Izospektrial shturm liuvill operatorlari - Педагогика - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	1.7MB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	doc
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Педагогика

Izospektrial shturm liuvill operatorlari

Купить

IZOSPEKTRIAL SHTURM LIUVILL OPERATORLARI
MUNDARIJA
KIRISH………………………………………………………………. 3
I BOB Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral masalalar 10
1.1§
L(q(x),h,H) ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari
spektral masalalar
1.2§
L(q(x),∞ ,H) ko ’rinishidagi Shturm-Liuvill operatori uchun
teskari spektral masalalar
II BOB L=L(q(x),h,H) ko’rinishidagi Izospektral SHturm-Liuvill
chegaraviy masalalar
2.1§ Bir parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy
masalasini qurish algoritmi
2.2§ Ikki parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy
masalasini qurish algoritmi
2.3§ k parametrga bog’liq izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy
masalasini qurish algoritmi
III
BOB L(q(x),
∞ , H) ko’rinishdagi izospektral va qisman- izospektral
SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar
3.1§
L(q(x),
∞ , H) ko’rinishdagi izospektral chegaraviy masalalarni
tiklash algoritmi
3 .2§
L(q(x,a),
∞ ,H(a)) ko’rinishidagi qisman- izospektral SHturm-
Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash algoritmi
XULOSA
Foydalanilgan adabiyotlar
1

KIRISH
Masalaning qo yilishi. ʻ Mazkur magistrlik dissertatsiyasi ishda
1. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalar i oilasini tiklash;
2. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill
chegaraviy masalalar i oilasini tiklash;
3. Quyidagi
;
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral
Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash;
4. Quyidagi
2

shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash;
5. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash;
6. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-
Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash;
7. Quyidagi
3

, , , , ,
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash;
8. Quyidagi
, , , , ,
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash masalasi o rganilgan.ʻ
Mavzuning dolzarbligi: Spektral analizning teskari masalalari turli
sohalarda , jumladan kvant mexanikasida, radiotexnikada, fizika, elektronika,
metereologiya, yer ichki qatlamlari elektrik xossalarini o’rganishda muhim o‘rin
tutadi.
Ushbu yo‘nalishda va ko’rinishdagi Shturm-
Liuvill hamda operatorlari uchun izospektral va qisman-izospektral masalalarga
oid tadqiqotlarni rivojlantirish dolzarb vazifalardan hisoblanadi.
Hozirgi kunda teskari masalalar oddiy differensial operatorlarning ayrimlari
uchungina yetarlicha to’liq o’rganilgan. Bu operatorlar orasida eng soddasi
Shturm-Liuvill operatoridir. Bu operator uchun qo’yilgan teskari masalalar
V.A.Ambarsumyan [59], G.Borg[73], A.N.Tixonov[74], N.Levinson[72],
V.A.Marchenko [1], I.M.Gelfand, B.M.Levitan [2,4], M.G.Gasimov [8],
Z.L.Leybenzon[77], L.A.Saxnovich[76], I.G.Xachatryan[78], X.Xoxshtadt
B.Liberman[79], V.A.Yurko[21], I.S.Frolov[63], M.Ablovits, X.Sigur,
T.V.Misyura[67,68], E.Korotyaev[64,65,66], S.Albeverio, R.Xruniv,
Ya.Mukutyuk [52], A.B.Xasanov[69], A.B.Xasanov, A.B.Yaxshimuratov[70],
A.B.Yaxshimuratov[71] va boshqa olimlar tomonidan o’rganilgan.
Teskari masalalar nazariyasining rivojiga muhim turtki bo’lgan ilk natija
1929-yilda V.A.Ambarsumyan tomonidan olingan. 1946-yilda G.Borg Shturm-
4

Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalani o’zgacha qo’yishni
taklif qilgan. Jumladan, u Shturm-Liuvill operatori faqat bitta chegaraviy sharti
bilan farq qiluvchi ikki Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektrlari
yordamida yagona tarzda aniqlanishini ko’rsatib bergan. Borgning yagonalik
teoremasi 1949-yilda L.A.Chudov tomonidan chegaraviy shartlar ancha
umumiyroq bo’lgan holda o’rganilgan. 1949-yilda A.N.Tixonov yarim o’qda
berilgan Shturm-Liuvill operatorini “impedans” funksiyasi (ya’ni Veyl-
Titchmarshning funksiyasi) yordamida yagona tarzda qurish mumkinligi
haqidagi teoremani isbotlashga muvaffaq bo’ldi. Veyl-Titchmarshning , ya’ni
impedans funksiyasi bo’yicha chiziqli oddiy differensial operatorni qurish
algoritmi V.A.Yurko tomonidan batafsil o’rganilgan. Spektral analizning teskari
masalasini yechishda almashtirish operatorlari ilk bor V.A.Marchenko, so’ngra
I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan qo’llanilgan. 1950-yilda V.A.Marchenko
Shturm-Liuvill operatori o’zining spektral funksiyasi, ya’ni xos qiymatlar
va , normallovchi o’zgarmaslar orqali, yagona aniqlanishini
ko’rsatib berdi. V.A.Marchenko yagonalik teoremasi e’lon qilingandan keyin
spektral funksiya, ya’ni spektral berilganlar bo’yicha Shturm-Liuvill
operatorini tiklash masalasi dolzarb bo’lib qolgan. Bu masala 1951-yilda
I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan yechilgan. So’ngra teskari masalani
yechishning Gelfand-Levitan usuli B.M.Levitan, M.G.Gasimov va N.Levinsonlar
tomonidan takomillashtirilgan.
Hozirgi kunga kelib teskari masalani yechishning bir nechta usullari bor. Bu
usullar orasida Gelfand-Levitan usuli muhim o’rin egallaydi. Bu usulda
almashtirish operatori asosiy rolni o’ynaydi. Usulning asosiy bosqichlaridan biri
almashtirish operatorining yadrosiga nisbatan olingan chiziqli integral tenglamadir.
Keyingi teskari masala G.Borg yagonalik teoremasi isbotlangandan keyin hosil
bo’lgan teskari masaladir. Bu teskari masalani yechish algoritmi ilk bor
M.G.Kreyn tomonidan ishlab chiqildi. So’ngra bu algoritm berilgan spektrlar tilida
5

1964-yilda B.M.Levitan va M.G.Gasimovlar tomonidan takomillashtirildi. 1978-
yilda X.Xoxshtadt va B.Libermanlar agar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining
xos qiymatlar ketma-ketligi va koeffisiyenti oraliqda berilgan
bo’lsa, u holda oraliqda potensial va sonlar yagona aniqlanishini
isbotlashga muvaffaq bo’ldilar.
Bu yo’nalishdagi masalalar L.Saxnovich, R.O.Griniva, Y.V.Mykytyuk,
O.Martinyuk, V.Pivovarchik, S.A.Buterin, F.Geshtezi, B.Saymon, M.Xorvat va
boshqa olimlarning ilmiy ishlarida umumlashtirilgan.
Hozirgi kunda chekli oraliqda berilgan o’z-o’ziga qo’shma matritsaviy
koeffisiyentli Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral
masalalarni yechish algoritmi V.A.Yurko, B.M.Levitan, M.Jodeit, N.P.Bondarenko
va ularning o’quvchilari tomonidan o’rganilmoqda.
Tadqiqotning maqsad va vazifasi. Shturm-Liuvill operatorlari uchun
qo’yilgan izospektral va qisman-izospektral chegaraviy masalalar oilasini
tiklashdan iborat.
Tadqiqot usullari . Dissertatsiya ishida matematik tahlil, matematik fizika,
differensial operatorlarning spektral nazariyasi, funksional analiz, kompleks
o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, chiziqli algebra hamda oddiy differensial
tenglamalarni yechish usullaridan foydalanildi.
Ishning ilmiy ahamiyati . Tadqiqot natijalarining ilmiy ahamiyati
zamonaviy matematik fizikaning Shturm-Liuvill izospektral va qisman-izospektral
chegaraviy masalalar oilasini tiklash bilan izohlanadi.
Dissertatsiya tuzilishining tasnifi. Magistrlik dissertatsiyasi uch bob, yeti
paragraf, xulosa va adabiyotlar ro yxatidan iborat. ʻ
Birinchi bob “ Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral
masalalar ” deb nomlanib, u qo yilgan masalani yechishda qo llaniladigan ta’rif va
ʻ ʻ
teoremalarni o z ichiga olgan quyidagi ikkita paragrafni o z ichiga olgan:
ʻ ʻ
6

1. L(q(x),h,H) ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari spektral
masalalar;
2. L(q(x),∞ ,H) ko ’rinishidagi Shturm-Liuvill operatori uchun teskari
spektral masalalar.
Ikkinchi bob “ L(q(x),h,H) ko’rinishidagi izospektral SHturm-Liuvill
chegaraviy masalalar ” deb nomlanib, bu bob uchta paragrafdan iborat.
Ikkinchi bobning birinchi paragrafida bir parametrga bog’liq izospektral
SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan.
Ikkinchi bobning ikkinchi paragrafida ikki parametrga bog’liq izospektral
SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan.
Ikkinchi bobning uchinchi paragrafida k parametrga bog’liq izospektral
SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash algoritmi qurilgan.
Uchinchi bob “ L(q(x),∞ , H) ko’rinishdagi izospektral va qisman-
izospektral SHturm- Liuvill chegaraviy masalalar ” deb nomlanib, bu bob ikkita
paragrafdan iborat.
Uchinchi bobning birinchi paragrafida bir parametrga bog’liq L(q(x),
∞ ,
H) ko’rinishdagi izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalasini tiklash
algoritmi qurilgan.
Uchinchi bobning ikkinchi paragrafida L(q(x,a),
∞ ,H(a)) ko’rinishidagi
qisman- izospektral SHturm-Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash
algoritmi qurilgan.
7

I BOB. SHTURM-LIUVILL OPERATORI UCHUN TESKARI
SPEKTRAL MASALALAR
1.1-§. ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun
teskari spektral masalalar
Ta’rif-1.1.1. Quyidagi
, , (1.1.1)
va
, , (1.1.2)
har xil Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari uchun
tenglik bajarilsa, ularga izospektral chegaraviy masalalar deyiladi.
Ta’rif-1.1.2. Agar (1.1.1) va (1.1.2) chegaraviy masalalarda quyidagi
munosabatlar bajarilsa
bo’lganda ; bo’lganda ,
ularga qisman-izospektral chegaraviy masalalar deyiladi.
Bu yerda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks
parametr, va chekli haqiqiy sonlar.
Ushbu chegaraviy masalani qaraymiz:
, (1.1.3)
(1.1.4)
. (1.1.5)
8

Bunda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, va
chekli haqiqiy sonlar. (1.1.3) tenglamaning ushbu
(1.1.6)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz.
Ma’lumki ([3], 12-bet) (1.1.3), (1.1.6) masalaning yechimi mavjud,
yagona va har bir fiksirlangan da bo’yicha butun funksiya bo’ladi.
Shuningdek, ushbu integral tasvir o’rinli ([3], 118-bet):
, (1.1.7)
. (1.1.8)
Ko’rinib turibdiki, funksiya barcha larda (1.1.4) chegaraviy
shartni qanoatlantiradi. (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning , xos
qiymatlari ushbu
, (1.1.9)
tenglamaning ildizlaridan iborat bo’ladi. , funksiyalar esa
ularga mos keluvchi xos funksiyalardir. Ushbu
(1.1.10)
sonlarga (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning normallovchi o’zgarmaslari deb
ataladi. Ushbu ketma-ketliklar juftligiga (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy
masalaning spektral berilganlari deyiladi.
9

Teorema-1.1.1. ([3], 14-18 betlar) (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy masalaning
spektral berilganlari uchun quyidagi
, (1.1.11)
(1.1.12)
tengliklar bajariladi.
Ma’lumki, har xil xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar o’zaro
ortogonal va ixtiyoriy funksiya uchun
(1.1.13)
tasvir o’rinli.
Bundan ushbu
, (1.1.14)
tenglikni olamiz. Bu yerda - Dirakning delta funksiyasi. Xususan,
bo’lganda, ushbu
, (1.1.15)
ayniyat o’rinli. Bu yerda
(1.1.16)
10

Teorema-1.1.2. (V.A.Marchenko, [1]). (1.1.3)-(1.1.5) chegaraviy
masalaning potensiali va , koeffisiyentlari spektral
berilganlar orqali yagona aniqlanadi.
Lemma-1.1.1. ([2]). Ushbu
(1.1.17)
ayniyat o’rinli.
Teorema-1.1.3. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). (1.1.7) almashtirish
operatorining yadrosi quyidagi integral tenglamani qanoatlatiradi:
. (1.1.18)
Bu yerda
. (1.1.19)
Teorema-1.1.4. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). haqiqiy sonlar
ketma-ketliklari (1.1.3)-(1.1.5) ko’rinishdagi biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spectral berilganlari (xarakteristkalari) bo’lishi uchun (1.1.11)
shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.
Aytaylik, ketma-ketliklar juftligi (1.1.11) shartlarni
qanoatlantirsin. U holda (1.1.19) formula orqali funksiyani aniqlaymiz va
(1.1.18) integral tenglamani yechib ni topamiz.
Teorema-1.1.5. ( I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2] ) Har bir fiksirlangan
da (1. 1 .1 8 ) integral tenglama yagona yechimga ega.
11

(1.1.18) tenglamani yechib ni aniqlaymiz va (1.1.7) formuladan
funksiyani topamiz. T opilgan funksiya quyidagi differensial
tenglamani
(1.1.20)
va ushbu
, (1.1.21)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi ([2]) . B unda potensial ushbu
, (1.1.22)
tenglikdan, soni esa quyidagi
(1.1.23)
formula orqali topiladi.
1.2-§. ko’rinishdagi Shturm-Liuvill operatori uchun
teskari spektral masalalar
Ta’rif-1.2.1. Quyidagi
, (1.2.1)
va
, (1.2.2)
har xil Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari uchun
12

tenglik bajarilsa, ularga izospektral chegaraviy masalalar deyiladi. Bu yerda
- haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, chekli
haqiqiy son.
Ushbu chegaraviy masalani qaraymiz:
, (1.2.3)
(1.2.4)
. (1.2.5)
Bu yerda - haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr,
chekli haqiqiy son. (1.2.3) tenglamaning
(1.2.6)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz.
Ma’lumki ([3],18-21 bet), (1.2.3), (1.2.6) masalaning yechimi
mavjud, yagona va har bir fiksirlangan da bo’yicha butun funksiya
bo’ladi. Shuningdek, ushbu integral tasvir o’rinli ([3], 210-bet):
, (1.2.7)
. (1.2.8)
13

Ko’rinib turibdiki, funksiya barcha larda (1.2.4) chegaraviy
shartni qanoatlantiradi. (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning , xos
qiymatlari
, (1.2.9)
tenglamaning ildizlaridan bo’ladi. , funksiyalar esa ularga
mos keluvchi xos funksiyalardir. Ushbu
(1.2.10)
sonlar ketma-ketligiga (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning normallovchi
o’zgarmaslari deb ataladi. ketma-ketliklar juftligiga (1.2.3)-(1.2.5)
chegaraviy masalaning spektral berilganlari deyiladi.
Teorema-1.2.1. ([3], 18-21 betlar). (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy masalaning
spektral berilganlari uchun quyidagi
(1.2.11)
tengliklar bajariladi.
Ma’lumki, har xil xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar o’zaro
ortogonal va ixtiyoriy funksiya uchun
(1.2.12)
tasvir o’rinli.
Bundan ushbu
14

, (1.2.13)
tenglikni olamiz. Bu yerda - Dirakning delta funksiyasi. Xususan,
bo’lganda, ushbu
, (1.2.14)
ayniyat o’rinli. Bu yerda
. (1.2.15)
Teorema-1.2.2. (V.A.Marchenko, [1]). (1.2.3)-(1.2.5) chegaraviy
masalaning potensiali va koeffisiyenti spektral berilganlar
orqali yagona aniqlanadi.
Lemma-1.2.1. ([2]). Ushbu
(1.2.16)
ayniyat o’rinli.
Teorema-1.2.3. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). (1.2.7) almashtirish
operatorining yadrosi quyidagi integral tenglamani qanoatlatiradi
. (1.2.17)
Bu yerda
. (1.2.18)
15

Teorema-1.2.4. (I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]). haqiqiy sonlar
ketma-ketliklari (1.2.3)-(1.2.5) ko’rinishdagi biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spektral berilganlari (xarakteristkalari) bo’lishi uchun (1.2.11)
shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.
Faraz qilaylik, ketma-ketliklar juftligi (1.2.11) shartni
qanoatlantirsin. U holda (1.2.18) formula orqali funksiyani aniqlaymiz va
(1.2.17) integral tenglamani yechib ni topamiz.
Teorema-1.2.5. ( I.M.Gelfand, B.M.Levitan, [2]) Har bir fiksirlangan
da ( 1.2.17 ) integral tenglama yagona yechimga ega.
(1. 2.17 ) tenglamani yechib ni aniqlaymiz va (1. 2.7 ) formuladan
funksiyani topamiz. Topilgan funksiya
, (1.2.19)
quyidagi differensial tenglamani va ushbu
, (1.2.20)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradi . Bu nda potensial ushbu
(1.2.21)
formula orqali topiladi. ( 1.2.5 ) chegaraviy shartdagi o’zgarmas soni esa
(1.2.22)
quyidagi tenglikdan aniqlanadi.
16

ІІ BOB.
ko rinishdagi Izospektral Shturm-ʻ
Liuvill chegaraviy masalalar
2.1-§. Bir parametrga bog’liq izospektral Shturm-Liuvill
chegaraviy masalasini qurish algoritmi
2.1.1-ta’rif. Quyidagi har xil
;
;
;
,
Shturm – Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari uchun
tenglik bajarilsa, ularga izospektral chegaraviy masalalar deyiladi. Bu yerda
-berilgan haqiqiy uzluksiz funksiya, - kompleks parametr, va
berilgan chekli haqiqiy sonlar.
Mazkur paragrafda spektri
ko‘rinishdagi musbat sonlardan iborat bo‘lgan barcha Shturm –
Liuvill chegaraviy masalalarini qurish algoritmini bayon qilamiz. Bu turdagi
masalalarni o‘rganishda teskari spektral masalani yechishning Gelfand – Levitan
usulidan foydalanish maqsadga muvofiq.
1. Faraz qilaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari ushbu
(2.1.1)
ko‘rinishda bo‘lsin. Bu yerda berilgan musbat son bo‘lib,
.
17

Yuqoridagi algoritm yordamida, berilgan ketma-ketliklarga mos
keluvchi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini tuzish bilan shug‘ullanamiz.
Ko‘rinib turibdiki, berilgan (2.1.1) ketma-ketliklar oldingi
mavzudagi 3-teoremaning, ya’ni (3.1.3) shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun
spektral xarakteristkalari bo‘ladigan oldingi mavzudagi (2.2.1), (2.2.2)
ko‘rinishdagi
;
yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud.
Gelfand-Levitan algoritmidan foydalanib, va
noma’lumlarni topamiz:
1. funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
Chunki,
2. Gelfand-Levitan integral tenglamasini tuzib olamiz va uni yechamiz:
Ushbu
18

belgilashni kiritib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
Buni belgilashga qo‘yib, ni topamiz:
.
Bunga ko‘ra,
3. koeffisiyent va sonlarni hamda
yechimni quyidagicha aniqlaymiz:
Chunki, larning aniqlanishiga ko‘ra . Endi oldingi mavzudagi (2.2.10)
formuladan foydalanib -yechimni aniqlaymiz:
.
Bunda
Shunday qilib, ushbu
19

ko‘rinishdagi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini topishga muvaffaq bo‘ldik.
Shuni takidlash joizki, biz tuzgan Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalar oilasining spektri,
berilgan to‘plamdan iborat bo‘ladi. Xususan, bo‘lgan holda
bo‘lib, bo‘ladi, ya’ni biz
chegaraviy masalaga ega bo‘lamiz. Ravshanki, bunda
1. Xususan ushbu
, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , xos funksiyalari ,
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
20

.
Bu yerda
, ,
.
2. Xususan ushbu
, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , xos funksiyalari ,
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
Bu yerda
.
21

2.2-§. Ikki parametrga bog’liq izospektral Shturm-Liuvill
chegaraviy masalasini qurish algoritmi
Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari ushbu
(2.2.1)
ko‘rinishda bo‘lsin. Bu yerda - berilgan musbat sonlar. Spektral
xarakteristkalari (2.2.1) ko‘rinishda bo‘lgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini
qurish bilan shug‘ullanamiz.
Ko‘rinib turibdiki, (2.2.1) tengliklar bilan aniqlangan haqiqiy
sonlar ketma-ketliklari oldingi mavzudagi 3-teoremaning shartlarini
qanoatlantiradi. Shuning uchun koeffisiyentlari
ko‘rinishda bo‘lgan yagona
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud. Bu chegaraviy masalani
ko‘rinishda belgilasak, uning spektri uchun
munosabat bajariladi. Demak ikki parametrli chegaraviy
masalalari oilasining spektri berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushar
ekan.
Endi, yuqoridagi
(2.2.2)
(2.2.3)
chegaraviy masalaning va
koeffisiyentlarni topish bilan shug‘ullanamiz. Buning uchun, avvalo (2.2.1)
spektral xarakteristikalar yordamida funksiyani tuzib olamiz:
22

1.
(2.2.4)
Bu yerda
(2.2.5)
funksiyaning (2.2.4) ko‘rinishidan foydalanib, (2.2.5) chegaraviy
shartlarning birinchisidagi sonini topish mumkin:
. (2.2.6)
2. Gelfand-Levitan integral tenglamasini tuzamiz va uni yechimga ega
ekanligini ko‘rsatamiz:
(2.2.7)
Bu tenglamaning yechimga ega ekanligini ko‘rsatish uchun, uning bir jinsli qismi
faqat nol yechimga egaligini isbotlash yetarli. Ushbu
belgilashni kiritaylik. U holda (2.2.7) tenglamaning bir jinsli qismi
ko‘rinishni oladi. Bu tenglamaning faqat nol yechimga ega ekanligi xuddi oldingi
mavzudagi 1-lemmadagidek isbotlanadi.
Endi funksiyaning (2.2.4) ko‘rinishidan va (2.2.7) integral
tenglamadan foydalanib, funksiyani hisoblaymiz:
23

ya’ni
(2.2.8)
Bu yerda
(2.2.9)
Agar funksiya Gelfand-Levitan integral tenglamasining yechimi bo‘lsa, u
holda ushbu
(2.2.10)
funksiya quyidagi
differensial tenglamani va
boshlang‘ich shartlarni hamda
munosabatni qanoatlantirar edi. Yuqoridagi (2.2.10) formulada
deb quyidagi
24

ifodani topamiz. Bu tenglikda va deb quyidagi
(2.2.11)
munosabatlarni olamiz.
Endi va hosilalarni hisoblaymiz:
(2.2.12)
Yuqoridagi(2.2.11), (2.2.12) tengliklarda deb va
larni qiymatlarini topamiz:
Endi ushbu
tenglikdan foydalanib ni hisoblaymiz:
25

.
Shu tarzda (2.2.2) tenglamaning koeffisiyentini ham topish mumkin:
3§. k parametrga bog’liq izospekral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasini qurish algoritmi
Spektral xarakteristikalari ushbu
; (2.3.1)
ko‘rinishda bo‘lgan Shturm – Liuvill chegaraviy masalasini tuzish bilan
shug‘ullanamiz. Bu yerda - berilgan musbat sonlar.
Ko‘rinib turibdiki, (2.3.1) formulalar bilan aniqlangan - haqiqiy
sonlar ketma – ketliklari oldingi mavzudagi 3-teoremaning shartlarini qanoatlantiradi.
Shuning uchun , ,
koeffitsiyentli (2.2.1)-(2.2.2) ko‘rinishdagi ta parametrli
yagona Shturm – Liuvill chegaraviy masalasi mavjud.
Bu holda chegaraviy masalalar oilasining spektri uchun
26

munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Endi ushbu
, (2.3.2)
, (2.3.3)
ko‘rinishidagi
ta parametrli Shturm – Liuvill chegaraviy masalasining
, ,
koeffisiyentlarini topish jarayonini bayon qilamiz.
Buning uchun avvalo (2.2.7) formuladan va (2.3.1) ko‘rinishdagi spektral
xarakteristikalardan foydalanib,
funksiyani tuzib olamiz:
. (2.3.4)
Bu yerda
,
So‘ngra (2.2.9) integra tenglamadan va (2.3.4) formuladan foydalanib,
funksiyani hisoblaymiz:
ya’ni
, (2.3.5)
bunda
. (2.3.6)
27

(2.2.10) formulaga ko‘ra, (2.3.2) differensial tenglamaning
(2.3.7)
koeffitsiyentini va (2.2.11) tenglikdan (2.3.3) chegaraviy shartlarning birinchisini
topamiz:
. (2.3.8)
Endi (2.3.6) tasvirni (2.3.5) formuladan foydalanib, ushbu
(2.3.9)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bundan foydalanib
hosilani hisoblaymiz:
(2.3.10)
Nihoyat, (2.3.9) va (2.3.10) formulalardan foydalanib, ,
ifodalarning qiymatlarini topamiz:
. (2.3.11)
Xuddi shuningdek, (3.3.10) tasvirda deb noma’lumlarning
qiymatlarini aniqlaymiz:
28

,
ya’ni
(2.3.12)
Oxirgi (2.3.12) tenglikni (2.3.11) formuladan foydalanib quyidagicha yozish
mumkin:
(2.3.13)
Ushbu
chegaraviy shartdan
(2.3.14)
tenglik kelib chiqadi.
29

ІІІ BOB. ko rinishdagi izospektral va qisman-ʻ
izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar
3.1-§. ko’rinishdagi izospektral chegaraviy masalalarni
tiklash algoritmi
Teorema-3.1.1. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)-
(1.2.2) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin. U holda quyidagi
(3.1.1)
tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spektral berilganlari bo’ladi.
Isbot. Buning uchun (3.1.1) tengliklar bilan aniqlangan ketma-
ketliklar (1.2.11) shartlarni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham:
,
.
Ushbu
tengliklardan foydalanib,
ya’ni ekanligini topamiz.
30

Nihoyat ushbu
tenglikdan ekanligini aniqlaymiz.
Shuning uchun, spektri ushbu ,
to’plamdan koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-(1.2.2)
ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasi mavjud:
, (3.1.2)
, (3.2.3)
Endi bu chegaraviy masalani va ko’effisiyentlarini toppish bilan
shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand-
Levitan usulidan foydalanamiz. (1.2.18) va (3.1.1) formulalardan foydalanib,
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
,
ya’ni
. (3.1.4)
31

Bunda (1.2.15) formuladan aniqlanadi.
Yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga (3.1.4) ifodani qo’yib, quyidagi
,
ya’ni
(3.1.5)
munosabatni olamiz. Bu yerda
(3.1.6)
belgilashni kiritib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
. (3.1.7)
Buni (2.2.6) belgilashga qo‘yib, ni topamiz:
. (3.1.8)
(3.1.8) ni (3.1.7) tenglikka qo’yib, yechimni quyidagicha aniqlaymiz:
. (3.1.9)
va koeffisiyentlarni quyidagicha aniqlaymiz:
32

, (3.1.10)
, (3.1.11)
Avvalo (3.1.8) tenglikda deb quyidagi
, (3.1.12)
ifodani topamiz. So’ngra (3.1.8) tenglikni -o’zgaruvchi bo’yicha
differensiallaymiz:
,
Bunda deb ushbu
(3.1.13)
munosabatni topamiz. (3.1.11) formuladan
kelib chiqadi.
33

Shunday qilib, ushbu
(3.1.14)
(3.1.15)
ko‘rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tikladik.
Shuni alohida ta’kidlash joizki, biz tuzgan Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalar oilasining spektri, ushbu to‘plamdan
iborat bo‘ladi. Xususan, bo‘lgan holda
bo‘lib,
bo‘ladi, ya’ni biz

chegaraviy masalaga ega bo‘lamiz. Ravshanki, bunda .
1. Xususan ushbu
, ,

34

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , xos funksiyalari
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
Bu yerda
, .
1. Xususan ushbu
, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , xos funksiyalari
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
35

.
Bu yerda
.
Teorema-3.1.2. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)-
(1.2.2) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin. U holda quyidagi
(2.2.16)
tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spektral berilganlari bo’ladi. Bu yerda -berilgan musbat sonlar.
Isbot. Avvalo (3.1.16) tengliklar bilan aniqlangan ketma-
ketliklar (1.2.11) shartlarni qanoatlantirishini xuddi oldingi teoremadagi kabi
ko’rsatamiz. Shuning uchun, spektri ushbu
to’plamdan, koeffisiyentlari lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-
(1.2.2) ko’rinishdagi yagona Shturm-Liuvill
chegaraviy masalasi mavjud:
, (3.1.17)
(3.1.18)
Endi bu chegaraviy masalaning koeffisiyentlarini
toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning
Gelfand-Levitan usulidan foydalanamiz. (1.2.18) formula va (3.1.16) spektral
xarakteristikalar yordamida funksiyani tuzib olamiz:
36

. (3.1.19)
Bu yerda
(3.1.20)
Endi funksiyaning (3.1.19) ko‘rinishidan va yuqoridagi (1.2.17) integral
tenglamadan foydalanib funksiyani hisoblaymiz:
(3.1.21)
Bu yerda
, (3.1.22)
. (3.1.23)
koeffisiyent quyidagi formuladan aniqlanadi:
. (3.1.24)
(3.1.21) ifodani (3.1.22) va (3.1.23) tengliklarga qo’yib quyidagi
(2.2.25)
munosabatlarni olamiz. (3.1.25) dan va hosilalarni hisoblaymiz:
37

(3.1.26)
. (3.1.27)
Yuqoridagi (3.1.25)-(3.1.27) tengliklarda deb , ,
va larni qiymatlarini topamiz:
, (3.1.28)
, (3.1.29)
, (3.1.30)
. (3.1.31)
Endi ushbu
(3.1.32)
munosabatdan foydalanib, koeffisiyentni hisoblaymiz:
. (3.1.33)
38

(3.1.19) tenglamaning potensialini quyidagicha aniqlaymiz:
Teorema-3.1.3. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)-
(1.2.2) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin. U holda quyidagi
(3.1.34)
tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spektral berilganlari bo’ladi. Bu yerda -berilgan musbat
sonlar.
Isbot. Avvalo (3.1.34) tenglik bilan aniqlangan ketma-ketliklar
(1.2.11) shartlarni qanoatlantirishini xuddi oldingi teoremadagi kabi ko’rsatamiz.
Shuning uchun, spektri ushbu to’plamdan,
koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan, (1.2.1)-
(1.2.2) ko’rinishdagi yagona
Shturm-Liuvill
chegaraviy masalasi mavjud:
, (3.1.35)
. (3.1.36)
Endi bu chegaraviy masalaning -
koeffisiyentlarini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral
39

masalani yechishning Gelfand-Levitan usulidan foydalanamiz. (1.2.18) va (3.1.34)
formulalardan foydalanib, ni aniqlaymiz:
. (3.1.37)
Bu yerda
. (3.1.38)
(3.1.37) ni yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga qo’yib, ushbu
, (3.1.39)
munosabatni olamiz. Bu yerda
. (3.1.40)
(3. 1 . 39 ) ifodani (3. 1 .40) tasvirga qo’yib, ushbu
(3.1.41)
ketma-ketlikni topamiz. (3.1. 41 ) formulani o’zgaruvchi bo’yicha differensiallab,
quyidagi
(3.1.42)
40

ifodaga ega bo’lamiz. Yuqoridagi (3.1.41) va (3.1.42) formulalarda deb,
quyidagi
, (3.1.43)
(3.1.44)
tengliklarni olamiz. (3.1.44) ni o’ng tomoniga (3.1.43) ni qo’yib, ushbu
(3.1.45)
ketma-ketlikni topamiz. (3.1.43) va (3.1.45) lardan (3.1.36) chegaraviy
shartlarning ikkinchisidan ushbu
tenglikni topamiz. Bundan
(3.1.46)
formula kelib chiqadi.
Yuqoridagi (1.2.20) formuladan foydalanib, (3.1.35) tenglamani
koeffisiyentini topamiz:
. (3. 1 .47)
Bu yerda funksiya (3.1.41) formuladan topiladi.
41

3.2 §. ko’rinishdagi qisman-izospektral Shturm-
Liuvill chegaraviy masalalar oilasini tiklash algoritmi
Teorema-3.2.1. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)-
(1.2.3) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin . U holda quyidagi
, , , , , (3.2.1)
tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spektral berilganlari bo’ladi.
Isbot. (3.2.1) tenglik bilan aniqlangan , ketma-ketliklar (1.1.11)
shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun, spektri ushbu
to’plamdan,
koeffisiyentlari , lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-(1.2.3) ko’rinishdagi
yagona Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud:
, (3.2.2)
(3.2.3)
Endi bu chegaraviy masalani , -koeffisiyentlarini toppish bilan
shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand-
Levitan usulidan foydalanamiz. (1. 2.18 ) va (3.2.1) formulalardan ni
aniqlaymiz:
(3.2.4)
Yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga (3.2.4) ni qo’yib quyidagi ifodaga
ega bo’lamiz:
42

, (3.2.5)
bu yerda
, (3.2.6)
. (3.2.7)
(3.2.5) ifodani (3.2.6) va (3.2.7) tengliklarga qo’ib, ushbu
(3.2.8)
, (3.2.9)
(3.2.10)
. (3.2.11)
tengliklarni olamiz. Bu yerda
.
(3.2.8) va (3.2.9) larni bo’yicha differensiallaymiz:
, (3.2.12)
43

(3.2.13)
va
(3.2.14)
(3.2.15)
tengliklarga ega bo’lamiz. Bu yerda
, ,
.
(3.2.10) va (3.2.14) ifodalarda deb, quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:
, (3.2.16)
. (3.2.17)
(3.2.3) chegaraviy shartdagi ikkinchi chegaraviy shartdan ni topamiz:
44

. (3.2.18)
(1.2.21), (3.2.10) va (3.2.11) formulalardan, ni aniqlaymiz:
(3.2.19)
da limitga o’tib, chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz,
ya’ni .
1. Xususan ushbu
, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , xos funksiyalari
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
Bu yerda
45

, .
2. Xususan ushbu
, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , xos funksiyalari
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
Bu yerda
.
Teorema-3.2.2. Aytaylik, haqiqiy sonlar ketma-ketliklari (1.2.1)-
(1.2.3) chegaraviy masalaning spektral berilganlari bo’lsin . U holda quyidagi
(3.2.20)
tengliklar orqali aniqlangan ketma-ketliklar ham biror Shturm-Liuvill chegaraviy
masalasining spektral berilganlari bo’ladi.
46

Isbot. (3.2.20) tengliklar bilan aniqlangan, ketma-ketliklar (1.2.11)
shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun, spektri ushbu
to’plamdan, koeffisiyentlari
, lardan iborat bo’lgan (1.2.1)-(1.2.3) ko’rinishdagi yagona
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi mavjud:
, (3.2.21)
(3.2.22)
Endi bu chegaraviy masalaning , -koeffisiyentlarini toppish bilan
shug’ullanamiz. Buning uchun teskari spectral masalani yechishning Gelfand-
Levitan usulidan foydalanamiz. (1. 2.18 ) va (3.2.20) formularda ni topamiz:
. (3.2.23)
Yuqoridagi (1.2.17) integral tenglamaga (3.2.23) ni qo’yamiz va ushbu ifodani
olamiz:
(3.2.24)
bu yerda
, . (3.2.25)
(3.2.24) ifodani (3.2.25) ga qo’yamiz
, (3.2.26)
47

(3.2.27)
va larni topamiz:
(3.2.28)
. (3.2.29)
(3.2.26) va (3.2.27) larni bo’yicha differensiallaymiz:
(3.2.30)
48

(3.2.31)
va larni topamiz:
(3.2.32)
(3.2.33)
(3.2.28), (3.2.29), (3.2.32) va (3.2.33) larda deb, quyidagilarni topamiz:
49

(3.2.34)
, (3.2.35)
(3.2.36)
(3.2.37)
(3.2.22) chegaraviy shartdagi koeffisiyentni aniqlaymiz:
50

. (3.2.38)
(1.2.21), (3.2.28), (3.2.29), (3.2.32) va (3.2.33) lardan foydalanib,
aniqlaymiz:
(3.2.39)
1. Xususan ushbu
, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , , xos funksiyalari
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
+
Bu yerda
, .
2. Xususan ushbu
51

, ,

o’zgaruvchan koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamaning xos
qiymatlari , , xos funksiyalari
va yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
+
Bu yerda
.
52

XULOSA
Dissertatsiya ishi Sh turm-Liuvill operatorlari uchun teskari spektral
masalalarni o‘rganishga bag‘ishlangan.
Asosiy tadqiqot natijalari quyidagilardan iborat:
1. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalar i oilasini tiklash algoritmi qurildi ;
2. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spe k tral berilgan lar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill
chegaraviy masalalar i oilasini tiklash algoritmi qurildi ;
3. Quyidagi
;
53

shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral
Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi;
4. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi;
5. Quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi;
6. Quyidagi
54

shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-
Liuvill chegaraviy masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi;
7. Quyidagi
, , , , ,
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi;
8. Quyidagi
, , , , ,
shartlarni qanoatlantiruvchi spektral berilganlar orqali
ko’rinishdagi izospektral Shturm-Liuvill chegaraviy
masalalari oilasini tiklash algoritmi qurildi;
55

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального
оператора второго порядка.//Труды Москва.Матем.Об.ва.1952.Т1.с.327-420.
2. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. «Об определении дифференциального
уравнения по его спектральной функции». – Изв. АН СССР, сер.мат. -1951,
т.15. -с.309-360.
3. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака.
М.: Наука, 1988.
4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. «Об одном простом тождестве для
собственных значений дифференциального оператора второго порядка» //
ДАН СССР. -1953. -т.88.-с.593-596.
5. Левитан Б.М. «Об определении дифференциального уравнения
Штурма-Лиувилля по двум спектром» // Изв. АН СССР , сер . мат .-1964, т .28,
№1, с .63-78.
6. Poschel J., Trubowitz E. Inverse spektral theory. // Academic Press, New
York, 1987.
7. Jodeit M., Levitan B.M. The isospectrality problem for the classical
Sturm-Liouville equation. // Advances in differential equations. 1997, v.2, № 2, p.
297-318.
8. M.Jodeit, B.M.Levitan. “The izospektrality problem fo some vektor
boundray problems”// Russian journal of mathematical physics, vol.6, No.4, 1999,
pp.375-393.
9. A.B.Hasanov. Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari nazariyasiga kirish. I.
“Fan”. Toshkent – 2011.
10. A.B.Hasanov. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga kirish.
“ Turon - iqbol ”. Toshkent – 2019.
11. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.:
Физматлит, 2007, 284 с
56

12. Namig J Guliyev . Inverse eigenvalue problems for Sturm-Liouville
equations with spektral parameter linearly contained in one of the boundary
conditions// arXiv:0803.0566v1 [math.SP] 4 Mar 2008.
13. Isaacson E.L., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem I. //
Comm. Pure Appl. Math, 1983, v. 36, p.767-783.
14. Isaacson E.L., McKean H.P., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville
problem II. // Comm. Pure Appl. Math. 1984, v. 37, p. 1-11.
15. Dahlberg B.E., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem III. //
Comm. Pure Appl . Math , 1984, v .37, p . 255-267.
16. Савчук А.М., Шкаликов А.А. О свойствах отображений, связанных
с обратными задачами Штурма-Лиувилля. // Тр. МИАИ, 2002, Т. 260., с. 227-
247.
17. Ashrafyan Y.A., Harutyunyan T.N. Inverse Sturm-Liouville problems
with fixed boundary conditions. // Electronic Journal of differential equations,
(2015), v. 2015, №27, p.1-8.
18. Мирзаев О.Э., Хасанов А.Б. О семействах изоспектральных
краевых задач Штурма-Лиувилля . Уфимский математический журнал. Том
12. №2(2020). с. 28-34.
19. О.Э. Мирзаев, А.Б. Хасанов. Изоспектралные операторы Штурма-
Лиувилля на конечном отрезке. ДАН РУз. 2020, № 3, 3-9.
20. Мирзаев О.Э., Муродов Ф.М. Изоспектралные операторы Штурма-
Лиувилля на конечном отрезке. Научный вестник СамГУ, 2020, № 3(121), 50-
55.
21. Амбарцумян В.А. Über eine Frage Eigenwerttheorie. Zeitschr , f ü r
Physik , 53,1929, pp .690-695.
22. Алимов Ш.А. О работах А.Н.Тихонова по обратным задачи для
уравнения Штурма-Лиувилля. УМН, 6(192), 1976, 84-88.
23. В.А.Марченко. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.
Киев «Наукова Думка» 1977.
57

24. Namig J Guliyev . Essentially isospectral transformations their
applications. // Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-)(2020)199:1621-
1648.
25. Levinson, Norman. The inverse Sturm-Liouville problem. Mat. Tidsskr.
B , 1949 (1949), 25–30.
26. G.Borg . Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe:
Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte. Acta Math .78:1-96,
(1946).
27. А. Н. Тихонов. О единственности решения задачи электроразведки,
ДАН 69:б: (1949), 797—800
28. Sakhnovich L. Half-inverse problem on the finite interval // Inverse
Problems. 2001. Vol . 17, no . 3. P . 527-532.
29. И. Г. Хачатрян, О востановлении дифференциального уравнения
по спектру, Функц. анализ и его прил., 1976, том 10, выпуск 1, 93-94.
30. Hochstadt H., Lieberman B. An inverse Sturm-Liouville problem with
mixed given data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34, no. 4. P. 676-680.
58

Izospektrial shturm liuvill operatorlari

Купить

Похожие документы
2001-yil sentabr voqealri va uning xalqaro munosabatlarga
1945-1990-yillarda Buyuk Britaniya
1918-1923 yillarda xalqaro munosabatlar, Versal Vashington siyetemasining tuzilishi
Ahmad al-farg‘oniy
Almashlab ekishni loyihalashtirish va joriy etish