Ikki karrali integrallar

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	654.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	11 Июнь 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Юриспруденция

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

96 Продаж

Ikki karrali integrallar

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
“Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi
“Matematik analiz” fanidan
Kurs ishi
Mavzu:” Ikki karrali integrallar ”
Bajardi: 2-kurs 23.05-guruh talabasi
Ilmiy raxbar:
Farg‘ona-2025

Mundarija
KIRISH ................................................................................................................... 2
MATEMATIKA SOHASIDAGI TA’LIM SIFATINI OSHIRISH VA ILMIY
- ................................................................................................................................ 2
KIRISH
MATEMATIKA SOHASIDAGI TA’LIM SIFATINI OSHIRISH VA ILMIY -
TADQIQOTLARNI RIVOJLANTIRISH CHORA-TADBIRLARI
TO‘G‘RISIDAGI
Mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning
ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida matematika
ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli
ishlar amalga oshirildi:

birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh
matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi
uchun zarur shart-sharoit yaratildi;
ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va
ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi;
uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro
integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida Talabalar shaharchasida Fanlar
akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining (keyingi
o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika
sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga
oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va
asbob uskunalar xarid qilindi;
to‘rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi
sifatida stajor-tadqiqotlik instituti joriy etildi;
beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf
etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini
Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh
vaziri raisiligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil
etildi.
Shu bilan birga, sohada yechimini topmagan qator masalalar matematika
sohasidagi ta’lim sifati va ilmiy-tadqiqot samaradorligini oshirishga qaratilgan
chora-tadbirlarni amalga oshirish zaruratini ko‘rsatmoqda. Jumladan:
birinchidan, matematika ta’limotining ta’lim olish bosqichlari o‘rtasidagi
uzviylik to‘liq ta’minlanmagan;
ikkinchidan, umumta’lim maktablarida matematika darsliklari
o‘quvchilarning yoshiga nisbatan fanni o‘zlashtirishni qiyinlashtiruvchi murakkab
masalalardan iborat va boshqa fanlarda o‘tiladigan mavzular bilan
uyg‘unlashtirilmagan;
uchinchidan, matematikaga qiziquvchan, xalqaro olimpiadalar g‘oliblari
bo‘lgan aksariyat iqtidorli yoshlarimiz hududlardan bo‘lishiga qaramasdan

ularning kelgusi rivojlanishi uchun oliy ta’lim va ilm-fan sohasida zarur
shartsharoit yaratib berilmagan;
to‘rtinchidan, matematika sohasidagi ilmiy-tadqiqotning amaliyot va
ishlab chiqarish bilan bog‘liqligi zaifligicha saqlanib qolmoqda;
beshinchidan, sohadagi olimlarning xorijiy ilmiy va ta’lim muassasalari
bilan aloqalari milliy matematikani jahon miqyosiga olib chiqish, xalqaro
hamjamiyatda nufuzini oshirish uchun yetarli emas.
Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini
yanada takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo‘llab-quvvatlash,
ilmiy-tadqiqot ishlarining ko‘lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish,
xalqaro hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash, shuningdek, 2017 —
2021yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor
yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasini “Ilm, ma’rifat va raqamli
iqtisodiyotni rivojlantirish yili”da amalga oshirishga oid davlat dasturida
belgilangan.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-
mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir.
Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud
imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan
biridir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga
yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu
bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli,
go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Maktabda matematika fanini o‘qitish jarayonida ilg‘or pedagogik
texnologiyalardan foydalanish–o‘qitish samaradorligini oshirishning omillaridan
biri sifatida yaqqol ko‘zga ko‘rinmoqda. Chunki o‘qitishning ilg‘or, nostandart
(interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga,

o‘quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o‘quv
mashg‘ulotlarini takomillashtirish yo‘llaridan biri.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Matematik analiz kursi davomida
K arrali integrallar haqida olgan bilim ko nikmalarni mustahkamlash.ʻ Ikki karrali
integrallar haqida chuqurroq bilimlarga ega bo‘lish , mavzuga doir ma’lumotlar
yig‘ish va rejani shakllantirish, matematik analiz fanini chuqurroq o‘rganish, ikki
karrali integrallarni yaxshiroq o‘rganish.
Karrali integrallar
Matematika va fanning bushqa tarmoqlarida ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalaming integrallari bilan bog‘liq masalalarga duch kelamiz. Binobarin,
ularni karrali integrallarni o‘rganish vazifasi yuzaga keladi. Karrali integrallar
nazariyasida ham, aniq integrallar nazariyasidagidek, integralning mavjudligi,
uning xossalari, karrali integralni hisoblash, integralning tatbiqlari o‘rganiladi.
Bunda aniq integral haqidagi ma'lumotlardan muttasil foydalana boriladi.
1-§. Ikki karrali integral haqida tushunchalar.
Integralning ta'rifi . Tekislikda biror chegaralangan (D) soha (shakl) berilgan
bo‘lsin. Bu sohaning bo‘laklashlari to‘plamini bilan belgilaymiz.
Aytaylik,(D) sohada aniqlangan. Bu (D) sohaning

bo‘laklashini va bu bo‘laklashning har bir (D ) (k=1,2,…,n) bo‘lagida ixtiyoriyₖ
(ξ , ) (k=1,2,…,n) nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning (ξ , ) nuqtadagi
ₖ ɳₖ ₖ ɳₖ
qiymati f(ξ ) ni D (D - (D )sohaning yuziga ko‘paytirib, quyidagi
ₖɳₖ ₖ ₖ ₖ
σ= ( ξ , )D
ₖ ɳₖ ₖ
yig‘indini tuzamiz.
1-ta’rif . Ushbu
Σ= ( ξ , )D
ₖ ɳₖ ₖ
yig‘indi, funksiyaning integral yig‘indisi yoki Riman yig‘indisi deb
ataladi.
Masalan. funksiyaning (D) sohadagi integral yig‘indisi
σ= ( ξ , )D =
ₖ ɳₖ ₖ ( ξ , )D ₖ ɳₖ ₖ
bo‘ladi, bunda
( ξ , ) (D )
ₖ ɳₖ ϵ ₖ (k=1,2,…,n)
Yuqorida keltirilgan ta'rifdan ko‘rinadiki, funksiyaning integral
yig‘indisi σ qaralayotgan funksiyaga, (D) sohaning bo‘laklash usuliga
ham har bir (D ) dan olingan
ₖ ( ξ , ) ₖ ɳₖ nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi;
σ =σ
ₚ ₚ ( ξ , )D ₖ ɳₖ ₖ
Endi (D) sohaning shunday
P , P ,…,P
₁ ₂ ₘ
bo‘laklashlarni qaraymizki. Ularning diametrlaridan tashkil topgan

λ , λ , …,λᴘ₁ ᴘ₂ ᴘₘ
ketma-ketlik nolga intilsin: λ
ₚₘ –›0. Bunday P (m=1, 2,… ) bo‘laklashlarga ₘ
nisbatan funksiyaning integral yig‘indisini tuzamiz:
σ =
ₘ ( ξ , )D ₖ ɳₖ ₖ
Natijada D sohaning P , P ,…,P bo‘laklariga mos
₁ ₂ ₘ funksiya integral
yig‘indilari qiymatlaridan iborat quyidagi
σ , σ ,...,σ ,…
₁ ₂ ₘ
ketma-ketlik hosil bo‘ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi ( ξ , )
ₖ ɳₖ nuqtalarga
bog‘liq.
2- ta’rif . Agar (D) sohaning har qanday P , P ,…,P bo‘laklashlar kelma-
₁ ₂ ₘ
kelligi {P } olinganda ham, unga mos integral yig‘indi qiymatlaridan iborat
ₘ
{σ } ketma- ketlik,
ₘ ( ξ , ) ₖ ɳₖ nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda
hamma vaqt bitta J songa intilsa, bu J son σ yig‘indining limiti deb ataladi va
kabi belgilanadi.
Integral yig‘indining limitini quyidagicha ham ta'riflash mumkin.
3- ta’rif . Agar >0 son olinganda ham, shunday δ>0 topilsaki, (D) sohaning
diametri λ δ bo‘lgan har qanday P bo‘laklashi hamda har bir (D ) bo‘lakdagi
ₚ˃ ₖ
ixtiyoriy (ξ , ) lar uchun
ₖ ɳₖ
|σ–|J|<ε
tengsizlik bajarilsa. J son σ yig‘indining limiti deb alaladi va u

kabi belgilanadi.
4-ta’rif . Agar da funksiyaning integral yig‘indisi σ chekli
limitga ega bo‘lsa, funksiya (D) sohada integrallanuvchi (Riman ma'nosida
integrallanuvchi) funksiya deyiladi. Bu σ yig‘indining chekli limiti J esa
funksiyaning (D) soha bo‘yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va
kabi belgilanadi. Demak,

Masalan. funksiyaning (D) soha bo‘yicha integral
yig‘indisi
bc'lib. da bo‘ladi. Demak,
.
Xususan, bo‘lganda

bo‘ladi.

l-eslatma . Agar funksiya (D) sohada chegaralanmagan bo‘lsa, u shu
sohada integrallanmaydi.
Darbu yig 'indilari. Ikki karrali integralning boshqacha ta 'rifi. 1).Darbu
yig‘indilari. funksiya (D) R² sohada berilgan bo‘lib, u shu sohada⸦
chegaralangan bo‘lsin. Demak, shunday o‘zgarmas m va M sonlar mavjudki,
da

bo‘ladi.
(D) sohaning biror P bo‘laklashni olaylik. Bu bo‘laklashning har bir (D )
ₖ
(k =1,2,...,n) bo‘lagida funksiya chegaralangan bo‘lib, uning aniq
chegaralari

mavjud bo‘ladi. Ravshanki , uchun

tengsizlik o‘rinli.
5-ta’rif . Ushbu
yig‘indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig‘indilari deb ataladi.
Bu ta'rifdan, Darbu yig‘indilarining funksiyaga hamda (D) sohaning
bo‘laklashiga bog‘liq ekanligi ko‘rinadi:

Shuningdek, har doim

bo‘ladi.
Yuqoridagi tengsizlikdan foydalanib quyidagini topamiz:

Demak,
8

Shunday qilib, funksiyaning integral yig‘indisi har doim uning Darbu
yig‘indilari orasida bo‘lar ekan.
Aniq chegaraning xossasiga ko‘ra

bo‘ladi. Natijada ushbu

tengsizliklarga kelamiz. Demak, uchun

bo‘ladi. Bu esa Darbu yig‘indilarining chegaralanganligini bildiradi.

Ikki karrali integralning boshqacha ta'rifi . funksiya
sohada berilgan bo‘lib. U shu sohada chegaralangan bo‘lsin. (D) sohaning
bo‘laklashlari to‘plami ning har bir bo‘laklashiga nisbatan
funksiyaning Darbu yig‘indilari, s (f),S (f) ni tuzib,ₚ ₚ
{s (f)}, {S (f)}
ₚ ₚ
to‘plamlarni qaraymiz. Bu to‘plamlar ga ko‘ra chegaralangan
bo‘ladi.
6-ta'rif . {s (f)} to‘plamning aniq yuqori chegarasi
ₚ funksiyaning (D)
sohadagi quyi ikki karrali integrali (quyi Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
{S (f)} to‘plamning aniq quyi chegarasi
ₚ funksiyaning (D) sohadagi
yuqori ikki karrali integrali (yuqori Riman integrali) deb ataladi va

kabi belgilanadi. Demak,
.
7-ta'rif . Agar funksiyaning (D) sohada quyi hamda yuqori ikki karrali
integrallar bir-biriga teng bo‘lsa, funksiya (D) sohada integrallanuvchi
deb ataladi , ularning umumiy qiymati

funksiyaning (D) sohadagi ikki karrali integrali (Riman integrali)
deyiladi va u
kabi belgilanadi. Demak,
Agar
bo‘lsa, funksiya (D) sohada integrallanmaydi deb ataladi.

2-§.Ikki karrali integral xossalari.
Quyida funksiya ikki karrali integralining xossalarini o‘rganamiz.
Ikki karrali integral ham aniq integralning xossalari singari xossalarga ega. Ularni
asosan isbotsiz keltiramiz.

1) funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Bu
funksiyaning (D) sohaga tegishli bo‘lgan nol yuzli L chiziqdagi
qiymatlarinigina (chegaralanganligini saqlagan holda) o‘zlashtirishdan hosil
bo‘lgan funksiya ham (D) sohada integrallanuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
◄ Ravshanki, uchun
f(x,y)=F(x,y)
Shartga ko‘ra L nol yuzli chiziq. Unda olinganda ham, shunday
δ> 0 topiladiki, (D) sohaning diametri λ <δ bo‘lgan har qanday P bo‘laklashiₚ
olinganda ham, bu bo‘laklashning L chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan
bo‘laklari yuzlarining yig‘indisi ε dan kichik bo‘ladi. Shu P bo‘laklashga nisbatan
va funksiyalaning ushbu integral yig‘indilarini tuzamiz:
σ (f) yig‘indini quyidagicha ikki qismga ajratamiz:
ₚ

bunda yig‘indi L chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan (D ) bo‘laklar
ₖ
bo‘yicha olingan, esa qolgan barcha xadlardan tashkil topgan yig‘indi.

$Xuddi shunga o‘xshash Agar uchun ekanini e'tiborga olsak, u holda bo‘lishi kelib chiqadi. Bunda M = sup|f(x,y)-F(x,y)|, ((x,y) (D)\L. Demak, . Keyingi tengsizlikda da limitga o‘tib quyidagini topamiz: 2) funksiya (D) sohada berilgan bo‘lib, (D) soha nol yuzli L chiziq bilan (D ) va (D ) sohalarga ajralgan bo‘lsin. Agar ₁ ₂ funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya (D ) va (D ) sohalarda ham integrallanuvchi ₁ ₂ bo‘ladi. Va aksincha, ya'ni funksiya (D ) va (D ) sohalarning har birida ₁ ₂ integrallanuvchi bo‘lsa, (D) sohada ham integrallanuvchi bo‘ladi. Bunda 3) Agar funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu fo‘rmula o‘rinli bo‘ladi.$