Ekstirimal masalalar kurs ishi - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	30001UZS
Размер	787.7KB
Покупки	0
Дата загрузки	09 Январь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Navruz

Дата регистрации 03 Декабрь 2023

21 Продаж

Ekstirimal masalalar kurs ishi

Купить

Ekstirimal masalalar
Kirish………………………………………………………………………2
Asosiy qisim………………..……………………………………………...3
I.BOB. Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish……3
1.1. Asalari uyasining tuzilishi haqidagi masala…………………….6
1.2. Chiziqli dasturlash masalalari…………………………………..11
II.BOB. Ekstremumga doir masalalar yechishning umumiy usullari...13
2.1. Funksiyaning ekstremumini ikkinchi tartibli hosila yordamida
topish………..…………………………………………………….....20
2.2. Ekstremal masalalarga elementar va hosila usulini qo'llanish
sintezi………………………………………………………………..23
Xulosa……………………………………………………………………...25
Foydalangan adabiyotlar…………………………………………………26
1

Kirish
Ekstremal masalalar matematikning bir qismidir va ularning yechimi
ekstremal funksiyalar turkumiga kiradi. Bu masalalar, bir funksiyaning maksimum
yoki minimum qiymatini topishni talab qiladi. Ekstremal masalalar matematikada
optimallashtirishning muhim bir qismidir.
Ekstremal masalalar o'qitishda ham keng qo'llaniladi. Bu masalalar
matematikning turli sohalarida, fizikada, iqtisodiyotda va boshqa sohalarda yuzaga
keladi. Ular matematikning ilmiy uslublarini va formulalarini qo'llab-quvvatlaydi.
Ekstremal masalalar matematikning klassik yechimlari bilan hal etiladi. Eng
sodda optimallashtirish usuli ko'rib chiqiladi. Masalalar matematik ifodalari
yordamida ifodalanadi va ularga klassik yechimlar topiladi.
Ekstremal masalalar matematikning ikkinchi hosilasi bo'lib, differensiallash
xususiyatiga ega bo'lsa, bu masalalar ekstremal yechimga ega bo'lmaydi. Ular
uchun o'zgaruvchilar bo'yicha hosila olib, differensiallashni nolga tenglash asosida
ekstremal yechim topiladi.
Ekstremal masalalar matematikning tahlil va sintez jarayonlarida ham
muhim o'rin tutadi. Ular matematik modellar yordamida ifodalanadi va matematik
usullar bilan yechiladi.
"Ekstremal masalalar" deyilganida, ekstremal sportlar, aventura
yollari yoki riskli faoliyatlar kabi muammolar o'zimizga keladi. Bu turlar odatda
qo'shimcha tashviqli, kuchli hissiyotlarni oshiruvchi va maqbul davom etish uchun
katta xavf va jahlga ega bo'lgan faoliyatlardir.
Ekstremal masalalar, barcha sport turlarida, masalan, toshqinlik, parashut,
skayserfing, daovqoq, basejamping, mauntinbiking, ska'latash va boshqalar kabi
faoliyatlar orqali amalga oshirilishi mumkin. Bu turlar yuqori risk darajasi va
fizikaviy va ma'naviy tayyorgarlik talab etadi.Ekstremal masalalar qilishning bir
qismi sport turlariga, bizning g'oyalarimizni va qobiliyatlarni sinash uchun
qo'llaniladi. Ularning asosiy maqsadi, adrenalin va kuchli hissiyotlarni oshirish,
harakatlanish va jasoratli ishlarni bajarish, jismoniy va ma'naviy kuchlarni sinash,
o'z-o'zini boshqalarga isbotlash va xududlarning chegaralarini ko'rishdir.
Bundan tashqari, ekstremal masalalar hamda riskli faoliyatlar, xavfsizlik va
maqbul davom etish uchun katta muammolar tug'ildiradi. Tayyorlanish, mahorat
va yo'qotishning to'g'ri va xavfsiz usullari, xavf va belgilangan chegaralardan
tashqari, o'z xavf va xavfsizlikni tushunish hamda ushbu faoliyatlar uchun kerakli
tahlil va tushunchalarni oshirish zarur bo'ladi.
Ekstremal masalalar haqida to'liq ma'lumot olish, shaxsiy xavf va
tajribangizni hisobga olgan holda mutaxassislar bilan muloqot qilish tavsiya
etiladi.
2

I bob. Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish
Boshlang‘ich tushunchalar
Miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlari orasida eng katta yoki eng kichik
qiymatini ajratib olish ba’zan matematikaning asosiy tushuncha va
munosabatlaridan foydalanib ham hal etilishi mumkin.
Shunday masalalardan bir nechtasini ko‘rib o‘tamiz:
1- masala. y=3−(5+x)2 funksiyaning eng katta qiymati topilsin.
Yechish. Ma’lumki, kamayuvchi o‘zgarmas bo‘lganda ayirmaning eng katta
qiymati ayriluvchining eng kichik qiymatiga mos keladi. Ya’ni, kamayuvchi 3
o‘zgarmas bo‘lgani uchun
(5+x)2 ayriluvchi x=−5 bo‘lganda eng kichik qiymatga
erishiladi.
Demak,
y= 3−(5+x)2 ning eng katta qiymati 3 ga teng.
2 -masala.
f(x)=(log 23)sin x va ϕ(x)=(log 32)cos x funksiyalarning eng katta
qiymatlari bir-biriga tengligi isbotlansin.
Yechish. Ma’lumki, ko‘rsatkichli
y=ax funksiya a>1 bo‘lganda o‘suvchi
va
0<a<1 bo‘lganda kamayuvchi bo‘ladi.
f(x)
va ϕ(x) funksiyalar ham ko‘rsatkichli funksiyalar bo‘lib, mos holda
ularning asoslari
a=log 23>1 va a=log 32<1 .
Demak,
f(x)=(log 23)sin x o‘suvchi funksiya bo‘lib, o‘zining eng katta
qiymatiga
sin x ning eng katta qiymatida, ya’ni sin x=1 da erishadi, ya’ni f(x) ning
eng katta qiymati
log 23 ga teng bo‘ladi. ϕ(x)=(log 32)cos x esa kamayuvchi funksiya
bo‘lib, o‘zining eng katta qiymatiga
cos x ning eng kichik qiymatida, ya’ni
cos x=−1
da erishadi. Demak, ϕ(x) ning eng katta qiymati (log 32)−1 ga teng bo‘ladi.
Ma’lumki,
(log 32)−1= 1
log 32= log 23 .
Shuning uchun
f(x) va ϕ(x) funksiyalarning eng katta qiymatlari bir xil,
ya’ni
log 23 ga teng ekan.
3 -masala. Kub formasidagi metalldan stanokda imkoniyati boricha eng katta
shar hosil qilingan. Nima og‘ir: sharmi yoki chiqindimi?
3

Yechish . Kubning qirrasi a , hajmi a3 bo‘ladi. Bu kubga ichki chizilgan
sharning radiusi
a
2 bo‘lgani uchun sharning hajmi
1
6πa 3 bo‘ladi.
Endi shar hajmi bilan kub hajmini taqqoslaymiz.
π>3 bo‘lgani uchun
π
6>1
2
. Shuning uchun
π
6a3>1
2a3 .
Demak, shar hajmi kub hajmining yarmidan katta, shuning uchun shar
chiqindidan og‘irroq bo‘ladi.
4- masala. Uchburchakning perimetri 1 sm. Shu uchburchakka tashqi
chizilgan aylananing radiusi 1km dan ham katta bo‘lishi mumkinmi?
Yechish. Uchburchakning perimetri 1 sm bo‘lgani uchun uning ikki tomonini
juda kichik va ular orasidagi o‘tmas burchakni
180 0 ga juda yaqin qilib olinsa, u
holda shu uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bu ikki tomon
simmetrallari (tomonlar o‘rtalariga o‘tkazilgan perpendikular) deyarli parallel
bo‘ladi. Simmetrallarning kesishuv nuqtasi
180 0 li burchakka juda yaqin bo‘lgan
o‘tmas burchak uchidan 1 km dan ham ko‘proq uzoqlikda bo‘lishi mumkin.
5 - masala. Kvadrat va romb teng perimetrlarga ega. qaysi birining yuzi
katta?
Yechish. Kvadrat va rombning perimetrlari tengligidan ularning tomonlari
ham teng bo‘ladi, uni
a bilan belgilaymiz. Kvadrat yuzi a2 ga teng bo‘ladi.
Endi romb yuzini hisoblash uchun uning tomonlaridan birini asos va unga
tushirilgan balandlikni
h desak, romb yuzi ah bo‘ladi. Lekin h<a , chunki h
balandlik gipotenuzasi
a bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetidir.
h<a
bo‘lgani uchun ah <a2 , demak, romb yuzi kvadrat yuzidan kichik
bo‘ladi.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan har bir masalada funksiyalarning eng katta yoki eng
kichik qiymatlari izlandi. Bu izlanishda maksimum va minimum nazariyasining
ma’lum metodlaridan foydalanmasdan, masalaning mohiyati bo‘yicha, ma’lum
qonuniyatlardan foydalanildi.
Endi ba’zi bir oddiy masalalarni hal qilishda qo‘l keladigan sinash usulini
ko‘rib o‘tamiz.
6 - masala. Perimetri 120 m bo‘lib, yuzi eng katta bo‘lgan to‘g‘ri
to‘rtburchak shaklidagi yer uchastkasi o‘rab olinsin. Bu to‘rtburchakning
o‘lchovlari qanday bo‘lishi mumkin?
Yechish. Masalani yechish uchun bunday savol qo‘yamiz:
4

To‘g‘ri to‘rtburchak perimetri o‘zgarmasdan, uzunligi va kengligi
o‘zgarganda uning yuzi o‘zgaradimi?
To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki qo‘shni tomnlari uzunliklarining yig‘indisi 60
m. Shuning uchun uning tomonlarini bunday tanlash mumkin: 20 m va 40 m, u
holda yuzi 20 m×40 m=800 kv .m yoki 10 m va 50 m, u holda yuzi 10 m×50 m=500 kv .m
.
Demak, to‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini o‘zgartmasdan faqat
tomonlarini o‘zgartsak, uning yuzi o‘zgarar ekan.
Perimetri 120 m bo‘lib, tomonlar qanday bo‘lganda to‘g‘ri to‘rtburchakning
yuzi eng katta bo‘ladi?
Bu savolni hal qilish uchun to‘g‘ri to‘rtburchakning bo‘yini
a , enini b
yuzini esa
S bilan belgilab, quyidagi jadvalni tuzmiz:
a
1 2 3 4 … 29 30 31 … 58 59
b
59 58 57 56 … 31 30 29 … 2 1
S
59 116 171 224 … 899 900 899 … 116 59
Jadvaldan
a ning qiymatlari 1 dan 59 gacha o‘sganda, b ning qiymatlari 59
dan 1 gacha kamayishini ko‘ramiz.
S esa butunlay boshqacha o‘zgaradi: oldin
qiymatlari kattalashib, so‘ngra tobora kichik qiymatlar ola boshlaydi. Demak,
S
ning qabul qiladigan qiymatlari orasida eng kattasi bor.
Jadvaldan
S ning eng katta qiymati 900 kv.m ekanligi, bu esa a=b=30 m ga
mos kelishi ko‘rinib turibdi.
Haqiqatan ham, bu qiymat
S ning eng katta qiymati bo‘la oladimi?
a=29 ,5
m, b=30 ,5 m bo‘lganda S=29 ,5×30 ,5=899 ,75 kv.m bo‘ladi;
a=30 ,5
m, b=29 ,5 m bo‘lganda S=30 ,5×29 ,5=899 ,75 kv. m bo‘ladi.
Endi
a=29 ,6 m, a=29 ,7 m, …, a=30 ,4 m bo‘lganda yuzni hisoblaymiz.
Buning uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:
a
29,6 29,7 29,8 29,9 30,0 30,1 30,2 30,3 30,4
b
30,4 30,3 30,2 30,1 30,0 29,9 29,8 29,7 29,6
S
899,84 899,91 899,96 899,99 900,00 899,99 899,96 899,91 899,84
a
ning 30 m ga juda yaqin qiymatlarida ham S ning 900 kv. m ga teng
qiymatiga erisha olmadik.
5

Demak, 900 kv. m S uchun eng katta qiymat hisoblanadi. Bu qiymat
a=b=30
m bo‘lganda hosil qilinadi.
Demak, perimetri o‘zgarmas bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida kvadrat
eng katta yuzga ega bo‘lar ekan.
1.1. Asalari uyasining tuzilishi haqidagi masala.
Ma’lumki, asalari uyasi mumdan yasalgan o‘n yoqli yacheykalarning qator
joylashishidan iborat.
O‘n yoqlini tasavvur qilish uchun muntazam olti burchakli to‘g‘ri
prizmaning
ABCDEF asosining AC , CE va EA diagonallari orqali o‘zaro
kesishadigan uchta tekislik o‘tkazamiz.
Shunday qilib, o‘n yoqli figuraning 6 yog‘i to‘g‘ri burchakli
to‘rtburchaklardan, 3 yog‘I
ASCG ga o‘xshagan 3 ta rombdan va bir ochiq yog‘i
muntazam oltiburchakdan iborat.
¿AGC = β deb belgilasak, β ning qiymati
taxminan
109 0 ga teng bo‘ladi. Aniqrog‘i, β=109 028'16'' .
β
ning bu qiymati asalari yacheykasining berilgan hajmda
eng kichik sirtga ega bo‘lishini ta’minlaydi (7-chizma).
Biz asalari uyasining ko‘ndalang kesimida nima
uchun muntazam oltiburchaklar yotishi masalasi bilan
shug‘ullanamiz. Haqiqatan, asalari uyasining ko‘ndalang
kesimida nima uchun muntazam oltiburchaklar yotadi?
Bu savolga javob berish uchun geometriyaga
murojaat qilamiz. Qanday muntazam ko‘pburchaklar yordamida tekislikni to‘la
qoplash mumkin? Ya’ni bir xil muntazam ko‘pburchaklarni tekislikda shunday
joylashtirish kerakki, ular bir-birlari bilan ustma-ust tushmagan holda tekislikda
6

ular qoplamagan nuqtalar qolmasin. Bunday xossaga ega bo‘lgan faqat uchta
muntazam ko‘pburchak: uchburchak, kvadrat, ol tiburchak borligi qadimdan, hatto
qadimgi grek matematiklaridan Pifagorga ham ma’lum bo‘lgan (8-chizma).
Nima uchun boshqa muntazam ko‘pburchaklar ko‘rsatilgan xossaga ega
emas?
Bu savolga javob berish uchun muntazam n burchakning bitta ichki
burchagining
180 0(n−2)
n ga tengligidan foydalanamiz. Shunday burchaklardan k
tasi bir nuqta atrofidagi tekislikni to‘ldirsa, u holda
k180 0(n− 2)
n =360 0 yoki
k= 2n
n−2
bo‘ladi.
10- chizma.
7

Demak, muntazam uchburchak va kvadratlardan parket hosil qilib, ularning
uchlari uchrashadigan nuqtalarda 3 ta uchburchak va 2 ta kvadratning uchi
uchrashadi (11- chizma).
Agar n=4 , p=8 bo‘lsa, (*) ga asosan
k
4+3l
8=1 bo‘lib, uning butun
yechimlari
k=1 , l=2 bo‘ladi.
Demak, kvadrat va muntazam sakkizburchakdan ham parket yasahs mumkin
ekan (12-chizma).
O‘quvchilarga boshqa hollarni ham ko‘rsatish mumkin. Ba’zi hollarda 3 xil
ko‘pburchaklardan ham parket tuzish masalasi qo‘yiladi. U holda asosiy tenglama:
k n− 2
n
⋅180 0+lp− 2
p
⋅180 0+m q− 2
q
⋅180 0= 360 0
bo‘ladi.
Bundan
k(1− 2
n)+l(1− 2
p)+m(1− 2
q)= 2 . (**)
Agar
n=3 , p= 4 , q=6 bo‘lsa, u holda (**) ga asosan
k
3+l
2+2m
3 =2 hosil
bo‘ladi.
k=1 , l=2 , m=1 bu tenglamani qanoatlantiradi. Demak, muntazam
uchburchak, oltiburchak va kvadratlardan parket hosil qilish mumkin (13- chizma).
11- chizma. 12- chizma. 13- chizma.
Haqiqatan ham, muntazam uchburchak, muntazam oltiburchak va kvadrat
bir xil
S yuzga ega bo‘lsin. Ularning perimetrlarini taqqoslaymiz.
8

Agar a muntazam uchburchakning tomoni bo‘lsa, u holda uchburchakning
yuzi
S= a2√3
4 bo‘ladi. Bundan
a= 2
√
S
√3 . Uchburchakning perimetri esa
p3=3a=6
√
S
√3
bo‘ladi.
Agar
S kvadratning yuzi bo‘lsa, uning tomoni √S bo‘lib, kvadrat perimetri
p4= 4√S
bo‘ladi.
Agar
b muntazam oltiburchakning tomoni bo‘lsa, u holda uning yuzi
S= 3b2√3
2
bo‘ladi. Demak,
b=
√
2S
3√3 bo‘lib, perimetri
p6=6b=6
√
2S
3√3 bo‘ladi.
Shunday qilib, bir xil yuzga ega bo‘lgan figuralarning perimeterlari:
p3=6
√
S
√3
; p4= 4√S ; p6=6
√
2S
3√3 bo‘ladi.
Endi perimetrlarni taqqoslaymiz:
p3:p4:p6= 6
√
S
√3
:4√S:6
√
2S
3√3
yoki
p3:p4:p6=1:2
3
4√3:1
3√6=1:0,905 :0,816
.
Shunday qilib, bir xil yuzli muntazam uchburchak, to‘rtburchak va
oltiburchaklar orasida muntazam oltiburchak eng kichik perimetrga ega bo‘ladi.
Shuning uchun asalarilar o‘z uyasini qurishda kamroq mum sarflash
maqsadida olti burchakli yacheykalarni tanlashgan.
Asalari uyasining boshqa tuzilishlariga to‘xtab o‘tmasdan, qo‘yilgan
masalaning davomi sifatida parket hosil qilish prinsiplari masalasiga o‘tish
mumkin.
9

Parket hosil qilish, ya’ni tekislikni bir xil yoki har xil ko‘pburchaklar bilan
qoplashdir.
Eng oddiy parketlarga misol sifatida faqat muntazam uchburchaklardan yoki
kvadratlardan, yoki muntazam oltiburchaklardan tuzilgan tekisliklarni ko‘rsatish
mumkin.
Bulardan tashqari turli “hosila” parketlar mavjud bo‘lib, ular tomonlarining
soni har xil bo‘lgan turli ko‘pburchaklardan tuzilgan bo‘ladi.
Shuni ham aytish kerakki, har qanday ikki muntazam ko‘pburchakdan parket
hosil qilinadi deb bo‘lmaydi. Bu masalani hal qilishda oldin ikkita savol qo‘yamiz:
1. Qanday ikki muntazam ko‘pburchak parket hosil qiladi?
2. Har qanday ko‘pburchaklardan nechtasining uchi bir nuqtada uchrashadi?
Bir nuqtada n burchaklardan k tasining uchi va p burchaklardan l tasining
uchi uchrashsin. Demak,
k ta n burchak va l ta p burchak nuqta atrofini to‘la
qoplaydi. Shuning uchun
n burchakning k ta ichki burchagi bilan p burchakning
l
ta ichki burchagi 360 0 ga teng bo‘ladi, ya’ni
kn− 2
n
⋅180 0+lp−2
p
⋅180 0=360 0
, bundan k(1− 2
n)+l(1− 2
p)= 2 . (*)
n=3
, p=6 bo‘lsin, u holda
k
6+l
3=1 yoki k+2l=6 bo‘ladi. k+2l=6 aniqmas
tenglamaning butun yechimlari
k= 4 , l=1 va k= 2 , l=2 bo‘ladi. Demak,
muntazam uchburchak va oltiburchaklardan ikki xil parket hosil qilish mumkin:
1) ko‘pburchaklar uchlari uchrashadigan nuqtalarda 4 ta uchburchak va 1 ta
oltiburchakning uchi uchrashadi (10-a chizma);
2) ko‘pburchaklar uchlari uchrashadigan nuqtalarda 2 ta uchburchak va 2 ta
oltiburchakning uchi uchrashadi (10-b chizma).
Endi
n=3 va p= 4 bo‘lsin. Bu qiymatlarni (*) ga qo‘ysak,
10

k(1− 2
3)+l(1− 2
4)= 2 yoki k
6+l
4= 1
1.2. Chiziqli dasturlash masalalari.
Chiziqli dasturlash nazariyasi matematikaning yangi sohalaridan biri bo‘lib,
jumladan, xalq xo‘jaligini planlashtirish va tashkil qilish sohasida amaliy
ahamiyatga ega bo‘lgan ekstremal masalalar bilan shug‘ullanadi.
7 – 8-sinf o‘quvchilarini chiziqli dasturlashning oddiy masalalari va ularni
grafik yoki geometrik usulda yechish bilan tanishtirish maqsadga muvofiqdir.
Bunda asosiy masalaga o‘tishdan avval quyidagi tayyorgarlik mashg‘ulotlarini
o‘tkazish lozim.
Misollar. 1. Bizga ikki noma’lumli birinchi darajali
x+y= 3 tenglama
berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, bu tenglamaning grafigi to‘g‘ri chiziqni ifoda qiladi.
Bu grafikni hosil qilish uchun uning faqat ikkita nuqtasini toppish kifoya. Bunday
hollarda to‘g‘ri chiziqning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toppish
afzalroq. Bu nuqtalar
(0;3) va (3;0) bo‘ladi (22- chizma).
11

Bu tenglamaning boshqacha korinishi: x
3+ y
3=1 (bunda maxrajdagi 3 lar
to‘g‘ri chiziq har ikkala o‘qning musbat tomonidan 3 birlik masofadan o‘tishini
ifoda qiladi).
2.
2x+3y=6 . Bu tenglamaning har ikki tomonini 6 ga bo‘lsak,
x
3+ y
2=1
bo‘lib, bu to‘g‘ri chiziq koordinata o‘qlarini +3 va +2 birlik masofada kesib
o‘tishini ifoda qiladi (23- chizma).
Umuman,
x
a+ y
b=1 ko‘rinishdagi to‘g‘ri chiziqning tenglamasi berilgan
bo‘lsa, bunda
a(a>0) to‘g‘ri chiziqning Ox o‘qning musbat tomonidan kesgan
kesmasi
b esa Oy o‘qdan kesgan kesmasi bo‘ladi.
22- chizma. 23- chizma.
To‘g‘ri chiziqning tenglamasi
ax +by = c ko‘rinishda berilgan bo‘lsa,
x
c
a
+ y
c
b
=1
bo‘lib, o‘qlardagi kesmalar
x= c
a va y= c
b dan iborat bo‘ladi.
Chiziqli dasturlash, matematik va katta ma'lumotlar bilan ishlashda juda muhim
bo'lgan bir qismidir. Bu masalalar, chiziqli algoritmalarni yaratish, ma'lumotlar
analizini amalga oshirish, grafiklarni yaratish va boshqa chiziqli operatsiyalarni
bajarishda yordam beradi.
12

Misol uchun, sizdan quyidagi masalani yechish so'ralishi mumkin:
1. Chiziqli algoritma yordamida kvadratik tenglamani yeching: `y = ax^2 + bx +
c`. A, b va c koeffitsiyentlari berilgan bo'lsin. Ushbu tenglamani yechish uchun
diskriminantni hisoblang va tenglamaning ildizlarini toping.
Bu masalani yechish uchun, quyidagi formulalardan foydalanishingiz mumkin:
Diskriminant: `D = b^2 - 4ac`
Ildizlar: `x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)` va `x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)`
2. Chiziqli algoritma yordamida to'g'ri chiziqning iki nuqtasini o'tish masalasini
yeching. Berilgan ikki nuqta `(x1, y1)` va `(x2, y2)` orasidagi to'g'ri chiziqning
tenglamasini topish uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
Tenglama: `y = mx + b`
Tenglamaning ekvivalent shakli: `(y - y1) = m(x - x1)`
`m` - chiziqning qanchalik qiyinchilikning o'zida bo'lishi (m uchun formulalar
mavjud, masalan, `m = (y2 - y1) / (x2 - x1)`)
`b` - chiziqning o'rtacha nuqtasining o'rdini ifodalovchi qiymat, boshqa so'z bilan,
chiziqning y-kesma qiymati (`b = y - mx` formulasi orqali topiladi, shuningdek,
yoki chiziqning bir nuqtasini o'tirish uchun boshqa usullar ham mavjud).
Bu formulalardan foydalanib, berilgan ikki nuqta orasidagi to'g'ri chiziqning
tenglamasini topishingiz mumkin.
Bu odatiy masalalar faqat ikkala misolga oid. Chiziqli dasturlashda ko'plab boshqa
masalalar ham mavjud bo'lishi mumkin, masalan, koordinatali geometriya,
grafiklar, kvadratik funksiyalar, statistika, optimallashtirish va boshqalar. Bu
masalalar har birida chiziqli dasturlashning qo'llanilishi mumkin bo'lgan turli
usullar va formulalardan foydalaniladi.
13

II.BOB. Ekstremumga doir masalalar yechishning umumiy usullari.{
x+y= 6
x− y= 2
(1)
(2)
tenglamalar sistemasini grafik usulda yechish koordinatalar sistemasida ularning
grafiklarini chizib, kesishish nuqtasining koordinatalari
x=4 , y=2 ni topishdan
iborat (24- chizma).
Ikki noma’lumli tengsizliklarni grafik usulda yechish.
ax ≤b
, a≠0 tengsizlik berilgan bo‘lsin. Bunda x≤ b
a tengsizlik geometrik
tomondan tekislikdagi
24- chizma. 25- chizma.
x= b
a
to‘g‘ri chiziq va undan chapda joylashgan barcha nuqtalar to‘plamini ifoda
qiladi (25- chizma).
14

Endi ikki noma’lumli ax +by ≤ c tengsizlik berilgan bo‘lsin. ax +by = c
to‘g‘ri chiziq koordinata o‘qlarini
(
c
a;0) va (0;c
b) nuqtalarda kesib o‘tadi.
ax +by ≤ c
tengsizlik ax +by = c to‘g‘ri chiziq va undan pastda joylashgan tekislik
nuqtalarining to‘plamini ifoda qiladi (26- chizma).
Shunga o‘xshash,
ax +by ≥ c (a>0, b>0) tengsizlik ax +by = c to‘g‘ri chizq
bilan chegaradosh yuqori yarim tekislikni ifoda qiladi.
Endi
{
ax +by ≤c
a1x+b1y≤c1
(1)
(2)
tengsizliklar sistemasini ko‘raylik. Bu sistemani yechish koordinatalar sistemasida
har ikki tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini toppish demakdir.
Shuning uchun har bir tengsizlikning geometrik tasvirini topib, ularning
umumiy kesimini olamiz (27- chizma).
1-ta’rif. Agar koordinatalari berilgan tengsizliklar sistemasini
qanoatlantiruvchi hech bo‘lmaganda biror nuqta mavjud bo‘lsa, u holda
tengsizliklar sistemasi birgalikda deyiladi.
Odatda tengsizliklar sistemasi yechimi har xil bo‘ladi: bir nuqta, yarim
tekislik, biror ko‘pburchak nuqtalari va hokazo.
15

26-chizma. 27-chizma.
2-ta’rif. Agar ko‘pburchakning barcha nuqtalari uning istalgan tomonining
bir tomonida joylashgan bo‘lsa, uni qavariq ko‘pburchak deyiladi.
Yoki: agar ko‘pburchakning ixtiyoriy ikki nuqtasini barcha nuqtalari shu
ko‘pburchakda joylashgan to‘g‘ri chiziq kesmasi bilan tutashtirish mumkin bo‘lsa,
uni qavariq ko‘pburchak deyiladi (28- chizma).
Misollar.
1) {
2x+3y≤6, (1)
x−2y≤−2 (2)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
Bu sistemaning grafik yechimi 29- chizmada tasvirlangan.
2)
{
2x+3y≤6, (1)
− x+2y≤ 2, (2)
− y≤1 (3)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
Bu sistema tekislikdagi uchburchak nuqtalarining to‘plamini ifoda qiladi
(30- chizma).
3)
{
2x+3y≤6, (1)
− x+2y≤ 2, (2)
− y≤1, (3)
− y≤ 2, (4)
y≤ 2 (5)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
31- chizmadan ko‘rinib turibdiki, koordinatalari bu sistemani
qanoatlantiradigan nuqtalar to‘plami 2-misoldagi kabi uchburchakdan iborat.
Shuning uchun bu sistemada (4) va (5) tengsizliklar ortiqcha, ularni tengsizliklar
sistemasidan chiqarib tashlash mumkin.
16

Bu chizmada y=10
7 to‘g‘ri chiziq uchburcak bilan umumiy chegaraviy
nuqtaga ega. bunday to‘g‘ri chiziq tayanch chizig‘i deyiladi.
Umuman, qavariq ko‘pburchak bilan umumiy chegaraviy nuqtalarga ega
bo‘lib, ko‘pburchak ichki nuqtalarini o‘ziga olmagan har qanday to‘g‘ri chiziq
tayanch chizig‘i deyiladi.
4)
{
2x+3y≤6, (1)
− x+2y≤ 2, (2)
− y≤1, (3)
y≤− 2, (4)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
32- chizmaga asosan koordinatalari bu sistemani qanoatlantiradigan biror
nuqta mavjud emas. Bu holda sistema birgalikda emas deyiladi. Shuning uchun
birgalikda bo‘lgan tengsizliklar sistemasi har doim qavariq to‘plam – qavariq
ko‘pburchakni ifoda qiladi.
Chiziqli funksiya ekstremumi
y=ax +b
chiziqli funksiya berilgan. Ma’lumki, bu funksiyaning grafigi
to‘g‘ri chiziqdan iborat. Bu grafik
a>0 bo‘lganda o‘suvchi, a=0 bo‘lganda
o‘zgarmas (ya’ni abscissa o‘qiga parallel),
a<0 bo‘lganda kamayuvchi bo‘ladi
(33- chizma).
Bu hollarning barchasida chiziqli funksiyaning maksimumi yoki minimum
haqida gap bo‘lishi mumkin emas.
Agar chiziqli funksiya biror
[c;d] kesmada berilgan bo‘lsa, a≠0 bo‘lganda
uning eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladi.
a>0
bo‘lsa, chiziqli funksiyaning eng kichik qiymati x=c nuqtada, eng
katta qiymati esa
x=d nuqtada bo‘ladi (34- chizma, a).
17

a<0 bo‘lganda, aksincha, chiziqli funksiyaning eng kichik qiymati x=d
nuqtada, eng katta qiymati esa,
x=c nuqtada bo‘ladi (34- chizma, b). a=0
bo‘lganda chiziqli funksiyaning barcha qiymatlari teng bo‘ladi (34- chizma, v).
Shunday qilib,
y=ax +b funksiya eng kichik va eng katta qiymatlarni
aniqlanish sohasining chegaralarida qabul qiladi.
Chiziqli dasturlashning oddiy masalasi va uning grafik usulda yechilishi
Faraz qilaylik,
C ikki yoki bir necha x1,x2,...,xn o‘zgaruvchilarning chiziqli
funksiyasi bo‘lib,
x1,x2,...,xn o‘zgaruvchilar chiziqli tengsizliklar sistemasi bilan
bog‘langan bo‘lsin.
U holda chiziqli dasturlash
C ning eng kichik yoki eng katta qiymatlarini
ta’minlaydigan
x1,x2,...,xn larning manfiy bo‘lmagan qiymatlarini toppish
masalalari bilan shug‘ullanadi. Chiziqli dasturlashning masalalaridan biri va uning
grafik usulda yechilishi bilan tanishaylik.
masala. Duradgorlik sexi shkaf va stellar tayyorlaydi. (Shkaf 60 so‘m, stol
40 so‘m turadi). Sex ixtiyorida 60 kub m taxta va 400 ishchi kuni bo‘lib, bir
shkafga 0,2 kub m taxta va 2 ish kuni, bir stolga 0,3 kub m taxta va 1 ish kuni
sarflanadi. Sexning shunday mahsulot chiqarish programmasini tuzish kerakki,
natijada sexning daromadi (pul hisobida) eng yuqori bo‘lsin.
Eng yaxshi, ya’ni foydali natija beradigan plan odatda optimal plan deyiladi.
Chiziqli dasturlash masalalarining yechish usullarini bilmasdan turib, optimal plan
tuzish, hatto boshqa biror plan tuzish qiyin. Masalan, 100 ta shkaf va 200 ta stol
tayyorlash masalasini qo‘yaylik. Bu holda ishchi kuni (400) yetarli, lekin taxta
yetmasdan qoladi. Demak, plan tuzish mumkin emas.
Berilgan masala grafik usulda oson hal qilinadi, ya’ni:
Ko‘rsatkichlar nomi Taxta (kub m) Mehnat (ishchi kuni)
Rezervlar . . . . . . . . . . 60 400
18

1 shkafga sarf normasi
1 stolga sarf normasi . 0,2
0,3 2
1
Tayyorlanishi lozim bo‘lgan shkaflar sonini x , stollar sonini y orqali
belgilaymiz. U holda mahsulot tayyorlashning eng yuqori chegaralarini quyidagi
tengsizliklar yordami bilan belgilash mumkin:
{
0,2 x+0,3 y≤60
2x+y≤ 400
Mahsulotning umumiy narxi:
C=60 x+40 y . U holda masala bunday
yoziladi:
C=60 x+40 y chiziqli formaning
{
0,2 x+0,3 y≤6
2x+y≤400
x≥0
y≥ 0
tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi eng katta qiymati topilsin.
Buning uchun to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida quyidagi
chiziqlar bilan chegaralangan sohani topamiz:
{
0,2 x+0,3 y=6
2x+y=400
x=0
y= 0
35- chizmada shtrixlangan soha to‘rtta chiziqli tengsizliklar sistemasining
yechimini ifoda qiladi. Bu soha
x va y qiymatlarning o‘zgarish chegaralarini
yaqqol ko‘rsatadi.
Endi quyidagi savolga javob topish kerak.
Shtrixlangan sohaning qaysi bir nuqtasida
C=60 x+40 y daromad eng ko‘p
bo‘ladi?
19

Haqiqatan ham, shtrixlangan sohada daromad miqdori C har xil bo‘lishi
mumkin. Masalan, tenglamasi
60 x+40 y= 6000 (3) bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning
nuqtalarida
C=6000 so‘m bo‘ladi. Tenglamasi 60 x+40 y=12000 (4) bo‘lgan to‘g‘ri
chiziqning nuqtalarida esa daromad miqdori
C=12000 so‘m bo‘ladi.
(3) yoki (4) ko‘rinishdagi to‘g‘ri chiziqlarning har birida daromad miqdori
o‘zgarmaydi. Bunday to‘g‘ri chiziqlar sath chiziqlari deyiladi. Bu chiziqlar bir-
biriga parallel bo‘ladi. Sath chizig‘i koordinatalar boshidan qancha uzoqlashsa,
C
ning qiymati ham shuncha kattalashadi,
C ning eng katta qiymati sath chizig‘ining
shtrixlangan soha bilan faqat chegarada umumiy nuqtaga ega bo‘lganida hosil
bo‘ladi.
Masalada sath chizig‘i
Q(150 ,100 ) nuqtadan o‘tganida C eng katta qiymat
C=60 ⋅150 +40 ⋅100 =13000
(so‘m) ga ega bo‘ladi. Shunday qilib, Q nuqta optimal
planni beradi.bunday nuqta optimal nuqta deyiladi.
Demak, agar 150 ta shkaf va 100 ta stol ishlansa, u holda mehnat rezervi
150 ×2+100 ×1=400
ishchi kunidan to‘la foydalaniladi va taxta zapasi
0,2 ×150 +0,3 ×100 =60
kub m to‘la sarflanadi hamda daromad miqdori C=13000
so‘m bo‘ladi.
Umuman, chiziqli dasturlash masalalarini grafik usulda yechish chiziqli
formaning argumentlari qabul qila oladigan soha yoki programmaning barcha
mumkin bo‘lgan hollari aks etadigan soha – qavariq ko‘pburchakni aniqlashdir.
Shundan so‘ng, qavariq ko‘pburchakning uchlarida
C ning qiymatlarini hisoblab,
uning eng katta yoki eng kichik qiymatini aniqlash kerak.
2.1. Funksiyaning ekstremumini ikkinchi tartibli hosila yordamida topish.
20

Funksiyalarning ekstremumlarini topish uchun, ikkinchi tartibli hosila
yordamidan foydalanish mumkin. Bu usulda, funksiyaning hosilasini olish uchun x
qiymatlarini tartiblab boramiz va hosilaning 0 ga yaqin bo'lishini
tekshiribFunksiyaning ekstremumlarini topish uchun, ikkinchi tartibli hosila
yordamidan foydalanish mumkin. Bu usulda, funksiyaning hosilasini olish uchun x
qiymatlarini tartiblab boramiz va hosilaning 0 ga yaqin bo'lishini tekshirib
Kiritilgan funksiyaning ekstremumlarini topish uchun quyidagi qadamalarni
izohlashim mumkin:
1 . Funksiyaning hosilasini olish uchun x qiymatlarini tartiblab chiqing. Bu
uchun funksiyaning grafikini yoki berilgan qiymatlarni foydalanishingiz mumkin.
2 . X qiymatlarini funksiyaga kiriting va mos hosilani toping. Hosila,
funksiyaning qiymatining 0 ga yaqin bo'lishi kerak.
3 . Hosilalarni taqqoslang. Agar x qiymatlari funksiyaning minimum
qiymatlarida hosila berayotgan bo'lsa, u holda funksiya minimal ekstremumga ega
bo'ladi. Agar x qiymatlari funksiyaning maksimum qiymatlarida hosila berayotgan
bo'lsa, funksiya maksimal ekstremumga ega bo'ladi.
4. Hosilalarni hisoblash jarayonini davom ettirish uchun, hosila beruvchi
qiymatlarni funksiyaga kiriting va yangi hosilalarni toping. Ushbu qadamni kerakli
ekstremumga erishguncha takrorlang.
Bu tartibda, ikkinchi tartibli hosila yordamini qo'llab-quvvatlash uchun, hosila
topish uchun mos x oraliqni chetlashtirish uchun bir nechta qo'llanmalar mavjud
bo'ladi, masalan, "Newton-Raphson" yoki "biseksiya" usullari.
Iltimos, funksiyaning formulasi va boshqa ma'lumotlarni taqdim eting, shunda men
sizga amaliy masalani yechishda yordam berishim mumkin.
Teorema. Differensiyallanuvchi y = f ( x )
funksiya biror (a,b) oraliqda
o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, u holda bu oraliqda uning hosilasi f '
(
x ) ≥ 0
[ f ' (
x ) ≤ 0 ]
shartni qanoatlantiradi.
21

Teorema. Agar differensiyallanuvchi y = f ( x )
funksiyaning hosilasi biror (a,b)
oraliqda f '
(
x ) > 0 [ f ' (
x ) > 0 ]
shartni qanoatlantirsa,
unda bu oraliqda funksiya o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi.
Teoremaning birinchi qismi
(a,b) oraliq y = f ( x )
funksiyaning monotonlik
oralig’i bo’lishining zaruriy, ikkinchi qismi esa yetarli shartini ifodalaydi.
Teorema. Berilgan y = f
( x )
funksiya x0 nuqta va uning biror atrofida
aniqlangan bo’lib, bu atrofdagi ixtiyoriy x nuqta uchun f
( x
0 ) ≥ f ( x )
[ f ( x
0 ) ≤ f ( x ) ]
shartni qanoatlantirsa, u shu x
0 nuqtada maksimumga (minimumga) ega deb
ataladi.
Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari uning ekstremumlari
deyiladi.
Teorema. Ferma teoremasi. Agar y = f ( x )
funksiya x
0 nuqtada
differensiallanuvchi va ekstremumga ega bo’lsa, unda bu nuqtada funksiyaning
hosilasi nolga aylanadi. Ya’ni, f '
(
x
0 ) = 0
bo’ladi.
Funksiya ekstremumga ega bo’lgan nuqtada uning hosilasi nolga teng yoki
mavjud bo’lmaydi.
Teorema. Funksiya hosilasini nolga teng qiladigan yoki mavjud qilmaydigan
nuqtalar kritik yoki statsionar nuqtalar deyiladi.
Teorema. (Ekstremumning birinchi yetarli sharti). Agar y = f ( x )
funksiya
x0
kritik nuqtaning biror atrofida differensiyallanuvchi bo’lib, bu kritik nuqtani
chapdan o’ngga qarab bosib o’tishda f '
( x )
hosila o’z ishorasini musbatdan
manfiyga (manfiydan musbatga) o’zgartirsa, unda
x0 kritik nuqtada f ( x )
funksiya
maksimumiga (minimumiga) ega bo’ladi.
Teorema. Agar y = f ( x )
funksiyaning hosilasi
x0 kritik nuqtaning chap va o’ng
atrofida ishorasini o’zgartirmasa, unda bu nuqtada funksiya ekstremumga ega
bo’lmaydi.
Teorema. (Ekstremumning ikkinchi yetarli sharti). Agar
x0 kritik nuqtada
f'(x0)= 0
, f ' '
( x
0 ) ≠ 0
va chekli bo’lsa, unda bu nuqtada y = f ( x )
funksiya
ekstremumga ega bo’ladi. Jumladan, f ' '
(
x
0 ) < 0
( f ' ' (
x
0 ) > 0 )
bo’lsa, f ( x
0 )
funksiyaning
maksimumi (minimumi) bo’ladi.
22

2.2.Ekstremal masalalarga elementar va hosila usulini qo'llanish sintezi.
Elementar va hosila usulini qo'llanish sintezi, ekstremal masalalarga yechim
topishning moddiy resurslar, narxlari yoki vaqtga qarshi cheklanishlari
yo'qotishning bir kombinatsiyasi sifatida ta'riflanadi. Bu usul, eng yaxshi o'tish
nuqtasi joylashtirish uchun optimallashtirilgan algoritmalardan foydalanadi.
Elementar usul, bir masalani yechishning minimal miqdordagi loyihalarni
qo'llab-quvvatlaydi. Ushbu usul keng qo'llaniladigan jarayonlari soddalashtiradi va
barcha muhim kontrlar bilan birgalikda ilgari natijaga erishish imkonini beradi.
Elementar usul lekin, yechish jarayonlarida eng yaxshi natijani ta'minlaya
olishning ko'paytirilgan variantlar to'plamini yaratmaydi. Bu usul masalani hal
qilishni tezkor va soddadan bahra beradigan.
Hosila usulida esa, masalani yechish uchun moddiy resurslar va narxlardan
yoki vaqtdan samarali foydalaniladi. Ushbu usul, masalani yechib olishda samarali
natijalar olish uchun optimallashtirilgan algoritmalar va ma'lumotlardan
foydalanadi. Hosila usulidagi yechimlar, optimallashtirilgan planlash va axborot
ilovalarining qo'llanilishi bilan birga, formalsiz va aniq natijaga erishishni
ta'minlash uchun tashkil etilgan.
23

Elementar va hosila usullarining sintezi, ekstremal masalalarni yechish bilan
bog'liq tizimni eng yaxshi muammoga moslashishga yordam beradi. Bu sintez
jarayoni masalalarning hal qilinishini tezkorlashtiradi, natijalarning sifatini
oshiradi va yechish jarayonlarini samarali qiladi. Ushbu sintez, matematika,
injiniring, optimallik, ma'lumotlar analitiği va boshqa sohalardagi muammolarni
yechish uchun ishlatiladi.
Ekstremal masalalarga elementar va hosila usullarni qo'llash, umumiy tartib
va qavramlarni ishlatish orqali eng yirik yoki eng kichik qiymatlarni topishni talab
qiladi. Bu usullar masofaviy funksiyalarning maksimum yoki minimum
qiymatlarini topish uchun qo'llaniladi.
Bunday masalalar uchun elementar usullar quyidagilardir:
1. Funksiyaning kritikal nuqtalari : Ekstremal nuqtalarni topish uchun,
funksiyaning birinchi turli va ikkinchi turli chiziqlari yordamida funksiyaning
kritikal nuqtalari aniqlanadi. Bu nuqtalar funksiya ustida maksimum, minimum
yoki tezligi nol bo'lgan nuqtalar bo'ladi.
2. Lagranj metodi: Lagranj metodi keng ko'lamda qo'llanuvchi usuldir. Agar
cheklovlar (shartlar) mavjud bo'lsa, Lagranj funksiyasini ishlatish orqali cheklovlar
ostida ekstremal nuqtalarni topish mumkin.
3. Gradient metodi : Bu usulda funksiyaning gradienti (yo'nalishi) orqali ekstremal
nuqta izohlanadi. Gradient yordamida funksiyaning o'sish yoki kamayish yo'nalishi
aniqlanadi.
4. Kvadratik programlash. Kvadratik programlash usullari yordamida kvadratik
funksiyalarning ekstremal qiymatlari topiladi. Bu usul linearni yoki kvadratik
cheklovlar bilan belgilangan sharoitlarda foydalaniladi.
5. Dinamik programlash : Bunday masalalarda, muammolarni ortga qaytish va
undan foydalanish orqali eng yaxshi yechim topiladi. Qayta ishlash jarayoni orqali
ekstremal muammolarni hal qilish uchun foydalaniladi.
24

6. Evolyutsion metodlar : Evolyutsion yoki genetik algoritmlar, har xil
yechimlarni generatsiya qilish va ularning eng yaxshi yechimni topishda
qo'llaniladi. Bu usulda muammolar ko'plab parametrlarga ega bo'lgan funksiyalar
uchun yechim topishda yordam beradi.
Bu usullar bir qancha matematik modellar va muammolarni hal qilishda
qo'llaniladi. Masalani aniqlash uchun ma'lumotlarni, funksiyalar yoki cheklovlar
shartlarini ko'rsatish shart. Har bir usulning o'zida afzalliklari va cheklovlar
mavjud. Bunday muammolarni hal qilishda har bir usulni qo'llashda, maqsad
masalani aniqlab, masalani to'g'ri ko'rish va uni echish uchun yengilmaslik yoki
cheklovlar bo'lishi kerak
Xulosa
Ekstremal masala - matematika, fizika, muhandislik va boshqa ko'plab
fanlarda muhim rol o'ynaydigan mavzu. Ushbu turdagi muammolar muayyan
maqsadga erishish uchun eng yaxshi yoki eng yomon holatni aniqlashga
qaratilgan.
Odatda, ular ma'lum bir cheklov ostida funktsiya yoki tizimdagi
o'zgaruvchilarning eng kichik yoki eng katta qiymatini topishga qaratilgan. Bu
cheklovlar ko'pincha cheklovchi tenglamalar yoki tengsizliklar ko'rinishida
ifodalanadi va masalani yechish uchun bu cheklovlardan yuqori yoki pastda
optimal yechim topish kerak bo'ladi.
Haqiqiy hayotda duch keladigan ko'plab muammolarni hal qilish uchun
ekstremal masala ishlatiladi. Masalan, ular ishlab chiqarish jarayonlarini
optimallashtirish, iqtisodiy qarorlar qabul qilish yoki xarajatlarni minimallashtirish
yoki samaradorlikni oshirish kabi maqsadlarda logistika rejalashtirish kabi
sohalarda qo'llanilishi mumkin.
Ekstremal masalalarni hal qilishga matematik usullar va optimallashtirish
usullari yordamida erishish mumkin. Ushbu metodlar lotin hisobi, qaror
25

o'zgaruvchilari, cheklangan optimallashtirish, chiziqli va lotin bo'lmagan
dasturlash kabi usullarni o'z ichiga oladi.
Natijada, ekstremal masalalar eng yaxshi yoki eng yomon holatlarni aniqlash
uchun matematik va analitik yondashuvlar yordamida muammolarni hal qilishga
yordam beradigan muhim mavzudir. Bunday muammolar ko'plab sohalarda
ilovalarni topadi va yaxshiroq qarorlar qabul qilish va resurslardan samarali
foydalanish uchun foydali vositalarni taqdim etadi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Algеbra va analiz asoslari (10-11 sinflar). «Oqituvchi» T. 1984y.
2. I.B.Abеlson. Maksimum va minimum. ONTI. M-L. 1935y.
3. M.N.Bashmakov. Uravnеniya i nеravеnstva. «Nauka», M., 1971g.
4. Э.С.Беляева., Б.М.Манахов. Экстремальные задачи. «Просвещение»., М.,
1977г.
5. С.И.Зетель. Задачи на максимум и минимум. ОГИЗ. М-Л. 1948г.
6. И.П.Натансон. Простейшие задачи на максимум и минимум. ГИТТЛ. М.,
1951г.
7. A . G . Hikmatov . Maktab mat е matika kursida ekstr е mal masalalar . «Oqituvchi»
T. 1970 y.
8. A.G.Hikmatov. Ekstrеmal masalalar. «O`qituvchi» T. 1985 y
26

Ekstirimal masalalar kurs ishi

Купить