C++ dasturlash tilida kompleks sonlar va ular ustida amallar bajaradigan sinfni ishlab chiqish

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	145.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	doc
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Информатика и ИТ

C++ dasturlash tilida kompleks sonlar va ular ustida amallar bajaradigan sinfni ishlab chiqish

Купить

Kirish
Mavzuning dolzarbligi.
Bugungi kunda dasturlash texnologiyalarining jadal rivojlanishi turli xil matematik
masalalarni kompyuter orqali tez va aniq yechish imkoniyatini yaratmoqda. Ayniqsa,
murakkab matematik strukturalar – vektorlar, matritsalar va kompleks sonlar bilan
ishlash ko‘plab ilmiy, texnik va injiniring sohalarida keng qo‘llaniladi. Kompleks
sonlar, asosan, elektr muhandisligi, to‘lqinlar fizikasi, signalni qayta ishlash, kvant
mexanikasi va boshqalar sohalarda qo‘llanilib, dasturchilar uchun ham muhim
hisoblanadi.
Kompleks sonlar oddiy real sonlar orqali ifodalanmaydigan fizik holatlarni
ifodalashga xizmat qiladi. Bunday sonlar bilan ishlash uchun ularning maxsus
strukturasi talab etiladi. Bu esa ularni dasturlashda sinflar orqali model qilishni talab
etadi. C++ dasturlash tili – obyektga yo‘naltirilgan yondashuvni qo‘llab-quvvatlagani
sababli, kompleks sonlar sinfini yaratish uchun ayni muddao hisoblanadi.
C++ tilidagi sinflar yordamida kompleks sonlar uchun konstruktorlar, metodlar,
operatorlarni ortiqcha yuklash (overloading) kabi qulayliklar orqali qulay va samarali
dasturiy model yaratish mumkin. Bu esa nafaqat nazariy bilimlarni mustahkamlash,
balki amaliy dasturiy loyihalar ishlab chiqish uchun ham muhim hisoblanadi.
Shu jihatdan, “C++ dasturlash tilida kompleks sonlar va ular ustida amallar
bajaradigan sinfni ishlab chiqish” mavzusi dolzarb bo‘lib, dasturchilar va talabalar
uchun katta ahamiyat kasb etadi
Kurs ishining maqsadi va vazifalari .
Ushbu kurs ishining asosiy maqsadi — C++ dasturlash tilida kompleks sonlar bilan
ishlashga mo‘ljallangan sinfni yaratish va uning yordamida turli amallarni bajaruvchi
dasturiy modul ishlab chiqishdan iborat. Bu orqali nafaqat kompleks sonlar nazariyasini
mustahkamlash, balki C++ tilining obyektga yo‘naltirilgan imkoniyatlarini amalda
qo‘llash ham ko‘zda tutilgan.

2

I.Kompleks sonlar nazariyasiga qisqacha kirish
1.1 Kompleks sonlar tushunchasi
Matematikada sonlar nazariyasi chuqur va boy fan sohalaridan biridir. Real sonlar
to‘plami ko‘plab muammolarni yechishda yetarli bo‘lsa-da, ayrim tenglamalarni
yechishda real sonlar yetarli bo‘lmaydi. Masalan, tenglamaning real sonlar to‘plamida
hech qanday yechimi yo‘q. Chunki hech bir haqiqiy sonni kvadrat qilib manfiy son
olishning iloji yo‘q. Shuning uchun matematiklar yangi sonlar – kompleks sonlar
tushunchasini kiritishga majbur bo‘lishgan.
Kompleks sonlar haqidagi dastlabki tushunchalar XVII asrga borib taqaladi. Dastlab
bu tushuncha faqat riyozatdagi xatolik deb qaralgan bo‘lsa-da, vaqt o‘tishi bilan uning
amaliy qiymati va nazariy asoslari aniqlandi. Bugungi kunda kompleks sonlar nafaqat
matematika, balki fizika, elektrotexnika, signalni qayta ishlash, kvant mexanikasi va
boshqa ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi.
Kompleks son – bu ikki haqiqiy sonning kombinatsiyasi bo‘lib, quyidagi ko‘rinishda
yoziladi:
z = a + bi
Bu yerda:
a – kompleks sonning haqiqiy (real) qismi,
b – mavhum (imaginär) qismning koeffitsienti,
i – mavhum birlik bo‘lib, i 2
= -1 shartini qanoatlantiradi.
Kompleks sonlar odatda quyidagi ko‘rinishlarda yoziladi:
Algebraik shakl:
Trigonometriya shakli:
Eksponensial shakl: , bu yerda ,
Kompleks sonlar to‘plami odatda ℂ harfi bilan belgilanadi. Har bir kompleks son
tekislikdagi biror nuqta bilan mos tushadi. Bu tekislik Argand diagrammasi deb ataladi.
Kompleks sonlar – bu matematikada haqiqiy va imtiyozli sonlarni birlashtirgan
sonlar to'plamidir. Ular ko'pincha haqiqiy sonlar (R) va tasavvur (imaginar) sonlar (I) ni
birlashtirgan holda ifodalanadi. Quyidagi ma'lumotlar kompleks sonlar tushunchasini
yanada yaxshiroq tushunishga yordam beradi:
3

1. Kompleks Sonlar Tushunchasi
Haqiqiy va Tasavvur Sonlar:
Haqiqiy sonlar: Bu sonlar haqiqatda mavjud bo'lib, ko'pincha o'lchovlarda, masofa va
vaqt kabi tushunchalarda ishlatiladi.
Tasavvur sonlar: Bu sonlar haqiqiy dunyoda mavjud emas, lekin ular matematikada
va fizikada foydalidir. Tasavvur sonlari "i" bilan ifodalanadi, bu esa i^2 = -1
tenglamasiga asoslanadi.
Kompleks Sonlar Formulasi:
Kompleks sonlar z = a + bi shaklida yoziladi, bu erda:
a – haqiqiy qism (real part),
b – tasavvur qism (imaginary part),
i – tasavvur birlik (imaginary unit), va i^2 = -1.
Kompleks Sonlar To'plami (C):
Kompleks sonlar to'plami C haqiqiy sonlar to'plami R va tasavvur sonlari to'plami I
ni birlashtiradi. Ya'ni, C = R + I deb ifodalanadi.
2. Kompleks Sonlarning Asosiy Xususiyatlari
Kompleks Sonlarning Qo‘shilishi va Ayiruvlar:
Qo‘shish: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ayirish: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Kompleks Sonlarning Ko‘paytirilishi va Bo‘linishi:
Ko‘paytirish: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Bo‘lish: (a + bi) / (c + di) bo‘lish operatsiyasi uchun avvalo divisor (c + di) ni
konjugatiga ko‘paytirish lozim, ya'ni a + bi va c + di ning bo‘lishi kompleks sonlarni
algebrada ishlov berish uchun alohida metodlarga ega.
Kompleks Sonlarning Moduli:
Moduli yoki uzunligi: |z| = √(a² + b²). Bu kompleks sonning haqiqiy qismidan va
tasavvur qismidan tashkil topgan geometrik masofani bildiradi.
Kompleks Sonlarning Konjugati:
4

Konjugat: = a - bi. Bu kompleks sonning tasavvur qismidagi belgini teskari z̅
o‘zgartiradi.
3. Kompleks Sonlar Geometrik Tushunchasi va Qollanishi
Kompleks Sonlar Reja:
Kompleks sonlar kompleks tekislikda (argand diagram) tasvirlanadi, bunda:
X-o‘qi haqiqiy qismni (a),
Y-o‘qi tasavvur qismni (b) ifodalaydi.
Polar Ko‘rinish:
Kompleks sonlar polar shaklda ham ifodalanishi mumkin: z = r(cos(θ) + i sin(θ)), bu
yerda r = √(a² + b²) (modul), θ esa kompleks sonning fazoviy burchagi.
Polar ko‘rinishda kompleks sonlar kiritilgan burchak orqali kuzatish osonroq bo‘ladi,
ayniqsa matematik va fizikada.
Kompleks Sonlarning Foydalanish So‘halari:
Fizika va Injeneriya: Kompleks sonlar sinusoidal to‘lqinlar va elektr tarmoqlarida
qo‘llaniladi. Masalan, AC (alternating current) tarmoqlarini tahlil qilishda yoki signalni
filtrlashtirishda foydalaniladi.
Nazariy Fizika: Kompleks sonlar kvant mexanikasi, relativistik fizikada va boshqa
ko‘plab fizika sohalarida qo‘llaniladi.
Matematika: Kompleks sonlar algebrada, differensial tenglamalarda, va integral
hisoblashda ishlatiladi. Ular analitik funksiya va reziduarlar nazariyasida ham zarurdir.
Kompleks sonlar matematikani rivojlantirishda juda muhim ahamiyatga ega. Ular
ko'plab matematik va fizika masalalarini aniq va samarali hal qilishga imkon beradi.
5

2.1 Kompleks sonlar ustida bajariladigan asosiy amallar
Kompleks Sonlar Ustida Bajariladigan Asosiy Amallar
Kompleks sonlar bilan ishlashda bir nechta asosiy amallarni bajarish mumkin. Ushbu
amallar matematikada va fizikada ko‘plab masalalarni hal qilishda keng qo‘llaniladi.
Kompleks sonlar ustida bajariladigan amallar haqidagi tushuncha ularni qo‘llashda
yordam beradi va kompleks sonlarni aniqroq, samaraliroq ishlatish imkonini yaratadi.
Kompleks sonlar ustida bajariladigan asosiy amallarni quyidagi bo‘limlarga bo‘lish
mumkin: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, modulni topish, va kompleks sonning
konjugatini olish.
1. Kompleks Sonlar ustida Qo‘shish va Ayirish
Kompleks Sonlarning Qo‘shilishi:
Kompleks sonlarni qo‘shish, ularning haqiqiy va tasavvur qismlarini alohida
qo‘shish orqali amalga oshiriladi. Agar bizda ikkita kompleks son bo‘lsa:
z_1 = a + bi
z_2 = c + di
Ularning qo‘shilishi quyidagicha bo‘ladi:
z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ya'ni, haqiqiy qismlar va tasavvur qismlarini alohida qo‘shamiz. Bu amaliyot
kompleks sonlarni oddiy arifmetik qo‘shish shaklida bajariladi.
Kompleks Sonlarning Ayirilishi:
Kompleks sonlarning ayirilishi ham shunga o‘xshash tarzda amalga oshiriladi. Agar
ikkita kompleks son:
z_1 = a + bi
z_2 = c + di
Bo‘lsa, ularning ayirilishi:
z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Bu yerda ham haqiqiy qismlar va tasavvur qismlarini alohida ajratib, ularni ayiramiz.
2. Kompleks Sonlarning Ko‘paytirilishi
6

$Kompleks sonlarni ko‘paytirish ko‘proq hisob-kitobni talab qiladi, chunki ikkita kompleks sonni ko‘paytirishda kengaytirish qo‘llaniladi. Misol uchun, agar: z_1 = a + bi z_2 = c + di Ko‘paytirish quyidagicha amalga oshiriladi: z_1 \times z_2 = (a + bi)(c + di) Bu ifodani kengaytirib yozamiz: z_1 \times z_2 = ac + adi + bci + bdi^2 Chunki i^2 = -1, bu ifoda quyidagicha soddalashadi: z_1 \times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Demak, kompleks sonlarni ko‘paytirishda haqiqiy qismlar va tasavvur qismlari alohida ko‘paytiriladi va keyin ularning natijalari qo‘shiladi. Shuningdek, tasavvur qismidagi i^2 ni -1 ga almashtirish zarur. 3. Kompleks Sonlarning Bo‘lishi Kompleks sonlarning bo‘lishi ko‘proq diqqatni talab qiladi. Agar: z_1 = a + bi z_2 = c + di Bo‘lish operatsiyasini amalga oshirish uchun avvalo z_2 ning konjugatini topishimiz kerak. z_2 ning konjugati \overline{z_2} = c - di bo‘ladi. Bo‘lishning umumiy formulasi quyidagicha: \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} Demak, yuqoridagi ifodada numinatorni kengaytirib va denominatorni ko‘paytirib, ifodaning qiymatini topish mumkin. Denominatorni hisoblash uchun, (c + di)(c - di) = c^2 + d^2 (ya'ni, bu haqiqiy son bo‘ladi). Kengaytirilgan formulada esa quyidagi natijani olamiz: \frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} Bu erda haqiqiy qismni \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}, tasavvur qismni esa \frac{bc - ad} {c^2 + d^2} shaklida ifodalash mumkin. 7$ $4. Kompleks Sonlarning Moduli Kompleks sonning moduli uning haqiqiy va tasavvur qismlarining kvadratlari yig‘indisining ildiziga tengdir. Agar: z = a + bi Bo‘lsa, uning moduli (ya'ni, uzunligi) quyidagicha hisoblanadi: |z| = \sqrt{a^2 + b^2} Modulni topish kompleks sonning geometrik uzunligini yoki masofasini hisoblashda qo‘llaniladi. Misol uchun, kompleks sonlar kompleks tekislikda tasvirlanganida, modul ular orasidagi masofani bildiradi. 5. Kompleks Sonning Konjugati Kompleks sonning konjugati uning tasavvur qismidagi belgini teskari o‘zgartirishdir. Agar: z = a + bi Bo‘lsa, uning konjugati: \overline{z} = a - bi Kompleks sonlarning konjugatlari ko‘pincha bo‘lish amallarida va modulli hisoblashlarda ishlatiladi. Masalan, agar biz kompleks sonni bir-biriga bo‘lsak, konjugatni ishlatib denominatorni soddalashtirish mumkin. 6. Kompleks Sonlar va Polar Ko‘rinish Kompleks sonlar polar shaklda ifodalanishi mumkin. Polar shaklda kompleks son quyidagicha ifodalanadi: z = r(\cos \theta + i \sin \theta) II. Kompleks sonlar ustida amallar bajarish metodlarini yaratish. 2.1 Kompleks sonlar sinfi. Kompleks sonlar matematikada keng qo‘llaniladigan, ikki qismdan iborat sonlardir: haqiqiy va tasavvuriy qismlar. Bu sonlar ko‘plab matematik va ilmiy sohalarda, ayniqsa fizika, muhandislik, va signalni qayta ishlash kabi sohalarda katta ahamiyatga ega. Kompleks sonlar o‘zining asosiy xususiyatlari, amallari va geometriyasi bilan ajralib turadi. Ushbu maqolada kompleks sonlarning tarixi, xususiyatlari, amallari, geometrik 8$ $va algebraik talqinlari, hamda ular bilan bog‘liq matematik nazariyalar haqida batafsil ma'lumot keltirilgan. 1. Kompleks Sonlarning Tarixi Kompleks sonlar dastlab XVII asrda matematiklar tomonidan joriy etilgan. Birinchi marta kompleks sonlarning haqiqiy qism va tasavvuriy qismini ajratish haqida o‘ylashda Rafael Bombelli (1572) muhim o‘rin tutgan. U, ikki marta ildiz olish amali orqali, yangi turdagi sonlarni ko‘rgan va ularni matematika tizimiga kiritish zarurligini ta'kidlagan. Biroq, kompleks sonlarning to‘liq nazariyasi faqat XIX asrda shakllandi. Karl Fridrix Gauss kompleks sonlarni geometriyada tasvirlashni boshladi, bu esa ularni yanada chuqurroq tushunishga olib keldi. Gaussning bu nazariyasi kompleks sonlarni "kompleks tekislik"da tasvirlashni ko‘zda tutadi, bunda haqiqiy qism x-o‘q bo‘yicha, tasavvuriy qism esa y-o‘q bo‘yicha joylashadi. Ushbu nazariya kompleks sonlarning geometrik tasvirlarini va ularning fazoviy xususiyatlarini tushunishga yordam berdi. 2. Kompleks Sonlarning Asosiy Xususiyatlari Kompleks sonlarning eng muhim xususiyatlari quyidagilardan iborat: Kompleks Sonning Asosiy Tanishuvi: Kompleks sonlarni quyidagi shaklda yozish mumkin: z = a + bi bu yerda: a — haqiqiy qism (real son), b — tasavvuriy qism (imaginar son), i — tasavvuriy birlik bo‘lib, $i^2 = -1$. Modul (uzunlik): Kompleks sonning modulini (uzunligini) quyidagi formulada hisoblash mumkin: |z| = \sqrt{a^2 + b^2} Bu, kompleks sonning haqiqiy va tasavvuriy qismlarining kvadratlarining yig‘indisining ildizidir va u kompleks sonning geometrik uzunligini bildiradi. Kompleks Konjugat: Kompleks sonning konjugati uning tasavvuriy qismidagi belgilarning teskari qiymatini olish orqali hosil bo‘ladi. Agar $z = a + bi$, unda \ overline{z} = a - bi bo‘ladi. 9$ $Argumend: Kompleks sonning argumenti uning fazoviy burchagi, ya'ni kompleks tekislikda haqiqiy o‘q bilan kompleks son orasidagi burchakdir. Bu burchakni quyidagicha hisoblash mumkin: \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) Bu burchak, kompleks sonni polar shaklda ifodalashda kerak bo‘ladi. 3. Kompleks Sonlarning Geometrik Talqini Kompleks sonlarni geometrik nuqtai nazardan tasvirlash uchun, ular kompleks tekislik**da (yoki Argand-Gauss tekisligi) tasvirlanadi. Kompleks sonlarning haqiqiy va tasavvuriy qismlari geometrik jihatdan x- (haqiqiy) va y- (tasavvuriy) o‘qlari bo‘yicha joylashgan nuqtalar sifatida qaraladi. Haqiqiy qism a — x-o‘q bo‘yicha joylashadi. Tasavvuriy qism b — y-o‘q bo‘yicha joylashadi. Kompleks son z = a + bi kompleksson tekisligida (a, b) nuqtasi sifatida tasvirlanadi. Modul (uzunlik): Kompleks sonning modulini (yoki uzoqligini) hisoblash uchun, z = a + bi sonining kompleks tekislikdagi nuqtadan, (0, 0) nuqtasigacha bo‘lgan masofasini hisoblash kerak. Bu masofa quyidagi formulada ifodalanadi: |z| = \sqrt{a^2 + b^2} Geometrik jihatdan, bu kompleks sonning (haqiqiy va tasavvuriy qismlari) koordinatalari bo‘yicha tekislikda joylashgan nuqtasidan (0, 0) nuqtasigacha bo‘lgan masofani bildiradi. Argument (burchak): Kompleks sonning argumenti uning fazoviy burchagi bo‘lib, kompleks tekislikda haqiqiy o‘q bilan kompleks son orasidagi burchakni ifodalaydi. Ushbu burchakni $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ formulasi yordamida hisoblash mumkin. Bu burchakni topish, kompleks sonni polar shaklga o‘tkazishda muhimdir. 4. Kompleks Sonlar bilan Amallar Kompleks sonlar bilan amallarni bajarish real sonlar bilan amallarga o‘xshash tarzda amalga oshiriladi, lekin ularning tasavvuriy qismlari ham hisobga olinadi. Quyida kompleks sonlar bilan eng asosiy amallarni ko‘rib chiqamiz: 10$ $Qo‘shish: Kompleks sonlarni qo‘shish uchun ularning haqiqiy qismlarini va tasavvuriy qismlarini alohida qo‘shish kerak. Agar z_1 = a + bi va z_2 = c + di bo‘lsa, ularning yig‘indisi: z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i Ayirish: Kompleks sonlarni ayirishda ham haqiqiy qismlar va tasavvuriy qismlarni alohida ayiramiz: z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i Ko‘paytirish: Kompleks sonlarni ko‘paytirish uchun distributivlik qonunini qo‘llaymiz: z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Bo‘lish: Kompleks sonlarni bo‘lishda ko‘proq algebraik manipulyatsiya kerak. z_1 = a + bi va z_2 = c + di bo‘lsa, ularning bo‘linmasi quyidagicha hisoblanadi: \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} Bu yerda c - di — z_2 ning konjugat soni, va bo‘lishni oddiy real va tasavvuriy qismlarga ajratib bajarish kerak. 5. Kompleks Sonlarning Polar Shakli Kompleks sonlarni polar shaklda ifodalash juda muhim, chunki bu shakl ko‘plab amallarni soddalashtiradi, ayniqsa ko‘paytirish va bo‘lishda. Polar shaklni quyidagicha yozish mumkin: z = r (\cos\theta + i\sin\theta) Bu yerda: r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} — kompleks sonning moduli, \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) — kompleks sonning argumenti (fazoviy burchagi). Kompleks sonning polar shakli orqali ularning ko‘paytirilishi va bo‘lishi yanada osonlashadi: Kompleks sonlarni ko‘paytirish: Agar z_1 = r_1 (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) va z_2 = r_2 (\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi quyidagicha bo‘ladi: z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] 11$ $Kompleks sonlarni bo‘lish: Agar z_1 = r_1 (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) va z_2 = r_2 (\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) bo‘lsa, ularning bo‘linmasi quyidagicha bo‘ladi: \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \ theta_2)] 6. Kompleks Sonlarning Amaliy Qo‘llanilishi Kompleks sonlar nafaqat matematikada, balki real hayotda, ayniqsa ilm-fan va texnologiya sohalarida keng qo‘llaniladi. Ular elektr toki, signalni qayta ishlash, kvant mexanikasi, nazariy fizikada hamda boshqalarida keng tarqalgan. Misol uchun: Elektronika va elektr toki: Kompleks sonlar elektr toki va signalni qayta ishlashda, ayniqsa, fazoviy hisob-kitoblarda qo‘llaniladi. Fizika: Kompleks sonlar kvant mexanikasi, elektromagnit to‘lqinlari, va to‘lqinlar nazariyasida ishlatiladi. Muhandislik: Signalni qayta ishlashda, tarmoq analizi va boshqalarda kompleks sonlar yordamida yechimlar topiladi. Kompleks sonlar matematik va ilmiy sohalarda juda katta ahamiyatga ega. Ularning asosiy xususiyatlari, geometrik talqinlari, va amallari ular bilan ishlashni osonlashtiradi. Kompleks sonlarni to‘g‘ri tushunish va qo‘llash, turli murakkab masalalarni hal qilishda katta yordam beradi. 7. Kompleks sonlarning tarixiy rivojlanishi Kompleks sonlar tarixi XVII asrga borib taqaladi. Dastlab ular faqat matematik muammolarni hal qilish uchun kiritilgan, ammo keyinchalik ular to‘liq bir matematik tushunchaga aylanishdi. Renessans davrida matematik olimlar (masalan, Rafael Bombelli) kompleks sonlarni hisoblash amallarini rivojlantirishga qaratilgan tadqiqotlar olib borishdi. XIX asrda, matematik olimlar kompleks sonlarni yanada chuqurroq o‘rganishdi. Karl Fridrix Gauss va Augustin-Louis Cauchy kabi matematiklar kompleks sonlarning keng ko‘lamda qo‘llanilishini izchil ko‘rsatdilar. Gauss, o‘zining "kompleks tekislik" tushunchasini ishlab chiqdi, va bu orqali kompleks sonlarning geometriyasi haqida yangi nazariyalar paydo bo‘ldi. 8. Kompleks sonlarning amaliy qo‘llanilishi Kompleks sonlar turli sohalarda keng qo‘llaniladi: 12$

Fizika: Kompleks sonlar fizika ilmida, ayniqsa kvant mexanikasi va elektr toki
nazariyasida keng qo‘llaniladi. Elektrik tok va signalning fazoviy tahlilida kompleks
sonlar orqali yechimlar topiladi.
Muhandislik: Signalni qayta ishlash, telekommunikatsiya va boshqalar.
Matematika: Kompleks tahlil, differensial tenglamalar, va qatorlar nazariyasi.
Kompleks sonlar (yoki kompleks sonlar) – bu real va mantiqiy sonlarni o'z ichiga
olgan sonlar bo'lib, ular shaklida ifodalanadi:
z = a + bi
Bu yerda:
a — real qism (real son),
b — mantiqiy qism (real son),
i — mantiqiy birlik, ya'ni i^2 = -1
Kompleks sonlarning sinfi ikki qismga bo'linadi:
1. Real qism (a) — bu kompleks sonning real qismi.
2. Mantiqiy qism (b) — bu kompleks sonning mantiqiy qismi.
Kompleks sonlarning qollanilishi:
Kompleks sonlar turli sohalarda keng qo'llaniladi. Ularning ayrim asosiy qollanilishi
quyidagilar:
1. Matematika va algebra:
Kompleks sonlar ko'pincha algebraik tenglamalarni yechishda ishlatiladi, chunki ba'zi
tenglamalar faqat kompleks sonlar yordamida yechiladi (masalan, x^2 + 1 = 0).
Kompleks sonlar analizda va differensial tenglamalarni yechishda ham muhim rol
o'ynaydi.
2. Fizika:
Kompleks sonlar kvant mexanikasida, elektromagnit to'lqinlarining tavsifida,
energiya va kuchlarning o'zgarishini hisoblashda ishlatiladi.
Kompleks sonlar signalni analiz qilish va yoritish texnologiyalarida, masalan, tezlik,
amplituda, faza va vaqt o'zgarishlarini ifodalashda qo'llaniladi.
13

$3. Mühendislik: Elektronika va kuchlanishlar nazariyasida kompleks sonlar kuchlanishlar va oqimlarni ta'riflashda ishlatiladi. Sog'lom tizimlar nazariyasi, ayniqsa, sanoat muhandisliklarida signalni tahlil qilishda ham kompleks sonlar muhim hisoblanadi. 4. Kompyuter fanlari: Kompleks sonlar, ayniqsa, algoritmlar va raqamli signallarni tahlil qilishda ishlatiladi. Kompyuter grafikasi va tasvirni qayta ishlashda ham kompleks sonlardan foydalaniladi, masalan, "Fourier transform" kabi metodlarda. 5. Ikkinchi darajali tenglamalar va ildizlar: Kompleks sonlar, masalan, kvadrat ildizlar va xususan, real sonlarning ildizlari mavjud bo'lmagan holatlarda qo'llaniladi. Kompleks sonlarni ifodalash usullari: 1. Ko'rsatilgan shakl (a + bi): Bu eng ko'p ishlatiladigan ifoda. 2. Modul va faza shakli: Kompleks sonni poliar shaklda, ya'ni z = r (\cos \theta + i \sin \ theta) ko'rinishida ifodalash mumkin, bunda r – kompleks sonning moduli, va \theta – uning fazasi. Kompleks sonlar nafaqat matematikada, balki kundalik hayotda va texnologiya sohalarida keng qo'llaniladi, ularning ko'p qirralari juda muhim. 2.2 Operatorlarni ortiqcha yuklash Zamonaviy dasturlash tillari, ayniqsa C++, Python kabi obyektga yo‘naltirilgan dasturlash (OOP – Object-Oriented Programming) tillarida operatorlarni ortiqcha yuklash (operator overloading) konsepsiyasi muhim o‘rin tutadi. Bu uslub orqali dasturchi o‘ziga xos ma'lumot turlariga (klasslarga) oddiy operatorlar kabi harakat qilish imkoniyatini beradi. Oddiy qilib aytganda, dasturchi o‘z sinflari uchun + , - , * , == kabi operatorlarga yangi ma'no yuklashi mumkin. Operatorlarni ortiqcha yuklash nima? 14$

Operatorlarni ortiqcha yuklash – bu obyektlarga nisbatan standart operatorlar (a
rifmetik, taqqoslash, mantiqiy va h.k.) qanday amal qilishini aniqlash uchun maxsus
funksiyalar orqali operatorlarga yangi ta'rif berishdir.
Misol:
Complex a(3, 4), b(1, 2);
Complex c = a + b;
Bu yerda + operatori Complex klassiga qanday amal qilishini dasturchi belgilashi
kerak. Aks holda, + operatori oddiy sonlarga amal qiladi, obyektlarga emas.
1. Kodni o‘qiluvchanligini oshiradi. Klasslar bilan ishlayotganda funksiyalar
o‘rniga oddiy operatorlardan foydalanish kodni sodda va tushunarli qiladi.
2. Modullikni ta'minlaydi. Har bir klass o‘ziga xos operatorlarni ta’riflab, mustaqil
ishlashi mumkin.
3. Moslashuvchanlik yaratadi. Har xil ma’lumot turlariga mos ravishda harakat
qiluvchi operatorlar tuzish imkonini beradi.
C++ dasturlash tilida operatorlarni ortiqcha yuklash
C++ dasturlash tilida operatorlar maxsus operator kalit so‘zi yordamida ortiqcha
yuklanadi. Masalan, + operatorini yuklash uchun quyidagi shakldan foydalaniladi:
class Complex {
private:
float real, imag;
public:
Complex(float r = 0, float i = 0) : real(r), imag(i) {}
Complex operator + (const Complex& other) {
return Complex(real + other.real, imag + other.imag);
}
void display() {
std::cout << real << " + " << imag << "i" << std::endl;
}
};
Endi Complex obyektlariga + operatori oddiy sonlardek amal qiladi.
Yuklash mumkin bo’lgan operatorlar.
C++ dasturlash tilida quyidagi operatorlarni ortiqcha yuklash mumkin:
 Arifmetik operatorlar: + , - , * , / , %
 Mantiqiy operatorlar: && , || , !
15

 Taqqoslash operatorlari: == , != , < , > , <= , >=
 Inkremet/dekrement operatorlari: ++ , --
 Kirish-chiqarish operatorlari: << , >>
 Qavs va ko‘rsatkich operatorlari: () , [] , ->
 Belgilash operatorlari: = , += , -= , va hokazo
Yuklab bo’lmaydigan operatorlar.
Quyidagi operatorlarni ortiqcha yuklash mumkin emas :
 :: (scope resolution)
 . (dot operator)
 .* (pointer-to-member)
 sizeof
 typeid (RTTI)
 ?: (ternary operator)
Misol : Tenglik operatorini ortiqcha yuklash.
class Point {
int x, y;
public:
Point(int x1, int y1) : x(x1), y(y1) {}
bool operator==(const Point& other) {
return x == other.x && y == other.y;
}
};
Point p1(3, 4), p2(3, 4);
if (p1 == p2) {
std::cout << "Nuqtalar teng." << std::endl;
}
Operator ortiqcha yuklashning kamchiliklari.
16

1. Keraksiz murakkablik: Har bir operator uchun qo‘shimcha kod yozish kerak,
bu esa xatolarga sabab bo‘lishi mumkin.
2. Noto‘g‘ri ishlatilsa, chalkashliklar tug‘diradi: + operatori har doim yig‘indi
emas, boshqa ma'no olishi mumkin, bu esa dasturchilarni chalg‘itadi.
3. Yuklab bo‘lmaydigan operatorlar mavjud: Ba'zi hollarda istalgan operatorni
moslashtirish imkoni yo‘q.
Operatorlarni ortiqcha yuklash – bu obyektga yo‘naltirilgan dasturlashda qulaylik va
kodni tabiiy ifodalash uchun ishlatiladigan muhim vosita. U kodni o‘qiluvchan,
tushunarli va modulli qiladi. Ammo bu imkoniyatni ehtiyotkorlik bilan ishlatish lozim,
chunki noto‘g‘ri yoki haddan ziyod yuklash kod murakkabligini oshirishi va xatoliklarni
ko‘paytirishi mumkin.
17

2.3 Amaliy misol(main funksiyada).
Kompleks sonlar uchun kutubxona
#include <iostream>
#in ч clude <complex>
using namespace std;
Misol 1 : Kompleks sonni yaratish va chiqarish
int main() {
complex<double> z(3.0, 4.0); // z = 3 + 4i
cout << "Kompleks son z = " << z << endl;
cout << "Re(z) = " << real(z) << ", Im(z) = " << imag(z) << endl;
return 0;
}
Izoh:
complex<double> — bu yerda kompleks sonlar haqiqiy (double) koeffitsiyentlar bilan.
real(z) va imag(z) funksiyalari orqali haqiqiy va mavhum qismlarni ajratib oldik.
Natija:
Kompleks son z = (3,4)
Re(z) = 3, Im(z) = 4
Misol 2 : Kompleks sonlar qo‘shilishi
int main() {
complex<double> a(2.0, 3.0); // 2 + 3i
complex<double> b(1.0, -4.0); // 1 - 4i
complex<double> sum = a + b;
18

cout << "Yig'indi: " << sum << endl;
return 0;
}
Izoh:
* (2 + 3i) + (1 - 4i) = (3 - 1i)
* Natija: (3, -1)
Misol 3 : Kompleks sonlar ko‘paytmasi
int main() {
complex<double> a(2, 1); // 2 + i
complex<double> b(1, -3); // 1 - 3i
complex<double> res = a * b;
cout << "Ko‘paytma: " << res << endl;
return 0;
}
Izoh:
* (2 + i)(1 - 3i) = 2 - 6i + 1i -3i² = 2 - 5i + 3 = 5 - 5i
* Natija: (5, -5)
Misol 4 : Kompleks sonlar bo‘lishi
int main() {
complex<double> a(4, 2); // 4 + 2i
complex<double> b(1, -1); // 1 - i
complex<double> res = a / b;
cout << "Bo‘linma: " << res << endl;
return 0;
}
Izoh
19

$\frac{4 + 2i}{1 - i} = \frac{(4 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(4 + 4i + 2i + 2i^2)}{1 + 1} = \frac{(4 + 6i - 2)}{2} = \frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i * Natija: (1, 3) Misol 5 : Kompleks modul va faza (argument) #include <cmath> // fabs, arg uchun int main() { complex<double> z(3, 4); // 3 + 4i double modulus = abs(z); // |z| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 double argument = arg(z); // arctan(4/3) cout << "Modul |z| = " << modulus << endl; cout << "Faza arg(z) = " << argument << " radian" << endl; return 0; } Izoh: abs(z) — kompleks sonning moduli. arg(z) — faza (burchak) radianlarda. Misol 6: Kompleks sonning konjugati (teskari kompleksi) int main() { complex<double> z(2, 5); // 2 + 5i complex<double> z_conj = conj(z); // 2 - 5i cout << "Konjugat: " << z_conj << endl; return 0; } Izoh: conj(z) funksiyasi yordamida teskari kompleks son olinadi. C++ da complex kutubxonasi yordamida: 20$

Kompleks sonlarni yaratish
Ularni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish
Moduli, fazasi, va konjugatini hisoblash
mumkin bo‘ladi.
Xulosa .
Ushbu kurs ishida matematikada muhim o‘rin tutuvchi kompleks sonlar tushunchasi,
ular bilan bog‘liq asosiy amallar hamda bu sonlar asosida qurilgan kompleks sonlar
sinfi atroflicha ko‘rib chiqildi. Kompleks sonlar matematik analiz, fizikada to‘lqin
jarayonlarini tahlil qilish, elektr zanjirlarini modellashtirish, boshqaruv tizimlari va
signalni qayta ishlash kabi ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi.
Kompleks sonlar haqiqiy sonlar to‘plamini kengaytirish orqali olinadi va ularni
quyidagicha ifodalash mumkin:
z = a + bi , bu yerda a — haqiqiy qism, b — mavhum qism, i — ixtiyoriy birlik son
bo‘lib, i² = -1 tenglikni qanoatlantiradi.
Kurs ishida quyidagi asosiy amallar va xossalarga alohida e’tibor berildi:
 Qo‘shish va ayirish: Kompleks sonlar ustida amallar haqiqiy qismlar va
mavhum qismlar bo‘yicha alohida bajariladi.
 Ko‘paytirish: Algebrik shaklda ko‘paytirishda distributivlik qoidasidan
foydalaniladi va i² = -1 tengligi qo‘llaniladi.
 Bo‘lish: Kompleks sonlarni bo‘lish uchun ulardan biri modulining kvadratiga
ko‘paytirilgan kompleks kon’yugat orqali ifodalanadi.
 Modul va argument: Kompleks sonning moduli uning koordinata tekisligidagi
uzunligini bildiradi, argument esa asosiy burilishni ko‘rsatadi.
 Trigonometriya va eksponensial shakl: Euler formulasi orqali kompleks sonlar
trigonometriya shaklida ifodalanib, amallarni soddalashtirish imkonini beradi.
 Kon’yugat (qarama-qarshi son): Kompleks sonning kon’yugati uning mavhum
qismini qarama-qarshi ishoraga almashtirish bilan olinadi.
Kompleks sonlar sinfi (klass) tushunchasi esa dasturlash nuqtai nazaridan o‘rganildi. Bu
orqali kompleks sonlar ustida amallarni avtomatlashtirish, ularni obyekt sifatida saqlash,
metodlar orqali amallar bajarish imkoniyati yaratildi. OOP (Obyektga Yo‘naltirilgan
Dasturlash) asosida kompleks sonlar uchun sinf tuzish, bu sinfda konstruktor, qo‘shish,
ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish metodlarini yozish amaliy jihatdan muhim bo‘ldi.
Xulosa qilib aytganda, kompleks sonlar nafaqat matematik nazariyada, balki amaliy
sohalarda ham chuqur o‘rganilishi va qo‘llanilishi zarur bo‘lgan mavzulardan biridir.
21

Ularga oid tushunchalarni chuqur o‘zlashtirish talabalarga kelgusida ilmiy izlanishlar va
real muammolarni yechishda katta yordam beradi.
22

Foydalanilgan adabiyotlar va internet resurslari.
1. G.M. Fikhtengolts. Differensial va integral hisob kursi. 1-qism. – Toshkent:
“O‘qituvchi”, 1980.
2. K.F. Vorobyev. Murakkab sonlar nazariyasi va amaliyoti. – Moskva: Nauka,
1986.
3. V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Chiziqli algebra va matematik analiz asoslari. –
Moskva: Nauka, 1985.
4. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа. – Москва: Наука, 1976.
5.Brown, J.W., Churchill, R.V. Complex Variables and Applications. – New York:
McGraw-Hill, 2009.
6. Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. – John Wiley & Sons, 10th
edition, 2011.
7. O‘zbekiston Milliy Ensiklopediyasi. Kompleks sonlar maqolasi.
8. Internet manbalari:
https://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
23

C++ dasturlash tilida kompleks sonlar va ular ustida amallar bajaradigan sinfni ishlab chiqish

Купить

Похожие документы
3d-max dasturida obektlarni yaratish
Algoritm va ma’lumotlar strukturasi
3D-MAX dasturi haqida
3D Studio MAX dasturiga kirish. 3D Studio MAX dasturi haqida tushuncha
Adobe photoshop dasturida tasvirlarda ishlov berish,taqdimot yaratish

Информация о документе

Продавец

C++ dasturlash tilida kompleks sonlar va ular ustida amallar bajaradigan sinfni ishlab chiqish

Похожие документы