Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 7.3MB
Покупки 0
Дата загрузки 06 Ноябрь 2026
Расширение docx
Раздел Дипломные работы
Предмет Педагогика

Продавец

Bohodir Jalolov

Ikki o‘lchamli uchburchakli panjaralarida diskrit shredinger operatori srektri

Купить
IKKI O’LCHAMLI UCHBURCHAKLI PANJARALARIDA DISKRIT SHREDINGER OPERATORI SREKTRI MUNDARI JA Kirish ………………………………………………………………………. 3 I Bob.Kirish. Boshlang’ich tushunchalar. 1.1 Vektor fazolar…………………………………………………………… 8 1.2 Operatorlar va ularning invariant qism fazolari………………………. 22 II Bob. Asosiy qism. Ikki o’lchamli uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shredinger operatori. 2.1 Ikki o’lchamli uchburchakli panjarada aniqlangan Shredinger operatorining xossalari………………………………………………………………… ……32 2.2 Ikki o’lchamli uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shredinger operatorining xos qiymatlari…………………………………………………..41 Xulosa ………………………………………………………………………..55 Adabiyotlar ro`yxati …………………………………………………..……56 1 2 Kirish. “Yoshlarni zamonaviy bilim va tajriba, milliy va umumbashariy qadriyatlar asosida mustaqil va mantiqiy fikrlaydigan, ezgu fazilatlar egasi bo’lgan insonlar etib voyaga yetkazamiz’’. Sh.M.Mirziyoyev Matematika ta’limi va fanlarini yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo‘llab- quvvatlash, shuningdek, O‘zbekiston Respublikasi Fanlar Akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora- tadbirlari to‘g‘risidagi qarorida quyidagi fikrlar keltirilgan. Muhammad al Xorazmiy, Ahmad Farg‘oniy, Abu Rayhon Beruniy, Mirzo Ulug‘bek singari ulug’ ajdodlarimiz tamal toshini qo‘ygan matematika fani ilm-fan va texnikaning zamonaviy tarmoqlari jadal rivojlanishi munosabati bilan hozirgi kunda yanada katta ahamiyat kasb etmoqda. Axborot-kommunikatsiya texnologiyalari, tibbiyot, biologiya, raqamli iqtisodiyot sohasida va boshqa ko’plab sohalarda uning roli ayniqsa ortdi. O‘zbekiston Respublikasi Fanlar Akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika instituti (keyingi o’rinlarda — Institut) o’z faoliyati davrida matematika fanini rivojlantirishga, respublika uchun yuqori malakali kadrlar tayyorlashga sezilarli hissa qo‘shdi va matematik tadqiqotlarning jahon darajasida e’tirof etilgan markazlaridan biriga aylandi. Institutda funksional analiz, differensial tenglamalar, ehtimollar nazariyasi va algebra bo‘yicha ilmiy maktablar shakllandi va muvaffaqiyatli rivojlanmoqda. Xodimlarning ilmiy tadqiqotlari besh marta O‘zbekiston Davlat mukofotiga sazovor bo‘ldi, 12 nafar taniqli olim O‘zbekiston Fanlar akademiyasining haqiqiy a’zoligiga va nufuzli Butunjahon Fanlar Akademiyasi (TWAS)ga saylangan. 3 Ta’kidlash joizki, davlatimiz rahbari oxirgi yillarda aniq fanlarga, jumladan matematika ta’limi va fanlarini rivojlantirishda ulkan e’tibor qaratib, ushbu fan taraqqiyotiga oid qator qarorlar qabul qildi. Bu xalqimizni ham, ilmiy jamoatchilikni ham g‘oyat quvontirdi. Chunki matematika yurtimizda chuqur tarixiy asosga ega va bugungi kunda taraqqiyot uchun g‘oyat dolzarb, 2020 – yilning 31 – yanvar kuni Shavkat Mirziyoyev olimlar, yosh tadqiqotchilar, ilmiy-tadqiqot muassasalari rahbarlari va ishlab chiqarish sektori vakillari bilan uchrashuv o‘tkazib, unda ilm-fan sohasidagi eng muhim vazifalar muhokama qilindi. Unda yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni guruhlar kesimida, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim muassasalariga qamrab olish ishlarini to‘g‘ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi. Bolalar uchun mazkur fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik va o‘quv qo‘llanmalari yaratish, matematik ongni, kerak bo’lsa, bog‘chadan boshlab shakllantirish vazifasi qo‘yildi. Har bir tuman markazida bittadan matematika faniga ixtisoslashgan maktab tashkil qilinib, ularda ishlaydigan o‘qituvchilarga qo’shimcha ustama haqlar to’lash bo‘yicha ko‘rsatmalar berildi. Mamlakatimizda ushbu yo‘nalishni rivojlantirishda Fanlar Akademiyasining Matematika instituti katta o’rin tutadi. 1943-yilda tashkil etilgan bu dargoh o‘tgan davrda matematik tadqiqotlarning yirik markazlaridan biriga aylangan. Bu yerda shakllangan algebra va funksional analiz, differensial tenglamalar, ehtimollar nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha ilmiy maktablar jahon olimlari tomonidan e’tirof etilgan. Prezident bu yerda yaratilgan qulayliklar bilan tanishdi. Yangi imoratda 7 ta ilmiy laboratoriya va “Yosh matematiklar” markazi faoliyat yuritadi. Binoning shinam qavatlarida axborot-resurs markazi va seminar xonalari, akademik va tadqiqotchilar uchun kabinetlar, kutubxona, majlislar zali, oshxona joylashgan. Xonalar eng ilg‘or texnika va uskunalar bilan jihozlangan. - Bu zamonaviy institut barcha olimlar uchun ma’rifat markazi bo’lishi kerak. Matematika ko‘p fanlarga yo‘l ochadi. Uni talabalar shaharchasida barpo etganimiz bejiz emas. Bu institut ta‘lim va ilm-fan o‘rtasida uzviylikni ta‘minlashi, mamlakatimiz rivojiga zamin yaratishi kerak”, – dedi Shavkat Mirziyoyev. Bundan tashqari, O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning 2019 – yil 9–iyul kuni “Matematika ta‘limi va fanlarini 4 yanada rivojlantirishni davlat tomonidan qo‘llab-quvvatlash, shuningdek, O‘zbekiston Respublikasi Fanlar Akademiyasining V.I.Romanovskiy nomidagi matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi qarorining ijrosi quvonarli holat. Ushbu qaror ayniqsa, olimlar, yosh tadqiqotchilar, doktorantlar, magistr va talabalar uchun keng imkoniyatlar eshigini ochdi. Matematika yo‘nalishi magistratura talabalari to‘liq davlat granti asosida o‘qitiladigan bo‘ldi. Matematika sohasida jahon ilmiy markazlari, shu jumladan, MDH, Yevropa, Amerika va Osiyo mamlakatlarining yetakchi universitetlari bilan hamkorlikda tadqiqotlar tashkil etildi. Sohadagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi. Xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlar va ularning ustozlarini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi.Matematika sohasidagi e’tibor to‘xtab qolgani yo‘q. Jumladan, 2020–yilning 7–may kuni “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy–tadqiqotlarni rivojlantirish chora–tadbirlari to‘g‘risida”gi Prezident qarori doirasida: · Matematikaga ixtisoslashtirilgan maktablar ochish; · Matematikaga oid o‘quv qo‘llanma va darsliklarni takomillashtirish; · O‘quvchi va talabalarni olimpiadalarga tayyorlash; · Ushbu fandan milliy sertifikatlashtirish tizimini joriy etish; · Matematika o‘qituvchilari oyligi 50 foizga oshirish; · Al – Xorazmiy mukofoti ta’sis etilib, quyidagi yo‘nalishlar uchun berilsin: - fundamental tadqiqotlar uchun; - yoshlar o‘rtasidagi tadqiqotlar uchun; - iqtisodiyotning real sektorlaridagi muammo yechimlari uchun. kabi vazifalar belgilangan. 5 Bu kabi ulkan imkoniyatlar hamda davlatimiz tomonidan qo‘llab –quvvatlashlar biz yoshlarni yanada bilimga chanqoq bo’lishga, yanada ko’proq izlanishga da’vat etadi, ruhlantiradi. Shu nuqtai nazardan qaraganda, magistraturaning Matematika yo‘nalishini bitiruvchilariga Davlat standartida ko‘zda tutilgan bilimlar hajmidan yuq о rir о q bilim berish va ularni shu yo‘l bilan ma’lum ma’n о da ij о diy fikrlashni, ilmiy izlanishini va iqtid о rlilarni riv о jlantirish maqsadga muv о fiq. Bitiruv malakaviy ishi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi: Bitiruv malakaviyishining natijalarining ilmiy ahmiyati shundan iboratki, olingan natijalar o‘z- o‘ziga qo‘shma operatorlar spektral nazariyasi, kanitum maydonlar nazariyasi, xususan, uchburchakli panjaradagi ikki, uch va ko‘p zarrachali sistema hamiltonlarining spektral xossalarini o’rganishning keyingi rivojida qo’llanilishi mumkinligi bilan izohlanadi. Tadqiqot natijalarining amaliy ahmiyati olingan ilmiy natijalarning qattiq jismlar fizikasi va kvant mexanikasida eksperimental tadqiqotlar o’tkazish va qo’llashga nazariy asos sifatida xizmat qilishi bilan belgilanadi. Ushbu tayyorlangan Bitiruv malakaviy ishida Uchbuurchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatorining spektri o’rganilgan. Bu ishda ilmiy rahbar M.E.Mo‘minov tomonidan qo‘yilgan Uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatorining spektridan tashqari xos qiymatga ekanligi masalasi qo‘yilgan va javobi keltirilgan. Olingan natijalar ilmiy asoslangan va qat’iy isbotlangan. Bitiruv malakavi ishining tadqiqot obekti: Ushbu Bitiruv malakaviyishida ikki o‘lchamli uchburchakli panjaraga aniqlangan diskret Shryodinger operatori fazoda aniqlangan bo‘lib ko‘rinishida berilgan. va operatorlar quyidagicha aniqlangan: 6 Bitiruv malakaviyaning tadqiqot predmeti: Bitiruv malakaviyasida erishilgan natijalarni olishda matematik fizika va funksional analiz usullaridan foydalanildi. Uchburchakli panjaradagi ikki zarrachali sistema hamiltonlarining spektral xossalari o’rganilgan va bundan tashqari xos qiymatga ega bo‘lish shartlari keltilgan va isbotlangan.Opertorning o‘ng va chapdagi xos qiymatlari topilgan. Bitiruv malakaviyaning maqsad va vazifalari: Ushbu Bitiruv malakaviyishi ikki o’lchamli panjaradagi hamiltonlarining spektral xossalarini o’rganish, jumladan uning muhim spektridan tashqarida diskret spektr mavjudligini isbotlash va xos qiymatlarini topishdan iborat. Bitiruv malakaviyaning amaliy ahamiyati: Ushbu Bitiruv malakaviyasida olingan natijalar ilmiy xarakterga ega bo’lib, bu natijalar Shryodinger operatorlarining spektral nazariyasiga qo’shilgan hissa bo’ladi. Bitiruv malakaviyasida olingan natijalardan talabalar, magistrantlar va ilmiy xodimlar kvant mexanikasi va qattiq jismlar fizikasidagi ba’zi masalalarni yechishda foydalanishlari mumkin. Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi va hajmi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, 2 ta bob, 4 ta paragraf, har bir bob xulosasi va xotima hamda foydalanilgan adabiyotlar va mundarijadan iborat. 7 1.1 Vektor fazolar. Chiziqli fazolar va ularga misollar Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan hisoblanadi. Quyida bilan kompleks sonlar, bilan haqiqiy sonlar to‘plamini belgilaymiz. 1.1.1-ta‘rif. Agar elementlari ,… bo‘lgan to‘plamda quyidagi ikki amal aniqlangan bo‘lsa: I. Ixtiyoriy ikkita elementlarga ularning yig‘indisi deb ataluvchi aniq bir element mos qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy elementlar uchun 1) (kommutativlik), 2) (assotsiativlik), 3) L da shunday element mavjud bo‘lib, (nolning mavjudligi), 4) shunday element mavjud bo‘lib, (qarama-qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa; II. ixtiyoriy element va ixtiyoriy son ( yoki ) uchun x elementning songa ko‘paytmasi deb ataluvchi aniq bir element mos qo‘yilgan bo‘lib, ixtiyoriy va ixtiyoriy sonlar uchun 5) 6) , 7) 8) 8 aksiomalar bajarilsa, u holda to‘plam chiziqli fazo deb ataladi. Ta‘rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig‘indi va songa ko‘paytirish amallari deb ataladi. Ta‘rifda foydalanilgan sonlar zaxirasiga (haqiqiy sonlar yoki kompleks sonlar C ) bog‘liq holda chiziqli fazo haqiqiy yoki kompleks chiziqli fazo deb ataladi. 1.1.1.-misol. haqiqiy sonlar to‘plami odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi. kompleks sonlar to‘plami ham kompleks sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi. 1.1.2-misol. - kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar to‘plami. Bu yerda elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi: (1.1.1) . (1.1.2) Yig‘indi ekanligi tengsizlikdan kelib chiqadi. (1.1.1) va (1.1.2) tengliklar bilan aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, - to‘plam kompleks chiziqli fazo bo‘ladi. 1.1.3-misol. - nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘plamda ham qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (1.1.1) va (1.1.2) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi va ular 9 chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, -to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi. 1.1.4-misol. - yaqinlashuvchi ketma- ketliklar to‘plami. Bu to‘plam ham 1.1.2 - misolda kiritilgan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 1.1.5-misol. - barcha chegaralangan ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘plam ham 1.1.2-misolda kiritilgan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 1.1.2-ta'rif. Bizga va chiziqli fazolar berilgan bo‘lsin. Agar bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib, ekanligidan ekanligi kelib chiqsa, u holda va chiziqli fazolar o‘zaro izomorf fazolar deyiladi. Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko‘rinishi deb qarash mumkin. 1.1.3-ta'rif. Agar chiziqli fazoning elementlar sistemasi uchun hech bo‘lmaganda birortasi noldan farqli bo‘lgan sonlar mavjud bo‘lib, (1.1.3) tenglik bajarilsa, u holda elementlar sistemasi chiziqli bog‘langan deyiladi. Aks holda, ya'ni (1.1.3) tenglikdan 10 ekanligi kelib chiqsa, elementlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi. Agar cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda sistema chiziqli erkli deyiladi. 1.1.4-ta'rif . Agar chiziqli fazoda elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lib, bu fazoning ixtiyoriy ta elementdan iborat sistemasi chiziqli bog‘langan bo‘lsa, u holda - o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va deb yoziladi. -o‘lchamli chiziqli fazoning ixtiyoriy ta elementdan iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi. 1.1.5-ta'rif . Agar chiziqli fazoda ixtiyoriy uchun elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lsa, u holda cheksiz o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va ko‘rinishda yoziladi. va fazolar -o‘lchamli chiziqli fazolardir. fazodan boshlab 1.1.2-1.1.4 misollarda keltirilgan barcha fazolar cheksiz o‘lchamli fazolardir. Masalan, fazoda sistema cheksiz chiziqli erkli sistemaga misol bo‘ladi. Chiziqli normalangan fazolar .Chiziqli fazolarda elementlarning bir-biriga yaqinligi degan tushuncha yo‘q. Ko‘plab amaliy masalalarni hal qilishda elementlarni qo‘shish va ularni songa ko‘paytirish amallaridan tashqari, elementlar orasidagi masofa, ularning yaqinligi tushunchasini kiritishga to‘g‘ri keladi. Bu bizni 11 normalangan chiziqli fazo tushunchasiga olib keladi. Normalangan fazolar nazariyasi S.Banax va boshqa matematiklar tomonidan rivojlantirilgan. 1.1.6-ta'rif . Bizga - chiziqli fazo va unda aniqlangan funksional berilgan bo‘lsin. Agar quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga norma deyiladi: 1) 2) ; 3) . 1.1.7-ta'rif. Norma kiritilgan chiziqli fazo chiziqli normalangan fazo deyiladi va elementning normasi orqali belgilanadi . Agar - normalangan fazoda elementlar jufti uchun sonni mos qo‘ysak, funksional metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantiradi. Metrika aksiomalarining bajarilishi normaning 1-3 shartlaridan bevosita kelib chiqadi. Demak, har qanday chiziqli normalangan fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Metrik fazolarda o‘rinli bo‘lgan barcha tasdiqlar (ma'lumotlar) chiziqli normalangan fazolarda ham o‘rinli. 1.1.6-misol. Ushbu funksiya da norma shartlarini qanoatlantiradimi? Bu funksiya normaning musbat bir jinslilik shartini qanoatlantirmaydi, chunki norma ta’rifidagi 2-shart bajarilmaydi. Masalan, sonlari uchun 12 va bo‘lganligi sababli tenglik o‘rinli emas. 1.1.7-misol. - haqiqiy sonlar to‘plami. Agar ixtiyoriy soni uchun sonni mos qo‘ysak, normalangan fazoga aylanadi. - kompleks sonlar to‘plami. Bu yerda ham norma yuqoridagidek kiritiladi: . 1.1.8-misol. - - o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo. Bu fazoda funksionallar norma shartlarini qanoatlantiradi. chiziqli fazoda norma kiritilgan bo‘lsa, uni , agar norma kiritilgan bo‘lsa uni deb belgilaymiz. 1.1.9-misol. - - o‘lchamli kompleks chiziqli fazo. Bu fazoda funksional norma shartlarini qanoatlantiradi. 1.1.10-misol. kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi. Bu fazoda elementning normasi 13 tenglik bilan aniqlanadi. Agar chiziqli fazoda norma formula vositasida kiritilgan bo‘lsa, uni , agar norma tenglik orqali kiritilgan bo‘lsa uni deb belgilaymiz. 1.1.11-misol. fazoda elementning normasi quyidagicha kiritiladi: . 1.1.12-misol. fazolarda elementning normasi quyidagicha kiritiladi: . 1.1.13-misol. - bilan kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. Bu to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan (1.1.4) funksional norma shartlarini qanoatlantiradi va chiziqli normalangan fazo bo‘ladi. 14 1.1.14-misol. - bilan kesmada aniqlangan marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan (1.1.5) funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi. chiziqli normalangan fazoda ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. 1.1.8-ta'rif. Biror va ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik elementga yaqinlashadi deyiladi. 1.1.9-ta'rif. Agar ixtiyoriy son uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, - fundamental ketma-ketlik deyiladi. 1.1.10-ta'rif . Agar chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi. Evklid fazolari. Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir. 1.1.11-ta'rif. Bizga haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar dekart ko‘paytmada aniqlangan funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa: 1) 15 2) 3) ; 4) , unga skalyar ko‘paytma deyiladi. 1.1.12-ta'rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va elementlarning skalyar ko‘paytmasi orqali belgilanadi. Evklid fazosida elementning normasi (1.1.6) formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi (1.1.7) tengsizlikdan kelib chiqadi. Endi (1.1.7) tengsizlikni, ya'ni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz: . Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya'ni Bundan 16 , ya'ni . Endi (1.1.6) norma uchun uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz: Bundan Shuni ta'kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar ko‘paytma amallari uzluksizdir, ya'ni agar (norma bo‘yicha yaqinlashish ma'nosida), (sonli ketma-ketlik sifatida) bo‘lsa, u holda . Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha: Evklid fazolarida nafaqat vektorning normasini (ya'ni uzunligini), balki vektorlar orasidagi burchak tushunchasini ham kiritish mumkin. Noldan farqli va vektorlar orasidagi burchakning kosinusi (1.1.8) 17 formula bilan aniqlanadi. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra (1.1.8) ning o‘ng tomoni moduli bo‘yicha birdan oshmaydi va demak (1.1.8) formula haqiqatan ham, nolmas va vektorlar orasidagi burchakni aniqlaydi. Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal deyiladi. 1.1.13-ta'rif . Agar ixtiyoriy da bo‘lsa, u holda nolmas vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir elementning normasi birga teng bo‘lsa, ortogonal normalangan sistema, qisqacha ortonormal sistema deyiladi. Agar vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham, bo‘lsin. Bu tenglikning ikkala qismini ga skalyar ko‘paytirib, quyidagiga ega bo‘lamiz bo‘lgani uchun, barcha larda bo‘ladi. 1.1.14-ta'rif. Agar sistemani o‘zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda sistema to‘la deyiladi. 1.1.15-ta'rif. Agar ortonormal sistema to‘la bo‘lsa, u holda bu sistema fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi. Ravshanki, agar - ortogonal sistema bo‘lsa, u holda 18 ortonormal sistema bo‘ladi. 1.1.16-ta'rif. Agar Evklid fazosining hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli to‘plam mavjud bo‘lsa, separabel Evklid fazosi deyiladi. Hilbert fazolari. To‘la bo’lgan Evklid fazolarini ko’rishda davom etamiz. Bizning ishimiz faqat cheksiz o‘lchamli Evklid fazolarini o’rganishdir, chunki chekli o‘lchamli Evklid fazolariga ya’ni fazoga izomorf bo’ladi. 1.1.17-ta'rif. Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi. Qisqacha qilib,aytganda ixtiyoriy tabiatli elementlarning to‘plami Hilbert fazosi bo‘lishi,uchun u quyidagi uchta shartni qanoatlantirishi kerak: 1) - Evklid fazosi, ya'ni skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo; 2) metrika ma'nosida - to‘la fazo; 3) fazo - cheksiz o‘lchamli, ya'ni unda cheksiz elementli chiziqli erkli sistemasi mavjud. Biz odatda separabel Hilbert fazolarini qaraymiz, ya'ni ning hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli to‘plam mavjud. Bundan keyin bandlarda biz faqat separabel Hilbert fazolari bilan ishlaymiz. 1.1.15-misol. Evklid fazosi to‘la emas shuning uchun Hilbert fazosi bo‘la olmaydi. 1.1.16-misol. va lar cheksiz o‘lchamli to‘la separabel Evklid fazolaridir Shuning uchun ular Hilbert fazolari bo‘ladi. 1.1.18-ta'rif. Agar va Evklid fazolari o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib, 19 ekanligidan munosabatlar kelib chiqsa, va lar izomorf fazolar deyiladi. Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomorfligi shundan iboratki, bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lib, bu moslik shu fazolardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko‘paytmani saqlaydi. Ma'lumki, - o‘lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o‘zaro izomorfdir. Cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari o‘zaro izomorf bo‘lishi shart emas. Masalan va fazolar izomorf emas, chunki to‘la, esa to‘la emas. 1.1.1-teorema . Ixtiyoriy ikkita separabel Hilbert fazosi o‘zaro izomorfdir . Keltirilgan teoremadan shu narsa ko’rinadiki, izomorfizm aniqligida faqat Hilbert fazosi mavjud ekan. Boshqacha qilib aytganda, fazo Hilbert fazosining "koordinat ko‘rinishi" desak ham bo’ladi. Hilbert fazosining qism fazosi. Faraz qilamiz, Hilbert fazosi va uning biror qism to’plami bo’lsin. Agar to’plam da kiritilgan qo’shish, songa ko’paytirish va ichki ko’paytmaga nisbatan Hilbert fazosini hosil qilsa, u ning qism fazosi deyiladi. Biz bundan buyon qism fazo deganda faqat yopiq qism fazolarni tushunamiz. 1.1.17-misol. da munosabatni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalar to’plami bu fazoda yopiq qism fazoni tashkil qiladi. Biz uni juft funksiyalar fazosi deb ataymiz va deb belgilaymiz. Xuddi shunday, toq funksiyalar to’plami 20 ham da qism fazo hosil qiladi. 1.1.18-misol. da biror uchun munosabatni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalar to’plami ham bu fazoda yopiq qism fazoni tashkil qiladi. Biz uni fazodagi juft funksiyalar fazosi deb ataymiz va deb belgilaymiz. Xuddi shunday, toq funksiyalar to’plami ham da qism fazo hosil qiladi. 1.1.19-misol. da o’zgaruvchilarni o’rnini almashtirishga nisbatan invariant funksiyalar fazosini deb belgilaymiz. Ko’rsatish mumkinki, bu fazo ham qism fazodir. Bu fazoning elementiga misol sifatida da funksiyani olishimiz mumkin. 1.1.20-misol. Xuddi shunday, da antisimmetrik funksiyalar, ya’ni o’zgaruvchilari o’rnini almashtirish juft inversiyaga ega bo’lganda qiymati o’zgarmas, toq bo’lganda esa ishorasi teskariga almashinuvchi funksiyalar fazosini deb belgilaymiz. Ko’rsatish mumkinki, bu fazo ham qism fazodir. da funksiyani olishimiz mumkin. Bu funksiya uchun munosabat bajariladi. 21 1.2.Operatorlar va ularning invariant qism fazolari . Agar fazoning har bir elementiga fazoning yagona elementi mos qo’yilgan bo’lsa, bu moslik operator deyiladi va yoki kabi belgilanadi. Agar va lar chiziqli fazolar bo’lib, istalgan va uchun munosabat bajarilsa, operator bir jinsli deyiladi. Agar istalgan uchun munosabat bajarilsa, u holda operator additiv deyiladi. 1.2.1-ta’rif Bir jinsli additiv operator chiziqli operator deyiladi. Demak biror operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun uni additivlik va bir jinslilikka tekshirish lozim. Chiziqli operatorning ta’rifiga ekvivalent quyidagi ta’rifni ham keltirib o’tish foydadan xoli bo’lmaydi: 1.2.2-ta’rif Agar ixtiyoriy va lar uchun tenglik bajarilsa, u holda operator chiziqli deyiladi. Chiziqli operator butun fazoda aniqlangan yoki uning aniqlanish sohasi butun fazoning biror qismi bo’lishi mumkin. Misol uchun operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng emas. Chunki bu operator vektorni vektorga o’tkazadi va bu vektor fazoning elementi bo’lmaydi, ya’ni bu operatorning aniqlanish sohasiga teng emas. 22 Lekin chiziqli operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko’pxillik bo’lishi talab etiladi. Operatorning aniqlanish sohasi deb belgilanadi. deb esa operatorning qiymatlar to’plamini belgilaymiz: Osongina ko’rsatish mumkinki, chiziqli operatorning qiymatlar sohasi ham chiziqli ko’pxillikdir. 1.2.1-misol. operator chiziqli operatordir. Bu operator bo’ladigan larda aniqlangan. Shuningdek, aniqlanish sohasi chiziqli ko’pxillikdir, ya’ni agar bo’lsa, kompleks sonning modulining xossalariga asosan: ya’ni . Shuningdek, demak, chiziqli operator. 1.2.2-misol. Xuddi shunday usul bilan 23 operatorning aniqlanish sohasi ning chiziqli ko‘pxillik ekanligi hamda operatorning chiziqli ekanligi isbot qilinadi. 1.2.3-misol. integral operatorni qaraymiz, bu yerda biror uzluksiz funksiya. Bu operatorning aniqlanish sohasi . Chiziqli ekanligi esa integralning chiziqli ekanligidan kelib chiqadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik tushunchasi odatdagi funksi-yaning chegaralanganligi tushunchasidan biroz farq qiladi. Faraz qilamiz, lar Hilbert fazolari bo’lsin. 1.2.3-misol. Agar operator dagi istalgan chegaralangan to’plamni dagi chegaralangan to’plamga o’tkazsa, u chegaralangan operator deyiladi. Demak chegaralanmagan operator biror chegaralangan to’plamni chegaralanmagan to’plamga o’tkazadi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik ta’rifini quyidagicha ham berish mumkin: 1.2.3-ta’rif. va Hilbert fazolari va chiziqli operator bo’lsin. Agar biror son va istalgan uchun 24 tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi. Agar istalgan soni uchun shunday element mavjud bo’lib, munosabat o’rinli bo’lsa, chegaralanmagan operator deyiladi. Agar operator chegaralanmagan bo’lsa, uning normasi ga teng deb qabul qilamiz. 1.2.4-Misol operatorni qaraylik. munosabatga asosan . Demak, ta’rifga asosan chegaralangan operator. 1.2.4-ta’rif va Hilbert fazolari va chiziqli operator bo’lsin. Istalgan uchun munosabat bajariluvchi sonlarning aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi va u kabi belgilanadi. Amalda operatorning normasini topishda quyidagi teoremadan ko’proq foydalaniladi. 1.2.1-Teorema chiziqli operatorning normasi uchun quyidagi tengliklar o’rinli: • • • 25 Ta'rif 2.6 (Heine) va normalangan fazolar va chiziqli operator bo’lsin. Agar elementga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun ketma-ketlik elementga intilsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar operator fazoning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa u butun fazoda uzluksiz deyiladi. Chiziqli operatorning bu ta’rifiga ekvivalent Cauchy ta’rifini ham keltirib o’tamiz: 1.2.6-ta’rif va normalangan fazolar va chiziqli operator bo’lsin. Agar element uchun bo’lgan lar uchun munosabat bajarilsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi. Malumki uzluksiz funksiya chegaralangan bo’ladi. Chiziqli operatorlar uchun esa uzluksizlik va chegaralanganlik tushunchalari ekvivalent. 1.2.2-Teorema va Hilbert fazolari va chiziqli operator bo’lsin. Quyidagi tasdiqlar ekvivalent: • • • 1.2.5-Misol fazoda quyidagi opratorni aniqlaymiz: bunda da aniqlangan biror funksiya.Ravshanki, chiziqli operator. Bu operatorning aniqlanish sohasi 26 to’plamdir. Quyidagi teorema o’rinli. 1.2.3-Teorema operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli. 1.2.4-Teorema operator Hilbert fazosida aniqlangan va bo’lsin. Agar da aniqlangan shunday operator mavjud bo’lib, va uchun munosabat bajarilsa, operator chegaralangan bo’ladi. 1.2.5-Teorema Ushbu tasdiqlar ekvivalent: 1.2.6-Misol fazoda aniqlangan ko’paytirish operatorini qaraymiz: bunda da aniqlanga biror kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. Ko’rinib turibdiki, operator chiziqli. Uning aniqlanish sohasi 27 Quyidagi to’plamni kiritamiz: 1.2.7-ta’rif Agar biror natural son uchun bo’lsa, funksiya muhim chegaralangan deyiladi, bu yerda to’plamning Lebeg o’lchovi. Demak, muhim chegaralanmagan funksiya uchun barcha natural larda shart bajariladi. 1.2.6-Teorema operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng bo’lishi uchun funksiyaning muhim chegaralangan bo’lishi yetarli va zarur. 1.2.7-Misol fazoda aniqlangan quyidagi operatorni qaraymiz: bunda funksiya da aniqlangan biror o’lchovli kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya. Integralning chiziqliligidan, bu operator chiziqli. Agar bo’lsa, u chegaralangan operator bo’ladi (Fubini teoremasi). Bunday operator integral operator deb ataladi. funksiya esa uning yadrosi deyiladi. 1.2.8-Misol fazoni fazoga akislantiruvchi Fourier akislantirishini qaraymiz. 28 Bunda . Bu operator chegaralangan. 1.2.9-Misol Xuddi shunday, fazoni fazoga akislantiruvchi teskari Fourier akislantirishi operatorni qaraymiz: Bunda ham . Bu operator ham chegaralangan. Teskari operatorlar va Hilbert fazolari bo’lsin. operator fazoda aniqlanib, fazoda qiymatlar qabul qilsin, ya’ni . 1.2.8-ta’rif Agar istalgan uchun tenglama yagona yechimga ega bo’lsa, operator teskarilanuvchan deyiladi. Agar teskarilanuvchan bo’lsa, har bir ga tenglamaning yagona yechimi ni mos qo’yuvchi akslantirish operatorning teskarisi deyiladi va kabi belgilanadi. 1.2.7-Teorema Agar chiziqli operator teskarilanuvchan bo’lsa, unga teskari operator ham chiziqlidir. 1.2.8-Teorema chiziqli operator teskarilanuvchan bo’lishi uchun tenglama yagona yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli. 1.2.9-Teorema (Teskari operatorlar haqida Banach teoremasi) Faraz qilamiz, Hilbert fazosini Hilbert fazosiga o’zaro bir qiymatli akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo’lsin. U holda u teskarilanuvchan va teskari operator ham chegaralangan. 29 1.2.9-ta’rif Agar teskarilanuvchan operator, va teskari operator chegaralangan bo’lsa, u holda uzluksiz teskarilanuvchan deb ataladi. Bundan keyin biz teskarilanuvchanlik va uzluksiz teskarilanuvchanlik tushunchalari bir xil deb hisoblaymiz. 1.2.10-Teorema chiziqli operator bo’lsin. U holda teskarilanuvchan bo’lishi uchun va shunday soni topilib, ixtiyoriy uchun munosabatlarning bajarilishi yetarli va zarur. 1.2.11-Teorema operator uchun tengsizlik o’rinli bo’lsa, operator teskarilanuvchan bo’ladi va va baholar o’rinli. 1.2.1-Lemma Agar operatorlar teskarilanuvchan bo’lsa, u holda ham teskarilanuvchan bo’ladi va tenglik o’rinli bo’ladi. 1.2.10-Misol fazoda aniqlangan ko’paytirish operatorini qaraymiz: bunda . operatorni qaraymiz, bunda va ayniy operator. ning qiymatlar sohasining yopig’i bo’lsin. Isbot qilamizki, agar bo’lsa, teskarilanuvchan. Haqiqatan, bo’lsa, shunday son topiladiki, uchun bo’ladi. U holda 30 ekanidan 1.4.4 teoremaga asosan teskarilanuvchan. Osongina ko’rsatish mumkinki, Demak, teskari operator ham ko’paytirish operatori ekan. uchun ekanidan funksiya muhim chegaralangan va yuqoridagi teoremaga asosan Shuningdek, munosabatga ko’ra, teskarilanuvchan. Shuni ko’rsatmoqchi edik. 31 II Bob. Asosiy qism. Ikki o’lchamli uchburchakli panjarada aniqlangan Shryodinger operatorining xossalari. 2.1 Ikki o’lchamli uchburchakli panjarada aniqlangan Shryodinger operatorining xossalari. Ushbu bobda uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatorining ba‘zi xossalarini ya‘ni chiziqlik, chegaralanganlik, o‘z-o‘ziga qo‘shmalik va invarariantlikligi ko‘rib chiqamiz. Birinchi navbatda uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatorining chiziqlik xossasini ko‘rib chiqamiz. Agar fazoning har bir elementiga fazoning yagona elementi mos qo’yilgan bo’lsa, bu moslik operator deyiladi va yoki kabi belgilanadi. Agar va lar chiziqli fazolar bo’lib, istalgan va uchun munosabat bajarilsa, operator bir jinsli deyiladi. Agar istalgan uchun munosabat bajarilsa, u holda operator additiv deyiladi. 2.1.1-ta’rif Bir jinsli additiv operator chiziqli operator deyiladi. Demak biror operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun uni additivlik va bir jinslilikka tekshirish lozim. Chiziqli operatorning ta’rifiga ekvivalent quyidagi ta’rifni ham keltirib o‘tish foydadan xoli bo‘lmaydi: 2.1.2-ta’rif Agar ixtiyoriy va lar uchun 32 tenglik bajarilsa, u holda operator chiziqli deyiladi. Chiziqli operator butun fazoda aniqlangan yoki uning aniqlanish sohasi butun fazoning biror qismi bo‘lishi mumkin. Misol uchun operatorning aniqlanish sohasi butun fazoga teng emas. Chunki bu operator vektorni vektorga o‘tkazadi va bu vektor fazoning elementi bo‘lmaydi, ya’ni bu operatorning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lmaydi. Lekin chiziqli operatorning aniqlanish sohasi chiziqli ko‘pxillik bo‘lishi talab etiladi. Operatorning aniqlanish sohasi deb belgilanadi. deb esa operatorning qiymatlar to‘plamini belgilaymiz: Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi ham chiziqli ko’pxillikdir. Bizga berilgan uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatori fazoda aniqlangan bo‘lib ko‘rinishida berilgan bo‘lsin. va operatorlar quyidagicha aniqlangan bo‘lsin. 33 va ko‘paytirish operatorlarini ifodaga keltirib qo‘ysak operator yuqoridagi ko‘rinishda bo‘ladi. 1-lemma. H-chiziqli operator. va 34 Yuqorida keltirilgan ta‘riflarga asosan H operatorning chiziqli ekanligi kelib chiqadi. Endi esa chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik tushunchasini ko‘rib chiqamiz. Faraz qilamiz, lar Hilbert fazolari bo’lsin. 2.1.3-ta‘rif. Agar operator dagi istalgan chegaralangan to’plamni dagi chegaralangan to’plamga o’tkazsa, u chegaralangan operator deyiladi. Chiziqli operatorlar uchun chegaralanganlik ta‘rifini quyidagicha ham berish mumkin: 2.1.4-ta‘rif. va Hilbert fazolari va chiziqli operator bo‘lsin. Agar biror son va istalgan uchun 35 tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi. Agar istalgan soni uchun shunday element mavjud bo’lib, munosabat o‘rinli bo’lsa, chegaralanmagan operator deyiladi. Agar operator chegaralanmagan bo‘lsa, uning normasi ga teng deb qabul qilamiz. 2.1.5-ta‘rif va Hilbert fazolari va chiziqli operator bo‘lsin. Istalgan uchun munosabat bajariluvchi sonlarning aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi va u kabi belgilanadi. 2-lemma. H - chegaralangan operator. Bu lemmaning isboti uchun biz operator uchun quyidagi tenglik o‘rinli ekanligini ko‘rsatishimiz yetarli bo‘ladi. operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatishda hisoblashlarni soddalashtirsh maqsadida operatorni bir necha qismlarga bo‘lib uning chegaralangan operator ekanligini ko‘rsatamiz. H= 36 1) Bundan chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. 1) Bundan ko’rinadiki, Oxirgi tengsizlik ni chegaralangan ekanligini ko’rsatadi. Bundan ko’rinadiki, 37 Oxirgi tengsizlik ni chegaralangan ekanligini ko’rsatadi. 3) Bundan ko’rinadiki, Oxirgi tengsizlik ni chegaralangan ekanligini ko’rsatadi. 1),2),3),4)-larning chegaralangan ekanligi H operatorni chegaralangan ekanligini ko’rsatadi.Bundan 2-lemma isboti kelib chiqadi. 2.1.6-ta’rif Hilbert fazosida aniqlangan chegaralangan operator va uchun tenglikni qanoatlantiruvchi operator operatorning Hilbert qo’shmasi deyiladi. Bundan buyon operatorning qo’shmasi deganda uning Hilbert qo’shmasini tushunamiz. 2.1.7-Teorema operatorning qo’shmasi mavjud bo’lishi uchun uning aniqlanish sohasi butun fazo da zich bo’lishi zarur va yetarli. Agar bu shart bajarilsa, operator quyidagicha aniqlanadi: element ning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lishi uchun shunday mavjud bo’lib istalgan uchun 38 tenglik bajarilishi yetarli va zarur. Bu holda Endi esa uchburchakli panjarda aniqlangan chiziqli, chegaralangan, diskret Shryodinger operatorining o‘z-o‘zga qo‘shma operator bo‘lishi yoki bo‘lmasligi masalasini ko‘rib chiqamiz: 3-lemma.H-operator o’z-o’ziga qo’shma operatordir. (Hf,g)=(f,Hg) dt. Bu lemmani isbotlash uchun Operatorni yuqorida keltirilgan 1-ta‘rifni operator uchun o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish zarur bo‘ladi. ) ) 39 =- dx- Demak oxirgi tenglik H operatorning o’z-o’ziga qo’shma ekanligini ko’rsatadi. 40 2.2 Ikki o’lchamli uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatorining xos qiymatlari. Bu paragrafda H operatorning muhim spektrini topish masalasini qaraymiz. operator fazoda quyidagi ko‘paytirish operatorlari yordamida aniqlangan bo‘lsin: 41 Yuqoridagi ifodadan bizga V ko’paytirish opertorining o’lchami quyidagiga teng: dim{ImV}=6 Bundan V ning kompakt ekanligi kelib chiqadi.V kompakt bo’lganligi uchun H operatorning muhim spektri operatorning spektrining qiymatlari bilan ustma-ust tushadi. 42 soddalashtirishlarni amalga oshirsak, operatorning ekstremium nuqtalarini topamiz. Buning uchun ni nolga tenglashtiramiz: ya’ni :=-1, M:= , . Endi H operatorning xos qiymatini topish masalasini ko’rib chiqamiz. Lemma. H operator fazoda chiziqli, chegaralangan va oz-o’ziga qo’shma operator bo’ladi. va orqali mos holda fazodagi juft va toq funksiyalar to’plamini belgilaymiz. Ravshanki, bu to’plamlar fazoda qism fazolarni tashkil etadi. 1- Teorema. va fazolar H operator uchun invariant fazolar bo‘ladi, ya’ni va bo‘ladi. Hamda (a) H:= operator fazoda quyidagi ko‘rinishda tasvirga ega: 43 (b) operator fazoda quyidagi ko‘rinishda tasvirga ega: Endi bu teoremaning isbotini batafsil ko’rib chiqamiz: 1)-hol. H:= operator fazoda aniqlangan bo’lsin. Bizga funksiya berilgan bo’lsa, agar funksiya uchun tenglik bajarilsa funksiya juft funksiya deb ataladi. = 44 Endilikda operatorning juft yoki juft emasligini tekshiramiz: Hammasidan minus ishoralarni chiqarganimizda minus ishoralar yo’qolib ketadi va quyidagi hosil bo’ladi: Yuqoridagilarni inobatga olsak, demak operator juft ekan. Yuqoridagi soddalashtirishlarda minus ishoralarimizda quyidagi holatlar yuz berdi: funksiyalar juft bo‘lganligi uchun minus ishorani chiqarmaydi shuning uchun minus yo‘qolib ketdi. 45 funksiyamiz ham juft bo‘lganligi uchun minus ishorani chiqarmaydi shuning uchun minus yo‘qolib ketdi. dan chiqan minus ishora hisobidan integralning chegaralari ga o‘zgaradi. Shunday qilib, oxirgi tenglikda simmetrik oraliqda toq funksiyaning integrali nolga teng bo‘lishini inobatga olsak operatorning ko’rinishi quyidagicha bo‘ladi: Bu esa yuqorida keltirilgan teoremaning (a) bandini isbotlaydi. 2)-hol. Ham xuddi shunday isbotlanadi. 1-Teoremadan quyidagi tenglikga ega bo’lamiz: . Ushbu teglikga ko’ra operatorni xos qiymatlarini o’rganish uchun va operatorlarning xos qiymatlarini o’rganish kifoya ekan. operatorning xos qiymatga mos tenglamasini tuzaylik: ya’ni 46 Hisoblashlarni soddalashtirish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: Belgilashlarni o‘z o‘rniga qo‘yamiz: bo’lganligidan kelib chiqadi. U holda oxirgi tenglikdan 47 (1) tenglikga ega bo’lamiz. (*1) ni , va ifodalarni integral qiymatiga qo’ysak], , va larga nisbatan ushbu Endi esa quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: Bundan esa quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: (2) 48 Yuqoridagi 3 noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasiga mos quyidagi determinantni tuzamiz: Algebra kursidan ma’lumki, (2) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi kerak. Aksizncha, biror uchun bo’lsin. U holda (2) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’ladi. Bu yechim orqali ushbu (3) funksiyani tuzamiz. Aniqlanishiga ko’ra bu funksiya uzluksiz va juft funksiya bo’ladi. Bu funksiya operatorning soniga mos xos funksiya funksiya bo’ladi. Shunday qilib, quyidagi teoremani hosil qilamiz. Teorema 2. soni operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Endi operatorlarning xos qiymatlarini o’rganamiz. operatorning xos qiymatga mos tenglamasini tuzaylik: 49 yoki Hisoblashlarni soddalashtirish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz: Belgilashlarni o‘z o‘rniga qo‘yamiz: bo’lganligidan kelib chiqadi. U holda oxirgi tenglikdan (*1) 50 tenglikga ega bo’lamiz. (*1) ni , va ifodalarni integral qiymatiga qo’ysak], , va larga nisbatan ushbu Endi esa quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: Bundan esa quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: (*2) Yuqoridagi 3 noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasiga mos quyidagi determinantni tuzamiz: 51 Algebra kursidan ma’lumki, (*2) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi kerak. Aksizncha, biror uchun bo’lsin. U holda (*2) tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’ladi. Bu yechim orqali ushbu (*3) funksiyani tuzamiz. Aniqlanishiga ko’ra bu funksiya uzluksiz va toq funksiya bo’ladi. Bu funksiya operatorning soniga mos xos funksiya funksiya bo’ladi. Shunday qilib, quyidagi teoremani hosil qilamiz. Teorema 3. soni operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Teorema 2 va Teorema 3 larni birlashtirib, umumiy holda quyidagi teoremani hosil etamiz: Teorema 4. operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. 52 Teorema isbotining zaruriyligi . Faraz qilaylik soni operator uchun xos qiymat va , bu xos qiymatga mos vektor funksiya bo‘lsin. U holda vektor funksiya yoki 53 tenglamani qanoatlantiradi. nig noldan farqliligidan ekanligi kelib chiqadi. 54 Xulosa. Ushbu bitiruv malakaviy ishida uchburchakli panjarada aniqlangan Shroedinger operatorining bir o’lchamli tordagi implus ko’rinishiga o’tgandagi spaektral xossalarini tadqiq qilingan ya’ni ikki o’lchamli panjaradagi hamiltonlarining spektral xossalarini o’rganish, jumladan uning muhim spektridan tashqarida diskret spektr mavjudligi isbotlandi. Bitiruv malakaviy ish natijalarini olishda funksional analiz, matematik analiz, kompleks o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasi, chiziqli operatorlar spektral nazariyasi fanlari metodlaridan foydalanilgan. Bitiruv malakaviy ishining 1-bobi “Kirish. Boshlang’ich tushunchalar” deb nomlanib asosiy natijalarni olishda zarur bo’lgan tushuncha, ta’rif va teoremalar, jumladan chiziqli fazo, Hilbert fazolari hamda, Hilbert fazolarida aniqlangan chiziqli chegaralangan, o’z-o’ziga qo’shma operatorlarning ba’zi xossalari keltirilgan. II bob esa “Asosiy qism. Uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatori” deb nomlanib, u ikkita paragrafdan tashkil topgan.. Birinchi paragrafda Hilbert fazolari, ularning xossalari haqida ma`lumot berilgan, ulardagi misollar va diskret Shryodinger operatori xossalari o’rganilgan. Ikkinchi paragrafda Uchburchakli panjarada aniqlangan diskret Shryodinger operatorining xos qiymatlari o’rganilgan. Bitiruv ishi adabiyotlar ro’yxatibilan yakunlangan. 55 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1.BARRY SIMON : The Bound State of Wea с ly Coupled Shroedinger Operators in one Dimension. Annals of Physics 108. 288-300 (1977) 2.M.KLANS : On the Bound State Schroedinger Operators in one and Two Dimensions. Annals of Physics 97. 279-288 (1976) 3.M.KLAUS and B.SIMON: Coupling Constant Thresholds in Nonrelativistic Quantum Mechanics. I.Short-Range Two-Body Case. Annals of Physics 130. 251- 281. New Jersey. 1980 4.S.N.LAKAEV, A.M.KHALKHUZAEV. The number of eigenvalues of the two particle discrete Schroedinger Operator, Theoret, and Math, Physics, 158 (2): 220-231 (2009) 5.S.ALBEVERIO, S.N.LAKAEV, K.A.MAKAROV AND Z.I.MUMINOV. The Threshold effects for the two particle Hamiltonians. Commnnications in Mathematical Physics, 262, 91-115. (2006) 6. С . Н . ЛАКАЕВ . обэффектеЕфимовавсистеметре x одинаковыхквантовыхчатицюФунк . анализи его прил . Т .27. Вип .3.15-28.(1993) 7.С.Н.ЛАКАЕВ,Ш.М.ТИЛАВОВА . Слияния собственних значений и резонансов двухчастично дискретного оператора Шреденгера. ТМФ.Т.101.Н2, 235-251.(1994) 8.С.Н.ЛАКАЕВ, А.ХАЛХУЖАЕВ., Ш.С.ЛАКАЕВ. Разложеение для собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шреденгера. ТМФ .(2012) 9.M. REED and B. SIMON: Methods of modern mathematical physics. I:Functional analysis Press, N.Y.,London 1972 56 10.V.A.TRENOGIN: Functional analysis.”Nanka”, Moscow 1980 11.M. REED and B. SIMON: Methods of modern mathematical physics. Analysic of operators. Academic Press, N.Y., 1978 12.A. Н .KO Л MO Г O Р O В , С . В . Ф OM ИН : Элементитеориифункциифункционалногоанализа . ” Наука ”,Moscow 1976. 13. L.A.LYUSTERNIK, V.I.SOBOLEV: Elements of functional analysis. ”Nauka”, Moscow 1965 14.N.I.AKHIYEZER, I.M.GLAZMAN: Operator theory in Hilbert spaces. “Nauka”. Moscow 1972 15.S.N.LAKAEV, A.M.KHALKHUZAEV.Spectrum of the two particle Schroedinger Operator on a lattice. Theoret and Math. Physics, 155 (2): 753-764 (2008). 57

Ikki o‘lchamli uchburchakli panjaralarida diskrit shredinger operatori srektri

Купить