Информация о документе

Цена 2000UZS
Размер 481.1KB
Покупки 0
Дата загрузки 07 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Рефераты
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Hajmiy va Sirt kuchlari, Massa zichligi.Koshi kuchlanishi, kesish usuli. Kuchlanish tenzori

Купить
. Hajmiy va Sirt kuchlari, Massa zichligi.Koshi kuchlanishi, kesish usuli. Kuchlanish tenzori. Kuchlar va Momentlar muvozanati. Kuchlanish tenzorining simmetrikligi. Kuchlanishlarni almashtirish qoidalari REJA. 1. Kuchlanishlar nazariyasi. Asosiy farazlar. Tashqi kuchlar. Kuchl anish vektori .. 2. Jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati . Kuchlanish tenzori . 3. Koordinata o’qlarini burganda kuchlanish tenzori komponentalarini almashtirish . 4. Bosh kuchlanishlar. Kuchlanish tenzori invariantlari. 5. Kuchlanishlar diviatori va sharsimon tenzori. Tayanch iboralar: tashqi va ichki kuchlar, gipoteza va talablar, e lastik jism, kuchlanish, kuchlanish tenzori, bosh kuchlanishlar, kuchlanish tenzori invariantlari TMMning asosiy tushunchalardan biri kuch tushunchasidir. Nazariy mexanika kursidan ma’lumki, kuch bir jismning boshqa jismga ta’sirining miqdor o‘lchovidir. Kuchlar jismga nisbatan ichki va tashqi kuchlardan iborat bo‘ladi. Bizni asosan tashqi kuchlar qiziqtiradi. Chunki tutashlik gipotezasi modda-ning atom strukturasini va molekulyar harakatini e’tiborga olmaslikka imkon beradi. Ichki kuchlarni esa molekulalarning o‘zaro ta’sir kuchlari vujudga keltirishi ma’lum. Shunday qilib faqat jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarnigina qaraymiz. Qattiq jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarni ikki guruhga bo‘lish mumkin: sirt kuchlari va hajmiy kuchlar. 1.Sirt kuchlari bir jismning boshqa jism bilan to‘qnashishi, urinishi yoki umuman kontaktda bo‘lishi natijasida yuzaga keladi. Bunday kuchlar jismning sirti bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi. Masalan, shamolning bino devoriga ko‘rsatadigan bosim kuchi, tongda yoqqan qorning og‘irlik kuchi, mashinaning yerga bosim kuchi va h.k. Sirt kuchlari ular taqsimlangan sirtning birlik yuzasiga to‘g‘ri keladigan kuch qiymati bilan xarakterlanadi.Ushbu kattalik kuch intensivligi deb ataladi. Agar kuch ta’sir qilayotgan yuzaning o‘lchamlari jismning o‘zining o‘lchamlariga nisbatan kichik bo‘lsa, bunday yuzani hisobga olmaslik va kuchni nuqtaga qo‘yilgan deb hisoblash mumkin. S ds V 1.1-rasm. Bu holda kuch to‘plangan kuch deyiladi. Faraz qilaylik, hajmi va shu haj-mini o’rab turgan sirti bo‘lgan jismga ta’sir qilayotgan kuchlarning intensivlik vektori bo‘lsin (1.1-rasm). U holda ds yuzali elementar sirtga ga teng bo‘lgan sirt kuchi ta’sir etadi. 1. Hajmiy (massaviy) kuchlar deb, jism hajmining hamma bo‘lakchalariga ta’sir qiluvchi kuchlarga aytiladi, masalan og‘irlik kuchi, energiya kuchi. Faraz qilaylik, ⃗f(xi) - jismning M (xi) nuqtasi atrofidagi massa birligiga to‘g‘ri keladigan massaviy kuch bo‘lsin (1.2-rasm) va m jism hajmining massasi bo‘lsin. Ma’lumki, u holda, m= ρd v bu yerda ρ -jismning zichligi. U holda jismning elementer hajmiga ta’sir etuvchi massaviy kuch m f(xi)= ⃗Fi ga teng bo‘ladi. Bu yerdan jismning birlik hajmiga ta’sir etuvchi hajmiy kuchni topish qiyin emas. Odatda jism zarrachalariga ta’sir etuvchi hajmiy kuchlarning geometrik yig‘indisi yoki bosh vektori hajmiy kuch deb qaraladi, ya’ni ρ⃗F= ρ∑ ⃗f(xi) Tashqi kuchlar natijasida jism deformatsiyalanadi, ya’ni uning zarrachalarining o‘zaro joylashuvi o‘zgaradi. Natijada zarrachalar o‘rtasi-da jismni boshlang‘ich holatiga qaytarishga intiluvchi qo‘shim-cha ichki kuchlar paydo bo‘la-di. Ana shu i chki uchlarni aniqlash uchun kesin metodidan foydalanadilar. Jismning biror M (xi) nuqtasidan o‘tuvchi P silliq sirt bilan uni fikran ikkiga ajratamiz (1.3-rasm). Hosil qilingan bo‘laklarning sirtlarini S1 va S2 bilan, hajmlarini esa V1 va V2 bilan belgilaymiz. P kesuvchi sirtning ikki tomonida joylashgan zarrachalarning o‘zaro ta’sir kuchlari jism bo‘linganiga qadar ichki kuchlardan iborat edi. Jism bo‘linganidan keyin uning bo‘laklari xuddi bo’linishga qadar bo’lgani kabi muvozanatda bo‘lishlari uchun bu kuchlar ularning P sirtlarida qo‘yilishi kerak. P sirtning birinchi bo‘lak uchun normalini ⃗n bilan belgilaymiz (1.4-rasm). U holda bu sirtning jismi ikkinchi bo‘lagidagi nor-mali - ⃗n dan iborat bo‘ladi. Endi ds P V 1 S 1 1.4-rasm. M(x i ) P V 2 S 2 M(x i ) V S 1 1.3-rasm. V 2 P M(x i ) V 1 ⃗Fi dv = ρd v f(xi) dv = ρ f(xi). birinchi bo‘lakning sirti S1+P dan, ikkinchi bo’laknini esa S2+P dan iborat bo‘ladi. Birinchi bo‘lakning sirtida ( P kesuvchi sirt yuzasida) yuzasi ΔS bo‘lgan va o‘zida M (xi) nuqtani saqlagan elementar maydonchani olib qaraymiz. Ushbu maydonchadagi sirt kuchlarining bosh vektori va bosh momentini mos ravishda Δ⃗Q va ΔM lar bilan belgilaymiz. Normali ⃗n bo‘lgan maydonchadagi M (xi) jism nuqtasidagi kuchlanish vektori deb lim ΔS→0 Δ⃗Q ΔS = d⃗Q ds =⃗qn(lim ΔS→0 ΔM ΔS =0). (1.1) tenglik bilan aniqlanuvchi ⃗qn vektori aytiladi. Ushbu tenglik kuchlanish vektorining kuch intensivligidan boshqa narsa emasligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, ichki kuchlar intensivligi kuchlanish deyiladi. Demak, jismning birinchi bo‘lagi uning ikkinchi bo‘lagiga ⃗qnds sirt kuchi bilan ta’sir etadi. U holda ta’sir va aks-ta’sirlarning tengligi prinsipiga asosan ikkinchi bo‘lak ham birinchi bo‘lakka ⃗q−nds =−⃗qnds kuch bilan ta’sir etadi. Bu yerdan ⃗q−n=−⃗qn ekanligi kelib chiqadi. Jismni kesuvchi P sirtni biz ixtiyoriy tanladik, unda faqat M (xi) nuqtadan o‘tish shartinigina qo‘ydik. Shu- ning uchun ⃗qn kuchlanish vektori kesuvchi sirt ko‘rinishiga bo‘gliq bo‘lmaydi. Jismning biror nuqtasidan o‘tuvchi har xil maydonchalarda kuchlanish vektorlari ⃗qn=⃗qn(хi,n) lar har xil bo‘ladi. Qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi mumkin bo‘lgan hamma maydonchalardagi kuchlanish vektorlarining to‘plami shu nuqtadagi kuchlanganlik holatini aniqlaydi. Jism hamma nuqtalaridagi kuchlanganlik holatlarining majmuasi jismning kuchlanganlik holati deyiladi. 1. Jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati. Kuchlanish tenzori. Deformatsiyalangan qattiq jismning vaziyati ⃗n vektor bilan aniqlanuvchi biror ixtiyoriy maydonchasida yotuvchi M (xi) nuqtasining kuchlanganlik holatini aniqlaymiz. Buning uchun jismdan uchta yog‘i koordinat tekisliklaridan iborat to‘rtinchi yo‘g‘ining normali ⃗n bo‘lgan va o‘lchamlari cheksiz kichik bo‘lgan tetraedr ko‘rinishidagi elementar hajmni ajratamiz (1.5-rasm). x 3 A 3 M A 2 x 2 A 1 x 1 1.5-rasm. х1х2х3 dekart ko-ordinatalari sistemasi oqlarining bazis vektorlarini ⃗эi lar bilan, ⃗n vektorining yo‘naltiruv-chi kosinuslarini ni lar bilan, ya’ni ni=cos (xi^,⃗n),i=1,2,3 . kabi belgilaymiz. Tetraedrning koordinat tekisliklari bilan ustma - ust tushuvchi yoqlarini unda perpendikular bo ‘ lgan koordanat o ‘ qining raqami bilan belgilaymiz : ds1 bilan x1 o ‘ qiga perpendikular bo ‘ lgan yoqning yuzasi , ds2 va ds3 lar bilan x2 va x3 o ‘ qlariga perpendikulyar bo ‘ lgan yqlarning yuzalari belgilanadi , ds bilan esa ⃗n normalga perpendikular bo ‘ lgan to ‘ rtinchi yoqning yuzasi belgilanadi . U holda geometriya kursidan ma’lumki, ds i=nids (1.2) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Elementning yoqlariga sirt kuchlaridan tashqari hajmiy ham ta’sir qiladi. Ammo bizni nuqtaning kuchlanganlik holati qiziqtirganligi uchun tetraedr hajmini cheksiz kichraytiramiz. Bu holda hajmiy kuchlar ham nolga intiladi va pirovardida tetraedr nuqtaga intilganda bu kuchlar nolda aylanadi. Shuning uchun ham hajmiy kuchlarni hisobga olmaymiz. Tashqi sirt kuchlari ta’siri ostidagi qaralayotgan element muvozanat holatida bo‘ladi. U holda tashqi kuchlarning bosh vektori nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni ⃗qnds +⃗q−1ds 1+⃗q−2ds 2+⃗q−3ds 3=0 (1.3) tenglik bajariladi. Agar (1.1) va (1.2) ifodalarni (1.3) tenglikka qo‘ysak hamda takrorlanuvchi indekslar bo‘yicha yig‘indi hisoblanishini esga olsak (“gung” indeksning xossasi), (1.3) tenglikdan ⃗qn=⃗qini (1.4) ifodaga ega bo‘lamiz. Bu tenglik jismning м nuqtasidan o‘tuvchi normali ⃗n bo‘lgan ixtiyoriy maydonchadagi ⃗qn kuchlanish vektorini, koordinat tekisliklaridagi va har biri м nuqtadan o'tuvchi uchta koordinat tekisliklaridagi ⃗qi kuchlanish vektorlari orqali to‘liq aniqlanishini ko‘rsatadi. Endi har qanday vektorni bazis vektorlari bo‘yicha yoyish mumkinligidan foydalanib, ⃗qi va ⃗qn kuchlanish vektorlarini ⃗эj bazis vektorlari orqali quyidagicha yozamiz: ⃗qi=τij⃗эj; ⃗qn= qnj⃗эj, (1.5) bu yerda τij(j=1,3 ) kattaliklar ⃗qi vektorining koordinat o‘qlaridagi proyeksiyalari yoki i - chi koordinat tekisligidagi kuchlanish vektorining komponentalari; qnj - ixtiyoriy maydonchadagi ⃗qn kuchlanish vektorining komponentalari. Umuman uchta koordinat tekisliklaridagi ⃗qi(i=1,2,3 ) uchta kuchlanish vektorlarining to‘qqizta σij(i,j=1,2,3 ) komponentasi bundan keyingi amaliyotimizda muhim rol o‘ynaydi. Endi (1.5) ning birinchi ifodasini (1.4) ga qo‘yib ⃗qn= ⃗qi⋅ni= σij⋅⃗эj⋅ni= σijni⃗эj formulaga ega bo‘lamiz. Olingan ifodani (1.5) ifodalardan ikkinchisining chap tomoniga qo‘yamiz:qnj⋅⃗эj=σijni⃗эj va vektorlarning tengligi shartidan qnj=σijni (1.6) ifodani hosil qilamiz. Bundan ko‘rinadiki, uchta ⃗qi vektorlarining to‘qqizta σij komponentalari ikkinchi rang tenzorning komponentalarini tashkil etadi. Ushbu tenzor kuchlanish tenzori deb ataladi va Tσ bilan belgilanadi. Bu tenzorni matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish qabul qilingan: Тσ=¿ ‖σ11σ12σ13¿‖‖σ21σ22σ23¿‖¿ ¿ ¿¿ yoki Tσ=(σij) (1.7) kuchlanish tenzori σij komponentalarining birinchi indeksi ⃗qi kuchlanish vektori maydonchasiga perpendikular bo‘lgan хi koordinat o‘qining indeksiga to‘g‘ri keladi, ya’ni birinchi indeks tenzorning shu komponentasi хi o‘qqa perpendikular tekislikda ta’sir qilishini ko‘rsatadi. Ikkinchi indeks esa σij komponentaning хj koordinat o‘qi yo‘nalishida ta’sir qilishini ko‘rsatadi. Masalan: σ23 komponenta x2 o‘qiga perpendikular bo‘lgan x1ox3 tekisligiga parallel tekisligida x3 o’q yo‘nalishi bo‘ylab ta’sir qiladi, σ11 komponenta x1 ga perpendikular x20x3 tekisligida x1 yo‘nalishda ta’sir qiladi. Shuning uchun ham (1.7) matritsaning koordinat o‘qlari bo‘ylab yo‘nalgan σii ( bo’ycha yigindi olimmasin) elementlari yoki σ11,σ22,σ33 lar-koordinat tekislikkaridagi normal kuchlanishlar yoki Tσ kuchlanish tenzorining normal komponntalari deyiladi. Matritsaning qolgan σij(i≠ j) elementlari koordinat tekisliklaridagi urinma kuchlanishlar yoki Tσ kuchlanish tenzorining urinma komponentalari deyiladi. Shunday qilib, kuchlanish tenzorining komponentalari berilgan nuqtada va normal kuchlanishlardan iboratdir. Demak, kuchlanish tenzorining σij komponentalari jismning berilgan nuiqtasidagi kuchlanganlik holatini to‘liq aniqlaydi. Boshqacha aytganda, Tσ tenzori ma’lum bolsa, qaralayotgan nuqtadan o‘tuvchi istalgan maydonchada ⃗qn kuchlanish vektorining proyeksiyalarini aniqlash (1.6) formula yordamida oson hal qilinadi: qn1= σ11n1+σ21n2+σ31n3, qn2=σ12n1+σ22n2+σ32n3, qn3= σ13n1+σ23n2+σ33n3, (1.8) Agar qaralayotgan maydoncha jismni o‘rtab turuvchi sirti bilan ustma-ust tushsa yoki uning biror qismi bo‘lsa, ⃗qn kuchlanmish tenzorining qni(i=1,2,3 ) tuzuvchilari jism sirtida ta’sir qilayotgan tashqi sirt kuchlarining tuzuvchilaridan ibort bo‘ladi. U holda (1.8) tenglamalarni jism sirtidagi shartlar deb ataydilar. Ular tashqi kuchlarni ichkilari bilan bog‘laydi. Shu o‘rinda ta’kidlash lozimki, jism nuqtasidagi kuchlanganlik holatini shu nuqta atrofida koordinat o‘qlariga perpendikular bo‘lgan tekisliklar bilan tasvirlash uchun, yoqlari koordinat o‘qlariga parallel bo‘lgan va qirralari nolga intiluvchi parallelepipeddan iborat elementar hajmni alohida qaraydilar. Bunda har bir yoqqa unga mos keluvchi kuchlanishlarning ta’sirlari strelkalar bilan tasvirlanadi (1.6- rasm). Rasmda х1х2х3 Dekart koordinatalari sistemasida 1.6. a)-rasm va odatdagi belgilashlar 1.6. b)-rasm joylashtirilgan parallelepiped tasvirlangan. Elastiklik nazariyasi masalalarini yechishda Dekart koordinatalari sistemasidan boshqa koordinat sistemalaridan ham, xususan, silindrik va sferik koordinatalar sistemalaridan foydalanadilar. Silindrlik (r,θ,z) va sferik (ρ,θ,ϕ) koordinatalar sistemalarida Tσ kuchlanish tenzori quyidagi ko‘rinishlarga ega: Tσ= ¿ ‖σrr σrθ σrz¿‖‖σθr σθθ σθz¿‖¿ ¿ ¿¿ Ushbu koordinat sistemalarida kuchlanish tenzori 1.7-rasmdagi kabi tasvirlanadi. Koordinat o‘qlarini burganda kuchlanish tenzori komponentalarini almashtirish. Faraz qilaylik yevklid fazosida oх1х2х3 ortogonal Dekart х1 koordinatalari sistemasi va uning ⃗эi -ortonormal bazisi hamda o‘qlari oх1х2х3 sistemaning o‘qlariga nisbatan biror burchakka burilgan oх1'х2'х3' ortogonal koordinatalar sistemasi va uning ⃗эi ortonormal bazasi berilgan bo‘lsin (2.8-rasm). Yangi oхi' o‘qi bilan eski oх j o‘qlari orasidagi burchak kosinusini αij bilan belgilaymiz. Ma’lumki, ushbu kosinus ⃗эi va ⃗эj bazis vektorlarining skalyar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi, ya’ni αij= ⃗эi  ⃗эj chunki ⃗эi'⋅⃗эj=|⃗эi'|⋅|⃗эj|cos (xi',xj)=cos (xi',xj)=αij x 3 z a) b) o x 2 o y x 1 x 1.6-rasm. |⃗эi '|=|⃗эj '|=1Qaralayotgan αij kosinus ⃗эi birlik vektorining ⃗эj birlik vektori yo ‘ nalishi - dagi proyeksiyasiga va ikkinchi tomondan αji= αij bo ‘ lgani sababli ⃗эj birlik vektorining ⃗эi birlik vektori yo ‘ nalishidagi proyeksiyasiga teng bo ‘ lgani uchun ⃗эi birlik vektorining eski ⃗эj bazis bo‘yicha yoyilmasi ⃗эi=αi1⃗э1+αi2⃗э2+αi3⃗э3= αij⃗эj (2.1) ko‘rinishga ega boladi. Aksincha ⃗эj vektorining yangi ⃗эi bazisdagi yoyilmasi ⃗эj=αj1⃗э1'+αj2⃗э2'+αj3⃗э3'=αji⃗эi' (2.2) Yuqoridagi (2.1) formuladagi αij koeffitsientlar bir ortonormal bazisdan ikkinchisiga o‘tish matritsasini tashkil etadi. Ushbu matritsa ortogonal bo‘lishini ko‘rish qiyin emas, buning uchun [αij]−1= [αij]T tenglikni tekshirib ko‘rish yetarli. Bu yerda [αij]−1 - teskari [αij]T - transpokirlangan matritsa. Ortogonal matritsa elementlari quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: αikαjk=δij va αkiαkj= δij, δij= 1, 0, i= j i≠ j (2.3) va orthogonal matrisa determinant |αij|=±1 bu yerda musbat ishora ⃗эi va ⃗эj bazis vektorlari bir xil chap yoki o‘ng sistemalar bo‘lsa qo‘yiladi, agar ular har xil sistemalar bo‘lsa, ya’ni ulardan biri chap, ikkinchisi o‘ng sistemalar bo‘lsa manfiy ishora qo‘yiladi. Endi ixtiyoriy ⃗а vektori komponentalarini almashtirish formulasini chiqarish qiyin emas: ⃗а=аi'⃗эi'=aj⃗эj lekin (2.2) ga asosan ai'⃗эi'= aj⋅αji⋅эi'= ajαij⃗эi' x 3 o x 2 x 1 2.1-rasm. bundanai'= ajαij (2.4) Ushbu formula eski koordinat sis temasidan yangisiga o‘tishda vektor komponentalarini almashtirish formulasidir. Xuddi shunday yangi koordinat sistemasidan eskisiga o‘tishda vektor komponentalarini almashtirish formulasini ham topish qiyin emas. Haqiqatan (2.1) ga asosan аj⃗эj= ai'⃗эj'= ai⋅αij⋅⃗эj, ya’ni aj=αijai' (2.5) Endi qaralayotgan koordinat sistemalarida kuchlanish tenzorining komponentalarini almashtirish formulasini chiqaramiz. Тσ ning eski koordinat sistemasidagi komponentalarini σij lar bilan. Yangi koordinat sistemasida esa σrs' lar bilan belgilaymiz. U holda tenzorning invariant ob‘yektligidan foydalanib σij⃗эi⃗эj=σrs'⃗эr'⃗эs' ekanligini ko‘rish qiyin emas. Ushbu ifodaning chap qismiga (2.2) ni ikki marta qo‘llab σrs'⃗эr'⃗эs'= σij⃗эi⃗эj= σij⋅αri⋅⃗эr'⋅αjs⋅⃗эs'= αriαsjσij⃗эr'⃗эs' tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan izlanayotgan σrs'= αri⋅αsj⋅σij (2.6) formulaga ega bo‘lamiz. Burilgan o‘qlarning yo‘naltiruvchi αri va αsj kosinuslari uchun ko‘p ishlatiladigan quyidagi 2.1.-jadvaldagi belgilashlarini kiritamiz. Yuqoridagi (2.6) qonu-niyatdan foydalanib kuchlanish tenzori komponentalarini koordinat o‘qlarini burganda almashtirish formulalarini yoyib yozamiz. Bunda yo‘naltiruvchi kosinuslarning (2.3) xossalaridan hamda 2.1-jadvaldan foydalanamiz: σ11'=σ11ℓ12+σ22m12+σ33n12+2σ12ℓ1m1+2σ23m1n1+2σ31n1ℓ1; σ22'=σ11ℓ22+σ22m22+σ33n22+2σ12ℓ2m2+2σ23m2n2+2σ31n2ℓ2; σ33'=σ11ℓ32+σ22m32+σ33n32+2σ12ℓ3m3+2σ23m3n3+2σ31n3ℓ3; σ12'=σ11ℓ1ℓ2+σ22m1m2+σ33n1n2+σ12(ℓ1m2+ℓ2m2+ +σ23(m1n2+m2n1)+σ31(n1ℓ2+n2ℓ1); σ23'=σ11ℓ2ℓ3+σ22m2m3+σ33n2n3+σ12(ℓ2m3+ℓ3m2+ +σ23(m2n3+m3n2)+σ31(n2ℓ3+n3ℓ2); (2. 7 ) σ31'=σ11ℓ3ℓ1+σ22m3m1+σ33n3n1+σ12(ℓ3m1+ℓ1m3+ +σ23(m3n1+m1n3)+σ31(n3ℓ1+n1ℓ3); Koordinat o‘qlari ixtiyoriy ravishda burilishi mumkin bo‘lganligidan (2.7) formulalar normal σii (I bo‘yicha yig‘indi olinmasin) va urinma σij(i≠ j) kuchlanishlarni jismning qaralayotgan nuqtasidan o‘tuvchi istalgan maydonchada hisoblash imkoniyatini beradi. Yangi оx1'x2'x3' koordinat sistemasidan eski оx1'x2'x3' koordinat sistemasiga qayta o‘tish formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: σ11=σ11'ℓ12+σ22'ℓ22+σ33'ℓ32+2σ12'ℓ1ℓ2+2σ23'ℓ2ℓ3+2σ31'ℓ3ℓ1; σ22=σ11'm12+σ22'm22+σ33'm32+2σ12'm1m2+2σ23'm2m3+2σ31'm3m1; σ33=σ11'n12+σ22'n22+σ33'n32+2σ12'n1n2+2σ23'n2n3+2σ31'n3n1; σ12=σ11'ℓ1m1+σ22'ℓ2m2+σ33'ℓ3m3+σ12'(ℓ1m2+ℓ2m2+ +σ23'(ℓ2m3+ℓ3m2)+σ31'(ℓ3m1+ℓ1m3); σ23=σ11'm1n1+σ22'm2n2+σ33'm3n3+σ12'(m1n2+m2n1)+ +σ23'(m2n3+m3n2)+σ31'(m3n1+m1n3); (2. 8 ) σ31=σ11'n1ℓ1+σ22'n2ℓ2+σ33'n3ℓ3+σ12'(ℓ1n3+ℓ3n1)+ +σ23'(n2ℓ3+n3ℓ2)+σ31'(n3ℓ1+n1ℓ3). Ushbu o‘tish formulasining tenzori ko‘rinishi σij= σrs'αri⋅αsj (2.9) kabi yoziladi. Agar (2.6) bilan (2.7) hamda (2.9) bilan (2.8) formulalari solishtirilganda tenzor tilidagi yozuvning afzalliklari yaqqol namoyon bo‘ladi. Chunki qariyb yarim sahifalik (2.7) yoki (2.8) formulalarni juda qisqa (2.6) yoki (2.7) ko‘rinishida yozish mumkin bo‘ladi. Bosh kuchlanishlar. Kuchlanish tenzori invariantlari. Kuchlanishlarning deviatori va sharsimon tenzori. Yuqorida qattiq jismning normali ⃗n bo’lgan ixtiyoriy qiya tekisligidagi ⃗qn kuchlanish vektorini koordinat tekisliklaridagi uchta ⃗qi(i=1,2,3 ) kuchlanish vektori (1.4) ufoda orqali ifodaladik va bu vektorlar Тσ kuchlanish tenzorining σij komponentalari (1.5) formula yordamida ⃗qi=σij⋅⃗эj (2.10) kabi ifodalandilar. Ikkinchi tomondan normal ⃗n bo’lga ixtiyoriy maydonchadagi ⃗qn vektori ⃗qnn - normal va ⃗qnτ -urinma kuchlanish vektorlarining geometric (2.9-rasm) yigindisi sifatida tasvirlanadi, ya’ni ⃗qn=⃗qnn+⃗qnτ Urinma kuchlanishlar nolda teng bo’lgan maydonchalar bosh maydonchalar deyiladi. Bosh maydonchalardagi kuchlanishlar bosh kuchlanishlar deyiladi va ularning yo’nalishlari kuchlanish tenzorining bosh yo’nalishlari deyiladi va ular doimo uchta bo’ladilar. ds 2.9- rasm Yuqoridagi formuladan ko’rinadiki bosh maydonchalarda ⃗qn=⃗qnn , ya’ni kuchlanish vektori faqat normal kuchlanishdangina iborat bo’ladi. Kuchlanish vektori ⃗qn ning koordinat tekisliklarida ta’sir qilayotgan ⃗qi kuchlanish vektorlarining har biri bitta mos o’q bo’ylab yo’nalgan normal va ikkita urinma komponentalarga ega bo’ladilar. Agar koordinat tekisligi bosh maydoncha bo’lsa, ya’ni bu tekislikda urinma kuchlanishlar nolda teng bo’lsa, ⃗qi vektori komponentalaridan faqat qaralayotgan tekislikka perpendikulyar yo’nalgan o’q bo’ylab yo’nalgan normal komponentasigina noldan farqi bo’ladi. U holda qaralayotgan ⃗qi vektor o’zining shu tekislikdagi normal komponentasi bilan unga mos ⃗эi bazis vektorining ko’paytmasiga teng, boshqacha aytganda ⃗qi vektori mos ⃗эi bazis vektoriga karrali bo’ladi. Ana shu karralilik ko’payturuvchisi bo’lgan skalyar miqdorni σ bilan belgilaymiz. U holda yuqorida aytilganlardan kelib chiqib ⃗qi=σ⋅⃗эi (2.11) deb yozish mumkin (2.10) va (2.11) formulalardan σij⃗эj=σ⃗эi lekin ⃗эi=δij⃗эj bo’lganligi uchun σij⃗эj=σ⋅δij⃗эj tenglikka va bundan (σij− σ⋅δij)⃗эj= 0 (2.12) tenglamaga ega bo’lamiz. Kuchlnish tenzorining bosh yo’nalishini ko’rsatuvchi ⃗эi vektorlarning hammasi, ya’ni ⃗э1⃗э2⃗э3 lar bir vaqtda nolga teng bo’lishlari mumkin emas. Demak, (2.12) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti nilga teng bo’lishi kerak, ya’ni |σij−σδij|=0 (2.13) Bu esa tutash muhitlar mexanikasi kursidan bizga ma’lum bo’lgan arsiy tenglamaning xuddi o’zidir. Ushbu tenglamaning yoyilib yo’zilishi quyidagicha ko’rinishga ega |(σ11−σ)σ12σ3¿||σ21(σ22−σ)σ23¿|¿ ¿ ¿¿ (2.14) va u kuchlanish tenzorining xarakteristik tenglamasi deyiladi. Determinantni hisoblab σ ga nisbatan kubik tenglamaga ega bo’lamiz: σ3− I1(σij)σ2+I2(σij)σ− I3(σij)=0, (2.15) buyerda I1(σij)=σ11+σ22+σ33, I2(σ ij)= ¿ |σ11 σ11 ¿|¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ (2.16) Kuchlanish tenzorining birinchi ikkinchi va ychinchi invariantlari deb ataluvchi I 1 ,I 2 ,I 3 invariantlarni aniqlovchi (2.16) tengliklarni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin I1(σij)= σii, I2(σij)= 1 2(σiσjj− σijσij), I3(σij)=|δij|= 1 3[δijσikσjk−(σss)3]+ +1 2(σiiσjj− σijσij)(σss). (2.17) Kubik (2.15) tenglamaning ildizlarini, ya’ni Тσ kuchlanish tenzorining bosh qiymatlarini σi lar orqali belgilaymiz. Odatda bosh kuchlanishlarning raqamlar ularning aldebraik ma’noda kamayib borishi tartibida qabul qilinadi σ1>σ2>σ3. Tσ=(σij) kuchlanish tenzorining biror bosh o’qi bi’ylab yonalgan birlik vektori ⃗n ning yo’naltiruvchi kosinuslariga teng bo’ladilar va (σij−σ δij)nj= 0 (2.18) hamda nj⋅nj=1 (2.19) tenglamalardan aniqlanadilar. Kuchlanish tenzori (σij) ning σ1,σ2,σ3 bosh qiymatlarini birin-ketin (2.18) da σ ning o’rniga qo’yib va olingan uchta guruh tenglamalarini har safar (2.19) bilan birga ycchib uch guruh n1j,n2j,n3j yo’naltiruvchi kosinuslarni topamiz. Xuddi shu kosinuslar kuchlanish tenzorining uchta bosh o’qlari yo’nalishlarini aniqlaydilar. Agar koordinat o’qlari (σij) tenzorining bosh o’qlari bo’ylab yo’naltirilsa, unung normal komponentalari σ1,σ2,σ3 bosh kuchlanishlar bo’ladilar, urinma σij(i≠ j) kuchlanishlar nolga aylanadilar. Demak, bu holda kuchlanish tenzorining (2.7) matrisasi diogonal matrisadan iborat bo’ladi: Тσ=(σij)=¿ ‖σ1oo¿‖‖oσ2o¿‖¿ ¿ ¿¿ (2.20) Koordinat o’qlari shunday yo’naltirilganda (σij) tenzorning invariantlarini aniqlovchi (2.17) formulalar quyidagi ko’rinishni oladilar I1(σij)= σ1+σ2+σ3, I2(σij)= σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1, I3(σij)= σ1σ2σ3. (2.21) Endi kuchlanish tenzorining simmetrik tenzor ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy v hajmli jism harakat miqdori momenti tenglamasining differensial shaklidan foydalanamiz [Sedov] ρd⃗k dt = ρ ⃗h+∇ i⃗Qi+(⃗эi⋅⃗эj)σij. (2.22) Bu yerda ⃗k -ichki kuchlar momenti, ⃗Q -jism sirtida ta’sir etuvchi taqsimlangan juftlar momenti; ρ⃗h -massaviy (hajmiy) kuchlar momenti; (⃗эi⋅⃗эj)σij ichki kuchlanish vektori momenti. Elastiklik klassik nazariyasi doirasida ichki, hajmiy va taqsimlangan sirt juftlarining momentlari nolga teng. U holda (2. 22 ) dan (⃗эi⋅⃗эj)σij=0 (2. 23 ) tenglikka ega bo’lamiz va uni (⃗эi⋅⃗эj) j<i σij+(⃗эi¿⃗эj) j>i σij= 0 ko’rinishda yo’zib olamiz. Bu yerda I= j holda (⃗эi⋅⃗эj) =0 bo’lganligi sababli (2.23) tenglama aynan qanoatlantiriladi va shuning uchun bu hol qaralmagan. Oxirgi tenglikning ikkinchi yig’indisida ( I va j lar gung ekanligini e’tiborga oling) yig’indilar hisoblanuvchi indekslar j ni I ga, I ni esa j ga almashtirib (⃗эi⋅⃗эj) j<i σij+(⃗эi¿⃗эj) j<i σij= 0 (2.24) tenglikka ega bo’lamiz. Lekin vektorlari ko’paytmalarning xossasiga asosan (⃗эi⋅⃗эj) j<i (σji− σij)= 0 bundan σij= σji (2.25) Buyerdan kuchlanish tenzori Tσ ning simmetrikligi ko’rinadi. Unung deviator va sharsimon qismlariga yoyish mumkin. Ana shunday amaliyotni kuchlanish tenzori uchun amalga oshiramiz, ya’ni Tσ=(σij) kuchlanish tenzorini, simmetrik tenzor bo’lganligidan, sharasimon kuchlanish tenzori va kuchlanish deviatoriga yoyamiz: σij= σoδij+~σij, (2.26) buyerda σoδij -kuchlanishlar sharsimon tenzori komponentalari; ~σij -kuchlanish deviatori komponentalari; σo -o’rtacha normal kuchlanish, ya’ni σo= σkk 3 = I1(σij)/3 (2.27) Kuchlanishlar sharsimon tenzorining birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari (2.21) ga asosan I1(σoδij)= 3σo= I1(σij); I2(σoδij)=3σo2= I12(σij)/3; I3(σoδij)=σo3= I13(σij)/27 . (2.28) tengliklar bilan aniqlanadilar. Kuchlanish deviatori (~σij) ning birinchi, ikkinchi va uchinchi invariantlari quyidagicha aniqlanadi: I1(~σij)=0; I2(~σij)=I2(σij)−1 3I12(σij); I3(~σij)=I3(σij)−I1(σij)I2(σij)/3+ 2 27 I13(σij). (2.29) Kuchlanish sharsimon tenzorining matrisasi (σoδij)=¿ ‖σooo¿‖‖oσoo¿‖¿ ¿ ¿¿ (2.30) va kuchlanish deviatorining matrisasi ( ~σij)=¿ ‖oσ12σ13¿‖‖σ21oσ23¿‖¿ ¿ ¿¿ (2.31) ku’rinishlarga bo’ladilar. Amalda kuchlanishlarning sharsimon tenzori va deviatorining (2.30) va (2.31) ko’rinishlari ko’proq ishlatiladi. Darslik va o’quv qo’llanmalar 1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, 2003 y. 2. Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 4. Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 1990г. 400ст.

Hajmiy va Sirt kuchlari, Massa zichligi.Koshi kuchlanishi, kesish usuli. Kuchlanish tenzori

Купить