Ikki karrali integrallar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	654.5KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	11 Iyun 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Huquqshunoslik

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

87 Sotish

Ikki karrali integrallar

Sotib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM , FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-matematika fakulteti
“Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi
“Matematik analiz” fanidan
Kurs ishi
Mavzu:” Ikki karrali integrallar ”
Bajardi: 2-kurs 23.05-guruh talabasi
Ilmiy raxbar:
Farg‘ona-2025

Mundarija
KIRISH ................................................................................................................... 2
MATEMATIKA SOHASIDAGI TA’LIM SIFATINI OSHIRISH VA ILMIY
- ................................................................................................................................ 2
KIRISH
MATEMATIKA SOHASIDAGI TA’LIM SIFATINI OSHIRISH VA ILMIY -
TADQIQOTLARNI RIVOJLANTIRISH CHORA-TADBIRLARI
TO‘G‘RISIDAGI
Mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning
ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida matematika
ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli
ishlar amalga oshirildi:

birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh
matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi
uchun zarur shart-sharoit yaratildi;
ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va
ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi;
uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro
integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida Talabalar shaharchasida Fanlar
akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining (keyingi
o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika
sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga
oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va
asbob uskunalar xarid qilindi;
to‘rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi
sifatida stajor-tadqiqotlik instituti joriy etildi;
beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf
etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini
Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh
vaziri raisiligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil
etildi.
Shu bilan birga, sohada yechimini topmagan qator masalalar matematika
sohasidagi ta’lim sifati va ilmiy-tadqiqot samaradorligini oshirishga qaratilgan
chora-tadbirlarni amalga oshirish zaruratini ko‘rsatmoqda. Jumladan:
birinchidan, matematika ta’limotining ta’lim olish bosqichlari o‘rtasidagi
uzviylik to‘liq ta’minlanmagan;
ikkinchidan, umumta’lim maktablarida matematika darsliklari
o‘quvchilarning yoshiga nisbatan fanni o‘zlashtirishni qiyinlashtiruvchi murakkab
masalalardan iborat va boshqa fanlarda o‘tiladigan mavzular bilan
uyg‘unlashtirilmagan;
uchinchidan, matematikaga qiziquvchan, xalqaro olimpiadalar g‘oliblari
bo‘lgan aksariyat iqtidorli yoshlarimiz hududlardan bo‘lishiga qaramasdan

ularning kelgusi rivojlanishi uchun oliy ta’lim va ilm-fan sohasida zarur
shartsharoit yaratib berilmagan;
to‘rtinchidan, matematika sohasidagi ilmiy-tadqiqotning amaliyot va
ishlab chiqarish bilan bog‘liqligi zaifligicha saqlanib qolmoqda;
beshinchidan, sohadagi olimlarning xorijiy ilmiy va ta’lim muassasalari
bilan aloqalari milliy matematikani jahon miqyosiga olib chiqish, xalqaro
hamjamiyatda nufuzini oshirish uchun yetarli emas.
Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini
yanada takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo‘llab-quvvatlash,
ilmiy-tadqiqot ishlarining ko‘lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish,
xalqaro hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash, shuningdek, 2017 —
2021yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor
yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasini “Ilm, ma’rifat va raqamli
iqtisodiyotni rivojlantirish yili”da amalga oshirishga oid davlat dasturida
belgilangan.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning
murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-
mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir.
Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud
imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan
biridir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga
yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu
bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli,
go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi.
Maktabda matematika fanini o‘qitish jarayonida ilg‘or pedagogik
texnologiyalardan foydalanish–o‘qitish samaradorligini oshirishning omillaridan
biri sifatida yaqqol ko‘zga ko‘rinmoqda. Chunki o‘qitishning ilg‘or, nostandart
(interfaol) shakllari-ta’lim-tarbiya masalalarini unumli yechishga,

o‘quvchilarning bilish faoliyatini kuchaytirishga qaratilgan o‘quv
mashg‘ulotlarini takomillashtirish yo‘llaridan biri.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Matematik analiz kursi davomida
K arrali integrallar haqida olgan bilim ko nikmalarni mustahkamlash.ʻ Ikki karrali
integrallar haqida chuqurroq bilimlarga ega bo‘lish , mavzuga doir ma’lumotlar
yig‘ish va rejani shakllantirish, matematik analiz fanini chuqurroq o‘rganish, ikki
karrali integrallarni yaxshiroq o‘rganish.
Karrali integrallar
Matematika va fanning bushqa tarmoqlarida ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalaming integrallari bilan bog‘liq masalalarga duch kelamiz. Binobarin,
ularni karrali integrallarni o‘rganish vazifasi yuzaga keladi. Karrali integrallar
nazariyasida ham, aniq integrallar nazariyasidagidek, integralning mavjudligi,
uning xossalari, karrali integralni hisoblash, integralning tatbiqlari o‘rganiladi.
Bunda aniq integral haqidagi ma'lumotlardan muttasil foydalana boriladi.
1-§. Ikki karrali integral haqida tushunchalar.
Integralning ta'rifi . Tekislikda biror chegaralangan (D) soha (shakl) berilgan
bo‘lsin. Bu sohaning bo‘laklashlari to‘plamini bilan belgilaymiz.
Aytaylik,(D) sohada aniqlangan. Bu (D) sohaning

bo‘laklashini va bu bo‘laklashning har bir (D ) (k=1,2,…,n) bo‘lagida ixtiyoriyₖ
(ξ , ) (k=1,2,…,n) nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning (ξ , ) nuqtadagi
ₖ ɳₖ ₖ ɳₖ
qiymati f(ξ ) ni D (D - (D )sohaning yuziga ko‘paytirib, quyidagi
ₖɳₖ ₖ ₖ ₖ
σ= ( ξ , )D
ₖ ɳₖ ₖ
yig‘indini tuzamiz.
1-ta’rif . Ushbu
Σ= ( ξ , )D
ₖ ɳₖ ₖ
yig‘indi, funksiyaning integral yig‘indisi yoki Riman yig‘indisi deb
ataladi.
Masalan. funksiyaning (D) sohadagi integral yig‘indisi
σ= ( ξ , )D =
ₖ ɳₖ ₖ ( ξ , )D ₖ ɳₖ ₖ
bo‘ladi, bunda
( ξ , ) (D )
ₖ ɳₖ ϵ ₖ (k=1,2,…,n)
Yuqorida keltirilgan ta'rifdan ko‘rinadiki, funksiyaning integral
yig‘indisi σ qaralayotgan funksiyaga, (D) sohaning bo‘laklash usuliga
ham har bir (D ) dan olingan
ₖ ( ξ , ) ₖ ɳₖ nuqtalarga bog‘liq bo‘ladi;
σ =σ
ₚ ₚ ( ξ , )D ₖ ɳₖ ₖ
Endi (D) sohaning shunday
P , P ,…,P
₁ ₂ ₘ
bo‘laklashlarni qaraymizki. Ularning diametrlaridan tashkil topgan

λ , λ , …,λᴘ₁ ᴘ₂ ᴘₘ
ketma-ketlik nolga intilsin: λ
ₚₘ –›0. Bunday P (m=1, 2,… ) bo‘laklashlarga ₘ
nisbatan funksiyaning integral yig‘indisini tuzamiz:
σ =
ₘ ( ξ , )D ₖ ɳₖ ₖ
Natijada D sohaning P , P ,…,P bo‘laklariga mos
₁ ₂ ₘ funksiya integral
yig‘indilari qiymatlaridan iborat quyidagi
σ , σ ,...,σ ,…
₁ ₂ ₘ
ketma-ketlik hosil bo‘ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi ( ξ , )
ₖ ɳₖ nuqtalarga
bog‘liq.
2- ta’rif . Agar (D) sohaning har qanday P , P ,…,P bo‘laklashlar kelma-
₁ ₂ ₘ
kelligi {P } olinganda ham, unga mos integral yig‘indi qiymatlaridan iborat
ₘ
{σ } ketma- ketlik,
ₘ ( ξ , ) ₖ ɳₖ nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda
hamma vaqt bitta J songa intilsa, bu J son σ yig‘indining limiti deb ataladi va
kabi belgilanadi.
Integral yig‘indining limitini quyidagicha ham ta'riflash mumkin.
3- ta’rif . Agar >0 son olinganda ham, shunday δ>0 topilsaki, (D) sohaning
diametri λ δ bo‘lgan har qanday P bo‘laklashi hamda har bir (D ) bo‘lakdagi
ₚ˃ ₖ
ixtiyoriy (ξ , ) lar uchun
ₖ ɳₖ
|σ–|J|<ε
tengsizlik bajarilsa. J son σ yig‘indining limiti deb alaladi va u

kabi belgilanadi.
4-ta’rif . Agar da funksiyaning integral yig‘indisi σ chekli
limitga ega bo‘lsa, funksiya (D) sohada integrallanuvchi (Riman ma'nosida
integrallanuvchi) funksiya deyiladi. Bu σ yig‘indining chekli limiti J esa
funksiyaning (D) soha bo‘yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va
kabi belgilanadi. Demak,

Masalan. funksiyaning (D) soha bo‘yicha integral
yig‘indisi
bc'lib. da bo‘ladi. Demak,
.
Xususan, bo‘lganda

bo‘ladi.

l-eslatma . Agar funksiya (D) sohada chegaralanmagan bo‘lsa, u shu
sohada integrallanmaydi.
Darbu yig 'indilari. Ikki karrali integralning boshqacha ta 'rifi. 1).Darbu
yig‘indilari. funksiya (D) R² sohada berilgan bo‘lib, u shu sohada⸦
chegaralangan bo‘lsin. Demak, shunday o‘zgarmas m va M sonlar mavjudki,
da

bo‘ladi.
(D) sohaning biror P bo‘laklashni olaylik. Bu bo‘laklashning har bir (D )
ₖ
(k =1,2,...,n) bo‘lagida funksiya chegaralangan bo‘lib, uning aniq
chegaralari

mavjud bo‘ladi. Ravshanki , uchun

tengsizlik o‘rinli.
5-ta’rif . Ushbu
yig‘indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig‘indilari deb ataladi.
Bu ta'rifdan, Darbu yig‘indilarining funksiyaga hamda (D) sohaning
bo‘laklashiga bog‘liq ekanligi ko‘rinadi:

Shuningdek, har doim

bo‘ladi.
Yuqoridagi tengsizlikdan foydalanib quyidagini topamiz:

Demak,
8

Shunday qilib, funksiyaning integral yig‘indisi har doim uning Darbu
yig‘indilari orasida bo‘lar ekan.
Aniq chegaraning xossasiga ko‘ra

bo‘ladi. Natijada ushbu

tengsizliklarga kelamiz. Demak, uchun

bo‘ladi. Bu esa Darbu yig‘indilarining chegaralanganligini bildiradi.

Ikki karrali integralning boshqacha ta'rifi . funksiya
sohada berilgan bo‘lib. U shu sohada chegaralangan bo‘lsin. (D) sohaning
bo‘laklashlari to‘plami ning har bir bo‘laklashiga nisbatan
funksiyaning Darbu yig‘indilari, s (f),S (f) ni tuzib,ₚ ₚ
{s (f)}, {S (f)}
ₚ ₚ
to‘plamlarni qaraymiz. Bu to‘plamlar ga ko‘ra chegaralangan
bo‘ladi.
6-ta'rif . {s (f)} to‘plamning aniq yuqori chegarasi
ₚ funksiyaning (D)
sohadagi quyi ikki karrali integrali (quyi Riman integrali) deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
{S (f)} to‘plamning aniq quyi chegarasi
ₚ funksiyaning (D) sohadagi
yuqori ikki karrali integrali (yuqori Riman integrali) deb ataladi va

kabi belgilanadi. Demak,
.
7-ta'rif . Agar funksiyaning (D) sohada quyi hamda yuqori ikki karrali
integrallar bir-biriga teng bo‘lsa, funksiya (D) sohada integrallanuvchi
deb ataladi , ularning umumiy qiymati

funksiyaning (D) sohadagi ikki karrali integrali (Riman integrali)
deyiladi va u
kabi belgilanadi. Demak,
Agar
bo‘lsa, funksiya (D) sohada integrallanmaydi deb ataladi.

2-§.Ikki karrali integral xossalari.
Quyida funksiya ikki karrali integralining xossalarini o‘rganamiz.
Ikki karrali integral ham aniq integralning xossalari singari xossalarga ega. Ularni
asosan isbotsiz keltiramiz.

1) funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Bu
funksiyaning (D) sohaga tegishli bo‘lgan nol yuzli L chiziqdagi
qiymatlarinigina (chegaralanganligini saqlagan holda) o‘zlashtirishdan hosil
bo‘lgan funksiya ham (D) sohada integrallanuvchi bo‘lib,
bo‘ladi.
◄ Ravshanki, uchun
f(x,y)=F(x,y)
Shartga ko‘ra L nol yuzli chiziq. Unda olinganda ham, shunday
δ> 0 topiladiki, (D) sohaning diametri λ <δ bo‘lgan har qanday P bo‘laklashiₚ
olinganda ham, bu bo‘laklashning L chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan
bo‘laklari yuzlarining yig‘indisi ε dan kichik bo‘ladi. Shu P bo‘laklashga nisbatan
va funksiyalaning ushbu integral yig‘indilarini tuzamiz:
σ (f) yig‘indini quyidagicha ikki qismga ajratamiz:
ₚ

bunda yig‘indi L chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan (D ) bo‘laklar
ₖ
bo‘yicha olingan, esa qolgan barcha xadlardan tashkil topgan yig‘indi.

$Xuddi shunga o‘xshash Agar uchun ekanini e'tiborga olsak, u holda bo‘lishi kelib chiqadi. Bunda M = sup|f(x,y)-F(x,y)|, ((x,y) (D)\L. Demak, . Keyingi tengsizlikda da limitga o‘tib quyidagini topamiz: 2) funksiya (D) sohada berilgan bo‘lib, (D) soha nol yuzli L chiziq bilan (D ) va (D ) sohalarga ajralgan bo‘lsin. Agar ₁ ₂ funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya (D ) va (D ) sohalarda ham integrallanuvchi ₁ ₂ bo‘ladi. Va aksincha, ya'ni funksiya (D ) va (D ) sohalarning har birida ₁ ₂ integrallanuvchi bo‘lsa, (D) sohada ham integrallanuvchi bo‘ladi. Bunda 3) Agar funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ham shu sohada integrallanuvchi va ushbu fo‘rmula o‘rinli bo‘ladi.$

4) Agar va funksiyalar (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa. u
holda funksiya ham shu sohada inlegrallanuvchi va ushhu

formula o‘rinli bo‘ladi.
1-natija. Agar , ,…, funksiyalarning har biri (D) sohada
integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ushbu

funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va

bo‘ladi.
5) Agar funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lib.
uchun bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
2- natija. Agar va funksiyalar (D) sohada integrallanuvchi
bo‘lib, uchun
bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
6) Agar funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
funksiya ham shu sohada integrallanuvchi va

bo‘ladi.
7) O‘rta qiymat haqidagi teoremalar. funksiya (D) sohada berilgan va u
shu sohada chegaralangan bo‘lsin. Demak, shunday m va M o‘zgarmas sonlar
mavjudki, uchun

bo‘ladi.
1-teorema. Agar funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda
shunday o‘zgarmas son mavjudki.

bo‘ladi, bunda D-(D) sohaning yuzi.
3-natija. Agar funksiya yopiq (D) sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu
sohada shunday nuqta topiladiki,
bo‘ladi.

2-teorema. Agar funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lib, u shu
sohada o‘z ishorasini o‘zgartirmasa va funksiya (D) sohada uzluksiz
bo‘lsa, u holda shunday nuqta topiladiki,

bo‘ladi.
8) Integrallash sohasi o‘zgaruvchi bo‘lgan ikki karrali integrallar.
funksiya (D) sohada berilgan bo‘lib, u shu sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Bu
funksiya, (D) sohaning yuzga ega bo‘lgan har qanday (d) qismida
ham integrallanuvchi bo‘ladi. Ravshanki, ushbu

integral (d) ga bog‘liq bo‘ladi.
(D) sohaning yuzga ega bo‘lgan har hir (d) qismiga yuqoridagi integralni mos
qoyamiz:
Natijada funksiya hosil bo‘ladi. Odatda bu
funksiya sohaning funksiyasi deb ataladi.
(D) sohada biror nuqtani olaylik. (d) esa shu nuqtani o‘z ichiga olgan
va bo‘lgan soha bo‘lsin. Bu sohaning yuzi d diametri esa λ bo‘lsin.

Agar da nisbatning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, bu
limit funksiyaning nuqtadagi soha bo‘yicha hosilasi deb ataladi.
Agar funksiya (D) sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiyaning
nuqtadagi soha bo‘yicha hosilasi ga teng bo‘ladi.
Ikki karrali integralning mavjudligi. funksiyaning soha
bo‘yicha ikki karrali integrali mavjudligi masalasini qaraymiz. Buning uchun
avvalo (D) sohaning hamda Darbu yig‘indilarining xossalarini keltiramiz.
1. (D) soha bo‘linishlarining xossalari. Faraz qilaylik, soha
bo‘linishlaridan iborat to‘plam bo‘lib, , bo‘lsin:

Agar P ₁ bo ‘ laklashdagi har bir ( D ) ( ₜ t = 1,2,..., n ) P ₂ bo ‘ laklashdagi biror
( D ') (
ₜ t = 1,2,..., n ') ning qismi bo ‘ lsa . P ₁ bo ‘ laklash P ₂ ni ergashtiradi deyiladi va
kabi yoziladi . Ravshanki , bo‘lsa,

bo‘ladi.
Darbu yig‘indilarining xossalari. funksiya (D) sohada berilgan va
chegaralangan bo‘lsin. (D) sohaning P bo‘laklashini olib, bu bo‘laklashga
nisbatan funksiyaning integral va Darbu yig‘indilarini tuzamiz:

1) olinganda ham nuqtalarni (k=1,2,…,n) shunday tanlab
olish mumkinki,

shuningdek, nuqtalarini yana shunday tanlab olish
mumkinki,

bo‘ladi.
Bu xossa Darbu yig‘indilari , lar uchun integral yig‘indi σ (f)ₚ
muayyan bo‘laklash uchun mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegara
bo‘lishini bildiradi.
2) Agar P va P lar (D) sohaning ikki bo‘laklashlari bo‘lib, P P bo‘lsa, u
₁ ₂ ₁⸦ ₂
holda

bo ‘ ladi .
Bu xossa ( D ) sohaning bo ‘ laklashdagi bo ‘ laklar soni orta borganda ularga mos
Darbuning quyi yig ‘ indisining kamaymasligi , yuqori yig ‘ indisining esa
oshmasligini bildiradi .
3) Agar P
₁ va P ₂ lar ( D ) sohaning ixtiyoriy ikki bo ‘ laklashlari bo ‘ lib ,
va lar funksiyaning shu bo ‘ laklashlarga nisbatan
Darbu yig ‘ indilari bo ‘ lsa , u holda

bo‘ladi.

Bu xossa, (D) sohaning bo‘laklashlariga nisbatan tuzilgan quyi yig‘indilar
to‘plami ning har bir elementi (yuqori yig‘indilar to‘plami ning
har bir elementi) yuqori yig‘indilari to‘plami ning istalgan elementidan
(quyi yig‘indilar to‘plami ning istalgan elementidan) katta (kichik)
emasligini bildiradi.
4) Agar funksiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Bu xossa funksiyaning quyi ikki karrali integrali, uning yuqori ikki
karrali integralidan katta emasligini bildiradi:

5) Agar funksiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u holda
olinganda ham, shunday topiladiki, (D) sohaning diametri λ <ₚ δ
bo‘lgan barcha bo‘laklashlari uchun
(2.1)
bo‘ladi.
Bu xossa funksiyaning yuqori hamda quyi integrallari da mos
ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig‘indilarining limiti ekanligini bildiradi:
,

Ikki karrali integralning mavjudligi . Endi ikki karrali integralning mavjud
bo‘lishining zarur va yetarli shartini (kriteriysini) keltiramiz.
3-T eorema. funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lishi uchun,
olinganda ham, shunday topilib, (D) sohaning diametri λ <δ bo‘lganₚ
har qanday P bo‘laklashga nisbatan Darbu yig‘indilari
(2.2)
tengsizlikni qanoatlantirilishi zarur va yetarli.
◄ Zarurligi. funksiya (D) sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Ta'rifga
ko‘ra

bo ‘ ladi , bunda

olinganda ham , ga ko ‘ ra shunday δ > 0 topiladiki , ( D ) sohaning
diametri λ <δ
ₚ bo ‘ lgan har qanday P bo ‘ laklashiga nisbatan Darbu yig ‘ indilari
uchun (2.1) munosabatlarga ko ‘ ra

bo‘lib, undan
bo‘lishi kelib chiqadi.
Yetariiligi. olinganda ham, shunday topilib, (D) sohaning
diametri λ <δ bo‘lgan har qanday P bo‘laklashga nisbatan Darbu yig‘indilari
ₚ
uchun

bo‘lsin. Qaralayotgan funksiya (D) sohada chegaralangani uchun, uning
quyi hamda yuqori integrallari

mavjud va

bo‘ladi. Ravshanki,

Bu munosabatdan

bo‘lishini topamiz. Demak, uchun

bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning (D)
sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. ►
Agar funksiyaning (D ) (k = 1,2,.. ,n) sohadagi tebranishini ω bilanₖ ₖ
belgilasak, u holda
bo‘lib, teoremadagi (2.2) shart ushbu
ya’ni

ko‘rinishlarni oladi.
3-§. Ikki karrali integrallarni hisoblash
funksiyaning (D) sohadagi ikki karrali integrali tegishli
integral yig‘indining ma'lum ma'nodagi limiti sifatida ta'riflanadi. Bu limit
tushunchasi murakkab xarakterga ega bo‘lib, uni shu ta'rif bo‘yicha hisoblash
hatto sodda hollarda ham ancha qiyin bo‘ladi.
Agar funksiyaning (D) sohada integrallanuvchiligi ma'lum bo‘lsa,
unda bilamizki, integral yig‘indi (D) sohaning bo‘laklash usuliga ham, har bir
bo‘lakda olingan nuqtalarga ham bog‘liq bo‘lmay, da yagona
songa intiladi. Natijada funksiyaning ikki karrali integralini topish
uchun birorta bo‘laklashga nisbatan integral yig‘indining limitini hisoblash yetarli
bo‘ladi. Bu hol (D) sohaning bo‘laklashini hamda nuqtalarni integral
yig‘indini va uning limitini hisoblashga qulay qilib olish imkonini beradi.
l-mis o l. Ushbu
integral hisoblansin, bunda
◄ Ravshanki, funksiya (D) da uzluksiz. Demak, bu funksiya (D)
sohada integrallanuvchi.
(D) sohani

bo‘laklarga ajratib, har bir da deb qaraymiz.
U holda

bo‘ladi. Bundan esa

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
►
Umuman, ko‘p hollarda funksiyalarning karrali integrallarini ta'rifga ko‘ra
hisoblash qiyin bo‘ladi. Shuning uchun karrali integrallarni hisoblashning amaliy
jihatdan qulay bo‘lgan yo‘llarini topish zaruriyati tug‘ildi.
Yuqorida aytib o‘tganimizdek, funksiyaning karrali integrali va uni
hisoblash (D) sohaga bog‘liq.
Avvalo sodda holda, (D) soha to‘g‘ri to‘rtburthak sohadan iborat bo‘lgan
holda funksiyaning karrali integralini hisoblaymiz.
4-teorema. funksiya sohada berilgan
va integrallanuvchi bo‘lsin.
Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa , u holda ushbu

integral ham mavjud va

bo‘ladi.
◄ (D) sohani

bo‘laklarga ajratamiz. Bu bo‘laklashni deb belgilaymiz. Uning diametri

Modomiki, funksiya (D) sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada
chegaralangan bo‘ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan
va demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega ho‘ladi:

Ravshanki, uchun , xususan, uchun
ham bo‘ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini
topamiz:

ya'ni
.
Agar keyingi tengsizliklarni k ning (t = 0,1,2,...,m-1) qiymatlarida yozib,
ularni hadlab qo‘shsak, u holda

ya'ni

bo‘ladi.
Endi keyingi tengsizliklarni ga ko‘paytirib, so‘ng hadlab
qo‘shamiz. Natijada
bo‘ladi.
Ravshanki,
funksiya uchun Darbuning quyi yig‘indisi,

esa Darbuning yuqori yig‘indisidir. Demak,
Shartga ko‘ra funksiya (D) da integrallanuvchi. U holda da

bo‘ladi.
munosabatda esa,
yig‘indi limitga ega hamda bu limit
ga teng bo‘lishi kelib chiqadi:
Agar
va
ekanligini e'tiborga olsak, unda

bo‘lishini topamiz. ►
5-teorema. funksiya sohada
berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir
tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu
integral ham mavjud va
bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremaning isboti kabidir. 4-teorema va 5-
teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
4-natija. funksiya (D) sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida integral
mavjud bo‘lsa , o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda ushhu

integrallar ham mavjud va
(*)
bo‘ladi.
5-natija. Agar funksiya (D) sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda
integrallarning har biri mavjud va ular bir-biriga teng bo‘ladi.
(*) integrallar, tuzilishiga ko‘ra, ikki argumentli funksiyadan avval bir
argumenti bo‘yicha (ikkinchi argumentini o‘zgarmas hisoblab turib), so‘ng
ikkinchi argumenti bo‘yicha olingan integrallardir. Bunday integrallarni takroriy
integrallar deb atash (takroriy limitlar singari) tabiiydir.
Shunday qilib, qaralayotgan holda karrali integrallarni hisoblash takroriy
integrallarni hisoblashga keltirilar ekan. Takroriy integralni hisoblash esa ikkita
oddiy (bir argumentli funksiyaning inlegralini) Riman integralini kelma-ket
hisoblash demakdir.
2-eslatma. Yuqorida keltirilgan 6-teoremani isbotlash jarayonida ko‘rdikki,
to‘g‘ri to‘rtburchak (D) soha, tomanlari mos ravishda bo‘lgan to‘g‘ri
to‘rtburchak sohalar larga ajratildi. Ravshanki, bu elementar sohaning yuzi
bo‘ladi.
Avval aytganimizdek. ni ga, ni ga almashtirish mumkinligini
hamda ekanini e'tiborga olib, bundan buyon integralni ushbu

ko‘rinishda yozish o‘rniga
yoki
kabi ham yozib ketaveramiz.
6-teorema. funksiya (D) sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu
integral ham mavjud va
bo‘ladi.
◄ va funksiyalar da uzluksiz. Veyershtrass teoremasiga ko‘ra bu
funksiyalar da o‘zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Ularni
,
deb belgilaylik.
Endi

sohada ushbu
funksiyani qaraylik.
Ravshanki, teorema shartlarida bu funksiya sohada integrallanuvchi va
integral xossasiga ko‘ra
(3.1)
bo‘ladi. Shuningdek, o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud va
(3.2)
bo‘ladi. Unda 4-teoremaga ko‘ra
integral ham mavjud va
bo‘ladi.

(1) va (2) munosabatdan

bo‘lishi kelib chiqadi.►
Endi (D) soha ushbu

ko‘rinishda ho‘lsin. Bunda va da berilgan uzluksiz funksiyalar
(1-chizma) (2-CHIZMA)
9-teorema. funksiya (D) sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
Agar o‘zgaruvchining har hir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda
integral ham mavjud va

bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti 6-teoremaning isboti kabidir.
Faraz qilaylik. (D) soha yuqorida qaralgan sohalarning har birining
xususiyatiga ega bo‘lsin (2-chizma).
6-natija. funksiya (D) sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa. o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda
,
inlegrallar ham mavjud va
bo‘ladi.
Bu natijaning isboti 6-teorema va 7-teoremadan kelib chiqadi.

Xulosa
Mazkur kurs ishida ikki karrali integral tushunchasi, uning xossalari
hamda hisoblash usullari atroflicha o‘rganildi. Ikki karrali integral matematik
analizning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning
ma’lum bir sohadagi umumiy qiymatini aniqlash imkonini beradi. Bu esa nafaqat
nazariy masalalarda, balki amaliy sohalaaaarda – fizikada ,
injiniringda ,iqtisodiyot va texnik fanlarda keng qo‘llaniladi.
Ikki karrali integral yordamida tekislikdagi sohalarning maydonlari, uch
o‘lchovli jismlarning hajmlari, og‘irlik markazlari va boshqa ko‘plab fizika va
geometric xususiyatlar aniqlanadi. Integrallarning asosiy xossalari, masalan,
chiziqlilik, qo‘shish va tartibni o‘zgartirish qobiliyati, hisoblash jarayonlarini
soddalashtiradi va integrallar ustida tuurli amallarni erkin bajarish imkonini
beradi.
Hisoblash usuli ko‘rsatdiki, ikki karrali integrallarni yechishda avvalo
integrallash soxasining shaklini to‘g‘ri tanlash muhim ahamiyatga ega. Oddiy
to‘g‘ri to‘rtburchak sohalarda integrallash nisbatan oson bo‘lsa, murakkab sohalar
uchun chegaralarni aniqlash va ehtiyojga qarab koordinatalar sistemasini
(masalan, qutb koorsinatasiga o‘tish) o‘zgartirish zarur bo‘ladi.
O‘rganish jarayonida ikki karrali integralning geometric ma’nosi ham
keng yoritildi. Agar funksiya ijobiy bo‘lsa, integral uning garfikasi bilan xy-
tekislik orasidagi hajmni ifodalaydi. Bu esa integrallarning amaliy ahamiyaatini
yanada oshiradi.

Kurs ish natijasida ikki karrali integralni o‘rganish faqat nazariy bilim
emas, balki amaliy ko‘nikmalarni ham shakllantirishi aniqlandi. Olingan bilimlar
kelajakdagi murakkab integral ifodasini yechish, amaliy va ilmiy masalalarni
model qilishda mustahkam poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
Shu bilan birga, ikki karrali integral tushunchasi va uni hisoblash
texnikalarini puxta egallash talabalarni yuqori matematik tafakkur, mustaqil tahlil
qilish va ijodiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirishga xizmat qiladi.

Foydalanilgan adabiyotlar:
1) O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi Matematikaʺ
sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish
chora-tadbirlari to‘g‘risida gi PQ-4708-sonli Qarori.
ʺ
2) Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 2-qism, Toshkent,
O‘qituvchi , 1995.
ʺ ʺ
3) Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik
analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, «Voris-nashriyot», 2010.
4) A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent,
“O‘qituvchi” 2008.
5) Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть
"Лань" 2015.
6) Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. Санкт-Петербург. "Лань" 2021.
7) Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. 1-часть Масква. "Наука" 2003

Ikki karrali integrallar

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Ikki karrali integrallar

O'xshash dokumentlar