Дифференциали тартиби дуюм ва баъзе масъалаҳо
![(
b
2)
2
=22−(h−2)2 b2
4 = 4− h2+4h− 4= 4h−h2
b= 2√h√4− h S(h)=6⋅b= 12 √h√4− h
T=1
0,6 ⋅(
1
12 )
2
π√2g
∫
0
412 √h√4− h
√h
dh =12 3
0,6 π√2g∫
0
4
√4− hdh =12 3
0,6 π√2g [− 2
3
(4−h)
3
2
]0
4
=
¿12 3⋅2⋅4
3
2
3⋅0,6 π√2g
≈1104 сек ≈ 18 ,4мин .Масъалаи 5 . Муодилаи ҳаракати маятники математикиро оварда
бароред.
Нуқтаи Р ки массааш m буда, мувофиқи давраи K-и радиусаш L-и ҳамвории
вертикали дар асоси қувваи вазнини ҳаракат мекунад маятники
математикиро ифода мекунад.
Дар ҳар як моменти вақт ои нуқтаи P бо кун и
ҷ ҷ ϕ(t) пурра ифода меёбад.
Мувофиқи шарти масъала нуктаи P фақат бо таъсири қувваи вазнини
ҳаракат мекунад. Аммо дар ин ҳаракат роли давра ҳам мав уд аст.
ҷ
Кувваи вазнини нуқтаи Р ро мувофиқи давра ҳаракат мекунонад.Яъне
ба нуқтаи Р қувваи F, ки ба самти нормали дарунаи давра равона аст таъсир
мекунад. Агар қувваи кашиш mg ро бо ду удо кунем:
ҷ
F1=− mg sin ϕ, F2=− mg cos ϕ
ҳосил шуда, онгоҳ F
1 +F
2 =0 мешавад. ҳамин тавр карда, кувваҳое, ки ба
нуқтаи Р баробар таъсир мекунад.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_9.png?v=1)
![Исбот. Исботи теоремаро бо 5 қисм тақсим карда меорем.
1. Эквивалентни масъалаи Коши ба муодилаҳои интеграли.
Таъриф. Агар дар муодилаҳои функцияи номаълум дар тахти ишораи
интеграл иштирок дошта бошад, онгоҳ ин муодилаҳо муодила интеграли
гуфта мешавад.
Муодилаҳои интеграли чунин намуд дорад y(x)= y0+∫x0
x f(t,y(t))dt
(1.1)
Акнун нишон медиҳем, ки ҳалли масъалаи (1) – (2) ба муодилаҳои
интеграли (1.1) баробарқувва аст. Фараз мекунем,
y(x) ҳалли масъалаи (1) –
(2) бошад, яъне функцияи
y(x) муодилаҳоро ба айният табдил медиҳад.
d(y(x)
dx
= f(x,y(x))
(1.2)
Муодилаҳои (1) – (2) ро барои қиматҳои
x∈I0 дар фосилаи [x0,x]
интегралида ҳосил мекунем.
y(x)|x
x0
=∫x0
x
f(t,y(t))dt
y(x)− y(x0)=∫x0
x f(t,y(t))dt
Дар ин о аз шарти (2) истифода барем яъне
ҷ y(x0)=y0 ба ҳисоб гирем
y(x)= y0+∫x0
x f(t,y(t))dt
(1.1) ҳосил мешавад.
Азбаски функцияи
f(x) бефосила аст бинобарин ҳалии муодила
интеграли (1.1) баробарқувва аст. Бараксашро ҳам яъне (1.1) ба (1) – (2)
баробарқувва буданашро нишон додан мумкин аст.
2. Пайдарпай наздикшавиҳо.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_14.png?v=1)
![Бигзор функцияи U+ϕ(x) U ∈[a,b] (2.1)
Мав уд ва бефосила бошад. Нуқтаи
ҷ ∀U0 аз [a,b] интихоб карда,
қиймати функцияи
ϕ(u) ро дар ин нуқта бо U1 ишора мекунем, яъни
U1=U(U0)
. Худи, ҳамин тавр барои нуқтаи ∀ U1∈[a,b] қиймати функцияро бо
U2
ишорат карда U2=ϕ(U1) - ро ҳосил мекунем. Ҳамин тавр, барои нуқтаи
∀ Un−1∈[a,b]
Un=U(Un−1) - ро ҳосил мекунем. Бо ин усул мо пайдарпайи
зеринро ҳосил кардем:
U0,U1,U2,...,Un
Бо усули болои ёфтани қимати функция усули пайдарпай наздикшавии
гуфта м ешавад . Дар ин о,
ҷ U0− наздикшавии 1-ум гуфта мешавад. Моҳияти
ин усул бо интихоби наздикшавии 1-ум вобаста аст. Усули пайдарпай
наздикшавииро барои муодилаҳои интеграли тадбиқ мекунем. Маълум, астки
y(x)= y+∫x0
x f(t,y(t))dt
мебошад.
Дар ин о ба сифати наздикшавии якум
ҷ y(x0)=y0 ро қабул мекунем.
Акнун пайдарпай наздикшавиро
y1(x),y2(x),...,yn(x)
- ҳо
y1(x)=y0+∫x0
x f(t,y0(t))dt
(2.1.1)
y2(x)=y0+∫x0
x f(t,y1(t))dt
(2.1.2)
.........................
yn(x)=y0+∫x0
x f(t,yn−1(t))dt
(2.1. n )
Акнун нишон медиҳем, ки графики функцияи
y0,y1,y2,...,yn аз
чоркун аи
ҷ Π2 ба берун намебарояд. Графики y= y0 барои ҳаммаи қийматҳои
x∈[x0− h,x0+h]
дар дохили чоркун аи ҷ Π2 чойгир аст.
Барои графики функцияи
y1(x) аз чоркун аи ҷ Π2 берун набаромаданаш
|y1(x)− y0|≤b
и ро шудани ин нобаробариро нишон медиҳем. ҷ
|y1(x)− y0|=|∫ x0
x
f(t,y0(t))dt|¿|∫ x0
x
f(t,y0(t))dt|¿|∫ x0
x
Mdt |¿
¿|M (x− x0)|≤ M ⋅h≤ M b
M
= b
Аз ин о:
ҷ |y1(x)− y0|≤ b мешавад.
Худди ҳамин тавр наздикшавии
y2 ро ҳам |y2(x)− y0|≤b буданашро
нишон додан мумкин аст. Фараз мукунем, графики функцияи
yn−1(x) аз
чоркун аи
ҷ Π2 ба берун набарояд, онгоҳ |yn(x)− y0|≤b буданашро нишон
медиҳем.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_15.png?v=1)
![|yn(x)− y0|=|∫ x0
x
f(t,yn−1(t))dt |¿|∫ x0
x
f(t,y0(t))dt|¿|∫ x0
x
Mdt |¿
¿|M (x− x0)|≤ M ⋅h≤ M b
M
= bАз ин о нишон додем, ки ҳаммаи наздикшавиҳо маъно дорад. Барои
ҷ
ин наздикшавиҳо пайдар паи и функцияналиро ҳосил мукунем.
y0(x),y1(x),y2(x),...,yn(x)...
x∈I
Нишон медиҳем, ки ин пайдарпайи ба лимит соҳиб аст.
3. Пайдарпай наздикшавиҳо. Наздикшаванда будани пайдарпаиҳои
функционали .
Аз пайдарпаи и функционали и болои истифода бурда қатори
функционали зеринро месозем.
y0+(y1− y0)+(y2− y1)+...+(yn− yn−1)+...
(3.1)
Суммаҳои ин қаторро
S0= y0
S1= y1
S2= y2
.....
Sn= yn
гуфта ишора мекунем.
Аз ин о дидан мумкин аст, ки суммаҳои қатор аъзоҳои
ҷ
пайдарпайианд. Агар қатор наздикшаванда бошад. Пайдарпайи
наздикшаванда мешавад барои нишон додани наздикшавандаи қатор аъзоҳои
(3.1) ро баҳо медиҳем. Яъне можаранта сохта (қатори функционалиро бо
қатори адади муқоиса мекунем).
Барои ин аз аломати Вейерштрас истифода мебарем.
y0≤ M
|y1− y0|≤ M |x− x0|≤ M ⋅h
|y2− y1|≤
M |x− x0|2
2!
≤ ML 2h2
2!
|yn− yn−1|≤ ML n−1|x− x0|n
n!
≤ ML n−1hn
n!
Аз а ломати Вейерштрас барои нишондодани наздикшавандаги и қатори
(3.1) истифода мебарем.
y0= y(x0)≤ M
x∈I0
|y1(x)− y0|=|∫ x0
x
f(t1y0(t))dt |¿M (x− x0)= M ⋅h
|y2(x)− y1(x)|=∫ x0
x [f(t1y1(t))dt − f(t,y0(t))dt ]
(3.2)
Инро аз қисми дуюми теорема, яъне шарти Липщиц истифода бурда
баҳо медиҳем.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_16.png?v=1)
![|y2(x)− y1(x)|=|∫ x0
x
[f(t1y1(t))dt − f(t,y0(t))]dt|≤
|∫ x0
x
L|y1(t)− y0(t)|dt |¿|∫ x0
x
LM |t− x0|dt|¿
ML
|x− x0|2
2!
= ML h2
2!Ҳамин тавр мо баробариҳои зерин соҳиб шудем.
|y0|≤ M
(3.2.1)
|y1(x)− y0|≤ M |x− x0|≤ Mh
(3.2.2)
|y2(x)− y1(x)|≤ ML
|x− x0|2
2!
≤ ML h2
2!
(3.2.3)
|y3(x)− y2(x)|≤ ML 2|x− x0|3
3!
≤ ML 2h3
3!
(3.2.4)
.......................................................................
|yn(x)− yn−1(x)|≤ ML (n−1)|x− x0|n
n!
≤ ML n−1hn
n!
(3.2. n )
Ҳамин тавр аз методи индукцияи математики истифода бурда,
баробариҳои болоиро ҳосил кардем. Аз баробариҳои (3.2.1)...(3.2. n ) истифода
бурда, қатори ададии зеринро месозем
M + Mh + ML h2
2!
+ML 2h3
3!
+...+ML (n−1)hn
n!
+....
(3.3)
Қатори (3.3) қатори мусбат аст. Наздикшавандагии ин қаторро аз
аломати Даламбер истифода бурда, месан ем:
ҷ
Dn= an+1
an
,
limn→∞ Dn<1 бошад, наздикшаванда
D n=
an+1
an
= ML 2 hn+1
(n+1)!
⋅ n!
ML (n−1)hn= Lh
n+1
limn→∞ Dn=0<1
қатор мунтазам наздикшаванда аст. Қатори (3.3) дар
интервали
I0= {x0− h,x0+h} мунтазам наздикшаванда аст. Суммаи ин қатор
Y(x)
функцияи бефосила буда, дар интервали I0 шарти Y(x0)=Y0 - ро қаноат
мегардонад. Аз дигар тараф функцияси
Y(x) ҳалли масъалаи Коши буда,
қимати лимитии пайдарпаии
y0(x),y1(x)...yn(x) функцианали мебошад, яъне
limn→∞ Yn(x)=Y(x)
4.
Y(x) ҳалли муодилаи интеграли буданашро нишон медиҳем, яъне
нишон медиҳем, ки
Y(x)=Y0+∫x0
x f(t,Y(t))dt , x∈I0 (1.1)](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_17.png?v=1)
![Мо дар қисми 3 юми исботи теорема нишон додем, ки ҳамаи
наздикшавиҳо (3.2.1),...,(3.2. n ) маъно дорад. Аз дуюм тараф теорема дар
бораи мав уд будани интегралҳои бо параметр вобастаро тадбиқ кунем, ҷ
баробарии
lim
n→∞ ∫x0
x f(t,yn−1(t))dt =∫x0
x f(t,y(t))dt
(4.1)
ой дорад. Аз ин баробари бошад,
ҷ Y(x) ҳалли муодилаҳои интеграли
(1.1) буданаш омада мебарояд. Аз қисми 1 уми исботи теорема бошад,
функцияи
Y(x) ҳалли масъалаи Коши мебошад, яъне.
{
dy (x)
dx = f(x,y(x))
y(x0)= y0
Мав уд будани ҳалли масъалаи Коширо нишон додем, дар интервали
ҷ
I0
5. Ягонагии ҳалли масъалай Коши мо дар қисми болои исботи теорема
мав уд будани ҳалли масъалаи Коширо нишон додем. Акнун, ягонагии ҳали
ҷ
ин масъаларо нишон медиҳем. Барои ин аз усули бараке истифода мебарем,
яъне фараз мекунем, ки (1)
Y(x0)=Y0 , z(x0)=Y0 (2) 2-то ҳалли масъалаи ((1) –
(2)) мав уд аст. Фараз мекунем, ки барои қийматҳои
ҷ x∈I0 Y(x)≠z(x) бошад.
Ба воситаи функцияи
U(x) фарқи зеринро ишора мекунем:
U(x)=|y(x)−z(x)|,x∈I0
Акнун, барои боз ҳам муайянии фикр фараз мекунем, ки нуқтаи
x1 дар
тарафи рости
x0 чойгир шуда бошад, яъне фосилаи [x0,x1] - ро интихоб карда
мегирем.
Фараз мекунем, ки функцияи
u(x) дар нуқтаи ξ∈[x0,x1] қиймати
калонтарини қабул кунад, яъне
u(ξ)=θ аст, аз ин о ҷ u(ξ)≤θ буданаш омада
мебарояд.
θ=u(ξ)=|Y(ξ)−Z(ξ)|,
дар ин о маълум астб ки функцияҳои ҷ
Y(ξ)=Y0+∫x0
ξ f(t,y(t))dt
Z(ξ)=y0+∫x0
ξ f(t,z(t))dt
Ҳалли муодилаҳои интеграли мебошад. Фарқи зеринро нишон
медиҳем.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_18.png?v=1)
![Инак, y=−1 ва y=1 ҳалҳои хусуси мебошанд.
авоб:
Ҷ
ln|1− y
1+y
|=x+c, функция дар соҳаи DK, K=1,3 интеграли умуми
муодила буда,
y≡1, y=−1, x∈R - ҳо бошанд, ҳалҳои хусуси мебошанд.
Мисоли-5:
y¿= 3√1− y2 муодилаи тағъирёбандаҳояш удошаванда
ҷ
мебошад. Функцияҳои
ϕ(x)≡3, x∈R , ψ(y)=√− y2, y∈[−1,1 ] дар соҳаҳои
муайяни худ бефосила мебошанд. Муодилаи
ψ(y)=0 ба решаҳои y=±1 соҳиб
аст. Аз ин рў шартҳои теоремаи 1 дар соҳаи
D={(x,y):x∈R, y∈(−1,1 )} ой ҷ
дорад.
Дар ин соҳа тағъирёбандаҳоро удо карда меинтегронем:
ҷ
dy
√1− y2= 3dx ⇒ ∫
dy
√1− y2∫ dx ⇒ arcsin gy = x+c
Акнун муайян мекунем, ки функцияҳои
y≡1 ва y≡−1 ҳалли хусуси ёки
махсуси ин муодила мебошанд. Барои ин аз теоремаи 2 истифода мебарем:
∫
dy
ψ(y)
=∫
dy
√1− y2=arcsin y+c→± π
2
агар ...
Пас, функцияҳои
y≡1 ва y≡−1 ҳалҳои махсусанд.
авоб: Функцияи
Ҷ arcsin y= x+c дар соҳаи D интеграли умуми муодила
буда,
y≡±1 бошад ҳалҳои махсуси муодила мебошанд.
Мисоли-6:
y¿=−3xy муодилаи тағъирёбандаҳояш удошаванда. ҷ
ϕ(x)=−3x, ψ(y)= y, ψ(y)=0
муодилаест, ки ба решаи ягонаи y=0 соҳиб
мебошад. Пас, шартҳои теоремаи 1 дар соҳаҳои
D1={(x,y):x∈R,y∈(−∞ ,0)} ва
D2={(x,y):x∈R,y∈(0,+∞)}
ой доранд. (барои ч ?) Дар ин соҳа ҷ ӣ
тағъирёбандаҳоро удо карда меинтегронем.
ҷ
dy
y
= − 3xdx ⇒ ln |y|= − 3
2
x2+ln c,c>0⇒ |y|= ce
−3
2x2
,c>0
(x,y)∈D1⇒ y<0⇒|y|=− y
Пас y=ce
−3
2x2
,x∈R
(x,y)∈ D2⇒ y>0⇒ |y|= y
Пас y=ce
−3
2x2
,x∈R
Дар асоси теоремаи 2 функцияи
y(x)≡0, x∈R ҳалли хусусии муодила
мебошад, чунки:
∫
dy
ψ(y)
=∫
dy
y=ln|y|→−∞ , агар
y→±0
авоб: Функцияи
Ҷ y=c1e
−3
2x2
, x∈R дар соҳаи D1 ҳангоми C1<0 будан
ҳалли умуми муодила мешавад. Ҳангоми
C1>0 будан дар соҳаи D2
c1= 0⇒ y(x)=0
ҳалли хусуси муодилаи додашуда мешавад.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_22.png?v=1)
![Муодилаи (2.1) – ро ёки нисбат ба ҳосила ҳал карда аз усули дар боло
овардашуда истифода карда интегронидан мумкин аст. Агар муодилаи
дифференциали як инса буда дар намуди (2.1) дода шуда бошад, онро нисбатҷ
ба ҳосила ҳар накарда бевосита ивазкунии
у=ux ва ё x=¿y - ро дохил
намуда, пас интегронидан мумкин, ки ин усул қулай мебошад.
Мисоли-2. Муодилаи
(y2−2xy )dx +x2dy = 0 - ро интегронед.
Ҳал:
M (x,y)= y2−2xy , N(x,y)=x2
M (tx ,ty)=(ty)2−2(tx)2(ty)2=t2(y2−2xy )=t2M (xy )
N(tx ,ty)=(tx)2=t2x2=t2N(x,y)
Инак, функцияҳои М ва N
α= 2 ч енака ва як инса мебошад. Ба ҷ
муодила ивазкунии
y=ux - ро дохил мекунем:
[(ux )2− 2(ux )]dx +x2d(ux )=0⇒ [u2x2−2x2u]dx +x2[xdu +udx ]⇒ [u2−u]dx +xdu =udx =0
,
x≠0
(М. 1)
Ин муодилаи тағъирёбандаҳояш удошавандаро меинтегронем.
ҷ
dx
x +du
u2=0,
xu ≠ 0⇒ ln|x|− 1
u= ln c, c>0⇒ e
−1
u|x|= c, c>0 ёки
xexp (− 1
u)= c,
c1∈R{0} Ин функция интеграли умумии муодилаи (М. 1) дар
соҳаи
xy ≠0 мебошад. Ба ғайр аз ин, агар х функция бошад, он гоҳ муодилаи
(М. 1) ба ҳалли хусусии х =0 соҳиб буда, ва агар у функция бошад дар он
маврид ҳалли хусусии
y=0 ву уд дорад. ҷ
авоб: Фунуцияи
Ҷ
xexp (− 1
u)=c1, c1∈R{0} дар соҳаҳои шарти xy ≠0 - ро
қаноаткунанда интегрони умумии муодилаи як инса буда
ҷ y=0(x≠0), ёки
x= 0(y≠0)
ҳалли хусусии он аст.
3 0
Муодилаи намуди
y¿= f(
ax +by +c
a1x+b1y+c1)
(3.1)
агар
Δ=¿|a b¿|¿
¿
¿¿ бошад, муодилае мебошад, ки ба муодилаи як инса оварда
ҷ
мешуда мебошад. Барои ин мо системаи муодалиҳои хаттии дуномаълумаи
алгебравиро ҳал мекунем ва барои он ки
Δ≠0 ост, ин система ба ҳалли
ягонаи
(x0,y0) соҳиб мебошад. Акнун ба муодилаи (3.1) ивазкунии.
u=x− x0,
v= y− y0 - ро дохил намоем, ба муодилаи як инса соҳиб ҷ
мешавем.
Хотиррасон: Агар
Δ=0 бошад, (ab 1− a1b=0⇒ a1
a= b1
b=k) мешавад, ки
дар ин сурат
a1+by = k(ax +by ) (3.1) – ро ба муодали такъирёбандаҳояш
удоаванда меорад.
ҷ](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_28.png?v=1)
![Мисоли-3. Муодилаи y¿= 2x−4y+6
x+y−3 - ро интегронед.
Ҳал: Барои
Δ=¿|2 −4¿|¿
¿
¿¿ будан систеиам 2x−4y+6=0¿}¿¿¿ ба ҳалли ягонаи (1;
2) соҳиб мебошад. Ба муодилаи дифференциалй ивазкунии:
u=x−1¿}¿¿⇒¿{x=u+1¿}¿{}=dx =du
dy =dv
¿
- ро дохил намуда ба муодила
тағъирёбандаҳояш удошавандан намуди:
ҷ
d(v+2)
d(y+1)=− 2(u+1)+4(v+2)+6
(u+1)+(v+2)−3 ⇒ dv
du = 2u− 4v
u+v
соҳиб мешавем.
Супориш: Интеграли умумии муодилаи додашударо нависед.
1 0
Агар ивазкунии
y=za ва ҳамин гунаи адади α мав уд бошад, ки ҷ
муодилаи
y¿= f(x,y) - ро ба муодилаи як инса гардонад, пас муодали ҷ
y¿= f(x,y)
- ро муодилаи дифференциалли як инса умумигашта (намуди ҷ
умумигирифта) мегўянд. Ин гуна
MOD - ҳо дар квадратураҳо ҳал карда
мешаванд.
Мисоли 4. Муодилаи
ydx +x(2xy +1)dy =0 - ро интегронед.
Ҳал: Ин муодила як инса нест аз ҳамин сабаб, ивазкунии
ҷ
y= z⇒ dy =αz α−1dy
- ро дохил намуда ба ҳамин гуна муодилаи намуди:
yαdx +x(2xz α+1)dz α−1dz =0⇒ zαdx +[2αx 2z2α−1+αxz α−1]dz = 0
(*) /
соҳиб мешавем. Сан ида дидан мушкил нест, ки тартиби як инсагии
ҷ ҷ
функцияҳои
zα,2αx 2z2α−1 ва dxz α−1 мувофиқан α,2+2α−1=2α+1, 1+α− 1=α
мебошанд.
Агар
α= 2α+1⇒ α=− 1 бошад, муодилаи (*) /
ба муодилаи як инсаи ҷ
z−1dx +(−2x2z−3− xz−2)dx =0
табдил меёбад.
Супориш: Ин муодиларо интегронида интеграли умумии муодилаи
додашударо менависед.
Ma взўи 5 . Муодилаҳои хаттии тартиби якуми як инса ва ғайрияк инса.
ҷ ҷ
Усули вариацияи адади доими
Агар функцияи
f(x,y) нисбат ба тағъирёбандаи у хаттии бошад:
(f(x,y)=a(x)y+b(x)),
дар он сурат муодилаи y¿= f(x,y),(x,y)∈D хатти номида
мешавад. Пас, муодилаи хаттии тартиби якум ба намуди
y¿=a(x)y+b(x)
(1)
соҳиб буда ин о функцияҳои
ҷ a(c) ва b(x) дар фосилаи I муайян карда шуда
мебошанд
D={(x,y):x∈I,y∈I} Агар b(x)≡0, x∈I бошад муодилаи (1) намуди
зерини
y¿=a(x)y
(2)](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_29.png?v=1)
![- ро гирифта ин муодиларо MOD - и тартиби якуми хатти як инса мемомад. ҷ
Агар
b(x)≡0,x∈I бошад, он гоҳ муодилаи (1) – ро муодилаи хатти як инса ҷ
набуда меноманд.
Он гоҳ (2) – ро муодилаи як инсаи ба (1) мувофиқ меноманд.
ҷ
Теорема. Агагр функцияҳои
а(x) ва b(x) дар интервали I=(α,β)
бефосила бошад, дар он ва қ т масъалаи Коши
y¿=a(x)y+b(x),y(x0)= y0(x0,y0)∈D
дар фосилаи I ба ҳалли муайяншуда ва ягонаи
y=ϕ(x) соҳиб мебошад.
Супориш: Ҳангоми ой доштани шартҳояш теоре маро исбот кунед, ки
ҷ
MOD – и хатти (1) ба ҳалли махсус соҳиб нест.
2 0
. Усули интегронии муодилаи
хаттии ғайрияк инса ҳангоми ой доштани шартҳои теорема.
ҷ ҷ
Дар навбати аввал ҳалли умумии MOD - и як инсаи муодилаи (2) – ро
ҷ
ҳисоб мекунем:
∫a(x)dx
y=ce ,
x∈I, c∈R (3)
Акнун ба MOD – и як инсанабудаи (1) ивазкунии
ҷ
∫a(x)dx
y=z(x)e,
x∈I, ро (3)
дохил карда функцияи нави номаълуми
z(x)=c¿(I) - ро меёбем:
[z(x)e∫a(x)dx]
¿
=a(x)[z(x)e∫a(x)dx]+b(x)⇒ z¿(x)e∫a(x)dx+z(x)e∫a(x)dxa(x)
=a(x)z(x)e∫a(x)dx+b(x)⇒ z¿(x)e∫a(x)dx=b(x)⇒ z¿(x)=b(x)e−∫a(x)dx⇒
⇒z(x)=c+∫ b(x)e−∫a(x)dxdx ,
c∈R (5)
Қиммати функцияи
z(x) - ро аз (5) ба (4) гузошта ба ҳалли умумии
MOD – и (1) – и як инса набуда соҳиб мешавем:
ҷ
y(x)=e∫a(x)dx(c+∫ b(x)e−∫a(x)dx)
(6)
Эзоҳ: Агар дар (3) доимии с -ро ба функцияи
z(x) иваз кунем, онгоҳ ба
(4) соҳиб мешавем.
Ах ҳамин сабаб усули овардашударо усули (методи) варициякунонии
доими меноманд.
Мисоли-1. Бо ёрии вариациякунии доими ҳалли умумии муодилаи
хаттии
y¿=−2xy +2xe −x2 - ро ёфта шавад.
Ҳал: Муодилаи додашударо бо (1) муқоиса намуда мебинем, ки
a(x)=−2x
ва b(x)=2xe−x2 мебошад.
Ин функцияҳо дар фосилаи
I=R бефосила мебошанд, аз ҳамин сабаб
аввал аз рўи формулаи (3) ҳалли умумии муодилаи мувофиқи як нсаии
ҷ
y¿=−2xy
- ро ҳисоб мекунем:](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_30.png?v=1)
![y=ce∫a(x)dx ⇒
a=−2x
y=ce∫(−2x)dx⇒ y=ce−x2Ба муодилаи дифференциалии додашуда ивазкунии
y=z(x)e−x2
(*) – ро дохил намуда
Функцияи нави номаълуми
z(x) - ро меёбем:
[z(x)e−x2]
¿
=−2x[z(x)e−x2
]+2xe−x2
⇒ z¿(x)e−x2
+z(x)e−x2
(−2x)=−2xz (x)e−x2
+
+2xe −x2
⇒ z/(x)e−x2
=2xe −x2
⇒ z¿(x)= 2x⇒ z(x)=∫ 2xdx +c⇒ z= x2+c.
Акнун қиммати
z(x) - ро ба (*) гузошта ба ҳалли умумии MOD - и хатти
як инсанабуда соҳиб мешавем.
ҷ
авоб:
Ҷ y(x)=(x2+c)e− x2,x∈R
Сан иш:
ҷ y
¿
(x)=e
−x2
2x+(x
2
+c)e
−x2
(−2x)¿}¿¿⇒ y
¿
(x)≡ f(x,y(x)),x∈R.
Мисоли 2. Аз формулаи (6) истифода бурда муодилаи додашударо
интегронед.
y¿= 1
xy− 1
x2
Ҳал: Муодилаи додашударо ба (1) муқоиса намуда мебинем, ки
a(x)=− 1
x
ва
b(x)=− 1
x2 аст. Ин функцияҳо дар I(0,∞)(I=(−∞,0)) бафосила
мебошанд. Дар асоси формулаи
y=e
∫(1
x)dx
[c+∫(− 1
x2)e
−∫(1
x)dx
dx ]=e−ln|x|
[c−∫ − 1
x2eln|x|dx ]
(6)
Дар асоси айнияти
eblna=ab eln|x|=|x| ва e−ln|x|=|x|−1= 1
|x|
Баро ҳамин ҳам
а) Бигзор
x∈I=(0,+∞ )⇔ x>0 бошад. Дар ин ҳ ол барои |x|=x буданаш
y= 1
x[c−∫ 1
x2dx ]⇒ y= 1
x(c−ln x)
б) Бигзор
x∈I=(−∞ ,0)⇔ x<0 бошад. Дар ин ҳол барои |x|=−x буданаш
y= 1
− x[c−∫ 1
x2(−x)dx ]⇒ y=− 1
x[c−∫ 1
− xd(− x)]= y= 1
− x[c+ln (− x)]
Пас, ҳалли умумиро ба намуди зерин менависем:
y= 1
x[d− n|x|], d= c∫ gnx ,x≠0
Мисоли – 3. Дода шудааст:
y¿= 1
xy+3x,y(1)=2 ҳалли масъалаи Коши
ёфта шавад.
Ҳал: Аз формулаи (6) ёки усули вариациякунии доимй истифода бурда
ҳалли умумии муодилаи хаттии як инсанабудаи додашударо меёбем:
ҷ](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_31.png?v=1)
![хатт ба он бар астаи ӣ ҷ
dx
dy = 1
f(x,y) нисбат ба х хатт буданаш мумкин ӣ
мебошад.
Масалан: а) Муодилаи
dy
dx = 1
2ey− x нисбат ба у хатт нест, лекин ӣ
муодилаи бо ин “баръакси”
dx
dy =−x+2ey нисбат ба х хатт мебошад (ин о
ӣ ҷ у –
аргумент, х – функция аст).
б) Муодилаи
(2x+y)dy = ydx +4ln ydy нисбат ба у хатт нест ӣ (lny!) , аммо
нисбат ба х хатт мебошад, чунки
ӣ
(2x+y)dy = ydx +4ln ydy ⇒ 2x+y= ydx
dy +4ln y⇒ ydx
dy = 2x+y− 4ln y⇒ dx
dy =
y≠0
Супориш: Исбот кунед, ки ҳалли умумии муодилаи хатт
ӣ
dx
dy −α(y)x+β(y),α(y)∈c(I),β(y)∈c(I)
бо воситаи формулаи намуди
x=e∫α(y)dy[c+∫β(y)e−∫α(y)dydy]
ҳисоб карда мешавад, ва муодилаҳои а) ва б) – ро
интегронед.
Нишондоди – 3. Бисёр масъалаҳои геометр , физики ва умуман
ӣ
табиатшиносию техник ба намуди муодилаҳои оддии дифференциали
ӣ
оварда мешавад. Барои тартиб додани муодилаҳои дифференциалии
процессҳои додашуда, дар навбати аввал муайян кардан лозим аст, ки кадоме
аз тағъир ёбандаҳо озод (аргумент) ва кадомашон ғайриозод (функция)
мебошад.
Пас аз он аз шарти масъала ва маънои геометр ё физикии ҳосила
ӣ
фоида мебаранд.
Масъалаи-1 . Аз нуқтаи расмии расанда, ки ба хати ка и аз нуқтаи
ҷ
M 0=(1,2 )
гузаранда гузаранида шудааст то нуқтаи шавад, бо ду қисми
баробар тақсим мешавад.
Муодилаи ҳамин хати ка ёфта шавад.
ҷ
Ҳал: Аз нуқтаи номаълуми дилхоҳи хат
M +(x,y) расанда мегузаронем,
нуқтаҳои бо тири Ох ва Оу буридашударо мувофиқан бо А ва В ишорат
мекунем.
Бигзор
с=(x,o) проекцияи ну қ таи М - и хат дар тири Ох ва ϕ – кун и ҷ
байни самти мусбати тири Ох ва расанда бошад. (Нақшаи-2)
Аз рўи ин ишоракуниҳо шарти масъаларо ба намуди зерин менависем:
x=OC ,
y=CM AB = BM = 1
2AM
Дар асоси маънои геометрии ҳосилаи
y¿= tg ϕ мешавад.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_33.png?v=1)
![T(t0)= 25 ⇒ 25 = 80 e
−ln2
20 t0
=5⇒
−ln2
20 t0
=ln 1
16 ⇒−ln 2
20 t0=−4ln 2⇒ t0=80авоб:
Ҷ t0= 80 дақиқа аст.
Maвзўи 6. Муодилаи Бернулли ва Риккати
1. Муодилаи Бернулли гуфта муодилаи намуди зеринро мегўянд:
y'= a(x)y+b(x)yα,
x∈Ix , y∈Iy (1)
Агар
α= 0 бошад, (1) ба намуди муодила хатт ва ӣ α=1 бошад, он ба
намуди муодилаи як инсаи
ҷ y¿=[a(x)+b(c)]y табдил меёбад. Дар ин гуна
ҳолатҳо усулҳои (методҳои) интегронии муодилаи (1) ба мо маълум аст.
Аз ҳамин сабаб дар оянда
α≠0, α≠1, α∈R, гуфта фарз мекунем.
2. Усули интегронии муодилаи Бернулли.
Ба муодилаи Бернулли ивазкунии
y= z
1
1−α,z= z(x) - ро дохил
мекунем:
[z
1
1−α]
¿
= a(x)[z
1
1−α]+b(x)[z
1
1−α]
α
⇒ 1
1− α
z 1
1− α
− 1
z¿=a(x)z 1
1−α+b(x)z α
1−α
Муодилаи баъд инаро бо
(1−α)z− α
1−α зарб карда ва
1
1−α−1= α
1−α - ро
ба назар гирифта ба муодилаи хаттии
z¿=(1−α)a(x)z±(1−α)b(x)
соҳиб мешавем.
Ба мо маълум аст, ки ҳангоми
a(x) ва b(x) дар фосилаи I бефосила
будан, ҳалли умумии муодилаи (2) намуди.
z=e(1−α)∫a(x)dx
[c+(1−α)∫b(x)e−(1−α)∫a(x)dxdx ],x∈I
(3)
- ро мегирад. (§-2) Акнун агар ба тағъирёбандаи у гузарем
(z= y1−α) , ҳалли
умумии муодилаи Бернулли ба таври зерин мешавад:
z=e∫a(x)dx[c+(1−α)∫b(x)e−(1−α)∫a(x)dxdx ],
1
1−αx∈I0∈I
(4)
Хотиррасони муҳим. Тамоми ҳалҳои хусусии
z(x) - и муодилаи хаттии
(2) дар фосилаи I – и бефосилабудаи
a(x) ва b(x) муайян карда шудааст.
Лекин фосилаи муайянии ҳалли мувофиқи хусусии муодилаи Бернулл
ӣ
y(x)=[z(x)] 1
1−α
ба шарти ибтидоии I0∈I ва хусусияти арифметикии адади α
вобаста аст.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_35.png?v=1)
![(Дар ин о ҷ α - мустабт, манфи, бутун, рационал ёки иррационал
мебошад)
Супориши-1. Хосияти арифметикии
α - ро ба ҳисоб гирифтаистода
барои муодилаи Бернулли дар бораи мав удият ва ягонагии ҳалли масъалаи
ҷ
Коши теоремаро нависед ва онро исбот кунед.
Супориши-2. Ҳангоми
α>0 будан муодилаи Бернулли ба ҳалли
y(x)≡0,
x∈I0 соҳиб буда исбот карда ҳолати α>1 бошад, ҳалли хусуси
мебошад.
Мисоли-1. Муодилаи
xy ¿+1
2 y= 3
2
x2
y - ро интегронед.
Ҳал: Барои муайян намудани типи муодила онро нисбат ба ҳосила ҳал
мекунем.
xy ¿+1
2 y= 3
2
x2
y⇒ y/+ 1
2xy= 3
2
x
y,x≠0= y¿=− y
2x+3
2x× y−1
(М.1)
Аз ин о муодилаи додашуда муодилаи Бернулли буда дар он
ҷ α=−1
аст. Тарафи рости муодилаи (М. 1) дар ҳар яки coҳаҳо (чорьякҳои
координати) бефосила аст:
D1={(x,y);x>0,y>0}, D2= {(x,y);x<0,y>0}
D3={(x,y);x<0,y<0}, D4= {(x,y);x>0,y>0},
(барои ч ?) ӣ
Дар соҳаҳои
D1 ва D2 ки y>0 аст ба муодилаи (М-1) ивазкунии y=√z -
ро дохил намоем,
[z
1
2]
1
=− 1
2x
[z
1
2]+3
2x[z
−1
2]
−1
⇒ 1
2z
1
2−1
=− 1
2xz
1
2+3
2xz
−1
2
мешавад. Дутарафи баробарии баъдинаро ба
2z
−1
2 зарб мекунем ва ба
муодилаи хаттии намуди зерин соҳиб мешавем:
z¿=− 1
xz+3x
(М-2)
Аз усули вариациякунии доимий ва ё формулаи ҳалли умумии
истифода бурда ҳалли умумии
z= c
x2+x2
x∈R - ёки x∈R+ - и муодилаи хатт ӣ
(М-2) – ро меёбем. Акнун агар ба у гузарем ҳалли умумии муодилаи (М-2) ба
намуди зерин мешавад:
y= √z¿⇒ y=
√
c
x2+x2,
x∈I0= {x:c
x2+x2>0}
Ҳангоми
y<0 будан дар соҳаҳои D3, D4 ивазкунии y−√z истифода карда
ҳалли умумии муодилаи (М-1)
y=−√
c
x+x2 - ро ҳосил мекунем.
Супориши 3. О ё ( М-1 ) ба ҳалли махсус соҳиб аст?
Мисоли -2. Ҳалли масъалаи Коши ёфта шавад.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_36.png?v=1)
![y'= a(x)y2+b(x)y+c(x), D= {(x,y):x∈I,y∈I} (1)
Муодилаи Риккати ҳангоми
a(x)≡0, x∈I будан ба муодилаи хатти ва
дар мавриди
c(x)≡0, x∈I будан бошад ба муодилаи Бернулли табдил меёбад.
Дар ҳолати умуми муодилаи Риккати дар квадратураҳо ҳал намешавад.
(Лиувилль, 1941).
Инак, агар як то ҳалли хусусиаш маълум бошад, дар квадратураҳо ҳал
мешавад.
Усули интегнрони: Бигзор муодилаи Риккати ба ҳалли хусусии
y1(x),
x∈I0⊂I
соҳиб бошад.
Дар он ивазкунии
y= z+y1(x) - ро татбиқ намуда ифодаи
[z+ y1(x)]
¿= a(x)[z+ y1(x)]
2+ b(x)
[z+y1(x)]+c(x)⇒ z¿=a(x)z2+[2a(x)y1(x)+b(x)]z,
x∈I0 (3)
(чунки аз рўи шарт
y11(x)≡a(x)y12(x)+b(x)y1(x)+c(x), x∈I0 ) (3 а)
-ро ҳосил мекунем, ки ин муодилаи Бернулли мебошад.
Супориш: Формулаи ҳалли умумии муодилаи Риккатиро нависед, ки
дар ин муодила як ҳалли умумиаш маълум мебошад.
Мисоли-1. Мудилаи зеринро интегронед:
y¿=− x2=− y2−1+x2
Ҳал: Ин муодилаи Риккати буда функцияҳои
a(x)=−1,b(x)≡0, ва
c(x)=−1+x2
дар фосилаи I=R бефосила мебошанд. Ин муодила ба ҳалли
y1(x)=−x, x∈R
соҳиб аст, чунки (f(x,y)=−x2−1+x2)
y
1
(x)=− 1, x∈ R¿}¿¿⇒ y1
1
(x)≡ f(x,y,(x)), x∈R¿
мебошад.
Ба муодилаи додашуда ивазкунии
y= z− x - ро дохил мекунем.
[z− x]¿=− [z− x]2− 1+x2⇒ − z2+2xz − x2− 1+x2⇒ z¿= 2xz − z2
Акнун ба муодилаи ҳосилшудаи Бернулли ивазкунии
z=u 1
1−α,
α= 2⇒ z= u−1
(3 б
) – ро дохил намуда ба муодилаи хаттии
[u−1]−1=2x[u−1]−[u−1]2⇒ u−2u1= 2xu −1−u−2⇒ u1=2xu +1
соҳиб мешвем. Ҳалли умумии он
u=e−x2
(c∫ ex2
dx ) мебошад.
Аз ин рў ҳалли муодилаи дар боло ой гирифтаи Бернулли дар намуди
ҷ
z= u−1⇒ z(x)=e−x2
(c+∫ ex2
dx ),x∈I1⊂R мешавад.
Супориш: Соҳаи муайянии функцияи
z(x) - ро ёбед.
авоб:
Ҷ y= z− x⇒ y(x)=ex2
(c+∫ ex2
dx )−1− x,x∈I1⊂R
2 0
(3 0
) Муодилаи Бернулли бо воситаи ивазкунии
z=u−1 ба муодилаи
хатти оварда мешавад. Барои ҳамин ҳам ивазкунии
y=u−1+y1(x) (4) муодилаи](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_38.png?v=1)
![Риккатиро якбора ба муодилаи хатт меоварад. Аз ин рў барои ёфтани ҳаллиӣ
умумии муодилаи Риккати ивазкунии (4) қулай ҳисобида мешавад.
Мисоли 2:% Ҳалли умумии
y¿= y2−1+x2,(x,y)∈R - ро ёбед.
Ҳал: Муодилаи додашуда дар типи муодилаи Риккати буда ба ҳалли
хусусии
y=− x соҳиб аст. Аз ҳамин сабаб ивазкунии y¿= u−1− x ўро ба намуди
муодилаи хаттии:
u¿=−2xu+1 меоварад. Пас аз он, ки ин муодиларо
интегронидем и –и ҳасилкардаро ба формулаи ивазкунии гузашта шавад,
ҳалли умумии муодилаи Риккати ҳосил мешавад.
3 0
Муодилаи Риккати бо воситаи ивазкунии
y=α(x)z ба ҳамин гуна
муодилаи Риккати оварониданаш мумкин, ки дар он коэффициенти
z2 ба +1
ёки –1 баробар мешавад. Бо воситаи ивазкунии
y=z1+β1(x) ба ҳамин гуна
муодилаи Риккати соҳиб мешавем, ки дар он ҳангоми тағъир наёфтани
коэффицинети
z2 коэффициенти z1 ба 0 мусбаддал мегардад.
Дар баъзе мавридҳо бо воситаи ин ивазкуниҳо (ё яке азанҳо) муодилаи
Риккати ба чунин муодилае оварда мешавад, ки он дар квадратураҳо ҳал
мешавад ва ё ҳалли хусусии он бо осони муайян карда мешавад.
Мисоли 3. Муодилаи намуди
xy ¿= x2y2−(2x+1)y+1 - ро интегронед. Ин
муодилаи Риккати мебошад. Ба муодила ивазкунии
y=d(x)z - ро дохил
мекунем:
x[d(x)z]¿=x2[d(x)z]2−(2x+1)[d(x)z]+1⇒ xd ¿(x)z+xd (x)z¿=x2d2(x)z2−
−(2x+1)d(x)z+1
Барои он, ки коэффициенти
z2 ба 1 баробар мебошад, ой доштани ҷ
x2d2(x)
xd (x) ≡1⇒ d(x)= 1
x
зарур ва кифоя мебошад. Инак, аз ин истифода барем
муодила ба намуди
z¿= z2− 2z+1⇒ z¿=(z− 1)2 меояд.
Ин муодилаи Риккати ба ҳалли хусусии
z≡1 соҳиб мебошад, аз ин рў
муодилаи додашудаи Риккати ба ҳалли хусусии
y1(x)=d(x)z⇒ y1(x)= 1
x
соҳиб мешавад.
Супориш: Ҳалли умумии муодилаи дар мисоли 3 овардашударо ёбед.
Мисоли-4. Муодилаи
y1= 4y2−4x2y− x4+x+4 - ро интегронед. Ба ин
муодилаи Риккати ивазкунии
y= β(x)+z - ро дохил мекунем:
[β(x)+z]¿= 4[β(x)+z]2− 4x2[β(x)+z]− x4+x+4⇒ β¿(x)+z¿= 4β2(x)+8β(x)z+
+4z2−4x2β(x)− 4x2z− x4+x+4⇒ z¿= 4z2+[8β(x)−4x2]z+x4+x+4+4β2− β1
Функцияи
β(x) - ро ҳамин тавр интихоб мекунем, ки коэффициенти z
ба 0 баробар шавад, яъне:
8β(x)− 4x2=0⇒ β(x)= 1
2x2 . Акнун дар муодилаи
охирин ба ои
ҷ
β(x)1
2x2 - ро мегузорем.
z¿= 4z2− x2+x+4− 41
4x4− 1
22x⇒ z¿= 4(z2+1)](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_39.png?v=1)
![Сан иш. ҷ
d(yln x+ y3
3 )= dc ⇒ y
xdx +(ln x+y2)dy = 0
Машқи 1. Интеграли умумии муодилаҳои дифференциалии зеринро
муайян кунед. Соҳаҳоеро удо кунед, ки дар онҳо ҳалли масъалаи Коши
ҷ
ягона мебошад.
1.
2xy +(x2− y2)dy =0 5. 2x(1+√x2− y)dx +√x2− ydy = 0
2.
(2−9xy 2)dx +(14 y2−6x2)ydy =0 6. (1+y2sin 2x)dx −2ycos 2xdy =0
3.
e−ydx −(2y+xe −y)dy =0 7.
3x2(1+ln y)dx =(2y− y2
x)dy =0
4.
3x2+y2
y2 dx − 2x3+5y
y2 dy =0 8. (
x
sin y+2)dx +(x2−1)cos y
cos 2y−1 dy = 0
Машқи-2. Ҳалли масъалаҳои Коши-ро муайян кунед.
1.
(x+2y)dx +ydy
(x+y)2 =0
y(1)=0 2. (x+y)dx +(x− y)dy =0, y(0)=0
3.
(x− y)dx +(2y−x)dy =0, y(0)=0
Ma взўи 8. Зарбкунандаи интегралии муодила ва усулҳои ёфтани он
Бигзор функцияҳои
M (x,y) ва N(x,y) як оя бо ҳосилаҳои хусусиашон ҷ
∂M
∂y
ва
∂N
∂x дар соҳаи D ⊂R2 бефосила бошад, инчунин фараз мекунем, ки
∂M
∂y ¿
∂N
∂x
бошад. Дар ин ҳол мувофиқи теоремаи 2-и маърўзаи 7
M (x,y)dx +N(x,y)dy =0,
(x,y)∈D (1)
муодилаи дифференциалаш пурра намебошад.
Агар ҳамин гуна функцияи
μ= μ(x,y) (x,y)∈D ву уд дошта ҳангоми ҷ
муодилаи (1) – ро бо ин функция зарб кардан муодилаи ҳосилшудан.
μ[M (x,y)dx +N(x,y)dy ]=0
(2)
дорои дифференциали пурра, яъне
∂μM
∂y = ∂μN
∂x ,(x,y)∈D бошад, дар ин маврид
функцияи
μ=M (x,y) - ро зарбкунандаи (зарбшавандаи) интегронии муодилаи
(1) мегўянд. Пас зарбкунандаи интегрони ҳалли муодилаест, ки он ба
ҳосилаи хусусии
∂μM
∂y = ∂μN
∂x соҳиб мебошад. Дар ҳолати умуми ёфтани ҳалли
он нисбат интегронии муодилаи оддии дифференциалии (1) мушкилтар аст.
Леки дар баъзе ҳолатҳои хусуси зарбкунандаи интегрониро дар квадратураҳо
ёфтан мумкин аст.
Теорема. Агар функцияи
ω=ω(x,y) маълум буда.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_43.png?v=1)
![∂M
∂y− ∂N
∂x
−M =
− 1
2
1
√x2− y
√x2− y+2x
= 1
2
1
x2− y+2x√x2− y
Аз сабабе, ки ин ифода танҳо функцияи у намебошад, пас зарбкунандаи
интегронии намуди
μ(y) низ мав уд нест. ҷ
в) Акнун ҳолати
μ= μ(ω), ω= x2− y - ро месан ем: ҷ
M ¿y−N¿x
Nω ¿x−Mω ¿y=
− 1
2(x2− y)− 1
2
(−1)2x−(√x2− y+2x)(−1)
=− 1
2(x2− y)
=− 1
2ω=ψ(ω)
Аз ин ифода мав уд будани зарбкунандаи интегралии намуди
ҷ μ(ω)
омада мебарояд аз ин рў дар асоси формулаи (4) ўро ҳисоб мекунем:
μ=exp ∫ ψ(ω)dω ⇒ μ= exp [− 1
2
∂ω
ω ]=exp [− 1
2ln ω]= 1
√ω
⇒ μ= 1
√x2− y
II. Интегронии муодила.
Муодилаи додашударо ба забркунандаи интегронии ёфташудааш зарб
карда соҳиби муодилаи дорои дифференциали пурра мешавем:
1
√x2− y
(√x2− y+2x)dx − 1
√x2− y
dy = 0⇒ (1+ 2x
√x2− y)dx − 1
√x2− y
dy = 0
Ҳақиқатан ҳам
M1=1+
2x
√x
2
−y
¿
}
¿¿=¿
{
∂M 1
∂y
=−
x
(x
2
−y)
3/2¿
}
¿{}⇒
∂M 1
∂y
=
∂N1
∂x
¿
Инак, ҳамин гуна
u(x,y),(x,y)∈D мав уд аст, ки интеграли умумии ҷ
муодилаи додашудаи
u(x,y)=c мешавад.
Барои муайян кардани ин функция ба муносибатҳои
∂u
∂x=M 1, ∂u
∂y=N1
соҳиб мебошем.
Аввал аз инҳо якумашро истифода мекунем.
∂u
∂x= 1+ 2x
√x2− y
⇒ u=∫ (1+ 2x
√x2− y)dx +ϕ(y)⇒ u+2√x2− y+ϕ(y)
(*)
Акнун аз (*) аз рўи у ҳосиларо ҳисоб карда аз муносибати дуюм
истифода мебарем:
∂u
∂y=− 1
√x2− y
+ϕ¿(y)⇒ − 1
√x2− y
=− 1
√x2− y
+ϕ¿(y)= c⇒ ϕ(y)= 0
БОБИ 2.Муодилаи ҳосилаҳояш хусусии тартиби якум ва дуюм.](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_45.png?v=1)
![Онро интегронем чунин ҳаллро муайян мекунем. ёки
; муодиларо интегронем:
Дар ин о ҷ ва функсияҳои ҳосиладори дилхоҳ аст. Ивазҳоро ба
ҳалли умуми гузорем.
Ин бошад ҳалли умумии муодила аст.
Масъала ва мисолҳо барои кори мустақилона
1). ( x>0; y>0 ) авоб
Ҷ {u(x,y)=
φ(√x−√y)+ψ(√x+√u)
}
2). авоб
Ҷ {u(x,y)= √ x
y φ ( x , y ) + ψ ( y
x )
}
3). авоб
Ҷ { Функсияи номаълуми навро бо ивази
ν= xu − ро дохил мекунем
u( x,y ) = φ(x− y)+ψ(x+y)
x }
4). авоб
Ҷ { дар ин о ивази ҷ
дохил мекунем.u(x,y)=
e
−x2+y2
2 [ψ1(x)+ψ2(y)]
3.Намуди каноникии муодилаи хатиии тартиби дуюм дар фазои
n -
ченака.
Бо
x= (x,x2...xn)∈Rn тағирёбанда ҳоро ва бо u=u(x)=u(x,x2...xn)
функсияи номаълумро дар фазои
n -ченака ро ишорат мекунем.
Муодилаи тартиби дуюми хати ҳосилаҳояш хусуси дар фазои
n -ченака
чунин ифода меёбад.
∑
i=1
n
∑
j=1
n
aij(x) ∂2u
∂xi∂xj
+∑
i=1
n
bi(x)∂u
∂xi
+cu =0
Коэффисиэтҳои муодила аз функсияҳои бефосила иборат аст.Дар ягон
нуктаи
M0 -и соҳа муодиларо месан ем.Бо ҷ ξk=ξk(x,x2...xn) (k=1,n) ивази
ғайри хосро ишорат мекунем он гоҳ](https://docx.uz/documents/a0dd2ad4-195a-4c64-a622-12bd3368a1c0/page_63.png?v=1)
Дифференциали тартиби дуюм ва баъзе масъалаҳо