Дата регистрации 03 Декабрь 2023
20 ПродажFunksiyaning integralinuvchanlik mezoni
![> ∫ f (v) dv = F (v) + C Ushbu usul bilan ishlashni osonlashtirish uchun ba'zi bir
oddiy almashtirishlarni eslab qolish kerak: dy = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y² + b);
sinydy = - d (shinam); shinam = d (gunohkor)
Masalan: -dy / (1 + 4 · y²) = -dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · -d (2 · y) /
(1 + (2 y) ²) = 1/2 arctg2 y +
Bo'limlar bo'yicha integratsiya quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: dudv
= u · v - dvdu Masalan: Dy · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy =
-y · shinam + siny + C
Ko'pgina hollarda aniq integral Nyuton-Leybnits teoremasi orqali topiladi: [a;
intervalda f (y) dy. b] F (b) - F (a) ga teng. Masalan: [0; intervaldan ∫y · sinydy
toping; 2 π ]: yy · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = (-2 π · cos2 π
+ sin2 π ) - (-0 · cos0 + sin0) = -2 π .
1.1 I ntegralning tushunchasi va umumiy
maqsadi
Agar [a,b] kеsmada aniqlangan f(x) funksiya uchun bu kеsmaning barcha
nuqtalarida F1 (х)=f(х) tеnglik bajarilsa, F(х) funksiya shu kеsmada f(х) funksiyaga
nisbatan bоshlang`ich funksiya dеb ataladi.
Agar F(х) funksiya biror oraliqda f(х) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u
holda F(х)+C (bu yerda C – ihtiyoriy doimiy) funksiyalar to‘plami shu kesmada f(х)
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
f (x)dx F(x) C
Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya’ni
3](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_3.png?v=1)
![ f (x)dx' f (x)
Aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng, ya’ni
d f (x)dx f (x)dx
Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ihtiyoriy
o‘zgarmasning yig‘indisiga teng, ya’ni
F'(x)d x F(x) C
ya’ni Biror funksiyaning differentsialidan olingan aniqmas integral shu funksiya
bilan ihtiyoriy o‘zgarmasning yig‘indisiga teng,
d F(x) F(x) C
Chekli sondagi funksiyalarning algerbaik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu
funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga
teng, ya’ni
f (x) f (x) f (x) d x f (x)d x f (x)d x f (x)d x
Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning
eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan
chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni,
yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga
keltiriladi.
[a,b] kesmada uzluksiz y f (x) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu
oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz.
[a,b] kesmani
a x0, x1, x2,..., xn 1, xn b,
bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda
x0 x1 x2 ... xn ,
4](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_4.png?v=1)
![va
x1 x0 x1, x2 x1 x2,....,xn xn 1 xn
So’ngra, y f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini
quyidagicha belgilaymiz
[x , x ] m va M , 0
[x1, x ] m va M
............................
[xn 1, xn] mn va M n
Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits
formulasi
f (x)dx
Aniq integralda quyi a chegara mahkamlangan, yuqori b chegara esa
o’zgraib tursin. U holda integralning qiymati ham o’zgarib turadi, ya’ni
integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’lib qoladi.
Yuqori chegarani x bilan, integral o’zgaruvchini t bilan belgilaymiz:
f (t)dt
Integralga ega bo’lamiz. a o’zgarmas son bo’lganda bu integral x yuqori
chegaraning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani biz (x)bilan belgilaymiz:
(x) f (t)dt
Agar f (t) - nomanfiy funksiya bo’lsa, u holda (x) miqdor son jihatdan aAXx
egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng . x o ’ zgarganda bu yuza o ’ zgarishi
ochiq ravshan .
(x) funksiyaning hosilasini topamiz, ya’ni (1) integraldan yuqori chegara
bo’yicha hosila olamiz.
x
Teorema 1 Agar f (x) uzluksiz funksiya va (x) f (t)dt bo’lsa, u holda
a
'(x) f (x)
tenglik o’rinli.
5](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_5.png?v=1)
![1.2. Daraja integrali, belgili integral, qo'lda
integrallash
Daraj integral integral turdagi integrallarni hisoblash uchun
ishlatiladigan kuchga ko'tarilgan ma'lum bir funktsiyaga.
Xususan, bu odatda" dx^n dx "
Funktsiyaning aniq integrali, integral turi ma'lum bir diapazondagi
integrallarni hisoblash uchun ishlatiladi. Aniq integralning natijalari
funktsiyaning ma'lum bir pastki va yuqori chegarasi ma'lum bir
diapazondagi umumiy o'zgarishni yoki ular orasidagi bo'shliqni
ifodalaydi. Aniq integralni hisoblash uchun belgining integrali pastki va
yuqori chegaralar qiymatlariga qo'shiladi. Misol uchun,a va B o'rtasida
funktsiya aniq integral shaklida ko'rsatilgan f(x) DX, integrallarni
hisoblaydi.
Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda
katta ahamiyatga ega bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu
uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi
funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik.
Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina
tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi.
Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta
qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga
ega. Ushbu teoremalar [a;b] kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu
xossaga ega bo‘lgan [a;b] kesmaga tegishli s nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi. 1.
Ferma teoremasi Teorema. Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va biror
ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishsa va shu nuqtada chekli f’(c)
hosila mavjud bo‘lsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladi. Isbot. f(c) funksiyaning eng katta
qiymati bo‘lsin, ya’ni x (a;b) da f(x) ≤ f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Shartga ko‘ra
bu s nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud. Ravshanki,
7](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_7.png?v=1)
![. Roll teoremasi Teorema (Roll teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada
aniqlangan bo‘lib, quyidagi 1) [a;b] da uzluksiz; 2) (a;b) da differensiallanuvchi; 3)
f(a)= f(b) shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladigan kamida bitta c
(a<cm, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan
kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik
uchun f(c)=m bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra x [a,b] uchun f(x)
f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Endi f’(c)=0 ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning
ikkinchi shartiga ko‘ra f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli
hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma
teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi. f(c)=M bo‘lgan
holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi. Roll teoremasiga quyidagicha
geometrik talqin berish mumkin (20-rasm). Agar [a,b] kesmada uzluksiz, (a,b)
intervalda differensiallanuvchi f(x) funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul
qilsa, u holda f(x) funksiya grafigida abssissasi x=c bo‘lgan shunday C nuqta
topiladiki, shu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga
parallel bo‘ladi. Eslatma. Roll teoremasining shartlari yyetarli bo‘lib, zaruriy shart
emas.
f(x)=x3 , x [-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.
8](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_8.png?v=1)
![(f(-1)=-1 1=f(1)), lekin f’(0)=0 bo‘ladi
Koshi teoremasi Teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x)
berilgan bo‘lib, 20 1) [a,b] da uzluksiz; 2) (a,b) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud,
hamda g‘(x) 0 bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a<c<a<b) nuqta
topiladi,
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Ravshanki, (1.4) tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun g(b) g(a) bo‘lishi kerak.
Bu esa teoremadagi g‘(x) 0, x (a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham,
agar g(a)=g(b) bo‘lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantirib, biror c (a;b) nuqtada g‘(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa x (a;b) da
g‘(x) 0 shartga ziddir. Demak, g(b) g(a)
Endi yordamchi
hosilaga ega.
So‘ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha
shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday c
(a<c<b) nuqta topiladiki F’(c)=0 boladi.
9](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_9.png?v=1)
![Agar → n normal vektorning asosini bunday sirtda yotuvchi istalgan
yopiq L
kontur bo’ylab uzluksiz ko’chirilsa, dastlabki nuqtaga kaytganda →n ning
yo’nalishi dastlabki yo’nalish bilan bir xil bo’ladi.
Bir tomonlama sirtlar uchun →nnormal vektorning bunday ko’chishi
dastlabki
nuqtaga qaytilganda ( — →n) vektorga olib keladi.
Ma’lum tomoni tanlangan sirt orientatsiyalangan deyiladi.
2.2 Definite integralni hisoblash usullari:
to'g'ri integrallash, qo'shimcha usullar,
almashtirishlar.
Aniq integral grafikdagi egri chiziq yuzasini topishga yordam beradi. Uning
chegaralari bor: egri chiziq ostidagi maydon hisoblanadigan boshlang'ich va
so'nggi nuqtalar. Egri chiziqning maydonini topish uchun chegara nuqtalari [a, b]
deb taxmin qiling f(x) x o'qiga nisbatan. Keyin aniq integralning va b a f ( x ) d x .
Integratsiya bu maydonlarning yig'indisidir va aniq integrallar chegaralar ichida
maydonni topish uchun ishlatiladi.
Definite integral, belgilangan oraliqda bir funksiyaning integrallanishini
ifodalaydi. Definite integralni hisoblash uchun bir nechta usullar
mavjud:
To'g'ri Integrallash: Bu usulda, funksiya integrallanuvchan bo'lgan
oraliqning to'g'ri formulasi yordamida integrallashadi. Integralning
qiymati funksiyaning integrallovchi oraliqda integrallangan maydonning
yuzasi sifatida hisoblanadi.
Qo'shimcha Usullar: Bu usullar integrallashni asanlash uchun yordam
beradi. Ular o'zida integrallashga yordam beradigan formulalarni va
xususiyliklarni o'z ichiga oladi. Misol uchun, qoidalar, o'zaro
almashtirishlar yoki integrallashga yordam beradigan algoritmalar
integrallashni oddiyroq qilishda foydalaniladi.
Almashtirishlar: Almashtirishlar (substitutsiya) usuli, integralni
o'zgartirish yoki o'zgartirishlar ketma-ketligi orqali integralni
18](https://docx.uz/documents/95277eb8-56b7-44e6-9d43-12e247ccc924/page_18.png?v=1)
Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni