Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 430.6KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Elastiklik. Guk qonuni. Deformatsiya energiyasi. Izotrop muhit. Elastik o‘zgarmaslar. Elastik simmetriya. Anizotrop muhit

Купить
11-mavzu. Elastiklik. Guk qonuni. Deformatsiya energiyasi. Izotrop muhit. Elastik o’zgarmaslar. Elastik simmetriya. Anizotrop muhit Reja: 1.Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog’lanishlar. 2.Deformasiyalanish termodinamikasi. 3. Elastik potensial. 4.Deformatsiuaning qoshimcha ishi. 5. Umumlashgan Guk qonuni Elastik jismning muvozanat va harakat tenglamalari. Faraz qilaylik, deformatsiyalanuvchi qattiq jismning hajmi V va S ga teng bo‘lsin hamda jismga uning nuqtalarining kichik ko‘chishlarini, va demak, kichik deformatsiyasini chaqiruvchi hajmiy va sirt kuchlari ta’sir etayotgan bo‘lsin. Jismga ta’sir qilayotgan hajmiy (massaviy) kuchlarni ⃗f bilan belgilaymiz. Qaralayotgan jism muvozanatda bo‘lsa, uning ixtiyoriy fikran ajratilgan qismi, unga ta’sir qiluvchi kuchlar ta’siri ostida muvozanatda bo‘lishi kerak. Agar jism deformatsiyalanuvchi bo‘lsa, uning ajratilgan sirtiga, jism qismining qolgan qismining ta’sirini beruvchi ⃗pnds kuchlarni qo‘yish kerak. Ma’lumki, jismning biror M (xi) nuqtasidagi normali ⃗n bo‘lgan maydonchadagi ⃗pn kuchlanish vektori, jismning shu nuqtadagi (σij) kuchlanish tenzori bilan to‘liq aniqlanadi. Tabiiyki, (σij) kuchlanish tenzori komponentalari M (xi) nuqta koordinatalarining funksiyalari bo‘ladi. Ushbu funksiyalarni uzluksiz, va jism egallagan butun V sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb hisoblaymiz. Muvozanatdagi jismdan (fazoda V sohani egallagan va sirti s ga teng) fikran s1 sirt bilan chegaralangan V1 sohani ajratamiz. Bunda S1 sirt jismning S sirt bilan umumiy nuqtalarga ega bo’lmasligini talab qilamiz (7.1-rasm). Ajratilgan bo‘lakning S1 sirtida ⃗pnds kuchlar taqsimlangan bo‘lib, bu kuchlar ajratilgan bo‘lak uchun tashqi sirt kuchlari, berilgan butun jism uchun esa ichki kuchlarni tashkil etadi. Ajratilgan hajmi V1 ga, teng bo‘lgan bo‘lak ⃗pnds sirt x 3 S ss ⃗Pnds V S 1 V 1 ⃗r kuchlari va ⃗fρdv - massaviy kuchlar ta‘siri ostida muvozanat holatida bo‘ladi. U holda ushbu kuchlarning bosh vektori va bosh momenti nolga teng bo‘lishlari kerak. Bunda bosh moment ixtiyoriy nuqtaga nisbatan, masalan koordinatalar boshi 0 nuqtaga nisbatan, hisoblanishi mumkin. shunda ⃗R=∬ S1 ⃗pnds +∭ V1 ⃗fρdV =0, M =∬ S1 (⃗r×⃗pn)ds +∭ V1 (⃗r× ⃗f)ρdV =0, (7.1) bu yerda ⃗r=xi⃗эi−v1 yopiq soha ixtiyoriy, shu jumladan S1 sirtning, nuqtasining radius-vektori. Ostrogradskiy formulasiga asosan (I-bob), hamda ⃗pn=⃗pini ekanligini (n i - yo‘naltiruvchi kosinuslar) hisibga olib, ∬ S1 ⃗pnds=∬ S1 ⃗pinids =∭ V1 д⃗pi дx i dV tenglikka ega bo‘lamiz va uni (7.1) ning 1-formulasiga qo‘yib, ∭ V1( д⃗pi дx i +ρ⃗f)dV =0 (7.2) tenglikni olamiz. Ajratilgan V1 soha ixtiyoriy bo‘lganligi uchun (7.2) tenglik faqat integral ostidagi ifoda butun V sohaning hamma nuqtalari uchun nolga teng bo‘lgan holdagina o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, jismning har bir nuqtasi uchun д⃗pi дx i +ρ⃗f=0. (7.3) vektor tenglamaga ega bo‘lamiz. Ma’lumki ⃗pi=σij⃗эj (7.4) U holda massaviy kuchlarni ⃗f= fi⃗эi ko‘rinishda tasvirlab, (7.3) dan (7.4) ni hisobga olgan holda дσ ij дx i +ρf j= 0 yoki σij,i+ρf j=0. (7.5) tenglamalar sistemasini olamiz. Ushbu (7.5) tengliklar deformatsiyalangan jism muvozanatining uchta differensial tenglamasidan iboratdir. Shuni ta’kidlash lozimki, (7.1) ning ikkinchi tengligi, ya’ni bosh momentning nolga tengligidan(σij) kuchlanish tenzorining simmetrikligini σij= σij(i≠ j) isbotlash uchun foydalaniladi. Biz yuqorida II bob doirasida ushbu masalani hal qilganligimiz uchun bu yerda unga to‘xtalmaymiz, lekin undan foydalanamiz. Kuchlanish tenzorining simmettikligidan (7.5) ni σij,i+ρ fj=0 ko‘rinishda yozamiz va bu tenglikda erkin j indeksni i bilan, gung i indeksni esa j bilan muvozanat tenglamasining σij,j+ρf i=0 (7.6) ko‘rinishini olamiz. Bu sistemani yoyib yozamiz: дσ 11 дx 1 + дσ 12 дx 2 + дσ 13 дx 3 +ρ f1= 0; дσ 21 дx 1 + дσ 22 дx 2 + дσ 23 дx 3 +ρ f2= 0; (7.7) дσ 31 дx 1 + дσ 32 дx 2 + дσ 33 дx 3 +ρ f3= 0; Kuchlanish tenzorining oltita σij komponentalari jism ixtiyoriy M (xi) nuqtasi, shu jumladan, uning sirtidagi nuqtalar, koordinatalarining uzliksiz funksiyalaridan iborat. Demak, (7.6) muvozanat tenglamalarini qanoatlantiruvchi σij uzluksiz funksiyalar, ixtiyoriy nuqta atrofidan ajratilgan elementning muvozanat tenglamalarini ham qanoatlantirishlari kerak. Sirt S sirtining biror nuqtasi atrofidan shunday elementar tetraedr ajratamizki, bu tetraedrning uchta o‘zaro ortogonal yoqlari koordinat tekisliklarga parallel bo‘lsin va to‘rtinchi yog‘i S sirt bilan ustma-ust tushsin. Bu yoqning normali bo‘ylab birlik vektorini ⃗n bilan belgilaymiz. Jismning S sirti bilan ustma-ust tushuvchi ushbu yoqga ta’sir qiluvchi tashqi sirt kuchi ⃗Fds ga teng bo‘ladi. Ma’lumki, (II bob) qaralayotgan elementar tetraedrning muvozanat shartlari P nj= σijniyoki P ni= σijnj dan iborat edi. Oxirgi tenglikda Pni larni Fi larga almashtirib, jism sirti nuqtasi atrofidagi elementar tetraedrning muvozanat shartlariga ega bo‘lamiz, ya’ni σijnj= Fi (7.8) yoki σ11n1+σ12n2+σ13n3= F1; σ21n1+σ22n2+σ23n3= F2; σ31n1+σ32n2+σ33n3= F3, (7.9) bu yerda nj -lar ⃗n birlik vektorining komponentalari, qaysiki uning yo‘naltiruvchi kosinuslariga teng: αni= ni . Ushubu (7.9) tengliklar izlanuvchi σij funksiyalar bilan jism sirtiga qo‘yilgan sirt kuchlari orasidagi bog‘lanishlarini o‘rnatadi. Ushbu tengliklar, ularni aniqlovchi (7.8) muvozanat ham, chegaraviy shartlar deb ataladi. Agar jism muvozanatda emas, balki harakatda bo‘lsa, (7.6) tenglamalarga Dalamber prinsipi asosida inersiya kuchlarini (inersiya kuchlari massaviy kuchlarga kiradi) qo‘shish kerak. U holda deformatsiyalanuvchi jismning harakat tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin: σij,j+ρ(fi−wi)=0, (7.10) bu yerda wi - vaqtning t paytida M (xk) nuqtada bo‘lgan jism zarrachasi tezlanishining xi koordinat o‘qiga proyeksiyasi. Agar jismning harakati davomida uning nuqtalarining ui ko‘chishlari kichikligicha qolsa, wi= д2ui дt 2 va harakat tenglamasi σij,j+ρf i= ρд2ui дt 2 (7.11) ko‘rinishni oladi. Deformatsiyalanuvchi jism muvozanatda bo‘lsa, uning har bir nuqtasida (7.7) uchta defferensial tenglamalarni kuchlanish tenzorining oltita σij komponentalari qanoatlantirishlari kerak. Jism sirtida σij kuchlanishlar (7.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Ko‘rinib turibdiki, (7.7) uch tenglama sistemasi lti noma’lumga nisbatan va u bir qiymatli yechimga ega bo‘lishi mumkin emas. Haqiqatan, bu tenglamalarning (7.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ko‘plab yechimlarni topish mumkin. Ushbu yechimlarning har biri statik jihatdan mumkin bo‘lgan kuchlanganlik holatini ifodalaydi. Shunday qilib, tashqi kuchlarning berilgan majmuasiga mos keluvchi haqiqiy kuchlanganlik holatini aniqlovchi kuchlanish tenzorini aniqlash uchun statik shartlarning faqat o‘zlari yetarli emas, ya’ni masala statik aniqmas masaladan iboratdir. Haqiqatan, jism unga qo‘yilgan tashqi kuchlar ta’sirida deformatsiyalanadi va bunda yuzaga keluvchi deformasiyalar uzviylik tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. Shuning uchun, statik jihatdan mumkin bo‘lgan haqiqiy kuchlanganlik holati ham uzviylik tenglamasiga mos keluvchi holatda bo‘lishi kerak. Keyinchalik kuchlanishlarning ham uzviylik tenglamalarini chiqaramiz, ular Beltrami-Mitchell tenglamalari deb yuritiladi. Deformatsiyalanish termodinamikasi. Jismning deformatsiyalanishi, umuman olganda, termodinamik jarayondan iborat. Shuning uchun hatto kichik elastik deformatsiyalanish holatida ham jismning kuchlangan deformasiyalangan holatini termodinamik jihatdan o‘rgangan ma’qul. Agar jism unga qo‘yilgan kuchlar ta‘siri ostida harakatda bo‘lsa u K kinetik energiyaga ega bo‘ladi. Kinetik energiyadan tashqari, jismning ichki U energiyasi ham mavjudki, u jismning deformatsiyalangan va quzugan yoki sovigan holatlariga bog‘liq bo‘ladi. Ma’lumki, jismning to‘liq energiyasi uning kinetik va ichki (potensial) energiyalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Agar jism muvozanatda bo‘lsa, uning to‘liq energiyasi faqat ichki energiyadan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, Fi sirt va fi massaviy kuchlar ta‘siri ostidagi jismning kinetik energiyasi K va ichki energiya U bo‘lsin. Jism vaqtning δt elementi davomida boshqa holatga o‘tsa, uning to‘liq energiyasi (δK +δU ) ga o‘zgaradi, tashqi kuchlar esa shu vaqt davomida δA ga teng ish bajaradi. U holda termodinamikaning birinchi qonuniga asosan: δK +δU =δA +δQ , (7.12) bu yerda δQ - jismga berilgan issiqlik miqdori. Jism bir holatdan boshqa holatga o‘tganda uning dV hajmli elementining ko‘chishlari Ui bo‘lsa, tezliklari дu i дt = ˙ui ga teng bo‘ladi. U holda uning kinetik energiyasi K= 1 2∭ V дu i дt дu i дt ⋅ρdV ga teng bo‘ladi. Bu yerda V hajm, jismning deformatsiyalanmagan holatidagi hajmi. Kinetik energiyaning st vaqt davomidagi o‘zgarishi δ K=( дK дt )δt=∭ V д2ui дt 2⋅дu i дt δtρ dV lekin δu i= дu i дt ⋅δt bo‘lganligidan δK=∭ V д2ui дt2⋅δu iρdV (7.13) tenglikka ega bo‘lamiz. Endi δt vaqt davomida bajarilgan δA ishni hisoblaymiz(tashqi sirt va massaviy kuchlar bajargan ish) δA =∭ V fiδuiρdV +∬ S FiδuidS . (7.14) Lekin Ostrogradskiy formulasiga asosan: ∬ S FiδuidS =∬ S σijδuinjdS =∭ V (σijδui),jdV u holda δA =∭ V (σij,j+ρf i)δuiV+∭ V σijδu i,jdV (7.15) Nihoyat, (7.13) va (7.15) dan δA−δK=∬ V(σij,j+ρf i−ρ д2ui дt2)δuidV +∭ V σijδui,jdV ga ega bo‘lamiz. Bu yerda (7.11) ni hamda U i,j=εij+ωij - ekanligini hisobga olsak, δ A−δ K=∭ V σijδ(εij+ωij)dV tenglikni olamiz. Bu yerda (σij) - simmetrik va (ωij) - antisimmetrik tenzorlar bo‘lgani uchun σijωij=0 va demak, δ A−δK=∭ V σijδε ijdV (7.15) Ushbu tenglikdagi integral ishning deformasiyaga sarflangan orttirmasini yoki boshqacha aytganda, deformatsiya ishi orttirmasini tashkil etadi. Agar tashqi kuchlar ta’siridagi jism muvozanatda bo‘lsa, δK=0 va bu holda tashqi kuchlar ishining orttirmasi (δA) , deformatsiya ishi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni δ A=∭ V σijδεijdV =∭ V δ1WdV (7.16) Demak, δ1w=σijδεij (7.17) deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi, ya’ni jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidafi birlik hajmdagi deformatsiya ishining orttirmasidir. Endi (7.15) ga qo‘ysak, δV=∭ V σijδεijdV +δQ (7.18) Bu yerdan jism ichki energiyasining orttirmasi deformatsiya ishi orttirmasi bilan jismga berilgan issiqlik miqdori yig‘ndisiga teng. Jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidagi birlik hajm uchun (7.18) tenglikdU = σijδεij+δ1Q (7.19) ko‘rinishda ega bo‘ladi. Bu yerda dU - solishtirma ichki energiya orttirmasi; σijδεij - deformasiya solishtirma ishining orttirmasi; δ1Q - issiqlik energiyasining, jism boshlang‘ich birlik hajmiga bo‘lingan orttirmasi. Termodinamikaning ikkinchi qonuniga asosan qaytar jarayonlar uchun δ1Q/T - nisbat, bu yerda T - absolut temperatura, sistema holat funksiyasining to‘liq differensiali bo‘ladi va holat funksiyasi ma’lumki, entropiya deb ataladi va S orqali belgilanadi dS = δ1Q T . (7.20) U holda (7.19) ni quyidagicha yozish mumkin: dU = σijδεij+Tds . (7.21) Ana shu (7.21) tenglik deformatsiyalanuvchi jism uchun asosiy termodinamik munosabat hisoblanadi. Bu yerdan ko‘rinadiki, ichki energiya ϑ deformatsiya tenzorining εij komponentalarining va s - entropiyaning funksiyasidir, ya’ni U=U(εij,s) u holda dV =( дU дε ij)dε ij+( дU дs )ε ds . (7.22) (7.21) va (7.22) ni taqqoslab σij= дU дε ij |¿s, T= дU дs | ε (7.23) Ichki energiya funksiyasi U o‘rniga Gelmgols erkin energiyasi deb ataluvchi funksiyani kiritamiz: F=U − sT bundan dF = DU − sdT −Tds bo‘lganligidan (7.21) dan dF =σijdε ij− sdT (7.24) ga ega bo‘lamiz. Xuddi U(εij,s) - ichki energiyaga o‘xshash F(εij,T) - erkin energiya ham termodinamik potensialdir. U holda dF = ( дF дξ ij)T dε ij+( дF дT )ε dT .va (7.24) dan σij= дF дε ij |T;S= − ( дF дT )ε (7.25) Shunday qilib, σij kuchlanish tenzori komponentalarining εij deformatsiya tenzori komponentalariga bog‘liq holda topish uchun U(εij,s) - ichki energiyani entropiyaning o‘zgarmas qiymatida deformasiya tenzori komponentalari bo‘yicha, differensiallash yoki T=const bo‘lganda (7.25) formula bo‘yicha F(εijT) - erkin energiyani differensiallash zarur. Demak, F - erkin energiya va U - ichki energiyalar (σij) kuchlanish tenzori uchun potensial bo‘ladi. Elastik potensial. Qattiq jismning deformatsiyalanish jarayoni izotermik yoki adiabatik bo‘lishi mumkin. Agar jism yuklanishni asta-sekin oshirib borish yo‘li bilan nisbatan sekin deformatsiyalansa (statik yuklanish) va bu jarayon davomida jism va uni o‘rab turuvchi muhitda temperatura muvozanati saqlanib qolsa (ya’ni temperatura o‘zgarmay qolsa), deformatsiyalanish jarayoni izotermik deyiladi. Agar deformatsiyalanish jarayoni issiqlikni yutish yoki yo‘qotishlarsiz (deformatsiyalanishda jism isiydi) sodir bo‘lsa, masalan jismning juda tez kichik tebranishlaridagi kabi, deformatsiyalanish jarayoni adiabatik deyiladi. Agar jismning ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanganlik holati vaqtning istalgan payti uchun faqat shu nuqtadagi deformatsiyagagina bog‘liq bo‘lsa, bunday jism ideal elastik jism deyiladi. Jism ideal elastik bo‘lib, adiabatik deformatsiyalansa, ya’ni δQ=Tds =0 yoki s=const bo‘lsa, kuchlanish tenzorining potensiali U ichki energiyadan iborat bo‘ladi: σij= дU дε ij |s=const . (7.26) Bunda (7.21) tenglik dU = σijdε ij (7.27) ko‘rinishni oladi. Boshqacha aytganda, bu holda deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi to‘liq differensial bo‘ladi dW = σijdε ij. (7.28) Bu yerdan σij= дW дε ij (7.29) kelib chiqadi. Ushbu w(εij) funksiyasi elastik potensial deyiladi va deformatsiyaning solishtirma ishidan yoki deformatsiyaning solishtirma potensial energiyasidan iboratdir. Olingan (7.29) tengliklar kuchlanish tenzorining o‘zaro bo‘g‘lanmagan oltita komponentasini deformatsiya tenzorining εij komponentalari orqali bir qiymatli aniqlaydi va elastiklik qonunining umumiy ifodasidan iboratdir. Ushbu (7.29) tenglik Grin formulasi deb ham yuritiladi. Agar jismning deformatsiyalanishi izotermik ravishda sodir bo‘lsa, ya’ni deformatsiyalanish jarayonida T temperatura o‘zgarmasdan qolsa va jismning tabiiy holatidagi T0 temperaturaga teng bo‘lsa, bu holda kuchlanish tenzorining potensiali F - erkin energiyadan iborat bo‘ladi. σij= ( dF dε ij)T=const . (7.30) va (7.24) tenglik T=T0 bo‘lganda dF =σijdε ij (7.31) ko‘rinishni oladi, ya’ni izotermik deformatsiyalanish jarayonida ( dF - to‘liq differensial bo‘lganligidan) deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi ham to‘liq differensial bo‘ladi, va demak yana (7.29) Grin formulasi o‘rinli bo‘ladi. Shu narsani alohida ta‘kidlash lozimki izotermik deformatsiyalanish jarayonida W (εij) - elastik potensial F=U−T0s erkin energiya bilan aniqlanadi, jismning adiabatik deformatsiyalanish jarayonida esa elastik potensial U ichki energiya bilan aniqlanadi. Shuning uchun izotermik va adiabatik jarayonlar uchun σij kuchlanishlar va εij deformatsiyalar asosidagi Grin formulasi bilan aniqlanuvchi bog‘lanishlar aynan bir xil bo‘lmaydi, ya’ni jismning ushbu munosabatlarga kiruvchi elastiklik o‘zgarmaslari har xil bo‘ladi. Lekin bu farqni hisobga olmasa ham bo‘ladi, chunki jism qattiq jism bo‘lgan (gazsimon jismlardan farqli ravishda) T0s kattalik U kattalikdan ancha kichik bo‘ladi. Shunday qilib, σij va εij lar asosidagi (7.29) munosabatlar, uchta (7.6) muvozanat differensial tenglamalar hamda Koshining oltita differensial bog‘lanishlari (jami 15 ta tenglama 6 ta σij+6 ta εij+3ta ui=15 ta noma‘lumga nisbatan) elastiklik nazariyasi tenglamalarining yopiq sistemasini tashkil etadi. Deformatsiyaning qo‘shimcha ishi. Endi (7.29) ni εij larga nisbatan yechish masalasini qo‘yish mumkin. Bu ish quyidagi funksiyani kiritish bilan A= σijεij−W (7.32) nisbatan oson yechiladi. Ushbu funksiya solishtirma qo‘shimcha ish deb ataladi. Solishtirma qo‘shimcha ishning (7.32) ni differensiallab, dA = σijdε ij+εijdσ ij− dW bu yerda (7.28) ni hisobga olib, dA = εijdσ ij (7.33) tenglikka ega bo‘lamiz. Olingan ifoda to‘liq differensialni tashkil etadi, chunki dW +dA = σijdε ij+εijdσ ijεij= d(σijεij)= dA 1 bu yerda A1=σijεij - kuchlanishning σij komponentalari o‘zlarining qaralayotgan muvozanat holatidagi pirovard (oxirgi) o‘zgarmas qiymatlarini deformatsiyalanishning butun jarayoni davomida saqlab qoladi deb faraz qilib hisoblangan solishtirma ish. U holda (7.33) tenglikka asosan εij= дA дσ ij (7.34) munosabat o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham (7.32) tenglikni εki lar bo‘yicha A(σij) murakkab funksiya kabi differensiallaymiz, дA дσ kℓ = εkℓ+σij дε ij дσ kℓ − дW дε ij ⋅ дε ij дσ kℓ . Lekin (7.29) ga asosan дW дε ij =σkℓ, bo‘lganligi uchun oxirgi ikkita qo‘shuluvchilar o‘zaro yeyishadilar va дA дσ kℓ = εkℓ , ya’ni (7.34) tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, A(σij)− qo‘shimcha ish deformatsiya tenzori (εij) - uchun potensial bo‘ladi. Umumlashgan Guk qonuni. Tajribalar shuni ko‘rsatadika, yuklanishning ma’lum chegaralarida, qattiq jismlarning ko‘pchiligi uchun deformatsiyalar yuklarga to‘g‘ri proporsionaldir, ya’ni yuk qancha oshsa, deformatsiya ham shuncha oshadi. Ushbu qonuniyat Guk qonuni sifatida ma’lum. Guk qonuniga ko‘ra kuchlanish tenzorining σij komponentalari jismning har bir nuqtasida εij deformatsiya tenzori komponentalarining bir jismli va chiziqli funksiyalaridan iboratdir. Ikkinchi tomondan Grin formulasiga ko‘ra ((7.29) - formula) σij kuchlanishlar W (εij) - elastik potensialdan deformatsiya tenzorining mos εij - komponentalari bo‘yicha olingan xususiy hosilalardan iborat. Shu ikkala holatdan ko‘rinadiki, W (εij) deformatsiya tenzori komponentalarining ikkinchi tartibli funksiyasidan iboratdir. Demak, bu funksiyaning umumiy ko‘rinishini quyidagicha tasvirlash mumkin: W (εij)=cij⋅εij+1 2cijkℓεijtkℓ, (7.35) bu yerda cij va cijkℓ lar - ikkinchi va to‘rtinchi rang tenzorlar. Elastiklik chiziqli nazariyasining qabul qilingan chegaralanishlari doirasida (εij) deformatsiya tenzorining simmetrik tenzor ekanligi bizga ma’lum. U holda i va j hamda k va ℓ indekslarning o‘rinlari almashtirilganda, εij hamda εijεkℓ lar o‘zgarmasliklari kerak. Bundan, cij va cijkℓ tenzorlari quyidagi simmetriklik shartlarini qanoatlantirishlari zarurligi kelib chiqadi: cij= cji; cijk ℓ= cjik ℓ; cijk ℓ= cijℓk; cijk ℓ= cjiℓk ; cjik ℓ= cikℓk; cjik ℓ= cjiℓk; Endi (7.35) ni (7.29) Grin formulasiga qo‘yib hosila olsak, σij= cij+cijk ℓεkℓ. (7.36) Jismning boshlang‘ch holatida (tashqi kuchlar qo‘yilmagan holatda) hamma i va j lar uchun εij= 0 va σij= 0 U holda (7.35) dan w(0)=0 va (7.36) dan cij=0 tengliklarga ega bo‘lamiz. Bularni hisobga olsak, (7.35) quyidagicha ko‘rinishni oladi: w(εij)= 1 2cijkℓεijεkℓ, (7.37) (7.36) munosabatlar esa σij= cijk ℓεkℓ (7.38) Elastik potensial w(εij) ning (7.37) ifodasi va (7.38) tenglik chiziqli elastik anizotrop jism uchun umumiy bo‘lgan munosabatlarni tashkil etadi. Yuqarida kiritilgan (cijkℓ) to‘rtinchi rang tenzor elastik o‘zgarmaslar tenzori deyiladi. Agar jism bir jinsli bo‘lsa, bu tenzorning komponentalari jism nuqtasining koordinatalariga bog‘liq bo‘lmaydi va to‘rtinchi rang tenzor sifatida, umumiy holda, 3 4 =81 ta komponentaga ega. Lekin o‘zaro bog‘lanmagan, mustaqil koordinatalar soni yuqoridagi simmetriya shartlarini hisobga olganda kamayadi va 36 taga teng bo‘ladi. Bundan tashqari, д2w дε ijдε kℓ = д2w дε kℓдε ij bo‘lganligidan yana 15 ta cijkℓ=ckℓij munosabatlar kelib chiqadi va ular elastik o‘zgarmaslar sonini 21 taga tushirishga imkon beradi. Shunday qilib, (cijkℓ) - elastik o‘zgarmaslar tenzori chiziqli elastik jismning eng umumiy anizotrop holida 21 ta mustaqil komponentaga (elastik o‘zgarmaslarga) ega bo‘ladi. Ushbu komponentalarni quyidagi sxema ko‘rinishida tasvirlash qulay: 1-S X E M A C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1131 C 1112 C 2222 C 2233 C 2223 C 2231 C 2212 C 3333 C 3323 C 3331 C 3312 C 2323 C 2331 C 2312 C 3131 C 3112 C 1212 . (7.39) Anizotrop jismning umumiy holida cijkℓ elastik o‘zgarmaslar koordinat o‘zlarining oriyentatsiyasiga (joylashtirilganligiga) bog‘liq bo‘ladi. Ammo, jismning har bir nuqtasida jismning elastik xususiyatlariga nisbatan simmetrik bo‘lgan yo‘nalishlar mavjudligi aniqlanishi mumkin. Boshqacha aytganda, anizotrop jism strukturasi biror elastik simmetriyaga ega bo‘lishi mumkin. Shunday hollarda koordinat o‘qlarining shunday oriyentatsiyasini topish mumkinki, yoki koordinat o‘qlarini shunday yo‘naltirish mumkinki, bunda ba’zi elastik o‘zgarmaslar nolga teng bo‘ladi yoki boshqa o‘zgarmaslarga chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Natijada elastik o‘zgarmaslar sonini yanada kamaytitish imkoniyati paydo bo‘ladi. Ta’kidlash lozimki, umumlashgan Guk qonunining matematik ifodasi (7.38) dan iborat va u har qanday anizotrop elastik jism uchun o‘rinlidir. Darslik va o’quv qo’llanmalar 1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 2003 y. 2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 1990г. 400ст. 5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. «Теория упругости.» 1965 Reja : 1. Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi bog ’ lanishlar . 2.Deformasiyalanish termodinamikasi. 3. Elastik potensial. 7.Deformatsiuaning qoshimcha ishi. 5. Umumlashgan Guk qonuni Elastik jismning muvozanat vaharakat tenglamalari. Faraz qilaylik, deformatsiyalanuvchi qattiq jismning hajmi V va S ga teng bo‘lsin hamda jismga uning nuqtalarining kichik ko‘chishlarini, va demak, kichik deformatsiyasini chaqiruvchi hajmiy va sirt kuchlari ta’sir etayotgan bo‘lsin. Jismga ta’sir qilayotgan hajmiy (massaviy) kuchlarni ⃗f bilan belgilaymiz. Qaralayotgan jism muvozanatda bo‘lsa, uning ixtiyoriy fikran ajratilgan qismi, unga ta’sir qiluvchi kuchlar ta’siri ostida muvozanatda bo‘lishi kerak. Agar jism deformatsiyalanuvchi bo‘lsa, uning ajratilgan sirtiga, jism qismining qolgan qismining ta’sirini beruvchi ⃗pnds kuchlarni qo‘yish kerak. Ma’lumki, jismning biror M (xi) nuqtasidagi normali ⃗n bo‘lgan maydonchadagi ⃗pn kuchlanish vektori, jismning shu nuqtadagi x 3 S V S 1 V 1 ⃗r (σij) kuchlanish tenzori bilan to‘liq aniqlanadi. Tabiiyki, (σij) kuchlanish tenzori komponentalari M (xi) nuqta koordinatalarining funksiyalari bo‘ladi. Ushbu funksiyalarni uzluksiz, va jism egallagan butun V sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega deb hisoblaymiz. Muvozanatdagi jismdan (fazoda V sohani egallagan va sirti s ga teng) fikran s1 sirt bilan chegaralangan V1 sohani ajratamiz. Bunda S1 sirt jismning S sirt bilan umumiy nuqtalarga ega bo’lmasligini talab qilamiz (7.1-rasm). Ajratilgan bo‘lakning S1 sirtida ⃗pnds kuchlar taqsimlangan bo‘lib, bu kuchlar ajratilgan bo‘lak uchun tashqi sirt kuchlari, berilgan butun jism uchun esa ichki kuchlarni tashkil etadi. Ajratilgan hajmi V1 ga, teng bo‘lgan bo‘lak ⃗pnds sirt kuchlari va ⃗fρdv - massaviy kuchlar ta‘siri ostida muvozanat holatida bo‘ladi. U holda ushbu kuchlarning bosh vektori va bosh momenti nolga teng bo‘lishlari kerak. Bunda bosh moment ixtiyoriy nuqtaga nisbatan, masalan koordinatalar boshi 0 nuqtaga nisbatan, hisoblanishi mumkin. shunda ⃗R=∬ S1 ⃗pnds +∭ V1 ⃗fρdV =0, M =∬ S1 (⃗r×⃗pn)ds +∭ V1 (⃗r× ⃗f)ρdV =0, (7.1) bu yerda ⃗r=xi⃗эi−v1 yopiq soha ixtiyoriy, shu jumladan S1 sirtning, nuqtasining radius-vektori. Ostrogradskiy formulasiga asosan (I-bob), hamda ⃗pn=⃗pini ekanligini (n i - yo‘naltiruvchi kosinuslar) hisibga olib, ∬ S1 ⃗pnds=∬ S1 ⃗pinids =∭ V1 д⃗pi дx i dV x 3 S ⃗r tenglikka ega bo‘lamiz va uni (7.1) ning 1-formulasiga qo‘yib, ∭ V1( д⃗pi дx i +ρ⃗f)dV =0 (7.2) tenglikni olamiz. Ajratilgan V1 soha ixtiyoriy bo‘lganligi uchun (7.2) tenglik faqat integral ostidagi ifoda butun V sohaning hamma nuqtalari uchun nolga teng bo‘lgan holdagina o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, jismning har bir nuqtasi uchun д⃗pi дx i +ρ⃗f=0. (7.3) vektor tenglamaga ega bo‘lamiz. Ma’lumki ⃗pi=σij⃗эj (7.4) U holda massaviy kuchlarni ⃗f= fi⃗эi ko‘rinishda tasvirlab, (7.3) dan (7.4) ni hisobga olgan holda дσ ij дx i +ρf j= 0 yoki σij,i+ρf j=0. (7.5) tenglamalar sistemasini olamiz. Ushbu (7.5) tengliklar deformatsiyalangan jism muvozanatining uchta differensial tenglamasidan iboratdir. Shuni ta’kidlash lozimki, (7.1) ning ikkinchi tengligi, ya’ni bosh momentning nolga tengligidan (σij) kuchlanish tenzorining simmetrikligini σij= σij(i≠ j) isbotlash uchun foydalaniladi. Biz yuqorida II bob doirasida ushbu masalani hal qilganligimiz uchun bu yerda unga to‘xtalmaymiz, lekin undan foydalanamiz. Kuchlanish tenzorining simmettikligidan (7.5) ni σij,i+ρ fj=0 ko‘rinishda yozamiz va bu tenglikda erkin j indeksni i bilan, gung i indeksni esa j bilan muvozanat tenglamasining σij,j+ρf i=0 (7.6) ko‘rinishini olamiz. Bu sistemani yoyib yozamiz: дσ 11 дx 1 + дσ 12 дx 2 + дσ 13 дx 3 +ρ f1= 0; дσ 21 дx 1 + дσ 22 дx 2 + дσ 23 дx 3 +ρ f2= 0; (7.7) дσ 31 дx 1 + дσ 32 дx 2 + дσ 33 дx 3 +ρ f3= 0;Kuchlanish tenzorining oltita σij komponentalari jism ixtiyoriy M (xi) nuqtasi, shu jumladan, uning sirtidagi nuqtalar, koordinatalarining uzliksiz funksiyalaridan iborat. Demak, (7.6) muvozanat tenglamalarini qanoatlantiruvchi σij uzluksiz funksiyalar, ixtiyoriy nuqta atrofidan ajratilgan elementning muvozanat tenglamalarini ham qanoatlantirishlari kerak. Sirt S sirtining biror nuqtasi atrofidan shunday elementar tetraedr ajratamizki, bu tetraedrning uchta o‘zaro ortogonal yoqlari koordinat tekisliklarga parallel bo‘lsin va to‘rtinchi yog‘i S sirt bilan ustma-ust tushsin. Bu yoqning normali bo‘ylab birlik vektorini ⃗n bilan belgilaymiz. Jismning S sirti bilan ustma-ust tushuvchi ushbu yoqga ta’sir qiluvchi tashqi sirt kuchi ⃗Fds ga teng bo‘ladi. Ma’lumki, (II bob) qaralayotgan elementar tetraedrning muvozanat shartlari P nj= σijniyoki P ni= σijnj dan iborat edi. Oxirgi tenglikda Pni larni Fi larga almashtirib, jism sirti nuqtasi atrofidagi elementar tetraedrning muvozanat shartlariga ega bo‘lamiz, ya’ni σijnj= Fi (7.8) yoki σ11n1+σ12n2+σ13n3= F1; σ21n1+σ22n2+σ23n3= F2; σ31n1+σ32n2+σ33n3= F3, (7.9) bu yerda nj -lar ⃗n birlik vektorining komponentalari, qaysiki uning yo‘naltiruvchi kosinuslariga teng: αni= ni . Ushubu (7.9) tengliklar izlanuvchi σij funksiyalar bilan jism sirtiga qo‘yilgan sirt kuchlari orasidagi bog‘lanishlarini o‘rnatadi. Ushbu tengliklar, ularni aniqlovchi (7.8) muvozanat ham, chegaraviy shartlar deb ataladi. Agar jism muvozanatda emas, balki harakatda bo‘lsa, (7.6) tenglamalarga Dalamber prinsipi asosida inersiya kuchlarini (inersiya kuchlari massaviy kuchlarga kiradi) qo‘shish kerak. U holda deformatsiyalanuvchi jismning harakat tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin: σij,j+ρ(fi−wi)=0, (7.10) bu yerda wi - vaqtning t paytida M (xk) nuqtada bo‘lgan jism zarrachasi tezlanishining xi koordinat o‘qiga proyeksiyasi. Agar jismning harakati davomida uning nuqtalarining ui ko‘chishlari kichikligicha qolsa, wi= д2ui дt 2va harakat tenglamasi σij,j+ρf i= ρд2ui дt 2 (7.11) ko‘rinishni oladi. Deformatsiyalanuvchi jism muvozanatda bo‘lsa, uning har bir nuqtasida (7.7) uchta defferensial tenglamalarni kuchlanish tenzorining oltita σij komponentalari qanoatlantirishlari kerak. Jism sirtida σij kuchlanishlar (7.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishlari kerak. Ko‘rinib turibdiki, (7.7) uch tenglama sistemasi lti noma’lumga nisbatan va u bir qiymatli yechimga ega bo‘lishi mumkin emas. Haqiqatan, bu tenglamalarning (7.9) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ko‘plab yechimlarni topish mumkin. Ushbu yechimlarning har biri statik jihatdan mumkin bo‘lgan kuchlanganlik holatini ifodalaydi. Shunday qilib, tashqi kuchlarning berilgan majmuasiga mos keluvchi haqiqiy kuchlanganlik holatini aniqlovchi kuchlanish tenzorini aniqlash uchun statik shartlarning faqat o‘zlari yetarli emas, ya’ni masala statik aniqmas masaladan iboratdir. Haqiqatan, jism unga qo‘yilgan tashqi kuchlar ta’sirida deformatsiyalanadi va bunda yuzaga keluvchi deformasiyalar uzviylik tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak. Shuning uchun, statik jihatdan mumkin bo‘lgan haqiqiy kuchlanganlik holati ham uzviylik tenglamasiga mos keluvchi holatda bo‘lishi kerak. Keyinchalik kuchlanishlarning ham uzviylik tenglamalarini chiqaramiz, ular Beltrami-Mitchell tenglamalari deb yuritiladi. Deformatsiyalanish termodinamikasi. Jismning deformatsiyalanishi, umuman olganda, termodinamik jarayondan iborat. Shuning uchun hatto kichik elastik deformatsiyalanish holatida ham jismning kuchlangan deformasiyalangan holatini termodinamik jihatdan o‘rgangan ma’qul. Agar jism unga qo‘yilgan kuchlar ta‘siri ostida harakatda bo‘lsa u K kinetik energiyaga ega bo‘ladi. Kinetik energiyadan tashqari, jismning ichki U energiyasi ham mavjudki, u jismning deformatsiyalangan va quzugan yoki sovigan holatlariga bog‘liq bo‘ladi. Ma’lumki, jismning to‘liq energiyasi uning kinetik va ichki (potensial) energiyalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Agar jism muvozanatda bo‘lsa, uning to‘liq energiyasi faqat ichki energiyadan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik, Fi sirt va fi massaviy kuchlar ta‘siri ostidagi jismning kinetik energiyasi K va ichki energiya U bo‘lsin. Jism vaqtning δt elementi davomida boshqa holatga o‘tsa, uning to‘liq energiyasi (δK +δU ) ga o‘zgaradi, tashqi kuchlar esa shu vaqt davomida δA ga teng ish bajaradi. U holda termodinamikaning birinchi qonuniga asosan: δK +δU =δA +δQ , (7.12) bu yerda δQ - jismga berilgan issiqlik miqdori. Jism bir holatdan boshqa holatga o‘tganda uning dV hajmli elementining ko‘chishlari Ui bo‘lsa, tezliklari дu i дt = ˙ui ga teng bo‘ladi. U holda uning kinetik energiyasi K= 1 2∭ V дu i дt дu i дt ⋅ρdV ga teng bo‘ladi. Bu yerda V hajm, jismning deformatsiyalanmagan holatidagi hajmi. Kinetik energiyaning st vaqt davomidagi o‘zgarishi δ K=( дK дt )δt=∭ V д2ui дt 2⋅дu i дt δtρ dV lekin δu i= дu i дt ⋅δt bo‘lganligidan δK=∭ V д2ui дt2⋅δu iρdV (7.13) tenglikka ega bo‘lamiz. Endi δt vaqt davomida bajarilgan δA ishni hisoblaymiz(tashqi sirt va massaviy kuchlar bajargan ish) δA =∭ V fiδuiρdV +∬ S FiδuidS . (7.14) Lekin Ostrogradskiy formulasiga asosan: ∬ S FiδuidS =∬ S σijδuinjdS =∭ V (σijδui),jdV u holda δA =∭ V (σij,j+ρf i)δuiV+∭ V σijδu i,jdV (7.15) Nihoyat, (7.13) va (7.15) dan δA−δK=∬ V(σij,j+ρf i−ρ д2ui дt2)δuidV +∭ V σijδui,jdV ga ega bo‘lamiz. Bu yerda (7.11) ni hamda U i,j=εij+ωij - ekanligini hisobga olsak, δ A−δ K=∭ V σijδ(εij+ωij)dV tenglikni olamiz. Bu yerda (σij) - simmetrik va (ωij) - antisimmetrik tenzorlar bo‘lgani uchun σijωij=0 va demak, δ A−δK=∭ V σijδε ijdV (7.15) Ushbu tenglikdagi integral ishning deformasiyaga sarflangan orttirmasini yoki boshqacha aytganda, deformatsiya ishi orttirmasini tashkil etadi. Agar tashqi kuchlar ta’siridagi jism muvozanatda bo‘lsa, δK=0 va bu holda tashqi kuchlar ishining orttirmasi (δA) , deformatsiya ishi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni δ A=∭ V σijδεijdV =∭ V δ1WdV (7.16) Demak, δ1w=σijδεij (7.17) deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi, ya’ni jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidafi birlik hajmdagi deformatsiya ishining orttirmasidir. Endi (7.15) ga qo‘ysak, δV=∭ V σijδεijdV +δQ (7.18) Bu yerdan jism ichki energiyasining orttirmasi deformatsiya ishi orttirmasi bilan jismga berilgan issiqlik miqdori yig‘ndisiga teng. Jism ixtiyoriy nuqtasi atrofidagi birlik hajm uchun (7.18) tenglik dU = σijδεij+δ1Q (7.19) ko‘rinishda ega bo‘ladi. Bu yerda dU - solishtirma ichki energiya orttirmasi; σijδεij - deformasiya solishtirma ishining orttirmasi; δ1Q - issiqlik energiyasining, jism boshlang‘ich birlik hajmiga bo‘lingan orttirmasi. Termodinamikaning ikkinchi qonuniga asosan qaytar jarayonlar uchun δ1Q/T - nisbat, bu yerda T - absolut temperatura, sistema holat funksiyasining to‘liq differensiali bo‘ladi va holat funksiyasi ma’lumki, entropiya deb ataladi va S orqali belgilanadi dS = δ1Q T . (7.20) U holda (7.19) ni quyidagicha yozish mumkin: dU = σijδεij+Tds . (7.21) Ana shu (7.21) tenglik deformatsiyalanuvchi jism uchun asosiy termodinamik munosabat hisoblanadi. Bu yerdan ko‘rinadiki, ichki energiya ϑ deformatsiya tenzorining εij komponentalarining va s - entropiyaning funksiyasidir, ya’ni U=U(εij,s) u holda dV =( дU дε ij)dε ij+( дU дs )ε ds . (7.22) (7.21) va (7.22) ni taqqoslab σij= дU дε ij |¿s, T= дU дs | ε (7.23) Ichki energiya funksiyasi U o‘rniga Gelmgols erkin energiyasi deb ataluvchi funksiyani kiritamiz: F=U − sT bundan dF = DU − sdT −Tds bo‘lganligidan (7.21) dan dF =σijdε ij− sdT (7.24) ga ega bo‘lamiz. Xuddi U(εij,s) - ichki energiyaga o‘xshash F(εij,T) - erkin energiya ham termodinamik potensialdir. U holda dF = ( дF дξ ij)T dε ij+( дF дT )ε dT . va (7.24) dan σij= дF дε ij |T;S= − ( дF дT )ε (7.25) Shunday qilib, σij kuchlanish tenzori komponentalarining εij deformatsiya tenzori komponentalariga bog‘liq holda topish uchun U(εij,s) - ichki energiyani entropiyaning o‘zgarmas qiymatida deformasiya tenzori komponentalari bo‘yicha, differensiallash yoki T=const bo‘lganda (7.25) formula bo‘yicha F(εijT) - erkin energiyani differensiallash zarur. Demak, F - erkin energiya va U - ichki energiyalar (σij) kuchlanish tenzori uchun potensial bo‘ladi. Elastik potensial. Qattiq jismning deformatsiyalanish jarayoni izotermik yoki adiabatik bo‘lishi mumkin. Agar jism yuklanishni asta-sekin oshirib borish yo‘li bilan nisbatan sekin deformatsiyalansa (statik yuklanish) va bu jarayon davomida jism va uni o‘rab turuvchi muhitda temperatura muvozanati saqlanib qolsa (ya’ni temperatura o‘zgarmay qolsa), deformatsiyalanish jarayoni izotermik deyiladi. Agar deformatsiyalanish jarayoni issiqlikni yutish yoki yo‘qotishlarsiz (deformatsiyalanishda jism isiydi) sodir bo‘lsa, masalan jismning juda tez kichik tebranishlaridagi kabi, deformatsiyalanish jarayoni adiabatik deyiladi. Agar jismning ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanganlik holati vaqtning istalgan payti uchun faqat shu nuqtadagi deformatsiyagagina bog‘liq bo‘lsa, bunday jism ideal elastik jism deyiladi. Jism ideal elastik bo‘lib, adiabatik deformatsiyalansa, ya’ni δQ=Tds =0 yoki s=const bo‘lsa, kuchlanish tenzorining potensiali U ichki energiyadan iborat bo‘ladi: σij= дU дε ij |s=const . (7.26) Bunda (7.21) tenglik dU = σijdε ij (7.27) ko‘rinishni oladi. Boshqacha aytganda, bu holda deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi to‘liq differensial bo‘ladi dW = σijdε ij. (7.28) Bu yerdan σij= дW дε ij (7.29) kelib chiqadi. Ushbu w(εij) funksiyasi elastik potensial deyiladi va deformatsiyaning solishtirma ishidan yoki deformatsiyaning solishtirma potensial energiyasidan iboratdir. Olingan (7.29) tengliklar kuchlanish tenzorining o‘zaro bo‘g‘lanmagan oltita komponentasini deformatsiya tenzorining εij komponentalari orqali bir qiymatli aniqlaydi va elastiklik qonunining umumiy ifodasidan iboratdir. Ushbu (7.29) tenglik Grin formulasi deb ham yuritiladi. Agar jismning deformatsiyalanishi izotermik ravishda sodir bo‘lsa, ya’ni deformatsiyalanish jarayonida T temperatura o‘zgarmasdan qolsa va jismning tabiiy holatidagi T0 temperaturaga teng bo‘lsa, bu holda kuchlanish tenzorining potensiali F - erkin energiyadan iborat bo‘ladi. σij= ( dF dε ij)T=const . (7.30) va (7.24) tenglik T=T0 bo‘lganda dF =σijdε ij (7.31) ko‘rinishni oladi, ya’ni izotermik deformatsiyalanish jarayonida ( dF - to‘liq differensial bo‘lganligidan) deformatsiya solishtirma ishining orttirmasi ham to‘liq differensial bo‘ladi, va demak yana (7.29) Grin formulasi o‘rinli bo‘ladi. Shu narsani alohida ta‘kidlash lozimki izotermik deformatsiyalanish jarayonida W (εij) - elastik potensial F=U−T0s erkin energiya bilan aniqlanadi, jismning adiabatik deformatsiyalanish jarayonida esa elastik potensial U ichki energiya bilan aniqlanadi. Shuning uchun izotermik va adiabatik jarayonlar uchun σij kuchlanishlar va εij deformatsiyalar asosidagi Grin formulasi bilan aniqlanuvchi bog‘lanishlar aynan bir xil bo‘lmaydi, ya’ni jismning ushbu munosabatlarga kiruvchi elastiklik o‘zgarmaslari har xil bo‘ladi. Lekin bu farqni hisobga olmasa ham bo‘ladi, chunki jism qattiq jism bo‘lgan (gazsimon jismlardan farqli ravishda) T0s kattalik U kattalikdan ancha kichik bo‘ladi. Shunday qilib, σij va εij lar asosidagi (7.29) munosabatlar, uchta (7.6) muvozanat differensial tenglamalar hamda Koshining oltita differensial bog‘lanishlari (jami 15 ta tenglama 6 ta σij+6 ta εij+3ta ui=15 ta noma‘lumga nisbatan) elastiklik nazariyasi tenglamalarining yopiq sistemasini tashkil etadi. Deformatsiyaning qo‘shimcha ishi. Endi (7.29) ni εij larga nisbatan yechish masalasini qo‘yish mumkin. Bu ish quyidagi funksiyani kiritish bilan A= σijεij−W (7.32) nisbatan oson yechiladi. Ushbu funksiya solishtirma qo‘shimcha ish deb ataladi. Solishtirma qo‘shimcha ishning (7.32) ni differensiallab, dA = σijdε ij+εijdσ ij− dW bu yerda (7.28) ni hisobga olib, dA = εijdσ ij (7.33) tenglikka ega bo‘lamiz. Olingan ifoda to‘liq differensialni tashkil etadi, chunki dW +dA = σijdε ij+εijdσ ijεij= d(σijεij)= dA 1 bu yerda A1=σijεij - kuchlanishning σij komponentalari o‘zlarining qaralayotgan muvozanat holatidagi pirovard (oxirgi) o‘zgarmas qiymatlarini deformatsiyalanishning butun jarayoni davomida saqlab qoladi deb faraz qilib hisoblangan solishtirma ish. U holda (7.33) tenglikka asosan εij= дA дσ ij(7.34) munosabat o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham (7.32) tenglikni εki lar bo‘yicha A(σij) murakkab funksiya kabi differensiallaymiz, дA дσ kℓ = εkℓ+σij дε ij дσ kℓ − дW дε ij ⋅ дε ij дσ kℓ . Lekin (7.29) ga asosan дW дε ij =σkℓ, bo‘lganligi uchun oxirgi ikkita qo‘shuluvchilar o‘zaro yeyishadilar va дA дσ kℓ = εkℓ , ya’ni (7.34) tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, A(σij)− qo‘shimcha ish deformatsiya tenzori (εij) - uchun potensial bo‘ladi. Umumlashgan Guk qonuni. Tajribalar shuni ko‘rsatadika, yuklanishning ma’lum chegaralarida, qattiq jismlarning ko‘pchiligi uchun deformatsiyalar yuklarga to‘g‘ri proporsionaldir, ya’ni yuk qancha oshsa, deformatsiya ham shuncha oshadi. Ushbu qonuniyat Guk qonuni sifatida ma’lum. Guk qonuniga ko‘ra kuchlanish tenzorining σij komponentalari jismning har bir nuqtasida εij deformatsiya tenzori komponentalarining bir jismli va chiziqli funksiyalaridan iboratdir. Ikkinchi tomondan Grin formulasiga ko‘ra ((7.29) - formula) σij kuchlanishlar W (εij) - elastik potensialdan deformatsiya tenzorining mos εij - komponentalari bo‘yicha olingan xususiy hosilalardan iborat. Shu ikkala holatdan ko‘rinadiki, W (εij) deformatsiya tenzori komponentalarining ikkinchi tartibli funksiyasidan iboratdir. Demak, bu funksiyaning umumiy ko‘rinishini quyidagicha tasvirlash mumkin: W (εij)=cij⋅εij+1 2cijkℓεijtkℓ, (7.35) bu yerda cij va cijkℓ lar - ikkinchi va to‘rtinchi rang tenzorlar. Elastiklik chiziqli nazariyasining qabul qilingan chegaralanishlari doirasida(εij) deformatsiya tenzorining simmetrik tenzor ekanligi bizga ma’lum. U holda i va j hamda k va ℓ indekslarning o‘rinlari almashtirilganda, εij hamda εijεkℓ lar o‘zgarmasliklari kerak. Bundan, cij va cijkℓ tenzorlari quyidagi simmetriklik shartlarini qanoatlantirishlari zarurligi kelib chiqadi: cij= cji; cijk ℓ= cjik ℓ; cijk ℓ= cijℓk; cijk ℓ= cjiℓk ; cjik ℓ= cikℓk; cjik ℓ= cjiℓk; Endi (7.35) ni (7.29) Grin formulasiga qo‘yib hosila olsak, σij= cij+cijk ℓεkℓ. (7.36) Jismning boshlang‘ch holatida (tashqi kuchlar qo‘yilmagan holatda) hamma i va j lar uchun εij= 0 va σij= 0 U holda (7.35) dan w(0)=0 va (7.36) dan cij=0 tengliklarga ega bo‘lamiz. Bularni hisobga olsak, (7.35) quyidagicha ko‘rinishni oladi: w(εij)= 1 2cijkℓεijεkℓ, (7.37) (7.36) munosabatlar esa σij= cijk ℓεkℓ (7.38) Elastik potensial w(εij) ning (7.37) ifodasi va (7.38) tenglik chiziqli elastik anizotrop jism uchun umumiy bo‘lgan munosabatlarni tashkil etadi. Yuqarida kiritilgan (cijkℓ) to‘rtinchi rang tenzor elastik o‘zgarmaslar tenzori deyiladi. Agar jism bir jinsli bo‘lsa, bu tenzorning komponentalari jism nuqtasining koordinatalariga bog‘liq bo‘lmaydi va to‘rtinchi rang tenzor sifatida, umumiy holda, 3 4 =81 ta komponentaga ega. Lekin o‘zaro bog‘lanmagan, mustaqil koordinatalar soni yuqoridagi simmetriya shartlarini hisobga olganda kamayadi va 36 taga teng bo‘ladi. Bundan tashqari, д2w дε ijдε kℓ = д2w дε kℓдε ij bo‘lganligidan yana 15 ta cijkℓ=ckℓij munosabatlar kelib chiqadi va ular elastik o‘zgarmaslar sonini 21 taga tushirishga imkon beradi. Shunday qilib, (cijkℓ) - elastik o‘zgarmaslar tenzori chiziqli elastik jismning eng umumiy anizotrop holida 21 ta mustaqil komponentaga (elastik o‘zgarmaslarga) ega bo‘ladi. Ushbu komponentalarni quyidagi sxema ko‘rinishida tasvirlash qulay: 1-S X E M A C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1131 C 1112 C 2222 C 2233 C 2223 C 2231 C 2212 C 3333 C 3323 C 3331 C 3312 C 2323 C 2331 C 2312 C 3131 C 3112 C 1212 . (7.39) Anizotrop jismning umumiy holida cijkℓ elastik o‘zgarmaslar koordinat o‘zlarining oriyentatsiyasiga (joylashtirilganligiga) bog‘liq bo‘ladi. Ammo, jismning har bir nuqtasida jismning elastik xususiyatlariga nisbatan simmetrik bo‘lgan yo‘nalishlar mavjudligi aniqlanishi mumkin. Boshqacha aytganda, anizotrop jism strukturasi biror elastik simmetriyaga ega bo‘lishi mumkin. Shunday hollarda koordinat o‘qlarining shunday oriyentatsiyasini topish mumkinki, yoki koordinat o‘qlarini shunday yo‘naltirish mumkinki, bunda ba’zi elastik o‘zgarmaslar nolga teng bo‘ladi yoki boshqa o‘zgarmaslarga chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Natijada elastik o‘zgarmaslar sonini yanada kamaytitish imkoniyati paydo bo‘ladi. Ta’kidlash lozimki, umumlashgan Guk qonunining matematik ifodasi (7.38) dan iborat va u har qanday anizotrop elastik jism uchun o‘rinlidir. Darslik va o’quv qo’llanmalar 1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, fan, 2003 y. 2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 1990г. 400ст. 5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 6.С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 7.Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. «Теория упругости.» 1965

Elastiklik. Guk qonuni. Deformatsiya energiyasi. Izotrop muhit. Elastik o‘zgarmaslar. Elastik simmetriya. Anizotrop muhit

Купить