Lobachevskiy geometriyasining turli modellari - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	25000UZS
Hajmi	284.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	28 Mart 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

Jo‘rayev Imomali

Ro'yxatga olish sanasi 25 Fevral 2025

6 Sotish

Lobachevskiy geometriyasining turli modellari

Sotib olish

1OZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TALIM FAN VA INOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
FAKULTETI SIRTQI BO`LIM FAKULTETI
MATEMATIKA O‘QITISH METODIKASI FANIDAN
Himoyaga tavsiya etilgan
Sirtqi (maxsus) bo‘lim
fakulteti dekani
______________X.Raufjon
"___"__________ 2025 yil
KURS ISHI
MAVZU: Lobachevskiy geometriyasining turli modellari
Himoyaga tavsiya etilsin :
Matematika va informatika kafedrasi mudiri:
PhD : S.Sattorov
"___"__________ 2025 yil O‘qituvchi: Bozorov.
Ilmiy rahbar:
"___"__________ 2025 yil 23-0 1 guruh talabasi Otaqulova.U
Talaba:
Termiz-2025

2
Mavzu: Lobachevskiy geometriyasining turli modellari
MUNDARIJA:
KIRISH.…………………………………………………………….3-4
I.bob Lobachevskiy geometriyasining tushunchalari
1.1 Lobachevskiy geometriyasining paydo bo‘lishi…….…………5-9
1.2 Evklid geometriyasidan farqi………………………………….10-12
1.3 Asosiy aksiyomalar……………………………………………13-17
II.bob Lobachevskiy geometriyasining asosiy modellari
2.1 Poincare diski modeli…………………………………………18-20
2.2 Cheksiz giperbolik tekislikni chegaralangan disk ichida tasvirlash….21-24
2.3 Geodeziklarning aylanalar yoylari yoki diametrlar orqali berilishi….25-27
Xulosa......……………………………………………………………… 28-30
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro'yxati... …………………31-33

3 K I R I SH
"Yoshlarimizni mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma'naviy
salohiyatga ega bo'lib, dunyo miqyosida oz tengdoshlariga hech qaysi sohada bo'sh
kelmaydigan insonlar bo'lib kamol topishi, baxtli bo'lishi uchun davlatimiz va
jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz"
(Sh.M.Mirziyoyev)
Kurs ishining dolzarbligi : Lobachevskiy geometriyasi (giperbolik geometriya)
Evklid geometriyasining muqobil varianti bo‘lib, parallel postulatning o‘rniga
quyidagi mulohazani qabul qiladi:"Tekislikdagi berilgan to‘g‘ri chiziq va uning
tashqarisidagi nuqta uchun shu nuqtadan o‘tuvchi va berilgan to‘g‘ri chiziqqa
parallel bo‘lgan kamida ikkita to‘g‘ri chiziq mavjud."Lobachevskiy
geometriyasining bir necha turli modellari mavjud bo‘lib, ularning barchasi bir xil
aksiyomalarga asoslangan, ammo turli matematik usullar yordamida
ifodalanadi.Poincare Disk Modeli Bu modelda giperbolik tekislik birlik doira
ichida joylashgan."To‘g‘ri chiziqlar" esa yoki doiraning chegarasiga tegib
o‘tmaydigan aylana yoylari yoki diametrlardir.Burchaklar oddiy Evklid
burchaklaridek o‘lchanadi.Ushbu model chizmalarda va vizual tasavvur qilishda
juda qo‘l keladi.Poincare Yarim Tekislik Modeli Bu modelda giperbolik tekislik
yuqori yarim tekislik (ya’ni, sohasidagi nuqtalar) bilan ifodalanadi."To‘g‘ri
chiziqlar" esa yoki oddiy to‘g‘ri chiziqlar (agar ular OX o‘qiga perpendikulyar
bo‘lsa) yoki yarim aylana shaklida bo‘ladi.Bu modelda masofa Poincare metrikasi
yordamida o‘lchanadi.Klein Modeli (Beltrami–Klein Modeli) Bu modelda
giperbolik tekislik cheklangan doira ichida ifodalanadi."To‘g‘ri chiziqlar" Evklid
nuqtayi nazaridan chordalar ko‘rinishida bo‘ladiLobachevskiy geometriyasining
bir necha modellari mavjud. Ularning har biri geometriani boshqacha tarzda

4ifodalaydi. Eng keng tarqalgan modellardan biri - Puankare diski modeli. Bu
modelda Lobachevskiy tekisligi doira ichki qismi sifatida tasvirlanadi. Bu
modeldagi chiziqlar doira chegarasi bilan tik burchak ostida kesishadigan aylana
yoylari bilan ifodalanadi.Yana bir model - giperboloid modeli. Bu modelda
Lobachevskiy tekisligi uch o'lchamli fazodagi giperboloid sifatida tasvirlanadi. Bu
modeldagi chiziqlar giperboloidning koordinatalar boshidan o'tuvchi tekisliklar
bilan kesishishi natijasida hosil bo'ladi.Lobachevskiy geometriyasining turli
modellari geometriya haqidagi theoremalarni isbotlash uchun qo'llanilishi mumkin.
Masalan, Puankare diski modeli Lobachevskiy geometriyasidagi uchburchakning
ichki burchaklari yig'indisi 180 gradusdan kam ekanligini isbotlash uchun
ishlatilishi mumkin.Lobachevskiy geometriyasi - matematikaning qiziqarli va
muhim sohasidir. U differensial geometriya, topologiya va kompleks analiz kabi
matematikaning boshqa sohalari bilan bog'liqdir. U fizikada, ayniqsa nisbiylik
nazariyasida qo'llanilishi mumkin.Qisqa qilib aytganda, Lobachevskiy
geometriyasining asosiy g'oyasi shundaki, Evklid geometriyasidan farqli o'laroq,
berilgan to'g'ri chiziq va unda yotmagan nuqta orqali unga parallel bo'lgan bir
emas, bir nechta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Bu noyob xususiyat uni Euclidean
geometriyasidan ajratib turadi va uning modellari orqali tasvirlash matematik
nafosat va chuqurlikni namoyon etadi.

5I.bob Lobachevskiy geometriyasining tushunchalari
1.1 Lobachevskiy geometriyasining paydo bo‘lishi
Lobachevskiy geometriyasi - Yevklid geometriyasining aksiomalar
sistemasidan faqat parallellik aksiomasi bilan farq qiladigan, aksiomalar
sistemasiga asoslangan geometrik nazariya. L.g.da Yevklidning parallellik
aksiomasi o rniga quyidagi aksioma qabul qilinadi: agar to g ri chiziq va undanʻ ʻ ʻ
tashqarida nuqta berilgan bo lsa, ularni o z ichiga olgan tekislikda shu nuqtadan
ʻ ʻ
o tuvchi, lekin berilgan to g ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to g ri
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
chiziq o tkazish mumkin.
ʻ
(1-rasm)
1 - Yevklid geometriyasi, 2 - RIman geometriyasi, 3 - Lobachevskiy geometriyasi
Labacheviskiyning manbai — Yevklidning "Negizlar" asarida ta riflangan
ʼ
beshinchi postulatni isbotlash uchun Ibn al-Haysam (10-asr), Umar Xayyom (12-
asr), Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa
matematiklar tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi postulatni
boshqa aksiomalar asosida isbotlab bo lmaydi, ya ni u mustaqil aksioma, degan
ʻ ʼ
fikr vujudga keldi. Agar beshinchi postulat aksioma sifatida qabul qilingan bo lsa,
ʻ
uning inkori ham boshqa aksi-omalarga zid bo lmasligi kerak. Yevklidning
ʻ
beshinchi postulati o rniga yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi
ʻ

6marta 1826-yilda N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif
qildi.Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari
L.g.da ham o rinli bo ladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa L.g.daʻ ʻ
o rinli bo lmaydi. L.g.da uchburchakning ichki burchaklari yig indisi 180° dan
ʻ ʻ ʻ
kichik.Labacheviskiyning mantiqiy ziddiyatsizligini birinchi marta italyan
matematigi E. Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik
chiziqlari to g ri chiziq deb qaralsa, hosil bo ladigan geometriya L.g. ekanligini
ʻ ʻ ʻ
ko rsatdi. Bu fakt L.g.ning Beltrami interpretatsiyasi (izohi) deyiladi. Keyinchalik
ʻ
F. Kleyn va A. Puankare ham L.g.ning boshqa interpretatsiyalarini berdilar.L.g. —
matematika, mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan birga
Labacheviskiyning yaratilishi moddiy olam haqidagi tasavvurimizni boyitdi.
Yevklid geometriyasi olamni to g ri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini
ʻ ʻ
ko rsatdi.
ʻ
B. Rimanning elliptik geometriyasidan farqlash uchun Labacheviskiy ba zan
ʼ
noyevklid giperbolik geometriya ham deyiladiYevklid geometriyasi — miloddan
avvalgi 3-asrda Yevklid izchil asoslagan geometriya. Parallellik aksiomasiga
(to g ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu to g ri chiziq bilan kesishmaydigan
ʻ ʻ ʻ ʻ
faqat bitta to g ri chiziq o tkazish mumkin, degan aksiomaga) hamda mutlaq
ʻ ʻ ʻ
geometriya aksiomalari sistemalari deb ataluvchi besh guruh (bog lanish, tartib,
ʻ
harakat, uzluksizlik, parallellikdan iborat) aksiomalarga asoslangan. Yevklid
geometriyasi aksiomalar sistemalari nuqta, to g ri chiziq, tekislik, harakat va nuqta,
ʻ ʻ
to g ri chiziq va tekislik orasidagi munosabatlarga tayanadi. Yevklid geometriyasi
ʻ ʻ
birinchi marta izchil ravishda Yevklid „negizlari“da bayon etilgan. Yevklid
geometriyasidan farqli geometriya birinchi marta rus geometri N. I. Lobachevskiy
yaratdi. Yevklid geometriyasi o rta maktabda o qitiladi va „elementar geometriya“
ʻ ʻ
deb ham ataladi.Lobachevskiy Nikolay Ivanovich (1-dekabr 1792-yil[2][3] — 24-

7fevral 1856-yil) — rus matematigi va geometriyachisi. Lobachevskiy geometriyasi,
Lobachevskiy integral formulasi bo yicha ishlari bilan tanilgan.Lobachevskiyʻ
geometriyasi – Yevklid geometriyasinpng aksiomalar sistemasidan faqat parallellik
aksiomasi bilan farq qiladigan, aksiomalar sistemasiga asoslangan geometrik
nazariya. L.g .da Yevklidning parallellik aksiomasi o rniga quyidagi aksioma
ʻ
qabul qilinadi: agar to g ri chiziq va undan tashqarida nuqta berilgan bo lsa, ularni
ʻ ʻ ʻ
o z ichiga olgan tekislikda shu nuqtadan o tuvchi, lekin berilgan to g ri chiziq
ʻ ʻ ʻ ʻ
bilan kesishmaydigan kamida ikkita to g ri chiziq o tkazish mumkin. Agar
ʻ ʻ ʻ
beshinchi postulat aksioma sifatida qabul qilingan bo lsa, uning inkori ham boshqa
ʻ
aksi-omalarga zid bo lmasligi kerak. Yevklidning beshinchi postulati o rniga
ʻ ʻ
yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi marta 1826 y.da N. I.
Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.Yevklid geometriyasining
parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari L.g .da ham o rinli bo ladi,
ʻ ʻ
parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa L.g .da o rinli bo lmaydi. L.g .da
ʻ ʻ
uchburchakning ichki burchaklari yig indisi 180° dan kichik.Mantiqiy
ʻ
ziddiyatsizligini birinchi marta italyan matematigi E. Beltrami 1868 y.da isbotladi.
U psevdosferaning geodezik chiziqlari to g ri chiziq deb qaralsa, hosil bo ladigan
ʻ ʻ ʻ
geometriya L.g . ekanligini ko rsatdi. Bu fakt L.g .ning Beltrami interpretatsiyasi
ʻ
(izohi) deyiladi. Keyinchalik F. Kleyn va A. Puankare ham L.g .ning boshqa
interpretatsiyalarini berdilar.XIX аsr bоshigа kelib geоmetriya fаni yetаrlichа
rivоjlаngаn mustаqil bo’limlаrigа egа bo’lgаn fаn sifаtidа shаkllаnаdi. Аnаlitik
gemetriyaning G.Dаrbu tоmоnidаn, differensial geоmetriyani Gаuss tоmоnidаn,
prоektiv geоmetriyani J. Pоnsele, Shteyner, Shаl, Shtаudt, Myobidа, Shtudi,
Kаrtаnlаr tоmоnidаn, so’ngrоq esа Lоbаchevskiy geоmetriyasi vа bundаn keyin А.
Kelli vа F. Kleyn tоmоnidаn rivоjlаntirildi.Аyniqsа, Lоbаchevskiy
geоmetriyasining tа’siri umumаn geоmetriyani sifаt jiхаtdаn yangi mаzmungа оlib
chiqdi vа hоzirgi zаmоn fоrmаsigа keltirаdi.Nоevklid geоmetriyaning аsоschisi

8Nikоlаy Ivаnоvich Lоbаchevskiy (1792-1856) Nijniy Nоvgоrd shахridа аmаldоr
оilаsidа tug’ildi. 1811 yili qоzоn universiteteni tugаtib, shu yerdа ishlаy bоshlаdi.
1816 yili prоfessоr bo’lib, 1827-1846 yillаrdа rektоr bo’lib ishlаdi. Uning
mаtemаtikа sоhаsidаgi serqirrа ijоdi quyidаgi ilmiy ishlаr bilаn
ifоdаlаngаn:Аlgebrа yoki cheklilаrni hisоblаsh (Алгебра или вычесление
конечных) 1834, Trigоnоmetrik sаtrlаrni yo’qоlishi hаqidа (Об исчезновении
тригонометрических строк) 1834, Cheksiz qаtоrlаrni yaqinlаshishi hаqidа 1841,
Bа’zi аniq integrаllаrini аhаmiyati hаqidа (О значении некоторых определённых
интегралов) 1852 vа bоshqаlаr.Lekin Lоbаchevskiygа shuхrаt keltirgаn kаshfiyot
geоmetriya sоhаsidir.1826 yili 11 fevrаldа fizikа-mаtemаtikа.
Keyinchаlik ishlаrni rivоjlаntirib 1835 yili Tаsаvvurimizdаgi geоmetriya,
Tаsаvvurimizdаgi geоmetriyaning bа’zi integrаllаrgа tаdbiqi 1836, Pаrаllellаrning
to’liq nаzаriyasi bilаn geоmetriyaning yangi bоshlаnishi 1834-38, Geоmetrik
tekshirishlаr 1840, Pаngeоmetriya 1855 аsаrlаrni yozdi.Lоbаchevskiyning
nоevklid geоmetriyasining bоshlаnishi 5-pоstulаtni quyidаgi аksiоmа bilаn
аlmаshtirishdаn bоshlаnаdi: berilgаn to’g’ri chiziqdа yotmаgаn nuqtа оrqаli shu
tekislikdа yotib u bilаn kesishmаydigаn bittаdаn оrtiq to’g’ri chiziq o’tkаzish
mumkin. Nаtijаdа qаrаmа-qаrshilik bo’lmаgаn, mаntiqаn qаt’iy vа ketmа-ketlikdа
bo’lgаn хulоsаlаr sistemаsi, yangi, hоzirchа nоqulаy bo’lgаn geоmetriyagа оlib
kelishini ko’rаdi.Lоbаchevskiy geоmetriyasining аbsоlyut qismi Evklid
geоmetriyasi bilаn deyarli bir хil. Pаrаllelik аksiоmаsi ishlаy bоshlаgаndаn
bоshlаb ish o’zgаrаdi.Shundаy qilib Lоbаchevskiy geоmetriyasi Evklid
geоmetriyasi kаbi mаntiqаn ketmа-ketlikdа tuzilgаn vа fаktlаrgа bоy ekаn.
Lоbаchevskiy qаbul qilgаn usul zаmоndоshlаri tоmоnidаn tushunilmаdi vа uning
geоmetriyasi qаbul qilinmаsdаn 1856 yili vаfоt etаdi.Lоbаchevskiy geоmetriyasini
tushunish uchun ko’pdаn-ko’p interpretаtsiyalаr bo’ldi. Bulаrdаn dаstlаbkisi o’zi

9tоmоnidаn bo’ldi.Mаsаlаn, uchburchаk ichki burchаklаri yig’indisi 2d dаn kichik
bo’lishini, ya’ni fаrq ( - burchаklаr yig’indisi) (r-egrilik rаdiusi). Bundаy fаrq
sezilishi uchun uchburchаk nihоyatdа kаttа bo’lishi kerаk. Buni tekshirishni ilоji
bo’lmаdi.1868 yili E.Beltrаm “Nоevklid geоmetriyani tаlqin qilish tаjribаsidаn”
mаqоlаsidа birinchi bo’lib interpritаtsiya berаdi.U tekislikning mа’lum cheklаngаn
qismi uchun Lоbаchevskiy geоmetriyasidа qаrаmа-qаrshilik yo’q ekаnligini
isbоtlаdi.1871 yili F.Kleyn “Nоevklid geоmetriya hаqidа” аsаridа Lоbаchevskiy
geоmetriyasini sferаning ichki nuqtаlаrigа prоektiv аkslаntirish bilаn mаsаlаni
to’liq hаl qildi.1882 yili А.Puаnkаre yangi interpretаtsiyasini berаdi. Bundа
Lоbаchevskiy tekisligi dоirаning ichki nuqtаlаrigа inversiоn
аkslаntirilаdi.Lоbаchevskiyning Evklid geоmetriyasidаn bоshqа geоmetriyalаr
hаm mаvjud degаn g’оyasi XIX аsrning 2-yarmigа kelib o’z ifоdаsini tоpdi vа
ko’plаb geоmetriyalаrni vujudgа keltirаdi.
1.2 Evklid geometriyasidan farqi

10 Evklid geometriyasi bilan boshqa geometriya turlarining farqlari quyidagicha:Bu
eng klassik geometriya bo‘lib, u 5 asosiy postulatga asoslangan. Asosiy
xususiyatlari,Parallel to‘g‘ri chiziqlar hech qachon kesishmaydi.Uchburchakning
ichki burchaklari yig‘indisi har doim 180° bo‘ladi.Ikki nuqta orasidan faqat bitta
to‘g‘ri chiziq o‘tadi.Lobachevskiy (giperbolik) geometriyasi Evklidning 5-
postulatiga muqobil ravishda:Bitta nuqta orqali berilgan to‘g‘ri chiziqqa cheksiz
ko‘p parallel chiziq chizish mumkin.Uchburchakning ichki burchaklari yig‘indisi
180° dan kichik bo‘ladi.Doiralar perimetri Evklid geometriyasidagidan boshqacha
hisoblanadi.Riman (elliptik) geometriyasi Bu sferik geometriya deb ham yuritiladi
Parallel chiziqlar mavjud emas, har qanday ikkita to‘g‘ri chiziq albatta
kesishadi.Uchburchakning ichki burchaklari yig‘indisi 180° dan katta
bo‘ladi.Chiziqlar egri bo‘lishi mumkin.Evklid geometriyasi tekislikda ishlaydi,
Lobachevskiy geometriyasi giperbolik fazoda, Riman geometriyasi esa sferik
fazoda ishlaydi. Ularning asosiy farqi parallel to‘g‘ri chiziqlarning xususiyatida va
burchaklarning yig‘indisida namoyon bo‘ladi.Yevklid geometriyasi — miloddan
avvalgi 3-asrda Yevklid izchil asoslagan geometriya. Parallellik aksiomasiga
(to g ri chiziqda yotmagan nuqta orqali shu to g ri chiziq bilan kesishmaydiganʻ ʻ ʻ ʻ
faqat bitta to g ri chiziq o tkazish mumkin, degan aksiomaga) hamda mutlaq
ʻ ʻ ʻ
geometriya aksiomalari sistemalari deb ataluvchi besh guruh (bog lanish, tartib,
ʻ
harakat, uzluksizlik, parallellikdan iborat) aksiomalarga asoslangan. Yevklid
geometriyasi aksiomalar sistemalari nuqta, to g ri chiziq, tekislik, harakat va nuqta,
ʻ ʻ
to g ri chiziq va tekislik orasidagi munosabatlarga tayanadi. Yevklid geometriyasi
ʻ ʻ
birinchi marta izchil ravishda Yevklid „negizlari“da bayon etilgan. Yevklid
geometriyasidan farqli geometriya birinchi marta rus geometri N. I. Lobachevskiy
yaratdi. Yevklid geometriyasi o rta maktabda o qitiladi va „elementar geometriya“
ʻ ʻ
deb ham ataladi.

112-rasm
Geometriyaning aylana, nuqta, kesma, togri chiziq, burchak, tekislik, ellips, silindr
kabi figuralarning xususiyatlari hamda ulardan tashkil topgan sodda figuralarning
o zaro vaziyati, tengligi masalalari bilan shug ullanadigan bo limi. Undaʻ ʻ ʻ
teoremalarni isbotlash va xulosa chiqarish yo li esa ma lum mulohazalarga
ʻ ʼ
suyanish, aksiomalarga va oldingi isbotlarga asoslanish, yordamchi geom.
yasashlarni bajarishdan iborat. E.g. asoslari Yunonistonda vujudga kelgan,
Yevklidning „Negizlar“ asarida uning yuzakiroq bayoni berilgan. E.g.da har gal
„o zining“ konkret geom. xossasi korsatilgan (mas, ellips, silindr kabi) figuralar
ʻ
organiladi, bunday tayin figuralarga doir uzunlik, yuza, hajm, o zaro vaziyat
ʻ
masalalari qaraladi, lekin ularga doir umumiy tushunchalar E.g. chegarasidan
chiqadi.Evristika degan so‘zning ma’nosi savol javobga asosan “topaman”
demakdir. Evristik metod bilan o‘qitish maktablarda asosan XIX asr boshlaridan
boshlab qo‘llanila boshladi.Mashg’ulotlar qiziqarli bo‘lishi uchun, bu
mashg’ulotlardagi har bir masala yoki topshiriq so‘zma-so‘z quruq yodlash uchun
emas, balki ularning oliy faoliyatlarini ishga soladigan xarakteri bo‘lishi kerak.

12Amerikalik olim D. Poya evristik ta’lim metodi to‘g’risida shunday degan edi.
Evristikani maqsadi yangiliklarga olib boruvchi metod va qoidalarni izlash
demakdir.Evklid geometriyasi va nonevklid geometriyasi o'rtasidagi asosiy farq
parallel chiziqlar tushunchasida yotadi.Evklid geometriyasi Parallel postulat:
Berilgan chiziq va unda yotmagan nuqta orqali faqat bitta parallel chiziq o'tkazish
mumkin.Nonevklid geometriyasida Evklidning parallel postulati rad etiladi.
Natijada, parallel chiziqlar haqidagi tasavvur o'zgaradi va uchburchakning ichki
burchaklari yig'indisi 180 gradusdan farq qilishi mumkin Nonevklid
geometriyasining ikkita asosiy turi mavjud.Giperbolik geometriya: Berilgan chiziq
va unda yotmagan nuqta orqali cheksiz ko'p parallel chiziqlar o'tkazish mumkin.
Uchburchakning ichki burchaklari yig'indisi 180 gradusdan kam.Sferik geometriya
Parallel chiziqlar mavjud emas (har qanday ikki chiziq kesishadi). Uchburchakning
ichki burchaklari yig'indisi 180 gradusdan ko'p.Evklid geometriyasi biz kundalik
hayotda ko'rib yurgan fazoviy shakllarni tasvirlash uchun juda mos keladi.
Nonevklid geometriyasi esa koinotning keng miqyosli tuzilishi, nisbiylik
nazariyasi va boshqa sohalarda qo'llaniladi.
1.3 Asosiy aksiyomalar

13Evklid geometriyasi bilan boshqa geometriya turlarining farqlari quyidagicha Bu
eng klassik geometriya bo‘lib, u 5 asosiy postulatga asoslangan. Asosiy
xususiyatlari Parallel to‘g‘ri chiziqlar hech qachon kesishmaydi.Uchburchakning
ichki burchaklari yig‘indisi har doim 180° bo‘ladi.Ikki nuqta orasidan faqat bitta
to‘g‘ri chiziq o‘tadi. Lobachevskiy (giperbolik) geometriyasi Evklidning 5-
postulatiga muqobil ravishda:Bitta nuqta orqali berilgan to‘g‘ri chiziqqa cheksiz
ko‘p parallel chiziq chizish mumkin.Uchburchakning ichki burchaklari yig‘indisi
180° dan kichik bo‘ladi.Doiralar perimetri Evklid geometriyasidagidan boshqacha
hisoblanadi.Riman (elliptik) geometriyasi Bu sferik geometriya deb ham
yuritiladi:Parallel chiziqlar mavjud emas, har qanday ikkita to‘g‘ri chiziq albatta
kesishadi.Uchburchakning ichki burchaklari yig‘indisi 180° dan katta
bo‘ladi.Chiziqlar egri bo‘lishi mumkin.Evklid geometriyasi tekislikda ishlaydi,
Lobachevskiy geometriyasi giperbolik fazoda, Riman geometriyasi esa sferik
fazoda ishlaydi. Ularning asosiy farqi parallel to‘g‘ri chiziqlarning xususiyatida va
burchaklarning yig‘indisida namoyon bo‘ladi.Aksioma (qadimgi yunoncha:
ξίωμα – axioma) – o z-o zidan ravshanligi, ayonligi sababli isbotsiz qabulἀ ʻ ʻ
qilinadigan holat, tasdiq, fikr. Deduktiv quriladigan ilmiy nazariyalarda asosiy
tushunchalarning boshlang ich xossalari. Aksiomalar tizimi bilan kiritiladi va
ʻ
boshqa hamma xossalar, tasdiqlar (teoremalar) ulardan foydalanib mantiqiy isbot
qilinadi. Ayniyat qonuni, ziddiyat qonuni, uchinchi istisno qonuni mantiqiy
Aksioma hisoblanadi. Aksiomaga misol sifatida Yevklid geometriyasifat
parallellik Aksiomasini keltirish mumkin: „Tekislikda a to g ri chiziqqa tegishli
ʻ ʻ
bo lmagan O nuqta orqali shu to g ri chiziqqa bittadan ortiq parallel to g ri chiziq
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
o tkazish mumkin emas“. Arximed aksiomasi, Sermelo aksiomasi va boshqa
ʻ
Aksioma atamasi Yunonistonda paydo bo lgan, birinchi marotaba Aristotel
ʻ
asarlarida ishlatilgan.Abu Nasr Forobiy, Umar Xayyom, al-Xorazmiy va boshqa
allomalar ham Aksiomani atroflicha tekshirishganberilgan ikki kesmaning

14kichigini (A) bir necha marta takrorlab, har doim kattasidan (B) kattaroq kesma
hosil qilish mumkinligi to g risidagi aksioma. Arximed aksiomasini yuzalar,ʻ ʻ
hajmlar, sonlar va boshqalarga ham tatbiq qilish mumkin. Masalan, har qanday
ikki musbat son a va b uchun a*p>b tengsizlikni qanoatlantiruvchi natural son p
doimo topiladi. Bu aksioma yunon matematigi Arximed tomonidan „Shar va
silindr“ asarida tavsiflab berilgani uchun Otto Stols ushbu nomni bergan. Arximed
aksiomasini ba zan Yevdoks aksiomasi deb ham atashadi[1], chunki uni ilgariroq
ʼ
Yevdoks Knidskiy qo llagan. Arximed aksiomasidan miqdorlarni o lchashda, ikki
ʻ ʻ
kesmaning umumiy o lchovini topish va boshqa masalalarni hal qilishda
ʻ
foydalaniladiYevklid negizlari (qadimgi yunoncha: Στοιχε ον Stoikheîon) —
ῖ
Yevklidning asosiy matematik asari. 13 kitobdan iborat bo lgan. Yevkliddan keyin
ʻ
Gipsikl (mil. av. 2-asr) va miletlik Isidor (mil. av. 6-asr) Yevklid „Negizlari“ga
XIV va XV kitoblarni qo shishgan; shuning uchun asar 15 kitobdan iborat ham
ʻ
deyiladi. Asarda Yevklid davrigacha bo lgan yunon matematikasi bayon etiladi.
ʻ
Yevklid „Negizlari“da geom. deduktiv asosda, ya ni aksiomatik usulda yoritiladi;
ʼ
birinchi jumla (tasdiq) lar isbotsiz qabul qilinib, qolgan hamma da volar —
ʼ
teoremalar shu aksiomalardan xulosa tariqasida chiqariladi. Yevklid
„Negizlari“ning 1-1U kitoblari planemetrik kitoblar bo lib, asosan, hozirgi o rta
ʻ ʻ
maktab dasturiga kirgan planemetriya bayon etiladi. V—VI kitoblarida geometrik
miqdorlar (kesmalar, yuzalar) ning nisbatlari nazariyasi bayon etiladi. Bunda
Yevdoks Knidlikning nisbatlar nazariyasi asos qilib olingan. VII—IX kitoblar
arifmetik kitoblar bo lib, butun sonlarga asoslangan nazariy arifmetika bayon
ʻ
etiladi. X kitobda irratsionalliklar nazariyasi va tasnifi beriladi. XI—XIII va
qo shimcha XIV-XV kitoblar stereometriya ga bag ishlangan. Yevklid „Negizlari“
ʻ ʻ
kamchiliklardan ham xoli emas. Masalan: nuqta, to g ri chiziq va boshqa
ʻ ʻ
geometrik obrazlarning ta rifi mantiqiy nuqtai nazardan nuqsonli hisoblanadi.
ʼ
Asarda zaruriyatsiz kiritilgan aksiomalar mavjud (masalan: aksioma sifatida

15olingan „Xamma to g ri burchaklar o zaro teng“, degan iborani isbotlash mumkin),ʻ ʻ ʻ
geometriyani aksiomatik asosda qurish uchun zarur bo lgan harakat aksiomalari va
ʻ
tartib aksiomalari berilmagan, vaholanki asarda ulardan foydalanilgan.Proyektiv
geometriya - geometriyaning proyektiv almashtirishlar nati-jasida shakllarning
o zgarmaydigan xossalarini o rganuvchi bo limi. Bunday xossalar proyektiv
ʻ ʻ ʻ
xossalar deyiladi. Proyektiv almashtirishlar to g ri chiziqni to g ri chiziqqa
ʻ ʻ ʻ ʻ
o tkazuvchi almashtirishlardan iborat. Masalan, o xshash almashtirish, perspektiva.
ʻ ʻ
Bir to g ri chiziqda yotuvchi nuqtalar proyektiv almashtirish natijasida yana bir
ʻ ʻ
to g ri chiziqda yotuvchi nuqtalarga, ikkinchi tartibli chiziqlar ikkinchi tartibli
ʻ ʻ
chiziqlarga o tadi. Ammo aylana, ellips, parabola yoki giperbolaga o tishi ham
ʻ ʻ
mumkin. Bir to g ri chiziqda yotuvchi A, V, S, D nuqtalarning qo sh nisbati
ʻ ʻ ʻ
(ABCD) proyektiv almashtirishda o zgarmaydi. P. g.da qulaylik uchun cheksiz
ʻ
uzoklashgan ele-mentlar qo llanadi. Tekislikda yotmaydigan (xosmas) elementlar
ʻ
chek-siz uzoqlashgan nuqtalar va cheksiz uzoqlashgan to g ri chiziqdan iborat.
ʻ ʻ
Yevklid geometriyasinpng parallel to g ri chiziqlari cheksiz uzoklashgan nuqtada
ʻ ʻ
kesishadi, deb olinadi. Bunda turli yo nalishdagi parallel to g ri chiziqlar turli
ʻ ʻ ʻ
cheksiz uzoq nuqtalarda kesishishi kerak. Cheksiz uzoklashgan to g ri chiziq
ʻ ʻ
barcha cheksiz uzoqlashgan nuqtalar to plami bo ladi. Natijada "turli ikki to g ri
ʻ ʻ ʻ ʻ
chiziq bitta nuqtada kesishadi" degan aksioma o rinli bo ladi.aksiomatik asosda
ʻ ʻ
qurilishi ham mumkin. Unda ikkilik prinsipi o rinli bo ladi. Yevklid fazosini
ʻ ʻ
xosmas elementlar (cheksiz uzoqlashgan nuqta, to g ri chiziq, tekislik) bilan
ʻ ʻ
to ldirib, uch va undan ortiq o lchovli proyektiv fazolarni hosil qilish mumkin. P.
ʻ ʻ
g. ga birinchi marta 17-asrda fransuz ma-tematiklari J. Dezarg va boshqa Paskallar
asos solgan. Uning keyingi rivojlanishiga esa G. Monj katta hissa qo shgan.
ʻ
Fransuz matematiklari J. Ponsele, J. Brianshonlar P.g.ni mustaqil fan sifatida
bayon etishgan. P.g.ning rivojlanishida Shveysariya matematigi Ya. Shteyner,
fransuz matematigi M. Shal, nemis matematigi K. Shtaudt va boshqalarning

16xizmatlari katta.elliptik geometriya — noyevklid geometriyalaryagsh biri.
Aksiomalari Yevklid geometriyasinkt aksiomalaridan farq qiladi. Uch o lchovliʻ
R.g.ning asosiy ob yektlari: nuqta, to g ri chiziq va tekisliklar; asosiy
ʼ ʻ ʻ
tushunchalari: mansublik tushunchasi (Mas, to g ri chiziqning tekislikka
ʻ ʻ
mansubligi), nuqtalarning to g ri chizikda joylashish tartibi va figuralarning
ʻ ʻ
kongruentligi. R.g.ga ko ra, har qanday 2 nuqta orqali 1 ta to g ri chiziq o tadi, bir
ʻ ʻ ʻ ʻ
tekislikdagi har qanday 2 to gri chiziq 1 nuqtada kesishadi (ya ni R.g.da "parallel"
ʻ ʼ
to g ri chiziklar mavjud emas), nuqtalarning to g ri chiziqda joylashish tartibi
ʻ ʻ ʻ ʻ
aylanadigan nuqtalarning joylashish tartibiga o xshash bo ladi. Riman tekisligida
ʻ ʻ
har qanday 2 to g ri chiziq bir nuqtada kesishadi, sferada esa to g ri chiziqlar rolini
ʻ ʻ ʻ ʻ
o taydigan har 2 katta doira 2 nuqtada kesishadi; tekislikda yotgan to g ri chiziq
ʻ ʻ ʻ
uni 2 sohaga ajratmaydi va hokazo
(3-rasm)
Arximed (mil. avv. 287-212) Sirakuzalik qadimgi yunon olimi, fizik, matematik,
mexanik va muhandis bo lgan. Arximed o sha zamonning yirik ilmiy markazi —
ʻ ʻ
Iskandariyada ta lim olgan. Rimliklar Sirakuzani bosib olishi paytida o ldirilgan.
ʼ ʻ
Arximed richag qonunlarini topgan, uning nomi bilan yuritiladigan gidrostatika
qonunini ochgan. Matematikaga oid bir qator ishlari orasida uning usuli yordamida
egri chiziqlarning uzunligini hisoblab topish, yuza va hajmlarni aniqlash katta o rin
ʻ

17tutadi. Arximed ekin maydonlarini sug orish mashinalari, yuklarni ko tarish uchunʻ ʻ
mo ljallangan richag va bloklar tizimlari, harbiy irg itish mashinalari,
ʻ ʻ
qotishmalarning tarkibini suyuqlik (suv)da aniqlash usuli va boshqa ko p
ʻ
kashfiyotlarning muallifi. Ko p asarlari bizgacha yetib kelmagan. Arximedning
ʻ
ochgan qonunlari uning yanada mashhur bo lishiga olib keladi. Ko pchilikka
ʻ ʻ
ma lum bo lgan "Arximed kuchi" yoki „Arximed qonuni“ deb nomlangan qonun
ʼ ʻ
fizika fanida alohida o rin egallaydi. to g ri, mantiqiy fikrlashning muhim
ʻ ʻ ʻ
qonunlaridan biri. Ayniyat qonuni mantiq fani (formal mantiq)da o rganiladi.
ʻ
Ayniyat qonuni ham tafakkurning boshqa qonun va shakllari singari predmet,
hodisalarning ma’lum ob’ektiv xususiyat va munosabatlarini aks ettiradi.
Predmetlarning nisbiy mustaqillikka ega bo lish xususiyati, ma’lum davr ichida
ʻ
ma’lum muayyanlikni saqlab qolishi, ma’lum aniq mazmun va shaklga ega
bo lishi, boshqa narsalardan farq qilib turishi inson tafakku-rida bir necha minglab
ʻ
yillar davomida qayta-qayta aks etishi jarayonida Ayniyat qonuni shaklida
ifodalangan. Bu qonun bo yicha muhokamada, munozarada har bir fikr, har bir
ʻ
tushuncha o zining boshlang ich ma’nosini o zgartirmasligi, aynan saqlanib
ʻ ʻ ʻ
qolishi, aniq, ravshan bo lishi lozim. Ayniyat qonuni talablariga rioya etilmasa,
ʻ
fikrlash noaniq bo ladi, tushunchalar al-mashtirib yuboriladi, natijada tafak-kur
ʻ
ob’ektiv reallikni to g ri aks etti-ra olmaydi, haqiqatni bilib bo lmaydi. Faqat
ʻ ʻ ʻ
mantiqiy, tafakkur uchun xos bo lgan bu qonunning mazmunini keng ma’noda
ʻ
ishlatish, ob’ektiv reallikka ko chirish metafizikaga olib boradi. Bu qonun
ʻ
mantiqda A=A shaklida ifodala-nadi.
II.bob Lobachevskiy geometriyasining asosiy modellari

182.1 Poincare diski modeli
Lobachevskiy geometriyasini tasvirlash uchun ishlatiladigan model bo‘lib, u
Evklid geometriyasidan farqli ravishda nosingiz geometriya qoidalariga asoslanadi.
Bu model 19-asrda fransuz matematigi Anri Poincaré tomonidan ishlab
chiqilgan.Model birlik doira ichida mavjud bo‘lib, uning cheti geometriyaning
“cheksizligi” sifatida qaraladi.Lobachevskiy geometriyasini tasvirlash uchun
ishlatiladigan model bo‘lib, u Evklid geometriyasidan farqli ravishda nosingiz
geometriya qoidalariga asoslanadi. Bu model 19-asrda fransuz matematigi Anri
Poincaré tomonidan ishlab chiqilgan.Model birlik doira ichida mavjud bo‘lib,
uning cheti geometriyaning “cheksizligi” sifatida qaraladi.Oddiy geometriyada
to‘g‘ri chiziqlar chiziqning eng qisqa yo‘nalishi bo‘lsa, Poincaré diskida to‘g‘ri
chiziqlar (geodezikalar) yoki doiraning markazidan o‘tuvchi diametrlar, yoki doira
chegarasiga teginuvchi aylana yoylari shaklida bo‘ladi.Poincaré diskida
uchburchaklarning ichki burchaklari yig‘indisi har doim 180° dan kichik bo‘ladi.
Bu Lobachevskiy geometriyasining asosiy xususiyatlaridan biridir.Poincaré diskida
bir nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa cheksiz ko‘p parallel chiziqlar o‘tkazish
mumkin. Bu Evklid geometriyasining parallel postulatiga zid keladi.Disk chetiga
yaqinlashgan sari masofalar va shakllar ancha kichrayib boradi, lekin bu faqat
vizual effekt, aslida ular cheksiz davom etadi.Nosiningiz geometriyani o‘rganishda
asosiy model sifatida ishlatiladi.Relativistik fazo-vaqt tushunchalarida va kvant
fizikasi tadqiqotlarida qo‘llanadi.Fraktallar va hiperbolik shakllarni yaratishda
ishlatiladi.Oddiy geometriyada to‘g‘ri chiziqlar chiziqning eng qisqa yo‘nalishi
bo‘lsa, Poincaré diskida to‘g‘ri chiziqlar (geodezikalar) yoki doiraning markazidan
o‘tuvchi diametrlar, yoki doira chegarasiga teginuvchi aylana yoylari shaklida
bo‘ladi.Poincaré diskida uchburchaklarning ichki burchaklari yig‘indisi har doim
180° dan kichik bo‘ladi. Bu Lobachevskiy geometriyasining asosiy

19xususiyatlaridan biridir.Poincaré diskida bir nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa
cheksiz ko‘p parallel chiziqlar o‘tkazish mumkin. Bu Evklid geometriyasining
parallel postulatiga zid keladi.Disk chetiga yaqinlashgan sari masofalar va shakllar
ancha kichrayib boradi, lekin bu faqat vizual effekt, aslida ular cheksiz davom
etadi.Nosiningiz geometriyani o‘rganishda asosiy model sifatida ishlatiladi
Relativistik fazo-vaqt tushunchalarida va kvant fizikasi tadqiqotlarida
qo‘llanadi.Geometriyada Puankare disk modeli , shuningdek, konformal disk
modeli deb ataladi , bu ikki o'lchovli giperbolik geometriya modeli bo'lib, unda
barcha nuqtalar birlik diskining ichida joylashgan va to'g'ri chiziqlar diskda
joylashgan aylana yoylar bo'lib, ular birlik doirasiga ortogonal yoki birlik
doirasining diametrlari
(4-rasm) Giperbolik parallel chiziqlar bilan Puankare disk
Disk modelining orientatsiyani saqlaydigan izometriyalari guruhi PSU (1,1)
proyektiv maxsus unitar guruhi, SU(1,1) maxsus unitar guruhining koeffitsienti
uning markazi { I , - I } tomonidan beriladi.Klein modeli va Puankare yarim fazo
modeli bilan bir qatorda , Evgenio Beltrami ushbu modellardan giperbolik
geometriya Evklid geometriyasi bilan bir xilligini ko'rsatish uchun foydalangan . U

20Anri Puankare sharafiga nomlangan , chunki o'n to'rt yil o'tgach, uning ushbu
vakillikni qayta kashf etishi Beltramining asl asaridan ko'ra yaxshiroq ma'lum
bo'ldi. Puankare to'pi modeli 3 yoki n o'lchovli giperbolik geometriya uchun
o'xshash model bo'lib , unda geometriya nuqtalari n o'lchovli birlik sharida
joylashgan .Disk modeli birinchi marta Bernhard Riemann tomonidan 1854 yildagi
ma'ruzasida (1868 yilda nashr etilgan) tasvirlangan bo'lib, u Eugenio Beltrami
tomonidan 1868 yilgi maqolani ilhomlantirgan Anri Puankare uni 1882 yilda
giperbolik, parabolik va elliptik funksiyalarni davolashda ishlatgan,biroq u
Puankarening 1905 yilda " Fan va gipoteza" nomli falsafiy risoladagi taqdimotidan
keyin keng ma'lum bo'ldi . U yerda u hozirda Puankare diski deb nomlanuvchi,
fazo Evklid bo lgan, lekin uning aholisiga giperbolik geometriya aksiomalariniʻ
qondirish uchun ko rinadigan dunyoni tasvirlaydiGiperbolik to'g'ri chiziqlar yoki
ʻ
geodeziyalar diskning chegarasiga ortogonal bo'lgan disk ichidagi Evklid
doiralarining barcha yoylaridan va diskning barcha diametrlaridan iborat.Ushbu
modeldagi masofalar Cayley-Klein ko'rsatkichlari . Disk ichidagi ikkita alohida
nuqta p va q berilgan bo'lsa, ularni bog'laydigan yagona giperbolik chiziq
chegarani ikkita ideal nuqtada kesib o'tadi.Bunday masofa funksiyasi normaning
bittadan kichik har qanday ikkita vektori uchun aniqlanadi va bunday vektorlar
to‘plamini doimiy egrilik -1 giperbolik fazosining modeli bo‘lgan metrik fazoga
aylantiradi. Model giperbolik fazoda kesishgan ikkita egri chiziq orasidagi burchak
modeldagi burchak bilan bir xil bo'lgan konform xususiyatiga ega.Geometriyada
Beltrami-Klein modeli , shuningdek, proyektiv model , Klein disk modeli va
Keyley-Klein modeli deb ataladi , bu giperbolik geometriya modeli bo'lib , unda
nuqtalar birlik diskining ichki qismidagi nuqtalar ( yoki n o'lchovli birlik shari )
bilan ifodalanadi va chiziqlar akkordlar bilan ifodalanadi .
2.2 Cheksiz giperbolik tekislikni chegaralangan disk ichida tasvirlash

21Evklid bo'lmagan geometriyada Puankare yarim tekislik modeli tanish Evklid
tekisligidagi nuqtalar yordamida giperbolik tekislikni ifodalash usulidir . Xususan,
giperbolik tekislikdagi har bir nuqta koordinatalari bo'lgan Evklid nuqtasi
yordamida tasvirlangan.Ba'zan yarim tekislik modelining nuqtalari musbat xayoliy
qismga ega bo'lgan murakkab tekislikda joylashgan deb hisoblanadi . Ushbu
talqindan foydalanib, giperbolik tekislikdagi har bir nuqta kompleks son bilan
bog'lanadi .Yarim tekislik modelini egri giperbolik tekislikdan tekis Evklid
tekisligiga xarita proyeksiyasi sifatida qarash mumkin. Giperboloid modelidan ( 3
o'lchovli Evklid fazosiga o'rnatilgan sferaga o'xshash, 3 o'lchovli Minkovskiy
fazosiga o'rnatilgan ikki varaqdan iborat giperboloiddagi giperbolik tekislikning
tasviri ) yarim tekislik modeli orfografik proyeksiya orqali olinadi , bu null
vektorning ideal markaziga parallel bo'lishi mumkin . Proyeksiya konformaldir ,
ya'ni u burchaklarni saqlaydi va sferaning stereografik proyeksiyasi kabi giperbolik
tekislikdagi umumlashgan doiralarni ( geodeziya , gipertsikllar , horotsikllar va
doiralar) tekislikdagi umumlashgan doiralarga (chiziqlar yoki doiralar) proyeksiya
qiladi. Xususan, geodeziya ( to'g'ri chiziqlarga o'xshash), markazida bo'lgan yarim
doiralarga loyihalash.Giperbolik harakatlar , giperbolik tekislikdan o'ziga bo'lgan
masofani saqlaydigan geometrik o'zgarishlar Puankare yarim tekisligida yarim
tekislikni saqlaydigan tekislikning Möbius o'zgarishlar to'plami bilan ifodalanadi ;
Bular konformal, aylanani saqlaydigan o'zgarishlar bo'lib, ularni yuboradi-
yo'nalishini o'zgartirmagan holda o'z o'qi. Tekislikdagi nuqtalar kompleks sonlar
sifatida qabul qilinganda, har qanday Möbius o'zgarishi kompleks sonlarning
chiziqli kasr o'zgarishi bilan, giperbolik harakatlar esa proyektiv maxsus chiziqli
guruh elementlari bilan ifodalanadi.Geometriyada Beltrami-Klein modeli ,
shuningdek, proyektiv model , Klein disk modeli va Keyley-Klein modeli deb
ataladi , bu giperbolik geometriya modeli bo'lib , unda nuqtalar birlik diskining

22ichki qismidagi nuqtalar ( yoki n o'lchovli birlik shari ) bilan ifodalanadi va
chiziqlar akkordlar bilan ifodalanadi
(5-rasm) Beltrami Klein modelidagi a chiziqni kesib o'tmaydigan P nuqta orqali
ko'plab giperbolik chiziqlari
Ikki o'lchovda Beltrami-Klein modeli Klein disk modeli deb ataladi . Bu disk va
diskning ichki qismi butun giperbolik tekislikning modelidir . Ushbu modeldagi
chiziqlar chegara doirasining akkordlari bilan ifodalanadi ( mutlaq deb ham
ataladi ). Chegara aylanasidagi nuqtalar ideal nuqtalar deyiladi ; yaxshi belgilangan
bo'lsa-da , ular giperbolik tekislikka tegishli emas. Diskdan tashqaridagi nuqtalar
ham emas, ba'zan ultra ideal nuqtalar deb ataladi .Model mos emas , ya'ni
burchaklar buzilgan va giperbolik tekislikdagi doiralar odatda modelda aylana
emas. Faqat markazlari chegara doirasining markazida bo'lgan doiralar buzilmaydi.
Boshqa barcha doiralar,horotsikllar va gipertsikllar kabi buzilgan Ikki akkord

23perpendikulyar bo'ladi, agar diskdan tashqariga cho'zilganda, har biri
ikkinchisining qutbidan o'tib ketadi. (Akordning qutbi ultra ideal nuqtadir: diskdan
tashqaridagi akkordning oxirgi nuqtalaridagi diskga teginishlari tutashgan nuqta.)
Disk markazidan o tuvchi akkordlar o z qutbi cheksizda, akkord yo nalishigaʻ ʻ ʻ
ortogonal bo ladi (bu diametrlardagi to g ri burchaklar buzilmaganligini
ʻ ʻ ʻ
bildiradi.Bu erda giperbolik tekislikdagi asosiy konstruktsiyalarning ta'siriga
erishish uchun modelda kompas va to'g'ri chiziq konstruktsiyalaridan qanday
foydalanish mumkin .Chiziqning qutbi . Qutb giperbolik tekislikdagi nuqta
bo'lmasa-da (u juda ideal nuqta ), ko'pchilik konstruktsiyalar chiziq qutbidan bir
yoki bir nechta usulda foydalanadi.Chiziq uchun: chiziqning ideal (oxirgi)
nuqtalari orqali chegara doirasiga teginishlarni tuzing . bu tangenslarning
kesishgan nuqtasi qutbdir.Diskning diametrlari uchun : qutb diametrga
perpendikulyar cheksizlikda.Berilgan nuqta orqali berilgan chiziqqa
perpendikulyar qurish uchun chiziqning qutbidan berilgan nuqtadan o'tgan nurni
o'tkazing . Disk ichidagi nurning qismi perpendikulyardir.Chiziq diskning diametri
bo'lsa, perpendikulyar bu diametrga perpendikulyar (Evklid) va berilgan nuqtadan
o'tadigan akkorddir.Giperbolik tekislikdagi chiziqlarni Klein disk modelida chizish
oson bo'lsa-da, aylanalar, gipertsikllar va horotsikllar bilan bir xil emas .Modeldagi
doiralar (tekislikning ma'lum nuqtadan, uning markazidan ma'lum masofada
joylashgan barcha nuqtalar to'plami) chekka yaqinroq bo'lgan sari ellipsga
aylanadi.Shuningdek, Klein disk modelidagi burchaklar
deformatsiyalangan.Aylanalar, gipertsikllar , horotsikllar yoki to'g'ri bo'lmagan
burchaklarni o'z ichiga olgan giperbolik tekislikdagi konstruktsiyalar uchun
Puankare disk modeli yoki Puankare yarim tekislik modelidan foydalanish
yaxshiroqdir.Puankare disk modeli ham , Klein disk modeli ham giperbolik
tekislikning modellaridir. Puankare disk modelining afzalligi shundaki, u
konformaldir (doira va burchaklar buzilmaydi); Kamchilik shundaki, geometriya

24chiziqlari diskning chegara doirasiga ortogonal bo'lgan dumaloq yoylardir .Ikki
model yarim shar modeli ustida yoki undan proyeksiya orqali bog'langan . Klein
modeli yarim shar modeliga orfografik proyeksiya , Puankare disk modeli esa
stereografik proyeksiyadir.Ikkala modeldagi bir xil chiziqlarni bitta diskda
loyihalashda ikkala chiziq ham bir xil ikkita ideal nuqtadan o'tadi . (ideal nuqtalar
bir joyda qoladi) shuningdek, akkordning qutbi yoyni o'z ichiga olgan doira
markazidir .Sferaning gnomonik proyeksiyasi sharning markazidan tangens
tekislikka chiqadi . Sferadagi har bir katta doira to'g'ri chiziqqa proyeksiyalanadi,
lekin u mos kelmaydi. Burchaklar to'g'ri ko'rsatilmaydi va doiralar ellipsga
aylanadi, ular teginish nuqtasidan uzoqroqqa cho'ziladi.Xuddi shunday Klein diski
(rasmda K) giperboloid modelining gnomonik proyeksiyasi bo'lib, markazda
giperboloid markazi va giperboloidga teguvchi proyeksiya tekisligi
joylashgan.Beltrami-Klein modeli giperboloid modelidan barcha vektorlarni vaqt
komponenti 1 ga teng bo'ladigan tarzda qayta masshtablash yo'li bilan olinadi, ya'ni
giperboloid yotqizishning koordinata bo'ylab x 0 = 1 tekisligiga proyeksiyalash
orqali olinadi . Masofa funktsiyasi bir hil shaklda o'zgarmasdir. Giperboloid
modelining ichki chiziqlari (geodeziyasi) Minkovskiy kelib chiqishi bo'yicha
tekisliklar bilan qo'shilishning kesishishi bo'lganligi sababli, Beltrami-Klein
modelining ichki chiziqlari sharning akkordlari hisoblanadi.An'anaviy ravishda
ideal nuqtalar deb ataladigan birlik diskining chegarasidagi ikkita nuqta berilgan
bo'lsa , Beltrami-Klein modelida ularni bog'laydigan to'g'ri chiziq ular orasidagi
akkord bo'lsa, tegishli Puankare modelida chiziq ikki chegara nuqtasi vektorlari
tomonidan hosil qilingan ikki o'lchovli pastki fazoda aylana yoy bo'lib , to'pning
chegarasini to'g'ri burchakda tutadi. Ikki model diskning markazidan proyeksiya
orqali bog'langan; bir model chizig'ining nuqtasidan o'tadigan markazdan kelgan
nur boshqa modeldagi chiziqning mos keladigan nuqtasidan o'tadi.

25 2.3 Geodeziklarning aylanalar yoylari yoki diametrlar orqali berilishi
Poincaré diski modelida geodezikalar (ya’ni, nosingiz fazodagi "to‘g‘ri chiziqlar")
ikki xil shaklda bo‘ladi.Agar geodezikaning ikkala uchi ham diskning chegarasiga
perpendikulyar tushsa, u holda bu geodezika diametr bo‘ladi.Bu holatda, chiziq
eng qisqa yo‘ldir va klassik to‘g‘ri chiziq kabi harakat qiladi.Agar geodezikaning
ikkala uchi disk chegarasida joylashgan bo‘lsa va diametr bo‘lmasa, u holda bu
geodezika disk ichidagi aylana yoyidan iborat bo‘ladi.Ushbu yoylar disk
chegarasiga perpendikulyar bo‘lgan aylanalarning qismlari sifatida tasvirlanadi.Bu
geodezikalar Evklid geometriyasida egri chiziqlar bo‘lib ko‘rinsa ham, Poincaré
diskida ular eng "to‘g‘ri" yo‘l hisoblanadi.Bu xususiyat nosingiz geometriyaning
muhim farqlaridan biridir: Evklid geometriyasida geodezikalar har doim to‘g‘ri
chiziqlar bo‘lsa, Poincaré diskida ular diametrlar yoki maxsus aylana yoylari
sifatida namoyon bo‘ladi.Evklid bo'lmagan geometriyada Puankare yarim tekislik
modeli tanish Evklid tekisligidagi nuqtalar yordamida giperbolik tekislikni
ifodalash usulidir . Xususan, giperbolik tekislikdagi har bir nuqta koordinatalari
bo'lgan Evklid nuqtasi yordamida tasvirlangan .koordinata noldan katta, yuqori
yarim tekislik va Puankare metrikasi deb ataladigan metrik tenzor (masofa ta'rifi)
qabul qilinadi, bunda mahalliy shkala ga teskari proportsionaldir .koordinata nolga
teng, giperbolik tekislikdan tashqarida joylashgan ideal nuqtalarni (abadiy
nuqtalarni) ifodalaydi.

26(5-rasm) Giperbolik geometriyaning Puankare yarim tekislik modelidagi parallel
nurlar
Ba'zan yarim tekislik modelining nuqtalari musbat xayoliy qismga ega bo'lgan
murakkab tekislikda joylashgan deb hisoblanadi . Ushbu talqindan foydalanib,
giperbolik tekislikdagi har bir nuqta kompleks son bilan bog'lanadi .Yarim tekislik
modelini egri giperbolik tekislikdan tekis Evklid tekisligiga xarita proyeksiyasi
sifatida qarash mumkin. Giperboloid modelidan ( 3 o'lchovli Evklid fazosiga
o'rnatilgan sferaga o'xshash, 3 o'lchovli Minkovskiy fazosiga o'rnatilgan ikki
varaqdan iborat giperboloiddagi giperbolik tekislikning tasviri ) yarim tekislik
modeli orfografik proyeksiya orqali olinadi , bu null vektorning ideal markaziga
parallel bo'lishi mumkin . Proyeksiya konformaldir , ya'ni u burchaklarni saqlaydi
va sferaning stereografik proyeksiyasi kabi giperbolik tekislikdagi umumlashgan
doiralarni ( geodeziya , gipertsikllar , horotsikllar va doiralar) tekislikdagi
umumlashgan doiralarga (chiziqlar yoki doiralar) proyeksiya qiladi. Xususan,
geodeziya ( to'g'ri chiziqlarga o'xshash), markazida bo'lgan yarim doiralarga
loyihalash.Giperbolik harakatlar , giperbolik tekislikdan o'ziga bo'lgan masofani
saqlaydigan geometrik o'zgarishlar Puankare yarim tekisligida yarim tekislikni
saqlaydigan tekislikning Möbius o'zgarishlar to'plami bilan ifodalanadi ; Bular
konformal, aylanani saqlaydigan o'zgarishlar bo'lib, ular yo'nalishini

27o'zgartirmagan holda o'z o'qi. Tekislikdagi nuqtalar kompleks sonlar sifatida qabul
qilinganda, har qanday Möbius o'zgarishi kompleks sonlarning chiziqli kasr
o'zgarishi bilan, giperbolik harakatlar esa proyektiv maxsus chiziqli guruh
elementlari bilan ifodalanadi.Kayli konvertatsiyasi yarim tekislik modeli va
Puankare disk modeli o'rtasida izometriyani ta'minlaydi , bu giperbolik tekislikning
istalgan oddiy nuqtasida markazlashtirilgan giperboloidning stereografik
proyeksiyasi bo'lib, u giperbolik tekislikni Evklid tekisligidagi diskka chizadi ,
shuningdek, konformativlik va umumlashtirilgan doiralarni xaritalash
xususiyatlariga ega.Puankare yarim tekislik modeli Genri Puankare sharafiga
nomlangan , ammo u giperbolik geometriya Evklid geometriyasi bilan teng
ekanligini ko'rsatish uchun Klein modeli va Puankare disk modeli bilan bir qatorda
Eugenio Beltrami tomonidan ishlatilgan .iperbolik tekislik, har bir nuqta egar
nuqtasi bo'lgan tekislikdir . Giperbolik tekislik geometriyasi, shuningdek ,
psevdosferik sirtlarning geometriyasi , doimiy manfiy Gauss eğriliği bo'lgan
sirtlar . Egar sirtlari hech bo'lmaganda ba'zi hududlarda salbiy Gauss egriligiga ega
bo'lib, ular mahalliy darajada giperbolik tekislikka o'xshaydi.Giperbolik
geometriyaning hiperboloid modeli , maxsus nisbiylik asosi bo'lgan Minkovskiy
fazosida kelajakka bir vaqtinchalik birlik hodisalarini tasvirlashni ta'minlaydi .
Ushbu hodisalarning har biri qaysidir yo'nalishdagi tezlikka mos keladi.Geometrlar
birinchi marta standart Evklid geometriyasidan boshqa narsa bilan
ishlayotganliklarini anglab etgach, ular geometriyasini turli nomlar ostida
tasvirladilar; Feliks Klein nihoyat mavzuga giperbolik geometriya nomini berdi va
uni hozirda kamdan-kam qo'llaniladigan elliptik geometriya ( sferik geometriya ),
parabolik geometriya ( Evklid geometriyasi ) va giperbolik geometriya qatoriga
kiritdi. Sobiq Sovet Ittifoqida u odatda Lobachevskiy geometriyasi deb ataladi,
uning kashfiyotchilaridan biri, rus geometriyachisi Nikolay Lobachevskiy nomi
bilan atalgan .

28 XULOSA
Giperbolik geometriya Evklid geometriyasi bilan ko'rinadiganidan ko'ra
ko'proq bog'liq: yagona aksiomatik farq parallel postulatdir . Evklid
geometriyasidan parallel postulat olib tashlanganida, natijada olingan geometriya
mutlaq geometriya bo'ladi . Mutlaq geometriyaning ikki turi mavjud: Evklid va
giperbolik. Mutlaq geometriyaning barcha teoremalari, shu jumladan Evklid
elementlarining birinchi kitobining birinchi 28 ta taklifi Evklid va giperbolik
geometriyada amal qiladi. Evklid elementlarining parallel kesishmayotgan
chiziqlar mavjudligini isbotlaydi.Bu farq ham ko'p oqibatlarga olib keladi: Evklid
geometriyasida ekvivalent bo'lgan tushunchalar giperbolik geometriyada
ekvivalent emas; yangi tushunchalarni kiritish kerak. Bundan tashqari, parallellik
burchagi tufayli giperbolik geometriya mutlaq shkalaga ega , masofa va burchak
o'lchovlari o'rtasidagi munosabat.Giperbolik geometriyadagi yakka chiziqlar
Evklid geometriyasidagi yagona to'g'ri chiziqlar bilan aynan bir xil xususiyatlarga
ega. Masalan, ikkita nuqta chiziqni noyob tarzda belgilaydi va chiziq segmentlari
cheksiz ravishda kengaytirilishi mumkin.Ikki kesishuvchi chiziq Evklid
geometriyasida ikkita kesishuvchi chiziq bilan bir xil xususiyatlarga ega. Masalan,
ikkita aniq chiziq bir nuqtada kesishishi mumkin, kesishgan chiziqlar teng qarama-
qarshi burchaklarni hosil qiladi va kesishgan chiziqlarning qo'shni burchaklari
to'ldiruvchidir .Uchinchi chiziq kiritilganda, u holda Evklid geometriyasida
kesishuvchi chiziqlardan farq qiluvchi kesishuvchi chiziqlar xossalari bo'lishi
mumkin. Masalan, ikkita kesishuvchi chiziq berilganda, berilgan chiziqlarning
hech birini kesib o'tmaydigan cheksiz ko'p chiziqlar mavjud.Lobachevskiy
geometriyasi (giperbolik geometriya) uchun turli xil modellari mavjud bo‘lib, ular
Evklid geometriyasining parallel postulatini rad etgan holda nosingiz fazolarni
tasvirlaydi. Quyida eng muhim modellarning qisqacha tavsifi va taqqoslanishi

29keltirilgan: Poincaré diski model Fazoni birlik doira ichida
tasvirlaydi.Geodezikalar diametrlar yoki doira chegarasiga perpendikulyar bo‘lgan
aylana yoylari bilan ifodalanadi.Burchaklar Evklid burchaklari kabi o‘lchanadi,
lekin masofa o‘zgaruvchan bo‘ladi.Ko‘pincha fizikada, kvant maydon nazariyasi
va differensial geometriyada ishlatiladi.Poincaré yarim tekislik modeli Fazoni
yuqori yarim tekislik orqali tasvirlaydi.Geodezikalar vertikal to‘g‘ri chiziqlar yoki
yarim tekislik ichidagi yarim aylana yoylari sifatida beriladi.Masofa va burchaklar
o‘zgartirilgan metrik orqali o‘lchanadi.Kompleks tahlil va modulyar funksiyalar
bilan bog‘liq tadqiqotlarda ishlatiladi. Klein diski modeliFazoni birlik doira ichida
tasvirlaydi, lekin Poincaré modelidan farqli ravishda, geodezikalar doiraning
ichidagi to‘g‘ri chiziqlar sifatida namoyon bo‘ladi.Burchak o‘lchovlari buziladi,
lekin chiziqlar to‘g‘ri ko‘rinishda qoladi.Tasviriy ko‘rinish oddiyroq bo‘lsa ham,
masofani hisoblash murakkabroq.Beltrami – pseudosfera modeli Fazoni
pseudosfera yuzasi sifatida tasvirlaydi.Ushbu modelda geodezikalar pseudosfera
ustidagi eng qisqa yo‘llar bilan ifodalanadi.Asosan differensial geometriyada
ishlatiladi, lekin chegaraviy chegaralari mavjud bo‘lgani uchun universal
emas.Lobachevskiy geometriyasi - bu Evklid geometriyasidan farq qiluvchi
geometriya bo'lib, unda parallel chiziqlar haqidagi Evklid postulati o'rniga boshqa
aksioma qabul qilinadi. Natijada, Lobachevskiy geometriyasida uchburchakning
ichki burchaklari yig'indisi 180° dan kam bo'ladi va boshqa g'ayrioddiy
xususiyatlar paydo bo'ladi.Lobachevskiy geometriyasining turli modellari mavjud
bo'lib, ularning har biri Lobachevskiy fazosini Evklid fazosida tasvirlash imkonini
beradi. Eng mashhur modellardan biri Puankare modeli hisoblanadi.Puankare
modeli - bu Lobachevskiy fazosining yuqori yarim tekislikda tasvirlanishi bo'lib,
unda nuqtalar nuqtalar bilan, chiziqlar esa yarim aylana yoki vertikal chiziqlar
bilan ifodalanadi. Ushbu modelda Lobachevskiy geometriyasining barcha
aksiomalari bajariladi va u Lobachevskiy fazosining vizual tasvirini yaratish uchun

30qulaydir.Puankare modelidan tashqari, Klein modeli va boshqa modellar ham
mavjud. Ularning har biri Lobachevskiy fazosining turli xususiyatlarini aks ettiradi
va turli masalalarni hal qilishda qo'llaniladi.Xulosa qilib aytganda, Lobachevskiy
geometriyasi - bu Evklid geometriyasidan farq qiluvchi va o'ziga xos
xususiyatlarga ega bo'lgan geometriyadir. Uning turli modellari Lobachevskiy
fazosini tasvirlash va uning xususiyatlarini o'rganish imkonini beradi.Boshqa
barcha kesishmaydigan chiziqlar minimal masofali nuqtaga ega va bu nuqtaning
har ikki tomonidan ajralib chiqadi va ultraparallel deb ataladi , diversion parallel
yoki ba'zan kesishmaydi.Ba'zi geometriyalar shunchaki " parallel chiziqlar"
iborasini " cheklovchi parallel chiziqlar" degan ma'noni anglatadi, ultraparallel
chiziqlar esa kesishmaydigan degan ma'noni anglatadi .Bu cheklovchi parallellar
PB bilan th burchak hosil qiladi ; bu burchak faqat tekislikning Gauss egriligiga va
masofasiga bog'liq va parallellik burchagi deb ataladi .Ultraparallel chiziqlar uchun
ultraparallel teorema giperbolik tekislikda har bir ultraparallel juftlikka
perpendikulyar bo'lgan yagona chiziq mavjudligini bildiradi.
.

31FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Matematik analiz I (darslik) - A. Djumayev, B. Xudoyberganov - Toshkent:
"O'qituvchi", 2018.
2. Matematik analiz II (darslik) - A. Djumayev, B. Xudoyberganov -
Toshkent: "O'qituvchi", 2019.
3. Matematik analizdan misollar va masalalar to'plami - A. Djumayev, B.
Xudoyberganov - Toshkent: "O'qituvchi", 2020.
4.Oliy matematika (darslik) - V. I. Smirnov (tarjimonlar: A. Abdullayev, R.
Jo'rayev) - Toshkent: "O'zbekiston", 2005.
5.Differensial va integral hisoblash (darslik) - N. S. Piskunov (tarjimonlar: M.
Mirzayev, A. Xoliqov) - Toshkent: "O'qituvchi", 1985.
6.Matematik analiz kursi (darslik) - L. D. Kudryavtsev (tarjimonlar: Q.
Abdullayev, N. G'aniyev) - Toshkent: "O'zbekiston", 1990.
7.Matematik analizga kirish (o'quv qo'llanma) - A. A. Boboyev - Toshkent:
"Universitet", 2000.
8.Aniq integral va uning tatbiqlari (o'quv qo'llanma) - M. M. Mirzayev -
Samarqand: SamDU, 1995.
9Funksiyalar nazariyasi va funksional analiz elementlari (o'quv qo'llanma) -
H. H. Xudoyberdiyev - Buxoro: BuxDU, 2002.
10. Matematikadan masalalar to'plami (o'quv qo'llanma) - G. I. Gurman
(tarjimon: B. Yo'ldoshev) - Toshkent: "O'qituvchi", 1981.

32 11. Matematik analiz bo'yicha qo'llanma (o'quv qo'llanma) - B. P.
Demidovich (tarjimonlar: A. Abdullayev, R. Jo'rayev) - Toshkent:
"O'zbekiston", 1990.
12.Matematika o'qitish metodikasi (o'quv qo'llanma) - M. A. Aminov -
Toshkent: "O'qituvchi", 2000.
13.Matematika tarixi (o'quv qo'llanma) - A. P. Yushkevich (tarjimon: H.
G'ulomov) - Toshkent: "O'qituvchi", 1982.
14.Matematik modellashtirish (o'quv qo'llanma) - A. F. Voevodin - Toshkent:
"Universitet", 2005.
15. Amaliy matematika (o'quv qo'llanma) - I. V. Yakovlev - Toshkent:
"O'qituvchi", 2004.
16. Matematik analizdan maxsus kurslar (o'quv qo'llanma) - A. Djumayev -
Toshkent: "O'qituvchi", 2010.
17. Integral tenglamalar (o'quv qo'llanma) - S. G. Kreyn - Toshkent: "Fan",
1975.
18. Differensial tenglamalar (o'quv qo'llanma) - A. N. Tixonov, A. B.
Vasilyeva, A. G. Sveshnikov (tarjimonlar: M. Mirzayev, A. Xoliqov) -
Toshkent: "O'qituvchi", 2005.
19. imollar nazariyasi va matematik statistika (o'quv qo'llanma) - A. A.
Borovkov - Toshkent: "O'qituvchi", 1980.
20. Sonli usullar (o'quv qo'llanma) - N. S. Bakhvalov - Toshkent:
"O'qituvchi", 1978.

3321. Matematik logika va to'plamlar nazariyasi (o'quv qo'llanma) - A. G.
Dragalin - Toshkent: "O'qituvchi", 1973.
22.Geometriya kursi (darslik) - A. V. Pogorelov (tarjimon: U. I. Umarov) -
Toshkent: "O'qituvchi", 1982.
23.Algebra va sonlar nazariyasi (darslik) - I. R. Shafarevich (tarjimon: A.
Abdullayev) - Toshkent: "O'zbekiston", 1990.
24.Informatika va axborot texnologiyalari (o'quv qo'llanma) - A. A. Samatov -
Toshkent: "O'qituvchi", 2010.
25.Pedagogika (o'quv qo'llanma) - K. X. Xoshimov - Toshkent: "O'qituvchi",
2005
26. www.khanacademy.org – Algebra va progressiyalar bo‘yicha bepul
kurslar.
27. www.researchgate.net – Ilmiy maqolalar va tadqiqotlar ombori.
28. www.wikipedia.org – Arifmetik va geometrik progressiyalar haqida
aqolalar.
29. www.mathtutor.ac.uk – Matematika bo‘yicha darslik va video kurslar.

Lobachevskiy geometriyasining turli modellari

Sotib olish