Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 476.4KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Bosh kuchlanishlar. Bosh yo‘nalishlar. Eng katta (Maximum) va eng kichik (Minimum) kuchlanishlar. Kuchlanishlar uchun Mor doirasi

Купить
Bosh kuchlanishlar. Bosh yo’nalishlar. Eng katta ( Maximum ) va eng kichik ( Minimum ) kuchlanishlar. Kuchlanishlar uchun Mor doirasi. Tekis kuchlanish. Sharsimon va deviator kuchlanganlik holatlari. Oktaedrik kuchlanishlar Reja: 1.Kuchlanishlar sirti. 2.Kuchlanishlar ellipsoidi. 3.Mor doiraviy diagrammasi. 4.Bosh urinma kuchlanishlar. Bosh kuchlanishlarni hisoblash formulalari. 5.Ikki o’qli kuchlanganlik holati. Tayanch iboralar: Kuchlanish, kuchlanishlar sirti, kuchlanishlar ellipsoidi, mor doiraviy diagrammasi, ikki o’qli kuchlanganlik holati . Kuchlanishlar sirti. Geometriya kursidan ma’lumki ikkinchi tartibli sirt tenglamasi. βijxixj= k2 ko’rinishga ega edi. Shunga mos ravishda jismning biror M nuqtasidagi (σij) kuchlanish tenzoriga maskazi M nuqtada bo’lgan xarakteristik sirt mos keladi va uning tenglamasi quyidagicha bo’ladi. 2f(ξk)=σijξiξj=±c2 (3.1) Bu sirt koshining kuchlanishlar sirti deyiladi. Bu yerda ξi -maskazi M nuqtada bo’lgan mahalliy (lokal) koordinat sistemasidagi ⃗r -radius-vektorning komponentalari. Ushbu ⃗r radius-vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari αri= ξi |⃗r|, αrj= ξ j |⃗r|. Demak, (2.40) tenglamani quyidagicha yo’zish mumkin |⃗r|2σijαriαrj=±c2 (3.2) Ma’lumki indeks gung bo’lsa u bo’yicha yigindi olindi, masalan σij= σ11+σ22+σ33. Lekin normal kuchlanishlardan birini ymumiy holda belgilash uchun ham σii belgilash ishlatiladi, masalan σ11 , yoki σ22 . Bu holda yig’indi hisoblanmasligi kerak. Ana shunday holatlarda har safar yig’indi hisoblanmasin deb ta’kidlash o’ringa indekslar ustida egri chiziqcha tortib belgilaymiz. Masalan σii,σrr,αkk va hokazo. Endi (3.2) va (2.14) tengliklaridan, hamda yuqorida keltirilgan belgilash asosida |⃗r|2σrr=±c2 (3.3) tenglamaga ega bo’lamiz. Buyerda –jisimning ⃗r radius-vektorga perpendikulyar maydonchasidagi M nuqtadagi normal kuchlanish (3.3) dan |⃗r|= с √σr^r , chunki |⃗r|=(√σrr) 2. (3.4) Demak, uchi kuchlanishlar sirtida joylashgan ⃗r radius-vektorning moduli, ⃗r ga perpendikulyar maydonchaning M nuqtasidagi normal kuchlanish absolyut qiymatining kvadratik ildiziga teskari proporsionaldir. Koshi kuchlanishlar tenzorining bosh o’qlari (σij) tenzorning bosh o’qlari bilan ustma-ust tushadi. Bosh o’qlarga nisbatan (3.1) tenglama kanonik ko’rinishga ega bo’ladi: σiξi2=±c2, (3.5) buyerda σi -bosh kuchlanishlar. Faraz qilaylik, σi bosh kuchlanishlarning qiymatlari har xil bo‘lib, ishlari bir xil bo‘lsin. U holda (3.5) kuchlanishlar sirti σ1ξ12+σ2ξ22+σ3ξ32=±с2 (3.6) ellipsoiddan iborat bo‘ladi. Agar bosh kuchlanishlarning ishoralari har xil bo‘lsa masalan σ1>0,σ2>0,σ3<0, kuchlanishlar sirti σ1ξ1 2+σ2ξ2 2−|σ3|ξ3 2=+ с2 (3.7) σ1ξ1 2+σ2ξ2 2−|σ3|ξ3 2=−с2 (3.8) tenglamalar bilan aniqlanadi. Bu holda kuchlanishlar sirti bir pallali (3.7) va ikki pallali giperboloidlar majmuasidan iborat va bu giperboloidlar σ1ξ1 2+σ2ξ2 2−|σ3|ξ3 2=0 (3.9) asimptotik konus bilan bir-biridan ajratilgan bo‘ladi. Qattiq jismning biror nuqtasi uchun kuchlanishlar sirti ma’lum bo‘lsa, to‘liq va normal kuchlanishlarni va demak, urinma kuchlanishlarni ham, shu nuqtadan o‘tuvchi maydonchalarda aniqlash mumkin. Yo‘nalishi qaralayotgan maydonchaga perpendikular bo‘lgan ⃗r=⃗МС (3.1- rasm) radius-vektorning uchi bir pallali giperboloid-(2.46) sirtida joylashsa, (3.3) formulaga asosan berilgan maydonchadagi normal kuchlanish σ⃗rr= c2 |⃗r|2 gradf K c gradf r M r P r P r S 3.1-rasm.. ga teng va cho‘zuvchi kuchlanishdan iborat bo‘ladi. Radius-vektor ⃗r=⃗МК ning uchi ikki pallali giperboloid-(3.8) sirtida joylashsa, M nuqtadan o‘tuvchi mos maydonchada siquvchi kuchlanish drinli bo‘ladi σr^r=− c2 |⃗r|2. Normali asimptotik konus yasovchisi bilan bir xil bo‘lgan maydonchada, konus yasovchisi uchun r→ ∞ va demak σr^r=0 bo‘lganligi uchun, faqat urinma kuchlanishlargina ta’sir qiladi. Endi (3.1) ni ξi bo‘yicha differensiallaymiz. U holda ∂ f ∂ξi =σijξ j ikkinchi tomondan grad f=σijξ j⃗эi hamda bo‘lganliklaridan grad f=σijξ j⃗эi=σij⋅αrj⋅|⃗r|⋅⃗эi bundan 1 |⃗r| grad f=σijαrj⃗эi (3.10) Oldingi tenglikka ko‘ra σij⃗эi=⃗q va (2.4) ga asosan u holda (3.10) quyidagicha ko’rinishni oladi: 1 |⃗r| grad f=qq (3.11) ya’ni, ⃗r radius-vektorga perpendikular maydonchadagi ⃗qr kuchlanish vektori, ⃗r radius-vektorning uchiga mos keluvchi kuchlanish sirt normaliga paralleldir (ya’ni grad f vektoriga parallel) (3.1-rasm). Kuchlanishlar ellipsoidi. Nuqtadagi kuchlanganlik holatining koshining kuchlanishlar sirtidan boshqa geometrik tasvirini ham berish mumkin. Bu usul fransuz Olime Lame tomonidan taklif etilgan. Jismning biror M nuqtasida koordinat o‘qlarini (σij) tenzorning bosh o‘qlari bilan ustma-ust qo‘yamiz. Koordinat o‘qlari bunday joylashganda kuchlanish tenzorining urinma komponentalari σij(i≠ j) lar nolga teng, normal komponentalari σi^i lar esa bosh σi kuchlanishlardan iborat bo’ladi, ya’ni σi^i=σi.Vaziyati o‘zining birlik ⃗n normalining αrj=nj yo‘naltiruvchi kosinuslari bilan aniqlanuvchi hamda jismning berilgan nuqtasidan o’tuvchi ixtiyoriy maydonchani qaraymiz. Bunda -birlik vektori bo’lgani uchun nj lar uning komponentalaridan iborat bo’ladilar. U holda ushbu maydonchadagi ⃗qn kuchlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proyeksiyalari, ⃗qn vektorining uchi bilan mos tushuvchi nuqtaning xi koordinatalaridan iborat bo’ladilar. U holda (2.8) ga asosan х1=qn1=σ1n1;x2=qn2=σ2n2;x3=qn3=σ3n3, (3.12) buyerda σi⋅(i=1,2,3) - bosh kuchlanishlar. Ma’lumki vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari n12+n22+n32= 1 (3.13) tenglamani qanoatlantirishlari kerak. Yo’naltiruvchi nj kosinuslarning qiymatlarini (3.12) dan topib (3.13) ga qo’ysak x12 σ12+ x22 σ 22+ x32 σ 32= 1 (3.14) Tenglamaga ega bo’lamiz. Ushbu tenglama yerim o’qlari σ1,σ2,σ3 bosh kuchlanishlarga teng bo’lgan ellipsoid tenglamasidan iboratdir. Bu ellipsoid Lamening kuchlanishlar ellipsoid yoki Lame ellipsoidi deyiladi (3.2-rasm). Bu yerdan ko‘rinadiki kuchlanish ellipsoidining sirti berilgan M nuqtadan o‘tuvchi hamma maydonchalardagi ⃗qn kuchlanish vektorlari uchlarining geometrik o‘rnidan iboratdir. Lame ellipsoidi jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati to‘g‘risida quyidagi xulosalarni chiqarishga imkon beradi: jismning qaralayotgan nuqtasidagi eng katta kuchlanish shu nuqtadagi bosh kuchlanishlarning eng kattasiga teng . Bu xulosa Lame ellipsoidining yarim o‘qlari bosh kuchlanishlardan iboratligi hamda ellipsoidning yarim o‘qlaridan biri uning markaridan sirtigacha bo‘lgan eng katta masofa ekanligidan kelib chiqadi. agar bosh kuchlanishlardan hech biri nolga teng bo‘lmasa, berilgan nuqtadan o‘tuvchi hamma maydonchalardagi to‘liq kuchlanish vektorlari Lame ellipsoidi hajmida joylashadi. x 2 M P n x 1 x 3 3.2-rasm. n Jism nuqtadagi bunday kuchlanganlik holati hajmiy yoki uch o ‘ qli kuchlanganlik holati deyiladi. Demak, bosh kuchlanishlarning ishoralariga bog‘liq ravishda bu holat (σij) tenzorining uchta bosh o‘qlari yo‘nalishlari bo‘ylab cho‘zilish yoki siqilishdan iboratdir. Agar bosh kuchlanishlardan ikkitasi nolga teng bo‘lsa, kuchlanishlar ellipsoidi kuchlanish tenzori bosh o‘qlaridan birida yotuvchi to‘g‘ri chiziq kesmasiga aylanadi. Bunday holat bir o ‘ qli kuchlanganlik holati deyiladi. Yana (2.29) formulaga murojaat qilib, bu holda (σij) tenzorining ikkinchi va uchinchi invariantlari nolga tengligini ko‘rish qiyin emas. Umuman bir o‘qli kuchlanganlik holati yuzaga kelishining, yoki mavjud bo‘lishining zaruriy sharti uchbu invariantlarning nolga teng bo‘lishidir. Bir va ikki o‘qli kuchlanganlik holatlarining batafsil tahlili hamda bosh kuchlanishlarni amalda hisoblanishga quyida alohida paragraf bag‘ishlanadi. Shuning uchun bu masalalarga bu yerda boshqa to‘xtalmaymiz. Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma kuchlanishlar. Bundan oldin ko‘rilgan Koshining kuchlanishlar sirti kuchlanishlar tenzorining to‘liq geometrik tasvirini va Lame ellipsoidi-qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi hamma maydonchalardagi kuchlanish vektorlarining geometrik tasvirini beradi. Ushbu geometrik tasvirlardan tashqari yana bir shunday tasvirlash usuli ham mavjudki, bu usul O.Mor tomonidan taklif etilgan bo‘lib, qator foydali xulosalar chiqarishga va bosh urinma kuchlanishlarni topishga imkon beradi. Quyida shu usul bilan, to‘g‘rirog‘i, Morning doiraviy diagrammasi bilan tanishamiz. Koordinat o‘qlarini (σij) kuchlanish tenzorining bosh o‘qlari bilan ustma-ust qo‘yamiz (jismning biror nuqtasida). U holda normali (birlik) ⃗n bo‘lgan ixtiyoriy maydonchadagi ⃗qn kuchlanish vektorining koordinat o‘qlariga proyeksiyalari (3.12) formulalar bilan aniqlanadi. Kuchlanish vektori ⃗qn ni maydonchaning normali ⃗n yo‘nalishiga proyeksiyalab, σn=qnn normal kuchlanishni (2.9-rasm), maydoncha tekisligiga proyeksiyalab, qnτ urinma kuchlanishni olamiz va uni τn orqali belgilaymiz, ya‘ni τn orqali belgilaymiz, ya‘ni τn= qnτ . Faraz qilaylik, jismning berilgan nuqtasidan o‘tuvchi biror maydonchada σn va τn lar ma’lum, ya‘ni ularning qiymatlari berilgan bo‘lsin. Oldinda turgan vazifa σn va τn larning berilgan qiymatlari bo‘yicha ular ta’sir qilayotgan maydonchaning vaziyatini aniqlashdan iborat. Yuqoridagi (3.12) formulaga ko‘ra σn= x1n1+x2n2+x3n3= σ1n12+σ2n22+σ3n32 (3.15) bundan tashqari ⃗qn=qnn⃗n+qnτ⃗τ= σn⃗n+τn⃗τ bo‘lganligidan|⃗qn|2= σn 2+τn 2=qn1 2 +qn2 2 +qn3 2 yana (3.12) ga asosan σn2+τn2= σ12n12+σ22n22+σ3n32 (3.16) Yo‘naltiruvchi kosinuslar uchun (3.13) formula o‘rinli 1= n12+n22+n32 . (3.17) Shunday qilib, qo‘yilgan masala (3.15), (3.16) va (3.17) tenglamalar sistemasidan uchta n12,n22,n32 noma‘lumlarni aniqlashga keltiriladi. Yuqoridagi tenglamalarning har birini mos ravishda а,b,c sonlariga ko‘paytirib qo‘shamiz. Natijada bσ n2+aσ n+c+bτ n2= (bσ 12+aσ 1+c)n12+ +(bσ 22+aσ 2+c)n22+(bσ 32+aσ 3+c)n32 (3.18) Olingan tenglamada ni2(i=1,2,3) lar oldidagi koeffitsientlar va tenglamaning chap tomonidagi birinchi uchta had bir xil koeffitsientli ikkinchi darajali ko‘phaddan iborat: F(z)= bz 2+az +c (3.19) Boshda jismning qaralayotgan nuqtasida σк bosh kuchlanishlar har xil va σ1>σ2>σ3 deb hisoblaymiz. Yo‘naltiruvchi kosinuslardan birinchisini, ya’ni n12 ni aniqlash uchun F(z) ko‘phadning ildizlari n2 va n3 lardan iborat bo‘lsin deb hisoblash yetarli, ya’ni: F(z)=(z− σ2)(z− σ3)= z2−(σ2+σ3)z+σ2σ3 yoki а=− (σ2+σ3),b= 1,c= σ2σ3 а,b,c larning ushbu qiymatlarini (3.18) ga qo‘ysak, (σn− σ2)(σn− σ3)+τn2= (σn− σ2)(σn− σ3)n12 (3.18) 1 tenglamaga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday n22 va n32 larni aniqlash uchun а=−(σ3+σ1), b=1, c=σ1σ3; а=−(σ1+σ2), b=1 , c= σ1σ2, qiymatlarni qabul qilish kerak. U holda (3.18) dan mos ravishda (σn+σ3)(σn+σ1)+τn2= (σ2+σ3)(σ2+σ1)n22; (3.18) 2 (σn− σ1)(σn+σ2)+τn2= (σ3− σ1)(σ3+σ2)n32 (3.18) 3 tenglamalarga esa bo‘lamiz. Bu tenglamalardan: n1 2 = τn 2 +(σn−σ2)(σn−σ3) (σ 1 −σ 2)(σ 1 −σ 3) ,¿ } n2 2 = τn 2 +(σn−σ3)(σn−σ1) (σ 2 −σ 3)(σ 2 −σ 1) ,¿ } ¿¿¿ (3.20) To‘g‘ridan-to‘g‘ri tekshirib ko‘rish yo‘li bilan(σn− σs)(σn− σr)= (σn− σs+σr 2 ) 2 − ( σs− σr 2 ) 2 ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. U holda (2.57) 1 dan (σn− σ2+σ3 2 ) 2 −( σ2− σ3 2 ) 2 +τn2=(σ1− σ2)(σ1− σ3)n12, bu yerdan (σn− σ2+σ3 2 ) 2 +τn2= (σ1− σ2)(σ1− σ3)n12+( σ2− σ3 2 ) 2 ga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday yo‘l bilan (3.18) 2 va (3.18) 3 lardan oxirgi tenglamaga o‘xshash tenglamalarni olamiz va har uchala tenglamalarni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz: ( σn− σ 2 +σ 3 2 ) 2 +τn 2 =R1 2 ;¿ }( σn− σ 3 +σ 1 2 ) 2 +τn 2 =R2 2 ;¿ } ¿¿¿ (3.21) bu yerda R1 2= (σ1− σ2)(σ1− σ3)n1 2+( σ2− σ3 2 ) 2 ; R2 2= (σ2− σ3)(σ2− σ1)n2 2+( σ3− σ2 2 ) 2 ; R3 2= (σ3− σ1)(σ3− σ2)n3 2+( σ1− σ2 2 ) 2 . (3.22) Ko‘rinib turibdiki, (3.21) tengliklar σn,τn koordinat tekisligida markazlari mos ravishda c1( σ2+σ3 2 ,0); c2( σ3+σ1 2 ,0); c3( σ1+σ3 2 ,0) nuqtalarda bo‘lgan konsentrik aylanalarning tenglamalaridan iboratdir. Aylanalarning tenglamalari tarkibiga τn2 kiradi va shuning uchun ham τn - kuchlanish ishora aniqligida topiladi. Demak, τn≥0 yarim tekisligida yarim aylanalarni tekshirish bilan cheklanish mumkin. Bu yarim aylanalarning Ri radiuslari (2.61) formulaga ko‘ra σк bosh kuchlanishlar va mos yo‘naltiruvchi kosinus ni ga bog‘liq. Yo‘naltiruvchi kosinuslarning kvadratlari musbat yoki nol, ya‘ni ni2≤0 , hamda σ1>σ2>σ3 bo‘lganlik-lari uchun (3.22) formulalarga asosan quyidagi tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi: R1≥σ2−σ3 2 =R10;R2≤σ1−σ3 2 =R20;R3≥σ1+σ2 2 =R30, (3.23) bu yerda R10,R20,R30 lar orqali mos ravishda n1=0,n2=0,n3=0 xususiy hollar uchun I, II, III yarim aylanalarning radiuslari belgilangan. Bundan ko‘rinadiki, σn va τn larning mumkin bo‘lgan (yoki erishish mumkin bo‘lgan) qiymatlari sohasi I, II, III yarim aylanalar bilan chegaralangan yopiq sohadan iboratdir (2.12.-rasm). Ushbu soha (rasmda shtrix chiziqlar bilan to‘ldirilgan) kuchlanganlik holatining doiraviy diagrammasi yoki Mor doiralari deyiladi. Doiraviy diagramma nuqtalarining koordinatalari diagramma masshtabida jismning berilgan nuqtasidan o‘tuvchi hamma maydonchalarda normal (σn) va urinma (τn) kuchlanishlarni aniqlaydi. Kuchlanish (σij) tenzorining (yo‘nalishlari bo‘yicha bosh σ1,σ2,σ3 kuchlanishlar ta’sir qiluvchi bosh o‘qlarini mos ravishda birinchi, ikkinchi va ychinchi bosh o‘qlar deb ataymiz. Shunga mos ravishda birinchi bosh o‘q orqali o‘tuvchi hamma maydonchalarni, qaysiki ular uchun n1=0 bo‘lgan maydonchalar, birinchi seriya maydonchalari deb ataymiz. Doiraviy diagrammada birinchi seriya maydonchalariga I yarim aylananing nuqtalari to‘g‘ri keladi. Xuddi shunga o‘xshash ikkinchi bosh o‘qdan o‘tuvchi maydonchalar (n2=0) ikkinchi seriya maydonchalarini tashkil etadi va ularga II yarim aylana nuqtalari mos keladi. Uchinchi seriya maydonchalariga, ya‘ni uchinchi bosh o‘q (n3=0) dan o‘tuvchi maydonchalarga, III yarim aylananing nuqtalari mos keladi. Yarim aylanalarning σn o‘qi bilan kesishgan nuqtalarining abstsissalari σк bosh kuchlanishlarning qiymatlariga tengdir. Birinchi, ikkinchi va uchinchi seriya maydonchalaridan boshqa, (σij) tenzorning har uchala bosh o‘qlarini kesib o‘tuvchi maydonchalardagi, ya’ni n1≠0,n2≠0,n3≠0 bo‘lganda, normal va urinma kuchlanishlar, I, II, III yarim aylanalar bilan chegaralangan sohaning ichki nuqtalarining koordinatalari bilan aniqlanadi. Diagrammaning normali ⃗n bo‘lgan maydonchasidagi kuchlanishni aniqlovchi N nuqtasini topish uchun, kesishish nuqtasi N nuqtani beruvchi aylanalarning radiuslarini (3.22) formula bilan R1,R2,R3 hisoblash kerak. Doiraviy diagrammani tahlil qilish natijasida quyidasi xulosalarni chiqarish mumkin: - eng katta σ1 bosh kuchlanishning qiymati jismning qaralayotgan nuqtasida mavjud bo‘lgan hamma norma kuchlanishlardan kattadir, eng kichik σ3 bosh kuchlanish esa shu nuqtadagi hamma normal kuchlanishlardan kichik. Bu narsa B II N A R 20 III o I R 1 R 10 R 2 R 30 C 1 C 2 C 3 2.12-rasm. diagrammadan yaqqol ko‘rinadi: diagrammaning eng katta abssissasi σ1 , eng kuchigi esa σ3 . Boshqacha aytganda, jism nuqtasidagi hamma normal kuchlanishlarning qiymatlari (σ3,σ1) oralig‘ida yotadi. - Birinchi, ikkinchi va uchunchi seriya maydonchalarida (n1=0;n2=0;n3=0) urinma kuchlanishlar o‘zlarining ekstremal qiymatlariga erishadi: τ1=σ2−σ2 2 ,τ2=σ1−σ3 2 ,τ3=σ1−σ2 2 (3.23) Ushbu urinma kuchlanishlar ba‘zi hollarda bosh urinma kuchlanishlar deyiladi. Bosh urinma kuchlanishlar doiraviy diagrammaning А,B,C nuqtalariga mos keluvchi maydonchalarda ta’sir qiladilar. Xuddi shu maydonchalardagi normal kuchlanishlar qiymatlari: τ'=σ2+σ1 2 ;τ''=σ1+σ3 2 ,τ'''=σ1+σ2 2 ( 3.24) lardan iborat. Endi (3.20) formulalarga σn va τn lar o‘rniga diagrammaning A,B,C nuqtalariga mos keluvchi maydonchalaridagi normal va urinma kuchlanishlarning mos qiymatlarini qo‘yib, shu maydonchalar normallarining yo‘naltiruvchi kosinuslarini topamiz. Misol uchun diagrammaning A nuqtasiga keluvchi maydonchaning yo‘naltiruvchi kosinuslarini topamiz. Buning uchun (2.59) formulalarda τn ning o‘rniga (2.62) dan τ1 ning qiymatini, τn ning o‘rniga (2.63) dan τ' ning qiymatini qo‘yish kerak: n12= ( σ2−σ3 2 ) 2 +( σ2+σ3 2 −σ2)( σ2+σ3 2 −σ3) (σ1−σ2)(σ1−σ3) = ( σ2−σ3 2 ) 2 +σ2−σ3 2 ⋅σ3−σ2 2 (σ1−σ2)(σ1−σ3) ; n22= ( σ2−σ3 2 ) 2 +( σ2+σ3 2 −σ3)( σ2+σ3 2 −σ1) (σ2−σ1)(σ2−σ3) = ( σ2−σ3 2 ) 2 +( σ2−σ3 2 )⋅( σ2+σ3 2 −σ1) (σ2−σ1)(σ2−σ3) = σ2−σ3 2 ( σ2−σ3 2 + σ2+σ3 2 −σ1) (σ2−σ1)(σ2−σ3) =1 2; n22= ( σ2−σ3 2 ) 2 +( σ2−σ3 2 −σ1)( σ2+σ3 2 −σ2) (σ3−σ1)(σ3−σ2) = σ2−σ3 2 [ σ1−σ3 2 − σ2+σ3 2 +σ1] (σ3−σ1)(σ3−σ2) =1 2. Demak, A nuqtaga mos keluvchi maydonchaning yo‘naltiruvchi kosinuslari n1=0 ,n2=± 1 √2 ;n3=± 1 √2 . Xuddi shunday B nuqta uchun n1=± 1 √2 ;n2= 0 ,;n3=± 1 √2 . va nihoyat C nuqta uchunn1=± 1 √2 ;n2=± 1 √2 ;n3=0. Olingan natijalar ko ‘ rsatadiki , bosh urinma kuchlanishlar ta ‘ sir qiluvchi maydonchalar , bosh o ‘ qlardan biri va qolgan ikki bosh o ‘ qlar orasidagi burchak bissektrisasi orqali o ‘ tadi . Yuqoridagi (3.23) formulalardan hamda doiraviy diagrammadan (2.12-rasm) ko‘rinadiki jismning berilgan nuqtasidagi eng katta urinma kuchlanish τmax =τ2= σ1− σ3 2 (3.25) dan iboratdir. Shunday qilib, eng katta urinma kuchlanish τmax yuzaga keluvchi o‘zaro perpendikular maydonchalar (σij) tenzorining ikkinchi bosh o‘qi hamda birinchi va uchinchi o‘qlar orasidagi burchaklar bissektrisalari orqali o‘tadi. Bosh kuchlanishlarni hisoblash formulalari. Bosh kuchlanishlar uchinchi darajali (2.23) tenglama σ3− I1σ2+I2σ− I3=0 (3.26) ning ildizlari sifatida topilishi kerakligi aniqlangan edi. Bu yerda kuchlanish invariantlari (2.25) formulalarga ko‘ra: I1=σ11+σ22+σ33; I2=σ11σ22+σ22σ33+σ33σ11−σ122−σ232−σ312; I3=σ11σ22σ33−σ11σ232−σ22σ312−σ33σ122+2σ12σ23σ31. (3.27) formulalar bilan aniqlanadi. Kubik (3.26) tenglamani yechish uchun quyidagi usulni qo‘llaymiz. Quyidagi yordamchi kattaliklarni hisoblaymiz: а= 1 3(I2− 1 3I1 2 ); b=− I1 3 27 + I1I2 6 − I3 2 ; cos ϕ= |b| |a|√|a| . Endi tenglamaning ildizlarini σ'=2(±√|а|cos π−ϕ 3 + I1 6 ); σ''=2(±√|а|cos π+ϕ 3 + I1 6 ); σ'''=−2(±√|а|cos ϕ 3− I1 6 ) (3.28) formulalar yordamida hisoblash mumkin. Ushbu kuchlanishlardan eng kattasi σ1 , eng kichigi σ3 bo‘ladi. Jism nuqtasidagi o‘tuvchi maydonchaning ⃗n normalining yo‘naltiruvchi kosinuslarini ℓ,m,n lar bilan belgilaymiz. U holda (2.8) va (3.12) formulalarda n1=ℓ,n2=m,n3=n deb olib, (2.20) formulani quyidagicha ko‘chirib yozamiz (σ11− σ)ℓ+σ12m+σ31n= 0; σ21ℓ+(σ22−σ)m+σ23n=0; σ31ℓ+σ32m+(σ33− σ)n=0. (3.29) Bosh kuchlanishlarni (3.28) dan aniqlab va topilgan qiymatlarni (3.30) ga qo‘yib hamda ℓ2+m2+n2= 1 ekanligini hisobga olib, (3.29) dan uchta bosh maydonchalarning har birining vaziyatini aniqlash, ya‘ni ℓi,mi,ni(i=1,2,3) larni aniqlash mumkin. Matematika kursidan ma’lum Kramer qoidasi asosida ℓi,mi,ni larni hisoblash oson ℓi= Δ1i Δi ;mi= Δ2i Δi ;ni= Δ3i Δi (3.30) bu yerda Δ1i=−(σ22−σi)σ31+σ12σ23 ; Δ2i=−(σ11−σi)σ23+σ12σ31 ; Δ3i=(σ11−σi)(σ22−σ)−σ122 ; Δi=√Δ1i2+Δ2i2+Δ3i2 (3.31) Bosh maydonchalarning o‘zaro perpendikular ekanliklarini isbotlash ham qiyin emas. Buning uchun yo‘naltiruvchi kosinuslarning birinchi va ikkinchi bosh maydonchalarga mos keluvchi qiymatlarini (3.29) ga qo‘yamiz: (σ11− σ1)ℓ1+σ12m1+ σ31n1=0 ; σ21 ℓ1+(σ22− σ1)m1+ σ23n1= 0; σ31 ℓ1+σ32m1+(σ33− σ1)n1=0; (σ11− σ2)ℓ2+σ12m2+σ31n2=0 ; σ21 ℓ2+(σ22−σ2)m2+σ23n2=0 ; σ31 ℓ2+σ32m2+(σ33− σ2)n2=0. Endi bu tenglamalarning birinchi uchtasini mos ravishda ℓ2,m2,n2 larga, ikkinchi uchtasini −ℓ1,−m1,−n1 larga ko‘paytirib, hamma oltita tenglamani qo‘shamiz. Natijada (σ2−σ1)(ℓ1ℓ2+m1m2+n1n2)=0 Umumiy holda σ1≠σ2, shuning uchun ℓ1ℓ2+m1m2+n1n2= 0 Oxirgi tenglik , analitik geometriya kursidan ma ’ lumki , qaralayotgan ikki maydoncha o ‘ zaro perpendikylar bo ‘ lganda o ‘ rinlidir . Ikki o‘qli kuchlanganlik holati. Faraz qilaylik, (σij) kuchlanish tenzorining ⃗qn kuchlanish vektori ta’sir qiluvchi maydonchaning ~n normali va ~τ urinmasi yo‘nalishlaridagi normal va urinma komponentalarini aniqlash kerak bo‘lsin. Buning uchun (2.15) formulalardan foydalanish yetarli bo‘ladi. Agar n normalning yo‘naltiruvchi kosinuslari ℓ,m,n lar bilan, τ urinmaninig esa ℓ1,m1,n1 lar bilan belgilansa, (2.15) ning birinchi guruh tenglamalarida istalgan σi^i 1 normal kuchlanish o‘rniga σnn ni qo‘yib, σnn=σ11ℓ2+σ22m2+σ33n2+2σ12ℓm +2σ23mn +2σ31nℓ (3.32) va ikkinchi guruh tenglamalarida istalgan σij 1 urinma kuchlanish o‘rniga στn ni qo‘yib, στn= σ11ℓℓ 1+σ22mm 1+σ33nn 1+σ12(ℓm 1+mℓ 1)+ +σ23(mn 1+m1n)+σ31(nℓ 1+n1ℓ) (3.33) formulalarga ega bo‘lamiz. Ushbu mavzu doirasida bir va ikki o‘qli kuchlanganlik holatlarini qarab chiqamiz. Bu holatlarning ta’riflari keltirilgan edi. Faraz qilaylik bosh kuchlanishlardan biri, masalan, σ3 nolga teng bo‘lsin. Koordinat sistemasining ох3 o‘qini uchinchi bosh yo‘nalish bilan ustma-ust qo‘yamiz va bosh maydonchada urinma kuchlanishlar nolga teng ekanligidan foydalanib, (4.13. a-rasm) σ33= σ3= 0 ,σ23= σ31= 0. (3.34) Yuqoridagi (3.32) va (3.33) formulalardan foydalanib, normali ох1 o‘qi bilan α burchak tashkil etuvchi qiya tekislikdagi normal va urinma kuchlanishlarni aniqlaymiz. Qaralayotgan maydonchaning n normali va τ urinmasining yo’naltiruvchi kosinuslarini aniqlaymiz: ℓ= cos α ; m=cos (90 0−α)=sin α; n=0; ℓ1=cos (90 0+α)=−sin α ;m1=cos α; n1=0. x 2 x 2 a) b) n x 1 x 1 x 2 n c) x 1 2.13-rasm. o o o Bu miqdorlarni va (3.34) tengliklarni (3.32) va (3.33) ifodalarga qoyamiz , natijada izlanayotgan kuchlanishlar uchunσnn=σ11cos 2α+σ22sin 2α+σ12sin 2α; στn=−1 2σ11sin 2α+1 2σ22sin 2α+σ12(cos 2α−sin 2α)= =1 2(σ11−σ22)sin 2α+σ12cos 2α. (3.35) Ushbu formulalarni 4.13. b)-rasmda tasvurlangan element uchun hamma kuchlarning n va τ lar yo‘nalish-ga proeksiyalari yig‘indisi tenglamalarini tuzib chiqarish ham mumkin. Normali τ ning yo‘nalishi bilan, urinmasi esa n ning yo‘nalishi bilan ustma- ust tushuvchi maydonchadagi kuchlanishlarni aniqlaymiz (4.13, c-rasm). Bu maydoncha yuqorida qaralgan maydonchaga perpendikular. Ko‘rinib turibdiki bu holda (3.33) va (3.34) formulalarda ℓ ni ℓ1 bilan, m ni m1 bilan va teskari almashtirish zarur. Natijada σττ=σ11sin 2α+σ22cos 2α−σ12sin 2α; σnτ=στn. (3.36) Oxirgi tenglikurinma kuchlanishlarning juftligini ifodalaydi. Agar σnn va σττ larning ifodalarini qo‘shsak σnn+σττ= σ11+σ22 (3.37) Shunday qilib ikki o‘qli kuchlanganlik holatida ikkita o‘zaro perpendikulyar maydonchalarda ta’sir qiluvchi normal kuchlanishlar yig‘indisi invariant kattalikdir va koordinat sistemasining tanlanishiga bog‘liq emas. Ikki o‘qli kuchlanganlik holatida mavjud ikkita bosh kuchlanishlarni aniqlash uchun (3.36) tenglamadan I3=0 ni hisobga olgan holda foydalanamiz. Bu tenglama σ2− I1σ+I2= 0 (3.38) kvadrat tenglamaga keltiriladi. Bu tenglamaga kiruvchi I 1 va I 2 invariantlar (3.37) va (3.34) formulalarga asosan I1= σ11+σ22 ; I2=σ11− σ122 ifodalarga teng bo‘ladi. Bu qiymatlarni (3.38) ga qo‘yib va uni yechib bosh kuchlanishlarning σ ,2= σ11+σ 22 2 ± √( σ11− σ 22 2 +σ122 ) (3.39) qiymatlarini topamiz. Ikki o‘qli kuchlanganlik holatida bosh maydonchalarning vaziyatini (3.39) formulalardan topish qulay. Qaralayotgan hol uchun bu sistema quyidagi ko ‘ rinish - ni oladi (σ11−σ)ℓ+= σ12m=0; σ12ℓ+(σ22−σ)m=0. Ushbu tenglamalardan faqat bittasi mustaqildir. Masalan ikkinchi tenglamadan foydalanamiz. ℓ= cos α , m=sin α ekanliklarini e‘tiborga olgan holda ikkinchi tenglamadagi σ ning o‘rniga navbati bilan σ1 va σ2 larning qiymatlarini qoyib bosh maydonchalarning ox1 o‘qiga oq‘ish burchaklari α1 va α1 larni topamiz: tg α1= σ12 σ1−σ22 ; tg α2= σ12 σ2−σ22 . (3.40) Bosh maydonchalardagi urinma kuchlanishlarning nolga tengligidan foydalanib (3.35) ning ikkinchi tenglamasida στn= 0 deb hisoblab tg 2α= 2σ12 σ11−σ22 (3.41) formulaga ega bo‘lamiz. Bu (3.40) ning analogidan iborat formuladir. Quyida yana ikki xususiy holni qaraymiz. 1) Sof siljish. Agar ikki o‘zaro perpendikulyar maydonchalarda faqat urinma kuchlanishlar ta‘sir qiladigan kuchlangan holati sof siljish deyiladi (4.14. a-rasm). Olingan (3.39) formulada σ11=σ22=0 ,σ12=τ deb hisoblasak σ1= τ,σ2=−τ larga ega bo‘lamiz. Ana shu σ1 va σ2 larni bilan holda (3.40) dan bosh maydonchalarning oq‘ish burchaklarini topamiz: tg α1=1; tg α2=−1; α1= 45 0; α2=−45 0. Shunday qilib, sof siljish qiymatlari teng, lekin ishoralari qarama-qarshi bo‘lgan ikkita σ1= τ,σ2=−τ bosh kuchlanishlarning kombinasiyasiga (majmunasiga) ekvivalentdir (2.14. b-rasm) Sof siljish maydonchalari bosh maydonchalarga nusbatan α=±45 0 burchak ostida og‘ganlar. 2) Bir o‘qli kuchlanganlik holati. Bunday kuchlanganlik holati bosh kuchlanishlardan faqat bittasiga noldan fatqli bo‘lgan o‘rinli bo‘ladi (4.15-rasm). Agar bu holda σ22= σ33= 0 va bosh maydonchada urinma kuchlanish nolga teng ekanligini hisobga olsak qiya maydonchalardagi kuchlanishlar uchun formulalarni (3.35) tenglik lardan chiqarish oson (σ11=σ1) : σnn=σ1cos 2α ; στn=− σ1 2 sin 2α . Bu formulalardagi α -qiya maydonchaning n normali bilan σ1 -bosh kuchlanishning ta‘sir yo‘nalishi orasidagi burchak. x 2 n x 1 2.15-rasm. a) x 2 b) x 2 2 1 o x 1 o 45 0 x 1 2.14-rasm. Darslik va o’quv qo’llanmalar 1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, 2003 y. 2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 3. Тимошенко С . П ., Гудьер Дж . Теория упругости. М., Мир, 1975. 4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 1990г. 400ст. 5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст.

Bosh kuchlanishlar. Bosh yo‘nalishlar. Eng katta (Maximum) va eng kichik (Minimum) kuchlanishlar. Kuchlanishlar uchun Mor doirasi

Купить