Войти Регистрация

Docx

  • Рефераты
  • Дипломные работы
  • Прочее
    • Презентации
    • Рефераты
    • Курсовые работы
    • Дипломные работы
    • Диссертациии
    • Образовательные программы
    • Инфографика
    • Книги
    • Тесты

Информация о документе

Цена 34999UZS
Размер 202.1KB
Покупки 0
Дата загрузки 09 Январь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Navruz

Дата регистрации 03 Декабрь 2023

20 Продаж

Haqiqiy Yevklid fazosida chiqizli almashtirishlar

Купить
A.QODIRIY NOMLI JIZZAX  DAVLAT
 PЕDAGOGIKA   UNIVERSITETI
«Matеmatika va informatika» fakultеti  
 « Matеmatika va informatika » ta’lim yo`nalishi 
(III kurs)
_____________________________ning
Analitik Geometriaya fanidan
 
Mavzu:   Haqiqiy Yevklid fazosida chiqizli
almashtirishlar
Bajardi:               Buriyev Navruz 
Ilmiy rahbar:                     Pardayeva Zamira
Jizzax – 2023 yil
 
1K U R S   I S H I M U N D A R I J A:
KIRISH…………………………………………………...……………….….2
I BOB. CHIZIQLI ALMASHTIRISHLAR HAQIDA UMUMIY    
TUSHUNCHALAR
1.1 Chiziqli fazo va uning elementlari…………………………..….......3
1.2 Chiziqli almashtirish matritsasi……………...………………..……5
II BOB.YEVKLID FAZOSIDA CHIZIQLI ALMASHTIRISHLAR
2.1.  N o’lchovlivektorli Yevklidfazosi… ……………………………….......10
2.2.  Ye vklid fazolarining ta'rifi va chiziqli almashtirishlar………….….13
XULOSA………………………………………………………………....…24
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR……………………………….….25
2 KIRISH.
To plam   elementlari   orasida   ularni   qo shish   va   songa   ko paytirishʻ ʻ ʻ
amallarini   kiritish   mumkin   va   to plamlar   turli   tabiatli   bo lishiga   qaramasdan   ular	
ʻ ʻ
ustida   kiritilgan   qo shish   va   songa   ko paytirish   amallari   juda   ko p   umumiy	
ʻ ʻ ʻ
xossalarga   ega   bo ladi.   Biz   quyida   to plam   elementlarining   tabiatini   hisobga
ʻ ʻ
olmasdan bu to plamlar uchun umumiy bo lgan nazariya bilan tanishamiz.	
ʻ ʻ
Tekislik   yoki   fazoda   koordinatalar   sistemasini   kiritganimizda,   geometrik
figuraga   tegishli   nuqtalar   koordinatalarga   ega   bo'ladi.   Agar   figuraga   tegishli
nuqtalarning   koordinatalari   biror   algebraik   tenglamani   qanoatlantirsa,   u   algebraik
tenglama bilan aniqlanuvchi geometrik figura deyiladi. 
Geometriya   kursida   o'rganish   metodlarining   asosini   kooordinatalar
metodi   tashkil   qiladi.   Biz   asosan   figuralarni   ularning   tenglamalari   yordamida
o'rganamiz, ya'ni  algebraik tenglamalarini  o'rganish bilan shugullanamiz.  Bu erda
algebraik   metodlar   asosiy   rolni   o'ynaydi.   Biz   asosan   birinchi   va   ikkinchi   darajali
tenglamalar   bilan   ish   ko'ramiz.   Analitik   geometriya   kursida   o'rganiladigan
geometric figuralar sinfi unchalik katta bo'lmasa ham, birinchi va ikkinchi darajali
tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar fan va te х nikada juda katta rol
o'ynaydi. 
Birinchi darajali algebraik tenglamalar bilan aniqlanuvchi geometrik figuralar
– to'gri chiziq va tekislikdir. Ushbu asosiy geometrik figuralar bilan siz elementar
geometriya   kursidan   tanishsiz.   Tekislikda   ikkinchi   darajali   tenglamalar   ikkinchi
tartibli chiziqlarni, fazoda esa ikkinchi tartibli sirtlarni aniqlaydi.
Geometriya sohasida yevklid fazosi va unda chiziqli almashtirishlar mavziso
ham   chuqur   o’rgniladi   va   bu   tushunchalar   muhim   va   fundamental   tushunchalar
hisoblanib   faqatgina   geometriya   sohasida   emas,   balki   matematika   va   boshqa
sohalarda ham muhim ro’l o’ynaydi.
3 I BOB. CHIZIQLI ALMASHTIRISHLAR HAQIDA.
1.3 Chiziqli fazo va uning elementlari.Chiziqli almashtirish
matritsasi.
Tа’rif . Agar bo ’ sh bo ’ lmаgаn L-to ’ plаmning istalgan z	y	x	,	,  elementlari va 	
son   uchun   qo ’ shish-  	
L	y	x		 ,   songa   ko ’ paytirish-  	L	x	   аniqlаngаn   bo ’ lib,   bu
аmаllаr uchun quyidаgi хоssаlаr o ’ rinli bo ’ lsа: 
1. 	
x	y	y	x			  ,       2. 					z	y	x	z	y	x					  ,
3. 	
L da shunday 0 (nol)  element mavjudki, istalgan  	L	x  uchun 	x	x		0 ,
4.   Har   bir  	
L	x   uchun,  	L   da   shunday   -  	x   elementi   mavjudki,   uning   uchun	
		0			x	x
,
5. 	
 va	   sonlar va  	L	x  uchun 				x	x				 ,     6. 	x	x	1 ,
7. 	
		x	x	x							 ,         8. 			y	x	y	x						 ,
u holda u chiziqli yoki  v е kt о r fazo deyiladi. 
Yuq о rid а gi   t а ’rifd а   s о ng а   ko ’ p а ytirish   а m а li   d е g а nd а   ikki   h о l а tni   f а rql а sh
k е r а k. А g а r  t а ’rifd а gi  s о nl а r  h а qiqiy s о nl а r  to ’ pl а mi  	
					,	R   d а n   о ling а n d е b
q а r а ls а ,   bund а y   chiziqli   f а z о   h а qiqiy   chiziqli   f а z о   d е yil а di,   а g а rd а   bu   s о nl а r
k о mpl е ks   s о nl а r   to ’ pl а mi   C   d а n   о ling а n   d е b   q а r а ls а ,   bund а y   chiziqli   f а z о
k о mpl е ks chiziqli f а z о  d е yil а di. 
T а ’rif . 	
n			,	,	,	2	1	 s о nl а r uchun     nn aaax			  
2211
  t е nglik o ’ rinli bo ’ ls а ,
u   holda   chiziqli   fazo   elementi  	
x   vektor   naaa ,,,
21 
  vektorlarning   chiziqli
kombinatsiyasidan iborat deyiladi.
2. Chiziqli bog’liqlik, o’lcham va bazis tushunchalari
T а ’rif .   Agar hammasi ham nolga teng bo ’ lm а g а n shund а y  	
n			,	,	,	2	1	   s о nl а r
t о pilib, ul а r uchun 
0
2211 
nn aaa	
		 
 (1)
4 t е nglik o ’ rinli   bo ’ ls а , u  h о ld а naaa ,,,
21 
  vektorlar  sistemasi  chiziqli   bog ’ liq
vektorlar   sistemasi   deyiladi,   aks   holda,   ya’ni   (1)   t е nglik   o ’ rinli   ek а nligid а n
0
21 
n		
 bo ’ lsa, ular chiziqli erkli v е kt о rl а r sistemasi deyiladi.
А g а r   naaa ,,,
21 
  v е kt о rl а r   о r а sid а   n о l   v е kt о r   bo ’ ls а ,   u   h о ld а   ul а r   chiziqli
b о g’liq bo’l а di.   А g а r   naaa ,,,
21 
  v е kt о rl а rd а n bir n е cht а si chiziqli b о g ’ liq bo ’ ls а ,
u h о ld а  ul а rning o ’ zi h а m chiziqli b о g ’ liq bo ’ l а di.
T а ’rif . А g а r  	
L   chiziqli   f а z о da  	n   tasi   chiziqli   erkli   va   ist а lg а n  	1n   t а si
bog ’ liq   bo ’ lgan   vektorlar   mavjud   bo ’ lsa,   ya’ni   chiziqli   erkli   v е kt о rl а rning
maksimal s о ni 	
n  g а  t е ng bo ’ ls а , u holda 	L  fazo 	n  o ’ lchovli chiziqli fazo d е yil а di.
T а ’rif .  	
n o ’ lch о vli   chiziqli   f а z о d а gi   ist а lg а n  	n   t а   chiziqli   erkli   v е kt о rl а r
sistemasi chiziqli f а z о ning b а zisi d е yil а di.
T ео r е m а .   Chiziqli f а z о ning h а r bir el е m е ntini yag о n а   usul bil а n b а zisning
chiziqli k о mbin а tsiyasi ko ’ rinishid а  if о d а  qilish mumkin.
3. Bir bazisdan boshqasiga o’tish
n	
				,	,	,21
v е kt о rl а r b а zis bo ’ lib,  х  v е kt о r ul а rning chiziqli k о mbin а tsiyasid а n
ib о r а t   bo ’ lsin,   ya’ni   nnxxxx  
2211
,   u   h о ld а	
nx	x	x	,	,	,	2	1	   s о nl а r  	x
v е kt о rning  n	
				,	,	,21
 b а zis bo ’ yich а  k оо rdin а t а l а ri d е b yuritil а di. 	
n
o’lch о vli	L   chiziqli   f а z о d а   ikkit а n					,	,	,21
  v а	*	*2	*1	,	,	,	n			   b а zisl а r   b е rilg а n
bo ’ lsin, u h о ld а	
			n				,	,	,	2	1 lar uchun
nnnnnn nn nn
aaa aaa aaa
  
   

2211 22221212 12121111
tеngliklаrni hоsil qilаmiz, bu yerda  
5 





	






	
		
nn	n	n	
n
n
a	a	a	
a	a	a	
a	a	a	
A	



2	
2	22	21	
1	12	11mаtritsа    n	
				,	,	,21
  bаzisdаn  				n				,	,	,	2	1   bаzisgа   o ’ tish mаtritsаsi dеyilаdi.
А   mаtritsа   хоs   bo ’lmagan   mаtritsа   bo ’ lаdi,   shuning   uchun   ungа   tеskаri  	
1A
mаtritsа mаvjud bo ’ lib, bu mаtritsа  	
			n				,	,	,	2	1   bаzisdаn   n					,	,	,21
  bаzisgа o ’ tish
mаtritsаsi bo ’ lаdi.
1.2.  Chiziqli   almashtirish   matrisasi
T а’ rif .   А g а r	
1L chiziqli   f а z о ning   h а r   bir   el е m е nti	1L	x uchun   bir о n   q о id а,
q о nung а а s о s а n	
2L chiziqli   f а z о ning   а niq   el е m е nti   m о s   qo ’ yilg а n   bo ’ ls а,  	1L ni	2L g а
а ksl а ntiruvchi   о p е r а t о r   b е rilg а n   d е yil а di .   Bu   о p е r а t о rni	
A d е b   b е lgil а b ,
а ksl а ntirishni	
2	1	:	L	L	A	 sh а kld а   if о d а   etil а di ,   bu   а ksl а ntirishd а   x   ning   y   g а     m о s
k е lishi	
y	Ax	 k а bi   yozil а di .
T а ’rif . Agar ist а lg а n 	
2	1,	L	y	L	x		 va	 son uchun 	
		
		xA	x	A	
Ay	Ax	y	x	A	
			
		
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda  1 2	
:A L L	
 operator chiziqli operator deyiladi. 
А g а r  	
L	L	A		:   v а	L	L	B		:   chiziqli   о p е r а t о rl а r   bo’ls а ,   bund а y   о p е r а t о rl а r
uchun  	
A	B	A			,   va  	B	A   chiziqli   о p е r а t о rl а rni   а niql а shimiz   mumkin   bo’l а di.  	L
chiziqli f а z о ning o’zini-o’zig аа ksl а ntiruvchi  b а rch а  chiziqli  о p е r а t о rl а r 
to’pl а mini	
)	(L	   d е b   b е lgil а ymiz,   о p е r а t о rl а rni   qo’shish   v а   s о ng а
ko’p а ytirishg а  nisb а t а n  	
)	(L	  to’pl а m chiziqli f а z о ni t а shkil et а di. 
T а ’rif . Agar 
)	(L	A		 о p е r а t о r uchun shund а y 	 s о n m а vjud bo’lib, 	
x	Ax	
, 	0x
t е nglik o’rinli bo’ls а , u h о ld а	
x vector 	A о p е r а t о rning  хо s vektori d е yil а di.
6 m	n	R	R	A		:chiziqli     о p е r а t о r   bo’lsin.   Biz  	A о p е r а t о rning   m а trits а
ko’rinishini  h о sil  qil а miz. Buning uchun  	
nR   d а	n				,	,	,	2	1 va m
R
  d а   es а				m				,	,	,	2	1
b а zisl а rni  о l а ylik. 	
m	i	m	n	R	A	R	y	Ax	R	x						,	, uchun ushbu t е nglikl а rni yoz ао l а miz:	
n	j	a	a	a	A	
y	y	y	y	Ax	
x	x	x	x	
m	mj	j	j	i	
m	m	
n	n	
,	,2,1	,	2	2	1	1	
2	2	11	
2	2	11	
						
				
				
					
					
				
			
		
Bu yеrdаn quyidаgilаrni hоsil qilаmiz:	
									
	
	
	


	


				
n
j	
n
j	
m
i	
m
i	i	
n
j	j	ij	i	ij	j	j	j	x	a	a	x	A	x	Ax	
1	1	1	1	1	
		
, 	  	m
i ii	y	y	Ax
1	
dеmаk,  	
	
		
n
j	j	ij	i	m	i	x	a	y	
1	
,	,2,1	,	 tеngliklаr   hоsil   bo’lаdi.   Аgаr   biz   ushbu
mаtritsаlаrni kiritsаk,	





	





	
		





	






	





	






		
mn	m	m	
n
n	
m	n	a	a	a	
a	a	a	
a	a	a	
A	
y
y
y	
Y	
x
x
x	


	
		
2	1	
2	22	21	
1	12	11	
2
1	
2
1	
,	,
,
u hоldа  yuqоridаgi tеngliklаrni  quyidаgichа yozishimiz mumkin:	
Y	AX	
bu   yеrdа  	
A   mаtritsа   qаrаlаyotgаn  	A   оpеrаtоrning   bеrilgаn   bаzislаrdаgi
mаtritsаsi   dеyilаdi.  	
	nR	A		   bo’lsin,   u   hоldа   bundаy   оpеrаtоrgа   mоs   kеlаdigаn
mаtritsа kvаdrаtik mаtritsа bo’lаdi.	


	


	
		
nn	n	n	
n
n
a	a	a	
a	a	a	
a	a	a	
A	



2	1	
2	22	21	
1	12	11
5. Xarakteristik ko’phad. Xos  son  va  xos  ildiz
7 n	n	R	x	x	x	x			)	,	,	,	(	2	1	v е kt о r	A   chiziqli   о p е r а t о rning  	 хо s s о nig а   m о s k е luvchi
хо s v е kt о r, ya’ni 	
x	Ax	  bo’lsin.
А g а r 





	






		
nx
x
x

2
1 v е kt о r m а trits а  bo’ls а , u h о ld а  ushbu t е nglik h о sil bo’l а di	
		AX
.
Bu   y е rd а n  	
E birlik   m а trits а   uchun,   quyid а gi  			0			E	A	   t е nglikni
yoz ао l а miz.Bu bir jinsli t е ngl а m а l а r sist е m а si h а r d о im n о l  
0x  yechimg а  eg а .U
n о ld а n   f а rqli   yechimg а   eg а   bo’lishi   uchun,   ya’ni   хо s   v е kt о rning   m а vjud   bo’lishi
uchun 	
0		E	A	  bo’lishi, ya’ni 	
0	
2	1	
2	22	21	
1	12	11	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
nn	n	n	
n
n	
a	a	a	
a	a	a	
a	a	a	
E	A	
	


ekаnligi   zаrur   vа   yеtаrlidir.   Bu   dеtеrmеnаnt  	
   gа   nisbаtаn  	n -tаrtibli
ko’phаddаn   ibоrаt   bo’lаdi,   uni  	
A   оpеrаtоrning   yoki  	A mаtritsаning   хаrаktеristik
ko’phаdi,   (1)   tеnglаmа  	
A   оpеrаtоrning   (mаtritsаning)   хаrаktеristik   tеnglаmаsi
dеyilаdi.   Shuni   tа’kidlаsh   lоzimki,   хаrаktеristik   ko’phаd   qаrаlаyotgаn   bаzisgа
bоg’liq bo’lmаydi.	
A
  оpеrаtоr  	n   tа   chiziqli   erkli   n					,	,	,21
  хоs   vеktоrlаrgа   egа   bo’lib,	
n			,	,	,	2	1	
  хоs   sоnlаri   bo’lsin,   u   hоldа  	A   оpеrаtоrning   n					,	,	,21
  bаzisgа   mоs
kеluvchi  	
A mаtritsаsi quyidаgi ko’rinishdа bo’lаdi:	


	


	
		
n	
A	
	
	
	


	
0	0	
0	0	
0	0
2	
1
,
ya’ni 	
A  mаtritsа diаgоnаl mаtritsа bo’lаr ekаn.
8 Аksinchа,  birоn-bir  bаzisdа  A   оpеrаtоr  mаtritsаsi  diоgаnаl   ko’rinishgа  egа
bo’lsа,   u  hоldа  bu  bаzis   vеktоrlаri  
A   оpеrаtоrning  хоs   vеktоrlаri   bo’lib,  mаtritsа
diоgаnаllаridаgа sоnlаr uning хоs sоnlаridаn ibоrаt bo’lаdi.
Аgаr  	
A   оpеrаtоr  	n   tа   turli   хоs   sоnlаrgа   egа   bo’lsа,   u   hоldа   ulаrgа   mоs
kеluvchi   хоs   vеktоrlаr   chiziqli   erkli   bo’lib,   shu   vеktоrlаr   hоsil   qilgаn   bаzisdа  	
A
оpеrаtоr mаtritsаsi diоgоnаl ko’rinishgа egа bo’lаdi.
Misol .	


	


	4	1	
2	3	A о p е r а t о rningm а trits а sinibirorb а zisdadiagonalko ’ rinishgakelti
raylik .
 Matrisaning xarakteristik tenglamasi tuzib, xos sonlarni topamiz 	
,0	4	1	
2	3			
	
	

bundan  .5,2,0107
212
	
			
Xos vektorlarni topish uchun 	
11 12 1 1 11 12 1 11 1 12 2
21 22 2 2 21 22 2 21 1 22 2	
0 ( ) 0	, ,	0 ( ) 0	
a a x x a a x a x a x
a a x x a a x a x a x	
 		 	
   	            	 		           	   	            
ko’rinishdagi bir jinsli tenglamalar sistemasini yechamiz.
2	1	
  xos   songa   mos   keluvchi   xos   vektori  	

	
		
		
0	2	
0	2 21 21
x	x	
x	x
  sistemaning   yechimi
bo’lib, 	
1	
2b	x	b
      bo’ladi.
5	2	
  xos   songa   mos   keluvchi   xos   vektor   esa   
 
0 022
21 21
xx xx
  sistemaning
yechimi   bo’lib,   erkli   o’zgaruvchini   x
2   =   c   deb   olsak. 1 c
x
c 

 
 
  bo’ladi.   b   va   c
ixtiyoriy sonlar bo’lgani uchun bitta xos songa bir nechta har xil xos vektorlar mos
kelishi   mumkin.   Xususan,  	
1	b c    bo’lsa,   bir   jinsli   sistemaning   fundamental
yechimlariga mos keluvchi xos vektorlar 	
1	
2
1	x	     va  2 1
1x  

 
 
  ko’rinishda bo’ladi.
9 Bu   xos   vektorlardan   tuzilgan    2 1
1 1	B	      matrisa  	1	
2
1	x	      va   2 1
1x  

 
 
bazisdagi  
1
B A B 
 
  almashtirishda   berilgan   A   matrisani   diаgоnаl   mаtritsа   ko’rinishiga
keltiradi.
1	
1 1	1	
1 2	3	B		 		   
 ekanligini hisobga olib,  1
B A B 
 
 almashtirishni hisoblaylik 
1 1 1 3 2 2 1 2 2 2 1 6 0 2 0
1 1 1
.
1 2 1 4 1 1 5 10 1 1 0 15 0 5
3 3 3B A B      
             
        
             
    
             
Demak,   qaralayotgan   bazisda  	
A   оpеrаtоrning   mаtritsаsi   diоgаnаl
ko‘rinishgа   ega   bo’lib,   mаtritsа   diоgonаlidаgi   sonlar  	
A   оpеrаtоrning     хоs
sоnlаridаn ibоrаt bo’lar ekan.
Teorema.  	
2A matritsaning   xos   sonlari,   berilgan   A   matritsa   xos   sonlari
kvadratiga teng, hamda ikkala matritsaning xos vektorlari bir xildir.   	
Aq q		 .
Teorema.  	
nA matritsaning   xos   sonlari,   berilgan   A   matritsa   xos   sonlari   n-
darajaga oshirilganiga teng, ammo ikkala matritsaning xos vektorlari bir xildir. 
Teorema.
1	A matritsaning xos sonlari  berilgan A matritsaning xos sonlariga
teskari bo’ladi, hamda matritsalarning xos vektorlari bir xil. 
Teorema. Idempotent   matritsaning   har   bir   xos   soni   yoki   nolga   teng   yoki
birga.
10 II BOB. YEVKLID FAZOSIDA CHIZIQLI ALMASHTIRISHLAR.
2.1.  N o’lchovlivektorli Yevklidfazosi.
Biz     I
1-4 ,   II
1-4 ,   III
1-2       aksiomalar   yordamida   n     o’lchovli   vektor   fazo
tushunchasini   kiritgan   edik     hamda   chiziqli   amallarga   asoslanib,   shu   fazo
xossalarini   o’rgangandik,   lekin   bu   fazoda   vektorning     uzunligi,   ikki   vektor
orasidagi   burchak,   ikki   vektorning   perpendikulyarligi   kabi   tushunchalar
kiritilmagan   edi.   SHuning   uchun   I
1-4 ,   II
1-4 ,   III
1-2   aksiomalar   qatoriga   yangi
aksiomalar   kiritish     bilan   yangi   vektor   fazolarni   hosil   qilamiz,   shulardan   biri
vektorli yevklid fazosidir.
Ta’rif.   V     vektor   fazoning   ixtiyoriy   ikki  ⃗a,⃗b vektori   uchun   ularning   skalyar
ko’paytmasi  deb atalgan haqiqiy son mos keltirilgan bo’lib (ko’paytmani 	
⃗a⋅b bilan
belgilaymiz), quyidagi  to’rtta akskoma bajarilsa, bunday fazo   p o’lchovli  vektorli
yevklid fazosi  deb ataladi (uni  V
E bilan belgilaymiz).	
V1	∀	⃗a,⃗b∈Vn
uchun 	⃗a⋅⃗b=	⃗b⋅⃗a ,	
V2	∀	⃗a,⃗b,⃗c∈Vn
uchun 	(⃗a+⃗b)⃗c=	⃗a⋅⃗c+⃗b⋅⃗c ,	
V3	∀	⃗a,⃗b∈V	n
va	∀	k∈R  uchun 	k⃗a⋅⃗b=	k⋅(⃗a⃗b) .	
V	4	∀	⃗a≠	0∈Vn
uchun	⃗a⋅⃗a>	0
Bu   aksiomalarni   odatda   vektorlarning   skalyar   ko’paytirish   aksio m alari
debyuritiladi.
Avvalo yuqoridagi aksiomalardan kelib chiqadigan ba’zi natijalarni ko’raylik.
1-natija.   V
2 aksiomadagi  assotsiativlik  qonuni  ikki  qo’shiluvchi  vektor  uchun
o’rinli   bo’lsa,   u   istalgan   sondagi   ko’shiluvchilar   uchun   ham   o’rinlidir,   ya’ni	
(⃗a1+⃗a2+...+⃗am)⃗b=	⃗a1⃗b+⃗a2⃗b+	...+am⃗b
(ifodadagi   barcha   vektorlar   V
E ga
tegishli).
2-natija.  	
⃗0 vektorni   har   qanday   vektor   bilan   skalyar   ko’paytmasi   nolga
tengdir, chunki  V
3 ga as o san	
(⃗0⋅⃗a)=	(⃗0b⋅⃗a)=	0(⃗b⋅⃗a)=	0 .
11 3-natija.  ⃗a⋅⃗a c kalyar   ko’paytma   faqat	⃗a=	⃗0   bo’lgandagina   nolga   tengdir,   bu
bev osita V
4 aksioma va 2-natijadan kelib   chiqadi.	
⃗a⋅⃗a>	0	⇒	√	⃗a⋅⃗a
-  haqiqiy sondir.
T a ‘ r i f  . 	
√⃗a⋅⃗a haqiqiy sonni 	⃗a vektorning  m oduli  (uzunl i gi) deyiladi va uni	
√⃗a⋅⃗a=|⃗a|
ko’rinishda   belgilanadi.   Xususiy   hol    	|⃗a|=1 bo’lsa,   bunday  	⃗a vektor
birlik   vektor   deb   ataladi,   bundan   tashqari,   nolь   vektorning   moduli   nolga   tengligi
ham ravshandir.
4-natija.  	
⃗b=	λ⃗a⇒	|⃗b|=|λ|⋅|⃗a| ,     chunki	
|⃗b|=	√λ⃗a⋅λ⃗a=	√λ(⃗a⋅λ⃗a)=	√λλ	(⃗a⃗a)=	√λ2
⃗a⃗a=|λ|⋅|⃗a|
Teorema.	
∀	⃗a,⃗b∈VE uchun
o’rinlidir (Koshi  —  Bunyachovskiy tengsizligi).
  Koshi-Bunyakovskiy   tengsizligini    	
⃗a≠	⃗0 va  	⃗b≠	⃗0 vektorlar       uchun
quyidagicha   yozib   olaylik:  	
−1≤	⃗a⃗b	
|⃗a||⃗b|
≤1 .   Bunda  	⃗a⃗b	
|⃗a||⃗b|   kasrni   biror  	φ   burchak
kosinusi deb olish mumkin, ya’ni 	
cos	φ=	⃗a⃗b	
|⃗a||⃗b|
Ta’rif.   (35)   tenglik   bilan   aniqlanadigan   burchaklarning   eng   kichigi  	
⃗a,⃗b
vektorlar orasidagi  burchak  deb ataladi.	
φ=	π
2
  da  	⃗a,⃗b   vektorlar   ortogonal   deb   ataladi.   (35)   dan   ko’rinib   turibdiki,
nolь bo’lmagan ikki vektor ortogonal bo’lishi uchun ularning skalyar ko’paytmasi
nolga teng bo’lishi zarur va yetarli ekan.
(35)  da 	
φ=	0  yoki 	φ=	π  bo’lsa, 	⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|; ga asosan  	⃗a=	λ⋅⃗b  yoki 	⃗a// {	⃗b¿	
(35	)⇒	⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos	φ;	(36	)
12 Demak,   ikki   vektorning   skalyar   ko’paytmasi   shu   vektorlar   modullari   bilan
ular orasidagi burchak kosinusining ko’paytmasiga teng.
Endi  V
E ning bezisi masalasiga to’xtalaylik. 
Ta’rif.   V
n dagi  ⃗e1,⃗e2,...,⃗en   bazis   vektorlarning   har   biri   birlik   vektor   bo’lib,
ularning   istalgan   ikkitasi   o’zaro     ortogonal   bo’lsa,   bunday   vektorlar   sistemasi
ortonormalangan  bazis  (yoki   dekart bazisi)  deb ataladi, uni ham odatdagidek  B  = {	
⃗e1,⃗e2,...,⃗en
}deb belgilaylik.
p  o’lchovli yevklid fazosi
T   a   ‘   r   i   f   .   Eltuvchisi   V
E bo’lgan   (p   o’lchovli   vektorli   yevklid   fazosi)   p
o’lchovli affin fazo  p o’lchovli yevklid fazosi  deb ataladi va Ye
p bilan belgilanadi.
Demak, elementlar i  nuqta va vektor deb atalgan bo’sh bo’lmagan  to’plam I
1-4 ,
II
1-4 , III
1-2    aksiomalarn i  qanoatlantirsa, u to’plam  n  o’lchovli yevklid fazosi bo’ladi.
Ta’rifdan   ko’rinadiki,   p   o’lchovli affin   fazoning   barcha   ta’rif   va   teoremalari
Ye
p da ham o’z kuchini saqlaydi.
E
p dagi   nuqtaning   koordinatalaryaii   30-   §   dagidek   ta’riflasak   hamda   dekart
reperini     B   = {	
⃗e1,⃗e2,...,⃗en }deb olsak    	⃗e1,⃗e2,...,⃗en   ortonormalangan bazis),  u holda
uch   o’lchovli   yevklid   fazosi   singari   Ye
p da   qator   masalalarni   hal   qilish   mumkin.
Biror dekart reperida  A(x
1  x
2 . ..,  x
p ), V (y
1 y
2 , .  . . ,  u
p )  ni olaylik.
Ta’rif.   Ye
p     dagi   A,B   nuqtalar   aniqlagan
⃗AB   vektor   uzunligi   shu   ikkinuqta
orasidagi  masofa deb  ataladi va  r(A, V)  bilan belgilanadi.
Ta’rifga   asosan	
ρ(A,B)=⃗A,B	. .   30-§   dagk   ( 1 3)   ni   eslasak ,	
⃗AB	=	{y1−	x1,y2−	x2,.....,yn−	xn,}
(39)  formuladan:	
ρ(AB	)=	√(y1−	x1)
2+(y2−	x2)
2+	.....+(yn−	xn)
2
 (41)
Bu formula Ye
n dagi ikki nuqta orasidagi  masofani topish formulasidir.
Teorema. Ye
p dagi ixtiyoriy uchta  A, V, S  nuqta uchun	
ρ(A,C	)≤	ρ(A.B)+ρ(B	,C	)
o’rinlidir.
13 2.2.  Ye vklid fazolarining ta'rifi va chiziqli almashtirishlar.
Geometriyada uchragan jismlarning ko'pgina xossalari  segmentlar  uzunligini
va   chiziqlar   orasidagi   burchakni   o'lchash   qobiliyati   bilan   chambarchas   bog'liq.
Chiziqli   fazoda   biz   hali   bunday   o'lchovlarni   amalga   oshira   olmaymiz,   buning
natijasida   chiziqli   fazolarning   umumiy   nazariyasini   geometriyaga   va   boshqa   bir
qator   matematik   fanlarga   qo'llash   sohasi   ancha   toraydi.   Biroq,   bu   qiyinchilikni
ikkita   vektorning   skalyar   mahsuloti   tushunchasini   kiritish   orqali   bartaraf   etish
mumkin. Ya'ni, chiziqli o'lchovli haqiqiy fazo bo'lsin. Keling, har bir vektor juftiga
haqiqiy   raqamni   tayinlaymiz   va   bu   raqamga   qo'ng'iroq   qilamiz   skalyar
mahsulot   vektorlar va agar quyidagi talablar qondirilsa:
1.   (kommutativ qonun) .
3.   har qanday haqiqiy uchun .
4.   nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun .
Skalar   mahsulot   kontseptsiyaning   alohida   holatidir   ikkita   vektor
argumentining   sonli   funksiyasi ,   ya'ni   qiymatlari   raqamlar   bo'lgan   funksiya.
Shuning   uchun,   argumentlarning   har   qanday   qiymatlari   uchun   qiymatlari   haqiqiy
bo'lgan va 1 - 4 talablari qondiriladigan vektor argumentlarining sonli funktsiyasini
skalyar mahsulot deb atashimiz mumkin.
Nuqta   mahsuloti   aniqlangan   haqiqiy   chiziqli   fazo   chaqiriladi   Evklid   va   bilan
belgilanadi.
E'tibor   bering,   Evklid   fazosida   nol   vektor   va   har   qanday   vektorning   skalyar
ko'paytmasi   nolga   teng:   .   Haqiqatan   ham,   va   talabga   ko'ra   3   .   Aytaylik,   biz   buni
tushunamiz.
  1.   Nuqtada   boshi   umumiy   bo'lgan   geometrik   vektorlarning   oddiy   uch
o'lchovli   fazosi   bo'lsin.   Analitik   geometriyada   bunday   ikkita   vektorning   skalyar
ko paytmasi ga teng haqiqiy son bo lib, bu yerda va vektorlarning uzunliklari va ,ʻ ʻ
vektorlar orasidagi burchak , ga teng bo lib, barcha 1 − 4 talablar qanoatlantirilishi	
ʻ
isbotlangan. bu raqam.
Shunday   qilib,   biz   kiritgan   skalyar   ko'paytma   tushunchasi   geometrik
vektorlarning skalyar ko'paytmasi tushunchasini umumlashtirishdir.
14 2. Haqiqiy koordinatali bo'shliq - o'lchovli qatorlarni ko'rib chiqing va har bir
juft va shunga o'xshash qator vektorlariga haqiqiy sonni belgilang.
Ushbu raqam uchun 1 - 4 barcha talablar bajarilishini tekshirish oson:
va shunga o'xshash. Nihoyat,
chunki da raqamlarning kamida bittasi noldan farq qiladi.
Bu erdan ko'ramizki, bu son qator vektorlarining skalyar ko'paytmasi va , fazo
esa shunday skalyar ko'paytmani kiritganimizdan keyin Evklidga aylanadi.
3. Chiziqli  real o'lchamli  fazo bo'lsin va uning bazisi bo'lsin. Keling, har bir
vektor   juftiga   haqiqiy   sonni   belgilaylik.   Keyin   bo'shliq   Evklidga   aylanadi,   ya'ni
son vektorlarning skalyar ko'paytmasi bo'ladi. Haqiqatdan ham:
Hatto   boshqa   yo'llar   bilan   bizning   fazomizni   Evklid   qilishimiz   mumkin,
masalan, biz vektorlar juftligiga haqiqiy sonni belgilashimiz mumkin.
B unday   son   uchun   skalyar   ko'paytmani   tavsiflovchi   1   -   4   barcha   talablar
qanoatlantirilishini tekshirish oson. Ammo bu erda (xuddi shu asosda) biz boshqa
raqamli   funktsiyani   aniqlaganimiz   sababli,   boshqa   "o'lchov   ta'rifi"   bilan   boshqa
Evklid fazosi olinadi.
4.   Nihoyat,   bir   xil   bo'shliqqa   murojaat   qilib,   raqamli   funktsiyani   ko'rib
chiqing,   u   uchun   ,   tenglik   bilan   aniqlanadi.   Bu   funksiya   endi   skalyar   mahsulot
emas, chunki 4-talab buzilgan: uchun, vektor , a ga teng. Shunday qilib, bu erdan
Evklid fazosi olinmaydi.
Skayar   mahsulotning   ta'rifiga   kiritilgan   2   va   3   talablardan   foydalanib,
quyidagi formulani olish oson:
Bu   yerda   ,   vektorlarning   ikkita   ixtiyoriy   tizimi.   Demak,   xususan,   ixtiyoriy
bazis uchun va har qanday vektor juftligi uchun , , ya'niqayerda. Tenglikning o'ng
tomonidagi ifoda (1) va ichida ko'phad bo'lib va  deyiladi   ikki chiziqli shakl   dan va
(uning   har   bir   a'zosi   chiziqli,   ya'ni   birinchi   darajali,   nisbatan   va   nisbatan).   Ikki
chiziqli shakl deyiladi   simmetrik , agar uning har bir koeffitsienti uchun simmetriya
sharti   bajarilsa.   Shunday   qilib,   skalyar   mahsulot   ixtiyoriy   asosda   vektorlar
koordinatalarida   ikki   chiziqli   simmetrik   shakl   sifatida   ifodalanadi   ,   real
15 koeffitsientlar bilan . Lekin bu hali ham yetarli emas. Ya'ni, deb faraz qilsak, biz (1)
tenglikdan olamiz
Chiziqli   fazoni   ko'rib   chiqaylik   L.   Vektorlarni   qo'shish   va   vektorni   songa
ko'paytirish   amallari   bilan   bir   qatorda,   biz   bu   fazoda   yana   bitta   operatsiyani,
skalyar ko'paytirish amalini kiritamiz.
Ta'rif 1
Har   bir   vektor   juftligi   bo'lsa   a   ,   b   n   L,   ba'zi   qoidaga   ko'ra,   belgi   bilan
belgilangan haqiqiy sonni bog'lang (   a   ,   b   ) va shartlarni qondirish
1. ( a   ,   b   ) = ( b   , a   ),
2. ( a   +   bilan   ,   b   ) = ( a   ,   b   )   +   ( bilan   ,   b   ),
3. (a   a   ,   b   ) = a(   a   ,   b   )
4. > 0 "   a   ¹   0   u = 0 Û   a   =   0   ,
keyin   bu   qoida   deyiladi   skalyar   ko'paytirish   ,   va   raqam   (   a   ,   b   )
deyiladi   skalyar mahsulot   vektor   a   vektor uchun   b   .
Raqam chaqiriladi   skalyar kvadrat   vektor   a   va belgilang, ya'ni.
1)   -   4)   shartlar   chaqiriladi   nuqta   mahsulot   xususiyatlari :   birinchisi
mulkdir   simmetriya (kommutativlik), ikkinchi va uchinchi - xususiyatlar   chiziqlilik ,
to'rtinchi   -   ijobiy   aniqlik ,   va   w   sharti   shart   deyiladi   degenerativlik   skalyar
mahsulot.
Ta'rif 2
Evklid fazosi   vektorlarni skalyar ko'paytirish amali kiritilgan haqiqiy chiziqli
fazodir.
Evklid fazosi E bilan belgilanadi.
Skayar ko'paytmaning 1) - 4) xossalari deyiladi   aksiomalar   evklid fazosi.
Evklid fazolarining misollarini ko'rib chiqing.
16 ·   V   2   va   V   3   fazolar   Evklid   fazolaridir,   chunki   ular   bo'yicha   barcha
aksiomalarni qanoatlantiruvchi skalyar ko'paytma quyidagicha aniqlandi
Chiziqli   fazoda   R   P ( x )   eng   ko'p   darajali   ko'phadlar   P   vektorlarni   skalyar
ko'paytirish va formula bilan kiritilishi mumkin
Kiritilgan   amal   uchun   skalyar   mahsulot   xossalarining   bajarilishini
tekshiramiz.
2) O'ylab ko'ring. Unda ruxsat bering
4) . Ammo har qanday sonlarning kvadratlari yig'indisi har doim noldan katta
yoki   teng   bo'ladi   va   agar   bu   raqamlarning   barchasi   nolga   teng   bo'lsa,   nolga   teng
bo'ladi.   Demak,   ,   agar   polinom   nolga   teng   bo'lmasa   (ya'ni   uning
koeffitsientlari   orasida   nolga   teng   bo'lmagan   koeffitsientlar   mavjud)
va   Û qachon, bu degani.
Shunday qilib, skalyar ko'paytmaning barcha xossalari qanoatlantiriladi, ya'ni
tenglik   R   fazodagi   vektorlarning   skalyar   ko'payishini   belgilaydi.   P ( x )   va   bu
fazoning o'zi Evkliddir.
Chiziqli   fazoda   R   n   vektor   nuqtani   ko'paytirish   vektor
uchun   formula bilan aniqlash mumkin
Keling,   buni   ko'rsataylik   har   qanday   chiziqli   fazoda   skalyar   ko'paytirish
aniqlanishi   mumkin,   ya'ni.   har   qanday   chiziqli   fazoni   Evklid   fazosiga   aylantirish
mumkin.   Buning   uchun   L   bo'shliqni   oling   n   ixtiyoriy   asos   (   a   1   ,   a   2   ,   …,   a   P ).
Bunga asos bo'lsin
17 a = a 1   a   1 + a2   a   2 + …+ a   P a   P   va   b   = b1   a   1 + b2   a   2 + …+ b   P a   P .
( a   ,   b   ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a   P   b   P . (*)
Skalar mahsulotning xossalarini amalga oshirishni tekshiramiz:
1) ( a   ,   b   ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a   P   b   P = b 1 a 1 + b 2 a 2 + …+b   P   a   P =
( b   ,   a   ),
2) Agar , keyin
Keyin
( a +   bilan   ,   b   ) =
=   ( a   ,   b   )   +   ( bilan   ,   b   ).
3. (l   a   ,   b   ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la   P )b   P = la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+
la   P   b   P   =
L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a)   P   b   P ) = l (   a   ,   b   ).
4. "   a   ¹   0   va agar hamma narsa a   i = 0, ya'ni.   a   =   0   .
Shuning   uchun   tenglik   (   a   ,   b   )   =   a   1   b   1   +   a   2   b   2   +   …+   a   P   b   P   L   da
belgilaydi   n   skalyar mahsulot.
E'tibor   bering,   ko'rib   chiqilgan   tenglik   (   a   ,   b   )   =   a   1   b   1   +   a   2   b   2   +   …+
a   P   b   P   turli fazoviy bazalar uchun bir xil vektorlarning skalyar mahsulotining turli
qiymatlarini   beradi   a   va   b   .   Bundan   tashqari,   skalyar   mahsulot   tubdan   boshqacha
18 tarzda  aniqlanishi  mumkin.  Shuning  uchun biz  (*)   tenglikdan foydalanib,  skalyar
mahsulotning vazifasini chaqiramiz.   an'anaviy .
Ta'rif 3
Norma   vektor   a   bu   vektorning   skalyar   kvadratining   kvadrat   ildizining
arifmetik qiymati.
Vektor   normasi   ||   bilan   belgilanadi   a   ||,   yoki   [   a   ],   yoki   |   a   |   .   Shunday   qilib,
keyin ta'rif
|| a   || .
Normning quyidagi xususiyatlari mavjud:
1. || a   || = 0 Û   a   = 0   .
2. ||a   a   ||= |a|.||   a   || "OR.
3. |( a   ,   b   )| £ ||   a   ||.|| b   || (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi).
4. || a   + b   || £ ||   a   || + || b   || (uchburchak tengsizligi).
An'anaviy   tarzda   belgilangan   skalyar   ko'paytirish   bilan   V   2   va   V   3   Evklid
bo'shliqlarida ` vektor normasi.   a   uning uzunligi
||` a || = |` a |.
Evklid   fazosida   R   n   skalyar   ko'paytirish   vektor   normasi
bilan   ga teng
|| a   || =     .
Ta'rif 4
Vektor   a   Evklid   fazosi   deyiladi   normallashtirilgan   (yoki   yolg'iz )   agar   uning
normasi bittaga teng bo'lsa: ||   a   || = 1.
Agar   a   a   ¹   0   ,   keyin   vektorlar   va   birlik   vektorlardir.   Berilgan   vektorni
topish   a   mos keladigan birlik vektori (yoki ) chaqiriladi   ratsion   vektor   a   .
19 Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadiki
Qayerda     ,
shuning uchun nisbatni qaysidir burchakning kosinusu deb hisoblash mumkin.
Ta'rif 5
Burchak j (0 £ j   burchak vektorlar orasida   a   va   b   evklid fazosi.
Shunday qilib, vektorlar orasidagi burchak   a   va   b   Evklid fazosi formula bilan
aniqlanadi
j = = arccos.
E'tibor bering, chiziqli fazoda skalyar ko'paytirishni  joriy etish ushbu fazoda
geometrik   vektorlar   fazosida   mumkin   bo'lganlarga   o'xshash   "o'lchovlar"   ni,   ya'ni
vektorlarning   "uzunliklarini"   va   vektorlar   orasidagi   "burchaklarni"   o'lchashni
amalga   oshirishga   imkon   beradi.   ,   skalyar   ko'paytirishni   belgilash   shaklini
tanlashda bunday o'lchovlar uchun "miqyos" ni tanlashga o'xshaydi. Bu o'lchovlar
bilan   bog'liq   bo'lgan   geometriya   usullarini   ixtiyoriy   chiziqli   bo'shliqlarga
kengaytirish   imkonini   beradi   va   shu   bilan   algebra   va   tahlilda   uchraydigan
matematik ob'ektlarni o'rganish vositalarini sezilarli darajada kuchaytiradi.
Ta'rif 6
Vektorlar   a   va   b   Evklid   bo'shliqlari   deyiladi   ortogonal   ,   agar   ularning   nuqta
mahsuloti nolga teng bo'lsa:
E'tibor   bering,   agar   vektorlardan   kamida   bittasi   nolga   teng   bo'lsa,   u   holda
tenglik   amal   qiladi.   Haqiqatan   ham,   beri   nol   vektor   sifatida   ifodalanishi
mumkin   0   =   0. a   ,   keyin   (   0   ,   b   )   =   (0. a   ,   b   )   =   0.( a   ,   b   )   =   0.   Shuning   uchun,   nol
vektor har qanday vektorga ortogonaldir   evklid fazosi.
Ta'rif 7
Vektor   tizimi   a   1   ,   a   2   ,   …,   a   t   Evklid   fazosi   deyiladi   ortogonal   ,   agar   bu
vektorlar juft ortogonal bo'lsa, ya'ni.
20 ( a   i ,   a   j ) = 0 " i ¹   j ,   i , j =1,2,…, m .
Vektor   tizimi   a   1   ,   a   2   ,   …,   a   t   Evklid   fazosi
deyiladi   ortonormal   (yoki   ortonormal   )   agar   u   ortogonal   bo'lsa   va   uning   har   bir
vektori normallashtirilgan bo'lsa, ya'ni.
( a   i ,   a   j ) =     ,   i , j = 1,2, …,   m .
Ortogonal vektorlar tizimi quyidagi xususiyatlarga ega:
1.   Agar   nolga   teng   bo'lmagan   vektorlarning   ortogonal
sistemasi,   keyin   sistema   bu   sistemaning   har   bir   vektorini
normallashtirish natijasida olingan qiymat ham ortogonaldir.
2. Nolga teng bo'lmagan vektorlarning ortogonal tizimi chiziqli mustaqildir.
Agar biron-bir ortogonal, demak, ortonormal vektorlar tizimi chiziqli mustaqil
bo'lsa, unda bunday tizim berilgan fazoning asosini tashkil qilishi mumkinmi? Bu
savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema 3
Har birida   P - o'lchovli Evklid fazosi (   ) ortonormal asos mavjud.
Isbot
Teoremani   isbotlash   degani   topmoq   bu   asos.   Shuning   uchun   biz   quyidagi
tarzda harakat qilamiz.
Berilgan Evklid fazosida  ixtiyoriy asosni   ko'rib  chiqing (   a   1 ,   a   2 ,  …,   a   n ),
undan   ortogonal   asos   quramiz   (   g   1   ,   g   2   ,   …,   g   n ),   keyin   esa   bu   asosning
21 vektorlarini   normallashtiramiz,   ya'ni.   ruxsat   bering.   Keyin   vektorlar   sistemasi
(   e   1 ,   e   2 ,…,   e   n ) ortonormal asos hosil qiladi.
Shunday qilib, B :(   a   1 ,   a   2 , …,   a   n ) ko'rib chiqilayotgan fazoning ixtiyoriy
asosidir.
1.   Keling, qo'ying
g   1 =   a   1 , g   2 =   a   2 +   g   1
va vektor bo'lishi uchun koeffitsientni tanlang   g   2 vektorga ortogonal edi   g   1,
ya'ni. (   g   1 ,   g   2) = 0. Buyon
  ,
keyin tenglikdan   = - toping.
Keyin vektor   g   2 =   a   2 –   g   1 vektorga ortogonal   g   1 .
g   3 =   a   3 +   g   1 +   g   2 ,
va   tanlang   va   shunday   qilib   vektor   g   3   ortogonal   edi   va   g   2   ,   va   g   3,   ya'ni.
(   g   1 ,   g   3) = 0 va (   g   2 ,   g   3) = 0. Toping
Keyin   tengliklardan   va   mos
ravishda topamiz   va     .
Shunday qilib vektor   g   3 =   a   3 –`   g   1 –   g   2 vektorga ortogonal   g   1 va   g   2 .
22 Xuddi shunday, biz vektorni quramiz
g   4 =   a   4 –`   g   1 –   g   2 –   g   3 .
Buni   tekshirish   oson   (   g   1   ,   g   4)   =   0,   ( g   2   ,   g   4)   =   0,   ( g   3   ,   g   4)   =   0.   2   –   …
–   g   k   –1 , k   = 2, 3, …, n .
3)   Olingan   vektorlar   sistemasini   normallashtirish   (   g   1   ,   g   2   ,   …,   g   P ),   ya'ni.
qo'ying.
4) Ortonormal asosni yozing (   e   1 ,   e   2 , …,   e   n }.
Keyinchalik ortonormal asos belgilanadi
B 0 :(   e   1 ,   e   2 , …,   e   n }.
Biz quyidagilarni ta'kidlaymiz   ortonormal asos xususiyatlari .
1)   Ortonormal asosda har qanday ikkita fazo vektorining skalyar ko'paytmasi
ularning tegishli koordinatalari ko'paytmalari yig'indisiga teng: (   a   ,   b   ) = a 1 b 1 +
a 2 b 2 + …+ a   P   b   P .
2)   Agar   qaysidir   asosda   ikkita   vektorning   skalyar   ko‘paytmasi   ularning   mos
keladigan   koordinatalari   ko‘paytmalari   yig‘indisiga   teng   bo‘lsa,   bu   asos
ortonormal hisoblanadi.
Shunday   qilib,   agar   Evklid   fazosining   har   qanday   asosi   ortonormal
bo'ladi   skalyar   mahsulot   vektor   koordinatalari   ko'paytmalari   yig'indisi   sifatida
aniqlanadi   shu asosda .
3)   Ortonormal   asosda   vektor   normasi   uning   koordinatalari   kvadratlari
yig'indisining kvadrat ildiziga teng.
|| a   || = .
Ta'rif 8.
M   to'plam   deyiladi   metrik   fazo   ,   agar   uning   har   qanday   ikkita   elementi
bo'lgan   qoida   mavjud   bo'lsa   X   va   da   ba'zi   haqiqiy   son   r   (   X   , da   )
chaqirildi   masofa   shartlarni qondiradigan ushbu elementlar orasida:
1.r(   X   , da   ) = r(   da   , X   );
2.r(   X   , da   )³   har   qanday   uchun   0   X   va   da   ,   va   r(   X   , da   )=0   agar   va   faqat
agar   X   =   da   ;
23 3.r(   X   , da   )   £   r(   X   ,   z   )   +   r(   da   ,   z   )   har   qanday   uchta   element
uchun   X   ,   da   ,   z   OM.
Metrik fazoning elementlari deyiladi   nuqta .
Metrik   fazoga   R   fazoni   misol   qilib   keltirish   mumkin   n ,   unda   nuqtalar
orasidagi   masofani   (bu   fazoning   vektorlari)   formula   r()   bilan   aniqlash
mumkin.   X   , da   ) = ||   X   –   da   ||.
Bunday   vektor   fazoga   mos   keladi.   Ushbu   maqolada   birinchi   ta'rif   dastlabki
ta'rif sifatida qabul qilinadi.
24 XULOSA.
Geometriya sohasida yevklid fazosi va unda chiziqli almashtirishlar mavziso
ham   chuqur   o’rgniladi   va   bu   tushunchalar   muhim   va   fundamental   tushunchalar
hisoblanib   faqatgina   geometriya   sohasida   emas,   balki   matematika   va   boshqa
sohalarda ham muhim ro’l o’ynaydi. 
Yevklid   fazosi   —   Yevklid   geometriyasida   o rganiladigan   tekislik   va   uchʻ
o lchovli   fazoning   umumlashgani.   Agar   vektor   fazoda   ixtiyoriy   x,   u   vek-   torga	
ʻ
quyida   keltirilgan   aksiomalarni   qanoatlantiruvchi   va   (x,   u)   deb   belgilanuvchi   son
mos   qo yilgan   bo lsa,   bu   vektor   fazo   Yevklid   fazosi,   (x,   u)   soni   esa   skalyar	
ʻ ʻ
ko paytma deyilishi haqida bilib oldik. Aksiomalar:	
ʻ
(x, x)>0; x=0 bo lgan xildagina (x, x)=0;	
ʻ
(x, u)=(x, u);
(Xx, u)=X(x, u);
(x+u, 2)=(x, 2)+(u, 2).
Skalyarning   haqiqiy   yoki   kompleksliligiga   karab   mos   ravishda   haqiqiy
Yevklid   fazosi   kompleks   Yevklid   fazosi   deb   yuritilishi   va   undan   tashqari   agar
Yevklid   fazosi   hosil   qilgan   vektor   fazo   (i)   o lchovli   bo lsa,   Yevklid   fazosi   ham	
ʻ ʻ
n   o lchovli   deyilishi   haqida   ma’lumotlar   o’rganib   oldik.   Ba zan,   faqat   chekli	
ʻ ʼ
o lchovli  fazolargina Yevklid fazosi  deb ataladi. Yevklid fazosida formula bilann	
ʻ
vektor uzunligi, ikki vektor orasidagi burchak aniqlanishi haqida o’rganildi.
25 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1. Sh.M.Mirziyoev “Matematika ta’limi va fanlarini rivojlantirishni davlat
tamonidan qo’llab quvatlash” 2019 yil 9 iyuldagi PQ-4387-sonli qarori.
2. Sh.M.Mirziyoev   “Matematika   sohasidagi   ta’lim   sifatini   oshirish   va
ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida” gi 2020 yil
7 maydagi PQ-4708-sonli qarori.
3. Sh.M.Mirziyoev   “O’zbekiston   Respublikasi   Fanlar   akademiyasining
V.I.Roma-novskiy   nomidagi   matematika   instituti   faoliyatini   tubdan
takomillashtirish chora tadbirlari to’g’risida”gi PQ-4762-sonli qarori.
4. N.N.Alimov,   J.R.Turmatov,   «Pedagogik   texnologiyalar»,   o’quv-
uslubiy qo’llanma. Jizzax, 2007.
5. D.I.Yunusova   “Matematikani   o’qitishning   zamonaviy   texnologiyalari”
T.: “Fan” nash.-2010 yil.
6. S.A.Gasteva, S.E. Lyapin “Matematika o’qitish metodikasi”. T.: “O’rta
va Oliy maktab” nashriyoti-1960 yil.
7. Baxvalov   .S.V.,   Modenov   P.S.,   Parxomenko   A.S.   Analitik
geometriyadan
masalalar to’plami.Toshkent,2006,546 bet. 
8. Il’in V.A. Poznyak E.G. Analiticheskaya geometriya.M., Nauka, 1981,
232s.
9. Pogorelov   A.V.Analitik   geometriya.   Toshkent,   O’qituvchi,1983,   206
bet.
10. Postnikov M.M. Analiticheskaya geometriya.M.,Nauka,1979,336 s.
11. Suberbiller   O.N.   Zadachi   i   uprajneniya   po   analiticheskoy   geometrii.
Sankt-Peterburg -Moskva, Izd. Lan’, 2003 g.336 str.
12. Kletenik   D.V.Sbornik   zadach   po   analiticheskoy   geometrii.   M.
Nauka.1998,
13. Kravchenko K. Resheniya zadach po analiticheskoy geometrii.
14. http://  www.a-geometry.narod.ru
26

Haqiqiy Yevklid fazosida chiqizli almashtirishlar

Купить
  • Похожие документы

  • Ekonometrika asoslari fanidan testlar
  • Kombinatorika Asoslari
  • Funksiyaning integralinuvchanlik mezoni
  • Ekstirimal masalalar kurs ishi
  • Tenglama va tengsizliklar yechishda integral va hosilani qo’llash

Подтвердить покупку

Да Нет

© Copyright 2019-2026. Created by Foreach.Soft

  • Инструкция по снятию с баланса
  • Контакты
  • Инструкция использования сайта
  • Инструкция загрузки документов
  • O'zbekcha