Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 410.2KB
Покупки 6
Дата загрузки 06 Апрель 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Геометрия

Продавец

Bohodir Jalolov

Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar

Купить
Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar MUNDARIJA KIRISH………………………………………………………………………….....9 I BOB. Yevklid geometriyasini aksiomatik asosda qurishdagi turli yondoshuvlar……………………………………………………………………..11 1.1. Aksiomatik metod haqida tushuncha…………………………………………11 1.2. Pogorelov aksiomalar sistemasi……………………………………………...15 1.3. Veyl aksiomalar sistemasi …………………………………………………...17 II BOB. Yevkilit geometriyasini Gilbert aksiomalar sistemasi asosida qurish………………………………………………………………………..……20 2.1. Gilbert aksiomalar sistemasi …………………………………………………29 2.2. Gilbert aksiomatikasida zidsizlik masalasi……………………………….…..36 2.3. Gilbert aksiomalar sistemasining to’liqligi va parallelik aksiomasining erkinligi………………………………………………………………………...….36 Xulosa……………………………………………………………………………37 Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro‘yxati……………………………..38 Ilovalar ……………………………………… ………………………………………………...39 1 K I R I SH O`zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim to`g`risida” gi Qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy madaniyatga, kasb–hunar ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy mushohada qilish hamda ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona е chimlarini topish mahoratiga ega bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan kadrlar yangi avlodini shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol, ta’lim va kasb–hunar dasturlarini ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan, mas’uliyatli fuqarolarni tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g`oyani ilgari suradi. Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot yo`lidan borayotgan jamiyatimiz kun sayin d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko`proq mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi davlat buyurtmasi O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan. Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Birinchi Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir” [4, 3]. Shu jihatdan olganda, mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus olgani, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining tubdan isloh etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi muhim qadamdir. O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali, o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi masalalardan biri sifatid b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. Kurs ishining maqsadi: Talabalarga geometriyani o’qitishning an’anaviy talim metodi haqida umumiy ma'lumotlar va ularning o'ziga xos xususiyatlarini 2 tushuntirish, ular yordamida dasturi tuzishni va uni o‘qiy olishni o‘rgatish orqali talabalarni geometriya fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish. Kurs ishining vazifasi: Bo’lajak geometriya o’qituvchilariga an’anviy talim metodi bo’yicha tayyorgarlik tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini o‘rganish va tahlil qilish; -talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o’ziga xos xususiyatlarni va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; - talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish. Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika” bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalariga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni. Kurs ishining predmeti: Bo‘lajak muhandislarni tayyorlash bo‘yicha tahsil olayotgan talabalarning geometriya muhandisligi ilmini egallash jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi. Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. 3 I BOB . Yevklid geometriyasini aksiomatik asosda qurishdagi turli yondashuvlar 1.1. Affin almashtirishning analitik ifodasi Geometriya asoslari matematikaning bir qismi bulib, unda geometriyaning asosiy tushunchalari, aksiomalari va umuman geometrik sistemaning deduktiv tarzda qurilishi, shuning bilan birga aksiomalar orasidagi munosabatlar urganiladi. Bu goyalar moxiyatini tushunish va ularning yuzaga kelish sabablarini faxmlash uchun qisqacha bulsada, tarixga nazar tashlash zarur. Matematikada aksiomatik (deduktiv) metodning yaratilishiga grek olimlaridan Pifagor, Aristotel ь , Platon, Yevklid ilk qadam quyganlar. Bu borada ayniqsa Yevklidning (eramizdan avvalgi 340— 287-y.y.) xizmati katgadir. Yevklid «Negizlar» («Asoslar») deb atalgan asarida geometriyani mantiqiy jixatdan mukammal asoslash ma^qsadida avval ta'riflar keltirib, keyin aksiomalar, postulatlar sistemasini kabul qildi. Shu asosda u uz zamonasi talablariga tula-tukis javob beradigan geometriya «binosini» kurishga erishdi. Noyevklidiy geometriyaning vujudga kelishi va tuplamlar nazariyasining yaratilishi fanning deyarli barcha tarmoqlari uchun muxim omil rolini uynadi. Aksiomatik, metodning modiyatini tushunish maqsadida maktabda Urganiladigan geometriya kursiga murojaat qilaylik. Unda bir qancha teoremalar isbotlangan bulib, isbotlangan xar bir teorema uzidan oldin kelgan teoremalarga asoslanadi, shu yusinda ish kurishda isbotsiz qabul kilinishi zarur bulgan ibora (jumla) lar va tushunchalarga duch kelamiz: natijada ta'rifsiz qabul qilingan ob'ektlar (masalan, nukqta, tugri chiziq, tekislik, masofa tushunchalari), ularni boglovchi nisbatlar (masalan, nuqtaning tugri chizikda yotishi, tugri chizikdagi nuqtaning shu tugri chizikdagi boshka ikki nuqta «orasida» yotishi, kesma va burchaklarning teng (kongruent) ligi) vujudga keladi. Asosiy ob'ektlar, ularni boglovchi nisbatlar va tegishli aksiomalar sistemasini tanlab olish muxim masaladir. Aksiomatik metod asosida muxokama yuritishni qisqaroq qilib quyidagicha tavsiflash mumkin: avvalo. ta'riflanmaydigan asosiy ob'ektlar tanlab olinadi, keyin ularni uzaro boglovchi asosiy munosabatlar — aksiomalarsistemasi tanlab olinadi, so’ngra esa shu aksiomalar asosida mantiq (logika) qoidalariga asoslangan xolda yangi- yangi jumlalar (teoremalar) isbotlanadi. Aksiomalar sistemasiga quyiladigan talablar Kabul silinadigan aksiomalar sistemasi suyidagi talablarga javob berishi kerak: 1) mantiq qonunlari asosida aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor etuvchi ikkita jumla (gap) kelib chiqmaydigan bulsin, ya'ni aksiomalar sistemasi zidlikka ega bulmasin; 4 2) muayyan aksiomalar sistemasida ishtirok etadigan xar bir aksioma qolganlarining mantiqiy xulosasi bulmasligi—teorema sifatida isbot lanmasligi, ya'ni aksiomalar sistemasidagi xar bir aksioma erkinlik xususiyatiga ega bulishi kerak; 3) aksiomalar sistemasi katoriga shu sistemadan mantitsai kelib chiqmaydigan yangi aksiomani qushish mumkinmi, ya'ni aksiomalar sistemasi tuliq (mukammal)lik xossasiga buysunadimi? Geometriyani aksiomatik surishdagi bu muxim savollarga XIX asrdagina tula javob topildi. Bu savolga javob berishda ular rus matematigi N. I. Lobachevskiy ijodi va XIX asr olimlaridan Ye. Beltrami, A. Puankare, F. Kleyn tadqiqotlari xal qiluvchi rol uynadi. Aksyomalarning belgili sistemasi asosida olib boriladigan muxokamalarning zidlikka olib kelish - kelmasligi masalasini xal qilib berish uchun matematikada model (interpretatsiya, sharxlanish) goyasi ishlatiladi. Ta'rif. Ma'lum ob'ektlarning biror tuplami anitslangan bulib, shu tuplam elementlari orasida asosiy munosabat (nisbatlar) saqlanib, unda aksiomalarning barcha shartlari bajarilsa, bu aksiomalar sistemasining modeli qurilgan deyiladi. Misollar. 1. Butun sonlar tuplami sushish amaliga nisbatan, gruppa tashkil silgani uchun, bu tuplam gruppaviy aksiomalar sistemasining modeli bula oladi (bunda asosiy ob'ektlar butun sonlar bulib, asosiy munosabat qushish amalidir). 2. Tekislikdagi barcha geometrik vektorlar tuplami chiziqli fazo xosil qilgani uchun, u chiziqli fazo aksiomalari sistemasining modeli bula oladi (bunda asosiy ob'ekt geometrik vektor bulib, asosiy nisbatlar vektorlar ustidagi chiziqli amallar — qushish, vektorni son (skalyar) ga kupaytirishdir). Ta'rif. Aksiomalar sistemasidan bir-birini inkor qiladigan ikkita jumla mantiqan kelib chiqmasa, bu sistema zidsiz (qarama-qarshiliksiz) sistema deb ataladi. Aks xolda aksiomalar sistemasi zidli sistema deyiladi. Matematikada zidli sistema bilan ish kurilmaydi. Aksiomalar sistemasining zidsizligi sanday isbot silinadi? Aksiomalar sistemasining zidsizligi shu sistema modelining tanlab olinishi bilan xal qilinadi. Agar tekshiriladigan aksiomalar biror usul bilan modelda bajarilsa va bu model obektlarining tabiatida zidlikning yuqligiga ishonch xosil qilinsa, u xolda bu aksiomalardan bir-birini mantiqan inkor etadigan ikkita jumla kelib chiqmasligi, ya'ni bitta faktni' xam tasdiqlab, xam inkor etib bulmasligi ma'lum buladi. Demak, biz yuqorida keltirgan misolimizda gruppaviy aksiomalar sistemasining va chiziqli fazo aksiomalari sistemasining zidsiz ekanini kursatdik, deyishimiz mumkin. Ta'rif. Zidsiz aksiomalar sistemasidagi xar bir aksioma shu sistemadagi solgan barcha aksiomalarning mantiqiy xulosasi bulmasa, bunday aksiomalar sistemasi erkin sistema deb ataladi, 5 Bundan kurinadiki, aksiomalar sistemasining erkin bulish talabi xar bir aksiomaning solgan aksiomalarning xulosasi (natija) si emasligini tekshirish bilan isbotlanadi. Bu masala quyidagicha xal qilinadi. Aksiomalarning zidsiz A 1, A 2 , . . ., A n sistemasiga qarashli, masalan, A n aksiomaning erkin ekanligini kursatish uchun bu sistemadan A n ni chiqarib tashlab, uning urniga A n aksioma, ya'ni A n ning mazmunini inkor etuvchi jumla iborani kiritib, aksiomalarning yangi sistemasini xosil qilish va uning zidsizligini isbotlash kerak. Xaqiqatan xam, agar A n aksioma A 1, A 2 , …,A n-1 , aksiomalarning natijasi sifatida xosil qilinsa, u xolda bu aksioma A 1, A 2 ,..,A n-1 aksiomalarning xam natijasi bulib chiqadi. Bu esa avvalgi sistemaning zidligini bildiradi. Aksiomalar sistemasidagi biror aksiomaning erkinligi, ya'ni uning mustaqil aksioma ekanligini bu sistemadagi aksiomalar sonini kamaytirish mumkin emasligidan darak beradi. Aksiomalar sistemasining erkinligini tekshirishda xar bir aksiomaning erkinligi aloxida tekshirilmaydi, chunki tegishli isbotlar juda sermexnatdir, lekin ba'zi «shubxali» aksiomalarga nisbatan erkinlik talabi tekshiriladi. Aksiomalar sistemasining tuliqligining mazmuni shundan iboratki, yangi aksiomalar qushmasdan turib, shu nazariyaga taalluqli xar bir da'voning shu sistemaga tayangan xolda urinliligini yoki inkorini aytish mumkin bulsin. Bu talabning amalga oshirilishi odatda sistema uchun kurilgan ikki model orasidagi izomorfizm deb ataladigan tushunchaga asoslanadi. Ta'rif. Aksiomalar sistemasining ikki E, E' modelining asosiy obekta (nuqta, tugri chiziq, tekisliklar) orasida uzaro bir qiymatli moslik urnatilgan bulib, bu moslikda element (ob'ekt) lar ikkala modelda xam bir xil nisbatda bulsa, ya'ni A € E=> A’€ E’ bulsa, bu ikki model izomorf deyiladi. Ta'rif. Aksiomalar sistemasiga taalluqli istalgan jumlaning tug’ri yoki notug’ri ekanini aniqlash mumkin bulsa, aksiomalarning bu sistemasi tuliq (mukammal) deb ataladi. Aksiomalarning zidsiz ∑ sistemasi berilgan bulsin, shu sistema asosida surilgan nazariyaning barcha jumlalar uch sinfga ajrachish mumkin: I. ∑ va undan mantiqan kelib chikkan natijalar yordamida isbotlash mumkin bulgan jumlalar. II. ∑ va undan mantiqan kelib chikkan natijalar yordamida inkor etish mumkin bulgan jumlalar. III. ∑ va Undan mantiqan kelib chiqqan natijalar yordamida, isbot xam kilib bulmaydigan, inkor xam kilib bulmaydigan jumlalar! Demak, ∑ ning biror modeli qurilgan bulsa, I sinfga kiruvchi barcha jumlalar shu modulda urinli buladi, II sinfga kiruvchi barcha jumlalar shu modelda urinli bulmaydi, nixoyat, III sinfga kiruvchi jumlalar shu modelda urinli bulib, uning boshqa shunday modeli mavjud bulishi mumkinki, unda bu jumlalar urinli bulmay 6 di. Bundan kurinadiki, ∑ ning istalgan ikki modeli uzaro izomorf bulsa, aksiomalarning bunday sistemasi tuliq buladi. Buning ma'nosi shundan iboratki, aksiomalarning tulik sistemasi uchun turli modellar fakat uzining asosiy ob'ekt (element) larga beriladigan konkret mazmuni bilan farq qiladi, mantiliy jidatdan ular bir xildir. Demak, aksiomalarning biror sistemasining tuliqligini isbotlash uchun uning kamida ikkita modelini olib, ularning uzaro izomorfligini kursatish kifoya. Bu fikrdan biz keyingi boblarda foydalanamiz. Matematikada aksiomalarning tuliq bulmagan sistemasi bilan xam ish kurishga tugri keladi. Masalan, gruppaviy aksiomalar sistemasi turtta aksiomadan iborat bulib, u tuliq emas, chunki bu sistemaning bir-biriga izomorf bulmagan ikkita modelini kursatish mumkin. Xaqiqatdan, ratsional sonlar tuplami qushish amaliga nisbatan gruppa tashkil kiladi, bundan tashqari barcha haqiqiy sonlar tuplami xam qushish amaliga nisbatan gruppa xosil kiladi. Lekin bu ikki model orasida izomorf moslik xosil qilish mumkin emas, chunki ratsional va haqiqiy sonlar tuplamlari orasida uzaro bir qiymatli moslik mavjud emas. 7 1.2. Pogorelov akseomalar sistemasi Geometriyadan maktab kursi uchun darslik sifatida qabul silingan kitobida A. V. Pogorelov uz aksiomatikasini taklif etgan. Bu u sistema uchun asosiy tushunchalar nuqta, tugri chiziq, tekislik, tegishli, orasida yotadi, uzunlik, burchakning gradus ulchovi. Bu tushunchalarning asosiy xossalari suyidagi aksiomalarda bayon silinadi. I. Tegishlilik aksiomalari I 1 . Istalgan ikki nutstadan utuvchi tug’ri chiziq mavjud va u faqat bittadir. I 2 . Istalgan tugri chiziqda kamida ikkita nuqta yotadi. Bir tug’ri chizitsda yotmaydigan uchta nutqa mavjud. I 3 . Istalgan tekislikka tegishli nuqtalar va unga tegishli bulmagan nuqtalar mavjud. I 4 . Agar ikki tekislik umumiy nuqtaga ega bulsa, ular tugri chiziq buylab kesishadi. I 5 . Agar ikkita turli tug’ri chiziq umumiy nuqtaga ega bulsa, ular orqali bitta va faqat bitta tekislik utkazish mumkin. Bu aksiomalar yordamida ushbu teoremalarni isbotlash mumkin (tekislikdagi teoremalar bilan cheklanamiz). 1. Ikkita turli tug’ri chizi yo kesishmaydi, yoki faqat bitta nuqtada kesishadi. 2. Dar sanday tugri chizitstsa tegishli bulmagan nutsta mavjud. II. Tartib aksiomalari. II 1 . Tugri chiziqdagi uchta nuqtadan bittasi va faqat bittasi qolgan ikkitasi orasida yotadi. II 2 . Tekislikdagi tug’ri chiziq shu tekislikning tug’ri chiziqda yotmagan nuqtalarini ikkita yarim tekislikka shunday ajratadiki, bitta yarim tekislikka tegishli nuqtalarni tutashtiruvchi kesma berilgan tug’ri chiziq bilan kesishmaydi, xar xil yarim tekisliklarga tegishli nuqtalarni tutashtiruvchi kesma berilgan tug’ri chiziq bilan kesishadi. Tartib aksiomalaridan sung, nur, kesma, siniq chiziq, kupburchak, uchburchak va xokazo tushunchalar kiritish mumkin. Gilbert aksiomalari sistemasidagi Pash aksiomasi teorema sifatida isbotlanadi. III. Kesma va burchaklar uchun ulchov aksiomalari. III 1 . Xar bir kesma noldan katta tayin uzunlikka ega. Agar C nuqta kesmada yotsa, AB ning uzunligi AC va CB kesmalar uzunliklarining yigindisi ga teng. III 3 . Xar bir burchak noldan katta tayin gradus ulchoviga ega. Yoyiq burchak 180° ga teng. Burchakning gradus ulchovi uzining tomonlari orasidan utuvchi xar qanday nur yordamida ajratilishidan xosil qilingan burchaklarning gradus ulchovlari yigindisiga teng. 8 Bu gruppadagi aksiomalar yordamida kesma uzunligi va burchak kattaligini ulchash masalasi tula xal qilinadi, bundan tashkari tug’ri chiziqda koordinatalar sistemasini kiritish imkoniyati yaratiladi. Turtinchi gruppa aksiomasini kiritishdan oldin kesmalar, burchaklar, uchburchaklar tengligi tushunchalariga ta'rif beriladi. IV. Byerilgan uchburchakka teng uchburchakning mavjudligi xaqida aksioma. IV. ABC uchburchak va nur berilgan bulsin. U xolda ABC uchburchakka teng shunday A 1 B 1 C 1 uchburchak mavjudki, uning A 1 nuqtasi nurning uchi bilan ustma-ust tushadi, B 1 nuqta esa nurda yotadi. C nuqta esa a nur orqali utuvchi tug’ri chiziq bilan anilanadigan yarim tekisliklardan berilganida yotadi. V. Uzunligi berilgan kesma ning mavjudligi xaqidagi aksioma. V. Xar qanday xaqiqiy d musbat son uchun uzunligi shu d ga teng kesma mavjud. VI. Parallellik aksiomasi. VI. Berilgan tugri chizikda yotmaydigan nukqta orkali tekislikda berilgan tug’ri chizikda bittadan ortiq parallel tugri chiziq o’tkazish mumkin emas. Pogorelov aksiomalari sistemasi 12 ta aksiomadan iborat bulib, I 3-5 aksiomalar fazoga taalluqlidir. Shu aksiomalar asosida Yevklid geometriyasi tula bayon qilinadi. Bu aksiomatikaning muxim tomonlaridan biri kesma uzunligi va burchak ulchovi tushunchalari asosiy tushunchalar qatoriga kiritilgan, bu esa umuman geometriyani mantikan ixchamrok, qilib qurishga yul ochadi. 9 1.3. Veyl aksiomalar sistemasi 1916 yilda nemis matematigi German Veyl (1885— 1955) tomo nidan taklif kilingan aksiomatika fanda vektorli aksiomatika deb yuritilib, Gilbert aksiomalari sistemasiga nisbatan soddaligi bilan farq qiladi, bundan tashqari bu aksiomatika xozirgi zamon matematikasini talay bulimlari bilan uzviy boglanganligi bilan ajralib turadi. Bu sistemada asosiy tushunchalar sifatida «Vektor» va «Nuqta» qabul qilingan. Vektorlar va nuqtalarni bir-biri bilan bog’lovchi munosabatlar «vektorlarni qushish», «vektorni songa kupaytirish», «vektorlarni skalyar kupaytirish», «vektorlarni nutqadan boshlab quyish» dir. Bu munosabatlarning barcha xossalari quyidagi besh gruppa aksiomalarida uz ifodasini topgan. (Biz bu yerda aksiomalarni keltirish bilan chegaralanamiz I. Vektorlarni qushish aksiomalari. Istalgan ikki vektorga ularning yig’indisi deb ataladigan vektor mos keltirilib, bu a mal xossalari ushbu aksiomalarda ifodalanadi: I 1. Ixtiyoriy vektor uchun tenglik bajariladi. I 2 . Ixtiyoriy vektorlar uchun tenglik bajariladi. I 3 . Nol vektor deb atalgan vektor mavjud bulib, ixtiyoriy vektor uchun I 4 . Xar qanday vektor uchun shunday vektor mavjudki, uning uchun II. Vektorni songa kupaytirish aksiomalari. Istagan vektor va istagan xaqiqiy k songa ularning kupaytmasi deb ataladigan vektor mos keltirilib, bu amal xossalari ushbu aksiomalarda ifodalanadi: II 1 . Ixtiyoriy vektorlar va k xaqiqiy son uchun tenglik bajariladi. II 2 . Ixtiyoriy k, t xaqiqiy sonlar va xar sanday vektor uchun bulsin, ya'ni vektorni songa kupaytirish munosabati xaqiqiy sonlarni qushish amaliga nisbatan distributiv sonuniga buysunishi talab silinadi. II 3 . Ixtiyoriy k, t xaqiqiy sonlar va xar sanday vektor uchuk tenglik bajariladi. II 4 . Ixtiyoriy vektor uchun 10 Bu ikki gruppa aksiomalari yordamida vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, chiziqli erkinligi, chiziqli bog’liqligi va shu kabi tushunchalarni kiritish mumkin. III. Ulchov aksiomalari. III 1 . Fazoda uchta chizitsli erkin vektor mavjud. III 2 . Fazodagi xar sanday turtta vektor chiziqli bog’liqdir. IV. Vektorlarni skalyar kupaytirish aksiomalari. IV 1 . Ixtiyoriy ikki vektor uchun IV 2 . Ixtiyoriy uchta vektor uchun IV 3 . Ixtiyoriy vektor va xaqiqiy k son uchun IV 4 . Ixtiyoriy vektor uchun V. Vektorni nuktadan boshlab quyish aksiomalari. V 1 . Ixtiyoriy vektor va xar qaday M nuqta uchun yagona shunday N nuqta mavjudki, uning uchun . V 2 . Ixtiyoriy A,V,C nuqtalar uchun . Veyl aksiomalari yordamida xam Yevklid geometriyasini tula bayon qilish mumkin. Biz shu paragrafning boshida Veyl aksiomalari xozirgi zamon matematikasining boshqa bulimlari bilan uzviy boglanganligini ta'kidlagan edik, xaqiqatdan xam, yukorida keltirilgan aksiomalar sistemasiga diqqat bilan nazar tashlasak, I gruppa aksiomalari algebradagi kommutativ gruppa aksiomalari, I, II gruppa aksiomalari esa birgalikda xozirgi zamon matematikasida muxim rol uynaydigan chiziqli fazo aksiomalaridir. Bundan tashkari I, II, III, V gruppa aksiomalari birgalikda uch ulchovli affin fazosining aksiomatikasi xisoblanadn. Endi, yakun sifatida yuqorida quyilgan Yevklid geometriyasining uch xil aksiomatikasini quyidagi jadvalga joylashtiraylik. Aksiomalar sistemasi Asosiy obektlar (tushunchalar) Asosiy munosabatlar (nisbatlar) Aksiomalar gruppasining nomi D . Gilbert nuqta, tug’ri chizik, tekislik «Tegishli» «Orasida» «Kongruentlik» Tegishlilik aksiomalari Tartib aksiomalari Kongruentlik aksiomalari Uzluksizlik aksiomasi Parallellik aksiomasi G. Veyl vektor, «Vektorlarni Vektorlarni 11 nutsta qushish», «Vektorlarni songa kupaytirish», «Vekyurni skalyar kupaytirish», «Vektorni nuktadan boshlab quyish» qushish aksiomalari Vektorlarni songa kupaytirish aksiomalari Ulchov aksiomalari Vektorlarni skalyar kupaytirish aksiomalari Vektorlarni nuktadan Boshlab quyish aksiomalari A. Pogorelov nuqta, tug’ri chizik, tekislik, uzunlik, burchakning gradus ulchovi «Tegishli» (yoki « ...da yotadi»), «Orasida yota di» Tegishlilik aksiomalari Tartib aksiomalari Kesma va burchaklar uchun ulchov aksiomalari Berilgan uchburchakka teng uchburchakning mavjudligi xaqida aksioma Uzunligi berilgan kesmaning mavjudligi xaqida Aksioma Parallellik aksiomasi 12 II BOB. Yevkilet geometriyasini gilbert akseomalar sistemasi asosida qurish 2.1. Gilbert aksiomalar sistemasi Butunjahon matematiklarining II-xalqaro kongressida olmon matematik olimi David Gilbert (1862-1943) «Matematika muammolari» deb nomlanuvchi tarixiy ma'ruzasini o‘qib eshittirdi. Mazkur ma'ruzada 23 ta murakkab matematika masalalar ro‘yxat tariqasida beyon qilingan bo‘lib, ma'ruzachining ta'rifiga ko‘ra, matematika fanining keyingi taraqqiyoti ko‘p jihatdan ushbu masalalarning yechilishi bilan uzviy bog‘liq bo‘lishi taxmin qilingan. Gilbert haq bo‘lib chiqdi. U o‘sha kongressda bayon qilgan ro‘yxatdagi murakkab matematik masalalarning yechimiga keyingi bir necha avlod matematiklar uchun eng oliy ilmiy maqsadga aylandi. Hozirda Gilbert masalalarining aksariyati o‘z yechimini topgan, lekin ular ichida hanuz olimlarga tinchlik bermayotganlari ham bor. Gilbertning o‘sha mashhur ma'ruzasidan uch yilcha avvalroq boshqa bir nufuzli olim Anri Puankare (1854-1912) Syurix kongressi uchun shunga o‘xshash ma'ruza tayyorlagandi. o‘z ma'ruzasida Puankare matematik analiz va matematik fizika orasidagi o‘zaro uzviylik masalalariga e'tibor qaratgan bo‘lib, ularning hal etilishi ya'ni, isbotlanishi matematika va fizikaning keyingi rivoji uchun ulkan qadam bo‘lishini ta'kidlagan. Parij kongressi uchun Gilbertga shunga o‘xshash ma'ruza qilish taklifi bilan chiqishganida, olim bu fikrni Puankarega nisbatan behurmatlik bo‘lishini aytib rad etgan edi. Lekin, Gilbertning do‘sti va salohiyatda undan kam bo‘lmagan boshqa bir matematik olim German Minkovskiy, uni bu borada umuman boshqacha yo‘l tutish mumkinligiga ishontirdi. Uning maslahatiga ko‘ra, Gilbert o‘z ma'ruzasida o‘sha davrning eng murakkab masalalari sifatida qaralayotgan, hamda, yaqin kelajak matematiklari hal etishi (isbotlashi) lozim deb qaralgan muammolarni o‘rtaga tashlashi kerak edi. Shunday qilib, Minkovskiyning maslahati bilan, Gilbert mana yaqin 100 yildan ziyod vaqtdan buyon dunyo matematiklarini aqlini shoshirib kelayotgan 23 ta muhim va murakkab matematik masalalar ro‘yxatini e'lon qildi. Gilbert o‘z maruzasida matematikaning keyingi taraqqiyoti uchun eng muhim deb hisoblagan bo‘limlariga katta e'tibor qaratgan. Masalalarni saralashda eng birinchi mezon, qo‘yilgan muammoning murkkabligi professional matematiklarning diqqatini torta oladigan darajada yetarlicha qiyin bo‘lishi, shu 13 bilan birga u albatta yechimga ega bo‘lishi lozim edi. Shuningdek ikkinchidan, Gilbert iddaosiga ko‘ra, mazkur masalalarning bayoni, ya'ni, sharti «birinchi duch kelgan odamga ham tushuntirsa bo‘ladigan darajada ravon bo‘lishi» kerak edi. Gilbertning birinchi muddaosi o‘zi istaganidek amalga oshdi. Ikkinchisi esa faqat rasmiy bir mulohaza o‘laroq qolib ketdi. Zero nafaqat Gilbertning o‘sha mushkul matematik muammolarini, balki, o‘rtacha murakkablikdagi har qanday matematik masalani ham, birinchi duch kelganga tushuntirsa bo‘ladigan sodda va ravon bayon qila bilish uchun, o‘sha birinchi duch keluvchini Gyottingen yoki, Prinston kabi oliy matematika institutlari yo‘laklarida poylash kerak. Ma'ruzaning o‘zida vaqt tig‘izligi sababli Gilbert faqat 10 ta masala bayoniga to‘xtalgan xolos. Lekin u yuqorida ham aytilganidek, aslida 23 ta muammodan iborat bo‘lgan. Ushbu muammolarni shartli ravishda to‘rtta kichik guruhlarga ajratish mumkin. Birinchi guruhga matematika asoslariga taaluqli bo‘lgan masalalar tegishl bo‘lib, 1-6 masalalarni o‘z ichiga oladi. ikkinchi guruh 7- 12 raqamli masalalardan iborat bo‘lib, sonlar nazariyasiga taaluqli masalalardan iborat bo‘lgan. 13-17 raqamli masalalarni o‘z ichiga olgan uchinchi guruhda, Gilbertning ta'biri bilan aytganda sof matematika'ga taaluqli bo‘lgan, ya'ni, algebra va funksiyalar nazariyasini qamrab oluvchi muammolar bayon etilgan. 19-23 raqamli masalalardan iborat to‘rtinchi guruhda esa mohiyatan matematik analizga tegishli muammolar o‘rtaga tashlangan. Ular bilan quyidagi jadvalda tanishishingiz mumkin. № Sharti Hozirgi holati 1 Kantroning kontinuum-gipotezsi Yechilgan 2 Arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligi Yechilgan 3 Ixtiyoriy ko‘pyoqni shunday qismlarga bo‘lish kerakki, ushbu qismlardan aynan o‘sha ko‘pyoq hajmiga teng hajmdagi kub yasash mumkin bo‘lsin. Yechilgan 4 Geodezik chiziqlari to‘g‘ri chiziq bo‘lgan metrikalarni aniqlash Yechilgan 5 Uzluksiz guruhlar Li guruhlari ekanini aniqlash Yechilgan 14 6 Fizika aksiomalarini matematik mohiyati Yechilmagan 7 Muayyan sonlarning transsendentligi Ko‘plab xususiy hollar uchun yechilgan. Umumiy hol uchun yechilmagan. 8 Riman va Goldbax gipotezalarini qamrab oluvchi tub sonlar bilan bog‘liq muammo Yechilmagan 9 Tub sonlarning o‘zaro yaqinligi nazariyasini umumlashtirish Yechilgan 10 Diofant tenglamalarining yechimi uchun algoritm topish Yechilgan 11 Ixtiyoriy algebraik son koeffitsiyentiga ega bo‘lgan kvadratik shakllarni tadqiq qilish (Irving Kaplanskiy ta'rifi) Yechilgan 12 Kronekerning abel maydonlari haqidagi teoremasini ixtiyoriy algebraik maydonlarga tadbiq etish Yechilmagan 13 Yettinchi darajali umumiy tenglamani faqat ikkita o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan funksiya yordamida yechish mumkinmi? Yechilgan 14 Butun sonli funksiyalar sistemasining yakuniyligini isbotlash Yechilgan 15 German Shubertning (1848-1911) hisobiy geometriyasi uchun qat'iy asoslash berish Yechilgan 16 Egri va algebraik yuzalar topologiyasi masalasi Yechilgan 17 Barcha shakllarni, ratsional funksiyalar kvadratlarining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkinligini isboti. Yechilgan 15 18 Fazoni teng geometrik shakllar bilan qanchalik turli xil usulda to‘ldirish mumkin? Yechilgan 19 Lagranjning muntazam variatsion masalasining yechimi har doim ham analitik bo‘ladimi? Yechilgan 20 Drixlening chegaraviy shartlar masalasining umumiy muammosi Yechilgan 21 Monodromiya guruhi va ma'lum kritik nuqtalar bo‘yicha differensial fuks tenglamalarning mavjudligini isbotlash Yechilgan 22 Avtomorf funksiyalar orqali, analitik bog‘liqliklarni uniformizatsiya qilish Yechilgan 23 Variatsion hisoblash uslublarini rivojlantirish Yechilgan Adolat yuzasidan aytish joizki, ushbu masalalarning aksariyati mohiyatan faqat matematik masalagina bo‘lib qolmay, balki, butun boshli yangi bir nazariyani shakllantiruvchi gipotezalarning markaziy muammosi sanaladi. Ularning aksariyatining yechishga bo‘lgan urinishlar, keyinchalik katta ilmiy gipotezalarga aylanib ketgan va butun boshla matematika olaida yangi yo‘nalishlar ochilishiga sabab bo‘lgan. Bu jihatdan ham Gilbert matematiklar oldiga qo‘ygan maqsadga erishildi desak mubolag‘a bo‘lmaydi. Vaqt o‘tishi bilan, Gilbert ro‘yxatidagi 6-, 8- va 12-raqamli masalalardan tashqari qolgan barcha 20 ta masala o‘z yechimi yoki, isbotini topdi. Gilbert masalalarining shartini bayon qilishda ba'zi xilma-xilliklar mavjud. Buning sababi esa, so‘nggi yillarda matematika fanining taraqqiyoti aql bovar qilmas darajada keskin ilg‘orlikka erishgani bilan izohlanadi. Bu haqida Gilbert orzu ham qilmagan bo‘lsa kerak. Jadvalda ham ko‘rganingizdek, uning masalalari ilmiy va texnik atamalar bilan liq to‘la bo‘lgan o‘ta murakkab matematika masalalardan iborat bo‘lgan. Jadvalda, allaqachon yechilgan va hamon o‘z yechimini kutayotgan masalalar alohida rang bilan ajratib ko‘rsatilgan. Keling ulardan ayrimlarining tafsilotlariga qisqacha to‘xtalib o‘tsak: Kantorning kontinuum-gipotezasining isboti. 16 Ro‘yxatdagi birinchi masala Kantorning kontinuum gipotezasi bilan bog‘liq bo‘lib, unda to‘plamlarning elementlari miqdori haqida so‘z boradi. Masalan {a,b,c,d} to‘plam 4 ta elementga ega bo‘lib, uning quvvati 4 ga teng deb olinadi. To‘plam quvvati tushunchasi, gap cheksiz miqdordagi elementlar soniga ega bo‘lgan to‘plamlar haqida so‘z borganda alohida ahamiyat kasb eta boshlaydi. Masalan, natural sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamning quvvati, juft sonlar to‘plamining quvvati P ga teng. Ushbu tasdiqni isbotlash uchun, to‘plamlar orasida o‘zaro bir ma’noli muvofiqlikni o‘rnatish kerak. Har bir natural son uchun, shu songa mos ravishda ikkiga ko‘paytirilgan qiymatni berib chiqsak: 1→2, 2→4, 3→6... ga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, qancha juft sonlar bo‘lsa, natural sonlar ham aynan shuncha bo‘ladi. Kantor natural sonlar to‘plamining quvvatini 0ℵ bilan belgilagan. Shunday qilib, |N|=N 0 deb yozish mumkin. 1 va 2 sonlari orasida boshqa hech qanday butun son yo‘q. Ayni vaqtda, haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir. Barcha haqiqiy sonlar to‘plamining quvvati R ning qiymati N dan katta bo‘lishi mantiqan to‘g‘ridek ko‘rinadi. Kantor buning amalda ham aynan shunday ekanini isbotladi va R to‘plam quvvatini kontinuum deb nomlab, uni c harfi bilan belgiladi. Eslatib o‘tamiz, sonlarning to‘plamlari ketma-ketligi quyidagicha ko‘rinishga ega: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Bunda Z bilan butun sonlar to‘plami, Q bilan ratsional sonlar to‘plami va R bilan haqiqiy sonlar to‘plami ifodalangan (natural sonlar to‘plami - N). Natural sonalr to‘plami butun sonlar to‘plamining ichki to‘plami, o‘z navbatida butun sonlar to‘plami ham ratsional sonalr to‘plamining ichki to‘plami, ratsional sonlar to‘plami esa, haqiqiy sonlar to‘plamining ichki to‘plami hisoblanadi. Agar 0<c ℵ bo‘lsa, ya'ni, natural sonlar to‘plami elementlarining soni, haqiqiy sonlar to‘plami elementlasining sonidan qat’iyan kichik bo‘lsa, quyidagicha savol kelib chiqadi: oraliq quvvatlar ham mavjudmi? Kantor bu oraliqda hech qanday son mavjud emas deb taxmin bildirgan. Boshqacha aytganda, R to‘plamning istalgan cheksiz ichki to‘plami A ning quvvati, yoki 0 ℵ ga, yoki c ga teng bo‘ladi. Kantorning aynan shu gipotezasi kontinuum-gipoteza nomini olgan. Ushbu gipotezaning amaliy mohiyatiga va umuman uning haq ekanligiga shubha qiluvchi ko‘plab g‘arazli matematiklar mavjud bo‘lib, ularing e’tiroz va qoralovlariga qaramasdan, Gilbert ushbu gipotezani o‘z ro‘yxatiga 1-raqam bilan kiritdi. Chunki Gilbert o‘zi ushbu gipotezaning haqligiga ishonardi. U mazkur gipoteza dushmanlariga qarata bir safar shunday degan edi: «Qanchalik urinmangiz, bizni Kantor qurgan ko‘shkdan quvub chiqara olmaysiz!» Umuman olganda to‘plamalar nazariyasining butun asosi, Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi ustiga qurilgandir. Ular standart aksiomalar deyiladi. 1938 yilda buyuk matematik olim Kurt Gyodel kontinuum-gipotezani Sermelo-Frenkel tizimi 17 doirasida inkor etishning iloji yo‘qligini isbotladi. 1966 yilda esa Pol Koen, kontinuum-gipotezani isbotlash uchun Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining o‘zi kifoya qilishini isbotladi. Shu tarzda, kontinuum-gipotezani to‘plamlar nazariyasining standart aksiomalar tizimi doirasida inkor etishning ham, isbotlashning ham iloji yo‘q. Arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligi. Gilbert ro‘yxatida ikkinchi raqam bilan qayd etilgan masala arifmetika aksiomalarining o‘zaro zid emasligini isbotlashni taqozo etadi. Unga ko‘ra, arifmetika ham Yevklid geometriyasi singari, qator aksiomalar ustida barpo qilinadi deb qaraladi. Agar biz qandaydir biror teoremani isbotlashni istasak, biz aynan o‘sha aksiomalarga tayanuvchi mantiqiy mulohazalar zanjirini tuzib chiqamiz. Aksiomalar esa isbot talab qilmaydigan haqiqatlar deb qabul qilinadi. Gilbert shunday aksiomalar to‘plamida hech biri boshqasiga zid kelmasligini isbotlanishini istagan. Boshqacha aytganda, ushbu to‘plamdagi aksiomalarning istalgan biror sondagisini olib, ular orqali mantiqiy mulohazalar yuritish bilan, boshqa biror aksiomaga zid xulosaga kelish mumkin emas. Ushbu masalani ham, 1-raqamli masalaning yechimi muallifi buyu Kurt Gyodel hal etgan bo‘lib, u o‘zining to‘liqsizlik haqidagi ikkinchi teoremasi orqali rad etgan. Unga ko‘ra, arifmetikaning ziddiyatga ega emasligini, arifmetikaning o‘zining uslublari orqali isbotlashning imkoni yo‘q. Fizikani aksiomalash mumkinmi? Gilbert o‘z ma'ruzasining boshlang‘ich matnida oltinchi masalasi sifatida, «fizika fanining shunday sohalarini tadqiq qilish kerakki, ularda asosiy o‘rinni matematika tutsin; birinchi navbatda bunga ehtimollar nazariyasi va mexanika kiradi» deya e'tirof etgan. Ehtimollar nazariyasi aksiomatikasini 1933-yilda buyuk rus matematigi Andrey Nikolayevich Kolmogorov aniqlagan. Fizikaning aksiomatizatsiyasi borasidagi masalani hal qilishda esa Jon fon Neyman va boshqa olimlar ham katta jonbozlik ko‘rsatishgan. Shunga qaramay, eng kuchli matematik olimlar tomonidan ham hozirda shunday fikrlar o‘rtaga tashlanmoqdaki, eksperimental natijalarning benihoya murakkabligi aksiomalar sistemasning beqarorlashuviga olib kelishi mumkin va shu vajga ko‘ra, mazkur masala borasida muayyan isbotga erishish g‘oyat mushkuldir. Ushbu masala, Gilbert muammolari ichida hanuz o‘z isboini kutayotgan uchta masaladan birinchisidir (tartib bo‘yicha, 6-raqamli masala). Muayyan sonlarning transsendentligining isboti, xususan 2√2 uchun. Gilbert muammolari ro‘yxatidagi yettinchi masalaning sharti aynan shunday yangraydi. Agar muayyan son butun koeffitsiyentli ko‘phadning ildizi (yechimi) bo‘lsa, u algebraik son deyiladi. Masalan 2/3 – algebraik sondir. Chunki u 3x=2 tenglamaning yechish orqali aniqlanishi mumkin. Har qanday ratsional son algebraik son bo‘ladi. Biroq, irratsional sonlar ichida ham algebraik, xususan √2 (u 18 x2-2=0 tenglamaning yechimi hisoblanadi) kabi, hamda noalgebraik, xususan π va e kabi sonlar mavjud. Aynan shunday ( π va e kabi) turkumdagi sonlarni transsendentlar deyiladi. Sonning transsendentligini isbotlash juda mushkul. Agar biz natijasi aynan biz ega bo‘lib turgan son bo‘luvchi butun koeffitsiyentli tenglamani topa olmasak, bu baribir amalda shunday tenglama yo‘q degan xulosani bermaydi. Gilbert quyidagicha masalani ko‘rib chiqishni taklif qilgan: agar α ( α ≠0, α ≠1) algebraik son bo‘lsa, β esa irratsional son bo‘lsa, unda αβ ning transsendentligini isbotlash mumkinmi? 1934-yilda olimlar Aleksandr Gelfond, Teodor Shnayder va Karl Zigellar, β ning algebraik son bo‘lgan xususiy holat uchun Gilbert tasdig‘i o‘rinli ekanini ko‘rsatib berishdi. Ular 2√2 va e π ning transsendentligini isbotlay olishdi. Garchi 7- raqamli ushbu masalada umumiy hol uchun Gilbert sharti bajarilmagan bo‘lsa-da, lekin aynan ma’ruzadagi shart uchun masala hal etilgan deb qaraladi. Diofant tenglamalarini yechish uchun algoritm mavjudligi haqidagi masala. Tenglamalarni yechishning algoritmi - fikrlash qobiliyatini ishga solmasdan ham, tenglamani mexanik usul bilan yechish uchun tadbiq qilsa bo‘ladigan ketma- ketliklar usulidir. Boshqacha aytganda bu uslni masalan, kompyuterda amalga oshirsa bo‘ladi. Masalan, o‘rta maktablarda o‘rganiladigan kvadrat tenglamalar uchun yechim topishning algoritmlari mavjud. Xossatan, ax2+bx+c=0 tenglamaning yechimi tenglama orqali aniqlanadi. Diofant tenglamalari esa, shunday tenglamalarki, ularda butun koeffitsiyentli bitta yoki bir nechta nomalumlar qatnashadi ava tenglamaning yechimi ham butun son bo‘ladi. masalan, 1/2x+y=3 tenglama difant tenglama sanalmaydi, chunki undagi noma'lumning koeffitsiyenti bo‘lmish - butun son emas. 2x+3=6 tenglama esa, diofant tenglamadir, lekin bu tenglama yechimga ega emas. 2x-3y=–4 tenglama diofant tenglama sanaldi va uning yechimlari masalan x=1 va y=2 bo‘ladi. Gilbert muammolari ro‘yxatida 10-raqami bilan keltirilgan masala, ya'ni, diofant tenglamalar algoritmini izlash muammosini 1970-yilda matematik Yuriy Matiyasevich tomonidan hal etilgan. Javob quyidagicha: Qidirilayotgan universial algoritm mavjud emas! Shuningdek, J.Jons ham 33 ta o‘zgaruvchili hadlardan iborat 18 xil tenglamalar misolida (ang katta darajali tenglamada 560-chi daraja qo‘llangan) diofant tenglamalarni yechish uchun universial algoritm mavjud emasligini isbotlagan. Difant tenglamalarning to‘liq tasnifini kimdir tuzib chiqa olishi haqiqatdan juda-juda yiroq bo‘lgan narsadir. Zero bugungi kun matematikasi tadqiqotarining 19 barcha jabhalarini bitta inson ongining o‘zi bilan qamrab olishning imkoni ham yo‘q. Ushbu masalaning hal etilishi, ilm-fanda fundamental jihatdan g‘oyat muhim bo‘lgan ko‘plab masalalarda yangi bosqichga ko‘tarilish imkonini berishi kutilayotir. Masalan, kimyoviy birikmalardagi atomlarning joylashtirishda shunday matematik uslublarga tayanib ish ko‘rish mumkin bo‘lishi ehtimol. Shuningdek, makur masalaning hal etilishida, axborot texnologiyalari sohasi ham katta naf ko‘radi. Ya'ni, axborotni kompakt-disklarda yoki, vinchesterlarda joylashtirishning eng samarali va xavfsiz usullarini ishlab chiqish, ushbu disklarning asosini tashkil qiluvchi kimyoviy elementlar atomlarini eng samarali va maksimal xavfsiz joylashtira olish yo‘li bilan hal etilishi mumkin. Bu esa, axborotni atom- molekulyar miqyosda saqlash imkoni demakdir. Kvant kompyuterlari sari qo‘yilayotgan qadamlar ichida, bu usulning amalda joriy etilishi eng katta ilg‘or qadamlardan biri bo‘lishi ehtimol... 18-raqamli masala. Muayyan geometrik shakllardan iborat bir xil plitkalar bilan tekislikni to‘ldirish amaliyotini, matematikada monand qilish deyiladi. Monand qilishda, figuralar orasida ochiq oraliqlar qolmasligi, shakllarning o‘zi esa bir-birining ustiga minib ketmasligi kerak. «Tekislikni bir xil shaklar bilan qanday turli xil usullarda to‘ldirish mumkin?» - degan savolga javob tayin: 17 xil usul bilan to‘ldirish mumkin. Gilbert ro‘yxatidagi 18-raqamli masala ham, tekislikdagi shakllarni monand qilish masalasiga o‘xshash bo‘lib, faqat bunda jarayon uch o‘lchovli fazoda va geometrik jismlar orqali bajarilishi lozim. Ushbu masalaning Gilbert bayon qilgna sharitda olmon astronomi Iogann Kepler tomonidan 1611-yilda shakllantirilgan Kepler gipotezasi qayd etib o‘tiladi. Ushbu gipotezaga muvofiq, sferalarni joylashdagi maksimal zichlik chegaraviy-markazlashgan usul yordamida piramidal terish orqali erishiladi. (Shunga o‘xshash tarzda, to‘p yadrolari to‘rtburchakli piramida tarzida taxlanadi). Shunday taxlamning zichligi taxminan 74% gacha yetadi. 1998-yilda Tomas Xeyls Kepler gipotezasining yechimini topganligi haqida e'lon qilgan edi. uning ilmiy ishi «Matematika solnomalari» jurnalida e'lon qilingan. Xeyls isbotlashlarida turli xil taxlamlarning matematik uslublari bilan bayon etilgan 150 ta o‘zgaruvchili tenglamalarni keltiradi. Unga ko‘ra, bir xil o‘lcham va shakldagi sferalarni taxlashning amalda imkonli bo‘lgan 5000 xil usuli bor ekan. Mazkur nufuzlik ilmiy jurnal tomonidan tanlab olingan 12 ta eng kuchli matematik olimlar Xeyls isbotlashlarini tekshirib ko‘rishdi va natijaga 99% qoniqish hosil qilganliklarini e'tirof etishdi. Xeyls isbotlashlarini kompyuter dasturi orqali amalga oshirgan edi. Buning uchun u juda katta hajmdagi dastur tuzishiga to‘g‘ri kelgan. Biroq matematiklar uing 3 Gb hajmdagi dasturiy kodni tekshirih chiqish esa amalda imkosiz deb qarashdi. Boz ustiga, Xeyls taqdim etgan uslub, 20 mazkur masalaning barcha jabhalarini qamrab olmaydi va shu sababli u to‘liq yechimni topgan deb qaralishi mumkin emas. Ustiga ustak, jahoning nufuzli matematik olimlari ichida shunday qarash mavjudki, ular matematik masalalarning kompyuter orqali keltirilgan isbotlarini qabul qilishmaydi. Buning izohi uchun ular ikkita asosiy sababni ko‘rsatishadi: birinchidan, bunday isbotlashlarni to‘liq tekshirib tasdiqlashning imkoni yo‘q, chunki dasturiy algoritmning ayrim bosqichlarida bajariladigan amallar shu darajada murakkab bo‘ladi-ki, ularni to‘g‘riligini tekshirishning o‘zini ham imkoni yo‘q, qolaversa, ikkinchidan, bunday isbotlashlarda ham dasturiy tarafdan va ham texnik tarafdan xatolik kelib chiqishi ehtimoli katta. Gilbert masalalari borasida qiziq faktlar: - Gilbert masalalaridan hech bo‘lmaganda bittasini yechgan matematiklardan iborat faxriy klub tuzilgan. Ushbu guruhga Kurt Gyodeldan tashqari shuningdek birinchi kattalikdagi yulduz matematiklarda German Veyl ham kirgan. - 1929-yilda atiga 29 yoshda bo‘lgan Emil Artin (rasmda) 9- va 17-raqmli masalalarni yechib, Gilbert masalalarini hal etganlar faxry klubida eng yoqori o‘ringa, ya'ni, Gilbert taxtiga chiqqan. U shuningdek algebra va topologiya bo‘yicha qator muhim ilmiy-amaliy ishlarni muallifi bo‘lgan. - 17-masaladagi kvadratlar yig‘indisini hisoblash usulini Georg Krayzel taklif qilgan bo‘lib, u 2 2*100 qadamdan iborat. Lekin Emil Artin bu usuldan foydalanmagan. 21 2.2. Gilbert aksiomasida zidsizlik masalalari Aksiomalar sistemasining zidsizligiga ishonch xosil qilish uchun kamida bitta model mavjudligining yetarli ekanini yuqorida ta'kidlagan edik. Shu maqsadni kuzda tutib, biror model yasashga xarakat ilamiz. Biz bu urinda arifmetik vositalarga asoslangan modelni keltiramiz. Bu modelni yasashda xaqiqiy sonlar, chiziqli tenglamalar tugrisidagi ta'limot ma'lum deb faraz silinadi. Kisqalik uchun planimetriyaga taalluqli aksiomalar uchun model quramiz. Asosiy tushunchalarni, ya'ni nuqta va tug’ri chiziqni quyidagicha tanlab olamiz. 1. A nuqta deb ma'lum tartib da olingan bir juft tayin xaqiqiy x,y sonlarni qabul qilamiz, uni A = ( x, y ) kurinishda belgilaymiz, x,y sonlarni A nutstaning aniqlovchilari deb ataladi. Masalan, A = (2,3), B = (0, 1/5, C= ( , l). Tegishli aniqlovchilarimos ravishda teng bulgan nutstalar ustma- ust tushadi. 2. u tug’ri chiziq deb ma'lum tartibda olingan, tayin uchta a, b ,c xaqiqiy sonlarning a: b :c nisbatlarini qabul qilamiz, uni = (a: b :c) deb belgilaymiz, bunda a, b lardan kamida bittasi noldan farqli deb olinadi. a, b , c sonlar u tug’ri chiziqning anitslovchilari deb ataladi. Masalan, u =(1:2:3), v = ( :0:4), w = ( -7:5:0). Mos aniqlovchilari teng yoki proportsional bulgan ikki tug’ri chiziq ustma- ust tushadi. Asosiy munosabatlardan biri «. . . da yotadi» (yoki «tegishli») ni quyidagicha aniqlab olamiz: = ( x, y ) nutsta bilan u = (a: b:c ) tug’ri chiziqning aniqlovchilari orasida ax + by + c+ = 0 (*) shart bajarilsa, nuqta tug’ri chiziqda yotadi deymiz; (*) shart bajarilmasa, nuqta tug’ri chiziqda yotmaydi. Masalan M = ( — 1,4) nuqta m = (3:1: — 1) tugri chiziqda yotadi, chunki 3 (— 1) + 1 * 4 + ( — 1) = 0; (0;5) nuqta n = (— 6 : — 2:3) tugri chiziqda yotmaydi, chunki — 6 -0 + ( — 2)* 5 + 3 = — 7 ≠ 0. Kolgan asosiy munosabatlarga va tushunchalarga keyinroq kaytamiz. Endi I 1-3 aksiomalarning bajarilishini kursatamiz. I 1 ning bajarilishini kursatamiz. A= (x 1 ; y 1 ), B = (x 2 , y 2 ) ikkita turli nuqta bulsin, bu yerda x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 lardan kamida bittasini urinli deb olaylik. Shu ikki nuqtadan utuvchi tug’ri chiziqning mavjud ekanini isbotlaylik. Buning uchun shunday (a: b :c) tugri chiziq topaylikki, unda A, B nuqtalar yotsin, ya'ni ax 1 +by 1 +c=0, ax 2 +by 2 +c=0 (1) 22 shartlar bajarilsin. Aniqrog’i bu shartlarni sanoatlantiruvchi a, b , csonlarini topaylik. (1) dagi tenglamalardan birini ikkinchisidan xadlab ayiramiz: a(x 1 — x 2 ) + b (y 1 — y 2 ) = 0 . x 1 ≠ x 2 desak, bu tenglikdan a: b = — (y 1 — y 2 ) : (x 1 — x 2 ). Bu proporsiyadan: a = — λ(y 1 — y 2 ), b = λ (x 1 — x 2 ) desak va bu qiymatlarni (1) ning birinchi tenglamasiga quysak: — λ(y 1 — y 2 ) x 1 + λ(x 1 — x 2 ) y 1 + c == 0, bundan: c= — λ ( x 2 y 1 — x 1 y 2 ). U xolda u =a:b:c = — (y 1 — y 2 ) : (x 2 y 1 — x 1 y 2 ), ya'ni tugri chiziq aniqlandi. I 2 aksiomaning bajarilishini kursatish uchun topilgan tug’ri chizig’ning yagona ekanligini kursatish kifoya. , nuqtalardan yana bosh tug’ri chiziq utadi deb faraz qilib, yuqoridagi singari muxokama yuritsak, ni xosil qilamiz. I 3 . tug’ri chizikda yotuvchi A = (x, y) nukqta aniklovchila- ri ax + by + c = 0 shartni qanoatlantiradi. Bu yerda ikkita x,y son bitta tenglamani kanoatlantirganligi sababli uning x, y ga nisbatan yechimlari ikkitadan xam kup nuktadan iborat. Endi A = (0 ,0), B= (0,1), C = (1,0) nuqtalarni olib, ularning bitta turri chizikda yotmasligini kursataylik: Bu uchta tenglamadan a = b = c = 0, lekin shartga kura a, b , c bir vaqtda nolga teng emas. Demak, A, B, C nuqtalar bitta tug’ri chiziqda yotmaydi. Endi II 1-4 aksiomalar shartlarining bajarilishini tekshiraylik. Avvalo «orasida» munosabatini aniqlaylik. A = (x 1 ,y 1 ), B = (x 2 , y 2 ), C= (x 3 , y 3 ) nuqtalar = (a: b: C) tugri chizikda yotsin, ya'ni Bunda a, b, c larni noma'lumlar deb qarasak, u xolda bu bir jinsli tenglamalar noldan farqli yechimga ega bulishi uchun bulishi kerak, bundan . Bu ikki kasrning umumiy qiymatini λ ABC deb belgilaymiz va λ ABC > 0 xolda B nukta bilan orasida yotadi deb aytamiz. A, C nuqtalar orasida yotgan barcha nuqtalar tuplamiga AC kesma deb ataladi. Analitik 23 geometriyada λ ABC son uchta A, B, C nuktaning oddiy nisbati deb ataladi, ya'ni λ ABC II 1 . λ ABC > 0 = > λ CBA > 0 > 0, demak, B nukta C bilan A orasida yotadi. II 2 . B nuqta bilan C orasida yotsa, Bu ifodalarning xar birini t > 0 bilan belgilaymiz: . Bulardan: A, B nuqtalar berilganda t ga xar xil musbat qiymatlar berish bilan x 2 , y 2 ni topish mumkin. Topilgan bir juft son AB tug’ri chiziqga tegishli shunday nuqtani aniqlaydiki, B nuqta bilan C orasida yotadi. Endi II 3 aksioma shartining bajarilishiga ishonch xosil kqilish maqsadida bir tug’ri chizikda berilgan nuqtalar uchun sonlardan faqat bittasi musbat bulishini kursatishimiz kerak. Ammo bu uchta son quyidagi munosabatga buysunadi: Faraz qilaylik, λ ABC >0, λ CBA > 0 bulsin. U xolda bir vaqtda. x 2 — x 1 > 0 , x 3 — x 2 > 0, x 1 — x 3 > 0 yoki x 2 — x 1 < 0,. X 3 — x 2 <0, x 1 — x 3 < 0 bulishi kerak. Bularning birinchi ikkitasini xadlab kushsak, x 3 — x 1 > 0 bulib, uchinchisiga qarama-qarshi buladi. Xuddi shu xulosaga keyingisida xam kelish mumkin. Demak,(**) dagi sonlardan ikkitasi musbat bo’lishi mumkin emas ekan. (***) ga asosan bu sonlarning uchtasi xam manfiy bula olmaydi. Xullas, (**) dagi uchta sondan faqat bittasigina musbat bulishi mumkin. Bu degan suz, uchta nuktadan fakat bittasi qolgan ikkitasi orasida yotishligini bildiradi. II 4 . A, B, C nuqtalar bir tugri chiziqda yotsa, (*) urinlidir. Shu tenglikning xar birini biror t ga tenglab, ularning birinchisini x 2 ga, ikkinchisini y 2 ga nisbatan yechamiz: Ravshanki, t>0 bulsa shartimizga asosan B nuqta bilan orasida yotadi. Demak, t ga istalgan musbat qiymat berib, AC kesmaning nutstalarini topa olamiz. (t = 0 ga nukta, t = oo ga C nuqta mos keladi.) t ga manfiy kiymatlar bersak, AC tug’ri 24 chizikning AC kesmaga tegishli bulmagan nuqtalari xosil buladi. Endi Pash aksiomasiga utaylik. A, B, C nukqtalar bir tug’ri chiziqda yotmasin, ya'ni: yoki u xolda bu nuktalar aniklagan ABC uchburchakni xosil qilamiz. Biror u tugri chiziq shu uchburchak uchlaridan utmay, tomonlarini yoki uning davomlarini mos ravishda N 1 (AB tomonni), N 2 (BC tomonni), N 3 (VA tomonni) nuqtalarda kessin. N 1 nuqta AB ni t 1 nisbatda, N 2 nuqta BC ni t 2 nisbatda, N 3 nuqta CA ni t 3 nisbatda bulsin. Shartga kura, t 1 ,t 2 , t 3 larning birortasi nol xam emas, cheksiz xam emas, N 1 = (x' 1, y ’ 1 ), N 2 = (x' 2 , y’ 2 ), N 3 = (x’ 3 , y’ 3 ) desak, N 1, N 2 , N 3 nuqtalar bitta tug’ri chizikda yotadi, demak: Bu tenglikka ular qiymatlarini quyamiz va determinant xossalaridan foydalanib soddalashtiramiz: Bu ifodadagi birinchi kupaytuvchi noldan farqli, uchinchi kupaytuvchi xam t 1 , t 2 , t 3 larni tanlab olingan shartlariga kura noldan farqli. Demak, faqat ikkinchi kupaytuvchigina nol bulishi mumkin: Agar turri chizq ABC uchburchak uchidan utmasdan, uning bir tomonini, masalan AB ni kessa, demak t 1 > 0; u xolda t 1 t 2 t 3 = — 1 munosabat t 2 yoki t 3 dan biri albatta musbat bulishini bildiradi, ya'ni shu tug’ri chizi BC yoki CA kesmalardan birini kesadi. Bu esa Pash aksiomasining mazmunidir. Kongruentlik aksiomalarining bajarilishini kursatishdan avval, nur va burchak tushunchalarini kiritaylik. 25 u = (a:b:c) tug’ri chiziqda tayin 0 = (x 0 , y 0 ) va A = (x 1 ,y 1 ) nuqtalarni olaylik. Uning ixtiyoriy (x , y) nuktasi uchun urinli buladi, bu yerda m = x 1 — x 0 , y = y 1 — y 0 , t esa parametr, t ga istalgan son siymatlarni berib, tug’ri chiziqning nuqtalarini topish mumkin. Tug’ri chiziqning barcha nuqtalarini ikki sinfga ajratamiz. t> 0 ga mos kelgan barcha nuqtalarni birinchi sinfga, t < 0 ga mos kelgan nuqtalarni esa ikkinchi sinfga kiritaylik. t = 0 ga mos 0 =(x 0 ,y 0) nuqta turli sinfga qarashli ixtiyoriy ikki nuqtaning orasida yotadi. Tug’ri chiziqning birinchi (yoki ikkinchi) sinfga kirgan barcha nuqtalari tuplamini uchi 0 bulgan nur deb ataymiz va h = (x 0 , y 0 ;m:n ) yoki h = (x 0 ,y 0 ;-m: -n ) kurinishda belgilaymiz. U mumiy uchga ega bulgan ikki h, k nurdan tashkil topgan figura burchak deb ataladi, uni burchak( h,k ) kurinishda belgilaymiz. «Kongruentlik» munosabatini kuyidagicha ta'riflaymiz nuqtalar berilan bulsin. Agar tenglik urinli bulsa, AB kesma CD kesmaga kongruent (teng) deb ataladi va AB = CD kurinishda belgilanadi. nurlardan tashkil topgan burchak berilgan bulsin. Agar tenglik urinli bulsa, burchaklar uzaro kongruznt (teng) deb ataladi. Endi kongruentlik aksiomalarining bajarilishini tekshiraylik. III 1 . u = (a:b:c) tug’ri chiziq xamda nutstalar bilan anitslangan A V kesma berilgan bulsin. turri chizikdagi 0 = (x 0 , y 0 ) nuqtaning bir tomonida shunday M = (x, y) nuqta topaylikki, uning uchun OM = AB tenglik bajarilsin. Xaqiqatan xam, shunday M nuqta uchun quyidagi tenglik urinli bulishi kerak: (x — x 0 ) 2 + (y — y 0 ) 2 = (x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2 . Bu tenglikda x,y urniga x 0 + mt, y 0 + nt ni quyamiz: Bu ifodadagi t ning ikkita qiymatiga u tug’ri chiziqdan ikkita nuqta mos kelib, O nuqta bu nuqtalarning orasida yotadi. Demak, O ning bir tomonida OM = AB shartni qanoatlantiruvchi yagona nuqta mavjud. III 2 ,III 3 ,III 4 aksiomalarning bajarilishi xam xuddi shunday isbotlanadi. 26 III 5 . ABC uchburchakning uchlari: uchburchakning uchlari A B = A’B’, AC=A'C’, bulsin. ni isbotlashimiz kerak. AB= A'C' dan: (x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2 = (x’ 2 — x’ 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 va AC=A’C’dan: , Shartga kura , bu munosabatlardan: ni isbotlash uchun quyidagi tenglikning urinli ekanini kursatish kifoya: Kengroq muxokamalar bu tenglikning urnnli ekanidan darak beradi Endi Dedekind aksiomasiga utaylik. IV. Kongruentlik munosabatiga asoslanib, tekislikda xarakat tushunchasini kiritish mumkin. Xarakat natijasida «orasida» . munosabati saqlanadi, ya'ni AB kesma biror xarakat natijasida A'B' kesmaga utsa, A nukqta bilan B nuqta orasidagi barcha nuqtalar A' bilan B' orasidagi nuqtalarga utadi. Shuning uchun Dedekind aksiomasini biror kesma, masalan, y = 0 tugri chiziqdagi kesma uchun bajarilishini kursatish kifoya. (0:1:0), ya'ni 0*x+1*y + 0 = 0 tug’ri chiziqdagi A = (0,0), B= (d,0) (d > 0 ) nuqtlardan xosil bulgan AB kesmani tekshiraylik. Bu yerda B nuqtaning birinchi aniqlovchisi musbat son, ikkinchi aniqlovchisi — nol. Bu vaqtda (0:1:0) tug’ri chiziqdagi N = (x 1 : 0) nuqtaning A bilan B nuqtalar orasida bulishi uchun 0 < x < d shart bajarilishi kerak. Aksincha, bu shartni qanoatlantiruvchi xar bir x songa A bilan B orasida yotgan nuqta mos keladi. Demak, AB kesma nuqtalarini Dedekind aksiomalari shartini qanoatlantiradigan qilib ikki sinfga ajratish (0 , d) intervaldagi sonlarnn Dedekind aksiomasi shartlarini qanoatlantiradigan qilib ikki sinfga bulish demakdir. Xaqiqiy sonlar tuplamida Dedekind aksiomasi urinlidir. Agar (0,d) intervalni ikki sinfga ajratuvchi Dedekind soni t bulsa, bu songa AB kesmada mos keluvchi nukta M = (t, 0) buladi. Nixoyat, B parallellik aksiomasini tekshiraylik. u = (a: b :c) tug’ri chizik, va unda yotmagan A = (x 0 , y 0 ) nuqta berilgan bulsin: ax 0 + by 0 + c≠ 0. nuktadan 27 utuvchi biror tug’ri chiziq u ' = (a': b ':c') ni, ya'ni a’x 0 + b 'y 0 + c' =0 ni olaylik. Bu tenglikdan: c' = — (a ' x 0 + b 'y 0 ). Parallellik aksiomasining shartiga kura sistema umumiy yechimga ega emas, ya'ni , bundan a’ = λ a, b ' =λb;c uchun Shunday qilib, tayin yagona tug’ri chizikdir. Demak, yuqorida keltirilgan arifmetik modelda Gilbert aksiomalari sistemasining (tekislikka taalluqli aksiomalari) barcha shartlari bajarilgan, demak shu aksiomalar yordamida isbot qilinadigan barcha teoremalar xam urinli. Quyidagi xulosaga kelamiz: arifmetikaning qonun- qoidalari zidlikdan xoli bulsa, Yevklid geometriyasi xam mantiqiy zidsizdir. 28 2.3. Gilbert aksiomalar sistemasining to’liqligi va parallelik aksiomasining erkinligi Aksiomalar sistemasining to’liq shartiga ekanini ko’rsatish uchun uning ko’rilgan istalgan ikki modelining izomorf ekanini ko’rsatish kifoyadir. Xuddi shunga uxshash Gilbert aksiomalari sistemasining ikkinchi modeli sifatida Dekart modeli deb nomlangan modelni kiritish mumkin. Bu modelning mohiyati quyidagicha: tekislikda dekart sistemasini kiritib, har bir nuqtaga uning koordinatalari deb ataladi bir juft (x, y) sonni mos keltiramiz va aksincha. To’g’ri chiziq deb ax + by +c = 0 tenglamani ( a, b, c tayin sonlar bulib, a yoki b lardan kamida bittasi noldan farqli) qanoatlantiruvchi barcha x, y sonlar juftini, ya'ni nutstalarni olamiz. x = 0, y = 0 to’g’ri chizitslarni koordinata utslari deb ataymiz. (0, 0) nuqtani koordinatalar boshi deb yuritamiz. To’g’ri chiziqda A= (x 1 , y 1 ), B = (x 2, y 2 ), C = (x 3 , y 3 ) nuqtalar berilgan bulsin. b ≠ 0 holda x 1 <x 2 <x 3 yoki x 1 >x 2 >x 3 bulsa, b= 0 holda esa y 1 <y 2 <y 3 yoki y 1 <y 2 <y 3 bulsa, B nuqta A bilan C orasida yotadi deb ataladi. Bundan tashqari, kongruentlik tushunchasi uchun nur, burchak va hokazo tushunchalarga analitik geometriyada berilgan ta'riflarni ko’zda tutamiz. Asosiy tushuncha va munosabatlar Gilbert aksiomalari sistemasining barcha shartlarini qanoatlangiradi. Demak, bu ikki modeldagi asosiy tushunchalar (ob'ektlar, munosabatlar) orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud bulib, asosiy munosabatlar saqlanar ekan, bu esa arifmetik model bilan dekart modeli orasida izomorf moslikning mavjudligidan darak beradi. Quyidagi xulosaga kelamiz: Gilbert aksiomalari sistemasi to’liqlik talabiga javob beradi. Endi Gilbert aksiomalari sistemasidagi aksiomalarning erkinligi masalasiga tuxtaylik. Biror aksiomaning boshqa aksiomalarga nisbatan erkin ekanligini 29 kursatish uchun uning inkorini olib, qolgan aksiomalar bilan birgalikda yangi sistemani xosil qilib, bu sistemaning zidsiz ekanligini kursatish, ya'ni birorta modelda yangi sistema aksiomalarining bajarilishini isbotlash kerak. Yuqorida xuddi shunday ishni Gilbertning parallellik aksiomasi uchun bajardik. Chunki bu aksiomaning inkori sifatida Lobachevskiy aksiomasini olib, yangi aksiomalar sistemasini hosil qildik va bu sistemaning zidsiz ekanligini isbotladik. Boshqacha qilib aytganda, parallellik aksiomasi mustatsil aksioma bulib, uni absolyut geometriya aksiomalari yordamida teorema sifatida isbotlash mumkin emas ekan. XULOSA Xulosa qilib shuni aytish mumkinki Geometriya asoslari matematikaning bir qismi bulib, unda geometriyaning asosiy tushunchalari, aksiomalari va umuman geometrik sistemaning deduktiv tarzda qurilishi, shuning bilan birga aksiomalar orasidagi munosabatlar urganiladi. Bu goyalar moxiyatini tushunish va ularning yuzaga kelish sabablarini faxmlash uchun qisqacha bulsada, tarixga nazar tashlash zarur. Kongruentlik tushunchasi uchun nur, burchak va hokazo tushunchalarga analitik geometriyada berilgan ta'riflarni ko’zda tutamiz. Asosiy tushuncha va munosabatlar Gilbert aksiomalari sistemasining barcha shartlarini qanoatlangiradi. Demak, bu ikki modeldagi asosiy tushunchalar (ob'ektlar, munosabatlar) orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud bulib, asosiy munosabatlar saqlanar ekan, bu esa arifmetik model bilan dekart modeli orasida izomorf moslikning mavjudligidan darak beradi. Quyidagi xulosaga kelamiz: Gilbert aksiomalari sistemasi to’liqlik talabiga javob beradi. Endi Gilbert aksiomalari sistemasidagi aksiomalarning erkinligi masalasiga tuxtaylik. Biror aksiomaning boshqa aksiomalarga nisbatan erkin ekanligini kursatish uchun uning inkorini olib, qolgan aksiomalar bilan birgalikda yangi sistemani xosil qilib, bu sistemaning zidsiz ekanligini kursatish, ya'ni birorta modelda yangi sistema aksiomalarining bajarilishini isbotlash kerak. Yuqorida xuddi shunday ishni Gilbertning parallellik aksiomasi uchun bajardik. Chunki bu aksiomaning inkori sifatida Lobachevskiy aksiomasini olib, yangi aksiomalar sistemasini hosil qildik va bu sistemaning zidsiz ekanligini isbotladik. Boshqacha qilib aytganda, parallellik aksiomasi mustatsil aksioma bulib, uni absolyut geometriya aksiomalari yordamida teorema sifatida isbotlash mumkin emas ekan. 30 Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati . 1. O’zbekiston Respublikas Pirizidenti Mirziyoev.SH.M Xalqimizning roziligi bizning faolligimizga berilgan eng oliy baxodi. 2-jild.T.. “O’zbekiston”, 2018. 2. Karimov.I. A O’zbekiston mustaqillikga erishish ostonasida—T. “O’zbekiston”,2017. 3. Dadajonov Normat, Yunusmetov Rasulmat, Abdullaev Temir Geometriya. Toshkent “O’ituvchi”—1988. 4. Dadajonov.N. D, Juraeva.M. J Geometriya. 1-qism, Toshkent, “O’qituvchi”, 1982. 5. Otajonov.R.Q. Geometriya yasash metodlari. T, “O’qituvchi”, 1970. 6 Pogorelov.A. V Geometriya, 6-10, Toshkent, “O’qituvchi”, 1984. 31 32 Elektron ta’lim resurslari 1 . O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi : www.edu.uz . 2 . O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi : www.uzedu.uz . 3. O’zbekiston Respublikasi Xalq talim vazirligi xuzuridagi Multimedia umumta’lim dasturlarini ruvojlantirishmarkazi: www.eduportal.uz . www.multimedia.uz . 4. O’zbekiston Respublikasi Oliy va urta maxsus ta’lim vazirligi xuzuridagi bosh Bosh ilmiy-metodik markaz: www.bimm.uz . Ijtimoiy axborot ta’lim portal: www.ziyonet.uz . 5. Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti www.tdpu.uz . 6. Internet resurslari elekton kutubxonasi: http://www.allbest.ru . 33

Gilbert aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan natijalar

Купить