Войти Регистрация

Docx

  • Рефераты
  • Дипломные работы
  • Прочее
    • Презентации
    • Рефераты
    • Курсовые работы
    • Дипломные работы
    • Диссертациии
    • Образовательные программы
    • Инфографика
    • Книги
    • Тесты

Информация о документе

Цена 30001UZS
Размер 787.7KB
Покупки 0
Дата загрузки 09 Январь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Navruz

Дата регистрации 03 Декабрь 2023

20 Продаж

Ekstirimal masalalar kurs ishi

Купить
Ekstirimal masalalar
Kirish………………………………………………………………………2
Asosiy qisim………………..……………………………………………...3
I.BOB. Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish……3
1.1. Asalari uyasining tuzilishi haqidagi masala…………………….6
1.2. Chiziqli dasturlash masalalari…………………………………..11
II.BOB. Ekstremumga doir masalalar yechishning umumiy usullari...13
2.1.   Funksiyaning   ekstremumini   ikkinchi     tartibli   hosila   yordamida
topish………..…………………………………………………….....20
2.2.   Ekstremal   masalalarga   elementar   va   hosila   usulini   qo'llanish
sintezi………………………………………………………………..23
Xulosa……………………………………………………………………...25
Foydalangan adabiyotlar…………………………………………………26
1 Kirish
Ekstremal   masalalar   matematikning   bir   qismidir   va   ularning   yechimi
ekstremal funksiyalar turkumiga kiradi. Bu masalalar, bir funksiyaning maksimum
yoki minimum qiymatini topishni  talab qiladi. Ekstremal masalalar matematikada
optimallashtirishning muhim bir qismidir.
Ekstremal   masalalar   o'qitishda   ham   keng   qo'llaniladi.   Bu   masalalar
matematikning turli sohalarida, fizikada, iqtisodiyotda va boshqa sohalarda yuzaga
keladi. Ular matematikning ilmiy uslublarini va formulalarini qo'llab-quvvatlaydi.
Ekstremal masalalar matematikning klassik yechimlari bilan hal etiladi. Eng
sodda   optimallashtirish   usuli   ko'rib   chiqiladi.   Masalalar   matematik   ifodalari
yordamida ifodalanadi va ularga klassik yechimlar topiladi.
Ekstremal masalalar matematikning ikkinchi hosilasi bo'lib, differensiallash
xususiyatiga   ega   bo'lsa,   bu   masalalar   ekstremal   yechimga   ega   bo'lmaydi.   Ular
uchun o'zgaruvchilar bo'yicha hosila olib, differensiallashni nolga tenglash asosida
ekstremal yechim topiladi.
Ekstremal   masalalar   matematikning   tahlil   va   sintez   jarayonlarida   ham
muhim o'rin tutadi. Ular matematik modellar yordamida ifodalanadi va matematik
usullar bilan yechiladi.
"Ekstremal   masalalar"   deyilganida,   ekstremal   sportlar,   aventura
yollari   yoki   riskli   faoliyatlar   kabi   muammolar   o'zimizga   keladi.   Bu   turlar   odatda
qo'shimcha tashviqli, kuchli hissiyotlarni oshiruvchi va maqbul davom etish uchun
katta xavf va jahlga ega bo'lgan faoliyatlardir.
Ekstremal   masalalar,   barcha   sport   turlarida,   masalan,   toshqinlik,   parashut,
skayserfing,   daovqoq,   basejamping,   mauntinbiking,   ska'latash   va   boshqalar   kabi
faoliyatlar   orqali   amalga   oshirilishi   mumkin.   Bu   turlar   yuqori   risk   darajasi   va
fizikaviy   va   ma'naviy   tayyorgarlik   talab   etadi.Ekstremal   masalalar   qilishning   bir
qismi   sport   turlariga,   bizning   g'oyalarimizni   va   qobiliyatlarni   sinash   uchun
qo'llaniladi.   Ularning   asosiy   maqsadi,   adrenalin   va   kuchli   hissiyotlarni   oshirish,
harakatlanish va jasoratli ishlarni bajarish, jismoniy va ma'naviy kuchlarni sinash,
o'z-o'zini boshqalarga isbotlash va xududlarning chegaralarini ko'rishdir.
  Bundan tashqari, ekstremal masalalar hamda riskli faoliyatlar, xavfsizlik va
maqbul   davom   etish   uchun   katta   muammolar   tug'ildiradi.   Tayyorlanish,   mahorat
va   yo'qotishning   to'g'ri   va   xavfsiz   usullari,   xavf   va   belgilangan   chegaralardan
tashqari, o'z xavf va xavfsizlikni tushunish hamda ushbu faoliyatlar uchun kerakli
tahlil va tushunchalarni oshirish zarur bo'ladi.
Ekstremal   masalalar   haqida   to'liq   ma'lumot   olish,   shaxsiy   xavf   va
tajribangizni   hisobga   olgan   holda   mutaxassislar   bilan   muloqot   qilish   tavsiya
etiladi.
2 I bob. Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish
Boshlang‘ich tushunchalar
Miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlari orasida eng katta yoki eng kichik
qiymatini   ajratib   olish   ba’zan   matematikaning   asosiy   tushuncha   va
munosabatlaridan foydalanib ham hal etilishi mumkin.
Shunday masalalardan bir nechtasini ko‘rib o‘tamiz:
1- masala. y=3−(5+x)2  funksiyaning eng katta qiymati topilsin.
Yechish.   Ma’lumki, kamayuvchi o‘zgarmas bo‘lganda ayirmaning eng katta
qiymati   ayriluvchining   eng   kichik   qiymatiga   mos   keladi.   Ya’ni,   kamayuvchi   3
o‘zgarmas bo‘lgani uchun 	
(5+x)2  ayriluvchi 	x=−5  bo‘lganda eng kichik qiymatga
erishiladi.
Demak, 	
y=	3−(5+x)2 ning eng katta qiymati 3 ga teng.
2 -masala.  	
f(x)=(log	23)sin	x   va  	ϕ(x)=(log	32)cos	x   funksiyalarning   eng   katta
qiymatlari bir-biriga tengligi isbotlansin.
Yechish.   Ma’lumki,   ko‘rsatkichli  	
y=ax   funksiya  	a>1   bo‘lganda   o‘suvchi
va 	
0<a<1  bo‘lganda kamayuvchi bo‘ladi.	
f(x)
  va  	ϕ(x)   funksiyalar   ham   ko‘rsatkichli   funksiyalar   bo‘lib,   mos   holda
ularning asoslari 
a=log	23>1  va 	a=log	32<1 .
Demak,  	
f(x)=(log	23)sin	x   o‘suvchi   funksiya   bo‘lib,   o‘zining   eng   katta
qiymatiga 	
sin	x  ning eng katta qiymatida, ya’ni 	sin	x=1  da erishadi, ya’ni 	f(x)  ning
eng katta qiymati 	
log	23  ga teng bo‘ladi. 	ϕ(x)=(log	32)cos	x    esa kamayuvchi funksiya
bo‘lib,   o‘zining   eng   katta   qiymatiga  	
cos	x   ning   eng   kichik   qiymatida,   ya’ni	
cos	x=−1
 da erishadi. Demak, 	ϕ(x)  ning eng katta qiymati 	(log	32)−1  ga teng bo‘ladi.
Ma’lumki, 	
(log	32)−1=	1	
log	32=	log	23 .
Shuning uchun 	
f(x)  va 	ϕ(x)  funksiyalarning eng katta qiymatlari bir xil, 
ya’ni 	
log	23  ga teng ekan.
3 -masala.  Kub formasidagi metalldan stanokda imkoniyati boricha eng katta
shar hosil qilingan. Nima og‘ir: sharmi yoki chiqindimi?
3 Yechish .   Kubning   qirrasi  a ,   hajmi  	a3   bo‘ladi.   Bu   kubga   ichki   chizilgan
sharning radiusi 	
a
2  bo‘lgani uchun sharning hajmi 	
1
6πa	3  bo‘ladi.
Endi shar hajmi bilan kub hajmini taqqoslaymiz. 	
π>3  bo‘lgani uchun 	
π
6>1
2
. Shuning uchun 	
π
6a3>1
2a3 .
Demak,   shar   hajmi   kub   hajmining   yarmidan   katta,   shuning   uchun   shar
chiqindidan og‘irroq bo‘ladi.
4-   masala.   Uchburchakning   perimetri   1   sm.   Shu   uchburchakka   tashqi
chizilgan aylananing radiusi 1km dan ham katta bo‘lishi mumkinmi?
Yechish.  Uchburchakning perimetri 1 sm bo‘lgani uchun uning ikki tomonini
juda  kichik   va   ular   orasidagi   o‘tmas   burchakni  	
180	0   ga   juda   yaqin  qilib  olinsa,   u
holda   shu   uchburchakka   tashqi   chizilgan   aylana   markazi   bu   ikki   tomon
simmetrallari   (tomonlar   o‘rtalariga   o‘tkazilgan   perpendikular)   deyarli   parallel
bo‘ladi.   Simmetrallarning   kesishuv   nuqtasi  	
180	0   li   burchakka   juda   yaqin   bo‘lgan
o‘tmas burchak uchidan 1 km dan ham ko‘proq uzoqlikda bo‘lishi mumkin.
5 -   masala.   Kvadrat   va   romb   teng   perimetrlarga   ega.   qaysi   birining   yuzi
katta?
Yechish.   Kvadrat   va   rombning   perimetrlari   tengligidan   ularning   tomonlari
ham teng bo‘ladi, uni 	
a   bilan belgilaymiz. Kvadrat yuzi 	a2  ga teng bo‘ladi.
Endi   romb   yuzini   hisoblash   uchun   uning   tomonlaridan   birini   asos   va   unga
tushirilgan   balandlikni  	
h   desak,   romb   yuzi  	ah   bo‘ladi.   Lekin  	h<a ,   chunki  	h
balandlik gipotenuzasi 	
a  bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetidir.	
h<a
  bo‘lgani   uchun  	ah	<a2 ,   demak,   romb   yuzi   kvadrat   yuzidan   kichik
bo‘ladi.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan har bir masalada funksiyalarning eng katta yoki eng
kichik   qiymatlari   izlandi.   Bu   izlanishda   maksimum   va   minimum   nazariyasining
ma’lum   metodlaridan   foydalanmasdan,   masalaning   mohiyati   bo‘yicha,   ma’lum
qonuniyatlardan foydalanildi.
Endi   ba’zi   bir   oddiy   masalalarni   hal   qilishda   qo‘l   keladigan   sinash   usulini
ko‘rib o‘tamiz.
6 -   masala.   Perimetri   120   m   bo‘lib,   yuzi   eng   katta   bo‘lgan   to‘g‘ri
to‘rtburchak   shaklidagi   yer   uchastkasi   o‘rab   olinsin.   Bu   to‘rtburchakning
o‘lchovlari qanday bo‘lishi mumkin?
Yechish.  Masalani yechish uchun bunday savol qo‘yamiz:
4 To‘g‘ri   to‘rtburchak   perimetri   o‘zgarmasdan,   uzunligi   va   kengligi
o‘zgarganda uning yuzi o‘zgaradimi?
To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki qo‘shni tomnlari uzunliklarining yig‘indisi 60
m.   Shuning   uchun   uning   tomonlarini   bunday   tanlash   mumkin:   20   m   va   40   m,   u
holda yuzi 20	m×40	m=800	kv	.m  yoki 10 m va 50 m, u holda yuzi 	10	m×50	m=500	kv	.m
.
Demak,   to‘g‘ri   to‘rtburchakning   perimetrini   o‘zgartmasdan   faqat
tomonlarini o‘zgartsak, uning yuzi o‘zgarar ekan.
Perimetri 120 m bo‘lib, tomonlar qanday bo‘lganda to‘g‘ri to‘rtburchakning
yuzi eng katta bo‘ladi?
Bu   savolni   hal   qilish   uchun   to‘g‘ri   to‘rtburchakning   bo‘yini  	
a ,   enini  	b
yuzini esa 	
S  bilan belgilab, quyidagi jadvalni tuzmiz:	
a
1 2 3 4 … 29 30 31 … 58 59
b
59 58 57 56 … 31 30 29 … 2 1
S
59 116 171 224 … 899 900 899 … 116 59
Jadvaldan 	
a  ning qiymatlari 1 dan 59 gacha o‘sganda, 	b  ning qiymatlari 59
dan   1   gacha   kamayishini   ko‘ramiz.  	
S   esa   butunlay   boshqacha   o‘zgaradi:   oldin
qiymatlari   kattalashib,   so‘ngra   tobora   kichik   qiymatlar   ola   boshlaydi.   Demak,  	
S
ning qabul qiladigan qiymatlari orasida eng kattasi bor.
Jadvaldan 	
S  ning eng katta qiymati 900 kv.m ekanligi, bu esa 	a=b=30	m  ga
mos kelishi ko‘rinib turibdi.
Haqiqatan ham, bu qiymat 	
S  ning eng katta qiymati bo‘la oladimi?	
a=29	,5
 m, 	b=30	,5  m bo‘lganda 	S=29	,5×30	,5=899	,75  kv.m bo‘ladi;	
a=30	,5
 m, 	b=29	,5  m bo‘lganda 	S=30	,5×29	,5=899	,75 kv. m bo‘ladi.
Endi  	
a=29	,6   m,  	a=29	,7   m,   …,  	a=30	,4   m   bo‘lganda   yuzni   hisoblaymiz.
Buning uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:	
a
29,6 29,7 29,8 29,9 30,0 30,1 30,2 30,3 30,4
b
30,4 30,3 30,2 30,1 30,0 29,9 29,8 29,7 29,6
S
899,84 899,91 899,96 899,99 900,00 899,99 899,96 899,91 899,84	
a
  ning   30   m   ga   juda   yaqin   qiymatlarida   ham  	S   ning   900   kv.   m   ga   teng
qiymatiga erisha olmadik.
5 Demak,   900   kv.   m  S   uchun   eng   katta   qiymat   hisoblanadi.   Bu   qiymat	
a=b=30
 m bo‘lganda hosil qilinadi.
Demak, perimetri o‘zgarmas bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida kvadrat 
eng katta yuzga ega bo‘lar ekan.
1.1. Asalari uyasining tuzilishi haqidagi masala.
Ma’lumki,  asalari  uyasi   mumdan  yasalgan   o‘n  yoqli  yacheykalarning  qator
joylashishidan iborat.
O‘n   yoqlini   tasavvur   qilish   uchun   muntazam   olti   burchakli   to‘g‘ri
prizmaning  	
ABCDEF   asosining  	AC ,  	CE   va  	EA   diagonallari   orqali   o‘zaro
kesishadigan uchta tekislik o‘tkazamiz.
Shunday   qilib,   o‘n   yoqli   figuraning   6   yog‘i   to‘g‘ri   burchakli
to‘rtburchaklardan,   3   yog‘I  	
ASCG   ga   o‘xshagan   3  ta   rombdan   va   bir   ochiq  yog‘i
muntazam   oltiburchakdan   iborat.  	
¿AGC	=	β   deb   belgilasak,  	β   ning   qiymati
taxminan  	
109	0   ga   teng   bo‘ladi.   Aniqrog‘i,  	β=109	028'16'' .	
β
 ning bu qiymati asalari yacheykasining berilgan hajmda
eng kichik sirtga ega bo‘lishini ta’minlaydi (7-chizma).
Biz   asalari   uyasining   ko‘ndalang   kesimida   nima
uchun   muntazam   oltiburchaklar   yotishi   masalasi   bilan
shug‘ullanamiz.   Haqiqatan,   asalari   uyasining   ko‘ndalang
kesimida nima uchun muntazam oltiburchaklar yotadi?
Bu   savolga   javob   berish   uchun   geometriyaga
murojaat   qilamiz.   Qanday   muntazam   ko‘pburchaklar   yordamida   tekislikni   to‘la
qoplash   mumkin?   Ya’ni   bir   xil   muntazam   ko‘pburchaklarni   tekislikda   shunday
joylashtirish   kerakki,   ular   bir-birlari   bilan   ustma-ust   tushmagan   holda   tekislikda
6 ular   qoplamagan   nuqtalar   qolmasin.   Bunday   xossaga   ega   bo‘lgan   faqat   uchta
muntazam ko‘pburchak: uchburchak, kvadrat, ol tiburchak borligi qadimdan, hatto
qadimgi grek matematiklaridan Pifagorga ham ma’lum bo‘lgan (8-chizma).
Nima   uchun   boshqa   muntazam   ko‘pburchaklar   ko‘rsatilgan   xossaga   ega
emas?
Bu   savolga   javob   berish   uchun   muntazam  n   burchakning   bitta   ichki
burchagining  	
180	0(n−2)	
n   ga   tengligidan   foydalanamiz.   Shunday   burchaklardan  	k
tasi   bir   nuqta   atrofidagi   tekislikni   to‘ldirsa,   u   holda  	
k180	0(n−	2)	
n	=360	0   yoki	
k=	2n	
n−2
 bo‘ladi.
10- chizma.
7 Demak, muntazam uchburchak va kvadratlardan parket hosil qilib, ularning
uchlari   uchrashadigan   nuqtalarda   3   ta   uchburchak   va   2   ta   kvadratning   uchi
uchrashadi (11- chizma).
Agar  n=4 ,  	p=8   bo‘lsa,   (*)   ga   asosan  	
k
4+3l
8=1   bo‘lib,   uning   butun
yechimlari 	
k=1 , 	l=2  bo‘ladi.
Demak, kvadrat va muntazam sakkizburchakdan ham parket yasahs mumkin
ekan (12-chizma).
O‘quvchilarga boshqa hollarni ham ko‘rsatish mumkin. Ba’zi hollarda 3 xil
ko‘pburchaklardan ham parket tuzish masalasi qo‘yiladi. U holda asosiy tenglama:
k	n−	2
n	
⋅180	0+lp−	2
p	
⋅180	0+m	q−	2
q	
⋅180	0=	360	0
bo‘ladi.
Bundan 	
k(1−	2
n)+l(1−	2
p)+m(1−	2
q)=	2 . (**)
Agar  	
n=3 ,  	p=	4 ,  	q=6   bo‘lsa,  u holda (**)  ga asosan  	
k
3+l
2+2m
3	=2   hosil
bo‘ladi.  	
k=1 ,  	l=2 ,  	m=1   bu   tenglamani   qanoatlantiradi.   Demak,   muntazam
uchburchak, oltiburchak va kvadratlardan parket hosil qilish mumkin (13- chizma).
11- chizma. 12- chizma. 13- chizma.
Haqiqatan ham, muntazam uchburchak, muntazam oltiburchak va kvadrat 
bir xil 	
S  yuzga ega bo‘lsin. Ularning perimetrlarini taqqoslaymiz.
8 Agar  a   muntazam  uchburchakning  tomoni   bo‘lsa,   u  holda  uchburchakning
yuzi  	
S=	a2√3
4   bo‘ladi.   Bundan  	
a=	2
√	
S
√3 .   Uchburchakning   perimetri   esa	
p3=3a=6
√	
S
√3
 bo‘ladi.
Agar 
S  kvadratning yuzi bo‘lsa, uning tomoni 	√S  bo‘lib, kvadrat perimetri	
p4=	4√S
 bo‘ladi.
Agar  	
b   muntazam   oltiburchakning   tomoni   bo‘lsa,   u   holda   uning   yuzi	
S=	3b2√3	
2
 bo‘ladi. Demak, 	
b=
√	
2S	
3√3  bo‘lib, perimetri 	
p6=6b=6
√	
2S	
3√3  bo‘ladi.
Shunday   qilib,   bir   xil   yuzga   ega   bo‘lgan   figuralarning   perimeterlari:	
p3=6
√	
S
√3
; 	p4=	4√S ; 	p6=6
√	
2S	
3√3  bo‘ladi.
Endi perimetrlarni taqqoslaymiz:	
p3:p4:p6=	6
√	
S
√3
:4√S:6
√	
2S	
3√3
 yoki	
p3:p4:p6=1:2
3
4√3:1
3√6=1:0,905	:0,816
.
Shunday   qilib,   bir   xil   yuzli   muntazam   uchburchak,   to‘rtburchak   va
oltiburchaklar orasida muntazam oltiburchak eng kichik perimetrga ega bo‘ladi.
Shuning   uchun   asalarilar   o‘z   uyasini   qurishda   kamroq   mum   sarflash
maqsadida olti burchakli yacheykalarni tanlashgan.
Asalari   uyasining   boshqa   tuzilishlariga   to‘xtab   o‘tmasdan,   qo‘yilgan
masalaning   davomi   sifatida   parket   hosil   qilish   prinsiplari   masalasiga   o‘tish
mumkin.
9 Parket hosil qilish, ya’ni tekislikni bir xil yoki har xil ko‘pburchaklar bilan
qoplashdir.
Eng oddiy parketlarga misol sifatida faqat muntazam uchburchaklardan yoki
kvadratlardan, yoki muntazam oltiburchaklardan tuzilgan tekisliklarni ko‘rsatish 
mumkin.
Bulardan tashqari turli “hosila” parketlar mavjud bo‘lib, ular tomonlarining 
soni har xil bo‘lgan turli ko‘pburchaklardan tuzilgan bo‘ladi.
Shuni ham aytish kerakki, har qanday ikki muntazam ko‘pburchakdan parket
hosil qilinadi deb bo‘lmaydi. Bu masalani hal qilishda oldin ikkita savol qo‘yamiz:
1. Qanday ikki muntazam ko‘pburchak parket hosil qiladi?
2. Har qanday ko‘pburchaklardan nechtasining uchi bir nuqtada uchrashadi?
Bir nuqtada n  burchaklardan 	k  tasining uchi va 	p  burchaklardan 	l  tasining
uchi   uchrashsin.   Demak,  	
k   ta  	n   burchak   va  	l   ta  	p     burchak   nuqta   atrofini   to‘la
qoplaydi. Shuning uchun  	
n   burchakning  	k   ta ichki burchagi bilan  	p   burchakning	
l
 ta ichki burchagi 	360	0  ga teng bo‘ladi, ya’ni	
kn−	2
n	
⋅180	0+lp−2
p	
⋅180	0=360	0
, bundan    	k(1−	2
n)+l(1−	2
p)=	2 . (*)	
n=3
,  	p=6   bo‘lsin,   u   holda  	
k
6+l
3=1   yoki  	k+2l=6   bo‘ladi.  	k+2l=6   aniqmas
tenglamaning   butun   yechimlari  	
k=	4 ,  	l=1   va  	k=	2 ,  	l=2   bo‘ladi.   Demak,
muntazam uchburchak va oltiburchaklardan ikki xil parket hosil qilish mumkin:
1) ko‘pburchaklar uchlari uchrashadigan nuqtalarda 4 ta uchburchak va 1 ta
oltiburchakning uchi uchrashadi (10-a chizma);
2) ko‘pburchaklar uchlari uchrashadigan nuqtalarda 2 ta uchburchak va 2 ta
oltiburchakning uchi uchrashadi (10-b chizma).
Endi 	
n=3  va 	p=	4  bo‘lsin. Bu qiymatlarni (*) ga qo‘ysak,
10 k(1−	2
3)+l(1−	2
4)=	2 yoki 	k
6+l
4=	1
1.2. Chiziqli dasturlash masalalari.
Chiziqli dasturlash nazariyasi matematikaning yangi sohalaridan biri bo‘lib,
jumladan,   xalq   xo‘jaligini   planlashtirish   va   tashkil   qilish   sohasida   amaliy
ahamiyatga ega bo‘lgan ekstremal masalalar bilan shug‘ullanadi.
7   –   8-sinf   o‘quvchilarini   chiziqli   dasturlashning   oddiy   masalalari   va   ularni
grafik   yoki   geometrik   usulda   yechish   bilan   tanishtirish   maqsadga   muvofiqdir.
Bunda   asosiy   masalaga   o‘tishdan   avval   quyidagi   tayyorgarlik   mashg‘ulotlarini
o‘tkazish lozim.
Misollar.   1.   Bizga   ikki   noma’lumli   birinchi   darajali  	
x+y=	3   tenglama
berilgan   bo‘lsin.   Ma’lumki,   bu   tenglamaning   grafigi   to‘g‘ri   chiziqni   ifoda   qiladi.
Bu grafikni hosil qilish uchun uning faqat ikkita nuqtasini toppish kifoya. Bunday
hollarda   to‘g‘ri   chiziqning   koordinata   o‘qlari   bilan   kesishish   nuqtalarini   toppish
afzalroq. Bu nuqtalar 	
(0;3)  va 	(3;0)  bo‘ladi (22- chizma).
11 Bu   tenglamaning   boshqacha   korinishi:  x
3+	y
3=1   (bunda   maxrajdagi   3   lar
to‘g‘ri   chiziq   har   ikkala   o‘qning   musbat   tomonidan   3   birlik   masofadan   o‘tishini
ifoda qiladi).
2.  	
2x+3y=6 .   Bu   tenglamaning   har   ikki   tomonini   6   ga   bo‘lsak,  	
x
3+	y
2=1
bo‘lib,   bu   to‘g‘ri   chiziq   koordinata   o‘qlarini   +3   va   +2   birlik   masofada   kesib
o‘tishini ifoda qiladi (23- chizma).
Umuman,  	
x
a+	y
b=1   ko‘rinishdagi   to‘g‘ri   chiziqning   tenglamasi   berilgan
bo‘lsa,   bunda  	
a(a>0)   to‘g‘ri   chiziqning  	Ox   o‘qning   musbat   tomonidan   kesgan
kesmasi 	
b  esa 	Oy  o‘qdan kesgan kesmasi bo‘ladi.
22- chizma. 23- chizma.
To‘g‘ri   chiziqning   tenglamasi  	
ax	+by	=	c   ko‘rinishda   berilgan   bo‘lsa,	
x
c
a
+	y
c
b
=1
 bo‘lib, o‘qlardagi kesmalar 	
x=	c
a  va 	y=	c
b  dan iborat bo‘ladi.
Chiziqli   dasturlash,   matematik   va   katta   ma'lumotlar   bilan   ishlashda   juda   muhim
bo'lgan   bir   qismidir.   Bu   masalalar,   chiziqli   algoritmalarni   yaratish,   ma'lumotlar
analizini   amalga   oshirish,   grafiklarni   yaratish   va   boshqa   chiziqli   operatsiyalarni
bajarishda yordam beradi.
12 Misol uchun, sizdan quyidagi masalani yechish so'ralishi mumkin:
1. Chiziqli  algoritma  yordamida kvadratik tenglamani  yeching:  `y = ax^2 + bx +
c`.   A,   b   va   c   koeffitsiyentlari   berilgan   bo'lsin.   Ushbu   tenglamani   yechish   uchun
diskriminantni hisoblang va tenglamaning ildizlarini toping.
Bu masalani yechish uchun, quyidagi formulalardan foydalanishingiz mumkin:
Diskriminant: `D = b^2 - 4ac`
Ildizlar: `x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)` va `x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)`
2.   Chiziqli   algoritma   yordamida   to'g'ri   chiziqning   iki   nuqtasini   o'tish   masalasini
yeching.   Berilgan   ikki   nuqta   `(x1,   y1)`   va   `(x2,   y2)`   orasidagi   to'g'ri   chiziqning
tenglamasini topish uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
Tenglama: `y = mx + b`
Tenglamaning ekvivalent shakli: `(y - y1) = m(x - x1)`
`m`   -   chiziqning   qanchalik   qiyinchilikning   o'zida   bo'lishi   (m   uchun   formulalar
mavjud, masalan, `m = (y2 - y1) / (x2 - x1)`)
`b` - chiziqning o'rtacha nuqtasining o'rdini ifodalovchi qiymat, boshqa so'z bilan,
chiziqning   y-kesma   qiymati   (`b   =   y   -   mx`   formulasi   orqali   topiladi,   shuningdek,
yoki chiziqning bir nuqtasini o'tirish uchun boshqa usullar ham mavjud).
Bu   formulalardan   foydalanib,   berilgan   ikki   nuqta   orasidagi   to'g'ri   chiziqning
tenglamasini topishingiz mumkin.
Bu odatiy masalalar faqat ikkala misolga oid. Chiziqli dasturlashda ko'plab boshqa
masalalar   ham   mavjud   bo'lishi   mumkin,   masalan,   koordinatali   geometriya,
grafiklar,   kvadratik   funksiyalar,   statistika,   optimallashtirish   va   boshqalar.   Bu
masalalar   har   birida   chiziqli   dasturlashning   qo'llanilishi   mumkin   bo'lgan   turli
usullar va formulalardan foydalaniladi.
13 II.BOB. Ekstremumga doir masalalar yechishning umumiy usullari.{
x+y=	6	
x−	y=	2	
(1)
(2)
tenglamalar   sistemasini   grafik   usulda   yechish   koordinatalar   sistemasida   ularning
grafiklarini   chizib,   kesishish   nuqtasining   koordinatalari  	
x=4 ,  	y=2   ni   topishdan
iborat (24- chizma).
Ikki noma’lumli tengsizliklarni grafik usulda yechish.	
ax	≤b
,  	a≠0   tengsizlik   berilgan   bo‘lsin.   Bunda  	x≤	b
a   tengsizlik   geometrik
tomondan tekislikdagi
24- chizma. 25- chizma.	
x=	b
a
  to‘g‘ri chiziq va undan chapda joylashgan  barcha nuqtalar to‘plamini ifoda
qiladi (25- chizma).
14 Endi   ikki   noma’lumli  ax	+by	≤	c   tengsizlik   berilgan   bo‘lsin.  	ax	+by	=	c
to‘g‘ri   chiziq   koordinata   o‘qlarini  	
(
c
a;0)   va  	(0;c
b)   nuqtalarda   kesib   o‘tadi.	
ax	+by	≤	c
  tengsizlik  	ax	+by	=	c   to‘g‘ri  chiziq  va undan pastda  joylashgan  tekislik
nuqtalarining to‘plamini ifoda qiladi (26- chizma).
Shunga o‘xshash, 	
ax	+by	≥	c  	(a>0,	b>0)  tengsizlik 	ax	+by	=	c  to‘g‘ri chizq
bilan chegaradosh yuqori yarim tekislikni ifoda qiladi.
Endi 	
{	
ax	+by	≤c	
a1x+b1y≤c1	
(1)
(2)
tengsizliklar sistemasini ko‘raylik. Bu sistemani yechish koordinatalar sistemasida
har ikki tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini toppish demakdir.
Shuning   uchun   har   bir   tengsizlikning   geometrik   tasvirini   topib,   ularning
umumiy kesimini olamiz (27- chizma).
1-ta’rif.   Agar   koordinatalari   berilgan   tengsizliklar   sistemasini
qanoatlantiruvchi   hech   bo‘lmaganda   biror   nuqta   mavjud   bo‘lsa,   u   holda
tengsizliklar sistemasi  birgalikda  deyiladi.
Odatda   tengsizliklar   sistemasi   yechimi   har   xil   bo‘ladi:   bir   nuqta,   yarim
tekislik, biror ko‘pburchak nuqtalari va hokazo. 
15 26-chizma. 27-chizma.
2-ta’rif.  Agar ko‘pburchakning barcha nuqtalari uning istalgan tomonining
bir tomonida joylashgan bo‘lsa, uni  qavariq ko‘pburchak  deyiladi.
Yoki:   agar   ko‘pburchakning   ixtiyoriy   ikki   nuqtasini   barcha   nuqtalari   shu
ko‘pburchakda joylashgan to‘g‘ri chiziq kesmasi bilan tutashtirish mumkin bo‘lsa,
uni  qavariq ko‘pburchak  deyiladi  (28- chizma).
Misollar.
1) {
2x+3y≤6,	(1)	
x−2y≤−2	(2)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
Bu sistemaning grafik yechimi 29- chizmada tasvirlangan.
2) 	
{
2x+3y≤6,	(1)	
−	x+2y≤	2,	(2)	
−	y≤1	(3)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
Bu   sistema   tekislikdagi   uchburchak   nuqtalarining   to‘plamini   ifoda   qiladi
(30- chizma).
3) 	
{
2x+3y≤6,	(1)	
−	x+2y≤	2,	(2)	
−	y≤1,	(3)	
−	y≤	2,	(4)	
y≤	2	(5)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
31-   chizmadan   ko‘rinib   turibdiki,   koordinatalari   bu   sistemani
qanoatlantiradigan   nuqtalar   to‘plami   2-misoldagi   kabi   uchburchakdan   iborat.
Shuning   uchun   bu   sistemada   (4)   va   (5)   tengsizliklar   ortiqcha,   ularni   tengsizliklar
sistemasidan chiqarib tashlash mumkin.
16 Bu   chizmada  y=10
7   to‘g‘ri   chiziq   uchburcak   bilan   umumiy   chegaraviy
nuqtaga ega. bunday to‘g‘ri chiziq  tayanch chizig‘i  deyiladi.
Umuman,   qavariq   ko‘pburchak   bilan   umumiy   chegaraviy   nuqtalarga   ega
bo‘lib,   ko‘pburchak   ichki   nuqtalarini   o‘ziga   olmagan   har   qanday   to‘g‘ri   chiziq
tayanch chizig‘i  deyiladi.
4) 	
{
2x+3y≤6,	(1)	
−	x+2y≤	2,	(2)	
−	y≤1,	(3)	
y≤−	2,	(4)
tengsizliklar sistemasi berilgan.
32-   chizmaga   asosan   koordinatalari   bu   sistemani   qanoatlantiradigan   biror
nuqta   mavjud   emas.   Bu   holda   sistema   birgalikda   emas   deyiladi.   Shuning   uchun
birgalikda   bo‘lgan   tengsizliklar   sistemasi   har   doim   qavariq   to‘plam   –   qavariq
ko‘pburchakni ifoda qiladi.
Chiziqli funksiya ekstremumi	
y=ax	+b
  chiziqli   funksiya   berilgan.   Ma’lumki,   bu   funksiyaning   grafigi
to‘g‘ri   chiziqdan   iborat.   Bu   grafik  	
a>0   bo‘lganda   o‘suvchi,  	a=0   bo‘lganda
o‘zgarmas   (ya’ni   abscissa   o‘qiga   parallel),  	
a<0   bo‘lganda   kamayuvchi   bo‘ladi
(33- chizma).
Bu   hollarning   barchasida   chiziqli   funksiyaning   maksimumi   yoki   minimum
haqida gap bo‘lishi mumkin emas.
Agar chiziqli  funksiya biror  	
[c;d]   kesmada  berilgan bo‘lsa,  	a≠0   bo‘lganda
uning eng katta va eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladi.	
a>0
  bo‘lsa,   chiziqli   funksiyaning   eng   kichik   qiymati  	x=c   nuqtada,   eng
katta qiymati esa 	
x=d  nuqtada bo‘ladi (34- chizma, a).
17 a<0  bo‘lganda,   aksincha,   chiziqli   funksiyaning   eng   kichik   qiymati  	x=d
nuqtada,   eng   katta   qiymati   esa,  	
x=c   nuqtada   bo‘ladi   (34-   chizma,   b).  	a=0
bo‘lganda chiziqli funksiyaning barcha qiymatlari teng bo‘ladi (34- chizma, v).
Shunday   qilib,  	
y=ax	+b   funksiya   eng   kichik   va   eng   katta   qiymatlarni
aniqlanish sohasining chegaralarida qabul qiladi.
Chiziqli dasturlashning oddiy masalasi va uning grafik usulda yechilishi
Faraz qilaylik,  	
C   ikki yoki bir necha  	x1,x2,...,xn   o‘zgaruvchilarning chiziqli
funksiyasi   bo‘lib,  	
x1,x2,...,xn   o‘zgaruvchilar   chiziqli   tengsizliklar   sistemasi   bilan
bog‘langan bo‘lsin.
U   holda   chiziqli   dasturlash  	
C   ning   eng   kichik   yoki   eng   katta   qiymatlarini
ta’minlaydigan  	
x1,x2,...,xn   larning   manfiy   bo‘lmagan   qiymatlarini   toppish
masalalari bilan shug‘ullanadi. Chiziqli dasturlashning masalalaridan biri va uning
grafik usulda yechilishi bilan tanishaylik.
masala.   Duradgorlik sexi  shkaf  va stellar  tayyorlaydi. (Shkaf  60 so‘m, stol
40   so‘m   turadi).   Sex   ixtiyorida   60   kub   m   taxta   va   400   ishchi   kuni   bo‘lib,   bir
shkafga   0,2   kub   m   taxta   va   2   ish   kuni,   bir   stolga   0,3   kub   m   taxta   va   1   ish   kuni
sarflanadi.   Sexning   shunday   mahsulot   chiqarish   programmasini   tuzish   kerakki,
natijada sexning daromadi (pul hisobida) eng yuqori bo‘lsin.
Eng yaxshi, ya’ni foydali natija beradigan plan odatda  optimal  plan deyiladi.
Chiziqli dasturlash masalalarining yechish usullarini bilmasdan turib, optimal plan
tuzish, hatto boshqa  biror  plan tuzish  qiyin. Masalan,  100 ta shkaf  va 200 ta stol
tayyorlash   masalasini   qo‘yaylik.   Bu   holda   ishchi   kuni   (400)   yetarli,   lekin   taxta
yetmasdan qoladi. Demak, plan tuzish mumkin emas.
Berilgan masala grafik usulda oson hal qilinadi, ya’ni:
Ko‘rsatkichlar nomi Taxta (kub m) Mehnat (ishchi kuni)
Rezervlar . . . . . . . . . . 60 400
18 1 shkafga sarf normasi
1 stolga sarf normasi . 0,2
0,3 2
1
Tayyorlanishi   lozim   bo‘lgan   shkaflar   sonini  x ,   stollar   sonini  	y   orqali
belgilaymiz.   U   holda   mahsulot   tayyorlashning   eng   yuqori   chegaralarini   quyidagi
tengsizliklar yordami bilan belgilash mumkin:	
{
0,2	x+0,3	y≤60	
2x+y≤	400
Mahsulotning   umumiy   narxi:  	
C=60	x+40	y .   U   holda   masala   bunday
yoziladi: 	
C=60	x+40	y  chiziqli formaning	
{
0,2	x+0,3	y≤6	
2x+y≤400	
x≥0	
y≥	0
tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi eng katta qiymati topilsin.
Buning   uchun   to‘g‘ri   burchakli   dekart   koordinatalar   sistemasida   quyidagi
chiziqlar bilan chegaralangan sohani topamiz:	
{
0,2	x+0,3	y=6	
2x+y=400	
x=0	
y=	0
35-   chizmada   shtrixlangan   soha   to‘rtta   chiziqli   tengsizliklar   sistemasining
yechimini   ifoda   qiladi.   Bu   soha  	
x   va  	y   qiymatlarning   o‘zgarish   chegaralarini
yaqqol ko‘rsatadi.
Endi quyidagi savolga javob topish kerak.
Shtrixlangan   sohaning   qaysi   bir   nuqtasida  	
C=60	x+40	y   daromad   eng   ko‘p
bo‘ladi?
19 Haqiqatan   ham,   shtrixlangan   sohada   daromad   miqdori  C   har   xil   bo‘lishi
mumkin.   Masalan,   tenglamasi  	
60	x+40	y=	6000   (3)   bo‘lgan   to‘g‘ri   chiziqning
nuqtalarida 	
C=6000  so‘m bo‘ladi. Tenglamasi 	60	x+40	y=12000  (4) bo‘lgan to‘g‘ri
chiziqning nuqtalarida esa daromad miqdori 	
C=12000  so‘m bo‘ladi.
(3)   yoki   (4)   ko‘rinishdagi   to‘g‘ri   chiziqlarning   har   birida   daromad   miqdori
o‘zgarmaydi.   Bunday   to‘g‘ri   chiziqlar   sath   chiziqlari   deyiladi.   Bu   chiziqlar   bir-
biriga parallel bo‘ladi. Sath chizig‘i koordinatalar boshidan qancha uzoqlashsa,  	
C
ning qiymati ham shuncha kattalashadi, 	
C  ning eng katta qiymati sath chizig‘ining
shtrixlangan   soha   bilan   faqat   chegarada   umumiy   nuqtaga   ega   bo‘lganida   hosil
bo‘ladi.
Masalada   sath   chizig‘i  	
Q(150	,100	)   nuqtadan   o‘tganida  	C   eng   katta   qiymat	
C=60	⋅150	+40	⋅100	=13000
  (so‘m)   ga  ega  bo‘ladi.  Shunday  qilib,  	Q   nuqta  optimal
planni beradi.bunday nuqta  optimal nuqta  deyiladi.
Demak,   agar   150   ta   shkaf   va   100   ta   stol   ishlansa,   u   holda   mehnat   rezervi	
150	×2+100	×1=400
  ishchi   kunidan   to‘la   foydalaniladi   va   taxta   zapasi	
0,2	×150	+0,3	×100	=60
  kub   m   to‘la   sarflanadi   hamda   daromad   miqdori  	C=13000
so‘m bo‘ladi.
Umuman,   chiziqli   dasturlash   masalalarini   grafik   usulda   yechish   chiziqli
formaning   argumentlari   qabul   qila   oladigan   soha   yoki   programmaning   barcha
mumkin   bo‘lgan   hollari   aks   etadigan   soha   –   qavariq   ko‘pburchakni   aniqlashdir.
Shundan so‘ng, qavariq ko‘pburchakning uchlarida  	
C   ning qiymatlarini hisoblab,
uning eng katta yoki eng kichik qiymatini aniqlash kerak.
2.1. Funksiyaning ekstremumini ikkinchi  tartibli hosila yordamida topish.
20 Funksiyalarning   ekstremumlarini   topish   uchun,   ikkinchi   tartibli   hosila
yordamidan foydalanish mumkin. Bu usulda, funksiyaning hosilasini olish uchun x
qiymatlarini   tartiblab   boramiz   va   hosilaning   0   ga   yaqin   bo'lishini
tekshiribFunksiyaning   ekstremumlarini   topish   uchun,   ikkinchi   tartibli   hosila
yordamidan foydalanish mumkin. Bu usulda, funksiyaning hosilasini olish uchun x
qiymatlarini tartiblab boramiz va hosilaning 0 ga yaqin bo'lishini tekshirib
Kiritilgan   funksiyaning   ekstremumlarini   topish   uchun   quyidagi   qadamalarni
izohlashim mumkin:
1 .   Funksiyaning   hosilasini   olish   uchun   x   qiymatlarini   tartiblab   chiqing.   Bu
uchun funksiyaning grafikini yoki berilgan qiymatlarni foydalanishingiz mumkin.
2 .   X   qiymatlarini   funksiyaga   kiriting   va   mos   hosilani   toping.   Hosila,
funksiyaning qiymatining 0 ga yaqin bo'lishi kerak.
3 .   Hosilalarni   taqqoslang.   Agar   x   qiymatlari   funksiyaning   minimum
qiymatlarida hosila berayotgan bo'lsa, u holda funksiya minimal ekstremumga ega
bo'ladi. Agar x qiymatlari funksiyaning maksimum qiymatlarida hosila berayotgan
bo'lsa, funksiya maksimal ekstremumga ega bo'ladi.
4.   Hosilalarni   hisoblash   jarayonini   davom   ettirish   uchun,   hosila   beruvchi
qiymatlarni funksiyaga kiriting va yangi hosilalarni toping. Ushbu qadamni kerakli
ekstremumga erishguncha takrorlang.
Bu   tartibda,   ikkinchi   tartibli   hosila   yordamini   qo'llab-quvvatlash   uchun,   hosila
topish   uchun   mos   x   oraliqni   chetlashtirish   uchun   bir   nechta   qo'llanmalar   mavjud
bo'ladi, masalan, "Newton-Raphson" yoki "biseksiya" usullari.
Iltimos, funksiyaning formulasi va boshqa ma'lumotlarni taqdim eting, shunda men
sizga amaliy masalani yechishda yordam berishim mumkin.
Teorema.   Differensiyallanuvchi   y = f ( x )
  funksiya   biror  (a,b)   oraliqda
o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, u holda bu oraliqda uning hosilasi  f '	
(
x	) ≥ 0
   [ f '	(
x	) ≤ 0 ]
shartni qanoatlantiradi. 
21 Teorema. Agar differensiyallanuvchi  y = f ( x )
 funksiyaning hosilasi biror (a,b)
oraliqda  f '	
(
x	) > 0 [ f '	(
x	) > 0 ]
 shartni qanoatlantirsa, 
unda bu oraliqda funksiya o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi.
Teoremaning   birinchi   qismi  	
(a,b)   oraliq   y = f	( x	)
  funksiyaning   monotonlik
oralig’i bo’lishining zaruriy, ikkinchi qismi esa yetarli shartini ifodalaydi.
Teorema.   Berilgan   y = f	
( x	)
  funksiya  	x0   nuqta   va   uning   biror   atrofida
aniqlangan   bo’lib,   bu   atrofdagi   ixtiyoriy   x   nuqta   uchun   f	
( x
0	) ≥ f	( x	)
    [ f ( x
0 ) ≤ f ( x ) ]
shartni   qanoatlantirsa,   u   shu   x
0   nuqtada   maksimumga   (minimumga)   ega   deb
ataladi.
Funksiyaning   maksimum   va   minimum   qiymatlari   uning   ekstremumlari
deyiladi.
Teorema.   Ferma   teoremasi.   Agar   y = f ( x )
  funksiya   x
0   nuqtada
differensiallanuvchi   va   ekstremumga   ega   bo’lsa,   unda   bu   nuqtada   funksiyaning
hosilasi nolga aylanadi. Ya’ni,  f '	
(
x
0	) = 0
 bo’ladi. 
Funksiya   ekstremumga   ega   bo’lgan   nuqtada   uning   hosilasi   nolga   teng   yoki
mavjud bo’lmaydi.
Teorema. Funksiya hosilasini nolga teng qiladigan yoki mavjud qilmaydigan
nuqtalar kritik yoki statsionar nuqtalar deyiladi.
  Teorema.   (Ekstremumning birinchi  yetarli sharti). Agar   y = f ( x )
  funksiya  	
x0
kritik   nuqtaning   biror   atrofida   differensiyallanuvchi   bo’lib,   bu   kritik   nuqtani
chapdan   o’ngga   qarab   bosib   o’tishda   f '
( x )
  hosila   o’z   ishorasini   musbatdan
manfiyga (manfiydan musbatga) o’zgartirsa, unda  	
x0   kritik nuqtada   f ( x )
  funksiya
maksimumiga (minimumiga) ega bo’ladi.
Teorema. Agar  y = f ( x )
 funksiyaning hosilasi 
x0  kritik nuqtaning chap va o’ng
atrofida   ishorasini   o’zgartirmasa,   unda   bu   nuqtada   funksiya   ekstremumga   ega
bo’lmaydi.
Teorema.   (Ekstremumning   ikkinchi   yetarli   sharti).   Agar  	
x0   kritik   nuqtada	
f'(x0)=	0
,   f ' '
( x
0 ) ≠ 0
  va   chekli   bo’lsa,   unda   bu   nuqtada   y = f ( x )
  funksiya
ekstremumga ega bo’ladi. Jumladan,  f ' '	
(
x
0	) < 0
  ( f ' '	(
x
0	) > 0 )
 bo’lsa,  f ( x
0 )
 funksiyaning
maksimumi (minimumi) bo’ladi.
22 2.2.Ekstremal masalalarga elementar va hosila usulini qo'llanish sintezi.
Elementar   va   hosila   usulini   qo'llanish   sintezi,   ekstremal   masalalarga   yechim
topishning   moddiy   resurslar,   narxlari   yoki   vaqtga   qarshi   cheklanishlari
yo'qotishning   bir   kombinatsiyasi   sifatida   ta'riflanadi.   Bu   usul,   eng   yaxshi   o'tish
nuqtasi joylashtirish uchun optimallashtirilgan algoritmalardan foydalanadi.
Elementar   usul,   bir   masalani   yechishning   minimal   miqdordagi   loyihalarni
qo'llab-quvvatlaydi. Ushbu usul keng qo'llaniladigan jarayonlari soddalashtiradi va
barcha   muhim   kontrlar   bilan   birgalikda   ilgari   natijaga   erishish   imkonini   beradi.
Elementar   usul   lekin,   yechish   jarayonlarida   eng   yaxshi   natijani   ta'minlaya
olishning   ko'paytirilgan   variantlar   to'plamini   yaratmaydi.   Bu   usul   masalani   hal
qilishni tezkor va soddadan bahra beradigan.
Hosila usulida esa, masalani  yechish  uchun moddiy resurslar  va narxlardan
yoki vaqtdan samarali foydalaniladi. Ushbu usul, masalani yechib olishda samarali
natijalar   olish   uchun   optimallashtirilgan   algoritmalar   va   ma'lumotlardan
foydalanadi.   Hosila   usulidagi   yechimlar,   optimallashtirilgan   planlash   va   axborot
ilovalarining   qo'llanilishi   bilan   birga,   formalsiz   va   aniq   natijaga   erishishni
ta'minlash uchun tashkil etilgan.
23 Elementar va hosila usullarining sintezi, ekstremal masalalarni yechish bilan
bog'liq   tizimni   eng   yaxshi   muammoga   moslashishga   yordam   beradi.   Bu   sintez
jarayoni   masalalarning   hal   qilinishini   tezkorlashtiradi,   natijalarning   sifatini
oshiradi   va   yechish   jarayonlarini   samarali   qiladi.   Ushbu   sintez,   matematika,
injiniring,   optimallik,   ma'lumotlar   analitiği   va   boshqa   sohalardagi   muammolarni
yechish uchun ishlatiladi.
Ekstremal masalalarga elementar va hosila usullarni qo'llash, umumiy tartib
va qavramlarni ishlatish orqali eng yirik yoki eng kichik qiymatlarni topishni talab
qiladi.   Bu   usullar   masofaviy   funksiyalarning   maksimum   yoki   minimum
qiymatlarini topish uchun qo'llaniladi.
Bunday masalalar uchun elementar usullar quyidagilardir:
1.   Funksiyaning   kritikal   nuqtalari :   Ekstremal   nuqtalarni   topish   uchun,
funksiyaning   birinchi   turli   va   ikkinchi   turli   chiziqlari   yordamida   funksiyaning
kritikal   nuqtalari   aniqlanadi.   Bu   nuqtalar   funksiya   ustida   maksimum,   minimum
yoki tezligi nol bo'lgan nuqtalar bo'ladi.
2.   Lagranj   metodi:   Lagranj   metodi   keng   ko'lamda   qo'llanuvchi   usuldir.   Agar
cheklovlar (shartlar) mavjud bo'lsa, Lagranj funksiyasini ishlatish orqali cheklovlar
ostida ekstremal nuqtalarni topish mumkin.
3. Gradient metodi : Bu usulda funksiyaning gradienti (yo'nalishi) orqali ekstremal
nuqta izohlanadi. Gradient yordamida funksiyaning o'sish yoki kamayish yo'nalishi
aniqlanadi.
4.   Kvadratik programlash.   Kvadratik programlash usullari  yordamida kvadratik
funksiyalarning   ekstremal   qiymatlari   topiladi.   Bu   usul   linearni   yoki   kvadratik
cheklovlar bilan belgilangan sharoitlarda foydalaniladi.
5.   Dinamik   programlash :   Bunday   masalalarda,   muammolarni   ortga   qaytish   va
undan foydalanish orqali eng yaxshi yechim topiladi. Qayta ishlash jarayoni orqali
ekstremal muammolarni hal qilish uchun foydalaniladi.
24 6.   Evolyutsion   metodlar :   Evolyutsion   yoki   genetik   algoritmlar,   har   xil
yechimlarni   generatsiya   qilish   va   ularning   eng   yaxshi   yechimni   topishda
qo'llaniladi. Bu  usulda  muammolar   ko'plab parametrlarga ega  bo'lgan  funksiyalar
uchun yechim topishda yordam beradi.
Bu   usullar   bir   qancha   matematik   modellar   va   muammolarni   hal   qilishda
qo'llaniladi.   Masalani   aniqlash   uchun   ma'lumotlarni,   funksiyalar   yoki   cheklovlar
shartlarini   ko'rsatish   shart.   Har   bir   usulning   o'zida   afzalliklari   va   cheklovlar
mavjud.   Bunday   muammolarni   hal   qilishda   har   bir   usulni   qo'llashda,   maqsad
masalani   aniqlab,   masalani   to'g'ri   ko'rish   va   uni   echish   uchun   yengilmaslik   yoki
cheklovlar bo'lishi kerak
Xulosa
Ekstremal   masala   -   matematika,   fizika,   muhandislik   va   boshqa   ko'plab
fanlarda   muhim   rol   o'ynaydigan   mavzu.   Ushbu   turdagi   muammolar   muayyan
maqsadga   erishish   uchun   eng   yaxshi   yoki   eng   yomon   holatni   aniqlashga
qaratilgan.
Odatda,   ular   ma'lum   bir   cheklov   ostida   funktsiya   yoki   tizimdagi
o'zgaruvchilarning   eng   kichik   yoki   eng   katta   qiymatini   topishga   qaratilgan.   Bu
cheklovlar   ko'pincha   cheklovchi   tenglamalar   yoki   tengsizliklar   ko'rinishida
ifodalanadi   va   masalani   yechish   uchun   bu   cheklovlardan   yuqori   yoki   pastda
optimal yechim topish kerak bo'ladi.
Haqiqiy   hayotda   duch   keladigan   ko'plab   muammolarni   hal   qilish   uchun
ekstremal   masala   ishlatiladi.   Masalan,   ular   ishlab   chiqarish   jarayonlarini
optimallashtirish, iqtisodiy qarorlar qabul qilish yoki xarajatlarni minimallashtirish
yoki   samaradorlikni   oshirish   kabi   maqsadlarda   logistika   rejalashtirish   kabi
sohalarda qo'llanilishi mumkin.
Ekstremal   masalalarni   hal   qilishga   matematik   usullar   va   optimallashtirish
usullari   yordamida   erishish   mumkin.   Ushbu   metodlar   lotin   hisobi,   qaror
25 o'zgaruvchilari,   cheklangan   optimallashtirish,   chiziqli   va   lotin   bo'lmagan
dasturlash kabi usullarni o'z ichiga oladi.
Natijada, ekstremal masalalar eng yaxshi yoki eng yomon holatlarni aniqlash
uchun   matematik   va   analitik   yondashuvlar   yordamida   muammolarni   hal   qilishga
yordam   beradigan   muhim   mavzudir.   Bunday   muammolar   ko'plab   sohalarda
ilovalarni   topadi   va   yaxshiroq   qarorlar   qabul   qilish   va   resurslardan   samarali
foydalanish uchun foydali vositalarni taqdim etadi.
Foydalanilgan  adabiyotlar:
1. Algеbra va analiz asoslari (10-11 sinflar). «Oqituvchi» T. 1984y. 
2. I.B.Abеlson. Maksimum va minimum. ONTI. M-L. 1935y.  
3. M.N.Bashmakov. Uravnеniya i nеravеnstva. «Nauka», M., 1971g.  
4. Э.С.Беляева.,   Б.М.Манахов. Экстремальные задачи.   «Просвещение»., М.,
1977г. 
5. С.И.Зетель. Задачи на максимум и минимум. ОГИЗ. М-Л.  1948г. 
6. И.П.Натансон. Простейшие задачи на максимум и минимум.   ГИТТЛ. М.,
1951г. 
7.   A . G . Hikmatov .   Maktab   mat е matika   kursida   ekstr е mal   masalalar .   «Oqituvchi»
T. 1970 y. 
8. A.G.Hikmatov. Ekstrеmal masalalar. «O`qituvchi» T. 1985 y
26

Ekstirimal masalalar kurs ishi 

Купить
  • Похожие документы

  • Ekonometrika asoslari fanidan testlar
  • Kombinatorika Asoslari
  • Haqiqiy Yevklid fazosida chiqizli almashtirishlar
  • Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni
  • Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo’llash

Подтвердить покупку

Да Нет

© Copyright 2019-2026. Created by Foreach.Soft

  • Инструкция по снятию с баланса
  • Контакты
  • Инструкция использования сайта
  • Инструкция загрузки документов
  • O'zbekcha