Funksiyalar grafigini tekshirish - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	19900UZS
Размер	3.7MB
Покупки	0
Дата загрузки	08 Декабрь 2024
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

282 Продаж

Funksiyalar grafigini tekshirish

Купить

KURS ISHI
Mundarija:
I. Reja……………………………………………………………………
II. Kirish…………………………………………………………………
III. Asosiy qism……...…………………………………………………
1-§. Lokal ekstremum nuqtalarni topish …………………………
2-§. Funksiya grafigining qavariqligi ………………………………………….
3-§. Bukilish nuqtalari ………………………………………………………………….
4-§. Funksiya grafigining asimptotalari ..........................................
5-§. Funksiya grafigini xomaki chizish ...........................................
IV.Xulosa...…………………………………………………………………...
V. Foydalanilgan adabiyotlar…………..……………………………………..

Mavzu: Funksiyalar grafigini tekshirish
Reja:
I. Kirish.
II. Asosiy qism.
II.1. Lokal ekstremum nuqtalarni topish.
II.2. Funksiya grafigining qavariqligi
II.3. Bukilish nuqtalari
II.4. Funksiya grafigining asimptotalari
II.5. Funksiya grafigini xomaki chizish
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar

KIRISH
So nggi yillarda mamlakatimizda oliy ta’lim sifatini oshirishga qaratilgan birʻ
qancha chora-tadbirlar amalga oshirilmoqda. O`zbekiston Resbublikasi
Prezidentining 2019-yil 9-iyulda “ Matematika ta’limi va fanlarni yanada
rivojlantirishni davlat tomonidan qo`llab-quvvatlash, shuningdek, O`zbekiston
Respublikasi fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi instituti
faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari to`g`risida “ gi qarorni
imzoladi.
O‘zbekiston Respublikasi prezidenti Sh.M.Mirziyoevning: “Biz ta’lim va
tarbiya tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari
asosida takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb
bilamiz” deb aytgan gaplarining negizida u zluksiz ta’limning yagona tizimini
vujudga keltirish, ta’lim berish samaradorligini va yoshlarni mustaqil hayotga
tayyorlashni tubdan yaxshilashga yanada chuqurroq ahamiyat berish g‘oyalari
yotadi.
O`zbekiston Respublikasi Prezidenti “ Matematika sohasidagi ta’lim sifatini
oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to`g`risida”gi qarori
imzolandi. Mamlakatimizda matematia 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning
ustuvor yo`nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O`tgan davr ichida matematika
ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli
ishlar amalga oshirildi:
birinchidan, ilg`or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh
matematika olimlarning taklif qilinishi va xalqaro imiy-tadqiqotlar olib borilishi
uchun zarur shart-sharoit yaratildi;
ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g`olib bo`lgan yoshlarimiz va
ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag`batlantirish tizimi joriy etildi;

uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarni ta’minlash maqsadida
talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi
Matematika institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi.
to`rtinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muommolarni tezkor bartaraf etish,
fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat
darajasida belgilash maqsadida O`zbekiston Respublikasining Bosh vaziri
raisligida Fan va texnologiyalar bo`yicha respublika kengashi barpo etildi.
Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o`qitish tizimini yanada
takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo`llab quvvatlash, ilmiy-
tadqiqot ishlarining ko`lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro
hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash.
Mavzuning dolzarbligi. O zbekiston Respublikasi mustaqil huquqiy ʻ
demokratik davlat, erkin fuqarolik jamiyat qurish yo lida ulkan ishlar olib borilib,
ʻ
inson mohiyatining yangidan ochishga, uni o zligini anglashga, imkoniyatlarni
ʻ
ro yobga chiqarishga va ma’naviy intellektual, aqliy – amaliy rivojlanishga yangi
ʻ
shart-sharoitlar yaratib berishdi . Ta’limning fan va ishlab chiqarish bilan
integrasiyasi mexanizmlarini rivojlantirish, uni amaliyotga joriy etish, o qishni,
ʻ
mustaqil bilim olishni individuallashtirish hamda masofaviy ta’lim tizimi
texnologiyasini, uning vositalarini ishlab chiqish, o zlashtirish, yangi pedagogik va
ʻ
axborot texnologiyalari asosida o quvchi va talabalarni o qitishni jadallashtirish
ʻ ʻ
ana shunday dolzarb vazifalar sirasiga kiradi. Ushbu vazifalarni bajarish mavjud
pedagogik jarayonlarni takomillashtirishni, uni hozirgi zamon o quvchi va
ʻ
talablariga mos rivojlantirishni, xususan oliy pedagogik ta’lim paradigmasini
zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalarini o zlashtirishga, pedagogika
ʻ
oliy ta’lim muassasalarida kasbiy tayyorgarligi yuqori bo lgan pedagog kadrlarni
ʻ
tayyorlashga yo naltirishni taqozo etadi. Ta’limni isloh qilish, yangi mazmundagi
ʻ
va zamon talabiga javob beradigan o quv adabiyotlar, qo llanmalarni yaratish va
ʻ ʻ
ilg or pedagogik texnologiyalarni joriy etishni taqozo etadi. Ta’lim tizimidagi
ʻ
kamchiliklar, shu jumladan, matematika fanida ham o qitish uslubiyotini chetlab
ʻ

o tmaydi. Har bitta fanga alohida e’tibor berish, har bir mavzuni o`qitishda ʻ
ma’suliyatli bo`lish o`qituvchining eng oliy maqsadi hisoblanadi. Bizga ma’lumki
matematika fani juda qiziqarli va shu bilan birga murakkab fan bo`lib ham
hisoblanadi. Ma’lumki bu mavzuda asosan funksiya grafiklarini tekshirish, lokal
ekstremum nuqtalarini toppish, funksiyalar qavariqligi, bukilish nuqtalari va
shunga masalalar qaraladi. Ushbu fikrlar tanlangan mavzuning qanchalik dolzarb
ekanligini ko’rsatadi.
Kurs ishining obyekti. Oliy ta’limda matematikani o qitish jarayoni.
ʻ
Kurs ishining predmeti. Oliy ta’limda funksiyalarni, ularning grafiklarini,
hosilalarini, qavariqligini va shu kabi tushunchalarni o’rgatish usullari va
vositalari.
Kurs ishining maqsadi. Oliy ta’limda funksiyalar va ularning aniqlanish sohalari,
qiymatlar sohalari, hosila va differensiallari, grafiklarni qurish mavzusi yuzasidan
masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish.
Kurs ishining vazifalari.
 Oliy ta’lim muassasalari uchun DTS, taqvim rejasi, mavzuga oid mavjud
adabiyotlar, internet ma’lumotlarini to plash va tahlil qilish;
ʻ
 “Funksiyalar grafigini tekshirish ” mavzusida masalalar ishlashning
muammolarini, fanda tutgan o rni va ahamiyatini o rganib chiqish;
ʻ ʻ
 Oliy ta’lim muassasalarida “ Funksiyalar grafiklarini tekshirish” mavzusining
asosiy tushunchalarini tahlil qilish, innovatsion texnologiyalardan foydalangan
holda mavzuni o qitish metodikasini ishlab
ʻ chiqish.
 Oliy ta’lim muassasalarida “ Funksiyalar grafiklarini tekshirish”ga doir masalalar
yechish metodikasini ishlab chiqish.
 Bitiruv malakaviy ishi yuzasidan tajriba o tkazish, uning natijalarini tahlil qilish
ʻ
va tegishli xulosalar chiqarish.
Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi kirish, 1 ta bob, 5 ta paragraf, xulosa,
foydalanilgan adabiyotlar ro yhatidan
ʻ iborat.

1. Lokal ekstremum nuqtalarini topish. Ferma teoremasi:
Agar f funksiya c nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, shu nuqtada
lokal ekstremumga ega bo’lsa, f ׳ ( c ) = 0
bo’ladi.
Berilgan
f funksiyaning hosilasi nolga teng bo’lgan nuqta shu funksiyaning
kritik yoki statsioner nuqtasi deyiladi. Oxirgi nom hosilaning mexanik
ma’nosiga asoslangan. Agar
x – vaqt va f ( x )
–biror harakatlanayotgan moddiy
nuqtaning x
vaqt momentidagi koordinatasi bo’lsa, funksiya hosilasini moddiy
nuqtaning tezligi deb qarash mumkin. Agar biror
a nuqtada tezlik nolga
aylansa, ya’ni qaralayotgan moddiy nuqta bu momentda harakatdan to’xtasa,
bunday nuqta
f funksiyaning statsioner nuqtasi deyiladi.
Sodda
f(x)= x3 funksiya misolida yuqoridagi shart yetarli emasligini
ko’rish mumkin. Chunonchi,
x=0 nuqtada f ׳ ( 0 ) = 0
shart bajarilsada, 0 nuqta
berilgan funksiya uchun lokal ekstremum nuqta bo’la olmaydi.
Ushbu bandda biz lokal ekstremum uchun yetarlilik shartlarini toppish
masalasini o’rganamiz. Afsuski, lokal ekstremum uchun bir vaqtning o’zida
ham yetarli, ham zarur bo’lib, oson tekshiriladigan shart hozirga qadar
ma’lum emas. Shu sababli biz lokal ekstremumm uchun turli vaziyatlarda
tekshirishga qulay bo’lgan bir necha yetarlilik shartlarini keltiramiz.
1-teorema (ekstremumning birinchi yetarlilik sharti). Faraz qilaylik,
f
funksiya
c nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo’lib, f ׳ ( c ) = 0
bo’lsin. Bindan tashqari, c
nuqtaning o’sha atrofida quyidagi shart
bajarilsin:

x<cbo'lsa , f ׳ (x)<0 bo'lsin va
x > c b o '
lsa , f ׳
( x ) > 0 b o '
lsin .
(1)
U holda c
nuqta f funksiayning lokal minimum nuqtasi bo’ladi.

Isbot. Agar x<c bo’lsa, [ x,c ] kesmada Lagranj formulasini qo’llab,
(1) shartdan foydalansak,

1-rasm
f ( c ) − f ( x ) = f ׳ ( ξ ) ( c − x ) < 0 ,
x<ξ<c
munosabatni olamiz.
Demak,
x<c bo’lganda
f ( x ) > f ( c )
(2)
bo’lar ekan. Xuddi shu singari,
x>c bo’lsa, [ c,x ] kesmada Lagranj
formulasini qo’llab, teorema shartiga kor’a,
f ( x ) − f ( c ) = f ׳ ( ξ ) ( x − c ) > 0 , c < ξ < x
munosabatni olamiz.
Demak,
x>c bo’lganda
f ( x ) > f ( c )
(3)
bo’lar ekan. Shunday qilib, (2) va (3) larga ko’ra,
x≠c bo’lganda
f ( x ) > f ( c )
bo’lar ekan. Bu esa c
nuqtaning lokal minimum nuqtasi ekanini
anglatadi(1-rasm).
Natija. Faraz qialylik, f funksiya c statsioner nuqtaning biror atrofida
differensiallanuvchi bo’lib, quiydagi shartni qanoatlantirsin:

x < c b o '
lsa , f ׳ (x)>0
b o '
lsin va

x>cbo'lsa , f ׳ (x)<0 bo'lsin . (4)

u holda c nuqta f funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo’ladi.
2-rasm
Isbot qilish uchun 1- teoremani
f1=− f(x) funksiyaga qo’llash yetarli
(2-rasm).
Qayd etamizki, 1-teorema
f funksiya c nuqtadan chapda va o’ngda
yotgan nuqtalarda differensiallanuvchi bo’lib, c
nuqtaning o’zida esa faqat
uzliksiz bo’lgan holda ham o’rinlidir. Chunonchi, bu teoremani quyidagi
umumiyroq ko’rinishda hamm keltirish mumkin.

1*-teorema ( ekstremum uchun birinchi yetarlilik shartining boshqa
ko’rinishi ). Biror
δ>0 uchun f funksiya { x:0<|x−c|<δ } to’plamning barcha
nuqtalarida differensiallanuvchi bo’lib, c nuqtaning o’zida uzluksiz bo’lsin.
Agar
c nuqtaning δ -atrofida (1) shart bajarilsa, c nuqta f funksiyaning lokal
minimum nuqtasi bo’ladi.

Isbot. 1-teorema isbotini so’zma-so’z qaytarishdan iboratdir.
Xuddi shu singari,
f funksiya c nuqtada differensiallanuvchi bo’lmay,
bu nuqtada faqat uzluksiz bo’lgan holda ham, agar (4) shart bajarilsa, c
nuqta
f funksiyanig lokal maksimum nuqtasi bo’lishini ko’rsatish mumkin.

1-misol. Quyidagi

f ( x ) = ¿ x − c ∨ ¿
funksiayni qaraymiz (3-rasm).
3-rasm
Bu singari butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lib, x=c nuqtadan boshqa
barcha nuqtalarda differensiallanuvchidir. Bu nuqtadan tashqarida hosila
quyidagicha aniqlanadi:

f׳(x)= sign (x−c) = { − 1 , agar x < c b o '
lsa ,
1 , agar x > c b o '
lsa .
Demak, (1) shart o’rinli bo’lar ekan va shuning uchun, 1*-teoremaga ko’ra,
qaralayotgan funksiya
x=c nuqtada lokal minimumga egadir.
Shuni aytish joizki, (1) va (4) shartlarga ko’ra
f funksiya hosilasining
c
nuqta atrofida chegaralangan bo’lishi shart emas.
2-misol. Quyidagi
f ( x ) = 1 −
√| x |
funksiayni qaraymiz.

4-rasm
Bu funksiya butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lib, x = 0 nuqtadan boshqa
barcha nuqtalarda differensiallanuvchidir. Bu nuqtadan tashqarida hosila
quyidagicha aniqlanadi:
f ׳ (x)= − sign x
2√| x| = { 1
2
√ − x , agar x < 0 b o '
lsa ,
− 1
2
√ x , agar x > 0 b o '
lsa .
Demak, (4) shart o’rinli bo’lar ekan va shuning uchun, qaralayotgan
funksiya x = 0 nuqtada lokal maksimumga egadir (4-rasm).
Navbatdagi yetarlilik shartini tekshirish oson bo’lsa-da, u
o’rganilayotgan funksiyaga ko’proq shart qo’yadi. Chunonchi, statsioner
nuqtada bu funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo’lishi talab
qilinadi.
2-teorema ( ekstremumning ikkinchi yetarlilik sharti). Faraz qilaylik,
c
nuqtaning biror atrofida f
funksiya hosilaga ega bo’lib, bu nuqta
f ning
statsioner nuqtasi bo’lsin. Bundan tashqari,
f funksiya c nuqtada ikkinchi
tartibli hosilaga ega bo’lsin.
Agar f ׳ ׳ ( c ) > 0
bo’lsa,
c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi
bo’ladi va f ׳ ׳ ( c ) < 0
bo’lganda esa, c
nuqta funksiyaning lokal maksimum
nuqtasi bo’ladi.

Isbot. Avval f ׳ ׳ ( c ) > 0
deb faraz qilamiz. U holda Ferma teoremasiga
asosan, bu tengsizlik fʹ(x) birinchi hosilaning c
nuqtada o’sishini anglatadi.
Bundan chiqdi, f ʹ ( c ) = 0
bo’lgani sababli, (1) shart o’rinlidir. Demak,
c nuqta
f
funksiyaning lokal minimum nuqtasi ekan.
Teorema f ʹʹ ( c ) < 0
bo’lgan holda ham xuddi shunga o’xshab isbotlanadi.
Eslatma. Agarda f ʹʹ ( c ) = 0
bo’lsa, 2-teorema c
statsioner nuqtaning lokal
ekstremum bo’lishi haqida biror tayinli javob bera olmaydi. Bu holda yanada
yuqoriroq tartibli hosilalarni o’rganishga to’g’ri keladi.
3-teorema. Faraz qilaylik, k ∈ N uchun
f funksiya c nuqtaning biror
atrofida 2k-1- tartibli hosilaga ega bo’lib, c nuqtaning o’zida esa, 2k- tartibli
hosilaga ega bo’lsin.
Bundan tashqari,
f ʹ ( c )
= f ʹʹ ( c )
= … =
f(2k−1) (c)=0 (5)
tengliklar bajarilsin. U holda, agar
f(2k)>0 bo’lsa, c nuqta funksiyaning lokal
maksimum nuqtasi bo’ladi.
Isbot. Teylor formulasini qo’llasak,
c va x nuqtalari orasida shunday ξ
nuqta topiladiki, u uchun
f ( x ) = f ( c ) + f ʹ
(
c)( x − c ) + f ʹʹ ( c )
2 ! ( x − c ) 2
+ f
( 3)
( c )
3 ! ( x − c ) 3
+ … … .. + ¿
f
( 2 k − 2 )
(
2 k − 2 ) ! ( x − c ) 2 k − 2
+ f
( 2 k − 1 )(
ξ )
(
2 k − 1 ) ! ( x − c ) 2 k − 1 (
6 )
tenglik o’rinli bo’ladi.
Endi, (5) shartni e’tiborga olsak, (6) dan
f ( x ) – f ( c )
= f
( 2 k − 1 )(
ξ )
(
2 k − 1 ) ! ( x − c ) 2 k − 1
, 0 ¿ ξ − c
x − c < 1
, (7)
mnuosabat kelib chiqadi.
Aniqlik uchun,
2k -tartibli hosila f ( 2 k )
( c ) > 0
shartni qanoatlantiradi, deb
faraz qilamiz. Ferma teoremasiga asosan, bu tengsizlik oldingi
f(2k−1) ( x
)
hosilaning
c nuqtada o’sishini anglatadi, ya’ni c nuqtadan chapda u c
nuqtadagi qiymatidan kichik qiymat qabul qiladi va c
nuqtadan o’sngda esa,

bu hosila c nuqtadagi qiymatidan kata qiymat qabul qiladi. Teoremaning
shartiga ko’ra
f(2k−1)(c) = 0 va, bundan tashqari, (7) da ξ nuqta c
va x
nuqtalar orasida yotadi. Shularni hisobga olsak, quyidagi shartga ega
bo’lamiz:
x < c da f
( 2 k − 1 )(
ξ ) < 0 b o '
ladi va

x>cda f(2k−1)(ξ)>0bo'ladi . (8)
Demak,
(x−c)2k−1 funksiyaning toqligi tufayli,

f(2k−1)(ξ)(x−c)2k−1>0,x≠c
Shunday ekan, (7) dan
f ( x ) > f ( c )
, x ≠ c
kelib chiqadi.
Ravshanki, bu tengsizlik c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi
ekanini anglatadi.
Teorema
f(2k)(c)<0 bo’lgan holda ham xuddi yuqoridagidek isbotlanadi.
2. Funksiya grafigining qavariqligi. Biror (a, b) intervalda
differensiallanuvchi bo’lgan f funksiyani qaraymiz. (a, b) intervaldan olingan
istalgan c uchun bu funksiya garfigining mos nuqtasini (c, f(c)) ko’rinishda
yozish mumkin.
Qaralayotgan funksiya differensiallanuvchi bo’lgani uchun, uning grafigi
har bir nuqtada urinmaga egadir. Chunonchi, agar c nuqta (a, b) intervalning
ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, grafikning (c, f(c)) nuqtasidan o’tkazilgan urinma
quyidagi tenglamaga ega:
k(x) = f(c) + f '(c)(x-c). (9)
Boshqacha aytganda, f funksiya grafigining (c, f(c)) nuqtasidan
o’tkazilgan urinma (9) funksiyaning grafigi bilan ustma-ust tushadi.
Agar (a, b) intervalning ixtiyoriy x nuqtasi uchun
f(x)
≤ f(c) + f '(c)(x-c), a ¿x<b , (10)
tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya grafigi o’zining (c, f(c)) nuqtasidan
o’tkazilgan urinmadan pastda yotadi deyiladi.

Agar (10) da ≤ belgini ≥ belgiga almashtirsak, biz funksiya funksiya
grafigi urinmadan tepada yotishining shartini olamiz.
Ta’rif. Agar biror intervalda differensiallanuvchi funksiyaning har
qanday urinmadan pastda yotsa, bu grafikning qavariqlik yo’nalishi
yuqoriga qaragan deb ataladi.
Shunga o’xshash, agar funksiya grafigi har qanday urinmadan yuqoridaa
yotsa, bu grafikning qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan deyiladi.
Qavariqlik yo’nalishi ikkinchi tartibli hosila ishorasi yordamida
aniqlanishi mumkin.
4-teorema. Berilgan f funksiya (a, b) intervalda ikkinchi tartibli
hosilaga ega bo’lsin. U holda,
1) agar f ''(x) ≥ 0
bo’lsa, f funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi
pastga qaragan bo’ladi;
2) agar f ''(x) ≤ 0
bo’lsa, f funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi
yuqoriga qaragan bo’ladi.
5-rasm

6-rasm
Isbot. Faraz qilaylik, c nuqta (a, b) intervalning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.
Teylor formulasiga ko’ra,
f(x) = f(c) + f '(c)(x-c) + f''(ξ)
2! (x−c)2 . (11)
Agar ikkinchi tartibli hosila manfiy bo’lmasa, (11) dan
f(x)
≥ f(c) + f '(c)(x-c)
tengsizlikni olamiz.
Bu tengsizlik f funksiya urinmadan yuqorida yotishini anglatadi.
Demak, uning qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan ekan.
Agarda f ''(x)
≤0 bo’lsa, isbot xuddi yuqrodagidek bo’ladi(5 va 6-
rasmlarga qarang).
3. Bukilish nuqtalari. Funksiya grafigining qavariqligi funksiya
aniqlanish sohasining turli intervallarida turli yo’nalishlarga ega bo’lishi
mumkin. Berilgan funksiyaning grafigini chizishda qavariqlik yo’nalishlari
o’zgaradigan nuqtalar muhim ahamiyatga egadir.
Ta’rif. Agar shunday δ
¿0 mavjud bo’lsaki, ikki (c-δ, c) va (c, c+δ)
intervallardan birida f funksiyaning grafigi qavariqlik yo’nalishi pastga va
boshqasida yuqoriga qaragan bo’lsa, grafikning ( c , f ( c ) )
nuqtasi bukilish
nuqta deb ataladi.
5 - teorema. ( bukilish nuqta uchun zaruriylik sharti). Berilgan f
funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo’lib,
ikkinchi tartibli f ''(x) hosila c nuqtada uzluksiz bo’lsin. Agar ( c , f ( c ) )
nuqta
bukilish nuqtasi bo’lsa, f ' ' ( c ) = 0
bo’ladi.

Isbot. Teskarisini faraz qilish usuli bilan isbotlaymiz. Avval f ' ' ( c ) > 0
bo’lsin deylik. Shartga ko’ra ikkinchi hosila c nuqtada uzluksiz. Shuning
uchun, quyidagi
Berilgan f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lib, shu a
nuqtada uzluksiz bo’lsin. Agar f(a)¿0 bo’lsa, a nuqtaning shunday δ-atrofi
va c ¿ 0
o’zgarmas topiladiki, barcha x ∈ ¿
) larda
f ( x ) > c > 0
tengsizlik bajariladi.
tasdiqqa asosan, c nuqtaning biror δ-atrofida u ishorasini saqlaydi:
f ''(x)
¿0 , c-δ ¿x<c+δ . (12)
Shunday ekan, 4- teoremadan f funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi
c nuqtadan chapda ham, o’ngda ham pastga qaraganligi kelib chiqadi. Bu esa
(c, f(c)) ning bukilish nuqtaligiga ziddir.
Demak, f ''(c) = 0 ekan.
5- teorema bukilish nuqta uchun zaruriy shartni beradi. Lekin bu shart
yetarlilik bo’la olmaydi. Misol sifatida f(x) =
x4 funksiyani olish mukin. Bu
funksiya uchun f ''(x) = 12
x2 ≥0 . Demak, f ''(0) = 0, lekin funksiya grafigining
qavariqlik yo’nalishi pastga qaragan.
6- teorema. (bukilish nuqta uchun birinchi yetarlilik sharti). Berilgan
f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo’lib,
f ''(c) = 0 bo’lsin. Agar ikkinchi tartibli hosila c nuqtadan chapda va o’ngda
turli ishoralarga ega bo’lsa, (c, f(c)) nuqta funksiya grafigining bukilish
nuqtasi bo’ladi.
Isbot. Bevosita 4- teoremadan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bu
teoremaga ko’ra, f funksiya grafigining qavariqligi c nuqtaning chap o’ng
tomonlarida turli yo’nalishlarga ega. Shuning uchun, (c, f(c))- bukilish
nuqtadir.

Eslatma. Ravshanki 6-teoremada ikkinchi taribli hosilani c nuqtaning
o’zida mavjudligini talab qilish shart bo’lmasdan, bu hosilaning c nuqtadan
chap va o’ng tomonda turgan nuqtalarda mavjud bo’lib, o’sha c nuqtadan
chap va o’ng turli ishoralarga ega bo’lishini talab qilish yetarlidir.
3-misol. Quyidagi
f(x) = x√| x|
funksiyani qaraymiz.
7-rasm
Bu funksiya butun sonlar o’qida uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,
uning hosilasi
f '(x) = 3
2
√| x|
ga teng.
Ravshanki, f funksiya x=0 nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda ikkinchi
tartibli hosilaga ega. Bu hosila nol nuqtadan tashqarida
f ''(x) = 3
4 sign x
√|
x |
ga teng.
Ikkinchi tartibli hosila x = 0 nuqtadan chapda va o’ngda har xil
ishoralarga ega bo’lgani uchun, funksiya grafigining qavariqligi chap va
o’ngda turli yo’nalishlarga ega va shuning uchun, (0, 0) nuqta bukilish
nuqtadir (7-rasm).

Navbatdagi yetarlilik shartini tekshirish oson bo’lsa-da, lekin u
o’rganilayotgan funksiyaga ko’proq shart qo’yadi. Chunonchi, bu shartda
funksiya uchunchi tartibli hosilasining bukilishlikka tekshirilayotgan nuqtada
mavjudligi talab qilinadi.
7- teorema. (bukilish nuqta uchun ikkinchi yetarlilik sharti). Berilgan
f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo’lib,
f ''(c) = 0 bo’lsin. Agar c nuqtada uchinchi tartibli hosila mavjud bo’lib, ≠0
bo’lsa f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega bo’ladi.
Isbot. Aniqlik uchun f
( 3)
( c ) > 0
deylik. U holda, ikkinchi tartibli f ''(x)
hosila c nuqtada o’sadi, va f ''(c) = 0 bo’lgani uchun, ikkinchi tartibli hosila
c nuqtadan chapda manfiy va undan o’ngda musbat bo’ladi. Shuning uchun,
6-teoremaga asosan, f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega.
f '''(c) = 0 bo’lsa, 7- teoremaga f funksiya grafigi (c, f(c)) nuqtada
bukilishga ega bo’lishi haqida hech qanday ma’lumot bera olmaydi. Bu
holda biror ijobiy natija olish uchun funksiyaning yuqoriroq tartibli
hosilalarini tekshirish lozim.
8- teorema . Faraz qolaylik, k
∈N uchun f funksiya c nuqtaning biror
atrofida 2k- tartibli hosilalarga ega bo’lib, c nuqtada bo’lsin. Agar c
nuqtada
f ''(c) = f '''(c) =….=
f(2k)(c)=0 (13)
bo’lsin. Agar c nuqtada
f(2k)(c)≠0 bo’lsa, (c, f(c)) nuqta f funksiya grafigining
bukilish nuqtasi bo’ladi.
Isbot. Ikkinchi tartibli hosila f ''(x) uchun Teylor formulasidan
foydalanamiz. Bu formulaga asosan, c va x nuqtalar orasida shunday ξ
topiladiki, u uchun
f ' ' ( x ) = f ' ' ( c ) + f
( 3)(
c) ( x − c ) + f
( 4)(
c)
2 !( x − c ) 2
+ f
( 5)(
c)
3 !( x − c ) 3
+ … + + f ( 2 k − 1 )
( c )
( 2 k − 1 ) ! ( x − c ) 2 k − 1
+ f ( 2 k )
( ξ )
( 2 k − 2 ) ! ( x − c ) 2 k − 2
(14)
Tenglik o’rinli bo’ladi.
Agar (13) tengliklarni e’tiborga olsak, (14) dan

f ' ' ( x )
= f(2k)(ξ)
(2k−2)!(x−c)2k−2 , 0 ¿ ξ − c
x − c < ¿
1, (15)
munosabatni olamiz.
Aniqlik uchun 2k+1- tartibli hosila c nuqtada musbat bo’lsin, deb faraz
qilamiz, ya’ni f
( 2 k + 1 )(
c) > 0
bo’lsin. Natijada, oldingi f ( 2 k )(
x )
hosilaning c
nuqtada o’sishi kelib chiqadi. Boshqacha aytganda, bu hosila c nuqtadan
chapda bu nuqtadagi qiymatdan kichik va undann o’ngda esa, bu qiymatdan
kata qiymat qabul qiladi. Bundan,
f(2k)(c)=0 bo’lgani va ξ nuqta c va x
nuqtalar orasida yotgani uchun,
x
¿cda f(2k)(ξ)<0bo'ladi va
x ¿ c da f
( 2 k )(
ξ ) > 0 b o '
ladi ( 16 )
degan shartning bajarilishi ma’lum bo’ladi.
Demak,
(x−c)2k−2 funksiya juft bo’lgani uchun,

f(2k)(ξ)(x−c)2k−2(17 )
Ifoda c nuqtanignn chap va o’ng tomonlarida turli ishoralarga ega. Shunday
ekan, (15) tenglikdan ikkinchi tartibli f ' ' ( x )
hosila ham xuddi shunday
xossaga ega ekani kelib chiqadi. U holda, 5-teoremaga ko’ra, f funksiya
grafigi (c, f(c)) nuqtada bukilishga ega.
f
( 2 k )(
c) < 0
bo’lganda ham isbot xuddi shunday yo’l bilan amalga oshiriladi.
4. Funksiya grafigining asimptotalari. Funksiya grafigi
o’rganilayotganda ko’pincha yaxshi ma’lim bo’lgann shunday <<etalon>>
ffunksiya topishga harakat qilinadiki, uning grafigi qaralayotgan funksiya
grafigiga iloji boricha yaqin bo’lsin. Ko’p hollarda ana shunday etalon
funksiya sifatida
y = kx+b (18)
ko’rinishga ega bo’lgan chiziqli funksiya olinadi.
Ta’rif. Agar f funksiya
f(x) = kx+b+α(x) (19)

ko’rinishga ega bo’lib bunda
lim
x → + ∞ α( x ) = 0
(20)
bo’lsa, (18) tenglik bilan aniqlangann funksiya f funksiyaning x
→ +∞ dagi
asimptotasi deb ataladi.
Masalan,
f(x)= 2 x 2
+ 3 x + 5
x + 1
funksiya grafigi
y=2x+1
asimptotaga ega, chunki (8-rasm)
f(x)=2x+1+ 4
x + 1 .
8- rasm
Funksiyaning x
→ −∞ dagi asimptotasi ham xuddi yuqoridagidek aniqlanadi.
9- teorema. Berilgan f funksiya grafigi x → + ∞
da (18) asimptotaga ega
bo’lishi uchun quyidagi ikki
lim
x → + ∞ f
( x )
x = k ( 21 )
va

limx→+∞[f(x)− kx ]=¿ b (22)
Limitlarning mavjud bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. 1) Faraz qilaylik, (19) va (20) shartlar bajarilsin.
(19) tenglikni

f ( x )
x = k+ b
x + α ( x )
x (23)
Kabi yozib olamiz. Agar (20) ni e’tiborga olsak, (23) tenglikdan (21) kelib
chiqadi va (19) tenglikdan esa, (22) ni olamiz.
2) Endi (21) va (22) limitlar mavjud bo’lsin, deb faraz qilamiz.
Limitga o’tish amali chiziqli bo’lgani uchun, (22) tenglikni
lim
x → + ∞
[ f ( x ) − kx − b ] = 0
Deb yozib olishimiz mumkin.
Ravshanki, bundan (20) asimptotik tenglikka ega bo’lamiz.
Ta’rif. Agar quyidagi ikki

limx→a+0f(x) yoki limx→a−0f(x)
bir tomonlama limitlardan kamida bittasi + ∞ yoki − ∞
ga teng bo’lsa,
f
funksiya grafigi
x=a vertical asimptotaga ega deyiladi (9-rasmga qarang).
9-rasm
5. Funksiya grafigini xomaki chizish. Bu bandda, yuqoridagi
natijalarga asoslanib, funksiya grafigini o’rganish va qurishning asosiy
bosqichlarini keltiramiz.
4-misol. Quyidagi funksiyaning taxminiy grafigini chizing:

f ( x ) = ( 2 x + 3 ) e 2
x
.

10-rasm
1. Avvalo shuni qayd etamizki, (24) tenglik bilan f funksiya x = 0
nuqtadan boshqa barcha x∈R nuqtalarda aniqlangan. Shuning uchun, biz f
funksiyaning tabiiy aniqlanish sohasi sifatida
D(f) = (- ∞ , 0 ¿ ∪ ( 0 , + ∞ )
(25)
to’plamni olishimiz mumkin (10-rasm)
2. Ravshanki, o’rganilayotgan funksiya faqat x
0 = − 3
2 nuqtada aylanadi.
Bundan tashqari, funksiya (- ∞ , − 3
2 ¿
yarim to’g’ri chiziqda manfiy va (- 3
2 , 0 ¿
hamda (0, + ∞ ¿
intervallarda musbat qiymatlarni qabul qiladi.
0 nuqtada chap limit nolga teng:
lim
x → 0 − 0 f
( x ) = 0 ,
(26)
Bu nuqtada o’ng limit esa, +
∞ ga teng:
lim
x → 0 + 0 f
( x ) = + ∞ ,
(27)
3. Berilgan (24) funksiya hosilasi
f '(x) = 2
e x (
x 2
− 2 x − 3 ¿ e 2
x
= 2
x 2 ( x + 1 ) ( x − 3 ) e 2
x
(28)
ga teng.
Bevosita bu tenglikdan statsioner nuqtalar x
2 = − 1 va x
2 = 3
ekani kelib
chiqadi.
x1=−1 nuqtadan chapda va x2=3 nuqtadan o’ngdan hosila musbat
bo’ib, boshqa barcha nuqtalarda u manfiy bo’ladi. Demak, x
1 = − 1
nuqta

funksiyaning lokal maksimum va x2=3 nuqta esa, uning lokal minimum
nuqtalari ekan. Bundan tashqari,
f(-1) =
e − 2
= 0,135…, f(3) = 17,529…
Funksiya (-
∞ ,−1¿ yarim to’g’ri chiziqda o’sadi, (-1, 0) va (0, 3)
intervallarda esa u kamayib, (3, +
∞ ¿ yarim to’g’ri chiziqda funksiya yana
o’sadi.
4. Ikkinchi tartibli hosila
f ''(x) = 20
x 4 (x+ 3
5 ¿ e 2
x
(29)
ga teng.
Bu tenglikdan ikkinchi tartibli hosila x
3 = − 3
5 nuqtada nolga aylanishi
kelib chiqadi. Bundan tashqari,
f(- 3
5 ¿
= 9
5 e − 10
3
= 0,064 …
ekanini ko’rish oson.
Ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan chapda manfiy va o’ngda musbat.
Shuning uchun, (
x3,f(x3)¿ nuqta (24) funksiya grafigining bukilish nuqtasidir.
Bu nuqtadan chapda funksiya grafigining qavariqlik yo’nalishi tepaga qaragan,
o’ngda esa bu yo’nalish pastga qaragan.
5. Teylor formulasidan x
→ ±∞ da

e
2x = 1 + 2
x + O ( 1 )
x 2 , x → ±∞ ,
ekanligi kelib chiqadi.
Shuning uchun,
f(x)=(2x+3)( 1 +
2
x + O ( 1 )
x 2 ) = 2x+7+ O ( 1 )
x 2 (30)
Bu tenglik funksiya grafigi
y = 2x+7 (31)
og’ma asimptotaga ega ekanligini anglatadi.
Bundan tashqari, (27) tenglikka ko’ra, ordinatalar o’qi grafikning
vertikal asimptotasi bo’ladi.

1-5 bandlarda o’rnatilgan xossalarga asosan funksiya grafigining xomaki
chizmasini qurishimiz mumkin.

Xulosa
Ushbu kurs ishidan xulosam shuki, bu mavzuni yozish mobaynida men juda ko’p
ma’lumotlarga ega bo’ldim. Bilganlarimni takrorlab, bilmaganlarimni o’rganib
mustahkamlab oldim. Ayniqsa, Funksiyalar grafigini tekshirish va unga bog`liq
tushunchalar borasida chuqur bilimlarga ega bo’ldim. Funksiyalar grafigini
tekshirish orqali misollarni yechishni o`rgandim. Funksiyalar grafigini
tekshirishga oid turli bilimlarimni mustahkamladim. Grafiklarni tekshirish
borasida turli tushunchalarga ega bo`ldim. Kurs ishidagi mavzularni o’rganishda
men matematik analiz faniga oid kitoblarni yanada ko’proq o’rgandim. Funksiyalar
grafigini tekshirish ga doir misollarni ishlashni o’rgandim va shu mavzuga doir
misollarni kurs ishiga kiritdim. Ushbu kurs ishida “ Funksiyalar grafigini
tekshirish ” mavusi yoritib berildi. Oliy matematikaning dastlabki qismini
o’rganish mobaynida men Funksiya grafigi, funksiyalarning hosila va
differensiallari hamda funksiyalar qavariqligi va botiqligi haqidagi bilimlarni
mustahkamladim. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan

adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’ldi. Asosiy qism 5 ta paragrafga bo’lingan holda
o’rganildi. 1-§ da Lokal ekstremum nuqtalarni topish , 2-§ da Funksiya
grafigining qavariqligi , 3-§ da Bukilish nuqtalari , 4-§ da Funksiya grafigining
asimptotalari va 5-§ da funksiya grafigin xomaki chizish haqidagi ma’lumotlar
yoritildi. Men mana shu kurs ishimni yozish davomida Funksiyalar grafigini
tekshirish bilan keng ma’noda tanishdim va chuqur bilimlarga ega bo’ldim.
Xulosa qilib aytganda , ushbu kurs ishida o’rganilgan Funksiya grafigini
tekshirish mavzusi amaliy ahamiyatga ega bo’lgan matematik analiz fanidagi
muhim mavzulardan bo’lib , undan universitetdagi fizika, matematika va
informatika yo’nalishlarida tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin.
Foy dalanilgan adabiy ot lar
1. Shavkat Mirziyoyev. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob
xalqimiz bilan birga quramiz.
2. Shavkat Mirziyoyev. Erkin va farovon hayot barpo etamiz.
3. Shavkat Mirziyoyev. Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini
ta’minlash.
4. T. Azlarov, X. Mansurov. Matematik analiz . 1-qism. T. “O’qituvchi”.
1994.
5. Sh. Alimov, R Ashurov. Matematik analiz. O’zMU. (Mexanika-
matematika
fakulteti talabalari uchun ma’ruzalar matni) 2005.
6. В.А Зорич, Математический анализ. ч. 1. М , “ Наука ”. 1981.
7.
Sh. Alimov. Algebra va analiz asoslari . O’rta maktabning 10-11 sinfi
uchun

darslik. T . “ O ’ qituvchi ” 1996. 350 b.
8. Б.П. ДемLович, Сборник задач и упражнений по математическому
анализу, М 1990.
9. С.М. Николский, Курс математического анализа . Т. 1. М.” Наука”
1973.
10. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа:
Учебное
пособие для вузов. - 20-е изд. - М.: Наука. Главная редакция
физико-
математической литературы, 1985. - 384 с.
11. A . N . Kolmogorov va boshq . Algebra va analiz asoslari . O’rta maktabning
10- 11 sinfi uchun darslik. T. “O’qituvchi” 1994. 350 b.
12. С.А.Лактионов, М.И.Журавлева, С.Ф.Гаврикова. Построение
графиков в пакете Maple: СибГИУ. -Новокузнецк, 2012. - 40 с.
13. http://olo.looblogs.info/issledovanie-funkcij-maple.html
14. http://maple.plusby.com/index.html

Funksiyalar grafigini tekshirish
Kirish.

Asosiy qism.
1. Lokal ekstremum nuqtalarni topish.
2. Funksiya grafigining qavariqligi
3. Bukilish nuqtalari
4. Funksiya grafigining asimptotalari
5. Funksiya grafigini xomaki chizish
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Купить