Izoperimetrik masalalar - Педагогика - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	230.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Педагогика

Izoperimetrik masalalar

Купить

Izoperimetrik masalalar
Reja.
1. Lagranj funksiyasi. Lagranj ko’paytuvchilari qoidasi.
2. Ikkinchi tartibli zaruriy shartlar va yetarli shartlar.

1 Eyler tenglamasini qanoatlantiradi . Agar Gi
¿(x)=Fiy(x,y¿(x),y*'(x))− d
dx Fiy'(x,y¿(x),y*'(x)),i=1,m,
(7)
funksiyalar chiziqli bog’langan bo’lsalar, y *
=y *
(x) bo’ladi.
1.1 Isboti. Berilgan
Ji[y]=∫
x0
x1
Fi(x,y,y')dx ,i=0,m ,
funksionallarning y *
=y *
(x ) nuqtadagi variatsiyalarini hisoblaymiz .
Ta’rifga ko’ra,
δJ i[y¿,h]= ∂
∂α Ji[y¿+αh ]α=0=∫
x0
x1
[Fiy
¿(x)h(x)+Fiy'
¿ (x)h'(x)]dx ,
i=0,1 ,...,m ,
(8)
bu yerda
Fiy¿(x)=Fiy(x,y¿(x),y*'(x)), Fiy'¿(x)=Fiy'(x,y¿(x),y*'(x)) .
C(1)[x0,x1]
fazoning C(1)[x0,x1]={h(x)∈C(1)[x0,x1]:h(x0)= h(x1)=0} qism fazosini
R m+1
fazoga akslantiruvchi
Ah =(δJ 0[y¿,h],δJ 1[y¿,h],...,δJ m[y¿,h])
chiziqli akslantirishni qaraymiz.
Bu yerda ikki hol bo ’ lishi mumkin :
a) A akslantirish
C0(1)[x0,x1] ni R m+1
ga to’la akslantiradi, ya’ni A
akslantirishning obrazi
Im A= Rm+1 (regulyar hol).
b) A akslantirish
C0(1)[x0,x1] ni R m+1
ning qismiga akslantiradi (aynan bo’lgan
hol).
Dastlab teorema tasdig’ining aynan bo’lgan holda to’g’riligini ko’rsatamiz.
Ma’lumki, chiziqli akslantirishda chiziqli fazoning obrazi chiziqli qism
fazodan iborat bo’ladi. Demak, aynan bo’lgan holda, A akslantirishning
obrazi
Im A=Rm+1 fazoning hos qism fazosi bo’ladi. U holda funksional

analizdan ma’lum faktlarga ko’ra[ а , b], bir vaqtda nolga teng
bo’lmagan shunday λ
¿0,λ
¿1,...,λ
¿m sonlar topiladiki,
∑i=0
m
λi¿zi=0, ∀ z=(z0,z1,...,zm)∈Im A
tenglik bajariladi. Endi A operatorning aniqlanishi va
δJ 1[y¿,h] variatsiya
uchun (8) ifodalarni hiasobga olib,
∫
x0
x1
(∑i=0
m
λi¿(Fiy¿(x)h(x)+Fiy'¿ (x)h'(x)))dx =0, ∀ h(x)∈C1[x0,x1]
tenglikka ega bo’lamiz. Dyubua-Reymon lemmasiga ko’ra, bu yerdan
∑i=0
m
λi¿Fiy¿(x)− d
dx (∑i=0
m
λi¿Fiy'¿ (x)) ∀ x∈[x0,x1]
(9)
munosabatni olamiz, ya’ni y *
(x) kuchsiz ekstremal (6) tenglamani
qanoatlantiradi.
2 Hosil qilingan (9) munosabatni (7) belgilashlarda
∑i=0
m
λi¿Gi¿(x)=0 ∀ x∈[x0,x1]
ko’rinishda yozish mumkin. Bu yerdan esa ,
Gi0(x) funksiyalar chiziqli
bog ’ lanmagan holda ,
λ0
¿≠ 0 ekanligi kelib chiqadi .
Endi regulyar holni qaraymiz va bunday hol bo’lishi mumkin emasligini
ko’rsatamiz.
Shunday
hj(x)∈C0(1)[x0,x1], j=0,m fun ksiyalarni olamizki, Ah j=ej bo’lsin,
bu yerda
e0=(1,0 ,...,0),e2=(0,1,0 ,...,0), em=(0,0 ,...,1)− Rm+1 dagi kanonik bazis. R m+1
dagi nol nuqtaning atrofini yana R m+1
ga F akslantirishni qaraymiz:
Ф(β)=(ϕ0(β0,β1,...,βm),ϕ0(β0,β1,...,βm),...,ϕm(β0,β1,...,βm)),
bu y erda

ϕi(β0,β1,...,βm)=Ji[y¿+∑
j=0
m
βjhj], i=0,1 ,...,n.2.1 Bu
ϕi funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi va bunda
∂ϕi(0)
∂ β j
= δJ i[y¿,h]= δij= ¿{1, i= j¿¿¿¿
Ф (0)=(a0,a1,...,am)= z¿, a0= J0[y¿].
Teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaga ko’ra [ а ,b], shunday Ф 1
silliq akslantirish va k>0 o’zgarmas mavjud bo’ladiki, yetarli kichik z-z *
uchun

|Ф1(z)|≤k|z−z¿|
tengsizlik bajariladi. Hususiy holda , modul bo ’ yicha yetarli kichik ε son
uchun shunday
β(ε)=(β0(ε),β1(ε),...,βm(ε)) vektor topiladiki ,
β(ε)=Ф 1(a0+ε,a1,...,am)
tenglik bajariladi , ya ’ ni
ϕ0(,β(ε))= a0+ε ⇔ J0[y¿+∑
j=0
m
βj(ε)hj]= J0[y¿]+ε,
ϕi(,β(ε))= ai⇔ Ji[y¿+∑
j=0
m
βj(ε)hj]= ai, i=1,...,m
va bunda

|β(ε)|=Φ1(a0+ε,a1,...,am)≤k|ε| .
Shunday qilib, y *
(x) joyiz funksiyaning ixtiyoriy
V1(y¿,ε) birinchi tartibli atrofida
shunday
y(x)= y¿(x)+∑j=0
m
βj(ε)hj(x) joyiz funksiya mavjudki, uning uchun
J0[y]− J0[y¿]= ε
bajariladi. Bu yerda ε ning moduli bo’yicha yetarki kichik har xil ishorali
qiymat qabul qilishini hisobga olsak, y *
ning lokal ekstremal ekanligiga
zid xulosaga kelamiz. Olingan qarama-qarshilik A akslantirish uchun
regular hol bo’lmasligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.

Isbotlangan teoremaga, izoperimetrik masala uchun Lagranj ko’paytuvchilari
qoidasi deyiladi. Agar y *
(x) ekstremalgaλ0
¿≠ 0 Lagranj ko’paytuvchisi mos kelsa,
λ0=1
deb olish mumkin.
8-ta’rif.
L(x,y,y',λ¿) (λ¿=(λ¿0,λ¿1,...,λ¿m)≠ 0) Lagranj funksiyasi uchun tuzilgan
(6) Eyler tenglamasini qanoatlantiruvchi y *
(x) joyiz funksiyaga (1)-(3) masalaning
shartli- stasionar funksiyasi deyiladi.
Ma’ruzamiz so’ngida izoperimetrik masala uchun ikkinchi tartibli zaruriy va
yetarli shartlar haqida qisqagina to’xtalib o’tamiz. (to’liqroq ma’lumot uchun
masalan [6] ga qarang).
Faraz qilaylik,
Fi(x,y,y')∈C2(Q),i=0,m, y¿(x)∈C2[x0,x1] joyiz stasionar
funksiya,
λ¿=(λ¿0,λ¿1,...,λ¿m) unga mos Lagranj vektori, λ0
¿≠ 0 bo’lsin. U vaqtda
J[y]=∫
x0
x1
L(x,y,y',λ¿)dx =∫x0
x1
(F0+∑i=0
m
λi¿Fi)dx
funksional y *
nuqtada
δ2J[y¿,h]=∫x0
x1
[A¿(x)h'2+C¿(x)hh '+B¿(x)h2]dx
ko’rinishdagi ikkinchi variatsiyaga ega, bu yerda
A¿(x)=Ly'y'(x,y¿(x),y¿'(x),λ¿), C¿(x)=Ly'y(x,y¿(x),y¿'(x),λ¿),
B¿(x)=Lyy(x,y¿(x),y¿'(x),λ¿).
3 Quyidagi
δ2J[y¿,h]=∫
x0
x1
[A¿(x)h'2+2C¿(x)hh '+B¿(x)h2]dx → min (max ),
δJ i[y¿,h]=∫x0
x1
[Fiy(x,y¿(x),y¿'(x))− d
dx Fiy'(x,y¿(x),y¿'(x))]h(x)dx =0,i=1,m

h(x0)=0, h(x1)=0

izoperimetrik masalani qaraymiz. h(x)=0 funksiya bu masalaning
yechimidir. Shu masala uchun Lagranj ko’paytuvchilari qoidasini
qo’llab,
− d
dx (A¿(x)h'+C¿(x)h)+C¿(x)h'+B¿(x)+∑i=1
m
μiGi¿(x)=0
(10)
tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda
Gi
¿(x) funksiya (7) tenglik bilan
aniqlanadi. (10) tenglamaga y *
(x) stasioanar funksiyaga mos keluvchi
Yakobi tenglamasi deyiladi.
3.1 9-ta’rif. Agar (10) Yakobi tenglamasi
∫
x0
x1
Gi¿(x)h(x)dx =0, i=1,m , h(x0)= h(ξ)=0
shartlarni qanoatlantiruvchi trivial (aynan nol) bo’lmagan yechimga
ega bo’lsa,
ξ nuqta x0 nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi.
Agar
Gi
¿(x),i=1,m funksiya [x0,ξ1], x0≤ ξ0≤ξ1≤ x1 , kesmalarda chiziqli
bog’lanmagan bo’lsalar, qo’shma nuqtalarni quyidagicha aniqlash mumkin: faraz
qilaylik,
h0(x) bir jinsli (ya’ni μi=0,i=1,m ) Yakobi tenglamasining
h0(x0)=0, h0'(x0)=1
shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin; hj(x) – bir jinsli
bo’lmagan (
μj=1, μi=0, i≠ j ) Yakobi tenglamasining
hi(x0)= 0, hj'(x0)= 0, j=1,m
shartlarini qanoatlantruvchi yechimi bo’lsin; u vaqtda
ξ
nuqta faqat va faqat
H (ξ)=
(
h0(ξ)… … … … … hm(ξ)
∫x0
ξ
h0G1¿dx … …∫x0
ξ
hmG1¿dx
… … … … … … … … … …
∫x0
ξ
h0Gm¿dx … … ∫x0
ξ
hmGm¿dx )

matrisa maxsus bo’lgan holdagina (det H (ξ)= 0) x0 nuqtaga qo’shma
nuqta bo’ladi.
11-teorema. Faraz qilaylik,
Fi(x,y,y')∈C(3)(Q),i=0,m , y¿(x)∈C2[x0,x1] kuchsiz
minimal (maksimal),
λ¿=(λ¿0,λ¿1,...,λ¿m) – unga mos Lagranj vektori bo’lsin va
Gi(x), i=1,m
funksiyalar ihtiyoriy ξ∈(x0,x1) uchun [x0,ξ],[ξ,x1] kesmalarda
chiziqli bog’lanmagan bo’lsin. U holda quyidagilar bajariladi:
a) Lejandr sharti:
Ly'y'(x,y¿(x),y¿'(x))≥0 (≤0)
b) Yakobi sharti:
(x0,x1) intervalda x0 nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas.
12-teorema. Faraz qilaylik, quyidagilar bajarilsin:
1)
Q= S× R,S⊂R2 – ochiq to’plam;
2)
L= F0+∑i=1
m
λiF j, L∈C(4)(Q);
3)
Ly'y'(x,y(x),y'(x),λ)≥0 (≤0), ∀ (x,y,y')∈S×R;
4)
y¿(x)∈C2[x0,x1] shartli stasionar funksiya;
5) kuchaytirilgan Lejandr sharti:
Ly'y'(x,y¿(x),y¿'(x),λ¿)>0 (<0),
6) kuchaytirilgan Yakobi sharti:
(x0,x1] oraliqda x0 nuqtaga qo’shma nuqta
mavjud emas.
U vaqtda y *
(x) - izoperimetrik masalada kuchli lokal minimal (maksimal) bo’ladi.
13-teorema. Faraz qilaylik, (1)-(3) masalada
J0 – kvadratik funksioanal, ya’ni
Ji[y]=∫x0
x1
(ai(x)y'+bi(x)y)dx , i=1,m
bo’lsin, bu yerda
A0(x),a(x),...,am(x) funksiyalar [x0,x1] kesmada uzluksiz
differensiallanuvchi,
B0(x),b1(x),...,bm(x) funksiyalr esa uzluksiz. Bundan
tashqari
A0(x)>0(<0), ∀ x∈[x0,x1] shart bajarilsin. U holda, agar Yakobi
sharti bajarilmasa izoperimetrik masalada
inf J0[y]=−∞ ,(sup J0[y]=+ ∞)

bo’ladi. Agar kuchaytirilgan Yakobi sharti bajarilsa, shartli stasionar
funksiya mavjud, yagona va unda J0 funksional global minimum
(maksimum) ga yerishadi.
3.2 Misol.
∫
0
0
(y'2− y2)dx → min, ∫
0
1
ydx =0, y(0)= y(1)= 0.
Lagranj ko’paytuvchilari qoidasini qo’llaymiz.
F0= y'2− y2,F1= y,C
¿1=F1y− d
dx F1y=1.
Demak,
L=λ0F0+λ1F1 Lagranj funksiyasida λ0=1 deb olish mumkin.
Qulaylik uchun
λ= λ1 deb belgilab, L= F0+λF 1= y'2− y2+λy Lagranj
funksiyasi uchun Eyler tenglamasini yozamiz:
Ly− d
dx Ly'=0 ⇔ −2y+λ− d
dx (2y')=0 ⇒ y''+y− λ
2=0.
4 Tuzilgan tenglamaning umumiy yechimi
y(x)= c1sin x+c2cos x+ λ
2.
bo’ladi. Chegaraviy va izoperimetrik shartlardan foydalanib
c1,c2,λ
o’zgarmaslarni topamiz.
y(0)=0 ⇒ λ
2=− c2⇒ y(x)= c1sin x+c2(cos x⋅1).
y(1)=0¿}¿¿⇔ ¿c1sin 1+c2(cos 1−1)=0¿}¿¿⇒
c1=0,
c2=0.
¿
Demak , y(x) *
=0 yagona shartli - stasionar funksiyadir .
Kuchaytirilgan Lejandr sharti bajariladi, ya’ni
Ly'y'=2>0 . Yakobi tenglamasini
tuzamiz.

A¿= Ly'y= 2, B¿= Lyy=− 2, C¿= Lyy'=0, G¿= G
¿1=1,
−d
dx (A¿h'+C¿h)+C¿h'+B¿h+μ1G¿= 0⇒ −2h− d
dx (2h')+μ=0⇒ h''+h− μ
2=0⇒
⇒ h''+h− μ=0,μ= μ
2 .Tuzilgan Yakobi tenglamasiga mos
h''+h=0 bir jinsli tenglama h(0)=0,h'(0)=1
shartlarni qanoatlantiruvchi
h0(x)=sin x yechimga ega. Bir jinsli bo’lmagan
h''+h+1=0
tenglama esa, h(0)=h'(0)=0 shartlarni qanoatlantiruvchi h1(x)=cos x−1
yechimga ega.
H(ξ) matrisani tuzamiz.
H (ξ)=
(
h(ξ) h1(ξ)
∫0
ξ
h0dx ∫0
ξ
h1dx )
=¿(sin ξ cos ξ−1¿)¿
¿ ¿¿
Demak,
x0=0 nuqtaga qo’shma nuqtalar quyidagi tenglamaning yechimidir:
det H (ξ )= ¿ |sin ξ cos ξ − 1 ¿ | ¿
¿
¿ ¿
⇒ 2sin 2ξ
2− ξsin ξ
2cos ξ
2= 0 ⇒ sin ξ
2(2sin ξ
2−2cos ξ
2)= 0 ⇒ sin ξ
2= 0, tg ξ
2= ξ
2.
tg ξ
2= ξ
2
tenglamaning ildizi ξ>1 bo’ladi, chunki agar ξ<1 bo’lganida edi,
tg 1
2>1
2
bo’lar edi. Ammo [0,π
2] oraliqda tgx<x , demak tg 1
2<1
2; ξ≠1 ekanligi
ham ravshan.
sin ξ
2= 0 tenglamaning eng kichik musbat ildizi esa, ξ∗¿2π bo’ladi.
Shunday qilib,
[0,1 ] da x0=0 nuqtaga qo’shma nuqta mavjud emas, ya’ni
kuchaytirilgan Yakobi sharti bajariladi. 13-teoremaga ko’ra,
y¿(x)= 0 – berilgan
masalaning global yechimidir.

Asosiy adabiyotlar
1. Р.Габасов, Ф.М.Кириллова. Оптималлаштириш усуллари. Т.
Узбекистон, 1995.
2. Л.Э.Эльсголц. Дифференциальные уравнения и вариационное
исчисление. М. Наука1969.
Qo’shimcha adabiyotlar
1. И.М.Гельфанд, С.В.Фомин. Вариационное исчисление. М. Наука
1989.
2. Н.И.Ахиезер. Лексии по вариационному исчислению.
Гостехиздат,1955.
3 Коша А. Вариационное исчисление. М. Высшая школа, 1983
4. Исроилов И., Отакулов С. Вариацион хисоб ва оптималлаштириш
усуллари.
I -кисм. Самарканд. Сам ДУ нашри, 1999, II -кисм Самарканд, СамДУ
нашри, 2001

Izoperimetrik masalalar

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish