Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	283.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

Купить

Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi. Operatorlar nazariyasida
spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan biridir. Chiziqli operator spektrini
o‘rganish matematik fizika uchun muhimdir. Masalan, kvant mexanikasida sistema
Hamiltoniani - bu Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatordir, uning
spektrini o‘rganish sistema fizik xususiyatlarini o‘rganish uchun muhimdir. Spektr
tushunchasini dastlab chekli o‘lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun
eslatamiz.
Faraz qilaylik, A : C n
→ C n
chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar biror λ son uchun
Ax = λ x
tenglama nolmas x ∈ C n
yechimga ega bo‘lsa, u holda λ son A operatorning xos qiymati
deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esa xos vektor deyiladi. Ma ’ lumki, har bir A
: C n
→ C n
chiziqli operatorga { a
ij } − n × n matritsa mos keladi va aksincha. Chiziqli
algebra kursidan ma ’ lumki, agar λ son A operatorning xos qiymati bo‘lsa, det ( A −λ I ) = 0
bo‘ladi va aksincha. n × n matritsa determinanti det ( A −λ I ), parametr λ ning n − darajali
ko‘phadi bo‘ladi va det ( A −λ I ) = 0 tenglama ko‘pi bilan n ta ildizga ega, ya ’ ni A : C n
→ C
n
chiziqli operator ko‘pi bilan n ta xos qiymatga ega. Agar λ son A operatorning xos
qiymati bo‘lsa A −λ I ga teskari operator mavjud emas va aksincha. Agar λ son A operator
uchun xos qiymat bo‘lmasa, ya ’ ni det ( A −λ I ) ≠ 0 bo‘lsa, u holda A −λ I ga teskari operator
mavjud va u C n
fazoning hamma yerida aniqlangan bo‘ladi.
1-teorema. A : C n
→ C n
chiziqli operator chegaralangandir.
Isbot. C n
fazoda e
1 , e
2 , , e
n ortonormal bazisni tanlaymiz. U holda har bir x ∈ C n
vektor yagona usulda
ko‘rinishda tasvirlanadi. Agar A operator C n
da
aniqlangan chiziqli operator bo‘lsa, u holda
Ax = ∑ n
x
i ⋅ A ( e
i )
i =1
bo‘ladi. Shunday ekan, chiziqli operator o‘zining e
1 , e
2 , , e
n bazis vektorlardagi qiymatlari
bilan bir qiymatli aniqlanadi. Endi Ax ning normasini baholaymiz:
379

Bu yerda
Demak, chekli o‘lchamli fazoda aniqlangan har qanday chiziqli operator
chegaralangan bo‘lar ekan. ∆
Yuqorida aytilganlarning natijasi sifatida shuni ta ’ kidlash
lozimki, chekli o‘lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun quyidagi ikki
holat sodir bo‘lishi mumkin:
λ son uchun Ax = λ x tenglama nolmas yechimga ega, ya ’ ni λ son A operator uchun
xos qiymat, bu holda A −λ I ga teskari operator mavjud emas;
1) λ son uchun C n
fazoning hamma yerida aniqlangan ( A −λ I ) − 1
operator
mavjud va demak, chegaralangan.

Chekli o‘lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to‘plami uning
spektri deb ataladi. Agar λ ∈ C son A operator uchun xos qiymat bo‘lmasa, u A
operatorning regulyar nuqtasi deyiladi.
Umuman aytganda, chekli o‘lchamli fazolarda spektr termini kam ishlatiladi.
Agar A operator cheksiz o‘lchamli X fazoda berilgan bo‘lsa, u holda
yuqorida
keltirilgan 1 va 2 holatlardan farqli bo‘lgan uchinchi holat ham bo‘ladi,
ya ’ ni:
1) ( A − λ I ) − 1
operator mavjud, ya ’ ni Ax = λ x tenglama faqat nol yechimga ega, lekin
( A − λ I ) − 1
operator X ning hamma yerida aniqlanmagan yoki Im ( A − λ I ) = / X .
1-ta ’ rif . Agar λ∈ C son uchun A −λ I ga teskari operator mavjud bo‘lib, u X
ning hamma yerida aniqlangan bo‘lsa, λ soni A operatorning regulyar nuqtasi
deyiladi,
R
λ (A) = (A −λ I) − 1

operator esa A operatorning λ nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regulyar nuqtalar
to‘plami ρ (A) orqali belgilanadi.
2-ta ’ rif . A operatorning regulyar bo‘lmagan barcha nuqtalari to‘plami A
operatorning spektri deyiladi va u σ (A) orqali belgilanadi.
3-ta ’ rif. Agar biror λ
∈ C son uchun (A −λ I)x = 0 tenglama nolmas (x = / 0)
yechimga ega bo‘lsa, λ son A operatorning xos qiymati deyiladi, nolmas yechim x
esa xos vektor deyiladi.
Ko‘rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to‘plami spektrda yotadi, chunki λ
xos qiymat bo‘lsa, A −λ I operatorning teskarisi mavjud emas.
Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi.
4-ta ’ rif. a) Barcha xos qiymatlar to‘plami A operatorning nuqtali spektri deyiladi va
σ
pp (A) bilan belgilanadi.
b) Agar λ xos qiymat bo‘lmasa va Im(A −λ I) ≠ X , ya ’ ni A −λ I operatorning
qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday λ lar to‘plami A
operatorning qoldiq spektri deyiladi va σ
qol (A) bilan belgilanadi .
Endi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar uchun muhim spektr ta ’ rifini keltiramiz.
5-ta ’ rif. Agar biror λ ∈ σ ( A ) son uchun nolga kuchsiz
yaqinlashuvchi f
n ∈ H birlik vektorlar ketma-ketligi mavjud bo‘lib

$bo‘lsa, u holda λ son A = A * operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi. A operatorning muhim spektri σ ess ( A ) bilan belgilanadi. Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o‘zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim spektrlar o‘zaro kesishishi mumkin. 2-teorema. Agar A ∈ L ( X ) va | λ |> A bo‘lsa, u holda λ regulyar nuqta bo‘ladi. Isbot. A −λ I operatorni quyidagicha yozib olamiz: A −λ I = −λ ( I − A ). (1) Teorema shartidan A operatorning normasi 1 dan kichik ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun 5-teoremaga ko‘ra, I − A operatorning chegaralangan teskarisi mavjud. Bundan va (1) tenglikdan A −λ I operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. ∆ Shunday qilib, chegaralangan A : X → X operatorning spektri markazi koordinatalar boshida va radiusi A ga teng yopiq doirada saqlanar ekan. 3-teorema . Agar A ∈ L ( X ) bo‘lsa, u holda σ ( A ) yopiq to‘plamdir. Isbot. Operatorning spektri σ ( A ) regulyar nuqtalar to‘plamining to‘ldiruvchi to‘plami bo‘lgani uchun, ρ ( A ) ning ochiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish yetarli. Endi λ ∈ ρ ( A ) ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, ya ’ ni A −λ I operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan bo‘lsin. U holda 6-teoremaga ko‘ra, barcha δ , δ < ( ( A −λ I ) − 1 ) − 1 lar uchun A −λ I −δ I operatorning ham chegaralangan teskarisi mavjud. Demak, λ ∈ ρ ( A ) nuqta o‘zining ε = ( ( A −λ I ) − 1 )− 1 > 0 atrofi bilan ρ ( A ) ga qarashli ekan. Bu esa λ nuqtaning ρ ( A ) to‘plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi. λ ning ixtiyoriyligidan ρ ( A ) ning ochiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi. Demak, 4-teoremaga ko‘ra σ ( A ) = C \ ρ ( A ) yopiq to‘plam. ∆ Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiaz. 4-teorema. A ∈ L ( H ) o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin: U holda: σ qol ( A ) bo‘sh to‘plam. σ ( A ) to‘plam R ning qismi, ya ’ ni σ ( A ) ⊂ R . ( с ) A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o‘zaro ortogonaldir. 1-misol. L 2 [ a , b ] Hilbert fazosida erkin o‘zgaruvchi x ga ko‘paytirish operatori (3- misolga qarang), ya ’ ni A : L 2 [ a , b ] → L 2 [ a , b ], ( Af )( x ) = xf ( x ) operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping.$

Yechish. 3-misol natijasiga va u ( x ) = x = x = u ( x ) tenglikka ko‘ra, A = A *
. 4-
teoremaning (a) tasdig‘iga ko‘ra, σ
qol ( A ) = ∅ .
Ma ’ lumki,
( Af )( x ) = λ f ( x ) ya ’ ni ( x −λ ) f ( x ) = 0 (2)
tenglama ixtiyoriy λ ∈ C uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A operator xos
qiymatlarga ega emas, ya ’ ni σ
pp ( A ) = ∅ . (2) tenglama faqat nol yechimga ega
ekanligidan 3-teoremaga ko‘ra, ( A −λ I ) f ( x ) = g ( x ) tenglamaning ixtiyoriy g ∈ Im A
da yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko‘rsatish mumkinki A −λ I
operatorga teskari operator
( A −λ I ) − 1
g ( x ) = ( x −λ ) − 1
g ( x ) (3) formula bilan aniqlanadi. Agar λ ∈ / [ a , b ] bo‘lsa,
u holda x −λ≠ 0, natijada ( A −λ I ) − 1
operator L
2 [ a , b ] fazoning hamma yerida aniqlangan va
Banax teoremasiga ko‘ra, u chegaralangan bo‘ladi. Demak, λ ∈ / [ a , b ] regulyar nuqta, ya ’ ni
σ ( A ) ⊂ [ a ; b ]. Lekin (3) formula bilan aniqlangan teskari operator λ ∈ [ a , b ] bo‘lganda
L
2 [ a , b ] fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak, [ a , b ] ⊂ σ ( A ). Bulardan, σ ( A ) =
[ a , b ]. Endi A operatorning spektridagi ixtiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli
ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy λ ∈ [ a , b ) uchun
nolga kuchsiz ma ’ noda yaqinlashadi. Endi ( A −λ I ) f
n norma kvadratini
hisoblaymiz:

Demak, ta ’ rifga ko‘ra, λ ∈ [ a , b ) son A operatorning muhim spektriga qarashli ekan. λ =
b nuqtani A operatorning muhim spektriga qarashli bo‘lishini o‘quvchiga mustaqil
isbotlash uchun qoldiramiz. Shunday qilib, A operatorning spektri faqat muhim spektrdan
iborat bo‘lib, u [ a ; b ] kesma bilan ustma-ust tushadi. Xulosa
σ
qol ( A ) = σ
pp ( A ) = ∅ , σ
ess ( A ) = σ ( A ) = [ a , b ]. ∆

2. 1-misolda qaralgan A operatorni C [ a , b ] Banax fazosida, ya ’ ni
A : C [ a , b ] → C [ a , b ], Af ( x ) = xf ( x )
operatorni qaraymiz. Uning nuqtali va qoldiq spektrini toping.
Yechish . Ma ’ lumki, ((2) ga qarang)
( Af )( x ) = λ f ( x ) ya ’ ni ( x −λ ) f ( x ) = 0, f ∈ C [ a , b ] (4)
tenglama ixtiyoriy λ ∈ C uchun yagona nol yechimga ega. Demak, A operator xos
qiymatlarga ega emas, ya ’ ni σ
pp ( A ) = ∅ (4) tenglama faqat nol yechimga ega
ekanligidan 3-teoremaga ko‘ra ( A −λ I ) f ( x ) = g ( x ) tenglamaning ixtiyoriy g ∈ ImA
da yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, A −λ I operatorga teskari
operator mavjud va u (34.3) formula bilan aniqlanadi. Xuddi 34.1-misoldagi kabi
ko‘rsatishimiz mumkinki, σ ( A ) = [ a , b ] tenglik o‘rinli. Haqiqatan ham, agar λ ∈ / [ a , b ]
bo‘lsa, u holda (3) ning o‘ng tomoni ixtiyoriy g ∈ C [ a , b ] da uzluksiz funksiya bo‘ladai,
ya ’ ni D (( A −λ I ) − 1
) = C [ a , b ] va teskari operatorlar haqidagi Banax teoremasiga ko‘ra,
( A −λ I ) − 1
operator chegaralangan bo‘ladi, demak λ regulyar nuqta, ya ’ ni σ ( A ) ⊂ [ a ; b ].
Agar λ ∈ [ a , b ] bo‘lsa, u holda (3) formula bilan aniqlangan ( A −λ I ) − 1
operator C [ a , b ]
fazoning hamma yerida aniqlanmagan, bundan [ a , b ] ⊂ σ ( A ). Bulardan, σ ( A ) = [ a , b ]
ekanligi kelib chiqadi. Endi σ ( A ) = σ
qol ( A ) ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy λ ∈ [ a , b ]
uchun A −λ I operatorning qiymatlar sohasi

Im ( A −λ I ) = { g ∈ C [ a , b ] : g ( x ) = ( x −λ ) f ( x )}
C [ a , b ] fazoda zich emas. Haqiqatan ham, Im ( A −λ I ) chiziqli ko‘pxillilikdagi ixtiyoriy g
uchun g ( λ ) = 0 shart bajariladi. Agar biz f
0 ( x ) ≡ 1 desak, u holda ixtiyoriy g ∈ Im ( A −λ I )
uchun
g − f
0 = max | g ( x ) − f
0 ( x ) | ≥ | g ( λ ) − f
0 ( λ ) |= 1
x ∈ [ a ; b ]

tengsizlik o‘rinli. Demak, Im ( A −λ I ) chiziqli ko‘pxillilikdan f
0 ( x ) ≡ 1 elementga
yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Qoldiq spektr ta ’ rifiga ko‘ra,
ixtiyoriy λ ∈ [ a , b ] uchun λ ∈ σ
qol ( A ) munosabat o‘rinli. Bundan σ ( A ) ⊂ σ
qol ( A ) kelib
chiqadi. Teskari munosabat σ ( A ) ⊃ σ
qol ( A ) doim o‘rinli. Demak, σ ( A ) = σ
qol ( A ) =
[ a , b ]. ∆
1 va 2-misollarda bir xil qonuniyat bo‘yicha ta ’ sir qiluvchi A operator har xil
L
2 [ a ; b ] va C [ a ; b ] fazolarda qaralgan. Har ikki holda ham A operatorning spektri
[ a ; b ] kesma bilan ustma-ust tushgan, lekin spektrning qismlarida (strukturasida)
o‘zgarish bo‘ldi. Birinchi holda (1-misolda) σ
qol ( A ) = ∅ edi, ikkinchi holda σ
qol ( A )
= [ a ; b ].
3. Endi 2 Hilbert fazosida ko‘paytirish operatorini, ya ’ ni
A : 2 →
2, Ax = ( a
1 x
1 , a
2 x
2 , a
3 x
3 , , a
n x
n , ) (5)
operatorni qaraymiz (30.9, 33.2-misollarga qarang). Uning xos
qiymatlarini va spektrini toping.
{ a
1 , a
2 , , a
n , } = [ σ
pp ( A )] ⊂ σ ( A ) (7)
munosabat o‘rinli. Agar λ ∈ / [ σ
pp ( A )] bo‘lsa, u holda (34.6) tenglik bilan
aniqlangan ( A −λ I ) − 1
operator 2 fazoning hamma yerida aniqlangan va

$chegaralangan bo‘ladi. Bundan C \ [ σ pp ( A )] ⊂ ρ ( A ) ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan σ ( A ) ⊂ [ σ pp ( A )]. (8) (7) va (8) munosabatlardan σ ( A ) = [ σ pp ( A )] ga kelamiz. Ko‘rsatamizki, { a n } ketma-ketlikning barcha limitik nuqtalari A operatorning muhim spektriga qarashli bo‘ladi. Buning uchun limitik nuqta λ ga yaqinlashuvchi { a n k } qismiy ketma-ketlikni qaraymiz. U holda { e n k } ketma-ketlik ortonormal sistema bo‘lganligi uchun nolga kuchsiz ma ’ noda yaqinlashadi. Demak, λ son A operatorning muhim spektriga qarashli ekan. ∆ 4. Quyidagicha savol qo‘yamiz. 2 Hilbert fazosida shunday A : 2 → 2 chiziqli operatorga misol keltiringki, uning spektri oldindan berilgan M ⊂ C yopiq to‘plam bilan ustma-ust tushsin. Yechish. Kompleks sonlar to‘plami C separabel metrik fazo bo‘lgani uchun, uning hamma yerida zich sanoqli D to‘plam mavjud. U holda M D to‘plam sanoqli va M ning hamma yerida zich bo‘ladi. Endi M  D to‘plam elementlarini { a 1 , a 2 , , a n , } nomerlab chiqamiz va 3-misolda qaralgan, (5) tenglik bilan aniqlanuvchi A operatorni qaraymiz. 3-misolda ko‘rsatilganidek σ ( A ) = [ σ pp ( A )] = M  D = M . ∆ Bu yerda, biz M = C deb olishimiz ham mumkin. Demak, spektri butun kompleks sonlar to‘plami C bilan ustma-ust tushuvchi chiziqli operator mavjud ekan. Bu holda ta ’ rifga ko‘ra, ρ ( A ) = ∅ bo‘ladi. Shuni ta ’ kidlaymizki, agar M ⊂ C yopiq to‘plam chegaralangan bo‘lsa, u holda spektri M bilan ustma-ust tushuvchi A operator ham chegaralangan bo‘ladi va aksincha.$

XULOSA
Bu kurs ishimni yoritish davomida ko’plagan ma’lumotlarga
ega bo’ldim va ularni o’z kurs ishim davomida yanada
ochiqroq turda berishga harakat qildim. Bu kurs ishim davomida
men nafaqat o’z mavzuyimni balki uni o’rganish kerak bo’ladigan
boshqa mavzularni ham o’rgandim va oldindan bilganlarimni yana
bir bora esga oldim hamda ularni ham keltirib o’tdim. Ya’ni,
kurs ishi so’ngida ularni yanada mustahkamlash uchun misol va
masalalar ham berib o’tilgan bo’lib, ularni o’rganish orqali
bundan boshqa masalalarni yechish imkoniyatiga ega bo’lasiz. Kurs
ishimda mavzular ketma-ketligi va ulardagi berilgan misollar mavzuni
to’laqonli o’rganishda yordam beradi.
Hamda quyidagi keltirilgan adabiyotlar orqali ham ularni
yanada to’liqtirishinggizga bo’ladi. Shaxsan mening o’zim ham
kurs ishim orqali ancha ma’lumotlarga ega bo’ldim desam
yanglishmagan bo’laman.

Fydalanilgan adabiyotlar:
1. Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o’zgaruvchining funksiyalar nazariyasi. Toshkent:
Fan. 1994
2. Sarimsoqov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent: O’qituvchi 1986.
3. Sh. O. Alimov R.R. Ashurov. Matematik tahlil 1-qism. Toshkent: Kamalak
2012
4. Трегорин В, А. Функсионалньй анализ. Масква; Наука 1980,
5. J.I. Abdullaev, R. N G’anixo’jaev Funksional analiz. O’quv qo’llanma .
Toshkent –Samarqand 2009

Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish

Информация о документе

Продавец

Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

Похожие документы