Fibonachchi sonlari

Информация о документе

Цена	10000UZS
Размер	337.6KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Педагогика

Fibonachchi sonlari

Купить

KIRISH
Matematikada ko'pincha qiyin va qiziqarli bo'lgan ko'plab muammolar
mavjud bo'lib, ular hech kimning nomi bilan bog'liq emas, balki o'ziga xos
"matematik folklor" xarakteriga ega.
Bu vazifalar ko'pincha bitta, murakkabroq vazifaga birlashtiriladi; ba'zan,
aksincha, bitta vazifa bir nechta oddiylarga bo'linadi; qisqasi, ko'pincha bir vazifa
qaerda tugashi va boshqasi qaerdan boshlanishini ko'rsatish qiyin. Ushbu
muammolarning har birida biz o'z tarixi, o'z muammolari va o'z usullariga ega
bo'lgan kichik matematik nazariyalar bilan shug'ullanamiz - bularning barchasi
"katta matematika" tarixi, muammolari va usullari bilan chambarchas bog'liq.
Bunday nazariya Fibonachchi raqamlari nazariyasidir. Etti yuz ellik yil
bo'lgan mashhur "quyon muammosi" dan kelib chiqqan holda, Fibonachchi
raqamlari hali ham.
matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri bo'lib qolmoqda.
Kurs ishining maqsadi : fibonachchi sonlarining xossalarini va jonli va jonsiz
jismlarning tuzilishidagi oltin nisbat qonuni bilan bog‘liqligini o‘rganish,
Fibonachchi raqamlaridan foydalanishga misollar topish.
Kurs ishining boshida biz Fibonachchi raqamlari tarixi haqida, shuningdek,
bu raqamlar nazariyasini yaratuvchisi sifatida buyuk matematik Pizalik Leonardo
haqida gapiramiz.
Keyin raqamlarning asosiy xossalari aniq misollar bilan batafsil ko'rib
chiqiladi: eng mashhur "quyon" muammosi va "jumper" muammosi Keyinchalik,
oltin nisbat va Fibonachchi raqamlari o'rtasidagi yaqin bog'liqlik haqida bo'lim
bo'ladi. ushbu qonunning printsipi va uning tabiatda namoyon bo'lishi. Ish
yakunida maktabda kombinator masalalarni yechishda sonlar nazariyasidan
foydalanish tushuntiriladi va muhokama qilingan mavzu yuzasidan batafsil xulosa
yoziladi.
2

1.Tarix va zamonaviylik
Qadimgi tarix atoqli matematiklarga boy. O'rta asrlarda matematika nihoyatda
sekin rivojlandi va u paytda buyuk matematiklar juda kam edi. Biz uchun eng qiziq
narsa - Fibonachchi laqabi bilan mashhur bo'lgan mashhur italyan matematigi
Pizalik Leonardo (taxminan 1170-1228 yildan keyin) tomonidan yozilgan "Liber
abacci" ("Abakus kitobi") asari. O'rta asrlarning muhim matematiki. Uning
kitoblarining matematikani rivojlantirish va Evropada matematik bilimlarni
tarqatishdagi rolini ortiqcha baholab bo'lmaydi.
Fibonachchining mavjudligi haqida kam narsa ma'lum. Hatto uning tug'ilgan
sanasi ham noma'lum. Taxminlarga ko'ra, Fibonachchi 1170 yilda tug'ilgan. Uning
otasi savdogar va davlat zodagoni, "Tijorat inqilobi" davrida tug'ilgan
tadbirkorlarning yangi sinfining vakili edi.
Fibonachchining otasi savdo ishlari bilan Jazoirga tez-tez tashrif buyurgan va
Leonardo u erda arab o'qituvchilari bilan matematikani o'rgangan. Keyinchalik u
Misr, Suriya, Vizantiya va Sitsiliyaga tashrif buyurdi. Leonardo matematiklarning
asarlarini o'rgangan mamlakatlar Musulmon e'tiqodi (masalan, al-Xorazmiy va
Abu Komil); Arabcha tarjimalardan foydalanib, qadimgi va hind matematiklari
yutuqlari bilan ham tanishgan. Fibonachchi olgan bilimlari asosida o rta asrlarʻ
G arbiy Yevropa ilm-fanining ajoyib hodisasini ifodalovchi bir qator matematik
ʻ
risolalar yozdi.
Piza o'sha paytda islom Sharqi bilan faol hamkorlik qiladigan eng yirik savdo
yo'nalishlaridan biri bo'lgan va Fibonachchining otasi Afrikaning shimoliy
qirg'og'ida italiyaliklar tomonidan asos solingan savdo nuqtalaridan birida shiddat
bilan savdo qilgan. Buning yordamida u o'g'li, bo'lajak buyuk matematik
Fibonachchini arab maktablaridan biriga "olishga" muvaffaq bo'ldi va u erda o'sha
vaqt uchun mukammal matematik ta'lim olishga muvaffaq bo'ldi. Leonardo
musulmon diniga e tiqod qiluvchi mamlakatlar matematiklarining (masalan, al-
ʼ
3

Xorazmiy va Abu Komil) asarlarini o rgangan; Arabcha tarjimalardan foydalanib,ʻ
qadimgi va hind matematiklari yutuqlari bilan ham tanishgan
"Abakus kitobi"
Fibonachchi bir nechta matematik ishlarni yozgan: "Liber abaci", "Liber
quadratorum", "Practica geometriae". Ulardan eng mashhuri "Liber abaci" (abakus
haqidagi kitob - sanoq taxtasi). Ushbu asar Fibonachchi hayoti davomida 1202 va
1228 yillarda ikki nashrda nashr etilgan. Bu kitob o'sha davrning deyarli barcha
arifmetik va algebraik ma'lumotlarini o'z ichiga olgan bo'lib, ular ajoyib to'liqlik va
chuqurlik bilan taqdim etilgan. Kitobning dastlabki besh bobi o nli kasrlarni
ʻ
raqamlash asosidagi butun son arifmetikasiga bag ishlangan. VI va VII boblarda
ʻ
Leonardo oddiy kasrlar ustida amallarni bayon qiladi. VIII-X kitoblarda
proportsiyaga asoslangan tijorat arifmetik masalalarni yechish usullari mavjud. XI
bobda aralashtirish muammolari muhokama qilinadi. XII bobda qatorlarni
yig’indisiga doir masalalar – arifmetik va geometrik progressiyalar, kvadratlar
qatori va matematika tarixida birinchi marta o’zaro qatorlar berilgan. XIII bobda
ikkita noto'g'ri pozitsiya qoidasi va chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin
bo'lgan bir qator boshqa masalalar berilgan. XIV bobda Leonardo raqamli misollar
yordamida kvadrat va kub ildizlarini taxminiy ajratib olish usullarini tushuntiradi.
Nihoyat, XV bobda Pifagor teoremasini qo'llash bo'yicha bir qator masalalar va
kvadrat tenglamalar bo'yicha ko'plab misollar mavjud. "Abakus kitobi" 12-14-
asrlardagi Evropa arifmetik-algebraik adabiyotidan keskin yuqoriga ko'tariladi.
usullarning xilma-xilligi va kuchliligi, vazifalarning boyligi, taqdimotning isboti.
Undan keyingi matematiklar ham masalalarni, ham ularni yechish usullarini keng
ko'lamda olib chiqdilar.
4

"Geometriya amaliyoti"
Geometriya amaliyoti (Practica geometriae, 1220) o lchash usullariga oid turliʻ
teoremalarni o z ichiga oladi. Klassik natijalar bilan bir qatorda, Fibonachchi
ʻ
o'zining natijalarini beradi - masalan, uchburchakning uchta medianasi bir nuqtada
kesishishi haqidagi birinchi dalil (Arximed bu haqiqatni bilar edi, lekin agar uning
isboti mavjud bo'lsa, u bizga etib kelmagan).
"Abakus kitobi" asari bizni juda qiziqtiradi. Ushbu kitobda keltirilgan
material ushbu traktatning muhim qismini tashkil etuvchi ko'p sonli muammolar
yordamida tushuntirilgan. Keling, ulardan birini ko'rib chiqaylik:
“Kimdir quyonlarning tabiati shunday bo‘lsa, bir oydan keyin bir juft quyon
yil davomida tug‘ilishini bilish uchun har tomondan devor bilan o‘ralgan bir juft
quyonni joylashtirgan. quyonlarning soni boshqa juft tug'adi, quyonlar esa siz
tug'ilgandan keyingi ikkinchi oydan boshlab tug'adilar.
Agar biz bir juft quyonni yangi tug'ilgan chaqaloq deb hisoblasak, unda 2-
oyda bizda hali ham bitta juft bo'lishi aniq; 3-oyda – 1+1=2; 4-da - 2 + 1 = 3 juft
(ikkita mavjud juftlik tufayli faqat bitta juftlik nasl beradi); 5-oyda – 3+2=5 juft
(faqat 3-oyda tug‘ilgan ikkita juftlik beshinchi oyda nasl tug‘adi); 6-oyda - 5 + 3 =
8 juft (chunki faqat 4-oyda tug'ilgan juftliklar nasl beradi) va boshqalar.
Shunday qilib, n-oyda mavjud bo'lgan juft quyonlar sonini
Fk , F1 =1, I=∫−6
−26dxx2+8x+7 =1, I=∫−6
−26dxx2+8x+7
=2,
F4 =3, F5 =5, F6 =8, F7 =13, F8 =21 va hokazolar bilan belgilasak va hosil
bo'lishi. bu raqamlar umumiy qonun bilan tartibga solinadi:
Fn
= Fn−1 + Fn−2
5

Barcha n>2 uchun, chunki n-oydagi quyon juftlari soni oldingi oydagi Fn-1
juft quyonlar soniga va yangi tug‘ilgan juftliklar soniga teng bo‘lib, bu Fn-2 soniga
to‘g‘ri keladi. (n-2) - om oyida tug'ilgan quyon juftlari (chunki faqat shu quyon
juftlari tug'adi).
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... qatorni tashkil etuvchi Fn
raqamlari Fibonachchi raqamlari, ketma-ketlikning o zi esa Fibonachchi debʻ
ataladi. ketma-ketlik.
Fibonachchi ketma-ketligining mohiyati shundan iboratki, 1.1 birinchi ikkita
haddan keyin har bir keyingi raqam oldingi ikkitasini qo'shish orqali olinadi.
Agar Fibonachchi ketma-ketligining har qanday atamasi o‘zidan oldingisiga
(masalan, 13:8) bo‘linsa, natijada 1,61803398875 irratsional qiymati atrofida
o‘zgarib turadigan qiymat paydo bo‘ladi... va ba’zan undan oshib ketadigan,
ba’zan esa unga etib bormaydi. Ammo Abadiylikni bunga sarflagandan keyin ham,
oxirgi o'nlik raqamgacha nisbatni aniq bilish mumkin emas. Qisqacha biz uni
1.618 deb yozamiz
1:1 = 1,0000, bu ph dan 0,6180 ga kam.
2:1 = 2,0000, bu ph dan 0,3820 ga ko'p
3:2 = 1,5000, bu ph dan 0,1180 ga kam.
5:3 = 1,6667, bu ph dan 0,0486 ga ko'p
8:5 = 1,6000, bu ph dan 0,0180 ga kam.
Fibonachchi yig'indisi ketma-ketligi bo'ylab harakatlanar ekanmiz, har bir
yangi atama keyingisini ajratadi va erishib bo'lmaydigan PH ga yaqinlashadi.
Fibonachchi ketma-ketligining istalgan a'zosini keyingisiga bo'lganda, natija
shunchaki 1,618 ga teskari bo'ladi (1: 1,618 = 0,618). Ammo bu ham juda
6

g'ayrioddiy, hatto ajoyib hodisa. Asl nisbat cheksiz kasr bo'lgani uchun bu nisbat
ham oxiri bo'lmasligi kerak.
Har bir Fibonachchi raqami keyingi raqamga bo'linganda, biz 0,382 raqamini
olamiz. 1:0,382=2,618 ekanligini ham unutmang
Nisbatlarni shu tarzda tanlab, biz Fibonachchi nisbatlarining asosiy to'plamini
olamiz: 4,235,2,618,1,618,0,618,0,382,0,236. 0,5 ni ham eslatib o'tamiz. Ularning
barchasi tabiatda, texnologiyada, san'atda va, xususan, moliyaviy texnik tahlilda
alohida rol o'ynaydi.
2. FIBONACHCHI SONLARINING ASOSIY MATEMATIK
XOSSALARI
Fibonachchi raqamlari (yoki Fibonachchi ketma-ketligi Fn ) bir qator qiziqarli
va muhim xususiyatlarga ega. Endi biz ularni o'rganishni boshlaymiz. Shunday
qilib,
TA'RIF. Fibonachchi ketma-ketligi
Fn takrorlanish munosabati bilan
aniqlanadi:
F0
=0,

F1 =1,
Fn
= Fn−1 + Fn−2 ,…… N > 1 uchun. (1)
Birinchi bir nechta qiymatlar 1-jadvalda keltirilgan.
7

1-jadval
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F
n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Fibonachchi raqamlari o'zining zukkoligi bilan hayratga soladigan butun
sonlardir. Ushbu raqamlarni shakllantirish qoidasining zukkoligi - har bir raqam
oldingi ikkitasiga bog'liq - Fibonachchi raqamlari nima uchun turli xil vaziyatlarda
paydo bo'lishini tushuntiradi.
Voqealarning soddaligi va tabiiyligini Fibonachchi raqamlarining birinchi
xossasi deb hisoblash mumkin. Va Fibonachchi raqamlari haqidagi ma'lumotlar
to'plangani sayin, bu soddalik yanada sirli bo'ladi.
Keling, Fibonachchi raqamlarining bir nechta xususiyatlarini keltiraylik.
N Fibonachchi raqamlari yig'indisini hisoblaymiz . Ya'ni, biz buni
isbotlaymiz:
U1 +U2 +…+Un =Un+2 -1
(24)
Aslida, bizda:
U1 =U3 -U2 ,
U2 =U4 -U3 ,
U3 =U5 -U4 ,
…………..
Un-1 =Un+1 -Un ,
8

Un =Un+2 -Un+1 .
Bu tengliklarning barchasini davr bo‘yicha qo‘shib, biz quyidagilarga
erishamiz: U1 +U2 +…+Un =Un+2 -U2,
Va biz faqat U2 = 1 ekanligini unutmasligimiz kerak.
2. Toq sonli Fibonachchi raqamlari yig‘indisi:
U1 +U3 +U5 +…+U2n-1 =U2n.
(25)
Ushbu tenglikni isbotlash uchun biz yozamiz:
U1 =U2 ,
U3 =U4 -U2 ,
U5 =U6 -U4 ,
…………..
U2n-1 =U2n -U2n-2 .
Ushbu tengliklarni muddatlar bo'yicha qo'shib, biz kerakli xususiyatni olamiz.
3. Juft sonli Fibonachchi raqamlari yig‘indisi:
U2 +U4 +…+U2n =U2n+1 -1
(26)
1-bandga asoslanib, bizda:
U1 +U2 +U3 +…+U2n =U2n+2 -1;
Bu tenglikdan haddan muddat ayirib, tenglikni (25) olamiz:
9

U2 +U4 +…+U2n =U2n+2 -1-U2n =U2n+1 -1,
va bu bizga kerak edi.
(25) dan (26) a’zoni ayirib, biz quyidagilarni olamiz:
U1 -U2 +U3 -U4 +…+U2n-1 -U2n =-U2n-1 +1 (27)
Endi ikkala tomonga (27) U2n+1 ga qo‘shamiz:
U1 -U2 +U3 -U4 +…+(-U2n )+U2n+1 =U2n+1 (28)
(27) va (28) birlashtirib, biz Fibonachchi raqamlarining o'zgaruvchan
yig'indisi uchun ifodani olamiz.
U1 -U2 +U3 -U4 +…+(-1)n+1 Un= (-1)n+1 Un-1 +1 (29)
4. (24) va (25) formulalar yaqqol tengliklarning butun qatorini atama-
hujayra qo'shish yordamida olingan. Ushbu texnikadan foydalanishning yana
bir misoli Fibonachchining birinchi raqamlari kvadratlari yig'indisi
formulasini olishdir:
U12 +U22 +…+Un2 = Un Un+1
(o'ttiz)
Tengliklarni qo'shish
U12 =U1 U2 ,
U22 =U2 U3-U1 U2 ,
U32 =U3 U4 -U2 U3 ,
…………………
10

Un2 =Un Un+1 -Un-1 Un ,
muddat bo‘yicha formulani olamiz
(o'ttiz)
5. Fibonachchi sonlari orasidagi ko'plab munosabatlarni to'liq induksiya
usuli yordamida isbotlash qulay. To'liq induksiya usulining (ko'pincha
matematik induksiya usuli deb ataladi) mohiyati quyidagicha: ma'lum bir
fikr har qanday natural son uchun to'g'ri ekanligini isbotlash uchun shuni
aniqlash kifoya:
a) 1 raqami uchun sodir bo'ladi;
b) isbotlanayotgan fikrning to'g'riligiga qarab, har qanday ixtiyoriy tanlangan
natural son uchun No, uning n+1 soni uchun haqiqiyligi quyidagicha bo'ladi.
6. Fibonachchi raqamlariga qo'llaniladigan induksiya g'oyasining eng
oddiy amalga oshirilishi Fibonachchi raqamlarining ta'rifidir. U birinchi
ikkita Fibonachchi raqamlarini ko'rsatishdan iborat: U1 =1 va U2 =1 va
takrorlanish munosabati bilan berilgan Un va Un+1 dan Un+2 ga induktiv
o'tishda: Un +Un+1 =Un+2. Xususan, bundan avtomatik ravishda kelib
chiqadiki, agar ma'lum bir raqamlar ketma-ketligi ikkitadan boshlansa va
keyingilarning har biri oldingi ikkitasini qo'shish orqali olingan bo'lsa, u
holda bu ketma-ketlik Fibonachchi raqamlari ketma-ketligidir.
Misol sifatida, "jumper muammosi" deb ataladigan narsani ko'rib chiqing. Bu
quyidagicha.
" Jamper muammosi ". Jumper kvadratlarga bo'lingan chiziq bo'ylab bir
yo'nalishda sakrashi mumkin, har bir sakrash bilan qo'shni kvadratga yoki kvadrat
bo'ylab harakatlanadi. U n-1 yacheykalarni necha usulda ko‘chirishi va xususan,
birinchi katakdan n-ga o‘tishi mumkin? (Agar ularning har birida jumper bir xil
11

hujayralarga tashrif buyursa, sakrash usullari bir xil hisoblanadi). Kerakli sonni
bilan belgilaymiz xn . Shubhasiz x1 =1 (birinchi katakdan birinchisiga o'tish faqat
bitta usulda amalga oshiriladi - sakrashlarning yo'qligi) va
x2 =1 (birinchi katakdan
ikkinchisiga o'tish ham noyobdir: u bitta to'g'ridan-to'g'ri sakrashdan iborat. qo'shni
hujayraga). Jumperning maqsadi n + 2-hujayraga erishish bo'lsin. Bizning
yozuvimizda ushbu maqsadga erishish yo'llarining umumiy soni ga teng
xn+2 .
Ammo boshidanoq bu usullar ikki sinfga bo'linadi: ikkinchi katakka sakrash bilan
boshlanganlar va uchinchi katakchaga sakrash bilan boshlanadiganlar. Jumper
ikkinchi katakdan n+2
xn+1 yo‘lga, uchinchisidan esa xn usulda o‘tishi mumkin.
Shunday qilib, x1, x2,..., xn,... sonlar ketma-ketligi takrorlanish munosabatini
qanoatlantiradi:
xn
+ xn+1 = xn+2 va shuning uchun Fibonachchi raqamlari ketma-ketligiga mos
keladi
xn = Un .
7. Quyidagi muhim formulani induksiya orqali isbotlaymiz:
Un+m =Un-1 Um +Un Um+1. (31)
Bu formulani m ga induksiya orqali isbotlaymiz.
m=1 bo'lganda, bu formula quyidagi shaklni oladi:
Un+1 =Un-1 U1 +Un U2, bu aniq.
m=2 uchun (31) formula ham to'g'ri, chunki
Un+2 =Un-1 U2 +Un U3 =Un-1 +2Un =Un-1 +Un +Un =Un+1 +Un .
Shunday qilib, induksiyaning asosi isbotlangan.
12

8. (31) formulada m = n ni o'rnatish, biz olamiz
U2n =Un-1 Un +Un Un+1,
yoki
U2n =Un (Un-1 +Un+1 ) (32)
Yozma tenglikdan ko'rinib turibdiki, U2n Unga bo'linadi.
Un =Un+1 -Un-1 bo'lgani uchun (32) formulani quyidagicha qayta yozish
mumkin:
U2n= (Un+1 -Un-1 )= (Un+1 +Un-1 ) yoki
U2n= U2n+1 -U 2n-1, ya'ni raqamlari ikkiga farq qiladigan ikkita
Fibonachchi sonining kvadratlari farqi yana Fibonachchi soni (va juft sonli)
bo'ladi.
Xuddi shunday (m=2n deb faraz qilgan holda) buni ko'rsatish mumkin
U3n= U3n+1 +U3n -U3n-1.
9.Kelajakda quyidagi formula biz uchun foydali bo'ladi:
U2n = Un-1 Un+1 +(-1)n+1
(33)
Buni n ga induksiya orqali isbotlaymiz.
n=2 uchun (33) formula quyidagi shaklni oladi:
U22= U1 U3-1,
bu aniq.
13

Endi (33) formulani ba'zi n uchun isbotlangan deb faraz qilaylik va uning
ikkala tomoniga Un Un+1 qo'shamiz. olamiz
U2n +Un Un+1 = Un-1 Un+1 + Un Un+1 +(-1)n+1 ,
Yoki
Un (Un +Un+1 )= Un+1 (Un-1 +Un )+(-1)n+1 ,
Yoki
Un Un+2 = U2n+1 +(-1)n+1 ,
Yoki
U2n+1 = Un Un+2 +(-1)n+2 ,
Bu induktiv o'tishni asoslaydi va formula (33) har qanday n uchun
isbotlangan.
10. Xuddi shunday Fibonachchi raqamlarining quyidagi xossalarini
o'rnatishingiz mumkin:
U1 U2 +U2 U3 +U3 U4 +…+U2n-1 U2n =U22n.
U1 U2 +U2 U3 +U3 U4 +…+U2n U2n+1 =U22n+1 -1.
nU1 +(n-1)U2 +(n-2)U3 +…+2Un-1 +Un =Un+4 -(n+3)
U1 +2U2 +3U3 +…+nUm =nUn+2 -Un+3 +2
11. Hozirgacha biz Fibonachchi raqamlarini takroriy, ya'ni induktiv
ravishda ularning soni bo'yicha aniqladik . Ma'lum bo'lishicha, har qanday
Fibonachchi raqami to'g'ridan-to'g'ri uning raqamining qandaydir funksiyasi
sifatida aniqlanishi mumkin.
14

Buning uchun biz munosabatni qanoatlantiruvchi U1, U2, U3, …., Un ,…
turli ketma-ketliklarni tekshiramiz.
Un =Un-2 +Un-1 (34)
(34) tenglamaning yechimlari deb ataymiz.
Pifagor teoremasi va Fibonachchi raqamlari o'rtasida bog'liqlik mavjud.
C2 + B2 = A2 - Pifagor teoremasi.
Aniqlik uchun Fibonachchi raqamlarini yonma-yon joylashtiramiz:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4161 6765...
Fibonachchi raqamlari to'g'ridan-to'g'ri to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan
bog'liq deb faraz qilamiz, biz Fibonachchi raqamlari kvadratlaridan iborat juftlik
yig'indilarini olamiz va xuddi shu qatorda gipotenuzaning kvadratiga teng mos
keladigan sonni yoki ikkita kvadrat Fibonachchi sonining yig'indisini topamiz. .
Gipotenuzaning kvadratiga teng bo'lgan bu raqamlar Fibonachchi qatorida chiziq
bilan chizilgan. Bu tagiga chizilgan F raqamlari ham ilgari joylashgan oyoqlarning
gipotenuzasi kvadrati, ham shu bilan birga, gipotenuza kvadrati Fibonachchi
qatorida joylashgan oyoqlardir.
Misollar: 12 +12 =2; 12 +22 =5; 22 +32 =13 va boshqalar.
Shunday qilib, Fibonachchi raqamlari nafaqat oltin nisbatni, balki to'g'ri
burchakli uchburchaklarni ham tavsiflaydi.
Fibonachchi sonlarining son-nazariy xossalari
1Endi Fibonachchi sonlarining bo‘linuvchanligi bilan bog‘liq ayrim
xossalarini ko‘rib chiqamiz.
15

Teorema. Agar N m ga bo'linadi , keyin u Un ga bo'linadi Um
Isbot n m ga bo'linsin , ya'ni N = Mk . Isbotni k bo'yicha induksiya yo'li bilan
bajaramiz .
k =1 N = M uchun , shuning uchun bu holda u
Un aniq tarzda bo'linadi . Um
Keling,
Umk uni ga bo'linadigan deb hisoblaymiz Um va ko'rib chiqamiz Um(k+1) .
Lekin
Um(k+1) = Um(k+1) va (1.8) asosida
Um(k+1)
= Um(k+1)Um + Umk Um+1
Yozma tenglikning o'ng tomonidagi birinchi atama Um ga bo'linishi aniq .
Uning ikkinchi hadi ning ko'paytmasi
Umk , ya'ni induktiv taxmin bo'yicha
, ga ham bo'linadi
Um . Shunday qilib, Um . ularning yig'indisi ham bo'linadi,
Um(k+1)
ya'ni. Bu teoremani isbotlaydi.
2. Fibonachchi sonlarining arifmetik tabiati va ularning bo‘luvchilari haqidagi
masala katta qiziqish uyg‘otadi. Agar n kompozit va 4 dan farq qilsa, Un kompozit
son ekanligini isbotlaylik .
Darhaqiqat, bunday n uchun biz n =
n1n2 yozishimiz mumkin , bu erda 1< n1 <
n , 1 <
n2 < n va n1 >2,
yoki
n2 >2. Aniqlik uchun >2 bo'lsin n1 . Keyin, faqat tasdiqlangan teoremani
hisobga olgan holda
3. Teorema. Qo'shni Fibonachchi raqamlari bir-biriga teng
16

Isbot. Teorema bayoniga zid bo‘lgan holda, un qandaydir umumiy bo‘luvchi d
>1 bo‘lsin .
un+1 Keyin ularning un+1 farqi un d ga bo'linadigan bo'ladi . Va chunki
un+1
- un = un−1 ,
d bo'lishi kerak va
un−1 . Biz shunga o'xshash (induksiya!) d bo'linishini va
un−2
va un−3 hokazolarni ko'rsatamiz. va nihoyat, u1 va shuning uchun d >1 ga
bo'linib bo'lmaydi . Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.
3. OLTIN NISBAT
Oltin nisbat nima va u bilan Fibonachchi raqamlari o'rtasida qanday bog'liqlik
bor?
Oltin nisbat tamoyili san'at, fan, texnika va tabiatda butun va uning
qismlarining tarkibiy va funktsional mukammalligining eng yuqori ko'rinishidir.
Oltin nisbat garmonik nisbatdir . Matematikada proporsiya ikki nisbatning
tengligidir: a: b = c: d.
AB segmentini C nuqta bilan quyidagi yo'llar bilan ikki qismga bo'lish
mumkin :
1) ikkita teng qismga AB : AC = AB : BC ;
2) har qanday nisbatda ikkita teng bo'lmagan qismga (bunday qismlar nisbat
hosil qilmaydi);
3) shunday qilib, AB : AC = AC : BC bo'lganda .
Ikkinchisi oltin nisbat yoki segmentning ekstremal va o'rtacha nisbatda
bo'linishi.
Oltin nisbat - segmentning teng bo'lmagan qismlarga shunday
proportsional bo'linishi bo'lib, unda butun segment katta qism bilan bog'liq
bo'lib, katta qismning o'zi kichikroq bilan bog'liq; yoki boshqacha qilib
aytganda, kichikroq segment kattaroq bo'ladi, chunki kattaroq butun bo'ladi.
17

a : b = b : c yoki c : b = b : a .
Oltin nisbatning geometrik tasviri
Agar c bitta sifatida qabul qilinsa, oltin nisbatning segmentlari cheksiz
irratsional kasrlar bilan ifodalanadi b = 0,618..., a = 0,382... Bizga ma'lumki, 0,618
va 0,382 raqamlari Fibonachchi ketma-ketligining koeffitsientlari hisoblanadi.
Asosiy geometrik raqamlar ushbu nisbatga asoslanadi.
Ushbu nisbatga ega to'rtburchak oltin to'rtburchak deb nomlandi. Bundan
tashqari, u qiziqarli xususiyatlarga ega. Agar siz undan kvadratni kesib
tashlasangiz, siz yana oltin to'rtburchak bilan qolasiz. Bu jarayon cheksiz davom
ettirilishi mumkin. Va agar siz birinchi va ikkinchi to'rtburchaklar diagonalini
chizsangiz, ularning kesishish nuqtasi barcha hosil bo'lgan oltin to'rtburchaklarga
tegishli bo'ladi.
Albatta, oltin uchburchak ham bor. Bu yon tomon uzunligining asos
uzunligiga nisbati 1,618 ga teng bo'lgan teng yonli uchburchak.
Uyg'onish davrida ham geometriyada, ham san'atda, ayniqsa me'morchilikda
qo'llanilishi tufayli oltin bo'linmaga qiziqish olimlar va rassomlar orasida ortdi.
Leonardo da Vinchi oltin bo'linmani o'rganishga ham katta e'tibor bergan. U
muntazam beshburchaklardan tashkil topgan stereometrik jismning kesmalarini
yasadi va har safar oltin bo'linishda tomonlar nisbati bo'lgan to'rtburchaklar oldi.
Shuning uchun u bu bo'linmaga oltin nisbat nomini berdi. Shunday qilib, u hali
ham eng mashhur bo'lib qolmoqda.
18

19-asr oxiri - 20-asr boshlarida. San'at va arxitektura asarlarida oltin nisbatdan
foydalanish haqida ko'plab sof formalistik nazariyalar paydo bo'ldi. Dizayn va
texnik estetikaning rivojlanishi bilan oltin nisbat qonunining qo'llanilishi
mashinalar, mebellar va boshqalarni loyihalashda kengaydi.
5. Oltin nisbatning tabiatda namoyon bo'lishi
Fibonachchi ketma-ketligi yordamida qancha konstantalarni hisoblash
mumkinligi va uning shartlari juda ko'p kombinatsiyalarda qanday paydo bo'lishi
ajablanarli.
Biroq, bu shunchaki raqamlar bilan o'yin emas, balki kashf etilgan tabiat
hodisalarining eng muhim matematik ifodasi desak mubolag'a bo'lmaydi. Quyidagi
misollar ushbu matematik ketma-ketlikning ba'zi qiziqarli ilovalarini ko'rsatadi.
Lavabo
Qobiq spiral shaklida o'ralgan. Agar siz uni ochsangiz, siz ilon uzunligidan bir
oz qisqaroq uzunlikka ega bo'lasiz. Kichik o'n santimetrli qobiq 35 sm uzunlikdagi
spiralga ega bo'lib, tabiatda juda keng tarqalgan.
Spiral shaklida o'ralgan qobiqning shakli Arximedning e'tiborini tortdi. U
buni o'rganib chiqdi va spiral uchun tenglamani o'ylab topdi. Ushbu tenglama
bo'yicha chizilgan spiral uning nomi bilan ataladi. Uning qadamidagi o'sish har
doim bir xil bo'ladi. Hozirgi vaqtda Arximed spirali texnologiyada keng
qo'llaniladi.
OB: OA=OV: OB=OG: OB=… =1,618
(OB+OG):(OB+OA)=… =1,618
19

O'simliklar va hayvonlar
Gyote tabiatning spirallikka moyilligini ham ta'kidlagan. Daraxt shoxlarida
barglarning spiral va spiral joylashishi uzoq vaqt oldin sezilgan. Spiral kungaboqar
urug'lari, qarag'ay konuslari, ananaslar, kaktuslar va boshqalarning tartibida
ko'rindi.
Botaniklar va matematiklarning birgalikdagi faoliyati bu ajoyib tabiat
hodisalariga oydinlik kiritdi. Ma'lum bo'lishicha, kungaboqar urug'lari va qarag'ay
konuslari novdalarida barglarning joylashishida Fibonachchi seriyasi o'zini
namoyon qiladi va shuning uchun oltin nisbat qonuni o'zini namoyon qiladi.
O‘rgimchak to‘rini spiral shaklida to‘qiydi. Dovul xuddi spiraldek
aylanmoqda. Qo'rqib ketgan bug'u podasi spiral shaklida tarqaladi. DNK
molekulasi qo'sh spiral shaklida o'ralgan. Gyote spiralni "hayotning egri chizig'i"
deb atagan.
Yo'l bo'yidagi o'tlar orasida e'tiborga loyiq o'simlik - hindibo o'sadi. Keling,
buni batafsil ko'rib chiqaylik. Asosiy poyadan kurtak hosil bo'ldi. Birinchi barg
aynan shu yerda joylashgan edi. Kurtak kosmosga kuchli otilib chiqadi, to'xtaydi,
bargni chiqaradi, lekin bu safar u birinchisidan qisqaroq, yana kosmosga otishni
amalga oshiradi, lekin kamroq kuch bilan, undan ham kichikroq o'lchamdagi
bargni chiqaradi va yana chiqariladi. . Agar birinchi emissiya 100 birlik sifatida
qabul qilinsa, ikkinchisi 62 birlikka, uchinchisi - 38, to'rtinchisi - 24 va
boshqalarga teng bo'ladi. Gulbarglarning uzunligi ham oltin nisbatga bo'ysunadi.
Kosmosni o'stirish va zabt etishda o'simlik ma'lum nisbatlarni saqlab qoldi. Uning
o'sishi impulslari asta-sekin oltin nisbatga mutanosib ravishda kamaydi. Bir
qarashda, kaltakesak bizning ko'zimizga yoqimli nisbatlarga ega - uning dumi
uzunligi tananing qolgan qismining uzunligi bilan bog'liq, 62 dan 38 gacha.
20

Tirik kaltakesak
O'simlik va hayvonot dunyosida tabiatning shakllanish tendentsiyasi doimiy
ravishda o'sib boradi - o'sish va harakat yo'nalishi bo'yicha simmetriya. Bu erda
oltin nisbat o'sish yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan qismlarning nisbatlarida
paydo bo'ladi.
Tabiat nosimmetrik qismlarga va oltin nisbatlarga bo'linishni amalga oshirdi.
Qismlar butunning tuzilishining takrorlanishini ochib beradi.
Kosmos
Astronomiya tarixidan ma'lumki, XVIII asrda yashagan nemis astronomi
I.Titius ushbu silsila yordamida Quyosh sistemasi sayyoralari orasidagi
masofalarda naqsh va tartibni topgan.
Biroq, qonunga zid bo'lgan bir holat: Mars va Yupiter o'rtasida sayyora yo'q
edi. Osmonning bu qismini diqqat bilan kuzatish asteroid kamarining kashf
etilishiga olib keldi. Bu 19-asr boshlarida Titius vafotidan keyin sodir bo'ldi.
Fibonachchi seriyasi keng qo'llaniladi: u tirik mavjudotlar arxitektonikasini, sun'iy
tuzilmalarni va Galaktikalar tuzilishini ifodalash uchun ishlatiladi. Bu faktlar son
qatorining namoyon bo`lish shartlaridan mustaqilligidan dalolat beradi, bu esa
uning universalligining belgilaridan biridir.
21

Piramidalar
Ko'pchilik Gizadagi piramidaning sirlarini ochishga harakat qildi. Boshqa
Misr piramidalaridan farqli o'laroq, bu qabr emas, balki raqamlar
kombinatsiyasining hal qilib bo'lmaydigan jumboqidir. Piramida me'morlarining
abadiy ramzni qurishda sarflagan ajoyib zukkoligi, mahorati, vaqt va mehnati ular
kelajak avlodlarga yetkazmoqchi bo'lgan xabarning nihoyatda muhimligini
ko'rsatadi. Ularning davri savoddan oldingi, ieroglifdan oldingi davr edi va belgilar
kashfiyotlarni qayd etishning yagona vositasi edi.
Uzoq vaqt davomida insoniyatga sir bo'lib kelgan Giza piramidasining
geometrik-matematik sirining kaliti aslida Gerodotga ma'bad ruhoniylari
tomonidan berilgan va ular piramida shunday qurilganligi haqida xabar berishgan.
uning har bir yuzi balandligi kvadratiga teng edi.
Uchburchakning maydoni
356 x 440 / 2 = 78320
Kvadrat maydon
280 x 280 = 78400
Gizadagi piramida yuzining uzunligi 783,3 fut (238,7 m), piramidaning
balandligi 484,4 fut (147,6 m) ni tashkil qiladi. Balandlikka bo'lingan yuzning
uzunligi F=1,618 nisbatda bo'ladi 484,4 fut balandligi 5813 dyuymga (5-8-13)
to'g'ri keladi - bu Fibonachchi ketma-ketligidagi raqamlar.
Ushbu qiziqarli kuzatishlar shuni ko'rsatadiki, piramidaning dizayni F=1,618
nisbatga asoslangan. Zamonaviy olimlar, qadimgi misrliklar uni faqat kelajak
avlodlarga saqlab qolishni xohlagan bilimlarini etkazish uchun qurilgan deb talqin
qilishadi.
22

6. Kombinator masalalarni yechish
Ko'pgina kombinatorli masalalarni yechishda maktab o'quvchilari ko'pincha
berilgan masalani kamroq ob'ektlar ishtirokidagi masalaga qisqartirish usulidan
foydalanadilar. Kamroq miqdordagi ob'ektlar uchun shunga o'xshash muammoni
kamaytirish usuli takroriy munosabatlar usuli deb ataladi (lotincha recurrere -
qaytish). Takrorlanish munosabatidan foydalanib, biz N ob'ekt masalasini N - 1
ob'ekt masalasiga , keyin N - 2 ob'ekt masalasiga va hokazolarni qisqartirishimiz
mumkin. Ob'ektlar sonini izchil ravishda kamaytirsak, biz allaqachon oson bo'lgan
masalaga erishamiz. hal qilish. Ko'p hollarda takrorlanish munosabatidan
kombinatsion masalani yechishning aniq formulasini olish mumkin.
Masalan, = n formulasini shunday qilib olishingiz mumkin Pn ! takrorlashsiz
joylashtirishlar soni formulasidan foydalangan holda N elementlarning
almashtirishlar soni uchun . Ammo xuddi shu formulani boshqa yo'l bilan, birinchi
navbatda qanoatlantiradigan takrorlanish munosabatini topish orqali olish mumkin
Pn
.
, a1, ..., an-1, an N ta elementga ega bo'lsin . Ularning har qanday
almashtirishini quyidagicha olish mumkin: a1, ..., an-1 ob'ektlarning ba'zi
almashtirishlarini oling va unga an elementini qo'shing. An elementi turli o'rinlarni
egallashi aniq. U eng boshida, almashtirishning birinchi va ikkinchi elementlari
orasiga, ikkinchi va uchinchi elementlar orasiga yoki eng oxirida joylashtirilishi
mumkin. a elementi egallashi mumkin bo'lgan turli o'rinlar soni n ga teng va
shuning uchun a1, ..., an-1 elementlarning har bir almashinishidan a1, ..., an-1
elementlarning almashinishlari soni. , a olinadi. Lekin bu shuni anglatadiki, No
elementlarning o'rni N - 1 elementlarning o'rinbosarlaridan N marta ko'p. Bu
takroriy munosabatni o'rnatadi:
23

Pn= N Pn−1
Ushbu munosabatdan foydalanib, biz doimo shunday xulosaga kelamiz:
Pn
= N Pn−1 = N (n-1) Pn−2 = N (n-1) ... 2 P1
Lekin
Pn = l, chunki bitta elementdan faqat bitta almashtirish mumkin.
Shunung uchun:

Pn = N (n-1) ... 2* 1 = n!.
= n formulasini oldik !
Pn
4. ATROFIMIZDAGI FIBONACCI RAQAMLARI
Fibonachchi raqamlari va odam
Taxminan ikki asr davomida inson tanasini o'rganishda oltin nisbatdan
foydalanish g'oyasi unutildi va faqat 19-asrning o'rtalarida nemis olimi Adolf
Zeising yana unga murojaat qildi. U butun inson tanasi va uning har bir alohida
a'zosi mutanosib munosabatlarning matematik jihatdan qat'iy tizimi bilan
bog'langanligini aniqladi, ular orasida oltin nisbat eng muhim o'rinni egallaydi (4-
rasm). Minglab inson tanasini o'lchab, u oltin nisbat barcha yaxshi rivojlangan
jismlarga xos bo'lgan o'rtacha statistik qiymat ekanligini aniqladi.
U erkak tanasining o'rtacha nisbati 13/8 = 1,625 ga, ayolniki - 8/5 = 1,60 ga
yaqin ekanligini aniqladi. Erkaklar va ayollarning tana nisbatlari oltin nisbatdan
turli yo'nalishlarda og'ishdi - irratsional chegara qiymati 1,618 ... ga teng, bu
erkaklar va ayollarning jinsiy anatomiyasidagi geometrik farqni aniq ifodalaydi.
24

4-rasm
Bundan tashqari, tanamizning yana bir nechta asosiy oltin nisbatlari mavjud:
 barmoq uchidan bilakgacha va bilakdan tirsakgacha bo'lgan masofa
1:1,618;
 elka darajasidan boshning tojigacha bo'lgan masofa va boshning kattaligi
1: 1,618;
 kindik nuqtasidan boshning tojigacha va elka sathidan boshning
tojigacha bo'lgan masofa 1:1,618;
 kindik nuqtasining tizzagacha va tizzadan oyoqgacha bo'lgan masofasi
1:1,618;
 iyagining uchidan yuqori labning uchigacha va yuqori labning uchidan
burun teshigigacha bo'lgan masofa 1:1,618;
 iyagining uchidan qoshlarning yuqori chizig'igacha va qoshlarning
yuqori chizig'idan tojgacha bo'lgan masofa 1: 1,618 (5-rasm).
25

5-rasm
Kaftingizni o'zingizga yaqinlashtirish va ko'rsatkich barmog'ingizga diqqat
bilan qarash kifoya va siz darhol unda oltin nisbat formulasini topasiz.
Qo'limizning har bir barmog'i 3 ta falanjdan iborat (bosh barmog'i bundan
mustasno). Har bir qo'lda 5 ta barmoq bor, ya'ni jami 10 ta, lekin ikkita falangeal
bosh barmog'idan tashqari, oltin nisbat tamoyiliga ko'ra faqat 8 ta barmoq
yaratilgan. Holbuki, bu raqamlarning barchasi 2,3 , 5 va 8 Fibonachchi raqamlari.
Insonning yuz xususiyatlari tuzilishida oltin nisbat shakliga ma'no jihatdan
yaqin bo'lgan ko'plab misollar ham mavjud. Biroq, olimlarning fikriga ko'ra, oltin
nisbatning aniq muvofiqligi faqat mukammal go'zallikka ega odamlarda mavjud.
Masalan, ikkita old ustki tishning kengligini jamlab, bu summani tishlarning
balandligiga bo'lsak, oltin nisbat raqamini olsak, tishlarning tuzilishi ideal deb
aytishimiz mumkin.
Inson yuzida oltin nisbat qoidasining boshqa mujassamlanishi mavjud:
 yuz balandligi va yuz kengligi;
 lablarning burun asosiga ulanishining markaziy nuqtasi va burun uzunligi;
 og'iz va burun kengligi;
 burunning kengligi va burun teshiklari orasidagi masofa;
 o'quvchilar orasidagi masofa va qoshlar orasidagi masofa.
Agar insonning ichki organlarini ko'rib chiqsak, unda amerikalik fizik B.D.
West va doktor A.L. Goldberger oltin nisbat u erda ham mavjudligini aniqladi.
26

Fibonachchi raqamlari va musiqa
Musiqadagi oltin bo'limning namoyon bo'lishini eng keng qamrovli
o'rganishni san'atshunos L. Sabaneev olib borgan. 1925 yilda u 42 muallifning
1770 ta musiqiy asarini tahlil qilib, ko'zga ko'ringan asarlarning aksariyatini
mavzuga ko'ra yoki intonatsiya tuzilishiga ko'ra yoki bir-biri bilan bog'liq bo'lgan
rejim tuzilishiga ko'ra osongina qismlarga bo'lish mumkinligini ko'rsatdi. oltin
nisbatga. Uning fikricha, musiqiy asarning vaqtinchalik hajmi musiqani idrok etish
jarayonida ajralib turadigan va butunlik shakli haqida fikr yuritishni
osonlashtiradigan "ma'lum bosqichlar" ga bo'linadi. Ushbu musiqiy bosqichlarning
barchasi, odatda, oltin nisbat qonuniga ko'ra, butunni qismlarga ajratadi.
Qolaversa, bastakor qanchalik iste'dodli bo'lsa, uning asarlarida shunchalik oltin
bo'limlar topiladi.
Rus va sovet musiqa madaniyatining taniqli namoyandalaridan biri E.K.
Rosenov birinchi bo'lib musiqada "Xromatik fantaziya va fuga" ni tahlil qilishda
"oltin qism" qonunini qo'lladi. Bax, olim shunday xulosaga keldi: "Ma'lum
bo'lishicha, u inson tanasi kabi tabiiy morfogenezning tabiiy qonunlariga ko'ra
yaratilgan bo'lib, unda ikkala qonun ham to'liq hukmronlik qiladi - oltin qism
qonuni va qonun. simmetriya, tirik tananing individual tuzilishidagi xuddi shunday
kichik badiiy noaniqliklar bilan, u mavhum yoki zavod kelib chiqishining o'lik
shakllaridan farq qiladi. Oltin bo'lim zonasini aniqlab, siz o'yin boshida emas,
o'rtasida emas, balki oxiriga yaqinroq, ya'ni butunning uchinchi choragida
ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Butun ulkan shkala uchta asosiy
registrga bo'lingan: past, o'rta va baland va 88 ta tovushni tashkil qiladi. Ko'rinib
turibdiki, ularning soni juda oz. Ammo bu 88 ta tovushdan ulug'vor simfoniyalar,
oratoriyalar va eng buyuk musiqa asarlari yaratilgan. Koinotning gumbazi 12
darajadan iborat - eng pastdan yuqoriga. Har bir daraja o'z zodiak belgisiga ega.
Shunday qilib, fazo va musiqa tizimi o'rtasida uzviy bog'liqlik mavjud.
Venger musiqashunosi Erne Lendvay Bartok musiqasini uzoq vaqt va
sinchkovlik bilan o‘rganib, u haqida ko‘plab kitob va maqolalar nashr ettirdi.
Lendvayning ta'kidlashicha, "Bartok musiqasini stilistik tahlil qilish menga uning
27

xromatik texnikasining asosiy xususiyati har qanday musiqiy harakatda oltin nisbat
qonunlariga bo'ysunishdir, degan xulosaga kelishga imkon berdi". Lendvayning
so'zlariga ko'ra , Bartokning o'z kompozitsiyalarining ritmini qurish usuli musiqada
oltin nisbatni qo'llashning ajoyib namunasidir. Ayniqsa, Bartokning “Stringlar,
zarbli cholg‘ular va Selesta uchun musiqasi” asaridagi fugani tahlil qilib, Lendvai
fuganing 89 shtrixlari hajmi bo‘yicha piramidal cho‘qqi bilan ikki qismga – 55 va
34 barga bo‘linganligini ko‘rsatadi (6-rasm). Keyingi bo'linish turli xil
asboblarning ovozini o'chiradigan soqov yordamida amalga oshiriladi - uning
harakatining boshlanishi va oxiri segmentlarning chegaralarini belgilaydi - va
to'qimalarning boshqa o'zgarishlari. Shomillar soni har doim Fibonachchi
raqamlariga to'g'ri keladi va katta qismlar orasidagi nisbatlar oltin nisbatga yaqin
(masalan, 55/34). Xuddi shunday, "Ikki pianino va zarbli cholg'u uchun sonata"da
turli mavzular Fibonachchi raqamlari tartibida va yarim tonlar sonidagi oltin
nisbatga ko'ra ishlab chiqilgan.
6-rasm
1700 yilda oltin nisbat qonuniga asoslanib, Antonio Stradivari o'zining
mashhur skripkasini yaratdi (7-rasm) va shu kungacha uning asbobining ovozi hali
hech kimdan ustun bo'lmagan namunadir.
28

7-rasm
Oltin nisbat she'riyatda ham qo'llaniladi, deb ishoniladi. Ba'zi asarlarda,
masalan, Lermontovning "Borodino" she'rida yoki Shopin etyudlarida avj nuqtasi
kompozitsiyani qismlarga ajratadi, ularning nisbati oltin nisbatga yaqin.
Fibonachchi raqamlari va san'at
Oltin nisbat va Fibonachchi spirali ko'pincha rasm yoki me'morchilikda
qo'llaniladi. Ehtimol, eng mashhur misol Leonardo da Vinchining ishi . Mona
Lizaning tarkibi (8-rasm) Fibonachchi spiraliga asoslanadi va Vitruvian odami tom
ma'noda tana nisbatlari va oltin nisbat o'rtasidagi munosabatni tasvirlaydi.
8-rasm
Oltin nisbatdan foydalanib, masalan, Gizadagi Misr piramidalari, Notr-Dam
sobori va Avliyo Bazil sobori qurilgan. Va 2005 yilda Kornuollda (Buyuk
Britaniya) The Core ("Yadro") o'quv majmuasi paydo bo'ldi. Uning me'morlari
29

$kungaboqar gulining shaklidan ilhomlangan. Natijada Fibonachchi spirali printsipi asosida qurilgan bino paydo bo'ldi. Fibonachchi raqamlari va tabiati O'simliklar tuzilishi va ularning rivojlanishining xarakterli xususiyati spiraldir. Nafaqat shoir, balki tabiatshunos olim sifatida ham tanilgan Gyote spirallikni barcha tirik organizmlarga xos xususiyatlardan biri deb bilgan. O simliklarning paychalari spiral shaklida buriladi, daraxt tanasida to qimalarningʻ ʻ o sishi spiral shaklida sodir bo ladi, kungaboqardagi urug lar spiralda joylashadi, ʻ ʻ ʻ ildiz va kurtaklar o sishi davrida spiral harakatlar kuzatiladi. ʻ Keling, qarag'ay konusini ko'rib chiqaylik. Uning yuzasida tarozilar muntazam ravishda - taxminan to'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita spiral bo'ylab joylashtirilgan. Qarag'ay konuslaridagi bunday spirallarning soni 8 va 13 yoki 13 va 21 (9-rasm). 9-rasm Kungaboqar savatlarida urug'lar ham ikkita spiralda joylashgan bo'lib, ularning soni odatda 34/55, 55/89 ni tashkil qiladi. Keling, chig'anoqlarni batafsil ko'rib chiqaylik. Agar biz tasodifiy olingan birinchi qobiqning "qattiqlashtiruvchi qovurg'alari" sonini hisoblasak, biz 21 tani olamiz. Ikkinchi, uchinchi, beshinchi, o'ninchi qobiqni olaylik - ularning barchasi sirtda 21 ta qovurg'a bo'ladi. Bu erda biz yana 2/3,3\5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89 yaqinida joylashgan Fibonachchi raqamlarining tabiiy 30$

kombinatsiyasiga duch kelamiz. Ularning nisbati 0,61803... raqami bilan
ifodalangan oltin nisbatga intiladi.
O'simliklardan tashqari, Fibonachchi raqamlari turli tirik organizmlarning
tuzilishida paydo bo'ladi. Agar dengiz yulduzini ko'rib chiqsak, uning nurlari soni
Fibonachchi raqamlari qatoriga to'g'ri keladi yoki ularga juda yaqin va
5,8,13,21,34,55 ga teng. Hammamizga ma’lum bo‘lgan chivinga nazar tashlasak,
uning uch juft oyog‘i bor, qorini sakkiz bo‘lakka bo‘lingan, boshida esa beshta
antenna bor. Chivin lichinkasi 12 segmentga bo'lingan.
Xuddi shu misol lobster, tırtıl va pashshadir. Ninachining ochiq, shaffof,
vaznsiz qanotlari tabiat hunarmandchiligining durdona asaridir. Ko'pgina
ninachilarda qanotlari uzunligining tana uzunligiga nisbati 4/3 ni tashkil qiladi.
Ninachining tanasi ikkita asosiy qismga bo'linadi: massiv tanasi va uzun, ingichka
dumi. Tana uch qismdan iborat: bosh, ko'krak, qorin. Qorin besh qismga bo'lingan,
dumi esa sakkiz qismdan va uch juft oyoqdan iborat bo'lib, ular uch qismga
bo'linadi. Bu bizga butunning Fibonachchi seriyasining ochilish qismlariga izchil
bo'linishini ko'rish imkonini beradi. Ninachining dumi, tanasi va umumiy uzunligi
bir-biri bilan oltin nisbat bilan bog'liq: dum va tanasi uzunligining nisbati umumiy
uzunlikning dum uzunligiga nisbatiga teng. Ninachining juda mukammal ko'rinishi
ajablanarli emas, chunki u oltin nisbat qonunlariga muvofiq yaratilgan.
Yoriqlar bilan qoplangan takir fonida toshbaqaning ko'rinishi hayratlanarli
hodisadir. Qobiqning markazida katta birlashtirilgan shoxli plitalari bo'lgan katta
oval maydon mavjud va qirralari bo'ylab kichikroq plitalarning chegarasi mavjud.
Shunday qilib, siz har qanday toshbaqaga qarashingiz va ularning qobig'idagi
naqshning o'xshashligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Oval maydonda 13 ta
eritilgan shoxli plastinkalar mavjud - markazda 5 ta plastinka va chekkalarda 8 ta,
periferik chegarada esa taxminan 21 ta plastinka mavjud (Chili toshbaqasi
qobiqning periferiyasi bo'ylab 21 ta plastinkaga ega). Toshbaqalarning oyoqlarida
5 ta barmoq bor, orqa miya 34 ta umurtqadan iborat. Ko'rsatilgan barcha qiymatlar
Fibonachchi raqamlariga mos kelishini ko'rish oson. Xulosa qilamizki,
31

toshbaqaning rivojlanishi, tanasining shakllanishi, butunning qismlarga bo'linishi
Fibonachchi sonlar qatori qonuniga muvofiq amalga oshirildi.
Agar biz turli xil sutemizuvchilarni - kit, tuya, kiyik, aurochlarni hisobga
oladigan bo'lsak - qovurg'alar soni 13 plyus, minus 1. Umurtqalarning soni juda
katta farq qiladi, ayniqsa dumlari tufayli, hatto bir xil turda ham har xil uzunlikda
bo'lishi mumkin. hayvondan. Ammo ularning ko'pchiligida umurtqalar soni 34 va
55 ga teng yoki unga yaqin. Demak, bahaybat kiyikning 34 ta, kitning 55 ta
umurtqasi bor.
Keling, uy hayvoniga e'tibor beraylik. Ko'pgina uy hayvonlaridagi tishlar
soni Fibonachchi soniga yaqin: quyonda 14 juft, itda, cho'chqada, otda 21 ta,
ortiqcha yoki minus 1 juft tish bor. Uy hayvonlari skeletidagi suyaklarning
umumiy soni. Tishlarni hisobga oladigan bo'lsak, bir guruh 230 ga yaqin,
ikkinchisi esa 300 ga yaqin. Ko'rib turganimizdek, skeletning rivojlanishi bilan
birga bo'lgan tananing bo'linishi suyaklar sonining o'zgarishi bilan tavsiflanadi.
turli hayvonlar organlarida va bu raqamlar Fibonachchi raqamlariga mos keladi
yoki ularga juda yaqin bo'lib, 3, 5,8,13,21,34,55,89,144,233 qatorni tashkil qiladi.
kattaligi nisbati 4: 3, qovoq urug'lari 3: 2, tarvuz urug'lari esa 3: 2. Qarag'ay
konuslari uzunligining ularning diametriga nisbati 2: 1 bo'lib chiqdi.
Agar siz gulli maysazorni (o't va gullar) yotqizishingiz kerak bo'lsa, unda siz
bu chiziqlarni kengligida tenglashtirmasligingiz kerak, agar siz ularni 5: 8 yoki
8:13 nisbatda olsangiz, yanada chiroyli bo'ladi . Va bu oltin nisbat deb ataladigan
nisbatdir.
Fibonachchi raqamlari haqidagi afsonalar
Umumjahonlik: ko'p manbalarda Fibonachchi raqamlari va oltin spiral
koinotning universal qonuni sifatida joylashtirilgan bo'lib, uning yordamida gul
barglarining joylashishidan spiral galaktikalar shakligacha bo'lgan har qanday
tabiiy jarayon yoki ob'ektlarni tasvirlash mumkin. Garchi bu ko'plab tabiat
hodisalariga nisbatan to'g'ri bo'lsa-da, printsip keng qamrovli emas: masalan, spiral
32

galaktikalarning bir xil qo'llari yoki nautilus mollyuskasining qobig'i logarifmik
spiralda buralgan bo'lib, ular shakli oltinga yaqin bo'lsa-da. , hali ham bitta emas.
Ideal: Oltin nisbat va Fibonachchi spirali ideal nisbatlarni tavsiflaydi, deb
ishoniladi. Biroq, tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, ushbu printsip bo'yicha qurilgan
ob'ektlar (masalan, inson tanasi) oddiy odamlarga ko'rsatilganda, odatda
nomutanosib va cho'zilgan deb qabul qilinadi. Demak, Uyg'onish davri va undan
keyingi davrlarning barcha buyuk rassomlari o'z asarlarida oltin spiral tamoyilidan
foydalanganlar, degan noto'g'ri tushuncha. Bunday tajribalar sodir bo'ldi, lekin ular
keng tarqalgan emas edi.
Amaliy qo'llanilishi: Boshqa bir afsonada aytilishicha, har qanday faoliyat
sohasida oltin nisbat va Fibonachchi raqamlaridan foydalanish ijobiy natija beradi.
Ammo, masalan, kriptograflar Fibonachchi lag usuli shifrlashni kuchaytirishning
ideal usuli emasligini bilishadi - unga asoslangan ko'plab tasodifiy sonlar
generatorlari sekin ishlaydi yoki qarshilikni buzish uchun etarli chegaraga ega
emas. Arxitektura yoki sanoat dizaynida oltin nisbat tamoyillaridan foydalanish
kamdan-kam hollarda ishlab chiqarishni optimallashtirish bilan birlashtiriladi.
33

XULOSA
Ish natijasida Fibonachchi raqamlarining ketma-ketligi va xossalari o'rganildi,
bu ketma-ketlikdagi ikkita qo'shni sonning yig'indisi keyingisining qiymatini
berishida yotadi. Atrofimizdagi haqiqatda Fibonachchi ketma-ketlik raqamlarining
namoyon bo'lishi o'rganildi.
Amaliyotda masalalarni yechish matematikani o'rganish jarayonida
Fibonachchi sonlarining muhimligini ta'kidlaydi. Fibonachchi raqamlari maktab
kursida deyarli o'rganilmaydi, lekin "ko'proq bilishni istaganlar uchun!" Bolalar 6-
sinfda ushbu qismdan o'tadilar, oltin nisbat yoki segmentning ekstremal va o'rtacha
nisbatlarda bo'linishini tekshiradilar. Ular tirik tabiatdagi oltin nisbat misollarini
ham ko'rib chiqadilar.
Fibonachchi raqamlar seriyasini va oltin nisbatni tahlil qilib, shuni aytishimiz
mumkinki, bu raqamlar nazariyasi hayotimizda keng namoyon bo'ladi: tirik
organizmlar tuzilishida, jonsiz tabiatda, uning yordami bilan Galaktikalar tuzilishi
tasvirlangan. Bularning barchasi Fibonachchi raqamlari seriyasining matematik
favquloddaligining universalligidan dalolat beradi.
Shunday qilib, tadqiqotning belgilangan maqsadiga erishildi. Sonlarning har
xil xossalari, ularning misollari va fan va tabiatdagi ko`rinishlari o`rganilib,
maxsus son qonuniyatlarining mavjudligi aniqlandi. Shubhasiz, dunyodagi hamma
narsa o'ylangan va hisoblangan - Tabiat tomonidan! Matematika esa raqamlar
sirlarini tushunish uchun juda zarur vositadir.
34

FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI :
1. Vorobyov N. N. Fibonachchi raqamlari [Matn] / Vorobyov N. N. – M.: Nauka,
1984. – 144 b.
2.N. Vasyutinskiy "Oltin nisbat" [ Matn] / N. Vasyutinskiy - M.: Yosh gvardiya,
1990.-234 p.
3.Vorobyov N.N., Fibonachchi raqamlari: Seriya: Matematika bo'yicha mashhur
ma'ruzalar. 6-son. - M.: Nauka, 1978 yil.
4.Arakelyan G. B., Matematika va oltin qism tarixi. – M.: Logos, 2014.
5.Vilenkin N.Ya. va boshqalar, Matematika darsligining sahifalarida, 10-11. – M.:
Ta’lim, 1996 yil
6.Rudakov N.A. Fibonachchi raqamlari va raqamlarning soddaligi, 4-jild - M.
Education, 2000.
7. LiveInternet [Elektron resurs] Tabiat qonunlari va Fibonachchi ketma-ketligi.
URL : https://www.liveinternet.ru/users/4506755/post186633412 kirish sanasi
15.04.2023)
8.Econet ongingizni yoqadi [Elektron resurs] FIBONACCI SPIRAL - shifrlangan
tabiat qonuni. URL manzili : https://econet.ru/articles/109062-spiral-fibonachchi-
zashifrovannyy-zakon-prirody (kirish sanasi 16.04.2023)
9.Bazanov S. Fibonachchi hamma joyda! [Elektron resurs]// URL :
https://medium.com/paradox (kirish 16/04/2023)
35

Fibonachchi sonlari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish

Информация о документе

Продавец

Fibonachchi sonlari

Похожие документы