Muntazam ko‘pyoqlar - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	379.6KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	28 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

Jo‘rayev Imomali

Ro'yxatga olish sanasi 25 Fevral 2025

0 Sotish

Muntazam ko‘pyoqlar

Sotib olish

O
‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM FAN VA INOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
FAKULTETI SIRTQI BO`LIM FAKULTETI
GEOMETRIYA FANIDAN
Himoyaga tavsiya etilgan
Sirtqi (maxsus) bo‘lim
Fakulteti dekani
______________X.Raufjon
"___"__________ 2025 yil
KURS ISHI
MAVZU: Muntazam ko‘pyoqlar
Matematika va informatika kafedrasi mudiri:
PhD : S.Sattorov
"___"__________ 2025 yil O‘qituvchi: Bozorov. Z
Ilmiy rahbar:
"___"__________ 2025 yil 23-03 guruh talabasi: Qurbonova M.
Talaba:
Termiz-2025
1

Mavzu: Muntazam ko‘pyoqlar
MUNDARIJA:
KIRISH.…………………………………………………………………….3
I.bob Muntazam ko‘pyoqlar ta'rifi va xususiyatlari
1.1 Muntazam ko pyoqlar ta rifi…………………………………………..5ʻ ʼ
1.2 Muntazam ko‘pyoqlar tushunchasi…………………………………….8
1.3 Ularning xususiyatlari va ahamiyati……………………………………12
II.bob Muntazam ko‘pyoqlarning asosiy turlari
2.1 Tetraedr………………………………………………………………..15
2.2 Geksaedr (kub)…………………………………………………………20
2.3 Oktaedr………………………………………………………………….22
Xulosa......………………………………………………………………….24
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro'yxati... ……………………26
K I R I SH
2

"Yoshlarimizni mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellectual va ma'naviy
salohiyatga ega bo'lib, dunyo miqyosida o‘z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo'sh
kelmaydigan insonlar bo'lib kamol topishi, baxtli bo'lishi uchun davlatimiz va
jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz".
(Sh.M.Mirziyoyev)
Kurs ishining dolzarbligi:
Muntazam ko‘pyoqlar – bu barcha yoqlari teng va muntazam
ko‘pburchaklardan tashkil topgan uch o‘lchovli jismlardir. Ular geometriyada muhim
o‘rin tutadi va qadimdan olimlar tomonidan o‘rganilgan. Muntazam ko‘pyoqlarning
asosiy xususiyatlari shundaki, ularning barcha qirralari teng uzunlikda bo‘ladi,
burchaklari bir xil va yoqlari o‘zaro bir xil shaklga ega bo‘ladi. Bunday jismlar
qadimgi yunon matematiklari, ayniqsa, Platon tomonidan chuqur o‘rganilgan bo‘lib,
ularning bor-yo‘g‘I beshta turi mavjudligi isbotlangan. Ushbu beshta muntazam
ko‘pyoq Platonik jismlar deb ataladi: tetraedr, kub (geksaedr), oktaedr, dodekaedr va
ikosaedr.
Ular tabiatda, kristall tuzilmalarda, molekulyar strukturalarda va hatto
astronomiyada uchraydi.
Muntazam ko‘pyoqlar geometriyaning muhim sohasi bo‘lib, ularni o‘rganish
fazoviy shakllarni tushunish davomida amaliy masalalarni yechishda katta
ahamiyatga ega.
Muntazam ko pyoqlar, har bir yog i muntazam ko pburchak bo lgan va har birʻ ʻ ʻ ʻ
uchida bir xil sondagi yog lar tutashgan uch o lchovli shakllardir. Ular qadimdan
ʻ ʻ
matematiklar va san atkorlarni o ziga jalb qilib kelgan, chunki ular simmetriya va
ʼ ʻ
go zallikning ajoyib namunasidir.
ʻ
3

Muntazam ko pyoqlar nafaqat matematik ob ektlar, balki ular tabiatda hamʻ ʼ
uchraydi. Masalan, viruslar, minerallar va hatto ba zi dengiz organizmlari ham
ʼ
muntazam ko pyoq shakliga ega.
ʻ
Bundan tashqari, ular san at, arxitektura va dizaynda ham keng qo llaniladi.
ʼ ʻ
Muntazam ko pyoqlarni o rganish geometriya, algebra va kombinatorika kabi turli
ʻ ʻ
matematik sohalar bilan bog liq. Ularni o rganish orqali biz simmetriya, fazoviy
ʻ ʻ
tasavvur va matematik isbotlash kabi muhim tushunchalarni o rganamiz.
ʻ
Kurs ishining maqsadi : Talabalarga geometriyani o‘qitishning an’anaviy va
zamonaviy metodlari haqida umumiy ma’lumotlar berish hamda ularning amaliy
qo‘llanilishini o‘rgatish tushuntirish, Ular yordamida dastur tuzish va uni o‘qiy
olishni o‘rgatish orqali talabalarning geometriya fanlariga qiziqishini yanada
oshirish.
Kurs ishining vazifasi:
Bo‘lajak geometriya o‘qituvchilarini an’anaviy ta’lim metodi bo‘yicha tayyorlash
tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini o‘rganish va tahlil qilish, talabalarga
turli loyihalarni tasvirlashdagi o‘ziga xos xususiyatlar va ularning turlari haqida
tushunchalar berish va takomillashtirish, talabalarning mavzu yuzasidan bilim,
ko‘nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat ta’lim
yo‘nalishidagi talabalarga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti : Bo‘lajak muhandislarni tayyorlash bo‘yicha tahsil
olayotgan talabalarning geometriya va muhandislik ilmini egallash jarayonidagi
ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi : Kurs ishi kirish qismi, ikki bob, to‘rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
4

I.bob Muntazam ko‘pyoqlar ta'rifi va xususiyatlari
1.1 Muntazam ko pyoqlar ta rifiʻ ʼ
Muntazam ko pyoq – hamma yoklari muntazam teng ko pburchaklar va
ʻ ʻ
hamma ko pyokli burchaklari teng bo lgan qavariq ko pyoq.
ʻ ʻ ʻ
Muntazam ko pyoqning har bir uchidan chiquvchi qirralari soni bir xil.
ʻ
Yevklid Muntazam ko pyoqning faqat 5 turi bor ekanini isbot etgan: muntazam
ʻ
tetraedr, kub, muntazam oktaedr, muntazam dodekaedr, muntazami kosaedr.
Muntazam ko pyoqlarning har birini kubni tekisliklar bilan kesish orqali hosil
ʻ
qilinadi. Muntazam tetraedrdan boshqa hamma Muntazam ko pyoqlarning
ʻ
simmetriya markazi bor.
Har qanday Muntazam ko pyoqqa tashqi yoki ichki sfera chizish mumkin.
ʻ
Sirti chekli miqdordagi yassi tekisliklardan iborat jism ko`pyoq deyiladi. Agar
ko`pyoqning o`zi uning sirtidagi har bir ko`pburchak tekisligining bir tomonida
yotsa, bunday ko`pyoq qavariq ko`pyoq deyiladi.
Qavariq ko`pyoqning sirti bilan bunday tekislikning umumiy qismi yo‘q
deyiladi. Qavariq ko`pyoqning yoqlari qavariq ko`pburchaklardan iborat.
Ko`pyoq yoqlarinig tomonlari uning qirralari, uchlari esa ko`pyoqning uchlari
deyiladi. Bu ta’rifni bizga tanish kub misolida tushuntiraman.
Kub qavariq ko`pyoqdir. Uning sirti oltita kvadratdan tashkil topgan: ABCD,
BEFC, … . Bu kvadratlar kubning yoqlaridir. Bu kvadratlarning AB, BC, BE…
tomonlari kubning qirralari bo`ladi. Kvadratning A,B,C,D,E,… uchlari kubning
uchlari bo‘ladi.
Kubda oltita yoq, o`n ikkita qirra va sakkizta uch bor. Agar qavariq ko’pyoq
yoqlarining tomonlari soni bir xil bo’lgan muntazam ko’pburchakdan iborat bo’lsa va
shu bilan birga ko’pyoqning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralar uchrashsa,
bunday qavariq ko’pyoq muntazam ko‘pyoq deyiladi.
5

Muntazam qavariq ko’pyoqlarning beshta turi bor. Muntazam tetraedrning
yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat; xar bir uchida uchtadan qirra birlashadi.
Tetraedr hamma qirralari teng bo‘lgan uchburchakli piramidadan iborat.
Kubning hammayoqlari kvadratlardan iborat xar bir uchida uchta qirra
birlashadi. Kub qirralari teng bo’lgan to’g’ri burchakli parallelipipeddir. Oktaedrning
yoqlari muntazam uchburchaklar bo’lib, tetraedrdan farqi shundaki, uning xar bir
uchida to’rttadan qirra birlashadi.
Dodekaedrning yoqlari muntazam beshburchaklardan iborat. Uning xar bir
uchida uchtadan qirra birlashadi. Ikosaedrning yoqlari muntazam uchburchaklardan
iborat bo‘lib, tetraedr va oktaedrdan farqi shundaki, uning xar bir uchida beshtadan
qirra birlashadi.
Parallel ko`chirish bilan ustma-ust tushuvchi ikkita yassi ko`pburchakdan va
ko`pburchaklarning mos nuqtalarini tutashtiruvchi hamma kesmalardan iborat
ko`pyoq prizma deyiladi.
Ko`pburchaklar prizmaning asoslari deyiladi, mos uchlarini tutashtiruvchi
kesmalar esa prizmaning qirralari deyiladi. Prizmaning yon qirralari asoslariga
perpendicular bo`lsa, u to`g`ri prizma deyiladi, Aks xolda, og‘ma prizma deyiladi.
To‘g‘ri prizmaning asoslari muntazam ko‘pburchak bo‘lsa, u Muntazam
prizma deyiladi. Prizmaning asosi parallelogram bo`lsa, bunday prizma
parallelopiped deyiladi.
Parallelopipedning hammayoqlari parallelogrammdir. Ushbu rasmda to`g`ri
parallelepiped tasvirlangan. Parallelopipedning umumiy uchlarga ega bo`lmagan
yoqlari qarama-qarshi yoqlar deyiladi. Asosi to`g`ri to`rtburchakdan iborat to`g`ri
parallelepiped to`g`riburchakli parallelepiped deyildi.
Hamma qirralari teng bo`lgan to`g`ri parallelepiped kub deyiladi. Piramida deb
shunday ko`pyoqqa aytiladiki, u tekis ko`pburchak- piramida asosidan, asos
6

tekisligida yotmagan nuqta-piramida uchidan va uchni asosining nuqtalari bilan
tutashtiruvchi hamma to`g`ri chiziqlardan iborat.
Piramidaning uchini asosining uchlari bilan tutashtiruvchi kesmalar
piramidaning yon qirralari deyiladi. Piramidaning asosi muntazam ko‘pburchak va
balandligining asosi shu ko‘purchakning markazi bilan ustma-ust tushsa bunday
piramida muntazam piramida deyiladi.
Muntazam piramidaning balandligi yotgan to’g’ri chiziq uning o‘qi deyiladi.
Muntazam piramida yon yog‘ining uchidan o‘tkazilgan balandligi apofema deyiladi.
Piramida yon yoqlari yuzlarining yig‘indisi uning yon sirti deyiladi. Muntazam
piramidaning yon sirti asosi perimetrining yarmi bilan apofemasining ko`paytmasiga
teng.
7

1.2 Muntazam ko‘pyoqlar tushunchasi
Hamma yoqlari tеng muntazam ko‘pburchaklardan tashkil tоpgan ko‘pyoqlarni
muntazam ko‘pyoqlar dеyiladi. Ko‘pyoqlarning uchlari - U, yoqlari - Yo, qirralari -
Q оrasidagi bоg‘lanishni quyidagi Eylеr tеоrеmasi ifоdalaydi.
Tеоrеma. Muntazam ko‘pyoq uchun quyidagi munоsabat o‘rinli:
U + Yo – Q = 2
Bunga muntazam ko‘pyoq uchun Eylеr хaraktеristikasi dеyiladi. (Eylеr
хaraktеristikasi 2 ga tеng). Biz bu tеоrеma isbоtini хususiy hоlda muntazam
ko‘pyoqlarda ko‘ramiz. Muntazam ko‘pyoqlarning 5 ta turi mavjud. Bular: tеtraedr,
kub, оktaedr, ikоsaedr, dоdеkaedr. Muntazam tеtraedrning yoqlari muntazam
uchburchaklardan ibоrat bo‘lib, har bir uchida uchtadan qirra birlashadi.
Tеtraedr hamma qirralari tеng bo‘lgan uchburchakli piramidadan ibоrat. U 4 ta
yoq, 6 ta qirra, 4 ta uchga ega.
Kubning hamma yoqlari kvadratlardan ibоrat, har bir uchida uchta qirra
birlashadi. Kub qirralari tеng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli parallеlopipеd. U 6 ta yoq, 12
ta qirra, 8 ta uchga ega.
Оktaedrning yoqlari muntazam uchburchaklar bo‘lib, tеtraedrdan farqi
shundaki, uning har bir uchida to‘rtta qirra birlashadi. U 8 ta yoq, 12 ta qirra, 6 ta
uchga ega.
Dоdеkaedrning yoqlari muntazam bеsh burchaklardan ibоrat. Uning har bir
uchida uchtadan qirra birlashadi.
Muntazam ko pyoqlar, har bir yog i muntazam ko pburchak bo lgan va har birʻ ʻ ʻ ʻ
uchida bir xil sondagi yog lar tutashgan uch o lchovli shakllardir.
ʻ ʻ
Ular qadimdan matematiklar va san atkorlarni o ziga jalb qilib kelgan, chunki
ʼ ʻ
ular simmetriya va go zallikning ajoyib namunasidir. Muntazam ko pyoqlarning
ʻ ʻ
xususiyatlari: Yog lari: Muntazam ko pburchaklar (masalan, uchburchaklar,
ʻ ʻ
kvadratlar, besh burchaklar). Uchlari: Har bir uchida bir xil sondagi yog lar tutashadi.
ʻ
8

Qirralari: Har bir qirra ikki yog ning kesishishidan hosil bo ladi. Simmetriya:ʻ ʻ
Muntazam ko pyoqlar yuqori darajadagi simmetriyaga ega.
ʻ
Muntazam ko pyoqlarning turlari Evklid fazosida faqat beshta muntazam
ʻ
ko pyoq mavjud. Tetraedr: To rtta uchburchak yog ga ega. Kub (geksaedr): Oltita
ʻ ʻ ʻ
kvadrat yog ga ega.
ʻ
Oktaedr: Sakkizta uchburchak yog ga ega. Dodekaedr: O n ikkita besh
ʻ ʻ
burchak yog .
ʻ
Ikosaedr: Yigirma uchburchak yog ga ega. Muntazam ko pyoqlarning
ʻ ʻ
ahamiyati. Muntazam ko pyoqlar nafaqat matematik ob yektlar, balki ular tabiatda
ʻ ʼ
ham uchraydi.
Masalan, viruslar, minerallar va hatto ba zi dengiz organizmlari ham
ʼ
muntazam ko pyoq shakliga ega. Bundan tashqari, ular san at, arxitektura va
ʻ ʼ
dizaynda ham keng qo llaniladi.
ʻ
Muntazam ko pyoqlarni o rganish Muntazam ko pyoqlarni o rganish
ʻ ʻ ʻ ʻ
geometriya, algebra va kombinatorika kabi turli matematik sohalar bilan bog liq.
ʻ
Ularni o rganish orqali biz simmetriya, fazoviy tasavvur va matematik isbotlash kabi
ʻ
muhim tushunchalarni o rganamiz.
ʻ
Muntazam ko pyoqlar ko pincha "Platon jismlari" deb ham ataladi, chunki
ʻ ʻ
qadimgi yunon faylasufi Platon ularni o rganishga katta e tibor bergan.
ʻ ʼ
Muntazam ko pyoqlarning har birini kubni tekisliklar bilan kesish orqali hosil
ʻ
qilinadi. Muntazam tetraedrdan boshqa hamma Muntazam ko pyoqlarning
ʻ
simmetriya markazi bor.
Har qanday Muntazam ko pyoqka tashqi yoki ichki sfera chizish mumkin.
ʻ
Platon jismlarini maktab geometriya kursida muntazam ko‘pyoqlar deb tanishtiriladi.
Muntazam ko‘pyoq bu – yoqlari muntazam ko‘pburchaklardan tashkil topgan,
ya’ni, tomonlari va burchaklari teng kattalikda bo‘lgan uch o‘lchamli geometric
ob’yektdir.
9

Platon jismining har bir cho‘qqisidan bir xil sondagi qirralar chiqib keladi.
Platon jismlari ichida eng taniqlisi va soddasi bu – kub bo‘lib, uning hamma 6 ta
yog‘i bir xil o‘lchamdagi kvadratlardan tashkil topgan bo‘ladi.
Qadimgi yunonlar geometriyani juda yaxshi rivojlantirishgan edi. Umuman
olganda atiga 6 xil platon jismlari yasash mumkinligini ham eramizdan avvalgi
Yunoniston matematiklari allaqachon isbotlab qo‘yishgan.
Bu olti xil muntazam ko‘pyoqlar quyidagilardir: kub, tetraedr, oktaedr,
dodekaedr, hamda, ikosaedr. Masalan, ikosaedr yoqlari 20 ta muntazam
uchburchaklardan iborat bo‘ladi.
Taxminan, eramizdan avvalgi 428-348 yillarda yashab o‘tgan yunon olimi
Platon o‘zining «Timey» nomli asarida ushbu muntazam ko‘pyoqlardan beshtasining
yasalishi haqida batafsil to‘xtalgan.
Platon ushbu jismlarning simmetriyasi hamda, matematik jozibasiga lol qolish
bilan birga, ushbu shakllar Koinotni tashkil qiluvchi to‘rt asosiy unsurlarning
mohiyat shamoyilini ham belgilaydi deb hisoblagan.
Xususan, olov tetraedr shaklidagi zarralardan tashkil topadi deb o‘ylagan
bo‘lsa, havoni u oktaedr ko‘rinishidagi zarralardan iborat deb hisoblagan. Suv esa,
platon jismlari orasida eng «silliqrog‘i» bo‘lgani kosaedrlardan tashkil topgan deb
qabul qilingan.
Yerni, ya’ni, tuproqni esa Platon eng mustahkam va barqaror ko‘pyoq –
kublardan tuzilgan deb ta’kidlagan. Beshinchi shakl – dodakaedr samo bo‘ylab
yulduzlarning joylashtirilishida ahamiyat kasb etgan deb ishonilgan.
Samoslik Pifagor taxminan eramizdan 550 yil muqaddam, ya’ni, Budda va
Konfutsiy zamonasida yashab o‘tgan bo‘lib, uning asarlarida ushbu muntazam
ko‘pyoqlardan uchtasi – kub, tetraedr va dodakaedr haqida qayd etiladi.
Lekin, platon jismlarini toshdan yo‘nib yasashga bo‘lgan urinishlar Platondan
ming yillab avval, so‘nggi neolit davrida yashagan.
10

Geometriya-geometrik figuralarning xossalari haqidagi fandir. “Geometriya“
so‘zi grekcha so‘z bo‘lib, o‘zbekcha “yerni o‘lchash” degan ma’noni bildiradi.
Geometriya amalda keng qo‘llaniladi.
Bu fanni ishchi ham, injener (muhandis) ham, arxitektor ham, rassom ham
bilishi kerak. Bir so‘z bilan aytganda, geometriyani hamma bilishi kerak.
Maktabda o‘rganiladigan geometriya matematikadan “Negizlar” degan ajoyib
asar yaratgan qadimgi grek olimi Evkled nomi bilan Evkled geometriyasi deb ataladi.
Uzoq vaqtlar davomida geometriya shu kitob bo‘yicha o‘qitilgan. Geometriya ikki
bo‘limdan iborat bo‘lib, planimetriya va stereometriya bo‘limlaridir.
11

1.3 Ularning xususiyatlari va ahamiyati
Muntazam ko pyoqlar va ko pyoqlar o rtasidagi farqni tushunish uchun avvaloʻ ʻ ʻ
har bir tushunchaning ta‘rifiga e tibor qaratish lozim.
ʼ
Ko pyoqlar – bu tekis ko pburchaklar bilan chegaralangan uch o lchovli
ʻ ʻ ʻ
geometrik shakllardir.
Ular yog lar, qirralar va uchlarga ega. Ko pyoqlarning shakli va tuzilishi juda
ʻ ʻ
xilma-xil bo lishi mumkin.
ʻ
Masalan, piramidalar, prizmalar va boshqa ko plab shakllar ko pyoqlarga
ʻ ʻ
kiradi. Muntazam ko pyoqlar – bu ko pyoqlarning maxsus turidir.
ʻ ʻ
Ular quyidagi xususiyatlarga ega. Barcha yog lari muntazam ko pburchaklar:
ʻ ʻ
Bu degani har bir yog bir xil shaklga va o lchamga ega muntazam ko pburchakdir
ʻ ʻ ʻ
(masalan, teng tomonli uchburchak, kvadrat, muntazam beshburchak).
Har bir uchida bir xil sondagi yog lar tutashadi: Bu degani har bir uchida bir
ʻ
xil sondagi yog lar bir-biriga qo shiladi.
ʻ ʻ
Muntazam ko pyoqlarning xususiyatlari Yuqori darajadagi simmetriya: Ular
ʻ
har tomondan bir xil ko rinishga ega. Cheklangan son: Evklid fazosida faqat beshta
ʻ
muntazam ko pyoq mavjud: tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr va ikosaedr.
ʻ
Muntazam ko pyoqlarning ahamiyati: Matematika: Muntazam ko pyoqlar
ʻ ʻ
geometriya va simmetriya nazariyasida muhim rol o ynaydi. Ular tabiatda, masalan,
ʻ
viruslar va minerallarning tuzilishida uchraydi. San at va arxitektura:
ʼ
Ular san at asarlarida va arxitektura tuzilmalarida estetik maqsadlarda
ʼ
qo llaniladi. Ko pyoqlar – bu kengroq tushuncha bo lib, u turli xil shakllarni o z
ʻ ʻ ʻ ʻ
ichiga oladi, muntazam ko pyoqlar esa ko pyoqlarning maxsus turi bo lib, ular
ʻ ʻ ʻ
yuqori darajadagi simmetriya va muntazamlikka ega.
Muntazam ko pyoqlar ko pyoqlarning maxsus toifasidir. Ular yuqori
ʻ ʻ
darajadagi simmetriya va go zallikka ega bo lib, matematika, tabiat va san atda
ʻ ʻ ʼ
muhim ahamiyatga ega. “Qavariq ko’pburchak ichki va tashqi burchaklarining
12

yigindisi” mavzusini o’tishda darslikda belgilanganidek dastlab mashqni barcha
o’quvchilar individual tarzda bajaradilar.
So’ngra darslik matni 3 ta qismga ajratilganligiga e’tiborni qaratib, sinf
o‘quvchilarini 3 guruhga ajratib “Bumerang” usulida topshiriqlarni guruhlarga bo‘lib
berish lozim.
Belgilangan vaqtdan so’ng guruhlar tartib raqamiga qarab o’zlariga yuklatilgan
topshiriqni taqdim etadilar. Bu jarayonda o‘qituvchi kuzatuvchi sifatida ishtirok etadi
va o‘quvchilar yo’l qo’ygan xato va kamchiliklarni tuzatib, to‘ldirib boradi.
Ushbu ishga guruhlarni jalb qilish masalasiga to’xtaladigan bo’lsak, birinchi
guruhga bilimlari bir oz sayozroq bo’lgan o’quvchilarni jamlash mumkin, chunki
birinchi topshiriq qolgan 2 ta topshiriqqa nisbatan o’zlashtirilishi yengil bo’lib, unda
qavariq burchak, burchakning ichki va tashqi sohasi, hamda ko’pburchakning ichki
burchagining tarafini keltiradilar va bu borada tushunchalar beradilar.
Ikkinchi guruh a’zolari qavariq burchakning ichki burchaklarining yig’indisi,
uchinchi guruh esa tashqi burchaklarining yig’indisi haqidagi teoremalarni isbotlab
beradilar.
Mavzuni o’rganishni bunday innovatsion usulda tashkil etish orqali
birinchidan o’quvchida mustaqil o’qib-o’rganish ko’nikmasi shakllantirilsa,
ikkinchidan u darslik bilan ishlashni o’rganadi va uning matemtik nutqi, fikrlash
madaniyati shakllanib boradi.
Mavzuning nazariy qismi shu tariqa hamkorlikda o’rganish maqsadga muvofiq
bo’ladi. Mavzuni mustahkamlash uchun masalalar yechiladi.
Hamma tomonlari teng va hamma burchaklari teng bo’lgan qavariq
ko`pburchak muntazam ko’pburchak deyiladi.
Hamma uchlari biror aylanada yotgan ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan
ko’pburchak deyiladi. Hamma tomonlari biror aylanaga uringan ko’pburchak
13

aylanaga tashqi chizilgan ko’pburchak deyiladi. Muntazam qavariq ko’pburchak
aylanaga ichki chizilgan bo’lishi va aylanaga tashqi chizilgan bo’lishi mumkin.
Muntazam ko’pyoqlining hamma qirralari va hamma ko’pyoqli burchaklari
hamda tekis burchaklari o’zaro teng bo’ladi.
Agar qavariq ko’pyoqlining tomonlari soni bir xil bo’lgan muntazam
ko’pburchakdan iborat bo’lsa va shu bilan birga ko’pyoqning har bir uchida bir xil
miqdordagi qirralar uchrashsa bunday qavariq ko’pyoq muntazam ko’pyoq deyiladi.
Ko pyoqlik – tekis ko pburchaklar bilan chegaralangan geometrik jism. Buʻ ʻ
tekis ko pburchaklar ko‘pyoqlari, ko pburchak tomonlari ko‘pyoqlarning qirralari,
ʻ ʻ
ko pburchak uchlari esa ko‘pyoqlarning uchlari deyiladi. Ko‘pyoqlarning yoqlari
ʻ
ko pyoqli sirt hosil qiladi. Odatda, tasvirlangan jismlarga o xshash jismlar Ko‘pyoq
ʻ ʻ
qatoridan chiqarib tashlanadi.
Shuning uchun Ko’pyoqni ta riflashda ko pyoqli sirtga (yoqqa) quyidagicha
ʼ ʻ
cheklash qo yiladi: 1) har bir qirra ikki va faqat ikki yoq uchun umumiy bo lsin
ʻ ʻ
(bunday yoklar qo shni deb ataladi); 2) har bir ikki yoqni ketma-ket qo shni yoqlar
ʻ ʻ
zanjiri bilan tutashtirish mumkin bo lsin; 3) har bir uch uchun yoqlarning shu uchga
ʻ
tegishli burchaklari biror bir ko p yokli burchakni chegaralasin.
ʻ
14

II.bob Muntazam ko‘pyoqlarning asosiy turlari
2.1 Tetraedr
Tetraedr (qadimgi yunoncha: - tetra va - hedra — yoq, asos) — uchburchakli
piramida. Tetraedrning yoqlari muntazam uchburchaklardan iborat bo lsa, uʻ
muntazam Tetraedr deyiladi.
Muntazam Tetraedr — muntazam ko pyoklarning 5 ta turidan biri; uning 4 ta
ʻ
(uchburchakli) yoqlari, 4 ta uchi va 6 ta qirrasi bor.
Muntazam Tetraedr qolgan 4 ta muntazam ko pyoqlilardan farqli ravishda
ʻ
simmetriya markaziga ega bo lmaydi.
ʻ
MuntazamTetraedrning 6 ta simmetriya tekisligi bo lib, bu tekisliklarning har
ʻ
biri Tetraedrning bir qirrasi va bu qirra bilan uchrashmaydigan qirrasining o rtasidan
ʻ
o tadi.
ʻ
Tetraedr – bu piramidaning alohida holati, ya'ni uning barcha yuzlari
uchburchaklar, shu jumladan piramidaning asosi.
Barcha piramidalar singari, tetraedr ham ko'pburchakdir – tekis yuzlari va tekis
qirralari bo'lgan uch o'lchovli geometric shakl. "Tetra" so'zi yunoncha bo'lib, to'rtta
degan ma'noni anglatadi, chunki tetraedrning 4 ta yuzi bor
15

Yuqoridagi rasmdan ko'rinib turibdiki, tetraedr har doim uchburchak asosga
ega, tetraedrning to'rtta yuzidan istalgani, agar u muntazam bo'lsa, asos sifatida
belgilanishi mumkin.
Tetraedrning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan asos. Muntazam
tetraedr – bu to'rtta uchburchak yuzlari teng va barcha ichki burchaklari teng bo'lgan
tetraedrning maxsus holati.
Quyidagi rasmda teng yonli tetraedr ko'rsatilgan. Muntazam tetraedrning
barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lganligi sababli, tetraedrning barcha
ichki burchaklari oltmish gradus 60 ° ga teng bo'ladi va har qanday tepada
uchrashadigan yuzlarning burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng bo'ladi.
Simmetriya o'qlari muntazam tetraedralar bilan ishlaganda alohida ahamiyatga ega.
Muntazam tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markaziy qismi bilan
bog'laydigan simmetriya o'qi. Ta'rifga ko'ra, tetraedrning istalgan cho'qqisidan va shu
cho'qqiga qarama-qarshi yuzning markazidan o'tadigan chiziq mediana deb ataladi.
Shunday qilib, tetraedr to'rtta 4 medianaga ega.
Muntazam tetraedrning barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lganligi
sababli, tetraedrning barcha ichki burchaklari oltmish gradus 60 ° ga teng bo'ladi va
har qanday tepada uchrashadigan yuzlarning burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng
bo'ladi.
Simmetriya o'qlari muntazam tetraedralar bilan ishlaganda alohida ahamiyatga
ega.
16

Muntazam tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markaziy qismi bilan
bog'laydigan simmetriya o'qi.
Ta'rifga ko'ra, tetraedrning istalgan cho'qqisidan va shu cho'qqiga qarama-
qarshi yuzning markazidan o'tadigan chiziq mediana deb ataladi.
Shunday qilib, tetraedr to'rtta 4 medianaga ega. Tetraedr – bu piramidaning
alohida holati, ya'ni uning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan piramidaning
asosi.
Barcha piramidalar singari, tetraedr ham ko'pburchakdir – tekis yuzlari va tekis
qirralari bo'lgan uch o'lchovli geometric shakl.
"Tetra" so'zi yunoncha bo'lib, to'rtta degan ma'noni anglatadi, chunki
tetraedrning 4 ta yuzi bor. Yuqoridagi rasmdan ko'rinib turibdiki, tetraedr har doim
uchburchak asosga ega, tetraedrning to'rtta yuzidan istalgani, agar u muntazam bo'lsa,
asos sifatida belgilanishi mumkin.
Tetraedrning barcha yuzlari uchburchaklar, shu jumladan asos. Muntazam
tetraedr – bu to'rtta uchburchak yuzlari teng va barcha ichki burchaklari teng bo'lgan
tetraedrning maxsus holati.
Quyidagi rasmda teng yonli tetraedr ko'rsatilgan. Muntazam tetraedrning
barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lganligi sababli, tetraedrning barcha
ichki burchaklari oltmish gradus 60 ° ga teng bo'ladi va har qanday tepada
uchrashadigan yuzlarning burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng bo'ladi.
Simmetriya o'qlari muntazam tetraedralar bilan ishlaganda alohida ahamiyatga ega.
Muntazam tetraedrning uchini qarama-qarshi yuzning markaziy qismi bilan
bog'laydigan simmetriya o'qi.
Ta'rifga ko'ra, tetraedrning istalgan cho'qqisidan va shu cho'qqiga qarama-
qarshi yuzning markazidan o'tadigan chiziq mediana deb ataladi. Shunday qilib,
tetraedr to'rtta 4 medianaga ega.
Tetraedrning medianasi
17

Muntazam tetraedrda har bir mediana simmetriya o'qiga to'g'ri keladi.
Muntazam tetraedrning ikki qarama-qarshi tomonining o'rta nuqtasini bog'laydigan
simmetriya o'qini ko'rib chiqsak, xuddi shunday holat yuzaga keladi.
Tetraedrlarning turlari Yuzlarning joylashishiga va ular orasidagi burchaklarga
qarab, tetraedrlarning bir-necha turlari mavjud.
Teng tomonli tetraedr – bu tetraedr, uning barcha yuzlari teng tomonli
uchburchaklar va ular orasidagi barcha burchaklar 60 gradusga teng.
Tetraedr – bu tetraedr bo'lib, uning barcha yuzlari teng yonli uchburchaklardir,
ya'ni ularning ikkita teng tomoni bor, uchinchi tomoni esa har xil uzunlikda bo'lishi
mumkin.
To'g'ri tetraedr – bu tetraedr, uning uchta yuzi to'g'ri burchakli uchburchak,
to'rtinchi yuzi esa to'g'ri burchakli yoki teng tomonli uchburchak bo'lishi mumkin.
18

Noqonuniy tetraedr – bu tetraedr bo'lib, unda barcha yuzlar har xil o'lcham va
shaklga ega.
Bundan tashqari, matematikada kengaygan tetraedr tushunchasi mavjud bo'lib,
u muntazam tetraedr va uning yuzlarini tasvirlaydigan shardan iborat.
Kengaytirilgan tetraedr bir nechta qiziqarli xususiyatlarga ega va fanning turli
sohalarida qo'llaniladi. Muntazam tetraedr to'rtta teng qirrali uchburchakdan iborat.
Uning har birc ho'qqisi uchta uchburchakning cho'qqisidir.
Demak, har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.
Tetraedrning simmetriya markazi yo'q, lekin 3 simmetriya o'qi va 6 simmetriya
tekisligiga ega. Shuni ta'kidlash kerakki, juda kamdan-kam hollarda muntazam
uchburchaklardan iborat bo'lmagan geometric jismlar mavjud.
19

2.2 Geksaedr (kub)
Geksaedr – bu olti yoqlik, ya'ni olti qirrali uch o'lchamli shakl. Eng mashhur
geoksaedr – kub bo‘lib, uning 6 ta teng kvadrat yuzasi, 12 ta qirrasi va 8 ta uchi bor.
Geksaedrlar faqat kub bilan cheklanmaydi, balki notekis olti yoqliklar ham bo‘lishi
mumkin. Lekin agar barcha qirralari va burchaklari teng bo‘lsa, u muntazam
geoksaedr (ya’ni kub) hisoblanadi.
Matematikada va geometriyada geoksaedr ko‘p uchraydi, ayniqsa, uch
o‘lchovli jismlarni o‘rganishda. Fanda, muhandislikda va hatto kompyuter
grafikalarida ham uning ko‘plab qo‘llanilishlari bor.
Kub (qadimgi yunoncha: – Kubos) (matematikada) – muntazam olti yoqlik.
Kub 6 yoq, 12 qirra, 8 uchga ega. Kub yoqlari kvadratlardan iborat bo lib, har qaysiʻ
uchida o zaro perpendikulyar uchtadan qirra birlashadi.
ʻ
Kub simmetriya markazi, 9 tadan simmetriya o qi va simmetriya tekisligiga
ʻ
ega. Qirrasi a bo lsa, Kubning sirti S=6a², hajmi V=a³ga teng; Kubning barcha
ʻ
qirralarining yig indisi L=12a bo ladi. Kub – bir xi lo'lchamlarga ega bo'lgan uch
ʻ ʻ
o'lchamli figura.
Uning uzunligi, kengligi va balandligi bir xil bo'lib, har bir chekka boshqa
qirralar bilan bir xil burchak ostida uchrashadi. Kubning sirt maydonini toppish tez
va oson, chunki u mos yoki mutanosib kvadratlardan iborat.
Kub eng oddiy uch o'lchamli shakllardan biridir.
Har bir inson muzkublari, kvadrat qutilar yoki tuz kristallari bilan tanish –
bularning barchasi shunday figuralar. Kubning sirt maydoni umumiy maydoni uning
yuzasida barcha tomonlar.
Uning oltita yuzining hammasi mutanosib dir, shuning uchun ulardan birining
uzunligini bilib, har qanday raqamning lateral maydoni va sirt maydonini hisoblash
mumkin.
20

Kub – bu muntazam geometric figura, uning barcha yuzlari bir tomon uzunligi
bilan teng kvadratlardir a (bu ham kubning chetidir). Har bir yuzning maydoni
quyidagicha hisoblanadi: S = a ⋅ a = a2. Hammasi bo'lib kubning 6 ta yuzi bor, ya'ni
uning sirt maydoni bitta yuzning olti maydoniga teng: S = 6 ⋅ a2.
21

2.3 Oktaedr
Oktaedr( yunoncha: oktaedr , yunoncha okt , "sakkiz" va yunoncha tha ,
"tayanch" dan) - sakkiz yuzli ko'pburchak .
Muntazam oktaedr – platonic qattiq jismlar deb ataladigan beshta qavariq
muntazam ko'pburchaklardan biri Muntazam oktaedrning yuzlari sakkizta muntazam
uchburchakdir .
Muntazam oktaedr kub bilan dualdir. Bu tetraedrning to'liq kesilishi .
Muntazam oktaedr uchta orthogonal yo'nalishning har birida kvadrat bipiramidadir .
Bundan tashqari, to'rtta yo'nalishning har birida uchburchak antiprizma
hisoblanadi .
Oktaedr – bu giperoktaedr haqidagi umumiy tushunchaning uch o'lchovli
versiyasi .
22

Muntazam oktaedr Manxetten metrikasidagi uch o'lchovli shardir . Muntazam
oktaedr – bu barcha yuzalari teng tomonli uchburchaklardan iborat bo‘lgan va barcha
qirrasi teng bo‘lgan ko‘pburchak (polisimon) jismdir.
U Platon jismlaridan biri bo‘lib, quyidagi xususiyatlarga ega Yuzalar soni: 8
ta teng tomonli uchburchak Qirralar soni: 12 ta Burchaklar soni: 6 ta Har bir
burchakda uchta uchburchak uchrashadi. Simmetrik tuzilishga ega – har qanday
markaziy kesim kvadrat shaklida bo‘ladi.
Kub bilan bog‘liq – agar kubning burchaklarini kesib tashlasak, ichida
muntazam oktaedr hosil bo‘ladi. Dual shakli kub – ya’ni, agar kubning markazlarini
birlashtirsak, natijada muntazam oktaedr hosil bo‘ladi.
Matematikada va kristallografiyada ko‘p qo‘llaniladi. Masalan, ayrim kristallar
(masalan, olmos) oktaedrik shaklda bo‘lishi mumkin.
23

XULOSA
Muntazam ko pyoqlar – barcha yuzalari bir-xil muntazam ko‘pburchaklardanʻ
tashkil topgan va burchaklari bir xil bo‘lgan uch o‘lchamli jismlar. Ular Platon
jismlari deb ham ataladi va faqat besh xil bo‘lishi mumkin.
Tetraedr – 4 ta teng tomonli uchburchak yuzaga ega. Kub (Geksaedr) – 6 ta
kvadrat yuzaga ega. Oktaedr – 8 ta teng tomonli uchburchak yuzaga ega. Dodekaedr
– 12 ta muntazam beshburchak yuzaga ega.
Ikosaedr – 20 ta teng tomonli uchburchak yuzagaega. Muntazam ko pyoqlar faqat
ʻ
beshta bo‘lishi mumkin, chunki faqat shu shakllarda burchaklar va yuzalar uyg‘un
joylashadi.
Platon jismlari maktab geometriya kursida muntazam ko pyoqlar deb tanishtiriladi.
ʻ
Muntazam ko pyoq bu – yoqlari muntazam ko pburchaklardan tashkil topgan, ya ni
ʻ ʻ ʼ
tomonlari va burchaklari teng kattalikda bo lgan, uch o lchamli geometrik ob’yekt.
ʻ ʻ
Platon jismining har bir cho qqisidan bir xil sondagi qirralar chiqib keladi. Platon
ʻ
jismlari ichida eng taniqlisi va soddasi bu – kub bo lib, uning hamma 6 ta yog i bir
ʻ ʻ
xil o lchamdagi kvadratlardan tashkil topgan bo ladi.
ʻ ʻ
Qadimgi yunonlar geometriyani juda yaxshi rivojlantirgan edi. Umuman olganda,
atiga 6 xil Platon jismlarini yasash mumkinligini ham eramizdan avval Yunoniston
matematiklari allaqachon isbotlab qo ygan.
ʻ
Bu olti xil muntazam ko pyoqlar quyidagilardir: kub, tetraedr, oktaedr, dodekaedr
ʻ
hamda ikosaedr. Masalan, ikosaedr yoqlari 20 ta uchburchakdan iborat bo ladi.
ʻ
Taxminan eramizdan avvalgi 428—348-yillarda yashab o tgan yunon olimi Platon
ʻ
o zining “Timey” nomli asarida ushbu muntazam ko pyoqlardan beshtasining
ʻ ʻ
yasalishi haqida batafsil to xtalgan.
ʻ
Platon ushbu jismlarning simmetriyasi hamda matematik jozibasiga lol qolish
bilan birga, ushbu shakllar koinotni tashkil qiluvchi, to rt asosiy unsurlarning
ʻ
mohiyat shamoyilini ham belgilaydi deb hisoblagan.
24

Xususan, u olov tetraedr shaklidagi zarralardan tashkil topadi deb o ylagan bo lsa,ʻ ʻ
havoni oktaedr ko rinishidagi zarralardan iborat deb hisoblagan.
ʻ
Suv esa Platon jismlari orasida eng “silliqrog i” bo lgan — ikosaedrlardan tashkil
ʻ ʻ
topgan deb qabul qilingan.
Yerni, ya ni tuproqni esa Platon eng mustahkam va barqaror ko pyoq – kublardan
ʼ ʻ
tuzilgan deb ta kidlagan. Beshinchi shakl – dodakaedr samo bo ylab yulduzlarning
ʼ ʻ
joylashtirilishida ahamiyat kasb etgan deb ishonilgan.
25

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. "Nodir Geometriya" - Nikolay Lobachevsky
2."Matematikaning Asoslari" - Bertrand Russell va Alfred North Whi tehead
3. "Matematika haqida bir muhandisning uzrli so'zlari" - G.H. Hardy
4. "Matematik Tahlil" - Tom Apostol
5. "Chiziqli Algebra to'g'ri bajarilishi" - Sheldon Axler
6. "Hisoblash" - Michael Spivak
7. "Hisoblash nazariyasiga kirish" - Michael Sipser
8. "Ehtimollik nazariyasiga birinchi kurs" - Sheldon Ross
9. "Diskret Matematika va uning Ilovalari" - Kenneth H. Rosen
10. "Graf nazariyasiga kirish" - Douglas B. West
11. "Muammo yechish san'ati, I tom: Asoslar" - Sandor Lehoczkyva Richard
Rusczyk
12. "Matematik tahlilning asoslari" - Walter Rudin
13. "Algebra" - Israel M. Gelfand va Alexander Shen
14. "Topologiya" - James R. Munkres
15. "Haqiqiy tahlil: Zamonaviy usullar va ularning ilovalari" - Gerald B. Folland
16. "Sonlar nazariyasiga kirish" - G.H. Hardy va E.M. Wright
17. "Muhandislar uchun raqamli usullar" - Steven C. Chaprava Raymond P. Canale
18. "Ehtimollikni tushunish" - Dimitri P. Bertsekasva John N. Tsitsiklis
26

19. "Abstrakt Algebra" - David S. Dummitva Richard M. Foote
20. "Matematika: Uning mazmuni, usullari va ma'nosi" - A.D. Aleksandrov, A.N.
Kolmogorov va M.A. Lavrent'ev
21. "Princeton Matematika Hamrohi" - Timothy Gowers (tahrir)
22. "Statistik o'rganish elementlari" - Trevor Hastie, Robert Tibshiraniva Jerome
Friedman
23. "Tahlilni tushunish" - Stephen Abbott
24. "X ning quvonchi: Matematikadan bir yo'l xaritasi, birdan cheksizlikka qadar" -
Steven Strogatz
25. www.researchgate.net – Ilmiy maqolalar va tadqiqotlar ombori.
26. www.wikipedia.org – Ikkinchi tartibli chiziqlar klassifikatsiyasi
27. www.mathtutor.ac.uk – Matematika bo‘yicha darslik va video kurslar.
27

Muntazam ko‘pyoqlar

Sotib olish