Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 6.0MB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение doc
Раздел Дипломные работы
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш методикасини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари асосида такомиллаштириш

Купить
“ ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ” МОДУЛИНИ ЎҚИТИШ МЕТОДИКАСИНИ ҲАМКОРЛИКДА ЎҚИТИШ ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ АСОСИДА ТАКОМИЛЛАШТИРИШ МУНДАРИЖА КИРИШ ........................................................................................................................................... 1 1- БОБ. “Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ҲАМКОРЛИКДА ЎҚИТИШНИНГ НАЗАРИЙ МАСАЛАЛАРИ ......................................................................................................... 5 1.1. Ҳамкорликда ўқитиш воситалари ..................................................................................... 5 1.2. “Алгебра ва сонлар назарияси” фанининг қисқача тавсифи (Силлабуси) .................. 14 2-БОБ. “ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ” МОДУЛИНИ ЎҚИТИШ МЕТОДИКАСИНИ ҲАМКОРЛИКДА ЎҚИТИШ ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ АСОСИДА ТАКОМИЛЛАШТИРИШ ........................................................................................................... 28 2.1 «Бумеранг» технологияси асосида “Чизиқли тенгламалар системаси” модулидан маъруза машғулотларини ташкил этиш технологиялари .................................................... 28 2.2.Олий таълимда Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари ................. 42 2.3-Амалий машғулот: “Чизиқли тенгламалар системаси” модули бўйича такрорлаш- умумлаштириш амалий машғулотининг сценарийси .......................................................... 63 2.4.“Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш” модули бўйича талабалар билимини аниқлаш учун оралиқ назорати кейс топшириқлари ......................................... 66 ХУЛОСА ВА ТАКЛИФЛАР ...................................................................................................... 71 ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ ................................................................... 72 КИРИШ Инновация-бу келажак дегани. Биз буюк келажагимизни барпо этишни бугундан бошлайдиган бўлсак, уни айнан инновацион ғоялар, инновацион ёндашув асосида бошлашимиз керак. Ш. Мирзиёев Мавзунинг долзарблиги. Ўзбекистонда олиб борилаётган ислоҳотлардан асосий мақсад, юртимизда соғлом ва баркамол, билимли, юксак маънавий-аҳлоқий фазилатларга эга бўлган авлодни шакллантиришдан иборат. Мамлакатимизда таълим-тарбия тизимини тубдан ислоҳ қилиш, уни замон талаблари даражасига кўтариш, келажак учун баркамол авлодни тарбиялаш ишлари Давлат сиёсатининг устивор йўналишига айланди. Ўзбекистоннинг келажаги, унинг истиқболи, биринчи навбатда ёшлар тарбиясига, уларни соғлом қилиб ўстиришга, миллий ғоя, миллий мафкура ва ўз ватанига садоқат руҳида тарбиялашга боғлиқ бўлиб, бу мураккаб жараённи муваффақиятли амалга ошириш мустақил мамлакатнинг энг долзарб вазифаларидан биридир. Шу боисдан ҳам бугунги кунда ёшларнинг таълим-тарбияси мустақил Ўзбекистоннинг давлат сиёсатида устивор аҳамият касб этмоқда. Ўқитувчи бугунги кунда таълим ва тарбия бераётган шогирдларининг камолоти билан мамлакатимиз келажагига улкан пойдевор қўяди. Демак, бугунги кун ўқитувчиси ўз устида тинимсиз меҳнат қиладиган, ҳар томонлама кенг фикрлайдиган, илғор педагогик ва ахборот технологияларини самарали қўллай оладиган ижодкор шахсга, ёшларнинг юрагига чуқур кириб борадиган юксак фазилатлар эгасига айланишини ҳаётнинг ўзи тақозо этмоқда. Шу нуқтаи назардан, ҳозирги кунда ўқитувчининг педагогик маҳоратини янада ошириш муаммоси давр талабидир. Бу эса ёш авлод билан янада фаол иш олиб бориш, уларда ҳозирги жамият талабларига мувофиқ келадиган дунёқараш ва ахлоқий тамойилларни ҳосил қилиши бугунги куннинг долзарб вазифаси ҳисобланади. Ҳар томонлама камол топган юксак маънавиятли шахсни тарбиялашда, унинг илмий дунёқарашини шакллантиришда талабаларнинг мустақил ўқув фаолиятини ташкил этиш, мустақил ишлаш кўникмларини шакллантиришда олий таълимда ўқув жараёнини ташкил этишнинг илғор педагогик технологияларини жорий этиш, бу борада ўқув-услубий мажмуалар сифатини таъминлаш, олий таълимнинг ахборот-ресурс ва замонавий ўқув адабиётлари билан таъминотини янада ривожлантириш асосида математик фанлардан дарсларни ташкил этиш муҳим ҳисобланади. Таълимни ахборот коммуникатсия технологиялари асосида ташкил этилиши, компъютер ва кампъютер дастурлари имкониятларидан оқилона фойдаланиш орқали мустақил таълимни ташкил этиш назарий ҳамда амалий аҳамият касб этади. Бу эса ўз навбатида тадқиқ этилаётган муаммо 2 долзарблигини тасдиқлайди. Мамлакатимизда ёш авлоднинг маънавий оламини юксалтириш, уларни миллий ва умуминсоний қадриятлар рухида тарбиялаш, улар ўртасида соғлом турмуш тарзи тамойилларини қарор топтириш масалалари, уларни зарарли таъсирлар, мафкуравий ва ғоявий тахдидлардан асраш хеч кимнинг назаридан ва эътиборидан четдан қолмаслиги зарур. Битирув ишининг мақсади. “ Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари асосида ўқитишнинг назарий ва амалий масалаларини ўрганиш, интерфаол методли дарс ишланмаларини шакллантириш ҳамда хулосалар ва тавсиялар ишлаб чиқишдан иборат. Битирув ишининг объекти: “Алгебра ва сонлар назарияси” ўқитиш методикаси. Битирув ишининг предмети: “Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш методикасини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари асосида такомиллаштириш. Битирув ишининг вазифалари: 1. Булажак математика ўқитувчиларини дарс жараёнида фаоллигини орттириш интерфаол технологиясига доир манбаларни назарий тадқиқ этиш. 2. “Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари, интерфаол методларини аниқлаш. 3. Талабалар фаоллигини ошириш технологияларини қўллашда хориж тажрибаларини ўрганиш. 4. “Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ҳамкорликда ўқитиш самарадорлигини таъминловчи дидактик материалларни ишлаб чиқиш . Битирув ишининг методлари: назарий ва қиёсий таҳлил, адабиёт билан ишлаш, савол-жавоб, суҳбат, тушунтириш ва инновацион методлар. Битирув ишининг амалий аҳамияти. “ Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш методикасини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари асосида такомиллаштириш орқали қуйидаги натижалар қўлга киритилади: 1. Талабалар инновацион методлар ва уларнинг моҳиятидан хабардор бўлади. 2. Талабалар таълим жараёнида инновацион методлардан фойдаланишни ўрганади. 3. Талабаларда таълим жараёнида инновацион методлардан фойдаланиш кўникма ва малакалари шаклланади. 3 Ишлаб чиқилган методик тавсиялардан математика фанларини ўқитишда фойдаланиш мумкин. Битирув ишининг тузилиши: битирув иши кириш, икки боб, олти параграф, хулоса ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан иборат. 4 1- БОБ. “ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ” МОДУЛИНИ ҲАМКОРЛИКДА ЎҚИТИШНИНГ НАЗАРИЙ МАСАЛАЛАРИ 1.1. Ҳамкорликда ўқитиш воситалари Ўтган асрнинг 80-йиллари таълим жараёнига кўплаб инновацияларни кириб келишига асос бўлган ҳамкорликда ўқитиш технологиясини американинг уч гуруҳ педагоглари – Джон Хопкинс университетидан Р.Славин; Минисот штати университетидан Р.Джонсон, Д.Джонсонлар; Калифорния штати университетидан А Аронсонлар ишлаб чиққанлар. Улар бир қанча мактаб намоёндалари К.Д.Ушинский, Н.П.Пирогов, Л.Н.Толстой, С.Т.Шацкий, В.А.Сухомлинский, А.С.Макаренко, Ж.Ж.Руссо, Я.Корчак, К.Роджерс, Э.Бернларнинг илғор тажрибаларини умумлаштириб, тадқиқ қилганлар. Мазкур педагогик технология янгича педагогик тафаккур, тараққийпарвар ғоялар манбаи сифатида кўплаб замонавий педагогик технологиялар таркибига киради. Ҳамкорликда ўқитишнинг асосий ғояси фақат биргаликда бирор иш бажариш эмас, балки биргаликда ўқишдан иборат. Хамкорликда ўқитиш технологиясининг таснифий тавсифи: -қўлланиш даражасига кўра-умумпедагогик; -фалсафий асосига кўра-инсонпарвар; -ривожлантириш омилига кўра-мажмуавий:био-,социо-,психогенн; -ўзлаштириш асосига кўра-ассоциатив, рефлектор,босқичма-босқич; -мазмунига кўра-ўргатувчи, тарбиявий, инсонпарвар, умумтаълимий, дунёвий; -бошқарув турига кўра-кичик гуруҳлар системаси; - ташкилий шаклига кўра-академик, якка, гуруҳда,табақалаштирилган; -болага ёндошувига кўра-шахсий-инсонпарвар, субъект-субъект; -бошқарувчи методга кўра- муаммоли-тадқиқий, ижодий, мунозарали, ўйинли; -ўрганувчилар даражасига кўра-оммавий. Ҳамкорликда педагогикасига йўналтирилган; -талаб педагогикасидан муносабатлар педагогикасига ўтиш; -таълим ва тарбия бирлиги. Ҳамкорликда ўқитиш технологиясининг асосий ғояси-ўқувчиларни турли ўқув вазиятларида ҳамкорликда фаол ҳаракатларига шарт-шароитлар яратишдир. Ўқувчиларнинг ўқув материалларнин ўзлаштириш имкониятлари 5 турлича: айримлари ўқитувчининг тушунтиришларини тез илғаб олади, айримларига қўшимча вақт ва тушунтириш ишлари зарур. Бундай ўқувчилар ўқув машғулотлари давомида пассив бўладилар. Агар ўқувчиларни 4-5 нафардан кичик гуруҳларга ажратиб, иштирокчиларининг ҳар бири вазифаси аниқ кўрсатиб ўтилса, бундай вазиятда ҳар бир ўқувчи ўзига юклатилган вазифа ҳамда гуруҳ вазифасига масъулият сезади. Бунда паст ўзлаштирувчи ўқувчилар илғор ўқувчилардан ёрдам сўрайдилар. Ҳамкорликда келиб чиқадиган муаммолар ҳал этилади. Тажрибадан маълумки, биргаликда ўқиш на фақат қизиқарли ва осон, балки самарали ҳамдир. Ҳамкорликда ўқитиш турли вариантлари мавжуд бўлиб, улар учун умумий бўлган тамойиллар қуйидагилар: -гуруҳлар ўқитувчи томонидан машғулотдан олдин, ўқувчиларнинг психологик мослашувчанлиги эътиборга олиниб ташкил этилади. Ҳар бир гуруҳда «кучли», «ўртача»,»кучсиз» ва албатта қизлар ва ўғил болалар бўлиши керак; -гуруҳга битта топшириқ берилади ва унинг бажарилишида гуруҳ аъзоларининг ҳар бири вазифаси ўқитувчи ёрдамида аниқланади; - ҳар бир ўқувчи бажарган иш эмас, гуруҳ иши баҳоланади; -гуруҳнинг қайси иштирокчиси гуруҳ топшириғи юзасидан жавоб беришини ўқитувчи аниқлайди. Айрим ҳолларда «кучсиз» ўқувчи танланиши ҳам мумкин, чунки ҳар бир топшириқнинг мақсади уни бажарилишида эмас, балки ҳар бир ўқувчи томонидан унинг ўзлаштирилишида. Ҳамкорликда ўқитишнинг технологик жараёни қуйидаги элементлардан ташкил топган: -ўқув-билув масаласини қўйиш (муаммоли вазият); -ўқув мақсадларига мос ўқувчиларни гуруҳларга бўлиш; -дидактик материалларни тарқатиш; -гуруҳлардаги ишларни режалаштириш; -топшириқларни индивидуал бажариш, натижаларни муҳокама қилиш; -гуруҳнинг умумий топшириғини муҳокама қилиш (эслатмалар, тўлдиришлар, аниқлик киритиш); -гуруҳ ишининг натижалари ҳақида маълумот бериш ; -гуруҳларнинг ишлари ҳақида умумий хулосалар ва қўйилган мақсадга эришганлик. 2. “ КЕЙС СТАДИ ” «Кейс-стади» - инглизча сўз бўлиб, («cасе» – аниқ ва зият, ҳодиса, «стади» – ўрганмоқ, таҳлил қилмоқ) аниқ вазиятларни ўрганиш, таҳлил 6 қилиш асосидаўқитиш- ни амалга оширишга қаратилган метод ҳисобланади. Мазкур метод дастлаб 1921 йил Гарвард университетида амалий вазиятлардан иқтисодий бошқарув фанларини ўрганишда фойдалаништартибида қўлланилган. Кейсда очиқ ахборотлардан ёкианиқ воқеа-ҳодисадан вазият сифатида таҳлил учун фойдаланишмумкин. Кейс ҳаракатлари ўзичига қуйидагиларни қамраб олади: Ким (Who), Қачон (When), Қаерда (Where), Нима учун (Why), Қандай/ Қанақа (How), Нима- натижа (What). “Кейсметоди” ни амалга ошириш босқичлари Иш босқичлари Фаолият шакли ва мазмуни 1-босқич: Кейс ва унинг ахборот таъминоти билан таништириш -якка тартибдаги аудио- визуалиш; -кейс билан танишиш(матнли, аудио ёки медиа шаклда); -ахборотни умумлаш тириш; -ахборот таҳлили; -муаммоларни аниқлаш 2-босқич: Кейсни аниқлаштириш ва ўқув топшириғни белгилаш -индивидуал ва гуруҳда ишлаш; -муаммолар долзарблиги эрархиясини аниқлаш; -асосий муаммоли вазиятни белгилаш 3-босқич: Кейсдаги асосий муаммони таҳлил этиш ўқув топшириғи эчимини излаш, ҳал этиш йўлларини ишлаб чиқиш -индивидуал ва гуруҳда ишлаш; -муқобил эчим йўлларини ишлаб чиқиш; -ҳар бир эчимнинг имкониятлари ва тўсиқларни таҳлил қилиш; - муқобил э чимларни танлаш 4-босқич: Кейс эчимини шакллантириш ва асослаш, тақдимот. -якка ва гуруҳда ишлаш; -муқобил вариантларни амалда қўллаш имкониятларини асослаш; -ижодий-лойиҳа тақдимотинит айёрлаш; -якуний хулоса ва вазият эчимининг амалий аспектларини ёритиш 7 Айни вақтда республика таълим муассасаларида талабаларнинг билим, кўникма ва малакалари камида тўртта топшириқ бўйича баҳоланмоқда. Масалан: муаммоли вазият, изоҳли луғат, кичик, тест. Шундай қилиб, глобаллашув шароитида таълимнинг янгиланиши, ўзига хос характер касб этишида ўқитиш ғояларини янгича талқинда асословчи инновациялар муҳим аҳамиятга эга. Бу турдаги инновацияларнинг дидактик имконияти ўқитиш жараёнини сифатли, унумдор ташкил эта олиши билан белгиланади. Педагогик инновациялар ўқитувчи томонидан кам куч, кам вақт сарфлаган ҳолда юқори натижаларга эришишни тавсифлайди. Унга кўра машғулотларда асосий ролни ўқитувчи эмас, балки тингловчилар ўйнайди. Ўқитувчининг вазифаси уларни йўналтириш, йўл-йўриқ кўрсатиш, назорат қилиш, зарур ўринларда маслаҳат бериш ва тингловчилар фаолиятини баҳолашдан иборат бўлади. Таълим жараёнида ўқитувчи ва тингловчи ролларининг ўзгариши билим олувчиларда мустақиллик, фикрлаш қобилияти, фаолиятга танқидий ёндашиш малакаларини шакллантиради. 3.“ КИЧИК ГУРУҲЛАРДА ИШЛАШ . ” Кичик гуруҳларда ишлаш ўқувчиларнинг дарсда фаоллигини таъминлайди, ҳар бири учун мунозарада қатнашиш ҳуқуқини беради, бир- биридан синфда ўрганишга имкони туғилди, бошқалар фикрини қадрлашга ўргатади. Қўллаш усули . 1 . Фаолиятни танлаш . Мавзуга оид муаммо шундай танланадики , натижада ўқ увчиларуни ў рганиш ( бажариш ) учун ижодий фаолият к ў рсатишлари зарур бўлади ва вазифалар белгилаб олинади . 2. Зарурий асос яратиш . Ў қ увчилар кичик гуруҳ ишида қ атнашишлари учун танланган фаолият бўйича ба ъ зибилим , кўникма ва малакаларни олдиндан эгаллаган б ў лишлари керак . 3. Гуруҳни шакллантириш . Одатда ҳар бир гуруҳда 3-5 ўқ увчи бўлади , ( еҳтимол , кам ё ки к ў п б ў лиши мумкин ). Агар гуруҳда ишлаш у ёки бу ё зма ҳужжат тайёрлашни талаб этса , яхшиси 2-3 кишилик гуруҳ тузилгани ма ъқ ул . Гуруҳ ў лчови масаланинг муҳимлиги , синфдаги ўқ увчилар сони , ўқ увчиларнинг бир - бири билан конструктив ҳолатда ў заро ҳаракатига бо ғ ли қ ҳолда ў згаради . Э нг яхшиси , “ гетроген ” гуруҳ ташкил этишидир . Гуруҳда ишлаш ўқ увчилар ў ртасида вазифаларни ани қ та қ симлашга таянади . ( Мисол учун , бир ўқ увчи мунозарани бош қ аради , иккинчиси ё зиб боради , учинчиси спикер ( сардор ) ролини ў тайди ва ҳоказо ). Синфни гуруҳларга ажратиш , ҳоҳиш б ў йича ёки ҳисоб б ў йича амалга оширилади . 8 4. Аниқ йўл йўриқлар кўрсатиш. Ўқувчиларга фаолиятни бажариш бўйича аниқ ва ҳажм жиҳатдан кўп бўлмаган тушунтириш берилади. Ўқитувчи гуруҳларининг ишлаш тезлиги турлича бўлишини инобатга олган ҳолда вақт чегарасини айтади. Гуруҳлар керакли материаллар ва ахборотлар билан таъминланади. Ўқувчилар гуруҳда ишни бошлашлари учун вазифаларини аниқ тушуниб етганлиги текшириб кўрилади. 5.Қўллаб қувватлаш ва йўналтириш. Ўқитувчи зарурат туғилса гуруҳлар ўрнига навбатма-навбат келиб тўғри йўналишда ишлайўтганлигини қайд этади ёки уларга ёрдам беради, гуруҳларга таъзйиқ ўтказилмайди. 6. Муҳокама қилиш ва баҳолаш. Гуруҳларда иш якунлангач, улар натижалари бўйича ахборот берадилар. Бунинг учун ҳар бир гуруҳ ўз сардорини белгилайди. Зарурат туғилса, фаолият натижалари бўйича билдирилган фикрлар ўқитувчи томонидан ёзилиб борилади. Муҳими, гуруҳнинг ечимининг асосланишини аниқлаштириб олишди. Агар вақт етарлича бўлса, у ёки бу фикрни аргументлашда гуруҳлар бир-бирига савол ҳам беришлари мумкин. Кичик гуруҳларда ишлаш натижалари ўқитувчи томонидан баҳоланади. Бунда фаолиятни тўғри ва аниқ бажариш, вақт сарфи асосий мезон ҳисобланади. “Таълим жараёнига инновацион ёндашув” тушунчаси икки хил маънони англатади: 1) таълим муассасаси фаолиятининг инновацион характер касб этиши; 2) ҳар бир ўқитувчи (педагог) фаолиятининг инновацион характери. Педагогларнинг ҳар бир инновацион жараён субъекти сифатида намоён бўлади. Таълим муассасасида инновацион фаолиятнинг аниқ мақсадга йўналтирилганлиги инновацион жараённинг оқилона ташкил этилишини таъминлайди. Бу ҳолат ҳар бир алоҳида ҳаракатни инобатга олишни тақозо этади. Инновацион жараённинг фаолият нуқтаи назарданМотив Мақсад Вазифа Шакл Метод Восита Инновацион жараённинг фаолия ти Натижа 9 каби таркибий қисмларни ўз ичига қамраб олади. Мотив – мутахассиснинг янгиликни яратиш, ўзлаштиришга бўлган эҳтиёж, қизиқишларини ўзида ифода этувчи ундовчи куч, сабаб саналади. Инновацион фаолиятнинг мақсади кутилган натижага эришишни таъминлайдиган таълим жараёнининг аввалги ва уни ўзгартиришга хизмат қиладиган янги модели ҳолатини ўзида акс эттириши бўлиб, унинг негизида бир қатор вазифалар ҳал қилинади. Яъни: 1) кутилган натижага эришиш вақтини аниқлаш; 2) белгиланган муддатда уни қўлга киритиш; 3) субъектнинг мақсадга йўналганлилиги; 4) олинган натижани кутилаётган билан таққослаш асосида янгиликнинг инновацияланаётган таълим қисмини ўзгартиришини таъминлаш. Инновацион фаолиятнинг: - шакли: ўқитувчининг мақсадга эришиш учун ташкил этилган фаолиятини ўзаро мувофиқлаштиришга қаратилган бир неча ҳаракатларнинг ташкилий шакли; - методи: ўқитувчининг мақсадга эришиш йўлида ўқитиш тизимни тартибга солиш мақсадида фойдаланилаётган усул ва йўллари; - натижаси: ўқитишда юз берган аниқ ўзгаришлар ҳисобланади. Педагогик фаолиятда таълим инновациялари қўлланилади. 4.“ АҚЛИЙ ҲУЖУМ ” “Ақлий ҳужум” методининг моҳияти жамоа ҳамкорлиги асосида муаммони ечиш жараёнларини вақт бўйича бир қанча босқичларга (ғояларни генерациялаш, уларни танқидий ва конструктив ҳолатда ишлаб чиқиш) ажратишдан иборат. Дарс жараёнида ақлий ҳужумдан мақсадли фойдаланиш ижодий, ностандарт тафаккурлашни ривожлантириш гарови ҳисобланади.“Ақлий ҳужум”ни уюштириш бир мунча содда бўлиб, ундан таълим мазмунини ўзгартириш жарайўнида фойдаланиш билан биргаликда ишлаб чиқариш муаммоларининг ечимини топишда ҳам жуда қўл келади. Дастлаб гуруҳ йиғилади ва улар олдига муаммо қўйилади. Бу муаммо ечими тўғрисида барча иштирокчилар ўз фикрларини билдирадилар. Бу босқичда ҳеч кимнинг ўзга киши ғояларига ҳужум” қилиши ёки баҳолашига ҳаққи йўқ. Демак, “ақлий ҳужум” йўли билан қисқа минутларда ўнлаб ғояларни юзага чиқиш имкониятлари мавжуд бўлади. Аслини олганда ғоялар сонини қўлга киритиш асосий мақсад эмас, улар муаммо ечимини оқилона ишлаб чиқиш учунгина 10 асос бўладилар. Бу метод шартларидан бири ҳеч қандай ташқи таъсирсиз қатнашувчиларнинг ҳар бири фаол иштирокчи бўлиши керак. Билдирилган ғояларнинг беш ёки олтитасигина асосий ҳисобланиб муаммо ечимини топишга салоҳиятли имкониятлар яратади. Шундай қилиб, “ақлий ҳужум” қоидаларини қуйидагича белгилаш мумкин: – олға сурилган ғоялар баҳоланмайди ва танқид остига олинмайди; – иш сифатига эмас, сонига қаратилади, ғоялар қанча кўп бўлса шунча яхши – исталган ғояларни мумкин қадар кенгайтириш ва ривожлантиришга ҳаракат қилинади; – муаммо ечимидан узоқ ғоялар ҳам қўллаб-қувватланади; – барча ғоялар ёки уларнинг асосий мағзи (фаразлари) қайд этиш йўли билан ўзиб олинади; – “ҳужум”ни ўтказиш вақти аниқланади ва унга риоя қилиниши шарт; – бериладиган саволларга қисқача (асосланмаган) жавоблар бериш кўзда тутилиши керак. Вазифаси . “Ақлий ҳужум” қийин вазиятлардан қутулиш чораларини топишга, муаммони кўриш чегарасини кенгайтиришга, фикрлаш бир хиллилигини йўқотишга ва кенг доирада тафаккурлашга имкон беради. Энг асосийси, муаммони ечиш жараёнида курашиш муҳитидан ижодий ҳамкорлик кайфиятига ўтилади ва гуруҳ (синф) янада жипслашади. Объекти . Қўлланиш мақсадига кўра бу метод универсал ҳисобланиб тадқиқотчиликда (янги муаммони ечишга имкон яратади), ўқитиш жараёнида (ўқув материалларини тезкор ўзлаштиришга қаратилади), ривожлантиришда (ўз-ўзини бир мунча самарали бошқариш асосида фаол фикрлашни шакллантиради) асқотади. Қўлланиш усули . “Ақлий ҳужум” иштирокчилари олдига қўйилган муаммо бўйича ҳар қандай мулоҳаза ва таклифларни билдиришлари мумкин. Айтилган фикрлар ёзиб борилади ва уларнинг муаллифлари ўз фикрларини қайтадан хотирасида тиклаш имкониятига эга бўлади. Метод самараси фикрлар хилма-хиллиги билан тавсифланади ваҳужум давомида улар танқид қилинмайди, қайтадан ифодаланмайди. Ақлий ҳужум тугагач, муҳимлик жиҳатига кўра энг яхши таклифлар генератсияланади ва муаммони ечиш учун зарурлари танланади. 11 Ақлий ҳужум методи Муаммоли савол берилади Фикр ва ғоялар ечилади ва жамлаб олинади Фикр ва ғоялар гуруҳланади Якуний аниқ ва тўғри жавоблар танланадиУмуман олганда Америкача “ақлий ҳужум” методи ҳақида қисман маълумот берилди. Бироқ бу метод муаллифлари бизнинг аждодларимиздир . Ҳали Америка кашф этилмаган бир даврда ўз ақл машъаласи билан дунёни ёритган қомусий олимларимизни (Аҳмад ал Фарғоний, Абу Наср Форобий, Ибн Сино, Беруний ва бошқа) оласизми, йўки етти иқлимни забт этган шоҳу- султонларимизни оласизми, улар ўз муаммоларини ечишда ана шу методдан кенг фойдаланишган. Бобокалонларимиз бу методни бошқача номлашган, яъни: “ кенгаш”, “ машварат”, “маслаҳат” деб аташган. Мисол учун, Соҳибқирон Амир Темур салтанат олдида турган муаммоларни ечишда машварат чақириб барча сарой аҳлининг, вазиру-уламоларнинг, фарзандларининг фикрларини диққат билан эшитган ва улар асосида ягона ҳукм чиқарган. Бу ҳолатлар кўпроқ ҳарбий юриш олдидан чақирилган машваратларда намаён бўлади. “Агар (ғаним устига) лашкар тортмоқчи бўлсам, уруш-ярашдан ўртага сўз ташлаб, амирларимнинг бу икковидан қай бирига мойиллигини билишга интилардим. Агар ярашдан сўз очсалар, бунинг фойдасини уруш зиёнига солиштириб кўрардим, агар урушга мойил бўлсалар, унинг наф ва фойдасини яраш зиёнига таққослаб кўрардим, қайси бири фойдалироқ бўлса, шуни ихтиёр қилардим”. Бугун ана шулар ҳақида ўйга толиб, “ғарб шарқдан ўрганганлигига юз фоиз ишонч ҳосил қиламиз ва яна бир карра яратганга иймон келтирамиз. Шу билан бирага яна бир маълумотни келтириб ўтмоқчиман. Яна бир қомусий олимлимизни методлари бутун дунё тан берган. Биз метематикада учрайдиган барча масалаларни шу метод билан натижасини оламиз. Бу метод Ал Хоразмий методи бўлиб у Алгоритмлаш дейилади. 12 Алгоритм — маълум бир турга оид масалаларни ечишда ишлатиладиган амалларнинг муайян тартибда бажарилиши ҳақидаги аниқ қоида (дастур). Кибернетика ва математиканинг асосий тушунчаларидан бири. Ҳозирги пайтда алгоритм сифатида бирор масалани ишлаш ёки бирор ишни бажариш учун қилиниши керак бўлган тартибланган чекли сондаги аниқ бир қийматли кўрсатмалар кетма-кетлиги тушинилади. Алгоритм тушунчаси кенг маънода таҳлил қилиш мумкин. Масалан, бирор манзилдан бошқа манзилга бориш учун шаҳар транспортидан фойдаланиб қандай бориш мумкин, деган саволга биз маълум алгоритм тавсия қилишимиз мумкин. Пазандалик китобида, масалан, паловни пишириш қоидаси келтирилади. Бу ҳам ўзига хос алгоритм ҳисоблашлар ишланадиган масала алгоритмини биз ҳисоблаш алгоритми деймиз. Математикада биз асосан ҳисоблаш алгоритмлари ҳақида сўз юритамиз. Алгоритмларга хос бўлган белги ва талабларни санаб ўтамиз. Ҳар қандай алгоритм қуйидаги асосий хусусиятларга эга бўлиши керак: Детерминантлик сифати: Берилган бошлангич қийматларда бир қийматли жавоб олиниши; Оммавийлик сифати: Маълум турдаги масалалар учун турли бошлангич қийматларда ечим олиш мумкин бўлиши; Дискретлилик сифати: Алгоритмни ЭҲМ (Eлектрон Ҳисоблаш Машиналари) ёки инсон томонидан бажарилиши мумкинлиги шубхасиз бўлган айрим-айрим содда босқичларга бўлиш мумкинлиги. Натижавийлик сифати: Ҳар қандай бошлангич қийматларда ҳам жавобнинг мавжудлиги, бунда «бу ҳолда ечим йўқ» сингари ахборот ҳам алгоритмнинг ишлаш натижаси деб қабул қилинади; Менинг фикримча, бугунги кунда биз бу методга асосий этиборимизни қаратмоғимиз керак. Фарзандларимизга ҳар қандай муаммони Ал Хоразмий методи асосида ҳал қилишни ўргатмоғимиз зарур. Чунки бу метод бизнинг миллатимизнинг маънамий мулкидир. Таълим инновациялари – таълим соҳаси ёки ўқув жараёнида мавжуд муаммони янгича ёндашув асосида ечиш мақсадида қўлланилиб, аввалгидан анча самарали натижани кафолатлай оладиган шакл, метод ва технологиялар. Бу турдаги инновациялар “Инновацион таълим” деб номланади. “Инновацион таълим” тушунчаси биринчи бор 1979 йилда Римда қўлланилган. 13 Таълим инновациялари бир неча турга ажратилади. Улар: 1. Фаолият йўналишига кўра: педагогик жараёнда ёки таълим тизимини бошқаришда қўлланиладиган инновациялар. 2. Киритилган ўзгаришларнинг тавсифига кўра: радикал, модификацияланган ҳамда комбинацияланган инновациялар. 3. Ўзгаришларнинг кўламига кўра: тармоқ (локаль), модул ва тизим инновациялари. 4. Келиб чиқиш манбаига кўра: жамоа томонидан бевосита яратилган ёки ўзлаштирилган инновациялар. Алгебра ва сонлар назарияси фанини ўқитишда ноанъанавий таълим шакл усулларидан фойдаланиш ижобий натижа беради. У ёки бу усулни танлашда талабаларни ҳар томонлама эркин фикрлашга, ижодий фаол иштирокчига айланишига ҳамда хилма-хил методларни кўзлаган ҳолда масалан, баҳс мунозара дарслар, ижодий изланишга, мустақил ишлашга йўналтирилиши керак. Талабалар қўйилган масалага бир томонлама ёндашмасдан ўз қарашларини, фикрларини эркин баён этиш имкониятига эга бўладилар. Бир хил шаклда ташкил этилган дарслар, бир усулда муаммоларни ҳал этиш талабани зериктиради, натижада талаба пассив эшитувчига айланади ҳамда дарснинг мақсади амалга ошмаслигига олиб келади. Шунинг учун дарсда илғор педогогик технологиялардан уйғунлашган ҳолда фойдаланиб билим бериш муҳим аҳамият касб этади. Математика дарсларида иннова ц ион технологиялардан фойдаланиш қуйидагиларни мақсадларни кўзда тутади: -ўқишга бўлган қизиқишни ошириш; -доимо такрорлаб бориш, билимларни тизимлаштириш; -ижобий муҳитни шакллантириш; -ҳар бир талабага индивидуал ёндашиш билан ўқишга нисбатан позитив муносабатни яратиш. Юқорида келтирилган технлогияларни Алгебра ва сонлар назарияси фаниниг барча бўлимларида, жумладан “Чизиқли тенгламалар систеемаси” мавзусида ҳам қўллашимиз мумкин. 1.2. “Алгебра ва сонлар назарияси” фанининг қисқача тавсифи (Силлабуси) Математика ва информатика б акалавриат таълим йўналишлари талабалари учун « Алгебра ва сонлар назарияси » фанининг 2023/2024 ўқув йили I-семестри учун мўлжалланган 14 СИЛЛАБУСИ ФАННИНГ ТАҚВИМ-МАВЗУ РЕЖАСИ Маъруза машғулотлари информацион ва йўналтирувчи характерда бўлиб, талабаларга мазкур фаннинг мазмунини профессор-ўқитувчи томонидан ёритиб берилишига асосланади. Маърузалар давомида 2 марта оралиқ назорат ўтказилиб, ҳар бир оралиқ назоратида талаба 15 балл эгаллаши мумкин. 1-семестрҲафта Соат Машғулот мазмуни 1 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Тўпламлар ва улар устида амаллар. Мавзу режаси: Тўплам, тўплам элементи. Тўпламларнинг тенглиги. Қисм тўплам. Бўш тўплам. Универсал тўплам. Тўпламлар устида амаллар ва уларнинг асосий хоссалари. Тўпламнинг тўлдирувчиси. Адабиётлар: [4]- 6-10 бет; [ 5]- 6-18 бет; [ 8] – 5-10 бет ; 1 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Тўпламлар ва улар устида амаллар. Мавзу режаси: Тўпламларнинг тенглиги. Қисм тўплам. Тўпламлар устида амаллар ва уларнинг асосий хоссалари. Адабиётлар: [9] 30-36 бет; [ 2]- 1-7 бет; [3] – 6-8 бет; 1 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Бинар муносабатлар. Эквивалентлик муносабати. Мавзу режаси: Бинар муносабатлар. Бинар муносабатлар аниқланиш ва қийматлар соҳаси. Бинар муносабат инверсияси. Рефлексив, антирефлексив, симметрик, антиреклексив, транзитив бинар муносабатлар. Бинар муносабатлар композитсияси. Адабиётлар: [1] 54-55-бет; [3] 11-14-бет; [4] 20-23-бет; 1 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Бинар муносабатлар. Эквивалентлик муносабати. Мавзу режаси: Бинар муносабатлар. Бинар муносабатлар аниқланиш ва қийматлар соҳаси. Бинар муносабат инверсияси. Рефлексив, антирефлексив, симметрик, антиреклексив, транзитив бинар муносабатлар. Бинар муносабатлар композитсияси. Адабиётлар: [1] 53-55-бет; [8] 35-42-бет; 2 2 Машғулот тури: маъруза 15 Мавзу: Акслантиришлар. Мавзу режаси: Акслантириш. Акслантиришлар турлари (инектив, суректив, биектив акслантиришлар). Акслантиришлар композитсияси. Тескари акслантириш. Адабиётлар: [7] 10-15-бет; [3] 14-18-бет; [4] 28-33-бет; 2 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Акслантиришлар. Мавзу режаси: Акслантириш. Акслантиришлар турлари (инектив, суректив, биектив акслантиришлар). Акслантиришлар композитсияси. Тескари акслантириш. Адабиётлар: [8] 42-46-бет; 2 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Комплекс сонлар. Мавзу режаси: Комплекс сонлар ва улар устида амаллар. Комплекс сонларнинг геометрик тасвири ва тригонометрик шакли. Адабиётлар: [3] 18-23-бет; [4] 98-100-бет; [7] 127-135-бет; 3 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Комплекс сонлар. Мавзу режаси: Комплекс сонлар ва улар устида амаллар. Комплекс сонларнинг геометрик тасвири ва тригонометрик шакли. Адабиётлар: [8] 66-76-ббет; 3 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Комплекс сондан илдиз чиқариш. Мавзу режаси: Муавр формуласи, комплекс сондан илдиз чиқариш. Бирнинг илдизлари. Адабиётлар: [3] 26-32-бет; [4] 108-112-бет; 3 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Комплекс сондан илдиз чиқариш. Мавзу режаси: Муавр формуласи, комплекс сондан илдиз чиқариш. Бирнинг илдизлари Адабиётлар: [8] 66-75-бет; 3 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Ўрин алмаштиришлар ва ўрнига қўйишлар. Мавзу режаси: Ўрин алмаштиришнинг инверсияси ва сигнатураси. Т оқ ва жуфт ўрин алмаштиришлар. Адабиётлар: [3] 32-38-бет; [7] 39-42-бет; 4 2 Машғулот тури: амалий машғулот 16 Мавзу: Ўрин алмаштиришлар ва ўрнига қўйишлар. Мавзу режаси: Ўрин алмаштиришнинг инверсияси ва сигнатураси. Т оқ ва жуфт ўрин алмаштиришлар. Адабиётлар: [8] 128-132-бет; [1] 549-557-бет; 4 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Матрицалар ва улар устида амаллар. Мавзу режаси: Матрицаларнинг турлари. Матрицаларни қўшиш, матрицани сонга кўпайтириш, матритсаларни кўпайтириш амаллари ва уларнинг хоссалари. Матритсани транспонирлаш. Адабиётлар: [2] 53-66-бет; [3] 38-44-бет; [7] 105-112-бет; [4] 178-193- бет 4 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Матрицалар ва улар устида амаллар. Мавзу режаси: Матрицаларнинг турлари. Матрицаларни қўшиш, матрицани сонга кўпайтириш, матритсаларни кўпайтириш амаллари ва уларнинг хоссалари. Матритсани транспонирлаш. Адабиётлар: [8] 116-128-бет; [1] 437-444-бет [2] 64-66-бет 5 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Детерминант ва унинг хоссалари. Мавзу режаси: Квадрат матритсанинг детерминанти. 2-, 3- тартибли квадрат матритсалар детерминантларини ҳисоблаш усуллари. Детерминантнинг хоссалари. Адабиётлар: [2] 78-89-бет; [3] 76-82-бет; [4] 203-211-бет; 5 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Детерминант ва унинг хоссалари. Мавзу режаси: Квадрат матритсанинг детерминанти. 2-, 3- тартибли квадрат матритсалар детерминантларини ҳисоблаш усуллари. Детерминантнинг хоссалари. Адабиётлар: [2] 78-89-бет; [8] 132-144-бет 5 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу : Минорлар ва алгебраик тўлдирувчилар . Мавзу режаси: Детерминантнинг н-1-тартибли минори. Детерминантнинг ихтиёрий элементининг алгебраик тўлдирувчиси. Адабиётлар: [ 3 ] 50-57- бет; [4] 211-217-бет; [7] 247-251-бет 5 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Минорлар ва алгебраик тўлдирувчилар. Мавзу режаси: Детерминантнинг н-1-тартибли минори. 17 Детерминантнинг ихтиёрий элементининг алгебраик тўлдирувчиси. Адабиётлар: [8] 134-135-бет; [2] 88-92-бет 6 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Лаплас теоремаси. Мавзу режаси: Матритса детерминантини сатр ёки устун элементлари бўйича ёйиш. Лаплас теоремаси. Адабиётлар: [ 4 ] 217-221-бет ; [ 3 ] 57-62-бет 6 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Лаплас теоремаси. Мавзу режаси: Матритса детерминантини сатр ёки устун элементлари бўйича ёйиш. Лаплас теоремаси. Адабиётлар: [ 8 ] 133-140-бет 6 2 Машғулот тури: маъруза Ма взу: Тескари матрица ва детерминантнинг қўшимча хоссалари Мавзу режаси: Тескари матрица. Матрицанинг тескариланиш шартлари. Тескари матрицани ҳисоблаш. Адабиётлар: [ 1 ] 437-442-бет ; [ 3 ] 62-68-бет ; [ 4 ] 183-193-бет 7 2 Машғулот тури: амалий машғулот Ма взу: Тескари матрица ва детерминантнинг қўшимча хоссалари Мавзу режаси: Тескари матритса. Матритсанинг тескариланиш шартлари. Тескари матритсани ҳисоблаш. Адабиётлар: [8] 116-127-бет 7 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Чизиқли тенгламалар системалари. Мавзу режаси: Чизиқли тенгламалар системалари. Матрицаларнинг баъзи турлари. Адабиётлар: [3] 68-80-бет; [4] 288-289-бет 7 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Чизиқли тенгламалар системалари. Мавзу режаси: Чизиқли тенгламалар системалари. Матрицаларнинг баъзи турлари. Адабиётлар: [8] 99-116-бет 7 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Чизиқли тенгламалар системаларининг ечиш усуллари. Мавзу режаси: Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер усули, чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Гаусс усули. 18 Адабиётлар: [3] 68-80-бет; [4] 288-289-бет [7] 68-76-бет 8 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Чизиқли тенгламалар системаларининг ечиш усуллари. Мавзу режаси: Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер усули, чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Гаусс усули. Адабиётлар: [8] 229-235-бет 1 -ОРАЛИҚ НАЗОРАТ 8 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Матрицанинг ранги. Мавзу режаси: Матритса с атрларининг чизиқли комбинатсияси, чизиқли боғлиқ ва чизиқли эркли сатрлар. Адабиётлар: [2] 53-64-бет; [3] 80-91-бет; [4] 153-159-бет; [7] 56-59-бет 8 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Матрицанинг ранги. Мавзу режаси: Матритса с атрларининг чизиқли комбинатсияси, чизиқли боғлиқ ва чизиқли эркли сатрлар. Адабиётлар: [2] 64-66-бет; [8] 116-128-бет 9 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Матрицанинг ранги. Мавзу режаси: Сатрлар жамланмасининг ранги, сатрлар жамланмасининг базиси, матритсанинг ранги. Адабиётлар: [2] 64-66-бет; [8] 116-128-бет 9 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Матрицанинг ранги. Мавзу режаси: Сатрлар жамланмасининг ранги, сатрлар жамланмасининг базиси, матрицанинг ранги. Адабиётлар: [2] 64-66-бет; [8] 116-128-бет 9 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Бир жинсли тенгламалар системаси. Мавзу режаси: Бир жинсли тенгламалар системасининг фундаментал ва умумий ечимлари. Адабиётлар: [3] 91-95-бет; [4] 151-153-бет; [7] 112-120-бет 9 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Бир жинсли тенгламалар системаси. Мавзу режаси: Бир жинсли тенгламалар системасининг фундаментал ва умумий ечимлари. Адабиётлар: [8] 99-116-бет 19 10 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Кронекер-Капелли теоремаси. Мавзу режаси: Кронекер-Капелли теоремаси. Адабиётлар: [3] 91-95-бет; [4] 145-153-бет; [7] 112-120-бет 10 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Кронекер-Капелли теоремаси. Мавзу режаси: Кронекер-Капелли теоремаси. Адабиётлар: [8] 99-116-бет 10 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Кўпҳадлар ва улар устида амаллар. Мавзу режаси: Кўпҳад тушунчаси. Кўпҳадларни қўшиш, кўпҳадларни сонга кўпайтириш, кўпҳадларни кўпайтириш. Адабиётлар: [1] 519-525-бет; [2] 327-339-бет; [3] 95-102-бет 11 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Кўпҳадлар ва улар устида амаллар. Мавзу режаси: Кўпҳад тушунчаси. Кўпҳадларни қўшиш, кўпҳадларни сонга кўпайтириш, кўпҳадларни кўпайтириш. Адабиётлар: [1] 525-527-бет; [2] 339-340; [8] 259-270-бет 11 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Кўпҳадларни бўлиш. Мавзу режаси: Кўпҳадларни бўлиш амали ва унининг хоссалари. Адабиётлар: [2] 340-348; [3] 102-108-бет 11 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Кўпҳадларни бўлиш. Мавзу режаси: Кўпҳадларни бўлиш амали ва унининг хоссалари. Адабиётлар: [1] 525-527-бет; [2] 348-350; [8] 259-270-бет 11 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Кўпҳадлар учун Евклид алгоритми. Мавзу режаси: Кўпҳадларнинг умумий бўлувчиси, кўпҳадларнинг э нг катта умумий бўлувчиси. Адабиётлар: [2] 412-416-бет; [3] 102-108-бет 12 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Кўпҳадлар учун Евклид алгоритми. Мавзу режаси: Кўпҳадларнинг умумий бўлувчиси, кўпҳадларнинг э нг катта умумий бўлувчиси. Адабиётлар: [2] 416-418-бет; [8] 260-270-бет 12 2 Машғулот тури: маъруза 20 Мавзу: Безу теоремаси ва Горнер схемаси. Мавзу режаси: Безу теоремаси. Горнер схемаси. Адабиётлар: [2] 418-427-бет; [8] 260-270-бет 12 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Безу теоремаси ва Горнер схемаси. Мавзу режаси: Безу теоремаси. Горнер схемаси. Адабиётлар: [2] 427-428-бет; [8] 260-270-бет 13 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Алгебранинг асосий теоремаси. Мавзу режаси: Алгебранинг асосий теоремаси. Виет формуласи. Адабиётлар: [3] 110-114-бет 13 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Алгебранинг асосий теоремаси. Мавзу режаси: Алгебранинг асосий теоремаси. Виет формуласи. Адабиётлар: [8] 281-294-бет 13 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Ратсионал касрлар. Мавзу режаси: Ратсионал каср, нормаллашган каср, тўғри ва нотўғри ратсионал касрлар, содда каср. Адабиётлар: [3] 114-119-бет 13 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Ратсионал касрлар. Мавзу режаси: Ратсионал каср, нормаллашган каср, тўғри ва нотўғри ратсионал касрлар, содда каср. Адабиётлар: [8] 213-220-бет 14 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Учинчи ва тўртинчи даражали алгебраик тенгламаларни ечиш. Мавзу режаси: Кардано формуласи. Тўртинчи даражали тенгламаларни ечишнинг Л.Феррари усули. Адабиётлар: [3] 119-128-бет; [4] 229-236-бет 14 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Учинчи ва тўртинчи даражали алгебраик тенгламаларни ечиш. Мавзу режаси: Кардано формуласи. Тўртинчи даражали тенгламаларни ечишнинг Л.Феррари усули. Адабиётлар: [2] 427-428-бет; [8] 260-270-бет 21 14 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Илдиз чегаралари. Мавзу режаси: Мусбат илдизларнинг юқори чегарасини излашнинг Нютон усули. Адабиётлар: [ 8 ] 293- бет 15 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Илдиз чегаралари. Мавзу режаси: Мусбат илдизларнинг юқори чегарасини излашнинг Нютон усули. Адабиётлар: [3] 114-119-бет 15 2 Машғулот тури: маъруза Мавзу: Штурм теоремаси. Мавзу режаси: Штурм кўпҳадлар системаси. Адабиётлар: [ 8 ] 293- бет 15 2 Машғулот тури: амалий машғулот Мавзу: Штурм теоремаси. Мавзу режаси: Штурм кўпҳадлар системаси. Адабиётлар: [1] 525-527-бет; [2] 348-350; 2 -ОРАЛИҚ НАЗОРАТ 16 2 Курс натижалари,якуний назоратга тайёргарлик кўриш 17 1 ЯКУНИЙ НАЗОРАТ МУСТАҚИЛ ТА Ъ ЛИМ Мустақил таъ лим нинг мазмуни талабалар томонидан - лексия ва а малий машғулотларга тайёргарлик; - у й вазифаларини бажариш; - назарий билимларни ўзлаштириш; - табақалаштирилган якка тартибдаги топшириқларни бажариш; - мустақил таълим учун мўлжалланган мавзуларини ўзлаштиришдан иборатдир. Лексия ва амалий машғулотларга тайёргарлик; уй вазифаларини бажариш; назарий билимларни ўзлаштириш; табақалаштирилган якка тартибдаги топшириқларни бажаришга мустақил таълимга ажратилган саотларнинг 50%, мустақил таълим учун мўлжалланган мавзуларини ўзлаштириш учун 50% ни режалаштирилган. Мустақил таълим мавзулариДарс соатлари ҳажмлари 22 1 – семестр 52 1. Тўпламлар устида амаллар хоссаларининг исботларини ўрганиш. 2 2. Чексиз миқдордаги тўпламлар устида амаллар. 2 3. Тўпламларнинг тўғри кўпайтмасининг хоссалари. 2 4. Тартиб муносабати. Тартибланган тўпламлар. 2 5. Бўш бўлмаган тўпламни бўлаклаш. Эквивалентлик синфлари. Фактор-тўплам. 2 6. Ўзаро қўшма комплекс сонларнинг хоссаларини исботлаш. 2 7. Комплекс соннинг модулининг хоссалари. 2 8. Комплекс соннинг геометрик тасвири ва тригонометрик шакли. 2 9. Т оқ ва жуфт ўрин алмаштиришлар ҳақидаги асосий теоремаларнинг исботини ўрганиш. 4 10. Матрицалар устидаги амалларнинг хоссаларини исботлаш. 2 11. Квадрат матритса ва унинг турлари. Бирлик матритса. 2 12. Детерминантнинг хоссаларини исботлаш 2 13. Минорлар ва алгебраик тўлдирувчилар хоссаларини исботлаш. 4 14. Лаплас теоремасини исботлаш. 2 15. Тескари матритса хоссалари. 2 16. Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг тескари матритса усули. 2 17. Кронекер-Капелли теоремасининг исботини ўрганиш. 2 18. Кўпҳадларни қолдиқли бўлиш формуласи. 2 19. Алгебранинг асосий теоремаси. 2 20. Штурм теоремасининг исботи. 2 21. Тўртинчи даражали тенгламаларни ечишнинг Л.Феррари усули. Чизиқли тенгсизликлар системаси. Минковский 4 23 теоремаси. 22. Алгебралар гомоморфизми. Гомоморфизм турлари. Алгебралар изоморфизми. 2 23. Ўрин алмаштиришлар группаси. 2 1- семестр бўйича жами 52 соат ЎҚУВ АДАБИЁТЛАРИ, ДАРСЛИК ВА ЎҚУВ ҚОЛЛАНМАЛАР Асосий адабиётлар 1. S.D.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra 2014 2. Martyn R. Dixon, Leonid A. Kurdachenko, Igor Ya. Subbotin, “ALGEBRA AND NUMBER THEORY” 2013 3. Ш.А.Аюпов, Б.А.Омиров, А.Х.Худойбердиев, Ф.Ҳ.Ҳайдаров, Алгебра ва сонлар назарияси, Тошкент “Тафаккур бўстони” 2019, 295 б. (ўқув қўлланма) 4. Назаров Р.Н.,Тошпўлатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси.Т., Ўқитувчи. 1 – қисм, 1993 й., 2 - қисм, 1995 й. ( ўқув қўлланма ) 5. Юнусов А., Юнусова Д. Сонли системалар. Т., «Молия-иқтисод», 2008. ( ўқув қўлланма ) Қўшимча адабиётлар 6. Мирзиёев Ш.М. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. – Тошкент: “Ўзбекистон”, 2017. – 488 б. 7. Ҳожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент, «Ўзбекистон», 2001й. 8. Юнусова Д., Юнусов А. Алгебра ва сонлар назарияси. Модул технологияси асосида тузилган мусол ва машқлар тўплами. Ўқув қўлланма. Т., “Илм Зиё”. 2009. 9. Юнусов А., Юнусова Д. Алгебра ва сонлар назариясидан модул технологияси асосида тузилган назорат топшириқлари тўплами. ТДПУ, 2004. Ахборот манбаалари 10. www.гов.уз – Ўзбекистон Республикаси хукумат портали. 24 11. www.лех.уз – Ўзбекистон Республикаси Қонун ҳужжатлари маълумотлари миллий базаси. 12. www.педагог.уз 13. www.еду.уз 14. www.надлиб.уз (А.Навоий номидаги Щз.МК) 15. ттп://зиёнет.уз — Зиёнет ахборот-таолим ресурслари портал ТАЛАБАЛАРНИ БАҲОЛАШ ТАРТИБИ Баҳолаш тартиби ўз ичига назоратлар турини (оралиқ, жорий ва якуний) қамраб олади. Магистрантнинг ўзлаштириш даражаси қуйидаги йўл билан баҳоланади: Даражас и Баллар (фоиз) Рейтинг А+ 95 - 1 00 балл 4.5 А Ъ ЛО А 90 - 94 балл 4.0 Б+ 85 - 89 балл 3.5 ЖУДА ЯХШИ Б 80 - 84 балл 3.0 C+ 75 - 79 балл 2.5 ЯХШИ C 70 - 74 балл 2.0 Д+ 65 - 69 балл 1.5 ШАРТЛИ ЎТДИ Д 60 - 64 балл 1.0 Ф 59 балл ва ундан паст 0.0 ЎТМАДИ Баллар тақимоти: Оралиқ назорат - 30 балл. Жорий назорат - 20 балл. Якуний назорат - 50 балл. Жами: 100 балл ТАЛАБАЛАРНИНИНГ ЎЗЛАШТИРИШИНИ БАҲОЛАШ МЕЗОНЛАРИ “А+”, “А” , “Б+” баҳо: - теоремаларни исботлаш, татбиқ қилиш, мисол ва масалаларни ечиш усулларини таққослайди, умумийликни ва хусусийликни ажрата олади, якуний ҳулоса чиқаради, қарор қабул қилади. - ижодий ёндошган ҳолда таъриф ва теоремаларни бошқача кўринишда баён қил ади, ечилган мисол ва масалаларни умумлаштиради, 25 тушунчаларнинг янги ҳоссаларини исботлайди ва татбиқларини келтиради, янги мисол ва масалалар тузади; - ечилган мисол ва масалаларни таҳлил қилади, теорема шартларининг зарурий, етарли ёки зарйрий ва етарли бўлишини текширади, контрмисоллар келтиради; - асосий тучунча ва теоремаларга доир мисоллар ечишни уддалайди, тушунча ва теоремаларни мисол ва масалалар ечишда қоллай олади; - тушунча ва теоремаларни мисоллар ёрдамида изоҳлай олади, уларнинг моҳиятини тушунади; - тушунчаларга берилган таърифларни, хосса ва теоремаларни тўғри баён қилади; - фанга оид асосий тушунчалар ҳақида тўғри тасаввурга эга; “Б”, “C+”, “C” баҳо: - ечилган мисол ва масалаларни таҳлил қилади, теорема шартларининг зарурий, етарли ёки зарйрий ва етарли бўлишини текширади, контрмисоллар келтиради; - асосий тучунча ва теоремаларга доир мисоллар ечишни уддалайди, тушунча ва теоремаларни мисол ва масалалар ечишда қоллай олади; - тушунча ва теоремаларни мисоллар ёрдамида изоҳлай олади, уларнинг моҳиятини тушунади; - тушунчаларга берилган таърифларни, хосса ва теоремаларни тўғри баён қилади; фанга оид асосий тушунчалар ҳақида тўғри тасаввурга эга; “Д+”, “Д” баҳо: - асосий тучунча ва теоремаларга доир мисоллар ечишни уддалайди, тушунча ва теоремаларни мисол ва масалалар ечишда қоллай олади; - тушунча ва теоремаларни мисоллар ёрдамида изоҳлай олади, уларнинг моҳиятини тушунади; - тушунчаларга берилган таърифларни, хосса ва теоремаларни тўғри баён қилади; - фанга оид асосий тушунчалар ҳақида тўғри тасаввурга эга; “Ф” (ўтмади) баҳо: - дастурда белгиланган билимларни ўзлаштирмаган; - асосий теоремалар ва методларнинг моҳиятини билмайди; - тучунчалар ва уларнинг хоссалари ҳақида аниқ тасаввурга эга эмас; мустақил фикрлай олмайди, мисол ва масалаларни ечишда қ ўъол хатоларга йўл қояди. 26 Талабаларни баҳолашда қуйидагилар ҳисобга олинади : - машғулотлардаги иштироки (давомат); - машғулотлардаги фаоллик ва ижодкорлик; - асосий ва қўшимча ўқув материалларини ўзлаштириш; - мустақил таълим бўйича тўшириқларни ўз вақтида бажариш; - назоратнинг барча турларинии ўз вақтида бажариш. 27 2-БОБ. “ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ” МОДУЛИНИ ЎҚИТИШ МЕТОДИКАСИНИ ҲАМКОРЛИКДА ЎҚИТИШ ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ АСОСИДА ТАКОМИЛЛАШТИРИШ 2.1 «Бумеранг» технологияси асосида “Чизиқли тенгламалар системаси” модулидан маъруза машғулотларини ташкил этиш технологиялари 1-МАЪРУЗА: “ ЧИЗИҚ ЛИ ТЕНГ ЛА МА ЛА Р СИСТЕМА СИ ВА УНИ ЕЧИШ МЕТОДЛА РИ” МАВЗУСИ НИ ЎҚИТИШНИ «Бумеранг» технологияси асосида ташкил этиш Мавзунинг технологик харитаси Mавзу: Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари Mақсад, вазифалар Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари тушунчаси бўйича тасаввурни мустаҳкамлаш ва у ҳақидаги билимларни чуқурлаштириш. Ўқув жараёнининг мазмуни 1) “ Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари ” мавзуси бўйича талабаларнинг олган билимларини текшириб кўриш. Маърузаларда олган билимларини қай даражада ўзлаштирганликларини аниқлаштириш. 2) Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари тушунчаларини киритиш. 3) Мавзуга оид талабаларни фаоллаштирувчи хамкорлик технологиялардан фойдаланиш. 4) Гаусс методи, Крамер методи ва Матрица усулларини бажариш бўйича кўникма ҳосил қилиш. Ўқув жараёни ни амалга ошириш технологияси Meтод : Интерфаол методлар. “Бумеранг” ва “Хамкорлик” технологияси Шакл: Маъруза машғулоти Восита : Тарқатма материаллар ва фан бўйича ишлаб чиқилган ўқув- услубий мажмуа. Усул : Савол-жавоб , якка тартибдаги фаолият Назорат : Индивидуал фаолият, оғзаки савол-жавоб Баҳолаш : Рағбатлантириш 10 баллик система асосида. Кутиладиган натижалар Ўқитувчи: Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари мавзусини дарс давомида талабаларга якка тартибда топшириқлар тарқатилади; - якка ҳолатида ўқиб ўрганиб бўлган талабалардан кичик 28 гуруҳлар шакллантирилади; - Ўқитувчи барча гуруҳлар учун янги топшириқ топширади - Кичик гуруҳларда топшириқлар бажариб бўлингандан сўнг тингловчиларни қайтадан биринчи гуруҳларини ташкил этишларини сўрайди. - ҳар бир тингловчи бажарган иш умумий муҳокамадан ўтказилади. Гуруҳ томонидан унинг ҳар бир иштирокчиси баҳоланади. - ўқитувчи ҳар бир тингловчини ўз жойларига жойлашишларини сўрайди. Фикр билдиришни истаган тингловчилардан ўзига қўйилган баҳони шарҳлаш (қўйилган баҳо объектив, субъектив, қўйилган баҳога лойиқ билимлар сабабчиси, ...) сўралади. Талабалар Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари Гаусс методи, Крамер методи ва Матрица усулларини тушунчасини англаганлари ҳолда улар ҳақидаги маълумотларни ҳам ўрганиб олганлари ҳолда янги билимларга эга бўладилар Tалаба: Чизиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари мавзусини дастлабки тушунчаларини ўрганишнинг зарурияти хусусида маълумотга эга бўлади. Натижада Гаусс методи, Крамер методи ва Матрица усулларини ҳақида етарлича фикрга эга бўладилар, муҳокамаларда иштирок эта оладилар. Keлгуси режалар(таҳлил ва ўзгаришлар Ўқитувчи: янги педагогик ва ахборот технологияларини мукаммал ўзлаштириш ва машғулотларга татбиқ этиш, такомиллаштириш. Ўз устида тинимсиз ишлаш ва ҳар бир мавзуни ҳаётий мисоллар билан боғлаш. Педагогик маҳоратни ошириш. Taлаба: ўқув материаллари, шунингдек, ахборот технологиялари билан мустақил ишлашни ўрганиш. Ўз фикрини равон баён эта олиш, савол-жавоблар жараёнида ўз фикрини билдира олиш. Aмалда учрайдиган мисол ва масалаларда тўғри жавоб беришга ҳаракат қилиш малакасини ҳосил қилиш. “Бумеранг” технологияси Ушбу педагогик технология ҳам талабаларни дарс жараёнида, дарсдан ташқарида турли адабиётлар, матнлар билан ишлаш, ўрганилган материални ёдида сақлаб қолиш, сўзлаб бера олиш, фикрини эркин ҳолда баён эта олиш ҳамда бир дарс давомида барча талабаларни баҳолай олишга қаратилган. Мақсад. Дарс давомида талабаларга тарқатилган материалларни улар томонидан якка ва гуруҳ ҳолатида ўзлаштириб олишлари ҳамда ўзаро суҳбат- мунозара орқали, турли саволлар орқали тарқатма материаллар, ундаги матнлар қай даражада ўзлаштирилганини назорат қилиш. Дарс давомида талабалар томонидан баҳо балларини эгаллашга имконият яратиш. 29 Ўтказиш технологияси . Ушбу технология бир неча босқичда ўтказилади. 1-босқич . Ўқитувчи томонидан ўқув машғулоти мавзуси, мақсад ва вазифалари эълон қилиниб, умумий йўналиш берилади ва олдиндан тайёрлаб қўйилган рақамлар ёзилган кичик қоғозлар билан ҳар бир талаба ёнига келиб гуруҳ аъзоларидан ушбу қоғозлардан биттадан рақам тортиб олишларини сўрайди. (қоғозлар сони гуруҳдаги талабалар сонига боғлиқ, яъни 1, 2, 3, 4 этиб тайёрланади. Гуруҳлардаги барча талабалар рақамлар ёзилган қоғоздан олишлари керак. Ўқитувчи рақамлар бўйича талабаларни гуруҳлар тузишларини сўрайди. Масалан, ҳамма 1 рақамни олганлар биринчи гуруҳни, 2 рақамлилар иккинчи гуруҳни, 3 рақамлилар учинчи гуруҳни, 4 рақамлилар тўртинчи гуруҳни ташкил этишларини сўрайди. Гуруҳ 4 талабадан иборат 4 та кичик гуруҳга ажратилади. 2-босқич . Ўқитувчи ҳар бир гуруҳ ва унинг ҳар бир аъзосига мустақил ўрганиш, фикрлаш ва ёдда сақлаб қолиш учун алоҳида-алоҳида аниқ ёзма тарқатма материал беради. Бунда мавзу бўйича матн берилган, уларнинг сони гуруҳлар ва талабалар сонига боғлиқ. Шундай қилиб, ҳар бир гуруҳ №1, №2, №3, №4 рақамлар билан белгиланган 4 хил матнга эга. Ўқитувчи дарс бошида талабаларга умумий тушунча беради. Мавзу: Чизиқ ли тенглам алар систем аси ва у ни ечиш м етодлари Oлий таълимда ”Олий матемaтика” ва «Алгебра ва сонлар назарияси» курс лар ида чизиқли тенгламалар системасининг умумий кўриниши яъни n номаълумли m та чизиқли тенгламалар системаси ўрганилади. Иқтисодий масалаларнинг аксарияти бир неча номаълумли (айтайлик n та) чекли сондаги (айтайлик m та) чизиқли тенгламаларни ўз ичига олган ва ушбу тенгламаларнинг умумий ечимини топиш масаласи қўйилган қуйидаги ( (1) чизиқли тенгламалар системасига келтирилади. Бу ерда, – ҳақиқий сонлар бўлиб, системанинг коеффитсиентлари; – ҳақиқий сонлар эса унинг озод ҳадлари дейилади. Системанинг (1) кўринишдаги шаклига n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар нормал системаси дейилади . (1)системадаги м ва н лар учун n=m ёки m бўлиши мумкин. 1-Таъриф. Агар (1)система нолдан фарқли ( i = ) мавжуд бўлса, бу 30 система бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламалар системаси , барча =0( i = ) бўлганда ҳосил бўладига (2) система эса бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси дейилади. ( 2 ) 2- Таъриф. Ечимга эга бўлган система ҳамжойли(биргаликда ), ечимга эга бўлмаган система эса ҳамжойсиз( биргаликда бўлмаган) система дейилади. Ҳамжойли системаларнинг ўзи яна икки қисмга, яъни аниқ ва аниқмас системаларга бўлинади. 3-Таъриф . Ягона ечимга эга бўлган система аниқ система , ечимларининг сони чексиз кўп бўлган система эса аниқмас система дейилади. Бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси доимо ҳамжойли системадир, чунки (0;0;0;...;0) ечим (2) ситеманинг ҳар бир тенгламани тўғри сонли тенгликка айлантиради. №1 гурух. Чизиқли тенгламалар системасининг ечими мавжудлиги ва ягоналиги ҳақида теоремалар Чизиқли тенгламалар системаси ва унинг ечимлари учун матрица тушунчаси муҳим аҳамиятга эга эканлигини кўрдик. Мазкур тушунчалар орасида узвий боғланишлар мавжуд. (1) чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин. Номаълумларнинг коеффитсиентларидан ва озод ҳадларидан қуйидаги икки матрицани тузамиз: А= B = А матрица чизиқли тенгламалар системасининг асосий матрицаси, B га системанинг кенгайтирилган матрицаси дейилади. 31 Кронекер-Капелли теорэмаси . Чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун унинг асосий матрицаси( А )рангининг кенгайтирилган матрицаси (B) рангига тенг бўлиши, яъни rangА=rangB зарур ва етарли. Келтирилган теоремалардан қуйидаги хулосалар келиб чиқади: 1. Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангидан катта бўлса, яъни rangB>rangА унда тенгламалар системаси ечимга эга бўлмайди. 2. Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангига тенг бўлиб, rangB=rangА=к бўлса, унда тенгламалар системаси ечимга эга бўлиб, қуйидаги ҳоллар юз беради: a) к<n да чизиқли тенгламалар системаси ечимга эга бўлади ва у қуйидагича топилади: rangА=к эканлигидан шундай нолдан фарқли камида битта к -тартибли минор мавжуд. Фараз қилайлик улардан бири бўлсин. Енди тенгламалар системасини бу минорга мос ҳолда ушбу кўринишда ёзиб оламиз ва х к+1 , . . . , х n номаълумлар қатнашган ҳадларни ўнг томонга ўтказамиз: х к+1 , . . . , х n ларга ихтиёрий тайинланган сонларни бериб, бу системани 32 ечамиз. х к+1 , . . . , х n лар ихтиёрий қийматлар қабул қилиши сабабли тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга бўлади. b) к=n бўлганда тенгламалар системаси а) ҳолда айтилганларгаасосан ягона ечимга эга бўлади. Демак, rangА=rangB=n бўлгандагина тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлар экан. Топшириқ . Ушбу системани ечимга эга эканини текшириннг. №2 гурух Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг матрицалар усули Бизга та номаълумли та чизиқли тенгламалар системаси кўринишд а б е рилг а н бўлсин. Қуйидаги белгилашларни кирита миз: У ҳ о лд а б е рилг а н чизиқли тенгламалар системасини матрицали т е нгл а м а , яъни кўринишид а ёзиш мумкин. 1-Таъриф. чизиқли тенгламага Чизиқли тенгламалар системасининг матрицали ифодаси дейилади. 33 Теорема . Агар матрицанинг сатрлари чизиқли эркли бўлса, у ҳолда вектор тенгламанингягонайечимибўлади. тенгламада А матрица тескариланувчи бўлса, у ҳолда А -1 матрицани топиб, тенгламанинг иккала томонини А -1 га чап томондан кўпайтирамиз (матрицаларни кўпайтириш, ҳаттоки квадрат матрицалар бўлса, ҳам коммутатив эмас): А -1  А  Х = А -1  B . А -1  А = Е Е  Х = А -1  B , Бундан эса Х = А -1  B э канлиги келиб чиқади. та номаълумли та чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлса, унинг матрицали тенгламаси бўлади. Лекин матрицали тенгламани фақат чизиқли тенгламалар системаси ёрдамида ҳосил қилинмайди. Балки А, B матрицалар берилган бўлса ёки кўринишдаги матрицали тенгламаларни; А,B,C матрицалар берилган бўлса, кўринишдаги матрицали тенгламаларни тузиш мумкин бўлса, уларни ечиш учун ўзгарувчининг чап ёки ўнг томонидаги А матрица тескариланувчи бўлса, унинг ечими А -1  B ёки кўринишда; ўзгарувчининг ўнг ва чап томонидаги А ва B лар тескариланувчиб ўлса, кўринишда бўлади. Топшириқ : Ушбу тенгламалар системасини матрицали тенгламага келтириб, ечимини топинг. №3 гурух Жордан - Гаусснинг нома ъ лумларни кетма - кет юқотиш усули n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системасини ечиш усулларида n=4 дан бошлабоқ катта ва машаққатли ишга айланади . Шу сабабли амалда Гаусс усули муваффақият билан қўлланилади ва у система биргаликда ва аниқ бўлса , уни соддароқ кўринишга келтириш ва барча номаъумларни қийматларини кетма - кет топпиш имкониятини беради . Гаусс усули шундан иборатки , у алмаштиришлар ёрдамида номаълумларни кетма - кет чиқариб , сўнги тенгламада фақат битта номаълумни қолдиради . Қуйидаги nта чизиқли алгебраик тенгламалар системасини қарайлик : 34 (1) Бунда m =n , m>n, m<n бўлиши мумкин. лардан камида биттаси нолдан фарқли, акс ҳолда номаълумлар сони n дан кичик бўлар эди. Фараз қилайлик, . (1) системанинг биринчи тенгламасини кетма-кет сонларга кўпайтириб, натижани мос равишда системанинг иккинчи, учинчи, …, m-тенгламаларига қўшамиз. Унда (1) системага эквивалент бўлган қуйидаги система ҳосил бўлади: (2) Бунда (2)системанинг бир қисми бўлган янги (3) Системани қараймиз . (3) системада к бўлади , чунки барча коеффициентлари ва озод ҳади нолга тенг бўлган баъзи бир тенгламалар системадан ташлаб юборилади . Енди (3)системадан номаълумни йўқотамиз. Бунинг учун деб фараз қилиб, (3)системанинг биринчи тенгламасини кетма-кет сонларга кўпайтириб, натижани мос равишда шу 35 системанинг иккинчи, учинчи, …, к-тенгламаларига қўшамиз. Унда (4) система ҳосил бўлиб ( l , у (3) га эквивалентдир. (4) системанинг бир қисми бўлган (5) (5)системадаги номаълумлар сони (4)системадаги номаълумлар сонидан ҳеч бўлмаганда битта кам. Биз (5)системани ечсак (1) системани ҳам еча оламиз. Номаълумларни юқоридаги усулда кетма-кет йўқотиб, охирида қуйидаги уч ҳолдан фақатгина бирига дуч келишимиз мумкин: 1. Номаълумарни кетма-кет йўқотиш жараёнида (1)системанинг бирорта тенгламаси (6) бўлиб , бу ерда d 0 кўринишда бўлиши мумкин . (6) кўринишдаги тенглама одатда зиддиятли тенглама деб юритилади . (6) тенгламани номаълумларнинг ҳеч қандай сон қийматлари тўғри тенгликка айлантира олмайди . Шунинг учун бундай ҳолда (1) система ечимга эга эмас . 1. Системанинг энг сўнгги ( коеффитсиентлари нолдан фарқли ) тенгламасининг номаълумлари сони иккитадан кичик эмас . Бу ҳолда(2) система (7) кўринишни олади, бу ерда лар нолдан фарқли. (7) система (1)системанинг натижаси бўлгани учун (7) нинг ҳар бир ечими (1) 36 нинг ҳам ечими бўлади. (7)системага эътибор қилсак, у трапеция шаклини ифодалайди. Шунинг учун бундай система трапециясимон система деб юритилади.Унинг энг охирги (8) Тенгламаси чексиз кўп ечимга э га бўлганидан (7) ва демак, (1) система ҳам чексиз кўп ечимга э гадир. 2. Э нг сўнгги тенглама бир номаълумли бўлиши мумкин . Бу ҳолда (7) системаг яна битта (9) шаклдаги тенглама бирлаштирилади . (9) тенглам, бўлгани учун ягона ечимга эга. (9)дан нинг қийматини топамиз ва бу сон қийматни (8) га қўйиб, ни топамиз. Кейин (7)системанинг қолган тенгламаларидан ларни топамиз. Натижада (1) ситема ( кўринишдаги ягона ечимга эга бўлади. Системанинг охирги кўриниши унинг учбурчак кўриниши деб юритилади. Хулоса: Агар номаълумларни кетма-кет йўқотиш натижасида: a) системанинг бирор тенгламаси зиддиятли тенгламага айланса, у ҳолда (1)система ечимга эга бўлмайди;. b) система трапециясимон кўринишга келса, (1) система чексиз кўп ечимга эга бўлади; c) система учбурчак шаклига келтирилса, у ҳолда (1) система ягона ечимга эга бўлади. Топшириқ . Ушбу системани Гаусс усули билан ечинг. 37 №4 гурух Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер усули Бизга учта х 1 , х 2 ва х 3 номаълумли чизиқли тенгламалардан иборат уш бу ( 1 ) системага қараймиз. Ушбу детерминант берилган (1) системанинг детерминанти дейилади. Бу детерминантнинг биринчи, иккинчи ва учинчи устунлари мос равишда озод ҳадлар билан алмаштириб детерминантларни ҳосил қиламиз. Икки номаълумли система сингари бу детерминантлар ҳам муҳим аҳамиятга эга. Шундай қилиб, ( 1 )системага тенг кучли бўлган ушбу системага келамиз. Равшанки, системанинг ечими ларга боғлиқ. ( 1)системанинг ечими топишнинг бу усули Крамер усули дейилади. 1 . бўлсин. Бу ҳолда системадан , , ( 2 ) бўлишини топамиз. (х 1 , х 2 , х 3 ) ( 1 ) системанинг ягона ечими бўлади. Бу ҳолда ( 1 ) система биргаликда дейилади ва ( 2 ) муносабат ҳам Крамер формуласи дейилади. 2 . бўлиб, лардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли 38 бўлсин. Бунда ( 1 )система ечимга эга бўлмайди. 3 . бўлиб, бўлсин. Бу ҳолда ( 1 )система ёки чексиз кўп ечимга эга ёки битта ҳам ечимга эга бўлмайди. Топшириқ . Ушбу тенгламалар системани Крамер методида ечинг. 3 - босқич . Гуруҳларга берилган матнни гуруҳ аъзолари якка тартибда алоҳида ўрганишлари, матнни эслаб қолишлари, кейин эса керак бўлса, бошқаларга ёки ўқитувчига гапириб беришлари, иложи борича матнни ўзлаштириб олишлари кераклигини ўқитувчи уқтиради ва тайёргарлик ва топшириқни бажариш учун 15 дақиқа вақт беради. Ўзи эса гуруҳ ва талабаларнинг иш фаолиятини кузатади. 4- босқич . Бир ҳил тартиб рақамидаги матн билан танишган тингловчилар алоҳида кичик гуруҳни ташкил этишлари сўралади. Ҳар бир гуруҳда тарқатма материалдаги матнда берилган ахборот юзасидан фикр алмашиш амалга оширилади. Бунда гуруҳнинг ҳар бир иштирокчиси тарқатма материалда қайд этилган топшириқ жавобини баён этади. 5- босқич . Ўқитувчи талабалардан аввалги гуруҳга қайтишини сўрайди. Ўрганилган матнлар тартиб рақамига риоя қилган ҳолда гуруҳнинг ҳар бир аъзоси ўзи бажарган топшириқ ёки маъқул кўрса аввалги гуруҳининг бирор аъзоси томонидан таклиф қилинган ечимлардан фойдаланган ҳолда ўзлаштирган ахбороти билан бошқаларни таништиради, тушунтиради. 6 - босқич . Янги тузилган гуруҳнинг ҳар бир аъзоси энди ўзига 2 та вазифа, яъни ўқитувчи ва ўқувчи вазифасини олади ва қуйидагича фаолият кўрсатади: 1. Ўқитувчи (ўргатувчи) сифатида, ўзи аввал ўрганган материалини гапириб беради, тушунтиради, ўзи ўрганган материалнинг асосий жойларига барчани диққатини жалб қилади, бошқа гуруҳ аъзоларининг тушуниш ва ўзлаштириш қобилятларини текширади. 2. Ўқитувчи сифатида, гуруҳ аъзолари навбатма-навбат сўзлаб, тушунтираётган, гапираётган матнларни эшитади, таҳлил қилади, фикрлайди ва ёдда сақлаб қолишга ҳаракат қилади. Ўқитувчи эса уларга ўз матнларини фақат сўзлаб беришлари кераклиги уқтиради ва бунга 20 дақиқа вақт беради. Бу босқичда тренинг бошланишида 39 тарқатилган барча материал тингловчилар томонидан ўзлаштирилган ҳисобланади. 7 - босқич. Гуруҳдаги талабалар бир-бирларига ўз матнларини гапириб бериб, барчалари ушбу матнларни билиб олишгач, ўқитувчи ўрганилган материал гуруҳ аъзолари томонидан қанчалик ўзлаштириб олинганини текшириб кўриш учун ҳар бир гуруҳ аъзоси бир-бирларига ўз матнларидан келиб чиққан ҳолда саволлар беришлари мумкинлигини тушунтиради. Бу эса гуруҳдаги тингловчиларни бир-бирларига сўзлаб берган материалларини бошқалар томонидан ўзлаштирилганлик даражасини аниқлашга, мустаҳкамлашга ёрдам беради. 8 - босқич . Ўқитувчи барча тингловчиларни яна қайтадан аввалги жойларга қайтишларини сўрайди, яъни яна ҳамма машғулот бошланишидаги гуруҳларга қайтадилар. 9 - босқич . Ўқитувчи аудиториядаги тингловчиларнинг барчаси ҳаммага тарқатилган ёзма метериаллар билан таниш эканликлари, улар ҳақида тўлиқ маълумотга эга бўлганликлари ҳисобга олган ҳолда аудиториядаги ҳар бир ўқувчи талабадан ҳоҳлаган материални сўраши мумкинлигини айтади. 10 - босқич. Талабаларга қаратилган барча материални улар томонидан қай даражада ўзлаштирганлиги даражасини аниқлаш мақсадида ўқитувчи, томонидан берилган топшириқ жавобларни рейтинг баллари орқали баҳоланиши тушунтирилади, масалан топшириққа берилган жавоб- тўлиқ жавоб бўлса -3 балл, в.ҳ.к. қўйилиши белгиланади. 11 - босқич . Ушбу босқичда ўқитувчи барча талабалар учун доска ёки экран орқали ҳамма матнларга тегишли бўлган топшириқ беради. Вақт 10 дақиқа. Топшириқ 1. тенгламалар системасини Гаусс, Крамер ва Матрица усулларинида ечинг. 2. ни қандай қийматида тенгламалар системаси ечимга эга. 12 - босқич . Ўқитувчи талабалардан қайтадан биринчи гуруҳларини ташкил этишларини сўрайди. Ҳар бир талаба бажарган иш умумий 40 муҳокамадан ўтказилади. Гуруҳ томонидан унинг ҳар бир иштирокчиси баҳоланади. Гуруҳ аъзоларининг жавобларининг юқорида кўрсатилган тартибда баҳолаш, балларини қўйиб бориш, умумлаштириш учун ҳар бир гуруҳ ўзига гуруҳ қатнашчиларидан бирини «ҳисобчи» этиб тайинлаши мумкин («ҳисобчи» ҳам даврада бўлаётган савол - жавоблар мулоқотида иштирок этади). Муҳокама тугагач, ўқитувчи доскага гуруҳлар томонидан тўпланган балларни ёзади ва машғулотнинг кейинги босқичига ўтади. 13 - босқич. Ўқитувчи ҳар бир гуруҳни ўз ёзма материалларининг мазмунидан келиб чиққан ҳолда биттадан савол тайёрлашлари кераклигини айтади ва гуруҳлар савол тузишлари учун 5-7 дақиқа вақт ажратади. 14 - босқич . Бу босқичда гуруҳлар бир-бирларига саволлар берадилар, гуруҳлардаги «ҳисобчилар» эса гуруҳ аъзоларининг жавобларини юқорида белгиланган тартибда баҳолаб борадилар. Жавоблар тўғри бўлса, савол берган гуруҳ жавобини тўлдирмайди. 15 - босқич . Ўқитувчи гуруҳ аъзолари тўплаган балларини яна бир маротаба доскага ёзади ва тўпланган балларнинг умумий сонини аниқлайди. Тўпланган балларни умумий сонини гуруҳ аъзоларига теппа-тенг бўлади. ИЗОҲ : агар тўпланган балларни гуруҳ аъзоларига теппа-тенг бўлишда ўқувчи-талабалар томонидан норозилик бўлса, яъни баъзи гуруҳ аъзолари гуруҳнинг фаолиятида фаол иштирок этиб, умумий жамоавий фаолиятда пассив бўлган бўлишса, ёки умуман иштирок этмаган, қизиқмаган бўлишса, бундай ҳолатда вазиятни ечишни гуруҳ аъзоларига юклатилади, гуруҳнинг ечими тўғри ҳисобланади, ёки ўқитувчи ўз фикрини билдириши мумкин, чунки у дарс жараёнида талабаларнинг жавоблари, фаол ёки пассивликларини кузатиб боради. Умуман олганда, агар талаба фаоллик кўрсатмаган, ёки савол-жавобларда иштирок этмаган бўлса ҳам унинг шу дарс жараёнида бирон нарсани билиб олгани, эслаб қолиб ўзлаштирганини ҳисобга олган ҳолда унга энг кичик балл берилиши мумкин. Бу талабани кейинчалик шу шаклдаги дарсларда фаолроқ бўлишига ундайди. Юқоридаги каби вазият вужудга келса унинг ечимини ҳар бир ўқитувчи шароитга, фаолиятга қараб ўзи ҳал этиши ёки гуруҳ, жамоага ташлаши мумкин. 16 - босқич . Ҳар бир талабага баллар қўйилгач ўқитувчи машғулотга якун ясайди. Ўқитувчи - талабаларнинг фаолиятига баҳо беради, берилган жавобларга ўз фикрини билдиради ва қуйидаги саволлар билан уларга мурожат қилади: - бугунги машғулотдан нималарни билиб олдингиз? - нималарни ўргандингиз? 41 - нималар сизлар учун янгилик бўлди? - Яна нималарни билишни истар эдингиз? 17 - босқич . Ўқитувчи ўқувчи - талабаларнинг жавобларини диққат билан тинглаб уларга миннатдорчилик билдиради ва дарсни якунлайди. Тавсия этиладиган ўқув ва услубий адабиётлар: 1. Курош А.Г. Олий алгебра курси. Тошкент: Ўқитувчи. 1976 й. – 459 бет. 2. Окон В. Протсесс обучения. - М.: Учпедгиз, 1962. – 170 с. 3. Махмутов М.И. Мактабда проблемали таълимни ташкил қилиш. Т.: Ўқитувчи, 1981. 4. Фарберман Б. Илғор педагогик технологиялар. - Тошкент: Фан, 2000. 5. Назаров Р.Н., Тошпўлатов Б.Т, Дўсумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. Т., И- қисм,1993 й. (35-58 бетлар). 6. Юнусова Д.И., Юнусов А.С. Алгебра ва сонлар назариясидан модул технологияси асосида тайёрланган мустақил ишлар тўплами. –Тошкент: 2008. 1 қисм, - 52 б. 7. Ишмухамедов Р., Абдуқодиров А., Пардаев А. Таълимда инноватсион технологиялар (таълим муассасалари педагог-ўқитувчилари учун амалий тавсиялар). –Т.: Истеъдод, 2008. -180 б. 8. Д.И.Юнусова, А.Юнусов. Алгебра ва сонлар назарияси. Маърузалар матни. 1- қисм. ТДПУ, 2008. 2.2. Олий таълимда Ч изиқли тенгламалар системаси ва уни ечиш методлари 1 - Маъруза. Чизи қ ли тенгламалар системаси Режа: 1. Чизиқли тенгламалар системаси ҳақида тушунча 2. Ч изиқли тенгламалар системаси 42 3 . Чизиқли тенгламалар системасининг ечими мавжудлиги ва ягоналиги ҳақида теоремалар 1.1 Чизиқли тенгламалар системаси ҳақида тушунча Геометрия курсидан маълумки берилган тўғри чизиқ Р 1 , Р 2 ёки Р 3 фазоларга тегишли бўлишидан қатъий назар унинг тенглмасида қатнашадиган номаълумлар доимо биринчи даражада бўлади. Р n фазода берилган чизиқли тенгламанинг умумий кўриниши а 1 х 1 +а 2 х 2 +а 3 х 3 +…+а n х n = b (1) кўринишида бўлиб, бунда а n , b P ( P сонлар майдони) бўлиб, х i ( i = ) номаълумлар дейилади. 1-Таъриф. (1)тенгламани тўғри сонли тенгликка айлантирувчи ( α 1 , α 2 , α 3 , …, α n ) Р n арифметик векторга (1) нинг ечими дейилади. Бошқача қилиб айтганда, (и= ) сонлар (1)тенгламани қаноатлантиради. Масалан, 3х 1 -2х 2 +5х 3 -4х 4 =5 тенгламани ечимларидан бири (1,1,0,-1) арифметик вектордан иборат. 2-Таъриф . Бир неча номаълумли (айтайлик n та) чекли сондаги (айтайлик м та) чизиқли тенгламаларни ўзичига олган системага чизиқли тенгламалар системаси дейилади. Чизиқли тенгламалар системасининг нормал кўриниши қуйидагича бўлади : (2) Бунда а ij ( i = j = ), b j лар бирор P сонлармайдонига тегишли сонлардир, х i лар эса номаълумлардан иборат. a ij сонлар (2)даги номаълумлар олдидаги коеффитсеентлар, b i лар эса озод ҳадлар деб аталади. a ij сон (2)системадаги и- тенгламанинг j -қўшилувчи ҳадида қатнашган х j номаълумларнинг коеффитсиентини ифодалайди. Чизиқли тенгламалар системасини ечиш икки усулга бўлинади, булар: - аниқ; - интерацион. 43 Умумтаълим мактабларида кўпинча аниқ усуллардан фойдаланилади. Интерацион усуллар эса олий таълимда ”Олий матеметика” ва «Алгебра ва сонлар назарияси» курс ла ида ўрганилади. Бу усуллар билан одатда илмий изланувчи тадқиқотчилар ўзларининг мураккаб масалаларини ечишда қўллайдилар. 1.2 Ч изиқли тенгламалар системаси Oлий таълимда ”Олий матемaтика” ва « Алгебра ва сонлар назарияси » курс лар ида чизиқли тенгламалар системасининг умумий кўриниши яъни n номаълумли m та чизиқли тенгламалар системаси ўрганилади . Иқтисодий масалаларнинг аксарияти бир неча номаълумли (айтайлик n та) чекли сондаги (айтайлик m та) чизиқли тенгламаларни ўз ичига олган ва ушбу тенгламаларнинг умумий ечимини топиш масаласи қўйилган қуйидаги ( (3) чизиқли тенгламалар системасига келтирилади. Бу ерда, – ҳақиқий сонлар бўлиб, системанинг коеффитсиентлари; – ҳақиқий сонлар эса унинг озод ҳадлари дейилади. Системанинг (3) кўринишдаги шаклига n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар нормал системаси дейилади. (3) системадаги m ва n лар учун n=m ёки m бўлиши мумкин . 4-Таъриф. Агар (1) система нолдан фарқли (i= ) мавжуд бўлса, бу система бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламалар системаси , барча =0(i= ) бўлганда ҳосил бўладига (4) система эса бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси дейилади . ( 4 ) 44 5 - Таъриф. Ечимга эга бўлган система ҳамжойли (биргаликда ), ечимга эга бўлмаган система эса ҳамжойсиз (биргаликда бўлмаган) система дейилади. Ҳамжойли системаларнинг ўзи яна икки қисмга, яъни аниқ ва аниқмас системаларга бўлинади. 6-Таъриф . Ягона ечимга эга бўлган система аниқ система , ечимларининг сони чексиз кўп бўлган система эса аниқмас система дейилади. Масалан, система (1;2;-1) кўринишдаги ягона ечимга эга. с истема эса чексиз кўп ечимга эга. Улардан бири (1;2;-1) бўлади. Бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси доимо ҳамжойли системадир, чунки (0;0;0;...;0) ечим (4) ситеманинг ҳар бир тенгламани тўғри сонли тенгликка айлантиради. 1 .3 Чизиқли тенгламалар системасининг ечими мавжудлиги ва ягоналиги ҳақида теоремалар Чизиқли тенгламалар системаси ва унинг ечимлари учун матрица тушунчаси муҳим аҳамиятга эга эканлигини кўрдик. Мазкур тушунчалар орасида узвий боғланишлар мавжуд. (5) чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин. Номаълумларнинг коеффитсиентларидан ва озод ҳадларидан қуйидаги икки матрицани тузамиз: 45 А= B = А матрица чизиқли тенгламалар системасининг асосий матрицаси, B га системанинг кенгайтирилган матрицаси дейилади. Кронекер-Капелли теорэмаси . Чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун унинг асосий матрицаси А рангининг кенгайтирилган матрицаси B рангига тенг бўлиши, яъни rangА=rangB зарур ва етарли. Келтирилган теоремалардан қуйидаги хулосалар келиб чиқади: 1) Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангидан катта бўлса, яъни rangB>rangА унда тенгламалар системаси ечимга эга бўлмайди. 2) Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангига тенг бўлиб, rangB=rangА=к бўлса, унда тенгламалар системаси ечимга эга бўлиб, қуйидаги ҳоллар юз беради: a) к<n да чизиқли тенгламалар системаси ечимга эга бўлади ва у қуйидагича топилади: rangА=к эканлигидан шундай нолдан фарқли камида битта к -тартибли минор мавжуд. Фараз қилайлик улардан бири бўлсин. Енди тенгламалар системасини бу минорга мос ҳолда ушбу 46 кўринишда ёзиб оламиз ва х к+1 , . . . , х n номаълумлар қатнашган ҳадларни ўнг томонга ўтказамиз: х к+1 , . . . , х n ларга ихтиёрий тайинланган сонларни бериб, бу системани ечамиз. х к+1 , . . . , х n лар ихтиёрий қийматлар қабул қилиши сабабли тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга бўлади. b) к=n бўлганда тенгламалар системаси а) ҳолда айтилганларга асосан ягона ечимга эга бўлади. Демак, rangА=rangB=n бўлгандагина тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлар экан. 1-мисол . Ушбу системани ечинг.Бу система учун А= , B= бўлади. Қуйидаги иккинчи тартибли детерминант нолдан фарқли бўлганлигидан rangА=2 бўлишини топамиз. Агар бўлишини эътиборга олсак, унда B матрицанинг ранги ҳам 2 га тенг бўлишини аниқлаймиз: rangB=2, rangB=rangА=2. Номаълумлар сони ҳам иккита бўлганлиги учун берилган система ягона ечимга эга. Берилган системанинг биринчи иккита тенгламасини олиб 47 системани ечамиз: , . Бу топилган х 1 ва х 2 берилган системанинг учинчи тенгламасини ҳам қаноатлантиради: 4х 1 +9х 2 =4( )+9 =11. Шундай қилиб, , берилган системанинг ягона ечими бўлади. 2-мисол . Ушбу системани ечинг. Бу система учун бўлганлиги сабабли Крамер усулини қўллаш мумкин эмас. Шунинг учун берилган ситеманинг ечимга эга ёки эга эмаслигини Кронекер- Копелли теор е масидан фойдаланиб текширамиз. Системанинг асосий А ва кенгайтирилган B матрицаларининг рангини ҳисоблаймиз. Система учун А= , B= еканлигидан ва бўлишидан rangА=2, rangB=3 эканлиги келиб чиқади. Демак, rangА rangB бўлгани учун система ечимга эга эмас. 2- Маъруза . Чизи қ ли тенгламалар системасини ечиш усуллари Режа: 1. Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер усули 2. Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг матрицалар усули 48 3. Жордан - Гаусснинг нома ъ лумларни кетма - кет юқотиш усули 2. 1 Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг Крамер усули Бизга учта х 1 , х 2 ва х 3 номаълумли чизиқли тенгламалардан иборат уш бу (1) системага қараймиз. Ушбу детерминант берилган (1 ) системанинг детерминанти дейилади. Бу детерминантнинг биринчи, иккинчи ва учинчи устунлари мос равишда озод ҳадлар билан алмаштириб детерминантларни ҳосил қиламиз. Икки номаълумли система сингари бу детерминантлар ҳам муҳим аҳамиятга эга. Шундай қилиб, (1)системага тенг кучли бўлган ушбу системага келамиз. Равшанки, системанинг ечими ларга боғлиқ. ( 1) системанинг ечими топишнинг бу усули Крамер усули дейилади. (2) формулага эса Крамер формуласи дейилади. 1. бўлсин. Бу ҳолда системадан 49 , , (2) бўлишини топамиз. (х 1 , х 2 , х 3 ) (1) системанинг ягона ечими бўлади. Бу ҳолда (1) система биргаликда дейилади ва (2) муносабат ҳам Крамер формуласи дейилади. 2. бўлиб, лардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлсин. Бунда (1)система ечимга эга бўлмайди. 3. бўлиб, бўлсин. Бу ҳолда (1) система ёки чексиз кўп ечимга эга ёки битта ҳам ечимга эга бўлмайди. 3 -мисол. Ушбу системани ечинг. Бу системанинг детерминанти: Демак, берилган система ягона ечимга эга. Берилган система учун , Крамер формуласидан фойдаланиб, =1, =0, бўлшини топамиз. 4 -мисол . Ушбу 50 системани ечинг. Бу система учун: бўлганлиги сабабли берилган система ечимга эга эмас. 5 -мисол . Ушбу системани ечинг. Бу система учун Асосий ва кенгайтирилган А= , B= матрицаларининг рангларини ҳисоблаймиз. Агар ва бўлишни эътиборга олсак, унда rangА=2 ни топамиз. Кенгайтирилган матрицадан ҳосил қилинган барча учинчи тартибли матрицалар детерминантлари нолга тенг: Бироқ B нинг иккинчи тартибли матрицасидан тузилган детерминант: 51 бинобарин , rangB=2 . Демак, rangА=rangB=2 экан. Э нди системанинг ечими топиш учун бу системадан нолдан фарқли 2- тартибли детерминант элементлари қатнашган биринчи ва иккинчи тенгламаларни олиб, Системани кўрамиз. Бу системадаги тенгламаларнинг ўнг томонига битта номаълумни шундай ўткжазиш керакки, ҳосил бўлган икки номаълумли системанинг детерминанти 0 дан фарқли бўлсин. Масалан, бизнинг ҳолимизда ўнг томонга ёки х 1 ни ёки х 2 ни ўтказиш мумкин. Биз х 2 ни олиб ўтамиз: Бу системанинг детерминанти бўлиши учун шу система ҳар бир тайинланган х 2 =х 2 0 да ягона ечимга эга бўлади: Шундай қилиб, (1-х 2 , х 2 , 0) учлик х 2 нинг ихтиёрий қийматида берилган системанинг барча ечимларини беради. Пировардида тенгламалар системаси b 1 =b 2 =...=b м =0 бўлган ҳолни яъни ушбу бир жинсли тенгламалар системасини қараймиз. Равшанки бу ҳолда rangА=rangB=к бўлади. Бинобарин, Кронекер-Копелли теорeмасига кўра 52 ушбу система биргаликда бўлади. Агар к=n бўлса, у ҳолда ушбу система фақат х 1 =х 2 =...=х n =0 бўлган ечимларга , яъни тривиал ечимларга эга бўлади. Агар к<n бўлса, у ҳолда бу система тривал бўлмаган ечимларга ҳам эга бўлади ва бу ечимлар юқорида келтирилган усул билан топилади. 2.2 Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг матрицалар усули Бизга та номаълумли та чизиқли тенгламалар системаси кўринишд а б е рилг а н бўлсин. Қуйидаги белгилашларни кирита миз: У ҳ о лд а б е рилг а н чизиқли тенгламалар системасини матрицали т е нгл а м а , яъни кўринишид а ёзиш мумкин. 1-Таъриф. чизиқли тенгламага Чизиқли тенгламалар системасининг матрицали ифодаси дейилади. Теорема . Агар матрицанинг сатрлари чизиқли эркли бўлса, у ҳолда вектор тенгламанинг ягона ечими бўлади. 53 тенгламада А матрица тескариланувчи бўлса, у ҳолда А -1 матрицани топиб, тенгламанинг иккала томонини А -1 га чап томондан кўпайтирамиз (матрицаларни кўпайтириш, ҳаттоки квадрат матрицалар бўлса, ҳам коммутатив эмас): А -1  А  Х = А -1  B . А -1  А = Е Е  Х = А -1  B , Бундан эса Х = А -1  B э канлиги келиб чиқади. та номаълумли та чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлса, унинг матрицали тенгламаси бўлади. Лекин матрицали тенгламани фақат чизиқли тенгламалар системаси ёрдамида ҳосил қилинмайди. Балки А, B матрицалар берилган бўлса ёки кўринишдаги матрицали тенгламаларни; А,B,C матрицалар берилган бўлса, кўринишдаги матрицали тенгламаларни тузиш мумкин бўлса, уларни ечиш учун ўзгарувчининг чап ёки ўнг томонидаги А матрица тескариланувчи бўлса, унинг ечими А -1  B ёки кўринишда; ўзгарувчининг ўнг ва чап томонидаги А ва B лар тескариланувчиб ўлса, кўринишда бўлади. 1-мис о л. тенгламалар системасиниматрицали тенгламагакелтириб, йечимини топинг. Ечиш.Х = , Б = , А = белгилашлар ёрдамида тенгламани тузиб оламиз ва агар А матрица тескариланувчи бўлса А -1 ни топиб Х=А -1  B тенглик ёрдамида чизиқли тенгламалар системасининг йечимини топамиз. А матрицани сатрини элементар алмаштиришлар ёрдамида чизиқли эркли эканлигини текширамиз: 54 . Ҳосил бўлган поғонасимон матрицада нол сатрлар йўқ. Демак, А матрица чизиқли эркли матрица ва матрицанинг тескариланиш шартларига кўра унинг тескари матрицаси мавжуд. Тескари матрица А -1 = ни т о пиш мумкин. Т е ск а ри матрицатўғри т о пилг а нлигини т е кшириб о л а миз: Демак, тескариматрица ёрдамидачизиқли тенгламалар системасини йечимини топамиз, яъни Х = А -1  B тенгликдан, Х = = А -1 B =  = ни бундан х =1; у= 2; z = 3 ечимни ҳосил қиламиз. 55 Енди уч номаълумли учта чизиқли тенгламалар системасиниматрица усулида ечишда Крамер формуласини келтириб чиқаришни кўрамиз. Аввалгидек, (1) система берилган бўлсин. Берилга системанинг коеффитсиентларидан, х 1 , х 2 , х 3 лардан ҳамда озод ҳадларидан ушбу А= Х= B = матрицаларни тузамиз. Равшанки, А Х= А Х= B кўринишда ёзиш имконини беради. Айтайлик, (1)системанинг детерминант бўлсин. унда юқорида киритилган А матрицанинг тескари матрицаси мавжуд бўлиб, бўлади.Равшанки, Х=А -1 Б. Демак, 56 А -1 B = . Агар Х= бўлишини эътиборга олсак, қуйидагича ёзиш мумкин: Кейинги тенгликдан бўлиши келиб чиқади. Бу эса Крамер формуласидир. 2-мисол. Ушбу системани ечинг. Бу системанинг детерминантини ҳисоблаймиз: Демак, берилган тенгламалар системаси ягона ечимга эга. Енди ни топамиз. 57 , -108, =27. Демак, ,=3, =-4, =-1, =1 2. 3 Жордан - Гаусснинг нома ъ лумларни кетма - кет юқотиш усули n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системасини ечиш усулларида n=4 дан бошлабоқ катта ва машаққатли ишга айланади . Шу сабабли амалда Гаусс усули муваффақият билан қўлланилади ва у система биргаликда ва аниқ бўлса , уни соддароқ кўринишга келтириш ва барча номаъумларни қийматларини кетма - кет топпиш имкониятини беради . Гаусс усули шундан иборатки , у алмаштиришлар ёрдамида номаълумларни кетма - кет чиқариб , сўнги тенгламада фақат битта номаълумни қолдиради . Қуйидаги nта чизиқли алгебраик тенгламалар системасини қарайлик : (3) Бунда m =n , m>n, m<n бўлиши мумкин. лардан камида биттаси нолдан фарқли, акс ҳолда номаълумлар сони n дан кичик бўлар эди. Фараз қилайлик, . (3) системанинг биринчи тенгламасини кетма-кет сонларга кўпайтириб, натижани мос равишда 58 системанинг иккинчи, учинчи, …, m-тенгламаларига қўшамиз. Унда (3 ) системага эквивалент бўлган қуйидаги система ҳосил бўлади: (4) Бунда (4) системанинг бир қисми бўлган янги (5) Системани қараймиз. ( 5 ) системада к бўлади, чунки барча коеффициентлари ва озод ҳади нолга тенг бўлган баъзи бир тенгламалар системадан ташлаб юборилади. Энди ( 5 )системадан номаълумни йўқотамиз. Бунинг учун деб фараз қилиб, ( 5 )системанинг биринчи тенгламасини кетма-кет сонларга кўпайтириб, натижани мос равишда шу системанинг иккинчи, учинчи, …, к-тенгламаларига қўшамиз. Унда (6) система ҳосил бўлиб ( l , у (3) га эквивалентдир. ( 6 ) системанинг бир қисми бўлган (7) 59 (5)системадаги номаълумлар сони ( 6 )системадаги номаълумлар сонидан ҳеч бўлмаганда битта кам. Биз ( 7 )системани ечсак ( 3 ) системани ҳам еча оламиз. Номаълумларни юқоридаги усулда кетма-кет йўқотиб, охирида қуйидаги уч ҳолдан фақатгина бирига дуч келишимиз мумкин: 1. Номаълумарни кетма-кет йўқотиш жараёнида ( 3 )системанинг бирорта тенгламаси (8) бўлиб, бу ерда d 0 кўринишда бўлиши мумкин. ( 8 ) кўринишдаги тенглама одатда зиддиятли тенглама деб юритилади. ( 8 ) тенгламани номаълумларнинг ҳеч қандай сон қийматлари тўғри тенгликка айлантира олмайди. Шунинг учун бундай ҳолда ( 4 ) система ечимга эга эмас. 2 . Системанинг энг сўнгги (коеффициентлари нолдан фарқли) тенгламасининг номаълумлари сони иккитадан кичик эмас. Бу ҳолда ( 4 ) система ( 9 ) кўринишни олади, бу ерда лар нолдан фарқли. (9)система (3)системанинг натижаси бўлгани учун (9) нинг ҳар бир ечими (3) нинг ҳам ечими бўлади. (9)системага эътибор қилсак, у трапетсия шаклини ифодалайди. Шунинг учун бундай система трапециясимон система деб юритилади.Унинг энг охирги ( 10 ) тенгламасичексизкўпечимгаегабўлганидан (9) вадемак , (3) системаҳамчексизкўпечимгаегадир . 3. Энг сўнгги тенглама бир номаълумли бўлиши мумкин. Бу ҳолда (7)системаг яна битта ( 11 ) 60 шаклдаги тенглама бирлаштирилади. (11) тенглам, бўлгани учун ягона ечимга эга. (11)дан нинг қийматини топамиз ва бу сон қийматни (10) га қўйиб, ни топамиз. Кейин (9)системанинг қолган тенгламаларидан ларни топамиз. Натижада (3) ситема ( кўринишдаги ягона ечимга эга бўлади. Системанинг охирги кўриниши унинг учбурчак кўриниши деб юритилади. Хулоса: Агар номаълумларни кетма-кет йўқотиш натижасида: a ) системанинг бирор тенгламаси зиддиятли тенгламага айланса, у ҳолда (3)система ечимга эга бўлмайди;. b ) система трапетсиясимон кўринишга келса, (3) система чексиз кўп ечимга эга бўлади; c ) система учбурчак шаклига келтирилса, у ҳолда (3)система ягона ечимга эга бўлади. 1-мисол. Ушбу системани Гаусс усули билан ечинг. Биринчи тенгламани (-2) га кўпайтириб, иккинчи тенгламага қўшсак ва яна биринчи тенгламани (-5) га кўпайтириб, учинчисисга қўшиш натижасида системага эга бўламиз. Бу системадаги иккинчи тенгламани (-7) га ва учинчисини 3 га кўпайтириб, учинчисисга қўшиш натижасида система келиб чиқади. Шу билан алмаштиришлар тугаб, z нинг ягона z=3 61 қийматини топамиз. Бу қийматни иккинчи тенгламага қўйиб, 3y-4 3=-6, y=2 қийматни ҳосил қиламиз. y=2 ва z=3 қийматларни биринчи тенгламага қўйиш билан х нинг ҳам ягона х=1 қийматини топамиз. Шундай қилиб, берилган система ягона (1;2;3) ечимга эга экан. 2-мисол. Ушбу системани Гаусс усулида ечинг. Системада тегишли алмаштиришлар бажариб, системага келамиз. Буни бошқа алмаштириш мумкин эмас. параметр (озод номаълум) ларга ихтиёрий . ва . қийматлар бериб, . ни сўнгра . ни ундан кейин . ни топамиз. Демак, берилган система аниқмас система бўлиб, унинг чексиз кўп ечимларидан бири (1;1;2;2;5) бўлади. 3-мисол. Ушбу системани Гаусс усулида ечинг. Системада маълум элементар алмаштиришларни бажариб, системага эга бўламиз. Бу системадаги охирги тенгламани ҳеч қандай сонлар қаноатлантирмайди. Демак, берилган система ҳамжойсиз система бўлиб, ечимлари йўқдир. 62 2.3 -Амалий машғулот: “Чизиқли тенгламалар системаси” модули бўйича такрорлаш-умумлаштириш амалий машғулотининг сценарийси 1 . Мавзунинг технологик харитаси Мавзу: Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари Мақсад, вазифалар Мавзуга оид муаммоли вазиятларни ҳосил қилиш. - Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари ҳақида талабаларда ҳосил бўлган муайян билим, кўникмаларни тарқатма материаллар ва компьютер воситасидаги ДДМ ёрдамида мустаҳкамлаш. 63 - Талабаларни ДДМ лардан унумли ва мустақил фойдалана олишга ўргатиш. Ўқув жараёнининг мазмуни Ўтилганларни такрорлашни кластер методидан ва ностандарт тестлардан фойдаланиш Ў қ ув жараёнини амалга ошириш технологияси Метод: Интерфаол услублари. Шакл: Амалий машғулот Восита: Тарқатма материаллар, компьютер воситаларидан ва фан бўйича ишлаб чиқилган дастурий-дидактик мажмуа. Усул: Назорат: Кластер, оғзаки савол-жавоб, компютер ёрдамидаги тест назорати Ба ҳ олаш : Ра ғ батлантириш 15 балли система асосида. Кутиладиган натижалар Ўқитувчи: Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари билан боғлиқ барча маълумотларни қисқа вақт ичида талабалар билан ҳамкорликда кластер методи, савол-жавоб орқали, шунингдек, ДДМ ёрдамидаги образли кўргазмалар ва ностандарт тестлар орқали ўзлаштирилган билимларни мустаҳкамлашга эришади. Талабаларда дарсга нисбатан қизиқиш уйғотади. Бир вақтнинг ўзида кўпчилик талабаларни баҳолайди. Талаба: Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари ҳақидаги билимларини Кластер методи орқали такрорлайдилар; Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари хусусида муайян билимларни эгаллайди, мустақил ҳолда мушоҳада юритишга интилади, компютер дастури ёрдами ишлаб чиқилган ДДМ дан фойдаланиш бўйича кўникмалар ҳосил қилади, ўз-ўзини билимини назорат қила олади. Келгуси режалар (та ҳ лил ва ўзгаришлар) Ўқитувчи: янги педагогик ва ахборот технологияларини мукаммал ўзлаштириш ва машғулотларга татбиқ этиш, такомиллаштириш. Ўз устида тинимсиз ишлаш ва ҳ ар бир мавзуни ҳ аётий мисоллар билан бо ғ лаш. Педагогик маҳоратини ошириш. Талаба: ўқув материаллари, шунингдек, ахборот технологиялари билан мустақил ишлашни ўрганиш. Ўз фикрини равон баён эта олиш, савол жавоблар жараёнида ўз 64 фикрини равон баён эта олиш. Амалда учрайдиган масалаларга математик усуллар ёрдамида жавоб беришга ҳаракат қилиш малакасини ҳосил қилиш. 3. Машғулот сценарийси Амалий машғулот ўтиладиган аудиториада дарс бошлангач, ўқитувчи гуруҳни йўқлама қилиб, машғулот мавзуси ва мақсади эълон қилинади. Талабаларга ўтилган мавзуларни такрорлаб олиш, олинган билимларни мустаҳкамлаш, учун ташкил этилган дарс жараёнини ташкил этиш режаси айтиб ўтилади. 1- босқич . Шундан сўнг “Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллари” модули бўйича ўрганилган тушунчаларларни ёдга солиш, бир карра такрорлаб олиш мақсадида “ Кластер” методидан фойдаланишларини таклиф этади. Ўқитувчи бу методни ўтказиш қоидаларини талабаларга эслатиб ўтади ҳолда, технологияни бир неча босқичда ўтказилиши ҳақида талабаларга маълумот беради. Ҳар босқичдаги вазифани бажариш учун вақт берилиши, талабалар эса шу вақтдан унумли фойдаланишлари кераклиги ҳақида огоҳлантиради, қўйилган вазифа аввал якка ҳолда бажарилиши кераклигини айтади. Талабалар ўз кластерларини кўк сиёғда ёзади, сўнгра экранга ўқитувчини кластери намоён этилади. Талаба қолдирилган тушунчаларни қора сиёғда ўзи тўлдиради. 65 2-босқич. Бу босқичда “Чизиқли тенгламалар системасини ечиш усуллар” модули бўйича ўрганилган тушунчаларларни ёдга солиш, бир карра такрорлаб олиш мақсадида “кейс”дан фойдаланишларини таклиф этади. Ўқитувчи бу методни ўтказиш қоидаларини талабаларга маълумот беради. Ҳар босқичдаги вазифани бажариш учун вақт берилиши, талабалар эса шу вақтдан унумли фойдаланишлари кераклиги ҳақида огоҳлантиради, қўйилган вазифа якка ҳолда бажарилиши кераклигини айтади. 2.4.“ Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш ” модули бўйича талабалар билимини аниқлаш учун оралиқ назорати кейс топшириқлари 1-Кейс. Чизиқли тенгламалар системаси ва унинг ечимлари учун матрица тушунчаси муҳим аҳамиятга эга эканлигини кўрдик. Мазкур тушунчалар орасида узвий боғланишлар мавжуд. (5) чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин. 66 Номаълумларнинг коеффитсиентларидан ва озод ҳадларидан қуйидаги икки матрицани тузамиз: А= B = А матрица чизиқли тенгламалар системасининг асосий матрицаси, B га системанинг кенгайтирилган матрицаси дейилади. Кронекер-Капелли теор е маси . Чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун унинг асосий матрицаси А рангининг кенгайтирилган матрицаси B рангига тенг бўлиши, яъни rangА=rangB зарур ва етарли. Кейс топшириғи: 1. Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангидан катта бўлса, яъни rangB>rangА бўлса? 2. Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангига тенг бўлиб, rangB=rangА=к бўлса ? Талаба жавоби: Ўқитувчи жавоби: Кронекер-Капелли теор е маси . Чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун унинг асосий матрицаси А рангининг кенгайтирилган матрицаси B рангига тенг бўлиши, яъни rangА=rangB зарур ва етарли. Келтирилган теоремалардан қуйидаги хулосалар келиб чиқади: 67 1) Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангидан катта бўлса, яъни rangB>rangА унда тенгламалар системаси ечимга эга бўлмайди. 2) Агар B матрицанинг ранги А матрицанинг рангига тенг бўлиб, rangB=rangА=к бўлса, унда тенгламалар системаси ечимга эга бўлиб, қуйидаги ҳоллар юз беради: a) к<n да чизиқли тенгламалар системаси ечимга эга бўлади ва у қуйидагича топилади: rangА=к эканлигидан шундай нолдан фарқли камида битта к -тартибли минор мавжуд. Фараз қилайлик улардан бири бўлсин. Енди тенгламалар системасини бу минорга мос ҳолда ушбу кўринишда ёзиб оламиз ва х к+1 , . . . , х n номаълумлар қатнашган ҳадларни ўнг томонга ўтказамиз: х к+1 , . . . , х n ларга ихтиёрий тайинланган сонларни бериб, бу системани ечамиз. х к+1 , . . . , х n лар ихтиёрий қийматлар қабул қилиши сабабли тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга бўлади. b) к=n бўлганда тенгламалар системаси а) ҳолда айтилганларга асосан ягона ечимга эга бўлади. Демак, rangА=rangB=n бўлгандагина тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлар экан. 68 2-Кейс. Бизга учта х 1 , х 2 ва х 3 номаълумли чизиқли тенгламалардан иборат уш бу (1) системага қараймиз. Ушбу детерминант берилган (1) системанинг детерминанти дейилади. Бу детерминантнинг биринчи, иккинчи ва учинчи устунлари мос равишда озод ҳадлар билан алмаштириб детерминантларни ҳосил қиламиз. Икки номаълумли система сингари бу детерминантлар ҳам муҳим аҳамиятга эга. Шундай қилиб, (1)системага тенг кучли бўлган ушбу системага келамиз. Равшанки, системанинг ечими ларга боғлиқ. ( 1) системанинг ечими топишнинг бу усули Крамер усули дейилади. Кейс топшириғи: 1 .Агар бўлсин. У ҳолда ........ 2. бўлиб, лардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлсин. У ҳолда....... 69 3 . бўлиб, бўлсин . У ҳолда....... Талаба жавоби:________________________________ Ўқитувчи жавоби: 1. бўлсин. Бу ҳолда системадан , , (2) бўлишини топамиз. (х 1 , х 2 , х 3 ) (1) системанинг ягона ечими бўлади. Бу ҳолда (1) система биргаликда дейилади ва (2) муносабат ҳам Крамер формуласи дейилади. 2. бўлиб, лардан ҳеч бўлмаганда биттаси нолдан фарқли бўлсин. Бунда (1)система ечимга эга бўлмайди. 3. бўлиб, бўлсин. Бу ҳолда (1) система ёки чексиз кўп ечимга эга ёки битта ҳам ечимга эга бўлмайди. 3-босқич : Ўқитувчи Кластер ва Кейсда йўл қўйган хатолар бўйича тушунча беради, уларни алоҳида-алоҳида шарҳлаб беради: Ўқитувчи талабалар билан биргаликда жавобларни муҳокама қилиб тўғри жавобларни ёзади. Сўнгра жавоблар таққосланиб ҳар бир гуруҳ аъзоларининг ўтилган мавзулар бойича билимлари Блум таксономиясининг қайси даражасида эканлиги таъкидланади ва талабаларнинг кейинг мустқил ишлари тўғрисида кўрсатмалар берилади. Асосий адабиётлар 1. Назаров Р.Н.,Тошпўлатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси.Т., Ўқитувчи. I – қисм 1993 й., II - қисм, 1995 й. ( ўқув қўлланма) 70 2. Юнусов А., Юнусова Д. Сонли системалар. Т., «Молия-иқтисод», 2008. ( ўқув қўлланма) 3. Юнусов А.С. Математик мантиқ ва алгоритмлар назарияси элементлери. Т., “Янги аср авлоди”. 2006. ( ўқув қўлланма) 4. Т ў раев Х.. Математик мантиқ ва дискрет математика. Т. ўқитувчи. 2003. ( ўқув қўлланма) Қўшимча адабиётлар 1. Лихтарников Л.М., Сукаcчева Т.Г.Математическая логика. Санкт- Петербург. 1999 г. 2. Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент, «Ўзбекистон», 2001й. 3. Юнусова Д., Юнусов А. Алгебра ва сонлар назарияси. Модул технологияси асосида тузилган мусол ва машқлар т ў плами. Ў қув қ ў лланма. Т., “Илм Зиё”. 2009. 4. Юнусов А., Юнусова Д. Алгебра ва сонлар назариясидан модул технологияси асосида тузилган назорат топшириқлари т ў плами. ТДПУ ,2004. 5. S.D.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract Algebra 2014 6. Martyn R. Dixon, Leonid A. Kurdachenko, Igor Ya. Subbotin, “ALGEBRA AND NUMBER THEORY” 2013 Ele k tron ta’lim resurslari 1. www.pedagog.uz 2. http://ukrgap.exponenta.ru 3. http://avt.miem.edu.ru 4. http://lib.kruzzz.com/books 5. www. Ziyonet. uz 6. www. edu. uz 7. tdpu-INTRANET . Ped ХУЛОСА ВА ТАКЛИФЛАР 1. Ушбу фан бўйича ҳозирги кун талабидан келиб чиққан ҳолда танқидий ўрганиб чиқиш ҳамда илғор хорижий тажрибалар, соҳага оид 71 инновациялардан келиб чиққан ҳолда унга қўшимча ва ўзгартиришлар киритиш лозим. 2. Фаннинг ўқув дастури меъёрий хужжат сифатида Олий таълим муассасаларида таълим фаолиятининг асоси бўлиб хисобланади, унда ўқув фанлари бўйича талабалар томонидан ўзлаштириладиган асосий билим, зарурий кўникма ва малакалар назарда тутилади. Бугунги кунда олий таълим муассасаларида фанлар бўйича ўқув дастурларини тузишда методик кўрсатмалар ва йўриқномаларнинг мавжуд эмаслиги хозирги кунда ўз ечимини кутаётган долзарб муаммолардан бири ҳисобланади. “Фан дастури нима”, “Фан дастурининг қандай турлари мавжуд”, ”Фан дастурининг тузилиши ва мазмуни қандай бўлиши керак”, “Фан дастури ким томонидан ишлаб чиқилади”, “Фан дастури ким томонидан тасдиқланади”, “Ўқув ва ишчи ўқув дастурларининг фарқи нималардан иборат” деган саволларга олий таълим муассасаларининг мутассадди ходимлари ва профессор-ўқитувчилари томонидан бир неча хил жавоблар берилмоқда. Фикримизча, юқоридаги камчиликларни бартараф этиш ва олий таълим муассасаларида ўқув дастурларини тузиш ва уларни бир меъёрга келтириш учун Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги томонидан фаннинг намунавий ва ишчи ўқув дастурларини тартибга соладиган махсус “Йўриқнома” ишлаб чиқилиши ва амалга киритилиши лозим. 4. Олий таълим муассасаларида “Алгебра ва сонлар назарияси” фанидан “ Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш методикасини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари асосида такомиллаштириш жараёнида инновацион таълим технологияларини кенг жорий этиш учун таълим муассасаларида фаолият олиб бораётган профессор-ўқитувчиларга инновацион таълим технологияларини оптимал қўллаш масалалари бўйича ўз сохасини етук мутахассисларини жалб этган холда махсус семинар тренинглар ташкил этиш лозим. ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ I. Норматив-ҳуқуқий ҳужжатлар 72 1. Ўзбекистон Республикасининг Конститутсияси. -Т.: Ўзбекистон, 2014. 2. Ўзбекистон Республикасининг “Таълим тўғрисида”ги Қонуни. 1997 йил 29 август . 3. Ўзбекистон Республикасининг “Кадрлар т айёрлаш миллий дастури”. 1997 йил 29 август . 4. Ўзбекистон Республикаси Вазирлар Маҳкамасининг “Олий таълимнинг давлат таълим стандартларини тасдиқлаш тўғрисида”ги 16.08.2001 йил № 343-сонли Қарори. 5. Ўзбекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим Вазирлигининг 2005 йил 21-февралдаги “Талаба мустақил ишини ташкил этиш тўғрисида” ги № 34-буйруғи. 6. “Олий таълим муассасаларида талабалар билимини назорат қилиш ва баҳолашнинг рейтинг тизими тўғрисидаги Низом” Ўзбекистон Республикаси ОЎМТВ 2010 йил 25 августдаги 333-сон буйруғи. II. Махсус адабиётлар 1. Мирзиёев Ш.М. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. – Тошкент: “Ўзбекистон”, 2017. – 488 б. 2. М.Х.Тўхтахўджаева ва б. Педагогика (Педагогика назарияси ва тарихи): Ўқитувчилар тайёрлаш ва педагогика фани таълим соҳаси бакалавриат йўналиши учун дарслик/-Тошкент: «Ўзбекистон файласуфлари миллий жамияти» нашриёти, 2010. - 400 б. 3. Mirziyoyev Sh. M . E rkin va farovon, demokratik o’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga bag’ishlangan Oliy Majlis palatalarining qo’shma majlisidagi nutq / SH.M. Mirziyoyev. – Toshkent : O’zbekiston, 2016. - 56 b. 4. Mirziyoyev Sh M . Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak. Mamlakatimizni 2016 yilda ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirishning asosiy yakunlari va 2017 yilga mo’ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor yo’nalishlariga bag’ishlangan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan majlisidagi ma’ruza, 2017 yil 14 yanvar / Sh.M. Mirziyoyev. – Toshkent : O’zbekiston, 2017. – 104 b. 5. Mirziyoyev Sh. M . Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta’minlash – yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi. O’zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 24 yilligiga bag’ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruza. 2016 yil 7 dekabr /Sh.M.Mirziyoyev. – Toshkent: “O’zbekiston”, 2017. – 48 b. 73 6. SH.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiev, F.H.Haydarov, Algebra va sonlar nazariyasi, Toshkent “Tafakkur bo’stoni” 2019, 295 b. (o’quv qo’llanma) 7. Nazarov R.N.,Toshpo’latov B.T., Dusumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi.T., O’qituvchi. I – qism, 1993 y., 2 - qism, 1995 y. (o’quv qo’llanma 8. Ишмуҳамедов Р. Инноватсион технологиялар ёрдамида таълим самарадорлигини ошириш йўллари. -Т. ТДПУ. 2004. 9. Ишмуҳамедов Р., Абдуқодиров А. Таълимда инноватсион технологиялар. Т.,2008 10. To’raev H.T., Matematik mantiq va diskret matematika, Toshkent: O’qituvchi nashriyoti, 2003, 378 b. 11. Юнусова Д .И. Математикани ўқитишнинг замонавий технологиялари. Тошкент -2007 . 12. Юнусова Д., Юнусов А. Алгебра ва сонлар назарияси. Модул технологияси асосида тузилган мусол ва машқлар тўплами. Ўқув қўлланма. Т., “Илм Зиё”. 2009. 13. Фарберман. Б.Л. Илғор п едагогик технологиялар. Т.,2001 14. Н.Сайидахмедов «Янги педагогик технологияларни амалиётда қўллаш». Тошкент. 2000 йил. 15. Абдуқодиров А. Таълимда инноватсион технологиялар. – Тошкент: Истеъдод, 2008. – 180б. 16. Абдуқодиров А. ва бошқалар Аниқ фанларни ўқитишда кейс технологиясидан фойдаланиш услубиёти. Тошкент.Фан ва Технология. 2015 йил. 17. Бегимкулов У.Ш. Педагогик таълим замоновий ахборот технологияларни жорий этишининг илмий-назарий асослари. – Тошкент: Фан, 2007. –143 б. 18. Hojiev J.X. Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent, «O’zbekiston», 2001y. 19. Б.Н.Иванов. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Учебно е пособи е .- М.:Лаборатория Базовых Знаний, 2003, 288с. 20. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: МТСНМО, 1998. 21. Lixtarnikov L.M., Sukacheva T.G., Matematicheskaya logika. Kurs lektsiy. Zadachnik-praktikum i resheniya, Sank-Peterburg: LAN Ь , 1999, 286 s. I II . Электрон таълим ресурслари 1. www.lib.homelinex.org/math 74 2. www.eknigu.com/lib/Mathematics/ 3. www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC 4. http:// www.edu.uz –O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi sayti. 5. www.apkpro.ru/content/view 6. http://www.allmath.ru/ 7. http://www.ziyonet.uz/ 8. www.prometeus.nsc.ru/contents/books/slasten 9. www.pedagog.uz 10. www.prometeus.nsc.ru/contents/books/slasten 75

Чизиқли тенгламалар системаси” модулини ўқитиш методикасини ҳамкорликда ўқитиш технологиялари асосида такомиллаштириш

Купить