Tekislikdagi ajoyib chiziqlar - Geometriya - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	3.2MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	12 Mart 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Geometriya

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

19 Sotish

Tekislikdagi ajoyib chiziqlar

Sotib olish

MUNDARIJA
KIRIS H_________________________________________________________ 3
1-§. Dekart yaprog i_______________________________________________ 5ʻ
2-§. Diokles sissoidasi_____________________________________________ 10
3-§. Sissoidali almashtirishlar orqali hosil qilinadigan 3-tartibli egri
chiziqlar________________________________________________________ 15
4 -§. Strofoida____________________________________________________ 22
5 -§. Boshqa ba`zi egri chiziqlar_____________________________________ 29
XULOSA_______________________________________________________ 34
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR______________________________ 35

KIRISH
Bizning eng katta boyligimiz bu xalqimizning
ulkan intellektual va ma`naviy salohiyati
Shavkat Mirziyoyev
Bugungi o ta tezkor rivojlanish va taraqqiyot sharoitida mustaqilʻ
O zbekiston o zining buyuk kelajagini bilimli, aqlli, mehnatsevar, jasur,
ʻ ʻ
ma`naviyati yuksak, jismonan kuchli bo lgan yosh avlod timsolida ko radi.
ʻ ʻ
Bunday har tomonlama barkamol avlodni o stirib, voyaga yetkazish
ʻ
davlatimizning ustuvor vazifalaridan sanaladi. Buning isboti sifatida O zbekiston
ʻ
Respublikasining Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning quyidagi fikrlarini
keltirishimiz mumkin:
Yurtimiz yoshlari o rtasida ilm-fan, ta`lim-tarbiya, tibbiyot, madaniyat,
ʻ
adabiyot va san`at, sport, ishlab chiqarish, harbiy xizmat sohalarida, umuman,
barcha jabhalarda jonbozlik ko rsatib kelayotgan azamat yoshlarimiz juda ko p.
ʻ ʻ
Ular o zining jismoniy va ma`naviy salohiyati, iste`dod va mahoratini namoyon
ʻ
etishi uchun zarur sharoitlarni yaratib berish borasida mamlakatimizda ko p ishlar
ʻ
qilinyapti va kelgusida ham albatta davom ettiramiz.
Davlatimizda yoshlarimizni barkamol qilib voyaga yetkazish, ularga bilim,
ta`lim-tarbiya berish masalasi konstitutsiyaviy maqomga ega bo ldi.
ʻ
Ma`naviyatimiz asosini tashkil etgan, hayotimizning ajralmas qismiga aylangan,
davlatimizning doimiy diqqat-e`tiborida turgan ta`lim masalasi Asosiy
Qonunimizdan mustahkam o rin oldi.
ʻ
Kurs ishining dolzarbligi: Malumki, matematika insoniyat hayot ehtiyojlari
natijasida paydo bolib, ikki obyektni, yani miqdoriy munosabatlar va fazoviy
formulani organadi. U fan sifatida rivojlana borgan sari real voqelikdagi bir xil
qonuniyatlarga boysinuvchi miqdoriy munosabatlar va fazoviy formulalarni
umumlashtirish yolini tutib, biroz abstraklasha boshladi. Bu narsa ayniqsa, fazoviy
formulalarga ko proq tegishli bo lib, bu geometriya o qitishda yaqqol ko rinib
ʻ ʻ ʻ ʻ
qoldi. Mazkur kurs ishi bu kamchiliklarni to g rilash va to ldirish bo yicha
ʻ ʻ ʻ ʻ
2

qo yilgan bir qadam bo lib, tekislikdagi ajoyib chiziqlar, ularning tenglamalari,ʻ ʻ
xossalari va yasash usullarini bayon qilishga bag ishlangan.
ʻ
Kurs ishining maqsadi: Oliy o quv yurtlari talabalari va akademik litsey
ʻ
o quvchilariga
ʻ tekislikdagi ajoyib chiziqlar va ularni yasash usullari bo yicha ʻ
ma`lumot berish, bu chiziqlarning tatbiqlarini misollar orqali tushuntirishdan
iborat.
Ushbu kurs ishining vazifalari quyidagilardan iborat:
1. Mavzuga doir ma`lumotlarni yig ish va rejani shakllantirish;
ʻ
2.Ta`lim sifati va samaradorligini yaxshilash orqali ta`lim natijasini
ta`minlash yo llarini aniqlash;
ʻ
3. Zamonaviy axborot texnologiyalarini o rganish;
ʻ
4.Matematika ta`limida axborot texnologiyalaridan foydalanish
metodikasining ahamiyatini bilish;
5. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Kurs ishi asosan talabalarga matematik bilimlar dunyosi, tekislikdagi ajoyib
chiziqlar, ularning rang-barangligi hamda hayotiy ahamiyatini, uning zarurligini
o rgatishdan iborat.
ʻ
3

ASOSIY QISM
1-§. Dekart yaprog iʻ
Rene Dekart (1596-1650) - fransuz faylasufi, matematik, mexanik, fizik va
fiziolog, analitik geometriya va zamonaviy algebraik simvolizmni yaratuvchisi,
falsafada radikal shubha uslubi muallifi, fizikada mexanizm, refleksologiyaning
asoschisi.
Dekart yaprog i
ʻ deb, tenglamasi to g ri burchakli sistemada ʻ ʻ
(1)
ko rinishiga ega bo lgan 3-tartibli chiziqqa aytiladi.
ʻ ʻ
Dekart yaprog i koordinatalar boshidan o tib, koordinatalar o qlariga
ʻ ʻ ʻ
urinadi. Koordinatalar boshi Dekart yaprog ining tugun nuqtasi,
ʻ
to g ri chiziq esa uning asimptotasi hisoblanadi.
ʻ ʻ
Ba`zan dekart yaprog ining parametrik tenglamasidan foydalanish qulay.
ʻ
Bunda y=tx belgilash kiritib va (1) tenglikka qo yib,
ʻ x va y ni topishimiz mumkin:
,
,
,
,
.
Demak, chiziq tenglamasi
(2)
ko rinishga ham ega.
ʻ
Bundan dekart yaprog i
ʻ ratsional egri chiziq ekani kelib chiqadi. Chiziqning

qutb koordinatalardagi tenglamasini topaylik:
4

,

Tenglikni har ikki tomonini ga bo lib,ʻ

ga ega bo lamiz. Bundan
ʻ
(3)
ekanligi kelib chiqadi. Bu dekart yaprog ining qutb koordinatalar sistemasidagi
ʻ
tenglamasidir.
Dekart yaprog i tenglamasida
ʻ x va y koordinatalari simmetrik qatnashgani
uchun u y=x bissektrisaga nisbatan simmetrik egri chiziqdir. Dekart yaprog ining
ʻ
tugun nuqtasi koordinatalar boshidan iborat. Ma`lumki, e`gri chiziq maxsus O(0,0)
nuqtasidagi urinmasining chiziq tenglamasining oxirgi hadini nolga tenglab
topiladi. Bu yerda oxirgi had 3axy bo lib,
ʻ 3axy=0 tenglikdan x=0 va y=0
ekanligini hosil qilamiz. Bular chiziqning O(0,0) tugun nuqtasidagi izlangan
urinmalar tenglamasidir. Bular koordinatalar o qlari bo lib, bundan egri chiziq
ʻ ʻ
koordinata boshida o zini o zi to g ri burchak ostida kesib o tishi kelib chiqadi.
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
Birinchi koordinata burchagida egri chiziq y=x to g ri chiziq bilan
ʻ ʻ
nuqtada kesishuvchi sirtmoq hosil qiladi. Bu sirtmoqning koordinata o qlariga
ʻ
parallel urinmalari va nuqtalardan o tadi (1-
ʻ
chizma).

1-chizma.
5

Egri chiziq shakli bo yicha oxirgi xulosa sifatida ʻ y=kx+b asimptotani topish
kerak. Egri chiziq tenglamasida y ni kx+b ga almashtirib, olingan tenglamada x
yuqori darajali ikkita had koeffisentlarini nolga tenglashtiramiz. Bunda va
tenglamalarga ega bo lamiz va
ʻ k=-1 va b=-a ekanini topamiz.
Shunday qilib, dekart yaprog i
ʻ y=-x-a asimptotaga ega bo ladi. Demak, ikkinchi va ʻ
to rtinchi koordinata burchaklarida dekart yaprog ining shoxchalari cheksizlikka
ʻ ʻ
qarab ketadi.
Chiziqning xossalari. Makloren teoremasi ga ko ra, agar 3-tartibli algebraik
ʻ
egri chiziqning bitta to g ri chiziqda yotgan uchta nuqtasida bu egri chiziqqa
ʻ ʻ
urinmalar o tkazilsa, u holda ularning egri chiziq bilan kesishgan nuqtalari ham
ʻ
bitta to g ri chiziqda yotadi. Bu teorema dekart yaprog iga qo llanilganda oddiy
ʻ ʻ ʻ ʻ
isbotlanadi. Shu maqsadda dekart yaprog ining
ʻ va parametrlarga mos
keladigan uchta nuqtasining bitta to g ri chiziqda bo lishi shartini oldindan keltirib
ʻ ʻ ʻ
chiqaramiz. Agar to g ri chiziq tenglamasi
ʻ ʻ y=kx+b ko rinishiga ega bo lsa, u holda ʻ ʻ
bu to g ri chiziqning egri chiziq bilan kesishish nuqtalariga mos keluvchi parametr
ʻ ʻ
qiymatlari quyidagi sistemani qanoatlantirishi kerak:
, , .
Bu sistema ildizlari parametrning izlanayotgan va qiymatlari bo lgan
ʻ
tenglamaga olib keladi, bundan
(4)
ekanligi kelib chiqadi. Bu tenglik dekart yaprogining , va
nuqtalari bitta to g ri chiziqda joylashishining sharti bo ladi.
ʻ ʻ ʻ
Ushbu shartga asoslangan holda Makloren teoremasining dekart yaprog i
ʻ
uchun to g riligini ko rsatamiz. Haqiqatdan ham,
ʻ ʻ ʻ nuqtadagi urinmani
dekart yaprog ining o zaro bir-biri bilan ustma-ust tushuvchi ikkita nuqtada kesib
ʻ ʻ
o tuvchi tog ri chiziq deb qarash mumkin. U nuqtalar uchun
ʻ ʻ parametrning
uchinchi nuqtaga mos qiymatini orqali belgilaymiz. Bunda (4) shart
6

ko rinishga ega bo ladi. ʻ ʻ va nuqtalardagi urinmalar uchun ham shunga
o xshash
ʻ va munosabatlarga ega bo lamiz. Bu uchta tenglikni ʻ
ozaro ko paytirib,
ʻ ga ega bo lamiz. Bundan, (4) shartga ʻ
asosan deb xulosa qilamiz, ya`ni , va
nuqtalar bir to g ri chiziqda yotadi.
ʻ ʻ
Dekart yaprog i sirtmog i bilan chegaralangan
ʻ ʻ yuzani aniqlaylik:
.
Demak, bu yuza ga teng.
Chiziqni yasash usuli. Agar dekart yaprog i simmetriya o qini absissalar
ʻ ʻ
o qi deb faraz qilsak, u holda uning tenglamasi
ʻ
(5)
ko rinishga ega bo ladi.
ʻ ʻ
Radiusi r va markazi nuqtada joylashgan aylana va x=-h to g ri
ʻ ʻ
chiziq mavjud bo lsin. Bu aylananing ixtiyoriy
ʻ Q nuqtasini olib, absissalar o qiga ʻ
perpendikulyar bo lgan
ʻ QA va QN to g ri chiziqlarni o tkazamiz (2-chizma). ʻ ʻ ʻ
2-chizma.
QA to g ri chiziqning
ʻ ʻ x=-h to g ri chiziq bilan kesishish nuqtasi ʻ ʻ R dan QN to g ri ʻ ʻ
chiziq bilan Q
1 nuqtada kesishuvchi RO to g ri chiziq o tkazamiz. Shunday qilib,
ʻ ʻ ʻ
7

aylanada Q nuqtaga Q
1 nuqta mos keladi. Shunday usulda topilgan nuqtalarning
geometrik o rni dekart yaprog idan iborat bo ladi. ʻ ʻ ʻ
Buni isbotlash uchun, Q nuqtaning koordinatalarini
,
ko rinishda yozish mumkinligini e`tiborga olamiz, bu yerda
ʻ - Q nuqtadan
o tkazilgan doira radiusining absissalar o qining musbat yo nalishi bilan tuzilgan
ʻ ʻ ʻ
burchagi. Shunga mos holda QA to g ri chiziq tenglamasi
ʻ ʻ
ko rinishda yozilishi mumkin. Tenglamada
ʻ x=-h deb faraz qilib, R nuqtaning
ordinatasini topamiz: .
Bundan RQ
1 to g ri chiziqning tenglamasi
ʻ ʻ
(6)
ko rinishda bo lishi kelib chiqadi.
ʻ ʻ
Q
1 N to g ri chiziqning tenglamasi esa
ʻ ʻ
(7)
ko rinishga ega bo ladi.
ʻ ʻ
(6) va (7) tenglamalardan chiqarib tashlab, Q
1 nuqtalar geometrik
o rnining tenglamasini
ʻ
ko rinishda topamiz. Uni (5) tenglama bilan taqqoslab, topilgan geometrik o rin
ʻ ʻ
dekart yaprog i bo ladi degan xulosaga kelamiz. Aylana nuqtalarining shunday
ʻ ʻ
usulda dekart yaprog ining nuqtalariga almashtirilishi
ʻ Makloren almashtirilishi
deyiladi.
2-§. Diokles sissoidasi
8

Shaklning maxsusligi. Qadimgilar tomonidan kubni ikkilantirish haqidagi
mashhur masalaning yechimini topish maqsadida ochilgan sissoida egri chizig iniʻ
hosil qilishning ko pgina usullari mavjud. Biz eng avvalo ularning eng soddasiga
ʻ
to xtalamiz.
ʻ OA=2a diametrli aylanani va unga o tkazilgan ʻ AB urinmani olamiz. O
nuqta orqali OB nurni o tkazib, unda
ʻ OM=BC kesmani ajratamiz. Shunday usul
bilan qurilgan M nuqta sissoidaga tegishli bo ladi.
ʻ OB nurni qandaydir burchakka
burib va ko rsatilgan yasashni bajarib, biz sissoidaning ikkinchi nuqtasini topamiz
ʻ
va hakozo (3-chizma).
Agar O nuqtani qutb deb qabul qilsak, u holda bo ladi.
ʻ
Agar va ekanini e`tiborga olsak, bundan
sissoidaning qutb tenglamasi kelib chiqadi:
(1)
3-chizma.
Qutb koordinatalaridan dekart koordinatalariga o tish formulalaridan
ʻ
foydalanib, sissoidaning to g ri chiziqli koordinatalar sistemasidagi tenglamasini
ʻ ʻ
topamiz:
. (2)
x=ty deb faraz qilib, sissoidaning parametrik tenglamalarini olish mumkin. U holda
(2) tenglamaga asoslanib, quyidagi tenglamalarga kelamiz:
, (3)
9

(2) tenglamadan ko rinib turibdiki, sissoida 3-tartibli algebraik egri chiziq, (3) danʻ
esa uning ratsional chiziq ekani kelib chiqadi.
Sissoida absissa o qiga nisbatan simmetrik va cheksiz shoxchalarga ega
ʻ x=2a
to g ri chiziq sissoidaga asimptota bo ladi. Koordinata boshi esa – uning 1-tur
ʻ ʻ ʻ
qaytish nuqtasidir.
Chiziqning xossalari . Kinematik jihatdan sissoida ABC uchburchakning BC
kateti o rtasi
ʻ M ning traektoriyasi sifatida olinishi mumkin, u chizma tekisligida
shunday siljiydiki, uning B uchi ordinatalar o qi bo yicha suriladi, boshqa
ʻ ʻ AC katet
esa doimo absissalar o qidagi siljimaydigan
ʻ E nuqtadan o tadi (4-chizma). ʻ
Haqiqatan ham, OE kesma o rtasini
ʻ D orqali belgilab, BC=EO, BCE
uchburchak BEO uchburchakka tengligiga e`tibor bersak, BEO burchak CBE
burchakka teng bo ladi.
ʻ bo lgani uchun, ʻ NBE uchburchak
teng yonli uchburchakdir. Bundan DM kesma BC kesmaga paralelliga kelib
chiqadi. K nuqta B nuqtadan o tuvchi va absissalar o qiga parallel bo lgan to g ri
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
chiziqni DM kesmani davom ettirishdan hosil bo lgan to g ri chiziq bilan kesishish
ʻ ʻ ʻ
nuqtasi bo lsin. Markazi koordinatalar boshida va radiusi
ʻ OD ga teng bo lgan ʻ
aylana chizamiz va unga EO to g ri chiziq bilan ikkinchi kesishish nuqtasida
ʻ ʻ
urinma o tkazamiz. U
ʻ K nuqtadan o tadi. ʻ DMK to g ri chiziqning aylana bilan ʻ ʻ
kesishish nuqtasini F orqali belgilab, DOF va MBK uchburchaklarning o zaro
ʻ
tengligini ko ramiz. Ularning tengligidan
ʻ DF=MK ekanligi kelib chiqadi. Demak,
DM=FK bo ladi. Bu tenglik
ʻ M nuqtalarning geometrik o rni sissoida ekanligini ʻ
ko rsatadi.
ʻ
4-chizma.
10

Sissoida hosil bo lishining boshqa usullari uning parabola bilan bo lganʻ ʻ
munosabatlariga asoslanadi. Birinchi navbatda sissoida parabolaning uning uchiga
nisbatan poderasi ekanligini ko rsatamiz.
ʻ
Faraz qilaylik, - berilgan parabolaning tenglamasi bo lsin. Bu
ʻ
parabolaning ixtiyoriy nuqtasidagi urinma tenglamasini
ko rinishida yozish mumkin. Koordinatalar boshidan bu urinmaga tushirilgan
ʻ
perpendikulyar tenglamasining ko rinishi
ʻ bo ladi. Perpendikulyar bilan ʻ
urinmaning kesishish nuqtasi N ning koordinatalari
(4)
formuladan aniqlanadi. Bu tengliklardan parametrni chiqarib tashlab, biz
sissoidani ifodalovchi tenglamaga ega bo lamiz.
ʻ
Shuni e`tiborga olamizki, parabola urinmasiga nisbatan
koordinatalar boshiga simmetrik bo lgan nuqtaning koordinatalari (4) formulaning
ʻ
o ng tomonlarini ikkilantirishdan , ya`ni ,
ʻ va formulalar
orqali aniqlanadi. Bu tengliklardan parametrni chiqarib tashlab, biz yana
tenglama orqali beriladigan sissoidaga ega bo lamiz.
ʻ
Bundan, sissoidaning parabola uchining uning urinmalariga nisbatan
simmetrik bo lgan nuqtalarning geometrik o rni ekanligi kelib chiqadi.
ʻ ʻ
Sissoidaning metrik xususiyatlariga to xtalamiz, bunda bizga sisssoidaning
ʻ
,
ko rinishidagi parametrik tenglamalaridan foydalanish qulay bo ladi.
ʻ ʻ
11

Sissoida va uning asimptotasi bilan chegaralangan yuza hosil qiluvchi
doiraning uchlangan yuzasiga teng bo ladi; haqiqatdan ham,ʻ
bo ladi. Bu munosabatni Gyugens topgan va unga bog liq bo lmagan holda Ferma
ʻ ʻ ʻ
ham ushbu munosabatni keltirib chiqargan.
Sissoidani va chegaralarda integrallab, OAMC egri chiziqli
uchburchak yuzasi (5-chizma) ga tengligini topamiz.
5-chizma.
Agar endi A va B nuqtalarda hosil qiluvchi doiraga urinmalar o tkazsak, u holda
ʻ
egri chiziqli CMANC uchburchakning yuzasi
ga teng bo ladi. O ng tomonda turgan ifoda
ʻ ʻ CLANC egri chiziqli uchburchakning
uchlangan yuzasini aniqlaydi. Shunday qilib, S(CMANC)=3S(CLANC) bo ladi. Bu
ʻ
munosabat ham Gyugens tomonidan ochilgan edi.
Sissoida va uning asimptotasi bilan chegaralangan tekislik qismini
ordinatalar o qi atrofida aylanishidan hosil bo lgan jism hajmi quyidagi formula
ʻ ʻ
bilan aniqlanadi:
12

.
Agar ordinatalar o qi atrofida hosil qiluvchi doiraning aylanishidan hosilʻ
bo lgan tor hajmining
ʻ ga tengligini hisobga olsak, u holda olingan
natijadan quyidagi kelib chiqadi: sissoida va uning asimptotasi bilan
chegaralangan tekislik qismining ordinatalar o qi atrofida aylanishidan hosil
ʻ
bo lgan tor hajmidan besh marta katta bo ladi.
ʻ ʻ Bu munosabat ham Gyugens
tomonidan topilgan.
Endi x
c - sissoida va uning asimptotasi bilan chegaralangan tekislik qismi
og irlik markazining absissasi bo lsin. U holda , Gyulden teoremasiga ko ra
ʻ ʻ ʻ
ga ega bo lamiz, bu yerda
ʻ V va U lar mos holda yuqorida aniqlangan
yuza va hajmlardir. Ularning qiymatlarini Gyulden munosabatlariga qo yib,
ʻ
yoki ga ega bo lamiz.
ʻ
Shunday qilib, sissoida va uning asimptotasi bilan chegaralanadigan tekislik
qismining og irlik markazi uning asimototasi va uchi orasidagi kesmani 1:5
ʻ
nisbatda ikki qismga bo ladi. Bu munosabat o z navbatida sissoidani uning
ʻ ʻ
asimptotasi atrofida aylanishidan hosil bo lgan jism hajmini aniqlash imkonini
ʻ
beradi. Gyulden teoremasiga ko ra
ʻ
bo ladi. Bu natijani, hosil qiluvchi doiraning asimptota atrofida aylanishidan hosil
ʻ
bo lgan torning hajmi sifatida ham qarash mumkin. Shunday qilib, sissoidaning
ʻ
uning asimptotasi atrofida aylanishidan hosil bo lgan jism hajmi hosil qiluvchi
ʻ
doira aylanishidan hosil bo lgan tor hajmiga teng bo ladi. Bu munosabat birinchi
ʻ ʻ
marta Slyuz tomonidan o rnatilgan.
ʻ
Sissoida yoyining uning uchidan x absissali nuqtasigacha bo lgan uzunligi
ʻ
formula bo yicha aniqlanadi, bu yerda
ʻ .
13

Sissoidani Delose masalasini yechishga qo llash.ʻ
Oldin aytilganidek, sissoida qadimgilar tomonidan kubni ikkilantirish haqidagi
delose masalasini yechishni qidirish maqsadida ochilgan edi. Bu masalani kelib
chiqish tarixi afsonaga ko ra, Eratosfen tomonidan yozib qoldirilgan. Delose
ʻ
masalasini yechish maqsadida sissoidaning ochilishi bizning eramizgacha bo lgan
ʻ
III asrda yashagan Dioklesga tegishlidir. Grafik yo l bilan berilgan kub hajmidan
ʻ
ikki marta katta hajmga ega bo lgan kub qirrasini topish imkoniyati quyidagi
ʻ
mulohazalarda ko riladi.
ʻ b -berilgan kub qirrasi, B -esa izlanayotgan kub qirrasi
bo lsin; u holda
ʻ , demak, . Bundan ma`lumki, masalaning grafik
yechimi ni qurishga keltirilishi kerak. Bu maqsadda sissoida tenglamasini
ko rinishda yozib olamiz.
ʻ to g ri chiziq urinmadan ʻ ʻ
(5)
kesmani ajratadi (6-chizma).
6-chizma.
Sissoidani koordinatalari tenglamani qanoatlantiruvchi M nuqtada
kesib o tadi. Bu tenglamani
ʻ A(2a,0) nuqta orqali o tuvchi va ordinatalar o qidan ʻ ʻ
(6)
kesmani ajratuvchi to g ri chiziq tenglamasi sifatida qarash mumkin. Agar endi
ʻ ʻ
deb qabul qilib va ordinatalar o qida
ʻ OC=2 kesmani ajratib, so ngra C ʻ
nuqtani A(1,0) nuqta bilan; sissoidani CA to g ri chiziq bilan kesishish nuqtasini O
ʻ ʻ
14

nuqta bilan birlashtirib va olingan kesmani urinma bilan kesishgunga qadar davom
ettirilsa, u holda (5) va (6) formulalardan chiqqanidek AD kesma ga teng
bo ladi.ʻ
3-§. Sissoidali almashtirishlar orqali hosil qilinadigan 3-tartibli egri
chiziqlar
Yuqorida biz berilgan ikkita chiziq, ya`ni aylana va to g ri chiziq bilan
ʻ ʻ
sissoidani yasaganga o xshab, yangi chiziqlarni hosil qilish mumkin, masalan,
ʻ
aylana o rniga ellips, to g ri chiziq o rniga parabolani yoki birorta boshqa chiziqni
ʻ ʻ ʻ ʻ
olish mumkin. Bu fikr sissoidali almashtirish tushunchasiga olib keladi. Ushbu
almashtirishning asl ma`nosi shundaki, agar qutb sistemada va
tenglamalar orqali ifodalangan ikkita egri chiziq berilgan bo lsa, radius-
ʻ
vektor uchlaridan iborat bo lgan nuqtalarning geometrik o rni sifatida egri
ʻ ʻ
chiziqni qurish mumkin. Ular kabi ajratiladi.
Ko rsatilgan usulda hosil bo ladigan egri chiziqlarning umumiy xossalarini
ʻ ʻ
tadqiqot qilish bilan ko p olimlar shug ullangan.
ʻ ʻ Biz shunday xossalardan biriga,
ya`ni Peano tomonidan o rnatilgan xossaga to xtalamiz.
ʻ ʻ
Faraz qilaylik, va - hosil qiluvchi egri chiziqlar
tenglamasi , esa ularning sissoidal egri chizig i tenglamasi bo lsin,
ʻ ʻ
demak, bo ladi.
ʻ
Bu uchta egri chiziqlarning qutb normalostilarini aniqlab, quyidagilarga ega
bo lamiz:
ʻ
, ,
Ammo
bo lgani uchun
ʻ bo ladi, ya`ni, sissoidali egri chiziq qutb normalostisi ʻ
mos holda hosil qiluvchi egri chiziqlar qutb qism normalostilari ayirmasiga teng.
15

Bu xossa sissoidal egri chiziqning berilgan nuqtasidagi normalni qurishning
oddiy usulini beradi. Shuningdek, u bunday egri chiziqning ixtiyoriy berilgan
nuqtasidagi egrilik markazini grafik usulda aniqlash imkonini ham ochib beradi.
Bunga mos keluvchi usul shunday dalilga asoslanganki, egri chiziq
uchun egrilik markazini grafik usulda aniqlash mumkin, agar ni ifodalovchi
kesma ma`lum bo lsa. Haqiqatdan ham, qutb sistemada berilgan egri chiziq uchunʻ
egrilik radiusi

tenglik orqali ifodalanishi ma`lum. Bundan
(1)
kelib chiqadi. Endi quyidagicha yasashni amalgam oshiramiz: , MP- qutb
normal va PO - normalosti bo lsin. Ma`lumki,
ʻ va (7-
chizma). ni o tkazamiz. U holda
ʻ
va
tenglamalar o rinli bo ladi.
ʻ ʻ
7-chizma.
Shuning uchun (1) tenglikni
16

ko rinishda yozish mumkin.ʻ
Endi C0 - egrilik markazi va MC=R bo lsin;
ʻ C nuqtadan kesmani
qo yamiz va
ʻ ; U holda
bo ladi. Demak,
ʻ yoki . Shunday qilib, R ni ifodalovchi MC
kesmani bilgan holda ni ifodalovchi OA kesmani grafik asosida aniqlash
mumkin.
Sissoidali egri chiziqlarga bu usulni qo llash uchun hosil qiluvchi egri
ʻ
chiziqlarning egrilik radiuslari va lar ma`lum bo lishi kerak.
ʻ va
larni bilgan holda biz va larni topa olamiz, bu esa o z navbatida
ʻ ni
aniqlash imkonini beradi, chunki . ni bilgan holda yuqorida ko rib
ʻ
chiqilgan usul bilan R ni topish mumkin. Demak, egrilik markazini ham topish
mumkin.
2-tartibli egri chiziqlar sissoidalari.
(2)
tenglama bilan ifodalanuvchi 2-tartibli egri chiziqlar sissoidalarini ko rib chiqamiz,
ʻ
hosil qiluvchi ikkinchi egri chiziqni
x=k (3)
tenglamali to g ri chiziq deb faraz qilamiz. Qutb sistemada egri chiziqning (2)
ʻ ʻ
tenglamasi
ko rinishda yoziladi, to g ri chiziq tenglamasi esa
ʻ ʻ ʻ
17

ko rinishda bo ladi. Demak, ularning sissoidalari ʻ ʻ
tenglik bilan ifodalanadi. Dekart sistemasiga o tib,
ʻ
(4)
tenglamaga ega bo lamiz. Bu 2-tartibli egri chiziqlar sissoidalarining umumiy
ʻ
tenglamasidir.
Agar (2) - va yarim o qli ellips bo lsa, (
ʻ ʻ , ),
(3) to g ri chiziq esa
ʻ ʻ tenglama orqali ifodalansa, u holda (4) dekart
yaprog ini ifodalaydi. Uning simmetriya o qi absissalar o qi bilan ustma-ust
ʻ ʻ ʻ
tushadi.
Agar (2) – va yarim o qli giperbola (
ʻ , ) bo lsa, (3) ʻ
to g ri chiziq esa
ʻ ʻ tenglama orqali ifodalansa, u holda (4) tenglama
(5)
ko rinishda yoziladi va Lonsham trisektrisasi deb ataluvchi egri chiziqni ifodalaydi
ʻ
8-chizma.
18

Lonsham trisektrisasi radiusi a ga teng aylana o tkazilgan urinmalarʻ
kesishish P nuqtalarining geometrik o rni sifatida aniqlanishi mumkin. Ular ushbu
ʻ
aylananing C va B nuqtalarida o tkazilgan bo ladi, agar bu nuqtalar
ʻ ʻ va
yoylarning uchlaridan iborat bo ladi, bu yerda
ʻ - ixtiyoriy markaziy
burchak, A nuqta esa belgilangan nuqtadir. Haqiqatdan ham, 8-chizmadan
ekanliga kelib chiqadi, ammo . Bunday holatda esa OCP
uchburchakdan izlangan egri chiziq qutb tenglamasini hosil qilamiz.
Dekart sistemasiga o tib yuqorida keltirilgan (5) tenglamaga ega bo lamiz.
ʻ ʻ
trisektrisani inversion almashtirib, biz uch yaproqli
atirgulni hosil qilamiz.
Bizga parabola sissoidasini ko rib chiqish qoldi holos. Bu yerda bu egri
ʻ
chiziq nuqtalari radius-vektorlarini ayirmalar sifatida emas, balki to g ri chiziq va
ʻ ʻ
parabola mos nuqtalarining radius-vektorlarining yig indilari sifatida aniqlash
ʻ
qulaydir. Bu shartda 2-tartibli egri chiziqlar sissoidalarining (4) tenglamasi
(6)
ko rinishni oladi.
ʻ parabola va to g ri chiziq sissoidasini hosil qilish ʻ ʻ
uchun tenglamaga , larni qo yamiz. Bunda hosil bo ladigan
ʻ ʻ
izlanayotgan sissoidaning tenglamasi
(7)
ko rinishga ega bo ladi va aralash kubik deb ataluvchi egri chiziqni bildiradi
ʻ ʻ
(9-chizma).
19

9-chizma.
Genkel ko rsatganidek, aralash kubikni quyidagicha yozish mumkin.ʻ
parabolani olaylik. Parabolaning ixtiyoriy A nuqtasidan unga
urinma o tkazamiz. Bundan tashqari
ʻ AT urinmaga parallel OP to g ri chiziqni ʻ ʻ
o tkazamiz. U holda urinmaning
ʻ A nuqta ordinatasi bilan kesishish nuqtasi P ning
geometrik o rni aralash kubik bo ladi. Haqiqatda,
ʻ ʻ
.
Lekin, parabola tenglamasidan
ga egamiz. Demak, izlanayotgan egri chiziq tenglamasi
yoki
ko rinishda yoziladi va (7) ga ko ra aralash kubikni bildiradi. OP va OM radius-
ʻ ʻ
vektorlarning ayirmasini tuzib, da u ayirma nolga intilishiga ishonch hosil
qilish mumkin. Demak, parabola (7) kubik uchun egri bhiziqli asimptota
bo lib xizmat qiladi.
ʻ
20

4-§. Strofoida
Strofoida deb ataluvchi egri chiziq quyidagicha yasalgan nuqtalarning
geometrik o rnini bildiradi. Belgilangan ʻ A nuqta va belgilangan g to g ri chiziq ʻ ʻ
berilgan bo lsin. Bunda
ʻ nuqtadan bu to g ri chiziqqa tushirilgan ʻ ʻ
perpendikulyar; A nuqta atrofida nur aylanib, u nurning berilgan to g ri chiziq
ʻ ʻ
bilan kesishish nuqtasidan deb, va kesmalar ajratiladi.
va nuqtalarning geometrik o rni strofoida bo ladi (10-chizma). Odatda
ʻ ʻ
va nuqtalar qo shma nuqtalar deb ataladi.
ʻ
A nuqtani qutb deb, AC to g ri chiziqni esa qutb o qi deb faraz qilib,
ʻ ʻ ʻ
ga ega bo lamiz; ammo
ʻ
,
bo ladi. Demak, strofoidaning qutb tenglamasi
ʻ
(1)
ko rinishga ega bo ladi.
ʻ ʻ
10-chizma.
To g ri burchakli koordinatalarga o tib,
ʻ ʻ ʻ
(2)
ga ega bo lamiz.
ʻ
Strofoidaning patametrik tenglamalari
, (3)
ko rinishda yozilishi mumkin.
ʻ
21

(2) tenglamadan ko rinib turibdiki, egri chiziq absissalar o qiga nisbatanʻ ʻ
simmetrik; bu tenglamadan yana shu narsa kelib chiqadiki, strofoida uchun
asimptota bo ladi.
ʻ nuqta strofoidaning tugun nuqtasidir. Haqiqatda, (2)
tenglamadan
ga ega bo lamiz, ya`ni (a,0) nuqtada
ʻ . Bundan, ushbu nuqtada strofoida y=x
va y=-x urinmalar bilan tugun hosil qiladi degan xulosa kelib chiqadi. Demak,
strofoida tarmoqlari tugun nuqtada to g ri burchak ostida kesishadi.
ʻ ʻ
Strofoida xossalari.
1. Strofoida parabola o qi bilan uning direktrisasining kesishish nuqtasiga
ʻ
nisbatan parabolaning poderasi bo ladi.
ʻ Haqiqatda, nuqtada
parabolaga o tkazilgan urinmaning tenglamasini
ʻ ko rinishda yozish ʻ
mumkin. nuqtadan bu urinmaga tushirilgan perpendikulyar tenglamasini
esa ko rinishda yozish mumkin. Tenglamalarni birgalikda yechib,
ʻ
,
yoki
,
tengliklarga ega bo lamiz, bu yerda
ʻ . Olingan sistema strofoidaning
parametrik ifodasidair.
2. Strofoidaning va qo shma nuqtalaridan o tkazilgan ikkita
ʻ ʻ
urinmalar kesishish nuqtalarining geometrik o rni Diokles sissoidasi bo ladi.
ʻ ʻ Bu
xossani isbotlashda strofoidaning (3) dan farqli ushbu
22

,
parametrik tenglamalaridan foydalanish qulaydir.
3. Agar inversiyaning qutbi A nuqta bilan ustma-ust tushsa va inversiya
darajasi esa ga teng bo lsa, strofoida inversiyasi xuddi o sha strofoidaniʻ ʻ
beradi. Haqiqatda, strofoida tenglamasidan
va
ekanligi kelib chiqadi. Bu tengliklarni ko paytirib,
ʻ
ga ega bo lamiz.
ʻ
4. Strofoidaning ixtiyoriy nuqtasida qutb urinmaosti va qutb normalosti ni
aniqlab,
, (4)
larga ega bo lamiz. Bu yerdan uchlari
ʻ va bo lgan nuqtalarning geometrik ʻ
o rinlari
ʻ tenglamalarga ega bo lishi kelib chiqadi. Bu esa ʻ
kardioidani, - esa parabolani beradi. Agar va lar orqali
strofoidaning qo shma
ʻ va nuqtalaridagi urinma ostilarini belgilasak, u
holda (4) ga asosan
+ = 2a
munosabatga ega bo lamiz.
ʻ
5. Strofoidaning quyidagi ajoyib xossasini isbotlash uchun oldindan
strofoidaning va parametrlar qiymatlariga mos keluvchi uchta nuqtasi
bitta to g ri chiziqda yotish shartini topamiz. To g ri chiziq va strofoidaning
ʻ ʻ ʻ ʻ
kesishish nuqtalarini aniqlash
23

tenglamaga olib keluvchi
, ,
sistemani yechishga keltiriladi, bu yerdan izlanayotgan shart
(5)
ko rinishda ekanini topamiz. ʻ
Endi strofoidaning to rtta
ʻ va parametrlari nuqtalari bitta
aylanada yotish shartini topamiz. Strofoida va aylana kesishishi nuqtalarini
aniqlash
;
,
sistemani yechishga keltiriladi. Bu sistema
tenglamaga olib keladi. Bundan tenglamaning koeffisentlari va ildizlari orasidagi
munosabatlar asosida
va
ga ega bo lamiz. Demak,
ʻ
.
Oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki, parametrlar qiymatlariga mos keluvchi
strofoidaning uchta nuqtasi koordinatalar boshidan o tuvchi doira aylanasida
ʻ
yotadi, degan shart
24

(6)
tenglik orqali ifodalanadi.
Endi qiyinchiliksiz strofoidaning quyidagi xossasini isbotlash mumkin: agar
strofoidada yotuvchi qandaydir M nuqtadan unga P va Q nuqtalarda egri chiziqqa
urinadigan ikkita urinma o tkazilsa, u holda ʻ M, P va Q nuqtalar koordinalar
boshidan o tuvchi aylanada yotadi (11-chizma).
ʻ
11-chizma.
Bu xossaning isboti parametrlarning M,P va Q nuqtalarga mos
keluvchi qiymatlari (6) tenglikni qanoatlantiradi degan xulosaga keladi. Urinish
nuqtasida to g ri chiziq bilan aylana kesishishining ikkita nuqtasi ustma-ust
ʻ ʻ
tushgani uchun bo ladi. Bunga ko ra shu ikkita nuqta va
ʻ ʻ M nuqtaning bir
to g ri chiziqda yotish sharti, (5) ga asoslanib,
ʻ ʻ tenglik orqali
ifodalanadi. Bundan kelib chiqadi. Bu qiymatlardan bittasi P
nuqtaga mos kelsa, ikkinchisi Q nuqtaga mos keladi. Bu qiymatlarni (6) tenglikka
qo yib, uni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilamiz.
ʻ
Qiyshiq strofoida. Biz ko rib chiqqan strofoida qiyshiq strofoida deb
ʻ
ataluvchi strofoidaning xususiy holini ko rsatadi. Biz uni stereometrik qurishga
ʻ
to xtalamiz.
ʻ
Uchi V nuqtada va yasovchilari va bo lgan konusni va uning
ʻ A
nuqtadan o tuvchi
ʻ ga perpendikulyar bo lgan urinmasini faraz qilaylik (12- ʻ
chizma). Bu urinmadan kesuvchi tekislik o tkazamiz va
ʻ va nuqtalar hosil
bo lgan kesishmaning fokuslari bo lsin.
ʻ ʻ
25

12-chizma.
Endi shunday deb faraz qilamiz: kesuvchi tekislik urinma atrofida buriladi, u holda
va nuqtalar qiyshiq strofoida deb ataluvchi egri chiziqni hosil qiladi, u
bizning urinmaga perpendikulyar bo lgan tekislikda yotadi. Kesishuvchi tekislikʻ
bilan chizma tekisligi kesishishi chizig i bo lgan
ʻ ʻ AP to g ri chiziqda ʻ ʻ va
hosil qiluvchi nuqtalarning holatini aniqlash uchun kesuvchi tekislikka urinadigan
ikkita sharni konusga kiritish kerak. Bunda urinish nuqtalari konus kesishmaning
fokusi bo ladi,ya`ni
ʻ va nuqtalar bo ladi. Quyidagi mulohazalar asosida ʻ
to lig icha egri chiziqni yasashni chizma tekisligida soddaroq amalga oshirish
ʻ ʻ
mumkin. AP kesma o rtasini B orqali belgilab,
ʻ B nuqtaga o xshash nuqtalarning ʻ
yasovchisiga parallel bo lgan
ʻ to g ri chiziqda yotishini sezamiz. Ma`lumki, ʻ ʻ
bu to g ri chiziq
ʻ ʻ AV va AK kesmalarning o rtasi bo lgan ʻ ʻ N va C nuqtalardan o tadi, ʻ
chunki K nuqta shunday topilganki, AV=AK bo ladi.
ʻ Agar endi VA=a, VP=b va
AP=c deb belgilasak, u holda , ga ega bo lamiz,
ʻ
chunki . U holda , ammo . demak,
bo ladi.
ʻ
Olingan munosabat qiyshiq strofoidani qurishning planimetrik usulini
aniqlaydi : uchi C nuqtada bo lgan burchak berilgan bo lsin
ʻ ʻ ; uning birorta
tomonida A nuqtani olamiz va boshqa tomonni B nuqtada kesib o tuvchi ixtiyoriy
ʻ
nurni o tkazamiz
ʻ ; u holda bu nurning holda yasalgan va
nuqtalari strofoidaga tegishli bo ladi.
ʻ
26

Biz oldin ko rib chiqqan strofoidamiz qiyshiq strofoidadan farqli holdaʻ
to g ri strofoida deb ataladi. Uni konus o rniga silindr olib hosil qilish mumkin.
ʻ ʻ ʻ
Bunda ikkita parallel va to g ri chiziqlarni va ularning birinchisida
ʻ ʻ A
nuqtani olish kerak. So ngra
ʻ AP to g ri chiziqni va unda ʻ ʻ va larga
urinadigan ikkita aylananing urinish nuqtalarini topamiz. Topilgan nuqtalar
strofoidaga tegishli bo ladi (13-chizma). Yasashni soddalashtirish mumkin
ʻ : B
nuqta AP ning o rtasi bo lsin,
ʻ ʻ B nuqtalarning geometrik o rni, ma`lumki ʻ
silindrning P o qi bo ladi
ʻ ʻ ; agar endi A nuqtadan ga perpendikulyar AK to g ri ʻ ʻ
chiziqni o tkazsak, u holda
ʻ , va uchburchaklar o zaro teng ʻ
bo ladi, demak,
ʻ
.
Olingan tenglikka asosan to g ri strofoidani yasash usuli ma`lum. Bu tenglikni
ʻ ʻ
to g riligi bizni olingan egri chiziqning haqiqatda, strofoida ekanligiga ishontiradi,
ʻ ʻ
chunki u bu egri chiziqning kelib chiqadigan ta`rifiga mos keladi.
13-chizma.
Qiyshiq strofoida to g ri strofoidaning umumlashtirilgani, degan
ʻ ʻ
mulohazaga ishonish uchun, qiyshiq strofoida tenglamasini tuzish mumkin. Bu
maqsadda ACN burchakni burchak orqali belgilaymiz, A nuqtani qutb deb, AK
to g ri chiziqni esa – qutb o qi deb hisoblaymiz. U holda
ʻ ʻ ʻ ABC uchburchakdan (12-
chizma)
27

ga ega bo lamiz. Bu yerdanʻ
,
bo ladi, strofoidaga tegishli
ʻ va nuqtalarning radius – vektorlari
tenglik orqali aniqlangani uchun qiyshiq strofoidaning qutb tenglamasi
ko rinishda yoziladi. Bu yerda
ʻ deb faraz qilib, to g ri strofoida tenglamasiga ʻ ʻ
ega bo lamiz.
ʻ
5-§. Boshqa ba`zi egri chiziqlar
Ofiurida. Ofiurida deb ataluvchi egri chiziq parabola uchiga o tkazilgan
ʻ
urinmada yotuvchi qandaydir nuqtaga nisbatan parabola poderasi sifatida
ta`riflanishi mumkin . Ushbu parabolaning
(1)
ni koordinata boshiga nisbatan poderasini topish talab etilgan bo lsin (14-chizma).
ʻ
14-chizma.
28

ixtiyoriy nuqtada berilgan parabolaga o tkazilgan urinmaningʻ
tenglamasi
(2)
ko rinishda yoziladi, bu urinmaga o tkazilgan perpendikulyar tenglamasi esa
ʻ ʻ
(3)
ko rinishda bo ladi. (1), (2) va (3) tenglamalardan
ʻ ʻ va larni chiqarib tashlab,
izlanayotgan podera tenglamasini
(4)
ko rinishida hosil qilamiz.
ʻ
Ofiurida koordinatalar boshida va urinmalar bilan tugun
nuqtaga ega bo ladi.
ʻ x=c to g ri chiziq, ya`ni parabola direktrisasi ofiuridaning ʻ ʻ
asimptotasi bo ladi. (4) tenglamada
ʻ deb faraz qilib, sissoida tenglamasiga ega
bo lamiz. Uni ofiuridaning xususiy holi sifatida ko rib chiqish mumkin.
ʻ ʻ
Makloren trisektrisasi. Makloren trisektrisasini parabola poderasi
bo ladigan egri chiziq sifatida ta`riflash mumkin. Bunda podera parabola o qining
ʻ ʻ
shunday nuqtasiga nisbatan olinadiki, u nuqtadan direktrisagacha bo lgan masofa
ʻ
direktrisadan fokusgacha bo lgan masofasiga teng bo ladi
ʻ ʻ (15-chizma).
15-chizma.
29

Koordinatalar boshiga nisbatan ushbu parabolaning
(5)
poderasi tenglamasini aniqlaymiz. Bu esa yuqorida keltirilgan ta`rifni
qanoatlantiradi. Berilgan parabola ixtiyoriy nuqtasi dagi urinma
tenglamasi
(6)
ko rinishda yoziladi, koordinatalar boshidan bu urinmaga tushurilganʻ
perpendikulyar tenglamasi
(7)
ko rinishida yoziladi. (5), (6) va (7) tenglamalardan
ʻ va larni chiqarib,
poderani izlangan tenglamasini quyidagi ko rinishda olamiz:
ʻ
(8)
Ko rinib turibdiki, Makloren trisektrisasi 3-tartibli egri chiziq bo ladi;
ʻ ʻ
absissalar o qini u ikkita (-3a,0) va (0,0) nuqtalarda kesib o tadi; koordinatalar
ʻ ʻ
boshida urinmalar bilan tugunga ega boladi. Makloren trisektrisasi qutb
tenglamasini parabola direktrisasi va o qining kesishish nuqtasi B(-2a,0) ni qutb
ʻ
uchun qabul qilib yozish qulaydir. Koordinatalar boshini B(-2a,0) nuqtaga
ko chirib, biz trisektrisa tenglamasini
ʻ
ko rinishida olamiz. Agar absissalar o qi yo nalishini teskarisiga o zgartirsak, u
ʻ ʻ ʻ ʻ
holda Makloren trisektrisasining mos keluvchi qutb tenglamasi
(9)
ko rinishda yoziladi. Ma`lum bo lgan
ʻ ʻ
30

trigonometrik formuladan foydalanib, (9) tenglamani
(10)
ko rinishiga keltirish mumkin.ʻ
Makloren trisektrisasining olingan tenglamasi burchak triseksiyasi usulini bu
egri chiziq yordamida aniqlaydi. Berilgan burchakning uchi B nuqtada bo lsin,
ʻ
burchak tomonlaridan biri N nuqtadan o tadi, boshqasi esa trisektrisani
ʻ A nuqtada
kesib o tadi.
ʻ N nuqtada qutb o qiga perpendikulyar o rnatamiz va unda ʻ ʻ nuqtani
shunday topamizki, bo ladi. U holda
ʻ BN=a , va
demak, .
(10) tenglamadan shuningdek, Makloren trisektrisasini atirgulni
qutbga nisbatan inversial almashtirish natijasida olinishi mumkinligi kelib
chiqadi .
31

XULOSA
Ma`lumki, matematika fazoviy shakllar va miqdoriy munosabatlarni
o rganishga bag ishlangan fan bo lib, bunda ko proq e`tibor miqdoriyʻ ʻ ʻ ʻ
munosabatlarga qaratiladi. Lekin inson real borliqda yashar ekan har qadamda
tekis va fazoviy shakllarga ro baro keladi. Agar u ana shu uchraydigan shakllar
ʻ ʻ
haqida ma`lumotlarga ega bo lsa, o z hayotiy rejasini tuzishi va jamiyatda o z
ʻ ʻ ʻ
o rnini topishi ancha osonlashadi.
ʻ
Shu nuqtai nazardan qaraganda, boshlang ich, umumiy o rta ta`lim
ʻ ʻ
maktablarida, akademik litsey va kasb hunar kollejlarida hamda oliy o quv
ʻ
yurtlarida yoshlarga geometrik figuralar to g risida bilimlarni berish barkamol
ʻ ʻ
avlodni voyaga yetkazishda muhim rol o ynaydi. Garchi bunda yoshlardan
ʻ
geometriyaning barcha yutuqlarini mufassal bilish talab qilinmasada, real hayotda
uchrab turadigan bilimlarni egallashi maqsadga muvofiqdir. Shuning uchun bo lsa
ʻ
kerak boshlang ich sinflarda o quvchilar nuqta, to g ri chiziq, kesma, aylana, kubik
ʻ ʻ ʻ ʻ
va hakozolar bilan tanishtirilsa, umumiy o rta ta`lim maktabiga o tganda
ʻ ʻ
o quvchilar tasavvuri kengaytirilib, geometrik shakllar yuzalari, uzunliklari,
ʻ
hajmlari va umumiy xossalari o rgatiladi. Akademik litsey va kasb-hunar
ʻ
kollejlarida esa o quvchilardagi bilim va ko nikmalar mustahkamlanib, fazoviy
ʻ ʻ
shakllar yasash usullari, xossalari o rgatilib, ular to g risidagi umumiy ma`lumotlar
ʻ ʻ ʻ
32

beriladi. Oliy o quv yurtlarida analitik geometriya kursida geometrik shakllarningʻ
xossalari, qurish yo llari va tenglamalari o rgatiladi.
ʻ ʻ
Yuqoridagilardan kelib chiqib biz quyidagalarni bajarish maqsadga muvofiq
deb o ylaymiz:
ʻ
1. Umumiy o rta ta`lim maktablarida darsdan tashqari vaqtda ikkinchi
ʻ
tartibli chiziqlar haqida ma`lumotlar, ularning qurish usullari va xossalarini
o rgatish;
ʻ
2. Akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida o quvchilarga darsdan tashqari
ʻ
vaqtlarda 2- va 3-tartibli chiziqlar haqidagi ma`lumotlar, qurish usullari va ularni
turli xossalarini o rgatish.
ʻ
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. А . А . Савелов « Плоские кривые ». M осква-1960.
2. А.Б.Посмиков «Лекции по геометрии» Москва-1983.
3.A.V. Pogarelov «Analitik geometriya». Toshkent -1983.
4. А.С.Смогоржевский, Е.С. Столова «Справочник по теории плоских кривых
третьего порядка». M осква-1961.
5. Г.М.Фихтенгольц. «Курс дифференциального и интегральное исчисления»
Т.1. Москва-1960.
6. N . Dadaxonov va boshqalar « Geometriya ». Toshkent -1989.
7. J . Po ʻ latova «3- tartibli chiziqlar umumiy tenglamasini soddalashtirish va
sinflash ». Bitiruv malakaviy ishi. Farg ona-2009.
ʻ
8. http://www.google.ru
9. http://ru.wikipediya.org.
33

Sotib olish