Ikki o‘zgaruvchili tengsizliklar sistemasini yechish usullari
![I BOB. « BIRo’zgaruvchili TENGSIZLIKLARNI O’QITISH METODIKASI »
1.1 BIRo’zgaruvchili TENGSIZLIKLAR,CHIZIQLI TENGSIZLIKLAR VA
KVADRAT TENGSIZLIKLAR. O’QITISH METODIKASI
A(x)>B(x), A(x)<B(x), A(x) B(x), A(x) B(x) munosabatlarga xo’zgaruvchili
tengsizliklar deyiladi .. x ning tengsizlikni chin sonli tengsizlikka aylantiruvchi har
qanday qiymati tengsizlikning yechimi deyiladi.
1- miso1. I) 4x- 8 0 tengsizlik x 2 qiymatlarda bajariladi. Demak,
tengsizlikning yechimi: (- ; 2];
2) x 2
0 (a Z) tengsizlik x ning har qanday qiymatida bajariladi. Yechim
butun son o’qidan iborat;
3) x 2
<0 (a Z) tengsizligi x ning hech bir qiymatida bajarilmaydi: X= .
A(x) < B(x) tengsizlikdagi A(x) va B(x) ifodalar birgalikda aniqlangan x
qiymatlarining X to’plami, ya’ni shu ifodalar mavjudlik sohalarining X kesishmasi
x o’zgaruvchining A(x)<B(x) tengsizlik uchun joiz qiymatlari sohasi deb ataladi.
Bunga qaraganda tengsizlikning T yechimi X ning qism-to’plamidan iborat: T X.
Endi tengsizliklarni yechish jarayonida bajariladigan ayniy almashtirishlar
masalasiga o’tamiz.
1-teorema. Agar C(x) ifoda barcha x X larda aniqlangan bol sa, A(x)<B(x)
va
A(x) +C (x) < B(x) + C (x) tengsizliklar teng kuchlidir.
2- teorema. Agar barcha x X larda C(x)>0 bolsa, A(x)<B(x) va A(x)C(x) <
B(x)C(x) tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Teoremaning isboti C( ) > 0 dan A ( ) C( )<B ( ) C ( ) ning kelib chiqishiga
asoslanadi.
13](https://docx.uz/documents/28f241e5-48c9-48c5-89f3-e9a620c2a314/page_13.png?v=1)
![Shu oraliqlardan, ixtiyoriy ikkita go’shni oraliqni, masalan, (a
k ; a
k+] ) va (a
k+l ; a
k+2 )
oraliqni ajratib olaylik.
(1) tengsizlikning chap tomonidagi ko’paytma bu oraliqlarning biridan
ikkinchisiga o’tganda o’z ishorasini o’zgartiradi.
Haqiqatan ham, agar x (a
k ; a
k+l ) bo’lsa, x-a
k+1 <0 va agar x (a
k+l ; a
k+2 ) bo’lsa,
x-a
k+l >0 bo’ladi, ya’ni x-a
k-1 ikkihad (a
k ; a
k+l ) va (a
k+1 ; a
k+2 ) oraliqlarda har xil ishorali
bo’ladi. (1) tengsizlikning chap tomonidagi qolgan ko’paytuvchilar ko’paytmasi bu
oraliqlarda bir xil ishoraga ega.
Shu sababli (1) ning chap tomonidagi ko’paytmaning ishorasi bu oraliqlarda
har xil bo’ladi. Bu esa (1) tengsizlikni yechishning quyidagi usulini beradi. (1)
tengsizlik ( a
n ; +∞) oraliqda o’rinli bo’lgani uchun (a
n-1 ; a
n ) oraliqda o’rinli emas; (a
n-
1 ; a
n ) oraliqda o’rinli bo’lmagani uchun (a
n- 2 ; a
n-1 ) oraliqda o’rinli va hokazo.
8- m i s o 1. 2(2x- 5)(3x- 8)(5- 4x) < 0 tengsizlikni yeching.
Yechish. Tengsizlikni >0 ko’rinishga
keltiramiz. va nuqtalar son o’qini
oraliqlarga ajratadi (24-a- rasm). Oxirgi tengsizlik
, oraliqlarda o’rinli.
Javob: U .
9-misol. tengsizlikni yechamiz.
Yechish. x=2, x=4 sonlari tengsizlikning yechimi emas. x 2, x 4 bo’lganda
(x-2) 2
•(x-4) 2
>0 bo’ladi. Shu sababli tengsizlikning har ikki tomonini (x - 2) 2
• (x - 4) 2
25](https://docx.uz/documents/28f241e5-48c9-48c5-89f3-e9a620c2a314/page_25.png?v=1)
![Birinchi sistemadan 2 ≤ x ≤ 3, ikkinchi sistemadan 1 <x< 2. Bu ikkala
yechimlarni birlashtirsak: (1; 2)U[2; 3) = (1; 3).
11-misol. |2x-l < tengsizlikni yeching.
Yechish. Tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak: (2x- 1) 2
≤ (3x+
1) 2
yoki x(x+2) ≥ 0. Bundan (- ;-2]U[0; + ),
12- m i s o 1. tengsizlikni yeching.
Yechish. Modul ishorasi ostida turgan ifodalar x=0 va x= 1 da nolga aylanadi.
Bu nuqtalar son o’qini (- ; 0],[0; 1],[1; + ) oraliqlarga ajratadi. Ifodalarning bu
intervallardagi ishoralari jadvalini tuzamiz:
Ifodalar (- ;0) (0;1) (1; )
X - + +
x-1 - - +
Berilgan tengsizlik birinchi (- ; 0] oraliqda -x +1 ≤ -2(x - 1) + 3x ko’rinishga
keladi. Ixchamlashtirishlardan so’ng, -2x≤ 1 tengsizlik hosil bo’ladi, bundan -0,5
≤x≤0 ni topamiz. Ikkinchi intervalda berilgan tengsizlik x + 1 ≤ - 2(x-l) +3x ga yoki
ayniy almashtirishlardan so’ng 0≤ x ≤1 ko’rinishga keladi. Bu oraliqda ham
tengsizlik bajariladi. Uchinchi intervalda tengsizlik x + 1 ≤ 2(x-l) + 3x yoki x≥ 0,75
ko’rinishga keladi. Lekin uchinchi interval (1;+ )edi. [0,75;+ ) [l; + ) = [1; +
). Topilgan uchta natijani umumlashtirib, berilgan tengsizlikning yechimini
yozamiz: 0,5≤x<+x.
27](https://docx.uz/documents/28f241e5-48c9-48c5-89f3-e9a620c2a314/page_27.png?v=1)
Ikki o‘zgaruvchili tengsizliklar sistemasini yechish usullari