Chiziqli tеnglamalar sistеmasini yеchish. ChTS yеchish masalasini qo‘yish va ularni еchish uchun MATLAB funksiyalari. Masalar yеchish
![1.Chiziqli tenglamalar sistemasi(CHTS). Juda ko’p masalalarni hal
qilishda CHTS ga duch kelamiz. Umumiy holda CHTS ning umumiy
ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.{
a11x1+a12x2+… +a1nxn= b1
a21x1+a22x2+… +a2nxn=b2
… … … … … … … … … … … … … … …
an1x1+an2x2+… +annxn= bn
(1)
Bu yerda x
1 , x
2 , …, x
n - noma’lum o’zgaruvchilar, a
11 , a
12 , …, a
nn , va b
1 ,
b
2 ,
… , b
n lar haqiqiy sonlar.
(1) Tizimining yechimi deb uni tenglamalarni ayniyatlarga
aylantiruvchi x
1 ,x
2 ,…, x
n sonlarga aytiladi.
CHTS ni vektor ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin:
Ax=b (2)
Bu yerda
A=
[
a11 ,a12 ,… ,a1n
a11 ,a12 ,… ,a2n
… … … … … … … …
a11 ,a12 ,… ,ann ]
(nxn) o’lchovli matritsa,
X=
[ x
1
x
2
…
x
n ]
(nx1) o’lchovli noma’lum vector ustun,
b=
[ b
1
b
2
…
b
n ]
(nx1) o’lchovli ozod had deb ataluvchi vector ustun.](https://docx.uz/documents/0967b082-75b9-4b76-b6d6-b4ae8975737c/page_2.png?v=1)
![A*=[A,b]-kengaytirilgan matritsani kiritamiz. Chiziqli algebra kursidan
ma’lumki (Kronel-Kapelli teoremasi) A va A* matritsalarning ranglari teng
bo’lsa (1) yoki (2) sistemaning yechimi mavjud bo’ladi.
2.CHTS ni yechish usullari. ChTS ni yechishning aniq usullaridan keng
qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matritsa usullaridir, taqribiy
usullarga esa itiratsiyalar, Zeydel va kichik kvadratlar usullarni keltirish
mumkin.
Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz:
Buning uchun det(A)≠0 bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun
asosiy A matritsani k-ustun elementlari ozod had b bilan almashtirib A
k , k=1,n
matritsalar hosil qilamiz. U holda det(A)≠0 shart asosida yechimni
topish uchun
x
k = det ( A
k )
det ( A ) , k=1,2,…,n
tengliklardan foydalanish mumkin. Taqribiy usullardan iteratsiya usulini
keltiramiz. Buning uchun (1) sistemani quyidagicha ko’rinishga keltiramiz:
{
x1= β1+α12x2+α13x3+… +α1nxn,
x2= β1+α21x1+α23x3+… +α2nxn,
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …
xn= βn+αn1x1+αn2x2+… +αnn−1xn−1
(3)
Bu yerda
βi= bi
aij
,
αij= − aij
aii , i≠j,
αij= 0,i= j,i,j=1,2 ,… ,n.
U holda
α =
[ α
11 α
12 … α
n
α
21 α
22 … α
n 1
… … … … … … …
α
11 α
12 … α
n 1 ] , β= [ β
1
β
2
…
β
n ]
belgilashlar kiritib (3) ni quyidagicha yozib olamiz.
x= β+
α x (4)](https://docx.uz/documents/0967b082-75b9-4b76-b6d6-b4ae8975737c/page_3.png?v=1)
![(4) sistemani ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usuli bilan yechamiz.
Boshlang’ich yaqinlashish uchun x (0)
= β ozod hadni olamiz va ketma-ket
keyingi yaqinlashishlarni hosil qilamiz:
x (1)
= β+α x (0)
;
x (2)
= β+ α
x (1)
;
……………………
x (k+1)
= β+ α
x (k)
;
Agar x (0)
, x (1)
,…, x (k)
,… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda
bu limit (3) yoki (4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq
holda quyidagicha yozish mumkin:
x
i( 0 )
= β
i ,
x
i( k + 1 )
= β
i +
∑
j = 1
j ≠ in
α
ij x
i( k )
,
i=
1,n , k=0,1,2,… (5)
Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iteratsiya usuli
deyiladi. Iteratsiya protsessining yaqinlashuvchi bo’lishini yetarli shartini
quyidagicha teoremada keltiramiz:
Teorema: Agar o’zgartirilgan (3) sistema quyidagi shartlardan
1)
∑
j = 1n
¿ α
ij ∨ ¿ < 1 ¿
, i=1,2,…,n.
2)
∑
i = 1n
¿ α
ij ∨ ¿ < 1 ¿
, i=1,2,…,n.
biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (5) iteratsiya jarayoni
yagona yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x (0)
uchun.
Vektor ko’rinishidagi (2) sist е mani detA≠0 bo’lgan holda teorema
shartini qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin:
(A -1
-ε)Ax=Db, D= A -1
-ε; (6)
ε
=[ εij ]-yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matritsa (6)dan quyidagini
olamiz.](https://docx.uz/documents/0967b082-75b9-4b76-b6d6-b4ae8975737c/page_4.png?v=1)
![x=β+αx, (7)
bu yerda α=ε A, β=Db, bo’lib Σ
ij lar yetarli kichik qilib olinsa teorema
shartlari bajariladi.
3.CHTS ni yechishda Matlab usullari. CHTS ni yechish uchun Matlab
funksiyalari (usullari) juda ko’p bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz.
Birinchi usul “chapdan bo’lish” usulidir:
1) x=A\B
2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik
kvadratlar usuli bilan yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-(nx1) o’lchovli,
x
i ≥0, i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B-Ax ning ikkinchi normasini
minimallashtirish;
3) x=isqnonneg(A,B,x0)-Iteratsiyalar uchun chiziqli tenglamalar
sistemasining aniq berilgan nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib
beradi;
4) [x,w]=isqnonneg(…)-yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati
ikkinchi normasini qaytaradi;
5) [x,w,w1]=isqnonneg(…)-xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar
vektori w1 ni qaytaradi;
6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1).
Bunda hisoblash iteratsiyalar yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha
bajariladi;
7) bisc(A,B,tol)-yechimni tol xatolik bilan qaytaradi;
8) bisc(A,B,tol,maxit)-avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari
maxit-maksimal iteratsiyalar soni bilan qaytaradi.
4.CHTS ga doir misollar.
1.Tenglamalar sistemasini chapdan bo’lish va 2), 3) buyruqlar
yordamida yeching va Kramer usulida yechilgan bilan solishtiring.](https://docx.uz/documents/0967b082-75b9-4b76-b6d6-b4ae8975737c/page_5.png?v=1)
![{
2x+y+z+t=8
3x− y−2z+t= 2
x+2y−3z+2t= 8
5x−2y+3z−t=1A=[2 1 1 1; 3 -1 -2 1; 1 2 -3 2; 5 -2 3 -1],
B=[8;2;8;1]](https://docx.uz/documents/0967b082-75b9-4b76-b6d6-b4ae8975737c/page_6.png?v=1)
Chiziqli tеnglamalar sistеmasini yеchish. ChTS yеchish masalasini qo‘yish va ularni еchish uchun MATLAB funksiyalari. Masalar yеchish