Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 304.9KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Chekli o‘lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo‘yilishi, xossalari va sinflari. Ekstremal masala yechimining mavjudligi

Купить
Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo’yilishi, xossalari va sinflari. Ekstremal masala yechimining mavjudligi. Reja: 1. Chekli o’lchovli ekstremal masalaning qo’yilishi va uning asosiy tiplari. 2. Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning ba’zi umumiy xossalari 3. Ekstremal masala yechimining mavjudligi. 1.Chek li o’lchov li ek st remal masalaning qo’y ilishi v a uning asosiy t iplari . nR - n - o’lchovli haqiqiy Evklid fazosi bo’lsin. nR fazo ),...,( 1 nxxx  va ) ,..., ( 1 n y y y elementlarining skalyar ko’paytmasi   n i ii yxyx 1),( tenglik bilan, n Rx  vektorning normasi esa   n i ix x 1 2 ko’rinishda aniqlanadi. Ko’pincha (vektor – matrisali yozuvdan foydalanilganda) nR fazoning elementlarini n - o’lchovli vektor – ustunlar deb qaraladi va nR y x  , elementlarning skalyar ko’paytmasi y xT ko’rinishda belgilanadi, bu yerda T – transponirlash belgisi. nR fazoning biror Q to’plamida aniqlangan ) (x f funksiya berilgan bo’lsin. 1-t a ’ r i f. Q x 0 bo’lsin. Agar barcha Q x lar uchun ) ( ) ( 0 x f x f  )) ( ) ( ( 0 x f x f  munosabat bajarilsa, 0x ga ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global minimum (global maksimum) nuqtasi deyiladi. Agar 0x - ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global minimum (global maksimum) nuqtasi bo’lsa, ) ( 0x f ga - ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi eng kichik (eng katta) yoki minimal (maksimal) qiymati deyiladi va ) ( ) ( min 0 x f x f Qx   )) ( ) ( ( max 0 x f x f Qx  kabi belgilanadi. 1- m i s o l. ) (x f = ) , ( 0, x,0 ;0 , sin 1 2          R x x x  funksiyani qaraymiz. a)   2 1:1     x R x Q to’plamda ) (x f funksiyaning global minimum nuqtasi 1 0 x , chunki , ; ), ( sin 0 sin )1( 22 Q x x f x f         ;0 )1( ) ( min ) ( inf      f x f x f Qx Qx ) (x f funksiyaning shu to’plamdagi global maksimum nuqtasi 20 x , chunki ;,sin12sin)2( 22 Qxxf    1 )2( ) ( max ) ( sup      f x f x f Qx Qx . b) Agar   1 31:1     x R x Q bo’lsa, qaralayotgan funksiyaning global minimum nuqtalari uchta : 1; ,2 1 ,31 03 02 01    x x x global maksimum nuqtasi esa bitta : 3 2 0 x . v) Qaralayotgan funksiyaning   1 0:1     x R x Q to’plamda global minimum va maksimum nuqtalari sanoqli: ,...2,1 ,1 0   n n x n - global minimum nuqtalari, ,...2,1 ,1 2 2 0    n n x n - global maksimum nuqtalaridir. g)       x R x Q 2:1 bo’lganda, ) (x f funksiya bu to’plamda o’zining aniq va quyi chegarasiga erishmaydi, ya’ni bu holda funksiyaning global minimum nuqtasi yo’q. Haqiqatan ham, ;0 sin inf ) ( inf 2 2     x x f x Qx  ammo Q x  uchun ) (x f >0. 2- m i s o l. ) (x f nR x x    , 1 funksiya berilgan. a)   1 :    x R x Q n bo’lsa, ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global maksimum nuqtasi n Rx  )0,...,0,0( bo’ladi, chunki Q x x f       , 1 1 ) ( ; global minimum nuqtalari esa, 1 x shartni qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat, chunki, ) (x f =0, 1 x ; ) (x f 0 , 1 x ; demak, global minimum nuqtalari to’plami kontinium quvvatlidir. b)   1 :    x R x Q n to’plamda esa, ) (x f funksiya 1 x shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarda aniq yuqori chegarasiga erishadi, chunki, ) (x f =0, 1 x ; ) (x f 0 , 1 x ; bu to’plamda ) (x f funksiyaning global minimum nuqtalari yo’q:   ) ( inf x fQx . 2- t a’ r i f.          0 0 0 : ) , ( , x x R x x K Q x n bo’lsin. Agar biror 0 son topilib, barcha ) , ( 0  x K Q x   uchun )) ( ) ( ( ) ( ) ( 00 x f x f x f x f   munosabat bajarilsa, 0x ga ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi deyiladi. ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi minimum (maksimum) nuqtari va minimal (maksimal) qiymatini topish haqidagi masalaga minimallashtirish (maksimallashtirish) masalasi deyiladi va u ) (x f nR Q Q x   , min(max), (1) ko’rinishda belgilanadi. ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi minimum va maksimum nuqtalari ekstremum nuqtalari deb, (1) ko’rinishdagi masalalarni esa chekli o’lchovli ekstremal masalalar deb atamiz. Qaralayotgan ekstremal masala uchun ) (x f  nR Q Q x extr   , , belgilashdan ham foydalaniladi. (1) ekstremal masalaning global (lokal) yechimi deb, ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi global (lokal) ekstremum nuqtalarini tushunamiz. 3- m i s o l. )1()( 22 xxxf  1 ]3,3 [ min, R Q x     (2) 0 0 x - (2) masalaning lokal yechimi bo’ladi, chunki, agar 1 0   bo’lsa, ) , ( ) , ( 0         x K Q x uchun, ) (x f ) ( 0 0 x f   bo’ladi. Lekin, 0 0 x nuqta (2) masalaning global yechimi bo’la olmaydi, chunki agar 1 3   x bo’lsa, ) (x f )( 0 xf bo’ladi. 3x va 3x - masalaning global yechimlaridir: 72 )3 ( ) ( min ]3,3[     f x f x . Matematikaning chekli o’lchovli ekstremal masalalar bilan shug’ullanadigan bo’limi matematik programmalashtirish deb ataladi. Matematik programmalashtirishda ko’pincha quyidagi atamalardan foydalaniladi: (1) masala – optimallashtirish masalasi; ) (x f - maqsad funksiyasi; Q - rejalar (joiz nuqtalar) to’plami; Q x - ixtiyoriy reja (joiz nuqta); (1) masalaning global (lokal) yechimi – optimal (lokal optimal) reja. Maqsad funksiyasi va rejalar to’plamining berilishiga qarab, chekli o’lchovli optimallashtirish masalalarini quyidagicha sinflarga (tiplarga) ajratish mumkin. a) Bir o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi : ) (x f R Q Q x extr   , , (3) Bir o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi matematik programmalashtirishning klassik masalasi bo’lib, bu masala haqida dastlabki ma’lumotlar bizga matematik analiz kursidan ma’lum. b) Shartsiz ekstremum masalasi : ) (x f n R x extr  , (4) Bu masala (1) dan Q = nR bo’lganda kelib chiqadi. Shartsiz ekstremum masalasi matematik programmalashtirishning klassik masalasi bo’lib, u matematik analiz kursida differensial hisob yordamida o’rganilgan. d) Klassik shartli ekstremum masalasi : ) (x f n i R x m i (x)g extr    , ,1 ,0 , (5) Bu masalada rejalar to’plami   m i x g R x Q i n ,1 ,0 ) ( :     , ya’ni faqat tenglik ko’rinishidagi bog’lanishlar berilgan. e) Chiziqsiz programmalashtirishning umumiy masalasi : ) (x f P x ,m, k i (x)g k i (x)g extr i i       1 ,0 , ,1 ,0 , . (6) Ushbu masalani matematik programmalashtirishning umumiy shartli ekstremum masalasi deb ham ataymiz. Unda tenglik ko’rinishidagi bog’lanishlar bilan bir qatorda tengsizlik ko’rinishidagi bog’lanishlar ham qatnashadi. (6) masaladan, xususiy holda, nR P m   ,0 bo’lganda shartsiz ekstremum masalasiga, n R P k   ,0 bo’lganda esa, klassik shartli ekstremum masalasiga ega bo’lamiz. f) Qavariq programmalashtirish masalasi . nR P  - qavariq to’plam, k i x g x f i ,1 ), ( ), (  , funksiyalar P to’plamda qavariq, m k i x gi ,1 ), (   , funksiyalar chiziqli bo’lganda , ) (x f P x ,m k i (x)g k i (x)g i i       , 1 ,0 , ,1 ,0 min, , minimallashtirish masalasiga qavariq programmalashtirishning umumiy masalasi deyiladi. g) Kvadratik programmalashtirish masalasi . Agar qavariq programmalashtirish masalasida maqsad funksiyasi x b Ax x x f T T  ) ( ( A - simmetrik n n - matrisa, ) ,..., ( ,0 1 n T b b b A   ) kvadratik funksiyadan iborat, cheklashlar esa, chiziqli funksiyalar bilan berilgan bo’lsa, unga kvadratik programmalashtirish masalasi deyiladi. h) Chiziqli programmalashtirish masalasi .Agar (6) masalada m i x g x f i ,1 ), ( ), (  fuknsiyalar chiziqli,   n j b x a R x P j j j n ,1 , :      yoki   n j x R x P j n ,1 ,0 :     bo’lsa, chiziqli programmalashtirish masalasiga esa bo’lamiz. 2. Ek st remal masalalarni mat emat ik modellasht irish. Misollar. Amaliyotda paydo bo’ladigan optimallashtirish masalalariga hozirgi zamon ekstremal masalalar nazariyasini qullay olish uchun avvalo ularni matematika tiliga ko’chirish – matematik formalashtirish zarur. Qo’yilgan har bir optimallashtirish masalasini matematik modellashtirish, shu masalaning matematik modelini tuzishga olib keladi. Quyida optimallashtirish masalalarining matematik modelini tuzishga doir bir necha misollar qaraymiz. 1-m a s a l a. Berilgan to’g’ri chiziqda shunday nuqtani topish talab qilinadiki, undan berilgan ikki nuqtagacha bo’lgan masofalar yig’indisi minimal (eng kichik) bo’lsin. Qo’yilgan masalaning matematik modelini tuzamiz. Buning uchun tekislikda Oxy Dekart koordinatalar sistemasini qaraymiz va Ox o’qni berilgan1-чизма xy to’g’ri chiziq bo’ylab yo’naltiramiz, Oy o’qni esa, berilgan A nuqta orqali o’tkazamiz (1-chizma). ) , ( C A  va ) , ( C B  - mos ravishda, berilgan A va B nuqtalardan Ox o’qdagi ixtiyoriy C nuqtagacha bo’lgan masofalar bo’lsin. Masala shartiga ko’ra, Ox o’qda shunday C nuqtani topish talab qilinadiki, ),(),( CBCAf    miqdor eng kichik qiymat qabul qilinsin. A, B, C nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo’lsin: )0, ( ), , ( ), ,0( x C b d B a A . U vaqtda, , ) , ( 2 2 x a C A    . ) ( ) , ( 2 2 x d b C B     C nuqtaning Ox o’qda o’zgarishi uning absissasi - x o’zgaruvchining ) , ( 1    R to’plamda o’zgarishidan iborat. Shunday qilib, qo’yilgan masalaning matematik modeli, 2 2 2 2 ) ( ) ( x d b x a x f       min, 1R x , ko’rinishda, ya’ni bir o’zgaruvchili funksiyaning minimumini topish masalasidan iborat bo’ladi. 2- m a s a l a. nR fazoda m a a a ,..., ,21 nuqtalar berilgan bo’lsin. Shunday n Rx  nuqtani topish talab qilinadiki, bu nuqtadan berilgan ma a ,...,1 nuqtalargacha bo’lgan masofalar kvadratlarining yig’indisi minimal bo’lsin. Ixtiyoriy n Rx  nuqtadan m i R a n i ,1 ,   nuqtagacha bo’lgan masofa, i i a x ax  ) , ( bo’lgani uchun, qo’yilgan masalaning matematik modeli, quyidagi,    m i i a x x f 1 2 ) (  nR x min, , shartsiz minimallashtirish masalasidan iborat. 3- m a s a l a. Tekislikda berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofa topilsin. Berilgan nuqta ) , ( 2 1a a A , berilgan to’g’ri chiziq d x c xc   2 2 11 bo’lsin. Agar ) , ( 2 1x x B - to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, undan A nuqtagacha bo’lgan masofa, 2 2 2 21 1 ) ( ) ( ) , ( a x a x B A      bo’ladi. B nuqta to’g’ri chiziqda yotgani uchun, uning koordinatalari 0 ) ( 2 2 11     d x c xc x g bog’lanishni qanoatlantiradi. Shunday qilib, berilgan masala quyidagi minimallashtirish masalasiga keltiriladi: 2 2 2 21 1 ) ( ) ( ) ( a x a x x f     2 2211 ,0 ) ( min, R x d x c xc x g      . 4- m a s a l a. Doiraga eng katta yuzaga ega bo’lgan to’g’ri to’rtburchak chizilsin. 2x Aylana tenglamasi 2 22 21 r x x   bo’lsin. 1 Ox ) , ( 2 1x x M va 2 Ox o’qlarini to’g’ri to’rtburchak tomonlariga 1x parallel qilib o’tkazamiz va ) , ( 2 1x x orqali to’g’ri to’rtburchakning koordinatalar tekisligi birinchi choragida yotuvchi uchining koordinatalarini belgilaymiz(2-chizma). 2- chizma. U vaqtda, doiraga ichki chizilgan to’g’ri to’rtburchakning yuzi 2 1 4 xx ga teng bo’ladi. 2 1,x x o’zgaruvchilarga 2 22 21 r x x   , 0 ,0 2 1   x x shartlar qo’yilgan. Shunday qilib, qo’yilgan masalaning matematik modeli, 2 1 4 ) ( xx x f    .0,0:),(),(,0)(max, 21212122 22 1  xxxxPxxxrxxxg . ko’rinishni oladi.Bu masalani, 2 1 4 ) ( xx x f  0 ) ( ,0 ) ( ,0 ) ( max, 2 3 2 2 22 21         x x g x x g r x x x g ko’rinishda ham yozish mumkin. 5- m a s a l a (ishlab chiqarish masalasi). Korxona n turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun xomashyoning m xilidan foydalaniladi. Faraz qilaylikki, j - mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun i - xomashyoning sarf bo’ladigan miqdori ija bo’lsin; j - mahsulot birligining realizasiyasidan olinadigan foyda miqdori esa jc bo’lsin. Agar i - xildagi xomashyo miqdori ib bo’lsa, mahsulot ishlab chiqarishning shunday rejasini tuzish talab qilinadiki, uning realizasiyasidan keladigan foyda maksimal bo’lsin. Qo’yilgan masalaning matematik modelini tuzamiz. jx - j - mahsulot ishlab chiqarish rejasi bo’lsin. Tushunarliki, n j xj ,1 ,0   bo’ladi. bundan tashqari, masala shartiga ko’ra,    n j i j ij m i b x a 1 ,.1 , , bog’lanishlarga ega bo’lamiz. Umumiy ishlab chiqarish rejasi ),...,( 1 nxxx  ning realizasiyasidan keladigan foyda -  n j j jx c 1 bo’ladi. Shunday qilib, qaralayotgan ishlab chiqarish masalasining matematik modeli   n j j jx c x f 1 ) (      n j j j j ij n j x m i b x a 1 ,1 ,0 , ,1 , max, ko’rinishdagi chiziqli programmalashtirish masalasidan iborat. 3. Ek st remal masalaning geomet rik t alqini . Chekli o’lchovli (1) ekstremal masalaning geometrik ma’nosi haqida qisqacha so’z yuritamiz.   1 , ) ( : R x f R x L n        (7) ko’rinishdagi to’plamlarni qaraymiz. L to’plam (agar u bo’sh bo’lmasa!) 2n bo’lganda tekislikda chiziqdan, 3n bo’lganda sirtdan iborat. Bu to’plamga ) (x f funksiyaning sath chizig’i (yoki sirti) deyiladi. (1) masalaning qo’yilishidan va (7) to’plamlarning aniqlanishidan tushunarliki,        Q L R x f Qx   : min ) ( min 1        Q L R x f Qx   : max ) ( max 1 . Demak, geometrik nuqtai nazardan, (1) masalani yechish L to’plam bilan Q to’plam kesishadigan eng kichik (eng katta)  sonni topishga keltiradi. Bunda Q L x    nuqtalar (1) masalaning yechimidan, ) (   x f  esa, ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi minimal (maksimal) qiymatidan iborat bo’ladi. x nuqta Q to’plamning ichki nuqtasi (3 a) -chizma) yoki chegaraviy nuqtasi (3 b) -chizma) bo’lishi mumkin. I z o h. Funksiyaning o’zgarish xarakterini ko’rsatish uchun, L sath chizig’ining qaysi tomonida funksiya  dan katta qiymat qabul qilsa, shu tomonga “+” ishora, ikkinchi tomonga esa “-” ishora qo’yish foydalidir. a) b) 3-chizma 5- m i s o l. 1 min(max),)1()2()( 2 22 12 22 1  xxxxxf . Bu masalaning rejalar to’plami   1:)1,( 2 22 12  xxRxKQ , markazi )0,0(  nuqtada bo’lgan birlik doiradan iborat. Maqsad funksiyasining sath chizig’i   0 - )1 ( )2 (: 2 2 2 1 2           x x R x L bo’lganda,  radiusli va markazi (2,1) nuqtada bo’lgan aylanadan iborat; 0  bo’lganda L to’plam nuqtaga aylanadi   0 ;)1,2( 0    L bo’lganda esa, L bo’sh to’plamdir (4-chizma). Chizmadan tushunarliki, maqsad funksiyasining minimum va maksimum nuqtalari L , 0  , aylanalarning )1, ( K doiraga urinish nuqtalaridan iborat bo’ladi. )1, ( K doiraga dastlabki urinuvchi aylana minimumni aniqlaydi, oxirgi marta urinuvchi aylana esa, maksimumni aniqlaydi. 2x 1x 4- chizma. Bu urinish nuqtalari esa, )0,0( va )1,2( nuqtalardan o’tuvchi 12 2 1x x  to’g’ri chiziq bilan 1 2 22 1 x x aylananing kesishish nuqtalaridir. Demak,      51 , 52 x - minimum nuqtasi,          5 1 , 5 2 x maksimum nuqtasi bo’ladi. 4. С hekli o ’ lchovli ekstremal masalalarning ba ’ zi umumiy xossalari . Chekli o’lchovli ) (x f n R Q Q x   , min(max), (1) ekstremal masalani qaraymiz. Ushbu ), ( sup ) ( ), ( inf ) ( x f Q f x f Q f QxQx     (2)     )()(:)( ,)()(:)( QfxfQxfQQfxfQxfQ    belgilashlarni kiritamiz. ) (x f funksiyaning Q to’plamdagi lokal minimum (lokal maksimum) nuqtalari to’plamini ) (f Q Л ( ) (f QЛ ) orqali belgilaymiz. Global va lokal ekstremum nuqtalarining ta’riflariga asosan (1-ma’ruzaga qarang), ) ( ) ( ), ( ) ( f Q f Q f Q f Q Л Л       (3) munosabatlar o’rinlidir. Agar global ekstremum mavjud va barcha lokal ekstremum nuqtalari aniqlangan bo’lsa, (1) masalaning global yechimi 0x ni ) ( min ) ( )( 0 x f x f f Qx Л  ( ) ( max ) ( )( 0 x f x f f Qx Л  ) shartni topamiz. Keltirilgan bu tasdiq quyidagi teoremaning va (3) munosabatning natijasidir. 1-teorema .   ) (f Q (  )( fQ ) va P f Q   ) ( ( PfQ  )( , QP  bo’lsin. U holda ) ( min ) ( min x f x f Px Qx    ( ) ( max ) ( max x f x f Px Qx    ) ) ( ) ( f P f Q    ( ) ( ) ( f P f Q    ) bo’ladi. I s b o t i. Isbotni minimum uchun olib boramiz (maksimum uchun shunga o’xshash isbotlanadi).   ) (f Q va QP  bo’lganligidan, ) ( min ) ( inf x f x f Qx Px    tenglik bajariladi. P f Q   ) ( munosabatni hisobga olib, ) (f Q x    uchun ) ( inf ) ( x f x f Px   ga ega bo’lamiz. Shunday qilib, ). ( min ) ( inf ) ( ) ( min x f x f x f x f Qx Px Qx        (4) Bu yerdan ) ( min ) ( min x f x f Px Qx    kelib chiqadi. (4) dan ) ( ) ( f P f Q    munosabatni olamiz. ) (f P x   bo’lsin. U holda, ) ( min ) ( min ) ( x f x f x f Qx Px      . Q f P   ) ( ekanligini hisobga olib, bu yerdan ) ( ) ( f Q f P    bo’lishini olamiz. Shunday qilib, ) ( ) ( f P f Q    .  Bundan keyin, ) (x f funksiyaning shartsiz global (lokal) ekstremumi deganda, shartsiz ekstremum masalasining global (lokal) yechimlarini tushunamiz. ) ( ), ( ), ( ), ( f Q f Q f Q f Q Л Л     to’plamlarning va ) (x f funksiyaning shartsiz ekstremum nuqtalarining aniqlanishidan quyidagi teoremaga ega bo’lamiz. 2-teorema . ) (x f - nR da aniqlangan funksiya, nR Q  bo’lsin. U holda: 1) agar Q x int 0 bo’lsa, ) ( 0 f Q x Л  ( ) ( 0 f Q x Л  ) bo’lishi uchun, ) ( 0 x f x  ning shartsiz lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi bo’lishi zarur va yetarlidir (bu tasdiqning yetarlilik qismi uchun Q x 0 shart kifoya); 2) agar ) (x f funksiyaning shartsiz lokal minimum (lokal maksimum) nuqtalari Q ga tegishli emas yoki bunday nuqtalar umuman mavjud bo’lmasa, Q f Q Л    ) ( ( Q f QЛ    ) ( ) bo’ladi, bu yerda Q - Q to’plamning chegarasi; 3) agar ) ( 0 x f x  ning shartsiz global minimum (global maksimum) nuqtasi bo’lib, Q x 0 bo’lsa, ) ( 0 f Q x   ( ) ( 0f Q x   ) bo’ladi. 1- m i s o l. 1 ,1 min,)( 212 22 12 22 1  xxxxxxxf masalani qaraymiz. Unga mos keluvchi 2 22 21 min, ) ( R x x x x f     shartsiz ekstremum masalasining yechimi   1 ,1:)0,0( 212 22 120  xxxxRxQx . Shuning uchun, )0,0( 0 x qaralayotgan masalaning yechimidir (2-teoremaning 3-tasdig’iga qarang). 3-teorema. ) (x f funksiya nR Q  to’plamda aniqlangan ) , ( ) (     R x f , R y g Q x    ) ( , da monoton o’suvchi funksiya bo’lsin. U holda, (1) masala Q x x f g x    min(max), )) ( ( ) ( masalaga teng kuchli, ya’ni ), ( ) ( f Q Q     )()( fQQ ЛЛ    ( ) ( ) ( ), ( ) ( f Q Q f Q Q Л л         ) va ))) ( max( ) ( max( )) ( min( ) ( min x f g x x f g x Qx Qx Qx Qx         (5) bo’ladi. I s b o t i . Isbotni minimum uchun keltirish bilan cheklanamiz. ) ( 0 f Q x   bo’lsin, ya’ni . ),()( 0 Qxxfxf  U vaqtda ) (x g funksiyaning monoton o’suvchiligidan, Q x x f g x f g    )), ( ( )) ( ( 0 kelib chiqadi, ya’ni )(0   Qx . Demak, ) ( ) (    Q f Q va )) ( min( )) ( ( )) ( ( min 0 x f g x f g x f g Qx Qx     . ) ( *   Q x , ya’ni Qxxfgxfgxx   )),(())(()()(   bo’lsin. ) (x g funksiyaning monoton o’suvchiligidan, Qxxfxf  ),()( kelib chiqadi, ya’ni ) (f Q x   . Demak ) ( ) ( f Q Q     . Shunday qilib, ) ( ) ( f Q Q     . Xuddi shunga o’xshash, )()( fQQ ЛЛ    tenglikning o’rinli ekanligini ham ko’rsatish qiyin emas.  I z o h l a r. a) Agar ))(()(    QfQf bo’lsa va ) ( lim )) ( inf( y g x f g y Qx    ( ) ( lim )) ( sup( y g x f g y Qx    ) deb tushunilsa, (5) da min(max) belgisini inf(sup) belgisi bilan almashtirish mumkin. Haqiqatdan ham, agar  ky - monoton kamayuvchi ketma – ketlik  ky bo’lsa, Q x  uchun shunday )( 00 xkk  nomer topiladiki, , , ) ( 0k k y x f k   bo’ladi. ) (y g funksiyaning monoton o’suvchiligini hisobga olsak, , ), ( )) ( ( ) ( 0 k k y g x f g xk     yoki k da limitga o’tsak, ) ( lim ) ( k k y g x    munosabatni olamiz. Bu yerdan, )) ( inf( ) ( inf x f g x Qx Qx     . (6)   Q xk  minimallashtiruvchi ketma – ketlik bo’lsin, ya’ni ) ( ) ( lim Q f x f k k    . U vaqtda, ...2,1 )), ( ( inf )) ( (    k x f g x f g Qx k Bu yerdan , ) ( inf )) ( ( lim )) ( inf( x x f g x f g Qx k k Qx       . (7) (6) va (7) dan, )) ( inf( ) ( inf x f g x Qx Qx     bo’lishi kelib chiqadi. b) Agar   ) (Q f (   ) (Q f ) bo’lib,   ) (f Q . (  )( fQ ) ya’ni ) (x f funksiyaning Q da global minimum (global maksimum) ga ega bo’lmasa, (5) da min(max) belgisini inf(sup) bilan almashtirib bo’lmaydi. Buni quyidagi misol tasdiqlaydi. 2 - m i s o l.              0 ,0 0 , ) ( ,0 : ,1 ) ( 1 y y e y g x R x Q x x x f y bo’lsin. .0))(( ,0)( ,1)( ,0,))(()( 1   QfgQfQxexfgx x   Demak, .0 )) ( inf( 1 ) ( inf      x f g x Qx Qx  d) Umuman olganda, (5) o’rniga hamma vaqt, )) ( inf( ) ( inf x f g x Qx Qx     ( )) ( sup( ) ( sup x f g x Qx Qx     ) tengsizlik o’rinlidir. Haqiqatan ham,   ) (Q f bo’lgan holda esa, (6) munosabatning bajarilishi yuqorida ko’rsatilgan edi.   ) (Q f bo’lgan holda esa, (6) munosabat , ) (y g funksiyaning monoton o’suvchiligidan va Q x Q f x f     ), ( ) ( dan kelib chiqadi. 4-teorema . ) (x f funksiya nR Q  to’plamda aniqlangan ), , ( ) (     R x f ,Q x  R y g ) ( da monoton kamayuvchi funksiya bo’lsin. U holda, (1) masala Q x x f g x    max(min), )) ( ( ) ( masalaga teng kuchlidir, ya’ni ) ( ) ( f Q Q     ) ( ) ( f Q Q Л Л     ( ) ( ) ( f Q Q     , ) ( ) ( f Q Q Л Л     ) )) ( min( )) ( ( max x f g x f g Qx Qx    ( )) ( max( )) ( ( min x f g x f g Qx Qx    ). Bu teoremadan kelib chiqadiki, Q x x f   max, ) ( masala - Q x x f   min, ) ( masalaga teng kuchli bo’ladi, ya’ni ) ( ) ( ), ( ) ( f Q f Q f Q f Q Л л         va )) ( ( min ) ( max x f x f Qx Qx     . 5. Ekstremal masala yechimining mavjudligi. Veyershtrass teoremasi va uning umumlashmasi .Bu yerda chekli o’lchovli ekstremal masalalar uchun yechimning mavjudlik teoremalarini bayon qilamiz. Chekli o’lchovli ) (x f ) ( min(max), n R Q Q x   (1) ekstremal masalani qaraymiz. (1) masala yechimining mavjudligi, ),)(sup)(( )(inf)(    xfQfxfQf QxQx           ) ( ) ( : ) ( Q f x f Q x f Q (     )()(:)( QfxfQxfQ ) munosabatlarning bajarilishi demakdir. Bu munosabatlarning bajarilishini ta’minlovchi shartlar ) (x f funksiya va Q to’plamga qo’yiladigan shartlardan iborat bo’lib, ular Veyershtrass teoremasi nomi bilan ma’lumdir. 1- t a ’ r i f. Agar Q x  nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy   Q xk  1 ketma- ketlik uchun ) ( ) ( lim    x f x f k k ( ) ( ) ( lim    x f x f k k ) bo’lsa, ) (x f funksiya x nuqtada quyidan (yuqoridan) yarim uzluksiz deyiladi. Agar ) (x f funksiya Q to’plamning har bir nuqtasida quyidan(yuqoridan) yarim uzluksiz bo’lsa, u Q to’plamda quyidan (yuqoridan) yarim uzluksiz deyiladi. Agar ) (x f funksiya uzluksiz bo’lsa, u ham quyidan, ham yuqoridan yarim uzluksiz bo’ladi, va aksincha, agar ) (x f funksiya ham quyidan, ham yuqoridan yarim uzluksiz bo’lsa, u uzluksizdir. Q to’plamda quyidan (yuqoridan) yarim uzluksiz funksiyalar to’plami ) (Q C ( ) (Q C ) kabi belgilanadi. 1- m i s o l.        , 1, 0 , ) (  x a x x x f ,  .1 :    x R x Q n bo’lsin. ) (x f funksiya 0a bo’lganda Q to’plamda quyidan, 0a bo’lganda yuqoridan yarim uzuluksiz; 0a bo’lganda esa bu funksiya Q da uzluksiz bo’ladi. 2- m i s o l.           x x x a x x x f 0 1- , 1 0 , 1 0 , ) ( ,  .1 :1    x R x Q . Bu yerda ) (x f funksiya 0a bo’lganda Q to’plamda quyidan, 1a bo’lganda yuqoridan yarim uzluksizdir; 1 0  a bo’lganda esa, ) (x f funksiya 0x nuqtada quyidan ham, yuqoridan ham yarim uzluksiz emas. 1- teorema ( Veyershtrass ). Faraz qilaylik , ) (Q C f ( )( QCf  ), Q to ’ plam bo ’ sh bo ’ lmagan , chegaralangan va yopiq to ’ plam bo ’ lsin . U holda: a)   ) (Q f (   ) (Q f ); b) (1) masalaning yechimlari to’plami ) (f Q ( ) (f Q ) bo’sh bo’lmagan chegaralangan va yopiq to’plam bo’ladi. I s b o t i. Isbotni minimum uchun olib boramiz. Maksimum uchun shunga o’xshash isbotlanadi.   Q xk  1 - ixtiyoriy minimumlashtiruvchi ketma – ketlik bo’lsin, ya’ni ) ( ) ( lim Q f x f k k    . Bunday ketma – ketlikning mavjudligi aniq quyi chegaraning ta’rifidan kelib chiqadi. Q - kompakt to’plam bo’lgani uchun  kx ketma – ketlik hyech bo’lmaganda bitta limit nuqtaga ega va uning barcha limit nuqtalari Q ga tegishli bo’ladi. shu ketma – ketlikning ixtiyoriy x limit nuqtasini olamiz. U vaqtda x nuqtaga yaqinlashuvchi     km xx  qismiy ketma – ketlik mavjud. Aniq quyi chegaraning xossasidan va ) (x f funksiyaning x nuqtada quyidan yarim uzluksizligidan foydalanib, ) ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( Q f x f x f x f Q f k k m m          munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni ) ( ) ( Q f x f   . Bu yerdan     ) ( , ) ( f Q Q f ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ixtiyoriy minimumlashtiruvchi ketma – ketlikning ixtiyoriy limit nuqtasi ) (f Q ga tegishli ekanligi ham ko’rsatildi. Endi ) (f Q ning kompakt (chegaralangan va yopiq) to’plamligini ko’rsatamiz. Q f Q   ) ( , Q - chegaralangan bo’lgani uchun ) (f Q - chegaralangandir. ) (f Q ning yopiqligini ko’rsatish qoldi. Ixtiyoriy yaqinlashuvchi   ) ( 1 f Q yk   ketma – ketlikning olamiz.     k y yk , bo’lsin.   1ky - minimumlashtiruvchi ketma – ketlik, chunki ), ( ) ( Q f y f k   ,...2,1k . Yuqorida isbotlanganiga ko’ra, ) (f Q y   . Demak ) (f Q ning yopiqligi ham ko’rsatildi.  Keltirilgan Veyershtrass teoremasida ) (x f funksiyaga va Q to’plamga qo’yilgan shartlar muhimdir. Quyida keltirilgan misollarda berilgan ekstremal masalalarning yechimi mavjud emas. Ular uchun Veyershtrass teoremasining shartlaridan hyech bo’lmaganda birortasi bajarilmaydi. 3-m i s o l. a)   1 2 ,21,0 min, 1 ) ( R x Q x x x f       . Bu yerda Q to’plam kompakt emas. b)       .1,0 min, 1,21 ,1 21,0 ,1 )( 2 2      Qx xx xx xf . Bu yerda  1,0  Q kompakt, ammo ) (x f quyidan yarim uzluksiz emas: ) f( f(x) f x f x x . 21 lim ,4 5 )21( ,4 3 ) ( lim 21 21      d)  . 0 min, ) (       , Q x e x f x Bu masalada Q - yopiq, ammo chegaralanmagan, demak Q - kompakt emas. Amaliyotda ko’pincha, Q to’plam kompakt bo’lmaydi. Natijada, 1- teoremani qo’llash mumkin emas. Bunday hollarda 1-teoremaning quyidagi umumlashmasidan foydalanish mumkin. 2-teorema . Faraz qilaylik, ) (Qc f ( )( Qcf  ) , nR Q  to’plam yopiq va biror const  uchun,       ) ( : x f Q x Q f (       ) ( : x f Q x Q f ) (2) bo’sh bo’lmagan, chegaralangan to’plam bo’lsin. U holda 1-teoremaning tasdiqlari o’z kuchida qoladi ((2) ko’rinishdagi f f Q Q   , to’plamlarga ) (x f funksiyaning sath (yoki Lebeg) to’plamlari deyiladi). I s b o t i. (2) to’plamlarning aniqlanishidan ko’rinib turibdiki, agar birorconst  uchun ) ( f f Q Q   bo’sh bo’lmasa, f Q f Q   ) ( ( f Q f Q    ) ( ) bo’ladi. shuning uchun, (1) masala yechimining mavjudligi ) ( min(max), ) ( f f Q x Q x x f      (3) masala yechimining mavjudligiga keltiradi. Shartga ko’ra, ) ( f f Q Q   bo’sh emas va chegaralangan. Demak, bu to’plamning yopiqligini ko’rsatsak, (3) masalaga 1-teoremani qo’llab, talab qilingan isbotga ega bo’lamiz.        k x x Q x k f k , , bo’lsin, ya’ni ) ( kx f . Buyerdan, ) (x f funksiyaning quyidan yarim uzluksizligiga ko’ra,     ) ( lim ) ( k k x f x f , ya’ni f Q x * ga ega bo’lamiz. Demak fQ - yopiq to’plam ( f Q ning yopiqligi ham shunga o’xshash ko’rsatiladi).  4-m i s o l. 6 ,2 min, ) ( 3 2 1 3 2 1 3 2 21          x x x x x x x x x x f . Bu masalada    4 ,2 : 6 ,2 : 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3            x x x R x -x -xx x x x R x Q . 0fQ to’plamni quramiz )0 (   .    ,4 ,2 : 0 ) ( : 3 1 2 3 0         x x x R x x f Q x Q f    ,4 ,2 : 0 8 2 ,4 ,2 : }0 3 1 2 3 1 21 3 1 2 3 3 2 21                x x x R x x x x x x R x x x x   2 8 ,2 ,2 4 : 9 )1 ( 2132            x x x R x x , ya’ni 0fQ chegaralangan va yopiq to’plamdir. 2- teoremaga asosan, berilgan masalaning yechimi mavjud. Quyida fQ va f Q to’plamlarning chegaralanganligini ta’minlovchi shartni keltiramiz. 1- l e m m a. Agar   k k x lim shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy Qx k )( ketma – ketlik uchun,       ) ( lim ) ( lim k k k k x f x f bo’lsa, har bir Q y y f   ), (  , uchun , fQ ( f Q ) – bo’sh bo’lmagan va chegaralangan to’plam bo’ladi. I s b o t i . Isbotni fQ to’plam uchun keltiramiz. f Q uchun shunga o’xshash isbotlanadi. , f(y) Q y    uchun fQ to’plamning bo’sh emasligi ravshan. Faraz qilaylik, fQ chegaralanmagan bo’lsin. U vaqtda shunday    fkQ x  ketma –ketlik mavjudki,     k , kx . Lemmaning shartiga ko’ra,   ) ( lim k k x f . Ammo, ,...2,1 , ) (     k x f Q x k f k   munosabatdan     ) ( lim k k x f bo’lishi kelib chiqadi. Olingan qarama – qarshilik lemmani isbotlaydi.  5- m i s o l. 1 min, ) ( 3 43 3 2 22 2 1 21        x x x x x xx x x f . (5)  1 :3    x R x Q to’plamda Ax x x x x x xx x x f T       23 3 2 22 2 1 21 ) ( (6) munosabat bajariladi, bu yerda ,0 1 21 0 21 1 21 0 21 1                A chunki uning ketma – ket bosh minorlari musbat: .0 21 1 21 0 21 1 21 0 21 1 ,0 4 3 1 21 21 1 ,0 1 3 2 1               D D D 2-lemmani qo’llab, (6) dan   ) ( lim x f x ga eag bo’lamiz. U holda 1-lemma va 2- teoremaga asosan, (5) masalaning yechimi mavjud. Asosiy adabiyotlar 1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т. Узбекистон, 1995. Qo’shimcha adabiyotlar 2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1988. 3. Галев Е.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М: Изд МГУ. 1989. 4. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука.1998. 5. Сухарев А.Г., Тимохов А.Н., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М. Наука 1988 6. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш усуллари. I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ нашри, 2001

Chekli o‘lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo‘yilishi, xossalari va sinflari. Ekstremal masala yechimining mavjudligi

Купить