Ikkinchi tartibli chiziqlar - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	544.3KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Ikkinchi tartibli chiziqlar

Купить

Ikkinchi tartibli chiziqlar
Reja;
1) Aylana;
2) Ellips;
3) Giperbola;
4) Parabola;
5) Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi.

Biz sodda ikkinchi tartibli egri chiziqlar aylana, ellips, giperbola, parabolalar va ularning xossalarini
keltiramiz.
Aylana
Ma’lumki, tekislikda berilgan (tayin) nuqtadan baravar uzoqlikda joylashgan nuqtalar (tekislik
nuqtalari) to’plami aylana, berilgan nuqta esa aylana markazi deyiladi.
Endi aylananing tenglamasini keltirib chiqarish maqsadida tekislikda Dekart koordinatalar
sistemasini va nuqtani olamiz. Ravshanki, bu nuqtadan masofada
joylashgan nuqtalar (bunday nuqtalar to’plami aylana bo’ladi) o’zgaruvchi nuqtalar bo’ladi. Bunday
nuqtalardan birini deylik. va nuqtalar orasidagi masofa

bo’ladi.
Keyingi tenglikdan
(1)
bo’lishi kelib chiqadi.
1-chizma Shunday qilib, aylanada joylashgan o’zgaruvchi
nuqtaning koordinata lari va larni bog’lovchi
tenglamaga keldik. Bu (1) tenglama aylananing sodda
tenglamasi deyiladi, esa aylana radiusi deyiladi.
Demak, aylananing tenglamasi markaz deb atalgan
nuqtaga hamda radiusga bog’liq bo’lib, ular
yordamida
aylananing tekislikdagi holati to’liq aniqlanadi.
Xususan, markazi koordinatalar boshida bo’lgan aylana tenglamasi quyidagicha

bo’ladi.
Masalan, markazi (-1,2), radiusi 5 ga teng bo’lgan aylananing tenglamasi

bo’ladi.
Aylana bilan umumiy bitta nuqtaga ega bo’lgan to’g’ri chiziq aylanaga o’tkazilgan
urinma deyiladi.

Ushbu
aylananing nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning tenglamasi quyidagi
(2)
ko’rinishga ega.
Masalan, ushbu aylananing (2,-2) nuqtasidan o’tuvchi urinmaning tenglamasi
, ya’ni
bo’ladi.
Ellips
Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari
yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalari to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) ellips deyiladi.
Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan tayin nuqtalardan birini ,
ikkinchisini orqali belgilaymiz.
Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:
va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi ( o’qi), kesmaning o’rtasidan
o’tuvchi hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb olamiz.
(2-chizma)
2 - chizma Aytaylik, va nuqtalar orasidagi masofa ga
teng bo’lsin. U holda bu nuqtalarning koordinatalari
mos ravishda va bo’ladi:
.
Odatda, va nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.
Ellipsda ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda ellips ta’rifiga binoan va
masofalar yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladi. Bu o’zgarmas sonni deylik .
Demak,
. (3)
Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib topamiz:

Unda (3) ga ko’ra
bo’ladi.
Bu tenglikni quyidagicha

yozib, uning ikki tomonini kvadratga ko’tarsak, unda

bo’ladi. Bunda esa

ya’ni

bo’lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarish natijasida

ya’ni
hosil bo’ladi.
Ravshanki, ya’ni bo’lganligi uchun bo’ladi. Uni bilan
belgilaymiz:
.
Natijada

bo’lib, undan
(4)
bo’lishi kelib chiqadi.

Shunday qilib ellipsdagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni bog’lovchi
tenglama hosil bo’ldi. Bu (4) tenglama ellipsning sodda tenglamasi deyiladi.
Ellips tenglamasi (4) da ni – ga, ni – ga almashtirilganda (4) tenglama o’zgarmaydi.
Demak, ellips (yopiq egri chiziq) koordinata o’qlariga nisbat simmetrik joylashgan.
Agar ( 4) tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki nuqtalarda kesadi.
Agar ( 4) tenglamada 0 x  deyilsa, unda
2 2 , y b y b  

bo’ladi. Demak, ellips
OY o’qini ikki     0, , 0, B b D b  nuqtalarda kesadi.
Odatda,
        , 0 , 0, , , 0 , 0, A a B b C a D b   nuqtalar ellipsning uchlari deyiladi.
AC
kesma ellipsning katta o’qi, BD kesma ellipsning kichik o’qi deyiladi.
Ravshanki,
AC kesmaning uzunligi 2a , BD kesma-ning uzunligi esa 2b ga teng. Demak, (4 )
tenglamada a
ellips katta yarim o’qi, b
esa kichik yarim o’qi bo’ladi.
Ushbu
2 2
2 2 1 x y
a b
 
tenglama bilan berilgan ellipsni qaraylik. Bu ellipsning fokuslari orasidagi masofa
2c ga teng.
Ushbu
2
2
c c
a a
  
(5)
miqdor ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ma’lumki, . Demak, ellipsning ekssentrisiteti uchun

bo’ladi. (agar bo’lsa, bo’lib, ellips aylana bo’lib qoladi).
Ellipsning ekssentrisiteti ellipsning siqilish darajasini bildiradi. Haqiqatdan ham, (4) munosabatdan,
bo’lishini e’tiborga olib topamiz:

Bu tenglikdan ko’rinadiki, ning ortib borishi bilan nisbat kamaya boradi, binobarin ellips
tortila boradi.
1-Misol. Katta o’qi 10 ga, eksseptrisiteti 0,8 ga teng bo’lgan ellipsning tenglamasi topilsin .
◄Shartga ko’ra . Demak, . Ma’lumki ekssentrisitet
.
Unda bo’ladi. bo’lishidan

ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan ellipsning tenglamasi

bo’ladi.►
Giperbola
Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari ayirmasi
o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalar to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) giperbola deyiladi.
Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan nuqtalarni va orqali
belgilaymiz.
va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi, kesmaning o’rtasidan o’tuvchi
hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi deb koordinatalar sistemasini
quramiz. (3-chizma)
3- chizma Agar va nuqtalar orasidagi masofani
( ) deyilsa, unda bu nuqtalarning koordinatalari
mos ravishda va bo’ladi:
.
Bu va nuqtalar giperbolaning fokuslari
deyiladi. Y
XF
2
0F
1 M(x,y)

Giperbolada ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda giperbola ta’rifiga binoan va
masofalar ayirmasi o’zgarmas songa (uni deyilsa) teng bo’lib, ,
, umuman
bo’ladi. Ravshanki,
Demak,
.
Endi
tenglikni (xuddi ellipsning tenglamasini keltirib chiqarishdagi qilingan ishlar kabi) ikki tomonini kvadratga
ko’tarib, so’ng lozim bo’lgan soddalashtirishlarni bajarib, hosil bo’lgan tenglikni ya’na bir bor kvadratga
ko’tarib, natijada
(6)
tenglamaga kelamiz, bunda , .
Shunday qilib, giperboladagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni
bog’lovchi tenglama hosil bo’ldi. Bu (6) tenglama giperbolaning sodda tenglamasi deyiladi.
Giperbola ham koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik joylashgan, u 3–chizmada tasvirlangan.
Giperbola ikki qismdan iborat bo’lib, bu qismlar uning shoxchalari deyiladi.
Agar ( 6) tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, giperbola o’qini va nuqtalarda kesadi. Bu nuqtalar
giperbolaning uchlari deyiladi. Giperbola o’qi bilan kesishmaydi.
Ushbu
miqdor giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi.

Agar bo’lishini e’tiborga olsak, unda

bo’lib,

bo’ladi.
Giperbolaning ekssentrisiteti ham uning shaklini xarakterlaydigan miqdordir.
Giperbola tenglamasi
ni ga nisbatan echib
,
uni quyidagicha yozamiz:
.
Bu tenglikdan ko’rinadiki, etarlicha katta bo’lganda, nisbat 0 ga yaqin bo’lib,

miqdor 1 ga yaqin bo’ladi.
Natijada ushbu

munosabat hosil bo’ladi.
Demak, etarlicha katta bo’lganda giperbola nuqtalarining ordinatalari ushbu
to’g’ri chiziqlar nuqtalarining ordinatalariga etarlicha yaqin bo’ladi. Bu

to’g’ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deyiladi (3-chizma)
2- M isol . Ushbu

giperbolaning fokuslari, ekssentrisiteti va asimptotalari topilsin.
◄Agar tenglamaning ikki tomonini 400 ga bo’lsak, unda giperbolaning tenglamasi quyidagi

ko’rinishga keladi.
Demak,

asimptotalari esa

bo’ladi. ►
Parabola
Tekislikda tayin to’g’ri chiziq va bu to’g’ri chiziqda yotmagan tayin nuqtani olaylik.
Tekislikning to’g’ri chiziq hamda nuqtadan baravar uzoqlikda bo’lgan nuqtalari to’plami
(nuqtalarning geometrik o’rni) parabola deyiladi.
Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz.
nuqtadan o’tuvchi va to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni abssissa o’qi (
o’qi), nuqta va to’g’ri chiziq orasidagi kesmaning o’rtasidan o’tuvchi va abssissa o’qiga
perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb koordinatalar sistemasini quramiz (4-
chizma).

4-chizma nuqta bilan to’g’ri chiziq orasidagi masofani
deylik. Unda nuqtaning koordinatasi

bo’lib, to’g’ri chiziqning tenglamasi

bo’ladi.
Bu nuqta parabolaning fokusi, to’g’ri chiziq esa parabolaning direktrissasi deyiladi.
Parabolada ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda parabola ta’rifiga binoan

bo’ladi. Ravshanki,
.
Demak,
.
Bu tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarib, so’ng lozim bo’lgan soddalashtirishlarni bajarib
(7)
bo’lishini topamiz.
Shunday qilib, paraboladagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni
bog’lovchi tenglama hosil bo’ladi. Bu (7) tenglama parabolaning sodda tenglamasi deyiladi.
Ravshanki, da bo’ladi. Demak, parabola koordinata boshidan o’tadi. Ayni paytda,
uning tenglamasida kvadratda qatnashgani uchun parabola o’qiga nisbatan simmetrik, esa har
doim musbat bo’lgani uchun parabola o’qining o’ng tomonida joylashgan bo’ladi (4-chizma).
3- Misol. Ushbu nuqtadan o’tuvchi parabola tenglamasi topilsin.

◄Modomiki izlanayotgan parabola nuqtadan o’tishi lozim ekan, unda bu
nuqtaning koordinatalari parabola tenglamasini qanoatlantiradi:
tenglama tekislikda hech qanday shakilni ifodalamaydi.
Shunga o’xshash
tenglama tekislikda egri chiziqni emas, balki nuqtani ifodalaydi.
Endi (8) tenglama ba’zi ko’rinishlarida egri chiziqni ifodalashiga misollar keltiramiz .
4- misol . Ushbu
tenglamani qaraylik .
◄Ravshanki, bu tenglama (8) tenglamaning
bo’lgan hususiy holi. Uni quyidagicha
ya’ni

ko’rinishda yozib olamiz.
Ravshanki,
koordinatalar sistemasidagi koordinatalar boshini ko’chirish natijasidan keyingi tenglama quyidagi
ko’rinishga keladi.Bu paraboladir . ►
5-misol . Ushbu
tenglamani qaraylik.
◄Ravshanki, bu tenglama (8) tenglamaning
bo’lgan hususiy holi. Berilgan tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
ya’ni 
2 2 5 4 5 3 62.
2
x y        
Agar koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish bilan uning koordinatalar boshini
5; 3
2
   
nuqtaga ko’chirilsa, ( 5- chizma)
5- chizma unda yangi sistemada qaralayotgan tenglama ushbu
ko’rinishga keladi.Keyingi tenglikni ikki tomonini 62 ga bo’lib
topamiz:
Demak,

Bu ellipisdir.►
6- misol . Ushbu
tenglamani qaraylik .
◄Ravshanki, bu tenglama (8) tenglamaning
bo’lgan hususiy holi. Berilgan tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
(9)
Yuqoridagidek, koordinatalar boshini nuqtaga, koordinatalar o’qlarini esa parallel
ko’chirish natijasida hosil bo’lgan yangi koordinatalar sistemasida (9) tenglama ushbu
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikning ikki tomonini 6 ga bo’lib topamiz:
Bu tenglama giperbolani ifodalaydi.►
Yuqorida keltirilgan ma’lumot va misollardan ko’rinadiki, ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy
tenglamasi
q anday egri chiziqni ifodalashi (8) tenglamaning koeffitsentlariga bog’liq bo’ladi.
(8) tenglamadan bir muncha soddaro q bo’lgan
(10)
tenglamani qaraylik .
Q uyidagi tasdiq o’rinli bo’ladi:
agar (10) tenglamada
bo’lsa, (10) tenglama parabolani ifodalaydi ;
agar (10) tenglamada

bo’lsa, (10) tenglama ellipsni ifodalaydi;
agar (10) tenglamada
bo’lsa, (10) tenglama giperbolani ifodalaydi.
Bu tasdiq yuqoridagi misollarda qo’llanilgan usul bilan isbotlanadi.
(8) tenglama koordinatalar sistemasini tanlash yo’li bilan, shu sistemada qaralayotgan quyidagi
kanonik ko’rinishlardan bittasiga keltiriladi.
1)1 2
2
2
2
 
b
y
a
x (ellips) ;
2)
1 2 2
22  
b
y
a
x
(mav h um ellips) ;
3)
0 2 2 2 2   y c x a (ikki mav h um kesishuvchi chizi q lar) ;
4)
1 2
2
2
2
 
b
y
a
x (giperbola) ;
5)
0 2 2 2 2   y c x a (ikki kesishuvchi chizi q lar) ;
6)
px y 2 2 (parabola) ;
7)
0 2 2  a y (ikki parallel chizi q lar) ;
8)
0 2 2   a y (ikki parallel mav h um chizi q lar) ;
9)
0 2 y (ikki o’ zaro ustma-ust tushuvchi chizi q lar).

Ikkinchi tartibli chiziqlar

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish