Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	226.3KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari

Купить

Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari

Reja:

1 . Funksiya limiti , limitlar haqida teoremalar.
2. Ajoyib
limitlar.
3. Funksiyaning
uzluksizligi .
4.
Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
5.
Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.

1. Funksiya limiti , limitlar haqida teoremalar
Ta’rif . Agar har bir son uchun shunday son
topilsaki, bajarilganda (1)
ham
bajarilsa, x argument a ga
intilganda funksiya A songa teng limitga
ega deyiladi
va quyidagicha belgilanadi:
funksiyaning
limiti qaralayotganda a nuqta funksiyaning
aniqlanish
sohasiga kirishi yoki kirmasligi ham mumkin.
Funksiyaning a nuqtadagi
limiti topilganda deb qaraladi.
Quyidagi
uch holni qarab o ` tamiz:
1-hol. A
– chekli
2-hol. a –
chekli,
3-hol.
1-hol.
Avvaldan berilgan har qanday cheksiz kichik son uchun
shunday son
topilsinki, bo`lganda bo`lsin ;
2-hol.
Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son
uchun
shunday topilsinki, bo`lganda
bo`lsin:
3-hol.
Avvaldan berilgan har qanday istalgancha katta son
uchun
shunday son topilsinki, bo`lganda kelib
chiqsin. .
O ` zgarmas
funksiyaning limiti shu o ` zgarmas songa teng.
Isboti. berilgan
bo`lsin. Unda har qanday
uchun ni
yoza olamiz.

Demak, ixtiyoriy a uchun

Limitlar haqidagi teoremalar

Funksiyaning
limiti haqidagi asosiy teoremalar (yig ` indi,
ko`paytma,
bo ` linma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga
o ` xshash
funksiyaning limitini hisoblashni ham osonlashtiradi.
1-teorema. Funksiyalar
yig ` indisining (ayirmasining) limiti shu
funksiyalar
limitlarining yig ` indisiga(ayirmasiga) teng :
2-teorema. Funksiyalar
ko`paytmasining limiti shu funksiyalar
limitlarining
ko`paytmasiga teng :
Natija. O ` zgarmas
ko`paytuvchini limit ishorasining oldiga
chiqarish
mumkin
3-teorema .
Funksiyalar bo ` linmasining limiti shu funksiyalar
limitlarining
bo ` linmasiga teng, qachonki, bo ` luvchi funksiyaning limiti
noldan
farqli bo`lganda :
,
4-teorema. Agar va funksiyalari
uchun a nuqtaning
biror oralig ` ida tengsizliklar
bajarilib, bo`lsa u
holda bo`ladi .
1-misol. ni
hisoblang.

Yechish. Funksiyaning limitlari haqidagi teoremalardan foydalanib,
quyidagilarni
topamiz:
2-misol . ni
hisoblang.
Ye chish . Maxrajning
limitini topamiz:
S h uning
uchun 3-teoremadan foydalanamiz:

2. Ajoyib limitlar
Yoy
sinusining shu yoyga nisbatining limiti:
Bu
tenglik birinchi ajoyib limit deb yuritiladi.
Bunday
tenglik yordamida trigonometrik funksiyalar qatnashgan
ko`pchilik
limitlar hisoblanadi.
1-teorema. o ` zgaruvchi
miqdor da 2 bilan 3 orasida
yotuvchi
limitga ega.
Ta’rif. o ` zgaruvchi
miqdorning dagi limiti e soni
deyiladi.
; e soni
irratsional son: e =2, 7182818284...

2-teorema. x cheksizlikka intilganda funksiya e limitga
intiladi,
ya’ni .

3. Funksiyaning uzluksizligi
Fаrаz
qilаylik, bizgа Х sоhаdа аniqlаngаn y=f(x) funksiya bеrilgаn
bo`lsin.
Аgаr y=f(x) funksiyaning аrgumеnti х=х
0 nuqtаdа аniqlаngаn
bo`lib,
ungа birоr  х оrttirmа bеrsаk, u hоldа shu nuqtаgа mоs kеlgаn
funksiyaning
оrttirmаsi hаm y+  y=f(x
0 +  x) bo`ladi. Bizgа bеrilgаn
funksiyani x=x
0 nuqtаdаgi
 x оrttirmаsigа mоs kеlgаn  y оrttirmаni
tоpаdigаn
bo`lsak,

y=f(x
0 +  x)-f(x)
bo`ladi.

Tа’rif. y=f(x) funksiyaning
аrgumеnti x  x
0 dа funksiyaning o`zi
shu
nuqtаdаgi uning хususiy qiymаtigа intilsа, ya’ni f(x)  f(x
0 ) bo`lsa, u
hоldа y=f(x) funksiyasi Х to`plаmni x=x
0 nuqtаsidа uzluksiz dеyilаdi
vа
limit quyidagicha yozilаdi.
f(x)=f(x
0 )
Tа’rifdаn
ko`rinаdiki, y=f(x) funksiya birоr x=x
0 dа uzluksiz
bo`lishi
uchun quyidаgi shаrtlаr bаjаrilishi kеrаk:
1. y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtаdа
аniqlаngаn
2. y=f(x) funksiyaning x=x
0 nuqtаdаgi
limit qiymаti mаvjud
f(x)

3. y=f(x) funksiyaning x=x
0 dаgi limit qiymаti uning shu nuqtаdаgi
хususiy
qiymаtigа tеng , ya’ni f(x)=f(x
0 )
Yuqоridа
аytib o`tilgаn uchtа shаrt
bаjаrilgаndа y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtаdа
uzluksiz funksiya dеyilаdi,
аks
hоldа esа y=f(x) funksiya x=x
0 nuqtаdа uzulishgа egа dеyilаdi.
Misоl . y=2x+1
funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi
ko`rsаtilsin
Yechish . (2x+1)=5;
f(2)=5
Uzluksizlik
tushunchаsigа  vа  tilidа quyidаgi tа’rif
bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi
ta’rifi).   > 0 son uchun shunday  =  (  )>0 son
topilsaki,
funksiya argumenti x ning | x - x
0 |<  tengsizlikni
qanoatlantiruvchi
barcha qiymatlarida | f ( x )- f ( x
0 )|<  tengsizlik
bajarilsa, f (x)
funksiya x
0 nuqtada uzluksiz deyiladi, f(x)=f(x
0 ).
1-misol . Ushbu f ( x )= funksiyaning x
0 =5
nuqtada uzluksiz
ekanini
ko ` rsating.
Yechish. 
 > 0 son olib, bu  songa ko`ra  >0 soni  =
4
 bo`lsin deb qaralsa, u holda | x -5|<  bo`lganda
bu
esa qurilayotgan funksiyaning x
0 =5 nuqtada uzluksiz ekanini
bildiradi.
2-ta’rif (Geyne
ta’rifi). Agar X to`plamning elementlaridan tuzilgan
va x
0 ga
intiluvchi har qanday { x
n } ketma-ketlik olinganda ham funksiya

qiymatlaridan tuzilgan mos { f ( x
n )} ketma-ketlik hamma vaqt
yagona f ( x
0 )
ga intilsa, f ( x ) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Agar munosabat
o`rinli bo`lsa,
ushbu munosabat
ham o`rinli bo`ladi.
Odatda x - x
0 ayirma
argument orttirmasi, f ( x )- f ( x
0 ) esa
funksiyaning x
0 nuqtadagi
orttirmasi deyiladi. Ular mos
ravishda
 x va  y (  f ( x
0 )) kabi belgilanadi, ya’ni:  x = x -
x
0 ,
 y =  f ( x
0 )= f ( x )- f ( x
0 ).
Demak, x = x
0 +
 x ,  y = f ( x
0 +  x )- f ( x ) natijada,
munosabat ko`rinishga
ega bo’ladi.
Shunday
qilib, f ( x ) funksiyaning x
0 nuqtada uzluksizligi bu nuqtada
argumentning
cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz
kichik
orttirmasi mos kelishi sifatida ham ta’riflanishi mumkin.
T а ’rif . y=f(x) funksiyasining а rgum е nt о rttirm а si
 x  0 d а ung а m
о s
k е luvchi funksiya о rttirm а si  y  0 bo`lsa, u
h о ld а y=f(x) funksiya x=x
0 da
uzluksiz d е yil а di v а  y=0 kabi
yozil а di. x=x
0 +
 x,  x=x-x
0 ,  y=f(x
0 +  x)-f(x
0 ),  y=f(x)-f(x
0 )

y= (f(x
0 +  x)-f(x
0 ))= (f(x
0 +x- х
0 )-f(x
0 ))= (f(x)-
f(x
0 ))=0 Mis о llar
1) y=2x+1 funksiyaning
uzluksizligi ko`rs а tilsin.
y+
 y=2(x+  x)+1, ayirmani topamiz  y=2x+2  x+1-2x-1,  y=2  x

y= 2  x =0
2) y=x 3
y+
 y=(x+  x) 3

y=x 3
+3x 2 
x+3x(  x) 2
+  x 3 
y=x 3
+3x 2 
x+3x  x 2
+  x 3
-x 3

y=  x(3x 2
+3x  x+  x 2
)

y= (3x 2
+3x  x+  x 2
)  x=0.
3) f ( x )=cos x funksiyaning  x
0  R nuqtada
uzluksiz bo`lishini
ko`rsating.
Yechish .  x
0  R nuqtani
olib unga  x orttirma beraylik.
Natijada f ( x )=cos x ham
ushbu  y =cos( x
0 +  x )-cos x
0 orttirmaga ega
bo`lib,va
- <  x <  bo`lganda
|
 y | = |cos( x
0 +  x ) - cos x
0 |=
munosabatga
ega bo`lamiz. Bundan esa  x  0 da  y  0 bo`lishi kelib
chiqadi.
Aytaylik, y = f ( x )
funksiya x  R to`plamda aniqlangan
bo`lib, x
0 ( x
0  X )
to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin.
Bunda x  x
0 da f ( x )
funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina
bajariladi:
1) chekli f ( x
0 -0), f ( x
0 +0)
chap va o`ng limitlar mavjud va
f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0)= f ( x
0 )
tenglik o`rinli. Bu holda f ( x ) funksiya x = x
0 da
uzluksiz
bo`ladi;
2) f ( x
0 -0), f ( x
0 +0)
lar mavjud, lekin f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0)= f ( x
0 ) tengliklar
bajarilmaydi,
u holda f ( x )  x = x
0 nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f ( x
0 -0), f ( x
0 +0)
larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu
holda
x
0 nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f ( x
0 -0)= f ( x
0 +0)  f ( x
0 )
bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish
mumkin
bo`lgan uzilish deyiladi.

Misol . Ushbu f ( x )=[ x ] funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur
uzulishga
ega ekanligini ko`rsating.
Yechish . Demak, [ x ]=1, =2
Bundan
esa berilgan funksiyaning x
0 =2 nuqtada birinchi tur
uzulishga
ega ekanligi kelib chiqadi.
To‘plamning limit nuqtasi.
Aytaylik,
biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning
ixtiyoriy
,
atrofida to‘plamning nuqtadan
farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni
bo‘lsa, nuqta to‘plamning
limit nuqtasi deyiladi.
Misollar. 1. to‘plamning
har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.
2. to‘plamning
har bir nuqtasi va nuqtalar shu to‘plamning limit
nuqtalari
bo‘ladi.
3. to‘plamning
limit nuqtasi bo‘ladi.
4. to‘plam
limit nuqtaga ega emas.
2-ta’rif. ([2],
p. 82. Item 3.3.3) Agar nuqtaning ixtiyoriy

o‘ng
atrofida (chap atrofida) to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, nuqta to‘plamning o‘ng
(chap)
limit nuqtasi deyiladi.
3-ta’rif. Agar
ixtiyoriy uchun
to‘plamda to‘plamning
kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi.
Agar
ixtiyoriy uchun

to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, to‘plamning limit «nuqta»si
deyiladi.
Keltirilgan
ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli
bo‘lishi
ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.
1-teorema. Agar nuqta to‘plamning
limit nuqtasi bo‘lsa, u holda
nuqtaning
har qanday

atrofida to‘plamning
cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi.
Aytaylik, nuqta to‘plamning
limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema tasdig‘ining teskarisini faraz
qilaylik: nuqtaning
biror atrofida to‘plamning chekli sondagi
nuqtalarigina
bo‘lsin. U holda
deb
olinsa, nuqtaning atrofida to‘plamning dan farqli bitta ham nuqtasi bo‘lmaydi.
Bu
esa nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir.
2-teorema. ([1],
p. 216, Th. 9.1.24) Agar nuqta to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u
holda
shunday sonlar ketma-ketligi topiladiki,
1) da , ;
2) da ;
bo‘ladi.
2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz
qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plam-ning
limit
nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy :

ketma-ketlikni
olib, funksiya qiymatlaridan iborat :
ketma-ketlikni
hosil qilamiz.

3-ta’rif. (Geyne). Agar da bo‘ladigan ixtiyoriy
ketma-ketlik
uchun da bo‘lsa, ga funksiyaning nuqtadagi
limiti deyiladi
va da yoki
kabi
belgilanadi.
Eslatma. Agar da
va
bo‘ladigan
turli , ketma-ketliklar uchun da ,
bo‘lib, bo‘lsa funksiya da
limitga ega emas deyiladi.
1-misol . Ushbu
funksiyaning nuqtadagi
limiti topilsin.
Quyidagi :

ketma-ketlikni
olaylik. Unda
bo‘lib, da bo‘ladi.
Demak,

4-ta’rif. (Koshi).
([1], p. 221, Def. 9.3.6) Agar son olinganda ham
shunday topilsaki, uchun
tengsizlik
bajarilsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu
ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:

, , :
bo‘lsa, .
5-ta’rif. ([2], p. 81, Def. 3.21) Agar son olinganda ham shunday son
topilsaki, uchun tengsizlik
bajarilsa,
funksiyaning nuqtadagi
limiti deb ataladi va
kabi
belgilanadi.
Masalan,
,
funksiya
uchun
bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda
berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning
limit
nuqtasi bo‘lsin.
6-ta’rif. Agar son
olinganda ham shunday topilsaki, uchun
tengsizlik
bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va
kabi
belgilanadi.
7-misol. Aytaylik, , , bo‘lsin. U
holda
bo‘ladi.
Haqiqatan
ham, sonnni olaylik. Ravshanki, uchun

.
Demak, deyilsa, unda uchun
bo‘ladi.
7-ta’rif. Agar
bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi
chap limiti deyiladi va
kabi
belgilanadi.
Faraz
qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning
o‘ng
limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.
8-ta’rif. Agar
bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi
o‘ng limiti deyiladi va
kabi
belgilanadi.
Masalan,
funksiyaning
0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.

3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga
ega.
Faraz
qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta ning
limit
nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa . Agar da funksiya
limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Bu
xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining
yagonaligidan
kelib chiqadi.
2-xossa . Agar
,
( – chekli son)
bo‘lsa,
u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya
chegaralangan
bo‘ladi.
Aytaylik,
bo‘lsin.
Funksiya limiti ta’rifga binoan
da
ya’ni bo‘ladi.
Keyingi tengsizliklardan funksiyaning
nuqtaning atrofida
chegaralanganligi kelib chiqadi.
3-xossa . Agar
bo‘lib, bo‘lsa,
u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda
bo‘ladi.
Shartga
ko‘ra
.
Funksiyaning
limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki,
, , uchun

bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi.
Faraz
qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib,
nuqta to‘plamning
limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa . Agar
,
bo‘lib, da tengsizlik
bajarilsa, u holda , ya’ni
bo‘ladi.
Aytaylik,
,
bo‘lsin.
Funksiya
limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik
uchun

da , ( 27.4 )
bo‘ladi.
Ravshanki, da
(2 7.5 )
Yaqinlashuvchi
ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2)
munosabatlardan ,
ya’ni bo‘lishini topamiz. ►
5-xossa . Faraz
qilaylik,
,
limitlar
mavjud bo‘lsin. U holda
a) da ;

b)
v)
g) Agar bo‘lsa, ;
bo‘ladi.
Bu
tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi
ma’lumotlardan
kelib chiqadi.
2-misol. Ushbu
limit
hisoblansin.
Ma’lumki, .
Shuni hisobga olib topamiz:
.
►

Funksiya limiti tushunchasi. Funksiya limitining xossalari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish