulyarlik shartlari ularning yo’naltiruvchi
vektorlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlaridan kelib chiqadi:.
m1
m2
=
n1
n2
=
p1
p2
m1m2+n1n2+p1p2

13(parallellik sharti)
(perpendikulyarlik sharti)

II.bob Dekart koordinatalar sistemasidagi tekislik.
2.1 To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak; ikki tekislik orasidagi
burchak
(11) ,0 sin cos     p y x   2
  
Yoki umumiy holda
(11)
,0 cos cos     p y x  
ko’rinishga ega.
Bunda p koordinatalar boshidan berilgan to’g’ri chiziqqa tushirilgan
perpendikulyarning uzunligini belgilaydi (
0р )  bu perpendikulyar bilan x
o’qining musbat yo’nalishi orasidagi burchakni belgilaydi,
 shu perpendikulyar
bilan u o’qi orasidagi burchakni belgilaydi, ya‘ni:
.    

Har qanday birinchi darajali
0   С Ву Ах tenglama normal ko’rinishga
keltirilishi mumkin. Buning uchun uni:
14

2 
bo’lganda 2 2
1
В А
М

 (12)
Yoki umumiy holda


cos 2
sin
2 2 АВ В А
М
 

(12 /
)
Normallovchi ko’paytuvchiga ko’paytirish kifoya.
Normallovchi ko’paytuvchining ishorasi berilgan tenglamaning С ozod
hadining ishorasiga teskari bo’lishi kerak.
2
  bo’lsa, to’g’ri chiziqning
parametrlari



  
22 22 22
;sin ;cos
ВА C
p ВА B ВА A



(13)
To’g’ri chiziqning normal tenglamasidagi o’zgaruvchi koordinatalar М (х /
;
у /
) nuqtaning koordinatalari bilan almashtirilsa, М (х /
; у /
) nuqtaning berilgan
to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi
) ( normaltenglamaning chap qismiga teng
bo’ladi, ya‘ni to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida:
. sin cos p y х        

2. Tekis vektor muqobilligi sharti. Tekis tenglama (5) va mos keladigan
bir jinsli tenglama o'rtasidagi bog'liqlik quyidagi taklif bilan berilgan:
(6)
Teorema 9. vektor tekislikka koplanar bo'lishi uchun
(5)
15

uchun zarur va yetarli
(6)
Isbot. 1° Vektor tekislikka (5) koplanar bo'lsin. Bu tekislikning
ba'zi nuqtasini olamiz va unga u vektorni qo'llaymiz; boshi
da va oxiri , (5) tekislikda yotgan vektorni olamiz,
demak,
Ayirsak, olamiz
(6)
2° Keling bo'lsin. (6) tenglamani qanoatlantiradi. Vektorni va (5)
tekislikning biron bir nuqtasiga qo'llasak, vektorini olamiz,
uning oxiri ga bog'liq (5) va (6) tekislikda (5) yotadi.
Bu vektorning kelib chiqishi tekislikda (5) yotganligi sababli butun vektor
yotadi bu tekislikda. Teorema isbotlangan.
Natija.
(7)
agar va faqat tekislikka parallel (keng ma'noda) bo'lsa
16

(5)
bundan
(8)
Agar, qo'shimcha ravishda, shart
u holda (va faqat shu holatda) to'g'ri chiziq (7) tekislikda yotadi.
Darhaqiqat, (8) shart (7) to‘g‘ri chiziqning yo‘nalishi vektori tekislik
(5) ga teng ekanligini bildirsa, shart esa nuqtani bildiradi.
chiziq (7) shu tekislikda yotadi
3. Ikki tekislikning o'zaro joylashishi. Agar ikkita tekislik parallel bo'lsa
(keng ma'noda), u holda ulardan biriga koplanar har qanday vektor ikkinchi
tekislikka koplanar bo'ladi. Ikkita keng parallel tekislik bir xil vektorlar to'plamiga
ega. Aksincha, agar ikkita va tekisliklari vektorlarining bir xil ko'pligiga
ega bo'lsa, ular so'zning keng ma'nosida paralleldir; agar qo'shimcha ravishda, bu
tekisliklar har xil bo'lsa, unda ular bitta umumiy nuqtaga ega emaslar. (ya'ni,
so'zning tor ma'nosida parallel): agar va tekisliklari umumiy nuqtaga
ega bo'lsa, u holda bu nuqtaga kollektorning barcha vektorlarini qo'llash orqali
biz har birining barcha nuqtalarini olamiz. va bu bir xil bo'ladi.
Shunday qilib, tenglama bo'yicha aniqlangan ikkita tekislik
(9)
17

va
keng parallel bo'ladi, agar ular bir xil koplanarni aniqlasagina va faqat vektorlar,
ya'ni tenglamalar qachon
(10)
va
bir xil echimlar to'plamiga ega va bu, biz ko'rganimizdek, qachon va faqat
qachon sodir bo'ladi
(11)
Agar, bundan tashqari,
(12)
u holda (9) va tenglamalar ekvivalent, ular tomonidan
aniqlangan tekisliklar mos keladi. Aksincha, agar (9) va tekisliklar bir-biriga
to'g'ri kelsa, u holda ularga mos tekislikdagi vektorlarga mos keladi, ya'ni (11)
bajariladi va demak, ba'zi uchun.

18

U holda ham, ya'ni (12) nisbat o'rinli ekanligini isbotlaylik. Haqiqatan
ham, agar tekisliklarning (9) va bir-biriga to'g'ri keladigan
ba'zi bir nuqtasi bo'lsa, bizda o'ziga xosliklar mavjud.

bunda va shuning uchun ham isbotlangan.
Demak, proportsiya (12) (9) va tekisliklarning mos kelishi uchun zarur va
yetarli shartdir.
Nihoyat, (9) va tekisliklarning to'g'ri ma'noda parallelligi keng ma'noda
parallellik borligini, lekin tekisliklarning tasodifiyligini bildiradi. Boshqacha
aytganda, haqiqatga nisbat (11), lekin proportsiya (12) noto'g'ri,
(13)
degan ma'noni anglatadi.
Teorema 10. Birinchi darajali tenglama kunlari (9) va
shundan keyingina vaziyat yuzaga kelganda bir xil tekislik aniqlanadi.
(12)
(9) va tenglamalar (11) shart bajarilgan taqdirdagina so'zning keng ma'nosida
parallel ikkita tekislikni belgilaydi.
19

Nihoyat, bu tenglamalar keyin va shundan keyingina ikkitasini aniqlang (13)
bajarilganda to'g'ri ma'noda parallel bo'lgan tekisliklar.
2.2 To’g’ri chiziqning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish nuqtasini
topish
Tenglamalar bilan berilgan ikkita tekislik bo'lsin

(9)
parallel emas, ya'ni Keyin hech bo'lmaganda uchta
aniqlovchidan kamida bittasi

20

noldan farq qiladi va (9) va tenglamalar mos keladi; ularning qo'shma
yechimini, ya'ni tekisliklarga tegishli nuqtani topish uchun,
masalan, dan boshlab, ixtiyoriy qiymatni olish kifoya qiladi.
va tenglamalar sistemani Kramer qoidasidan foydalanib yeching
Demak, ikkala (9) va tekislikka tegishli biror nuqta bo lsin.ʻ
Bizning ikkita tekisligimiz uchun umumiy bo'lgan boshqa barcha nuqtalarni
nuqtaga barcha mumkin bo'lgan vektorlar qo'llanilganda topish mumkin
bir vaqtning o'zida ham bir tekislikda, ham boshqa tekislikda yotgan yoki bir xil
bo'lgan bir xil tenglamalar sistemaning barcha mumkin bo'lgan yechim vektorlari
(10)
bo'lgani uchun, bu vektorlarning barchasi ulardan biriga,
masalan, vektorga kollineardir.
Ikki tekisligimizning barcha umumiy nuqtalari vektor tenglamasi bilan aniqlangan
nuqtalaridir
21

nuqtadan o'tuvchi va uning yo'nalishi vektori sifatida vektoriga
ega bo'lgan to'g'ri chiziq hosil qiladi. Bu chiziqning kanonik tenglamasi
bu yerda tengliklari
Ikki chiziq
(I)
va
(I')
koplanar bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.
Keling, qo'ying

(I) va (I') chiziqlar koplanar bo'lishi uchun uchta vektorning o'zaro tekisligi zarur
va etarli shartdir.
22

ya'ni tenglik
Shunday qilib, chiziqlar kesishadi, ya'ni oxirgi tenglik bo'lmasa, bir tekislikda
yotmaydi.
Ikki tekis tekislik (I) va (I') chiziqlarni o'z ichiga olgan tekislik tenglamasini
topamiz. Avval (1) va (I') chiziqlar kesishadi va deb faraz qilaylik.
ularning kesishish nuqtasi. U holda ikkala chiziqimiz yotadigan tekislik
nuqtadan o'tuvchi tekislikdir, va ikkita kollinear bo'lmagan vektor
va . Bu tekislikning tenglamasi shaklga ega
berilgan savolga javob beradi,
Endi (I) va (I') chiziqlar parallel bo'lsin. Keyin vektorlar va kollinear,
shuning uchun (2') tekislik tenglamasi o'ziga xoslikka aylanadi va bizga hech narsa
bermaydi. Berilgan ikkita parallel chiziqlar (I) va (I') bo'lgan tekislik tenglamasini
aniqlash uchun, bu tekislikda bizning to'g'rilarimizning birining
23

nuqtasi, uning yo'nalishi vektori bo'lganligiga e'tibor bering va vektor

Demak, kerakli tekislikning tenglamasi
5. Berilgan tekislik bilan aniqlangan ikkita yarim fazoda. Bu savol
tekislikda berilgan to'g'ri chiziq bilan aniqlangan ikkita yarim tekislik haqidagi
savolga butunlay o'xshashdir.
tekislik tenglama bilan berilgan bo'lsin
(14)
Tekislik va fazoni ikkita yarim fazoga ajratadi, ulardan biri barcha
nuqtalardan iborat bo'lib, ular uchun ikkinchisi
barcha nuqtalardan buning uchun Birinchi yarim
bo'shliq musbat, ikkinchisi manfiy deyiladi tekislikning tenglamasi (14) Xuddi
shu tekislikning boshqa tenglamasiga o'tganda ikkala yarim bo'shliq ham
o'zgarishsiz qolishi yoki joylarini o'zgartirishi mumkin, tenglama ikkinchisi uchun
manfiy bo'ladi. Birinchi yoki ikkinchi holat faktorning belgisiga qarab sodir
bo'ladi, unga ko'ra bir tenglama boshqasini olish uchun muddatga ko'paytirilishi
kerak
6-teoremaga o'xshash bayonot mavjud.
24

11-Teorema. Agar va nuqtalar (14) tekislik
bilan aniqlangan turli yarim fazolarda yotsa, u holda segment. tekislikni
kesib o'tadi; agar va nuqtalar bir xil yarim fazoda yotsa, u holda butun
segmenti bir xil yarim fazoda yotadi (41-rasm).
Ushbu teoremaning ma'nosi berilgan chiziq tekisligida aniqlangan ikkita yarim
tekislikdagi o'xshash teorema bilan bir xil. Tekislik (14) bir vaqtning o'zida barcha
uchta koordinata o'qlariga parallel bo'lishi mumkin emas. Masalan, o'qiga
parallel bo'lmasin. Keyin har bir nuqta tekislikda yotmagan (14),
bu tekislikning "yuqorida" yoki "pastida" yotadi - quyidagi ma'noda.
nuqta orqali o'qiga parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq
o'tadi; u tekislikni (1) qandaydir nuqtada kesib o'tadi (42-rasm).
Agar bo'lsa, biz aytamizki, nuqta kvartiraning tepasida
joylashgan.
qiyshiq (1); agar bo'lsa, u holda nuqtasi tekislik ostida joylashgan deb
aytamiz (14).
Teorema 12. Tekislik (14) ustida yotgan fazoning barcha nuqtalari bu tekislik
bo'shliqni ajratadigan ikkita yarim fazodan birini tashkil qiladi; tekislik (14) ostida
yotgan barcha nuqtalar ikkinchi yarim fazoni hosil qiladi.
Nihoyat, quyidagi teorema amal qiladi.
25

Teorema 13. Agar n tekislik (14) tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda bu
tekislikning istalgan nuqtasiga qo'llaniladigan
vektorgayo'naltiriladi.
(14) tenglamaga nisbatan musbat yarim fazo.
26

6. Dekart koordinatalar sistemasidagi tekislik. Bobning oxirigacha
koordinatalar sistemasi to'rtburchaklar shaklida bo'ladi deb faraz qilamiz.
Teorema 14. Tekislik va (to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida) o'z
tenglamasi bilan berilgan bo'lsin.
(15)
U holda vektor tekislikka perpendikulyar.
Haqiqatan ham, agar ixtiyoriy vektor bo'lsa, tekislikda siqish ,
keyin
demak u vektor tekislikda yotgan har qanday vektorga perpendikulyar, ya'ni
isbotlanishi kerak bo'lgan tekislikka perpendikulyar.
27

koordinatalari orqali berilgan
tekislikka perpendikulyar ("normal") ni o'tkazamiz (44-rasm); tekislikning shu
normal bilan kesishgan nuqtasini bilan belgilaymiz. Agar tekislik koordina-
talarning kelib chiqishidan o'tsa (ya'ni ), u holda normallar bo'yicha musbat
yo'nalish ixtiyoriy ravishda tanlanadi; aks holda, vektorning yo‘nalishini
musbat deb hisoblaymiz (ya’ni koordinatalar boshidan tekislikgacha bo‘lgan
yo‘nalish).Bu yo‘nalishning yo‘nalishi kosinuslari bilan sifatida
belgilanadi, shuning uchun
o'qida vektorining algebraik qiymati soni bo'lib, tekislikning
koordinata nuqtasidan masofasiga teng. fazoda biron bir nuqta
bo'lsin. U faqat xolatida u tekislikda yotsa, uning o'rta o'qiga ortogonal
28

proyeksiyasi nuqta, vektorning proyeksiyasi vektor bo'ladi. Demak,
tekislikning barcha nuqtalari uchun va faqat ular uchun bizda
Ammo bu tenglikning chap tomoni
shunday qilib, tekislikning nuqtalari va faqat ular qanoatlantirsin.
tenglamani ayting
(16)
demak, bu n tekislikning tenglamasi; bu tekislikning normal tenglamasi deyiladi.
Endi qandaydir tenglamani keltiramiz
(15)
tekislik . Bu tenglamadan kelib chiqib, bir xil tekislikning normal tenglamasini
qanday olish mumkin? (15) va (16) tenglamalar bir xil tekislikni aniqlaganligi
sababli, ularning tegishli koeffitsientlari proportsionaldir,
(17)
ba'zilari uchun . Tengliklardan (17) ni aniqlaymiz, ya'ni: birinchi uchta
tenglikdan (17) bizda
29

bundan
(18)
ning belgisi faqat (17) to'rtinchi tenglikdan bo'lgan holatda aniqlanadi:
bo'lgani uchun, keyin va demak, ning qarama-qarshi belgisiga
ega.
Ta'rif. 1-modul bilan raqami U koeffitsienti ishorasiga
qarama-qarshi belgi esa normal deyiladi (15) tenglama omili. bilan
belgisini ixtiyoriy ravishda tanlash mumkin.
Biz tuzdik: tekislikning ixtiyoriy ("umumiy") tenglamasidan (15) tekislikning
normal tenglamasini olish uchun (16), (15) tenglamaning ikkala qismi ham ushbu
tenglamaning normallashtiruvchi omiliga ko'paytirilishi kerak.
Tekislikdagi to'g'ri chiziq holatiga o'xshab, tekislikning normal tenglamasi
fazodagi istalgan nuqtaning bu tekislikgacha bo'lgan masofasini aniqlash imkonini
beradi.
Teorema 15. nuqtadan uning normal tenglamasi (16) bilan
berilgan tekislikgacha bo‘lgan masofa ga teng.
(17) tenglamaning chap qismiga o'rniga qo'yilgan bo'lsa,
olingan modul sonining.
30

Agar tekislik umumiy tenglama (15) bilan berilgan bo'lsa, u holda masofa
nuqtadan bu tekislikgacha bo'lgan masofa bo'ylab formulalar
7. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak; ikki tekislik orasidagi
burchak. chiziq bilan tekislik orasidagi burchak, ta'rifiga ko'ra, bu chiziq va
uning tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchakdir. Bu ta'rif bir emas, balki
ikkita burchakni (o'tkir) beradi, gacha bir-birini to'ldiradi (45-rasm); bu
burchaklarning har biri 0 dan gacha.
To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini tanlashga qarab va tekislikka
normal vektor va biz faqat to'rtta burchakka egamiz (46-rasm), ikki juft vertikal
burchak hosil qiladi. Har qanday yo'nalish vektori bilan chiziq va har qanday
31

vektor tekislikka normal bo'lgan burchakni bilan belgilang. Burchak 0 va
oralig'ida joylashganligi sababli, uning sinusi manfiy emas va ko'rish oson, har
doim
Agar to'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsa,
(19)
va tekislik tenglama bo'yicha
(20)
u holda va vektorlari orasidagi burchak formula
bo yicha topiladi.ʻ
ma'nosi,
Ikki tekislik orasidagi burchak. Biz ularga perpendikulyar bo'lgan har qanday
ikkita vektor orasidagi burchagini olamiz (bu yana ikkita o'tkir va o'tkir
burchakni beradi, bir-birini gacha to'ldiradi), masalan.
32

shuning uchun olamiz. Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti
(20)
va
(20`)
Keling, quyidagi muammoni ko'rib chiqishni yakunlaylik. Vazifa. Tushgan
perpendikulyar tenglamalarini yozing

berilgan nuqtadan tenglama bilan berilgan ( nuqtadan o'tmaydigan) chiziqqa
va uning uzunligini toping.
Ikki tekislikning perpendikulyar holati (20) va (20')
Bunda berilgan nuqtadan chiziqqa tushirilgan perpendikulyar deb
nuqtadan o’tuvchi
va to’g’ri chiziqni qandaydir nuqtada to’g’ri burchak ostida kesib o’tuvchi
to’g’ri chiziq tushuniladi. segmentining uzunligi deyiladi, perpendikulyar
33

uzunlik. Muammoni hal qilish uchun, birinchi navbatda, nuqta va to'g'ri
chiziq orqali tekislik o'tkazamiz. Bu vektorlarni olib yuruvchi tekislik.

va nuqtasini o'z ichiga olgan, tenglamaga ega
Ikkinchidan, nuqta orqali tekislik chizamiz chiziqqa
perpendikulyar . Bu tekislik uchun tenglama
Bu ikki tekislikning kesishishi kerakli to'g'ri chiziqni beradi, o'tuvchi
nuqtadan o'tib, chiziqni va perpendikulyarni kesishadi unga qarab. nuqtadan
to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligini va vektorlari
bo'yicha qurilgan parallelogrammning balandligi sifatida topamiz va tomonni asos
sifatida hisobga olgan holda nuqtadan chizamiz. Bu parallelogrammning
maydoni vektorining vektor ko'paytmasining absolyut qiymati va
vektori, asosining uzunligi esa va; shuning uchun masofa uchun bizda
mavjud
34

2.3 To’g’ri chiziq va uning berilishi.
To’g’ri chiziq bilan proyeksiyalovchi tekislikning kesishish nuqtasi to’g’ri
chiziq va tekislik uchun umumiy bo’lib, u to’g’ri chiziqda ham, tekislikda ham
yotgan bo’lishi kerak.
Proyeksiyalovchi tekislikda yotuvchi nuqtaning biror proyeksiyasi, shu
tekislikning tegishli izida yotadi. Shuning uchun (1-shakl, a da) AV to’g’ri chiziq
bilan gorizontal proyeksiyalovchi F
p1 , F
p2 tekislikning o’zaro kesishish nuqtasi K
ning gorizontal proyeksiyasi K
1 shu tekislikning F
p1 izida va shu bilan birga A
1 V
1
ning F
 1 ning kesishish joyida bo’ladi. 1-shakl, b da bu masalaning yechilishi
epyurda ko’rsatilgan. Bu yerda A
1 V
1 va F
 1 ning o’zaro kesishish K
1 nuqtasi A
1 V
1 ,
A
2 V
2 to’g’ri chiziq bilan 
1 ga proyeksiyalovchi F
 1 , F
 2 tekislikning o’zaro
kesishish nuqtasining gorizontal proyeksiyasi bo’ladi.
Kesishish nuqtasining frontal K
2 proyeksiyasi K
1 nuqtadan OX ga
perpendikulyar o’tkazilgan bog’lanish chizig’i bilan A
2 V
2 ning kesishgan nuqtasida
bo’ladi. 2-shakl, a da AV to’g’ri chiziqning 
2 ga proyeksiyalovchi F tekislik
35

bilan, 2-shakl, b da esa AV chiziqning P
2 ga parallel F tekislik bilan kesishgan
nuqtasini topish ko’rsatilgan. Bu yerda K
1 K
2 izlangan nuqtaning proyeksiyalarini
ifodalaydi.
Bu har ikki misolda ham to’g’ri chiziqni proyeksiyalovchi tekislik bilan
kesishish nuqtasini topish uchun A
1 V
1 , A
2 V
2 to’g’ri chiziq tekislik bilan
kesishguncha davom ettirilgan va K
1 K
2 nuqta aniqlangan.
1. To’g’ri chiziq va uning berilishi. To’g’ri chiziqning tekislikdagi
proyeksiyasini hosil qilish uchun uning ikki nuqtasini proyeksiyalash kifoyadir,
chunki umumiy holda to’g’ri chiziqning tekislikdagi proyeksiyasi ham to’g’ri
chiziqdir.
Buni isbotlash uchun fazoda biror «a» to’g’ri chiziq olib, uning ikki A va B
nuqtalarini biror (  ) tekislikka proyeksiyalaymiz. Hosil bo’lgan A
1 va B
1
nuqtalarni birlashtirsak, to’g’ri chiziqning  tekislikdagi proyeksiyasiga ega
bo’lamiz, buni  tekislik bilan «a» to’g’ri chiziq va AA
1 nur chiziqlardan tashkil
topgan  tekisliklarning kesishish chizig’i deb qarash mumkin.
Yoki boshqa har qanday proyeksiyalovchi, masalan, MM
1 to’g’ri chiziq shu
tekislikda yotib,  tekislikdagi a
1 to’g’ri chiziq ustida kesishadi. shunday qilib, a
1
to’g’ri chiziq «a» to’g’ri chiziqning  tekislikdagi proyeksiyasidir (1-shakl).
To’g’ri chiziq kesmasining  tekislikdagi proyeksiyasi o’zidan kichik
bo’lib, xususiy holda A
1 B
1 =ABcos  ga tengdir. Agar to’g’ri chiziq tekislikka
paralel bo’lsa, cos=1 ga teng bo’lib, tekislikka o’zining haqiqiy kattaligida
proyeksiyalanadi va nihoyat, agar perpendikulyar bo’lsa, uning tekislikdagi
proyeksiyasi nuqta bo’ladi. Endi fazodagi to’g’ri chiziqni o’zaro perpendikulyar
bo’lgan uch tekislikka proyeksiyalashni ko’rib chiqamiz. Fazodagi to’g’ri
chiziqning ikki nuqtasi A va B berilgan bo’lsa, ulardan proyeksiyalar tekisliklari

1 , 
2 va 
3 larga perpendikulyar nur chiziqlar tushurilsa, nuqtalarning gorizontal
36

proyeksiyalari A
1 , B
1 , frontal proyeksiyalari A
2 , B
2 va profil proyeksiyalari A
3 , B
3
hosil bo’ladi.
Nuqtalarning bir nomli proyeksiyalarini birlashtirilsa to’g’ri chiziqning
gorizontal - A
1 B
1 , frontal - A
2 B
2 va profil - A
3 B
3 proyeksiyalari hosil bo’ladi
AB kesma uchlari proyeksiyalar tekisliklari ( 
1 , 
2 )
dan uzoqligi, ya’ni:
Z
A – AB kesmaning A uchidan 
1 tekislikkacha;
Z
B - AB kesmaning B uchidan 
1 tekislikkacha;
Y
A - AB kesmaning A uchidan 
2 tekislikkacha;
Y
B - AB kesmaning B uchidan 
2 tekislikkacha bo’lgan masofalari
ko’rsatiladi. Shuning uchun umumiy vaziyatdagi AB kesma uchlarining
koordinatalariga nisbatan quyidagi tenglikni yozish mumkin:
Z
B -Z
A  0; Y
A -Y
B  0; X
A -X
B  0
Agar, AB kesmada (2-shakl) yana C nuqta olib undan 
1 ga perpendikulyar
chiziq tushursak, C nuqtadan o’tuvchi nur chiziq AA
1 va BB
1 chiziqlarga parallel
bo’lib, AB kesma orqali o’tadi, ya’ni ikkisi ham ber tekislikda yotadi. Shuning
uchun A
1 B
1 va C
1 nuqtalarning geometrik o’rni AB kesmani 
1 tekislikka maxsus
joylashgan A
1 ABB
1 tekislik bilan gorizontal proyeksiyalar tekisliklarini kesishgan
chizig’ida bo’ladi. Shuningdek, bu nuqtalarning frontal va profil
proyeksiyalarining geometrik o’rni ham shunga o’xshash bo’ladi.
2. To’g’ri chiziqning proyeksiyalar tekisligiga nisbatan har xil vaziyatda
berilishi. To’g’ri chiziq proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan ikki xil vaziyatda,
ya’ni umumiy va xususiy vaziyatlarda bo’lishi mumkin. agar to’g’ri chiziq
proyeksiyalar tekisliklaridan birortasiga ham parallel bo’lmasa, bunday to’g’ri
chiziq umumiy vaziyatdagi yoki ixtiyoriy vaziyatdagi to’g’ri chiziq deyiladi . Bu
holda to’g’ri chiziq proyeksiyalar tekisliklariga o’z haqiqiy kattaligidan o’zgarib
(qisqarib) proyeksiyalanadi. Agar to’g’ri chiziq proyeksiyalar tekisliklaridan
37

birortasiga yoki bir vaqtning o’zida ikkitasiga parallel bo’lsa, to’g’ri chiziq xususiy
vaziyatdagi yoki maxsus chiziq deyiladi.
Maxsus vaziyatdagi to’g’ri chiziqlar 
1 , 
2 , 
3 – tekisliklarga nisbatan
quyidagi olti xil vaziyatda bo’ladi:
1. To’g’ri chiziq gorizontal proyeksiyalar tekisligiga parallel. . Bunda to’g’ri
chiziqning frontal proyeksiyasi (h
2 ) proyeksiyalash o’qi OX ga parallel bo’ladi. Bu
yerda,  burchak – h to’g’ri chiziq bilan frontal proyeksiyalar tekisligi orasidagi
burchak. Bunday to’g’ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi h(A
1 B
1 ) gorizontal
proyeksiyalar tekisligi  ga nisbatan haqiqiy kattaligida (A
1 B
1 =AB)
proyeksiyalanadi. Bunday chiziq gorizontal chiziq deb ataladi. Bunda
Z
A -Z
B =0; Y
A -Y
B  0; X
A -X
B  0
2. To’g’ri chiziq frontal proyeksiyalar tekisligiga parallel joylashgan.
Bunday to’g’ri chiziq frontal to’g’ri chiziq deyiladi va u f(f
1 f
2 ) bilan belgilanadi.
Frontal chiziqning hamma nuqtalari frontal proyeksiyalar tekisligi ( 
1 ) dan bir xil
masofada bo’ladi. Shuning uchun uning gorizontal proyeksiyasi (f
1 ) OX o’qqa
parallel bo’ladi. Frontal chiziqning frontal proyeksiyasi (f
2 ) o’zining haqiqiy
kattaligi (f
2 =CD) bo’yicha proyeksiyalanadi, ya’ni C
2 D
2 =CD bo’ladi .
 burchak – f to’g’ri chiziq bilan gorizontal proyeksiyalar tekisligi orasidagi
burchak.
Bunda:
Z
D -Z
C  0; Y
D -Y
C =0; X
C -X
D  0
bo’ladi.
3. To’g’ri chiziq (p) profil proyeksiyalar tekisligiga parallel joylashgan. Bu
to’g’ri chiziq profil proyeksiyalar tekisligiga o’zining haqiqiy kattaligida
proyeksiyalanadi, ya’ni P
3 =K
3 E
3 . Bunday chiziq profil chiziq deyiladi. Gorizontal
va frontal proyeksiyalari OX o’qiga perpendikulyar bo’lib, bir bog’lovchi chiziqda
38

bo’ladi. Bunda, X
K -X
E =0 bo’ladi.  va  burchaklar – P to’g’ri chiziq bilan
gorizontal va frontal proyeksiyalar tekisliklari orasidagi burchakka tengdir.
4. To’g’ri chiziq gorizontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar
joylashgan. Bu to’g’ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi (a
1 ) nuqta ko’rinishida
bo’ladi, frontal (a
2 ) proyeksiyasi OX o’qiga perpendikulyar vaziyatda bo’ladi. Bu
vaziyatda kesma 
2 va 
3 ga parallel bo’ladi. Shuning uchun M
2 N
2 =M
3 N
3 =MN
bo’ladi.
Bunda: Z
M -Z
N  0
Y
M -Y
N =0
X
M -X
N =0
bo’ladi.
5. To’g’ri chiziq frontal proyeksiyalar tekisligi 
2 ga perpendikulyar
joylashgan (b 
2 ). Bu chiziqni gorizontal proyeksiyasi o’z haqiqiy kattaligiga
teng bo’lib (b
1 =KE), u OX o’qiga perpendikulyar joylashadi. To’g’ri chiziqning
frontal proyeksiyasi (b
2 ) nuqta ko’rinishida bo’ladi, frontal proyeksiyasi (b
3 ) esa,
OZ ga perpendikulyar bo’ladi.
Bunda: Z
K -Z
F =0
Y
F -Y
K  0
X
K -X
F =0
6. To’g’ri chiziq profil proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar joylashgan
(S  
3 ) . Bu chiziqning gorizontal C
1 (P
1 Q
1 ) va frontal C
2 (P
2 Q
2 ) proyeksiyalari OX
ga parallel bo’ladi. Profil proyeksiyasi C
1 C
2 C
3 (P
3 Q
3 ) nuqta ko’rinishida bo’ladi.
Bunda: P
1 Q
1 =P
2 Q
2 =PQ bo’lib,
Z
P -Z
Q =0
Y
P -Y
Q =0
X
P -X
Q  0
39

Proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar joylashgan to’g’ri chiziqlar
proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlar deyiladi. Bunday to’g’ri chiziqlarda yotuvchi
(M, N; K, F; P, Q) ikki va undan ortiq nuqtalar konkurent nuqtalardir. Konkurent
nuqtalar buyumlarning ba’zi bir elementlarini berilgan proyeksiyalar tekisligiga
nisbatan yaqin yoki uzoq joylashganligini aniqlashga yordam beradi. Masalan, a
to’g’ri chiziqdagi N va M ikki nuqtasini 
1 tekislikka nisbatan yuqoridan
qaralganda, bizga yaqin M nuqta ko’rinar va undan pastda joylashgan N nuqta
ko’rinmas deb hisoblanadi .
3. To’g’ri chiziq izlari va ularni epyurda aniqlash. To’g’ri chiziqning
proyeksiyalar tekisliklari ( 
1 , 
2 ...) bilan kesishgan nuqtalari to’g’ri chiziqning
izlari deyiladi. To’g’ri chiziqning gorizontal proyeksiyalar tekisligi 
1 bilan
kesishgan nuqtasi uning gorizontal izi, frontal proyeksiyalar tekisligi bilan
kesishgan nuqtasi esa uning frontal izi deyiladi (10-shakl). 10 shaklda AB to’g’ri
chiziqning 
1 , 
2 proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan nuqtalari ko’rsatilgan.
Bu yerda, M(M
1 M
2 ) – gorizontal, N(N
1 N
2 ) esa – frontal izi deb ataladi.
To’g’ri chiziqning gorizontal izini topish uchun, uning frontal proyeksiyasi
A
2 B
2 ni OX o’qi bilan kesishguncha davom ettiriladi, keyin ularning kesishgan M
2
nuqtasidan 
1 tekislik bo’ylab OX o’qiga perpendikulyar chiziq o’tkaziladi va shu
chiziq bilan to’g’ri chiziqning gorizontal proyeksiyasi kesishgan nuqta AB to’g’ri
chiziqning gorizontal izini ifodalaydi, gorizontal izining gorizontal proyeksiyasi
shu yerda bo’ladi.
To’g’ri chiziqning frontal izini topish uchun uning gorizontal proyeksiyasi
A
1 B
1 ni OX o’qi bilan kesishguncha davom ettiriladi va shu nuqtadan (N
1 ), 
2
tekislik bo’ylab OX o’qiga perpendikulyar chiqariladi, shu perpendikulyar bilan
to’g’ri chiziqning frontal proyeksiyasini kesishgan (N
2 ) nuqtasi aniqlanadi. Agar
40

to’g’ri chiziq biror proyeksiyalar tekisligiga parallel bo’lsa, uning o’sha
tekislikdagi izi bo’lmaydi.
4. To’g’ri chiziq kesmasining haqiqiy kattaligini va proyeksiyalar tekisligi
bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash. Biz yuqorida to’g’ri chiziq kesmasini
proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan ixtiyoriy vaziyatda, ya’ni to’g’ri chiziq
proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan o’tkir burchak ostida joylashgan bo’lishi
mumkin degan edik. Bunday vaziyatda kesma proyeksiyalar tekisliklariga,
o’zining fazoviy vaziyatiga nisbatan o’zgarib (qisqarib) proyeksiyalanadi.
Geometrik masalalarni yechishda to’g’ri chiziq kesmasining haqiqiy
kattaligi va uning proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan og’gan burchaklarini
aniqlashga to’g’ri keladi.
Biror AB to’g’ri chiziq bilan tekislk orasidagi burchak, uning shu
tekislikdagi proyeksiyasi, ya’ni A
1 B
1 orasidagi  burchak bilan o’lchanadi. Bu
burchak to’g’ri chiziq va burchak oraisdagi o’tkir burchakni 90 o
ga to’ldiruvchi
burchak bilan ham aniqlanadi. To’g’ri chiziq kesmasining biror tekislikdagi
proyeksiyasi va bu kesma oxirgi nuqtalarining shu tekislikdan uzoqliklari ma’lum
bo’lsa, bu to’g’ri chiziq kesmasining haqiqiy uzunligi va o’sha proyeksiyasi yotgan
tekislik bilan tashkil qilgan burchagini aniqlash mumkin.
Bu yerda AB to’g’ri chiziq kesmasi va uning  tekislikdagi proyeksiyasi
berilgan. AB kesmaning haqiqiy uzunligini topish uchun AB kesmaning A uchidan
A
1 B
1 ga parallel to’g’ri chiziq o’tkaziladi, natijada ABN to’g’ri burchakli
uchburchak hosil bo’ladi.
Bu uchburchakning AN kateti A
1 B
1 ga teng, BN kateti esa BB
1 kesmadan
AA
1 kesmaning ayirmasiga teng (ya’ni DD
1 -AA
1 =BN), gipotenuza esa, to’g’ri
chiziq kesmasining haqiqiy uzunligidir. ABN to’g’ri burchakli uchburchakning A
uchidan burchagi, AB to’g’ri chiziq bilan  tekislik orasidagi burchakni
41

ifodalaydi. Bu burchak AB bilan uning  tekislikdagi A
1 B
1 proyeksiyasidagi
burchak bilan o’lchanadi (<B
1 MB=<BAN).
Endi to’g’ri chiziqni o’zaro perpendikulyar bulgan 
1 ,

2 , 
3 proyeksiyalar
tekisliklari bilan hosil qilgan  ,  ,  burchaklarni aniqlashga o’tamiz. Buni to’g’ri
chiziqni analiz qilish ham deyiladi .
Agar yuqoridagi  tekislik o’rnida gorizontal proyeksiyalar tekisligi bilan

1 olinsa, to’g’ri burchakli uchburchakning bitta kateti uchun esa, kesma
uchlaridan gorizontal proyeksiyalar tekisliklarigacha bo’lgan masofalar
ayirmasiga, ya’ni Z
B -Z
A =  Z ga teng bo’lgan masofa olinadi.
Epyurada kesmaning gorizontal proyeksiyasi A
1 B
1 biror, masalan, A
1
nuqtasidan perpendikulyar chiqarib, A  Z masofa o’lchab qo’yiladi va A
0 nuqta
belgilanadi, so’ngra A
0 ni B
1 nuqta bilan o’zaro birlashtirib A
1 B
1 A
0 to’g’ri
burchakli uchburchak hosil qilinadi. Uning A
0 B
1 gipotenuzasi AB kesmaning
haqiqiy kattaligiga teng bo’ladi, ya’ni A
0 B
1 =AB. A
0 B
1 va A
1 B
1 chiziqlar orasidagi
 burchak kesma bilan gorizontal proyeksiyalar tekisligi ( 
1 ) orasidagi burchakka
teng bo’ladi. Agar uchburchakning bitta kateti qilib, kesmaning frontal
proyeksiyasi A
2 B
2 olinsa, ikkinchi kateti, kesma uchlaridan frontal proyeksiyalar
tekisligi ( 
2 ) gacha bo’lgan masofalar ayirmasi (Y
B -Y
A =  Y) olinadi. Kesmaning
frontal proyeksiyasi A
2 B
2 chiziqning B
2 uchidan perpendikulyar chiziq chiqarib,
 Y masofani o’lchab qo’yiladi, hosil bo’lan B
0 A
2 chiziq AB kesmaning haqiqiy
kattaligi bo’ladi. A
2 B
2 B
0 uchburchakning A
2 B
0 gipotenuzasi va A
2 B
2 kateti
orasidagi  burchak, to’g’ri chiziq bilan 
2 tekislik orasidagi burchakdir.
Agar uchburchakning bitta kateti qilib, kesmaning profil proyeksiyasi A
3 B
3
olinsa, ikkinchi kateti qilib, AB chiziqning A va B nuqtalaridan 
3 tekislikkacha
bo’lgan masofalar ayirmasi olinadi, ya’ni  X masofa bo’ladi.
42

To’g’ri chiziqning profil proyeksiyasi A
3 B
3 ning A
3 uchidan perpendikulyar
chiziq chiqarib,  X masofa o’lchab qo’yiladi va A
0 nuqta aniqlanadi. A
0 B
3 va A
3 B
3
chiziqlar orasidagi  burchak AB kesma bilan 
3 tekislik orasidagi burchak
bo’ladi.
XULOSA
Ushbu kurs ishimda men Kompleks fazoda algebraik chiziqlar va algebraik
sirtlar mavzusi bo’yicha ko'nikmalarga ega bo'ldim. Bundan tashqari, Kо‘pchilik
matematika- qiyin, abstrakt, zerikarli, foydasiz va real hayotdan ancha uzoq deb
о‘ylaydi. Ushbu mavzuni о‘rganish jarayonida men geometriya matematikaning
inson hayotidagi tayin amaliy masalalarni yechish zarurati tufayli paydo bо‘lganiga
ishonch hosil qilishadi. Muhitlarda qo‘llab hisoblashlarni amalga oshirdim.
Yana shuni ta'kidlash mumkinki, Ushbu geometrik masalalarning hayotdagi va
fandagi ahamiyati shundan iboratki , bugungi kun qurilishi va arxitekturasi bino va
inshootlarning loyihalarini yaratishda muntazam ravishda geometrik shakl va
qoidalardan foydalanishga ehtiyoj sezmoqda . Shuningdek, hozirgi kunda yer
yuzidagi davlatlarning kо‘pchiligi tomonidan iste’molga kiritilgan .
Zamonaviy hisoblash texnikasi hisoblash tajribalari Analitik
geometryaningning yig’indilarini katta va murakkab masalalarini aniqlikda
yechish va korinishini ko’rish imkonini beradi.
43

O’zbek tilidagi adabiyotlar kam bo’lganligi sababli, asosan ruscha
adabiyotlardan foydalandi. Ba’zi ma’lumotlar esa ijtimoiy tarmoqdagi saytlardan
boshqalari esa shu geometriyaga oid adabiyotlardan olib yozildi. Bu kurs ishini
yozish davomida ko’plab formulalarni bilib oldik va mavzularni grafiklari orqali
keng yoritib berishga harakat qildik.
Aniq xulosam shu’ki geometriyaga oid nazariy va amliy materiallarni
o’rganishda o’quvchilarning izlanuvchanlik ko’nikmalari shakllanishiga va vaqtni
sezilarli darajada tejashga imkoniyat yaratadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. A. Gaziyev, N. Imomkulov. Analitik geometry kursi bo’yicha masalalar
2. yachish. (O‘quv qo‘llanma). Samarqand-2020.
3. V.V.Fedorchuk. Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari (1-
4. qism) O’quv qo’llanma. Guliston-2021.
5. S.V. Baxvalov, P.S.Modenov, A.S.Parxomenko. Analitik geometriyadan
6. masalalar to'plami. Toshkent-2005
7. A.Y. Narmanov. Analitik geometrya. Tashkent 2008.
8. uz.wikipedia.org>fazolar
9. portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/notes...
10. "Hisoblash" - Michael Spivak
11. "Hisoblash nazariyasiga kirish" - Michael Sipser
12. "Ehtimollik nazariyasiga birinchi kurs" - Sheldon Ross
13. "Diskret Matematika va uning Ilovalari" - Kenneth H. Rosen
14. "Graf nazariyasiga kirish" - Douglas B. West
44

15. "Muammo yechish san'ati, I tom: Asoslar" - Sandor Lehoczky va Richard
Rusczyk
16. "Matematik tahlilning asoslari" - Walter Rudin
17. "Algebra" - Israel M. Gelfand va Alexander Shen
18. "Topologiya" - James R. Munkres
19. "Haqiqiy tahlil: Zamonaviy usullar va ularning ilovalari" - Gerald B. Folland
20. "Sonlar nazariyasiga kirish" - G.H. Hardy va E.M. Wright
21. "Muhandislar uchun raqamli usullar" - Steven C. Chapra va Raymond P.
Canale
22. "Ehtimollikni tushunish" - Dimitri P. Bertsekas va John N. Tsitsiklis
23. "Abstrakt Algebra" - David S. Dummit va Richard M. Foote
24. "Matematika: Uning mazmuni, usullari va ma'nosi" - A.D. Aleksandrov,
A.N. Kolmogorov va M.A. Lavrent'ev
25. "Princeton Matematika Hamrohi" - Timothy Gowers (tahrir)
26. "Statistik o'rganish elementlari" - Trevor Hastie, Robert Tibshirani va
Jerome Friedman
27. "Tahlilni tushunish" - Stephen Abbott
28. "X ning quvonchi: Matematikadan bir yo'l xaritasi, birdan cheksizlikka
qadar" - Steven Strogatz
29. www.researchgate.net – Ilmiy maqolalar va tadqiqotlar ombori.
30. www.wikipedia.org – Ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi
31. www.mathtutor.ac.uk – Matematika bo‘yicha darslik va video kurslar.
45

Fazodagi geometrik oʻrinlar

Sotib olish